5ESERCIZI sul teorema di Rolle (risposte alla fine) 1) Considera la funzione 3= −y x x sull’intervallo [0,1].

a) Dopo aver controllato che esistono le condizioni per applicare il teorema di Rolle, d etermina l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza.

b) Traccia infine il “grafico probabile” della funzione (su tutto il suo dominio ), tenendo anche conto dei punti in cui hai stabilito che la derivata si annulla (in questi punti la retta tangente dovrà essere orizzontale!).

2) Considera la funzione 21= −y x sull’intervallo [−1, 1]

a) Dopo aver controllato che esistono (appena appena!) le condizioni per applicare il teorema di Rolle, determina l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza.

b) Grafico probabile. 3

) Considera la funzione sull’intervallo [−3, 3] 4 2= −y x x2

a) Dopo aver controllato che sussistono le condizioni per applicare il teorema di Rolle, determina l’ascissa c di cui il teorema assicura l’esistenza.

b) Grafico probabile della funzione (su tutto il suo dominio ). 4) Spiega perché Rolle non è applicabile alla funzione =y x su [−1; 1]

5) Determina il valore del parametro k in modo che alla funzione 213

−=−

kxyx

sia applicabile Rolle su [2;4]

a) Determina poi l’ascissa c in (2,4) tale che '( ) 0=f c b ) Spiega perché non avrebbe avuto senso, per nessun valore di k, applicare Rolle su [0;2] c) Grafico probabile (su tutto il dominio).

6) a) Applica Rolle alla funzione cos= −y sen x x , su 0, 2[ ]π

verificando che di punti c tali che '( ) 0=f c ce n’è più d’uno. b) Traccia il grafico probabile della funzione su [ ]0, 2π , costruendolo per differenza di ordinate.

7) Considera la funzione ( ) 3= −f x x x

a) Determina il secondo estremo di un intervallo, il cui primo estremo sia 1, sul quale sia possibile applicare alla f (x) il teorema di Rolle.

b) Successivamente, determina in tale intervallo l’ascissa c in cui '( ) 0=f c . c) Grafico probabile della funzione (su tutto il dominio).

R ISPOSTE

33

=c1) 2) ; dico che le condizioni per l’applicabilità del Teorema di Rolle sussistono “appena appena” 0=c perché la funzione non è derivabile agli estremi dell’intervallo. 3) Ben 3 possibili valori di c: 1, 0, 1− + 4) Rolle non è applicabile in questo caso, perché la funzione non è derivabile su tutto : ( 1, 1)− infatti ha derivata sinistra e destra distinte (“punto angoloso”) in 0=x .

5) a) 611=k b) 11 13 2.4346

+=c c) perché la funzione non è definita su tutto [0;2]: il dominio si interrompe in 3= ±x , e 0 3< < 2 .

6) 1 23 7,4 4= π = πc c

7) L’altro estremo è 4; 94=c

101.4 Il TEOREMA (MEGLIO: I TEOREMI) DI DE L’HOPITAL

Teorema (PRIMO TEOREMA DI DE L’HOPITAL) Guillaume de l'Hôpital, francese, 1661-1704

Sia un intorno di , e siano Ic ∈c ( )f x e ( )g x due funzioni definite e derivabili su tutto { }−I cc (non è necessario fare alcuna ipotesi sul comportamento delle due funzioni IN , c dove, addirittura, l'una o l'altra o entrambe le funzioni potrebbero persino non essere definite). Sia inoltre lim ( ) lim ( ) 0

x c x cf x g x

→ →= =

cosicché il calcolo del limite ( )lim ( )→x cf xg x si presenti come forma di indecisione 0

0⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

. Supponiamo infine che sia '( ) 0g x ≠ su tutto { }cI c− . Bene!

Il teorema di cui ci occupiamo dice che, sotto le ipotesi di cui sopra, '( ) ( )lim , lim'( ) ( )→ →x c x c

f x f xSE ESISTE il ALLORA ESISTE pure il E COINCIDE col precedenteg x g x ,

ossia risulta ( ) ' ( )lim lim( ) '( )x c x c

f x f xg x g x→ →

=

Esempio 1 3 2

1 11 3lim lim( ) ( )

H 3π π π→ →

−π

= = −x x

x xsen x cos x

OSSERVAZIONE IMPORTANTE: la catena appena scritta ha senso perché il secondo dei due limiti, quello del rapporto fra le derivate, esiste … nel caso non fosse esistito il secondo limite, il discorso per quanto riguarda il primo limite sarebbe rimasto aperto. Vale a dire:

quando il '( )lim '( )→x c

f xg x non esiste,

de l’Hopital non è applicabile e quindi nulla si può dire, a priori, sul ( )lim ( )→x cf xg x ;

quest’ultimo potrà non esistere, oppure esistere finito o infinito, a seconda dei casi.

Esempio 2 21 1 1

H4

ln(4 3) 4 44 3lim lim lim2 7 (4 3)(2 7) 97 8→ → →

− −= = =+ − ++ −x x x

x xx x xx x

Esempio 3 3 2

3 21 1

H1 3lim lim3 2 3 3→− →−

+ = = ∞− − −x x

x xx x x

L’alternativa a De l’Hopital, in quest’ultimo caso, sarebbe stata di scomporre in fattori e semplificare: con De l’Hopital, comunque, la determinazione del limite risulta più rapida.

In pratica, il teorema considerato dice che

(se, beninteso, sono verificate determinate ipotesi) il limite del rapporto di due funzioni,

che si presenti sotto la forma di indecisione [0/0], è uguale al limite del rapporto fra le loro derivate!!!

Il teorema vale anche se l’intorno cI è solo unilaterale. E vale pure nel caso in cui x, anziché tendere a c∈ , tenda a +∞ oppure a −∞ .

11

IL “SECONDO TEOREMA DI DE L’HOPITAL” Un enunciato analogo al precedente vale anche se il limite del rapporto /f g

si presenta sotto la forma di indecisione ∞⎡ ⎤⎢ ⎥∞⎣ ⎦

Esempio 4 1

ln 4 1lim lim lim 03 2 3 3H

+→+∞ →+∞ →+∞

+ = =+x x x

x xx x =

Quando si cita il “Teorema di De l’Hopital” ci si vuole di norma riferire

indifferentemente all’uno o all’altro dei due teoremi che abbiamo presentato, o, se si preferisce, all’unico enunciato che si otterrebbe riunendoli.

Quando il rapporto delle derivate risulta essere ancora una forma di indecisione [0 o [ // 0] ]∞ ∞ è possibile applicare il Teorema di De l’Hopital un seconda volta, ed eventualmente poi una terza … a

Esempio 5 3 2 2lim lim lim lim6 2 63 2

H H H

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞= = =

++ +x x x x

x x xe e e exx x x x

= +∞x

Il teorema di De l’Hopital si riferisce alle forme di indecisione [0 oppure [ // 0] ]∞ ∞ ; tuttavia,

anche le forme [ ] [ ]0 ,⋅∞ ∞ −∞ e le forme di indecisione con potenze: 0 00 , , 1∞∞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

possono a volte essere risolte riconducendole a [ ]0 / 0 oppure [ ]/∞ ∞ e poi applicando De l’Hopital. A tale scopo, si utilizzeranno le tre identità seguenti:

2) 1) gff g = =1 1g f

⋅

(si lascerà a numeratore

l’una o l’altra delle due funzioni,

a seconda della convenienza)

g(x)

g(x) ln f(x)

g(x)ln f(x)

f(x) =

= e =

= e

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

3) g ff g = f 1 = g 1f g⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(si raccoglierà o l’una o l’altra delle due funzioni, a seconda della convenienza;

tuttavia, di norma queste ultime formule non sono molto utili perché possono essere sostituite da procedimenti alternativi

più vantaggiosi, ad esempio un banale denominatore comune)

Esempio 6 [ ] 0 ⋅∞2

0 0 0 0

1lnlim ln lim lim lim ( ) 01 1

H−

→ + → + → + → += = = − =

−x x x xx xx x x

x x

Esempio 7 [ ] 0∞ ⋅2

2 2 2lim lim lim lim 0H H

+− − −→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

⋅ = = =− +

xx xx x x x

x xx ee e e

=x (NOTA)

NOTA: Verifica tu che lasciando a numeratore l’esponenziale, cioè passando a

2lim1/→+∞

x

xex

…

… il tentativo di applicare de l’Hopital sarebbe fallito perché avrebbe portato ad espressioni via via più complicate rispetto a quella di partenza.

Esempio 8 0[0 ]

0 0 0lim ( ) lim limln ( ) ln→ + → + → +

= = = ⋅x

x x xL sen x e esen xx x sen x

e dopo questi passaggi preliminari, andremo a calcolare il limite della funzione ad esponente riconducendoci ad un quoziente “trattabile” con De l’Hopital:

( )2

02

1 0 1

0 0 0 0lnlim ln lim lim lim lim 01 1

H↑

↑ ↑−

→ +

+

→ + → + → + → +

⎛ ⎞⋅ = = = − =− ⋅ ⋅ =⎜ ⎟

⎝ ⎠−x x x x x

cosxsenx senx x cosx xx senx x cosxsenx senxx x

In definitiva, tornando all’esercizio iniziale, avremo

0

0 0lnlim ( ) lim 1

→

→ + → +⋅= = =

x xx x sen xL sen x e

14

ESERCIZI sul Teorema di De l’Hopital

1) Applicando il Teorema di De l’Hopital, verifica che: 2

1

3 4lim 5ln→

+ − =x

x xx

2) Verifica che 3 2

3 22

3 4lim 35 8 4→

− + =− + −xx x

x x x a) scomponendo e semplificando (per due volte di seguito)

b) applicando de l’Hopital (per due volte di seguito)

3) Verifica applicando il Teorema di de l’Hopital la correttezza dei limiti seguenti, osservando comunque che per determinarli sarebbe sufficiente, come è ben noto, considerare i gradi dei polinomi in gioco:

3 2 3 3 2

3 2 2 4 23 4 5 8 14a) lim 1 b) lim c) lim 0

5 8 4 1 1→±∞ →±∞ →±∞

− + − + + += = ±∞− + − + + − +x x xx x x x x x x

x x x x x x x=

4) Considera i limiti notevoli seguenti (già noti) e ritrova i loro valori applicando de l’Hopital:

a) 0

lim 1→

=x

sen xx b)

0lim→

=x

sen ax abx b c) 20

1 1lim 2→

−=

xcos xx

d) 0

1lim 0→

−=

xcos xx

e) 0

ln (1 )lim 1→

+=

xx

x f) 0

log (1 )lim log→

+=a

ax

x ex g) 0

1lim 1→

− =x

xe

x h) 0

1lim ln→

− =x

xa ax

i) ESERCIZIO SVOLTO: 0

(1 ) 1lim ,→

+ − = ∈k

xx k kx

RISOLUZIONE: 0 0

11(1 ) 1 (1 )lim lim 1 11H→ →

−−+ − ⋅ += = ⋅ = ⋅ =

k kk

x xx k x k kx k

5) ESERCIZIO SVOLTO

Verifica che, per x che tende a zero,

sul rapporto di funzioni

2

( )( )

π=

x senf x xg x sen x

de l'Hospital NON è applicabile perché il rapporto delle derivate non tende ad alcun limite; ciononostante, il limite di f ( ) / ( )x g x , per x che tende a zero, esiste (e vale 0).

Questo bel controesempio mostra che De l’Hopital esprime una condizione SUFFICIENTE, MA NON NECESSARIA, per l’esistenza del limite in questione.

RISOLUZIONE: 22

'( )'( )

π⋅ +

=

x sen xxf xg x

2π π⋅ ⋅ −cos x x 2 π ππ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅ − ⋅⎝ ⎠ =

⎛ ⎞x sen cosx x

s x cos xco

quindi, in effetti,il rapporto delle derivate

non tende ad alcun limite al tendere di x a 0:

1 1 1 1

1

2

tende a zerooscilla oscillatende fra e fra ea zero

tende a

x sen cosx x

cos x

− −

⋅ − ⋅π ππ

Ed ecco ora,

SENZA ovviamentede l’Hopital,

il calcolo del limite:

2

0 0 0

1 11( )lim lim lim 0( )

ππ

→ → →

−

= = ⋅ ⋅ =x x x

oscillatende tende fra ea a zerox senf x xx x seng x sen x sen x x

6) Stabilisci se è possibile applicare de l’Hopital alla determinazione del limite seguente: lim→∞

−+x

x sen xx sen x

Verifica, comunque, dividendo per x sia il numeratore che il denominatore, che tale limite vale 1.

15 7) Verifica, col Teorema di de l’Hopital, i limiti notevoli seguenti:

a) lim→+∞

= +∞x

xex b) 4lim

→+∞= +∞

x

xex

c) lnlim 0→+∞

=x

xx

d) ESERCIZIO SVOLTO: lim 2, 3, 4, 5, ...→+∞

= +∞ ∀ =xnx

e nx

RIS.: 1 2H H Hlim lim lim ... lim lim( 1)( 2) ... 2 1 !( 1)− −→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= = = = =− − ⋅ ⋅ ⋅−

x x x x xn n nx x x x x

e e e e en n n nx n x n n x

= +∞

e) ESERCIZIO SVOLTO: lnlim 0 2, 3, 4, ...→+∞

= =nxx n

x

RIS.: 1

0( . 7 ) 0

ln ln 1lim lim 0−→+∞ →+∞= ⋅n nx x

tende aes c tende a

x xxx x

= .

In alternativa: 1 1H

1ln 1 1 1lim lim lim lim 0− −→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= = ⋅ =n nn nx x x xx x

xx nn x n x=

x

f) ESERCIZIO SVOLTO: 4lnlim 0

→+∞=

xx

x

3 24 3

2

H H

H H

1 14ln 12lnln 4ln. lim lim lim lim1 11 124ln 2412ln 24ln 24lim lim lim lim lim 01 1

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞ →+∞

⋅ ⋅= = = =

⋅ ⋅= = = = =

x x x x

x x x x x

x xx xx xRIS x x

xx xx xx x =x

8) Servendoti del Teorema di de l’Hopital, calcola i limiti seguenti (risultati in fondo alla pagina):

g) lim lim ...−→−∞ →−∞⋅ = =x

xx xxx e

e h)

44lim lim ...−→−∞ →−∞⋅ = =x

xx xxx e

e i)

0 0

lnlim ln lim ...1→ + → += =

x xxx x

x

l) 3

464lim ...2→

− =−x

xx

m) 3 64lim ...

2→+∞

− =−x

xx

n) 33 1lim ...

4 2 5 7→+∞

+ − =+ +x

xx

o) ( )2

2lim ...ln 3 5 7→±∞

− =+ +x

xx x

p) 3 2

3 8lim ...

1

+

→+∞=

+ + +

x

xe

x x x q)

( )4

ln 5 11lim ...−→+∞

+=xx

xe

r) 3

3lim lim ...−→+∞ →−∞

= =xxx x

xx ee

s) 2

20 0

lnlim ln lim ...1→ + → += =

x xxx x

x

t) ( )2 2

lim 2 lim ...12

π ππ

π→ →

− = =

−x x

tg xx tg x

x

u) ( ) ( )22 2 20 0 0 0 0

2

ln ln lnlim lim lim ... ' lim ln lim ...1⎡ ⎤⎣ ⎦

→ + → + → + → + → +⋅= = = =

x

x x x x xx x x xx e e perché con de l Hospital si ha x x

x

x =

v) ( )0

1/lim ...→

+ =xx

xe x w)

1

11lim ...−

→=x

xx z)

1

1lim ...ln 1→

⎛ ⎞− =⎜ ⎟−⎝ ⎠xx

x x

RISULTATI : g) 0 h) i) 0 l) 192 m) 0 +∞ n) +∞ o) ±∞ p) +∞ q) r) s) 0 0 0 t) u) 1, essendo uguale a 0 il limite dell’esponente v) w) 1/ z) 0 2e e 1/ 2−