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Cálculo
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Cálculo III
Mirna Cuautle Aguilar Superficies Cuadráticas en
3-D
Superficies cuadráticasUna ecuación para una esfera con centro C(h, k, l) y radio r es
En particular si el centro está en el origen (0,0,0), la ecuación es
Esferas
2222 rlzkyhx
2222 rzyx
4213 222 zyx4222 zyx
Una ecuación para una elipsoide es
Las trazas son elipses.
Elipsoides
3694 222 zyx 444 222 zyx
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
La ecuación para una paraboloide elíptico es
Las trazas horizontales son elipses y las verticales parábolas. La variable de primer grado indica el eje del paraboloide.
Paraboloide elíptico
224 yxz 22 9zxy 22 zyx
Paraboloides
2
2
2
2
by
ax
cz
La ecuación para una paraboloide hiperbólico es
Las trazas horizontales son hipérbolas y las verticales parábolas. La variable de primer grado indica el eje del paraboloide.
Paraboloide
hiperbólico
22 2yxz 22 9zxy 22 yzx
Paraboloides
2
2
2
2
by
ax
cz
La ecuación para una hiperboloide de una hoja es
Las trazas horizontales son elipses y las verticales hipérbolas. El eje de simetría lo indica la variable negativa.
Hiperboloide de una
hoja
44 222 zyx 3694 222 zyx
1222 zyx
Hiperboloides
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
La ecuación para una hiperboloide de dos hojas es
Las trazas horizontales en z = k son elipses si k > c ó k < - c y las verticales son hipérbolas. Los dos signos menos indican dos hojas.
Hiperboloide de dos
hojas
3694 222 zyx 99 222 zyx44 222 zyx
Hiperboloides
12
2
2
2
2
2
cz
by
ax
La ecuación para un cono es
Las trazas horizontales son elipses y las verticales en los planos x = k y y = k son hipérbolas si k es diferente de cero, si k = 0 son rectas. El eje de simetría lo indica la variable negativa.
Cono
0222 zyx 02 222 zyx
02
2
2
2
2
2
cz
by
ax
022 222 zyx
La ecuación para un plano es
Se pueden tener casos particulares como:
O bien, como
Planos
042 z 03x
0 dczbyax
0422 zyx
,0 dczby0 dax
0 dczax
0 dby 0 dcz
0 dbyax
063 zy