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UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
UNIDAD AJUSCO
“SUMA Y RESTA DE FRACCIONES EN ALUMNOS DE 4° GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA”
TESIS PROFESIONAL
PARA OBTENER EL TITULO DE:
LICENCIADAS EN PSICOLOGIA EDUCATIVA
PRESENTAN:
REYES CASTILLO ALEJANDRA
TORRES MORENO FABIOLA
ASESOR: MAESTRO PEDRO BOLLÁS GARCÍA MÉXICO, D.F. JUNIO 2009
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ÍNDICE
Página
Resumen
……………………………………………………………………………
Introducción…………………………………………………………………………
Planteamiento del problema
………………………………………………………
Justificación
…………………………………………………………………………
1
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CAPÌTULO 1. MARCO TEÓRICO I LAS FRACCIONES EN EL CURRÍCULO DE EDUCACIÓN PRIMARIA 1. FINES DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN PRIMARIA …………….
1.1 Plan y programas de estudio de educación primaria…………………
1.1.1 Organización del plan de estudios ………………..…………………….
1.1.2 Propósitos generales …………………………….………………………
1.1.3 Organización general de los contenidos …………………………...
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III ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
2.1 Enseñar matemáticas en la etapa de 6 a12 años ………………..…….
2.2 La formación de conceptos …………………………………..…………...
2.3 Teoría de las situaciones didácticas …………….………………………
2.3.1 Modelo llamado normativo”…………………….……………………….
2.3.2 Modelo llamado “incitativo”……………….…………………................
2.3.3 Modelo llamado “aproximativo” …………..…………………………….
2.3.4 Modelo llamado “apropiativo” …………….…………………………….
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1.3 PERMANENCIA DE LAS FRACCIONES EN EL CURRÍCULO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
3.1 Argumentos utilizados para la no inclusión de las fracciones ……….
3.2 Argumentos utilizados para la inclusión de las fracciones en el
currículo…………………………………………………………………………
…
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3
IV. FRACCIONES 4.1 Definición ………………………………………………………….............
4.2 Importancia social y cultural de las fracciones ………………………..
4.3 Utilización de las fracciones en el lenguaje cotidiano ………………..
4.4 Fracciones más utilizadas ……………………………………………….
4.5 Dificultades de los niños en el aprendizaje de las fracciones ……….
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V. INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES
5.1 La relación parte todo …………………………………………………….
5.2 Las fracciones como cociente …………………………………………..
5.3 Las fracciones como razón ……………………………………………...
5.4 Las fracciones como operador ………………………………………….
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VI REPRESENTACIONES Y MODELOS PARA LAS FRACCIONES
6.1 Representaciones ………………………………………………………..
6.2 Modelos……………………………………………………………………
6.2.1 Modelo lineal ……………………………………………………….....
6.2.2 Modelo de área ………………………………………………............
6.2.3 Modelo de conjunto ………………………………………….............
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VII SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
7.1 Suma de fracciones con igual denominador …………………………..
7.2 Suma de fracciones con diferente denominador ……………………...
7.3 Resta de fracciones con igual denominador …………………………..
7.4 Resta de fracciones con diferente denominador ……………………...
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4
RESUMEN
El presente trabajo tiene por objetivo diseñar, aplicar y evaluar un programa
para la enseñanza de la suma y resta de fracciones en alumnos de 4º de
primaria basado en la resolución de problemas.
La investigación se llevó a cabo en una escuela pública ubicada en la
Delegación Tlalpan. La muestra fueron 27 alumnos con una edad
aproximada de 9 años que cursan el 4° de primaria.
Para indagar el nivel de conocimiento en el que se encontraban los sujetos
se diseñó un cuestionario que consta de 22 preguntas cuyos contenidos son:
noción de fracción, fracción unitaria, equivalencia de fracciones, orden de las
fracciones, suma y resta de fracciones con igual y diferente denominador.
El diseño del programa de intervención está basado en el modelo llamado
“apropiativo” que utiliza el problema como recurso del aprendizaje, el cual
está centrado en la construcción del saber por parte del alumno.
El programa de intervención estuvo conformado por seis unidades didácticas,
y tuvo la finalidad de reforzar los contenidos de noción de fracción, fracción
unitaria, equivalencia de fracciones, orden de las fracciones, suma y resta de
fracciones con igual y diferente denominador.
El análisis cualitativo y cuantitativo muestra que los alumnos tuvieron algunos
avances en cuanto al uso de la suma y la resta de fracciones en la
resolución de problemas, después de la aplicación del programa de
intervención. Sin embargo, surgieron algunos factores que no fueron
considerados en la investigación, como el que los alumnos tenían un buen
manejo en algunos conceptos básicos sobre las fracciones.
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INTRODUCCIÓN
A partir de la reforma del Plan y Programa de 1993 de educación primaria se
considera a las matemáticas como un producto del quehacer humano y su
proceso de construcción está sustentado en abstracciones sucesivas. Así
mismo, menciona que las matemáticas permiten la resolución de problemas
en diversos ámbitos como el científico, el técnico, el artístico y de la vida
cotidiana, por lo que actualmente se propone un enfoque basado en la
resolución de problemas el cual favorecerá el aprendizaje de los contenidos
(SEP, 1993).
Sin duda las matemáticas siempre han presentado un alto grado de dificultad
para el sujeto. Uno de los contenidos en los que el grado de dificultad es
mayor es el aprendizaje de las fracciones, debido a que los alumnos no sólo
deberán acostumbrarse a sus usos en diferentes contextos y a las diferentes
representaciones de un número fraccionario, sino también a nuevos
significados y formas de operar (Corial, 2001).
Para Kieren (en Llinares y Sánchez, 1997) el estudio de las fracciones es de
gran importancia ya que permite el desarrollo de nociones útiles para temas
más avanzados como el razonamiento proporcional y el estudio de las
expresiones racionales en el álgebra.
Se debe tener en cuenta que en la construcción de los conocimientos
matemáticos (suma y resta de fracciones), los niños parten de experiencias
concretas, las cuales se ven enriquecidas a través del diálogo, la interacción
(con los compañeros y el maestro) y la confrontación de puntos de vista. Por
ello es necesario que a la hora de diseñar un programa de intervención se
consideren, seleccionen, organicen y creen situaciones en las que se
favorezca el aprendizaje de ciertas nociones y procedimientos.
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Por lo anterior, Charnay (1994) propone un modelo que le asocia un sentido
diferente al concepto de problema. El modelo “apropiativo” el cual considera
la resolución de problemas como fuente, lugar y criterio de la elaboración
(construcción) del saber. De esta manera para Panizza (2003) el alumno es
“puesto en acción” al plantearle una situación problemática, para lo cual
busca un procedimiento de solución. Dicha situación es tal que, partiendo de
lo que ya conoce, y utilizando todos los recursos a su alcance, el estudiante
puede inferir diferentes procedimientos para obtener una solución, ponerlos a
prueba para descubrir los que le permiten una solución válida (formulación-
validación), e inclusive probar la eficacia de un procedimiento en situaciones
similares o en nuevas situaciones con diferentes obstáculos (variable
comando), para finalmente llegar a un punto en que el maestro relacione las
producciones de los alumnos con el conocimiento formal
(institucionalización).
La educación básica en México, respecto a las matemáticas se centra en la
aritmética y el álgebra a través de la resolución de problemas, por ello, la
enseñanza de la suma y resta de fracciones a través de la resolución de
problemas es el punto de interés del presente trabajo.
La finalidad del presente trabajo es proporcionar nuevas estrategias que
favorezcan la enseñanza de la suma y resta de fracciones, y que al mismo
tiempo proporcionen a los alumnos contextos reales en los que utilicen,
relacionen y apliquen la suma y resta de fracciones.
Para facilitar su lectura, el documento se ha organizado en tres capítulos. En
el primer capítulo se incluye el sustento teórico de esta investigación en el
que se abordan aspectos concernientes a la enseñanza y aprendizaje de la
suma y resta de fracciones, así como la explicación del modelo utilizado para
el programa de intervención.
7
En el segundo capítulo se hace referencia a los aspectos metodológicos de
la investigación es decir: número de sujetos con los que se trabajó,
escenario, instrumentos utilizados, su evaluación, diseño de la investigación
y el procedimiento.
Finalmente, en el tercer capítulo se incluye lo referente al análisis de datos
que se realizó en tres partes: análisis cuantitativo, análisis de contenidos y
análisis cualitativo. Así mismo, se incluyen las conclusiones resultantes de la
confrontación de la parte teórica y de los resultados obtenidos en el
programa de intervención y de la aplicación del pretest y postest. Es
importante mencionar que en este último capítulo también se incluye un
apartado de limitaciones y sugerencias de la investigación que puedan
ayudar para futuras investigaciones.
8
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
A partir de la reforma del Plan y Programas de educación primaria (SEP,
1993) se considera a las matemáticas como un producto del quehacer
humano y su proceso de construcción está sustentado en abstracciones
sucesivas. Así mismo, las matemáticas permiten la resolución de problemas
en diversos ámbitos como el científico, el técnico, el artístico y de la vida
cotidiana. Es bien sabido que cuando el niño ingresa a la escuela llega con
conocimientos sobre cómo solucionar determinados problemas, por ello, es
necesario proporcionarle determinados conocimientos que le permitan llegar
a la solución de manera rápida y eficaz.
De esta manera, en la construcción de los conocimientos matemáticos, los
niños parten de experiencias concretas, las cuales se ven enriquecidas a
través del diálogo, la interacción (con los compañeros y el maestro) y la
confrontación de puntos de vista. Por lo tanto, el éxito en el aprendizaje de
esta disciplina depende, en buena medida, del diseño de actividades que
promuevan la construcción de conceptos. En esas actividades las
matemáticas serán para el niño herramientas funcionales y flexibles que le
permitirán resolver las situaciones problemáticas que se le plantean, fuera y
dentro del aula.
Dentro de las matemáticas, uno de los contenidos en los que se presenta
mayor grado de dificultad es el aprendizaje de las fracciones, debido a que
los alumnos no sólo deberán acostumbrarse a su uso en diferentes contextos
y a las diferentes representaciones de un número fraccionario, sino también
a nuevos significados y formas de operar. Por lo que su aprendizaje no es
fácil, y debido a esto muchos alumnos terminan la educación secundaria y
llegan a niveles superiores con un dominio insuficiente de las fracciones a
pesar de que su enseñanza comienza desde la primaria.
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Pero el estudio de las fracciones es importante porque permite el desarrollo
de nociones útiles para el conocimiento de temas más avanzados como son
el razonamiento proporcional y el estudio de las expresiones racionales en el
álgebra, entre otros (Kieren; citado en Llinares y Sánchez, 1997).
Por lo tanto, es necesario que el docente seleccione, organice y cree
situaciones en las que se favorezca el aprendizaje de ciertas nociones y
procedimientos, ccon el fin de que los procedimientos para operar con
fracciones no resulten misteriosos e incomprensibles. Así mismo, es
necesario diseñar actividades y problemas que permitan a los alumnos
desarrollar y comprender en primer lugar las noción de fracción y después
introducir al alumno en las operaciones con fracciones (para el caso que nos
ocupa suma y resta de fracciones) que le permitan al alumno resolver
problemas de la <<vida cotidiana>>. De esta manera se estaría creando en
los alumnos un gusto por las fracciones, y en general por las matemáticas,
ya que, el interés surge al ver que las actividades realizadas dentro de las
escuela son utilizadas no sólo para el desarrollo de un tema escolar, sino que
son útiles y necesarios para otros de sus compañeros y en especial para
actividades que ellos realizan fuera de la escuela. (Vázquez, 2003)
Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas que han
sido traducidas en otros problemas de tal forma que uno de los objetivos
esenciales de la matemática es que la enseñanza este cargada de
significado para el alumno. En relación a esto Panizza (2003), menciona que
la didáctica de las matemáticas tiene como objetivo descubrir e interpretar los
fenómenos y procesos ligados a la adquisición y transmisión del
conocimiento matemático.
Retomando el párrafo anterior, a esta teoría de las situaciones didácticas se
le otorga un rol fundamental a la “situación” en la construcción del
conocimiento. Así mismo, se le llama situación al “modelo de interacción de
10
un sujeto con cierto medio que determina a un conocimiento dado como el
recurso del que dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio
un estado favorable” (Panizza, 2003,60)
Por lo tanto, esta autora menciona que la situación didáctica es una
situación construida intencionalmente partiendo de una situación problema
con el fin de hacer adquirir a los alumnos un saber determinado, definiéndola
a través del conjunto de relaciones que se establecen entre un alumno o
grupo de alumnos en cierto medio el cual comprende los instrumentos u
objetos a utilizar y un sistema educativo representado por el profesor o
experto a cargo, con el objetivo de lograr que los alumnos se apropien de un
determinado saber.
En la tendencia tradicional, los problemas se consideran como enunciados
en los que aparece una pregunta y se espera que el niño, con papel y lápiz
lleve a cabo, con el algoritmo convencional, una o varias operaciones para
encontrar un resultado, generalmente un número. En otra perspectiva de la
resolución de problemas, asumida en el enfoque de los nuevos planes y
programas para la educación básica (SEP, 1993) y compartida por diversos
grupos de investigadores de la enseñanza de las matemáticas en los
diferentes niveles educativos, el problema tiene un sentido más amplio.
Corresponde a situaciones ricas que le permitan al niño usar los
conocimientos adquiridos y desplegar diversos recursos, promoviendo la
construcción de conocimientos. En esta perspectiva, la resolución de una
situación problemática no siempre termina con una cantidad, no siempre
tiene una respuesta única y admite, desde luego, la utilización de diversos
procedimientos para llegar a la solución.
El planteamiento que hace referencia a que al concepto de problema puede
asociársele un sentido diferente al utilizado tradicionalmente, nos permite
introducirnos a la interpretación de un esquema presentado por Charnay
11
(1994), a partir del cual se trata de precisar las características de estas
relaciones en la resolución de problemas a partir de lo que el llama el modelo
“apropiativo” en donde el problema es utilizado como recurso de aprendizaje.
Desde esta posición, la resolución de problemas tiene la función de ser
fuente, lugar y criterio de la elaboración (construcción) del saber. El alumno
es “puesto en acción” al plantearle una situación problemática, para la cual
busca un procedimiento de solución. Dicha situación es tal que, partiendo de
lo que ya conoce, y utilizando todos los recursos a su alcance, el estudiante
puede inferir diferentes procedimientos (formulación-validación) para obtener
una solución, ponerlos a prueba para descubrir cuál o cuáles le permiten una
solución válida, e inclusive probar la eficacia de un procedimiento en
situaciones similares o en nuevas situaciones con diferentes obstáculos, a
partir de esto las situaciones requieren no sólo la formulación sino también
la confrontación de juicios en primer lugar por parte de los alumnos y
posteriormente por el profesor.
Por lo anterior, en la presente investigación nos preguntamos si ¿Un programa de intervención, basado en la resolución de problemas, favorece el aprendizaje de la suma y resta de fracciones en alumnos de 4° grado de primaria?
Por lo anterior y para llevar a cabo la investigación se plantean los siguientes
objetivos:
OBJETIVO GENERAL
Diseñar, aplicar y evaluar un programa para la enseñanza de la suma y resta
de fracciones en alumnos de 4° de primaria, basado en la resolución de
problemas.
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OBJETIVOS PARTICULARES
• Aplicar una evaluación inicial.
• Diseñar y aplicar un programa de intervención.
• Evaluar el programa de intervención.
• Realizar una evaluación final.
• Realizar un análisis comparativo.
• Analizar los resultados de la aplicación del programa de intervención.
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JUSTIFICACIÓN
Dada la inquietud que prevalece en la actualidad sobre la problemática que
representa la enseñanza de las fracciones en los diferentes niveles
educativos, se considera necesario realizar el diseño de propuestas que
permitan mejorar la enseñanza de las fracciones.
Dicha propuesta basada en la resolución de problemas pretende plantear
situaciones problemáticas cuidadosamente seleccionadas y/o diseñadas por
el docente, y en su caso por los expertos que permitan al estudiante usar los
conocimientos que ya posee y desplegar sus recursos de manera creativa
para llegar a proponer respuestas a la situación planteada para llegar a la
solución del problema. En base a esto nuestra propuesta se basa en un
modelo en donde a partir de un problema se busca que el alumno, en
interacción con otros, busque a partir de sus conocimientos previos la
solución a dicho problema y en donde la explicación formal que dé el docente
partirá de las producciones de cada niño.
Por ello y por la importancia que se da a que los alumnos logren aprender,
dentro del ámbito de las matemáticas la suma y la resta de fracciones a
través de la resolución de problemas, se propone realizar una investigación
con la intención de identificar si un programa de intervención, basado en la
resolución de problemas, favorece el aprendizaje de la suma y resta de
fracciones en alumnos de 4° de primaria cuyo objetivo es que éstos sean
capaces de usar los conocimientos adquiridos para resolver algunos
problemas de la vida cotidiana, así como que lleguen a poseer elementos
indispensables que le auxilien a mejorar su aprovechamiento escolar en
niveles posteriores.
En resumen con esta investigación se pretende una mejor enseñanza y
aprendizaje de la suma y resta de fracciones en donde los beneficiados
14
serán por una parte los alumnos y por otra se buscara ofrecer al docente una
herramienta que le permita conocer otro método para la enseñanza de los
contenidos matemáticos. A partir de lo anterior la relevancia teórica de esta
investigación radica en verificar si el enfoque basado en la resolución de
problemas, el cual es actualmente propuesto por los Planes y Programas
(SEP, 1993) realmente favorece el aprendizaje de los contenidos
matemáticos; así como dar a conocer a los docentes la propuesta de
enseñanza de las matemáticas que propone dicho programa ya que ésta es
hasta el momento desconocida por los docentes.
15
CAPÍTULO 1. MARCO TEÓRICO
LAS FRACCIONES EN EL CURRICULO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
I. FINES DE LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA EN PRIMARIA
Objetivos de la Educación Primaria En términos generales se entiende por currículo todo plan de formación. El
currículo de Primaria es el plan de formación legalmente establecido para
los jóvenes de 6 a 12 años. El currículo se estructura legal y formalmente
en términos de objetivos, contenidos, metodología y evaluación; su
regulación es competencia del Gobierno y de las Comunidades
Autónomas, en el caso de España (Corial, 2001).
El currículo de matemáticas para primaria (de España, lo cual va muy
ligado al Plan y Programas de nuestro país, el cual analizaremos más
adelante) destaca tres finalidades generales para justificar la enseñanza y
aprendizaje de esta materia. (Corial, 2001):
1. El carácter formativo de las matemáticas; se deben aprender
porque contribuyen al desarrollo intelectual de cada persona. Las
matemáticas tienen un alto valor formativo porque desarrollan las
capacidades de razonamiento lógico, simbolización, abstracción,
rigor y precisión que caracterizan al pensamiento formal. En este
sentido son valiosas ya que permiten lograr mentes bien formadas,
con una adecuada capacidad de razonamiento y organización.
2. La utilidad práctica del conocimiento matemático; las matemáticas
deben estudiarse por su utilidad para desenvolverse en la sociedad
actual, en la cual la organización de la información, los modos de
comunicación y las relaciones económicas. Las matemáticas
aparecen en todas las formas de expresión humana, permiten
codificar información y obtener una representación del medio social
16
y natural, suficientemente potente como para permitir una actuación
posterior sobre dicho medio.
3. La utilización sistemática de las matemáticas para el resto de las
disciplinas; los conceptos y procedimientos matemáticos
proporcionan estructuras para abordar el resto de las disciplinas.
Las matemáticas proporcionan, junto con el lenguaje, uno de los
hilos conductores de la formación intelectual de los alumnos. Son el
lenguaje mediante el cual se formalizan y estructuran las disciplinas
científicas. Por su abstracción permiten estudiar multitud de
fenómenos mediante modelos causales o aleatorios. Los
procedimientos de análisis, cálculo, medida y estimación establecen
relaciones entre aspectos de la realidad, que se estudian mediante
otras disciplinas. Por ello, son una herramienta útil para organizar
otras áreas de conocimiento.
Las finalidades generales se concretan y se hacen operativas con la
delimitación y el enunciado de objetivos. En los documentos para el
currículo de Educación Primaria también se enuncian los Objetivos
Generales del área de Matemáticas (Corial, 2001).
Como se señaló anteriormente, estos objetivos son generales para todo el
sistema educativo durante la Primaria. Deben tenerse en cuenta a lo largo
de todo el período de la educación. Las finalidades y objetivos generales
marcan las prioridades en la contribución que deben hacer las
matemáticas al proceso general de la educación de niños y adolescentes.
Para Corial (2001), desde una perspectiva global, la enseñanza de las
matemáticas debe satisfacer las necesidades formativas y de desarrollo
de las capacidades cognitivas y afectivas de los escolares; también debe
considerar las finalidades sociales, que comprenden el dominio de
destrezas matemáticas básicas por todos los ciudadanos y formación de
17
profesionales cualificados, productores de conocimientos matemáticos.
Finalmente, la enseñanza de las matemáticas debe estar orientada por
principios éticos, dirigida a la consecución de valores democráticos y
vinculados al ejercicio fundado de la crítica.
1.1 Plan y programas de estudio de educación primaria en México
La educación primaria ha sido a través de nuestra historia el derecho
educativo fundamental al que han aspirado los mexicanos. Según el Plan y
Programas de Educación Primaria (1993), se concibe formar una escuela
para todos, con las condiciones de vida de las personas y el progreso de la
sociedad, lo cual ha sido una de las demandas populares más sentidas.
Uno de los propósitos centrales del Plan y los Programas de estudio es
estimular las habilidades que son necesarias para el aprendizaje
permanente. Por esta razón, se ha procurado que en todo momento, la
adquisición de conocimientos esté asociada con el ejercicio de habilidades
intelectuales y de la reflexión. Con ello, se pretende superar la antigua
disyuntiva entre enseñanza informativa o enseñanza formativa, bajo la tesis
de que no puede existir una sólida adquisición de conocimientos sin la
reflexión sobre su sentido, así como tampoco es posible el desarrollo de
habilidades intelectuales si éstas no se ejercen en relación con
conocimientos fundamentales (SEP, 1993).
1.1.1 Organización del plan de estudios
La orientación adoptada para la enseñanza de las matemáticas pone mayor
énfasis en la formación de habilidades para la resolución de problemas y el
desarrollo del razonamiento matemático a partir de situaciones prácticas.
Este enfoque implica, entre otros cambios, suprimir como contenidos las
nociones de lógica de conjuntos y organizar la enseñanza en torno a seis
líneas temáticas: los números, sus relaciones y las operaciones que se
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realizan con ellos; la medición; la geometría, a la que se le otorgan mayor
atención; los procesos de cambio, con hincapié en las nociones de razón y
proporción; el tratamiento de información y el trabajo sobre preedición y azar
(SEP, 1993).
Para la SEP (1993) las matemáticas son un producto del quehacer humano y
su proceso de construcción está sustentado en abstracciones sucesivas.
Muchos desarrollos importantes de esta disciplina han partido de la
necesidad de resolver problemas concretos, propios de los grupos sociales.
En la construcción de los conocimientos matemáticos, los niños también
parten de experiencias concretas. Paulatinamente, y a medida que van
haciendo abstracciones, pueden prescindir de los objetos físicos. El diálogo,
la interacción y la confrontación de puntos de vista ayudan al aprendizaje y a
la construcción de conocimientos; así, tal proceso es reforzado por la
interacción con los compañeros y con el maestro. El éxito en el aprendizaje
de esta disciplina depende, del diseño de actividades que promuevan la
construcción de conceptos a partir de experiencias concretas y en la
interacción con los otros. En esas actividades las matemáticas serán para el
niño herramientas funcionales y flexibles que le permitirán resolver las
situaciones problemáticas que se le planteen.
Así mismo dicho programa, considera que las matemáticas permiten resolver
problemas en diversos ámbitos, como el científico, el técnico, el artístico y de
la vida cotidiana. Si bien todas las personas construyen conocimientos fuera
de la escuela que les permiten enfrentar dichos problemas, esos
conocimientos no bastan para actuar eficazmente en la práctica diaria. Los
procedimientos generados en la vida cotidiana para resolver situaciones
problemáticas muchas veces son largos, complicados y poco eficientes, si se
les compara con los procedimientos convencionales que permiten resolver
las mismas situaciones con más facilidad y rapidez.
19
El contar con las habilidades, los conocimientos y las formas de expresión
que la escuela proporciona permite la comunicación y comprensión de la
información matemática presentada a través de medios de distinta índole.
En el Plan y Programas de Educación Primaria (1993) se considera que una
de las funciones de la escuela es brindar situaciones en las que los niños
utilicen los conocimientos que ya tienen para resolver ciertos problemas y
que, a partir de sus soluciones iniciales, comparen sus resultados y sus
formas de solución para hacerlos evolucionar hacia los procedimientos y las
conceptualizaciones propias de las matemáticas.
1.1.2 Propósitos generales
Los alumnos en la escuela primaria deberán adquirir conocimientos básicos
de las matemáticas y desarrollar (SEP, 1993):
•La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para
reconocer, plantear y resolver problemas.
•La capacidad de anticipar y verificar resultados.
•La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.
•La imaginación espacial.
•La habilidad de estimar resultados de cálculos y mediciones.
•La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y
cálculo.
•El pensamiento abstracto a través de distintas formas de razonamiento,
entre otras, la sistematización y generalización de procedimientos y
estrategias.
Por lo que, para elevar la calidad del aprendizaje es indispensable que los
alumnos se interesen y encuentren significado y funcionalidad en el
conocimiento matemático, que lo valoren y hagan de él un instrumento que
20
les ayude a reconocer, plantear y resolver problemas presentados en
diversos contextos de su interés.
1.1.3 Organización general de los contenidos
La selección de contenidos de esta propuesta descansa en el conocimiento
que actualmente se tiene sobre el desarrollo cognoscitivo del niño y sobre los
procesos que sigue en la adquisición y la construcción de conceptos
matemáticos. Los contenidos incorporados al currículo se han articulado en
base a seis líneas temáticas (mencionados en la página 14) (SEP, 1993).
La organización por líneas temáticas permite que la enseñanza incorpore de
manera estructurada no sólo contenidos matemáticos, sino el desarrollo de
ciertas habilidades y destrezas fundamentales para la buena formación
básica en matemáticas. Para los fines de este trabajo únicamente nos
enfocaremos en una línea temática, la cual se presenta a continuación.
Los números, sus relaciones y sus operaciones
Para la SEP (1993), los contenidos de esta línea se trabajan desde el primer
grado con el fin de proporcionar experiencias que pongan en juego los
significados que los números adquieren en diversos contextos y las
diferentes relaciones que pueden establecerse entre ellos. El objetivo es que
los alumnos, a partir de los conocimientos con que llegan a la escuela,
comprendan más cabalmente el significado de los números y de los símbolos
que los representan y puedan utilizarlos como herramientas para solucionar
diversas situaciones problemáticas. Dichas situaciones se plantean con el fin
de promover en los niños el desarrollo de una serie de actividades,
reflexiones, estrategias y discusiones, que les permitan la construcción de
conocimientos nuevos o la búsqueda de la solución a partir de los
conocimientos que ya poseen.
21
Las operaciones son concebidas como instrumentos que permiten resolver
problemas; el significado y sentido que los niños puedan darles deriva,
precisamente, de las situaciones que resuelven con ellas (SEP, 1993).
Para ello, el libro de texto gratuito en cada una de sus lecciones aborda la
manera en que los alumnos puedan resolver problemas a partir de
situaciones de la vida cotidiana y que de esta forma ellos puedan darles un
significado y sentido a las situaciones que están aprendiendo:
Ejemplo. Las siguientes recetas están hechas a base de verduras. Encuentra las
cantidades necesarias para 3 raciones y para 12 raciones.
Verdolagas con queso.
INGREDIENTES 6 RACIONES 3 RACIONES 12 RACIONES
Verdolagas ½ Kg. Queso Chihuahua ¼ Kg. Tomate verde ½ Kg. Cebolla 1 pieza
Así, a través de cuestiones de la vida cotidiana, el niño construye los
significados de las operaciones y les encuentra un sentido, además por
medio de este tipo de ejercicios se trata de que el niño no vea las
operaciones como algo aislado, sino que las asocie dándoles un sentido y
una utilidad.
La resolución de problemas entonces, a lo largo de la primaria, es el sustento
de los nuevos programas. A partir de las acciones realizadas al resolver un
problema (agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante, sumar
reiteradamente, repartir, medir, etc.) el niño construye los significados de las
operaciones.
G. Polya (citado en Martinon, 2000), plantea la actividad de resolución de
problemas como un arte en el que la imitación del maestro y la práctica
ayudan a interiorizar un modo de hacer. Éste se basa en un proceso que
22
comprende las conocidas cuatro frases: comprender el problema, concebir
un plan, llevarlo adelante y revisarlo, que van ayudando a desbrozar el
camino que conduce a la solución. Durante el proceso es importante prestar
atención a las decisiones que se van tomando, las razones que mueven a
ello, a dónde pueden llevar y plantearse si conviene seguir en la misma
dirección o cambiar.
De esta manera el mismo autor, menciona que el profesor ha de tener un
papel muy activo animando al trabajo, a veces arduo, desbloqueando,
proporcionando contraejemplos, sugiriendo particularizaciones y
generalizaciones, tratando de que cada alumno dé de sí lo mejor que pueda
dar. Así puede guiar a una clase, aunque las sugerencias y preguntas no
estén adaptadas a cada alumno.
Estas orientaciones sólo ayudan si las actitudes y creencias sobre la
resolución de problemas y la actividad autorreguladora que desarrollan los
estudiantes durante el proceso son adecuadas. Normalmente es necesario
enseñarles a ser concientes de estos aspectos, a regular sus acciones en
contextos y aprendizajes específicos, a que aprendan qué, cómo y cuándo
tomar decisiones. Esto es difícil y a menudo exige “desestabilizar y
desaprender” aquellos modos de proceder inapropiados que han favorecido
experiencias previas. (Martinon, 2000)
En los planes y programas de educación primaria de la SEP (1993) el grado
de dificultad de los problemas que se plantean va aumentando a lo largo de
los seis grados. El aumento en la dificultad no radica solamente en el uso de
números de mayor valor, sino también en la variedad de problemas que se
resuelven con cada una de las operaciones y en las relaciones que se
establecen entre los datos.
23
Respecto a las cuestiones tratadas anteriormente, en el libro de texto
gratuito, de matemáticas cuarto grado, los ejercicios planteados se presentan
primero con una recta numérica en la cual el niño debe realizar la operación,
dicha recta puede tomar el papel de ayuda. Posteriormente se presentan los
algoritmos iniciando con el uso de representaciones (como la recta numérica)
para facilitar a los niños la resolución de la operación.
A continuación se presentan algunos ejemplos de actividades que planea el
libro de texto gratuito de cuarto grado, en donde se nota que el grado de
dificultad de las actividades va en aumento:
Lección 64: Bloque 4, 4a lección: Animales que saltan
La pulga, el conejo y el canguro se desplazan por medio de saltos. El dibujo de
abajo muestra que el canguro avanza una unidad cada salto.
Observa el dibujo de arriba y contesta las siguientes preguntas:
El canguro sale del 0 y salta 5 veces. ¿A qué numero llega? R= _______
¿Cuántas veces tiene que saltar el conejo para igualar un salto e canguro?_________
El conejo salió de 3/10 y llego a 1+2/10. ¿Cuántas veces saltó?
Comenta tu respuesta con tus compañeros y tu maestro.
Las preguntas del libro van avanzando de esta manera hasta que al final de la
lección los ejercicios son de la siguiente forma:
1 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1+ 1 20 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
24
Lección 65: Bloque 4, 5a lección. Esferas de plastilina
Observa que:
Peso de los zapatos
Mas o menos Peso de la esfera
Es igual a Peso de la fruta
2/4 + ¼ = ¾
En algunas lecciones al final de la práctica se termina con unos ejercicios en donde
se ve claramente que son sumas y restas de fracciones como los siguientes: A)
3/8+2/8=______; B) 1/4+2/4=_______ ; C) 5/8-3/8=______
A través de los ejemplos anteriores se puede apreciar claramente que en el
libro de texto gratuito de matemáticas de cuarto grado se ve reflejado lo que
intenta promover el plan y programas de educación primaria (1993). Además
otro aspecto muy importante es que dicho plan pone cierto énfasis en el
diálogo y en la interacción, tanto con el profesor como con los iguales, lo cual
se aprecia en el ejemplo anterior, y tanto el diálogo como la interacción
cumplen la función, en este caso, de ayudar al aprendizaje y la construcción
del conocimiento.
II. ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS
2.1 Enseñar matemáticas en la etapa de 6 a 12 años
Hay preguntas a las cuales los maestros y las maestras de primaria deberían
responder desde una posición meditada, por ejemplo:
• ¿Qué quiere decir saber matemáticas?
• ¿Qué quiere decir entender las matemáticas?
• ¿Cuál es la importancia del conocimiento matemático en la vida
cotidiana?
• ¿Cuál es el papel de las matemáticas en la formación del alumnado
en esta etapa?
25
• ¿Por qué fracasan tantos alumnos?
• ¿Todo el mundo puede disfrutar de las matemáticas?
Tanto si el enseñante tiene claramente planteadas las respuestas a las
cuestiones anteriores como si no, su trabajo estará mediatizado por sus
concepciones, conscientes o subconscientes, de hecho será mejor que sean
conscientes porque así podrá autoevaluarse y no se dejará llevar por
entusiasmos o desánimos emocionales (Alsina, 1998).
Muchas veces hemos observado cómo una misma información es
interpretada de muy distintas maneras por personas de ideologías diferentes.
Parece lógico, entonces, que en un proceso tan complejo como el que se
desarrolla en una clase las teorías subjetivas del profesor, sus actitudes
creencias y expectativas, jueguen un papel relevante.
Por su parte Brommer y Brophy (citados en Llinares y Sánchez, 1997)
mencionan que hoy en día se le da especial importancia a lo que piensa un
profesor sobre su propia actuación como profesor de matemáticas, sobre las
matemáticas en general (en este caso en concreto sobre las fracciones), su
opinión sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje, etc., ya que de alguna
manera estas ideas actúan como un filtro a la hora de transformar la
información teórica en recursos prácticos.
Lo anterior tiene gran importancia ya que las ideas del profesor condicionan
sus decisiones, tanto en relación al contenido, como a su selección,
planificación y en la evaluación del proceso. También es de vital importancia
para poder maximizar el resultado de las conexiones entre la teoría y la
práctica cotidiana, ayudando a formar profesionales reflexivos y no simples
transmisores de ideas de otros (Llinares y Sánchez, 1997).
Por otra parte, para Alsina (1998), lo más importante en nuestra época es el
cambio. Los enseñantes deben estar preparados para formar ciudadanos y
26
ciudadanas del presente y del futuro. Las necesidades de conocimientos
matemáticos son diferentes de las de hace treinta años y los medios que
tenemos a nuestro alcance también. Hoy es necesario un conocimiento que
permita aplicar las matemáticas a situaciones cotidianas, laborales y
científicas, lo que no es factible sin su comprensión. La concepción del hecho
de que las matemáticas desarrollen el razonamiento es cierta en la medida
que se hagan comprensibles y respeten el desarrollo cognitivo del alumnado.
En relación a lo anterior este mismo autor menciona, que de los seis a los
doce años los cambios que se producen en el alumnado son muy grandes en
todos los aspectos de su desarrollo. Cada vez es más necesario tener una
actitud abierta hacia las diferencias e ir hacia una concepción del aprendizaje
que no aspire a igualar los conocimientos de los estudiantes en cantidad y
calidad.
Así mismo, Alsina (1998), considera que la importancia de los conocimientos
previos se reconoce como un determinante de los aprendizajes posteriores,
aunque en estas edades el aprendizaje se plantea en áreas de conocimiento
para los chicos y las chicas no tienen demasiado sentido y después para
convertirse en un inconveniente a la hora de aplicar lo que aprenden de
manera creativa.
2.2 La formación de conceptos
Los conceptos matemáticos corresponden a un tipo especial: son
generalizaciones sobre relaciones entre ciertas clases de datos. Cuando se
trata, por ejemplo, de números naturales (1,2,3,4…,etc.), el niño pasa de los
preceptos y de las acciones a los conceptos. Así, si el niño no logra alcanzar
plenamente el concepto de números naturales, y solo llegan a existir en su
mente, aparatos, acciones o circunstancias, su desempeño será muy
limitado, así como los cálculos y operaciones mentales que pueda realizar
con ellos (Lovell, 1986).
27
En el informe del Harvard Comité de 1945 (citado en Lovell, 1986) se señala
que “Las Matemáticas estudian el orden en forma generalizada, haciendo
abstracción de los objetos y fenómenos particulares en que se presenta”. (p.
15) De esta forma los docentes deberían comprender que: las matemáticas
son, ante todo, una actividad mental.
Por otra parte, Lovell (1986) menciona que hay muchos sistemas de
conceptos relacionados con los puramente matemáticos, como son los
numéricos y los espaciales; las matemáticas estudian las relaciones entre
ellos y las operaciones mentales o cálculos a que pueden dar lugar. Para
ayudar al niño a desarrollar sus conceptos matemáticos hay que enseñarles
su lenguaje y sus símbolos. Sin embargo, la comprensión de los conceptos
matemáticos no es todo para la formación de la capacidad matemática. Ésta
exige, además de la comprensión de conceptos y del conocimiento del
lenguaje y de los símbolos, la de los métodos y las demostraciones. Algunas
de estas tienen que ser aprendidas, retenidas y reproducidas; han de ser
combinadas con otros conceptos, símbolos, métodos y demostraciones;
además es necesario operar conjuntamente todo ello y manejarlo para que
sirva a las tareas de las matemáticas. El niño no podrá llegar muy lejos en su
razonamiento matemático a menos que posea los conceptos, aunque no sea
capaz de formular la definición de los mismos en términos verbales.
Hay que recordar que si el concepto ha de ser eficaz y operativo tiene que
llegar a existir en la mente como algo enteramente abstracto, independiente
del material y de la situación (Lovell, 1986).
2.3 Teoría de las situaciones didácticas
Las matemáticas se han construido como respuesta a preguntas, las cuales
han variado en sus orígenes y en sus contextos: problemas de orden
doméstico (división de tierras, cálculo de créditos); problemas planteados en
28
estrecha vinculación con otras ciencias (astronomía, física), etcétera
(Charnay, 1994).
Según este mismo autor, la actividad de resolución de problemas ha estado
en el corazón de la elaboración de la ciencia matemática, esta elaboración
no se realiza sin dificultad. Los problemas a menudo ofrecen resistencia; las
soluciones son casi siempre parciales.
Sin embargo una precisión ante todo: el término “problema” utilizado aquí no
se reduce a la situación propuesta (enunciado-pregunta). Se define, como
una terna: situación-alumno-entorno. En realidad sólo hay problema si el
alumno percibe una dificultad hay entonces, una idea de obstáculo a superar.
(Charnay, 1994). En términos psicológicos se presenta el conflicto cognitivo
en el momento en que el alumno se enfrenta ante una determinada situación
que haga que sus conocimientos previos se confronten con los nuevos.
Entendiendo por problema…???
Uno de los objetivos esenciales de la enseñanza de la matemática es que lo
que se ha enseñado esté cargado de significado para el alumno. En relación
a esto Panizza (2003) menciona que la didáctica de las matemáticas en sus
inicios tenía como objetivo descubrir e interpretar los fenómenos y procesos
ligados a la adquisición y la transmisión del conocimiento matemático.
Para Brousseau (citado en Charnay, 1994) el sentido de un conocimiento
matemático se define:
“No sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución, sino también por el conjunto de concepciones que rachaza, de errores que evita, de economía que procura, de formulaciones que retoma”. (Charnay, 1994, 52)
Retomando lo mencionado en el párrafo anterior en esta teoría se le otorga
un rol fundamental a la “situación” en la construcción del conocimiento. Así
29
mismo, se le llama situación al “modelo de interacción de un sujeto con
cierto medio que determina a un conocimiento dado como el recurso del que
dispone el sujeto para alcanzar o conservar en este medio un estado
favorable” (Panizza, 2003, 60).
La teoría de las situaciones didácticas busca las condiciones para una
génesis artificial de los conocimientos matemáticos bajo la hipótesis de que
estos no se construyen de manera espontánea. Esta teoría aparece para
comprender lo que hacen los profesores y alumnos para producir problemas o
ejercicios adaptados a los saberes. Pero, como todo conocimiento nuevo
algunas de estas “situaciones” requieren de la adquisición anterior de todos
los conocimientos y esquemas necesarios (Panizza, 2003).
Por lo tanto, esta autora menciona que la situación didáctica es una situación
construida intencionalmente con el fin de hacer adquirir a los alumnos un
saber determinado, definiéndola de la siguiente manera:
Un conjunto de relaciones establecidas explícita y/o implícitamente entre un alumno o un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución (Brousseau, citado en Panizza, 2003, 63).
De esta manera se trata de precisar las características de estas relaciones
en la resolución de problemas (Charnay, 1994):
Relación entre la situación-problema y los alumnos:
• La actividad debe proponer un verdadero problema por resolver para
el alumno: debe ser comprendido por todos los alumnos.
• Debe permitir al alumno utilizar los conocimientos anteriores.
• Debe ofrecer una resistencia suficiente para llevar al alumno a hacer
evolucionar los conocimientos anteriores, a cuestionarlos.
• Finalmente, es deseable que la sanción (la validación) no venga del
maestro, sino de la situación misma.
30
De esta manera, es como Panizza (2003) define la situación a-didáctica en
donde el profesor presenta un rol activo, poniendo a prueba a los sujetos en
diversos procedimientos y observando como los sujetos confrontan sus
puntos de vista ante determinada situación.
Relación docente-alumno
¿Qué percepción tiene al alumno de las expectativas del maestro?
Las relaciones pedagógicas deben conducir a los alumnos a percibir que les
es más conveniente establecer ellos mismos la validez de lo que afirman que
solicitarla a otros.
Relación maestro-situación
• Le corresponde al maestro distinguir el objetivo inmediato de los
objetivos más lejanos; elegir ciertos parámetros de la situación.
• El conocimiento considerado debe ser el más adoptado para resolver
el problema propuesto.
• Le corresponde observar las incomprensiones, los errores
significativos, analizarlos y tenerlos en cuenta para la elaboración de
nuevas situaciones.
• Le corresponde, provocar o hacer la síntesis.
Por su parte Charnay (1994) menciona que la construcción de la significación
de un conocimiento debe ser considerada en dos niveles:
• Un nivel “externo”: campo de utilización y límites de este campo.
• Un nivel “interno”: función y resultados de un algoritmo.
De esta manera, la cuestión esencial de la enseñanza de la matemática
según Charnay, (1994) es hacer que los conocimientos enseñados tengan
sentido para el alumno, de esta manera el alumno debe ser capaz no sólo de
repetir o rehacer, sino también de resignificar en situaciones nuevas, de
31
adaptar, de transferir sus conocimientos para resolver nuevos problemas. Y
es, en principio, haciendo aparecer las nociones matemáticas como
herramientas para resolver problemas como se permitirá a los alumnos
construir el sentido.
Para describir algunos modelos de aprendizaje, se puede apoyar en la idea
de “contrato didáctico”, tal como Brousseau lo ha definido:
“Conjunto de comportamientos (específicos) del maestro que son esperados por el alumno, y conjunto de comportamientos del alumno que son esperados por el maestro, y que regulan el funcionamiento de la clase y las relaciones maestro-alumno-saber, definiendo así los roles de cada uno y la repartición de las tareas”.
Falta cita
Así, una situación de enseñanza puede ser observada a través de las
relaciones que se “juegan” entre estos tres polos: maestro, alumno, saber:
M
A S
Analizando:
• La distribución de los roles de cada uno,
• El proyecto de cada uno,
• La reglas del juego: ¿qué está permitido?, ¿qué es lo que
realmente se demanda?, ¿qué se espera?, ¿qué hay que hacer o
decir?
De manera esquemática se describen cuatro modelos:
2.3.1 Modelo llamado “normativo” (centrado en el contenido).
Este modelo trata de aportar, de comunicar, un saber a los alumnos. De esta
manera el maestro muestra las nociones, las introduce, provee los ejemplos;
por su parte el alumno, en primer lugar, aprende, escucha, debe estar atento;
32
luego imita, se entrena, se ejercita, y al final aplica; de esta forma el saber ya
está construido.
Se reconocen allí los métodos a veces llamados dogmáticos (de la regla a
las aplicaciones) o mayeúticos (preguntas/ respuestas).
M
A S
De esta forma, el modelo explica como a partir de los mecanismos utilizados
y de los conocimientos previos que poseen los alumnos se puede llegar a la
resolución de problemas. Para ello a continuación se presentan los puntos
más importantes del problema como criterio de aprendizaje, centrado en el
contenido.
Figura 1. Esquema sobre el problema como criterio del aprendizaje
Mecanismos Lecciones (adquisición)
Ejercicios (ejercitación)
Sentidos Problemas (utilización de los conocimientos para el
alumno, control para el maestro)
(Fuente: Charnay, 1994, 57)
• Lo que conduce a menudo a estudiar tipos de problemas:
confrontado a un nuevo problema, el alumno busca si ya ha
resuelto uno del mismo tipo.
• Es el modelo de referencia de numerosas manuales, siendo la idea
subyacente que es necesario partir de lo fácil, de lo simple para
acceder a lo complejo, y que un conocimiento complejo puede ser,
para el aprendizaje, descompuesto en una serie de conocimientos
fáciles de asimilar y que, finalmente, todo aprendizaje debe ir de lo
concreto a lo abstracto.
33
2.3.2 Modelo llamado “incitativo” (centrado en el alumno)
Para Charnay (1994), en este modelo al principio se le pregunta al alumno
sobre sus intereses, motivaciones, sus propias necesidades, su entorno.
Por lo tanto, el maestro escucha al alumno, suscita su curiosidad, le ayuda a
utilizar fuentes de información, responde a sus demandas, lo remite a
herramientas de aprendizaje (fichas), busca una mejor motivación, por su
parte el alumno busca, organiza, luego estudia, aprende; es decir, el saber
está ligado a las necesidades de la vida, del entorno.
M A S
Este modelo se basa en la presentación a los alumnos de problemas de la
vida cotidiana, los cuales por ser de esta índole resultan ser demasiado
complejos para él.
Figura 2. Esquema sobre el modelo llamado “iniciativo”
Motivación Situación basada en lo vivido
Mecanismos Aporte de conocimientos
Práctica, ejercicios
Resignificación
Problemas
(Fuente: Charnay, 1994, 57)
• Al principio, se desea que el alumno sea un “demandante activo, ávido
de conocimientos funcionalmente útiles”.
34
• Pero las situaciones “naturales” son a menudo demasiado complejas
para permitir al alumno construir por sí mismo las herramientas y,
sobre todo, demasiado dependientes de “lo ocasional” para que sea
tomada en cuenta la preocupación por la coherencia de los
conocimientos.
2.3.3 El modelo llamado “aproximativo” (centrado en la construcción del saber por el alumno)
Se propone partir de “modelos”, de concepciones existentes en el alumno y
“ponerlas a prueba” para mejorarlas, o construir nuevas.
En este modelo el maestro propone y organiza una serie de situaciones con
distintos obstáculos (variables didácticas dentro de estas situaciones),
organiza las diferentes fases (investigación, formulación, validación,
institucionalización), organiza la comunicación de la clase, propone en el
momento adecuado los elementos convencionales del saber, y el alumno
ensaya, busca, propone soluciones, las confronta con las de sus
compañeros, las defiende o las discute, y así el saber es considerado con su
lógica propia.
M
A S
Según Charnay (1994) tres son los elementos de la actividad pedagógica
que se muestran privilegiados los cuales se enuncian a continuación:
• El comportamiento del docente frente a los errores de sus
alumnos: ¿qué interpretación hace de ellos?, ¿cómo interviene?,
¿qué demanda a sus alumnos?
35
• Las prácticas de utilización de la evaluación: ¿de qué sirve la
evaluación?, ¿en qué momento interviene en el proceso de
aprendizaje?, ¿bajo qué formas?
• El rol y el lugar que el maestro asigna a la actividad de resolución
de problemas: ¿qué es para él un problema?, ¿cuándo utiliza
problemas, en qué momentos del aprendizaje?, ¿con qué fin?
2.3.4 Modelo llamado “apropiativo” (El problema como recurso de aprendizaje)
Bajo este modelo, los problemas que se presentan a los alumnos son
principalmente elegidos por los profesores y a través de esto y en interacción
con sus iguales se pretende que cada alumno construya su propio
conocimiento o saber.
Este punto se abordará de manera más amplia, para lo cual se propone el
siguiente esquema:
Figura 3. Esquema sobre el modelo llamado “apropiativo”
Acción Situación problema (el alumno busca un procedimiento
de resolución)
• El alumno debe actuar sobre un medio (material o
simbólico)
• Requiere la puesta en acto de conocimientos
implícitos.
Formulación formulación-confrontación de los procedimientos
• Formulación explicita de la información destinada
(emisor), para comprender, actuar y confrontar
con el conocimiento (receptor).
• Nueva situación con diferentes obstáculos: nuevos
procedimientos.
La resolución de problemas como fuente, lugar y criterio de la elaboración del saber. Validación
36
• Maestro pone al alumno en situación a-
didáctica.
• Maestro define las relaciones que
pueden tener los comportamientos o
producciones “libres” del alumno con el
saber cultural.
(Fuente: Charnay, 1994, 58)
Panizza (2003), menciona que una cuestión a retener al iniciarse en la
comprensión de esta tipología es el criterio por el cual se identifica una
situación particular como de uno u otro tipo. Para ello, se debe tener
presente que una situación es de acción cuando lo que requiere de los
alumnos es que pongan en juego medios de acción; lo que es propio de las
situaciones de formulación es el carácter de necesidad que posee la
formulación de un mensaje; las situaciones de validación requieren
necesariamente no sólo la formulación sino también la validación de juicios
por parte de los alumnos.
III. PERMANENCIA DE LAS FRACCIONES EN EL CURRÍCULO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
Según Llinares y Sánchez (1997) la gran cantidad de materias a tratar, el
fracaso escolar, y otros motivos, han llevado a reformas curriculares en las
que se ha cuestionado la necesidad de la enseñanza de los conceptos
relacionados con las fracciones y, sobre todo de sus algoritmos, en los
primeros niveles.
Así mismo Corial (2001), menciona un intenso debate que se ha producido
en los últimos años entre educadores, matemáticos y responsables de
elaborar la currícula de Matemáticas sobre si es necesario introducir
Institucionalización (Devolución)
37
fracciones en los programas escolares, o no, y en caso afirmativo, hasta
dónde habría que incluir.
3.1 Argumentos utilizados para la no inclusión de las fracciones en el currículo
Wilson y Dalrympe (citados en Llinares y Sánchez, 1997) llevaron a cabo una
investigación sobre los usos sociales y comerciales de las fracciones. A partir
de la tabulación de la frecuencia con que se utilizaban las fracciones por
distintas personas en su trabajo, concluyeron que en la vida ordinaria la
utilización de fracciones se limita a medios, tercios, cuartos, doceavos y que
la resta de fracciones se presenta muy raramente. En consecuencia,
sugirieron que se podría reducir enormemente la enseñanza de fracciones en
la escuela.
Por otra parte, con la implantación del Sistema Métrico Decimal, la polémica
de enseñar o no fracciones en los primeros niveles se ha agudizado. El
argumento de su poca utilidad práctica, y que en el Sistema Métrico Decimal
las unidades métricas requieren fracciones decimales, pero no ordinarias, se
cuenta entre los argumentos más utilizados por los que defienden que deben
ser suprimidas o reducidas en gran medida (Llinares y Sánchez, 1997).
Como se menciona, los partidarios de la no inclusión utilizan argumentos
como: la utilidad que se hace de las fracciones es de tipo social y este
conocimiento lo proporciona la sociedad misma, el sujeto lo adquiere
mediante el uso diario. Por otra parte según Corial (2001), los instrumentos
que actualmente son capaces de realizar cálculos, como calculadoras y
ordenadores, no operan con fracciones sino que lo hacen con números
decimales, lo que favorece el escaso uso que se hace de las mismas.
38
3.2 Argumentos utilizados para la inclusión de las fracciones en el currículo
Curiosamente, los argumentos de la poca utilización de las fracciones por
parte de niños y adultos, es el hecho en el que se apoyan otros para
mantener su permanencia: si no son comprendidas cómo van a ser
utilizadas.
Así se argumenta que los criterios para la permanencia de la enseñanza de
las fracciones no responden únicamente a necesidades sociales; también
puede tener otros criterios que guíen la selección del contenido matemático.
Así, se puede considerar que las fracciones son básicas para el posterior
desarrollo de otros contenidos matemáticos (o de otras disciplinas), o
simplemente, si se deben de considerar como conocimientos de cultura
general (Llinares y Sánchez, 1997).
Algunos autores (Joy y Cable; citados en Llinares y Sánchez, 1997)
defienden la permanencia de las fracciones apoyándose en que las
operaciones como la multiplicación y división de decimales sólo podrían
entenderse correctamente si se saben las correspondientes operaciones con
fracciones. Otros consideran que las fracciones son esenciales como
factores de comparación, es decir, números utilizados para establecer como
se comparan dos cantidades.
Otros autores (Kieren; citado en Llinares y Sánchez, 1997) ven en las
fracciones un fundamento para las relaciones algebraicas posteriores, y
consideran que la compresión de los números racionales es básica para el
desarrollo y control de las ideas matemáticas. Al utilizar estos números los
niños deben ser concientes de la equivalencia de fracciones, manejar una
operación de suma compleja, más axiomática que intuitiva, considerar que la
relación entre suma y producto no se presenta de forma natural y trabajar la
39
fracción inversa, por lo que los problemas de tipo algebraico que se
presentan son evidentes.
Los partidarios de la inclusión de las fracciones esgrimen razones de tipo
cultural y formativo; como que es un conocimiento de cultura general o que
actúa como base de otros conocimientos posteriores. Así que, como lo
menciona Corial (2001), está polémica no se ha cerrado aún.
No obstante, respecto a lo anterior, este mismo autor concluye que entre los
contenidos a estudiar en los distintos niveles educativos se encuentran las
fracciones, graduándose la complejidad de su estudio a medida que se sube
de nivel. En el currículum de Educación Primaria de México se incorpora el
estudio de fracciones sencillas, sus operaciones y el orden de la misma. El
tratamiento de este tema habrá de proporcionar al alumnado un aprendizaje
significativo del concepto mediante la utilización de modelos para el estudio
de las fracciones y se recomienda su aplicación en la resolución de
problemas. Los alumnos deben ser capaces de establecer relaciones entre
fracción, número decimal y porcentaje. Deben fomentarse en la enseñanza
estrategias de cálculo mental para la ordenación y las operaciones con
fracciones y se recomienda el uso de recursos como la representación
gráfica y la calculadora.
IV. FRACCIONES
4.1 Definición
Según Llinares y Sánchez (1997), el diccionario separa el significado de
fracciones en dos acepciones. Aclarando su origen (del Latín fractio, romper),
por un lado se presenta como “la división de un todo en sus partes” o “las
partes de un todo”. Por otro lado, dentro de los significados propios de la
aritmética, aparecen acepciones tales como “número quebrado”, expresión
que indica una “división que no puede efectuarse”.
40
Generalmente, a un par de números enteros expresados de la forma a/b se
le denomina fracción. Corial, (2001) por su parte define fracción como: “Par
ordenado (a,b) de números enteros con la condición de que el segundo
número (b) sea distinto de cero”. La expresión que se utiliza
mayoritariamente para representar la fracción es a/b donde b≠0, y se
denomina a <<a>> numerador y a <<b>> denominador de la fracción.
Inicialmente el símbolo a/b aparece para recordar la fracturación o
separación de entidades tales como parcelas de terreno, sacos de grano en
entidades menores cuando se realizaban transacciones comerciales, como
se refleja en la etimología de la palabra fracción. El verbo fraccionar indica
romper en partes iguales.
4.2 Importancia social y cultural de las fracciones
En las primeras civilizaciones (Babilonia, Egipto) en las que el modo de vida
era fundamentalmente agrícola, surgió la necesidad de medir: longitud, área
de terrenos, tiempo, volumen, peso, etc. Ello conllevó a la necesidad de los
números como herramientas para expresar los resultados de las mediciones
y poder operar con ellas. Los números son los entes que asociados a la
acción de medir proporcionan del resultado de ésta, objetos a los que se le
puede dar tratamiento matemático (Corial, 2001).
Según este autor, sí para contar se requieren sólo los números naturales
1,2,3,4…, éstos son insuficientes para las necesidades que genera la
medición. Así, si se adopta una unidad de medida de longitud, por ejemplo
un pie, y se quiere medir una cuerda, ésta puede tener de largo la mitad de
dicho pie, la cuarta parte o tres pies y medio, expresiones que no son
posibles utilizando los números naturales, lo que hace necesaria la
ampliación del campo numérico con el concepto de fracción. Las fracciones
permiten la comparación de dos cantidades de magnitud y expresar con
mayor exactitud la medida.
41
4.3 Utilización de las fracciones en el lenguaje cotidiano
Lo primero que se debe tener en cuenta al tratar un tema matemático es el
hecho de que los conceptos que se van a tratar pueden estar vinculados a un
lenguaje cotidiano, el cual es utilizado por las personas en general. Este
lenguaje o vocabulario a veces puede estar identificado más o menos con la
noción matemática y a veces no. Por lo tanto, debemos considerar que, en la
mayoría de las ocasiones las palabras que se van a utilizar no son totalmente
nuevas para los niños (Llinares y Sánchez, 1997).
De una forma o de otra, el alumno está influenciado por el uso que de ellas
se hace en la vida cotidiana. En el caso particular de las fracciones forman
parte de un vocabulario relativamente familiar.
Aunque los niños no cuenten con una formación matemática que les de el
concepto en sí de fracciones, se puede apreciar que en sus conversaciones,
tanto dentro como fuera de la clase, utilizan espontáneamente expresiones
en las que aparecen las fracciones. Sin embargo, aunque el niño pueda oír y
usar expresiones tales como “medio día”, eso no significa que piense
necesariamente en la mitad de un día con relación a un día completo
(Llinares y Sánchez, 1997).
Así mismo, los autores antes citados mencionan otros ejemplos; como
cuando los niños hablan de una botella de medio litro. Quizá la única relación
que pueden establecer con la de un litro es que es más pequeña. Si el
término lo utiliza para pedir <<dame la mitad de tu pastel>>, seguramente el
énfasis del significado lo esté poniendo en que a ambos les toque
exactamente lo mismo.
42
Según Llinares y Sánchez, (1997) el profesor no debe olvidar que las
palabras que se van a utilizar y los conceptos que se van a introducir son
conocidos por los alumnos de una forma u otra. Incluso cada persona da un
significado a la noción de fracción y hace un uso de ella en la vida cotidiana
que quizá no tiene un posterior reflejo en los aspectos de enseñanza. En
ocasiones al tratar estas nociones en la escuela, se ven desde una vertiente
estrictamente matemática, menospreciando otros aspectos.
Por su parte Corial (2001), coincide con Llinares y Sánchez, (1997) al
mencionar que el lenguaje cotidiano utiliza términos propios del lenguaje
matemático de las fracciones, aunque el uso de dicho vocabulario y el
conocimiento matemático no guarden a veces una relación estrecha. Cuando
se dice: “me he comido la mitad de la manzana” no quiere decir,
necesariamente, que se haya realizado una partición exacta en dos partes
iguales de la manzana.
4.4 Fracciones más utilizadas
Para algunos autores (Llinares y Sánchez, 1997 y Corial, 2001) las
fracciones más utilizadas comúnmente se restringen en realidad a muy
pocas: un medio, un tercio, un cuarto, tres cuartos, un quinto y la mitad de un
cuarto principalmente.
Pero ya en el campo de aplicación el uso de cada una de las fracciones se
va reduciendo, salvo un medio, que tiene un uso casi universal y aparece
prácticamente en todas las situaciones cuantificables, e incluso como una
primera estimación a una cantidad: media entrada, a mitad del camino,
etcétera (Llinares y Sánchez, 1997).
Mientras que Corial (2001), agrega que las fracciones más utilizadas están
asociadas, sobre todo, a situaciones de medida: medio litro, tres cuartos de
43
metro; a medidas de tiempo: media hora, un cuarto de hora; a situaciones de
comparación; dos de cada tres o a situaciones de reparto; la sexta parte de.
4.5 Dificultades de los niños en el aprendizaje de las fracciones
Las dificultades que presentan los niños ante el aprendizaje de las
fracciones, sobre todo en los niveles elementales, que abarcan tanto la
compresión conceptual como las destrezas del cálculo, han sido constatadas
por numerosos investigadores de distintos países. Ello ha motivado a la
realización de estudios que tratan de detectar el origen de las dificultades y
proponer soluciones para la enseñanza de las fracciones.
Goutard (citado en Llinares y Sánchez, 1997) atribuye las dificultades con las
fracciones a la falta de experiencia con las mismas, señalando que la
diversidad de puntos de vista es esencial en su estudio a un nivel elemental,
ya que su introducción de una forma única lleva a un conocimiento atrofiado.
Según lo anterior, la auténtica comprensión del concepto de fracción sólo
puede alcanzarse mediante presentaciones plurales de dicho concepto.
Por otra parte, según Freundenthal (citados en Llinares y Sánchez, 1997) los
niños pueden trabajar intuitivamente con fracciones, siendo ésta la razón por
la que la introducción intuitiva que tradicionalmente se hace de las fracciones
funciona excelentemente. Niños de corta edad pueden tener éxito al trabajar
con medios, cuartos, etc. Este éxito lleva al maestro a una prematura
introducción de los algoritmos y ahí es donde empiezan a aparecer los
problemas.
Por su parte, Alsina (1998) señala que las fracciones son un bloque
especialmente difícil; las dificultades surgen en seguida y perduran, en la
mayor parte de los alumnos, hasta los dieciséis o los dieciocho años. Aunque
su enseñanza tiene muchas deficiencias y se hace rápidamente, todas las
dificultades no pueden provenir de este hecho.
44
Así que, como en otros conceptos, también tienen gran importancia los
posibles significados de las fracciones de los cuales hablaremos más
ampliamente en otro apartado y aquí la sintetizamos en la siguiente tabla.
Como parte de un todo continuo, ¾ de un rectángulo;
Como parte de un todo discreto; ¾ del alumnado de la escuela;
Como operador doble, Por cada 4 obtengo 3;
Como una posición, 0 ¾ 1
Como resultado de una división, 3 hojas divididas entre 4 personas
Como comparación, 12 es ¾ de 16;
Otros más complejos, como una
probabilidad, una razón, etc.
Una colección de siete canicas de
las cuales tres son blancas y cuatro
negras, se puede decir que las
canicas blancas son ¾ de las
canicas negras, también que la
proporción es tres blancas por
cuatro negras.
Y en este caso también tiene mucha importancia la representación gráfica y
simbólica. Si durante un período largo se trabajan las fracciones entre 0 y 1,
llega el momento de introducir las impropias y las expresiones mixtas, cosa
que aumentara notablemente las confusiones (Alsina, 1998).
En vista de todo esto, este autor, recomienda que se diseñe una secuencia
de aprendizaje basada en la experimentación con materiales concretos y
visuales, dando suficiente tiempo para comprender los conceptos de fracción
y equivalencia que son fundamentales.
45
Como menciona Alsina (1998), el bloque de fracciones pretende introducir
los significados elementales como parte de un todo continuo o discreto (dos
quintos de hoja) y como operador (de cada grupo de tres tomamos dos).
Conocer las fracciones más corrientes y tener conciencia del valor relativo de
las fracciones, es cosa difícil, ya que entra en contradicción con lo que el
escolar ha aprendido hasta entonces de los números naturales. Introducir la
noción de equivalencia a través de la manipulación y representación de
fracciones utilizándolo para tratar la suma y la diferencia con los sentidos
clásicos (reunir, separar). El producto se introduce al final de la etapa y se
desarrolla más profundamente en grados posteriores, igual que el cociente
(Alsina, 1998).
En relación a lo anterior Llinares y Sánchez, (1997) mencionan que es muy
importante que los niños vean las matemáticas en el mundo que les rodea.
Asimismo que se les debe dar a los alumnos un conocimiento intuitivo
profundo de las fracciones, presentando al niño contextos significativos tanto
para el concepto como para su campo de aplicación, y buscando conexiones
conceptuales con decimales, porcentajes, razones, etc.
Puede ser que alguna de las dificultades que plantea la enseñanza-
aprendizaje de las fracciones, en alguno de sus aspectos, venga
determinadas por la rápida introducción de su carácter algebraico en la
secuencia curricular. Esto debido a que muchas veces se empieza a trabajar
con reglas de carácter algebraico, sin tener previamente un trasfondo
concreto desarrollado ampliamente.
Es decir, según Dickson (citado en Llinares y Sánchez, 1997) el equilibro
debe existir entre:
•El significado de las fracciones en contextos concretos prácticos
(situaciones problemáticas), y
46
•En situaciones más abstractas-cálculo sin contexto (carácter algebraico)
V. INTERPRETACIONES DE LAS FRACCIONES
La idea de fracción, o mejor aún, la palabra “fracción” indica un par ordenado
de números naturales escritos de la forma a/b, es utilizado en contextos y
situaciones que muchas veces puede parecer que no tengan nada en
común. Lo cual se ve reflejado en los siguientes ejemplos (Llinares y
Sánchez, 1997):
•Para indicar la relación que existe entre la parte sombreada y un “todo”.
•Si un litro de leche vale sesenta pesos, ¿Cuánto valdrán tres quintos?
•En un grupo de niños y de niñas hay diez niñas y cinco niños. En un
momento determinado alguien dice: -hay la mitad de niños que de niñas-
(hay el doble de niñas que de niños). La expresión mitad esta empleada
en esta situación para describir una relación entre dos partes de un
conjunto. Se ha realizado una comparación parte-parte y como resultado
de esta comparación se utiliza una fracción para cuantificar la relación.
Sin embargo, si se está utilizando el mismo “ente matemático” para dichas
situaciones, es de suponer que tengan algo en común.
Según estos mismos autores, desde una perspectiva escolar se podría
plantear la siguiente situación: si se identifica uno de los contextos en el que
la idea de fracción tiene sentido y se desarrolla el proceso de enseñanza con
dicha interpretación ¿cabria esperar que los niños fueran capaces de
trasladar esa comprensión y destrezas conseguidas a interpretaciones y
contextos diferentes?
Parece ser que la capacidad de trasladar esa comprensión a situaciones
distintas no es del todo clara; es decir, puede ser que el niño tenga claro el
significado de una fracción en una situación, sabiendo realizar su
47
representación con diagramas y de forma numérica, así como reconocer el
significado de las diferentes operaciones en dicho contexto, esto no implica
que sepa utilizar la misma herramienta en contextos distintos, aunque
también conlleve implícitamente la idea de fracción (Llinares y Sánchez,
1997).
De tal forma que, para que el niño pueda conseguir una comprensión amplia
y operativa de todas las ideas relacionadas con el concepto de fracción se
deben plantear las secuencias de enseñanza de tal forma que proporcionen
a los niños la adecuada experiencia con la mayoría de sus interpretaciones.
Pero el alcanzar el concepto de fracción con todas sus relaciones conlleva un
proceso de aprendizaje a largo plazo. La variedad de estructuras cognitivas a
las que las diferentes interpretaciones de las fracciones están conectadas y
condicionan el proceso de aprendizaje. Desde las primeras experiencias de
los niños con mitades y tercios (relación parte-todo) vinculadas a la habilidad
de manejar el mecanismo de dividir (repartir), la habilidad de manejar la
inclusión de clases, hasta el trabajo con las razones y la proporcionalidad de
los jóvenes adolescentes, vinculada a la habilidad de comparar y manejar
dos conjuntos de datos al mismo tiempo y del desarrollo de esquemas de la
proporcionalidad, existe un largo camino por recorrer (Llinares y Sánchez,
1997).
Kieren (citado en Block, 2001), menciona que hace ya más de dos décadas
se empezó a prestar atención a la diversidad de significados que la noción de
fracción asume cuando se le considera en el contexto de los problemas
específicos que permiten resolver. Si bien desde entonces se han realizado
distintos acercamientos a esta polisemia, tiende a haber consenso en cuanto
a la pertinencia de distinguir 4 significados: parte-todo, cociente, razón y
operador. También hay cierto nivel de consenso en cuanto a la necesidad de
48
favorecer la apropiación por los alumnos de estos significados específicos,
en aras de lograr una comprensión cabal de la noción de número racional.
A continuación van a ser descritas las diferentes interpretaciones:
• La relación parte-todo
• Las fracciones como cociente
• La fracción como razón
• La fracción como operador
5.1 La relación parte-todo
Se presenta esta situación cuando un todo (continuo o discreto) se divide en
partes congruentes (equivalencia como cantidad de superficie o cantidad de
objetos). La fracción indica la relación que existe entre un número de partes y
el número total de partes (Llinares y Sánchez, 1997).
El todo recibe el nombre de unidad. Esta relación parte-todo depende
directamente de la habilidad de dividir un objeto en partes o trozos iguales, la
fracción aquí es siempre <<fracción de un objeto>>.
Estos mismos autores mencionan que para una comprensión operativa de
este subconstructo se necesita previamente el desarrollo de algunas
habilidades como:
Tener interiorizada la noción de inclusión de clases.
La identificación de la unidad (qué “todo” es el que se considera como
unidad en cada caso concreto).
La de realizar divisiones (el todo se conserva aun cuando lo dividamos en
trozos, conservación de la cantidad).
Manejar la idea de área (en el caso de las representaciones continuas).
Corial, (2001) menciona que se interpreta la expresión a/b representante de
un todo o unidad que se ha dividido en b partes iguales de las que se
49
consideran a de dichas partes. Es el caso de una tira de papel (figura No.1),
unidad de todo, se le dan cuatro cortes y se divide en cinco partes iguales, y
se toman tres de estas partes. Este hecho se representa con los números 5 y
3 dispuestos en forma de fracción 3/5; en este caso el denominador indica
las partes que se han hecho de la unidad, que es la tira del papel, y el
numerador las partes sombreadas.
Figura No. 1. Representación de la fracción como parte-todo en donde el Denominador: Partes que se han hecho de la unidad (Tira del papel) y el Numerador: Partes sombreadas
Denominador
Numerador
Fuente: (Corial, 2001)
La expresión 3/5 es un recordatorio de la acción realizada, separar en cinco
partes tomar tres. En este caso la unidad de partida es de una sola pieza es
un material continuo, pero puede que se trate de una unidad compuesta de
elementos separados, por ejemplo una reunión de amigos (figura No. 2) de
los que tres son chicos y dos chicas (Corial, 2001).
Figura No. 2. En esta figura se puede apreciar ejemplos sobre las fracciones como partes de un todo. En donde las caras sombreadas representan 2/5 del total de las personas reunidas
2 5
Fuente: (Corial, 2001)
Errores y dificultades
Respecto a lo anterior Corial (2001) menciona que el significado de fracción
como partes de un todo es más comprensible para los niños que el resto de
50
los significados, esto lleva consigo que la introducción de las fracciones en el
medio escolar se haga bajo esta consideración. Se tiene la certeza de que es
el significado más intuitivo y más cercano a los niveles escolares en los que
se introduce el concepto.
5.2 Las fracciones como cociente
Esta interpretación se asocia, según Linares y Sánchez (1997), a la
operación de dividir un número natural por otro (división indicada a:b = a/b).
Dividir una cantidad en un número de partes dadas. Kieren (citado en
Llinares y Sánchez, 1997) señala la diferencia de esta interpretación con la
anterior indicando que, para el niño que esta aprendiendo a trabajar con las
fracciones, el dividir una unidad en cinco partes y tomar tres (3/5) resulta
bastante diferente del hecho de dividir tres unidades entre cinco personas,
aunque el resultado sea el mismo.
Bajo esta interpretación se concibe a las fracciones pertenecientes a un
sistema algebraico abstracto donde las relaciones entre los elementos son
de índole deductiva; esta interpretación debe tener un carácter globalizador y
ser posterior en la secuencia de enseñanza a las demás interpretaciones
(Llinares y Sánchez, 1997). De tal forma que una de las dificultades que se
presenta en la enseñanza de la fracciones en la escuela, consiste en que se
tiende rápidamente a centrarse en un tratamiento formal y algorítmico de
estas ideas.
Strrefland (citado en Llinares y Sánchez, 1997) considera que una alternativa
a este problema consistiría en buscar situaciones de la vida real diaria de
reparto y de medida, que conllevarán al trabajo con las fracciones y,
apoyados en el conocimiento informal que sobre éstas llevan los niños
cuando entran en la escuela, potenciar a través de esta situaciones la
construcción del concepto, las operaciones y las relaciones en las fracciones
por los propios niños.
51
Es decir, en las matemáticas (en este caso en las fracciones), al igual que en
la adquisición de otros conocimientos es importante tener en cuenta que el
niño no llega a la escuela sin saber nada, sino que llega con ciertos
conocimientos que pueden facilitar o dificultar la adquisición del nuevo
conocimiento.
Por su parte para Corial (2001) la fracción a/b puede significar el cociente de
los enteros a entre b. Este caso se produce cuando se trata de resolver una
igualdad del tipo a = b . x, donde a no es divisible por b, por ejemplo, ante la
necesidad de resolver un problema del tipo siguiente, (figura No. 3a):
Cuatro hermanos quieren repartirse tres latas de refresco de manera equitativa
¿Cuánto refresco le corresponde a cada uno de los hermanos?
Surge la expresión 3 = 4 . x. Obtener el valor de x de la igualdad anterior lleva
a x = ¾, como la división de los números enteros 3 entre 4 no tiene solución
dentro del conjunto de los enteros, la fracción ¾ permite expresar dicha
división como una fracción entendida como cociente (o reparto) entre el
numerador y el denominador de la misma. Entre las respuestas de los
estudiantes encontramos las siguientes (figura No. 3b) tres dividido entre
cinco: Tres tabletas de chocolate repartidas entre cinco niños. Tres bolsas de
caramelos repartidas entre cinco niños (Corial, 2001).
Figura No. 3. En la figura No. 3a se muestra una representación de las fracciones como cociente cuando se trata de resolver una igualdad del tipo a = b . x, donde a no es divisible entre b, dando como resultado a/b. La figura No. 3b es un ejemplo de fracciones como cociente de enteros en donde el resultado es 3/5
a) 3/4
52
b) 3/5 Fuente: (Corial, 2001)
5.3 Las fracciones como razón
Para este mismo autor, la fracción tiene significado de razón cuando lo que
se simboliza con ella es la relación entre dos cantidades o conjuntos de
unidades. En este caso también se conoce como relación parte con parte.
Ejemplos de este significado son los siguientes (figura No. 4a y 4b): a) Dos
cuerdas A y B cuyas longitudes sean A = 3 metros y B = 4 metros de largo.
Se puede decir que la razón de la medida de A a la medida de B es de 3 a 4
y se expresa por la fracción ¾, también se puede decir que la medida de A
es ¾ la medida de B. b) Una colección de siete canicas de las cuales tres
son blancas y cuatro son negras; se puede decir que las canicas blancas son
¾ de las canicas negras, también que la proporción es tres blancas por
cuatro negras.
Figura No. 4. La fracción como razón a) otra forma de expresar este ejemplo es diciendo que la medida de A es ¾ la medida de B. b) también se pude decir que la proporción es tres canicas blancas por cuatro negras.
1/5+1/5+1/5= 3/5
53
A = 4u
B = 3u
a) La razón de medida es 3 a 4
b) ¾ de las canicas son blancas Fuente: (Corial, 2001)
Este significado de la fracción también ha aparecido entre las respuestas
dadas por los estudiantes: Tres de cada cuatro alumnos de esta clase va a
aprobar. Tres de cada cuatro ventanas de la clase están abiertas. Este significado
se utiliza en situaciones de la vida real para comparar medidas y tamaños de
colecciones de objetos. Una comparación de medidas de objetos muy
importante por la utilidad social que presta son las escalas. Una
característica especial de este caso es que tiene sentido invertir la fracción,
la fracción resultante procede de la comparación invertida de los mismos
objetos (figura No. 5) (Corial, 2001).
Figura No. 5. Ejemplos de la fracción como razón cuando se quieren comparar medidas y tamaños de colecciones de objetos
a b La relación entre los círculos de a y b es de 4/8 (4:8)
La relación entre los círculos de b y a es de 8/4 (8:4) Fuente: (Corial, 2001)
Las fracciones como operador
Bajo esta interpretación las fracciones son vista en el papel de
transformaciones: algo que actúa sobre una situación y la modifica. Se
54
concibe aquí la fracción como una sucesión de multiplicaciones y divisiones o
a la inversa (Llinares y Sánchez, 1997).
Bajo esta interpretación las fracciones se utilizan en un doble aspecto:
Describiendo un orden, una acción a realizar (operador), y
Describiendo un estado de cosas, es decir describiendo una situación.
Para Corial (2001), la fracción tiene significado de operador cuando actúa
sobre una situación, o estado inicial, para modificarla y conseguir un estado
final. La modificación se realiza mediante una sucesión de las operaciones
de división y multiplicación. La situación puede ser de tipo estrictamente
aritmético o puede que intervengan otros objetos. En el primer caso (figura
No. 6a) la situación inicial es el número 24 que mediante la actuación del
operador se transforma en el número 18. En el segundo caso (figura No. 6b)
la situación inicial es de 12 canicas que el operador ¾ la transforma en una
situación final de 9 canicas.
Figura 6. Ejemplos de fracción como operador
¾
24 18 (24 x 3) : 4
a)
x: 3 y :4
b)
Fuente: (Corial, 2001)
VI. REPRESENTACIONES Y MODELOS PARA LAS FRACCIONES
6.1 Representaciones
En el material escrito que se usa para la enseñanza/aprendizaje de las
fracciones se utilizan gran variedad de representaciones que ayudan en la
55
comprensión del concepto, que en cada caso enfatizan el significado de la
fracción que se esté considerando. Generalmente las representaciones
reproducen la manipulación real requerida para llegar a la obtención de la
fracción. Estas representaciones unas veces son de situaciones que tienen
que ver con materia de tipo continuo y otras representan una situación
relacionada con material de tipo discreto (Figura No. 7a y 7b) (Corial, 2001). Figura 7. a) Representa 2/3 en oscuro y se hace sobre un cuadrado, en una situación continua. b) son bolas que representan una situación discreta o separada
a) b)
Fuente: (Corial, 2001)
6.2 Modelos
Asimismo, Corial (2001), propone que los modelos son aquellos materiales
estructurados que ofrecen una imagen isomorfa del concepto, lo que hace
que respete relaciones y propiedades inherentes del mismo. Para el caso
de las fracciones los modelos que se van a estudiar son de dos tipos:
continuos y discretos. Dentro de los modelos continuos el modelo lineal y rl
modelo de área, y dentro de los discretos los (modelos de conjuntos).
6.2.1 Modelo lineal
Corial (2001), propone que en este modelo se consideren las fracciones
como puntos de una recta numérica, cada fracción tiene una representación
en la recta y sólo una. Está ligado este modelo con la idea abstracta de
fracción y respeta el orden y las operaciones entre fracciones.
Para representar una fracción en una recta se produce del modo siguiente
(figura No. 8): se toma un punto al que señala 0 y que marcará el punto de
56
partida. Se elige la unidad y se lleva a partir de 0 y se marca en la recta. A
continuación, dicha unidad se divide en tantas partes iguales como indique
el denominador. Por último, se lleva a partir de 0 tantas partes, de las
obtenidas en la división de unidad, como indique el numerador de la
fracción. El punto de la recta obtenido de esta forma es el que representa la
fracción considerada (Corial, 2001).
Figura No. 8. Representación de un modelo lineal 0 ¾ 1 6/4
Fuente: (Corial, 2001)
Dificultades
La representación de una fracción sobre una línea recta ofrece dificultad
cuando en la recta se tienen representados varios números además del
uno. Otra dificultad se presenta a los alumnos cuando son ellos los que han
de decidir cuál es la longitud destinada a unidad.
6.2.2 Modelo de área
En este modelo Corial (2001), menciona que la fracción se considera una
parte del área de una región plana que se denomina unidad. Para hacer
una representación en un modelo de área se sigue el mismo procedimiento
visto para el modelo lineal. Se divide la figura en tantas partes iguales como
indique el denominador y se señalan tantas como indique el numerador.
(Figura No. 9)
Figura No. 9. Representación de un modelo de área en donde se suelen utilizar figuras regulares para su repartición como cuadrado, círculo, rectángulo y triangulo equilátero.
57
¾ 6/4
Fuente: (Corial, 2001)
Se suelen considerar como unidad distintas figuras, normalmente regulares
para que su partición resulte sencilla; cuadrado, círculo, rectángulo,
triángulo equilátero y figuras compuestas de estas.
6.2.3 Modelo de conjunto
Finalmente Corial (2001), concluye que este es un modelo de tipo discreto,
el cual tiene varias posibilidades. Una es la de representar a la fracción
como partes de un todo en este caso la unidad, o todo, es el conjunto y las
partes de que están hechas, son cada uno de los elementos del conjunto;
se establece una relación entre una parte y el conjunto total.
En la (figura No. 10) aparece un conjunto de tres triángulos y dos rectángulos
que puede representar que los triángulos son 3/5 del total de bloques o que
los cuadrados son 2/5 de ese mismo todo.
Figura No. 10. Representación de un modelo de conjunto en donde se puede decir que los triángulos representan 3/5 del total de bloques o que los rectángulos son 2/5 del todo.
Fuente: (Corial, 2001)
A partir de lo expuesto en cada una de las interpretaciones anteriores, se
puede decir que el ser hábil en dichas interpretaciones conlleva a el dominio
de diferentes estructuras cognitivas que se dan en el niño en diversas
58
épocas de su desarrollo, lo que condicionan las secuencias de enseñanza en
un momento determinado.
Además desde una perspectiva de enseñanza no es posible aislar por
completo cada una de las interpretaciones de las demás. Algunas de ellas
tienen vinculaciones naturales que no se pueden ignorar, y hacen que al
tratar un determinado aspecto del número racional, implícitamente estén
presentes otros aspectos (Llinares y Sánchez, 1997).
De todas formas no hay que olvidar que las nociones matemáticas no se
desarrollan todas de una vez y al mismo nivel de manejabilidad
(operatividad), por tanto hay que aceptar que los niños puedan desarrollar
una noción de fracción vinculada a la relación parte-todo en un momento de
la enseñanza, y al ampliar el concepto de fracción a otros ámbitos esta
noción se reconceptualizará modificándose.
VII. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
En el estudio de las matemáticas, en especial de las fracciones, es muy
frecuente encontrarnos con alumnos que no tienen ni la noción y mucho
menos logran entender los algoritmos ya sea de la suma o de la resta de
fracciones. Esto trae consigo serias consecuencias, ya que, si este
conocimiento no está bien cimentado, entonces los alumnos tendrán
muchos problemas con otros temas (como el álgebra o el razonamiento
proporcional, entre otros) en los cuales se emplean fracciones.
En el terreno de las fracciones, Kieren (citado en Valdemoros, 1997), opta
por introducir a través de dibujos las tareas aritméticas de reparto propuestas
al niño, ya que por esa vía éste puede llegar a expresar con más claridad su
pensamiento matemático. De este modo, los investigadores mencionados
afirman que el niño desarrolla espontáneamente el “algoritmo gráfico” de la
suma de fracciones, el cual facilita al escolar la resolución de la tarea, al
59
tiempo que permite que el investigador realiza una mejor exploración de sus
elaboraciones mentales.
Así para muchos niños, las fracciones son más que pares de números
naturales sin relación entre sí, puesto uno arriba del otro, y como tal las
manejan: consideran, por ejemplo, que una fracción que está formada con
números más grandes que los de otra, es necesariamente la más grande;
para sumarlas, suman sus numeradores y sus denominadores; cuando se
trata de representarlas gráficamente, tienden a tener únicamente en cuenta
el numerador o el denominador (SEP, 1996).
Por esta razón, la SEP (1996) enfatiza que el trabajo de contextualizar a las
fracciones es uno de los retos importantes que se plantea para la enseñanza
de esta noción: es necesario diseñar situaciones en las que las fracciones,
sus relaciones y operaciones cobren sentido como herramientas útiles para
resolver determinados problemas.
Por otra parte, en relación a las operaciones con fracciones, Llinares y
Sánchez (1997) mencionan que siempre que se va a estudiar una operación
numérica, se hace la distinción entre el concepto de la operación y su
algoritmo; es decir, entre:
•Comprender el significado de la operación, estando este punto vinculado a
la aplicación de la operación en la resolución de la operación y en la
resolución del problema, y
•Ser hábil en la ejecución de los pasos necesarios, y en el orden correcto
que llevan a la obtención del resultado de una operación; lo que en el
lenguaje usual se denomina realizar los cálculos.
Esta distinción es necesaria ya que, algunas de las objeciones que se
realizan a la enseñanza de las operaciones con fracciones, es que estos
60
algoritmos se convierten en reglas sin sentido para los niños. De tal forma
que, si el niño está manejando reglas sin ningún sentido para él, resulta
bastante natural que a lo largo del tiempo deje de utilizarlas y las sustituya
por otros procedimientos más naturales o, que olviden o modifiquen algún
paso en el algoritmo, convirtiéndolo así en un procedimiento erróneo
(Llinares y Sánchez, 1997).
En los próximos apartados se describirá, la forma en que proponen los libros
de texto, la enseñanza de la suma y la resta de fracciones que se enseñan
en el cuarto grado de educación primaria. Para facilitar esta descripción se
subdividirá en 4 apartados:
•Suma de fracciones con igual denominador
•Suma de fracciones con diferente denominador
•Resta de fracciones con igual denominador
•Resta de fracciones con diferente denominador
7.1 Suma de fracciones con igual denominador
Para sumar fracciones que tienen el mismo denominador, sólo se suman los
numeradores. El denominador permanece igual y si el resultado es una
fracción impropia, esta puede simplificarse (Robles, Robles, Minquini y
Lechuga, 2003).
En la mayoría de los libros de matemáticas, con el fin de tratar de encontrar
contextos reales en los que se utilicen las fracciones, se empieza el tema con
un problema como el siguiente (Robles, Robles, Minquini y Lechuga, 2003):
Los habitantes de San Juan están construyendo una carretera. Si el lunes
pavimentaron 2/8 partes, el martes 3/8 y el miércoles 1/8, ¿Qué parte de la
carretera han pavimentado durante los tres días?
61
Una forma de resolver el problema es por medio de la representación gráfica,
como a continuación se presenta (Figura No. 1):
Figura No. 1. Representación gráfica del problema anterior
Lunes Martes Miércoles
2 2 1 6
----- + ---- + ---- = ---- 8 8 8 8
Fuente: (Robles, Robles, Minquini, Lechuga, 2003)
Un modelo de apoyo que se les proporciona a los alumnos, con el fin de
facilitarles la resolución del problema puede ser la representación del
problema en la recta numérica. La suma de 2/8 + 3/8 + 1/8 también puede
ser representada gráficamente en la recta numérica (Figura No. 2):
Figura No. 2. Representación en la recta numérica del problema: Los habitantes de San
Juan
1 2/8 + 3/8 + 1/8 = 6/8 0 1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8
Fuente: (Robles, Robles, Minquini, Lechuga, 2003)
Finalmente después de presentarles a los alumnos la representación gráfica
y la representación en la recta numérica de la suma de fracciones, se trabaja
con las fracciones ya en su representación abstracta (figura No. 3), como los
siguientes ejemplos:
62
Figura No. 3.Ejemplos de fracciones en su forma abstracta.
El uso de fracciones unitarias y el contar puede ayudar a la introducción más
natural en las ideas de sumar fracciones, pero sólo en determinados casos.
(Llinares y Sánchez, 1997) Por ejemplo, cuando el proceso de solución viene
determinado por el hecho de contar octavos, (como en el problema siguiente)
o de cualquier otra fracción (Llinares y Sánchez, 1997):
Problema
Juan se ha comido los 3/8 de la tarta y Pedro los 2/8. ¿Cuánta tarta se han
comido entre los dos?
En el caso de este problema se puede representar simbólicamente como se
muestra en la figura No. 4:
Figura No. 4. En este caso lo único que se hace es sumar los numeradores y el denominador queda igual.
(Fuente: Llinares y Sánchez, 1997)
Esta es una buena estrategia para la resolución de fracciones con igual
denominador. Sin embargo, en las primeras situaciones de este estilo hay
Ejemplos: 2 1 3
----- + ---- = ---- 8 8 8
5 1 2 8 ----- + ----- + ----- = ----- 11 11 11 11
3/8 3 octavos + + 2/8 2 octavos 5/8 5 octavos
63
que tener mucho cuidado, al representar las fracciones, si estas son
representadas en unidades distintas, ya que puede ocurrir un error como el
siguiente:
Figura No. 5. El error radica en que se pueden tomar como unidades independientes las dos imágenes y el resultado de esto seria que los alumnos llegan al resultado de 5/16.
(Fuente: Llinares y Sánchez, 1997)
Este proceso utilizado, en las situaciones descritas, anteriormente se apoya
en el hecho de sumar fracciones unitarias; el nivel de manejo de símbolos,
en este caso, se dirigía hacia el hecho de que se sumaban los numeradores:
3 2 3 + 2 5 ---- + ----- = --------- = ---- 8 8 8 8
Sin embargo, las dificultades, como veremos a continuación, aparecen
cuando la unidad de contar es distinta en las dos fracciones.
7.2 Suma de fracciones con diferente denominador
Al sumar fracciones que tiene diferente denominador, debe efectuarse una
conversión para que las fracciones tengan el mismo denominador (Robles,
Robles, Minquini y Lechuga, 2003).
Los autores antes citados, mencionan que una forma de introducir al alumno
en la resolución de suma de fracciones con diferente denominador es
presentándole un problema como el siguiente:
5/16
64
El sábado pasado un jardinero podó el pasto de un terreno. Si en la mañana
cortó la mitad y en la tarde ¼ partes, ¿Qué cantidad de pasto podó en total?
La representación gráfica puede ayudar a la resolución del problema como lo
veremos a continuación en la figura No. 6.
Figura No. 6. Representación gráfica del problema anterior.
+ = ½ + ¼ = ¾
(Fuente: Robles, Robles, Minquini y Lechuga, 2003)
La suma ½ + ¼ también puede representarse gráficamente en la recta
numérica:
Figura No. 7. Representación en la recta numérica del problema del Jardinero.
1 3 2 2 2
½ + ¼ = ¾ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 4 4 4 4 4 4 4
(Fuente: Robles, Robles, Minquini y Lechuga, 2003)
O bien, puede ser resuelta de forma abstracta a través de equivalencias:
Figura No. 8. Represtación abstracta del problema del jardinero.
1 1 2 1 3 ---- + ---- = ---- + ---- = ---- 2 4 4 4 4
Llegados a este punto, según Llinares y Sánchez (1997) conviene recordar
que los algoritmos para la suma y resta de fracciones con denominadores
distintos pertenecen a un nivel poco intuitivo. Este hecho hay que tenerlo en
65
cuenta al secuenciar los pasos que se deben dar para ayudar a los niños a
que se trasladen desde la utilización de sus procedimientos personales a un
procedimiento síntesis (general) de los procedimientos usados.
Todo ello hace que la secuencia de enseñaza pueda/deba realizarse en un
nivel simbólico, aunque independientemente de esto, en algunos casos se
debe volver a situaciones concretas para evitar la perdida de la intuición.
Considerando esta secuencia propuesta en relación a la clase de fracciones
consideradas, se tiene (Llinares y Sánchez, 1997):
1. Fracciones con denominadores múltiplos entre si: 2/3 + 3/6 =
2. Denominadores primos entre si: 2/5 + 3/2 =
3. Los denominadores no son múltiplos entre si: 2/6 + 3/4 =
El procedimiento en todos los casos apoyados en la equivalencia de
fracciones, consiste en buscar denominadores comunes.
Dos fracciones son equivalentes cuando sus dos términos (numerador y
denominador) son múltiplos de otra, como en el siguiente caso:
2 4 8 16 ---- = ---- = ---- = ---- 5 10 15 20
2 6 18 54 ---- = ---- = ---- = ---- 3 9 27 81
Además, se puede decir que si una fracción a/b es equivalente a c/d, solo si
a x d es igual a b x c. En el caso de lo ejemplos anteriores, para comprobar si
las fracciones son equivalentes se tendría que cumplir con el enunciado
anterior:
2 / 5 = 4 /10 sólo si 2 x 10 = 5 x 4,
66
20 = 20; entonces 2/5 es igual a 4/10
La forma de resolver la siguiente operación seria:
2/6 + 3/4 =
1. Fijarse en el denominador más grande. En este caso 6;
2. Calcular sus múltiplos hasta encontrar uno que también sea múltiplo de 4,
3. Después de esto ya se podría resolver la operación y quedaría de la
siguiente forma:
2 3 4 + 9 13 1 --- + --- = --------- = --- = 1 ---
6 4 12 12 12
Otra forma y la que más comúnmente se enseña en la escuela primaria es
aplicar una regla de productos cruzados, la cual deben memorizar los
alumnos, aunque en muchas ocasiones no se comprenda (SEP, 1996).
2 3 (2x4) + (3x3) 8 + 9 17 ---- + ---- = ------------------ = -------- = ----- 3 4 (3x4) 12 12
La forma en que se resolvió la operación anterior es la siguiente:
1. Primero se multiplicaron los dos denominadores (3 y 4).
2. El siguiente paso es multiplicar el numerador de la primera fracción (2)
por el denominador de la segunda fracción (4). Después se multiplica
el denominador de la primera fracción (3) por el numerador de la
segunda fracción (3).
6 x 1 = 6 No es múltiplo de 4
6 x 2 = 12 Si es múltiplo de 4, ya que 4 x 3 = 12
67
3. Una vez realizadas las operaciones de multiplicación, los resultados
obtenidos en el numerador se suman y se llega al resultado (17 /12)
Cuando los denominadores son múltiplos entre si (Figura No. 9) la resolución
es un poco más sencilla, ya que, en este caso no es necesario calcular el
múltiplo del más grande para poder realizar la operación, en este caso la
operación puede resolverse utilizando el denominador mayor.
Figura No. 9. Ejemplos de la suma de fracciones con diferente denominador.
1 3 2 3 5 ---- + ---- = ---- + ---- = ---- 3 6 6 6 6
1 1 4 1 5 ---- + ---- = ---- + ---- = ---- 3 12 12 12 12
(Fuente: Robles, Robles, Minquini y Lechuga, 2003)
7.3 Resta de fracciones con igual denominador
Para restar fracciones que tienen el mismo denominador, sólo se restan los
numeradores. El denominador aparece igual. Si la diferencia es una fracción
impropia, se puede simplificar (Robles, Robles y Minquini y Lechuga, 2003).
Una de las formas en que se puede enseñar la resta de fracciones consiste
en mostrar a los alumnos una ilustración (figura No. 10) y después se le
plantean una serie de preguntas en las cuales está inmersa la resta de
fracciones con igual denominador.
La indicación suele ser del siguiente tipo: Observa atentamente el dibujo y
completa las proposiciones (Robles, Robles, Minquini y Lechuga, 2003).
Figura No. 10. Representación gráfica de un problema para la resta de fracciones con igual denominador.
68
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9
(Fuente: Robles, Robles, Minquini y Lechuga, 2003)
La alberca está fraccionada en: novenos
El nadador ha recorrido cinco partes del total de recorrido
Al nadador le faltan cuatro partes del total del recorrido de la alberca.
Es decir:
Esta operación también puede representarse gráficamente en la recta
numérica:
¿Cuánto le falta a 5/9 para 9/9?
Figura No. 11. Representación en la recta numérica del ejercicio anterior.
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 - 5 = 4 9 9 9
(Fuente: Robles, Robles, Minquini y Lechuga, 2003)
En su forma abstracta, la resolución de restas o sustracciones de fracciones
con igual denominador, es igual a la de la suma con denominadores iguales,
solamente se restan los numeradores y los denominadores quedan igual
(véase, figura No. 12):
9 - 5 = 4 9 9 9 Minuendo Sustraendo Resta o diferencia
69
Figura No. 12. Ejemplos de la resta de fracciones de igual denominador.
7 3 7 - 3 4 ---- - ---- = ----------- = ----- = 2 2 2 2 2
5 1 4 ---- - ---- = ----- 8 8 8
7.4 Resta de fracciones con diferente denominador
Al restar fracciones que tienen diferente denominador, debe efectuarse una
conversión para que las fracciones tengan el mismo denominador (Robles,
Robles, Minquini y Lechuga, 2003).
Sara y Tania deben llenar con agua sus respectivos recipientes. Sara ha
llenado 5/8 del suyo y Tania 4/16. ¿Qué parte de su recipiente ha llenado
Sara más que Tania?
Este problema se puede representar gráficamente (figura No. 13):
Figura No. 13. Representación gráfica del problema (Sara y Tania), de resta de fracciones como complemento aditivo.
5 - 4 = 6 8 16 16 Minuendo Sustraendo Resta o diferencia
(Fuente: Robles, Robles, Minquini y Lechuga, 2003)
Esta operación puede ser representada gráficamente en la recta numérica:
¿Cuánto le falta a 4/16 para 5/8?
70
Figura No. 14. Representación en la recta numérica del problema “Sara y Tania”
1 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 8 8 8 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 5 - 4 = 6 8 16 16 Minuendo Sustraendo Resta o diferencia
(Fuente: Robles, Robles, Minquini y Lechuga, 2003)
O bien, se puede resolver de forma abstracta a través de equivalencias, en
donde se utiliza el denominador más grande para poder resolver la
operación:
Figura no. 15. Representación abstracta del problema de “Sara y Tania”. Resuelto a través de equivalencias
5 4 10 4 3 ---- - ---- = ---- - ---- = ---- 8 16 16 16 16
Otra forma de resolver restas o sustracciones de fracciones con diferentes
denominadores es mostrarles a los alumnos, paso por paso, lo que deben
hacer para encontrar fracciones equivalentes, el cual consiste en lo siguiente:
En este caso se trabajará con la siguiente operación: 2/3 – 3/4 =
•Primero multiplicar tanto el denominador como el numerador de la fracción
2/3 por 2, por 3, por 4, hasta por 10:
•En segundo lugar obtener de la misma manera, fracciones equivalentes a
3/4.
•El tercer paso es buscar dos fracciones, una equivalente a 2/3 y otra a 3/4,
que tengan el mismo denominador.
•Finalmente con estas fracciones se realiza la resta.
71
Por lo tanto el procedimiento, anterior, para restar fracciones con diferentes
denominadores, implica comprender que dos fracciones se pueden sustituir
por otras dos que representan la misma cantidad (SEP, 1996 a).
72
CAPÍTULO 2. MÉTODO 1. SUJETOS Se trabajó con 27 alumnos con una edad aproximada de 9 años, que
cursaban el 4° de primaria.
2. ESCENARIO El trabajo se realizó en la escuela primaria pública “Profesora Concepción
Patiño Valdez”. Ubicada en la calle: Izamal No. 70, colonia: Lomas de
Padierna, delegación: Tlalpan. La escuela se ubica en una zona de nivel
socioeconómico: medio.
3. INSTRUMENTOS Cuestionario Consta de 22 preguntas (ver anexo 2) las cuales se distribuyen de la
siguiente forma:
Contenido No. de reactivos 1. Concepto de fracción 1, 2, 12 2. Fracciones unitarias 3, 6, 7 3. Equivalencia de fracciones 5, 8, 13 4. Orden de fracciones 4, 9, 14 5. Suma y resta de fracciones con igual
denominador 10,15, 16, 17, 18
6. Suma y resta de fracciones con diferente denominador
11, 19, 20, 21, 22
(Ver anexo 2)
Criterios para calificar el cuestionario. Los criterios utilizados en la puntuación del pretest y del postest fueron los
siguientes:
Las preguntas tuvieron diferente valor, debido a que en cada pregunta se
solicitaban varias repuestas y cada respuesta tuvo el valor de un punto.
73
Por ejemplo: la pregunta No. 1 tuvo un valor de 4, debido a que en la
pregunta se solicitaban 4 respuestas, y cada respuesta correcta valía un
punto.
PREGUNTA VALOR No. 1 4 No. 2 4 No. 3 10 No. 4 3 No. 5 3 No. 6 3 No. 7 8 No. 8 2 No. 9 3
No. 10 6 No. 11 6 No. 12 2 No. 13 1 No. 14 5 No. 15 1 No. 16 1 No. 17 1 No. 18 1 No. 19 1 No. 20 1 No. 21 1 No. 22 1 Total 68
Este cuestionario fue aplicado como pretest y postest; el propósito fue
conocer el nivel de los conocimientos previos de los alumnos (pretest) y
comparar los cambios ocurridos (postest) sobre la suma y resta de fracciones
con igual y diferente denominador después de la aplicación del programa de
intervención.
Programa de Intervención El programa de intervención tuvo una duración de 14 sesiones de 60
minutos aproximadamente cada sesión. Se distribuyeron de la siguiente
forma. (ver anexo 3)
74
(Ver anexo 3)
Cuestionario final
Se aplicó la evaluación final de los sujetos con un postest equivalente al
cuestionario inicial.
4. PROCEDIMIENTO
El procedimiento de esta investigación consta de 4 fases:
Fase 1: Aplicación del cuestionario inicial
Se llevó a cabo una evaluación inicial al total de sujetos seleccionados el
cual tuvo como objetivo identificar los conocimientos previos de los alumnos
respecto a la suma y resta de fracciones con igual y diferente denominador.
El tiempo determinado para dicha actividad fue entre 50 y 60 minutos
aproximadamente.
Fase 2: Programa de intervención
Esta fase se llevó a cabo durante 14 sesiones de aproximadamente 60
minutos cada una. Su finalidad fue que a partir de las actividades propuestas
(14) los alumnos puedan resolver problemas en los que se utilice la suma y
resta de fracciones con igual y diferente denominador.
TEMA N° DE SESIONES
1. Concepto de fracción 2
2. Fracciones unitarias 2
3. Suma y resta de fracciones con igual denominador
3
4. Equivalencia de fracciones 2
5. Orden de las fracciones 2
6. Suma y resta de fracciones con diferente denominador
3
75
Fase 3: Aplicación del cuestionario final Se aplicó un postest a todo el grupo en donde se evaluaron los cambios que
se representaron después de la aplicación del programa de intervención.
Fase 4: Análisis comparativo
Se realizó un análisis comparativo entre la evaluación inicial y la evaluación
final.
DISEÑO
El diseño bajo el cual se llevó a cabo la investigación es cuasiexperimental
pretest - postest con un sólo grupo.
Se trabajó con un grupo experimental al cual se le aplicó una evaluación
inicial (pretest), un programa de intervención o tratamiento y finalmente una
evaluación final (postest).
El diagrama del diseño es el siguiente.
G O1 X O2
Donde:
G: Grupo experimental
O1: Pretest
X: Tratamiento
O2: Postest
76
CAPÍTULO III
ANÁLISIS DE RESULTADOS
El análisis de resultados se realizó en tres fases: A) análisis cuantitativo, B)
análisis de contenido y C) análisis cualitativo, los cuales se presentan a
continuación:
A) ANÁLISIS CUANTITATIVO
Para realizar el análisis de datos se utilizó el estadístico de prueba “t de
Student” el cual permite comparar los promedios obtenidos en las distintas
mediciones realizadas (pretest y postest).
Dicho estadístico se aplicó en la siguiente modalidad:
•Prueba t para grupos relacionados en el grupo experimental. En esta
modalidad se analizan los promedios obtenidos en el pretest y en el
postest del grupo experimental.
Con los puntajes obtenidos en el pretest (ver anexo No. 4) y en el postest (ver anexo
No. 5) se obtuvieron los siguientes datos:
Grupo
experimental
Promedio
µ
Desviación
estándar
σ
Tamaño de
la muestra
n
Pretest (G1) 18.630 5.459 27
Postest (G2) 49.593 5.672 27
77
PLANTEAMIENTO DE LAS HIPÓTESIS El promedio de las calificaciones que obtendrán los alumnos del grupo
experimental en el postest (G2) después de trabajar con “el programa de
intervención” es mayor que el promedio de las calificaciones obtenidas en el
pretest del mismo grupo (G1).
Hinv: µ1 ⟨ µ2
HIPÓTESIS ESTADÍSTICAS: Ho: µ1 - µ2 ≥ 0
H1: µ1 - µ2 ⟨ 0
REGLA DE DECISIÓN:
Con ∝ = .05, el valor encontrado en la tabla de distribución “t de Student” con
n1 + n2 – 2 = 52 grados de libertad es t(52)= 1.671. A partir de estos datos se
definen las regiones de rechazo y no rechazo de Ho como sigue:
Se rechaza Ho si tc ∈ ∠-∞,1.671]
No se rechaza Ho si tc ∈[1.671, ∞⟩
CÁLCULOS: El valor de tc es:
tc = -22.921
INTERPRETACIÓN:
Como se rechaza Ho: µ1 - µ2 > 0 con ∝= .05 hay evidencias para considerar
con 95% de confianza que las calificaciones obtenidas en el postest del
grupo experimental son mayores que las obtenidas en el pretest del mismo
grupo. En este caso se puede decir que G1 pretest (18.630) es
significativamente menor que G2 postest (49.593) del grupo experimental (ver
gráfica 1). Es decir se tiene evidencia de que el programa de intervención
favorece el aprendizaje de la suma y resta de fracciones.
78
Por lo anterior, se concluye que el programa de intervención produjo una
mejora en la comprensión y uso que los alumnos tenían sobre los temas
abarcados.
B) ANÁLISIS DE DATOS POR CONTENIDO
El análisis por contenido se realizó debido a que, a pesar de que los alumnos
mejoraron la comprensión y uso de los temas abarcados, hubo temas que se
les dificultaron y algunos otros que no presentaron gran dificultad.
En cuanto al contenido de “noción de fracción” en el pretest presentaron
grandes dificultades ya que en la primera pregunta que era colorear la
fracción que se indicaba, las figuras no estaban divididas exactamente en la
cantidad que indicaba el denominador, sino que, la fracción la formaban dos
partes de la figura, razón por la cual en el pretest la mayoría de los alumnos
se confundieron. Sin embargo, en el postest la mayoría logró responder
correctamente a la pregunta.
Otra dificultad encontrada en el pretest en cuanto al contenido antes
mencionado, fue el problema en el que se tenían que repartir 2 chocolates a
5 niños, en el pretest la mayoría solamente repartía los chocolates en partes
iguales o solamente repartía un chocolate, pero no podían decir que fracción
79
del chocolate le tocaba a cada niño, sin embargo en el postest los alumnos
lograron indicar que a cada alumno le tocaban 2/5 y que ambos chocolates
se tenían que repartir en partes iguales a los 5 niños.
En cuanto al contenido de “fracción unitaria” lo que más se les dificultó en
el pretest fue ubicar las fracciones en una recta numérica ya que
consideraban que si en el numerador estaba el 1 entonces en ese lugar
estaba la fracción.
Al final en el postest muchos de los alumnos ya podían ubicar en la recta
numérica las fracciones indicadas aunque todavía hubo quienes seguían
ubicando la fracción en el número entero.
En el contenido de “fracciones equivalentes” en este contenido la dificultad
que todos presentaron fue que aunque las figuras representaran la misma
cantidad, sólo por estar divididas en más partes los alumnos decían que no
eran iguales y que la que tenia más partes iluminadas era mayor y por lo
tanto no eran iguales. Otra dificultad, que se presentó fue en un problema en
el que se tenía que decir si se había comprado la misma cantidad de crema,
en este problema como ellos veían que una fracción tenía un denominador y
numerador más grande decían que no era lo mismo porque los números eran
más grandes. Aunque al final los alumnos incrementaron la puntuación que
habían obtenido en el pretest, aun surgian algunas dificultades al tratar de
encontrar fracciones equivalentes sin el apoyo de ilustraciones.
En el contenido de “orden de las fracciones” la principal dificultad
presentada por los alumnos fue cuando en el pretest se les pedía ordenar
algunas fracciones, aunque la fracción estaba representada gráficamente
ellos las ordenaban conforme al denominador. Por ejemplo en la pregunta
número 4 la indicación era: Observa la fracción iluminada de cada figura y
ordénalas de menor a mayor.
80
3/8 1/2 3/4 1/4
En esta pregunta lo que hacían los alumnos era ordenar las fracciones de la
siguiente forma: ½, ¼, ¾ y 3/8. Cuando se les cuestionaba por qué lo habían
hecho de esa forma algunas de sus respuestas eran “porque el 2 es el
número más chico”; “pues porque todos los demás son más grandes que el
dos”; “porque si contamos el 2 esta antes del 4 y del 8”. Además, cuando se
les preguntó: entonces ¿por qué esta colocada en primer lugar la fracción
1/4?, algunos alumnos mencionaban que era porque “nos habíamos
equivocado”. Sin embargo, muchos decían que lo que pasaba era que
ambos números (numerador y denominador) importaban para ordenar las
fracciones, que por eso eran primero las fracciones ½ y ¼ y después ¾ y 3/8.
Después en el postest, los alumnos lograron un avance; ya que en la
pregunta donde se mostraba la ilustración de la fracción la mayoría logró
ordenarlas correctamente, en cuanto a las preguntas en donde no se
mostraban las representaciones gráficas de las fracciones, aunque los
alumnos lograron un gran avance, también presentaron algunas dificultades
al momento de resolver el postest, además en este caso algunos alumnos
optaron por realizar sus dibujos y de esa forma tratar de ordenar las
fracciones.
En cuanto al contenido de “suma y resta de fracciones con igual
denominador”, algunos de los alumnos ya sabían como se realizaban ya
que decían que solamente se tenían que sumar los números de arriba y el de
abajo se quedaba igual, sin embargo una de las problemáticas era que como
algunos alumnos veían el signo de suma creían que se tenían que sumar los
denominadores y los numeradores y ese era el resultado. En cuanto al
81
postest se noto un gran avance ya que los alumnos que no sabían como se
resolvían las operaciones, pudieron hacerlo de manera correcta, además en
los problemas que se referían a la suma y resta de fracciones con igual
denominador los alumnos los pudieron resolver correctamente.
Finalmente en lo referente al contenido de “suma y resta de fracciones con
diferente denominador”, solo el 0.081% de los alumnos tenían una idea de
cómo se resolvían este tipo de operaciones, mientras que los demás
alumnos lo que hacían era sumar los numeradores y los denominadores y
así obtenían el resultado. Sin embargo, ya en el postest los alumnos
resolvieron correctamente las preguntas que hacían referencia a este
contenido, aunque, se identifico que los que no pudieron resolver las
preguntas correctamente presentaron confusión al sacar un común
denominador para ambas fracciones y en lugar de multiplicar ambos
denominadores lo que hacían era sumarlos.
Para mostrar de forma más ilustrativa el avance de los alumnos en el
postest, se integraron las preguntas en cada uno de los contenidos y se
calculo el promedio de cada uno. A continuación se presentan los promedios
obtenidos en cada uno de los contenidos evaluados.
Contenido Promedio en
el Pretest Promedio en
el Postest
Noción de fracción 1.543 3.037 Fracción unitaria 2.419 4.777 Equivalencia de fracciones 0.666 1.271 Orden de fracciones 0.604 2.086 Suma y resta con igual denominador 0.503 1.755 Suma y resta con diferente denominador 0.081 1.651
Como se puede observar en la tabla anterior, en los tres primeros contenidos
que son: noción de fracción, fracciones unitarias y equivalencia de fracción,
la puntuación en el postest incremento alrededor de un 50%. Mientras que en
82
los contenidos que se refieren al orden de fracciones, así como a la suma y
resta de fracciones con igual y diferente denominador la puntuación se
incremento en más del 50% en el postest (véase gráfica 2).
83
C) ANÁLISIS CUALITATIVO El análisis cualitativo se realizó en base a categorías de análisis identificadas
durante la aplicación del programa de intervención; para tal efecto se llevó el
registro de cada clase en un diario de campo que ayudó a identificarlas.
Las categorías encontradas se eligieron de acuerdo a las conductas
presentadas con mayor frecuencia por los alumnos, durante la aplicación del
programa de intervención.
A continuación se presentan cada una de estas categorías:
1. Liderazgo
El liderazgo será definido como aquella cualidad de personalidad y
capacidad que favorecen la guía y el control de otros individuos, ejercida en
una situación, dirigida a través del proceso de comunicación para la
consecución de uno o diversos objetivos específicos.
Ejemplo: Actividad 1. (Noción de fracción)
En esta actividad se dividieron los equipos, en particular en un equipo
integrado por 4 alumnos, en el momento de dar las indicaciones, la hoja del
problema y el material (cartulina de 36x40 cm), una alumna decidió llevar el
control del mismo equipo diciendo “ yo digo como lo hacemos ¿les parece?,
yo leo las indicaciones y les digo qué tenemos que resolver”. Su actitud
dentro del trabajo en equipo durante varias sesiones se mantuvo en la misma
postura dado que siempre se encargaba de leer las instrucciones, analizar la
situación de manera independiente para luego orientar a los demás
compañeros y, en su caso, preguntar si la manera de entenderlo estaba
siendo la adecuada.
84
El impacto que tuvo esta categoría en la actitud de los alumnos fue benéfica;
ya que se observóq que dicha conducta por parte de la alumna era constante
y continua es su vida académica, lo cual era aceptado favorablemente por
los demás en el momento en que dirigía y guiaba la actividad sin
desfavorecer o hacer menos al resto del equipo, lo cual permite a los demás
alumnos ser orientados sin sentirse controlados o ignorados en la exposición
de ideas y realización del trabajo; sin embargo. no es una regla aplicada de
manera general.
2. Organización La organización será definida como el acto de coordinar, disponer y ordenar
los recursos disponibles (humanos) y las actividades necesarias, de tal
manera, que se logren los fines propuestos.
Ejemplo:
Actividad 5. (Orden de las fracciones)
En la mayoría de las ocasiones los equipos no presentaron altercados en
cuanto a su organización ya que en general ésta fue cambiante. Sin
embargo, en el equipo anterior, aparte de mostrarse una alumna como líder
en la realización de actividades también mostraba actitudes de organización
hacia el equipo de trabajo “yo leo el problema en voz alta, tú recortas el
material, si necesitamos otra hoja, o si necesitamos hacer operaciones tu las
escribes y las haces y para exponer el problema te toca a ti”, etc.
De esta forma se aprecia cómo la alumna presenta actitudes favorables en el
trabajo en equipo, ya que se observó verdaderamente la coordinación
necesaria para el trabajo dejando que cada integrante realizará lo que le
correspondía, lo cual hizo que el trabajo presentando sesión tras sesión
85
ofreciera apertura de resultados, constancia y lo más importante aprendizaje
en cada uno de los integrantes porque su organización fue cambiante en
cada trabajo,
3. Comunicación La comunicación es un proceso de interrelación entre dos (o más) personas
donde se transmite una información desde un emisor, que es capaz de
codificarla en un código definido, hasta un receptor, el cual decodifica la
información recibida, todo eso en un medio físico por el cual se logra
transmitir, con un código en convención entre emisor y receptor, y en un
contexto determinado. El proceso de comunicación emisor - mensaje -
receptor, se torna bivalente cuando el receptor logra codificar el mensaje, lo
interpreta y lo devuelve al emisor originario, quien ahora se tornará receptor.
Ejemplo: Todas las actividades.
La comunicación pudo ser observada desde el momento en que en las
sesiones se solicito la “confrontación”; ya que en cada sesión un
representante o el equipo completo pasaba a explicar la resolución de sus
problemas. Poco a poco cada equipo fue adquiriendo habilidades diversas
como: entonación, habilidad para captar la atención de los demás, postura, y,
sobre todo, bases para una buena comunicación, ya que, en ocasiones al
explicar los equipos no podían explicar como llegaron a su resultado y las
dudas de los alumnos eran tajantes, por lo cual, el exponente tenía que
encontrar los medios necesarios para explicar de nuevo adecuadamente y de
manera que solucionará a la duda presente a partir de la defensa de la
solución de su problema. De esta manera, el mensaje que era ofrecido en las
explicaciones siempre fue el medio o la variable que permitió en momentos
86
darle la razón a la persona que explicaba, pero también fue el medio de
confrontación de sus mismos resultados cuando no estaban en lo correcto.
De esta forma se puede observar que esta categoría presentó gran dificultad
en cada una de las explicaciones de los alumnos, porque aparte de
enfrentarse a una estrategia que no es fomentada con frecuencia
(exposición) tuvieron que encontrar las armas necesarias para demostrar de
manera correcta o incorrecta el por qué de su resolución, lo cual beneficia
notablemente las habilidades de expresión de lo alumnos.
4. Integración La integración es un proceso dinámico que debe incluir la participación de
todos los miembros y debe estar basado en la igualdad de oportunidades.
Ejemplo: Actividad 3. (Fracción unitaria)
En esta actividad, al inicio de la sesión se entregó por equipo una cartulina
rectangular de (4x9 cm) en la resolución de este problema los equipos, en su
mayoría, presentaron dificultades. Sus dudas era constantes: “¿Cómo que
tenemos que construir la unidad entera a partir de que este pedazo
representa ¾ de la unidad?”. En los diálogos presentes entre la mayoría de
los equipos se escuchaba: “¿y si en la cartulina entera la dibujamos dos
veces y la unimos?”. El resto del equipo buscaba alternativas como dividir
esa tira en partes iguales, por otra parte en un cuaderno empezaba a graficar
dividiendo en 4 partes y sombreando sólo 3. De esta manera se observó
cómo el equipo en situaciones complejas buscó alternativas para llegar a la
solución del mismo, por una parte se puede observar individualismo pero sin
dejar de pensar en el bien común. Al terminar su tiempo, no encontraban la
manera apropiada de explicar el resultado; sin embargo, fueron presentando
87
las diversas alternativas que le dieron al mismo visto desde distintas
perspectivas.
La integración en la mayoría de los equipos fue una situación difícil de
controlar debido a que los alumnos presentan ciertas limitaciones a la hora
de trabajar en equipo; como: no saber ser participe de actividades en
colaboración; miedo al estar con compañeros con lo que quizá no se tenga
una relación frecuente; demostración de poco o nulo conocimiento acerca de
lo planteado y, sobre todo, falta de seguridad en su propia persona. Esta
situación fue solucionada a partir de involucrar poco a poco a los alumnos a
través del acercamiento con ellos, de sus dudas, dándoles seguridad y
ofreciéndoles respuestas poco confusas y explicaciones constantes, así
mismo en ir cambando a los alumnos con un mayor dominio del tema y con
mayores habilidades, para un mejor trabajo en equipo, el cambio de equipo
se realizaba en ocasiones al azar y en otras se ponía al alumno con mayor
habilidad en equipos que no contaban con tanta habilidad.
5. Participación La participación es vista como una conducta mediante la cual el alumno
interviene, comunica, manifiesta e interactúa con el maestro y sus
compañeros en el proceso de enseñanza-aprendizaje, de esta manera
implica a los alumnos en la vida escolar a través de la palabra y la acción
cooperativa pero también a través de dialogar y realizar proyectos. Ejemplo: Actividad 5. (Orden de las fracciones)
Desde el comienzo en esta sesión se solicitó que alguien leyera el problema
en voz alta para el resto del grupo, en un equipo formado sólo por varones se
88
observaban sus ganas de ser los primeros en llegar a la solución del mismo;
sin embargo, se observó una diferencia de actitud en el momento de
enfrentar el problema en el que se tenía que repartir una bolsa de dulces que
contenía 120 piezas. Dada su situación contextual, en ese momento ellos
contaban con el material físicamente ya que les toco la “cooperativa”; esto
les permitió reunir sus caramelos, asociar las ideas y llegar a la solución de
manera más dinámica, atractiva y sencilla. Cuando concluyó el tiempo, se
solicitó que pasara un representante del equipo. Ellos respondieron ¿no
podemos pasar todos?, es que todos trabajamos por igual y no podemos
dejar a nuestro cuate sólo. Cuando terminaron y se dio la retroalimentación
sus participaciones eran constantes, sus dudas permitían ahondar más el
tema y su manera de representar las cosas permitió una mejor asociación de
ideas para el resto de los compañeros.
Finalmente esta categoría muestra cómo cuando se tiene la seguridad de
haber trabajado en colaboración y se tiene la confianza en la manera de
llegar a su resolución a partir de cualquier estrategia utilizada se consigue
que los alumnos se sientan orgullosos de su trabajo, reflejando y mostrando
a los demás equipos un ejemplo de cómo participando de manera conjunta
se llega más rápida y de manera correcta a la solución.
Se puede decir que cada una de estas categorías presenta una interrelación
entre los distintos roles presentes en las conductas de los alumnos para el
logro de los objetivos en cada una de las actividades, como la comunicación
que tuvo como propósito inducir intencionalmente en la conducta de otro,
buscando producir una determinada respuesta, para ello siempre es
oportuno reflexionar sobre la intencionalidad, la ideología y las expectativas
del otro para no caer en una dificultad de opinión, lo cual se ve reflejado al
tener presente que debe existir igualdad de oportunidades en la realización
de las actividades produciendo que los alumnos sientan importante su
89
participación y trabajo manifestando, interactuando, cooperando y
preguntado dudas hacia los demás lo cual permite distinguir e identificar el
compromiso y disposición que se debe tener en un trabajo en equipo lo cual
no sólo debe estar a cargo de una sola persona sino a partir de guías del
conocimiento en el aprendizaje de los demás lo cual beneficiaria en su
totalidad la organización, planeación y desarrollo del trabajo a realizar. De tal
forma que la inclusión adecuada de cada estas categorías trae como
beneficio una trabajo en equipo eficiente el cual aporta dudas, presenta
diferentes resoluciones y resuelve problemas; sin embargo no siempre puede
presentar los mismos beneficios en el desarrollo de las actividades ya que
ello depende de los tipos de personalidades, del manejo adecuado de cada
categoría para no ser confundidas con control absoluto e individualidad.
90
CONCLUSIONES
Se puede concluir que en el presente trabajo se alcanzó el objetivo general
de diseñar, aplicar y evaluar un programa de intervención para la enseñanza
de la suma y resta de fracciones en alumnos de 4º de primaria basado en la
resolución de problemas.
Esto se puede corroborar a partir de los análisis de resultados realizados en
donde se observa en primer lugar que de acuerdo al análisis cuantitativo, que
desde el punto de vista estadístico se presento una mejoría notable con
respecto al pretest (10.633); ya que en el promedio obtenido por los alumnos
en postest (29.367) fue más elevado.
De acuerdo al análisis de datos por contenido se observó que los temas en
los que a los alumnos tuvieron más dificultades fueron: noción de fracción,
fracciones unitarias y equivalencia de fracción. Sin embargo, en éstos temas
la puntuación en el postest se incrementó alrededor de un 50%. Mientras que
en los contenidos que se refieren al orden de fracciones, así como a la suma
y resta de fracciones con igual y diferente denominador la puntuación se
incrementó en más del 50% en el postest.
Todo esto indica que las dificultades presentes sucedieron cuando los
alumnos tenían que repartir cosas e indicar que fracción le correspondía a
cada alumno. También cuando se tenían que ubicar las fracciones en la recta
numérica así como identificar fracciones equivalentes que representaban la
misma cantidad. Otra dificultad más fue detectada cuando se les solicitó
ordenar algunas fracciones, ya que lo hacían en base al denominador
ordenando de menor a mayor. Finalmente, en el apartado de la suma y resta
de fracciones el problema era que por lógica sumaban o restaban como si se
tratara de números naturales, es decir sumaban los numeradores y los
denominadores. Sin embargo, en el postest muchas de estas dificultades
91
fueron desapareciendo conforme iban resolviendo sus situaciones didácticas
y conforme veían las explicaciones de los compañeros y de nosotras.
En relación a lo anterior se coincide con Alsina (1998), ya que considera que
la importancia de los conocimientos previos es un determinante en el
aprendizaje de los contenidos posteriores, así fue como los alumnos tuvieron
que partir de un aprendizaje previo para finalmente demostrarlo en su
enseñanza actual. Sin embargo, para la realización de todos estos cambios
como menciona Lovell (1986) es necesaria una adecuada “comprensión” de
los conceptos que se están manejando porque sólo así la información podrá
ser aprendida, retenida y reproducida.
A través del análisis cualitativo basado en las 5 categorías encontradas a
partir de las conductas presentadas por los alumnos durante la aplicación del
programa de intervención (liderazgo, organización, comunicación, integración
y participación), se observó que algunas veces era difícil distinguir en dónde
empezaba una categoría y en dónde otra, porque no se presentaban de
manera independiente sino que, en la mayoría de los casos, se presentaban
todas o varias al mismo tiempo, lo cual era lo que hacía aún más interesante
la información que se registraba en los diarios de campo.
Se puede concluir que el trabajo realizado en cada equipo fue determinante,
ya que muchas dificultades fueron superadas en base al trabajo que ellos
mismos realizaban y a la confrontación y retroalimentación realizada de
manera grupal. Sin embargo, también en muchas ocasiones el trabajo en
equipo se veía truncado debido a que los alumnos no estaban
acostumbrados a trabajar en esta forma.
Debido a que esta investigación se basa en el modelo aproximativo o del
problema como recurso de aprendizaje para trabajar la suma y resta de
fracciones con igual y diferente denominador, lo más importante era que los
alumnos fueran construyendo su aprendizaje; por ello resulta de gran
92
importancia la confrontación de sus procedimientos con el resto de su
compañeros (en equipo o con todo el grupo), lo cual se tomó en cuenta en el
programa de intervención en la interacción entre iguales, ya que en la
construcción de los conocimientos matemáticos, los niños parten de
experiencias concretas, las cuales se ven enriquecidas a través del diálogo y
la interacción (compañeros y maestro).
Aunque de acuerdo con el Plan y Programa de Educación Pública (1993), en
la experiencia aquí reseñada el diálogo, la interacción y la confrontación de
puntos de vista favorecen el aprendizaje fue una parte un tanto difícil ya que
en alguna ocasiones nadie tenía idea de qué se debía de hacer o terminaban
por creer en el procedimiento de alguno de sus compañeros porque decían
que él era el más inteligente o defendían su punto de vista sin tomar en
cuenta el punto de vista de los demás.
Con todo esto se precisaron las características de la relación situación-
problema que se debía establecer en la resolución de problemas, según
(Charnay, 1994) ya que las situaciones a resolver partían de un verdadero
problema el cual le permitió al alumno utilizar los conocimientos anteriores,
ofreciendo como variante una resistencia suficiente para llevar a al alumno a
superar sus conocimientos para finalmente ser validados por la misma
situación, sus compañeros y el maestro.
Es necesario que los docentes no solucionen los problemas de los alumnos,
sino que guíen y orienten la realización de sus actividades, permitiendo así
que los alumnos trabajen y empleen los materiales necesarios que existen en
el medio ambiente en que se encuentre.
Aun cuando el programa de intervención cumplió sus objetivos al mejorar el
aprendizaje de los alumnos en cuanto a la suma y resta, se presentaron
93
algunas limitaciones durante el desarrollo de la investigación mismas que a
continuación se mencionan:
LIMITACIONES
•El tiempo dedicado para cada sesión en algunos casos no fue
suficiente ya que hay niños que necesitan más tiempo que otros,
para organizarse, discutir sus puntos de vista y llegar a un acuerdo.
•Algunos alumnos no están acostumbrados a expresar sus puntos de
vista, ni al trabajo en equipo y solamente quieren trabajar ellos o
dejar que los demás realicen el trabajo.
•No resulta fácil trabajar bajo el enfoque de resolución de problemas ya
que los alumnos están acostumbrados a trabajar bajo el enfoque
tradicional y a los alumnos les cuesta trabajo reflexionar o dar la
solución ellos mismos a un problema y esperan que sea el docente el
que de la solución o el procedimiento bajo el que se va a trabajar.
SUGERENCIAS
•Antes de empezar a trabajar con algún grupo es conveniente que
observe la dinámica de grupo, el espacio físico en donde se va a
trabajar, que se conozca a los alumnos para detectar sus
necesidades e intereses y así poder adecuar las actividades.
•Verificar que las actividades tengan un nivel de dificultad que parta de
lo más sencillo a lo más complejo y de ser necesario realizar las
modificaciones necesarias para que cumplan el objetivo para el que
fueron diseñadas.
•Tener en cuenta que para el niño trabajar con números fraccionarios
no es fácil y que presenta dificultades tanto conceptuales como
Con formato: Numeración yviñetas
Con formato: Numeración yviñetas
94
algorítmicas por ello es importante conocer el nivel de maduración en
que se encuentran los alumnos y utilizar un lenguaje sencillo y claro.
•Es de gran importancia la organización en clase, el decidir que
problemas deben ir primero, cuales después, en que momento se
debe pasar a un nivel de complejidad mayor, que materiales utilizar,
como organizar los equipos, etc.
95
BIBLIOGRAFÍA
Alsina, C. (1998). Enseñar matemáticas. Grao, Barcelona.
Block, D. y Solares, D. (2001). Las fracciones y la división en la
escuela primaria: análisis didáctico de un vínculo. Educación
matemática. Vol. 13 No. 2.
Charnay, R. (1994). “Aprender (por medio de) la resolución de
problemas”. en: Parra, C. y Sainz I. (Comps.). Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Paidós Educador. Argentina. (pp.
51-63)
Corial, M. (2001). Didáctica de las matemáticas en la escuela primaria.
Síntesis, Madrid.
Llinares, S. y Sánchez, M. (1997). Fracciones 4. Síntesis. Madrid.
Lovell, K. (1986). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Morata: Madrid.
Martinon, A. (2000). Las matemáticas del siglo XIX. Una mirada en 101
artículos.
Panizza, M. (2003). “Conceptos básicos de la teoría de situaciones
didácticas”. en Panizza, M. (comp.). Enseñar matemáticas en el nivel inicial y el primer ciclo de la EGB. Paidós. México. (pp. 59-71)
Robles, R. Robles, M. Minquini, M. y Lechuga, A. (2003). Matemáticas en acción 4º de primaria, libro del maestro. Fernández Editores.
México.
96
SEP. (1993). Plan y Programas de Estudio: Primaria. México
SEP. (1996). La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Taller para maestros, Primera parte. SEP. México.
SEP. (1996). La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Taller para maestros, segunda parte. SEP. México.
Valdemoros, M. (1997). Recursos intuitivos que favorecen la adición
de fracciones: estudio de caso. Educación matemática. Vol. 9, No. 3.
Vázquez, M. (2003). El razonamiento matemático en alumnos de
primaria para la vida real. Revista entre maestros. V. 2, No. 7.
97
98
99
CONTENIDOS DEL PROGRAMA
Concepto de fracción (parte-todo)
Suma y resta de fracciones con igual denominador
Fracciones unitarias
→Nivel simbólico →Nivel concreto-
continuo →Nivel concreto-
discreto
Equivalencia de fracciones
Suma y resta de fracciones con diferente denominador
Orden
100
101
UUU NNN III VVV EEE RRR SSS III DDD AAA DDD PPP EEE DDD AAA GGG ÓÓÓ GGG III CCC AAA NNN AAA CCC III OOO NNN AAA LLL L I C E N C I A T U R A E N P S I C O L O G Í A E D U C A T I V A
NOMBRE: SEXO: EDAD: Instrucciones:
El siguiente cuestionario consta de 22 preguntas, las cuales tienen que ver con la materia de matemáticas.
Lee detenidamente cada una de las preguntas para que sepas que es lo que debes realizar en cada una.
1. Colorea en cada figura la fracción que se te indica.
6 8
1 4
2 3
3 4
2. Escribe debajo de cada figura la fracción que está sombreada.
A) ---------------
B) ---------------
C) ----------------
D) ----------------
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3. Sigue la secuencia y anota la fracción o fracciones que falten. A)
1 ___ 3 ___ 5 6 6 6
1 ___ ___ 4 ___ 16 16 B) Di cuántas partes se tomaron del entero y escribe el numerador y denominador con número y letra. _1_ _____________________ 3 ___ _____________________ ____ _____________________ C) Representa la fracción que se te pide.
1 -------
5
1 -------
7 4. Observa la fracción iluminada de cada figura y ordénalas de menor a mayor. 3/8 1/2 3/4 ¼
103
1 ----- < ----- < ----- < ----- 4
5. Observa los siguientes dibujos y las fracciones sombreadas. 1 2 4 2 4 8 a. ¿Son iguales entre sí cada una de las figuras? _________
b. ¿Alguna es mayor que otra? _________ ¿Cuál? _________
c. ¿Alguna es igual que otra? _________ ¿Cuál?__________
6. Localiza en la recta numérica la fracción que se te pide y márcala con un punto.
0 1 0 1 0 1
7. Observa las siguientes fracciones y encierra en un circulo rojo las fracciones que sean menores a un entero y en u n circulo azul las que sean mayores a un entero.
2 6 5 9 1 ----- ----- ----- ----- -----
3 4 2 9 8
4 5 8 3 8 ----- ----- ----- ----- -----
7 100 10 3 6
1 ----- 2
2 ----- 5
6 ----- 6
104
8. Anota los números que hacen falta en las siguientes fracciones 2 6 ----- = ----- = ----- 7 14 a. ¿Qué numero va en ? __________ b. ¿Qué numero va en ? ________ 9. Ordena los siguientes grupos de fracciones de menor a mayor. A. 4 , 4 , 4
5 6 3 ___ < ___ < ___
B. 1 , 3 , 1 3 4 10
___ < ___ < ___
C. 1 , 1 , 1 4 2 100
___ < ___ < ___
10. Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones con igual denominador.
A) 3 + 4 5 5 =
B) 1 + 3 7 7 =
C) 5 + 7 12 12 =
E) 9 - 2 10 10 =
G) 6 - 1 8 8 =
H) 13 - 7 15 15 =
11. Resuelve las siguientes sumas y restas de fracciones con diferente denominador.
A) 2 + 3 3 4 =
B) 3 + 5 7 11 =
C) 3 + 7 5 20 =
105
E) 3 - 1 4 2 =
F) 15 - 10 2 5 =
G) 7 - 1 8 3 =
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES 12. Juan tiene 2 chocolates y debe repartirlos entre cinco niños. No debe sobrar nada de chocolate y los cinco niños deben tener partes iguales. A) Marca en los dibujos de abajo lo que le toca a cada niño. B) ¿Qué fracción de chocolate le toca a cada uno? ________________ 13. En la cremería María compró 2/4 de litro de crema y Ana compró 1/2 litro de crema. ¿Alguna de las niñas compró más crema? 14. Chela fue al mercado y compró las siguientes frutas: 2/3 de kg. de manzanas; 4/8 de kg de mangos; 1/9 de kg de ciruelas; 1/3 kg. de plátanos y 9/12 de kg. de peras. ¿Podrías hacer una lista en la que anotes de mayor a menor la cantidad en kilogramos de cada una de las frutas que Chela compro?
FRUTA CANTIDAD QUE COMPRO
1.
2.
3.
4.
5.
106
15. Fernando compró un pliego de papel lustre. Usó 3/8 para forrar sus cuadernos y 4/8 para sus libros. ¿Cuánto papel ocupó en total? 16. En la panadería de Don Pancho 2/5 de la harina es usada para hacer pan y 1/5 de harina es usada para pasteles. ¿Qué fracción de harina se usa en total? 17. Gaby tiene 10 dulces y les reparte a su hermano y a su primo 4/10. ¿Cuántos dulces le quedan ahora? 18. Pedro tiene 30 canicas, pero jugando con Carlos pierde 2/3 de ellas. ¿Qué cantidad de canicas le quedaron después de jugar con Carlos? 19. Una alberca contiene agua hasta un tercio de su capacidad y se le añaden 2/4 partes más. ¿Qué parte de la alberca queda llena? 20. En un grupo de cuarto grado, dos terceras partes de los niños llevan gorro azul y la sexta parte lo lleva rojo. Los demás no llevan gorro. ¿Qué parte del grupo lleva gorro? 21. De una varilla que mide 7/8 de m. se cortan las 3/4 partes. ¿Qué parte de la varilla quedó ahora? 22. El jefe de César repartió los trabajos de carpintería entre algunos carpinteros. A César le tocó una cuarta parte de los trabajos de urgencia, más una tercera parte del trabajo que le iba a tocar a un empleado que faltó. En total ¿Qué parte del trabajo tiene que realizar Cesar? ¿A Cesar le toco más de la mitad del trabajo o menos? ____________
107
108
ACTIVIDAD 1
OBJETIVO: Que el alumno identifique a partir de la partición como se llaman las fracciones de un entero, así mismo, motivar el interés por las fracciones en una situación en donde se requiere hacer uso de ellas.
DURACIÓN. 1 hora.
MATERIALES
•Pastel o cualquier otro alimento rectangular de 36 x 40 centímetros •Formato de respuesta para el reparto del pastel (por equipo) •Cartulinas de 36 x 40 centímetros (una por equipo) •Tijeras •Reglas
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•Se dará a conocer a los alumnos la forma en que se llevará a cabo esta actividad y se formaran equipos de 4 o 5 integrantes. Así mismo, se les entregará una hoja por equipo del problema.
•Con el fin de que los alumnos puedan simular un reparto con materiales concretos, se hará entrega a cada uno de una cartulina de 36 x 40 cm., regla y tijeras.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
En la fiesta del día de hoy vamos a repartir un pastel que mide 36 x 40 centímetros, entre 8 personas. ¿Qué necesitamos hacer para que a todos nos toque un pedazo del mismo tamaño? ¿Cuánto debe medir de largo y cuánto de ancho cada una de las 8 partes?
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Después de haber terminado la actividad cada equipo discutirá sus puntos de vista, acerca de si les resultó fácil la actividad o no y por qué, etc.
Al terminar de discutir sus puntos de vista por equipo la profesora pedirá al grupo que formen un solo círculo alrededor del salón, así la profesora invitara al grupo a que expresen la forma en que llegaron a la solución del problema, esto puede ser de manera escrita u oral, en caso de ser necesario.
Finalmente después de discutir los puntos de vista se analizara cuál fue el mejor procedimiento para llegar a la solución del problema.
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Los alumnos deberán anotar sus operaciones y resultados en la hoja de respuestas.
VARIABLE DE COMANDO
Al término de la actividad la profesora pedirá a los alumnos que se integren nuevamente por equipo y les entregara el siguiente problema.
Si el pastel fuera de las siguientes formas ¿Cómo podrías dividirlo para que a 6 niños les toque la misma cantidad? Encuentra tres formas distintas.
¿Cuántos cuadritos del pastel le tocarían a cada niño? _________
¿Qué fracción del pastel le toca a cada niño? ______________
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando los alumnos hayan obtenido la solución al problema planteado y anotado sus datos, operaciones y resultados en la hoja de repuestas, cada equipo dará sus explicaciones y hará la representación gráfica en el pizarrón y entre todos analizarán cuál de los procedimientos se entiende mejor.
Finalmente el profesor dará una retroalimentación apoyado en el conocimiento formal sobre fracciones.
Algunos de los procedimientos utilizados por los niños para resolver el problema, podrían ser los siguientes:
•Dividir el lado que mide 40 cm. en 4 partes de 10 cm. cada una; y el lado que mide 36 cm. en 2 partes de 18 cm. cada una.
•Otra forma es realizar un corte inverso al anterior. Es decir, dividir el lado que mide 36 cm. en 4 partes de 9 cm. cada una y el lado que mide 40 cm. en 2 partes de 20 cm. cada una.
110
En cuanto a la variable comando las posibles soluciones serian:
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1
RETROALIMENTACIÓN
La profesora pedirá a los alumnos que ocupen nuevamente su lugar y les dará la siguiente explicación.
Recordemos que un número fraccionario es aquel que representa la relación
de una parte y un entero. Por ejemplo: en la barra, una de las
tres partes está sombreada o, lo que es lo mismo, 1/3 está sombreado.
1 (un tercio) es una fracción. 3
Las partes de una fracción son:
1 NUMERADOR, que indica las partes que se toman de un entero. 3 DENOMINADOR, que indica las partes en que esta dividido el entero.
Ahora observen el siguiente dibujo
¿En cuantas partes esta dividida la flor?
¿Cuántas partes de la flor están sombreadas?
Y entonces ¿que fracción de la flor esta sombreada?
Ahora resuelvan los siguientes ejercicios.
111
A: Escribe en cada cuadro las partes en que se fraccionó cada figura.
B. Fracciona cada figura en 4 partes iguales.
C. Escribe en cada cuadro la fracción que está sombreada.
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HOJA DE REPUESTAS PARA EL REPARTO DEL PASTEL
Nombre del equipo: ____________________ Fecha:___________
Problema: En la fiesta del día de hoy vamos a repartir un pastel que mide 36 x 40 centímetros, entre 8 personas. ¿Qué necesitamos hacer para que a todos nos toque un pedazo del mismo tamaño? ¿Cuánto debe medir de largo y cuánto de ancho cada una de las 8 partes?
Resultado: A cada persona le tocará___________________del pastel.
Operaciones y/o dibujos
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ACTIVIDAD 2
Objetivo. Que el alumno identifique las fracciones como parte todo a través de la partición.
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con el problema impreso •Cartulina •Regla •Lápiz •Tijeras •Colores
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•Se pedirá a los alumnos que formen equipos de 4 o 5 integrantes. Así mismo, se les explicara a los alumnos la forma en que se llevara a cabo esta actividad y se les entregara una hoja por equipo del problema.
•Se les dará un tiempo aproximado de 20 a 25 min. para la resolución del problema.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
Doña Sofía ha hecho su testamento; entre las cosas que va a heredar a sus hijos está el jardín sembrado de diferentes tipos de flores. La parte de jardín que sus hijos recibirán es la siguiente:
Felipe: Margaritas
Yolanda: rosas rosas
Susana: rosas rojas
Elena: claveles Emilio: rosas blancas
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¿Qué fracción del jardín tiene rosas rojas? ____________
¿Qué fracción tiene margaritas? _______________
¿Qué fracción del jardín le toco a cada uno de los hijos de Doña Sofía? _____
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
• Cuando los equipos hayan terminado de resolver el problema la profesora pedirá a todos los alumnos que formen un círculo e invitara a los alumnos a hacer un intercambio de ideas en donde se discutan los procedimientos por medio de los cuales cada equipo llego a la resolución del problema o si el problema fue complicado o fácil, etc.
• A través de estas confrontaciones en donde los niños justificaran los distintos procedimientos se buscara llegar a la solución correcta.
• Posteriormente la profesora entregara a los alumnos un nuevo problema.
VARIABLE DE COMANDO
Si el terreno de Doña Rosa fuera de las siguientes formas ¿Cómo podría hacerle para que a sus hijos les tocara la misma parte del terreno?
¿Qué fracción del terreno le tocaría a cada uno de sus hijos? ____________
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando los alumnos hayan terminado la profesora pedirá a los alumnos que pase un integrante de cada equipo y que explique la forma en que llegaron a la solución del problema.
Una vez que todos los equipos hayan explicado sus procedimientos, la profesora retomara algunos de ellos para que entre todos decidan cual es la mejor forma de solucionar el problema.
Algunas de las posibles soluciones a los a la situación problema, seria que los alumnos copiaran el dibujo del jardín y lo doblaran hasta obtener partes del mismo tamaño y poder así decir que fracción representa cada una de las partes, como se muestra a continuación.
115
Posteriormente la profesora dará una retroalimentación apoyada en el conocimiento formal sobre las fracciones.
RETROALIMENTACIÓN
La profesora pedirá al grupo que presten atención a la explicación que les dará.
A B C
En ¿Cuántas partes esta dividida cada una de las figuras?
Ahora díganme ¿qué fracción es la parte sombreada de cada una de las figuras?
Y ¿Qué fracción es la parte que está en blanco de cada figura?
Finalmente la profesora les pedirá a los alumnos que realicen el siguiente ejercicio.
116
Observa las siguientes pinturas:
A) ______ B) ______ C) ______
1. Cuando un entero se ha dividido en mitades, se ha fraccionado en:
Cuatro partes Ocho partes Dos partes
2. Cuando un entero se ha dividido en cuartos, se ha fraccionado en:
Cuatro parte Ocho partes Dos partes
3. Cuando un entero se ha dividido en octavos, se ha fraccionado en:
Cuatro partes Ocho partes Dos partes
4. La figura A se encuentra dividida en:
Medios Cuartos Octavos
5. La figura B se encuentra divida en:
Medios Cuartos Octavos
6. La figura C se ha dividido en:
Medios Cuartos Octavos
Finalmente coloca debajo de las figuras A, B, y C la fracción correspondiente.
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ACTIVIDAD 3
Objetivo: Que el alumno a partir de una fracción unitaria pueda construir la unidad entera.
DURACIÓN. 2 horas.
MATERIAL
• Cartulinas rectangulares de 4 x 9 cm. • Cartulinas enteras • Regla • Lápices • Hojas blancas
DESARROLLO
• Al inicio de la sesión se entregara por equipo una cartulina rectangular de 4 x 9 cm., una cartulina entera.
• Posteriormente, se les explicara a los alumnos en qué consiste la actividad y se les dará un plazo de 20 a 25 min. para que la terminen, en el caso de que aun no la terminen se les darán 10 min. más. Además el profesor ofrecerá diversos niveles de ayuda a los equipos que así lo requieran; evitando en todo momento proporcionar la respuesta o datos que lleven directamente a ella.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
Si este rectángulo representa ¼ de la unidad; intenta construir la unidad entera:
4cm.
9 cm.
¿Qué medidas tiene la unidad entera?______
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Cuando todos los equipos hayan terminado la actividad la profesora pedirá a un integrante de cada equipo que pase a explicar la forma en que su equipo llego a la solución del problema.
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Una vez que todos los equipos hayan explicado sus procedimientos; entre todos discutirán cuál fue el mejor procedimiento para llegar a la solución correcta del problema.
Cuando se termine la confrontación la profesora repartirá por equipo un nuevo problema.
Si lo requieren los alumnos podrán anotar sus operaciones y resultados en la hojas blancas.
VARIABLE DE COMANDO
Ahora podrías localizar 1/8 en las siguientes rectas numéricas.
0 1
0
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando los alumnos hayan obtenido la solución al problema planteado la profesora elegirá a un equipo (al azar) y le pedirá que uno de sus integrantes pase al pizarrón a explicar la forma en que su equipo llego a la solución correcta.
Después de esta exposición la profesora pedirá a otro equipo que tenga un procedimiento diferente que pase a dar su explicación.
Una vez expuestos los diferentes procedimientos entre todos analizaran cuál de los procedimientos es el mejor para resolver el problema.
Uno de los procedimientos que pueden utilizar los alumnos seria que con su regla midieran el rectángulo y multiplicaran la medida de uno de sus lados por 4 por ejemplo si se tomara el lado que mide 9 cm. se multiplicaría 9x4= 36 y tendrían un rectángulo que mide 4cm. de altura por 36 cm. de base. Si se tomara el otro lado se tendría que multiplicar 4 cm. x 4 = 16 y se tendría un rectángulo que mide 16 cm. de altura por 9 cm. de base.
Otra forma seria copiar 4 veces el rectángulo sobre la cartulina y se obtendrían los mismos rectángulos que se mencionaron anteriormente.
119
Finalmente la profesora dará una explicación en base a lo visto en clase y al conocimiento formal sobre las fracciones.
RETROALIMENTACIÓN
El profesor pedirá al grupo que ocupen su lugar y dará una retroalimentación grupal basada en lo siguiente:
Veamos estas figuras:
A B C
• ¿En cuántas partes esta dividida la figura A? _______
• ¿En cuantas partes esta dividida la figura B? __________
• ¿Cuántos elementos componen la figura C? _________
• ¿Cuál seria la fracción que representa la figura B? _______
• ¿La figura C se podría representar a través de alguna fracción? ______
Ahora pensemos que tenemos un pastel de la siguiente forma.
• ¿Qué fracción representa la parte sombreada? _______
• ¿En cuantas parte esta dividida la unidad entera? ________
• Y si fueran cuatro pasteles en lugar de uno ¿Qué fracción representaría la parte sombreada? _________
Hay que recordar que el denominador es el que nos indica en cuantas partes esta dividida nuestra unidad y las partes en que se divide deben ser iguales.
120
Ahora anota lo que indica cada figura.
Si dividimos la figura en: Cada parte es:
Cuántas partes están
sombreadas:
Y la fracción que corresponde a la
parte sombreada es
121
ACTIVIDAD 4
Objetivo. Que alumno identifique a la fracción unitaria como parte de un todo
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con tiras de colores •Hoja con el problema •Tijeras
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•La profesora pedirá a los alumnos que formen equipos de tres o cuatro integrantes.
•Una vez formados los equipos la profesora explicara en que consiste la actividad y repartirá por equipo una hoja con el problema impreso y una con las tiras de colores.
•Para dicha actividad dará un tiempo máximo de 20 min.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
La familia Pérez viaja del D.F. a Pachuca y ha recorrido 7/10 de la distancia total que está representada por la barra azul. Podrías indicar cuál de las barras representa el camino total que recorrerá la familia para llegar a su destino.
No puedes utilizar regla.
7/10
122
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Una vez que los alumno hayan concluido la actividad la profesora les pedirá que por equipo discutan que tan fácil o difícil les resulto la actividad y por qué.
Después de que se haya dado la confrontación la profesora pedirá a los alumnos que por equipo expongan las conclusiones a las que llegaron y a partir de eso se analizara la mejor forma en la que se puede llegar al resultado.
Finalmente la profesora repartirá a los alumnos una nueva actividad.
VARIABLE COMANDO
Ahora puedes indicar en la recta lo siguiente:
Marca con color rojo el lugar de donde partió la familia Pérez (D. F.)
Marca de azul el destino (Pachuca) del recorrido de la familia Pérez
Finalmente marca con color verde el recorrido que hasta el momento lleva la familia Pérez (7/10).
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando los alumnos hayan terminado la profesora pedirá a cada uno de los equipos que elijan un representante el cual deberá explicar la forma en que su equipo llego a la solución del problema.
Una vez que todos los equipos hayan explicado sus procedimientos, la profesora retomara algunos de ellos para que entre todos decidan cual es la mejor forma de solucionar el problema.
Una posible solución al problema planteado seria que los alumnos doblaran cada una de las tiras hasta obtener diez partes iguales y después comparar la tira azul con cada una de ellas hasta obtener el resultado.
En cuanto a la variable comando los alumnos podrían mediar con su regla la linera y dividirla en 10 partes iguales, o doblarla hasta obtener 10 partes iguales y poder marcar lo que se indica.
Posteriormente la profesora dará una retroalimentación apoyada en el conocimiento formal sobre las fracciones.
123
RETROALIMENTACIÓN
Recordemos que un número fraccionario menor que 1 se puede representar en un recta numérica dividiendo la recta entre el uno y el cero tantas veces como lo marca el denominador.
Escribe la fracción en donde debe estar. Como se indica en el ejemplo:
1 8 0 1/8 1 =8/8
1 4 0 1 1 5 0 1 1 7 0 1 1 10 0 1
Recordemos que en un numero fraccionario el numerador indica las partes que se han tomado del entero; mientras que el denominador indica el numero de partes en que fue dividido el entero. Observen la siguiente figura:
Está figura representa 2/5 de la figura total.
Entonces díganme cómo seria la figura total:
La figura completa seria la siguiente:
Esto es porque el denominador nos esta diciendo que la figura total tiene cinco partes iguales y solamente se están tomando 2.
124
Ahora resuelve los siguientes ejercicios y completa el cuadro:
Fracción representada
Figura completa
3 4
4 6
6 9
3 6
125
ACTIVIDAD 5
Objetivo: Identificar cuando una fracción es mayor que otra en el caso de unidades discretas.
DURACIÓN. 2 Horas.
MATERIAL
•6 botecitos por equipo •1 bolsa de dulces por equipo •Hoja con el problema •Hoja de repuestas para cada una de las partes del problema (por
equipo)
DESARROLLO
•AL inicio de la sesión el profesor repartirá una hoja por equipo con el problema impreso y pedirá a algún voluntario que lea el problema. Una vez leído el problema indicara a los alumnos que pueden comenzar a resolverlo por escrito y que después pasaran a explicarlo en el pizarrón y que el equipo que lo resuelva más rápidamente será el ganador.
•Después de la explicación se dará un tiempo aproximado de 20 a 25 min. para la resolución de los problemas.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
Doña María compró una bolsa de dulces que contenía 120 piezas con seis sabores diferentes para repartirla entre sus seis hijos. Doña María les dijo que había diferente número de dulces de cada sabor y que ella sólo les iba a decir qué fracción había de cada uno de los sabores para que ellos eligieran cuál querían. Para poder escoger, ellos quieren saber de qué sabor hay más dulces. ¿Podrías ayudarlos ordenando los seis sabores de mayor a menor cantidad?
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Cuando todos hayan terminado, un representante por equipo pasara al pizarrón a anotar sus resultados. Para tales fines el pizarrón será dividido en tantas partes como equipos haya.
Después de que ya hayan pasado todos los equipos, entre todos analizaran cuál es el mejor procedimiento para llegar a la solución del problema.
126
VARIABLE DE COMANDO
2da. Parte. Cuando terminaron de ordenar las fracciones Doña María pregunto ¿Cuántos dulces hay de cada sabor?
3ra. Parte. Ahora que saben cuantos dulces hay de cada sabor, Doña Maria quiere saber si a cada uno de sus hijos puede darle 1/6 de dulces de cada sabor. ¿Podrías ayudarle a decidir si todos los dulces pueden fraccionarse en 6/6 sin necesidad de partir los dulces?
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando los alumnos hayan obtenido la solución al problema planteado, cada equipo dará sus explicaciones sobre la forma en que llego al resultado y hará la representación gráfica en el pizarrón y entre todos analizaran cuál de los procedimientos se entiende mejor.
Finalmente el profesor dará una retroalimentación apoyado en el conocimiento formal sobre fracciones.
Una forma de saber de que dulces hay más es la siguiente:
Para saber cuál de las fracciones de los dulces es mayor es necesario saber que en una fracción el denominador representa el número de partes en que esta dividida la unidad y el numerador representa el número de partes que se tiene de la unidad, por lo que, si en una serie de varias fracciones, el denominador varia y el numerador permanece constante, entre más grande sea el denominador menor serán la porción que se tiene de la unidad, es decir,1/8 es menor que 1/7 y este a la vez menor que 1/6.
RETROALIMENTACIÓN
¿Cómo le podemos hacer para comparar 2 fracciones? por ejemplo 2/3 y 3/4.
Podemos hacerlo de la siguiente manera:
A) ilustrando con unidades fraccionadas tenemos:
2 3 3 4
127
Se observa que la región 3/4 es mayor que 2/3 entonces 3 > 2 4 3
B) En la recta numérica tenemos lo siguiente: 2/3 3/4 0 1 Aquí observamos que el segmento de la fracción 2/3 es mas corto, entonces 2 < 3 3 4
C) otra forma de saber cual de las dos fracciones es mayor o menor es comparando por productos cruzados.
3 x 2 4 3 3 x 3 > 4 x 2 9 > 8 3 > 2 Entonces 4 3 Ahora compara cada par de fracciones y determina si la relación es > o < siguiendo las formas que se te explicaron anteriormente.
a) 2 4 5 6
b) 1 1 2 3
c) 5 2 8 4
d) 2 3 9 7
Mayor que
Menor que
128
HOJA DE RESPUESTAS PARA “LOS DULCES DE DOÑA MARÍA”
Nombre del equipo: _______________________ Fecha:_____________
Problema: Doña María compró una bolsa de dulces que contenía 120 piezas con seis sabores diferentes para repartirla entre sus seis hijos. Doña María les dijo que había diferente número de dulces de cada sabor y que ella sólo les iba a decir qué fracción había de cada uno de los sabores para que ellos eligieran cuál querían. Para poder escoger, ellos quieren saber de qué sabor hay más dulces. ¿Podrías ayudarlos ordenando los seis sabores de mayor a menor cantidad?
Estas son las fracciones de cada sabor:
SABOR FRACCIÓN ORDEN DE MAYOR A MENOR
Cereza 1/15
Naranja 1/4
Limón 1/12
Fresa 1/6
Manzana 1/3
Uva 1/10
Operaciones:
129
Cuando terminaron de ordenar las fracciones Doña María pregunto: ¿Cuántos dulces hay de cada sabor?
SABOR CANTIDAD DE DULCES Cereza Naranja Limón Fresa
Manzana Uva
Ahora que saben cuántos dulces hay de cada sabor, Doña María quiere saber si a cada uno de sus hijos puede darle 1/6 de dulces de cada sabor. ¿Podrías ayudarle a decidir si todos los sabores pueden fraccionarse en 6/6 sin necesidad de partir los dulces?
SABOR ¿SE PUEDE FRACCIONAR EN SEXTOS?
¿CUÁNTOS DULCES SON UN SEXTO?
Cereza
Naranja
Limón
Fresa
Manzana
Uva
Operaciones:
130
ACTIVIDAD 6
Objetivo. Que los alumnos trabajen el orden de las fracciones a partir de un problema de partición.
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con el problema ¿Quién comió más pastel? •Círculos de cartulina con un diámetro de 20cm. •Regla •Lápiz y colores
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•Se dará a conocer a los alumnos la forma en que se llevara a cabo esta actividad y se les entregara una hoja por equipo con el problema “¿Quién comió más pastel?”
•Se entregara por equipo el siguiente material: dos círculos de cartulina con un diámetro de 20cm, regla, lápiz y colores.
•Se les dará un tiempo aproximado de 20 a 25 min. para la resolución del problema.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
La mamá de Elizabeth preparó 2 pasteles uno de chocolate y uno de pera. El pastel de chocolate estaba partido en 7 rebanadas iguales y el de pera fue partido en 6 rebanadas iguales.
Francisco comió 2 rebanadas del pastel de chocolate y 1 del de pera.
Rogelio comió 1del de chocolate y 2 del de pera. Elizabeth se comió 3 rebanadas del de pera.
Ahora la mamá de Elizabeth quiere saber cuál fue la cantidad total que comieron cada uno de sus hijos de ambos pasteles ¿Qué cantidad de pastel comió en total Francisco?, ¿Qué cantidad en total comió Rogelio? Y ¿Qué cantidad de pastel comió Elizabeth?
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Cuando todos los alumnos hayan terminado la profesora pedirá a todos los alumnos que formen un círculo alrededor del salón.
131
Posteriormente la profesora invitara a los alumnos a hacer un intercambio de sus puntos de vista en donde se discutan los distintos procedimientos que utilizaron en la resolución del problema.
A través de esta confrontación y de sus justificaciones se buscara llegar a la respuesta correcta.
Una vez terminada la confrontación la profesora pedirá a los alumnos que se integren nuevamente por equipos y les repartirá un nuevo problema.
VARIABLE DE COMANDO
Ahora que la mamá de Elizabeth sabe que cantidad de pastel comió cada uno de sus hijos quiere saber ¿Cuál de sus hijos comió más pastel y cuál menos? Para esto ella los va a ordenar de menor a mayor, ¿puedes ayudarle?
INSTITUCIONALIZACIÓN
Una vez transcurrido el tiempo establecido se les preguntara a cada uno de los equipos si ya terminaron en el caso de no ser así, se les dará un poco más de tiempo (aproximadamente 5 minutos). Al cabo de este tiempo se preguntara a los equipos si alguno desea pasar a explicar al pizarrón la forma en que su equipo llego a la solución del problema
Cuando el equipo que paso halla terminado se preguntara si alguien resolvió el problema de alguna forma diferente, de ser así, se le pedirá al equipo que pase a explicar la forma en que llego a la solución.
Una vez expuestos los diferentes procedimientos para llegar a la solución del problema se preguntara al resto del grupo cuál procedimiento le pareció más sencillo y por qué
RETROALIMENTACIÓN
El profesor dará la explicación en base al siguiente problema
Pedro y Juan tienen cada uno una barra de chocolate del mismo tamaño. Pedro rompe el suyo en 8 partes iguales y se come 4 de ellas. Juan rompe su chocolate en 4 partes iguales y se come dos de ellas.
¿Qué fracción del chocolate se comió Pedro? __________
132
¿Qué fracción del chocolate se comió Juan? _____________
Pedro se comió 5/8 Juan se comió 2/4
Ahora para saber quién de los dos comió más o menos chocolate se hace lo siguiente:
Se multiplica en numerador de la primer fracción por el denominador de la segunda fracción. Después se multiplica el denominador de la primer fracción por el numerador de la segunda fracción y si el resultado de la primer operación es mayor que la segunda, quiere decir que la primer fracción es mayor que la segunda o viceversa si el resultado de la segunda operación es mayor que el de la primera, quiere decir que esta es mayor que la primer fracción.
5 2 8 4 5 x 4 2 x 8 20 16 En base a los anterior podemos decir que 5/8 en mayor que 2/4 por lo tanto Pedro comió más chocolate que Juan.
Ahora con el mismo procedimiento compara si las siguientes fracciones son mayores, menores o iguales.
3/6 7/12 5/9 5/10
>
133
En cada par de fracciones escribe > mayor que, < menor que o = igual.
4 7 5 8
3 4 5 5
6 5 8 7
2 6 3 8
3 2 9 5
2 4 4 8
134
HOJA DE RESPUESTA DEL PROBLEMA “¿QUIÉN COMIO MÁS PASTEL?”
Nombre del equipo______________________ Fecha___________
Problema: La mamá de Elizabeth preparo 2 pasteles uno de chocolate y uno de pera. El pastel de chocolate estaba partido en 7 rebanadas iguales y el de pera fue partido en 6 rebanadas iguales.
Francisco comió 2 rebanadas del pastel de chocolate y 1 del de pera.
Rogelio comió 1del de chocolate y 2 del de pera. Elizabeth se comió 3 rebanadas del de pera.
Operaciones 1. ¿Qué cantidad de pastel comió en total Francisco? _______________
2. ¿Qué cantidad en total comió Rogelio? ______________
3. ¿Qué cantidad de pastel comió Elizabeth? ___________
135
2da. Parte. Ahora que la mamá de Elizabeth sabe que cantidad de pastel comió cada uno de sus hijos quiere saber ¿Cuál de sus hijos comió más pastel y cuál menos? Para esto ella los va a ordenar de menor a mayor, ¿puedes ayudarle?
Operaciones
Ordena de menor a mayor según la cantidad de pastel que halla
comido cada uno.
NOMBRE CANTIDAD DE PASTEL QUE COMIÓ 1.
2.
3.
136
ACTIVIDAD 7
Objetivo. Que los alumnos puedan identificar que dos fracciones o más pueden ser equivalentes aunque tengan diferente denominador.
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con el problema. •Círculos con un diámetro de 20 cm. •Rectángulos de 4cm. x 36cm. •Regla •Colores y lápiz
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•Se dará a conocer a los alumnos la forma en que se llevara a cabo esta actividad y se les entregara una hoja por equipo del problema.
•Repartir por equipo 2 círculos, 2 rectángulos y una regla.
•Se les dará un tiempo aproximado de 20 a 25 min. para la resolución del problema.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
En el fútbol, Raúl le dice a Juan que el jugó más porque participó en 2/3 del partido; pero Juan le dice que no es cierto porque el jugó 8/12 del partido por lo tanto, el jugó más, ¿Quién crees que jugó más tiempo Juan o Raúl? Comprueba tu respuesta.
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Una vez transcurrido el tiempo destinado para la resolución del problema se pedirá a los alumnos que formen un círculo y que de manera individual expresen sus puntos de vista antes el grupo acerca de la manera en que llegaron a la solución del problema.
A través de esta confrontación de manera grupal se analizaran todos los procedimientos expuestos para de esta manera llegar a la solución correcta.
VARIABLE DE COMANDO
Ahora podrías encontrar dos fracciones que sean equivalentes a lo que jugo Juan o sea 2/3 y representarlas en las rectas
137
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando los alumnos hayan obtenido la solución al problema planteado y anotado sus datos, operaciones y resultados en la hoja de repuestas, cada equipo dará sus explicaciones en base a como le hicieron para saber quién de los dos había jugado más tiempo y entre todos analizaran cuál de los procedimientos se entiende mejor.
Algunos procedimientos utilizados por los alumnos pueden ser: utilizar el rectángulo (ya que es la figura más fácil de dividir) y con la regla medir su base y dividirla entre el denominador, es decir 36 ÷12 y 36 ÷ 3.
Otra opción es doblar los rectángulos hasta obtener el número de partes que indica el denominador y realizar la comparación. Otra opción es utilizar los círculos y tratar de hacer el reparto que se indica.
En cuanto a la variable comando los posibles procedimientos serian muy similares a los utilizados en los rectángulos.
Finalmente la profesora dará una retroalimentación apoyándose en el conocimiento formal sobre fracciones.
RETROALIMENTACIÓN
Ahora veamos como podemos obtener una fracción equivalente:
Equivalente significa que vale lo mismo. Por lo tanto, para encontrar una fracción equivalente se debe multiplicar el numerador y el denominador por el mismo numero. Otra forma es que tanto numerador como denominador se dividan entre un mismo numero. Por ejemplo:
1 = 2 = 4 2 4 8
x2 ÷2 1 = 2 4 = 2 2 = 4 2 4 8 4 4 8 x2 ÷2
138
Ahora representemos las mismas fracciones en la recta numérica
1/2
2/4
4/8
Como vemos los segmentos son los mismos lo único que cambia es la cantidad de partes en que se dividió cada uno; por lo tanto podemos decir que las fracciones son equivalente porque ocupan el mismo lugar en la recta numérica. Veamos otro procedimiento. Observen la figura:
Este es el piso de la cocina de Isabel
Si quisiéramos saber cual de las dos figuras (triangulo o rectangulos) ocupan mayor espacio ¿Qué tendríamos que hacer?
Lo que tendríamos que hacer para saber cual de las dos figuras ocupa mayor espacio es lo siguiente:
Se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción 1 x 12. Después poner un signo de igual y multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda fracción = 6 x 2
Y si el resultado de la primera operación es mayor que el de la segunda, quiere decir que la primer fracción es mayor que la primera y viceversa si el resultado de la segunda operación es mayor que el de la primera, la segunda es fracción es mayor; pero si los dos resultados son iguales quiere decir que las fracciones son equivalentes.
En este caso las fracciones son equivalentes porque: 1 x 24 = 6 x 4 24 = 24
139
Ahora vamos a ver si las siguientes fracciones son equivalentes.
3/8 6/16
2/8 3/12
1/2 5/10
Resuelve los siguientes ejercicios.
Anota el signo igual (=) o el signo de diferentes (≠) en el caso de que no sean iguales.
1 2 3 6
4 8 9 18
2 2 6 3
7 14 3 6
1 2 12 4
Escribe los números que faltan en las siguientes fracciones equivalentes, como se muestra en el ejemplo.
1 = 2 = 4 3 6 12 5 = 15 = 30 8 4 = 1 = 3 12
140
HOJA DE RESPUESTA DEL PROBLEMA “RAÚL Y JUAN”
Nombre del equipo______________________ Fecha___________
Problema: En el fútbol, Raúl le dice a Juan que el jugó más porque él jugó 2/3 del partido; pero Juan le dice que no es cierto porque el jugó 8/12 del partido por lo tanto, el jugó más, ¿Quién crees que jugó más tiempo Juan o Raúl?
Quién de los dos jugo más tiempo_______________
2da. Parte. Ahora la mamá de Raúl quiere saber cuanto tiempo jugaron entre los dos, puedes ayudarle.
Cuánto tiempo jugaron entre los dos_________________
Operaciones y dibujos
Operaciones
141
ACTIVIDAD 8
Objetivo. Que los alumnos puedan identificar que dos fracciones o más pueden ser equivalentes aunque tengan diferente denominador.
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con el problema. •50 muñequitos de fomi por equipo.
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•La profesora pedirá al grupo que se organicen en equipos de 3 o 4 integrantes y les repartirá por equipo una hoja con el problema impreso y 50 muñequitos de fomi.
•Posteriormente la profesora pedirá a algún alumno que lea en voz alta el problema y preguntara a todos si hay alguna duda. En caso de no haberla se les dirá que tiene 20 min. para resolver el problema y que pueden ayudarse con los muñequitos para ello.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
En el salón de 4º grado hay 50 alumnos, 3/5 partes son mujeres y 6/10 son hombres. ¿Qué hay más mujeres u hombres?
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Después de que cada equipo haya terminado la actividad por equipos discutirán sus puntos de vista sobre la resolución del problema si se les dificulto y por qué o si fue fácil, etc.
Después de la discusión la profesora pedirá a los alumnos que formen un círculo alrededor del salón y expresaran la forma en como llegaron a la solución del problema.
Posterior a la discusión se confrontaran los puntos de vista para ver cuál fue el mejor procedimiento para llegar a la resolución del problema planteado.
VARIABLE DE COMANDO
Al terminar la confrontación la profesora pedirá a los alumnos que se vuelvan a reunir por equipos y les entregara el siguiente ejercicio.
142
Ahora podrían representar en la recta numérica algunas fracciones que sean equivalentes a las que se te presentaron en el problema anterior en donde había 3/5 de mujeres y 6/10 de hombres.
(Mujeres)
0 1
0 1 (Hombres)
¿Hay más mujeres u hombres? ___________
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando lo mayoría de los alumnos hayan terminado la profesora pedirá que un representante de cada equipo pase a explicar la forma en como llegaron a la resolución del problema, en su explicación deberán incluir si utilizaron dibujos, operaciones, etc.
Después de que todos los equipos hayan dado su explicación, entre todos se analizara cuál fue la solución correcta y el procedimiento para llegar a ella.
Finalmente la profesora dará una explicación con el saber institucionalizado, es decir, sobre la equivalencia de fracciones.
RETROALIMENTACIÓN
La profesora pedirá a los niños que presten atención a la explicación que dará.
En la kermés de la escuela a los grupos de 4º les toco vender pizza y cada uno vendió lo siguiente:
4º A 4º B 4º C
143
Ahora díganme ¿Qué fracción de pizza vendió cada grupo?
Como ya sabemos cuanto vendió cada grupo entonces ahora díganme ¿Cuál de los tres grupos vendió mayor cantidad de pizza?
Recordemos que a las fracciones que representan el mismo valor fraccionario se les llama fracciones equivalentes por ejemplo: 1/2 = 2/4 = 4/8
Entonces para saber si las fracciones son equivalentes es necesario realizar una operación de productos cruzados, es decir, multiplicar en numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda fracción y posteriormente multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda y si los productos son iguales quiere decir que las fracciones son equivalentes.
Ejemplo:
Ahora veamos cuál de los tres grupos vendió más pizza.
Tenemos los siguientes datos:
4º A vendió 3/6 4º B vendió 12/24 4º C vendió 6/12 Ahora que ya tenemos estos datos hay que ver primero quién vendió más si el 4º A o el B. esto se hace por medio de la siguiente operación.
3 x 12 6 24 3 X 24 = 6 X 12 72 = 72
Como el resultado que da de esta operación es el mismo quiere decir que ambas cantidades son lo iguales y que los dos grupos vendieron lo mismo. Ahora veamos que pasa con el tercer grupo.
Realizando el mismo procedimiento comparamos al grupo de 4º A y de 4º C y tenemos lo siguiente:
3 6 --- X --- 6 12 3 X 12 = 6 X 6 36 = 36
144
Como el resultado es el mismo en los productos cruzados esto significa que los tres grupos vendieron la misma cantidad de pizza en la kermés de la escuela.
En el siguiente ejercicio relaciona las columnas; une con flechas las fracciones equivalentes como se indica en el ejemplo:
1 3
2 14
2 10
3 6
2 4
1 7
2 24
2 8
1 4
3 9
2 6
1 12
3 36
1 5
6 24
5 10
3 21
3 15
3 21
12 9
1 2
1 7
2 14
4 3
40 16
4 8
8 16
2 8
1 4
5 2
10 4
7 3
14 6
4 16
20 15
28 9
145
ACTIVIDAD 9
Objetivo. Que los alumnos utilicen la suma y la resta de fracciones con igual denominador.
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con el problema “Rosa” •4 Vasos de 250 ml. por equipo. •Un recipiente con 1 l de agua. •Marcador de aceite.
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•Se dará a conocer a los alumnos la forma en que se llevara a cabo esta actividad y se les entregara una hoja por equipo del problema, 4 vasos, un recipiente con 1 l de agua y un marcador.
•Los alumnos deberán anotar sus operaciones y resultados en la hoja de respuestas.
•La profesora deberá hacer énfasis en que cada vaso tiene una capacidad de 250ml.
•Se les dará un tiempo aproximado de 20 a 25 min. para la resolución del problema.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
Rosa tomo por la mañana 1/4 de litro de leche y por la noche 2/4. ¿Cuánta leche tomo en total ese día?
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Cuando la mayoría de los niños hayan terminado la profesora les pedirá que discutan con su equipo sobres sus dudas y sobre el resultado que obtuvieron.
Al terminar la discusión por equipo la profesora invitara a los alumnos a exponer sus procedimientos utilizados en la resolución del problema. En caso de que no se animen a participar de esta forma la profesora pedirá a algunos equipos que tengan procedimientos diferentes que pasen a exponerlos.
146
Entre todos analizaran cada uno de los procedimientos expuestos y de esta forma se buscara llegar a la solución correcta.
VARIABLE DE COMANDO
Si Rosa tomo la misma cantidad el lunes, martes, miércoles, jueves y viernes ¿Qué cantidad de leche tomo en total?
INSTITUCIONALIZACIÓN
Una vez que los alumnos hayan terminado la resolución del problema, un representante de cada equipo pasara al pizarrón y explicara la forma en que llegaron a la resolución.
Después de que todos los equipos hayan pasado entre todos intercambiaran sus puntos de vista para ver cual es la solución más sencilla a través de la cual se llego a la resolución del problema planteado.
Algunos alumnos pueden resolver la situación problema mediante el algoritmo, sin la necesidad de manipular los objetos. Sin embargo, algunos realizaran diversos experimentos con el material proporcionado como: comprobar si con el agua se pueden llenar los cuatro vaso y a partir de ahí realizar la suma mentalmente.
Finalmente el profesor dará un retroalimentación en base a los visto durante la clase.
RETROALIMENTACIÓN
El profesor pedirá a los alumnos que ocupe cada quien su lugar y que pongan atención a la explicación que dará en base a lo siguiente:
Libros de terror Comics Libros para iluminar
Imaginémonos que este es un librero en el que hay cuentos de terror, hay comics y libros para iluminar.
Como podemos ver este librero no tiene la misma cantidad de libros
¿Qué parte del librero ocupan los comics? ___________
¿Qué parte ocupan los libros de terror? _____________
147
Finalmente ¿qué parte ocupan los libros para iluminar? _____________
Ahora veamos si el rectángulo esta dividido en 12 partes iguales entonces los libros de terror ocupan 6/12 del librero. Los comics ocupan 4/12 del librero y los libros para iluminar ocupan 2/12.
En el caso del ejemplo anterior los denominadores son los mismos para los tres casos lo único que va cambiando son los numeradores, lo cual indica que entre mayor sea la cantidad del numerador mayor será el espacio que ocupen los libros en el librero y entre menor sea el numerador el espacio ocupado en el librero será menor.
Por otra parte si quisiéramos saber que parte del librero ocupan los comics y los libros para iluminar ¿Qué tendríamos que hacer?
Lo que tendríamos que hacer es sumar la parte que ocupan cada uno de estos libros, lo cual quedaría de la siguiente forma:
Sumar 4 2 6 ---- + ---- = ---- 12 12 12
Hay que recordar que cuando se hace una suma con igual denominador únicamente se suman los numeradores y el denominador queda igual.
Realiza las siguientes sumas de fracciones con igual denominador.
1 2 a) ----- + ----- = 5 5 5 3
b) ----- + ----- = 9 9 2 5
c) ----- + ----- = 10 10 3 4
d) ----- + ----- = 7 7 1 2
e) ----- + ----- = 3 3
148
HOJA DE RESPUESTA DEL PROBLEMA “ROSA”
Nombre del equipo______________________ Fecha___________
Problema: Rosa tomo por la mañana 1/4 de litro de leche y por la noche 2/4. ¿Cuánta leche tomo en total ese día?
1. ¿Cuánta leche tomo en total ese día? _________________________
Operaciones
149
ACTIVIDAD 10
Objetivo. Que los alumnos puedan solucionar problemas en donde estén presentes la resta de fracciones con igual denominador
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL.
•Hoja con el problema. •Círculos de cartulina. •4 naranjas por equipo.
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•La profesora organizara al grupo en equipos de 4 integrantes y por equipo entregara la hoja con el problema impreso, 4 naranjas y 4 círculos.
•Así mismo dará la instrucción de que en la hoja con el problema deberán anotar sus operaciones o dibujos que utilicen para llegar a la solución del problema.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
En la frutería, para vender más rápido las sandias, las cortaron en mitades. Cortaron cuatro sandias, ¿Cuántas mitades tenían? ___________
Vendieron 6/2, ¿Cuántas mitades quedaron? ___________
¿Cuántas sandias quedaron cortadas? __________
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Cuanto la mayoría de los equipos haya terminado la profesora elegirá al azar a un integrante de cada equipo, el cual deberá pasar a exponer la forma en que él y su equipo llego a la solución del problema.
Una vez que haya pasado un integrante de cada equipo de manera grupal se analizaran cada uno de los procedimientos, para de esta manera llegara a la solución correcta.
VARIABLE DE COMANDO
Llenen el siguiente cuadro según lo que se te pide
150
Número de sandias
Se dividieron en:
Se vendieron: Quedaron:
2 Tercios 2/3 4/3
3 Quintos 7/5
8 Cuartos 7/4
5 Mitades 9/5
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando los equipos hayan terminado la profesora pedirá al grupo que se acomoden en círculo alrededor del salón.
Posteriormente invitara a los alumnos a que expresen de manera individual la forma en cómo resolvieron el problema a través de mensajes orales o escritos para analizar el contenido que se esta trabajando.
Después del intercambio de puntos de vista se llegara a una confrontación para analizar cuál de los procedimientos es el mejor para llegar a la solución del problema.
RETROALIMENTACIÓN
Recordemos que al igual que la suma en la resta o sustracción de fracciones con igual denominador, se restan únicamente los numeradores y se deja el mismo denominador.
Veamos el siguiente ejemplo.
Si tenemos una barra de chocolate y Manuel se come 5/9 pedazos ¿Cuántos pedazos de chocolate nos quedan?
Alguien me puede decir en cuántos pedazos esta dividida la barra de chocolate. Claro en 9 porque recordemos que en denominador nos indica el numero de partes en que se ha dividió la unidad.
Entonces dibujemos la barra de chocolate que esta dividida en nueve partes iguales y como el numerador indica la cantidad que se ha tomado de la unidad, entonces de esta barra Manuel se comió 5 partes:
151
En el dibujo se ve que nos quedan cuatro pedazos de la barra de chocolate pero si lo queremos hacer por medio de la operación quedaría de la siguiente forma.
Como la unidad esta dividida en novenos tenemos:
9 5 9 - 5 4 ---- - ---- = ------ = ---- 9 8 9 9
Como ya habíamos visto cuando las fracciones tienen el mismo denominador esté queda igual y solamente se restan los numeradores por lo tanto el resultado seria que quedan 4/9 de la barra de chocolate.
Ahora ustedes resuelvan las siguientes restas con igual denominador.
8 3 a) ----- - ----- = 7 7 10 8
b) ----- - ----- = 10 10 4 3
c) ----- - ----- = 5 5 9 8
d) ----- - ----- = 12 12 5 1
e) ----- - ----- = 6 6
152
ACTIVIDAD 11
Objetivo. Que el alumno pueda resolver problemas en donde intervengan la suma y resta de fracciones con igual denominador
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con el problema. •Palillos.
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•El profesor pedirá a los alumnos que se organicen en equipos de 3 o 4 integrantes. Una vez formados los equipos el profesor repartir una hoja con el problema impreso y 3 cajas de palillos.
•El profesor dirá a los alumnos que tienen 20 min. para realizar la actividad. Así mismo mencionara que en la hoja deberán hacer sus dibujos u operaciones que realicen para solucionar el problema.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
Hay una gran cantidad de aves que emigran para evitar los fríos de invierno. Tal es el caso de las serretas (aves parecidas a los patos) que viven en el hemisferio norte y emigran al norte de África y a las Antillas.
Si una parvada de 280 serretas salió de Terranova y 2/7 partes se quedaron en Bahamas, 3/7 en Cuba. En total ¿Cuántas serretas se quedaron en Bahamas y en Cuba? _________
En fracciones equivale a: ________ ¿Cuántas serretas llegaron a Cuba? _______ ¿Cuántas llegaron a Bahamas? ________
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Cuando todos los equipos hayan terminado la profesora pedirá a algún voluntario que pase a explicar la forma en que él y su equipo llegaron a la solución del problema.
Cuando ese equipo haya terminado su explicación la profesora preguntará al resto de grupo si algún equipo tiene algún procedimiento diferente de ser así pasaran los equipos que tengan un procedimiento diferente.
153
Una vez expuestos los diferentes procedimientos entre todo el grupo analizaran un por uno, y después de esta confrontación se llegara a la solución correcta del problema.
Posteriormente la profesora entregara una nueva hoja con la siguiente actividad.
VARIABLE DE COMANDO
Si de la parvada de 280 serretas 3/10 partes se hubieran quedado en Bahamas y 2/10 partes en Cuba. ¿Cuántas serretas llegaron a Jamaica?_____
En fracciones equivale a: _______ ¿En cuál de los tres lugares se quedaron más serretas? _______
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando los equipos hayan terminado la profesora pedirá a cada uno de os equipos que elijan un representante el cual deberá pasar al pizarrón a explicar el procedimiento por medio del cual él y su equipo llegaron a la solución del problema, así mismo pedirá que mencionen si utilizaron dibujos, operaciones, etc.
Una vez que todos los equipos hayan expuesto sus procedimientos la profesora invitara a todo el grupo a que analicen cada uno de los procedimientos expuestos y así llegar a la solución correcta.
El procedimiento que pueden utilizar los alumnos es: primero con los palillos contar 280 que representarían el total de serretas e ir acomodando los palillos en 7 grupos hasta que se terminen y después agruparlos en las fracciones que se indican para finalmente hacer el conteo y resolver la situación problema.
Otro procedimiento, que pudieran utilizar es muy similar solamente que en este caso realizarían primero la suma de fracciones y después dividirían 280 ÷ 7 y con el resultado formar los grupos y agruparlos según indica el numerador de cada fracción para finalmente realizar el conteo.
En el caso de la variable comando los procedimientos serian los mismo.
Finalmente la profesora dará una retroalimentación basada en lo visto durante la clase y en el conocimiento formal sobre las fracciones.
154
RETROALIMENTACIÓN
La profesora pedirá al todo el grupo que pongan atención a la explicación que ella dará.
Recordemos que en ejercicios anteriores hemos visto el procedimiento que debemos seguir para resolver tanto una suma como una resta con iguales denominadores.
¿Alguien recuerda qué debemos hacer para sumar o restar estas fracciones?
Claro lo que debemos hacer cuando queremos sumar dos ó más fracciones que tienen el mismo denominador es muy sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se deja el denominador común. Como en el ejemplo que sigue:
4 2 6 ---- + ---- = --- 5 5 5
En el caso de la resta de fracciones con el mismo denominador el procedimiento es el mismo, ya que sólo hay que restar los numeradores y se deja el denominador común. Ejemplo:
7 2 5 ---- - ---- = --- 9 9 9
Ahora ustedes realicen los siguientes ejercicios:
6 11 a) ---- + ---- = ---- 17 17 15 12
b) ---- + ---- = ---- 37 37 62 29
c) ---- - ---- = ---- 130 130 21 17
d) ---- - ---- = ---- 30 30
155
ACTIVIDAD 12
Objetivo. Que el alumno resuelva problemas en los que se utilice la suma de fracciones con diferente denominador.
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con el problema. •Pliego de cartulina
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•La profesora organizara equipos de 3 o 4 integrantes y por equipo repartirá una hoja con el problema impreso y un pliego de cartulina.
•Explicará a los alumnos en que consiste la actividad y el tiempo que se destinara a está que será de 20 minutos aproximadamente.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
En la pizzería hicieron una promoción de fin de semana: en la compra de paquetes especiales la gente recibía de obsequio fracciones de pizza: un medio con el paquete grande, un cuarto con el paquete mediano y un octavo con el paquete chico.
Si el primer día se vendieron 5 paquetes grandes, 8 medianos y 3 chicos. El segundo día vendieron 3 paquetes grandes, 2 medianos y 9 chicos. ¿Cuántas pizzas enteras regalaron el primer día? ¿Cuántas pizzas enteras se regalaron el segundo día? ¿Cuántas pizzas enteras se regalaron en los dos días?
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Cuando todos los equipos hayan terminado la profesora pedirá a los alumno que formen un círculo y los invitara a hacer un intercambio de puntos de vista en donde se discutan los procedimiento empleados para llegar a la resolución del problema.
A través de esta confrontación de puntos de vista se llegara a la resolución del problema planteado.
Una vez terminada la confrontación la profesora proporcionara un nuevo ejercicio.
156
VARIABLE DE COMANDO
Si el siguiente fin de semana siguieron con la promoción y regalaron lo siguiente:
→Primer día: 5/2, 7/4 y 2/8 de pizza
→Segundo día: 1/2, 5/4 y 4/8 de pizza
¿Cuántos paquetes grandes, medianos y pequeños se vendieron en los dos días?
INSTITUCIONALIZACIÓN
Cuando todos los equipos hayan terminado la profesora pasara a un integrante por equipo para que explique el procedimiento por medio del cual su equipo llego a la solución del problema.
Entre todos analizaran todos los procedimiento expuestos y analizaran cual de los procedimientos es el que se entiende mejor.
El procedimiento que pueden utilizar los alumnos seria ver si con el paquete chico se regalo una pizza entera y que fracción sobra, y realizar lo mismo con los demás paquetes y al final hacer una suma con las fracciones que les quedaron.
Otra forma, podría ser que los alumnos representen de manera gráfica cada una de las pizzas e ir iluminando lo que se va obsequiando y al final mencionar cuántas pizzas enteras se regalaron y realizar una suma con las fracciones que quedaron.
Finalmente la profesora dará una retroalimentación sobre la suma de fracciones con igual denominador.
RETROALIMENTACIÓN
La profesora pedirá a todos los alumnos que ocupen nuevamente su lugar y dará la siguiente explicación.
Veamos el siguiente problema si Julio se comió 2/4 del pastel de chocolate y 2/3 del pastel de fresa ¿Qué cantidad en total comió de los dos pasteles?
Primero observemos las siguientes figuras:
2/4 2/3
157
Ahora qué es lo primero que debemos hacer para sumar dos fracciones con diferente denominador.
Una forma es multiplicar primero los denominadores y obtener un común múltiplo.
Posteriormente por medio de productos cruzados vamos a realizar la suma de ambas fracciones la cual quedaría de la siguiente forma:
2 2 (2 x3) + (4 x2) 6 + 8 14
---- + ---- = --------------------- = ------ = ----- 4 3 (4 x 3) 12 12
Y como en este caso el numerador es más grande que la unidad la tendríamos que simplificar y nos quedaría un entero 2 doceavos: 12/12
Realicen las siguientes sumas de fracciones con diferente denominador.
6 3 a) ----- - ----- = 7 5 4 1
b) ----- - ----- = 5 4 4 8
c) ----- - ----- = 8 4 3 2
d) ----- - ----- = 5 3 5 1
e) ----- - ----- = 9 7
158
ACTIVIDAD 13
Objetivo. Que el alumno aprenda a resolver diversos problemas en los que estén implicadas las restas de fracciones con diferente denominador.
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con el problema.
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•La profesora organizara a los alumnos en equipos de 4 integrantes y repartirá por equipo una hoja con el problema impreso.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
Paco compró 3/4 de kilogramo de clavos para reparar su casa. Si utilizó 5/8 de kilogramo, ¿Qué fracción de kilogramo le sobra?
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
La profesora preguntara al grupo si algún equipo quiere pasar a exponer el procedimiento que siguió para llegar a la solución.
Cuando ese equipo termine de exponer la profesora preguntará al resto de los equipos si alguien tiene un procedimiento diferente. Y pedirá al equipo que pase a exponerlo.
Una vez expuestos los diferentes procedimientos entre todo el grupo analizaran cada uno y a través de esta confrontación se buscara llegar a la respuesta correcta.
VARIABLE DE COMANDO
La profesora entregara a cada uno de los equipos el siguiente problema:
En el siguiente cuadro están distintas cantidades que Paco compró de clavos y lo que ocupó. Encierra con color rojo la fracción que indica la cantidad de clavos que le sobraron.
Desarrollo u operación
5 2 6 30 29 a) --- - --- = ---- ---- ---- 3 7 11 20 21
159
5 1 11 3 13 b) --- - --- = ---- ---- ---- 4 3 12 7 6
2 2 2 6 2 c) --- - --- = ---- ---- ---- 3 6 9 18 30
9 3 3 5 18 d) --- - --- = ---- ---- ---- 12 6 18 6 72
INSTITUCIONALIZACIÓN
La profesora deberá dividir el pizarrón en tantas partes como equipos haya.
Una vez que todos los equipos hayan terminado la profesora pedirá a los equipos que elijan un representante por equipo el cual deberá pasar al pizarrón a anotar el procedimiento que él y su equipo siguieron para llegar a la solución de la actividad.
Después de que estén en el pizarrón todos los procedimientos la profesora pedirá a los alumnos que por equipo analicen cada uno de los procedimientos y que lleguen a un acuerdo sobre cual es el mejor procedimiento y por qué.
Posteriormente la profesora preguntara a cada uno de los equipos cuál creen que fue el mejor procedimiento y de esta forma se buscara llegar a la solución correcta de la actividad.
Finalmente la profesora dará una retroalimentación basándose en lo visto en clase y en el conocimiento formal sobre las fracciones.
RETROALIMENTACIÓN
Lo que hemos visto en estos ejercicios que acabamos de realizar es una resta de fracciones con diferente denominador. ¿Alguien sabe como se realizan las restas de fracciones con diferente denominador?
Pues una forma de resolver una resta de fracciones con diferente denominador es buscar fracciones equivalentes pero buscarlas en ocasiones no es tan fácil. Entonces lo que se puede utilizar el utiliza el siguiente procedimiento.
160
Primero. Se busca un denominador común: puede ser un número divisible entre los otros. Si no puede ser el resultado de multiplicar dos o más denominadores.
Por ejemplo en la siguiente resta:
2 _ 1 = 3 5
Por ejemplo, en los numeradores de la operación anterior como el 3 no es divisible entre 5, se multiplica 3X5 y da 15. El 15 se utiliza como denominador.
Segundo. Después lo que debemos hacer es una operación de productos cruzados y queda de la siguiente forma.
2 1 (2 x 5) + (3 x 1) 10 + 3 13 --- - ---- = --------------------- = -------- = ---- 3 5 (3 x 5) 15 15
Finalmente la profesora pedirá a los alumnos que realicen el siguiente ejercicio.
Encuentra un común denominador, y realiza la resta
Fracciones Común denominador
Operación Resultado
4 3 (4 x 4) + (2 x 3) 16 + 6 22 ---- - ---- = 2 x 3 = 6 ----------------------- = -------- = ------ 2 3 6 6 6 6 2
---- - ---- = 5 7 7 5
---- - ---- = 2 7 11 3 ---- - ---- = 9 5
161
ACTIVIDAD 14
Objetivo. Que los alumnos utilicen la suma y resta de fracciones con diferente denominador.
DURACIÓN. 1 hora
MATERIAL
•Hoja con el problema “Construyendo un edificio” •Hojas blancas
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD
•El profesor pedirá a los alumnos que formen equipos de 3 o 4 integrantes.
•Posteriormente les repartirá una hoja por equipo del problema “Construyendo un edificio”.
•Se les dará un tiempo aproximado de 25 a 30 min. para la resolución del problema. Y se les pedirá a los alumnos que anoten sus respuestas u operaciones en la hoja de respuestas que se les proporcionara.
ACCIÓN (SITUACIÓN-PROBLEMA)
Pedro construyó un edificio en tres meses. En el primer mes se gastó 5/9 toneladas de cemento, el segundo mes 5/6 toneladas y el tercer mes 1/2 tonelada. ¿Cuántas toneladas de cemento se gastó en total los tres meses que duro la construcción?
FORMULACIÓN- VALIDACIÓN (CONFRONTACIÓN)
Una vez transcurrido el tiempo establecido la profesora dirá a los alumnos que quién quiere pasar a exponer la forma en que su equipo llego la solución del problema.
Cuando el equipo que paso haya terminado la profesora preguntara al grupo qué si alguien tiene un procedimiento diferente al de sus compañeros de ser así pedirá a ese equipo que pase a exponerlo.
Una vez que sean expuestos todos los diferentes procedimientos entre todos analizaran cada uno y de esta manera se llegara a la solución correcta.
162
VARIABLE DE COMANDO
2da. Parte. Antes de empezar la construcción Pedro tenía 2 toneladas de arena y al finalizarla se dio cuenta que le quedaban 3/8 de tonelada de arena. Ahora Pedro quiere saber ¿Qué cantidad de arena gastó en toda la obra?
3ra. Parte. El jefe de Pedro le pregunta cuál fue el material que más se ocupo si el cemento o la arena ¿Tú de que material crees que Pedro utilizó más para construir el edificio?
INSTITUCIONALIZACIÓN
Una vez que los alumnos hayan terminado el ejercicio se elegirá a un representante de cada equipo el cual pasara al pizarrón a anotar y explicar la forma en que el equipo llego a la solución del problema.
Después de que todos los equipos hayan expuesto la forma en que llegaron a la solución, entre todos elegirán la forma en que fue más fácil de llegar a la solución del problema.
Posteriormente el profesor dará una retroalimentación en base a lo visto durante la clase.
RETROALIMENTACIÓN
Como ya hemos visto tanto para realizar una suma o una resta con diferente denominador podemos hacerlo por medio de productos cruzados.
Veamos un ejemplo más.
El frutero de la casa de Juan contiene peras, plátanos y manzanas; 2/8 partes son manzanas y 3/5 partes son plátanos.
Si quisiéramos saber ¿Qué parte del frutero ocupan las manzanas y los plátanos? Qué seria lo primero que tendríamos que hacer:
Lo primero seria sacar un común denominador y después los productos cruzados para así poder hacer la suma. Esto quedaría de la siguiente forma:
2 3 (2 x 5) + (8 x 2) 10 + 16 26 ---- + ---- = --------------------- = ------------ = -----8 5 (8 x 5) 40 40
163
Entonces el resultado que las manzanas y los plátanos ocupan 26/40 del frutero. El mismo procedimiento se ocuparía para una resta de facciones con diferente denominador.
Ahora resuelvan las siguientes operaciones. Realicen las sumas y restas y encierra en un círculo el resultado correcto
5 2 6 30 29 a) --- - --- = ---- ---- ---- 3 7 11 20 21
8 1 9 8 6 b) --- - --- = ---- ---- ---- 7 2 14 3 14
1 3 12 13 10 c) --- + --- = ---- ---- ---- 2 7 14 14 7
4 3 12 52 14 d) --- + --- = ---- ---- ---- 8 7 14 56 13 3 2 1 14 2
e) --- - --- ---- ---- ---- 2 6 8 12 30 3 1 4 19 26
f) --- + --- ---- ---- ---- 2 8 10 24 16
164
HOJA DE RESPUESTA DEL PROBLEMA “CONSTRUYENDO UN EDIFICIO”
Nombre del equipo______________________ Fecha___________
Problema: Pedro construyo un edificio en tres meses. En el primer mes se gasto 5/9 toneladas de cemento, el segundo mes 5/6 toneladas y el tercer mes 1/2 toneladas. ¿Cuántas toneladas de cemento se gasto en total los tres meses que duro la construcción?
2da. Parte. Si antes de empezar la construcción Pedro tenía 2 toneladas de arena y al finalizarla se dio cuenta que le quedaban 3/8 de tonelada de arena. Ahora Pedro quiere saber ¿Qué cantidad de arena gasto en toda la obra?
Operaciones ¿Cuántas toneladas de cemento se gasto en total los tres meses que duro la construcción?____________________
Operaciones ¿Qué cantidad de arena gasto en toda la obra? _______________
165
3ra. Parte. El jefe de Pedro le pregunta cuál fue el material que más se ocupo si el cemento o la arena ¿Tú de que material crees que Pedro utilizo más para construir el edificio?
Operaciones ¿De qué material se utilizo más para construir el edificio?_____________
166
167
PUNTUACIONES OBTENIDAS EN EL PRETEST Contenidos del programa de intervención
Noción de fracción Fracciones unitarias Equivalencia de fracciones Orden de fracciones Suma y resta con igual denominador Suma y resta con diferente denominador
ALUMNOS 1 2 12 3 6 7 5 8 13 4 9 14 10 15 16 17 18 11 19 20 21 22 TOTAL A 3 4 1 4 2 4 2 1 0 3 2 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 30 B 2 3 1 2 2 2 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15
C 1 3 1 3 1 3 2 0 1 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 19
D 1 3 1 3 2 2 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 E 2 3 1 2 1 3 1 0 0 3 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 20
F 0 3 1 2 1 2 0 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 14 G 1 2 1 1 1 5 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 13 H 3 4 1 6 2 6 2 1 0 1 0 0 3 1 1 0 0 0 0 0 0 1 32
I 3 3 1 2 1 5 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 20 J 1 4 1 3 1 5 1 0 0 3 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 23
K 1 3 1 1 1 4 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15
L 1 3 1 4 0 1 2 0 0 3 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 17 M 1 3 1 5 1 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 N 1 4 1 2 0 3 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 Ñ 1 4 1 2 1 3 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 22
O 0 3 1 5 2 4 3 0 0 1 1 0 3 0 0 1 0 0 0 0 1 0 25
P 1 2 0 3 0 8 2 0 1 1 1 2 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 26 Q 1 2 0 4 1 3 1 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 1 0 17
R 3 1 1 4 1 7 2 0 1 0 0 1 5 0 1 0 0 0 0 0 0 0 27 S 0 2 1 2 0 3 2 1 1 0 2 1 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 18 T 1 2 0 1 0 2 1 0 1 0 2 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 14
U 2 0 0 3 0 1 1 1 0 3 1 0 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 15 V 0 3 0 5 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12
W 0 1 0 4 2 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 10
X 1 1 1 3 2 2 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 15 Y 3 1 0 2 1 3 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 15
Z 3 1 1 4 2 4 1 1 1 0 2 0 3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 26 Total por contenido 37 68 20 82 29 85 37 9 8 21 21 7 50 5 7 5 1 0 0 0 2 9 503
168
169
PUNTUACIONES OBTENIDAS EN EL POSTEST
Noción de fracción
Fracciones unitarias
Equivalencia de fracciones
Orden de fracciones Suma y resta con igual denominador Suma y resta con diferente denominador
ALUMNOS 1 2 12 3 6 7 5 8 13 4 9 14 10 15 16 17 18 11 19 20 21 22 TOTAL
A 4 4 2 6 2 5 3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 48
B 4 3 1 5 2 3 2 1 1 1 1 2 6 1 1 1 1 5 1 1 1 1 45
C 3 4 1 7 3 4 1 0 1 3 2 2 5 1 1 1 1 4 1 1 1 1 48
D 3 2 1 5 2 7 0 1 1 3 1 3 6 1 1 1 1 5 1 1 0 1 47
E 4 4 1 7 3 4 2 2 1 1 2 5 6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 57
F 4 4 2 7 3 7 3 1 1 1 2 3 6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 62
G 3 2 1 7 2 5 3 2 0 0 1 3 4 1 1 0 1 6 1 0 1 1 45
H 4 4 2 7 3 8 3 2 1 3 3 5 6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 68
I 3 4 1 7 3 4 3 1 1 1 3 3 4 1 1 0 1 4 0 0 0 1 46
J 3 4 1 6 3 7 1 1 0 1 3 2 6 1 1 1 1 4 1 1 1 1 50
K 4 3 1 7 3 6 1 1 1 3 1 1 6 1 1 1 1 5 1 0 0 1 49
L 4 3 1 7 3 4 3 1 1 1 1 2 6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 52
M 3 2 2 6 2 5 3 0 1 1 1 1 6 1 1 0 1 6 1 1 1 1 46
N 2 4 1 7 1 6 1 1 1 1 2 3 6 1 1 1 0 4 0 1 0 1 45
Ñ 4 4 2 7 3 8 3 1 1 1 3 5 6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 65
O 2 4 2 5 2 6 2 1 1 3 2 3 5 1 1 0 1 4 1 0 1 1 48
P 3 4 1 5 2 4 2 1 1 1 2 2 5 1 1 1 1 3 1 1 1 1 44
Q 4 4 1 5 2 7 2 1 1 1 1 2 4 0 1 1 1 5 1 1 1 1 49
R 1 3 2 4 2 7 2 0 1 3 1 2 3 1 0 1 1 5 0 1 1 1 42
S 4 3 2 3 3 5 0 0 1 3 1 3 6 1 1 1 0 5 1 1 1 0 46
T 3 2 2 4 1 6 1 0 1 1 2 3 5 1 1 1 0 6 1 1 1 1 44
U 4 2 2 6 3 6 3 0 0 3 2 5 5 1 1 1 0 6 1 0 1 1 56
V 4 2 1 7 3 5 3 1 1 0 2 3 5 1 0 1 1 6 1 1 1 1 53
W 3 3 1 7 3 7 3 1 1 1 3 3 6 1 1 1 1 4 0 1 1 0 52
X 4 4 2 7 2 8 0 1 1 1 1 1 6 1 1 1 0 3 1 1 1 1 50
Y 4 3 1 6 1 7 1 2 1 3 3 5 6 0 1 0 1 1 1 1 1 0 50
Z 4 4 2 7 3 7 2 2 1 1 2 3 6 1 1 0 1 6 1 1 1 1 61 Total por contenido 92 89 39 164 65 158 53 26 24 43 49 77 144 25 25 21 22 131 23 22 23 24 1368
Contenidos del programa de intervención
170
171
FORMATO DE DIARIO DE CAMPO
ESTRATEGIA (acción formulación, validación, variable comando):
OBSERVACIONES
INSTITUCIONALIZACIÓN
NÚMERO DE SESIÓN: NOMBRE DE LA ACTIVIDAD: FECHA:
CONTENIDO: OBJETIVO: RECURSOS:
