SUPERFICIE LIBRE DE UN VORTICE

Un fluido de densidad y viscosidad constante está contenido en un recipiente cilíndrico de radio R, tal como se indica en la figura 2. El recipiente rota alrededor de su eje con una velocidad angular Ω El eje del cilindro es vertical, de forma que gr = gθ = 0 y gz = -g. Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario.

Figura 1. Forma general de un vórtice

Figura 2.Superficie libre de un líquido que gira, cuya forma se comprueba es de un paraboloide de revolución

La velocidad del fluido en este problema se da en dirección θ variando en r de modo que vθ(r), además vr y vz son igual a 0, luego analizando las ecuaciones de variación de la tabla 3.4-3 del libro de fenómenos de transporte de Bird, Steward y Lightfoot se tiene que la ecuación de movimiento de este problema (desarrollado en clase) se reduce a:

r compon ente : ρvθ2

r=∂ p∂r

(1)

θcomponente :0=μ ∂∂r ( 1r ∂∂ r ( r vθ )) (2)

z componente :0=−∂ p∂ z

− ρg (3)

De la ecuación θ se integra dos veces de modo que:

1r∂∂r

(r vθ )=C1

Luego se multiplica por r a ambos lados e integra de acuerdo a la regla ∫ xndx= xn+1

n+1;

resultando:

rvθ=12C1 r

2+C2

Luego al dividir entre r a ambos lados se tiene:

vθ=12C1 r+

C2r

(4)

Como vθ no puede ser infinito en r = 0; C2 ha de ser 0, en r = R se tiene que vθ = RΩ, luego al reemplazar estos valores en la ecuación (4) se tiene que C1 = 2Ω; por lo tanto vθ será:

vθ=Ωr (5)

Reemplazando la expresión obtenida para vθ en la ecuación (1) y despejando la variación de presión en (3) se tiene:

∂ p∂r

=ρΩ2r (6)

∂ p∂ z

=−ρg (7)

Como p(r,z) se puede escribir de esta forma:

∂ p=∂ p∂r∂ r+ ∂ p

∂ z∂ z (8)

Reemplazando las expresiones (6) y (7) en (8) e integrando se tiene:

∂ p= ρΩ2r ∂ r− ρg∂ z

p=− ρg z+ ρΩ2r 2

2+C (9)

En la región p = p0 para r = 0 y z = z0; luego:

p0=−ρg z0+C

De modo que:

p−p0=−ρg(z− z0)+ρΩ2r2

2 (10)

La superficie libre se da en los puntos donde p = p0; de modo que:

z−z0=(Ω22g )r2 (11)

Analizando la tabla 3.4-6 del texto de fenómenos de transporte de Bird, Steward y Lightfoot, se tiene que solo hay un esfuerzo cortante τrθ:

τ rθ=−μ[r ∂∂ r ( vθr )] (12)

Al reemplazar la ecuación (5) en (12) se tiene:

τ rθ=−μ[r ∂∂ r (Ωrr )]=−μ[r ∂∂ r (Ω )]=0Luego si el esfuerzo cortante anterior es 0 el par o torque también lo será ya que este se define como fuerza x brazo, y la fuerza viene dada por esfuerzo cortante x area.

Terminada la discusión acerca del problema, se procede a realizar la asignación correspondiente, se quiere comprobar cómo varía la presión en el fluido respecto al radio y a la altura en la región del vórtice, de modo que se empleara la ecuación (10) para el cálculo de la presión y se tomara en cuenta que la altura máxima del liquido se relaciona con el radio por medio de la ecuación (11) que describe la superficie libre del fluido a partir de la cual la presión será la atmosférica.

Para este problema se tomo como fluido el H2SO4 y se definieron los siguientes valores:

R = 2 cm Ω = 200 rpm = 20,94 rad/s

p0 = 1 atm = 1013250 dinas/cm2 g = 980 cm/s2

z0 = 10 cm ρ = 1, 84 g/cm3 μ = 26,7 centipoises = 0,267 g/cm*s

En primera instancia se calculan las alturas máximas que tiene el fluido a lo largo de varios valores de r a partir de la relación existente en la superficie libre empleando la fórmula (11) despejando para z, para el siguiente conjunto de datos se tiene:

Tabla 1Altura máxima de fluido z con respecto a r

r (cm) z (cm)0 10

0,2 10,0089520,4 10,03580810,6 10,08056820,8 10,14323241 10,2238006

1,2 10,32227281,4 10,4386491

1,6 10,57292941,8 10,72511382 10,8952022

Se observará la variación de la presión con respecto a z manteniendo fijo un determinado radio, se escogerá por comodidad r = R = 2 cm de modo que al graficar el siguiente conjunto de datos empleando la fórmula (10) despejando para p se tiene:

Tabla 2Variación de la presión respecto a z en r = 2 cm

p (dinas/cm2) z (cm)10 1014864,23

10,008952 1014848,0910,0358081 1014799,6610,0805682 1014718,9510,1432324 1014605,9510,2238006 1014460,6710,3222728 1014283,1110,4386491 1014073,2610,5729294 1013831,1210,7251138 1013556,710,8952022 1013250

9.8 10 10.2 10.4 10.6 10.8 111012000

1012500

1013000

1013500

1014000

1014500

1015000

1015500

Variacion de la presion respecto a z con R = 2

z (cm)

p (d

inas

/cm

2)

Grafica 1. Variación de la presión p con respecto a la altura z desde la base del vórtice en r = 2

En la grafica anterior se observa que manteniendo r constante existe una variación lineal decreciente de la presión con respecto a la altura, lo cual se puede explicar teniendo en cuenta que a medida que se baja en el cilindro, más fluido se encuentra y más presión ejercerá sobre las capas inferiores, lo cual corresponde al primer término de la ecuación (10), es decir −ρg(z−z0); se debe tener en cuenta que como r se mantiene fijo el otro término de la misma ecuación será constante, luego la presión se comporta de manera lineal con la altura a r constante.

Por otra parte se analizará la variación de la presión con respecto al radio al mantener un valor z fijo, se escogerá el valor z = z0 = 10 cm, es decir la altura donde está el vértice o base del vórtice, nuevamente se empleara la formula (10) despejando para p, pero esta vez r variara, la relación obtenida con el siguiente conjunto de datos y su grafica se presentan a continuación:

Tabla 3Variación de la presión con respecto al

radio en z fijo a 10 cmp (dinas/cm2) r (cm)

1013250 01013266,14 0,21013314,57 0,41013395,28 0,61013508,28 0,81013653,56 11013831,12 1,21014040,97 1,41014283,11 1,61014557,53 1,81014864,23 2

0 0.5 1 1.5 2 2.510120001012500101300010135001014000101450010150001015500

Variación de la presión con respecto a r en z = 10 cm

r (cm)

p (d

inas

/cm

2)

Grafica 2. Variación de la presión con respecto al radio en z = 10 cm

Se encuentra que la variación de la presión con respecto al radio al mantener un valor z fijo corresponde a media parábola según la grafica, lo cual concuerda con el segundo

término de la ecuación (10), es decir ρΩ2r2

2; recuérdese que como la altura z es constante

el otro término de la ecuación (10) será constante y luego la variación de la presión con respecto al radio, manteniendo una altura fija es de forma cuadrática, lo cual puede ser explicado por la forma del movimiento que forma el vórtice y hace que se desarrolle la superficie libre de forma parabólica. Si se analiza la variación de la presión variando tanto r como z se tendrá con el conjunto de datos mostrados en la página siguiente esta superficie:

Grafica 3. Superficie que representa la variación de la presión en la región del vórtice respecto al radio (de 0 a 2 cm) y a la altura, la grafica en la parte superior representa una vista frontal de la superficie, mientras la inferior representa una vista trasera a la superficie.

Esta grafica parte de r = 0 hasta r = 2, con todos los valores de z y p posibles para este problema (del vórtice). Se nota el hecho de que al observarse la superficie en la grafica, si se proyecta esta en el plano rp se obtendrá media parábola, como la representada en la grafica 2 en z = 10 cm, por otra parte una proyección de esta en el plano zp se obtiene una recta descendiente como la representada en la grafica 1 en r = 2 cm, finalmente si se hace la proyección en el plano rz se tendrá que en p = p0 = 1013250 dinas/cm2 se mostrara la representación de la superficie libre, los valores z a p = p0 resultantes desde r = 0 hasta r = 2. Las variaciones de presión y de altura máxima del otro lado del vórtice, es decir desde r = - 2 cm hasta r = 0 son iguales a las analizadas a lo largo de esta discusión desde

r = 0 hasta r = 2 cm, es decir que si para un valor r se tiene una presión p y una altura máxima z, para – r la presión y la altura serán p y z respectivamente. Lo anterior se puede apreciar en la siguiente grafica de superficie que considera dichas variaciones con todos los valores de r.

Grafica 4. Superficie que representa la variación de la presión en la región del vórtice con respecto al radio y la altura, en esta superficie se muestra la variación de la presión respecto a todos los valores de r desde -2cm a 2cm, la grafica en la parte superior corresponde a la

vista frontal, mientras que la grafica de la parte inferior corresponde a la vista trasera de la superficie.