Sveu£ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati£ki …...Opis: U ovom diplomskom radu prou£avat ¢e se nizovi i redovi funkcija, te njihova ko-nvergencija po to£kama, odnosno uniformna

Sveu£ili²te u Zagrebu

Prirodoslovno-matemati£ki fakultet

Matemati£ki odsjek

Prijedlozi tema diplomskih radova za 2016. godinu

Mentor: Draºen Adamovi¢

Kona£ne grupe

Podru£je: algebra

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: poºeljno je predznanje iz algebarskih kolegija

Opis: U diplomskom radu prou£avali bi se osnovni koncepti iz teorije kona£nih grupa, testrukture vezane za njih. Ovisno o a�nitetu studenta, prou£avala bi se strukturna teorijakona£nih grupa ili teorija reprezentacija ovih grupa.

Literatura:

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.W.A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer, 1992.

1


Poluprosti prstenovi

Podru£je: algebra



Opis: U dilplomskom radu bit ¢e prou¢avani poluprosti prstenovi, poluproste algebre injihovi primjeri. Oviano o a�nitetu studenta, naglasak ¢e biti dan na strukturnu teoriju,konstrukciju ili klasi�kaciju tih prstenova

Literatura:

S. Lang, Algebra, Springer, 2002.W.A. Adkins, S. H. Weintraub, Algebra. An approach via module theory, Springer, 1992.

2


Weylove algebre

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu ¢e se prou£avati osnovne konstrukcije povazane s Weylovomalgebrom. Weylova algebra bit ¢e de�nirana kao kvocijent tenzorske algebre. Ovisnoo a�nitetu studenta, bit ¢e prou£avane kvantne Weylove algebre, teorija reprezentacijaWeylovih algebri i veza s teorijom Liejevih algebri.

Literatura:

T.Y. Lam, A �rst course in noncommutative rings. Volume 131 of Graduate texts inmathematics. 2ed. Springer, 2001. p. 6J.C. McConnell, J.C. Robson, Noncommutative Noetherian rings, Graduate Studies inMathematics, Vol 30, AMS, 1997N. Jing, J. Zhang, Quantum Weyl algebras and deformations of U(G)), Paci�c Journalof Mathematics Vol. 171., No.2, 1995

3


Tenzorske algebre i primjene

Podru£je: algebra



Opis: U diplomskom radu prou£avale bi se algebarske strukture usko vezane s tenzor-skim produktom vektorskih prostora i modula. Naglasak ¢e biti dan na strukturnu teorijutenzorske algebre, te na vanjsku i simetri£nu algebru. Ovisno o a�nitetu studenata, pro-u£avale bi se i primjene ovih algebri u teoriji reprezentacija.

Literatura:

W. H. Greub. Multilinear algebra. Springer, 1967.S. Lang, Algebra, Springer, 2002.

4

Mentor: Nenad Antoni¢

Na£elo kompaktnosti i koncentracije u varijacijskom ra£unu

Student: Mia Juki¢

Podru£je: matemati£ka analiza, parcijalne diferencijalne jednadºbe


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori i Operatori na nor-miranim prostorima, Mjera i integral

Opis: Na£elo koje je uveo Pierre-Louis Lions (dobitnik Fieldsove medalje 1994.) osam-desetih godina sluºi izbjegavanju pote²ko¢e uzrokovane nepostojanjem predkompaktnostiome�enih skupova u beskona£nodimenzionalnim Banachovim prostorima. Ideja se sastojiu tome da se dani niz (na podnizu) rastavi u zbroj konvergentnih nizova koji su pomak-nuti asimptoti£ki ortogonalnim skupom grupovnih djelovanja, uz £lan pogre²ke koji teºik nuli u slabijoj normi (ali i dalje ja£oj od slabe topologije).

Literatura:

Kyril Tintarev, Karl-Heinz Fieseler: Concentration compactness - functional-analytic gro-unds and applications, Imperial College Press, 2007.Michael Struwe: Variational methods - Applications to nonlinear partial di�erential equ-ations and Hamiltonian systems, Springer, 2008.Pierre-Louis Lions: The concentration compactness principle in the calculus of variations:The locally compact case 1,2 ; Ann. Inst. H. Poincaré Sect. A 1 (1984) no. 2,pp. 109�145;no. 4, 223-283.Pierre-Louis Lions: The concentration compactness principle in the calculus of variations:The limit case 1,2 ; Rev. Mat. Iberoamericana 1 (1985) no.1, pp. 145�201; no.2, pp45-121.

5


Razlomljene derivacije i primjene

Podru£je: matemati£ka analiza, matemati£ko modeliranje u �zici



Opis: Razlomljene derivacije se u matematici prou£avaju od devetnaestog stolje¢a, da bitek nedavno postale izvor novih modela u �zici i inºenjerskim strukama.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

R. Hilfer (ur.): Applications of fractional calculus in physics, World Scienti�c, 2000.S. G. Samko, A. A. Kilbas, O. I. Marichev: Fractional integrals and derivatives - Theoryand application, Gordon and Breach, 1993.K. B. Oldham, J. Spanier: The fractional calculus - Theory and applications of di�eren-tiation and integration to arbitrary order, Academic Press, 1974.

6


Degenerirana difuzija

Podru£je: parcijalne diferencijalne jednadºbe



Opis: Jednadºba provo�enja topline prototip je za paraboli£ke parcijalne diferencijalnejednadºbe. Me�utim, ponekad modeliranje realne pojave difuzije pokazuje druga svojstva,koja se mogu opisati nelinearnom jednadºbom oblika ut = divgrad(um). Za m > 1 imamosporu difuziju (jednadºbu porozne sredine), za mc < m < 1 nadkriti£nu brzu difuziju, aza m ≤ mc podkriti£nu brzu difuziju (mc = (d− 2)+/d).Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

P. Daskalopoulos, C. E. Kenig: Degenerate di�usion, EMS, 2007.

7


Tricomijeva jednadºba




Opis: Tricomijeva jednadºba, koja mijenja tip, je jednostavan model za prijelaz iz pod-zvu£nog toka u nadzvu£ni tok �uida.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

A. Kuz'min: Boundary-value problems for transonic �ow, Wiley, 2002.J. M. Rassias: Lecture notes on mixed type partial di�erential equations, World Scienti�c,1990.

8


Matemati£ki modeli u klimatologiji

Podru£je: matemati£ko modeliranje u geo�zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Obi£ne diferencijalne jednadºbe

Opis: Klimatologija prou£ava vremenske uvjete tijekom duljeg vremenskog perioda. Raz-li£iti klimatolo²ki modeli, temeljeni na razli£itim matemati£kim tehnikama, se koriste zaprou£avanje dinamike vremena i klimatskih sustava, s ciljem projekcija na budu¢e vre-menske uvjete.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

H. Kaper, H. Engler: Mathematics & Climate, SIAM, 2013.A. E. Gill: Atmosphere-ocean dynamics, Academic Press, 1982.

9


Matemati£ki pristup relativisti£koj elektrodinamici

Podru£je: matemati£ko modeliranje u �zici


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Diferencijalna geometrija

Opis: Neki �zikalni zakoni, poput Maxwellovih jednadºbi, koje su invarijantne na Lo-rentzove transformacije, tj. u skladu su s posebnom teorijom relativnosti, posebno seelegantno mogu zapisati kori²tenjem diferencijalnih formi.Za vi²e informacija v. http://lebesgue.math.hr/∼nenad/Diplomski/Literatura:

S. Parrott: Relativistic electrodynamics and di�erential geometry, Springer, 1987.P. Bamberg, S. Sternberg: A course in mathematics for students of physics 1,2; Cam-bridge, 1988.C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler: Gravitation, Freeman, 1973.

10

Mentor: Ljiljana Aramba²i¢

Nizovi i redovi funkcija

Student: Danijela Pi²kor

Podru£je: matemati£ka analiza


Opis: U ovom diplomskom radu prou£avat ¢e se nizovi i redovi funkcija, te njihova ko-nvergencija po to£kama, odnosno uniformna konvergencija. Prou£avat ¢e se razni kriterijikonvergencije, kao i svojstva funkcija koje uniformna konvergencija £uva.

Literatura:

W. F. Trench, Introduction to real analysis, (2013). Faculty Authored Books. Book 7.http://digitalcommons.trinity.edu/mono/7

M. H. Protter, C. B. Morrey, A �rst course in real analysis, New York, Springer, 1991.

11


Kona£ni bazni okviri i njihovi duali

Podru£je: linearna algebra


Preduvjeti: poloºen kolegij Vektorski prostori

Opis: Bazni okvir za Hilbertov prostor H je kona£an ili beskona£an niz (xn)n∈I u H takavda postoje konstante A,B > 0 tako da za sve x ∈ H vrijedi A‖x‖2 ≤

∑n∈I |(x|xn)|2 ≤

B‖x‖2. O£ito, svaka ortonormirana baza za H je bazni okvir za H. Obrat ne vrijedi, ato se moºe zaklju£iti ve¢ iz £injenice da nulvektor moºe biti £lan baznog okvira. Svakivektor iz H se moºe rekonstruirati pomo¢u vektora baznog okvira (xn)n∈I , to jest, postojibazni okvir (yn)n∈I tako da je x =

∑n∈I(x|yn)xn za sve x ∈ H; svaki takav bazni okvir

(yn) nazivamo dualom od (xn). U ovom radu ograni£it ¢emo se na prou£avanje kona£nihbaznih okvira, ²to implicira kona£nu dimenziju promatranog Hilbertovog prostora H.

Literatura:

O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhauser Boston, Inc., Bos-ton, MA, 2003.O. Christensen, Frames and bases: An introductory course, Birkhauser Boston, Inc., Bos-ton, MA, 2008.D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, Providence,AMS, 2007.

12


Fuzijski bazni okviri

Podru£je: funkcionalna analiza


Preduvjeti: poloºeni kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima.

Opis: Neka je I kona£an ili prebrojiv skup i vi > 0, i ∈ I. Familija zatvorenih pot-prostora (Wi)i∈I separabilnog Hilbertovog prostora H je fuzijski bazni okvir za H sobzirom na teºine (vi) ako postoje konstante A,B > 0 tako da za sve x ∈ H vrijediA‖x‖2 ≤

∑i v

2i ‖Pi(x)‖2 ≤ B‖x‖2, pri £emu je Pi ortogonalni projektor na Wi. O£ito su

fuzijski bazni okviri generalizacija baznih okvira Hilbertovih prostora, a pokazuje se i damnoga svojstva baznih okvira imaju svoje analogone u ovoj op¢enitijoj formulaciji. Ciljdiplomskog rada je prou£iti neka od tih svojstava.

Literatura:

P. G. Casazza, The art of frame Theory, Taiwanese Journal of Math., Vol 4 (2) (2000)129-202.P. G. Casazza, G. Kutyniok, Frames of subspaces, Wavelets, frames and operator theory,Con-temp. Math., 345, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2004), 87�113.P. G. Casazza, J. C. Tremain, A brief introduction to Hilbert space frame theory and itsapplications.D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, Providence,AMS, 2007.

13


Uvod u C∗-algebre



Preduvjeti: poloºeni kolegiji Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima.

Opis: C∗-algebra A je Banachova algebra na kojoj je zadano preslikavanje involucija∗ : A → A tako da za sve a ∈ A vrijedi ‖a∗a‖ = ‖a‖2. Najjednostavniji, ali i najvaº-niji, primjeri C∗-algebri vezani su za B(H), C∗-algebru ograni£enih linearnih operatorana nekom Hilbertovom prostoru. Naglasak diplomskog rada moºe biti na upoznavanjustrukture C∗-algebri, konstrukciji reprezentacija, ili na prou£avanju posebnih klasa presli-kavanja me�u C∗-algebrama kao ²to su pozitivna, potpuno pozitivna i potpuno ograni£enapreslikavanjima.

Literatura:

W. Arveson, An invitation to C∗-algebras, Springer, 1998.,K. R. Davidson, C∗-algebras by example, AMS, 1996.J. Dixmier, C∗-algebras, North-Holland, Amsterdam, 1982.G. J. Murphy, C∗-algebras and operator theory, Academic Press, London, 1990.V. I. Paulsen, Completely bounded maps and dilations, Pitman research notes in mathe-matics, 146, Longman, 1986.

14

Mentor: Damir Baki¢

Multirezolucijski vali¢i i diskretne transformacije

Student: Toni Vidovi¢


Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Opis: Vali¢ je kvadratno integrabilna funkcija koja pod djelovanjem cjelobrojnih transla-cija i (dijadskih) dilatacija tvori ortonormiranu bazu ili, op¢enitije, Parsevalov bazni okvirHilbertovog prostora kompleksnih kvadratno integrabilnih funkcija na realnom pravcu. Uradu ¢e se u prvom redu opisati osnovna svojstva vali¢a te multirezolucijska struktura kaonajjednostavnija i osnovna tehnika konstrukcije vali¢a. U drugom dijelu rada diskutirat¢e se neke primjene, posebno, diskretne transformacije signala koje se temelje na multi-rezolucijskoj tehnici.

Literatura:

E. Hernandez, g. Weiss, A �rst course on wavelets, CRC Press, 1996.D.F. Walnut, Wavelet analysis, Birkhäuser, 2002.

15


Model izgla�ivanja empirijskih podataka

Student: Matea Galovi¢

Podru£je: matemati£ka statistika

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika

Opis: U radu ¢e se najprije opisati tehnike neparametarske regresije i, posebno, lokalnopolinomijalne regresije, koje se koriste pri izgla�ivanju empirijskih podataka. U drugomdijelu opisat ¢e se primjena na modelu izgla�ivanja empirijskih vjerojatnosti smrti kori²te-nom za generiranje tablica smrtnosti koje su u sluºbenoj upotrebi u Republici Hrvatskoj.

Literatura:

J.S. Simono�, Smoothing methods in statistics, Springer, 1996.Actuariel Genootschap (2007) On mortality and life expectancy. English version of AGreport "Over sterfte en Overleven", April 2007.D. Baki¢, Tablice aktuarske matematike, prosinac 2012., stru£ni elaborat izra�en po na-rudºbi HZMO.

16


Bazni okviri i Rieszove baze Hilbertovih prostora



Opis: Niz vektora (fn)n u Hilbertovom prostoru H se naziva bazni okvir za H akopostoje konstante A,B > 0 takve da vrijedi A‖x‖2 ≤

∑∞n=1 |〈x, fn〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀x ∈

H. Ako vrijedi samo druga od navedenih dviju nejednakosti kaºemo da je niz (fn)nBesselov. Kaºe se da je bazni okvir Parsevalov ako je A = B = 1, tj. ako vrijedi ‖x‖2 =∑∞

n=1 |〈x, fn〉|2, ∀x ∈ H. Uz svaki bazni okvir prirodno se veºe tzv. operator analizeU : H → `2, Ux = (〈x, fn〉)n. Bazni okvir (fn)n je Rieszova baza prostora H ako jepripadaju¢i operator analize surjektivan.

U radu ¢e se najprije izloºiti osnovna svojstva baznih okvira i Rieszovih baza. U drugomdijelu prikazat ¢e se neki napredniji rezultati poput opisa svih baznih okvira dualnihzadanome, perturbacijskih teorema, svojstava vi²ka i de�cita i drugih.

Literatura:

D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, AMS, 2007.O. Christensen, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, 2002.D. Baki¢, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju).

17


Kona£ni bazni okviri



Opis: Kona£an niz vektora (xn)Mn=1 u N -dimenzionalnom unitarnom prostoru H senaziva bazni okvir za H ako postoje konstante A,B > 0 takve da vrijedi A‖x‖2 ≤∑M

n=1 |〈x, xn〉|2 ≤ B‖x‖2, ∀x ∈ H. Kaºe se da je bazni okvir Parsevalov ako je A = B = 1,tj. ako vrijedi ‖x‖2 =

∑Mn=1 |〈x, fn〉|2, ∀x ∈ H. Bazni okvir (xn)Mn=1 je uniforman ako svi

xn imaju jednake norme.

U radu ¢e se najprije izloºiti osnovna i konstrukcije kona£nih baznih okvira. U drugomdijelu prikazat ¢e se svojstva uniformnih baznih okvira, posebno uniformnih Parsevalovih,te metode njihove konstrukcije.

Literatura:

D. Han, K. Kornelson, D. Larson, E. Weber, Frames for undergraduates, AMS, 2007.D. Baki¢, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroni£kom izdanju).P.G. Casazza, J. Kova£evi¢, Uniform tight frames with erasures, Advances in Computati-onal Mathematics 18, 2-4(2003), 387-430.P.G. Casazza, R.G. Lynch, A brief introduction to Hilbert space theory and its applica-tions, http://arxiv.org/pdf/1509.07347.pdf

18

Mentor: Bojan Basrak

Repni indeks i zavisnost

Student: Ognjen Stipeti¢

Podru£je: vjerojatnost, slu£ajni procesi


Opis: Razni podaci u mnogim znanostima i primjenama, mogu se dobro opisati razdi-obama regularno variraju¢eg repa, odn. razdiobama za koje vrijedi P (X > x) = L(x)x−α

za x→∞, gdje je L neka sporo promjenjiva funkcija, a X ozna£ava slu£ajnu vrijednost uuzorku. U takvim slu£ajevima, od iznimnog je zna£aja odrediti parametar α koji odre�ujeoblik repa razdiobe. Najzna£ajniji procjenitelj u ovom podru£ju je tzv. Hillov procjenitelj.Glavi cilj diplomskog rada je prikazati teorijska svojstva ovog procjenitelja, ali i upozoritina probleme u njegovoj primjeni. Nadalje, u slu£aju vi²edimenzionalnih podataka od in-teresa je procjeniti i tzv. indeks repne zavisnosti. I u ovom slu£aju, prakti£na primjenastandardnih procjenitelja nije jednostavna. Stoga bi diplomski rad trebao na stvarnim isimuliranim podacima ilustrirati dobre, ali i lo²e karakteristike ovih procjenitelja.

Literatura:

Embrechts, P., Klüppelberg, C. i Mikosch, T. (2008). Modelling Extremal Events: forInsurance and Finance, corr. 4th printing. Springer-Verlag, Berlin.Resnick, S. (2007). Heavy Tailed Phenomena. Springer.Schmidt, R. i Stadtmüller, U. (2006). Non-parametric estimation of tail dependence.Scandinavian Journal of Statistics, 307-335.

19


MCMC metoda i primjene

Student: Elio Barto²



Opis: U mnogim podru£jima statistike ali i drugih znanosti, ra£unalne simulacijskemetode imaju veliku vaºnost. To je posebice slu£aj u bayesovskoj statistici. Mnogemoderne metode ovog tipa zasnivaju se na ideji kori²tenja Markovljevih lanaca u MonteCarlo algoritmima ili Markov Chain Monte Carlo � MCMC metoda. Cilj diplomskog radaje prikazati osnovne pojmove teorije Markovljevih lanaca na op¢enitom skupu stanja, kaoi dva osnovna algoritma u ovom podru£ju: Metropolis�Hastingsovog, odn. Gibbsovogalgoritma. Diplomski rad bi trebao objasniti i osnovna teorijska svojstva ovih algoritama,no prije svega ilustrirati prednosti i primjenu ovih metoda na primjerima iz primjene, aposebno na problemu procjene u bayesovskoj statistici.

Literatura:

Robert, C. i Casella, G. (2013). Monte Carlo statistical methods. Springer.Robert, C. i Casella, G. (2009). Introducing Monte Carlo Methods with R. Springer.

20


Simulacija rijetkih doga�aja

Student: Vedrana Vazdar



Opis: Poznato je da je standardnim Monte Carlo algoritmom vrlo te²ko precizno proci-jeniti vjerojatnosti iznimno rijetkih doga�aja. Problem se krije u velikoj relativnoj gre²citakvih procjenitelja. U tu svrhu u literaturi postoji vi²e simulacijskih tehnika koje sebave upravo ovim problemom. Cilj rada je prikazati neke od ovih tehnika, a prije svegauzorkovanje po vaºnosti (importance sampling) i tzv. uvjetne Monte Carlo metode. Bilobi poºeljno i diskutirati razlike u pristupu ovom problemu u slu£aju razdioba lakog odn.te²kog repa. Na nizu primjera, rad bi trebao ilustrirati prednosti i nedostatke ovih me-toda. Rad bi precizno trebao uvesti i pojmove relativne gre²ke te logaritamske e�kasnostiu ovom kontekstu.

Literatura:

Asmussen, S. i Glynn, P. W. (2007). Stochastic simulation: Algorithms and analysis.Springer.Blanchet, J. i Lam, H. (2011). Rare event simulation techniques. Proceedings of theWinter Simulation Conference, 146�160.

21


Max�stabilni procesi

Student:



Opis: Max�stabilni procesi su se pokazali vrlo korisnim u modeliranju vremenskih iposebice prostornih ekstrema. U literaturi su se pojavile razne reprezentacije i familijeovakvih procesa. Cilj diplomskog rada je prikazati njihova osnovna teorijska svojstva ineke od ovih reprezentacija. Vaºan problem za primjenu ove teorije je simulacija ovakvihprocesa. Unatrag nekoliko godina pojavili su se algoritmi koji omogu¢uju i egzaktnusimulaciju max�stabilnih procesa. Diplomski rad bi trebao prikazati barem jedan od njihi objasniti njegovu teorijsku pozadinu.

Literatura:

Dieker, A.B. i Mikosch T. (2015) Exact simulation of Brown�Resnick random �elds at a�nite number of locations. Extremes, 1-�14.Kabluchko, Z. (2009) Spectral representations of sum- and max-stable processes. Extremes12, 401�424.Kabluchko, Z., Schlather, M. i Haan, L. de (2009) Stationary max-stable �elds associatedto negative de�nite functions. Ann. Probab. 37, 2042�2065.

22

Mentor: Mea Bombardelli

Matematika igre SET

Podru£je: matematika

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji

Opis: Set je igra s 81 karticom na kojima su simboli odre�eni s £etiri svojstva - bojom,brojem, oblikom i ispunom. Student ¢e u ovom radu postaviti i rije²iti mnoge kombi-natorne probleme vezane uz igru Set, ali i prepoznati apstraktne algebarske strukture upozadini.

Literatura:

https://en.wikipedia.org/wiki/Set_(game)

23


Lemoineova to£ka

Student: Keti Step£i¢

Podru£je: geometrija


Opis: Cilj je rada prou£iti svojstva simedijana u trokutu.

Literatura:

Darij Grinberg: Three properties of the symmedian point(http://web.mit.edu/~darij/www/TPSymmedian.pdf)

24


Metoda invarijanti

Student: Maja Trbu²i¢

Podru£je: kombinatorika


Opis: Cilj je rada objasniti i na primjerima ilustrirati metodu invarijanti za rje²avanjelogi£ko-kombinatornih problema.

Literatura:

Arthur Engel: Problem solving strategiesZadaci s natjecanja.

25


Aksiomi geometrije ravnine



Opis: Cilj je rada izloºiti Hilbertove aksiome euklidske geometrije.

Literatura:

Prvanovi¢, Mileva: Osnovi geometrije. Gra�evinska knjiga, Beograd, 1987.

26

Mentor: Mea Bombardelli Neposredni voditelj: Stipe Vidak

Primjene Cevinog i Menelajevog teorema



Opis: Tema ovog diplomskog rada su dva poznata teorema elementarne geometrije: Ce-vin i Menelajev teorem. U prvom dijelu rada prikazat ¢e se nekoliko dokaza tih teorema injihovih obrata, a u drugom dijelu neke njihove primjene. Prva primjena bit ¢e u dokazi-vanju nekih vi²e i manje poznatih teorema elementarne geometrije, a druga u rje²avanjunekih zadataka s raznih matemati£kih natjecanja.

Literatura:

Mathematical database, notes on olympiad mathematics: Ceva's Theorem and Mene-laus's Theorem, 2004.(http://mathdb.org/notes_download/elementary/geometry/ge_G1.pdf)Zadaci s natjecanja

27

Mentor: Nela Bosner

Numeri£ko rje²avanje problema vibracija grede

Student: Matija Mi²ak

Podru£je: primjenjena matematika, numeri£ka linearna algebra, numeri£ka analiza;

Prikladno za studij: Primijenjena matematika

Preduvjeti: poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2, te Znanstveno ra£unanje1 i 2

Opis: Radnja bi obuhvatila tri osnovne cjeline vezane uz problem vibracija greda, a tosu: postavljanje matemati£kog modela, svo�enje na svojstveni problem, i numeri£ko rje-²avanje svojstvenog problema. Na po£etku bi se postavile �zikalne osnove matemati£nkogmodela koje opisuju progib grede i njene karakteristi£ne frekvencije (modove). Posebnimodabirom oblika rje²enja, problem se op¢enito svodi na generalizirani svojstveni problem.Zato bi se prezentirale osnovne metode za rje²avanje takvog svojstvenog problema, i nji-hova naliza. Za kraj, bi se napravili MATLAB programi koji bi implementirali opisanemetode i ilustrirali rje²avanje opisanih problema iz primjene.

Literatura:

I. P. Vatz, A general mathematical model for beam and plate vibration in bending modesusing lumped parameters, NASA Technical Note, TN D-3387, Washington D. C., 1966.I. Aganovi¢ i K. Veseli¢, Jednadºbe matemati£ke �zike, �kolska knjiga, Zagreb, 1985.G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M. D. JohnsHopkins University Press, Baltimore, 1996

28

Mentor: Nela Bosner

Numeri£ko rje²avanje problema sedlaste to£ke

Student: Mihovil Teli²man

Podru£je: primjenjena matematika, numeri£ka linearna algebra, numeri£ka analiza;


Preduvjeti: poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2, Uvoda u optimizaciju,te Numeri£ko rje²avanje parcijalnih diferencijalnih jednadºbi 1 i 2

Opis: Veliki broj problema koji dolaze iz znanstvene i tehni£ke primjere mogu se svesti narje²avanje problema sa sedlastom to£kom. Tako�er, neki algoritmi u optimizaciji zahtje-vaju rje²avanje sustava u formi sa sedlastom to£kom. Zato se pojavio veliki broj metodaza numeri£ko rje²avanje takvih sustava, a naro£ito iterativne metode za velike i rijetkopopunjene sustave. Sustavi koji dolaze iz primjene su £esto strukturirani i lo²e uvjeto-vani, zato su razvijene metode koje su specijalno prikladne za takve slu£ajeve. Radnjabi obuhvatila neke odre�ene primjere iz primjene i njihovo svo�enje na problem sa sed-lastom to£kom. Zatim bi se obradila bitna svostva matrica sa sedlastom to£kom, i nekemetode koje se koriste za rje²avanje sustava sa takvom matricom. Za kraj, bi se napraviliMATLAB programi koji bi implementirali opisane metode i ilustrirali rje²avanje opisanihproblema iz primjene.

Literatura:

M. Benzi, G. H. Golub, J. Liesen, Numerical solution of saddle point problems, ActaNumerica, vol. 14 (2005), str. 1�137.

29

Mentor: Nela Bosner

Odre�ivanje vrijednosti egzoti£nih opcija

Student: Nika Kajfe²

Podru£je: �nancijska matematika, parcijalne diferencijalne jednadºbe, numeri£ko rje²a-vanje parcijalnih diferencijalnih jednadºbi

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti: poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2 ili Numeri£ke metode�nancijske matematike, te Parcijalnih diferencijalnih jednadºbi 1 i 2

Opis: Odre�ivanje cijene standardnih opcija £esto se svodi na numeri£ko rje²avanjeBlack�Scholes-ove parcijalne diferencijalne jednadºbe, pomo¢u kona£nih diferencija. Eg-zoti£ne opcije tako�er vode ka parcijalnim diferencijalnim jednadºbama, ali nisu jednos-tavne strukture poput Black�Scholes-ove. Takve jednadºbe moraju se rje²avati direktno,a pri tome moºe do¢i do pojave numeri£ke nestabilnosti ili neºeljenih rje²enja. Radnjabi dala kratak pregled vaºnih vrsta egzoti£nih opcija, sa posebnim osvrtom na Azijskeopcije. Uz to, dao bi se i numeri£ki aspekt konvekcijsko�difuzijske jednadºbe, u koju semoºe reducirati jednadºba za Azijsku opciju, te njeno rje²avanje putem upwind sheme.Obradile bi se jo² i metode visoke rezolucije, koje nude aproksimacije vi²eg reda. Izradarada tako�er bi obuhvatila i izradu MATLAB programa koji implementiraju obra�enemetode.

Literatura:

R. U. Seydel, Tools for Computational Finance, Fourth Edition, Springer, 2009.

30

Mentor: Nela Bosner

Odre�ivanje vrijednosti ameri£kih opcija

Student: Marija �aneti¢

Podru£je: �nancijska matematika, parcijalne diferencijalne jednadºbe, numeri£ko rje²a-vanje parcijalnih diferencijalnih jednadºbi

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti: poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2 ili Numeri£ke metode�nancijske matematike, te Parcijalnih diferencijalnih jednadºbi 1 i 2

Opis: Odre�ivanje cijene standardnih opcija £esto se svodi na numeri£ko rje²avanjeBlack�Scholes-ove parcijalne diferencijalne jednadºbe, pomo¢u kona£nih diferencija. Ciljnije odrediti vrijednost opcije samo za jednu cijenu temeljne imovine u sada²njem tre-nutku, ve¢ za £itav raspon cijena i to na odre�nom vremenskom intervalu. Ameri£keopcije, s druge strane zadovoljavaju nejednakosti tipa Black�Scholes, dozvoljavaju reali-zaciju opcije prije datuma dospije¢a, i moraju se uzeti u obzir isplate dividendi. Kodameri£kih opcija posebno se paºnja mora posvetiti rubnim uvjetima. Sa numeri£kog as-pekta razradile bi se osnovne numeri£ke metode za rje²avanje postavljenih diskretiziranihjednadºbi dobivenih preko kona£nih diferencija, i izvela bi se osnovna analiza stabilnostitih metoda. Uz numeri£ke metoda, dao bi se kratak uvid i u analiti£ke metode. Izradarada tako�er bi obuhvatila i izradu MATLAB programa koji implementiraju obra�enemetode.

Literatura:

R. U. Seydel, Tools for Computational Finance, Fourth Edition, Springer, 2009.

31

Mentor: Nela Bosner

Ra£unanje i analiza matri£ne funkcije predznaka

Student: Petra Stopi¢

Podru£je: numeri£ka linearna algebra, numeri£ka analiza, matemati£ka analiza;

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika, Financijska iposlovna matematika

Preduvjeti: poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2, ili Numeri£ke metode�nancijske matematike, ili Pratikum iz numeri£kih metoda u statistici

Opis: Funkcije matrica se danas na²iroko primijenjuju u znanosti i tehnici. Matri£nafunkcija predznaka posebno se koristi teoriji kontrole kod rje²avanja Sylvesterovih i Ric-catijevih jednadºbi, kod odre�ivanja svojstvenih vrijednosti koje leºe u odre�enom podru-£ju kompleksne ravnine, u teorijskoj £esti£noj �zici, kod ra£unanja matri£ne disk funkcije,itd. Tema uklju£uje teoriju matrica, numeri£ku analizu, teoriju aproksimacija i razvoj al-goritama. Ova radnja bi obuhvatila teoriju matri£nih funkcija i numeri£ke metode zara£unanje dane funkcije. Tako�er bi se dao uvid u osjetljivost ovog problema baziranuna Fréchetovoj derivaciji. Za numeri£ke algoritme dala bi se analiza to£nosti, stabilnostii sloºenosti.

Literatura:

N. J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, SIAM.,2008.G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M. D. JohnsHopkins University Press, Baltimore, 1996.R. A. Horn and C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press,1991.

32

Mentor: Nela Bosner

Ra£unanje i analiza matri£nog drugog korijena

Student: Paula Stopi¢

Podru£je: numeri£ka linearna algebra, numeri£ka analiza, matemati£ka analiza;


Preduvjeti: poºeljno znanje iz kolegija Numeri£ka analiza 1 i 2, ili Numeri£ke metode�nancijske matematike, ili Pratikum iz numeri£kih metoda u statistici

Opis: Funkcije matrica se danas na²iroko primijenjuju u znanosti i tehnici. Matri£nidrugi korijen posebno se koristi kod rje²avanja diferencijalnih jednadºbi drugog reda, kodrje²avanja nelinearnih matri£nih jednadºbi, kod rje²avanja nekih linearnih krutih rubnihproblema, kod semide�nitnog programiranja (uvjetna optimizacija), itd. Tema uklju£ujeteoriju matrica, numeri£ku analizu, teoriju aproksimacija i razvoj algoritama. Ova radnjabi obuhvatila teoriju matri£nih funkcija i numeri£ke metode za ra£unanje dane funkcije.Tako�er bi se dao uvid u osjetljivost ovog problema baziranu na Fréchetovoj derivaciji.Za numeri£ke algoritme dala bi se analiza to£nosti, stabilnosti i sloºenosti.

Literatura:

N. J. Higham, Functions of Matrices: Theory and Computation, Philadelphia, SIAM.,2008.G. H. Golub and C. F. van Loan, Matrix Computations, Third Edition, M. D. JohnsHopkins University Press, Baltimore, 1996.R. A. Horn and C. R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press,1991.

33

Mentor: Tina Bosner

Osnovni algoritmi rasterske gra�ke za crtanje 2D primitiva

Student: Andrej Ciganj

Podru£je: ra£unarstvo i numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: po mogu¢nosti Ra£unalna gra�ka

Opis: Algortimi rasterizacije, aproksimiraju matemati£ke primitive, opisane vrhivima uKartezijevim koordinatama, skupom piksela odre�ene nijanse sive ili neke druge boje.Glavni algoritmi koji se ovdje obra�uju su �scan converting� algoritmi za pretvaranjeprimitiva u piksele i algoritmi za njihovo obrezivanje s obzirom na pravokutnik prozora.

Literatura:

J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principles andPractice, Addison�Wesley (2005)

34

Mentor: Tina Bosner

Odre�ivanje vidljivih ploha



Preduvjeti: po mogu¢nosti Ra£unalna gra�ka

Opis: Za dani skup 3D objekata i danu projekciju, ºelimo odrediti koje linije ili plohe suvidljive iz sredi²ta projekcije ili duº pravaca projekcije, tako da se mogu prikazati samoone koje to jesu. Ideja ovog diplomskog rada je predstaviti nekoliko razli£itih algoritamakoji se bave tim problemom.

Literatura:

J. D. Foley, A. van Dam, S. K. Feiner, J. F. Hughes: Computer Graphics: Principles andPractice, Addison�Wesley (2005)

35

Mentor: Tina Bosner

Sjen£atelji u ra£unalnoj gra�ci



Preduvjeti: Ra£unalna gra�ka

Opis: Sjen£atelji u ra£unalnoj gra�ci (graphics shaders) su prograbilni moduli koji semogu dinami£ki instalirati u 3D tok prikazivanja. Za razliku od toka prikazivanja �ksnimfunkcijama, sjen£atelji daju ve¢u �eksibilnost, a osim toga reduciraju potrebu za komu-nikaciju izme�u CPU-a i gra�£ke kartice, pove£avaju¢i brzinu gra�£kih programa. Ciljovog diplomskog rada je prikazati upotrebu sjen£atelja uz pomo¢ OpenGL sjen£ateljskogjezika GLSL.

Literatura:

M. Bailey, S. Cunningham: Graphics Shaders: Theory and Practice, Second Edition, CRCPress, Taylor & Francis Group (2012)J. F. Hughes, A. van Dam, M. McGuire, D. F. Sklar, J. D. Foley, S. K. Feiner, K. Akeley: Computer Graphics: Principles and Practice, Third Edition, Addison�Wesley (2014)D. Shreiner, G. Sellers, J. Kessenich, B. Licea�Kane: OpenGL Programing Guide, EightEdition, Addison�Wesley (2013)

36

Mentor: Tina Bosner

Algoritmi ubacivanja £vorova splajnova

Podru£je: numeri£ka matematika

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika, Ra£unarstvo imatematika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poºeljni su i Numeri£ka analiza 1 i 2 ili Ra£unalnagra�ka

Opis: Polinomni splajnovi imaju veliku primjenu, ponajvi²e u kompjuterskoj gra�ci ipri numeri£kom rje²avanju diferencijalnih jednadºbi s rubnim uvjetima. Zato je i bitnoimati stabilne algoritme za ra£unanje njihovih vrijednosti. Ideja ovog diplomskog radaje da se de�niraju B-splajnovi, daju neka njihova svojstva, te izvedu nekoliko algoritamabaziranih na ubacivanju £vorova i to koriste¢i polarne forme.

Literatura:

C. deBoor: B(asic)-Spline Basics, ftp://ftp.cs.wisc.edu/Approx/bsplbasic.psL. Ramshaw: Blossoms are polar forms, CAGD 6, 323�358 (1989)H. P. Seidel: A new multia�ne approach to B-splines, CAGD 6, 23�32 (1989)Knot Insertion and Deletion Algorithms for B-Spline Curves and Surfaces, R. N. Gold-man, T. Lyche, eds., Geometric Design Publications, SIAM (1993)

37

Mentor: Tina Bosner

Globalno konvergentne modi�kacije Newtonove metode



Preduvjeti: Numeri£ka matematika, a poºeljni su i Numeri£ka analiza 1 i 2

Opis: U primjeni se dosta £esto pojavljuje potreba za rje²avanjem bezuvjtenih minimiza-cijiskih problema ili rje²avanjem sistema nelinearnih jednadºbi. Za oba problema koristese skoro iste numeri£ke metode, gdje je jedna od najpopulatnijih Newtonova metoda.Poznat je kao jedan od glavnih nedostataka Newtonove metode nepostojanje globalnekonvergencije, pa je cilj ovog diplomskog rada ponuditi nekoliko mogu¢ih modi�kacijaNewtonove metode kojima se taj problem rje²ava.

Literatura:

J. E. Dennis Jr., R. B. Schnabel: Numerical Methods for Unconstrained Optimizationand Nonlinear Equations, SIAM (1996), (Originally published by Prentice-Hall, Inc., En-glewood Cli�s, N.J., 1983.)

38

Mentor: Franka Miriam Brueckler

Arapski temelji ²kolske matematike

Student: Sebastijan Kocijan

Podru£je: povijest matematike, metodika nastave matematike


Preduvjeti: Povijest matematike

Opis: Pod arapskom matematikom podrazumijeva se matematika nastala u doba srednjegvijeka unutar arapskog kalifata. Poznato je da su arapski matemati£ari ne samo omogu¢iliprijenos starogr£kih rezultata u srednjevokovnu Europu, ve¢ dali i mnoge nove doprinose,koji po stilu bitno vi²e sli£e kasnijoj europskoj matematici nego starogr£ki. Posebno,arapski su matemati£ari dali temelje algebre u suvremenom, ²kolskom, smislu, bitno razvilitrigonometriju, a imali su i mnoge druge zna£ajne doprinose u podru£jima koja danasspadaju u standardne ²kolske matemati£ke teme. Cilj je rada dati pregled tih doprinosa,uz jasne napomene o sli£nostima i razlikama s dana²njim pristupom.

Literatura:

F. M. Brueckler, Povijest matematike I, Osijek, 2014.W. W. Rouse Ball, A Short Account of the History of Mathematics, New York, 1908./60.Arabic Mathematics: Forgotten Brilliance?, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Arabic_mathematics.html

J. Stilwell, Mathematics and Its History, Springer Verlag, 2010.

39


Predeuklidsko razdoblje gr£ke matematike

Student: Mateja Murat

Podru£je: povijest matematike, metodika nastave matematike


Preduvjeti: Povijest matematike

Opis: Dobro je poznato da su temelji matematike kao znanosti nastali u anti£ko gr£kodoba, a za to su ponajvi²e zasluºni pitagorejci. Iako je stil starogr£ke matematike bitnorazli£it od suvremenog, £injenice koje su u to doba otkrivene i dokazane odnosno pojmovikoji su tada uvedeni ve¢ su stolje¢ima standardni u ²kolskoj matematici: Talesov i Pi-tagorin pou£ak, iracionalnost

√2, svojstva parnih i neparnih brojeva, proporcionalnost,

omjeri i razmjeri, Platonova tijela i konstrukcije ravnalom i ²estarom samo su neki od njih.Cilj je ovoga rada opisati matematiku tog doba i povijest glavnih matemati£kih otkri¢a,uz poseban naglasak na diskusiju sli£nosti i razlika starogr£kog i suvremenog pristupadana²njim ²kolskim matemati£kim temama.

Literatura:

F. M. Brueckler, Povijest matematike I, Sveu£ili²te u Osijeku, 2014.T. L. Heath, A Manual of Greek Mathematics, Clarendon Press, 1931.T. L. Heath, A History of Greek Mathematics � Vol. 1: From Thales to Euclid, ClarendonPress, 1965.J. Stilwell, Mathematics and Its History, Springer Verlag, 2010.G. Isakovi£ Gleizer, Povijest matematike za ²kolu, �kolske novine & HMD, 2003.History Topics: Index of Ancient Greek mathematics, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Indexes/Greeks.html

40


Fizi£ki modeli poliedara

Student: Kristina Ko²£evi¢

Podru£je: popularizacija matematike, elementarna geometrija, metodika nastave mate-matike


Preduvjeti: Elementarna geometrija, Analiti£ka geometrija

Opis: Poliedri su standarna tema u nastavi matematike, a £esto se koriste i u populari-zaciji matematike zbog svoje ljepote. Tijekom povijesti �zi£ki modeli poliedara izra�ivalisu se iz drva, kamena i drugih materijala, kao i u novije doba iz kartona i papira. Danaspostoje mnoge metode, a naj£e²¢i su kartonski lijepljeni modeli. No, uz to se modelimnogih poliedara mogu izraditi i tehnikama origamija ili pak ispreplitanjem traka papira,zatim koriste¢i gotove setove za izradu geometrijskih modela kao ²to je c©ZOMETOOL,itd. Razlikuju se bridni, puni i tzv. skeletalni modeli. Cilj je ovog rada dati pregled tipovai opis izrade modela poliedara, s naglaskom na upotrebljivost u nastavi i popularizacijimatematike. Pritom ¢e se posebna paºnja obratiti na to da se na taj na£in usporednoobrade i sve poznatije vrste poliedara (Platonova i Arhimedova tijela, Johnsonovi i Cata-lanovi poliedri, Kepler-Poinsotovi poliedri, . . . ).

Literatura:

P. R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press, 1997.J. Montroll, Origami Polyhedra Design, A K Peters, 2009.G. Schierscher, Volim matematiku, Ve£ernji list, 2014.M. Walter et al., Six Recipes for Making Polyhedra, Shaping Space: Springer Verlag,2012., 13�40H. B. Meyer, Polyhedra plaited with paper strips, http://www.hbmeyer.de/flechten/indexeng.htm

ZOMETOOL Resource for Educators,http://www.zometool.com/resources-for-educators/

41


Geometrija Zemljine povr²ine

Student: Lucija �er

Podru£je: geometrija, metodika nastave matematike


Preduvjeti: Elementarna geometrija, Analiti£ka geometrija

Opis: Od davnina, matematika se koristi za opis i prikaz povr²ine Zemlje. Najpoznatiji,ali ne i jedini primjer, su razli£ite kartografske projekcije. Cilj je ovog rada opisati glavnesadrºaje matemati£ke geogra�je (opis oblika Zemlje, dimenzije, zemljopisni koordinatnisustav i GPS, osnovne vrste i svojstva kartografskih projekcija) koji su upotrebljivi unastavi matematike u osnovnoj i srednjoj ²koli. Ujedno ¢e biti obra�en i povijesni razvojtematike.

Literatura:

R. Ibáñez, Ways of Mapping the World, RBA Colrccionables, 2013.B. Bor£i¢, Matemati£ka kartogra�ja: kartografske projekcije, Tehni£ka knjiga, 1955.R. B. Thompson, Global Positioning System: The Mathematics of GPS Receivers, Mat-hematics Magazine, 71 (1998) 260�269C. Lanius, Mathematics of Cartography, http://math.rice.edu/~lanius/pres/map/

42


Binarna matematika

Student: Jaru²ka Stjepanek

Podru£je: popularizacija matematike, aritmetika, metodika nastave matematike


Preduvjeti: Uvod u matematiku, Kombinatorna i diskretna matematika

Opis: Uz dekadski brojevni sustav, binarni je sustav zasigurno i najpoznatiji i najprimje-njiviji. U dana²nje doba zbog primjene u ra£unarstvu i robotici poprima sve ve¢i zna£aj.Ono ²to je manje poznato je da postoje mnoge aktivnosti kroz koje se binarni brojevnisustav moºe upoznati na neformalan, a pritom ipak matemati£ki korektan na£in, nerijetkoi uz mnoge dodatne nestandardne uvide. Cilj je ovog rada dati pregled tema i primjera uznjih veztanih aktivnosti na temu binarnog brojevnog sustava koje se zbog zabavnog ka-raktera ili primjenljivosti mogu iskoristiti u popularizaciji i nastavi matematike: magi£nitrikovi, matemati£ke igre poput nima, sheme praga u kriptogra�ji, de Bruijnovi nizovi,Hammingovi kodovi, . . .

Literatura:

P. Diaconis & R. Graham, Magical Mathematics: The Mathematical Ideas That AnimateGreat Magic Tricks, Princeton University Press, 2011.A. Beck, M. N. Bleicher, D. W. Crowe, Excursions into Mathematics, A K Peters, 2000.S. Chandramathi, R. Ramesh Kumar, R. Suresh & S. Harish, An overview of visual cryp-tography, International Journal of Computational Intelligence Techniques 1 (2010) 32�37K. H. Rosen, Coding Theory,http://www.mhhe.com/math/advmath/rosen/r5/instructor/applications/ch05.pdf

43

Mentor: Zvonimir Bujanovi¢

Kombinatorna optimizacija na mobilnoj platformi Android

Student: Jure �iljeg

Podru£je: ra£unarstvo


Preduvjeti: poznavanje programskog jezika Java; poºeljno: poloºen kolegij �Programi-ranje za suvremene procesore�

Opis: Suvremeni mobilni ure�aji posjeduju sve ve¢u ra£unalnu snagu, usporedivu sasvega nekoliko generacija starim stolnim ra£unalima. Stoga o£ekujemo da se i rje²avanjesloºenih i ra£unski intenzivnih zada¢a, poput problema kombinatorne optimizacije, moºerelativno uspje²no implementirati na mobilnim platformama.

Dva su cilja ovog diplomskog rada: opisati osnovne metode i tehnike razvoja mobilnihaplikacija pomo¢u razvojnog okruºenja Android Studio, te analiza i implementacija raz-li£itih heuristi£kih tehnika kombinatorne optimizacije na primjeru popularne igre 2048.Kako igra nije deterministi£ka, potrebno je prou£iti probabilisti£ke varijante klasi£nih op-timizacijskih metoda, poput expectimax.

Literatura:

Adam Gerber, Clifton Craig: Learn Android Studio: Build Android Apps Quickly andE�ectively, Apress, 2015.Stuart Russell, Peter Norvig: Arti�cial Intelligence: A Modern Approach, Prentice Hall,2013.StackOver�ow � The optimal algortihm for the game 2048, http://stackoverflow.com/questions/22342854/what-is-the-optimal-algorithm-for-the-game-2048

44


Web aplikacije u programskom jeziku Java i razvojni okvir Play

Student: Ana Marija Karlovi¢



Preduvjeti: poºeljno je poznavanje programskog jezika Java

Opis: Java je jedan od najpopularnijih programskih jezika, pogotovo za izradu enterpriseaplikacija. Posljedica te popularnosti je i vrlo ²iroki izbor web-razvojnih okvira dostup-nih za Javu. Dok se ve¢ina njih oslanja na platformu Java EE, okvir Play je inspiriranuspjehom razvojnih okruºenja poput Djanga i Ruby on Rails, £ime je u ve¢ini slu£ajevaolak²ana izrada web-aplikacija. Play donosi i druge arhitekturalne prednosti poput state-less komunikacije, mogu¢nosti asinkronog ulaza/izlaza, modularne strukture, podr²ke zaNoSQL i sli£no.

Cilj ovog diplomskog rada je opisati web-okvir Play i istaknuti njegove prednosti u odnosuna klasi£ne implementacije web-servera. Student ¢e demonstrirati njegove mogu¢nostiizradom odgovaraju¢e sloºenije web-aplikacije.

Literatura:

Web-stranice projekta Play, https://www.playframework.com/Nicolas Leroux, Sietse de Kaper: Play for Java, Manning, 2014.

45


Rje²avanje problema n tijela pomo¢u GPU

Student: Mario Pavlovi¢


Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti: poºeljno: poloºen kolegij �Uvod u paralelno programiranje�

Opis: Suvremeni gra�£ki procesori (GPU) sastoje se od vrlo velikog broja procesorskihjezgri. Takva se arhitektura, osim za osnovnu namjenu izra£unavanja i iscrtavanja trodi-menzionalne scene, moºe iskoristiti u svrhu ra£unanja op¢e namjene. Masovni paralelizamostvariv pomo¢u GPU daje potencijalno velika ubrzanja klasi£nih algoritama, od matri£-nih algoritama do algoritama na grafovima.

Cilj ovog diplomskog rada je analizirati potencijal iskori²tavanja arhitekture GPU za im-plementaciju rje²enja klasi£nog problema me�udjelovanja n tijela. U ovom problemu jepotrebno simulirati pojedina£no kretanje svakog od n tijela koja djeluju jedno na drugogravitacijskom silom. Ve¢ je standardni brute-force pristup, koji rezultira algoritmomsloºenosti O(n2), izuzetno pogodan za paralelizaciju. Od studenta se o£ekuje da imple-mentira ovaj algoritam na GPU, te usporedi njegove performanse s algoritmom koji seizvr²ava na klasi£nom procesoru.

Tako�er, ovisno o interesima studenta, o£ekuje se analiza i implementacija jednog od na-prednijih algoritama, poput O(n log n) algoritma Barnesa i Huta ili fast multipole metodesloºenosti O(n).

Literatura:

CUDA C Programming Guide, http://docs.nvidia.com/cuda/Hubert Nguyen: GPU Gems 3, Addison-Wesley Professional, 2007.Wen-mei W. Hwu: GPU Computing Gems Emerald Edition, Morgan Kaufmann, 2011.Fast Multipole Methods, http://fastmultipole.org/

46


Razvoj web aplikacija pomo¢u okruºenja Ruby on Rails

Student: Mara �umelj



Opis: Ruby on Rails je razvojni okvir otvorenog koda za web-aplikacije pisane u pro-gramskom jeziku Ruby. Osnovna karakteristika ovog okvira je jednostavna implemen-tacija modernih paradigmi softverskog razvoja poput strukture aplikacije u skladu suzorkom model-view-controller, forsiranja konvencije umjesto kon�guracije, pisanja samo-dokumentiraju¢eg koda i sli£no. Zbog ovih svojstava, u zadnjih nekoliko godina je Rubyon Rails postao izuzetno popularna platforma za rapidni razvoj web-aplikacija.

Cilj ovog diplomskog rada je opisati platformu Ruby on Rails i istaknuti njezine prednostiu odnosu na klasi£ne implementacije web-servera. Student ¢e demonstrirati njezine mo-gu¢nosti izradom odgovaraju¢e sloºenije web-aplikacije.

Literatura:

Web-stranice projekta Ruby on Rails, http://rubyonrails.org/Michael Hartl: Ruby on Rails Tutorial: Learn Web Development with Rails, Addison-Wesley, 2015.Sandi Metz: Practical Object-Oriented Design in Ruby: An Agile Primer, Addison-Wesley,2012.

47

Mentor: Vedran �a£i¢

Izra£unljivost na skupovima Z, Q, R i C

Student: Ivan Posav£evi¢

Podru£je: matemati£ka logika

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Matematika i ra£unarstvo

Preduvjeti: Izra£unljivost, Matemati£ka logika

Opis: Izra£unljive funkcije obi£no se de�niraju samo na prirodnim brojevima. Cilj ovogdiplomskog rada je prvo dati precizne de�nicije izra£unljivih funkcija £ije su domene ikodomene ostali skupovi brojeva (cijelih, racionalnih, realnih i kompleksnih), te njihovipodskupovi ili Kartezijevi produkti.

Tako�er, cilj je promotriti matemati£ke grane koje se tim skupovima bave (teorija bro-jeva, realna i kompleksna analiza) na konstruktivan na£in, i ispitati vrijede li neki njihoviteoremi ako se egzistencija zamijeni izra£unljivo²¢u.

Literatura:

Mladen Vukovi¢, Izra£unljivost, skripta; Sveu£ili²te u Zagrebu, 2009.Zvonko Iljazovi¢, Rekurzivnost lan£astih i cirkularno lan£astih skupova, doktorska di-sertacija

48


Sustav za simboli£ko ra£unanje u Haskellu

Student: Ivana Ður�evi¢


Prikladno za studij: Matematika i ra£unarstvo

Opis: Cilj je izloºiti osnove funkcijskog programiranja, i to kroz upoznavanje s £isto funk-cijskim programskim jezikom Haskell. U tom jeziku bit ¢e implementiran rudimentarniCAS (Computer Algebra System), zajedno s pripadnim tipovima podataka koji omogu¢ujue�kasne i funkcijske transformacije matemati£kih izraza. Finalna tema bit ¢e pojednos-tavljivanje izraza, i heuristike za utvr�ivanje koji su izrazi jednostavniji od drugih.

Literatura:

Miran Lipova£a, Learn You a Haskell for Great Good, No Starch Press, 2011.http://learnyouahaskell.com/

Harold Abelson and Gerald Jay Sussman, Structure and Interpretation of Com-puter Programs, MIT Press, 2011.

49


Strukture podataka i algoritmi u Pythonu

Student: Matea Penezi¢


Prikladno za studij: Matematika i ra£unarstvo

Preduvjeti: visoka ocjena iz kolegija Strukture podataka i algoritmi

Opis: Kolegij Strukture podataka i algoritmi upoznaje studente s nekim najvaºnijimapstraktnim tipovima podataka, njihovim implementacijama, i algoritmima na njima kojise uglavnom prezentiraju u obliku neovisnom o implementaciji. Implementacijski jezik jeC, jer su studenti s njim upoznati na ranijim kolegijima.

Me�utim, C zahtijeva razmi²ljanje o mnogim tehni£kim detaljima (kao ²to je upravljanjememorijom), ²to ponekad zamagljuje osnovne ideje i algoritme £ini te²kim za pra¢enje.Python je puno bolji jezik za pisanje �izvr²ivog pseudokoda� kakav je najvi²e potrebanpri prezentaciji takvih algoritama, i za hvatanje algoritama na njihovoj prirodnoj raziniapstrakcije.

Ovaj diplomski rad zami²ljen je kao skripta za imaginarni kolegij, koji pokriva isto gradivokao Strukture podataka i Algoritmi, samo s Pythonom kao implementacijskim jezikom.

Literatura:

Robert Manger, Strukture podataka i algoritmi, skripta; Element, 2014.Brett Slatkin, E�ective Python, http://www.effectivepython.com/

50

Mentor: Lavoslav �aklovi¢

E�kasnost dru²tvenih mehanizama

Student: Ivana Juranov

Podru£je: teorija korisnosti


Opis: U radu ¢e se dokazati Gibbard�Satterthwaite teorem nemogu¢nosti i razviti teorija"Mechanism Design"

Literatura:

Tilman Börgers, An Introduction to the Theory of Mechanism Design

51


Teorija izglednosti i rizik

Student: �logar Ana

Podru£je: teorija korisnosti


Opis: U radu ¢e promatrati pojam rizika u kontekstu teorije izglednosti s primjenama uekonomiji i �nancijama.

Literatura:

Peter P. Wakker: Prospect theory for risk and ambiguity

52


Teorija mjerenja s primjenama

Student: Ben£i¢ Matija

Podru£je: teorija odlu£ivanja i primjene


Opis: U radu ¢e se promatrati razne teorije mjerenja zasnovane na sustavima aksioma snaglaskom na neprecizna mjerenja i teoriju odlu£ivanja.

Literatura:

Roberts, Measurement theory

53

Mentor: Aleksandra �iºme²ija

Trigonometrijske funkcije � strategije aktivne nastave iformativnog vrednovanja u gimnazijskom matemati£kom

obrazovanju

Student: Andrea Katari¢

Podru£je: metodika nastave matematike


Preduvjeti: poloºen kolegij Vrednovanje u matemati£kom obrazovanju.

Opis: Prema aktualnom nastavnom planu i programu, trigonometrijske funkcije realnogargumenta i njihova primjena zauzimaju gotovo polovinu nastave matematike u tre¢emrazredu gimnazija u Hrvatskoj. Cilj diplomskog rada je dati teorijsku osnovu te konkretneprimjere u£inkovitih u£eni£kih aktivnosti na otkrivanju i primjeni pojmova i zakonitostivezanih uz trigonometrijske funkcije, utemeljenih na konstruktivisti£kim teorijama u£enja,kao i primjere strategija formativnog vrednovanja u svrhu pobolj²anja u£enja i u£eni£kograzumijevanja ovih nastavnih sadrºaja.

Literatura:

E. Depka, Designing Assessment for Mathematics, 2. izdanje, Corwin Press, 2007.J. H. McMillan, Classroom Assessment Principles and Practice for E�ective Standards-Based Instruction, 5. izdanje, Pearson New International Edition, Pearson Education,2011.W. J. Popham, Classroom assessment: What teachers need to know, Prentice Hall, 2013.A. S. Posamentier, J. Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics: Techniquesand Enrichment Units, Prentice Hall, 1998.C. R. Tobey, P. D. Keeley, Mathematics Formative Assessment: 75 Practical Strategiesfor Linking Assessment, Instruction, and Learning, Corwin Press & NCTM, 2011.

54


E-u£enje u nastavi matematike u osnovnoj i srednjoj ²koli �mogu¢nosti i primjeri

Student: Marko Lepoglavec



Preduvjeti: poloºen kolegij Primjena ra£unala u nastavi matematike.

Opis: Cilj diplomskog rada je dati pregled temeljnih teorijskih koncepata i rezultatavezanih uz e-u£enje te istraºiti i opisati postoje¢e mogu¢nosti i resurse za online u£enjematematike u osnovnim i srednjim ²kolama u Hrvatskoj. Uz to, od studenta se o£ekujerazvoj vlastitog materijala za e-u£enje odabrane teme iz nastavnih sadrºaja matematikeza osnovnu ili srednje ²kole, uz pomo¢ nekog od dostupnih alata (Moodle sustav Merlinili Loomen).

Literatura:

M. ¢uku²i¢, M. Jandri¢, E-u£enje. Koncept i primjena, �kolska knjiga, Zagreb, 2012.C. Haythornthwaite, R. Andrews, E-learning Theory and Practice, SAGE Publications,2011.W. Horton, e-Learning by Design, 2nd edition, Pfei�er, 2011.Materijali i alati za e-u£enje dostupni u Centru za e-u£enje Sveu£ili²noga ra£unskogacentra Srce, http://www.srce.unizg.hr/ceu/Materijali za e-u£enje dostupni u CARNet-ovom sustavu za e-u£enje Loomen, https://loomen.carnet.hr/

55


Razvoj geometrijskog mi²ljenja u nastavi matematike u osnovnoj²koli

Student: Petra Kova£evi¢




Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati tzv. van Hiele teorijski model razvoja geometrij-skog mi²ljenja, kao i standardne instrumente koje znanstvenici u podru£ju matemati£kogobrazovanja koriste u svrhu istraºivanja unutar ovog teorijskog okvira: (i) ulazni geome-trijski test (eng. Entering Geometry Test), (ii) van Hiele geometrijski test (eng. vanHiele Geometry Test), (iii) test dokazivanja (eng. Proof test). Uzmaju¢i u obzir razinegeometrijskog mi²ljenja prema van Hiele modelu, od studenta se o£ekuje i razrada pri-mjera prikladnih u£eni£kih aktivnosti kojima se poti£e njihov napredak iz niºe u sljede¢uvi²u van Hiele razinu. Za u£enike na razinama 0 i 1 pritom je vaºna u£inkovita uporabakonkretnih �zi£kih materijala i u£ila poput geoplo£e, dok za one na vi²im razinama pred-nost imaju alati dinami£ne geometrije.

Literatura:

C. Lund, Math Explorations with a Geoboard, IPMG Publishing, Eden Prairie, Minnesota,2009.A. S. Posamentier, J. Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics: Techniquesand Enrichment Units, Prentice Hall, 1998.Z. Usiskin, Van Hiele Levels and Achievement in Secondary School Geometry, The Uni-versity of Chicago, 1982., http://ucsmp.uchicago.edu/resources/van-hiele/J. A. Van de Walle, K. S. Karp, J. M. Bay-Williams, Elementary and Middle School Mat-hematics: Teaching Developmentally, 7th edition, Allyn & Bacon, 2009.M. de Villiers, Rethinking Proof with the Geometer's Sketchpad V5, Key Curriculum Press,2012.Materijali inicijative Illuminations. Resources for teaching Math, National Council of Te-achers of Mathematics, SAD, http://illuminations.nctm.org/Materijali inicijative Mathematics Learning and Teaching Initiative (MALATI), http://academic.sun.ac.za/mathed/MALATI/

56


U£enje rje²avanjem problema � problemska nastava matematikena primjeru sadrºajnog podru£ja Podatci

Student: Juraj �utalo




Opis: U prvom dijelu diplomskog rada teorijski ¢e se opisati sustav i modeli organizacijeproblemske nastave matematike. Drugi, glavni dio rada odnosi se na konkretnu primjenuovog sustava u sadrºajnoj domeni Podatci (tj. Statistika i vjerojatnost). Od studenta seo£ekuje oblikovanje primjerenih u£eni£kih aktivnosti i nastavnih materijala za otkrivanjetemeljnih koncepata i zakonitosti vezanih uz navedene nastavne sadrºaje matematike uosnovnoj i/ili srednjoj ²koli.

Literatura:

A. Agresti, C. A. Franklin, Statistics: The Art and Science of Learning from Data, 3rdedition, Pearson, 2012.A. S. Posamentier, J. Stepelman, Teaching Secondary School Mathematics: Techniquesand Enrichment Units, Prentice Hall, 1998.J. A. Van de Walle, K. S. Karp, J. M. Bay-Williams, Elementary and Middle SchoolMathematics: Teaching Developmentally, 7th edition, Allyn & Bacon, 2009.Materijali inicijative Illuminations. Resources for teaching Math, National Council ofTeachers of Mathematics, SAD, http://illuminations.nctm.org/Materijali inicijative Mathematics Learning and Teaching Initiative (MALATI), http://academic.sun.ac.za/mathed/MALATI/

57

Mentor: Tomislav Do²li¢

Kromatski polinomi i njihovi korijeni

Podru£je: kombinatorika


Opis: Neka je zadan graf G i prirodni broj k. Ako je mogu¢e obojiti vrhove grafa Gkoriste¢i k boja tako da susjedni vrhovi budu obojani razli£itim bojama kaºemo da je tobojanje pravilno. Ozna£imo s P (G, t) funkciju koja prirodnom broju t pridruºuje brojpravilnih bojanja grafa G s t boja. Pokazuje se da je ta funkcija polinom u varijabli t £ijisu koe�cijenti cijeli brojevi koji alterniraju po predznaku. To je kromatski polinom

grafa G. Cilj rada bio bi pokazati da pojedine klase realnih brojeva ne mogu biti korijenikromatskog polinoma ni za koji graf G.

Literatura:

D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika

58


Nizovi i kruºnice

Podru£je: kombinatorika, geometrija


Opis: Neka je dan kombinatorni niz (an)n≥0. Uzmimo kruºnicu K0 polumjera 1/a0 ikruºnicu K1 polumjera 1/a1 sa sredi²tima na y-osi koje se diraju u ishodi²tu. Za n ≥2 odredimo sredi²ta svih kruºnica polumjera 1/an (dakle zakrivljenosti an) koje dirajukruºnice Kn−1 i Kn−2. Cilj rada bi bio ispitati pona²anje koordinata sredi²ta za raznenizove (an)n≥0.

Literatura:


59


Vaºnost i zalihost bridova u grafovima

Podru£je: teorija grafova, kombinatorika


Opis: Sparivanje u grafu G je skupM bridova od G takav da je svaki vrh iz G incidentans najvi²e jednim bridom izM . SparivanjeM je savr²eno ako je svaki vrh iz G incidentan sto£no jednim bridom iz M . Vaºnost brida e je broj savr²enih sparivanja od G koja sadrºee; zalihost od e je broj savr²enih sparivanja koja ne sadrºe e. U radu bi trebalo odreditivaºnost i zalihost bridova u nekim klasama grafova.

Literatura:


60


Tutteov polinom

Podru£je: teorija grafova, kombinatorika


Opis: Tutteov polinom je jedna od najvaºnijih graf-teoreti£kih invarijanata koja kodiramno²tvo informacija o grafu. Cilj rada bi bio eksplicitno izra£unati Tutteove polinome zaklase grafova koje opisuju linearne polimere male povezanosti.

Literatura:


61

Mentor: Zlatko Drma£

POD dekompozicija i diskretna empirijska interpolacijama(DEIM) s primjenama

Student: Angela Ba²i¢-�i²ko



Opis: Numeri£ke simulacije su klju£ni alat za analizu i kontrolu kompleksnih dinami£-kih sistema. Pri tome, diskretizacijom pripadnih parcijalnih diferencijalnih jednadºbi,numeri£ko rje²enje dobijemo rje²avanjem sustava obi£nih diferencijalnih jednadºbi velikedimenzije. POD i DEIM su moderne metode koje problem velike dimenzije rje²avajukonstrukcijom potprostora koji sadrºe dovoljno dobru informaciju o trajektorijama rje-²enja (POD), te konstrukcijom kosih projektora koji koriste reducirani broj dimenzija(DEIM). Na taj na£in se originalni sistem aproksimira projiciranim koji je manje dimen-zije. U radnji ¢e biti prezentirana teorija POD i DEIM metoda, te napravljene numeri£kesimulacije koje ilustriraju primjenu u konkretnim problemima.

Literatura:

1. S. Volkwein: Model reduction using proper orthogonal decomposition. Tutorial 44str. 2008.2. M. Hinze, S. Volkwein, Proper orthogonal decomposition surrogate models for no-nlinear dynamical systems: Error estimates and suboptimal control, Dimension Reductionof Large-Scale Systems, Springer, 2005, pp. 261�306.3. S. S. Chaturantabut, D. Sorensen, Nonlinear model reduction via discrete em-pirical interpolation, SIAM Journal on Scienti�c Computing, 32 (2010), pp. 2737�2764.

62


Identi�kacija dinami£kih sistema metodom najmanjih kvadrata

Student: Kristina Komar



Opis: Neka je zadan n�dimenzionalni sustav

x(t) = Ax(t) +Bu(t), x(0) = 0 ∈ Rn; y(t) = Cx(t) +Du(t)

sa funkcijom prelaza G(ζ) = C(ζI − A)−1B + D ∈ Cp×m. U praksi je ponekad jedinadostupna informacija o sustavu niz vrijednosti G(iωk), k = 1, . . . , `, dobivenih mjerenjem.Zadatak je identi�cirati sustav, tj. odrediti funkciju prelaza G koja u smislu najmanjihkvadrata (odn. u L2(iR)) najbolje aproksimiraG. Koriste se metode (matri£nih) racional-nih aproksimacija, kombinirane s metodama numeri£ke integracije. U radnji se detaljnoobra�uje metoda vector �tting i na konkretnim primjerima se ilustrira kako funkcionira uprimjenama.

Literatura:

1. A. Antoulas: Approximation of Large-Scale Dynamical Systems, SIAM Advances inDesigna and Control 2005.2. B. N. Datta: Numerical Methods for Linear Control Systems, Elsevier AcademicPress, 2004.3. B. Gustavsen, A. Semlyen, Rational approximation of frequency domain responsesby vector �tting, IEEE Transactions on Power Delivery, 14 (1999), pp. 1052�1061.4. W. Gautschi, Orthogonal Polynomials, Computation and Approximation, OxfordUniveristy Press, 2004. Numerical Mathematics and Scienti�c Computation.

63


Spektralno klasteriranje

Student: Helena Pelin

Podru£je: numeri£ka matematika, matemati£ko modeliranje

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Ra£unarstvo i matematika

Opis: Klasteriranje podataka je vaºna komponenta analize strukture podataka u raznimproblemima data mining-a. Podatke (piksele na digitalnoj slici, tekstualne dokumente,kupce, artikle itd.) treba particionirati (grupirati) prema nekom zadanom kriteriju sli£-nosti. Osnovna ideja spektralnog klasteriranja je da se objekte koje treba grupirati tefunkciju sli£nosti reprezentira teºinskim grafom, te da se problem klasteriranja formulirakao problem konstrukcije optimalnih rezova u grafu (uklanjanja bridova, £ime se graf raz-bija na nekoliko komponenti). Funkcija cilja koja realizira optimalnost reza (npr. zbrojteºina uklonjenih bridova) je povezana s kvadratnom formom de�niranom pomo¢u La-placeove matrice grafa. Koriste¢i varijacijsku karakterizaciju spektra Laplaceove matrice,problem klasteriranja se dalje rje²ava pomo¢u odre�enih svojstvenih vrijednosti i vektora,koji polazni problem smje²tavaju u prostor puno manje dimenzije.

Literatura:

1. Jianbo Shi, Jitendra Malik: Normalized Cuts and Image Segmentation, IEEETransactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, Vol. 22, 1997.2.Stella X. Yu, Jianbo Shi: Multiclass Spectral Clustering, Computer Vision 2003.3. Ravindra B. Bapat: Graphs and Matrices, Springer 2014.

64


Kvadrati£ni problem svojstvenih vrijednosti

Student: Ma²a Avakumovi¢

Podru£je: numeri£ka matematika, matemati£ko modeliranje


Opis: Kvadrati£ni problem svojstvenih vrijednosti spada u vaºnu klasu problema svoj-stvenih vrijednosti i klju£ni je element u analizi i kontroli vibracija mehani£kih sustava.Za zadane n×n matriceM , C, K treba izra£unati sve kompleksne skalare λ sa pripadnimnetrivijalnim vektorima x, y tako da je (λ2M+λC+K)x = 0, y∗(λ2M+λC+K) = 0. Ciljpredloºene radnje je dati elemente teorije kvadrati£nog problema svojstvenih vrijednosti,te detaljnije prou£iti numeri£ke metode bazirane na razli£itim tipovima linearizacije. Po-sebno ¢e biti pro£avani problemi numeri£ke osjetljivosti metoda u singularnim slu£ajevimabeskona£nih svojstvenih vrijedosti.

Literatura:

1. Zh. Bai, Y. Su, SOAR: A second-order Arnoldi method for the solution of the quadraticeigenvalue problem, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 26 (2005), pp. 640-659.2. S. Hammarling, C. J. Munro, F. Tisseur: An algorithm for complete solution of qu-adratic eigenvalue problems, The University of Manchester MIMS report 2011.86, 2011.3. Zh. Jia, Y. Sun, A re�ned second-order Arnoldi (RSOAR) method for the quadraticeigenvalue problem and implicitly restarted algorithms,arXiv:1005.3947v3, 2011.4. K. Meerbergen, The quadratic Arnoldi method for the solution of the quadratic eige-nvalue problem, Katholieke University of Leuven, report TW 490, 2007.5. F. Tisseur, K. Meerbergen: The quadratic eigenvalue problem, SIAM Review 43 (2001),pp. 235-286.

65

Mentor: Andrej Dujella

Kvadratni ostaci i kvadratni korijeni u kriptogra�ji javnog klju£a

Student: Tomislava Solar

Podru£je: kriptogra�ja, teorija brojeva


Opis: Obradit ¢e se Goldwasser-Micalijev i Rabinov kriptosustav s javnim klju£em. Nji-hova sigurnost je povezana s problemima iz teorije brojeva koji se ti£u razlikovanja kva-dratnih ostataka i neostataka po sloºenom modulu, odnosno ra£unanja kvadratnog kori-jena po sloºenom modulu £ija faktorizacije nije poznata.

Literatura:

J. Katz, Y. Lindell, Introduction to Modern Cryptography, CRC Press, 2015.A. J. Menezes, P. C. Oorschot, S. A. Vanstone, Handbook of Applied Cryptography, CRCPress, 1996.D. R. Stinson, Cryptography. Theory and Practice, CRC Press, 2005.

66


Transcendentni brojevi

Student: Ana Marija Po²pai¢

Podru£je: teorija brojeva


Opis: Kompleksan broj α zove se algebarski broj ako postoji polinom f(x) s racionalnimkoe�cijentima, razli£it od nulpolinoma, takav da je f(α) = 0. Kompleksan broj se zovetranscendentan ako nije algebarski. Iako su skoro svi kompleksni brojevi transcendentni,dokaz transcendentnosti konkretnog broja je £esto vrlo teºak. U radu ¢e se obraditiosnovni rezultati iz klasi£ne transcendentne teorije brojeva.

Literatura:

E. B. Burger, R. Tubbs, Making Transcendence Transparent. An Intuitive Approach toClassical Transcendental Number Theory, Springer-Verlag, 2004.M. Ram Murty, P. Rath Transcendental Numbers, Springer, 2014.A. Baker, Transcendental Number Theory, Cambridge University Press, 1990.

67


Proto£na ²ifra RC4

Student: Jelena Krnjak

Podru£je: kriptogra�ja


Opis: Za razliku od blokovnih ²ifara kod kojih se obra�uje jedan po jedan blok elemenataotvorenog teksta koriste¢i jedan te isti klju£, kod proto£nih ²ifara elementi otvorenogteksta obra�uju se jedan po jedan koriste¢i pritom paralelno generirani niz klju£eva (engl.keystream). U radu ¢e se obraditi jedna od najpopularnijih modernih proto£nih ²ifaraRC4, £iji je autor Ron Rivest.

Literatura:

G. Paul, S. Maitra, RC4 Stream Cipher and Its Variants, CRC Press, 2012.M. Stamp, R. M. Low, Applied Cryptanalysis. Breaking Ciphers in the Real World, Wiley,2007.

68


Diferencijalna kriptoanaliza

Student: Leonora Ga²par



Opis: Metodu diferencijalne kriptoanalize prvi su javno opisali Biham i Shamir 1990.godine. No, po svemu sude¢i, ta je metoda bila poznata konstruktorima DES-a ve¢ 1974.godine, te su je imali u vidu kod dizajna S-kutija i permutacije P. Metoda spada u napade"odabrani otvoreni tekst". U radu ¢e se obraditi napadi diferencijalnom kriptoanalizomna neke ina£ice DES-a i nekih drugih modernih simetri£nih blokovnih kriptosustava.

Literatura:

L.R. Knudsen, M.J.B. Robshaw, The Block Cipher Companion, Springer, 2011.D. R. Stinson, Cryptography. Theory and Practice, CRC Press, 2005.E. Biham, A. Shamir, Di�erential Cryptanalysis of the Data Encryption Standard, Sprin-ger-Verlag, 1993.

69

Mentor: Zrinka Franu²i¢

Fibonometrija

Student: Klara �olti¢



Opis: Neke trigonometrijske formule mogu se povezati s Fibonaccijevim brojevima. Naprimjer,

π

4= arctan

1

2+ arctan

1

5+ arctan

1

8.

U radu ¢e se pokazati neke formule koje uklju£uju trigonometrijske funkcije i Fibonaccijevebrojeve, odnosno Lucasove i generalizirane Fibonaccijeve brojeva. Uz to, Fibonaccijev nizpromatrat ¢e se s geometrijskog aspekta. Bit ¢e rije£i i o zlatnom rezu budu¢i su odre�enegeometrijske interpretacije u uskoj vezi s tim pojmom.

Literatura:

1. T. Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with applications, John Wiley & Sons, 2001.2. A. Brousseau, Fibonacci Numbers and Geometry, Fib. Quart. 10, 303-318, 1972.3. A. Dujella, Fibonaccijevi brojevi, HMD, Zagreb, 2000.

70


Sheme digitalnog potpisa

Student: Jelena Hunjadi


Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer nastavni£ki, Ra£unarstvo i ma-tematika

Opis: Danas vi²e nije mogu¢e zamisliti ºivot bez komunikacije i poslovanje na global-noj ra£unalnoj mreºi, odnosno online. Stoga je dokaz o autenti£nosti digitalne porukeili dokumenata - conditio sine qua non (nuºan uvjet). Digitalni potpis je matemati£kialgoritam koji sluºi u tu svrhu. Valjani digitalni potpis mora zadovoljiti nekoliko uvjeta:primatelj mora biti siguran da je poruku poslao po²iljatelj, po²iljatelj ne moºe pore¢i daje poruku poslao i mora omogu¢iti integritet poruke (to jest garantirati da se poruka ne ¢epromijeniti u tranzitu). Konkretnu realizaciju digitalnog potpisa nam omogu¢avaju asi-metri£ni kriptosustavi, odnosno kriptosustavi s javnim klju£em. U radu ¢e se prezentiratialgoritmi digitalnog potpisa zasnovani na nekim kriptosustavima javnog klju£a, kao ²tosu sustav RSA i ElGamalov sustav.

Literatura:

1. S.Y. Yan, Number Theory for Computing, Springer-Verlag, 2002.2. J. Buchmann, Introduction to Cryptography, Springer-Verlag, New York, 2000.3. A. Dujella, M. Mareti¢, Kriptogra�ja, Element, Zagreb, 2007.

71


Fibonaccijevi brojevi

Student: Darija �timac



Opis: Niz Fibonaccijevih brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... jedan je od najpopu-larnijih nizova u matematici i ²ire. Generiramo ga zbrajanjem prethodna dva £lana niza.Zanimanje za taj niz traje neprestano jo² od srednjeg vijeka. Pojavljuje se u razli£imgranama matematike, ali i u mnogim nematemati£kim disciplinama kao ²to su priroda,likovna umjetnost, glazba, arhitektura, ... U radu ¢e biti rije£i o povijesti ovih brojeva,te ¢e se pokazati njihova glavna svojstva.

Literatura:

1. A. S. Posamentier, I. Lehmann, The Fabulous Fibonacci Numbers, Prometheus Books,2007.2. T. Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with applications, John Wiley & Sons, 2001.3. A. Dujella, Fibonaccijevi brojevi, HMD, Zagreb, 2000.

72


O prstenima oblika Z + Z√m

Student: Anamarija Belina

Podru£je: algebra, teorija brojeva


Opis: U radu ¢e se prou£iti algebarska struktura integralne domene s posebnim naglaskomna skupove oblika Z+Z

√m i Z+Z

(1+√m

2

). Pokazat ¢e se kako je u takvoj strukturi mogu¢

razvoj koncepta djeljivosti. Nadalje, u radu se za neke konkretne vrijednosti od m ispitujetvore li navedeni skupovi (prsteni) euklidsku domenu. Kona£no, opaºena i dokazanasvojstva ovih stuktura omogu¢it ¢e nam karakterizaciju reprezentabilnosti prostog brojap pomo¢u binarne kvadratne forme (na primjer oblika x2 + y2, x2 + 2y2, x2 + xy + 2y2,...).

Literatura:

1. S. Alaca, K. S. Williams, Introductory Algebraic Number Theory, Cambridge UniversityPress, Cambridge, 2004.2. S. Lang, Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, 1994.

73

Mentor: Pavle Goldstein

Struktura grafova vi²eg reda

Student: Antonija Perli¢

Podru£je: analiza i algebra


Preduvjeti: analiza i linearna algebra

Opis: u radu ¢e se prou£avati struktura grafova vi²eg reda i pridruºenih algebri

Literatura:

Kumjian, Pask: Higher Rank Graph C*-Algebras, NYJM 6, 2000, 1-20

74


Algoritam k-sredina u prostoru Minkowskog

Student: Martha Kelava

Podru£je: analiza, algebra, statistika


Preduvjeti: analiza i linearna algebra, primijenjena statistika

Opis: u radu ¢e se prou£avati kompleksnost optimalnog rje²enja algoritma k-sredina uprostoru Minkowskog

Literatura:

Hastie et al: Estimating the number of clusters in a data set via the gap statisticG. Hamerly, C. Elkan: Learning k in k-means, 2003

75


Lokalno poravnanje i prepoznavanje motiva

Student: Antonija Medved


Prikladno za studij: Matemati£ka statistika


Opis: u radu ¢e se prou£avati statisti£ki aspekti pronalaºenja proteinskih motiva u ge-nomu

Literatura:

Durbin et al: Biological Sequence AnalysisVujaklija et al: Deep Scanning for GDSL Motifs in Plant Proteomes, preprint

76


Su�ksne strukture i traºenje motiva

Student: Marijana Mihovil£evi¢




Opis: u radu ¢e se prou£avati algoritamski aspekti pronalaºenja proteinskih motiva ugenomu pomo¢u su�ksnih stabala i/ili polja

Literatura:

Durbin et al: Biological Sequence AnalysisVujaklija et al: Deep Scanning for GDSL Motifs in Plant Proteomes, preprint

77


Kompleksnost skrivenih Markovljevih modela

Student: Ankica Mi²ura




Opis: u radu ¢e se prou£avati jednostavni skriveni Markovljevi modeli i analizirati njihovakompleksnost

Literatura:

Durbin et al: Biological Sequence AnalysisHastie et al: Estimating the number of clusters in a data set via the gap statisticG. Hamerly, C. Elkan: Learning k in k-means, 2003

78


Statisti£ka analiza strukture Voronojevih ¢elija generiranihslu£ajno pakiranim elipsama i primjena na stani£na tkiva

Student: Jakov �iller Lovri¢




Opis: u radu ¢e se prou£avati modeli rasta stani£nih tkiva

Literatura:

H. T. Nguyen, G. S. Rogers, Fundamentals of Mathematical Statistics, Springer Verlag,1989Okabe, Atsuyuki, Barry Boots, Kokichi Sugihara, and Sung Nok Chiu. Spatial Tessel-lations: Concepts and Applications of Voronoi Diagrams, 2nd Ed, John Wiley & Sons,Chichester, West Sussex, England, 1999T. Aste and D. Weaire, The Pursuit of Perfect Packing, Institute of Physics Publishing,Bristol and Philadelphia, 2000.

79


Analiza proteinskih struktura

Student: Mihaela Kobovac


Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, zimski semestar 2016./17.


Opis: u radu ¢e se prou£avati veza izmedju primarne i tercijarne strukture proteina

Literatura:

Durbin et al: Biological Sequence Analysis

80

Mentor: Mihael S. Grbi¢

Utjecaj geometrije uzorka na raspodjelu izmjeni£nog magnetskogpolja

Podru£je: klasi£na elektrodinamika, �zika £vrstog stanja

Prikladno za studij: Matematika i �zika; smjer nastavni£ki

Preduvjeti: Klasi£na elektrodinamika, Diferencijalni i integralni ra£un 1 i 2

Opis: Mikrovalna apsorpcija je jedna od uobi£ajenih tehnika kori²tenih za prou£avanjevisokotemperaturnih supravodi£a. Pomo¢u elektromagnetskih rezonantnih modova mi-krovalne ²upljine se mogu istovremeno odrediti komponente anizotropne vodljivosti ovihspojeva. Stavljanjem uzorka u osciliraju¢e magnetsko polje razli£ite polarizacije se puteminduciranih struja odredi odziv uzorka, a iz toga karakteristike ac vodljivosti. Dosad seu analizi izmjerenih podataka koristilo analiti£ko rje²enje za osciliraju¢e homogeno mag-netsko polje paralelno s povr²inom uzorka (RPU). Budu¢i je u par navrata uo£eno kakogeometrija uzorka moºe imati zna£ajan utjecaj na pona²anje izmjerenih podataka, ciljdiplomskog rada je prona¢i analiti£ko rje²enje za osciliraju¢e homogeno magnetsko poljeokomito na povr²inu uzorka (ROU) i promotriti utjecaj geometrije na mikrovalnu apsorp-ciju. Spajanjem ROU i RPU dobit ¢e se kompletno rje²enje za realnu geometriju uzoraka£ime ¢e napokon biti mogu¢e ukloniti geometrijske artefakte u analizi mjerenja.

Literatura:

Mihael S. Grbi¢. Metoda perturbacije mikrovalne ²upljinehttp://www.phy.pmf.unizg.hr/~mgrbic/glavna_strana/mikroMF.php

81

Mentor: Luka Grubi²i¢

Propoznavanje uzoraka kori²tenjem dubokog u£enja

Student: Atina Koljevina



Preduvjeti: Numeri£ka matematika, Umjetna inteligencija, Strojno u£enje

Opis: Tema ovog diplomskog rada je komparativna analiza algoritma za prepoznavanjei klasi�kaciju uzoraka kori²tenjem metoda dubokog (hijerarhijskog) u£enja [1]. Glavnifokus rada je prikaz i implementacija tehnike konvolucijskih neuronskih mreºa. Rje²e-nje dobiveno kori²tenjem metoda dubokog u£enja treba prakti£no usporediti s drugimmetodama prepoznavanja slika kao ²to su spektralne metode temeljene na dekompozicijisingularnih vrijednosti (analiza glavnih komponenti [2]) . Kao skup podataka za testira-nje i usporedbu algoritama treba koristiti poznate biblioteke testnih primjera. Konkretnotreba izabrati testne primjere iz baza podataka rukom pisanih brojeva [7] odnosno kolek-cije testnih problema za problem prepoznavanja lica [8].

Literatura:

[1] Michael Nielsen, Neural Networks and Deep Learning, internet knjiga,http://neuralnetworksanddeeplearning.com/ , 2015.[2] Gradient based learning applied to document recognition. http://yann.lecun.com/exdb/publis/pdf/lecun-98.pdf

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Convolutional_neural_network[4] http://www.robots.ox.ac.uk/~vgg/practicals/cnn/[5] Convolution neural networks, http://neuralnetworksanddeeplearning.com/chap6.html

[6] http://www.torch.ch[7] MINST baza podataka rukom pisanih brojeva http://yann.lecun.com/exdb/mnist/i podskup originalne baze http://cis.jhu.edu/~sachin/digit/digit.html[8] Face recognition challenges http://www.nist.gov/itl/iad/ig/facechallenges.cfm

82


Rudarenje podataka generiranih senzorima gibanja mobilnihtelefona

Student: Gea Jankovi¢


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika

Preduvjeti: Numeri£ka matematika, Umjetna inteligencija, Strojno u£enje

Opis: U ovom radu potrebno je prikazati matemati£ke alate za razvoj lokacijski osjet-ljivih mobilnih aplikacija kori²tenjem senzora gibanja mobilnih telefona. Konkretno ko-ri²tenjem razvojnog okruºenja za Javu kao ²to je spring treba realizirati vlastitu klijentaplikaciju koja ¢e skupljati podatke senzora gibanja na Android ure�aju (primjer klijentaplikacije je pod [4]). Nakon toga treba razviti server aplikaciju (npr. u Pythonu ili okru-ºenju torch) koja ¢e obraditi podatke senzora u svrhu detekcije neke odabrane aktivnosti.Poºeljno predznanje uklju£uje sadrºaje kolegija: numeri£ka matematika, umjetna inteli-gencija, strojno u£enje, distribuirani procesi

Literatura:

[1] Ubejd Shala i Angel Rodriguez. Indoor Positioning using Sensor-fusion in AndroidDevices. http://hkr.diva-portal.org/smash/get/diva2:475619/FULLTEXT02.pdf[2] Gustaf Hendeby. Orientation Estimation using Smartphone Sensors. http://www.

control.isy.liu.se/student/tsrt14/file/orientation.pdf

[3] Fredrik Gustafsson. Statistical Sensor Fusion. Studentlitteratur, 2012, Second Edi-tion.[4] Sensor Fusion Android App. http://goo.gl/0qNyU[5] TorCh framework. http://www.torch.ch

83


Blockchain � distribuirana baza podataka za realizacijukriptovalute

Student: Domina Hozjan


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matemati£ka statistika

Opis: Bitcoin digitalni novac je prvi primjer valute nazvane kriptovaluta (cryptocur-rency). Koristi se za kupovinu u elektroni£kom obliku. U tom se smislu ne razlikujeni od jedne druge valute (kune, dolara, eura) kojom se tako�er trguje i digitalno. No,njegova najzna£ajnija karakteristika i ujedno najve¢a razlika od ostalih valuta jest ²to jedecentraliziran. Niti jedna institucija (poput banke) ne kontrolira bitcoin mreºu. Reali-zacija distribuirane valute se temelji na Blockchain tehnologiji koja je i cilj ovog rada.Blockchain je distribuirana baza podataka koja biljeºi svaku Bitcoin transakciju ikad iz-vr²enu. Predvi�a se da ¢e se ta tehnologija mo¢i primijeniti i na mnoge druge aspekte,ne samo na �nancije, koji zahtijevaju robustnu implementaciju distribuiranog sustava.Glavna zna£ajka Blockchaina baze je u tome ²to je distribuirana na £vorove na na£inda svaki £vor sadrºi kopiju cijele baze. Struktura baze je podijeljena u blokove, a svakiblok sadrºi "hash kod" prethodnog bloka. Zbog tih £injenica postiºe se velika sigurnostaplikacije. U ovom radu potrebno je prikazati tehnologiju koja je u pozadini realizacijeBlockchain baze kao i analizirati aspekte sigurnosti sustava. Tako�er, treba se osvrnutina aspekte oporavka distribuiranog sustava od gre²ke uklju£uju¢i problem oporavka odbizantskih gre²aka. Poºeljno predznanje uklju£uje sadrºaje kolegija: numeri£ka matema-tika, umjetna inteligencija, strojno u£enje, distribuirani procesi.

Literatura:

[1] Blockchain Tutorial https://www.youtube.com/watch?v=yC6a50ff2jc[2] Blockchain Blueprint for a New Economy, By Melanie Swan, Publisher: O'Reilly Media2015.

84


Sustavi za davanje preporuka

Student: Zlatko Damijani¢



Opis: Dati teoretsku i prakti£nu usporedbu sustava za davanje preporuka koji se te-melje na kolaborativnom �ltriranju (po objektu ili po korisniku). Matemati£ke tehnikeuklju£uju alterniraju¢u metodu najmanjih kvadrata i matri£ne faktorizacije. Potrebno seosvrnuti na sustave za davanje preporuka koji su "Content-based", "Knowledge-based","Community-based" te hibridne sustave. Poseban osvrt treba posvetiti skalabilnosti sus-tava na veli£inu interneta kao ²to su aplikacije koje su primjenjive na veli£inu sustava: Webstranice - Google Boomarks, Video - YouTube, Film - imdb, Glazba - LastFM, Knjige -Amazon, E-kupovina - eBay. Poºeljno predznanje uklju£uje sadrºaje kolegija: numeri£kamatematika, umjetna inteligencija, strojno u£enje, distribuirani procesi.

Literatura:

[1] Z. Huang, D. Zeng, and H. Chen. A comparison of collaborative-�ltering recommen-dation algorithms for e-commerce. IEEE Intelligent Systems, 22(5):68�78, Sept. 2007.[2] Y. Koren, R. Bell, and C. Volinsky. Matrix factorization techniques for recommendersystems. Computer, 42(8):30 � 37, Aug. 2009.[3] Daniel D. Lee and H. Sebastian Seung (1999). Learning the parts of objects by non-negative matrix factorization. Nature, Vol. 401, No. 6755. (21 October 1999), pp.788-791.[4] Andrew Ng. Machine learning. Student resources from http://cs229.stanford.

edu/materials.html

[5] Christopher R. Aberger. Student project for cs229 at Stanford University. Recom-mender: An Analysis of Collaborative Filtering Techniques. http://cs229.stanford.

edu/proj2014/Christopher\%20Aberger,\%20Recommender.pdf

[6] Alternating Least Squares Method for Collaborative Filtering.http://bugra.github.io/work/notes/2014-04-19/alternating-least-

squares-method-for-collaborative-filtering/

[7] Python Data Analysis Library. http://pandas.pydata.org/[8] Recommender System Examples. https://github.com/emtiyaz/recommendation-

system-examples

85

Mentor: Boris Gulja²

Kompaktni operatori u Banachovim prostorima

Podru£je: funkcionalna analiza, teorija operatora

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranimprostorima,Metri£ki prostori

Opis: Kompaktni operatori na Banachovim prostorima su operatori koji preslikavajuograni£ene skupove u predkompaktne skupove, tj. skupove £iji zatvara£ je kompaktanskup. Oni su uniformni limesi operatora kona£nog ranga i po svojstvima su najsli£nijioperatorima na vektorskim prostorima kona£ne dimenzije.

Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora i struktura koje oni tvore. Tako�er seplanira obraditi neke njihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,T. Kato, Perturbation Theory for Linear Operators, 2nd edition, Springer, New York,1980.Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

86


Nuklearni operatori



Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normiranimprostorima, Metri£ki prostori

Opis: Nuklearni operatori ili operatori s tragom su podskup skupa kompaktnih operatorana Hilbertovom prostoru X. Svaki kompaktan operator A : H → H ima prikaz oblika

Ax =∞∑n=1

λn(x|un)en,∀x ∈ H,

gdje su (un)n i (en)n ortogonalni nizovi vektora, ∀n ∈ N, λn ≥ 0 i λn → 0. Operator jenuklearan ako vrijedi

∑∞n=1 λn <∞

U bilo kojoj ortonormiranoj bazi mogu¢e je de�nirati (kona£an) trag operatora kao tragpripadne (beskona£ne) matrice i on je neovisan o izboru baze. Na skupu svih nuklearnihoperatora de�nira se norma tako da je on zatvara£ u toj normi skupa svih operatorakona£nog ranga.

Cilj rada je prou£iti svojstva navedenih operatora, struktura koje oni tvore i obraditi nekenjihove primjene.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Simon B., Trace ideals and their applications, Second Edition, Amer. Math. Soc., 2005,Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

87


Zatvoreni operatori



Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normira-nim prostorima, Metri£ki prostori

Opis: Linearan operator A : D(A) → Y , D(A) ⊆ X, je zatvoren operator ako je njegovgraf Γ(A) = {(x,Ax)|x ∈ X} ⊆ X × Y zatvoren potprostor u X × Y , gdje su X, YBanachovi prostori. Zatvorni operatori predstavljaju prirodnu generalizaciju ograni£e-nih linearnih operatora na beskona£no-dimenzionalnim Banachovim prostorima. Zbogteorema o zatvorenom grafu, ako je operator A neograni£en onda je nuºno D(A) 6= X.

Cilj rada je prou£iti koje teoreme iz teorije ograni£enih linearnih operatora je mogu¢epro²iriti na zatvorene operatore.

Literatura:

Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963.

88


Spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore

Podru£je: funkcionalna analiza, zeorija operatora


Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori, Operatori na normira-nim prostorima, Metri£ki prostori

Opis: Spektralni teoremi predstavljaju poop¢enja rezultata iz kona£no dimenzionalnihvektorskih prostora koji se odnose na dijagonalizaciju odgovaraju¢ih klasa operatora uortonormiranim bazama. U su£aju beskona£no dimenzionalnih Hilbertovih prostora radise o egzistenciji tzv. dekompozicije jedinice ili spektralne funkcije za operator A, tj. fami-lije ortogonalnig projektora {Eλ;λ ∈ K}, gdje je K = R u slu£aju hermitskih operatora iK = C u slu£aju normalnih operatora. Tada je mogu¢ prikaz operatora u obliku

A =

∫KλdEλ.

Cilj rada je dokazati spektralni teorem za ograni£ene normalne operatore i opisati nekenjegove primjene. Literatura:Kurepa Svetozar,Funkcionalna analiza- Elementi teorije operatora, �kolska knjiga, 1981,Krein I. C. & M. C, Introduction to the Theory of Linear Nonselfadjoint Operators, Ame-rican Mathematical Society, 1969,Kato T., Perturbation theory for linear operators, Springer-Verlag, 1966Dunford N. & Schwartz J. T., Linear operators (Part II) Spectral theory, Self AdjointOperators in Hilbert Space, John Wiley & sons, 1963,Rudin Walter, Functional analysisn, McGraw-Hill Book Company, 1973.

89

Mentor: Marcela Hanzer

Lokalna polja i prsten adela

Podru£je: algebarska teorija brojeva


Preduvjeti: poloºeni kolegij Algebarske strukture; poºeljno je da je poloºen i kolegijAlgebra

Opis: Upotpunjenja polja Q, i op¢enitije, upotpunjenja kona£nih pro²irenja polja Qobzirom na nearhimedsku metriku (tzv. p-adski brojevi) su od velikog interesa ne samoza algebarsku teoriju brojeva, ve¢ i za teoriju reprezentacija, automorfnih formi i mnogadruga podru£ja suvremene matematike. U klasi£noj teoriji brojeva, polje algebarskihbrojeva (kona£no algebarsko pro²irenje polja Q) se ulaºe u produkt svojih arhimedskihupotpunjenja, tj. u Euklidov prostor. Me�utim, jo² od radova Chevalleya i Weila, postaloje jasno da je za mno²tvo primjena mnogo prirodnije gledati sva upotpunjenja odjednom, ina takvom objektu promatrati neku prirodnu topologiju. Tako su formirani prsten adelai ideli. �esto se informacije o Q (odnosno njegovim kona£nim pro²irenjima) i²£itavajuiz informacija dobijenih iz adeli£ke slike. Cilj diplomskog rada bi bilo davanje osnovnihstrukturnih £injenica i teorema o p�adskim poljima (prsteni s diskretnom valuacijiom,Dedekindove domene), a s druge strane uo£avanje da su takva p�adska polja, zajednos R iC jedina nediskretna lokalno kompaktna polja, ²to omogu¢ava primjenu klasi£neharmonijske analize. Tako�er, trebala bi se dati de�nicija adela i idela i prou£iti njihovaosnovna svojstva.

Literatura:

Lang, Algebraic number theory, Springer 1994.Weil, Basic number theory, Springer 1995.Cassels, Fröhlich, Algebraic number theory, Academic Press Inc, 1986.Serre, A course in Arithmetic, Springer 1973.

90


Teorija reprezentacija kona£nih grupa; Artinov teorem

Podru£je: teorija reprezentacija


Preduvjeti: poloºen kolegij Algebarske strukture,poºeljno je da je poloºen i kolegij Al-gebra

Opis: Reprezentacije kona£nih grupa su vrlo zna£ajne za primjene u �zici ili kvantnojkemiji, a u matematici su, zajedno s klasi£nom harmonijskom analizom, ishodi²na to£ka urazvoju teorije reprezentacija i drugih klasa grupa, npr. algebarskih. U radu bi se trebaodati osvrt na osnove teorije reprezentacija kona£nih grupa, teoriju karaktera i osnovnekoncepte (sume, tenzorski produkti, induciranje) uz analizu nekoliko primjera konkretnihgrupa. U radu bi se trebali dokazati Artinov i Brauerov teorem, koji imaju zna£ajnuulogu u primjeni teorije reprezentacija, npr. u prou£avanju L-funkcija.

Literatura:

Serre, Linear representations of �nite groups, Springer 1977.Curtis, Reiner, Representation theory of �nite groups and associative algebras, Wiley,1962.

91


Konformalna preslikavanja

Student: Antonija Pehar

Podru£je: kompleksna analiza


Preduvjeti: poloºen kolegij Kompleksna analiza

Opis: U radu bi se prou£avala osnovna svojstva konfromalnih preslikavanja koja izlazeiz okvira standardnog kursa Kompleksne analize. Najprije bi se prou£avale Moebiusovetransformacijem i njihovo djelovanje na familije pravaca i kruºnica, te dokazao fundamen-talni Riemannov teorem o jednostavno povezanim podru£jima u kompleksnoj ravnini.Prou£avalo bi se pona²anje konformalnih preslikavanja na granici jednostavno povezanihpodru£ja i nemogu¢nost formulacije analogona Riemannovog teorema za podru£ja kojanisu jednostavno povezana.

Literatura:

Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1987.Freitag, Busam Complex analysis, Springer, 2005.

92


Nulto£ke holomorfnih funkcija

Student: Marija Blaslov

Podru£je: kompleksna analiza


Preduvjeti: poloºen kolegij Kompleksna analiza

Opis: Pro£avanje nulto£aka je jedan od osnovnih zadataka izu£avanja holomorfnih funk-cija. U radu bi se pokrile klasi£ne uvodne teme o nulto£kama holomorfnih funkcija, a kojese ne obra�uju na uvodnom kursu Kompleksne analize. Izu£avali bi se beskona£ni pro-dukti, dokazao Weierstrassov teorem o faktorizaciji, te Jensenova formula. Zatim, uvelibi se Blaschke-ovi produkti i dokazao Muntz-Szaszov teorem.

Literatura:

Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1987.Freitag, Busam Complex analysis, Springer, 2005.

93

Mentor: Vjeran Hari

Paralelne Jacobijeve metode na simetri£nim matricama reda 4

Podru£je: linearna algebra, teorija matrica



Opis: Rad bi bio baziran na novim istraºivanjima. Postoji ukupno 6 cikli£kih Jacobijevihmetoda za simetri£ne matrice reda 4, koje su de�nirane posebnim tzv. paralelnim strate-gijama. Te metode su vrlo zanimljive jer pokazuju da konvergencija cikli£ke Jacobijevemetode za simetri£ne matrice moºe biti patolo²ki spora u nekim ciklusima. Dokazala bi seglobalna konvergencija za svih 6 paralelnih strategija, jer je u £lancima detaljno prou£enametoda pod samo jednom strategijom. Primjeri patolo²ki spore konvergencije pokazalibili bi ilustrirani i koriste¢i Symbolic toolbox u sklopu programa MATLAB.

Literatura:

E. Begovi¢, Convergence of Block Jacobi Methods. Ph.D. thesis, University of Zagreb,2014

E. Begovi¢, V. Hari, On the Global Convergence of the Jacobi Method for Symmetric Ma-trices of order 4 under Parallel Strategies, u pripremi

V. Hari, E. Begovi¢, All Cyclic Jacobi methods for Symmetric Matrix of order four areglobally convergent. U pripremi.

94

Mentor: Vjeran Hari

Konvergencija blok Jacobijeve metode za simetri£ne matrice




Opis: Rad bi bio baziran na dolje spomenutim £lancima i nekim novim istraºivanjima.Blok Jacobijeve metode su danas u centru istraºivanja dijagonalizacijskih algoritama zbogsvoje e�kasnosti i to£nosti. Rad bi vrlo detaljno elaborirao sve aspekte dokaza i koristiomogu¢nosti MATLABa za prikaz pomo¢nih matrica u dokazima.

Literatura:

Hari Vjeran, Convergence to Diagonal Form of Block Jacobi-type Methods. Numer. Math.129 (3) (2015) 449�481.

Drma£ Zlatko, A global convergence proof of cyclic Jacobi methods with block rotations..SIAM J. Mat. Anal. Appl. 31 (3), 1329�1350 (2009)

95

Mentor: Vjeran Hari

Ispitivanje to£nosti novih algoritama za GEP




Opis: Rad bi sadrºavao teorijski i eksperimentalni dio. U teorijskom dijelu izvela bise jedna novija dvostrana dijagonalizacijska metoda za pozitivno de�nitni generaliziraniproblem vlastitih vrijednosti Ax = λBx (B pozitivno de�nitna). Zatim bi se izvela od-govaraju¢a jednostrana matoda. Napisali bi se odgovaraju¢i algoritmi i dokazali teorijskirezultati vezani uz to£nost tih metoda. U eksperimentalnom dijelu bi se napisali odgo-varaju¢i algoritmi u MATLABu i testirala to£nost metoda u usporedbi sa standardnimalgoritmima. Pritom bi se koristila aritmetika varijabi£ne preciznoti VPA u okviru Sym-bolic toolbox u MATLABu.

Literatura:

V. Hari, J. Mateja²., Accuracy of the Hari-Zimmermann variant of the Falk-Langemeyermethod. U pripremi.

V. Novakovi¢, S. Singer, S. Singer, Blocking and parallelization of the Hari-Zimmermannvariant of the Falk-Langemeyer algorithm for the generalized SVD. Objavit ¢e se u Paral-lel Computing.

V. Hari On Cyclic Jacobi Methods for the Positive De�nite Generalized Eigenvalue Pro-blem. Ph. D. Thesis, University of Hagen 1984.

96

Mentor: Vjeran Hari

Konvegrencija cikli£kih Jacobijevih metode za simetri£nu matricureda 4




Opis: Rad bi dokazao da su sve cikli£ke Jacobijeve metode za simetri£nu matricu reda4 globalno konvergentne. Dokaz bi se bazirao na nedavnim istraºivanjima opisanim uradovima u popisu literature. Kako simetri£na matrica reda 4 ima 6 elemenata iznadglavne dijagonale, postoji ukupno 6! = 720 cikli£kih pivotnih strategija koje mogu de�ni-rati cikli£ku Jacobijevu metodu. Kori²tenjem pojmova ekvivalencije, shift-ekvivalencije islabe ekvivalencije, kao i alata poput Jacobijevih anihilatora, moºe se pokazati da su sveJacobijeve metode za simetri£ne matrice reda 4 globalno konvergentne.

Literatura:

E. Begovi¢, Convergence of Block Jacobi Methods. Ph.D. thesis, University of Zagreb,2014

V. Hari, E. Begovi¢, All Cyclic Jacobi methods for Symmetric Matrix of order four areglobally convergent. U pripremi.

E. Begovi¢, V. Hari, On the Global Convergence of the Jacobi Method for SymmetricMatrices of order 4 under Parallel Strategies, u pripremi.

97

Mentor: Miljenko Huzak

Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata: Regresijski model

Student: Tamara Sente

Podru£je: matemati£ka i primijenjena statistika


Preduvjeti: predznanje iz Matemati£ke statistike, Primijenjene statistike i Statisti£kogpraktikuma 1 i 2

Opis: Metoda parcijalnih najmanjih kvadrata s regresijskom analizom objedinjava me-tode glavnih komponenata i regresijsku analizu. Metoda glavnih komponenata primjenjujese i na varijable poticaja i na varijable odziva, s time da je linearni regresijski model pret-postavljen izme�u njihovih glavnih komponenata. U radu ¢e se metoda i model opisatite ilustrirati njegova primjenjivost na primjerima.

Literatura:

A. Geladi¢, B. R. Kowalski, Partial least-squeares regressionn: A tutorial,Analytica Chi-mica Acta 185 (1986) 1-17R. Rosipal, N. Krämer, Overview and recent advances in partial least squares, in Sub-space, Latent Structure and Feature Selection (Eds. C. Saunders et al.), LNCS 3940,Springer-Verlag, (2006) 34-51S. Wald, M. Sjöström, L. Eriksson, PLS-regression: a basic tool of chemometrics, Che-mometrics and Inteligent Laboratoty Systems 58 (2001) 109-130

98


Testovi zna£ajnosti u meta-analizi

Student: Tamara Srbi¢



Preduvjeti: predznanje iz Matemati£ke statistike i Teorije vjerojatnosti 1 i 2

Opis: Meta-analiza je sinteti£ka analiza rezultata vi²e nezavisnih istraºivanja. Posebanslu£aj je problem analize vi²e rezultata testova zna£ajnosti. U radu ¢e se posebno diskuti-rati i opisati neki testovi zna£ajnosti vi²e nezavisnih hipoteza na osnovi njihovih rezultata.Metode ¢e se ilustrirati na primjerima.

Literatura:

L. V. Hedges, I. Olkin, Statistical Methods for Meta-Analysis, Academic Press, Inc., Or-lando, 1985.

99


Osnovni modeli rasta

Student: Ivana Oremu²

Podru£je: matemati£ko modeliranje

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: predznanje iz Matemati£ke metode u marketingu i Statisti£kog praktikuma1

Opis: U matemati£kom modeliranju fenomena rasta, transfera i difuzija koriste se mo-deli koji su, u pravilu, formirani od tri osnovna modela rasta: eksponencijalni i ograni£enieksponencijalni modeli, te logisti£ki model. U radu bi se metodama matemati£ke analizeopisala svojstva navedenih modela i ilustrirala njihova primjena na primjerima iz razli£itihpodru£ja znanosti.

Literatura:

R. B. Banks, Growth and Di�usion Phenomena. Mathematical Frameworks and Applica-tions, Springer-Verlag, Berlin, 1994.

100


Regresijski model povjerenja

Student: Ana Veli¢

Podru£je: matemati£ka i primijenjena statistika


Preduvjeti: predznanje iz predmeta Matemati£ka statistika i Slu£ajni procesi; poºeljnopredznanje iz predmeta Primijenjena statistika

Opis: Teorija povjerenja (engl. credibility theory) je dio aktuarske matematike. Koristi seza odre�ivanje tzv. premije povjerenja, a bazira se na bayesovsknm pristupu modeliranjurizika. Regresijski model povjerenja omogu¢ava de�niranje bayesovske premije i procje-nitelja povjerenja, kao linearne funkcije poznatih kovarijata pri £emu je relacija izme�u²teta i kovarijata zadana linearnim regresijskim modelom.

Literatura:

H. Bühlmann, and A. Gisler A Course in Credibility Theory and its Applications, Springer,2005.

101

Mentor: Goran Igaly

Razvoj vi²eplatformskih aplikacija - Apache Cordova

Student: Anamarija Horvat



Preduvjeti: Ra£unarski praktikum 1, Ra£unarski praktikum 2

Opis: U dana²njem svijetu se za obavljanje razli£itih poslova sve £e²¢e koriste mobiteli.Pri tome se koriste mobilne verzije web stranica ili mobilne aplikacije. Kako bi aplikacijebile dostupne ²to ve¢em broju korisnika one trebaju podrºavati vi²e platformi poput iOS-a, Androida i BlackBerry OS-a ²to zahtijeva dodatne materijalne i ljudske resurse te jedovelo do potrebe za softverom koji omogu¢uje razvoj vi²eplatformskih aplikacija.

Literatura:

John M. Wargo,Apache Cordova 3 Programming,Addison-Wesley Professional,2013.Jonathan Stark, Brian Jepson , Brian MacDonald, Building Android Apps with HTML,CSS, and JavaScript: Making Native Apps with Standards-Based Web Tools, O'ReillyMedia,2010.Kerri Shotts, PhoneGap 2.x Mobile Application Development Hotshot, Packt Publishing,2013.Arnaud Valensi, Apache Cordova: after 10 months, I won't be using it anymore, http://geekcoder.org/apache-cordova-after-10-months-i-wont-using-it-anymore, July06, 2015.

102

Mentor: Goran Igaly

Razvoj aplikacije u Laravel okruºenju

Student: Valentina Dumbovi¢



Preduvjeti: Ra£unarski praktikum 1, Ra£unarski praktikum 2, Baze podataka

Opis: Danas postoji puno frameworka (okruºenja) za razvoj aplikacija. Me�u mno²tvomse isti£e Laravel, koji je besplatan, open-source (otvoreni kod) PHP framework zami²ljenza razvoj web aplikacija na temelju MVC (Model-View-Controller) paradigme. U ovomdiplomskom radu ¢e se opisati i pokazati pomo¢u vlastite web aplikacije, zna£ajnosti Lara-vela i istaknuti razlike i prednosti nad dosad poznatim frameworkima, te ukratko objasnitipozadina izrade web aplikacije i odgovornosti za istu koje slijede nakon izrade.

Literatura:

http://laravel.com

Kevin Tatroe, Peter MacIntyre, Rasmus Lerdorf: Programming PHP, 3rd Edition Cre-ating Dynamic Web Pages, 2013.L. Ullman: PHP and MySQL for Dynamic Web Sites, 2011.L. Welling, L. Thomson: PHP and MySQL Web Development, 2008.D. Sklar, A. Trachtenberg: PHP Cookbook, 2014.J. Lockhart: Modern PHP, 2015.

103

Mentor: Goran Igaly

Razvoj aplikacija za operacijski sustav Android

Student: Silva Haberl

Podru£je: ra£unarstvo, ra£unarsko inºenjerstvo


Opis: Cilj ovog diplomskog rada je opisati razvoj aplikacija koriste¢i Android Studio(IDE) i Android Software Development Kit (SDK). Bit ¢e opisane potrebne predradnjeza uspostavu razvojnog programskog okruºenja. Kao ogledni primjer za razvoj aplikacijakoristit ¢e se konkretna aplikacija za vjeºbanje tipkanja. Aplikacija ¢e u procesu u£enjakoristiti tzv "gami�cation", tj. uklju£ivat ¢e elemente igre (npr. broj uspje²no otipkanihrije£i minus broj neuspje²nih, broj to£no otipkanih rije£i u minuti, ljestvicu najboljihrezultata i sli£no). Za razvoj projekta koristit ¢e se sustav za verzioniranje koda (git).Softver ¢e se testirati. Zavr²ena aplikacija objavit ¢e se na distribucijskoj platformi GooglePlay.

Literatura:

Belen Cruz Zapata, Android Studio Application Development, 2013.Rick Rogers,Learning Android Game Programming: A Hands-On Guide to Building YourFirst Android Game, 2012.Je� Friesen,Learning Java for Android Development, 3rd Edition, 2014.Roy Sandberg, Mark Rollins, The Business of Android Apps Development, 2nd Edition,2013.Tyson McCann, The Art of the App Store, 2011. Peter Bell, Brent Beer, IntroducingGitHub, 2014.

104

Mentor: Goran Igaly

Pro²irenje programskog jezika Logo na 3D i konkretnaimplementacija u obliku su£elja za 3D animacije Elica

Student: Igor Tomi£i¢

Podru£je: nastava matematike i informatike

Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer nastavni£ki

Preduvjeti: poznavanje nekog programskog jezika, Metodika nastave informatike I

Opis: Logo se u nastavi informatike koristi ve¢ u niºim razredima osnovne ²kole te sesmatra jednostavnim programskim jezikom, prikladan djeci i u£enicima koji se prvi putasusre¢u s programiranjem. Ovaj diplomski rad ¢e pokazati vi²e mogu¢nosti Loga: odosnovnih 3D naredbi u FMSLogu do konkretne implementacije 3D dizajniranja u oblikubesplatnog su£elja za 3D animacije Elica. Opisat ¢u povijest i razvoj Elice, prikazatinekoliko primjera izra�enih u Elici te povezati Elicu s primjenom u nastavi informatike imatematike.

Literatura:

Tomislav Gra£anac - Logo: programski jezik i opis programskog jezika LISP, Mladost1987.Marjana Grinfeld Gradi²ki - Logo programiranje : ja ho¢u i ja mogu programirati naLogu, vlastita naklada, 1998.Ines Kniewald - Logo 4.0, Alfej, 1999.Ines Kniewald - Terraping Logo, SysPrint, 2005.Elica - sluºbena web stranica, dostupno 16.11.2015. na http://www.elica.net/index.

html

Elica - Educational Logo Interface for Creative Activities, Yahoo grupa, dostupno 16.11.2015. na https://groups.yahoo.com/group/elica

N. Nawathe, A. Manjiyani, P. Mungekar - Natural object oriented programming usingElica, Thadomal Shahani Engineering College, dostupno 16.11.2015. na http://www.

slideshare.net/nik1246/natural-object-oriented-programming-using-elica

105

Mentor: Dijana Ili²evi¢

Neke primjene obi£nih diferencijalnih jednadºbi

Student: Kre²imir Vu£i¢

Podru£je: obi£ne diferencijalne jednadºbe


Preduvjeti: Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Cilj ovog diplomskog rada je opisati neke primjene obi£nih diferencijalnih jednadºbiu geometriji, prirodnim znanostima i inºenjerstvu.

Literatura:

M. Ali¢, Obi£ne diferencijalne jednadºbe, skripta PMF - Matemati£kog odjela, Zagreb,1994.M. Antunac-Majcen, A. Borzan, V. Devide, M. Dejanovi¢-Striºak, N. Dukovi¢, G. Gyar-mati-Pavli¢, B. Kronfeld, V. Marde²i¢, I. Matuli¢-Bedeni¢, D. Sto²i¢, Rije²eni zadaci izvi²e matematike s kratkim repetitorijem de�nicija i teorema, svezak IV, �kolska knjiga,Zagreb, 1990.C. Chicone, Ordinary Di�erential Equations with Applications, Springer, 1999.V. Peri¢, M. Tomi¢, Zbirka rije²enih zadataka iz Matematike II, 1.Diferencijalne jedna-£ine, Svjetlost, Sarajevo, 1989.W.-C. Xie, Di�erential Equations for Engineers, Cambridge University Press, 2010.D. Waltham, Mathematics: A Simple Tool for Geologists, Wiley-Blackwell, 2000.

106


Konstrukcije pravilnih sedamnaesterokuta

Student: Petra Mijo£

Podru£je: elementarna geometrija


Preduvjeti: Elementarna geometrija

Opis: Veliki matemati£ar Carl Friedrich Gauss je dokazao da se pravilan sedamnaeste-rokut moºe konstruirati ravnalom i ²estarom. Zadatak ovog diplomskog rada je prikazatiGaussov dokaz mogu¢nosti konstrukcije pravilnog sedamnaesterokuta te osim konstruk-cije sedamnaesterokuta na osnovi Gaussove analize opisati jo² neke konstrukcije pravilnogsedamnaesterokuta.

Literatura:

V. Ben£i¢, Elementarna geometrija, II dio, za pedago²ke akademije, �kolska knjiga, Za-greb, 1974.Ð. Pauni¢, Pravilni poligoni, Dru²tvo matemati£ara Srbije, Beograd, 2006.B. Pavkovi¢, D. Veljan, Elementarna matematika I, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1992.

107


Pribliºno ra£unanje vrijednosti elementarnih funkcija

Student: Doris �ugaj



Preduvjeti: Diferencijalni i integralni ra£un 1 i 2, Osnove matemati£ke analize

Opis: Izrazi koji su matemati£ki ekvivalentni nisu uvijek ekvivalentni u kontekstu pri-bliºnog ra£unanja. To dovodi do problema nalaºenja najprikladnijih analiti£kih izrazaza elementarne funkcije, pri £emu se ra£unanje vrijednosti funkcija obi£no svodi na ele-mentarne matemati£ke operacije podijeljene na cikluse koji se ponavljaju. Zadatak ovogdiplomskog rada je pokazati neke tipi£ne tehnike pribliºnog ra£unanja vrijednosti elemen-tarnih funkcija.

Literatura:

B.P. Demidovi£, I.A. Maron, Computational Mathematics (prijevod s ruskog), Mir Publi-shers, Moskva, 1987.S. Kurepa, Matemati£ka analiza, drugi dio, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1984.

108


Hahn-Banachov teorem


Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika, Matemati£kastatistika

Preduvjeti: Normirani prostori i Operatori na normiranim prostorima

Opis: Hahn-Banachov teorem predstavlja jedan od temelja funkcionalne analize. Njegovaklasi£na verzija se odnosi na pro²irenje linearnih funkcionala. Zadatak ovog diplomskograda je predstaviti nekoliko formulacija Hahn-Banachovog teorema i pristupa njegovomdokazu.

Literatura:

S. K. Berberian, Lectures in functional analysis and operator theory, Springer-Verlag, NewYork-Heidelberg, 1974.S. Kurepa, Funkcionalna analiza, �kolska knjiga, Zagreb, 1990.

109

Mentor: Zvonko Iljazovi¢

Izra£unljivost u euklidskom prostoru

Student: Renato Babojeli¢

Podru£je: teorija izra£unljivosti, topologija


Opis: Pojmovi klasi£ne izra£unljivosti se mogu pro²iriti na nivo realnih brojeva te tako-�er i euklidskog prostora, a daljnje generalizacije podrazumijevaju metri£ke i topolo²keprostore. Cilj ovog diplomskog rada jest prou£iti odre�ene koncepte po tom pitanju terazne aspekte izra£unljivosti u nestandardnim ambijentnim prostorima.

Literatura:

V. Brattka, K. Weihrauch, Computability on subsets of Euclidean space I: closed and com-pact subsets, Theoretical Computer Science, 219:65�93, 1999.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.

110


Kontinuumi

Student: Barbara Friganovi¢

Podru£je: topologija


Opis: Kontinuum je povezan i kompaktan metri£ki prostor. Poznati su mnogi rezultativezani za kontinuume, a postoje i odre�ene klasi�kacije tih prostora. U ovom diplomskomradu prou£avat ¢e se neka svojstva kontinuuma, a cilj je u tom smislu tako�er dati i ²iritopolo²ki kontekst.

Literatura:

C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.S. B. Nadler, Continuum theory, Marcel Dekker, Inc., New York, 1992.W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975.

111


Strukture izra£unljivosti

Student: Edita Kulovi¢



Opis: Strukture izra£unljivosti se javljaju u teoriji izra£unljivosti na euklidskom prostoruili op¢enitije u teoriji izra£unljivih metri£kih prostora. Rije£ je o konceptu kojim se identi-�ciraju me�usobno ekvivalentni efektivni separiraju¢i nizovi, a s tim u vezi se postavljajui odre�ena pitanja. Cilj ovog diplomskog rada je prou£iti taj pojam te tako�er i dati ²irikontekst izra£unljive analize.

Literatura:

M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. Yasugi, T. Mori, Y. Tsujji, E�ective properties of sets and functions in metric spaceswith computability structure, Theoretical Computer Science, 66:127�138, 1999.

112


Topolo²ki aspekti izra£unljivosti

Student: Lucija Validºi¢


Prikladno za studij: Teorijska matematika

Opis: Jedno od pitanja u izra£unljivoj analizi jest uz koje je uvjete poluizra£unljiv skupu euklidskom prostoru izra£unljiv ili slabo izra£unljivo prebrojiv. Pokazuje se da u tomsmislu topologija igra vaºnu ulogu te da odre�ena topolo²ka svojstva poluizra£unljivogskupa povla£e njegovu izra£unljivost ili slabu izra£unljivu prebrojivost i to ne samo ueuklidskom prostoru, nego i u izra£unljivim metri£kim i topolo²kim prostorima. Cilj ovogdiplomskog rada jest prou£iti neka od tih svojstava te odre�ene koncepte s tim u vezi.

Literatura:

V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305: 43�76, 2003.V. Brattka, Plottable real number functions and the computable graph theorem, SIAM J.Comput., 38(1): 303�328, 2008.T. Kihara, Incomputability of Simply Connected Planar Continua, Computability, 1(2):131�152, 2012.J.S. Miller, E�ectiveness for Embedded Spheres and Balls, Electronic Notes in TheoreticalComputer Science, 66: 127-138, 2002.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.K. Weihrauch, T. Grubba, Elementary Computable Topology, Journal of Universal Com-puter Science, 15(6), 1381-1422, 2009.

113

Mentor: Anamarija Jazbec

Klasterska analiza

Student: Tea Ungaro

Podru£je: statistika


Opis: Klaster analiza podrazumijeva grupiranje jedinki (elemenata) u klustere tako da sujedinke unutar klustera �najslicnije�. Kod klasteriranja prvo moramo de�nirati udaljenost(sli£nost) izmedu dvije jedinke, a nakon toga de�niramo algoritam grupiranja. Postojihijerarhijsko i nehijerarhijsko klasteriranje.

Literatura:

Hastie T, Tibshirani R, Friedman J (2001) The Elements of the statistical Learning,Springer.http://www.cs.toronto.edu/~periklis/pubs/depth.pdf

http://www.cs.cmu.edu/afs/andrew/course/15/381-f08/www/lectures/

clustering.pdf

https://support.sas.com/documentation/cdl/en/statugclustering/61759/PDF/

default/statugclustering.pdf

114


Analiza trajanja studiranja na prediplomskom studijumatemati£kog odsjeka PMFa Sveu£ili²ta u Zagrebu

Student: Jelena Be²tak



Opis: Pomo¢u ankete skupiti podatke od studenta na diplomskim studijima o godiniupisa studija te mjesecu i godini zavrsetka prediplomskom studija te podatke koji bimogli utjecati na samu uspjesnost studiranja: motiviranost, �nancije, stanovanje, rezultatimature itd. Napraviti deskriptivnu statistiku svih prikupljenih podataka i njihovu analizu.Koriste¢i analizu doºivljenja i Coxovu regresiju analizirati vrijeme potrebno za zavr²etakprediplomskog studija te prediktore koji su na to utjecali.

Literatura:

J.P. Klein, M.L. Moeschberger. (2003) Survival Analysis, Springer 2nd ed., NY.https://support.sas.com/documentation/cdl/en/statug/63347/HTML/default/

viewer.htm#phreg_toc.htm

http://www.ats.ucla.edu/stat/sas/seminars/sas_survival/

115


Klasi�kacijska i regresijska stabla odlu£ivanja

Student: Mate �abi¢



Opis: Stabla odlu£ivanja se koriste za separaciju baze podataka u klase ovisno o zavisnojvarijabli i metodi. Ako je zavisna varijabla kategorijska uobi£ajen naziv je klasi�kacijskostablo, a ako je kontinuirana onda se naziva regresijsko stablo odlu£ivanja. Koriste¢i bazudostupnu na webu napraviti CART (Classi�cation and Regression Tree) analizu.

Literatura:

Leonard Gordon (2013)Using Classi�cation and Regression Trees (CART) in SAS R© En-terprise MinerTM For Applications in Public Health http://support.sas.com/

resources/papers/proceedings13/089-2013.pdf

Janine Krivokapich, John S. Child, Donald O. Walter, Alan Gar�nkel (1999) PrognosticValue of Dobutamine Stress Echocardiography inPredicting Cardiac Events in PatientsWith Known or Suspected Coronary Artery Disease, Journal of the American College ofCardiology, 33(3), http://content.onlinejacc.org/on10/19/2015http://isites.harvard.edu/icb/icb.do?keyword=k7935&pageid=icb.page53458

Hastie T, Tibshirani R, Friedman J (2001) The Elements of the statistical Learning,Springer.Morgan Jake. (2014). Classi�cation and Regressio Tree Analysis https://www.bu.edu/sph/files/2014/05/MorganCART.pdf

116


Odre�ivanje glavnih prediktora razine adiponektina,homocicteina, Cistacin C i ekskrecije albumina u urinu kod

dijabetesa tipa 2 koriste¢i regresijsku analizu

Student: Valentina �eketa



Opis: Koriste¢i bazu (50% slu£ajni uzorak stvarne baze) koja sadrºi 31 varijablu bolesnikakoji imaju dijabetes tipa2, koriste¢i regresijsku analizu, odrediti glavne prediktore razineadiponektina, homocicteina, Cistacin C i ekskrecije albumina u urinu.

Literatura:

http://www.ats.ucla.edu/stat/sas/webbooks/reg/

117

Mentor: Mladen Jurak

Jednadºba porozne sredine

Student: Josip �ubrini¢

Podru£je: primijenjena matematika i matemati£ko modeliranje


Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe I i II

Opis: Treba analizirati jednadºbu porozne sredine i njene generalizacije.

• Matemati£ki modeli koji vode na JPS. Opisati barem dva modela: protok plina krozporoznu sredinu i nelinearnu difuziju topline. Koristiti [1], Poglavlje 2.

• Opisati svojstva rje²enja JPS s naglaskom na razlike u odnosu na jednadºbu provo-�enja topline. Konstruirati analiti£ki rje²enja: posebno konstruirati Barenblattovorje²enje i usporediti ga s fundamentalnim rje²enjem jednadºbe provo�enja. Obratitipaºnju na regularnost i eksploziju (�blow up�) rje²enja JPS. Koristiti [1], Poglavlje4.

• Centralni dio rada su teoremi egzistencije i jedinstvenosti slabih rje²enja JPS. Trebaraspisati dokaze Teorem 5.5, Teorem 5.7, Teorema 5.14 iz Poglavlja 5 u [1]. Titeoremi uklju£uju princip uspore�ivanja. Koristiti [1] Poglavlje 3 i Poglavlje 5.

Za svojstva prostora Soboljeva koristiti [2]. Kako je JPS nelinearna degenerirana parabo-li£ka jednadºba u dokazima rezultata egzistencije koriste se klasi£ni rezultati o egzistencijiglatkih rje²enja (kvazi)linearne paraboli£ke jednadºbe. Te rezultate preuzeti iz [3] kao uknjizi [1].

Literatura:

1. J. L. Vázquez: The porous medium equation. Mathematical Theory, Claredon Press,Oxford 2007.2. L.C. Evans: Partial Di�erential Equations, AMS, 1998.3. O.A. Ladiºenskaja, V:A: Solonikov, N.N. Uralceva: Linear and Quasi-linear Equationsof Parabolic Type, AMS 1988, ruski original, Nauka 1967.

118


Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata

Podru£je: primijenjena i numeri£ka matematika


Opis: Diskontinuirana metoda kona£nih elemenata je vrlo �eksibilan na£in diskretiza-cije parcijalnih diferencijalnih jednadºbi koji se intenzivno razvija zadnjih dva desetlje¢a.U ovom radu je potrebno prou£iti osnovne metode diskretizacije za elipti£ke i parabo-li£ke jednadºbe prema knjizi B. Rivière. Zatim je potrebno implementirati metodu udune-pdelab paketu (vidi Dune web-stranicu) i testirati e�kasnost i robusnost metode.Za implementaciju je potrebno dobro poznavanje jezika C++.

Literatura:

Béatrice Rivière, Discontinuous Galerkin Methods For Solving Elliptic And parabolic Equ-ations: Theory and Implementation (Frontiers in Applied Mathematics) SIAM, 2008.DUNE web-stranica: http://www.dune-project.org.

119


Izvod Darcyjevog zakona u periodi£noj poroznoj sredini

Podru£je: primijenjena matematika i matemati£ko modeliranje



Opis: Potrebno je strogo izvesti Darcyjev zakon metodom matemati£ke homogenizacijeiz Stokesovih jednadºbi. Porebno je opisati metodu homogenizacije, dvoskalne konvergen-cije te teoriju egzistencije i jedinstvenosti Stokesove zada¢e. U izvodu modela sluºiti sereferencom [1].

Literatura:

1. G. Allaire: One-Phase Newtonian Flow, poglavlje 3 u U. Hornung ed., Homogenizationand porous media, Springer 1997.2. Z. Chen, G. Huan, Y. Ma: Computational Methods for Multiphase Flows in PorousMedia, SIAM 2006.3. V. Girault, P.-A. Raviart, Finite Element Method for Navier-Stokes Equations, Sprin-ger, 1986.

120


Galerkinova metoda za paraboli£ku parcijalnu diferencijalnujednadºbu

Podru£je: primijenjena matematika i matemati£ka analiza



Opis: Potrebno je dokazati teorem egzistencije i jedinstvenosti slabog rje²enje za linearnuparaboli£ku inicijalnu rubnu zada¢u Galerkinovom metodom. Zatim je potrebno pro²iritikori²tenu metodu na klasu nelinearnih paraboli£kih PDJ. Potrebno je uvesti evolucijskeSoboljevljeve prostore.

Literatura:

1. L. Lions, R. Dautray: Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science andTechnology: vol 6., Springer, 1985.

121

Mentor: Matija Kazalicki

Problem broja klasa

Podru£je: algebarska teorija brojeva i modularne funkcije


Preduvjeti: Algebarska teorija brojeva

Opis: Problem broja klasa je slavan problem koji je postavio Gauss. Treba odreditisva kvadratno imaginarna polja s brojem klasa 1. Problem je rije²io Heegner (1952), alinjegov dokaz nije bio prihva¢en sve do 1969 (naºalost Heegner to nije doºivio). Cilj ovogdiplomskog je izloºiti Heegnerov dokaz koji koristi modularne funkcije i teoriju komplek-snog mnoºenja.

Literatura:

D.A. Cox, Primes of the form x2 + ny2, A Wiley-Interscience Publication. John Wiley &Sons, Inc., New York, 1989.

122


Teorem o 27 pravaca na kubi£noj plohi

Podru£je: algebarska geometrija


Preduvjeti: Algebarske krivulje

Opis: Cilj ovog diplomskog rada je obraditi Cayley-Salmonov teorem iz klasi£ne algebar-ske geometrije koji kaºe da svaka glatka kubi£na ploha nad algebarski zatvorenim poljemsadrºi 27 pravaca.

Literatura:

M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry,https://homepages.warwick.ac.uk/staff/Miles.Reid/MA4A5/UAG.pdf

123


Homomorfna enkripcija i elektroni£ko glasovanje

Student: Teo Turkovi¢



Opis: Cilj ovog diplomskog je izloºiti osnove homomorfne enkripcije s primjenom naelektroni£ko glasovanje.

Literatura:

J. Sen, Homomorphic Encryption: Theory & Applications,http://arxiv.org/abs/1305.5886

124


Dijeljenje tajni



Opis: U kriptogra�ji, pojam dijeljenja tajni se odnosi na metode distribucije informacije(�tajne�) u grupi sudionika tako da svaki £lan grupe dobije dio informacije. Cijela infor-macija se moºe rekonstruirati tek onda kada se svi dijelovi (ili neki odre�en broj) zajednoiskombiniraju. Cilj ovog diplomskog je obraditi razne metode dijeljenja tajni (npr. Visualcryptography, Shamir's scheme, Blakey's scheme, ...).

Literatura:

M. Naor, A. Shamir Visual crytography,http://www.fe.infn.it/u/filimanto/scienza/webkrypto/visualdecryption.pdf

D. Stinsonhttp://www.cs.jhu.edu/~fabian/courses/CS600.624/stinson.pdf

F. M. Brueckler, Kako sakriti sliku?http://www.mathos.unios.hr/~middlemath/ppt/vizualna-kriptografija.pdf

W. Trappe, L.C. Washington, Introduction to cryptography with coding theoryhttp://calclab.math.tamu.edu/~rahe/2014a_673_700720/Trappe_2006.pdf

125

Mentor: Vjekoslav Kova£

Erd®s-Rényijev model slu£ajnih grafova

Student: Monika Bajcer

Podru£je: teorija vjerojatnosti

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Matemati£ka statistika

Opis: U radu ¢e se prou£avati najstandardniji model (jednostavnog neusmjerenog) slu-£ajnog grafa G(n, p), kod kojeg je skup vrhova �ksirani skup od n elemenata, a bridovise biraju nezavisno i to tako da je svaki par vrhova spojen bridom s vjerojatnosti p. Va-rijantu ovog modela uveli su Paul Erd®s i Alfréd Rényi (3), dok je Edgar Gilbert (4)predloºio modi�kaciju koja se do danas naj£e²¢e prou£ava i koristi.

Cilj rada je prou£iti analogone nekih svojstava deterministi£ih grafova (poput poveza-nosti, veli£ine najve¢e komponente, kromatskog broja i sl.) u ovom stohasti£kom modelu.Posebno zanimljiva su tzv. �monotona svojstva� koja nuºno ostaju vrijediti dodavanjemnovih bridova deterministi£kom grafu. Kod analogona takvih svojstava za slu£ajne grafoveG(n, p) traºi se kriti£na vjerojatnost p, tj. preciznije kriti£na asimptotika vjerojatnosti pkada n → ∞, iznad koje vjerojatnosti tog svojstva konvergiraju u 1, a ispod koje onekonvergiraju u 0. Takav fenomen nije prisutan kod deterministi£kih grafova, gdje je veri-�kacija mnogih svojstava algoritamski vrlo sloºen problem.

Literatura:

(1) N. Alon, J. H. Spencer, The Probabilistic Method, Wiley-Interscience Series in DiscreteMathematics and Optimization, tre¢e izdanje, John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ,2008.(2) R. Durrett, Random Graph Dynamics, Cambridge Series in Statistical and Probabi-listic Mathematics 20, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.(3) P. Erd®s, A. Rényi, On Random Graphs. I, Publ. Math. Debrecen 6 (1959), 290�297.(4) E. N. Gilbert, Random Graphs, Ann. Math. Statist. 30 (1959), no. 4, 1141�1144.

126


Vjerojatnosne i funkcionalne varijante Szemerédijeve leme oregularnosti

Student: Filip Bosni¢

Podru£je: teorija vjerojatnosti, funkcionalna analiza, kombinatorika


Opis: E. Szemerédi je varijantu leme regularnosti koristio u svom poznatom rezultatuo aritmeti£kim progresijama u skupovima cijelih brojeva (2), da bi kasnije izloºio njenuop¢enitiju kombinatornu formulaciju (3). S vremenom je ideja dihotomije izme�u �struk-turiranosti� i �pseudoslu£ajnosti� mnogostruko apstrahirana i poop¢ena te je na²la pri-mjene u desecima raznorodnih matemati£kih podru£ja; vidjeti npr. popularno izlaganjeStructure and randomness u (5).

T. Tao je dao apstraktnu vjerojatnosnu formulaciju leme regularnosti u (4),(6); vidjeti ipregledni £lanak (7). W. T. Gowers (1) je formulirao generalnu lemu regularnosti za vek-tore u (kona£no-dimenzionalnom) vektorskom prostoru i sveo je samo na Hahn-Banachovteorem, a prou£avao je i konstruktivne varijante. U svim tim rezultatima osnovna ideja jeda se op¢eniti objekt (vektor, funkcija, slu£ajna varijabla, itd.) dekomponira na struktu-rirani dio (ili na mali broj strukturiranih dijelova), pseudoslu£ajni dio (koji slabo korelirasa strukturom) i na gre²ku (koja je �mala� u odre�enom smislu).

Cilj rada je iskazati i dokazati po jednu (najelegantniju) formulaciju leme regularnosti izradova Taoa i Gowersa, komentirati veze izme�u razli£itih formulacija te ih usporediti sklasi£nom Szemerédijevom.

Literatura:

(1) W. T. Gowers, Decompositions, approximate structure, transference, and the Hahn-Banach theorem, Bull. Lond. Math. Soc. 42 (2010), no. 4, 573�606.(2) E. Szemerédi, On sets of integers containing no k elements in arithmetic progression,Acta Arith. 27 (1975), 199�245.(3) E. Szemerédi, Regular partitions of graphs, Problèmes combinatoires et théorie desgraphes (Colloq. Internat. CNRS, Univ. Orsay, Orsay, 1976), pp. 399�401, Colloq.Internat. CNRS, 260, CNRS, Paris, 1978.(4) T. Tao, A variant of the hypergraph removal lemma, J. Comb. Theory, Ser. A 113(2006), 1257�1280.(5) T. Tao, Structure and Randomness: pages from year one of a mathematical blog, AMS,Providence, 2008.(6) T. Tao, Szemerédi's regularity lemma revisited, Contrib. Discrete Math. 1 (2006),8�28.(7) T. Tao, The ergodic and combinatorial approaches to Szemerédi's theorem, Centre deRecherches Mathématiques, CRM Proceedings and Lecture Notes 43 (2007), 145�193.

127


Vizualizacija vjerojatnosnih koncepata i vizualno rje²avanjezadataka iz vjerojatnosti u nastavi matematike

Student: Antonia �oi¢

Podru£je: teorija vjerojatnosti, nastava matematike


Opis: U radu ¢e se izloºiti nekoliko tehnika i trikova vizualizacije koji mogu pomo¢i kododre�enih tipova zadataka iz elementarne teorije vjerojatnosti. Posebni naglasak je nasistemati£nom rje²avanju problema, tj. kako u£enik moºe vizualno �postaviti� zadatak ipotom relativno lako �o£itati� rezultat. Npr. Vennovi dijagrami i tzv. dvosmjerne tablicemogu pomo¢i kod jednostavnih problema s nekoliko doga�aja, ali i vizualizacije nezavis-nosti doga�aja ili algebri doga�aja. Nadalje, stabla odlu£ivanja su korisna kod sloºenijihzadataka s uvjetnim vjerojatnostima, dok je tzv. bayesovska vaga vrlo zanimljiv prikazaºuriranja vjerojatnosti hipoteza uslijed priljeva novih informacija. Kona£no, ideja ge-ometrijske vjerojatnosti (tj. svo�enja na ra£unanje povr²ina likova) je standardni trik kodrje²avanja zadataka u kojima vjerojatnosni prostor mora biti neprebrojiv.

Literatura:

(1) C. Batanero, J. D. Godino, R. Roa, Training Teachers To Teach Probability, Journalof Statistics Education 12 (2004), no. 1, dostupno na:www.amstat.org/publications/jse/v12n1/batanero.html (studeni 2015.)(2) L. M. Lesser, M. E. Glickman, Using magic in the teaching of probability and statistics,Model Assisted Statistics and Applications 4 (2009), no. 4, 265�274.(3) N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, drugo izdanje, Udºbenici Sveu£ili²ta u Zagrebu, �kol-ska knjiga, Zagreb, 1992.(4) N. Sarapa, Vjerojatnost i statistika: I. dio: osnove vjerojatnosti, kombinatorika, �kol-ska knjiga, Zagreb, 1993.(5) N. Sarapa, Vjerojatnost i statistika: II. dio: osnove statistike, slu£ajne varijable, �kol-ska knjiga, Zagreb, 1996.

128


Baricentri£ke koordinate 20 centara trokuta

Student: �eljka �a¢i¢

Podru£je: euklidska geometrija


Opis: U radu ¢e se promatrati 4 klasi£ne karakteristi£ne to£ke trokuta te jo² 16 po voljiodabranih to£aka iz enciklopedije ETC. Za svaku od njih izloºit ¢e se de�nicija te preciznoizvesti formula za baricentri£ke koordinate. Tako�er ¢e svaka od tih to£aka biti ilustriranaprogramskim paketom GeoGebra.

Literatura:

(1) C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers � ETC, dostupno nahttp://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

(2) D. Palman, Trokut i kruºnica, Element, Zagreb, 1994.(3) Programski paket GeoGebra, dostupan na https://www.geogebra.org/

129

Mentor: Vedran Kr£adinac

Konformni modeli hiperboli£ke ravnine

Student: Valentina Joha



Opis: U ovom diplomskom radu obra�uju se konformni modeli hiperboli£ke ravnine:Poincaréova gornja poluravnina i Poincaréov disk. Prou£ava se grupa Möbiusovih tran-sformacija koje £uvaju incidenciju i duljina luka invarijantna pod djelovanjem te grupe.Tako se na prirodan na£in uvodi metrika u hiperboli£ku ravninu. Na kraju se prou£avajuop¢i ravninski modeli hiperboli£ke ravnine izgra�eni s pomo¢u kompleksne analize.

Literatura:

J. W. Anderson, Hyperbolic geometry, Springer-Verlag, 2005.

130


Optimizacija na matroidu

Student: Nikola Badrov

Podru£je: kombinatorna optimizacija


Opis: Mnogi problemi kombinatorne optimizacije mogu se formulirati u op¢enitijem kon-tekstu kao optimizacijski problemi na matroidu: problem maksimalnog razapinju¢eg sta-bla, maksimalnog toka u mreºi, maksimalnog sparivanja i drugi optimizacijski problemi.U ovom diplomskom radu obradit ¢e se dijelovi teorije matroida s primjenama u podru£jukombinatorne optimizacije.

Literatura:

G. Gordon, J. McNulty, Matroids: a geometric introduction, Cambridge University Press,2012.E. L. Lawler, Combinatorial optimization: networks and matroids, Holt, Rinehart andWinston, 1976.

131


Kleinova kvadrika

Student: Sini²a Premuºi¢



Preduvjeti: poloºen kolegij Projektivna geometrija.

Opis: Kleinova kvadrika je nedegenerirana hiperboli£ka kvadrika u 5-dimenzionalnomprojektivnom prostoru. U ovom diplomskom radu uvest ¢e se Plückerove koordinate, us-postaviti izomor�zam izme�u Kleinove kvadrike i 3-dimenzionalnog projektivnog prostorai dokazati jo² neka svojstva Kleinove kvadrike.

Literatura:

1. A. Beutelspacher, U. Rosenbaum, Projective geometry: From foundations to applicati-ons, Cambridge University Press, 1998.

132


Kona£na polja

Student: Iva Kriste

Podru£je: algebra


Opis: Cilj ovog diplomskog rada je dokazati da je red kona£nog polja prim potencija, zasvaki red koji je prim potencija postoji jedinstveno kona£no polje i dokazati Wedderburnovteorem. Koristit ¢e se prvo i drugo poglavlje knjige navedene u literaturi.

Literatura:

R. Lidl, H. Niederreiter, Finite �elds, Cambridge University Press, 1997.

133

Mentor: Robert Manger

Oblikovanje vo�eno domenom

Student: Alen Kosanovi¢

Podru£je: softversko inºenjerstvo


Opis: Oblikovanje vo�eno domenom (domain-driven design) predstavlja jedan novi pris-tup razvoju softvera. U skladu s tim pristupom, teºi²te projekta stavlja se na razumi-jevanje domene (podru£ja primjene softvera) i logike funkcioniranja te domene. Stvarase model domene te se taj model stalno dotjeruje u skladu s novim saznanjima. Gra�asoftvera izvodi se iz modela domene. Poti£e se kreativna suradnja izme�u softverskihinºenjera i eksperata za domenu. U radu je potrebno detaljno izloºiti sve aktivnosti koje£ine oblikovanje vo�eno domenom. Tako�er treba izraditi studijski primjer gdje se takvametoda oblikovanja primjenjuje na odabranu aplikaciju iz odabrane domene.

Literatura:

E. Evans: Domain-Driven Design: Tackling Complexity in the Heart of Software, Addison-Wesley, 2003.S. Millett, N. Tune: Patterns, Principles, and Practices of Domain-Driven Design. Wrox,2015.V. Vernon: Implementing Domain-Driven Design. Addison-Wesley, 2013.

134


Tehnologije za rad s velikim podacima

Student: Andrea Grozdek

Podru£je: baze podataka, distribuirani procesi


Opis: Pojam �veliki podaci" (big data - BD) odnosi se na podatke koji prema²uju ka-pacitet konvencionalnih sustava za upravljanje bazama podataka. Dakle: ili je koli£inapodataka prevelika, ili se podaci generiraju prebrzo, ili se oni ne uklapaju u uobi£ajenepodatkovne arhitekture. Da bi iz BD izvukli neku korisnu informaciju, nije nam dovoljanobi£ni softver za baze podataka ve¢ su tako�er potrebne i napredne tehnologije poputdistribuiranih datote£nih sustava, distribuiranog ra£unanja te ra£unanja u oblaku. Takvetehnologije postale su dostupne tek u novije vrijeme. Obradom BD uz pomo¢ naprednihtehnologija mogu¢e je do¢i do preciznijih analiza i izvje²taja nego ²to je to bilo mogu¢eprije. Te analize izvje²taji ne moraju se vi²e oslanjati na uzorkovanje i statisti£ke procjeneve¢ se dobivaju egzaktnom obradom cijele populacije. U diplomskom radu potrebno jedati pregled sada²njeg stanja u vezi BD te izraditi studijski primjer zasnovan na resursimadostupnim na Internetu.

Literatura:

O'Reilly Team: Big Data Now - 2012 Edition. O'Reilly Media, 2012.V. Mayer-Schonberger, K. Cukier: Big Data - A Revolution That Will Transform HowWe Live, Work, and Think. Houghton Mi�in Harcourt, 2013.J. Hurwitz, A. Nugent, F. Halper, M. Kaufman: Big Data for Dummies. John Wiley andSons, 2013.

135


NoSQL baze podataka

Student: Nela Tomi¢

Podru£je: baze podataka, distribuirani procesi


Opis: NoSQl obuhva¢a ²irok spektar razli£itih tehnologija baza podataka razvijenih zbograstu¢e potrebe za distribuiranim skladi²tenjem ogromnih koli£ina promjenjivih i £estonestrukturiranih tipova podataka. Zahtjevi se stavljaju na ²to ve¢u brzinu pristupa po-dacima, mogu¢nost £estih promjena podataka i ²to jeftiniji na£in skladi²tenja istih. Re-lacijske baze podataka nisu osmi²ljene u skladu sa zahtjevima agilnog razvoja i visokeskalabilnosti, niti mogu e�kasno iskoristiti sve ve¢u i jeftiniju procesorsku mo¢ dana²njihra£unala. U diplomskom radu treba izloºiti tehnologije vezane za razvoj NoSQL bazapodataka, usporedbe razli£itih implementacija baza obzirom na tipove modela podatakate prednosti, mane i performanse u usporedbi sa relacijskim bazama podataka. Rad trebasadrºavati i vlastiti studijski primjer implementacije baze podataka pomo¢u softverskogsustava MongoDB.

Literatura:

P.J. Sadalage, M. Fowler: NoSQL Distilled - A Brief Guide to the Emerging World ofPolyglot Persistence. Addison-Wesley, 2012.S. Tiwari: Professional NoSQL. John Wiley & Sons, 2011.D. Sullivan: NoSQL for Mere Mortals. Addison-Wesley, 2015.

136


Deduktivne baze podataka

Student: Goran Brajdi¢

Podru£je: baze podataka


Opis: Deduktivna baza podataka je baza podataka koja moºe donositi zaklju£ke (tj izvo-diti dodatne £injenice) na temelju ve¢ pohranjenih pravila i £injenica. Deduktivne bazepodataka nastale su kao hibrid logi£kog programiranja i relacijskih baza. Rad s deduktiv-nom bazom obi£no se zasniva na jeziku Datalog ili na nekom pro²irenju Dataloga kao ²toje npr. LogiQL. Ti jezici omogu¢uju postavljanje sloºenijih rekurzivnih upita kakvi se nemogu izraziti u standardnom SQL-u. U radu treba opisati glavna svojstva deduktivnihbaza te jednog od jezika za rad s njima. U prakti£nom dijelu rada potrebno je uz pomo¢alata dostupnih na Internetu realizirati vlastitu deduktivnu bazu te demonstrirati njezinrad postavljanjem rekurzivnih upita.

Literatura:

R. Colomb (ed.): Deductive Databases and Their Applications. CRC Press, 1998.T. Halpin, S. Rugaber: LogiQL - A Query Language for Smart Databases. CRC Press,2014. T.J. Green, S.S. Huang, B.T. Loo: Datalog and Recursive Query Processing, Fo-undations and Trends in Databases. Now Publishers, 2013.R. Ramakrishnan, J. Gehrke: Database Management Systems, McGraw-Hill, 2002.

137


Sigurnost web aplikacija

Student: Goran Gosari¢

Podru£je: softversko inºenjerstvo, mreºe ra£unala


Opis: U radu treba opisati razne vrste napada na web aplikacije, npr. session hijacking,click hijacking, DDoS i sl, te objasniti kako se obraniti od takvih napada. Posebnu paºnjutreba posvetiti sigurnosnim principima za web aplikacije kao ²to su: autentikacija, auto-rizacija, siguran rad web preglednika, siguran pristup bazama podataka i drugi. Tako�ertreba obraditi bar jednu metodu ili alat za razvoj web aplikacija koji u sebi uklju£uje briguo sigurnosti. Prakti£ni dio rada treba sadrºavati studijski primjer u kojem se primjenjujeodabrana metoda ili alat.

Literatura:

B. Sullivan, V. Liu: Web Application Security, A Beginner's Guide. McGraw-Hill, 2011.D. Stuttard, M. Pinto: The Web Application Hacker's Handbook, 2nd Edition. Wiley,2011.H. Wu, L Zhao: Web Security, A WhiteHead Perpective. Auerbach Publications, 2015.

138


Razvoj softvera vo�en testiranjem

Student: Hrvoje Bedekovi¢

Podru£je: softversko inºenjerstvo


Opis: Razvoj vo�en testiranjem (test driven development) je pristup razvoju softvera gdjese testiranje isprepli¢e s pisanjem programskog koda. Dakle, programski kod se razvijana inkrementalan na£in zajedno s testovima za taj inkrement. Nema pomaka na noviinkrement sve dok trenutna verzija koda ne pro�e trenutni test zajedno sa svim prija²njimtestovima. Da bi razvoj vo�en testiranjem bio izvediv, neophodan je odgovaraju¢i CASE-alat za automatsko testiranje. U radu treba opisati neku od varijanti razvoja vo�enogtestiranjem te neki od CASE-alata. Prakti£ni dio rada treba sadrºavati studijski primjergdje se opisana varijanta odnosno CASE-alat koriste za razvoj konkretnog softverskogprodukta.

Literatura:

K. Beck: Test Driven Development By Example. Addison-Wesley, 2002.H.J.W. Percival: Test-Driven Development with Python. O'Reilly, 2014.J. Bender, J. McWherter: Professional Test Driven Development with C]. Wrox, 2011.

139


Rje²avanje kombinatornih problema pomo¢u tokova u mreºama

Student: Juraj �ikonja

Podru£je: oblikovanje i analiza algoritama, modeliranje, optimizacija

Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika, Primijenjena matematika

Opis: Tokovi u mreºama obi£no sluºe za rje²avanje nekih oblika problema linearnogprogramiranja, dakle za optimizaciju gdje su varijable realni brojevi. No zanimljivo je dase ista tehnika tako�er moºe upotrijebiti za neke kombinatorne probleme, gdje varijablemoraju poprimati cjelobrojne ili £ak 0/1 vrijednosti. U tu svrhu sluºimo se dosjetljivokonstruiranim mreºama s jedini£nim tokovima i kapacitetima. U ovom diplomskom radu,student najprije treba izloºiti dio teorije o tokovima u mreºama te opisati neke algoritmeza ra£unanje tih tokova. Zatim se treba posvetiti rje²avanju odabranih kombinatornihproblema kao ²to su optimalno pridruºivanje (optimal assignment), savr²eno sparivanje(perfect maching) i sli£ni. Za svaki od promatranih kombinatornih problema potrebnoje opisati konstrukciju koja ga svodi na ra£unanje toka u mreºi. Tako�er, u sklopu radapotrebno je razviti i testirati program koji implementira na ra£unalu neko od razmatranihrje²enja.

Literatura:

S. Even: Graph Algorithms, Second Edition. Cambridge University Press, 2012.D. Jungnickel: Graphs, Networks and Algorithms, Fourth Edition. Springer, 2013.

140

Mentor: Miljenko Maru²i¢

Eksponencijalno prilago�ene diferencijske sheme



Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko diferencijskih shemakoje se primjenjuju za numeri£ko rje²avanje singularno perturbiranog rubnog problemaza ODJ. Singularno perturbirani problem je rubni problem za diferencijalnu jednadºbuoblika εy′′ + by′ + cy = f , gdje je ε jako mali realni broj.

Literatura:

J. J. H.Miller, E.O'Riordan, G. I. Shishkin, Fitted Numerical Methods for SingularPerturbation Problems, World Scienti�c, Singapore, 1996.

141


Matemati£ki modeli rasta tumora

Podru£je: primijenjena matematika


Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati nekoliko modela tumora i usporediti ih na ekspe-rimentalnim podacima. Izbor modela obavio bi se u dogovoru s mentorom.

Literatura:

T.Roose, S. J. Chapman, P.K.Maini, Mathematical Models of Avascular TumorGrowth, SIAM Review, 49 (2007) 179�208

142


Eksponencijalni integratori



Opis: U diplomskom radu treba prikazati i usporediti nekoliko eksponencijalno prilago-�enih metoda koje se primjenjuju za numeri£ko rje²avanje inicijalnog problema za obi£nediferencijalne jednadºbe. Od posebnog je interesa primjena na krute probleme.

Literatura:

M. Hochbruck and A. Ostermann. Exponential integrators. Acta Numerica, 19:209�286,2010.

143


Prepoznavanje eksponencijalnog rasta

Podru£je: statistika, matemati£ko modeliranje

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika, Ra-£unarstvo i matematika

Opis: Prepoznavanje eksponencijalne faze rasta populacije bitno je za odre�ivanje raz-li£itih parametara biolo²kih sustava, kao ²to je na primjer vrijeme udvostru£enja. Ciljrada bi bio prikaz metoda zasnovanih na linearnoj regresiji logaritamski transformiranihpodataka rasta. Primjenom na realne i simulirane podatke trebalo bi usporediti nekolikometoda.

Literatura:

Jianqing Fan, Irene Gijbels, Local Polynomial Modelling and Its Applications. CRCPress, 1996

144


Mjere asimetrije podataka



Opis: Cilj diplomskog rada je prikazati naj£e²¢e kori²tene mjere asimetrije i zako²enosti.Promatrane mjere treba usporediti na simuliranim podacima.

Literatura:

Tabor, J., �Investigating the Investigative Task: Testing for Skewness - An Investigationof Di�erent Test Statistics and their Power to Detect Skewness,� Journal of StatisticsEducation, 18 (2010), 1-13.

145

Mentor: Eduard Maru²i¢-Paloka

Matemati£ko modeliranje puha£kih instrumenata



Preduvjeti: Matemati£ka analiza 1 i 2 ili Dir 1

Opis: Izvod jednostavnih matemati£kih modela za puha£ke instrumente i analiza dobi-venih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

Literatura: N.H.Fletcher, T.D.Rossing, The physics of musical instruments, Springer,1998.

146


Primjeri egzaktnih rje²enja Navier-Stokesovih jednadºbi

Podru£je: primijenjena matametika


Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 ili Dir 2 i Primijenjene metemati£ka analiza

Opis: Navier-Stokesov sustav opisuje gibanje viskoznog �uida i rijetko se kada moºe ana-liti£ki rije²iti. Cilj ovog rada je dati pregled nekoliko klasi£nih primjera kod kojih nam jepoznato egzaktno rje²enje.

Literatura:

P.Drazin, N.Riley, The Navier-Stokes equations. A classi�cation of �ows and exact so-lutions, London mathematical society lecture notes series No 334, Cambridge universitypress, 2006.

147


Topolo²ki stupanj



Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 ili Dir 2 i Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: De�nicija i osnovni pojmovi vezani uz topolo²ki (Brouwerov) stupanj glatkog pres-likavanja te neke primjene na rje²ivost nelinearnih jednadºbi.

Literatura:

Literatura: D.Mitrovi¢, D.�ubrini¢, Fundamentals of applied functional analysis, PitmanMonographs and Surveys in Pure and Applied Mathematics, Vol. 91, Addison WesleyLongman, Harlow, 1998.

148


Idealni nestla£ivi �uid



Preduvjeti: Matemati£ka analiza 3 i 4 ili Dir 2 i Primijenjena matemati£ka analiza

Opis: Osnovni pojmovi. Eulerove jednadºbe. Potencijalni bezvrtloºni tok. TeoremKutta-�ukovskog. D'Alambertov paradox.

Literatura:

C.Malchioro, M.Pulvirenti, Mathematical theory of incompressible nonviscous �uids, Sprin-ger, 1994.A.J.Chorin, J.E.Marsden, A mathematical introduction to �uid mechanics, Springer,2000.

149

Mentor: Jadranka Mi¢i¢ Hot Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Izrada animacija za nastavu matematike

Podru£je: primjena ra£unala u nastavi matematike


Preduvjeti: Metodika nastave matematike, Primjena ra£unala u nastavi matematike

Opis: Ra£unala mogu biti mo¢no sredstvo za podu£avanje i u£enje matematike, akose koriste na odgovaraju¢i na£in. Mnogi matemati£ki koncepti su apstraktni i za njihovosavladavanje treba odgovaraju¢i misaoni napor. Pomo¢u ra£unalne animacije (posebice3D animacije) mnogi od ovih apstraktnih koncepata mogu postati jasniji.

Asymptote je opisni vektorski gra�£ki jezik koji pruºa razvojno okuºje za tehni£ko crtanje.To je programski jezik, za razliku od samo gra�£kih programa za crtanje. Stvara Post-Script, PDF, SVG ili 3D NRK slike visoke kvalikete, koje se mogu integrirati u LaTeXtekst.

Cilj diplomskog rada je upoznati se s Asymptote programskim jezikom, te izraditi kolek-ciju slika i animacija za kolegij Matematika II na Fakultetu strojarstva i brodogradnjeSveu£ili²ta u Zagrebu. Nastavni materijali nalaze se na web stranici Katedre za matema-tiku navedenog fakulteta.

Literatura:

http://asymptote.sourceforge.net/

http://www.fsb.unizg.hr/matematika/materijali/

150

Mentor: Jadranka Mi¢i¢ Hot Suvoditelj: Sanja Varo²anec

Generalizacije konveksne funkcije



Opis: Konveksni skupovi i konveksne funkcije su predmet mnogih istraºivanja tijekomposljednjih stotinu godina. Dobro je poznata vaºnost konveksne funkcije u rje²avanjuproblemima optimiziranja. Konveksnost se pojavljuje u mnogim matemati£kim modelimau ekonomiji, inºenjerstvu, itd., kao prirodno svojstvo razli£itih funkcija i podru£ja kojesusre¢emo u tim modelima. Neke od najpoznatijih nejednakosti dobivaju se za konveksnefunkcije. Primjerice, ako je f : [a, b] → R konveksna funkcija, onda vrijedi Hermite-Hadamardova nejednakost:

f

(a+ b

2

)≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤ f(a) + f(b)

2.

Svojstvo konveksnosti je nepromjenjivo s obzirom na pojedine operacije i transforma-cije. Me�utim, za mnoge probleme koji se susre¢u u matematici, ekonomiji i inºenjerstvupojam konveksnosti nije ispunjen. Dakle, potrebno je pro²iriti pojam konveksnosti poj-movima pseudo-konveksnost, kvazi-konveksnost, s-konveks, inveks, s-inveks, h-konveks,pre-inveks, itd.

Cilj diplomskog rada je prou£iti razli£ite koncepte generaliziranja konveksne funkcije uve-dene u literaturi u posljednjih tridesetak godina i dati nejednakosti Hermite-Hadamar-dovog tipa za neke od navedenih klasa funkcija.

Literatura:

S.S. Dragomir, Ch.E.M. Pearce, Selected Topics on Hermite-Hadamard Inequalities andApplications, RGMIA Monographs, Victoria University, 2000.http://rgmia.vu.edu.au/monographs.html

S. Varo²anec, On h-convexity, J. Math. Anal. Appl. 326 (2007) 303�311.X.M. Yang and D. Li, On properties of preinvex functions, J. Math. Anal. Appl. 256

(2001), 229�241.Shu-HongWanga, Xi-Min Liu, Hermite-Hadamard type inequalities for operator s-preinvexfunctions, J. Nonlinear Sci. Appl. 8 (2015), 1070�1081.

151

Mentor: �eljka Milin �ipu²

Plohe konstantne srednje zakrivljenosti u Minkowskijevomprostoru

Podru£je: diferencijalna geometrija.

Prikladno za studij: nastavni£ki studiji, Teorijska matematika

Opis: Plohe konstantne srednje zakrivljenosti, H = const., sadrºe dvije velike klaseploha � tzv. minimalne plohe, H = 0, i tzv. cmc-plohe, odnosno prave plohe konstantnesrednje zakrivljenosti, H = const. 6= 0. U euklidskoj geometriji, me�u njih spadaju,primjerice, helikoid i katenoid kao minimalne plohe, te sfera i Delaunayeve plohe kaocmc-plohe. Cilj ovog diplomskog rada je analizirati analogne plohe u Minkowskijevomprostoru, tj. prostoru £ija metrika nije pozitivno de�nitna, nego op¢enito nedegenerirana(pseudo-Riemannov prostor).

Literatura:

1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon,Modern Di�erential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.

2. F. Dillen, W. Kühnel: Ruled Weingarten surfaces in Minkowski 3-space, manuscriptamathematica 98(1999), 307�320.

3. P. Mira-J.A. Pastor: Helicoidal Maximal Surfaces in Lorentz-Minkowski Space, Monat-shefte Math. 140(2003), 315�334.

4. J. Hano, K. Nomizu: Surfaces of revolution with constant mean curvature in Lorentz-Minkowski space, Tohoku Math. J. 36(1984), 427�437.

5. R. Lopez, E. Demir: Helicoidal surfaces in Minkowski space with constant mean curva-ture and constant Gauss curvature, Central European Journal of Mathematics, 12(2014),1349�1361.

6. H. Liu: Translation surfaces with constant mean curvature in 3-dimensional spaces,Jour.Geom. 64(1999), 141�149.

152


Thurstonove geometrije

Student: Kristijan Kvaternik

Podru£je: diferencijalna geometrija


Opis: Za Riemannove dvodimenzionalne mnogostrukosti poznato je da dopu²taju ge-ometrijsku strukturu i to jednu od sljede¢e tri � euklidsku E2, sferi£ku S2 ili hiperboli£kuH2. Godine 1982. William Thurston je iznio geometrizacijsku hipotezu za analognu kla-si�kaciju trodimenzionalnih Riemannovih mnogostrukosti, te sugerirao postojanje osamgeometrijskih struktura, E3, S3, H3,

S2 × R, H2 × R, ˜Sl (2,R), Nil i Sol.

Cilj ovog diplomskog rada je uvesti temeljne pojmove za razumijevanje Thursonovih ge-ometrija, te dublje istraºiti jednu od njih (koja nije euklidska).

Literatura:

1. J. M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, New York, 2003.

2. J. W. Morgan, F. Tsz-Ho Fong, Ricci Flow and Geometrization of 3-Manifolds, Uni-versity Lecture Series, AMS, 2010.

3. W. P. Thurston, The Geometry and Topology of Three-Manifolds, online edition, 2002.

153


Izoperimetrijski problem

Student: Ivana-Marija Poli¢



Opis: Klasi£ni izoperimetrijski problem istraºuje koji ravninski lik odabrane klase uzzadani opseg ome�uje maksimalnu povr²inu. Na primjer, u klasi zatvorenih ravninskihkrivulja zadane duljine luka (opsega) l, najve¢u povr²inu A ome�uje kruºnica. Odgova-raju¢a izoperimetrijska nejednakost glasi

4πA2 ≤ l2.

Cilj ovog diplomskog rada je prou£iti izoperimetrijske problem i izoperimetrijske nejed-nakosti za odre�ene klase geometrijskih likova u ravnini, te prezentirati njihove dokaze.Tako�er, u radu ¢e se izraditi i primjeri problema primjereni za srednjo²kolsku nastavumatematike (za adekvatne klase likova u ravnini).

Literatura:

1. A. N. Pressley, Elementary Di�erential Geometry, Springer, 2010.

2. V. Blåsjö, The evolution of the isoperimetric problem, The American MathematicalMonthly, 112(2005), 526�566.

154


Geometrijski zadaci u matemati£kom natjecanju "Klokan bezgranica"

Student: Marina Seifert

Podru£je: matemati£ka edukacija


Opis: Matemati£ko me�unarodno natjecanje "Klokan bez granica" ("Kangourou sansfrontiers") u Hrvatskoj se odrºava od 1999., a u svijetu od 1991. godine. Natjecanje jevrlo masovno, u njemu sudjeluje preko 50 drºava s vi²e od 5 milijuna natjecatelja. UHrvatskoj sudjeluje oko 35 tisu¢a u£enika. Postoji ²est natjecateljskih kategorija, ovisnoo uzrastu u£enika.

Cilj ovog diplomskog rada je prou£iti geometrijske zadatke koji se pojavljuju u natjeca-nju, za sve uzraste. Istraºit ¢e se koji se geometrijski sadrºaji ispituju, posebno sadrºajigeometrije prostora. Osim toga, prou£it ¢e se i kompleksnost zadataka.

Literatura:

1. Neda Luka£, ed, Matemati£ko natjecanje "Klokan bez granica" 1999-2004, HMD, Za-greb, 2005.



4. Milena �ulav Marki£evi¢, ed, Matemati£ko natjecanje "Klokan bez granica" 2012-2014,HMD, Zagreb, 2015.

155

Mentor: Ante Mimica

Slu£ajne ²etnje i Wiener-Hopfova faktorizacija

Student: Marijo Alilovi¢

Podru£je: slu£ajni procesi


Preduvjeti: Slu£ajni procesi

Opis: U ovom diplomskom radu ¢e se promatrati op¢enita slu£ajna ²etnja u R i nekanjezina svojstva. Neka su {Xn : n ≥ 1} nezavisne i jednako distribuirane realne slu£ajnevarijable. Slu£ajna ²etnju je de�nirana sa S0 = 0 i Sn = X1 + . . . + Xn za n ≥ 1 .Promatrat ±e se sljede¢a pitanja:

1. Ako je ¶(X1 = 0) < 1, tj. X1 nije degenerirana, ²to se moºe re¢i o dugoro£nompona²anju slu£ajne ²etnje S = {Sn : n ≥ 0}? Pokazuje se da vrijedi sljede¢atrihotomija:

Sn → +∞ g.s. ili Sn → −∞ g.s.

ili −∞ = lim infn→∞

Sn < lim supn→∞

Sn = +∞ g.s..

2. Neka je N = inf{n ≥ 1 : Sn > 0} prvo vrijeme posjeta skupu (0,∞). �to se moºere¢i o distribuciji slu£ajnog vektora (N,SN)? Sli£no pitanje se moºe postaviti i zaN = inf{n ≥ 1 : Sn ≤ 0} .

3. �to se moºe re¢i o distribuciji distribuciji procesa maksimuma {max0≤k≤n

Sk : n ≥ 0} iminimuma { min

0≤k≤nSk : n ≥ 0} slu£ajne ²etnje?

Pri odgovaranju na pitanja (b) i (c) od pomo¢i ¢e biti Wiener-Hopfova faktorizacija.

Literatura:

S. I. Resnick. Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin,2002.W. Feller. An introduction to probability and its applications, Vol. 2. Wiley, 1971.J. Kennedy. Understanding the Wiener-Hopf Factorization for the Simple Random Walk.Journal of Applied Probability, Vol. 31, No. 2 (1994), pp. 561-563

156

Mentor: Ante Mimica

Poissonovi to£kovni procesi

Student: Andrijana Brki¢




Opis: Kako modelirati �slu£ajnu� distribuciju to£aka Π u prostoru Rd(d ≥ 1)? Tipi£niprimjeri mogu biti pozicije i vremena potresa u zadnjih 100 godina, poloºaj stabala unekoj ²umi, vremena dolazaka klijenata na ²alter nekog servisa. Jedan na£in je pomo¢uPoissonovog to£kovnog procesa, koji ¢e biti slu£ajan skup takav da je broj to£aka u di-sjunktnim regijama nezavisan te ima Poissonovu distribuciju s parametrom koji na nekina£in ovisi o veli£ini regije koju promatramo . Osnovni primjer takvog procesa su vremenaskokova Poissonovog procesa.

Nakon formalne de�nicije, odredit ¢e se i distribucija slu£ajne varijable∑X∈Π

f(X) za funk-

ciju f : Rd → R (Campbellov teorem). Tako�er ¢e se dokazati i Rényjev teorem, kojikarakterizira Poissonov to£kovni proces. Na kraju ¢e se de�nirati Poissonova slu£ajnamjera i primijeniti u de�niciji subordinatora (slu£ajnog procesa koji ima nezavisne i sta-cionarne priraste te neopadaju¢e trajektorije) .

Literatura:

J. F. Kingman. Poisson processes. Clarendon Press. Oxford. 2002.S. I. Resnick. Adventures in Stochastic Processes. Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin,2002.

157

Mentor: Ante Mimica

Ergodski teorem i stacionarni procesi

Student: Ema �imon




Opis: Ako je {Xn : n ≥ 0} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slu£ajnih varijablitakav da je E|X0| <∞, onda po jakom zakonu velikih brojeva vrijedi

limn→∞

1

n

n−1∑k=0

f(Xk) = EX0 .

Postavlja se pitanje koliko se mogu oslabiti uvjeti na gornji niz slu£ajnih varijabli takoda ovaj limes i dalje g.s. postoji. Odgovor na to pitanje je ve¢ 1931. godine dao G. D.Birkho�. Za niz slu£ajnih varijabli {Xn : n ≥ 0} kaºeno da je stacionaran ako ima istudistribuciju kao i pomaknuti niz {Xm+n : n ≥ 0} za svaki m ≥ 0 . Ako je E|f(X0)| <∞,onda

limn→∞

1

n

n−1∑k=0

f(Xk) postoji g.s. .

U ovom diplomskom radu ¢e se dokazati ergodski teorem kao i neke njegove primjene.

Literatura:

L. Breiman. Probability. SIAM, Philadelphia, 1992.R. Durrett. Probability: Theory and Examples, 3rd ed. Thomson, Brooks/Cole, 2005.

158

Mentor: Ante Mimica

Donskerov teorem




Opis: Neka jeX = {Xn : n ≥ 1} niz nezavisnih i jednako distribuiranih slu£ajnih varijablitakav da je EX = 0 i EX2 = 1. De�niramo slu£ajnu ²etnju S0 = 0, Sn = X1 + . . . + Xn

za n ≥ 1 . Cilj ovog diplomskog rada je pokazati da

Snt√n

konvergira po distribuciji procesu Bt ,

tj. Brownovom gibanju koje kre¢e iz B0 = 0. Ovaj rezultat je poznat kao Donskerovteorem. Prvo ¢e se dokazati Skorohodova reprezentacija slu£ajne varijable X takve da jeEX = 0 i EX2 <∞. Naime, u tom slu£aju postoji vrijeme zaustavljanja T za Brownovogibanje takvo da je

BTd= X i ET = EX2 .

Tako�er ¢e se napraviti neke primjene Donskerovog teorema, kao ²to je konvergencija podistribuciji maksimuma slu£ajne ²etnje.

Literatura:

R. Durrett. Probability: Theory and Examples, 3rd ed., Thomson, Brooks/Cole, 2005.

159

Mentor: Boris Muha

Navier-Stokesove jednadºbe

Student: Filip Ivan£i¢


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe I, II, Normirani prostori, Mjera i integral

Opis: Navier-Stokesove jednadºbe opisuju tok inkompresibilnog, viskoznog �uida. Ciljradnje je formulirati inicijalno-rubnu zada¢u za Navier-Stokesove jednadºbe, te dokazatiegzistenciju slabih rje²enja za promatran sustav. Tako�er, opisat ¢e se neki primjeriprimjena Navier-Stokesovih jednadºbi u realnim �zikalnim problemima.

Literatura:

R.Temam, Navier-Stokes equations. Theory and Numerical Analysis, North-Holland,1977.

160

Mentor: Boris Muha

Kompaktni skupovi u Lp(0, T ;B) prostorima



Preduvjeti: Normirani prostori, Mjera i integral

Opis: Cilj radnje je dokazati neke kriterije kompaktnosti u Lp(0, T ;B) prostorima, pri£emu je B Banachov prostor.

Literatura:

Roubi£ek, T. Nonlinear Partial Di�erential Equations with Applications (2nd ed.), Basel:Birkhäuser, 2013.Simon, J. Compact sets in the space Lp(O, T ;B), Annali di Matematica Pura ed Applicata146. pp. 65-96 1986.

161

Mentor: Boris Muha

Shema usrednjenja prijenosa za zakone sa£uvanja

Student: Ana Budi²a

Podru£je: numeri£ka analiza, parcijalne diferencijalne jednadºbe


Preduvjeti: Numeri£ka analiza, Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori

Opis: Zakoni sa£uvanja opisuju brojne prirodne pojave, izmedju ostalog tok u poroznojsredini (Buckley-Leverettove jednadºbe). U diplomskom radu opisat ¢emo nedavno uve-denu numeri£ku metodu za zakone sa£uvanja, te dokazati konvergenciju metode premaentropijskom rje²enju. Metoda povezuje suvremene s poznatim tehnikama iz tog podru-£ja, poput kineti£ke formulacije i entropijskih uvjeta. Opisno govore¢i, osnova metode jepretvaranje nelinearne jednadºbe u linearnu. Za pristup izradi diplomskog, potrebno jeznati osnove iz funkcionalne analize, teorije parcijalnih diferencijalnih jednadºbi i nume-ri£kih metoda za rje²avanje istoimenih.

Literatura:

Y. Brenier, Averaged multivalued solutions for scalar conservation laws, SIAM J. on Nu-merical Analysis 21 (1984), 1013�1037.A. L. Dalibard, Kinetic formulation for heterogeneous scalar conservation laws, Annalesde l'Institut Henri Poincare (C) Non Linear Analysis 23 (2006), 475-500D.Mitrovic and A.Novak, Transport-collapse scheme for scalar conservation laws � initialand boundary value problems, http://arxiv.org/abs/1508.01312

162

Mentor: Boris Muha

Lie-Trotterova produktna formula

Podru£je: funckionalna analiza


Preduvjeti: Normirani prostori

Opis: Cilj radnje je dokazati generalizaciju Lie-ove produktne formule za matrice:

eA+B = limN→∞

(eAN e

BN )N .

Promatrat ¢e se slu£aj kada suA iB odre�eni neograni£eni operatori koji su in�nitezimalnigeneratori polugrupa. U drugom dijelu radnje promatrat ¢e se primjene produktne formulena rje²avanje evolucijskih diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

R. Dautray, J.-L. Lions, Mathematical Analysis and Numerical Methods for Science andTechnology. (Vol. 5) Evolution Problems I, Springer-Verlag, Berlin, 2000

163

Mentor: Goran Mui¢

Snopovi modula na a�nim shemama

Podru£je: algebarska geometrija, algebra


Preduvjeti: Algebra

Opis: Sheme su prirodne generalizacije klasi£nih projektivnih monogostrukosti. Uvedenesu u matematiku sredinom 20. stolje¢a i od tada su standardni jezik moderne algebarskegeometrije. Diplomski rad bi trebao razviti teoriju snopova modula na a�nim shemama.

Literatura:

Shafarevich, Basic Algebraic Geometry II: Schemes and Complex Manifolds, Springer-Verlag, 1994.

164

Mentor: Goran Mui¢

Normalizacija projektivnih krivulja



Preduvjeti: Algebarske krivulje, Uvod u algebarsku geometriju

Opis: Uvodi se pojam normalizacije projektivne mnogostrukosti. Dokazuje se niz svoj-stava te se konstruira normalizacija projektivnih krivulja koja se koristi da se dobijenesingularni model krivulje.

Literatura:

I. Shafarevich, Basic algebraic geometry I, Springer Verlag, 1993.

165

Mentor: Goran Mui¢

Regularna preslikavanja nesingularnih projektivnihmnogostrukosti




Opis: Uvodi se pojam nesingularnih projektivnih mnogostrukosti i odgovarajuci lokalniparametri u svakoj to£ki. Dokazuju se Bertinijevi teoremi.

Literatura:


166

Mentor: Goran Mui¢

Racionalna preslikavanja projektivnih mnogostrukosti




Opis: Uvodi se pojam projektivnih mnogostrukosti i studiraju se svojstva racionalnihpreslikavanja i diferencijalnih formi. Dokazuju se Bertinijevi teoremi.

Literatura:


167

Mentor: Filip Najman

Galoisove reprezentacije pridruºene elipti£kim krivuljama

Student: Tomislav Guºvi¢



Preduvjeti: poloºeni kolegiji Algebra 1 i 2

Opis: Neka je E elipti£ka krivulja nad Q. Tada absolutna Galoisova grupa Gal(Q/Q)djeluje na to£ke reda n te elipti£ke krivulje, te na taj na£in inducira homomr�zam izGal(Q/Q) u GL2(Z/nZ) koji se naziva mod n Galoisova reprezentacija pridruºena elip-ti£koj krivulji E. U ovom diplomskom radu ¢e se iskazati poznati rezultati i otvoreniproblemi vezani uz Galoisove reprezentacije pridruºene elipti£kim krivuljama.

Literatura:

D. Hussemoller, Elliptic Curves, Springer, 2007.J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 2009.

168


ABC slutnja

Student: Lukrecija Roi¢



Opis: ABC slutnja kaºe da za svaki ε > 0 postoji samo kona£no mnogo trojki relativnoprostih prirodnih brojeva a, b, c za koja vrijedi a + b = c i za koje je produckt prostihfaktora od a, b, c ve¢i od c1+ε. U ovom radu ¢e se prikazati, te gdje je mogu¢e i dokazati,poznati rezlutati o i posljedice ABC sultnje.

Literatura:

J. Browkin, The abc-conjecture, in Number theory, Birkhäuser, 2000.R. A. Mollin, Advanced number theory with applications CRC Press, 2010.

169


Jednadºbe u p-adskim brojevima

Student: Dragana Dublec



Opis: U ovom diplomskom radu ¢e se uvesti p-adski brojevi i p-adski cijeli brojevi, te ¢ese prou£avati njihova svojstva i primjene.

Literatura:

J. P. Serre, A course in Arithmetic, Springer, 1973.N. Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Springer, 1984.

170


Digitalni potpisi

Student: Vesna Magjarevi¢



Opis: Digitalni potpis je matemati£ka shema za pokazivanje autenti£nosti digitalne po-ruke. Digitalni potpis potvr�uje primatelju da je poruka poslana od poznatog po²iljatelja,te onemogu¢uje po²iljatelju poricanje slanja poruke. U ovo radu ¢e se prou£iti matema-ti£ke metode koje se upotrabljavaju u digitalnim potpisima.

Literatura:

J. Katz and Y. Lindell, Introduction to Modern Cryptography Chapman & Hall/CRCPress, 2007

171

Mentor: Ivica Naki¢

Princip jedinstvenog produljenja i njegove primjene u teorijiupravljanja


Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primjenjena matematika, Matemati£ka sta-tistika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadºbe, Normirani prostori

Opis: Princip jedinstvenog produljenja, koj tvrdi da svako rje²enje parcijalne diferen-cijalne jednadºbe koje is£ezava na maloj kugli mora biti svugdje nula je fundamentalnosvojstvo s raznim primjenama.

U diplomskom radu student bi izloºio osnovne rezultate vezane uz princip jedinstvenogproduljenja, s naglaskom na pitanja upravljivosti parcijalnih diferencijalnih jednadºbi.

Postoji mogu¢nost uklju£ivanja studenta u bilaternalni hrvatsko�njema£ki projekt.

Literatura:

L. Rosier, A survey of controllability and stabilization results for partial di�erential equ-ations, Journal européen des systèmes automatisés, vol. 41, no. 3-4, str. 365.-411., (2007),S. Micu, E. Zuazua, An Introduction to the Controllability of Partial Di�erential Equati-ons, in Quelques questions de théorie du contrôle, Collection Travaux en Cours, EditionsHermann, str. 69.-157. (2005),D. Borisov, I. Naki¢, C. Rose, M. Tautenhahn, I. Veseli¢, Multiscale unique continuationproperties of eigenfunctions, u �Operator semigroups meet complex analysis, harmonicanalysis and mathematical physics�, Birkhäuser Basel, 2015.

172


Interpolacijski teoremi tipa Nevanlinna-Pick

Podru£je: kompleksna analiza, funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primjenjena matematika, Matemati£kastatistika

Preduvjeti: Kompleksna analiza, Normirani prostori

Opis: Problem koji je ishodi²te teorije o Nevanlinna-Pick interpolacijama je sljede¢i: zazadane to£ke a1, . . . , an u otvorenoj desnoj kompleksnoj poluravnini, te kompleksne to£keb1, . . . , bn, treba na¢i pravu racionalnu funkciju G koja je holomorfna u zatvorenoj desnojkompleksnoj poluravnini, te za koju vrijedi:

• G(ai) = bi, i = 1, . . . , n,

• supw∈R |G(iw)| ≤ 1.

Ovaj problem i njegova poop¢enja se javljaju u nizu matemati£kih i tehni£kih podru£ja, acilj diplomskog rada je dati rje²enje ovog i srodnih problema pomo¢u terema o podizanju.

Literatura:

M. Rosenblum, J. Rovnyak, Hardy classes and operator theory, Oxford University Press,1985.,N. K. Nikolski, Operators, Functions, and Systems: An Easy Reading, American Mathe-matical Society, 2009,B. Sz Nagy, C. Foias, H. Bercovici, L. Kérchy, Harmonic Analysis of Operators on HilbertSpace, Springer, 2010.

173


Spektralna teorija grafova i primjena na analizu kompleksnihmreºa

Podru£je: teorija grafova


Preduvjeti: predznanje obuhva¢eno kolegijima Diskretna matematika i Linearna algebra1,2

Opis: U 21. stolje¢u pru£avanje grafova dobilo je novi podstrek zbog £injenice da sekompleksne mreºe kao ²to su Internet, biolo²ke mreºe, infrastrukturne mreºe i sli£nomogu modelirati kao grafovi. Spektar grafa otkriva fundamentalna svojstva grafa te sepostavlja prirodno pitanje ²to nam spektar grafa moºe re¢i o spomenutim kompleksnimmreºama. Cilj diplomskog rada je izloºiti osnovne rezultate spektralne teorije grafova iprimjeniti ih na analizu dijelova Interneta koriste¢i podatke s RIPE projekta.

Literatura:

F. R. K. Chung, Spectral graph theory, AMS, 1997.P. van Mieghem, Graph spectra for complex networks, Cambridge University Press, 2011.RIPE projekt, http://www.ripe.net

174


MathBox2



Preduvjeti: znanje programiranja u Javascriptu, poznavanje HTML5

Opis: MathBox2 je Javascript biblioteka bazirana na WebGL tehnologiji koja omogu¢avavizualizaciju matemati£kih pojmova koriste¢i deklaratvni pristup programiranju. Ciljdiplomskog rada je izrada priru£nika za ovu biblioteku te kreiranje prezentacije o vizuali-zaciji kompleksnih funkcija.

Literatura:

http://acko.net/blog/mathbox2/

https://gitgud.io/unconed/mathbox

E. Wegert, Visual Complex Functions: An Introduction with Phase Portraits, Birkhäuser,2012.

175


Processing



Preduvjeti: znanje programiranja u Javascriptu

Opis: Processing je jednostavan programski jezik za kreiranje vizualnih uradaka s nagla-skom na animacijama. Vrlo je popularan alat kojeg koristi mno²tvo umjetnika, dizajnerai znanstevnika. Cilj diplomskog rada je izloºiti osnove Javascript ina£ice jezika Processing(originalni Processing baziran je na Javi) te izrada animacije iz nekog podru£ja matema-tike.

Literatura:

C. Reas, B. Fry, Getting Started with Processing - A Hands-On Introduction to MakingInteractive Graphics 2. izdanje, Make, 2015.C. Reas, B. Fry, Processing: A Programming Handbook for Visual Designers, 2. izdanje,MIT Press, 2014.http://processingjs.org/

176

Mentor: Goranka Nogo

Uloga u£eni£kih aktivnosti u nastavi informatike u osnovnoj isrednjim ²kolama

Student: Mario Curman

Podru£je: metodika nastave informatike

Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer nastavni£ki

Opis: Aktivno u£eni£ko sudjelovanje u procesu u£enja u skladu je sa suvremenim tenden-cijama u nastavnoj teoriji i praksi. Takav pristup ima za posljedicu bolje razumijevanjekoncepata i duºe zadrºavanje nau£enoga. Od studenta se o£ekuje da osmisli i analiziraprimjere u£eni£kih aktivnosti £ijom se provedbom realiziraju neki od postavljenih obra-zovnih ciljeva. O£ekivana u£eni£ka postignu¢a u navedenim aktivnostima trebaju bitiuskla�ena s onima navedenim u HNOS-u i NOK-u.

Literatura:

CSTA K�12 Computer Science Standards, (2011), http://csta.acm.org/Curriculum/sub/CurrFiles/CSTA_K-12_CSS.pdf

Computer Science Unplugged, (2015), http://csunplugged.org/activitiesNacionalni okvirni kurikulum, (2011), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2685Nastavni plan i program za osnovnu ²kolu, (2006), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2199

177


Algoritmi u£enja bazirani na jezgrama

Student: Domagoj Beti

Podru£je: oblikovanje i analiza algoritama


Opis: U radu ¢e biti promatran problem odre�ivanja sli£nosti zadanih primjeraka tek-sta (programskog koda i sl.). Rije£ je o vaºnom problemu koji ima primjenu u mnogimpodru£jima ra£unarstva, kemije i bioinformatike. Od studenta se o£ekuje da napraviklasi�kaciju jezgrenih funkcija, usporedi najpoznatije algoritme bazirane na jezgrama, di-zajnira i e�kasno implementira modi�kacije nekih od njih te analizira dobivene rezultate.

Literatura:

A.Karatzogloua, I.Feinererb, Kernel-based Machine Learning for Fast Text Mining in R,Computational Statistics and Data Analysis 54 (2010), 290�297.J.Shave-Taylor, N.Cristianini, Kernel Methods for Pattern Analysis, Cambridge Univer-sity Press, 2004.S.Sonnenburg, K.Rieck, Large Scale Learning with String Kernels, (2015), http://www.researchgate.net/publication/216284735_Large_Scale_Learning_with_String_

Kernels

178


Binarni polinomi



Opis: Polinomi £iji su koe�cijenti binarne znamenke imaju primjenu u mnogim podru-£jima ra£unarstva (klasi£na teorija kodiranja, kriptogra�ja, ...). U uvodnom dijelu radatreba analizirati algoritme za osnovne operacije s binarnim polinomima (zbrajanje, mno-ºenje, potenciranje i dijeljenje). Nakon toga slijedi analiza e�kasnih algoritama za fak-torizaciju binarnih polinoma. Od studenta se o£ekuje da implementira neke od njih ianalizira dobivene rezultate.

Literatura:

J.Arndt, Algorithms for Programmers, 2010, http://www.jjj.de/fxt/fxtbook.pdfJ.Arndt, Matters Computational, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2011.

179


Crveno-crna stabla



Opis: Crveno-crno stablo je binarno stablo traºenja u kojemu je svakom £voru pridruºendodatni atribut - njegova boja koja je crvena ili crna. Rije£ je o izbalansiranom stablutraºenja u smislu da osnovne dinami£ke skupovne operacije imaju, u najgorem slu£aju,sloºenost O(logn). Od studenta se o£ekuje da prou£i postoje¢e algoritme za operacije scrveno-crnim stablima (dodavanje, brisanje, pretraºivanje, rotacija ...), dizajnira i e�kasnoimplementira modi�kacije nekih od njih te analizira dobivene rezultate.

Literatura:

P.Brass, Advansed Data Structures Cambridge University Press, 2008. F.Pfenning, Lec-ture Notes on Red/Black Trees, 2010, https://www.cs.cmu.edu/~fp/courses/15122-f10/lectures/17-rbtrees.pdf

T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edi-tion, MIT Press, 2009.

180


Analiza natjecateljskih zadataka iz kategorije Algoritmi - Logo

Student: Milan Nikoli¢

Podru£je: metodika nastave informatike

Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer: nastavni£ki

Opis: Od studenta se £ekuje da analizira natjecateljske zadatke iz kategorije Algoritmi.Analiza ¢e obuhvatiti zadatke sa ²kolskih i ºupnijskih, odnosno zadatke s drºavnog na-tjecanja za osnovne ²kole. Promatrat ¢e se zadaci rje²avani pomo¢u programskog jezikaLogo. Pri analizi, poseban naglasak treba staviti na uskla�enost zadataka s matemati£kimsadrºajima istog razreda.

Literatura:

Sluºbene stranice natjecanja, (2015), https://www.infokup.hrNacionalni okvirni kurikulum, (2011), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2685Nastavni plan i program za osnovnu ²kolu, (2006), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2199

181

Mentor: Katarina Ott

Odrednice prora£unske transparentnosti svih hrvatskih gradova

Student: Magdalena �imac

Podru£je: ekonomika javnog sektora


Opis: Cilj je rada utvrditi varijable povezane s prora£unskom transparentno²¢u 127 hrvat-skih gradova. Razina prora£unske transparentnosti izra£unata je u Ott, Broni¢ i Petru²i¢(2015, 2104, 2013), a varijable koje bi s njom mogle biti povezane poku²at ¢e se utvrditi natemelju dostupnih ekonomskih, socijalno-kulturolo²kih, antropolo²kih ili politi£kih poda-taka. Studentica ¢e se upoznati s podru£jem prora£unske transparentnosti i literaturom outvr�ivanju povezanih varijabli, te ekonometrijskim metodama poku²ati utvrditi te vezes prora£unskom transparentno²¢u hrvatskih gradova.

Literatura:

Albalate, D., 2012. The Institutional, Economic and Social Determinants of Local Go-vernment Transparency. Research Institute of Applied Economics Working Paper, No.2012/10.Andreula, N., Chong, A. i Guillen, J., 2009. Institutional Quality and Fiscal Transpa-rency. IDB Working Paper Series, No. IDB-WP-125.Bastida, F. i Benito, B., 2007. Central government budget practices and transparency:an international comparison. Public Administration, 85(3), Str. 667�716.Benito, B. i Bastida, F., 2009. Budget Transparency, Fiscal Performance, and PoliticalTurnout: An International Approach. Public Administration Review, 69(3), 403�417.Caamaño-Alegre, J. [et al.], 2011. Budget Transparency in Local Governments: An Em-pirical Analysis. International Studies Program Working Paper, No. 11-02.De Renzio, P. and Wehner, J., 2015. The impacts of �scal openness: A review of theEvidenceHameed, F. 2005. Fiscal Transparency and Economic Outcomes. IMF Working Paper,WP/05/225.Islam, R., 2006. Does more transparency go along with better governance? Economics &Politics, 18(2), 121-167.Laswad, F., Fisher, R. i Oyelere, P., 2005. Determinants of voluntary Internet �nan-cial reporting by local government authorities. Journal of Accounting and Public Policy,24(2), 101�121.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2015. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op-¢ina: studeni 2014. - oºujak 2015. Newsletter, br. 97. Zagreb: IJF.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2014. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op¢ina2013 - 2014. Newsletter, br. 87. Zagreb: IJF.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2013. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op-¢ina. Newsletter, br. 81. Zagreb: IJF.Piotrowski, S. J. and Van Ryzin, G. G., 2007. Citizen Attitudes Toward Transparency inLocal Government. The American Review of Public Administration, 37(3), 306-323.Styles, A. k. and Tennyson, M., 2007. The Accessibility of Financial Reporting of U.S.Municipalities on the Internet. Journal of Public Budgeting, Accounting & FinancialManagement, 19(1), 56-92.

182


Odrednice prora£unske transparentnosti gradova i op¢ina uZadarskoj ºupaniji

Student: Marija Vi²i¢



Opis: Cilj je rada utvrditi varijable povezane s prora£unskom transparentno²¢u ²estgradova i dvadeset i osam op¢ina u Zadarskoj ºupaniji. Razina prora£unske transpa-rentnosti izra£unata je u Ott, Broni¢ i Petru²i¢ (2015, 2014, 2013), a varijable koje bis njom mogle biti povezane poku²at ¢e se utvrditi na temelju dostupnih ekonomskih,socijalno-kulturolo²kih, antropolo²kih ili politi£kih podataka. Studentica ¢e se upoznati spodru£jem prora£unske transparentnosti i literaturom o utvr�ivanju povezanih varijabli,te ekonometrijskim metodama poku²ati utvrditi te veze s prora£unskom transparentno²¢ugradova i op¢ina Zadarske ºupanije.

Literatura:

Albalate, D., 2012. The Institutional, Economic and Social Determinants of Local Go-vernment Transparency. Research Institute of Applied Economics Working Paper, No.2012/10.Andreula, N., Chong, A. i Guillen, J., 2009. Institutional Quality and Fiscal Transpa-rency. IDB Working Paper Series, No. IDB-WP-125.Bastida, F. i Benito, B., 2007. Central government budget practices and transparency:an international comparison. Public Administration, 85(3), Str. 667�716.Benito, B. i Bastida, F., 2009. Budget Transparency, Fiscal Performance, and PoliticalTurnout: An International Approach. Public Administration Review, 69(3), 403�417.Caamaño-Alegre, J. [et al.], 2011. Budget Transparency in Local Governments: An Em-pirical Analysis. International Studies Program Working Paper, No. 11-02.De Renzio, P. and Wehner, J., 2015. The impacts of �scal openness: A review of theEvidenceHameed, F. 2005. Fiscal Transparency and Economic Outcomes. IMF Working Paper,WP/05/225.Islam, R., 2006. Does more transparency go along with better governance? Economics &Politics, 18(2), 121-167.Laswad, F., Fisher, R. i Oyelere, P., 2005. Determinants of voluntary Internet �nan-cial reporting by local government authorities. Journal of Accounting and Public Policy,24(2), 101�121.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2015. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op-¢ina: studeni 2014. � oºujak 2015. Newsletter, br. 97. Zagreb: IJF.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2014. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op¢ina2013 - 2014. Newsletter, br. 87. Zagreb: IJF.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2013. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op-¢ina. Newsletter, br. 81. Zagreb: IJF.Piotrowski, S. J. and Van Ryzin, G. G., 2007. Citizen Attitudes Toward Transparency inLocal Government. The American Review of Public Administration, 37(3), 306-323.Styles, A. k. and Tennyson, M., 2007. The Accessibility of Financial Reporting of U.S.Municipalities on the Internet. Journal of Public Budgeting, Accounting & FinancialManagement, 19(1), 56-92.

183


Odrednice prora£unske transparentnosti odabranih hrvatskihgradova

Student: Krunoslav Habunek



Opis: Cilj je rada utvrditi varijable povezane s prora£unskom transparentno²¢u odabraneskupine hrvatskih gradova sli£nih karakteristia s gradom Ivancem. Razina prora£unsketransparentnosti izra£unata je u Ott, Broni¢ i Petru²i¢ (2015, 2014, 2013), a varijable kojebi s njom mogle biti povezane poku²at ¢e se utvrditi na temelju dostupnih ekonomskih,socijalno-kulturolo²kih, antropolo²kih ili politi£kih podataka. Student ¢e se upoznati spodru£jem prora£unske transparentnosti i literaturom o utvr�ivanju povezanih varijabli,te ekonometrijskim metodama poku²ati utvrditi te veze s prora£unskom transparentno²¢uodabranih hrvatskih gradova.

Literatura:

Albalate, D., 2012. The Institutional, Economic and Social Determinants of Local Go-vernment Transparency. Research Institute of Applied Economics Working Paper, No.2012/10.Andreula, N., Chong, A. i Guillen, J., 2009. Institutional Quality and Fiscal Transpa-rency. IDB Working Paper Series, No. IDB-WP-125.Bastida, F. i Benito, B., 2007. Central government budget practices and transparency:an international comparison. Public Administration, 85(3), Str. 667�716.Benito, B. i Bastida, F., 2009. Budget Transparency, Fiscal Performance, and PoliticalTurnout: An International Approach. Public Administration Review, 69(3), 403�417.Caamaño-Alegre, J. [et al.], 2011. Budget Transparency in Local Governments: An Em-pirical Analysis. International Studies Program Working Paper, No. 11-02.De Renzio, P. and Wehner, J., 2015. The impacts of �scal openness: A review of theEvidenceHameed, F. 2005. Fiscal Transparency and Economic Outcomes. IMF Working Paper,WP/05/225.Islam, R., 2006. Does more transparency go along with better governance? Economics &Politics, 18(2), 121-167.Laswad, F., Fisher, R. i Oyelere, P., 2005. Determinants of voluntary Internet �nan-cial reporting by local government authorities. Journal of Accounting and Public Policy,24(2), 101�121.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2015. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op-¢ina: studeni 2014. � oºujak 2015. Newsletter, br. 97. Zagreb: IJF.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2014. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op¢ina2013 - 2014. Newsletter, br. 87. Zagreb: IJF.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2013. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op-¢ina. Newsletter, br. 81. Zagreb: IJF.Piotrowski, S. J. and Van Ryzin, G. G., 2007. Citizen Attitudes Toward Transparency inLocal Government. The American Review of Public Administration, 37(3), 306-323.Styles, A. k. and Tennyson, M., 2007. The Accessibility of Financial Reporting of U.S.Municipalities on the Internet. Journal of Public Budgeting, Accounting & Financial Ma-nagement, 19(1), 56-92.

184


Odrednice prora£unske transparentnosti hrvatskih ºupanija,gradova i op¢ina

Student: An�elka Oroz



Opis: Cilj je rada utvrditi varijable povezane s prora£unskom transparentno²¢u svih hr-vatskih ºupanija, gradova i op¢ina. Razina prora£unske transparentnosti izra£unata jeu Ott, Broni¢ i Petru²i¢ (2015, 2014, 2013), a varijable koje bi s njom mogle biti po-vezane poku²at ¢e se utvrditi na temelju dostupnih ekonomskih, socijalno-kulturolo²kih,antropolo²kih ili politi£kih podataka. Studentica ¢e se upoznati s podru£jem prora£un-ske transparentnosti i literaturom o utvr�ivanju povezanih varijabli, te ekonometrijskimmetodama poku²ati utvrditi te veze s prora£unskom transparentno²¢u ºupanija, gradovai op¢ina.

Literatura:

Albalate, D., 2012. The Institutional, Economic and Social Determinants of Local Go-vernment Transparency. Research Institute of Applied Economics Working Paper, No.2012/10.Andreula, N., Chong, A. i Guillen, J., 2009. Institutional Quality and Fiscal Transpa-rency. IDB Working Paper Series, No. IDB-WP-125.Bastida, F. i Benito, B., 2007. Central government budget practices and transparency:an international comparison. Public Administration, 85(3), Str. 667�716.Benito, B. i Bastida, F., 2009. Budget Transparency, Fiscal Performance, and PoliticalTurnout: An International Approach. Public Administration Review, 69(3), 403�417.Caamaño-Alegre, J. [et al.], 2011. Budget Transparency in Local Governments: An Em-pirical Analysis. International Studies Program Working Paper, No. 11-02.De Renzio, P. and Wehner, J., 2015. The impacts of �scal openness: A review of theEvidenceHameed, F. 2005. Fiscal Transparency and Economic Outcomes. IMF Working Paper,WP/05/225.Islam, R., 2006. Does more transparency go along with better governance? Economics &Politics, 18(2), 121-167.Laswad, F., Fisher, R. i Oyelere, P., 2005. Determinants of voluntary Internet �nan-cial reporting by local government authorities. Journal of Accounting and Public Policy,24(2), 101�121.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2015. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op-¢ina: studeni 2014. � oºujak 2015. Newsletter, br. 97. Zagreb: IJF.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2014. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op¢ina2013 - 2014. Newsletter, br. 87. Zagreb: IJF.Ott, K., Broni¢, M. i Petru²i¢, M., 2013. Otvorenost prora£una ºupanija, gradova i op-¢ina. Newsletter, br. 81. Zagreb: IJF.Piotrowski, S. J. and Van Ryzin, G. G., 2007. Citizen Attitudes Toward Transparency inLocal Government. The American Review of Public Administration, 37(3), 306-323.Styles, A. k. and Tennyson, M., 2007. The Accessibility of Financial Reporting of U.S.Municipalities on the Internet. Journal of Public Budgeting, Accounting & Financial Ma-nagement, 19(1), 56-92.

185

Mentor: Dalibor Paar

Trodimenzionalna fraktalna analiza pojava u kr²u

Podru£je: fraktalne analize, matematika, �zika

Prikladno za studij: Matematika i �zika; smjer: nastavni£ki

Opis: Ova tema namijenjena je studentima koji ºele pro²iriti znanja koja su stekli nastudiju i promisliti o uvo�enju tih tema u nastavu �zike. Tehnika fraktalne analize omo-gu¢ava analizu uzoraka na temelju njihove makroskopske strukture. Interes primjene tetehnike u �zici okoli²a, odnosno u geoznanostima je pridruºivanje �zikalnih parametaraprirodnim pojavama kvanti�ciranjem skalno invarijantnih distribucija, £ime bi se omogu-¢ilo njihovo bolje razumijevanje i pra¢enje njihovih promjena. U okviru rada student birazvio ra£unalni program u Pythonu za prora£un fraktalne dimenzije u 3D i primijenioga na odabrane speci�£ne prirodne pojave u hrvatskom kr²u koje evidentno imaju frak-talna svojstva. Student ¢e razraditi koncepciju nastavnog sata kojom bi se u£enika krozodabrane primjere upoznalo s ovom tematikom.

Literatura:

D.L.Turcotte. Fractals and Chaos in Geology and Geophysics, Cambridge Uni.Press,1997.

186

Mentor: Dalibor Paar

Analize vremenskih nizova u �zikalnim procesima

Podru£je: fraktalne analize, matematika, �zika

Prikladno za studij: Matematika i �zika; smjer: nastavni£ki

Opis: Ovaj rad je namijenjen studentima koji se ºele upoznati s prakti£nim primjenama�zike u prou£avanju prirode. Prou£avanjem prirodnih procesa biljeºimo vremensku evo-luciju niza �zikalnih varijabli. Usporedbom vremenskih nizova dolazimo do zaklju£akao samoj �zikalnoj pojavi odnosno procesima koji mijenjaju vrijednosti varijabli. To jevaºna tematika, posebice za �ziku okoli²a gdje su pojave de�nirane velikim brojem va-rijabli. U ovom diplomskom radu ¢e se na konkretnom primjeru �zikalnih mjerenja u²piljama kao prirodnim pojavama de�niranim nizom �zikalnih varijabli razmotriti poje-dine tehnike analize vremenskih nizova, prora£una vremenskog odmaka, korelacija i dr.Odabrane analize ¢e se izvesti programskim jezikom Python. Osmislit ¢e se koncept nas-tavnog sata u okviru kojeg bi se istaknula vaºnost vremenskog pra¢enja �zikalnih varijablii njihove interpretacije.

Literatura:

Cutnell, Johnson. Physics, 8th edition, J.Willey & Sons

187

Mentor: Damir Paji¢

Gibanje magneta u magnetskom polju

Student: Mate Pavle²i¢

Podru£je: op¢a �zika, kinematika, dinamika, magnetska polja i me�udjelovanje magneta


Opis: Gibanje magneta u magnetskom polju drugog magneta odre�eno je silama kojimaoni me�udjeluju te dodatnim vanjskim silama. �esto se sile u prirodi ne mogu neposrednomjeriti, ve¢ se ra£unaju iz drugih mjerenih veli£ina, a poseban je izazov odrediti pona²anjesila me�udjelovanja prou£avaju¢i gibanje koje te sile uzrokuju. U ovom diplomskom raduiz eksperimentalno dobivenog kinemati£kog opisa gibanja magneta student ¢e odrediti silukoja na magnet djeluje u ovisnosti o udaljenosti me�u magnetima. U tu svrhu student¢e konstruirati indukcijski detektor poloºaja te preciznim i brzim voltmetrom koji snimanapon u vremenu mjeriti vremena prolaska kroz odre�ene to£ke te iz tih mjerenja odreditisilu me�u magnetima koriste¢i osnovne zakone gibanja. Usput ¢e se upoznati i s teorijskimra£unom sile me�u magnetima, te ga usporediti sa svojim rezultatom. Eksperimentalnipostav ¢e biti potrebno izgraditi tako da umanji/ukloni utjecaj dodatnih vanjskih silakako bi se dobio ²to vjerniji opis same sile kojom me�udjeluju dva magneta. Prilikomdizajna eksperimenta, gradnje aparature, mjerenja, analize, ra£una, rasprave, student ¢este¢i praksu primjenjivu za mnoge druge eksperimentalne situacije u ²koli.

Literatura:

Gri�ths D.J., Introduction to electrodynamics (3ed., PH, 1999)Young and Freedman, University Physics. (13ed., Addison Wesley, 2012)D. Amrani, P Paradis, Faraday's law of induction gets free-falling magnet treatment,Physics Education, 40 (2005) 313-314.

188

Mentor: Pavle Pandºi¢

Reprezentacije kona£nih grupa

Podru£je: algebra


Opis: U ovoj se temi obra�uju osnove teorije kona£nodimenzionalnih reprezentacija ikaraktera u primjeru kona£nih grupa. Uklju£ene su i standardne konstrukcije kao induci-ranje i tenzorski produkti reprezentacija. Sve je ilustrirano konkretnim primjerima.

Literatura:

J.-P.Serre, Linear representations of �nite groups, Springer, 1977.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A �rst course., Springer, 1991.

189


Proste kompleksne Liejeve algebre

Podru£je: algebra


Opis: U ovoj se temi obra�uju osnove teorije Liejevih algebri te klasi�kacija kompleksnihprostih Liejevih algebri pomo¢u njihovih sistema korijena.

Literatura:

J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A �rst course., Springer, 1991.

190


Realne forme prostih Liejevih algebri

Podru£je: algebra


Opis: U ovoj se temi pretpostavlja klasi�kacija kompleksnih prostih Liejevih algebri ina osnovu nje se dobiva klasi�kacija realnih prostih Liejevih algebri. Osnovna metoda jekori²tenje tzv. Voganovih dijagrama.

Literatura:

A.W. Knapp, Lie groups: beyond an introduction, Birkhäuser, Boston, 1996.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A �rst course., Springer, 1991.

191


Kona£ne grupe re�eksija

Podru£je: algebra


Opis: U ovoj se temi obra�uju osnove teorije kona£nih grupa re�eksija. Osnovni su pri-mjeri Weylove grupe sistema korijena.

Literatura:

L.C. Grove, T.C. Benson, Finite re�ection groups, Springer, 1985.J.Humphreys, Introduction to Lie algebras and Representation Theory, Springer, 1997.W. Soergel, Spiegelungsgruppen und Wurzelsysteme, http://home.mathematik.uni-

freiburg.de/soergel/Skripten/XXSPIEG.pdf

192

Mentor: Igor Paºanin

Asimptoti£ka analiza i primjene



Opis: Cilj ovog rada upoznati je studenta sa osnovnim metodama asimptoti£ke analizei mogu¢nostima njihove primjene. Posebna paºnja posvetila bi se primjeni asimptoti£kihmetoda pri prou£avanju vi²edimenzionalnih problema koji se javljaju u mehanici �uida.

Literatura:

J.K.Hunter, Asymptotic Analysis and Singular Perturbation Theory, University of Cali-fornia at Davis, 2004.R.Kh.Zeytounian, Asymptotic Modelling of Fluid Flow Phenomena, Kluwer Academic Pu-blishers, 2002.I.Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, 2003.

193


Tok mikropolarnog �uida



Opis: Model mikropolarnog �uida osnovno je poop¢enje klasi£nog Navier-Stokesovogmodela koji uzima u obzir i mikrostrukturu samog �uida te je kao takav iznimno vaºansa stanovi²ta primjena. Polaze¢i od temeljnih zakona odrºanja, u ovom radu izveli biosnovne jednadºbe koje opisuju tok mikropolarnog �uida te diskutirali pripadne rubneuvjete. Tako�er, kako bi ilustrirali efekte mikrostrukture na tok �uida, bavili bi se iprimjerima jednostavnih tokova za koje je mogu¢e odrediti neka specijalna stacionarnarje²enja.

Literatura:

G.Lukaszewicz, Micropolar Fluids: Theory and Applications, Birkhauser, 1999.G.P.Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations,Vol I, Springer, 1997.I.Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, 2003.

194


Stokesov sustav



Opis: Stokesov sustav predstavlja linearizaciju Navier-Stokesovih jednadºbi i dobro opi-suje tok newtonovskog �uida za male Reynoldsove brojeve. U ovom radu razmatrale bise stacionarne Stokesove jednadºbe u ograni£enom podru£ju. Nakon izvoda jednadºbi iztemeljnih zakona odrºanja, uveli bi se odgovaraju¢i funkcijski prostori te izloºila njihovaosnovna svojstva. Glavni dio rada bio bi posve¢en varijacijskoj formulaciji polaznog pro-blema i dokazu egzistencije i jedinstvenosti rje²enja.

Literatura:

R.Temam, Navier-Stokes equations, Vol I, North-Holland, 1977.G.P.Galdi, An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations,Vol I, Springer, 1997.I.Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, 2003.

195


Modeliranje obi£nim diferencijalnim jednadºbama

Podru£je: matemati£ko modeliranje


Opis: Diferencijalnim jednadºbama se najjednostavnije izraºavaju i modeliraju mnogiprirodni zakoni te razni procesi u razli£itim podru£jima znanosti i tehnike. Ovaj rad za-mi²ljen je kao pregled ve¢eg broja matemati£kih modela opisanih obi£nim diferencijalnimjednadºbama. Posebna paºnja posvetila bi se izvodu i analizi modela zna£ajnih u popu-lacijskoj dinamici, kemijskoj kinetici te newtonovoj mehanici.

Literatura:

J.R.Chasnov, Mathematical Biology, Lecture Notes, The Hong Kong University of Scienceand Technology, 2009.J.R.Brannan, W.E.Boyce, Di�erential Equations: An Introduction to Modern Methods &Applications, J. Wiley & Sons, 2007.M.Braun, Di�erential Equations and Their Applications, Springer-Verlag, 1986.

196

Mentor: Ozren Per²e

Matrice nad nekomutativnim prstenima

Student: Lucija Fijan

Podru£je: algebra


Opis: U radu se planira prou£avati struktura prstena na matricama nad nekomutativnimprstenima, te prirodno vezani pojam poluprostog prstena.

Literatura:

S. Lang: Algebra, Addison-Wesley, Reading Massachusets, 1965.

197


Bilinearne i kvadratne forme

Student: Kristina Halambek

Podru£je: algebra


Opis: U radu se planiraju obraditi osnovni teoremi o strukturi bilinearnih formi, i njimapridruºenih kvadratnih formi.

Literatura:


198


Multilinearna preslikavanja i tenzorski produkt

Student: Dragana Kneºevi¢

Podru£je: algebra


Opis: U radu se planira obraditi konstrukcija i osnovna svojstva tenzorskog produktamodula nad komutativnim prstenom, te neke srodne konstrukcije.

Literatura:


199


Gröbnerove baze

Student: Tatjana Tepe²

Podru£je: algebra


Opis: U radu se planira prou£avati konstrukcija Gröbnerove baze ideala u prstenu poli-noma vi²e varijabli.

Literatura:

J. J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, AmericanMathematical Society, Providence, RI, 2010.

200


Galoisova teorija

Student: Dragutina Topi¢

Podru£je: algebra


Opis: U radu se planira prou£avati Galoisova teorija o korespondenciji odre�enih polja ipodgrupa pridruºene Galoisove grupe, te neke njene primjene.

Literatura:

S. Lang: Algebra, Addison-Wesley, Reading Massachusets, 1965.J. J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, AmericanMathematical Society, Providence, RI, 2010.

201

Mentor: Boris Podobnik

Zaraza u �nancijskim mreºama

Student: Tena Zbiljski

Podru£je: �nancijska matematika


Opis: Od studenta se o£ekuje rad na analiti£kom modelu ²irenja �nancijske zarazebaziranom na �nancijskim mreºama me�u bankama. Bazirano na Gai-Kapadia £lankupokazati kako je vjerojatnost zaraze odre�ena idiosinkratskim sokovima, promjenama ustrukturi mreºe i promjenama likvidnosti imovine. U teorijskom modelu koristiti funkcijeizvodnice za distribuciju ranjivosti banke.

Literatura:

P. Gai, S. Kapadia, Contagion in �nancial networks, Proc. R. Soc. A 466(2120), 2010DOI: 10.1098/rspa.2009.0410Newman M. 2003 Random graphs as models of networks. In Handbook of graphs andnetworks (eds S. Bornholdt, H. G. Schuster), WileyNewman M., Strogatz S., Watts D. Random graphs with arbitrary degree distributionsand their applications. Phys. Rev. E 64, 026118, 2001

202

Mentor: Mirko Polonijo

Izvan²kolska dopunska nastava matematike

Student: Sre¢ko �logar



Opis: Matematika kao ²kolski predmet osnovne i srednjih ²kola predstavlja poprili£nombroju u£enika zna£ajan problem. Dopunska nastava koja se organizira/provodi unutar²kola umanjuje taj problem, ali ne zna£ajno. Zato mnogi pribjegavaju tzv "instrukci-jama", tj. izvan²kolskoj dopunskoj nastavi matematike. U obradi ove teme se o£ekujedati pregled i osvrt na pojavu "instrukcija" iz matematike, njihove negativne i pozitivneefekte. Nadalje, poku²ati dati, na primjeru gradiva jednog ili dva razreda srednje ²kole,prijedlog promi²ljenog plana provo�enja "instrukcija"

Literatura:

https://www.idi.hr/ucenje2014/izvjestaj5.pdf

http://www.idi.hr/wp-content/uploads/2014/03/Privatne_instrukcije_2011_

Ristic_Dedic_Jokic.pdf

http://www.poduke.hr/author/poppy777/page/2/

http://m.tportal.hr/380435/Sve-sto-morate-znati-o-instrukcijama-od-

cijene-do-koristi.html

Ljiljana Klinger, Ra²irenost i uzroci privatne poduke (instrukcija) u osnovnoj ²koli, ma-gistarski rad, 2011²kolski udºbenici matematike za osnovnu i srednju ²kolu

203


Matemati£ki sadrºaji u staroegipatskoj arhitekturi

Student: Matea Baraba

Podru£je: matematika, geometrija, matemati£ka edukacija


Opis: Arhitektura u sebi krije mnoge matemati£ke sadrºaje, numeri£ke odnose i geome-trijske oblike, te je odraz stupnja razvoja i pogleda pojedinog razdoblja. Spoznaje omatemati£kim znanjima i spoznaja u vrijeme Starog Egipta daju se is£itati iz sa£uvanihonodobnih gra�evina. Cilj je ovog diplomskog rada prikazati na temelju poznatih istraºi-vanja pojave i odnose matemati£kih sadrºaja u staroegipatskoj arhitekturi

Literatura:

Rossi, C. (2007). Architecture and mathematics in ancient Egypt. Cambridge univ. press.Gillings, R. J. (1982), Mathematics in the time of Pharaons. DoverBurton, D. M. (2011) The History of Mathematics, McGraw-Hill

204


Matemati£ka £itanka (1947)

Student: Ivanka Vojvodi¢

Podru£je: edukacija, popularizacija


Opis: Prije gotovo sedamdeset godina objavljena je u Zagrebu Matemati£ka £itanka uredakciji Milenka Sevdi¢a. Ova zbirka raznih popularnih i stru£nih matemati£kih tekstova(na preko 300 stranica), namjenjena u£enicima i nastavnicima, pa i ²iroj £itala£koj publici,odigrala je vaºnu ulogu u popularizaciji matematike u Hrvatskoj i tada²njoj drºavi. Ciljovog diplomskog rada je detaljno prikazati knjigu i autore £lanaka, te istraºiti njezineizvore i utjecaje, ulogu i zna£enje.

Literatura:

M. Sevdi¢ (redakcija), Matemati£ka £itanka, Zagreb: Nakladni zavod Hrvatske, 1947V. Devidé, Matemati£ka £itanka, Zagreb: �kolska knjiga, 1991B. Daki¢, Matemati£ki panoptikum, Zagreb: �kolska knjiga, 1995

205


Udºbenik "Uvod u linearnu algebru" Svetozara Kurepe



Opis: Svetozar Kurepa (1929-2010) odigrao je veliku i trajnu ulogu u hrvatskoj mate-matici. Osim vaºnih znanstvenih matemati£kih doprinosa, S. Kurepa je autor mnogihmatemati£kih udºbenika za srednju ²kolu i fakultete. Njegov udºbenik "Uvod u linearnualgebru" (1978.) bio je namjenjen studentima prve godine i nastao je kao reakcija napostoje¢e (ali i nepostoje¢e) udºbenike linearne algebre. Na taj na£in je on danas "ma-etmati£ka slika" jednog vremena. Svrha rada je detaljno prikazati taj udºbenik te gaocijeniti i usporediti s tada²njim i dana²njim odgovaraju¢im na²im knjigama .

Literatura:

Kurepa, S. (1970). Uvod u linearnu algebru, Zagreb; �kolska knjigaudºbenici Linearna algebra raznih autora

206

Mentor: Nikola Poljak

Stroboskopski u£inak

Student: Andreja Igrec

Podru£je: osnove �zike - gibanja, bio�zika, elektronika


Opis: Stroboskopski u£inak je vizualni efekt koji se javlja kad se kontinuirano gibanjepredstavlja pomo¢u niza kratkih uzoraka snimljenih u pravilnim vremenskim razmacima.U£inak je od velike vaºnosti u �zici, strojarstvu i industriji, no ne obra�uje se detaljno napreddiplomskoj i diplomskoj nastavi. U diplomskom radu ¢e se dati opis u£inka, predloºiti¢e se nekoliko eksperimenata u kojima se moºe lako reproducirati, izraditi ¢e se jedan takavinstrument i na kraju se na njemu izvr²iti �zikalno mjerenje.

Literatura:

Hugh. D. Young. University physics with modern physics, Addison-Wesley, 2014.http://arxiv.org/abs/1205.4606

http://www.555-timer-circuits.com

207

Mentor: Mirko Primc

Neke varijante Pitagorinog teorema

Student: Lina Rajkovi¢


Prikladno za studij: Finacijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Vektorski prostori

Opis: Cilj rada je izloºiti neke varijante Pitagorinog teorema slijede¢i £lanak RichardaV. Kadisona The Pythagorean Theorem: I. The �nite case i, me�u inim, dokazati teorem:Ako je 〈a1, . . . , an〉 ure�ena n-torka realnih brojeva iz intervala [0, 1] £ija je suma prirodanbroj, onda postoji realna simetri£na idempotentna matrija s dijagonalom a1, . . . , an.

Literatura:

R. V. Kadison The Pythagorean Theorem: I. The �nite case, 2001,http://www.pnas.org/content/99/7/4178.full.pdf

208

Mentor: Mirko Primc

Reprezentacije kona£nih i kompaktnih grupa

Podru£je: algebra, topologija i analiza


Preduvjeti: Vekorski prostori, Operatori na normiranim prostorima

Opis: Jedan od osnovnih rezultata analize i teorije grupa je Peter-Weylov teorem o aprok-simaciji neprekidne funkcije na kompaktnoj grupi matri£nim elemenatima ireducibilnihreprezentacija grupe. U su²tini je to poop¢enje klasi£nih rezultata poput razvoja peri-odi£ke funkcije u Fourierov red ili aproksimacije funkcije na sferi kuglinim funkcijama.Ovisno o sklonostima i predznanju studenta odabralo bi se gradivo koje bi uklju£ivaloPeter-Weylov teorem ili samo neke dijelove te teorije.

Literatura:

Barry Simon, Representations of Finite and Compact Groups, Graduate Studies in Mat-hematics 10, AMS, Providence R.I., 1996.

209

Mentor: Mirko Primc

Cli�ordove algebre i klasi£ne grupe

Podru£je: algebra i teorija grupa



Opis: Cilj rada bio bi konstrukcija Cli�ordovih algebri te, ovisno o sklonostima i pred-znanju studenta, neke njihove primjene u teoriji reprezentacija grupa SO(n) i Spin(n) umatematici i �zici.

Literatura:

M. Postnikov, Lie Groups and Lie Algebras, Lectures in Geometry V, Mir Publishers,Moscow, 1986.

210

Mentor: Mirko Primc

Proste Liejeve algebre i njihove reprezentacije

Podru£je: algebra



Opis: Cilj rada bio bi opis strukture prostih kompleksnih Liejevih algebri i njihovihkona£no dimenzionalnih reprezentacija. Ovisno o sklonostima studenta biralo bi se gradivos naglaskom na strukturu algebri ili na svojstva reprezentacija.

Literatura:

J. E. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, GraduateTexts in Mathematics 9, Springer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin, 1972.

211

Mentor: Mirko Primc

Multilinearna algebra

Podru£je: algebra



Opis: Cilj rada bio bi konstrukcija tenzorske algebre i vanjske algebre, te osnovni rezultatio strukturi vanjske algebre.

Literatura:

S. Mac Lane, G. Birkho�, Algebra, third edition, AMS Chelsea Publishing, AmericanMathematical Society, Providence, Rhode Island, 1999.

212

Mentor: Rajna Raji¢ Suvoditelj: Damir Baki¢

Konveksne funkcije realne varijable


Prikladno za studij: Svi studiji

Opis: U radu bi se prikazali osnovni rezultati o konveksnim funkcijama realne varijable.Dale bi se razne karakterizacije konveksnih funkcija: u terminima integralne reprezen-tacije, svojstava derivacija, geometrijskih svojstava grafa. Prou£ila bi se klasa funkcijakoje se mogu prikazati kao razlika dviju konveksnih funkcija. Poseban naglasak bio bi naulozi konveksnih funkcija u dokazivanju nekih klasi£nih nejednakosti u analizi, kao ²to suHölderova nejednakost, Minkowskijeva nejednakost, Hermite�Hadamardova nejednakost,Youngova nejednakost i dr.

Literatura:

L. Hörmander, Notions of Convexity, Modern Birkhäuser Classics, Boston, 2007.C. P. Niculescu, L.-E. Persson, Convex Functions and Their Applications. A Contempo-rary Approach, Springer, Berlin, New Yok, London, 2004.A. W. Roberts, D. E. Varberg, Convex Functions, Academic Press, Inc., New York, Lon-don, 1973.

213


Nepravi dvostruki integrali



Opis: U radu bi se obradili nepravi dvostruki integrali realnih funkcija de�niranih naneome�enim podskupovima od R2. Opisali bi se razni kriteriji za ispitivanje konvergen-cije takvih integrala. Tako�er bi se prou£ila konvergencija nepravih dvostrukih integralaneome�enih neprekidnih realnih funkcija de�niranih na ome�enim podskupovima od R2.

Literatura:

G. B. Folland, Advanced Calculus, Pearson, 2001.S. R. Ghorpade, B. V. Limaye, A Course in Multivariable Calculus and Analysis, Sprin-ger, New York, 2010.

214


Polarna forma operatora

Podru£je: teorija operatora


Preduvjeti: poºeljno predznanje iz kolegija Normirani prostori i Operatori na normira-nim prostorima.

Opis: Ograni£en linearni operator T na Hilbertovom prostoru H moºemo prikazati upolarnoj formi T = U(T ∗T )1/2, gdje je U parcijalna izometrija. U ovom radu prou£a-vala bi se izvjesna svojstva operatora T (kao ²to su npr. pozitivnost, samoadjungiranost,normalnost, kvazinormalnost, 2-nilpotentnost) koja se prenose na parcijalnu izometrijuU iz njegove polarne forme. Tako�er bi se detaljno prou£ile normalne i kvazinormalneparcijalne izometrije.

Literatura:

T. Furuta, Invitation to Linear Operators, Taylor & Francis, London, 2001.P. R. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Van Nostrand, Princeton, 1967.

215

Mentor: Nikola Sarapa

Centralni grani£ni problem


Prikladno za studij: inºenjerski studiji

Preduvjeti: poznavanje sadrºaja obuhva¢enih kolegijima �Teorija vjerojatnosti 1 i 2�

Opis: Obra�uje se teorija beskona£no djeljivih distribucija, koja se koristi za dokazivanjeop¢eg centralnog grani£nog teorema za in�nitezimalne sisteme slu£ajnih varijabli, iz kojegkao korolari slijede poznati klasi£ni centralni grani£ni teoremi,

Literatura:

N.Sarapa, Teorija vjerojatnosti, �kolska knjiga, Zagreb, 2002.

216


Zakoni velikih brojeva za jednako distribuirane slu£ajne elementeu Banachovim prostorima




Opis: Promatraju se slu£ajni elementi u Hilbertovim i Banachovim prostorima. Dokazujuse generalizacije nekih klasi£nih zakona velikih brojeva za separabilne Banachove prostorei Banachove prostore sa Schauderovom bazom.

Literatura:


217


Donskerov teorem u prostoru C




Opis: Promatraju se vjerojatnosne mjere na metri£kim prostorima, specijalno na prostoruC neprekidnih funkcija na segmentu [0,1] s uniformnom metrikom. Dokazuje se Donskerovteorem o konvergenciji po distribuciji prikladno de�niranih slu£ajnih elemenata u prostoruC prema Winerovoj mjeri.

Literatura:

P.Billingsley, Convergence of probability measures, J.Wiley, New York, 1968.

218


Martingali




Opis: Obra�uju se osnovni pojmovi potrebni za uvo�enje pojma martingala i submar-tingala, te se dokazuju osnovni teoremi o konvergenciji i dekompoziciji submartingala.

Literatura:


219

Mentor: Sanja Singer

Algoritam pretprocesiranja za generalizirani SVD na gra�£kojkartici

Student: Goran Flegar

Podru£je: numeri£ka linearna algebra, paralelno znanstveno ra£unanje


Opis: Algoritmi za generaliziranu singularnu dekompoziciju (GSVD) para (F,G), F ∈Rm×n, G ∈ Rp×n zahtijevaju da su matrice u paru kvadratne i da je barem jedna od ma-trica nesingularna. Nadalje, neki od algoritama o£ekuju da su obje matrice u trokutastojformi. Da bi se magla izra£unati GSVD proizvoljnog para (F,G) (takav da obje matriceimaju n stupaca), par se mora pretprocesirati nizom URV (potpunih ortogonalnih) i QRfaktorizacija od kojih se neke rade s pivotiranjem.

Literatura:

Z. Bai, H. Zha, A New Preprocessing Algorithm for the Computation of the GeneralizedSingular Value Decomposition, SIAM J. Sci. Comput., 14 (1993), str. 1007�1012.Z. Bai, J. W. Demmel, Computing the Generalized Singular Value Decomposition, SIAMJ. Sci. Comput., 14 (1993), str. 1464�1486.M. Anderson, G. Ballard, J. Demmel, K. Keutzer, Communication-Avoiding QR Decom-position for GPUs , u Proceedings of the 2011 IEEE International Parallel & DistributedProcessing Symposium, IEEE Computer Society Washington, 2011., str. 48�58. J. W.Demmel, L. Grigori, M. Gu, H. Xiang, Communication avoiding rank revealing QR fac-torization with column pivoting , SIAM J. Matrix Anal., Appl., 36 (2015), str. 55�89.A. Tomás, Z. Bai, V. Hernández, Parallelization of the QR Decomposition with Column Pi-voting Using Column Cyclic Distribution on Multicore and GPU Processors , u M. Daydé,O. Marques, K. Nakajima (ur.): VECPAR 2012, LNCS 7851, Springer�Verlag Berlin He-idelberg 2013., str. 50�58.Z. Drma£, Z. Bujanovi¢, On the Failure of Rank-Revealing QR Factorization Software �A Case Study , ACM Trans. Math. Softw., 35 (2008) no. 2, Article 12, 28 str.

220


Analiza signala dobivenih iz biometrijskih ure�aja

Student: Magdalena Duvnjak

Podru£je: numeri£ka analiza, statistika


Opis: Podake dobivene s biometrijskih ure�aja treba numeri£kim i statisti£kim meto-dama obraditi tako da se detektira je li ispitanik pod stresom, umoran, neispavan ilisli£no. Dostupni podaci su: otkucaji srca , R�R interval (iz kojeg se ra£una varijabilnostrada srca), te α, β, γ, δ i θ valovi (signali mozga nuºni u obradi umora, stresa, nespavanjai sl.). U analizi signala koristit ¢e se Fourierova transformacija, kao i druge numeri£ke istatisti£ke metode kojima bi se mogao otkriti utjecaj stresa, umora i nespavanja na mje-rene podatke.

Literatura:

E. A. Larsen, Classi�cation of EEG Signals in a Brain�Computer Interface System, ma-gistarski rad, Norwegian University of Science and Technology, Trondheim, 2011.T.�C. Lee, H.�W. Chiu, Frequency�domain Heart Rate Variability Analysis Performed byDigital Filters , Computing in Cardiology, 37 (2010), str. 589�592.B. Th. Jap, S. Lal, P. Fischer, E. Bekiaris, Using EEG spectral components to assess algo-rithms for detecting fatigue, Expert Systems with Applications, 36 (2009), str. 2352�2359.G. D. Cli�ord, Signal Processing Methods for Heart Rate Variability , doktorska diserta-cija, University of Oxford, Oxford, 2002.S. K. L. Lal, The Psychophysiology od Friver Fatique/Drowsiness: Electroencephalo-graphy, Electro-oculogram, Electrocardiogram and Psychological E�ects , doktorska diser-tacija, University of Technology, Sydney, 2001.H.�H. Huang, H.�L. Chan, P.�L. Lin, C.�P. Wu, C.�H. Huang, Time-frequency spectralanalysis of heart rate variability during induction of general anaesthesia, British Journalof Anaesthesia, 79 (1997), str. 754�758.

221


Ra£unanje generaliziranih inverza



Opis: Generalizirani inverzi, kao ²to i samo ime govori, generalizacija su matri£nih inverzau slu£ajevima kad su matrice pravokutne i/ili singularne. Najpoznatiji me�u njima jeMoore�Penroseov generalizirani inverz, koji se naj£e²¢e re£una kori²tenjem singularnedekompozicije, ali ima i drugih na£ina njegovog izra£unavanja. Cilj rada je numeri£kiusporediti nekoliko algoritama za ra£unanje generaliziranih inverza.

Literatura:

P. Lancaster, M. Tismenetsky, The Theory of Matrices with Applications (second edition),Academic Press, San Diego, 1985.S. L. Campbell, C. D. Meyer, Generalized Inverses of Linear Transformations , Pitman,London, 1979.A. Ben�Israel, T. N. E. Greville, Generalized Inverses: Theory and Applications (secondedition), Springer�Verlag, New York 2004.G. Zielke Report on test matrices for generalized inverses , Computing 36 (1986), 105�162.

222

Mentor: Sa²a Singer

Algoritmi u£enja neuronskih mreºa

Student: Vitomir �anadi

Podru£je: umjetna inteligencija


Preduvjeti: Umjetna inteligencija

Opis: Umjetne neuronske mreºe nastale su kao model obrade podataka na biolo²kimprincipima funkcioniranja ºiv£anog sustava i ljudskog mozga. U novije vrijeme, postalesu vaºan segment razvoja umjetne inteligencije u podru£ju strojnog u£enja. Osnovnielement takve mreºe je umjetni model neurona, koji ima vi²e ulaza, svaki od njih imasvoju teºinu, a stvarni ulaz je neka teºinska sredina svih ulaza. Djelatni dio zadan je tzv.aktivacijskom funkcijom koja daje neki izlaz, za dobiveni ulaz. Takve osnovne jediniceveºu se u mreºe raznih topologija.

U procesu u£enja neuronska mreºa mijenja samu sebe, promjenom teºina pojedinih ne-urona, a mogu se dozvoliti i promjene topologije cijele mreºe. Kod �u£enja s u£iteljem�(engl. supervised learning), teºine se mijenjaju tako da, za dani ulaz, dobiveni izlaz bude²to bliºe traºenom ili zadanom izlazu.

Cilj rada je opisati razli£ite algoritme u£enja neuronskih mreºa, poput �propagiranja una-trag� (engl. backpropagation), �poja£anog u£enja� (engl. reinforcement learning), evolu-cijskih algoritama, a izbor algoritama ovisi o ºelji studenta. Prakti£ni cilj rada je imple-mentacija opisanih algoritama na nekom konkretnom primjeru iz prakse, prema izborustudenta.

Literatura:

S. J. Russell, P. Norvig, Arti�cial Intelligence: A Modern Approach, Third ed., PrenticeHall (Pearson Education, Inc.), Upper Saddle River, New Jersey, 2010.

Y. LeCun, L. Bottou, G. B. Orr, K.-R. Müller, E�cient BackProp,http://yann.lecun.com/exdb/publis/pdf/lecun-98b.pdf

Evolucijski algoritmi za u£enje neuronskih mreºa (Neuroevolution)https://en.wikipedia.org/wiki/Neuroevolution

223


NoSQL baze podataka

Student: Jaka Ga£i¢

Podru£je: baze podataka


Preduvjeti: Baze podataka

Opis: Cilj rada je upoznati i opisati NoSQL baze podataka. Bit ¢e predstavljeni razvoji trenutni doseg NoSQL baza podataka, te poja²njeni osnovni pojmovi vezani za njih.Objasnit ¢e se i problemi klasi£nih relacijskih baza podataka, koji su potaknuli prijelazna novu tehnologiju, te sli£nosti i razlike izme�u ta dva na£ina spremanja podataka.

Rad ¢e uklju£iti i pregled mana NoSQL baza podataka, te neka rje²enja koja se predlaºuza ublaºavanje tih mana. Na kraju, prikazali bi se i potencijalni smjerovi daljnjeg razvojanerelacijskih baza podatka.

Dodatno, u sklopu rada bit ¢e prikazani i primjeri kori²tenja jedne takve baze, razra�eneu open-source sustavu MongoDB.

Literatura:

S. Tiwari, Professional NoSQL, Wrox, 2011.

K. Roebuck, Storing and Managing Big Data � NoSQL, Hadoop and More: High-impactStrategies - What You Need to Know: De�nitions, Adoptions, Impact, Bene�ts, Maturity,Vendors , Emereo Pty Limited, 2011.

E. Plugge, T. Hawkins, P. Membrey, The De�nitive Guide to MongoDB: The NoSQLDatabase for Cloud and Desktop Computing , Apress, 2010.

R. Manger, Baze podataka, Element, Zagreb, 2014.

224


Testovi prostosti i metode faktorizacije brojeva

Student: Zvonimir Ivekovi¢

Podru£je: oblikovanje i analiza algoritama, teorija brojeva


Opis: Jedna od glavnih komponenti modernih kriptografskih sustava su algoritmi zaprovjeru prostosti velikih brojeva, odnosno, faktorizaciju brojeva na proste faktore.

U ovom radu dao bi se pregled modernih metoda koje se koriste za rje²avanje ta dva pro-blema. Osim teorijske razrade izabranih metoda, posebna paºnja posvetila bi se analizisloºenosti i e�kasnoj implementaciji pripadnih algoritama.

Literatura:

R. Crandall, C. Pomerance, Prime Numbers�A Computational Perspective, Second Edi-tion, Springer, New York, 2005.

H. Riesel, Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition, Bir-khäuser, Basel, 2012.

A. Dujella, M. Mareti¢, Kriptogra�ja, Element, Zagreb, 2007.

225


Raspoznavanje dobrih i lo²ih likova u pri£ama pomo¢u umjetneinteligencije

Student: Gorana Leva£i¢

Podru£je: umjetna inteligencija


Preduvjeti: Umjetna inteligencija

Opis: U klasi£nim dje£jim pri£ama likove moºemo podijeliti na dobre i lo²e. Cilj ovograda je istraºiti kako ra£unalo moºe samo nau£iti prepoznavati koji likovi su dobri, a kojilo²i. U tu svrhu, ra£unalo (program) moºe u tekstu pri£e prona¢i eksplicitne opise likova,ili £ak iz slijeda doga�aja i radnji donijeti odgovaraju¢i zaklju£ak. Prakti£ni cilj rada jeimplementirati jedan takav program.

Navedeni problem je problem binarne klasi�kacije, odnosno, svrstavanja podataka u dvame�usobno disjunktna skupa. Problem se moºe rje²avati razli£itim metodama strojnogu£enja, poput neuralnih mreºa, strojeva s potpornim vektorima, skrivenih Markovljevihmodela i drugih.

Literatura:

S. J. Russell, P. Norvig, Arti�cial Intelligence: A Modern Approach, Third ed., PrenticeHall (Pearson Education, Inc.), Upper Saddle River, New Jersey, 2010.

C. M. Bishop, Pattern Recognition and Machine Learning , Springer�Verlag, New York,2006.

Bing Liu, Sentiment Analysis and Opinion Mining , Morgan & Claypool, 2012.

Bing Liu, Sentiment Analysis: Mining Opinions, Sentiments, and Emotions , CambridgeUniversity Press, Cambridge, 2015.

226


Algoritmi za generiranje prostih brojeva manjih od N

Student: Karlo Pe£ek

Podru£je: oblikovanje i analiza algoritama, teorija brojeva


Opis: Eratostenovo sito sluºi za generiranje svih prostih brojeva manjih od zadanogprirodnog broja N i jedan je od najstarijih poznatih algoritama u povijesti. U novijevrijeme pojavilo se nekoliko varijanti algoritama za isti problem, baziranih na ideji sita, sciljem pobolj²anja e�kasnosti osnovnog algoritma.

Cilj rada je opisati osnovni algoritam i novije varijante sita, analizirati njihovu sloºenost iimplementirati ih u nekom programskom jeziku (na pr. Python, zbog svojstava cjelobrojnearitmetike). Na kraju, treba napraviti analizu dobivenih rezultata u pogledu e�kasnosti,te razmotriti mogu¢e optimizacije ovih algoritama.

Literatura:

G. H. Hardy, E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers , Oxford UniversityPress, (6. izdanje 2008., originalno izdanje 1938.)

Melissa E. O'Neill, The Genuine Sieve of Eratosthenes, Harvey Mudd College, Claremont,CA, USAhttp://www.cs.hmc.edu/ oneill/papers/Sieve-JFP.pdf

Paul Pritchard, Improved Incremental Prime Number Sieves, Gri�th University, Queen-sland, Australiahttp://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.52.835&rep=rep1&type=pdf

A. O. L. Atkin, D. J. Bernstein, Prime sieves using binary quadratic forms, Mathematicsof Computation, Vol. 73, No. 246, 2003, pp. 1023�1030

Sundaram's Sieve, http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Sundaram

227


Algoritmi �Podijeli pa vladaj�

Student: Petra Penzer



Preduvjeti: Oblikovanje i analiza algoritama

Opis: Metoda �podijeli pa vladaj� je jedna od klasi£nih metoda za oblikovanje algoritama.Provodi se rekurzivno, dijeljenjem zadanog problema u nekoliko manjih istovrsnih pro-blema, sve dok problem ne postane dovoljno malen, tako da se moºe jednostavno rije²itinekom izravnom tehnikom.

Cilj diplomskog rada je opisati najpoznatije algoritme koji su primjeri metode �podijeli pavladaj�, implementirati ih u nekom programskom jeziku, te analizirati njihovu sloºenost.

Literatura:

A. V. Aho, J. E. Hopcroft, J. D. Ullmann Data Structures and Algorithms , Addison�Wesley, Reading, Massachusetts, 1983., Reprinted with corrections, 1987.

M. H. Alsuwaiyel, Algorithms � Design Techniques and Analysis , World Scienti�c, Sin-gapore, 2003.

R. Johnsonbaugh, M. Schaefer, Algorithms , Pearson Education International, UpperSaddle River, New Jersey, 2004.

J. Kleinberg, É. Tardos, Algorithm Design, Pearson Education, Inc., Boston, Massachu-setts, 2006.

228

Mentor: Sini²a Slijep£evi¢

Bayesova statistika i procjena vrijednosti ulaganja

Student: Ton£ica Topi¢



Opis: Diplomski rad ¢e se temeljiti na osnovama Bayesove statistike, koje ¢e zatim bitiprimijenjene na problematiku odredjivanja vrijednosti vrijednosnica na �nancijskim trºi-²tima.

Literatura:

S. T. Rachev, J. S. J. Hsu, B. S. Bagasheva, F. J. Fabozzi, Bayesian Methods in Finance,Wiley and Sons, Inc., 2008.

229


Modeliranje korelacija u kreditnim portfeljima

Student: Katarina Ba£i¢

Podru£je: �nancijska matematika

Prikladno za studij: Financijska matematika, Matemati£ka statistika

Opis: Diplomski se bavi statisti£kim modeliranjem korelacija u kreditnim portfeljima,uklju£uju¢i Bernoullijevu, Poissonovu, te sloºenije distribucije.

Literatura:

C. Bluhm, L. Overbeck, C. Wagner, Credit Risk Modeling, Chapman, Hall, 2003.

230


ARMA procesi u medicinskoj optimizaciji

Student: Mateja Vlahovi¢



Opis: Diplomski se bavi osnovama ARMA procesa, te primjenom na konkretan problemiz prakse: prognozu kori²tenja medicinske opreme u bolnici te optimizaciju kori²tenja teopreme.

Literatura:

P. J. Brockwell, R. A. Davis, Time Series: Theory and Models, 2. izdanje, Springer, 2006.

231


Stacionarnost GARCH procesa i primjene

Student: Daniel Stojanovi¢



Opis: Diplomski ¢e se baviti osnovnim teorijskim pojmovima o GARCH procesima, uklju-£uju¢i stacionarnost, te nekoliko primjera primjena u �nancijskom modeliranju.

Literatura:

P. J. Brockwell, R. A. Davis, Time Series: Theory and Models, 2. izdanje, Springer,2006.; C. Francq, J. M. Zakoian, GARCH Models, Wiley and Sons, 2010.

232


Fermi-Pasta-Ulamov model

Student: Kristina �izmek

Podru£je: diferencijalne jednadºbe

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika, Te-orijska matematika

Opis: U radu ¢e biti opisana osnovna svojstva jedno-dimenzionalnog Fermi-Pasta-Ulamovogmodela.

Literatura:

C. Chicone, Ordinary Di�erential Equations with Applications, 2. izdanje, Springer, 2006.

233


Fazni prijelazi u diskretnim dinami£kim sustavima

Student: Barbara Jankovi¢

Podru£je: vjerojatnost i statistika

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Teorijska matematika, Primijenjena ma-tematika

Opis: Diplomski rad ¢e objasniti osnove ergodske teorije dinami£kih sustava na dvodi-menzionalnim re²etkama, uklju£uju¢i dokaz Toomovog teorema.

Literatura:

J. L. Lebowitz, C. Maes, E. R. Speer, Statistical Mechanics of Probabilistic CellularAutomata, Journal of Statistical Physics 59 (1990).

234


Statisti£ke metode grupiranja u analizi podataka

Student: Kristina Uremovi¢



Opis: Diplomski rad ¢e obraditi osnovne statisti£ke metode grupiranja ("Cluster Analy-sis"), te ih primijeniti na konkretni primjer s podacima iz prakse.

Literatura:

B. S. Everitt et al., Cluster Analysis, 5. izdanje, Wiley, 2011.

235


Monotona dinamika Frenkel-Kontorova modela i primjene

Student: Tena Greguric

Podru£je: dinami£ki sustavi

Prikladno za studij: Matemati£ka statistika, Financijska i poslovna matematika, Te-orijska matematika

Opis: U diplomskom radu biti ¢e opisana osnovna svojstva disipativne dinamike Frenkel-Kontovora modela, te zatim primjene na probleme iz prakse.

Literatura:

H. L. Smth, Monotone Dynamical Systems, AMS, 1995.; C. Baesens, R. S. MacKay,Gradient dynamics of tilted Frenkel-Kontorova models, Nonlienarity 11, 1994.

236

Mentor: Maja Star£evi¢

Polinomi i primjene

Student: Tena Kolakovski


Podru£je: algebra, analiza

Opis: U radu ¢e se opisati prostor realnih polinoma i razna svojstva. Potrebno je opisatii primjenu polinoma, kako u jednostavnijim zadacima vezanima uz gradivo osnovne isrednje ²kole, tako i u raznim podru£jima poput teorije svojstvenih vrijednosti, zatim priinterpolaciji funkcija i rje²avanju rekurzija i diferencijalnih jednadºbi.

Literatura:

M. Tenenbaum, H. Pollard, Ordinary di�erential equations, Dover, 1985.G. Strang, Linear algebra and its applications, Wellesley-Cambridge Press, 2014.Zbirke i udºbenici iz osnovne i srednje ²kole, zadaci s natjecanja

237


Dodatne teme u nastavi trigonometrije

Student: Lana Vrbanas


Podru£je: geometrija, analiza

Opis: Cilj rada je predloºiti i opisati razne teme vezane uz trigonometriju koje supogodne za dodatnu nastavu matematike u ²kolama. Potrebno je za po£etak opisatiuporabu programa dinami£ke geometrije u rje²avanju trigonometrijskih zadataka. Zatim¢e se navesti karakteristi£ni zadaci iz trigonometrije koji se pojavljuju na natjecanjima te¢e se opisati primjena trigonometrije u rje²avanju problema u raznim podru£jima poputnpr. astronomije. Kona£no, obradit ¢e se trigonometrija sfernog trokuta.

Literatura:

Z. Hanºek, Sferna trigonometrija, Tehni£ka knjiga, Zagreb, 1967.Zbirke i udºbenici iz osnovne i srednje ²kole, zadaci s natjecanja

238


Bifurkacije sustava diferencijalnih jednadºbi

Podru£je: diferencijalne jednadºbe


Opis: U prvom dijelu rada treba dati pregled osnovnih pojmova iz teorije sustava obi£nihdiferencijalnih jednadºbi te rezultata koji ¢e se koristiti u radu. Drugi dio rada ¢e bitiposve¢en teoriji bifurkacija. Promatrat ¢e se kvalitativno pona²anje rje²enja sustava priodre�enim promjenama desne strane sustava te ¢e se napraviti klasi�kacija bifurkacija.Iznijet ¢e se i vaºniji rezultati koji ¢e se primijeniti na konkretnim sustavima.

Literatura:

L. Perko, Di�erential equations and dynamical systems, Springer, 2000.W. G. Kelley, A. C. Peterson The theory of di�erential equations, Springer, 2010.

239


Polinomijalne matrice



Opis: U radu ¢e se opisati prostor polinomijalnih matrica i osnovne operacije vezaneuz njih. Potrebno je iskazati i dokazati neke poznate rezultate poput generaliziranogBezouteovog teorema i generaliziranog Bezouteovog identiteta. Opisat ¢e se svo�enjematrica na Smithovu kanonsku formu, odre�ivanje nulto£aka polinomijalnih matrica izajedni£kog djelitelja matrica.

Literatura:

T. Kaczorek, Polynomial and rational matrices, Springer, 2007.

240

Mentor: Denis Sunko

Valne funkcije identi£nih £estica

Podru£je: matematika, �zika


Opis: Valne funkcije se obi£no shva¢aju sa stajali²ta funkcionalne analize, kao vektoriu Hilbertovom prostoru kvantnih stanja. Me�utim, £im je broj identi£nih £estica ve¢iod jedan, pojavi se i speci�£na algebarska struktura, koja isti Hilbertov prostor generirakao graduiranu algebru nad prstenom simetri£nih polinoma. Ve¢ i veoma mali primjeri2�4 £estice otvaraju niz zanimljivih pitanja me�uodnosa ta dva na£ina gledanja. Ovisnoo a�nitetu i predznanju studenta, u diplomskom radu bi se na£elo neko od tih pitanja,moºda i na razini samo jednog konkretnog primjera. Mogu¢a pitanja uklju£uju:(1) klasi�kaciju generatora algebre s obzirom na permutacije (preimenovanja) Kartezije-vih osi;(2) kori²tenje algebarske strukture za nalaºenje "dobrih" varijacionih funkcija;(3) vizualizaciju nodalnih hiperploha, tj. geometrijskih mjesta to£aka gdje mnogo£esti£navalna funkcija i²£ezava.

Literatura:

J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition, Addison-Wesley 1994., po-glavlja 2.3, 5.4 i 6.David J. Gri�ths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall 1995., poglavlja2.3, 5 i 7.

241

Mentor: Ana Su²ac

Pokusi s ra£unalom iz mehanike u interaktivnoj nastavi

Student: Nikolina Svoboda

Podru£je: edukacijska �zika


Opis: Edukacijska istraºivanja u �zici pokazala su da je interaktivna nastava vrlo u£in-kovita u razvijanju konceptualnog razumijevanja �zike. Posebno se pomo¢u pokusa moºeposti¢i aktivna uklju£enost u£enika u nastavni proces. U zadnje vrijeme se sve vi²e koristera£unala u pokusima iz �zike. Cilj ovog diplomskog rada je razviti interaktivne nastavnematerijale uz pokuse s ra£unalom iz mehanike. Pokusi i nastavni materijali testirat ¢e seu ²kolama.

Literatura:

Z. Zacharia, O. R. Anderson, The e�ects of an interactive computer-based simulationprior to performing a laboratory inquiry-based experiment on students' conceptual un-derstanding of physics. Am. J. Phys. 71, 618 (2003)S. Chen, H.-C. Lo, J.-W. Lin, J.-C. Liang, H.-Y. Chang, F.-K. Hwang, G.-L. Chiou, Y.-T.Wu, S. W.-Y. Lee, H.-K. Wu, C.-Y. Wang, and C.-C. Tsai, Development and implicationsof technology in reform-based physics laboratories. Phys. Rev. ST Phys. Educ. Res. 8,020113 (2012)

242

Mentor: Ana Su²ac

Pokusi i simulacije u interaktivnoj nastavi moderne �zike

Student: Martina Babi¢



Opis: Edukacijska istraºivanja u �zici pokazala su da je interaktivna nastava vrlo u£in-kovita u razvijanju konceptualnog razumijevanja �zike. Posebno se pomo¢u pokusa moºeposti¢i aktivna uklju£enost u£enika u nastavni proces. Zbog slabe opremljenosti ²kola,nema puno pokusa iz moderne �zike koji se mogu raditi u razredu, pa se £esto koriste i ra-£unalne simulacije. Cilj ovog diplomskog rada je razviti interaktivne nastavne materijaleuz pokuse i simulacije iz moderne �zike. Pokusi, simulacije i nastavni materijali testirat¢e se u ²kolama.

Literatura:

C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics.Phys. Rev. ST Phys. Educ. Res. 5, 010106 (2009)S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the QuantumMechanics Conceptual Survey. Phys. Rev. ST Phys. Educ. Res. 6, 020121 (2010)

243

Mentor: Ana Su²ac

Pokusi iz optike u interaktivnoj nastavi �zike

Student: Marija Lon£ar



Opis: Edukacijska istraºivanja u �zici pokazala su da je interaktivna nastava vrlo u£in-kovita u razvijanju konceptualnog razumijevanja �zike. Posebno se pomo¢u pokusa moºeposti¢i aktivna uklju£enost u£enika u nastavni proces. Cilj ovog diplomskog rada je razvitiinteraktivne nastavne materijale uz pokuse iz optike. Pokusi i nastavni materijali testirat¢e se u ²kolama.

Literatura:

M. Kryjevskaia, M. R. Stetzer, P. R. L. Heron, Student di�culties measuring distancesin terms of wavelength: Lack of basic skills or failure to transfer? Phys. Rev. ST Phys.Educ. Res. 9, 010106 (2013)E. Etkina, G. Planin²i£, M. Vollmer, A simple optics experiment to engage students inscienti�c inquiry. Am. J. Phys. 81, 815 (2013)

244

Mentor: Dragutin Svrtan

Prebrojavanje sparivanja u nekim jednostavnim grafovima

Podru£je: diskretna matematika, algebra


Preduvjeti: poºeljno predznanje obuhva¢eno kolegijima Linearna algebra, Kombinato-rika

Opis: Problem je prebrojiti savr²ena sparivanja u dvodimenzionalnim re²etkama (rezul-tati Kasteleyna i drugih) pomo¢u matrica prijelaza. Naglasak diplomskog rada moºe bitistavljen na algebarske,kombinatorne i brojevno teorijske aspekte broja svih sparivanja.

Literatura:

Stanley,Richard, www-math.mit.edu/ rstan/transparencies/tilings3.pdf,Propp, James (2005), "Lambda-determinants and domino-tilings", Advances in AppliedMathematics 34 (4): 871�879, doi:10.1016/j.aam.2004.06.005, arXiv:math.CO/0406301.

245


Dijametarski grafovi poligona




Opis: Uvesti i obraditi dijametarske grafove poligona i primjene u izodijametarskoj ge-ometrijskoj optimizaciji.

Literatura:

D.Henrion Frederic Messine, Finding largest small polygons with GloptiPoly.C.Audet,P.Hansen,F.Messine, Extremal problems for convex polygons, J. Glob. Optimi-zation, Vol.38, pp. 163�179, 2007..

246


Grozdaste algebre




Opis: Uvesti i obraditi elementarne de�nicije grozdastih('cluster') algebri, jednog od naj-brºe razvijaju¢ih podu£ja u matematici, i neke primjene.

Literatura:

http://www.math.lsa.umich.edu/~fomin/cluster.html

.

247


Simetri£ne funkcije i primjene




Opis: Uvesti standardne baze elementarnih, potpuno homogenih, funkcije suma poten-cija te Schurovih funkcija u prostoru simetri£nih polinoma u vi²e varijabli. Zatim obraditineke kombinatorne ali i algebarske primjene (na ra£unanje rezultanti polinoma, raciona-lizacija sume korjena i sl.

Literatura:

Stanley,Richard, Enumerative Combinatorics, Vol.2, Cambridge University Press 1999,MacDonald,Ian, Symmetric Functions and Hall Polynomials,Oxford University Press,1995.Aigner,Martin, A Course in Enumeration, GTM, Springer Verlag, 2007.

248

Mentor: Juraj �iftar

Krivulje nastale razmotavanjem valjaka i stoºaca

Student: Barbara Sklepi¢



Opis: Presije£e li se kruºni cilindar ravninom, dobiva se elipsa, a razmotavanjem pla²tatog cilindra u ravnini ta se elipsa pretvara u sinusoidalnu krivulju.

Nizom varijacija i poop¢avanja ovog jednostavnog primjera dobivaju se familije zanim-ljivih krivulja, od kojih neke, primjerice tzv. generalizirane konike, vjerojatno nisu bileni prou£avane ni generirane nekim drugim metodama. Izvode se i povezuju pro�lna jed-nadºba i jednadºba razmotavanja za krivulje na cilindrima, pri £emu je klju£no da su toprav£aste plohe. Tako�er se istraºuju prodorne krivulje dvaju cilindara te krivulje dobi-vene razmotavanjem kruºnog sto²ca u ravninu ili na drugi stoºac. Razmatra se i inverznipostupak, da se zadana ravninska krivulja namota na cilindar ili stoºac te se ispitujeoblik tako dobivene krivulje, kao i njezin izgled iz razli£itih smjerova. Bogatstvo primjeranavodi na mogu¢nost primjene u nacrtnoj geometriji, ra£unalnoj gra�ci i gradjevinskimkonstrukcijama.

Literatura:

Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian, Unwrapping Curves from Cylinders andCones, Amer. Math. Monthly 114(2) (2007), 388-416.

249


Poop¢enje klasi£nih teorema zatvaranja Ponceletovog tipa

Student: Petra Zubak



Opis: Ponceletov teorem o zatvaranju, glasovit i pod nazivom Ponceletov porizam,jedan je od najpoznatijih i najvi²e prou£avanih rezultata u projektivnoj geometriji. Upojednostavljenoj formulaciji, tvrdnja glasi da ako za dvije konike postoji poligon koji jeupisan jednoj, a opisan drugoj konici, onda postoji beskona£no mnogo takvih poligona,po jedan za svaki izbor po£etnog vrha na prvoj konici. Pokazalo se da je ovaj teorempovezan s elipti£kim krivuljama, ali i s drugim podru£jima matematike tako da je doka-zivan i interpretiran kroz vrlo razli£ite pristupe. Glavni je cilj ovog rada izloºiti poop¢eniteorem zatvaranja za sfere u d-dimenzionalnom euklidskom prostoru (V. Ju. Protasov,2011.) iz kojega kao korolari slijede Ponceletov i jo² tri njemu srodna istaknuta rezultata(Steinerov teorem, "Zigzag" teorem i Emchov teorem), kao i njihova poop¢enja u vi²imdimenzijama. Pritom se to£ke, pravci i ravnine uzimaju kao grani£ni slu£ajevi kruºnica,odnosno sfera. Klju£nu ulogu ima formulacija op¢eg uvjeta zatvaranja familije sfera M sobzirom na zadanu kruºnicu c, koja nije sadrºana ni u jednoj sferi iz M , a niti jednomnjezinom to£kom ne prolaze vi²e od dvije sfere iz M .

Literatura:

1. V. Ju. Protasov, Generalized closing theorems, Elemente der Mathematik, 66(3) (2011),98-117.2. A. Hrasko, Poncelet-type Problems, an Elementary Approach, Elemente der Mathema-tik, 55(2000), 45-62.

250


Brocardove to£ke i Brocardov kut

Student: Tajana Klisura



Opis: Brocardova to£ka u geometriji trokuta de�nira se kao to£ka P unutar trokuta ABCza koju duºine PA, PB i PC zatvaraju jednake kutove (Brocardov kut) sa stranicamaAB, BC i CA redom. Sli£no se de�nira druga Brocardova to£ka, a pripadni kut jednak jeprvom i njegov kotangens jednak je zbroju kotangensa sva tri kuta trokuta.

S Brocardovim to£kama i kutovima povezani su razli£iti zanimljivi rezultati. Jedan odnaglasaka u ovom radu bit ¢e na nedavno otkrivenoj vezi Brocardova kuta s klasi£nim£lankom Dmitrieva i Dynkina iz 1946. godine o svojstvenim vrijednostima stohasti£kihmatrica. Iz jedne leme u tom radu koja se odnosi na n-terokute u ravnini slijedi poznatirezultat da Brocardov kut iznosi najvi²e π

6i to samo za slu£aj jednakostrani£nog trokuta.

Tako�er, izloºit ¢e se neki rezultati o postojanju Brocardove to£ke za poligone.

Literatura:

1. A. Besenyei, The Brocard Angle and a Geometrical Gem from Dmitriev and Dynkin,Amer. Math. Monthly 122(5) (2015), 495-499.2. N. Dmitriev i E. Dynkin, Karakteristi£eskie korni stohasti£eskih matric, Izv. ANCCCP, Ser. Matem., 1946, 10(2) 167-184.3. A. Ben-Israel and S. Foldes, Complementary halfspaces and trigonometric Ceva-Brocard inequalities for polygons, Math. Inequalities and Applications 2 (1999), 307-316.

251


De Bruijnovi nizovi i grafovi

Student: Katarina Gudelj

Podru£je: kombinatorika, geometrija


Opis: De Bruijnovim nizom naziva se "rije£" u alfabetu od k simbola, sa svojstvomda su njezine "podrije£i" od po n uzastopnih simbola upravo sve rije£i duljine n u tomalfabetu. De Bruijnov niz je, primjerice, binarna rije£ 1011100010, jer njezine podrije£iduljine 3 su svih 8 mogu¢ih takvih rije£i. Dokazano je da za bilo koje prirodne brojevek i n postoji odgovaraju¢i niz s traºenim svojstvom (za binarni slu£aj pokazao C. FlyeSainte-Marie, 1894.).De Bruijnov pristup temelji se na traºenju Hamiltonovog puta odnosno Eulerovog ciklusau prikladno de�niranim grafovima. Uo£ena je zanimljiva veza s diferencijalnom geome-trijom: ako se de Bruijnov graf realizira na odre�eni na£in (pravilni poligon), stanovitibridovi grafa omataju krivulje iz klase epicikloida. U radu ¢e se izloºiti osnovni rezultatio de Bruijnovim nizovima te prikazati veza pridruºenih grafova s epicikloidama.

Literatura:

1. F. Motta, P. Shipman and B. Springer, A Point of Tangency between Combinatoricsand Di�erential Geometry, Amer. Math. Monthly 122(1) (2015), 52-55.2. T. van Aardenne-Ehrenfest, N. G. de Bruijn, Circuits and trees in oriented lineargraphs, Simon Stevin: Wis- en Nat. Tijdschrift, 28(1951) 203-217.

252


Kleinov Erlangenski program i primjena na grupu SL(2,R)

Student: David Tarandek

Podru£je: geometrija, algebra, analiza


Opis: Svrha je rada na ovoj temi upoznavanje osnovnih ideja, kao i nekih primjena idometa, jednog od najslavnijih programatskih tekstova suvremene matematike, tzv. Er-langenskog programa Felixa Kleina iz 1872. godine. Kleinov inovativni koncept (nastaodjelomice pod utjecajem ideja Sophusa Lieja) objedinjavanja razli£itih grana geometrijena na£elu prou£avanja svojstava invarijantnih pod djelovanjem stanovite grupe transfor-macija pokazao se iznimno dalekoseºnim i plodonosnim.

U radu ¢e se, izme�u ostalih, izloºiti neki primjeri koji se temelje na strukturi i djelovanjuspecijalne linearne grupe SL(2,R). Pritom se uo£ava kako Kleinov pristup izlazi znatnoizvan okvira tradicionalnog shva¢anja geometrije, a osobito je izraºen i u �zici.

Literatura:

1. V. Kisil, Erlangen programme at large: an Overview, in Advances in Applied Analysis,ch. 1, pp. 1-94. Basel, 2012. E-print: arXiv:1106.1686.2. F. Klein, A comparative review of recent research in geometry, Bull. New York Math.Soc. 2 (1892-1893), 215-249. (engl. prijevod njema£kog izvornog teksta iz 1872.), E-print:arXiv:0807.3161.

253

Mentor: Boris �irola

Osnovni teorem aritmetike za ideale



Preduvjeti: poznavanje materije iz preddiplomskog kolegija Algebarske strukture

Opis: Osnovni teorem aritmetike u prstenu cijelih brojeva Z prvi je vaºan rezultat uelementarnoj teoriji brojeva. Prirodno je pitanje o postojanju analogona za neke drugeskupove brojeva; posebno za prstene cijelih u poljima algebarskih brojeva. Cilj ovograda bio bi dokazati tzv. Osnovni teorem aritmetike za ideale u prstenima cijelih odkvadratnih pro²irenja polja racionalnih brojeva Q. Nadalje, uveo bi se jo² jedan temeljniobjekt, tzv. grupu klasa ideala (za kvadratna pro²irenja). Predloºena tema predstavljajedan od mogu¢ih elementarnih uvoda u tzv. algebarsku teoriju brojeva.

Literatura:

G. Everest and T. Ward, An introduction to number theory, Graduate Texts in Math.232, Springer, London, 2005.

254


Harmonijske funkcije

Podru£je: analiza


Preduvjeti: poznavanje materije iz preddiplomskog kolegija Kompleksna analiza.

Opis: Realni dio u(x, y) i imaginarni dio v(x, y), holomorfne funkcije f(z) = u+ ıv jednekompleksne varijable z = x+ ıy, zadovoljavaju tzv. Laplaceovu diferencijalnu jednadºbu;tj. vrijedi ∆u = ∆v = 0, gdje je operator ∆ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2. Takve funkcije, klaseC2, zovu se harmonijske funkcije. Harmonijske funkcije su najklasi£nija i najosnovnijarje²enja u klasi tzv. elipti£kih parcijalnih diferencijalnih jednadºbi. Tema ovog rada jeprou£iti harmonijske funkcije metodama kompleksne analize.

Literatura:

R. E. Greene and S. G. Krantz, Function theory of one complex variable, Graduate Studiesin Math., Vol. 40, Amer. Math. Soc., Providence 2006.

255


Neprekidne funkcije na kompaktima: Stone-Weierstrassov iAscolijev teorem

Podru£je: analiza


Preduvjeti: poznavanje materije iz kolegija Metri£ki prostori i Vektorski prostori.

Opis: Neka je K konmpaktan podskup od Rn. Tada je svaku realnu neprekidnu funkcijuna K mogu¢e uniformno aproksimirati polinomima od n varijabli; to je klasi£na formaslavnog Stone-Weierstrassovog teorema. U ovom se radu dokazuje generalizirana formaspomenutog teorema, i to kako za realne tako i za kompleksne neprekidne funkcije nakompaktima. U nastavku rada daje se jedan vrlo koristan kriterij kompaktnosti za pod-skupove tzv. funkcijskih prostora za neprekidne funkcije na kompaktnim skupovima. Toje predmet jednog drugog vaºnog rezultata; tzv. Ascolijevog teorema.

Literatura:

S. Lang, Real and functional analysis. Third Ed., Graduate Texts in Math., Vol. 142,Springer, New York, 1993.

256


Poluproste Liejeve algebre i Liejeve grupe

Podru£je: Liejeva teorija, teorija reprezentacija


Preduvjeti: poznavanje materije iz preddiplomskih kolegija Vektorski prostori i Algebar-ske strukture.

Opis: Vektorski prostor n × n kompleksnih matrica traga nula, uz tzv. komutatorskomnoºenje [A,B] := AB − BA, ozna£ava se sa sl(nC). To je jedan od glavnih primjera uklasi (kompleksnih) poluprostih Liejevih algebri. S druge strane, grupa SL(n,C) je jedanod glavnih primjera u klasi (kompleksnih) poluprostih Liejevih grupa. Pokazuje se da,po �analogiji� s parom (sl(n,C), SL(n,C)), ima i jo² nekih drugih vrlo zanimljivih parova(g, G); ovdje je G Liejeva grupa i g je �odgovaraju¢a� Liejeva algebra. Teorija Liejevihgrupa i Liejevih algebri, kao i teorija reprezentacija tih objekata, igraju vrlo vaºne ulogeu mnogim drugim matemati£kim disciplinama (npr. algebarska geometrija, diferencijalnageometrija, teorija brojeva, teorija reprezentacija,...) Cilj diplomskog rada je razumijetiosnove o Liejevim algebrama i Liejevim grupama, sa posebnim naglaskom na primjerepoluprostih algebri i grupa.

Literatura:

A. W. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Progress in Math., vol. 140, Birkhäu-ser, Boston, 2005.

257

Mentor: Josip Tamba£a

Numeri£ka aproksimacija modela poroelasti£ne ljuske

Student: Matko Ljulj

Podru£je: matemati£ko modeliranje, PDJ, numerika


Opis: Zadatak je napraviti numeri£ku aproksimaciju modela poroelasti£ne ljuske

Literatura:

A. Marciniak-Czochra and A. Mikeli¢, A Rigorous Derivation of the Equations for theClamped Biot-Kirchho�-Love Poroelastic plate, Arch. Rational Mech. Anal. 215 (2015),1035�1062A. Mikeli¢ and J. Tamba£a, Derivation of a poroelastic �exural shell model, preprintA. Mikeli¢ and J. Tamba£a, Derivation of a poroelastic elliptic membrane shell model,preprintI. Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, Zagreb, 2003.M. Jurak, Praktikum primijenjene matematike II. Metoda kona£nih elemenata, skripta.F. Hecht, FreeFEM++ dokumentacija.

258


Jednodimenzionalni model biorazgradivog ²tapa

Student: Gabriela Clara Racz

Podru£je: matemati£ko modeliranje, PDJ, numerika


Opis: Zadatak je uz pomo¢ literature formulirati jednodimenzionalni model biorazgradi-vog ²tapa, te analizirati pona²anje rje²enja

Literatura:

J. E. J. Moore, J. S. Soares i K. R. Rajagopal. �Biodegradable Stents: BiomechanicalModeling Challenges and Opportunities�. Cardiovascular Engineering and Technology 1(2010), 52�65.Joao Filipe da Silva Soares, Constitutive modeling for biodegradable polymers for appli-cation in endovascular stents, diseratcija, Texas A&M University.Anastasia Muliana, K.R. Rajagopal, Modeling the response of nonlinear viscoelastic bi-odegradable polymeric stents, International Journal of Solids and Structures 49 (2012)989�1000.B. �ugec, Model biorazgradivog elasti£nog stenta, disertacija, Sveu£ili²te u Zagrebu, 2014.P. Zunino, J. Tambaca, E. Cutri, S. Canic, L. Formaggia, F. Migliavacca, Integrated StentModels Based on Dimension Reduction: Review and Future Perspectives, Annals of Bi-omedical Engineering.I. Aganovi¢, Uvod u rubne zada¢e mehanike kontinuuma, Element, Zagreb, 2003.M. Jurak, Praktikum primijenjene matematike II. Metoda kona£nih elemenata, skripta.F. Hecht, FreeFEM++ dokumentacija.

259


Varijacijske nejednakosti


Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Teorijska matematika, Matemati£kastatistika

Opis: Varijacijske nejednakosti od velikog su interesa kod problema mehanike kontinuumas uvjetima. U okviru ove teme zadatak je dati osnovne teorijske rezultate vezane zaegzistenciju, jedinstvenost, te aproksimaciju rje²enja varijacijskih nejednakosti.

Literatura:

D. Kinderlehrer and G. Stampacchia, An Introduction to Variational Inequalities andTheir Applications. Academic Press, New York (1980).R. Glowinski, Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. Springer Verlag,New York (1984).

260


C++ implementacija metode kona£nih elemenata za Naghdijevmodel elasti£ne ljuske



Opis: Zadatak je implementirati u C++ metodu kona£nih elemenata (FEM) za problemravnoteºe Naghdijevog modela elasti£ne ljuske. Elemeti koje treba implementirati su po-linomijalni na triangulaciji poligonalne domene na trokute.

Literatura:

1. M. Jurak, Praktikum primijenje matematike II. Metoda kona£nih elemenata, PMF-MO, 2006, skripta.2. A. Valli, A. Quarteroni, Numerical Approximation of Partial Di�erential Equations,volume 23 of Springer Series in Computational Mathematics. Springer, Berlin, 1997.3. T. Petrina, Implementacija metode kona£nih elemenata za zada¢u linearizirane elas-ti£nosti u 3D, PMF-MO, 2010, diplomski rad.4. J. Tamba£a, Z. Tutek, A new linear Naghdi type shell model for shells with littleregularity, preprint.

261

Mentor: Zvonimir Tutek

Aproksimacija plohe pomo¢u tenzorskog produkta funkcija



Opis: Problem je aproksimirati plohu pomo¢u funkcija jedne varijable. Cilj rada je razvitiodgovaraju¢u teoriju i ilustrirati ju na primjerima

Literatura:

C. de Boor, A Practical Guide to Splines, Springer, 2001

262


Upravljanje linearnim sistemima

Podru£je: primijenjena matematika matematika


Opis: Problem je upravljanje linearnim sistemom obi£nih diferencijalnih jednadºbi. Ciljrada je razviti odgovaraju¢u teoriju i ilustrirati ju na primjerima

Literatura:

S.K. Godunov, Ordinary Di�erential Equations with Constant Coe�cients, AmericanMathematical Society, 1997

263


Modeli turbulentnog toka �uida



Opis: Cilj rada je navesti vaºne modele turbulentnog toka, razviti odgovaraju¢u teorijui ilustrirati ju na primjerima

Literatura:

W. Layton, Introduction to the Numerical Analysis of Incompressible Viscous Flows,SIAM, 2008

264


Varijacijske nejednakosti



Opis: Problem je razviti teoriju za evolucijske varijacijske nejednakosti i ilustrirati ju naprimjerima

Literatura:

M. Sofonea, A. Matei, Variational Inequalities with Applications, Springer, 2009

265

Mentor: Marko Vrdoljak

Implementacija mreºne simpleks metode

Student: Jure Mila²inovi¢

Podru£je: optimizacija


Preduvjeti: Uvod u optimizaciju

Opis: U radu se obra�uje adaptacija simpleks metode za problem minimizacije tro²kovatoka na mreºi. Ovaj problem obuhva¢a niz zada¢a mreºne optimizacije. Prou£it ¢e sepitanje sloºenosti algoritma i e�kasne implementacije algoritma u nekom od programskihjezika.

Literatura:

M.S. Bazaraa, J.J. Jarvis, Linear programming and network �ows, Wiley, 2010.D. Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms, Springer, 2007.

266


Optimalno upravljanje u diskretnom vremenu

Student: Paula Butigan

Podru£je: optimizacija


Opis: U radu se prou£ava diskretan dinami£ki sustav koji opisuje evoluciju proma-tranih varijabli stanja, pod utjecajem varijable odluke (upravljanje), u svakom koraku.Optimalnost zadanog upravljanja je izraºena funkcijom cilja koja moºe ovisiti o stanju iupravljanju. Cilj je obraditi klasi£an pristup preko nuºnih uvjeta optimalnosti te Bellma-nov princip optimalnosti.

Literatura:

F.L. Lewis, D.L. Vrabie, V.L. Syrmos, Optimal control, Wiley, 2012.D.P. Bertsekas, Dynamic programming and optimal control, Vol. 1, Athena Scienti�c,1995.J. Blot, N. Hayek, In�nite-horizon optimal control in the discrete-time framework, Sprin-ger, 2014.

267


Konveksnost i optimizacija

Student: Marijana Sli²kovi¢



Opis: U radu ¢e se obraditi osnovna geometrijska i topolo²ka svojstva konveksnih sku-pova. Za zada¢u nelinearne optimizacije prou£it ¢e se uvjeti optimalnosti u terminimakonusnih aproksimacija dopustivog skupa i (sub)diferencijala konveksne funkcije.

Literatura:

M. Florenzano, C.L. Van, Finite dimensional convexity and optimization, Springer, 2001.J.-B. Hiriart-Urruty, C. Lemarechal, Fundamentals of convex analysis, Springer, 2001.

268


Neglatka analiza i optimalno upravljanje



Opis: U radu ¢e se obraditi osnovni pojmovi i rezultati neglatke analize. Pored ko-nveksnog slu£aja, promatrat ¢e se Clarkeova derivacija i subdiferencijal. Na£init ¢e sepoop¢enje principa maksimuma u teoriji optimalnog upravljanja uz pretpostavke sma-njene regularnosti.

Literatura:

F. Clarke, Functional analysis, calculus of variations and optimal control, Springer 2013.

269

Mentor: Mladen Vukovi¢ Suvoditelj: Tin Perkov

Topolo²ka potpunost logika dokazivosti

Student: Luka Mikec

Podru£je: matemati£ka logika

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: poºeljno predznanje je obuhva¢eno kolegijima Matemati£ka logika, Teorijaskupova i Metri£ki prostori

Opis: Logika dokazivosti GL potpuno opisuje predikat dokazivosti Peanove aritmetike. Otome govore prvi i drugi Solovayev teorem. Polimodalnu logiku dokazivosti GLP je 1986.godine de�nirao G. Japaridze. Jezik sistema GLP je pro²irenje klasi£ne logike sudova sunarnim modalnim operatorima [n], za svaki n ∈ ω. Aritmeti£ka interpretacija formuleoblika [n]ϕ je "ϕ je dokaziva iz aksioma Peanove aritmetike i skupa svih istinitih aritme-

ti£kih Πn�re£enica". Grubo govore¢i, GLP opisuje modalna svojstva formalne aritmetikes ω�pravilom izvoda. Sistem GLP je nepotpun u odnosu na Kripkeovu semantiku. Iz tograzloga jako je vaºno razmatrati topolo²ke modele za taj sistem. Potpunost sistema GLP uodnosu na topolo²ku semantiku dokazali su L. D. Beklemishev i D. Gabelaia 2013. godine.Sistem GLP je zapravo sustav GLPω, u notaciji J. Joostena i D. Fernandez�Duquea, koji surazmatrali polimodalne logike dokazivosti GLPΛ, za proizvoljan linearno ure�en skup Λ.G. Japaridze je 1986. godine dokazao aritmeti£ku potpunost sistema GLP. L. D. Beklemi-shev je 2011. godine dao jednostavniji dokaz.

Literatura:

L. Beklemishev, G. Bezhanishvili, T. Icard, On topological models of GLP, preprintno. 278, Utrecht, 2009. dostupno na: http://www.phil.uu.nl/preprints/lgps/index/L. Beklemishev, Kripke semantics for provability logic GLP, Annals of Pure and AppliedLogic 161 (2010), 756�774L. Beklemishev, A simpli�ed proof of the arithmetical completeness theorem for theprovability logic GLP, (Russian), Tr. Mat. Inst. Steklova 274 (2011), Algoritmicheskie Vo-prosy Algebry i Logiki, 32�40; translation in Proc. Steklov Inst. Math. 274 (2011), no.1, 25�33L. Beklemnishev, D. Gabelaia, Topological completeness of the provability logic GLP,Annals of Pure and Applied Logic 164 (2013), 1201�1223D. Fernandez�Duque, The polytopologies of trans�nite provability logic, Archive forMathematical Logic 53 (2014), 385�431J. Joosten, D. Fernandez-Duque, Models of trans�nite provability logic, Journal ofSymbolic Logic 78 (2013), 543�561

270

Mentor: Mladen Vukovi¢ Suvoditelj: Boris �irola

Curry-Howard-Lambekov izomor�zam

Student: Nikola Henezi

Podru£je: matemati£ka logika i ra£unarstvo

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Ra£unarstvo i matematika

Preduvjeti: poºeljno predznanje je obuhva¢eno kolegijima Matemati£ka logika, Izra£un-ljivost i Matemati£ka logika u ra£unarstvu

Opis: Veza izme�u ra£unalnih programa, matemati£ke logike i teorije kategorija dana jeCurry�Howard�Lambekovim izomor�zmom. U diplomskom radu treba prvo de�nirati os-novne pojmove iz teorije kategorija, intutionisti£ke logike, te netipiziranog i tipiziranog λra£una, koji su potrebni za konstrukciju Curry�Howard�Lambekovog izomor�zma. Osimkontrukcije izomor�zma, treba navesti neke posljedice i primjene. Tamo gdje je mogu¢eteoriju treba povezati s funkcijskim programskim jezikom Haskell, te s Haskom, kategori-jom Haskellovih tipova i funkcija.

Literatura:

S. Berger, A categorical approach to proofs-as-programs, preprint, University of Chi-cago, 2010.J. Lambek, From λ�calculus to Cartesian Closed Categories, in: H. B. Curry, J. P. Sel-din, J. Hindley (eds.), Essays on Combinatory Logic, Lambda Calculus and Formalism,Academic Press, 1980.H. Simmons, An introduction to Category Theory, skripta, School of Computer Science,Manchester, 2010.M. H. Sørensen, P. Urzyczyn, Lectures on the Curry-Howard Isomorphism, Studiesin Logic and the Foundations of Mathematics, vol 149, Elsevier, 2006.

271

Mentor: Mladen Vukovi¢

Teorijski model ra£unalnih virusa

Student: Antonio Ivan£i¢


Prikladno za studij: Ra£unarstvo i matematika, Teorijska matematika

Preduvjeti: poºeljno predznanje je obuhva¢eno kolegijima Matemati£ka logika, Izra£un-ljivost i Sloºenost algoritama

Opis: Inicijalnu de�niciju (samo)replikacije u kontekstu stani£nih automata dao je vonNeumann. S njom su u vezi i dana²nja de�nicija virusa, te virusnih skupova koje jedao Fred Cohen 1986. godine. U diplomskom radu treba navesti osnovne rezultate osvojstvima tih skupova, kao i uvid u radove von Neumanna. Glavni je cilj dokazati neo-dlu£ivost detekcije virusa koja zapravo proizlazi iz neodlu£ivosti halting problema. Radbi trebao dati i osnovnu formalnu klasi�kaciju virusa koju je na temelju Cohenova radadao Leonard M. Addleman. Zatim, u radi bi trebali biti navedeni elementarni primjerivirusnih programa.

Literatura:

F. Cohen, Computer viruses, Ph. D. Thesis, University of Southern California, 1986.E. Filiol, Computer viruses: from theory to applications, Springer, 2004.J. Thatcher, Universality in the von Neumann cellular model, Technical Report, Uni-versity of Michigan, 1964.

272

Mentor: Mladen Vukovi¢

Parcijalno rekurzivni funkcionali

Student: Andrej Pavlovi¢



Preduvjeti: poºeljno predznanje je obuhva¢eno kolegijem Izra£unljivost

Opis: Funkcije koje osim prirodnih brojeva imaju i kao argumente funkcije na skupu pri-rodnih brojeva nazivamo funkcionali. Posebno nas zanimaju parcijalno rekurzivni funk-cionali £iju de�niciju dobivamo prirodnim pro²irenjem de�nicije parcijalno rekurzivnihfunkcija. Po²to postoje parcijalno rekurzivni funkcionali koji nisu izra£unljivi niti najednom RAM�stroju, razamtraju se poop¢eni RAM�strojevi. Za parcijalno rekurzivnefunkcionale vrijedi analogon Kleenejevog teorema o normalnoj formi za parcijalno rekur-zivne funkicje.

Literatura:

P. Odifreddi, Classical recursion theory, Elsevier, 1992.H. Rogers, Jr., Theory of recusive functions and e�ective computability, The MIT Press,Third printing, 1992.M. Vukovi¢, Izra£unljivost, skripta, PMF�MO, Zagreb, 2009.

273

Documents

Sveu£ili²te u Zagrebu Prirodoslovno-matemati£ki …...Opis: U ovom diplomskom radu prou£avat ¢e se nizovi i redovi funkcija, te njihova ko-nvergencija po to£kama, odnosno uniformna