SVEUČILIŠTE U ZAGREBU · Web viewIndeksni modeli nastoje odrediti kretanje prinosa na neku investiciju kao linearnu funkciju jednog ili više faktora koji se predstavljaju određenim

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

EKONOMSKI FAKULTET U ZAGREBU

POSLIJEDIPLOMSKI STUDIJ "OPERACIJSKA ISTRAŽIVANJA"

Hrvoje Volarević

Optimizacija investicijskog portfolia

primjenom moderne portfolio teorije

Magistarski rad

Mentor: doc.dr.sc. Višnja Vojvodić Rosenzweig

Optimizacija investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio teorije

Zagreb, 2002. godina

1. Uvod

Odabirom teme ovog magistarskog rada ostvarila se moja namjera da što kvalitetnije

pridonesem daljnjoj analizi pojedinih segmenata financijskog tržišta vrijednosnih

papira koje je u ovom trenutku u našoj zemlji još uvijek nedovoljno razvijeno. S

obzirom na trend kretanja svjetskih financijskih tokova, na primjenu novih izvedenica

vrijednosnih papira te na razvoj novih tehnologija u svijetu, neophodno je da i naše

tržište vrijednosnih papira ide u korak s vremenom. Kako bi dobio što kvalitetnije

empirijske rezultate, koristio sam dostupne podatke sa svjetskih tržišta vrijednosnih

papira (radi se o američkim državnim obveznicama). Razlog tome je što nisam bio u

mogućnosti pribaviti adekvatne podatke na domaćem tržištu vrijednosnih papira zbog

trenutno malih vremenskih serija podataka i nedovoljnog broja emitiranih obveznica s

obzirom na rok dospijeća.

Postavljanjem temeljnih zadataka u ovom radu, definirao sam na koji način je bilo

moguće iz raspoložive literature i dostupnih podataka odrediti najvažnije pretpostavke

i zaključke relevantne za odabranu temu. Njih je trebalo potvrditi i dokazati

primjenom postavljenog matematičkog modela, te ih nakon toga i upotrijebiti na

praktičnim primjerima. Metode kojima sam se služio u takvome modelu pripadaju

znanstvenom području operacijskih istraživanja s posebnim naglaskom na predmete

kao što su višekriterijsko modeliranje i matematičko programiranje (linearno i

nelinearno). Konačna rješenja ovog matematičkog modela sam dobio primjenom

računala i raspoloživog softvera za izračunavanje potrebnih parametara (Microsoft

Excel - Solver), čime sam uspio znatnije ubrzati empirijski dio analize odabranog

portfolia investicija.

Osnovni tekst ovog magistarskog rada u kojem se obrađuje naslovna tema se sastoji

od četiri poglavlja (uvodno poglavlje je prvo, a zaključno poglavlje šesto po redu):

U drugom poglavlju je dan kratki uvod u vrijednosne papire i teorije tržišta kapitala.

Posebno sam se osvrnuo na tržišne indekse i tipove vrijednosnih papira na tržištu, kao

i na vrste teorija tržišta kapitala, s izuzetkom moderne portfolio teorije o kojoj je bilo

više govora u slijedećem poglavlju.

1


U trećem poglavlju sam se isključivo bavio modernom portfolio teorijom pomoću

koje sam odredio efikasni investicijski portfolio. To podrazumijeva da sam definirao

karakteristike portfolia rizičnih investicija i odredio pojam efikasnog portfolia

odnosno efikasne granice. Ovo poglavlje završava dijelom u kojem su pobliže

iznesene matematičke tehnike za izračunavanje efikasne granice.

Četvrto poglavlje se bavi definiranjem optimuma na primjeru efikasnog investicijskog

portfolia. Osvrnuo sam se na dva moguća načina određivanja optimuma: primjenom

teorije korisnosti te mjerenjem performansi portfolia.

I za kraj, u petom poglavlju je izvršena empirijsku analiza na primjeru odabranog

investicijskog portfolia američkih državnih obveznica. Koristio sam jednu od tehnika

za izračunavanje efikasne granice pomoću koje sam definirao odgovarajući

matematički model. Rezultati su dobiveni upotrebom računala i odgovarajućeg

softvera. Završetak magistarskog rada je posvećen analizi optimalnog rješenja te

njegovim implementacijama i modifikacijama korištenih metoda (što podrazumijeva

eventualnu mogućnost primjene drugih tehnika za izračunavanje efikasne granice

odnosno kriterija za pronalaženje optimalnog rješenja).

2


2. Kratki uvod u vrijednosne papire i teorije tržišta kapitala

Tema ovog poglavlja je pobliže upoznavanje s najvažnijim financijskim

instrumentima, karakteristikama prinosa koje oni ostvaruju te indeksima koji se

upotrebljavaju u svrhu predočavanja tih istih prinosa. Pod pojmom vrijednosnih

papira (engl. securities) podrazumijevaju se pismene isprave koje pojedincu daju

pravo da u budućnosti primi određeni novčani iznos (ili neku drugu korist) prema

unaprijed dogovorenim uvjetima uz pretpostavku da ih u tom trenutku posjeduje.

Postoji mnogo vrsta vrijednosnih papira. Kada se na primjer kupuje kuća uz hipoteku

ili automobil na 'leasing' tada se takvi potpisani ugovori također podrazumijevaju kao

vrijednosni papiri. Zbog toga valja naglasiti kako se ovaj rad isključivo bavi onim

skupom vrijednosnih papira kojima se trguje na organiziranim tržištima.

Isto tako, u ovom poglavlju je jedan dio razmatranja posvećen i teorijama tržišta

kapitala. One predstavljaju ekonomske teorije koje nastoje objasniti vrednovanje

kapitalne imovine. Takva vrsta imovine se drži dugoročno isključivo radi postizanja

profita koji se mjeri stopom prinosa. To je razlog što i kapitalna imovina ima

ekonomsku vrijednost, kao sadašnju vrijednost očekivanih novčanih tokova. Postoji

više različitih teorija tržišta kapitala koje se spominju u ovome poglavlju s

napomenom da se moderna portfolio teorija, kao glavna tema ovog rada, detaljno

obrađuje u slijedećem poglavlju.

2.1. Vrijednosni papiri

Kada se promatraju vrijednosni papiri kao instrumenti financiranja pod tim se

podrazumijeva da se radi o vrijednosnim papirima kojima poduzeća i druge pravne

osobe prikupljaju dugoročno slobodna (prvenstveno novčana) sredstva za financiranje

svoga poslovanja ili eventualne ekspanzije poslovanja. Za vrijednosne papire se

smatra da su to osnovni instrumenti financiranja dioničkih poduzeća. Zbog

razvijenosti tržišta na kojem se prodaju, karakterizira ih visok stupanj mobilnosti,

odnosno transferabilnosti u novac.

3


2.1.1. Tipovi vrijednosnih papira na tržištu

Postoji mnogo načina za kategorizacijama, tj. podjelama vrijednosnih papira na

tržištu koje bi se mogle smatrati relevantnima. Ovdje je predočena podjela koju su

autori Edwin J. Elton i Martin J. Gruber prikazali u svojoj knjizi "Modern Portfolio

Theory and Investment Analysis" 1 prema kojoj se sva financijska imovina dijeli u

dvije osnovne kategorije - direktne i indirektne investicije (Slika 1 u Prilogu).

Ovakva podjela vrijednosnih papira se bazira na pregledu američkog tržišta

financijskih instrumenata koje se uz tržište Europske unije smatra svjetski

najrazvijenijim (stoga je i primjereno za analiziranje).

I) Direktne investicije - podrazumijevaju mogućnost direktne kupnje bilo kojih

vrijednosnih papira od strane određenog investitora. Direktne investicije se mogu

podijeliti prema kriteriju vremenskog horizonta investiranja:

A) Vrijednosni papiri na tržištu novca (engl. Money Market Securities) - to su

kratkoročni dužnički papiri koji se prodaju od strane vlada, financijskih institucija i

korporacija. Njihova važna karakteristika je ta da im je dospijeće u trenutku njihova

izdavanja manje ili jednako godini dana. Minimalna transakcija s instrumentima

tržišta novca je u pravilu velika, najčešće prelazi 100 tisuća američkih dolara.

Najvažniji instrumenti tržišta novca se mogu podijeliti u tri osnovne grupe:

1) Blagajnički zapisi (engl. Treasury Bills) - to su najmanje rizični i najbolje utrživi

instrumenti na tržištu novca. Blagajničke zapise izdaje američka federalna vlada, a

prodaju se u iznosu od najmanje 10 tisuća dolara. Svaki tjedan se izdaju novi

tromjesečni i šestomjesečni blagajnički zapisi, dok se jedanput mjesečno izdaju

godišnji blagajnički zapisi. Prodaju se po diskontnoj vrijednosti, dok se prilikom

dospijeća podmiruju prema nominalnoj vrijednosti. Razlika između nominalne i

diskontne vrijednosti predstavlja diskont odnosno prinos investitora po

blagajničkom zapisu (samo u ovom slučaju se kamatna stopa ne iskazuje

zasebno). 1 Elton, Edwin J. & Gruber, Martin J., "Modern Portfolio Theory and Investment Analysis", 5th edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1995, strana 12.

4


Blagajnički zapisi imaju posebnu ulogu u financijskoj teoriji. Za njih se smatra da

najvjerodostojnije predstavljaju bezrizičnu investiciju. Razlozi tome su njihovo

veoma kratko dospijeće, poznati prinos, trgovanje na aktivnim tržištima te

pretpostavka da nemaju rizik od nepodmirenja obveze. Stopa na 30-dnevni

blagajnički zapis se smatra najprihvatljivijom bezrizičnom mjesečnom kamatnom

stopom.

2) Repo sporazum (engl. Repurchase Agreement) - to je sporazum između

zajmotražioca i posuđivača s ciljem prodaje i ponovne kupnje vrijednosnog papira

kojeg je izdala američka vlada. Zajmotražitelj, a to je najčešće diler 2 vladinim

vrijednosnim papirima, dogovara repo transakciju tako što prodaje vrijednosni

papir posuđivaču po određenoj cijeni, te istovremeno ugovara ponovnu kupnju tog

istog vladinog papira na neki budući datum prema nekoj određenoj cijeni.

Dospijeće repo ugovora je uobičajeno u vrlo kratkom vremenskom roku (manje

od 14 dana) u situacijama kada su prekonoćni (jednodnevni) repo ugovori vrlo

uobičajena pojava. Isto tako, postoje i duži repo ugovori ('terminski repo ugovori')

koji najčešće imaju dospijeće od 30 dana ili eventualno više. Ovakva vrsta

transakcije se za suprotnu stranu (u ovom slučaju posuđivača koji kupuje

vrijednosni papir a zatim ga prodaje nazad) tretira kao 'reverse repo ugovor'.

Razlika između dviju postignutih cijena predstavlja prinos za posuđivača koji se

može definirati i prema izračunatoj razlici između repo i reverse repo stope po

kojima su papiri prodani odnosno kupljeni.

3) Drugi kratkoročni instrumenti (Other Short-Term Instruments) - iako se za sve

kratkoročne instrumente smatra da imaju vrlo mali rizik, među njima postoji

evidentna razlika u ponuđenim prinosima koja se prije svega veže uz tipove

specifičnih institucija koje nude takve instrumente. Najčešći primjer takvih

instrumenata su CD - certifikati o depozitu (engl. Certificates of Deposit) koji

predstavljaju zadužnicu banaka. To je prenosivi vrijednosni papir kojim banke

pribavljaju kratkoročne izvore s najčešćim rokom od nekoliko tjedana. Banka

prodaje CD emitirajući izdanje u velikim iznosima ili ih izdaje na temelju

2 Diler (engl. dealer) je engleski izraz za pojedinca ili firmu koja posluje vrijednosnim papirima u svoje ime i za svoj račun. Diler kupovinom vrijednosnih papira preuzima rizik i stvara vlastiti portfolio.

5


depozita. Zbog izrazitog povjerenja u banke emitente i većeg prinosa kojeg nude,

traženi su instrument novčanog tržišta.

Prije kretanja na slijedeću grupu vrijednosnih papira, valjalo bi spomenuti i jedan

drugi važan element tržišta novca koji nije instrument već se radi o kamatnoj stopi.

LIBOR (engl. London Interbank Offered Rate) je kamatna stopa po kojoj najveće

međunarodne banke u Londonu posuđuju novac međusobno (svojim dužnicima iz

redova banaka prvoklasnog kredibiliteta). To je najniža referentna kamatna stopa koja

služi kao standard. Manje kredibilnim bankama ili poslovnim subjektima krediti se

odobravaju dodavanjem kamatne marže, koja je to veća što je kreditni rang

zajmotražioca niži. LIBOR se u ovom slučaju spominje zbog toga što se koristi kao

bazična stopa za određivanje mnogih tipova dugoročnih zajmova čak i na američkom

tržištu (unatoč tome što se radi o stopi londonskih banaka, periodično se određuje za

zajmove izražene u dolarima). Inače je uobičajena praksa na svjetskim financijskim

tržištima da se kamatne stope na dugoročne dužničke instrumente mijenjaju

periodično (samim time primaju karakteristike kratkoročnih instrumenata). Tako

promjenjive stope su obično sastavljene ili od stope blagajničkih zapisa kojoj

dodajemo fiksni iznos ili od LIBOR stope plus fiksni iznos.

B) Vrijednosni papiri na tržištu kapitala (engl. Capital Market Securities) - to su

instrumenti koji imaju dospijeće duže od jedne godine i oni koji uopće nemaju

naznačeno dospijeće. Tržište kapitala je uobičajeno podijeljeno prema kriteriju da li

prinos na njegove instrumente podrazumijeva obećanu sumu novca kroz vrijeme ili

nudi učešće u budućem profitu kompanije. Stoga postoje tri osnovna sektora u koji se

mogu svrstati vrijednosni papiri koji pripadaju ovom tržištu:

1) Vrijednosni papiri s fiksnim prinosom (engl. Fixed Income Securities) - to su

instrumenti koji imaju unaprijed specificirane termine plaćanja. Većina od njih su

tradicionalne obveznice kod kojih je regulirano plaćanje unaprijed određenih

suma novaca na definirane datume. Uobičajeno se to odnosi na datume plaćanja

kamata te na datume otplate glavnice (planovi otplate glavnice i kamata). U

slučaju neplaćanja bilo koje svote kamata ili glavnice, takva obveznica se sa svim

preostalim planiranim kamatama i glavnicom svrstava u kategoriju onih koje nisu

6


u stanju podmirivati svoje obveze. Vrijednosni papiri s fiksnim prinosom se

razlikuju jedan od drugog prema visini očekivanih prinosa što je prije svega

povezano s njihovim dospijećem odnosno rokom otplate, likvidnošću,

mogućnošću korištenja opcije opoziva 3 te poreznim statusom samog papira.

Dijele se u četiri osnovne grupe:

a) Trezorski zapisi i obveznice (engl. Treasury Notes and Bonds) - to su

vrijednosni papiri s fiksnim prinosom koje izdaje federalna vlada (država) unutar

širokog raspona dospijeća. Dužnički instrumenti s dospijećem od 1 do 10 godina

se zovu trezorski zapisi, dok su instrumenti s dospijećem preko 10 godina poznati

kao obveznice. Oba instrumenta imaju planove otplate kamata 2 puta godišnje te

otplatu cjelokupnog iznosa glavnice prilikom svog dospijeća (kod europskih

obveznica se kamata isplaćuje samo jedanput godišnje). Za ove instrumente se

uobičajeno smatra da su sigurni od rizika nepodmirenja obveza, a razlika u

prinosu među njima se može objasniti različitim dospijećem i likvidnošću

(utrživošću).

b) Obveznice federalnih agencija (engl. Federal Agency Securities) - izdaju ih

različite federalne agencije koje imaju pravo izdavanja dužničkih papira s ciljem

pomaganja razvoja određenih sektora nacionalne ekonomije. Imaju nešto veće

prinose od državnih obveznica zbog manje likvidnosti. S druge strane, iako ih ne

izdaje federalna vlada među investitorima vlada uvjerenje da takva vrsta

obveznice neće doći u poziciju nepodmirenja obveze. Evidentno je da takvo što ne

bi dopustila država, i to izričito zbog svrhe njihova izdavanja.

c) Regionalne obveznice (engl. Municipal Securities) - to su dužnički instrumenti

koje prodaju politički entiteti kao što su savezne države, okruzi, distrikti, gradovi i

slično. Razlikuju se od obveznica federalnih agencija utoliko što za njih postoji

mogućnost nepodmirenja obveza te zbog toga što je kamata koju isplaćuju

oslobođena od federalnih poreza. Iz tog razloga se takve obveznice prodaju po

manjoj stopi prinosa u odnosu na ne regionalne obveznice istog rizika koje nisu

oslobođene plaćanja poreza.

3 Opcija opoziva (engl. call option) - obveznice i preferencijalne dionice mogu sadržavati opciju opoziva koju emitent može iskoristiti nakon određenog vremena i uz određenu cijenu (engl. call provision) koja je iznad vrijednosti ostatka duga, odnosno nominalne vrijednosti duga. Opozivom se vrijednosni papiri povlače iz opticaja nakon njihova otkupa ili konverzije u dionice ili druge vrijednosne papire poduzeća.

7


d) Korporacijske obveznice (engl. Corporate Bonds) - takve obveznice se u

pravilu ne razlikuju od vladinih obveznica prema svojoj projekciji plaćanja. No,

postoji evidentna razlika u riziku zbog toga što su izdane od strane poslovnih

entiteta i stoga su sklonije nepodmirenju obveza plaćanja. Isto tako, međusobno se

razlikuju prema rizičnosti ne samo zato što ih izdaju razne kompanije, već i zbog

toga što su razlozi izdavanja tih obveznica tj. prikupljanja kapitala za svaku od

kompaniju drugačiji. Najčešće se izdaju s mogućnošću opoziva, što znači da

kompanija može prisiliti vlasnika obveznice da joj natrag vrati obveznicu prema

fiksnoj cijeni (uobičajeno višoj od one po kojoj je obveznica prodana) unutar

definiranog vremenskog perioda. Korporacije najčešće opozivaju obveznice u

periodu kada je kamatna stopa manja od one koja je bila u periodu prvotne

prodaje obveznice.

2) Vrijednosni papiri s ne tako fiksnim prinosom (engl. Not So Fixed Icome

Securities) - radi se o vrijednosnim papirima kod kojih je izražena znatnija

promjenjivost očekivanog novčanog toka, odnosno primljenog novčanog iznosa

koji predstavlja ukupni prinos. U dosadašnjim razmatranjima se moglo vidjeti da

isto tako postoje i vrijednosni papiri s fiksnim prinosom kod kojih se može

pojaviti situacija da vlasniku papira ne bude uvijek isplaćena obećana premija

(isključivo zbog moguće opcije opoziva). U ovom slučaju se govori o dvije

kategorije vrijednosnih papira kod kojih dolazi do još većih odstupanja u

novčanom toku koje potencijalni investitor mora smatrati očekivanim:

a) Preferencijalne dionice (engl. Preferred Stock) - to su ustvari obveznice s

vremenski neograničenim rokom dospijeća. Onome tko ih posjeduje je obećana

periodična kuponska isplata, samo što se to ne smatra isplatom kamata već

isplatom dividendi 4 . U tom slučaju kod ovakvog instrumenta ne postoji

mogućnost povrata glavnice iz razloga što preferencijalne dionice traju

beskonačno. U stvari se ne radi o pravom vrijednosnom papiru s fiksnim

prinosom (pravi naziv bi bio 'hibridni' vrijednosni papir) i između ostalog što u

slučaju nemogućnosti plaćanja obećane dividende ne dolazi do eventualnog

bankrota emitenta (izdavatelja dionice). Uobičajeno je da se u slučaju

4 Dividende (engl. dividents) - to su, općenito, bilo koji iznos poslovnog ili kapitalnog dobitka koji se dijeli ili distribuira među vlasnike dionica ili kreditore. Uobičajeno, označava isplaćeni dio dobitka dioničarima, ali se mogu podijeliti i materijalne vrijednosti kao i nove dionice.

8


nemogućnosti naplate preferencijalnih dionica one kumuliraju i kada dođe do prve

slijedeće isplate one imaju prednost u naplati u odnosu na sve druge dionice.

Preferencijalne dionice 'zauzimaju srednju poziciju' između obveznica i običnih

dionica u okvirima prioritetne naplate prihoda te povrata na kapital u slučaju kada

je poduzeće likvidno.

b) Vrijednosni papiri osigurani hipotekom (engl. Mortgage-Backed Securities) -

to su vrijednosni papiri koji predstavljaju samo jedan dio cjelokupne hipotekarne

asocijacije (engl. mortgage pool). Najpoznatiji vrijednosni papir osiguran

hipotekom je 'Ginnie Mae' (GNMA), koji je izdan od strane američke nacionalne

hipotekarne asocijacije ('Government National Mortgage Asociation'). Taj

instrument ima puno pokriće od strane američke vlade što se tiče njegove

kredibilnosti i općeg povjerenja, tako da su potencijalni investitori lišeni rizika

nepodmirenja obveze (no moraju paziti na potencijalno mogući rizik od promjene

kamatnih stopa 5 ). Naznačeno dospijeće GNMA vrijednosnog papira može biti i

do 40 godina, no njihov rok trajanja je u prosjeku značajno manji. Osim američke

vlade ovaj instrument mogu izdavati i druge vladine agencije i financijske

institucije. U tom slučaju izdani vrijednosni papir nosi dodatni rizik koji se

manifestira na taj način da se za njega nudi veći očekivani prinos nego kada ga

izdaje američka vlada (usporedba vrijedi za papire s istim rokom dospijeća).

3) Obične dionice (engl. Common Stock - Equity) - one predstavljaju vlasničko

potraživanje na ukupan profit i imovinu korporacije. Nakon što se isplate

potraživanja vlasnika dužničkih vrijednosnih papira koje je izdalo poduzeće,

'management' poduzeća može s ostatkom profita ili isplatiti dioničarima dividendu

ili reinvestirati profit u proširenje poslovanja. Zajednička karakteristika svih

običnih dionica je ta da dioničar koji ih posjeduje ima ograničene obveze. Ako

slučajno poduzeće bankrotira, sve što vlasnik običnih dionica može izgubiti jest

novac uložen u kupnju tih dionica. Kreditor koji treba naplatiti svoja potraživanja

nije u mogućnosti tražiti da dioničar osobno podmiri njegova potraživanja iz svoje

vlastite imovine. Unatoč ograničenim obvezama dioničara, za kategoriju običnih

dionica se smatra da su prema do sada navedenoj podjeli vrijednosnih papira

5 Rizik od promjene kamatnih stopa (engl. interest rate risk) - pojavljuje se zbog mogućnosti varijacije stopa prihoda kod ulaganja u vrijednosne papire odnosno zbog oscilacija u kamatnim stopama na financijskom tržištu.

9


najrizičnije. Prije svega, razlozi tome leže u činjenici da se prilikom likvidacije

poduzeća najprije iz stečajne mase namiruju vjerovnici, zatim vlasnici

preferencijalnih dionica i tek na kraju vlasnici običnih dionica. Isto tako, to su

vrijednosni papiri kod kojih nije unaprijed poznat novčani iznos povrata na

uložena sredstva (prinosi na dionice mogu značajno oscilirati ovisno o situaciji na

tržištu u tom momentu).

C) Derivati (engl. Derivative Instruments) - derivati ili izvedenice su vrijednosni

papiri čija vrijednost potječe od vrijednosti jednog izdvojenog vrijednosnog papira ili

od skupa vrijednosnih papira. Ovaj instrument se smatra i neizvjesnim potraživanjem

s obzirom da njegova vrijednost ovisi o iznosu nesigurnog rezultata ulaganja (prinosa)

kojeg ostvaruju unaprijed definirani vrijednosni papiri. Postoji više vrsta derivata koji

spadaju u kategoriju financijskih inovacija 6 , uz napomenu da su najvažniji derivati:

1) Opcije (engl. Options) - predstavljaju pravo na kupnju ili prodaju određenog broja

dionica u utvrđenom roku po unaprijed fiksiranoj cijeni. Razlikuju se dvije

osnovne kategorije opcija: tzv. ‘call-opcija’ za kupovinu dionica i ‘put-opcija’ za

prodaju dionica. Kupovinom call-opcija kupac sebi osigurava pravo da od

prodavatelja opcije kupi određen broj dionica po unaprijed utvrđenom baznom

tečaju za plaćanje naknade (opcijske premije). Može se sa sigurnošću kazati kako

kupac opcije ustvari očekuje rast tečaja dotične dionice. Ukoliko se to ne dogodi,

on će odustati od izvršenja svog opcijskog prava na kupovinu dionice. U tom

slučaju je njegov rizik prilikom takvog ulaganja ograničen na plaćanje opcijske

cijene koja je višestruko niža od same cijene odnosno tečaja dionice (u pravilu

iznosi 10 do 20 posto tečaja dionice). Međutim, ukoliko se pak ostvari

predviđanje kupca i dođe po porasta tečaja dionice, u tom slučaju će njegova dobit

biti mnogo veća od dobiti koju bi ostvario neposrednim ulaganjem u tu dionicu.

S druge strane, za razliku od direktne kupovine dionica kod koje se u slučaju pada

tečajeva dionica gubi, put-opcije omogućavaju ulagaču da u određenom

vremenskom razdoblju pojedine dionice proda po unaprijed poznatom baznom

6 Financijske inovacije - predstavljaju novu kombinaciju svojstava drugih već postojećih instrumenata. To su tržišne usluge koje za komitente banaka predstavljaju novinu, a sačinjavaju ih određeni financijski instrumenti ili financijski tokovi. Njihova primarna svrha je da financijske rizike (promjene tečaja, kamatnih stopa) preraspodijele na veći broj nositelja (npr. ulagači, korisnici kredita, banke).

10


tečaju. U tom slučaju kupac put-opcija računa da će doći do pada tečaja određene

dionice na temelju čega bi ih on kasnije mogao prodati po višoj cijeni i time

ostvariti dobitak. Time se kupovinom put-opcija omogućava investitorima da i u

vrijeme općeg pada cijena dionica ostvare prihode na temelju terminske prodaje

dionica.

2) Terminski poslovi (engl. Futures) - predstavljaju standardizirane terminske

ugovore s kojima se stvara pravo, odnosno obveza da se određeni financijski

instrument kupi ili isporuči na neki budući dan koji je naznačen u ugovoru.

Operacije s terminskim poslovima se odvijaju na posebno osnovanim burzama

(npr. CBOE - Chicago Board of Options Exchange). S obzirom da pri sklapanju

poslova nema fizičkog prijenosa instrumenata koji su predmet ugovora to znači da

se ugovori ne sklapaju direktno između kupca i prodavatelja. U tom slučaju se kao

posrednik javljaju specijalizirane burze kao što je na primjer CBOE, koje radi

osiguranja izvršenja posla poprimaju ulogu klirinške kuće 7 . Na taj su način uz

naplatu određene provizije koja se deponira na poseban račun, i kupac i

prodavatelj sigurni da će terminski posao biti ispunjen te da je takav ugovor u

svakom trenutku likvidan odnosno utrživ. Svi sudionici se na takvim tržištima

mogu podijeliti u dvije osnovne kategorije: ‘hedgers i ‘traders’. Hedgers su oni

koji se trgujući terminskim ugovorima žele zaštititi od određenog rizika (npr.

kamatne stope ili deviznog tečaja) dok su traders oni koji svjesno ulaze u rizik i

nastoje iz promjene cijena ostvariti ekstra dobit.

3) Swap-poslovi (engl. Swap) - poslovi zamjene koji se dijele u dvije osnovne

kategorije: kamatni swap (engl. interest-rate-swap) i valutni swap (engl. currency-

swap). Kod kamatnog swap-a dvije ugovorne strane se obvezuju da će uzajamno

preuzeti obveze ili potraživanja po osnovi kamata druge strane do kojih će doći na

temelju zaduživanja ili ulaganja iste sume novca ali uz različitu kamatnu stopu.

Na sličan način se realizira i valutni swap s bitnom razlikom da se uz zamjenu

isplate, odnosno plaćanja kamata, obavlja izmjena glavnica na početku i kraju

navedene transakcije po unaprijed utvrđenom tečaju.7 Klirinška kuća (engl. Clearing House) - organizacija koja registrira, motri, uparuje i garantira trgovinu prema nekoj budućoj razmjeni i provodi financijsko poravnanje tih transakcija. Ima ulogu tzv. čuvara (engl. custodian) za najznačajnije vrijednosne papire koji su predmetom trgovine na međunarodnim financijskim tržištima.

11


Osim do sada spomenutih najvažnijih derivata koji pripadaju grupi financijskih

inovacija, valjalo bi se još osvrnuti i na druge instrumente koji pripadaju toj grupi, a

ipak se ne mogu smatrati derivatima (zbog definicije potraživanja koje se kod tih

instrumenata ne smatra u tolikoj mjeri neizvjesnim). Radi se zapravo o modificiranim

vrstama obveznicama koje se mogu razvrstati prema slijedećoj podjeli 8 :

a) Obveznice s varijabilnom kamatnom stopom (engl. Floating Rate Bonds) -

pojavile su se na tržištu početkom 80-tih godina prošlog stoljeća uslijed općeg

pada kamatnih stopa na međunarodnom tržištu kapitala. Kod takvog tipa

obveznica se kamatna stopa periodično, odnosno svakih šest mjeseci, usklađuje s

kretanjem referentne kamatne stope (LIBOR) kojoj se dodaje određena marža.

Isplata kamata se obavlja u istim tim razmacima s time da je najčešće

zagarantirana minimalna kamatna stopa (engl. floor-rate).

b) Nul-kupon obveznice (engl. Zero Bonds) - to su dugoročne obveznice (10 - 30

godina) kod kojih se pripadajuća kamatna stopa ne isplaćuje zasebno već se

obračunava i isplaćuje zajedno s glavnicom kod njihova dospijeća. To

podrazumijeva da se te obveznice emitiraju u diskontiranoj vrijednosti koja je u

pravilu do 30 posto manja od njihovih nominalnih vrijednosti.

c) Obveznice na dvojnu valutu (engl. Dual-Currency Bonds) - to su obveznice

koje npr. domaći kupac kupuje od inozemnog emitenta u domaćoj valuti.

Obračunata kamata se isplaćuje u domaćoj valuti, ali se glavnica vraća u

inozemnoj valuti po unaprijed dogovorenom tečaju. Time je rizik od promjene

deviznog tečaja u potpunosti prenesen na kupca.

d) Obveznice zamjenjive u dionice (engl. Convertible Bonds) - radi se o

obveznicama s fiksnim prinosom koje daju mogućnost imatelju da ih u

određenom vremenskom razdoblju prema unaprijed određenom tečaju pretvori u

dionice. S obzirom na mogući rast cijena dionica u tom razdoblju, takve

obveznice u pravilu imaju manju kamatnu stopu od klasičnih obveznica.

e) Obveznice s varantom (engl. Bonds with Warrants Attached) - također se radi o

obveznicama s fiksnom kamatnom stopom koje vlasniku daju pravo da u

određenom razdoblju po unaprijed utvrđenoj cijeni kupi određen broj dionica.

8 Prohaska, Zdenko, "Analiza vrijednosnih papira", Infoinvest d.o.o., Zagreb, 1996, strana 193.

12


II) Indirektne investicije - za razliku od direktnih investicija podrazumijevaju

mogućnost indirektnog investiranja kupnjom udjela u određenim investicijskim

kompanijama (engl. mutual funds). Takva vrsta fonda sadrži skup vrijednosnih papira

(odnosno portfolio) u skladu s unaprijed dogovorenom politikom i praksom. U

pravilu postoje fondovi koji sadrže ili manje značajni skup vrijednosnih papira ( npr.

industrijske dionice) ili šire klase vrijednosnih papira sa svjetskih tržišta (npr.

američke državne obveznice). Zajednički (uzajamni) fondovi mogu ponuditi

investitoru specijalne usluge kao što su privilegije prilikom isplate dobiti ili

mogućnost zamjene vrijednosnog papira unutar samog fonda bez ikakvog troška.

2.1.2. Tržišni indeksi dionica

Tržišni indeksi dionica prema osnovnoj definiciji predstavljaju prosječnu vrijednost

cijena dionica odabranog uzorka poduzeća. Za poduzeća koja prema nekom kriteriju

ulaze u određeni indeks se podrazumijeva da njihove dionice kotiraju na svim

vodećim svjetskim financijskim tržištima (burzama). U pravilu većina najpoznatijih

svjetskih indeksa dionica ne uključuje u svoju cijenu i vrijednost dividendi, te se stoga

za njih smatra da to nisu indeksi ukupnog prinosa (engl. total return indexes) već je

riječ o indeksima prosječne vrijednosti kapitala (engl. capitalization-weighted

indexes). Prema važnosti koju imaju na vodećim svjetskim burzama, mogu se

izdvojiti slijedeći najznačajniji tržišni indeksi dionica:

a) Dow-Jonesov indeks-prosjek (engl. Dow Jones Index Average) - to je indeks

dionica koji ima najdužu tradiciju kotiranja na burzama u SAD. Predstavlja vaganu

aritmetičku sredinu cijena dionica uzorka poduzeća koja kotiraju na njujorškoj

burzi (engl. New York Stock Exchange). Postoji više vrsta ovog indeksa, a

najpoznatiji od njih je Dow-Jonesov industrijski prosječni indeks (engl. DJIA -

Dow-Jones Industrial Average Index). Ovaj indeks se neprekidno izračunava

počevši od 1896. godine. Od 1928. godine se izračunava na temelju vagane

aritmetičke sredine cijena dionica 30 najznačajnijih industrijskih poduzeća u SAD

(npr. general Motors, General Electric, IBM i drugi). Objavljuje se dnevno i

smatra se specifičnim pokazateljem industrijske aktivnosti u SAD.

13


b) Indeks Fiancial Times-a (engl. Financial Times Index) - predstavlja vaganu

aritmetičku sredinu cijena dionica 100 najvećih kompanija prema visini kapitala

kojima se redovito trguje na londonskom tržištu dionica (engl. London Stock

Exchange). Objavljuje se dnevno u novinama Financial Times te se smatra

specifičnim pokazateljem privredne aktivnosti u Velikoj Britaniji.

c) Nikkei 225 - radi se o najreferentnijem indeksu na japanskom tržištu dionica

(počeo se koristiti 1949. godine), koji se izračunava prema istom principu kao i

Dow-Jonesov Index Average. Njegova vrijednost se formira na osnovu cijena

dionica 225 najvećih i najrespektabilnijih kompanija koje kotiraju na japanskom

tržištu dionica.

d) DAX Indeks (engl. DAX Index) - to je indeks koji se izračunava na osnovu cijena

dionica 30 najznačajnijih njemačkih kompanija na frankfurtskom tržištu dionica

(engl. Frankfurt Stock Exchange). Za razliku od prethodno navedenih indeksa,

DAX indeks predstavlja indeks ukupnog prinosa što znači da je u izračun njegove

vrijednosti uključena i dividenda.

2.1.3. Tržišni indeksi obveznica

Za razliku od tržišnih indeksa dionica, glavni indeksi obveznica su indeksi ukupnog

prinosa s obzirom da u izračun svoje vrijednosti uključuju osim kapitalnog dobitka i

isplaćene kamate (što sve zajedno predstavlja ukupni novčani tok). Najvažniji svjetski

indeksi obveznica su predočeni od strane najpoznatijih svjetskih kompanija koje

pružaju raznolike financijske i investicijske servise. Kompanije kao što su Merrill

Lynch, Lehman Brothers i Salomon Brothers nude na globalnom financijskom

tržištu svoje usluge bilo pojedincima ili raznim financijskim institucijama. U njih su

uključene različite kategorije financijskih servisa kao što su osobno financijsko

planiranje, trgovanje vrijednosnim papirima, brokerski 9 poslovi, bankarstvo, novčane

9 Broker - to je engleski termin za tržišnog posrednika, firmu ili pojedinca unutar firme. Broker obično ne posjeduje predmet trgovanja koji kupuje ili prodaje, već nastupa kao agent kupca ili prodavaoca, te zaračunava proviziju za svoje usluge. Obavlja funkciju spajanja kupca i prodavaoca.

14


posudbe i osiguranje. Lehman Brothers i Salomon Brothers izračunavaju svoje

indekse na kraju svakog mjeseca. Ukoliko pak dođe do određene isplate kamata u

toku tekućeg mjeseca, u tom slučaju se takva isplata uzima u obzir prilikom izračuna

vrijednosti indeksa na kraju mjeseca. S druge strane, Merrill Lynch izračunavaju

svoje indekse na dnevnoj osnovi te stoga obračunavaju isplaćenu kamatu na kraju tog

istog dana. Sve cijene koje se koriste za izračunavanje indeksa su zapravo cijene koje

kotiraju na tržištu plus pripisane narasle kamate 10 . To je stvarna cijena koju će bilo

koji investitor morati platiti za kupnju određene obveznice.

Danas se indeksi koriste u mnogo većoj mjeri nego prijašnjih godina. Primjer za to je

upravljanje investicijama (engl. investment management) gdje se primjenjuju na

različitim područjima kao što je upravljanje rizičnošću portfolia, kvantitativna analiza

tržišta, analiza transakcija na OTC tržištu 11 koje se odnose na indekse s fiksnim

prinosom i tako dalje. Ipak, još uvijek je najznačajnija upotreba indeksa u klasičnoj

situaciji mjerenja performansi portfolia (ukupnog prinosa portfolia). Mjerenje

performansi predstavlja primarnu motivaciju u ponašanju portfolio managera. Stoga

je veoma važan i odabir onih indeksa koji se koriste u analizi kao određeni pokazatelji

i parametri. No, to nije laka odluka s obzirom na činjenicu da na primjer samo

kompanija Merrill Lynch ima više od 2500 kompiliranih indeksa prema različitim

kriterijima. U takvim slučajevima treba biti prilično oprezan s odabirom

odgovarajućih, jer treba uzeti u obzir da svaki investitor ima posebne specifičnosti i

zahtjeve.

Osnovna klasifikacija Merrill Lynch indeksa prema sektorima:

1. Sektor - SOV (engl. Sovereign) - to je klasa najboljih indeksa koja se definira

prema rejtingu obveznica 12 od kojih su sačinjeni (najkvalitetnije svjetske

obveznice izdane od strane vlada ekonomski najrazvijenijih zemalja).

10 Narasle kamate (engl. accrued interest) - radi se o iznosu kamata koje bi se u slučaju eventualne prodaje obveznice prije njenog dospijeća morale obračunati i pridodati ukupnoj prodajnoj cijeni. Cijena obveznice u trenutku prodaje se formira na osnovu tržišne vrijednosti obveznice i izračunatih kamata koje se pripisuju dotadašnjem vlasniku obveznice za sve dane posjedovanja obveznice počevši od datuma zadnje kuponske isplate kamata.11 OTC tržište (engl. Over The Counter Market) - predstavlja oblik, odnosno segment sekundarnog tržišta vrijednosnih papira, na kojem se razmjenjuju neuvršteni vrijednosni papiri. Kupnja i prodaja vrijednosnih papira na takvom tržištu se odvija posredstvom ili izravnim sudjelovanjem brokera, dilera i specijaliziranih trgovaca, korištenjem telefonske i kompjutorske infrastrukture.12 Rejting vrijednosnih papira (engl. Securities Rating) - to je rangiranje vrijednosnih papira prema njihovoj kvaliteti, prvenstveno sa stanovišta rizika ulaganja. Obavljaju ga specijalizirane organizacije te objavljuju liste rangiranih vrijednosnih papira. Predstavlja važan izvor podataka pri procjeni njihove vrijednosti i racionalnom investiranju u vrijednosne papire.

15


2. Sektor - QGVT (engl. Quasi & Foreign Government) - u tu klasu ulaze indeksi

koji sadržavaju obveznice koje su izdale vlade manje razvijenih ekonomskih

zemalja, obveznice koje garantira vlada, obveznice izdane od strane raznih

federalnih agencija, regionalne obveznice i druge.

3. Sektor - COLL (engl. Securitized / Collateralizated) - treća klasa indeksa sadrži

obveznice koje su pokrivene imovinom, hipotekama ili su izdane uz kolateral 13 .

4. Sektor - CORP (engl. Corporate) - četvrtu klasa indeksa sačinjavaju sve

preostale obveznice u koje spadaju obveznice financijskog sektora (banke,

brokerske kuće, investicijske kompanije i osiguravajuće kompanije), obveznice

industrijskog sektora (tehnologija, komunikacije, energetika, potrošnja, gradnja...)

i obveznice javnog (komunalnog) sektora.

2.2. Teorije tržišta kapitala

Kako je već spomenuto u uvodnom dijelu ovog drugog poglavlja, teorije tržišta

kapitala predstavljaju ekonomske teorije koje nastoje dati preciznu ocjenu vrijednosti

kapitalne imovine. Da bi se to moglo izvesti na adekvatni način, najvažnija stvar je

odrediti odgovarajuću diskontnu kamatnu stopu kojom bi se svi novčani tokovi

budućih vremenskih razdoblja mogli svesti na sadašnju vrijednost kapitalne imovine.

Kada je riječ o novčanim tokovima, pri tome se misli na sve buduće novčane primitke

koje će generirati kapitalna imovina u svome životnom vijeku. Drugim riječima, radi

se zapravo o definiranju ukupne stope prinosa koju ostvaruje kapitalna imovina u

rizičnim uvjetima poslovanja na tržištu kapitala.

Ukupna stopa prinosa predstavlja ukupni prinos od investicije koji se prema

konvenciji promatra za kalendarsko razdoblje godine dana držanja imovine u

vlastitom posjedu. Matematički gledano, u izračun se uzima ukupna vrijednost

imovine na kraju razdoblja (u koju su uključeni svi primljeni novčani iznosi kao i

promjena tržišne vrijednosti imovine u toku godine) te vrijednost imovine na početku

tog razdoblja.

13 Kolateral (engl. Collateral) - to je specifična vrsta osiguranja novčanih tražbina (dugova i vrijednosnih papira) nekim vrednotama, posebno onim konvertibilnim u novac (najčešće su u pitanju vrijednosni papiri).

16


Pod rizičnim uvjetima poslovanja se podrazumijeva odstupanje mogućih stopa

prinosa u odnosu na očekivane stope prinosa. Zbog toga je neophodno za ocjenu

rizičnosti ulaganja analizirati distribuciju vjerojatnosti prinosa određene investicije. U

tom slučaju se treba izračunati vrijednost varijance i standardne devijacije koje

predstavljaju temeljne parametre distribucije vjerojatnosti. Postoje više vrsta rizika

koji su predmet analize i o kojima se u ovom poglavlju detaljnije govori. Pritom se

isključivo misli na ukupni rizik koji je predočen preko dvije osnovne komponente -

sistematskog (tržišnog) rizika te nesistematskog (specifičnog) rizika.

Isto tako, valja pretpostaviti da će svaki potencijalni investitor pokušati izbjeći

eventualni rizik u najvećoj mogućoj mjeri, što se može postići diverzifikacijom

portfolia 14 . U takvoj situaciji investitor raspolaže s raznovrsnim investicijama, npr.

različitim vrijednosnim papirima koji međusobno iskazuju određenu razinu

korelacije. Zbog toga je također neophodno izračunati i koeficijente korelacije i

kovarijance kao dodatne parametre u odabranom portfoliu.

Najvažniji pojam koji se tiče analize portfolia i izračuna njegovih parametara je

efikasan portfolio. Pod pojmom efikasnog portfolia podrazumijeva se onaj

investicijski portfolio koji je uz određeni stupanj rizika odnosno uz određeni

očekivani prinos najbolji u odnosu na druge kombinacije investicija iz iste rizične

odnosno profitabilne skupine. Takav portfolio dominira u odnosu na druga portfolia,

te je i logično da ima prednost prilikom odabira od strane potencijalnih investitora

koji su u takvim situacijama ponašaju racionalno (izbjegavaju nepotrebni rizik nauštrb

većih prinosa). Ove uvodne napomene su bile potrebne kako bi se pojasnile osnovne

pretpostavke na kojima se baziraju teorije tržišta kapitala o kojima je riječ u ovom

poglavlju. Radi se o indeksnom modelu teorije tržišta kapitala, modelu procjenjivanja

kapitalne imovine te o modelu arbitražne teorije procjenjivanja. Analiza njihovih

parametara se može smatrati samo kao uvod u detaljnu analizu sličnih parametara

(odnosno karakteristika) koje se koriste kod moderne portfolio teorije (kojoj je

posvećeno cijelo treće poglavlje).

2.2.1. Moderna portfolio teorija

14 Diverzifikacija portfolia (engl. Portfolio Diversification) - to je pojam koji je definiran skupom različitih vrijednosnih papira u vlasništvu jednog pojedinca ili kompanije. Diverzifikacijom se smanjuje rizik ukupnog ulaganja u portfolio i čini se stabilnijim prinos na ukupna ulaganja.

17


U ovom poglavlju je stoga predočen samo kratki uvod u modernu portfolio teoriju

koju je patentirao H. M. Markowitz 1952. godine predstavivši svoj model optimalnog

ulaganja u vrijednosne papire u uvjetima neizvjesnosti i rizika 15 . Polaznu osnovu

njegovog istraživanja predstavljaju veličine ukupnog rizika i očekivane stope prinosa

kao što je i spomenuto u uvodu o teorijama tržišta kapitala. Isto tako, temeljna

pretpostavka ove teorije je i diverzifikacija portfolia koja je bazirana na

znanstvenijem pristupu jednostavne diverzifikacije 16 .

Glavna zamjerka ovoj teoriji u vremenu njena nastanka (50-te godine prošlog

stoljeća) je bila tehnološka nemogućnost podržavanja njenog matematičkog modela.

Naime, računski dio modela zahtjeva nužnu upotrebu računala kojom bi se

umnogome skratilo vrijeme potrebno za izračunavanje konačnih rezultata. Stoga

Markowitz-ov model i nije mogao imati adekvatnu primjenu u praksi sve do početka

80-tih godina 20. stoljeća. No, tada su se već pojavile i druge teorije tržišta kapitala,

koje su donekle i skrenule pozornost s ovog modela, prvenstveno svojom

jednostavnošću u računskom dijelu. Zbog toga se ovaj magistarski rad može i smatrati

pokušajem 'oživljavanja' ovog modela na način koji predstavlja pokušaj njegove

primjene u praksi (naravno da se pritom ne misli na globalnu već na lokalnu domenu

primjene). U tome mnogo pomaže odgovarajući softver i stečeno znanje u primjeni

računala prilikom izračunavanja rezultata iz zadanog matematičkog modela.

2.2.2. Indeksni modeli

Osnovna svrha nastanka indeksnih modela je pojednostavljenje izbora investicija i

načina njihova kombiniranja u portfolio za razliku od Markowitz-ovog modela koji

nudi kompliciraniju tehniku modeliranja kroz primjenu složenog matematičkog

programiranja. Indeksni modeli nastoje odrediti kretanje prinosa na neku investiciju

kao linearnu funkciju jednog ili više faktora koji se predstavljaju određenim

indeksom, te su zbog toga jednostavniji za izračunavanje. Prikazuju linearnu

funkcionalnu ovisnost prinosa na neki određeni vrijednosni papir prema kretanjima

određenih čimbenika o kojima ovisi taj prinos. Zbog toga se mogu podijeliti u dvije

osnovne grupe:

15 Markowitz, H. M., "Portfolio Theory", Journal of Finance, ožujak 1952, strana 77. 16 Markowitz, H. M., "Portfolio Selection", Efficient Diversification of Investments, John Wiley and Sons, New York, 1959.

18


1) Jednoindeksni model - pretpostavlja da su prinosi od vrijednosnih papira

povezani isključivo zbog jednog razloga kojeg u praktičnim primjerima najčešće

definira tržišni portfolio (rm). U tom slučaju tržišni portfolio ima ulogu

referentnog indeksa o čijoj promjeni vrijednosti će ovisiti i promjena vrijednosti

investicijskog portfolia (rj), odnosno svakog pojedinačnog vrijednosnog papira u

njemu. Tako pretpostavljena veza u modelu između dvije navedene varijable je

linearna. Stoga se može kazati kako je ovdje riječ o linearnom regresijskom

modelu kod kojeg je vrijednost funkcije odnosno zavisne varijable predstavljena

investicijskim portfoliom, dok vrijednost nezavisne varijable definira tržišni

portfolio. Za rješavanje takvog modela je potrebno raspolagati odgovarajućom

serijom podataka (rmt , rjt) za određeno vremensko razdoblje promatranja t

(t=0,1,2,...,N). Radi se o vremenskom nizu historijskih podataka iz prethodnih

razdoblja koji je predočen empirijskim vrijednostima navedenih varijabli.

Matematička postavka modela odgovara funkcionalnoj ovisnosti između te dvije

varijable, odnosno karakterističnom regresijskom pravcu vrijednosnog papira čiji

se oblik definira slijedećom jednadžbom:

rjt = (rmt) = j + jrmt + jt (I)

gdje rjt označava prinos j-tog vrijednosnog papira u vremenu t, j točku u kojoj

regresijski pravac presijeca os ordinate, j koeficijent smjera regresijskog pravca,

rmt prinos na tržište kapitala u vremenu t, a jt odstupanje od pravca (rezidual).

Ovakav regresijski model se rješava upotrebom metode najmanjih kvadrata

koja za rješenja daje vrijednosti odgovarajućih parametara ( j i j ). Krajnji cilj

je ispitivanje karaktera veze između dviju navedenih varijabli pomoću dobivenih

parametara korištenjem jednadžbe linearne regresije. Empirijske vrijednosti

navedenih varijabli su prikazane odgovarajućim točkama na Slici 2. Na crtežu je

prikazan i linearni regresijski pravac koji predstavlja vezu između dviju zadanih

varijabli. Karakter veze odnosno korelacija među varijablama može biti ili

pozitivna ili negativna. Regresijskim modelom se izražavaju prosječni odnosi

među promatranim varijablama (pojavama).

19


Slika 2: Karakteristični regresijski pravac kod jednoindeksnog modela

Prinos vrijednosnog papira

Prinos tržišta

Najvažniji faktor u ovom modelu je beta koeficijent () koji predstavlja odnos

kovarijance prinosa na tržište i prinosa na neki vrijednosni papir i varijance

prinosa tržišta (riječ je o koeficijentu regresije). Beta koeficijent definira mjeru

sistematskog rizika vrijednosnog papira jer pokazuje kako se prinos na vrijednosni

papir sistematski kreće prema prinosu ukupnog tržišta. S druge strane, faktor

nema neko veće značenje jer pokazuje očekivani prinos na neki vrijednosni papir

u slučaju kada tržište ostvaruje nulti prinos (riječ je o slobodnom regresijskom

koeficijentu). Rezidual () predstavlja odstupanje od regresijskog pravca kao

rezultat specifičnog rizika tog vrijednosnog papira (kod metode najmanjih

kvadrata njegova vrijednost je zanemarena, te kao takav ne utječe na

izračunavanje parametara modela).

Postavljeni makro uvjeti definiraju postavku u kojoj promjena prinosa tržišta

utječe na promjenu prinosa svakog vrijednosnog papira. Istovremeno, postoje i

mikro uvjeti koji su specifični za svaku kompaniju zasebno, a u modelu se

definiraju veličinom reziduala. Kako ne postoji korelacija između reziduala u

modelu zbog njihove specifičnosti, kovarijance između investicija će biti

određene isključivo njihovim beta koeficijentima i varijancom prinosa na tržišni

20


model. Stoga se i matrica kovarijanci jednostavno izračunava kao linearna

funkcija vrijednosnog učešća u investicijskom portfoliu.

Iz navedenog se može zaključiti kako je ovaj model jednostavan za izračunavanje

prvenstveno radi korištenja linearnih odnosa. To je i glavni razlog zašto je

upotrebljavan u praksi i zašto je beta koeficijent, kao mjera sistematskog rizika

investicije, jedan od najčešće korištenih instrumenata u portfolio analizi.

2) Višeindeksni model - za razliku od jednoindeksnog modela, pretpostavlja više

faktora utjecaja na kovarijance između stopa prinosa pojedinačnih vrijednosnih

papira. To znači da osim tržišnog portfolia koji i dalje poprima ulogu referentnog

indeksa postoje i druge vrste indeksa. Pri definiranju višeindeksnog modela

moguće je prinos na određenu investiciju promatrati kao linearnu funkciju većeg

broja varijabli (i=1m ri) koje predstavljaju određene makro i mezo uvjete. Ako se

za sistematski rizik nekog vrijednosnog papira koji je povezan s kretanjima

ukupnog tržišta vrijednosnih papira kaže kako definira makro uvjete, onda se za

sistematski rizik tog istog vrijednosnog papira koji je na primjer povezan s

kretanjima industrijske grupe u kojoj posluje kompanija kaže kako su njime

definirani mezo uvjeti. Time se sistematski rizik neke investicije, za razliku od

jednoindeksnog modela, razdvaja u dvije zasebne komponente čime se dobije

dvoindeksni model. Osim kretanja industrijske grupe u kojoj posluje kompanija,

kao mezo uvjeti su definirani i rizik industrijske grupe, rizik inflacije,

nezaposlenost, trgovinski deficit, budžetski deficit i slično. Dakle, kod takvog

modela raspoloživu vremensku seriju podataka potrebnih za njegovo

izračunavanje predstavljaju empirijske vrijednosti većeg broja varijabli (rjt , i=1m

rit) u određenom vremenskom razdoblju promatranja t (t=0,1,2,...,N).

Matematički oblik jednadžbe prinosa nekog vrijednosnog papira u vremenu t (rjt)

se definira slijedećom jednadžbom:

rjt = (rit) = j + i=1m ijrit + jt (II)

21


gdje je rit prinos i-tog faktora u vremenu t, i je vrsta faktora čiji se indeks uzima u

modelu, pri čemu postoji m vrsta faktora, dok su ostale komponente ( i )

identične po svojoj definiciji i tretmanu kao i kod jednoindeksnog modela.

Radi se o multiplom regresijskom modelu koji predstavlja istovremenu

funkcionalnu ovisnost jedne nezavisne varijable (rjt) i više nezavisnih varijabli

(i=1m rit). Također se rješava primjenom metode najmanjih kvadrata, a dobivena

rješenja predstavljaju parametre koji se koriste u jednadžbi multiple regresije. U

takvom modelu uvijek postoji samo jedan parametar , dok ukupan broj

parametara ovisi o broju nezavisnih varijabli koje su definirane u samom

regresijskom modelu (i = 1,2,...,m).

Iz navedenog se može zaključiti kako se višeindeksni model može koristiti za

konstrukciju uvjetno optimalnog portfolia za izabrane varijable koje predstavljaju

unaprijed definirane čimbenike u ocjenjivanju investicija. Pri tome se uzima

pretpostavka da je moguće pravilno kvantificirati svaku željenu varijablu, te na taj

način izračunati odgovarajuće beta koeficijente () za svaku investiciju. U tom

slučaju se izračunavanje potrebnih veličina ograničava na jednostavno

ponderiranje s vrijednosnim učešćima investicija u portfoliu.

2.2.3. Model procjenjivanja kapitalne imovine (CAPM)

Predstavlja posebnu teoriju tržišta kapitala iako se radi o specijalnoj varijanti

jednoindeksnog modela. Model procjenjivanja kapitalne imovine (CAPM - Capital

Asset Pricing Model) polazi od pretpostavki savršenog i potpuno efikasnog tržišta.

Takvo tržište se bazira na slijedećim pretpostavkama:

investitor može izabrati između portfolia na temelju očekivanog prinosa i

standardne devijacije portfolia.

u slučaju mogućnosti biranja 2 portfolia, investitor će uvijek odabrati onoga s

nižim rizikom odnosno standardnom devijacijom.

u slučaju mogućnosti biranja 2 portfolia, investitor će uvijek odabrati onoga s

višom očekivanom stopom prinosa.

22


pojedinačna portfolia su beskonačno djeljiva, što znači da određeni investitor

može kupiti i dio nekog vrijednosnog papira ako to želi.

postoji bezrizična stopa prinosa po kojoj investitor može uzimati ili davati kredit.

bezrizična stopa prinosa je jednaka za sve investitore.

svi investitori su sporazumni prema planiranom vremenskom horizontu

distribucije prinosa vrijednosnih papira.

svi investitori raspolažu s identičnim razdobljem ulaganja.

porezi i transakcijski troškovi se ne uzimaju u obzir.

informacije na tržištu su slobodne i neposredno dostupne svim investitorima.

investitori imaju identična (homogena) očekivanja s obzirom na očekivanu stopu

prihoda i rizik.

Kao i kod indeksnih modela, investitore ne interesira ukupni rizik investicija već

samo jedna njegova komponenta koju definira sistematski rizik i koja se mjeri beta

koeficijentom. S druge strane, specifični rizik se izbjegava diverzifikacijom portfolia.

Važno je napomenuti da ključni parametar modela, na osnovu postavljenih

pretpostavki, postaje nerizična investicija kojom investitor ostvaruje unaprijed

određeni očekivani prinos bez mogućnosti pojave ikakvog rizika (tj. standardne

devijacije). Na taj način investitor može kombinirati određeni rizični portfolio s

nerizičnim što dovodi do neograničene mogućnosti uzimanja i davanja kredita po

nerizičnoj kamatnoj stopi. Time se mijenja i investicijska odluka što se reflektira i

promjenom optimuma na pravcu tržišta kapitala.

Prema Slici 3, krivulja h definira granicu efikasnog rizičnog portfolia. Ako se povuče

pravac g s ishodištem u nerizičnoj kamatnoj stopi (rf) kao tangenta na granicu

efikasnog portfolia u točki M, na tom pravcu se dobiju sve kombinacije nerizične

imovine i rizičnog portfolia. Tako definirani portfolio će zasigurno mijenjati

investicijsku odluku s obzirom da će potencijalni investitor imati veću korisnost od

novog portfolia na pravcu g nego od portfolia na krivulji h (izabrat će portfolio M

umjesto portfolia P jer ima višu krivulju indiferencije 17 ).

Slika 3: Pravac tržišta kapitala

17 Krivulja indiferencije - to je krivulja koja povezuje investicije različitih odnosa prinosa i rizika koji za pojedinačnog investitora imaju istu korisnost. Radi se o krivulji kojom se kroz premiju rizika izjednačava korisnost investicija različitog stupnja rizika za pojedinačnog investitora.

23


Prinos vrijednosnog papira g

M

rmt

h

P

rf krivulje indiferencije

mt Rizik

Pravac g daje novu granicu efikasnog portfolia koja je rezultirala uvođenjem

nerizične imovine. Zbog toga pravac g predstavlja pravac tržišta kapitala (CML -

Capital Market Line) kojem bi trebali težiti svi investitori jer postizanje portfolia na

tome pravcu znači i postizanje veće korisnosti za sve investitore. Pregled

matematičkih izraza kojima se definira optimalni portfolio na pravcu tržišta kapitala

je dan u četvrtom poglavlju.

Pravac g je točkom M podijeljen na dva dijela. Sve kombinacije portfolia koje se

nalaze na dijelu pravca ispod točke M se mogu tretirati kao kreditna portfolia. Takav

portfolio će izabrati riziku izrazito nesklon investitor koji će na taj način postići

umjerenu profitabilnost uz značajnu redukciju rizika. S druge pak strane, dio pravca

iznad točke M predstavljaju kombinacije portfolia koja se tretiraju kao debitna

portfolia. Takav portfolio će izabrati agresivni investitor čime će postizati veći

očekivani prinos uz znatniju izloženost riziku.

Konačni izraz modela procjenjivanja kapitalne imovine predstavlja pravac tržišta

vrijednosnog papira (SML - Security Market Line). Njime se pokazuje odnos između

očekivanog prinosa određenog vrijednosnog papira i njegova sistematskog rizika.

Matematički oblik jednadžbe pravca tržišta vrijednosnog papira ima slijedeći oblik:

24


rjt = (rmt) = rf + j( rmt - rf ) (III)

gdje rjt predstavlja očekivani prinos na j-ti vrijednosni papir u vremenu t, rf nerizičnu

kamatnu stopu, j beta koeficijent j-tog vrijednosnog papira, a rmt očekivani prinos na

ukupno tržište odnosno na tržišni portfolio u vremenu t.

S obzirom da je ovdje riječ o specijalnoj varijanti jednoindeksnog modela, način

rješavanja jednadžbe pravca tržišta vrijednosnog papira se u potpunosti može

poistovjetiti s načinom rješavanja regresijskog pravca kod jednoindeksnog modela.

Jedina razlika je u tome što je odsječak A na osi Y u ovom slučaju jednak iznosu

nerizične kamatne stope rf, koja prema gornjoj relaciji ujedno smanjenje i vrijednost

nezavisne varijable rm.

Pravac tržišta vrijednosnog papira definira prinos na neki vrijednosni papir kao cijenu

vremena predstavljenu nerizičnom kamatnom stopom i kao cijenu rizika. Ta cijena

rizika je određena samo onom komponentom ukupnog rizika koja se ne može izbjeći

diverzifikacijom portfolia. Riječ je o sistematskom riziku vrijednosnog papira koji je

određen beta koeficijentom vrijednosnog papira i premijom rizika na tržišni indeks.

Premija rizika je definirana kao razlika očekivane profitabilnosti tržišta i nerizične

kamatne stope (rmt - rf).

Slika 4: Pravac tržišta vrijednosnog papira

Prinos vrijednosnog papira J

rjt

M

rmt

rmt - rf

rf

25


f = 0 mt = 1 jt 1 Sistematski rizik

Prema Slici 4 vidljivo je da sve investicije koje imaju beta koeficijent veći od 1 imaju

iznad prosječan sistematski rizik. Sukladno tome, sve investicije kojima je vrijednost

beta koeficijenta manja od 1 imaju ispod prosječan sistematski rizik. Naravno,

nerizične investicije imaju beta koeficijent jednak nuli.

Određene nedoumice u modelu procjenjivanja kapitalne imovine može izazvati

investicija koja je negativno korelirana s tržištem kapitala, te zbog toga ima negativan

beta koeficijent ( < 0). U takvoj situaciji, prema modelu procjenjivanja kapitalne

imovine, karakteristični regresijski pravac vrijednosnog papira može zauzimati

položaj koji ukazuje na negativni očekivani prinos. U tom slučaju postavlja se pitanje

da li postoji investitor koji je spreman kupiti investiciju koja nudi gubitak umjesto

dobitka. Odgovor je pozitivan jer je poznato da u praksi postoje investitori koji

kupuju investicije s negativnim očekivanim prinosom isključivo radi osiguranja

investicijskog portfolia (primjer toga je polica dodatnog osiguranja automobila za

slučaj krađe).

Model procjenjivanja kapitalne imovine je u godinama nakon svog nastanka doživio

brojne kritike koje su prije svega bile usmjerene na krute pretpostavke prilikom

njegova formiranja, prvenstveno zbog nerealistične predodžbe u uvjetima stvarnog

svijeta. Mnogi testovi i dodatna empirijska istraživanja su pokazala na postojanje

značajnih odstupanja prinosa u odnosu na one koje je trebalo očekivati prema modelu.

Isto tako, potvrđena je pretpostavka da je beta koeficijent slaba mjera za sistematski

rizik jer je međuzavisnost između stopa prinosa vrijednosnih papira i njihovih beta

koeficijenata preniska. Unatoč tome, može se ustvrditi kako je ovaj model koristan

teoretski koncept koji se umjesto primjene ukupnog rizika vrijednosnih papira zasniva

na tržišnom riziku vrijednosnih papira. U tom smislu moguće je negirati praktičnu

upotrebljivost modela, ali primarno kao isključivog sredstva financijske analize i

upravljanja portfoliom vrijednosnih papira.

2.2.4. Arbitražna teorija procjenjivanja (APT)

26


Arbitražna teorija procjenjivanja (APT - Arbitrage Pricing Theory) je razvijena kao

kritika na krute pretpostavke modela procjenjivanja kapitalne imovine. Iako se ova

teorija u mnogim slučajevima tretira kao poseban primjer višeindeksnog modela, u

stvarnosti se zbog svog izvoda smatra zasebnim modelom procjenjivanja kapitalne

imovine. Zasnovana je na principima arbitraže koja predstavlja simultanu kupnju i

prodaju identične (može i različite ali povezane) imovine na različitim tržištima.

Osobe koje obavljaju arbitražu pokušavaju simultanim zauzimanjem pozicija na

tržištu 18 ostvariti odgovarajući profit bez posjedovanja vlastite imovine za

investiranje. Njihov učinak se svodi na zakon jedne cijene prema kojem se identična

roba prodaje po istoj cijeni na različitim tržištima.

Osnovne pretpostavke arbitražne teorije procjenjivanja uglavnom odgovaraju

uvjetima stvarnog života te se stoga i svode na slijedeće činjenice:

investitori uglavnom preferiraju veću količinu bogatstva (blagostanja) u odnosu

na manju količinu bogatstva.

većina investitora ima averziju prema riziku, te ga stoga i prihvaćaju samo u

slučaju kada se taj rizik kompenzira većom očekivanom profitabilnošću.

svaki rizik se od strane investitora može procijeniti i numerički odrediti (to dovodi

do pretpostavke postojanja statistike rizika kojom se rangiraju investicije prema

stupnju rizičnosti).

Primjer jednadžbe pravca arbitražnog procjenjivanja s jednim faktorom rizika

prikazan je slijedećom relacijom:

rjt () = rf + bj (IV)

gdje rjt označava očekivani prinos na j-ti vrijednosni papir u vremenu t, rf nerizičnu

kamatnu stopu, nagib arbitražnog pravca odnosno procijenjenu vrijednost faktora

rizika, a bj koeficijent osjetljivosti vrijednosnog papira na promjene faktora rizika.

Ukoliko se pak za faktor rizika () uzme procijenjena premija rizika na tržišni indeks

(rmt - rf), u tom slučaju koeficijent osjetljivosti (bj) postaje beta koeficijent (j). Tada

18 Zauzimanje pozicija na tržištu - u praksi predstavlja jednu od dvije moguće orijentacije investitora na tržištu. Zauzimanjem kratke pozicije investitor se orijentira na ostvarenje koristi od sadašnje cijene movine (kratkoročno ulaganje). S druge strane, zauzimanjem duge pozicije investitor očekuje korist od buduće cijene imovine (dugoročno ulaganje).

27


je relacija jednaka konačnom izrazu modela procjenjivanja kapitalne imovine (III),

što podrazumijeva identičan način rješavanja problema.

Za one investicije koje se prema rizičnim i profitnim obilježjima trenutno ne nalaze

na pravcu arbitražnog procjenjivanja valja naglasiti kako će biti prisiljene postupkom

arbitraže pozicionirati se na arbitražnom pravcu. U tom slučaju arbitražom se djeluje

na istu rizičnu skupinu investicija kod kojih postoji precijenjenost ili podcijenjenost u

odnosu na pravac arbitražnog procjenjivanja (Slika 5 na strani 29).

Osim primjera jednadžbe pravca arbitražnog procjenjivanja s jednim faktorom rizika,

u praksi postoje i relacije koje u sebi sadrže više faktora rizika (N faktora). Opći

oblik jednadžbe pravca arbitražnog procjenjivanja s više faktora rizika bi u tom

slučaju izgledao ovako:

rjt = (N ) = rf + 1bj1 + 2bj2 + 3bj3 + ..... + NbjN (V)

gdje rjt predstavlja očekivani prinos na j-ti vrijednosni papir u vremenu t, rf nerizičnu

kamatnu stopu, tržišnu cijenu rizika za svaki od N faktora, a bj koeficijent

osjetljivosti vrijednosnog papira na promjene svakog od N faktora rizika.

Slika 5: Pravac arbitražnog procjenjivanja

Prinos vrijednosnog papira

rjt

rf

Ista rizična grupa Faktor rizika

28


S obzirom na broj nezavisnih varijabli o ovom modelu, način njegova rješavanja je

identičan kao i kod višeindeksnog modela gdje je krajnji cilj izračunavanje

parametara koje se uvrštavaju u jednadžbu multiple regresije. I u ovom slučaju broj

parametara b ovisi o broju nezavisnih varijabli odnosno o konačnom broju faktora

rizika (1,2,...,N).

Kao mogući faktori rizika pojavljuju se: rizik promjene kamatnih stopa, rizik

promjene kupovne moći, tržišni rizik, rizik managementa, rizik nenamirenja, rizik

likvidnosti, rizik konverzije i drugi faktori rizika. Kada će koji od navedenih rizika

koristiti u svojem modelu, ovisit će prvenstveno o sposobnosti analitičara da ocijeni

tržišnu cijenu rizika i statistički istraži osjetljivost pojedine investicije na promjene

korištenog faktora rizika.

Osnovni problem arbitražne teorije procjenjivanja, koja je relativno nova i kao takva

nedovoljno istražena, je definiranje konačnog broja faktora rizika kojima bi se u

potpunosti ocijenio prinos na neki vrijednosni papir odnosno investicijski portfolio.

3. Određivanje efikasnog investicijskog portfolia upotrebom

moderne portfolio teorije

U dosadašnjem dijelu magistarskog rada bilo je govora o osnovnim vrstama teorija

tržišta kapitala u koje između ostalih spada i moderna portfolio teorija. U ovom

poglavlju osnovni cilj analize je definiranje efikasnog investicijskog portfolia

korištenjem moderne portfolio teorije. Dakle, glavni preduvjet za analizu takvog

investicijskog portfolia se bazira na tome da se sve njegove karakteristike, parametri i

matematički modeli dobiju korištenjem osnovnih teorijskih postavki moderne

portfolio teorije.

Prvi korak u tom smjeru je definiranje najvažnijih karakteristika moderne portfolio

teorije koje se odnose na portfolio rizičnih investicija. Slijedeći korak je definiranje

efikasnog portfolia odnosno njegove efikasne granice. I na kraju, konačni zadatak je

upotreba određenih tehnika za izračunavanje efikasne granice koje se baziraju na

postavljenim matematičkim modelima. Takvi modeli u sebi sadrže osnovne parametre

koji definiraju modernu portfolio teoriju kao takvu.

Prilikom analize investicijskog portfolia usporedno su prikazane karakteristike

investicijskog portfolia obveznica i dionica te njihove efikasne granice. Saznanja koja

29


su pritom postignuta su od velike koristi za daljnju analizu, posebno za peto poglavlje

gdje je izvršena empirijska analiza odabranog investicijskog portfolia na temelju

stvarnih podataka.

3.1. Karakteristike portfolia rizičnih investicija

Kod moderne portfolio teorije kao i kod drugih teorija tržišta kapitala osnovne

karakteristike portfolia rizičnih investicija čine ukupni rizik, očekivani prinos, mjere

disperzije, kovarijanca i koeficijent korelacije koji se izračunavaju na temelju

dostupnih podataka iz vremenske serije ulaznih varijabli tj. investicija u portfoliu. To

je i razumljivo s obzirom da je moderna portfolio teorija prema vremenu svog

nastanka prethodila ostalim teorijama tržišta kapitala koje su na taj način i mogle

iskoristiti osnovne pretpostavke moderne portfolio teorije uz mogućnost primjene

određenih modifikacija i poboljšanja. Stoga je i očigledno da se analiza karakteristika

moderne portfolio teorije u velikoj mjeri ne razlikuje od spomenutih karakteristika

kod drugih teorija tržišta kapitala. Osnovna razlika je u primjeni ukupnog rizika kod

moderne portfolio teorije i primjeni sistematskog rizika ( koeficijent) kao jedne od

komponenti ukupnog rizika kod ostalih teorija tržišta kapitala.

3.1.1. Pojam i procjena ukupnog rizika investicijskog portfolia

Pod pojmom rizika podrazumijeva se unaprijed poznata vjerojatnost nastupanja

događaja u budućnosti. Tehnički, rizik se definira kao poznavanje stanja u kojem se

kao posljedica neke odluke može pojaviti niz rezultata čija je vjerojatnost nastupanja

poznata donosiocu odluke. Na taj način definicijom rizika može se kvantificirati

nesigurnost. Kvantifikacija rizika se uglavnom vrši korištenjem teorijskih distribucija

vjerojatnosti događaja, najčešće je u pitanju normalna distribucija događaja koja je

definirana kao distribucija vjerojatnosti slučajnih pogrešaka učinjenih kod mjerenja.

Takva distribucija vjerojatnosti se može definirati kao određeni skup mogućih

rezultata s poznatim vjerojatnostima nastupanja svakog pojedinog rezultata.

30


Rizik neke financijske imovine se može odrediti kao opasnost da se neće ostvariti

očekivani prinos na tu imovinu (postoji mogućnost da stopa prinosa kod ulaganja

bude manja od očekivane). On će biti veći što je veća volatilnost (kolebljivost)

ostvarenog prinosa prema očekivanom prinosu. Na taj način je distribucija

vjerojatnosti nastupanja mogućih rezultata ugrađena u samu definiciju pojma rizik

tako da je u pojmu rizika uključena, osim opasnosti od gubitka, i disperzija mogućih

rezultata u odnosu na onaj koji će se najvjerojatnije dogoditi. Ovaj rizik se mjeri

osnovnim parametrima analize distribucije vjerojatnosti: očekivanom vrijednošću

(E(r)) i varijancom (2) odnosno standardnom devijacijom (). U slučaju kada se

koristi normalna distribucija vjerojatnosti događaja definirani su slijedeći parametri:

očekivana vrijednost (tj. očekivani prinos) i standardno odstupanje (to je disperzija

rezultata oko očekivane vrijednosti).

S druge strane, investicijski portfolio predstavlja kombinaciju različitih vrijednosnih

papira koje vlasnik drži ili stvara u svrhu investiranja, odnosno radi ostvarenja profita.

Što je veća diverzifikacija takvog investicijskog portfolia, to je i veća redukcija rizika

u njemu. Stoga se može kazati kako je portfolio strategija prvenstveno i usmjerena na

smanjenje rizika investiranja. Općenito se može kazati da je imovina koja se drži u

investicijskom portfoliu manje rizična od one koja se drži zasebno. Ukoliko se pak

takvu zasebnu imovinu prenese u investicijski portfolio njen rizik će u potpunosti

nestati ili će biti znatno smanjen zbog držanja različitih vrijednosnih papira u takvom

investicijskom portfoliu. Valja pri tom napomenuti i to da je rizik investicijskog

portfolia mnogo kompleksniji za izračunavanje od rizika zasebne investicije (u

matematičkom smislu).

Isto tako, bitno je spomenuti kako nije nevažan podatak s kolikim ukupnim brojem

vrijednosnih papira raspolaže određeni investicijski portfolio. Naime, povećanjem

broja vrijednosnih papira u investicijskom portfoliu trebalo bi doći do određenog

smanjenja njegova rizika. Ipak, takvo povećanje ne može ići u beskonačnost s

obzirom da u određenom trenutku redukcija rizika usporava u odnosu na daljnji

porast diverzifikacije portfolia. To znači da se određeni dio rizika ne može u

potpunosti eliminirati diverzifikacijom investicijskog portfolia. Ta činjenica se može

povezati s analizom ukupnog rizika koji se sastoji od dvije osnovne komponente koje

u tom slučaju imaju presudne karakteristike. Prvu komponenta ukupnog rizika, kao

što je već spomenuto u prijašnjem poglavlju, predstavlja sistematski rizik odnosno

31


tržišni rizik. On proizlazi iz eksternih okolnosti (makroekonomskih) na koje

kompanija ne može utjecati (ciklička kretanja privrede, politika kamatnih stopa,

politika tečaja, inflacija i slično). Sve kompanije se direktno nalaze pod utjecajem tih

faktora te ih sukladno tome i ne mogu izbjeći eventualnom diverzifikacijom svog

investicijskog portfolia. Stoga se ovaj rizik može smatrati i nediverzificirajućim

rizikom. Druga komponenta ukupnog rizika predstavlja nesistematski rizik odnosno

specifični rizik. Ta vrsta rizika ovisi o kretanju prinosa kompanije povezanog s

faktorima (mikroekonomskim) na koje management te kompanije može imati

presudan utjecaj. Stoga je očigledno da se takav rizik može izbjeći diverzifikacijom

investicijskog portfolia te se zato i smatra diverzificirajućim rizikom. Kada se uzmu

u obzir obje komponente ukupnog rizika u odnosu na broj vrijednosnih papira u

određenom investicijskom portfoliu, dobije se slijedeći grafički prikaz (Slika 6 na

strani 33).

Slika 6: Efekt stupnja diverzifikacije na komponente ukupnog rizika portfolia

ukupni rizik portfolia

diverzificirajući rizik

nediverzificirajući rizik

broj vrijednosnih papira u portfoliu

Iz grafičkog prikaza je vidljivo da efekt stupnja diverzifikacije investicijskog portfolia

ima svoja ograničenja. U određenom vremenskom razdoblju držanja investicijskog

portfolia (tn , n = ukupan broj vrijednosnih papira) dolazi do situacije kada više

nikakvo povećanje broja vrijednosnih papira ne utječe na dodatno smanjenje ukupnog

rizika tog portfolia iz razloga što je ukupni rizik sačinjen samo od jedne komponente

koju čini nediverzificirajući rizik. Trenutak kada dolazi do takve situacije prije svega

ovisi o samoj strukturi odabranih vrijednosnih papira dotičnog investicijskog portfolia

32


(smatra se da je dovoljno imati 30 do 40 vrijednosnih papira u portfoliu da bi se to

desilo). No, isto tako valja znati da višestruko povećanje broja vrijednosnih papira u

određenom investicijskom portfoliu ima kao posljedicu bitno usporavanje

izračunavanja zadanih matematičkih modela (kao što je poznato, takva situacija ne ide

u prilog modernoj portfolio teoriji već njenim kritičarima).

Svaka individualno rizična investicija kada uđe u portfolio ima za posljedicu

promjenu tretmana svoga rizika. Relevantna rizičnost individualne investicije je njen

doprinos rizičnosti dobro diverzificiranog portfolia. Ona je predstavljena samo onim

dijelom ukupnog rizika koji će utjecati na promjene rizičnih karakteristika portfolia

ako se u njega uključi ta investicija. Zbog toga je ona i manja od ukupnog rizika (za

njenu ocjenu je bitna samo komponenta sistematskog rizika).

Iz do sada navedenih činjenica može se zaključiti kako postoje dva osnovna

parametra ocjene ukupnog rizika. Radi se o kriterijima koje definiraju očekivani

prinos i standardna devijacija. U situacijama kada postoji više investicija koje imaju

isti očekivani prinos ili istu standardnu devijaciju treba donijeti odluku prema

poznatim pravilima odlučivanja u uvjetima rizika. Takvom odlukom se uvijek

odabere jedna investicija koja je preferirana u odnosu na druge. Na primjer, uzete su u

analizu dvije investicije s istim očekivanim prinosom (A i B), koje su prikazane na

krivulji normalne distribucije (Slika 7).

Slika 7: Normalna distribucija investicija A i B s istim očekivanim prinosom

vjerojatnost () A

B

33


E (r) očekivani prinos

Kao što se vidi na grafičkom prikazu, obje investicije imaju iste očekivane prinose.

Kako je distribucija investicije B razvučenija od A, njezin vrh ima nižu visinu, a time

i manju vjerojatnost ostvarivanja očekivanog prinosa. Zbog toga je standardna

devijacija investicije B veća od standardne devijacije investicije A. U tom slučaju

investicija B pokazuje veću rizičnost i veću volatilnost prinosa. Iz ove činjenice se

može izvesti prvo pravilo odlučivanja - između investicija jednakog očekivanog

prinosa bira se ona koja ima manji rizik.

Analogno prethodnom primjeru, sada se analiziraju dvije investicije istih standardnih

devijacija (A i B) koje su prikazane na krivulji normalne distribucije (Slika 8).

Slika 8: Normalna distribucija investicija A i B s istom standardnom devijacijom

vjerojatnost () A B

E (r) E (r) očekivani

prinos

34


S obzirom da se radi o investicijama s istim standardnim devijacijama prema tom

kriteriju se ne mogu uspoređivati. U tom slučaju treba promatrati drugi kriterij, a to je

visina očekivanog prinosa. U ovom slučaju se može zaključiti kako je investicija B

bolja rješenje u odnosu na investiciju A jer u uvjetima iste volatilnosti prinosa daje

veći očekivani prinos. Iz toga se kao zaključak može izvesti drugo pravilo odlučivanja

- između investicija jednakog rizika bira se ona koja ima viši očekivani prinos.

Oba pravila odlučivanja su uvjetovana načelom korisnosti gdje vrijedi pretpostavka

da prosječni investitor nije sklon riziku i da veću korisnost daje veći očekivani prinos.

Sve navedene pretpostavke koje se odnose na definiciju rizika i njegovo

kvantificiranje pomoću distribucija vjerojatnosti događaja vrijede ukoliko je

postignuta pouzdana objektivnost određivanja odabrane distribucije vjerojatnosti. To

znači da postoji realna opasnost da procjena distribucije vjerojatnosti nije obavljena u

potpunosti korektno. Kod nekih tipova investicija koji imaju odgovarajuće podatke iz

prošlosti (što vrijedi za empirijske podatke koji su korišteni u ovom magisteriju),

distribucija vjerojatnosti događaja se definira na temelju ex-post procjene za koju se

može smatrati da je u tom slučaju objektivna. Njena objektivnost neće doći u pitanje

ukoliko ne dođe do promjena uvjeta u budućnosti u odnosu na one iz prošlosti koji su

predstavljali temelj takve procjene.

3.1.2. Definiranje očekivanog prinosa

Očekivani prinos portfolia je linearna funkcija vrijednosnih udjela investicija u

portfoliu. Stoga se i računa kao vagana aritmetička sredina pojedinačnih prinosa

investicija u portfoliu, pri čemu su ponderi vrijednosni udjeli pojedinačnih investicija

u ukupnoj vrijednosti portfolia:

E( r1 , r2 ,..., rp ) = j=1p E(rj) wj (VI)

gdje je E( r1 , r2 ,..., rp ) očekivani prinos portfolia, E(rj) očekivani prinos j-te

investicije, wj vrijednosni udjel j-te investicije (ponder), j pojedinačna investicija u

portfoliu i p ukupan broj investicija u portfoliu.

35


Iz prethodne jednakosti je vidljivo kako je očekivani prinos investicijskog portfolia

jednostavna funkcija vrijednosnog udjela investicija u portfoliu. Ukupni prinos

portfolia će se uvijek ostvarivati u granicama intervala kojeg čine prinos

najprofitabilnije i prinos najmanje profitabilne investicije u investicijskom portfoliu.

Iz tog razloga se može zaključiti kako portfolio strategija nije usmjerena na postizanje

viših prinosa (maksimiziranje prinosa), već je njen osnovni cilj postići što manji rizik

ulaganja (minimiziranje rizika).

Iz navedenih karakteristika se može definirati postojanje određenih pravila koja se

odnose na očekivanu vrijednost (očekivani prinos), a korisno se primjenjuju u

postupku analize:

1. Očekivana vrijednost zbroja prinosa dvije investicije jednaka je zbroju očekivanih

prinosa svake pojedinačne investicije:

E(r1 + r2) = E(r1) + E(r2) . (VII)

2. Očekivana vrijednost konstante C pomnožene s prinosom investicije jednaka je

konstanti C pomnoženoj s očekivanim prinosom te investicije:

EC(r1) = CE(r1) . (VIII)

3.1.3. Mjere disperzije investicijskog portfolia

Za razliku od očekivanog prinosa, mjere disperzije investicijskog portfolia u koje

spadaju varijanca i standardna devijacija nisu linearne funkcije vrijednosnog udjela u

portfoliu. Razlog tome je što se moguće varijacije oko očekivanih vrijednosti svake

investicije ne moraju poklapati niti intenzitetom niti smjerom kretanja. Zbog toga

varijanca investicijskog portfolia ovisi o slijedećim parametrima:

vrijednosnim udjelima investicija,

varijancama investicija i

36


korelacijama među investicijama.

U praksi postoje dva moguća pristupa izračunavanja varijance odnosno standardne

devijacije bilo kojeg investicijskog portfolia:

preko distribucije vjerojatnosti portfolia i

izračunavanjem matrice kovarijanci.

Prvi način izračunavanja ima veliki nedostatak u tome što se prilikom svake promjene

vrijednosnog udjela investicija u portfoliu postupak izračunavanja mora ponavljati u

potpunosti. Zbog toga je primjerenija orijentacija na korištenje drugog pristupa koji

zahtjeva poznavanje varijanci investicija i međusobnih kovarijanci investicija. Na

temelju ta dva parametra moguće je izračunati varijance i standardne devijacije

portfolia kao funkcije vrijednosnog udjela investicija u portfoliu. U slučaju većeg

broja investicija u portfoliu, rasti će i broj potrebnih kovarijanci između investicija za

izračunavanje. Takav računski problem je moguće riješiti kvalitetnom primjenom

računala što podrazumijeva korištenje odgovarajućih programa kojima se znatno

skraćuje postupak rješavanja matrice kovarijanci (koja se sastoji od varijanci i

međusobnih kovarijanci investicija u portfoliu).

Tablica 1: Matrica kovarijanci

PONDERI w1 w2 w3 w4 ... wn

V.P. 1 2 3 4 ... nw1 1 var1

2 cov12 cov13 cov14 ... cov1n

w2 2 cov21 var22 cov23 cov24 ... cov2n

w3 3 cov31 cov32 var32 cov34 ... cov3n

w4 4 cov41 cov42 cov43 var42 ... cov4n

... ... ... ... ... ... ... ...wn n covn1 covn2 covn3 covn4 ... varn

2

Napomene uz tablicu:

PONDERI - vrijednosni udjeli investicija u portfoliu (w1, w2, w3, w4,..., wn).

V.P. - broj investicija (vrijednosnih papira) u portfoliu (1,2,3,4...n).

var - varijanca (npr. var12 11 = 1

2).

cov - kovarijanca (npr. cov43 43).

37


Matrica kovarijanci se rješava na taj način da se kovarijance (odnosno varijance) u

svim poljima pomnože s vrijednosnim udjelima (ponderima) investicija za čije parove

se odnosi ta kovarijanca. Ako se uzme za primjer izračun varijance investicijskog

portfolia koji se sastoji od dvije investicije (1 i 2), matrica kovarijanci se rješava na

slijedeći način ( N=2 ; ji ):

2(rp) = i=1N wi

2i2 + i=1

N j=1N wiwjij =

12 12 w1 1

2w1 + 12w2

= w1 w2 = w1 w2 = 21 2

2 w2 21w1 + 22w2

= 12w1w1 + 12w1w2 + 21w1w2 + 2

2w2w2 , s obzirom da vrijedi

jednakost 12=21, dobije se konačni izraz koji predstavlja vrijednost varijance

investicijskog portfolia sastavljenog od dvije investicije:

2(rp) = 12w1

2 + 212w1w2 + 2

2w22 ; p=2. (IX)

Ako se na primjer odabere investicijski portfolio koji je sastavljen od tri investicije (1,

2 i 3), prema istom principu izračuna trebala bi se dobiti konačna vrijednost varijance

koja je predočena slijedećom jednakošću:

2(rp) = 12w1

2 + 2

2w22 + 3

2w32 + 212w1w2 + 213w1w3 +

223w2w3 ; p=3. (X)

Osim varijance portfolia, kao druga mjera disperzije je spomenuta standardna

devijacija portfolia koja se dobije slijedećom relacijom (za primjer je odabran

investicijski portfolio koji se sastoji od dvije investicije):

(rp) = (12w1

2 + 212w1w2 + 2

2w22)1/2 ; p=2. (XI)

Iz jednakosti se vidi da standardna devijacija portfolia zapravo predstavlja drugi

korijen varijance portfolia. Zbog te činjenice je u biti svejedno (nebitno) koja se od

ove dvije mjere disperzije koristi prilikom empirijske analize.

38


3.1.4. Kovarijanca i koeficijent korelacije

Kovarijanca i koeficijent korelacije spadaju u kategoriju ključnih mjera kojima se

mjeri efekt disperzije u portfoliu. To su mjere koje nastoje odraziti disperziju

distribucija vjerojatnosti prinosa pojedinačnih investicija i samog portfolia, te

povezanost među cikličkim kretanjima prinosa pojedinačnih investicija.

U analizi investicijskog portfolia kovarijanca pokazuje nepostojanost prinosa

investicija i tendenciju da se oni kreću gore i dolje u isto vrijeme kada se kreću gore i

dolje prinosi nekih drugih investicija. Kovarijanca pokazuje kako se zajedno kreću

prinosi dvaju investicija i koja je veličina njihovih promjena (nepostojanost).

Predstavlja sumu ponderiranih umnožaka odstupanja od očekivanih vrijednosti

dvije investicije. Ona je pozitivna za investicije čiji se prinosi mijenjaju u istom

smjeru, a negativna za one investicije čiji se prinosi kreću obrnuto. Što su veće

standardna devijacije prinosa investicija i što je međusobno kretanje njihovih prinosa

skladnije, to bi trebala biti veća i njihova kovarijanca. Ako je slučajno jedna od

investicija u portfoliu bez rizika, tada će kovarijanca s nekom drugom investicijom iz

istog portfolia biti jednaka nuli.

Iako je kovarijanca vrlo važna mjera korelacije koja ukazuje i na korelaciju i na

volatilnost međusobno povezanih pojava, upotrebom koeficijenta korelacije ti se

odnosi bolje izražavaju. Koeficijent korelacije je relativna mjera zajedničkog kretanja

dviju varijabli. Računa se kao odnos kovarijance između dvije varijable i umnoška

standardnih devijacija tih varijabli:

12 = 12 / 12 (XII)

gdje je 12 koeficijent korelacije između dvije investicije u portfoliu (1 i 2), 12 je

kovarijanca između dvije investicije u portfoliu (1 i 2), a 1 i 2 su standardne

devijacije tih investicija.

Koeficijent korelacije je jednostavniji izraz (ne)usklađenosti kretanja dviju veličina

odnosno njihove korelacije. Razlog tome je što su njegove vrijednosti definirane u

intervalu od -1 do +1. To je postignuto tako što je dijeljenjem kovarijance s

39


umnoškom standardnih devijacija iz mjere korelacije izbačena mjera volatilnosti.

Vrijednost koeficijenta korelacije od +1 predstavlja savršenu pozitivnu korelaciju

između dviju investicija (isti intenzitet promjena prinosa u istom smjeru). Ako je pak

vrijednost koeficijenta korelacije jednaka -1 tada ona predstavlja savršenu negativnu

koreliranost između dviju investicija (isti intenzitet promjena prinosa ali u različitim

smjerovima). Što je koeficijent korelacije apsolutno gledano manji, to je korelacija

manja pa se zbog toga i promjene prinosa odvijaju sve izraženijim intenzitetom.

Ukoliko je koeficijent korelacije jednak nuli, onda ne postoji veza između kretanja

prinosa na dvije investicije.

Osim kao mjera korelacije, koeficijent korelacije dvije investicije se može koristiti i

kao mjera stupnjevanja redukcije rizika koji se postiže diverzifikacijom ulaganja.

Ekstremna redukcija rizika se postiže kada se kombiniraju dvije investicije sa

savršeno negativnim korelacijama prinosa u slučaju kada je koeficijent korelacije

jednak minus jedan. S druge strane, ako je vrijednost koeficijenta korelacije između

dvije investicije jednaka plus jedan, tada neće doći do redukcije rizika. Sve ostale

vrijednosti unutar intervala mogućih rezultata (od -1 do +1) će u većoj ili manjoj

mjeri iskazivati redukciju rizika (što je negativnija vrijednost koeficijenta korelacije

to je veća redukcija rizika i obratno).

3.1.5. Analiza karakteristika investicijskog portfolia obveznica i dionica

Jedna od najvažnijih odluka s kojom se suočava svaki potencijalni investitor je vezana

uz odabir investicijskog portfolia. Naime, osnovno pitanje koje se pritom postavlja

glasi ovako: Da li investirati novčana sredstva u kupnju obveznica, dionica ili

eventualno treba odabrati kombinirani investicijski portfolio?

Na to pitanje nema konkretnog odgovora s obzirom na činjenicu da potencijalni

investitori mogu nastupati na tržištu s više različitih pozicija. Ovisno o tome koji mu

je osnovni cilj investiranja, da li je to minimiziranje rizika ulaganja ili maksimiziranje

očekivanog prinosa, investitor sukladno tome i ulaže svoja sredstva u određene

vrijednosne papire s kojima teži tome cilju. Da bi se barem djelomično pomoglo oko

donošenja odluke kod investiranja u obveznice ili dionice, za primjer je odabrana

analiza historijskih podataka s američkih financijskih tržišta. Za analizu odabranog

40


portfolia dionica koristili su se Standard and Poor’s indeksi dionica. Istodobno,

analiza odabranog portfolia obveznica je prezentirana pomoću Lehman Brothers

indeksa obveznica. Radi se dakle o respektabilnim kompanijama koje pružaju

raznolike financijske i investicijske usluge na vodećim financijskim tržištima širom

svijeta. Svi indeksi koji su prezentirani su bazirani na principu ukupnog prinosa što

znači da im je osim kapitalnog dobitka pribrojena i vrijednost dividendi (kad su u

pitanju dionice), odnosno vrijednost isplaćenih kamata (kad su u pitanju obveznice).

Za managere koji upravljaju portfoliom obveznica ili portfoliom dionica valja

spomenuti kako su parametri i pokazatelji koje upotrebljavaju i kod jednog i kod

drugog portfolia unatoč velikom broju različitih vrsta indeksa na financijskim

tržištima veoma slični. Stoga je i moguća ovakva vrsta usporedbe koja se prezentira

pomoću slijedeće dvije tablice:

Tablica 2: Historijski podaci o obveznicama i dionicama

Standardna devijacija: KoeficijentiRazdoblje Obveznice Dionice korelacije

''77 - ''81 9,70% 14,54% 0,34

''82 - ''86 6,63% 14,66% 0,41

''87 - ''91 4,72% 15,40% 0,49''77 - ''91 7,46% 14,87% 0,41

Tablica 3: Prosječni prinosi i standardne devijacije za kombinirani portfolio

obveznica i dionica

41


Udio Udio Prosječni Standardneobveznica dionica prinosi devijacije

1,0 0,0 12,50% 14,90%

0,9 0,1 11,85% 13,63%

0,8 0,2 11,20% 12,38%

0,7 0,3 10,55% 11,15%

0,6 0,4 9,90% 9,95%

0,5 0,5 9,25% 8,80%

0,4 0,6 8,60% 7,70%

0,3 0,7 7,95% 6,69%

0,2 0,8 7,30% 5,82%

0,1 0,9 6,65% 5,16%0,0 1,0 6,00% 4,80%

Iz prikazanih podataka u tablicama mogu se izvesti slijedeći zaključci:

u petnaestogodišnjem razdoblju promatranja obveznica i dionica standardna

devijacija dionica je u svakom momentu bila veća od standardne devijacije

obveznica.

koeficijenti korelacije između obveznica i dionica su bili pozitivni te nisu imali

ekstremne vrijednosti (promjene u kretanju obveznica i dionica kao usporedivih

veličina su bile u istom smjeru i umjerenog intenziteta).

porastom udjela dionica u investicijskom portfoliu rastao je i očekivani prinos uz

istodobni porast standardne devijacije.

porastom udjela obveznica u investicijskom portfoliu padao je očekivani prinos uz

istodobni pad standardne devijacije.

Dakle, kao konačni zaključak se nameće slijedeća hipoteza:

Agresivni investitor kojemu je osnovni cilj maksimizirati očekivani prinos mora biti

sklon riziku te će zbog toga ulagati u dionice. S druge strane, konzervativni investitor

ima kao osnovni cilj minimiziranje rizika ulaganja, te će zbog toga ulagati u

obveznice iako one daju manji očekivani prinos. Svi oni koji nisu spremni preuzeti

jednu od dvije navedene uloge, mogu ulagati u kombinirana portfolia koja će u tom

slučaju gledajući oba zadana kriterija davati prosječne rezultate (ali u pravilu ne i

linearne odnosno jednako raspoređene na vrijednosti očekivanog prinosa i rizika).

42


3.2. Definicija efikasnog portfolia odnosno efikasne granice

Ovaj dio magistarskog rada se bavi efikasnim portfoliom odnosno efikasnom

granicom. Do sada se u prethodnim poglavljima moglo vidjeti kako bilo koji

investicijski portfolio može biti sastavljen od dvije ili više investicija. Isto tako,

postoji neograničen broj kombinacija vrijednosnih udjela pojedinih investicija u

nekom investicijskom portfoliu. Kad se radi o tipovima investicija u portfoliu,

zaključak je da svaki investicijski portfolio može biti sastavljen od obveznica, dionica

i drugih vrijednosnih papira ili eventualno kombiniran od više vrsta vrijednosnih

papira. Sve te različite kombinacije investicija u portfoliu predstavljaju njihova

moguća portfolia. Da bi se uspješno upravljalo investicijskim portfoliom valjalo bi od

svih mogućih kombinacija izdvojiti one koje su prema određenim kriterijima bolje od

drugih. Evidentno je da su takva investicijska portfolia efikasnija u odnosu na neka

druga. Kriteriji kojim se određuje dominacija nekog investicijskog portfolia u odnosu

na druga portfolia su već ranije spomenuti očekivani prinos i rizik ulaganja.

3.2.1. Međuovisnost prinosa i rizika s obzirom na vrijednosti koeficijenta

korelacije

Očekivani prinos i rizik su definirani kao glavni kriteriji pomoću kojih se određuje

efikasan portfolio. No, da bi se došlo do efikasnog portfolia potrebno je definirati

moguća investicijska portfolia za što je pak potrebno poznavanje koeficijenata

korelacije. Stoga je odabran za razmatranje jedan hipotetski primjer pomoću kojeg su

ilustrirane sve moguće kombinacije očekivanog prinosa i rizika investicijskog

portfolia u odnosu na vrijednosti koeficijenata korelacije.

Radi se o primjeru investicijskog portfolia koji se sastoji od dvije investicije A i B. Te

investicije (vrijednosni papiri) imaju slijedeće karakteristike:

Tablica 4: Očekivani prinosi i standardna devijacija investicija A i B

Očekivani StandardneInvesticija prinosi devijacije

A 14,00% 6,00%B 8,00% 3,00%

43


Iz tablice je vidljivo da investicija A ima veći očekivani prinos, ali i veću standardnu

devijaciju u odnosu na investiciju B.

Ukoliko se sada u analizu uvedu i vrijednosti koeficijenata korelacije dobiju se 4

primjera veza između očekivanih prinosa i standardne devijacije:

1. primjer: Savršena pozitivna korelacija ( = +1)

Očekivani prinos portfolia je jednak: E(rp) = E(rA) wA + E(rB) wB .

Standardna devijacija glasi: (rp) = (A2wA

2 + 2ABwAwB + B

2wB2)1/2 . S

obzirom da se zna broj investicija u portfoliu, u tom slučaju vrijedi: wA + wB = 1,

odnosno kada se izrazi investicija B preko investicije A dobije se slijedeća jednakost:

wB = 1 - wA , koju se tada uvrštava u prve dvije jednakosti pa se dobije da je

očekivani prinos portfolia jednak: E(rp) = E(rA) wA + E(rB) (1-wA) , a

standardna devijacija portfolia iznosi: (rp) = A2wA

2 + 2ABwA(1-wA) +

B2(1-wA)21/2 .

Dobiveni rezultati očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia za različite

kombinacija udjela investicija u portfoliu se nalaze u Tablici 5, a graf međuovisnosti

očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia u uvjetima savršene korelacije (

= +1) je prikazan na Slici 9.

Tablica 5: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia u

uvjetima savršene pozitivne korelacije ( = +1)

44

Udio Udio Prosječni Standardnainvesticije A investicije B prinos portfolia devijacija portfolia

0,0 1,0 8,00% 3,00%

0,2 0,8 9,20% 3,60%

0,4 0,6 10,40% 4,20%

0,6 0,4 11,60% 4,80%

0,8 0,2 12,80% 5,40%

1,0 0,0 14,00% 6,00%


Slika 9: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia u

uvjetima savršene pozitivne korelacije ( = +1)

E(rp)

14 % A

8 % B

3 % 6 % (rp)

Analogno prvom primjeru, u preostala tri slučaja se koriste iste jednakosti za

izračunavanje očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia. Na identičan način

su prikazani dobiveni rezultati u tablicama, te su isto tako na grafikonima prikazane

međuovisnosti očekivanog prinosa i standardne devijacije.

2. primjer: Savršena negativna korelacija ( = -1)


uvjetima savršene negativne korelacije ( = -1)


uvjetima savršene negativne korelacije ( = -1)

45


0,0 1,0 8,00% 3,00%

0,2 0,8 9,20% 1,20%

0,4 0,6 10,40% 0,60%

0,6 0,4 11,60% 2,40%

0,8 0,2 12,80% 4,20%

1,0 0,0 14,00% 6,00%


E(rp)

14 % A

10 %

8 % B

3 % 6 % (rp)

3. primjer: Ne postoji veza između kretanja prinosa 2 investicije ( = 0)


uvjetima kada ne postoji veza između kretanja prinosa 2 investicije ( = 0)


uvjetima kada ne postoji veza između kretanja prinosa 2 investicije ( = 0)

E(rp)

14 % A

8 % B

46


0,0 1,0 8,00% 3,00%

0,2 0,8 9,20% 2,68%

0,4 0,6 10,40% 3,00%

0,6 0,4 11,60% 3,79%

0,8 0,2 12,80% 4,84%

1,0 0,0 14,00% 6,00%


3 % 6 % (rp)

4. primjer: Pozitivna korelacija srednje jakosti ( = +0,5)


uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5)



E(rp)

14 % A

8 % B

47


0,0 1,0 8,00% 3,00%

0,2 0,8 9,20% 3,17%

0,4 0,6 10,40% 3,65%

0,6 0,4 11,60% 4,33%

0,8 0,2 12,80% 5,13%

1,0 0,0 14,00% 6,00%


3 % 6 % (rp)

Pregledom dobivenih rezultata i grafičkih prikaze međuovisnosti očekivanih prinosa i

standardne devijacije portfolia, može se vidjeti kako se ovisno o intenzitetu

koeficijenta korelacije (od -1 do +1) mijenjaju i oblici dobivenih krivulja (grafičkim

prikazom na Slici 13 dane su sve moguće vrijednosti koeficijenata korelacije koje su

do sada korištene u analizi). Tako dobiveni rezultati su korišteni kod onog segmenta

analize gdje se na temelju grafičkog prikaza definirao efikasan portfolio dvaju

investicija (A i B).

Slika 13: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia za

različite vrijednosti koeficijenata korelacije

E(rp) -1 = 0 = +0,5 = +1

14 % A

8 % B

3 % 6 % (rp)

3.2.2. Pojam efikasnog portfolia odnosno efikasne granice

Svaki investicijski portfolio koji dominira nad drugim kombinacijama portfolia se

može smatrati efikasnim portfoliom, te će zbog toga i uvijek biti odabran od strane

bilo kojeg racionalnog investitora. Efikasan portfolio je onaj koji između svih

kombinacija koje obećavaju isti prinos ima najniži rizik, odnosno koji između svih

kombinacija istog rizika obećava najviši prinos.

48


Pogleda li se grafički prikaz (Slika 13) koji se dobije kao rezultat međuovisnosti

očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia na primjeru dvije investicije za

različite vrijednosti koeficijenata korelacije, može se zaključiti slijedeće:

Svi dobiveni rezultati međuovisnosti prinosa i rizika predstavljaju moguća portfolia.

Postojanje efikasnog portfolia ovisi prije svega o intenzitetu koeficijenta korelacije

između investicija. U slučaju kada postoji savršena pozitivna korelacija između

investicija (=+1), tada ne postoji efikasan portfolio. Razlog tome je što je jedna od

investicija superiorna sa stajališta prinosa, a druga sa stajališta rizika pa stoga njihove

kombinacije ne smanjuju rizik (linearno povećanje prinosa portfolia uzrokuje isto

takvo smanjenje standardne devijacije portfolia i obratno). U svim drugim

slučajevima postoji efikasan portfolio (+1), jer dolazi do određene redukcije rizika

pa moguća portfolia imaju različite odnose prinosa i rizika (njihov odnos nije

linearan). Pri tome, samo jedna kombinacija minimizira rizik ulaganja u portfolio.

Sva moguća portfolia koja imaju prinos ispod onog s najnižim rizikom nisu efikasna

jer postoje druge kombinacije investicija koje uz isti rizik daju veći prinos.

Naravno, efikasan portfolio može se promatrati i u situacijama kada postoje više od

dvije investicije u portfoliu. U tom slučaju moguća kombinacija investicija u portfoliu

predstavlja određenu površinu kako je i ilustrirano na slijedećem grafičkom prikazu

(Slika 14):

Slika 14: Moguće kombinacije više investicija u portfoliu

E(rp)

K D

C

E

prinos K B E

F

A H G

49


rizik (rp)

Sve označene točke na rubu osjenčane površine (A,B,C,D,E,F,G i H) i one koje se

nalaze unutar te površine predstavljaju skup mogućih portfolia (odnosno skup

mogućih odluka). Efikasan portfolio predstavljaju dominantne kombinacije ulaganja,

one koje uz određeni rizik obećavaju najveći prinos ili uz neki zadani prinos imaju

najmanji rizik. Riječ je dakle o problemu višekriterijskog odlučivanja čiji se

kriterijski skup u ovom slučaju sastoji od 2 osnovna kriterija odlučivanja odnosno 2

funkcije cilja (maksimalni prinos i minimalni rizik). Takav problem naziva se i

bikriterijskim problemom odlučivanja. Za skup mogućih portfolia na Slici 14,

efikasan portfolio se određuje na taj način da se na grafički prikaz nanese konveksni

konus K. Izgled konusa prije svega ovisi o kriterijima koju su relevantni za rješavanje

problema. S obzirom da se traži maksimalni prinos i minimalni rizik ulaganja, u tom

slučaju je na grafičkom prikazu konus usmjeren prema gore-lijevo. Tada je svako

efikasno rješenje ona kombinacija portfolia koja unutar svoga konusa ne sadrži

niti jednu drugu kombinaciju portfolia. Prema prikazanom skupu mogućih

kombinacija portfolia, očigledno je kako postoji više efikasnih rješenja s identično

ucrtanim konusom (koji za rješenje imaju prazan skup). Takav skup efikasnih rješenja

ne izdvaja niti jedno rješenje (jer ne postoji idealno rješenje koji bi u ovom slučaju

nudilo maksimalni prinos i minimalni rizik istovremeno), već su sve takve

kombinacije portfolia međusobno ravnopravne. Dobiveni skup portfolia se naziva

efikasna granica jer obuhvaća skup efikasnih portfolia. U situaciji kada se želi

definirati kompromisno rješenje, na temelju određenog kriterija optimizacije se

odabire samo jedno rješenje iz postojećeg skupa efikasnih rješenja. Takvo rješenje se

još naziva i optimalno rješenje (definiranje optimalnog rješenja je tema 4.

poglavlja). Dakle, na temelju prethodnog grafičkog primjera, može se zaključiti da

efikasnu granicu predstavlja krivulja koja spaja točke A, B, C i D. Ispod krivulje

efikasne granice su sve druge moguće kombinacije portfolia koje su inferiornije u

odnosu na portfolia na efikasnoj granici. Grafički prikaz efikasne granice je dan na

Slici 15.

Slika 15: Efikasna granica

50


E(rp)

D

C

prinos B

A

rizik (rp)

3.2.3. Efikasna granica u uvjetima kada kratka prodaja nije dozvoljena

Na prethodnom grafikonu se vidi kako izgleda efikasna granica na primjeru mogućeg

skupa investicijskih portfolia. Slijedeći korak u analizi efikasne granice je uvođenje

novog pojma kojim se definira specifična radnja koju mogu obavljati vlasnici

investicijskih portfolia na financijskim tržištima. Radi se o ‘kratkoj prodaji’ koja

predstavlja jednu vrstu trgovine na financijskim tržištima. Pod tim pojmom se

podrazumijeva prodaja vrijednosnih papira koji nisu u fizičkom vlasništvu

investitora koji ih prodaje. Kada investitor kratko proda dotični vrijednosni papir,

tada se smatra da je taj vrijednosni papir fizički prodan. Ukoliko pak investitor ne

posjeduje vrijednosni papir koji želi kratko prodati, u tom slučaju se pojavljuje

posrednička firma (uobičajeno je riječ o brokerskoj firmi) koja taj isti vrijednosni

papir uzajmljuje od drugog investitora ili ga sama posuđuje investitoru ukoliko ga već

ima u svome vlasništvu. Posrednička firma uobičajeno posuđuje taj vrijednosni papir

iz postojećeg portfolia vrijednosnih papira koje drži za potrebe drugih investitora.

Vrijednosni papir čuvan u posredničkoj firmi od strane nekog investitora se smatra

vrijednosnim papirom registriranim na njegovo ime. Ako stvarni vlasnik tih

vrijednosnih papira da posredničkoj firmi dozvolu za kratku prodaju tih vrijednosnih

papira, tek tada će posrednička firma imati to pravo i učiniti. Stvarni vlasnik

vrijednosnog papira će u svakom trenutku imati pravo znati kada se dogodila

transakcija kratke prodaje i tko je posudio njegov vrijednosni papir. Kada investitor

fizički proda vrijednosni papir (obavi kratku prodaju), na kraju razdoblja u trenutku

51


isplate dividende (prinosa na vrijednosni papir), kompanija koja je izdala vrijednosni

papir će morati isplatiti dividendu i to novom vlasniku vrijednosnog papira. Ipak, da

bivši vlasnik vrijednosnog papira ne bi bio oštećen u transakciji kratke prodaje, za to

se mora pobrinuti investitor koji je obavio kratku prodaju. Tada investitor mora

bivšem vlasniku vrijednosnog papira isplatiti isti iznos dividende kao što je to učinila

i kompanija. Na kraju transakcije, investitor ponovo otkupljuje isti vrijednosni papir i

vraća ga natrag u posjed posredničkoj firmi od koje ga je i posudio.

U čemu je onda interes investitora koji obavlja cjelokupnu transakciju kratke prodaje?

Odgovor na to pitanje je dan na slijedećem konkretnom primjeru:

Pretpostavka je da određeni investitor vjeruje kako će se dionice kompanije X koje

sada vrijede 100 USD na kraju godine prodavati za 90 USD (očekivana vrijednost).

Investitor očekuje da će kompanija X na kraju godine isplatiti dividendu od 4 USD po

dionici. Ako investitor kupi jednu dionicu kompanije X tada je ostvaren slijedeći

novčani tok:

POČETAK GODINE KRAJ GODINE

1. kupnja dionice -100 USD

2. isplaćene dividende +4 USD

3. prodaja dionice +90 USD

Ukupni novčani tok: -100 USD +94 USD

Ukoliko ova dionica nema neuobičajenu korelaciju s drugim dionicama u

investitorovom portfoliu, vrlo je malo vjerojatno da će je ijedan investitor željeti imati

u svom portfoliu s obzirom na negativni iznos novčanog tijeka. No ipak, postoje

investitori koji će biti spremni za takvu vrstu transakcije. U tom slučaju mora

postojati investitorov poznanik (u ovom primjeru mijenja posredničku firmu) koji

posjeduje dionicu kompanije X, te ima drugačija očekivanja od investitora glede

vrijednosti dionice. Zbog toga je spreman takvu dionicu i dalje držati u svom

vlasništvu. U tom slučaju investitor može posuditi poznanikovu dionicu, uz obećanje

poznaniku da će jednako proći (u financijskom smislu) kao da je ta dionica ostala u

njegovu posjedu. Tada investitor može prodati dionicu i zaraditi 100 USD. Kada

kompanija X plati dividendu dioničarima u visini 4 USD, investitor svom poznaniku

mora iz vlastitih sredstava isplatiti 4 USD, zbog danog obećanja prilikom posudbe

dionice. Na kraju godine, investitor može otkupiti dionicu po novoj tržišnoj

52


vrijednosti od 90 USD (očekivana vrijednost) i vratiti je svome poznaniku natrag u

posjed. U tom slučaju je novčani tok:

POČETAK GODINE KRAJ GODINE

1. prodaja dionice +100 USD

2. isplaćene dividende -4 USD

3. kupnja dionice -90 USD

Ukupni novčani tok: +100 USD -94 USD

Može se zaključiti kako posuđivač dionice u cijeloj transakciji nije prošao ništa lošije

(nakon godine dana i dalje ima u svom vlasništvu dionicu plus isplaćene dividende za

tu godinu). S druge strane, uzajmljivač je uspio stvoriti vrijednosni papir koji ima

obrnute karakteristike od onog prilikom kupnje dionice kompanije X (kao što je

prikazano na primjeru prvog novčanog toka). Nakon podmirenja svih svojih obveza

ukupna zarada investitora iznosi 6 USD. Jedina razlika ovog primjera i realnog života

je ta da bi posuđivač dionice eventualno mogao tražiti dodatne kompenzacije od

uzajmljivača (pokriće osiguranja dionice, troškova posudbe i slično).

Iz navedenog primjera je evidentno kako je osnovni razlog za obavljanje transakcije

kratke prodaje zapravo očekivanje investitora da će doći do pada cijene vrijednosnog

papira u kojem slučaju bi on mogao ostvariti profit. Postoje i drugi razlozi za

obavljanje transakcija kratke prodaje. Najvažniji razlog je smanjenje osjetljivosti

portfolia na kretanja na tržištu što je posljedica činjenice da je prinos na kratku

prodaju u suprotnosti s prinosom na dugoročnu kupnju vrijednosnih papira. U tom

slučaju vrijedi za portfolia u koja su uključene i jedna i druga vrsta transakcije da

smanjuju svoju izloženost kretanjima na tržištu.

Izgled grafa efikasne granice u uvjetima kada kratka prodaja nije dozvoljena je u

potpunosti identičan grafu efikasne granice na prethodnom primjeru (krivulja na tom

segmentu ima logaritamski oblik). Njegova glavna karakteristika je ta da se radi o

krivulji koja je konkavna funkcija očekivanog prinosa i standardne devijacije u

prostoru koji se proteže od minimalne varijance (točka A) do maksimalnog prinosa

portfolia (točka B). Grafički prikaz je dan na Slici 16.

Slika 16: Efikasna granica u uvjetima kada kratka prodaja nije dozvoljena

53


E(rp)

B

prinos

A

rizik (rp)

3.2.4. Efikasna granica u uvjetima kada je kratka prodaja dozvoljena

Na osnovu rezultata analize transakcije kratke prodaje, može se zaključiti da ona ima

smisla samo u situacijama kada je očekivani prinos vrijednosnog papira od strane

investitora negativan. Sada je potrebno vidjeti na koji način kratka prodaja utječe na

izgled krivulje efikasne granice. No da bi se to protumačilo, nužno je vratiti se malo

unazad na slučaj kada je analizirana međuovisnost očekivanog prinosa i standardne

devijacije portfolia u uvjetima kada je koeficijent korelacije bio jednak 0,5 tj.

pozitivan i srednje jakosti ( = +0,5). Raniji rezultati iz Tablice 8 i grafičkog prikaza

na Slici 12 (strana 47) su i dalje važeći, samo što sada treba proširiti vrijednosni dio

udjela dvaju investicija u portfoliu (wA i wB) na interval od -1 do +2. Razlog tome je

što se uz dozvoljenu kratku prodaju može prodati onaj vrijednosni papir u portfoliu

koji ima manji očekivani prinos te kupiti novi vrijednosni papir s višim očekivanim

prinosom. Rezultati očekivanih prinosa i standardne devijacije portfolia u uvjetima

kada je kratka prodaja dozvoljena dani su u Tablici 9 na slijedećoj strani.

Ako se primijene ovi rezultati, u tom slučaju grafički izgled krivulje efikasne granice

u uvjetima kada je kratka prodaja dozvoljena izgleda kako je prikazano na Slici 17 na

strani 56. Krivulja s točkama ABC predstavlja efikasnu granicu za jedan dio mogućih

portfolia. Ostali dio portfolia ne predstavlja efikasnu granicu (iscrtkana linija na

grafu), ali je moguć zbog ostvarenih negativnih udjela portfolia A i B (vrijednosti od

0 do -1). Sve dok je kombinacija dva portfolia konkavna, efikasni skup ABC je

54


također konkavan. Njegova krivulja još uvijek započinje u točki A kada je varijanca

portfolia minimalna, ali ne završava u točki B koja je, u uvjetima kada nije bila

dozvoljena kratka prodaja, predstavljala maksimalni prinos portfolia. Naime, u

uvjetima kratke prodaje na efikasnoj granici ne postoji konačna gornja ograda

odnosno konačna vrijednost očekivanog prinosa portfolia. Kao što se vidi na

grafičkom prikazu na Slici 17, maksimalni prinos portfolia se dostiže tek u točki C

odnosno u beskonačnosti (to je naravno hipotetski primjer).



i dozvoljene kratke prodaje

Slika 17: Efikasna granica u uvjetima kada je kratka prodaja dozvoljena

E(rp) C

55


-1,0 2,0 2,00% 6,00%

-0,8 1,8 3,20% 5,13%

-0,6 1,6 4,40% 4,33%

-0,4 1,4 5,60% 3,65%

-0,2 1,2 6,80% 3,17%

0,0 1,0 8,00% 3,00%

0,2 0,8 9,20% 3,17%

0,4 0,6 10,40% 3,65%

0,6 0,4 11,60% 4,33%

0,8 0,2 12,80% 5,13%

1,0 0,0 14,00% 6,00%

1,2 -0,2 15,20% 6,92%

1,4 -0,4 16,40% 7,87%

1,6 -0,6 17,60% 8,84%

1,8 -0,8 18,80% 9,82%

2,0 -1,0 20,00% 10,82%


B

prinos

A

rizik (rp)

3.2.5. Efikasna granica u uvjetima bezrizičnog uzajmljivanja i

pozajmljivanja

U dosadašnjem dijelu analize isključivo je bilo riječi o rizičnim investicijskim

portfolijima. Uvođenjem bezrizične financijske imovine u mogući skup portfolia

bitno se pojednostavljuje daljnji tok analize. Pozajmljivanje po bezrizičnoj stopi može

se smatrati kao investiranje u financijsku imovinu koja daje izvjesnu razinu prinosa

(najčešće su u pitanju kratkoročni blagajnički zapisi države). Isto tako, ako se

uzajmljivanje smatra kao prodaja recimo kratkoročnih papira, onda i ono može biti

postignuto po bezrizičnoj stopi prinosa.

Prvo se istražuje slučaj u kojem investitori mogu pozajmljivati i uzajmljivati

neograničene količine investicija po bezrizičnoj stopi prinosa. Pretpostavka kaže da je

investitor zainteresiran za plasiranje dijela svojih sredstava u neki portfolio A, kao i

za uzajmljivanje i pozajmljivanje. U skladu s tim činjenicama može se veoma lako

uspostaviti matematički model u kojem su obuhvaćene sve kombinacije portfolia A,

te mogućnost pozajmljivanja i uzajmljivanja. Neka je w udio originalnih sredstava

koje investitor plasira u portfolio A. Pritom treba znati da w može biti veće od 1,

zbog ranije spomenute pretpostavke prema kojoj investitor može posuđivati sredstva

po bezrizičnoj stopi i sve ih dodatno investirati u portfolio A. Ako je udio sredstava

koje investitor plasira u portfolio A jednak w, tada će udio sredstava plasiranih u

bezrizičnu imovinu biti 1-w. U tom slučaju je očekivani prinos kombinacije

bezrizične imovine i rizičnog portfolia jednak:

56


rc = (1-w)rf + wrA (XIII)

gdje je rc očekivani prinos kombinacije bezrizične imovine i rizičnog portfolia, rf

izvjesna stopa prinosa bezrizične imovine, rA očekivana stopa prinosa portfolia A i w

udio originalnih sredstava koje investitor plasira u portfolio A.

Rizik odnosno standardna devijacija kombinacije rizičnog i bezrizičnog portfolia

jednaka je:

(rc) = (f2(1-w)2

+ 2fAw(1-w) + A2w2)1/2 (XIV)

gdje je (rc) standardna devijacija kombinacije portfolia, f standardna devijacija

bezrizične imovine, fA kovarijanca između bezrizične imovine i rizičnog portfolia,

A standardna devijacija portfolia A, i w udio originalnih sredstava koje investitor

plasira u portfolio A.

Ukoliko se pak prema formuli za koeficijent korelacije između dvije varijable (XII)

izrazi kovarijanca fA , dobije se slijedeći izraz:

(rc) = (f2(1-w)2

+ 2fAf A w(1-w) + A2w2)1/2 . (XV)

S obzirom da je prinos bezrizičnog portfolia izvjestan, standardna devijacija od

prinosa na bezrizičnu imovinu mora biti jednaka nuli (f = 0). U tom slučaju

jednakost (XV) se mijenja, pa se dobije slijedeći izraz:

(rc) = (A2w2)1/2 = Aw . (XVI)

Ako se iz jednakosti želi izraziti udio originalnih sredstava w koje investitor plasira u

portfolio A, dobije se da je w = (rc) / A odnosno, radi lakšeg pisanja vrijedi da je

w = c / A . Uvrštenjem tog izraza u relaciju (XIII) dobije se nova jednakost za

očekivani prinos kombinacije portfolia rc = ( 1- c/A )rf + ( c/A )rA . Naknadnim sređivanjem izraza dobije se konačna jednakost:

rc = rf + ( (rA-rf) / A ) c . (XVII)

57


Može se primijetiti kako se radi o najobičnijoj jednadžbi pravca. Sve kombinacije

bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja s portfoliom A leže na pravcu u prostoru

očekivanog prinosa standardne devijacije. Prema grafičkom prikazu na Slici 18

(strana 59) vidi se da je odsječak na osi rc jednak stopi prinosa bezrizične imovine, a

koeficijent smjera iznosi (rA-rf) / A .

Slika 18: Očekivani prinosi i rizici kada je bezrizična stopa prinosa

u kombinaciji s portfoliom A

rc uzajmljivanje pozajmljivanje

rA A

rf

A c

Isto tako, vidi se da pravac na grafu prolazi kroz točku A s koordinatama (A,rA).

Primjećuje se da je lijevo od točke A područje u kojem se kombiniraju portfolio A i

uzajmljivanje. Razlog tome je što u slučaju kada investitor nekome posuđuje sredstva

tada želi to učiniti uz što manji mogući rizik. Sigurno je da će prinos na ta sredstva

biti veći od ulaganja u nerizična portfolia, ali istovremeno i rizik će biti manji od

rizika alternativnog ulaganja u portfolio A. Desno od točke A se nalazi područje u

kojem se kombiniraju portfolio A i pozajmljivanje. Ukoliko investitor posuđuje

sredstva od nekoga, želi to činiti uz veći očekivani prinos nego da je ulagao u

portfolio A. Pritom će naravno i rizik biti veći. Zaključak iz provedene analize je

slijedeći:

58


Investitor koji posuđuje svoju imovinu drugom investitoru ima za glavni cilj

minimizirati rizik posudbe uz što veći mogući prinos (svakako veći od onog

nerizičnog). Isto tako, u slučaju kada investitor posuđuje imovinu kod drugog

investitora njegova namjera je pritom maksimizirati očekivani prinos uz neizbježno

povećanje rizika.

Portfolio A koji je odabran za ovu analizu nema nekih specijalnih obilježja.

Kombinacija bilo kojeg vrijednosnog papira ili nekog portfolia s opcijom bezrizičnog

uzajmljivanja ili pozajmljivanja leži uzduž pravca u prostoru očekivanog prinosa

standardne devijacije. Slijedeći grafički prikaz je dan na Slici 19, gdje su prikazane

razne kombinacije nerizične imovine i rizičnih portfolia.

Slika 19: Kombinacije bezrizične imovine i različitih rizičnih portfolia

rc H

D

C

B

rf A

c

Očigledno je da svaki investitor, koji je spreman doseći efikasnu granicu i stopu

prinosa uz bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje, odabire jedan te isti portfolio iz

skupa mogućih rizičnih portfolia (A, B, C i D) na krivulji efikasne granice, a to je

portfolio D. Točka u kojoj pravac bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja tangira

na krivulju efikasne granice rizičnih portfolia uvijek predstavlja ključnu točku za

odabiranje referentnog portfolia (u ovom slučaju portfolio D). U tom slučaju nova

efikasna granica predstavlja kombinaciju bezrizičnog i rizičnog portfolia na segmentu

rf - D - H. Neki od investitora koji žele izbjeći rizik ulažu u kombinaciju bezrizičnog

portfolia i rizičnog portfolia D na segmentu pravca rf - D. Isto tako, oni investitori

koji su spremni izložiti se većem riziku ulažu u kombinaciju rizičnog portfolia D i

59


bezrizičnog portfolia na segmentu pravca D - H. Svi preostali investitori mogu

jednostavno plasirati svoja sredstva samo u rizični portfolio D.

Sposobnost otkrivanja odgovarajućeg portfolia za investiranje u kombinaciji rizične i

bezrizične imovine, bez ikakvih saznanja o tome kakve su sklonosti investitora,

pokazuje se teoremom separacije. Kao prva mogućnost je pretpostavka da investitor

može uzajmljivati sredstva po bezrizičnoj stopi prinosa, ali ih ne može i pozajmljivati

po toj istoj stopi. U tom slučaju grafički prikaz efikasne granice u uvjetima

uzajmljivanja po bezrizičnoj stopi prinosa je ilustriran crtežom na Slici 20.

Slika 20: Efikasna granica u uvjetima uzajmljivanja po bezrizičnoj stopi prinosa

rc

I

D

rf

c

Efikasna granica predstavlja kombinaciju nerizičnog i rizičnog portfolia na segmentu

rf - D - I. Naravno, u ovakvoj situaciji jedan dio investitora će svoj portfolio rizičnih

sredstava držati alociran između točaka D i I. S druge strane, bilo koji investitor koji

drži bezrizičnu imovinu će eventualno preostali dio svoje imovine pozicionirati u

rizični portfolio D.

Druga mogućnost govori o tome kako investitori koji mogu uzajmljivati sredstva po

jednoj stopi moraju platiti drugačiju i vjerojatno veću stopu kada pozajmljuju

sredstva. To je prikazano grafički na Slici 21 (strana 62). Na grafu su prikazane dvije

različite bezrizične stope prinosa (rf i r'f) koje u kombinaciji definiraju efikasnu

granicu u intervalu rf - D - E - F. U tom slučaju postoji mali odsječak na krivulji

efikasne granice rizičnih portfolia koji bi za svakog investitora trebao biti

odgovarajući. Uz pretpostavku da među dvoma bezrizičnim stopama prinosa (rf i r'f)

60


nije prevelika razlika, može se odsječak D - E na krivulji efikasne granice rizičnog

portfolia smatrati prihvatljivim za držanje sredstava investitora. Takvo

aproksimativno rješenje se smatra vrlo dobrim u situaciji nepoznavanja investitorovih

sklonosti (i nepostojanja odgovarajućeg matematičkog modela).

Slika 21: Efikasna granica u uvjetima uzajmljivanja i pozajmljivanja po različitim

bezrizičnim stopama prinosa

rc F

E

D

r'f

rf

c

3.2.6. Efikasna granica investicijskog portfolia obveznica i dionica

U dosadašnjem toku analize, na grafičkim primjerima na kojima je pokazan izgled

efikasne granice, nije bilo pobliže govora o tome da li se radi o portfoliama

obveznica, dionica ili eventualno kombiniranim portfoliama. Stoga je sada na redu

analiza izgleda efikasne granice u slučajevima kada je investicijski portfolio strogo

definiran. Da bi se to moglo ovdje prezentirati, treba ponuditi konkretni slučaj za

analizu. Do njega se došlo korištenjem primjera kojeg je Zdenko Prohaska pokazao u

svojoj knjizi “Analiza vrijednosnih papira” (knjiga je već spomenuta na strani 12).

Autor u svojoj knjizi analizira slovensko tržište vrijednosnih papira (sekundarno

financijsko tržište) s posebnim osvrtom na efikasnu granicu. Analizira se izgled

krivulje efikasne granice u situacijama kada je investicijski portfolio sastavljen od

61


obveznica ili dionica, te slučaj kada postoji kombinirani portfolio od dionica i

obveznica. Odabrana je vremenska serija historijskih podataka u intervalu od jedne

godine (radi se o kalendarskom razdoblju 1994. godine). Ta je godina interesantna iz

razloga što su stope prihoda vrijednosnih papira u 1994. godini iskazivale i negativne

vrijednosti (za razliku od nekih drugih godina toga razdoblja). Kvaliteta i broj

analiziranih vrijednosnih papira su s obzirom na nivo razvijenosti slovenskog

financijskog tržišta djelomično limitirani (u usporedbi s američkim tržištem

vrijednosnih papira).

Dobiveni rezultati i aproksimativni primjeri grafikona su slijedeći:

1. Efikasni portfolio na tržištu obveznica:

uzorak obveznica se sastoji od 9 obveznica, uključujući državne obveznice i

obveznice kompanija (Slika 22 na strani 64).

portfolio s najvećom stopom prihoda i najvišim rizikom se sastoji samo iz jedne

obveznice (rp = 4,10 % ; p = 12,02 %).

portfolio s najnižom varijancom odnosno najnižim rizikom se sastoji od tri

obveznice koje imaju različita učešća u portfoliu (rp = 1,47 % ; p = 1,55 %).

2. Efikasni portfolio na tržištu dionica:

uzorak dionica se sastoji od 6 dionica, uključujući dionice kompanija različitih

djelatnosti (Slika 23 na strani 64).


dionice (rp = 8,23 % ; p = 13,19 %).

portfolio s najnižom varijancom odnosno najnižim rizikom se sastoji od četiri

dionice koje imaju različita učešća u portfoliu (rp = 1,39 % ; p = 5,59 %).

3. Efikasni portfolio na tržištu dionica:

uzorak dionica se sastoji od 6 dionica, uključujući dionice kompanija različitih

djelatnosti (Slika 24 na strani 65).

62



dionice (rp = 8,23 % ; p = 13,19 %).

portfolio s najnižom varijancom odnosno najnižim rizikom se sastoji od četiri

dionice koje imaju različita učešća u portfoliu (rp = 1,39 % ; p = 5,59 %).

Slika 22: Efikasna granica na tržištu obveznica

rp

4,10%

1,47%

1,55% 12,02% p

Slika 23: Efikasna granica na tržištu dionica

rp

8,23%

1,39%

63


5,59% 13,19% p

Slika 24: Efikasna granica na kombiniranom tržištu obveznica i dionica

rp

8,23%

1,53%

1,52% 13,19% p

Prema postignutim rezultatima vidljivo je da portfolio koji se sastoji iz obveznica i

dionica ima niži stupanj rizika i veću očekivanu stopu prihoda nego portfolio koji se

sastoji samo od obveznica. Na osnovu toga može se zaključiti da je formiranje

mješovitih portfolia vrijednosnih papira s aspekta minimiziranja rizika na tržištu

vrijednosnih papira optimalan izbor za investitore koji izbjegavaju rizik ili ga žele

minimizirati.

Dobiveni grafikoni se razlikuju prema svome izgledu. Efikasna granica na tržištu

obveznica ima izgled pravca dok na tržištu dionica daje konkavnu krivulju

(logaritamskog oblika). Na kombiniranom tržištu obveznica i dionica graf poprima

oblik pravca uz prisutnu zaobljenost na svojim krajevima (minimalne varijance i

maksimalnog prinosa). Stoga se može kazati kako se ipak radi o konkavnoj krivulji.

Jedna od osnovnih hipoteza u ovom magistarskom radu, koja je dokazana prilikom

empirijske analize, je ta da grafički prikazi efikasne granice koji su dobiveni u toj

situaciji imaju skoro identične oblike kao i prethodno analizirani grafikoni u ovom

poglavlju. Time je potvrđeno kako ovdje prikazani grafovi efikasne granice sa

64

Ivana, 03/01/-1,


slovenskog tržišta vrijednosnih papira nisu izuzetak, već je riječ o standardnom

prikazu takvih grafova bez obzira koje financijsko tržište se analizira.

3.3. Tehnike za izračunavanje efikasne granice

Nakon što je definiran sam pojam efikasne granice, na redu su i matematičke tehnike

za njeno izračunavanje. One nisu predstavljene prema redoslijedu uvođenja pojmova

u prethodnom poglavlju, već su prezentirane prema kriteriju težine izračuna - od

najjednostavnije do najsloženije. Tehnike za izračunavanje efikasne granice govore o

rješavanju portfolio problema prema unaprijed definiranim pretpostavkama:

kratka prodaja je dozvoljena uz bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje,

kratka prodaja je dozvoljena ali bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje nije,

kratka prodaja nije dozvoljena uz bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje te

kratka prodaja nije dozvoljena kao i bezrizično uzajmljivanje i pozajmljivanje.

Za većinu realnih problema izračunavanje pomoću ovih tehnika je dugotrajan proces

za koji je potrebna kompjuterska podrška i odgovarajući softverski paketi. No to

danas nije nikakav problem jer postoje specijalizirani matematički programi

primjenjivi i na područje matematičkog programiranja (linearnog i nelinearnog).

3.3.1. Kratka prodaja dozvoljena; bezrizično uzajmljivanje i

pozajmljivanje

Radi se o najjednostavnijem slučaju koji se analizira kao prvi primjer tehnike za

izračunavanje efikasne granice. Do sada se zna da postojanje bezrizičnog

uzajmljivanja i pozajmljivanja uvjetuje postojanje jedinstvenog rizičnog portfolia koji

je preferiran u odnosu na sva druga moguća rizična portfolia. Taj portfolio se nalazi u

točki tangente što je zatvaraju pravac bezrizičnog portfolia i onaj rizični portfolio koji

je na grafičkom prikazu najudaljeniji prema kriteriju obrnutog smjera kazaljke na

satu. To se može vidjeti na narednom grafikonu (Slika 25), gdje je portfolio B

65


preferiran u odnosu na sva druga portfolia rizične imovine (npr. portfolio A).

Efikasnu granicu u tom slučaju predstavlja cijela dužina rf - B (efikasni skup

rješenja). Različite točke uzduž dužine rf - B predstavljaju različite iznose

pozajmljivanja i/ili uzajmljivanja u kombinaciji s preferiranim rizičnim portfoliom B.

Slika 25: Kombinacija bezrizične imovine s rizičnim portfoliom

rp

B

A

rf

p

Alternativni način definiranja efikasnog skupa rješenja je prepoznavanje činjenice da

dužina rf - B predstavlja dužinu s najvećim nagibom. Kao što je poznato, nagib

dužine koja spaja bezrizični s rizičnim portfoliom jednak je razlici očekivanog

prinosa portfolia i bezrizične stope prinosa podijeljenog sa standardnom devijacijom

portfolia. Time se dolazi do zaključka da se efikasni skup definira traženjem portfolia

s najvećim omjerom kojeg čine razlika očekivanog prinosa (rp) i bezrizične stope

prinosa (rf) te standardna devijacija portfolia (p). Postoji i dodatno ograničenje koje

govori da je suma svih udjela imovine odnosno vrijednosnih papira investiranih u

portfolio (wi) jednaka jedan. Ako se u obzir uzmu sve veličine, dobije se slijedeći

matematički model:

funkcija cilja: Z ( wi ) = max (rp - rf) / p (XVIII)

uz ograničenje: i=1N wi = 1

66


Ovo je problem maksimiziranja uz postojanje ograničenja. Varijable modela (wi ; i =

1,2,...,N) predstavljaju pondere, odnosno vrijednosne udjele pojedinačnih investicija u

ukupnoj vrijednosti portfolia (u ovoj jednadžbi funkcije cilja se ne vide zbog

specifičnog načina zapisa relacije). Postoje standardne tehnike rješavanja ovog

problema. Na primjer, problem može biti riješen upotrebom Lagrange-ovih

multiplikatora. Isto tako, postoji i alternativa koja kaže da ograničenje može biti

supstituirano u funkciju cilja da bi u tom slučaju maksimiziranje funkcije cilja bilo

postignuto bez ograničenja. Radi se dakle o upotrebi metode supstitucije koja se

koristi u situaciji kada je ograničenje zadano u obliku linearne funkcije kao što je

slučaj kod ovog primjera. U tom slučaju piše se slijedeće:

rf = 1 rf = ( i=1N wi ) rf = i=1

N wirf ,

nakon čega se ovaj izraz supstituira u funkciju cilja uz napomenu da se za standardnu

devijaciju koristi temeljni izraz (IX). Na kraju se dobije slijedeći izraz za funkciju

cilja u kojem su jasno iskazane varijable:

funkcija cilja: (XIX)

Z (wi) = max i=1N wi(ri - rf) / i=1

N wi2i

2 + i=1N j=1

N wiwjij1/2

Ovako izražen, model predstavlja veoma jednostavan problem maksimiziranja bez

ikakvih ograničenja, te kao takav može biti riješen korištenjem standardnih metoda

kalkulusa. S obzirom da se traži ekstremna vrijednost funkcije, parcijalno se

deriviraju sve nezavisne varijable (w1 , w2 , w3 , ... , wN) i izjednačuju s nulom.

Dobiven je sustav jednadžbi koji kao konačni rezultat daje vrijednosti nezavisnih

varijabli. Nakon toga se izračuna vrijednost očekivanog prinosa portfolia i standardne

devijacije portfolia. Uvrštenjem izračunatih vrijednosti u gornji izraz dobije se

maksimalna vrijednost funkcije cilja Z koja predstavlja maksimalni nagib pravca

efikasnog portfolia.

Grafičko rješenje ovog modela je prikazano na Slici 26. Na njoj se vidi da efikasni

portfolio definira samo jedan pravac koji počinje u točki ordinate koja predstavlja

bezrizičnu stopu prinosa te da ima nagib jednak omjeru razlike prinosa sa

67


standardnom devijacijom portfolia. Što je nagib pravca veći, u tom slučaju je i veća

vrijednost funkcije cilja (tj. bolje rješenje).

Slika 26: Efikasni portfolio u uvjetima bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja

rp

maksimalni nagib pravca

rf

p

3.3.2. Kratka prodaja dozvoljena; rizično uzajmljivanje i pozajmljivanje

U situaciji kada investitor ne može ostvariti pretpostavku uzajmljivanja i

pozajmljivanja po bezrizičnoj stopi prinosa, rješenje prethodnog modela se mora

modificirati. Ipak, i u tom slučaju određeni dio obavljene analize može koristiti. Ako

se pogleda grafički prikaz na Slici 27 (strana 70), primjećuje se slijedeće:

Prilikom svake promjene vrijednosti bezrizične stope prinosa (r1 , r2 i r3) investitor će

investirati svoja sredstva u različita portfolia (A, B i C). Ovakva analiza sugerira

naredni postupak. Pretpostavlja se da bezrizična stopa prinosa postoji te da za nju

treba pronaći odgovarajući rizični portfolio. Slijedom, pretpostavlja se da postoji i

druga bezrizična stopa prinosa za koju također treba pronaći odgovarajući rizični

portfolio, koji se evidentno mora razlikovati od prethodnog. U postupku se

kontinuirano mijenjanju pretpostavljene bezrizične stope prinosa sve dok se ne dobije

više točaka koje predstavljaju različita preferirana rizična portfolia u različitim

uvjetima. Ukoliko se povuče spojnica kroz tako dobivene točke, dobije se puna

krivulja efikasne granice za različita preferirana rizična portfolia (koja odgovara samo

u varijanti standardne definicije kratke prodaje). Na taj način, dobivena krivulja

68


predstavlja skup efikasnih rješenja problema. U ovom slučaju, radi se o grafičkom

primjeru rješavanja problema.

Slika 27: Tangencijalna portfolia za različite bezrizične stope prinosa

rp

C

B

r3 A

r2

r1

p

Matematički model ovog problema je identičan modelu rizičnog uzajmljivanja i

pozajmljivanja kod kojeg kratka prodaja nije dozvoljena (koji je detaljnije analiziran

pod 3.3.4.), osim što se ne uzima u obzir posljednje ograničenje koje govori o tome

da vrijednosni udjeli pojedinačnih investicija u ukupnoj vrijednosti portfolia ne smiju

biti negativni (wi 0) . Prema definiciji kratke prodaje ta pretpostavka ne vrijedi, što

znači da u ovom slučaju vrijednosni udjeli (odnosno ponderi) smiju biti negativne

vrijednosti (wi 0).

3.3.3. Kratka prodaja nije dozvoljena; bezrizično uzajmljivanje i

pozajmljivanje

Ovaj problem je sličan prvom modelu (3.3.1.) gdje također kao rješenje postoji samo

jedan pravac efikasnog portfolia. To je pravac koji povezuje različite kombinacije

bezrizične imovine s preferiranim rizičnim portfoliom. Ipak, taj efikasan skup rješenja

koji je dostupan za kombiniranje u uvjetima bezrizičnog uzajmljivanja i

69


pozajmljivanja je različit zbog novog ograničenja kojeg se primjenjuje u ovom

slučaju. Ono kaže (za razliku od prethodnog primjera) da investitori ne smiju držati

vrijednosne papire u negativnim količinama, tj. udjeli originalnih sredstava u neki

određeni portfolio (wi) moraju biti veći ili jednaki nuli (uvjet nenegativnosti). U tom

slučaju matematički model izgleda ovako:

funkcija cilja: Z (wi ) = max (rp - rf) / p (XX)

uz ograničenja: 1) i=1N wi = 1

2) wi 0 za sve i (i=1, 2,..., N)

Ovo je problem matematičkog programiranja kojemu je funkcija cilja kvadratna

funkcija, a ograničenja predstavljaju linearne funkcije. Dakle, radi se o problemu

nelinearnog (kvadratnog) programiranja za čije rješavanje postoje standardni

kompjuterski paketi (softveri). I u ovom slučaju, maksimalnu vrijednost funkcije cilja

Z predstavlja maksimalni nagib pravca efikasnog portfolia.

3.3.4. Kratka prodaja nije dozvoljena; rizično uzajmljivanje i

pozajmljivanje

Poznato je da je efikasni skup određen minimiziranjem rizika za svaku razinu

očekivanog prinosa. Ako se definira prinos na određenom nivou uz minimalan rizik, u

tom slučaju dobije se točka na efikasnoj granici. Dakle, da bi se dobila jedna točka na

krivulji efikasne granice treba se minimizirati funkcija cilja koja predstavlja varijancu

odnosno rizik na određenom nivou prinosa (p2). Isto tako, moraju se uzeti u obzir

ograničenja koja su do sada vrijedila. To znači da suma svih udjela imovine

investirane u portfolio (wi) mora biti jednaka jedan, te da udjeli originalnih sredstava

u neki određeni portfolio (wi) moraju biti veći ili jednaki nuli, odnosno ne smiju biti

negativni (zbog toga što kratka prodaja nije dozvoljena). Treće ograničenje se odnosi

na sumu svih umnožaka udjela originalnih sredstava (wi) i očekivanih prinosa na ta

70


sredstva (ri) koja mora biti jednaka očekivanom prinosu portfolia (rp). Vrijednost

očekivanog prinosa portfolia (rp) varira između prinosa na portfolio minimalne

varijance i prinosa na portfolio maksimalnog očekivanog prinosa. Kada se te

vrijednosti prikažu na grafu u obliku točaka, dobit će se krivulja efikasne granice koja

predstavlja skup efikasnih rješenja modela. Uzevši u obzir sve činjenice dobit će se

slijedeći izraz:

funkcija cilja:

Z ( wi ) = min i=1N wi

2i2 + i=1

N j=1N wiwjij (XXI)

uz ograničenja: 1) i=1N wiri = rp

2) i=1N wi = 1

3) wi 0 za sve i (i=1, 2,..., N)

I u ovom slučaju dobiveni matematički model predstavlja problem nelinearnog

(kvadratnog) programiranja. Isto tako, varijable modela predstavljaju udjeli imovine

investirane u portfolio (wi). Minimalna vrijednost funkcije cilja Z predstavlja

minimalnu vrijednost varijance portfolia uz određenu razinu očekivanog prinosa.

Radi se o problemu višekriterijskog (bikriterijskog) odlučivanja koji je ekvivalentan

problemu parametarskog programiranja s jednim parametrom na desnoj strani

ograničenja (prinos portfolia rp) i jednom funkcijom cilja (minimum varijance p2).

Može se zaključiti kako je ovaj problem od svih spomenutih problema najsloženiji za

računanje, no isto tako postoji mogućnost njegova rješavanja primjenom

odgovarajućih softvera odnosno upotrebom računala. U tom slučaju, ukoliko se broj

ulaznih varijabli ograniči na neki manji broj (na primjer i = 10), rješavanje zadatka

može biti obavljeno u razumnom vremenskom roku. Svi drugi modeli koji imaju veći

broj ulaznih varijabli (i 10) zahtijevaju duži vremenski rok za izračunavanje, što

automatski komplicira mogućnost njihove upotrebe u konkretnim situacijama.

4. Određivanje optimuma na primjeru efikasnog

investicijskog

71


portfolia

U prethodnom poglavlju nije bilo govora o određivanju optimalnog rješenja zadanog

problema, odnosno o određivanju optimuma na primjeru efikasnog investicijskog

portfolia. Poznato je da u situaciji bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja postoji

skup efikasnih rješenja koji je predstavljen pravcem maksimalnog nagiba. Isto tako,

evidentno je da je u situaciji kada nema bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja

skup efikasnih rješenja definiran cijelom krivuljom efikasne granice. Do ovog

trenutka se nije pokušala dati preciznija analiza optimalnog rješenja. To je ostavljeno

za glavni cilj u ovom poglavlju - na koji način odrediti optimalno rješenje na temelju

dobivenog skupa efikasnih rješenja. Pri tom se misli na definiranje samo jednog

optimalnog rješenja koje prije svega ovisi o postavljenim kriterijima. To znači da se

iz skupa odgovarajućih efikasnih rješenja izdvaja samo jedno efikasno rješenje koje se

na temelju zadanog kriterija optimizacije definira kao kompromisno odnosno

optimalno rješenje. Naime, kod analiziranja tehnika za izračunavanje efikasne granice

kao konačno rješenje modela se dobije skup efikasnih rješenja. Radi se o pravcu koji

spaja bezrizični i rizični portfolio ili o krivulji efikasne granice. Pri tome nije

definirano gdje bi se potencijalni investitor trebao pozicionirati na tom skupu

efikasnih rješenja. Da li bi investitor možda trebao držati više bezrizične ili nerizične

imovine ili bi trebao eventualno težiti maksimalnom prinosu odnosno mimimalnom

riziku? Da bi se dobili odgovori na sva ta pitanja u ovom poglavlju su definirani

kriteriji koji pomažu pri donošenju takvih odluka. Optimizaciju efikasnih

investicijskih portfolia se obavlja primjenom teorije korisnosti i mjerenjem

performansi portfolia. Primjena teorije korisnosti podrazumijeva definiranje

investitorovih krivulja indiferencije, dok mjerenje performansi portfolia predstavlja

izračunavanje određenih pokazatelja odnosno tipova indeksa. Oba kriterija

optimizacije su primjenjiva u praksi kod različitih tipova problema (pod tim se

podrazumijeva njihova selektivna primjena prilikom korištenja tehnika za

izračunavanje efikasne granice). Najvažnija činjenica je ta da se pomoću njihove

primjene može doći do samo jednog optimalnog rješenja prilikom rješavanja zadanog

problema.

4.1. Optimizacija efikasnog investicijskog portfolia primjenom

72


teorije korisnosti

Očigledno je da će svaki racionalan investitor birati portfolia na efikasnoj granici s

obzirom da takva portfolia obećavaju najpovoljniju kombinaciju rizika i prinosa.

Međutim, pitanje koje se pritom postavlja glasi: Koji od tih portfolia najviše odgovara

nekom investitoru, odnosno koji od tih portfolia je optimalan za određenog

investitora? Da bi se dao precizan odgovor na postavljeno pitanje, u ovom poglavlju

su teoretski podrobnije objašnjeni pojmovi kao što su funkcija preferencije odnosno

funkcija očekivane korisnosti. Isto tako, pojašnjeno je značenje teorema očekivane

korisnosti kao i njegova primjena na konkretnom slučaju. Za kraj je ostavljen

grafički prikaz optimalnog rješenja na krivulji efikasne granice koje se postiže

ucrtavanjem adekvatnih krivulja indiferencije. Svaka od ucrtanih krivulja mora

odgovarati određenom tipu investitora i njegovim preferencijama.

4.1.1. Svojstva funkcije preferencije (teorem očekivane korisnosti)

Analiza bilo koje funkcije preferencije (iz postojećeg skupa funkcija preferencija)

započinje s izborom između dvije različite rizične imovine (problem jednostavnih

investicija). Pretpostavka je da postoje dvije alternativne investicije koje su prikazane

u Tablici 10. Obje investicije, A i B, imaju tri rezultata koji su svi jednako mogući.

Investicija A ima manju varijabilnost (promjenjivost) u svojim rezultatima u odnosu

na investiciju B, ali zato ima i veći prosječni rezultat.

Tablica 10: Rezultati dviju alternativnih investicija A i B

Investicija A: Investicija B:

Rezultat (W) Vjerojatnost rezultata P(W) Rezultat (W) Vjerojatnost

rezultata P(W)

15 1/3 20 1/3

10 1/3 12 1/35 1/3 4 1/3

73


Postoji više načina za odlučivanje između investicija A i B. Prema prvoj varijanti sam

donositelj odluke definira koju će investiciju preferirati, odnosno da li će prema njima

biti indiferentan. To je jednostavan pristup donošenja odluka. Postoji i drugi, složeniji

pristup koji započinje s definiranjem ocjena u kojoj mjeri su značajniji veći rezultati u

odnosu na manje rezultate. Nakon toga se ponderiraju rezultati prema njihovoj

vrijednosti (korisnosti), te izračunavaju očekivane vrijednosti tih ponderiranih

rezultata. Ovakva ideja zbrajanja odnosno traženja prosječne vrijednosti ponderiranih

rezultata je veoma raširena u praksi. Tako ponderirana funkcija proporcionalnog

udjela svakog rezultata je jednaka izračunu prosječne odnosno očekivane vrijednosti.

Ako E(U) označava funkciju očekivane vrijednosti od vrijednosti U, tada vrijedi da

je:

E(U) = W U(W)P(W) (XXII)

gdje je U(W) funkcija ponderirane vrijednosti rezultata W, a P(W) funkcija

vjerojatnosti da će se dogoditi rezultat W.

Dobivena funkcija se naziva i funkcija očekivane korisnosti, a definira se u skladu s

postavkama teorema očekivane korisnosti. Prema rezultatima iz Tablice 10,

ponderirane vrijednosti rezultata W su prikazane u Tablici 11:

Tablica 11: Ponderirane vrijednosti rezultata W

Rezultati (W) PonderiPonderirane vrijednosti rezultata W

20 0,9 18,0

15 1,0 15,0

12 1,1 13,2

10 1,2 12,0

5 1,4 7,04 1,5 6,0

Ukoliko se sada uvrste postignuti rezultati za svaku investiciju zasebno, dobiju se

slijedeće vrijednosti funkcije očekivane korisnosti:

74


Investicija A: E(U) = U(15)(1/3) + U(10)(1/3) + U(5)(1/3) =

= 15(1/3) + 12(1/3) + 7(1/3) = 34/3 .

Investicija B: E(U) = U(20)(1/3) + U(12)(1/3) + U(4)(1/3) =

= 18(1/3) + 13,2(1/3) + 6(1/3) = 37,2/3 .

Iz dobivenih vrijednosti je vidljivo da će potencijalni investitor uložiti svoja sredstva

u investiciju B zato što ona nudi veći prosječnu vrijednost očekivane korisnosti u

odnosu na investiciju A.

Zbog toga se može zaključiti kako će svaki potencijalni investitor prilikom odabira

između većeg broja investicija odabrati onu investiciju koja nudi maksimalnu

vrijednost funkcije očekivane korisnosti, odnosno ima slijedeću funkciju cilja:

funkcija cilja: Z (Wi) = max i=1N U(W)P(W) (XXIII)

Na osnovu prikazanog primjera alternativnog ulaganja u dvije investicije može se

ustvrditi kako je funkcija preferencije u ovom slučaju predstavljena funkcijom

očekivane korisnosti. Naime, svaki racionalni investitor prvenstveno teži

maksimiziranju vrijednosti očekivanog prinosa vlastitog investicijskog portfolia. Na

temelju prethodnog primjera može se zaključiti kako mu to uspijeva jedino ukoliko

maksimizira očekivanu korisnost od ulaganja u investicije. Ako se takav investitor

ponaša u skladu s određenim normama ponašanja tada je izbor preferirane investicije

obavljen ili na osnovu upotrebe teorema očekivane korisnosti ili na osnovu direktne

analize investicija (kako je napravljeno na prethodnom primjeru).

Teorem očekivane korisnosti je razvijen na osnovu skupa aksioma odnosno postulata

koji su vezani uz ponašanje investitora. Ukoliko se neki investitor ponaša u skladu s

tim postulatima, tada se ponašanje investitora ne može ni po čemu razlikovati od

onoga koji donosi odluku na temelju teorema očekivane korisnosti. Postoje ukupno

četiri aksioma, prva dva se odnose na određivanje preferencije na osnovu postignutih

rezultata, a druga dva se bave uspostavljanjem racionalnosti u situaciji kada već

postoji definiran redoslijed preferencija.

75


Aksiomi teorema očekivane korisnosti su slijedeći:

1. Usporedivost - Svaki investitor može uspostaviti preferenciju između svih

alternativnih vrijednosti rezultata. Ukoliko investitor ima izbor između rezultata A

i B, može izraziti preferenciju A u odnosu na B, preferenciju B u odnosu na A, ili

kao treću mogućnost indiferenciju između rezultata A i B. Pretpostavka prema

kojoj investitori mogu uspoređivati rezultate (koji su sigurni) se smatra

standardnom pretpostavkom ekonomske teorije.

2. Tranzitivnost - Ukoliko određeni investitor preferira A u odnosu na B, te B u

odnosu na C, tada A mora biti preferirano u odnosu na C. To je pretpostavka koja

govori o konzistentnosti investitora kada je u pitanju rangiranje rezultata. Iako

zvuči razumno kada se kaže da bi se većina investitora trebala tako ponašati, u

specijalnim situacijama to nije slučaj. U takvim situacijama nastaju teškoće zbog

činjenice da investitor nije u stanje razumjeti sve implikacije izbora zbog prevelike

složenosti problema. Ipak, i tada većina investitora pokušava donijeti svoju odluku

u skladu s aksiomom, iako je naglašena prisutnost ne tranzitivnosti.

3. Nezavisnost - Pretpostavka je da postoje dva različita pojma X i Y, te da je

investitor indiferentan prema njima. Određuje se i treći pojam Z. Nezavisnost

podrazumijeva činjenicu da je investitor indiferentan između slijedeće dvije kocke:

- X s vjerojatnošću P u odnosu na Z s vjerojatnošću 1-P, i

- Y s vjerojatnošću P u odnosu na Z s vjerojatnošću 1-P.

Činjenica je da će investitor istovremeno htjeti odabrati ili obje kocke ili nijednu.

Zbog toga se kaže kako on prema njima istovremeno pokazuje jednako dobre ili

jednako loše osjećaje (investitoru je svejedno koju kocku će odabrati).

4. Izvjesna jednakost - Za svaku kocku postoji vrijednost (zvana izvjesna jednakost)

takva da je investitor indiferentan između odabira kocke ili te izvjesne jednakosti.

Ova pretpostavka jednostavno govori o tome da sve ima svoju cijenu, pa tako i

odustajanje od odabira kocke u situaciji kada se zauzvrat može dobiti određena

materijalna vrijednost (novac).

76


Primjenom navedenih aksioma odnosno propisanih normi ponašanja svih investitora

može se na mnogim primjerima iz prakse upotrijebiti teorem očekivane korisnosti

kako bi se došlo do konačnog rezultata odnosno maksimalne vrijednosti funkcije

očekivane korisnosti. Isto tako, valja znati kako postoje situacije u kojima mnogi

investitori ne poštuju sve racionalne postulate, iako su upoznati s navedenim

principima koje u takvim slučajevima mogu smatrati logičnima. Takvi slučajevi se

pojavljuju kod problematičnih situacija odlučivanja gdje se problemi ne mogu svesti

na jednostavne investicije već se radi o složenim investicijama o kojima se ipak nije

detaljnije govorilo u ovome radu.

4.1.2. Ekonomske karakteristike funkcije korisnosti

U skladu s globalnim razmatranjima, postoje četiri osnovne ekonomske karakteristike

koje se odnose na sve funkcije korisnosti:

1. Prva ekonomska karakteristika koja se odnosi na funkciju korisnosti govori o

preferiranju većeg rezultata u odnosu na manji rezultat. Naime, ukoliko postoje dvije

različite razine korisnosti kod kojih prva iznosi X novčanih jedinica a druga X+1

novčanih jedinica, tada se uvijek odabire ona druga. Evidentno je kako se prilikom

odabira određenih investicija uvijek bira ona koja daje veći rezultat. Ukoliko se

rezultat funkcije korisnosti prikaže u terminu bogatstva (blagostanja), tada se može

kazati kako se uvijek preferira ona funkcija korisnosti koja kao rezultat daje veće

bogatstvo, a ne manje bogatstvo. Ukoliko uslijed povećanja bogatstva dođe do

povećanja korisnosti, tada će prva derivacija funkcije korisnosti biti pozitivna

vrijednost (u tom slučaju je bogatstvo nezavisna varijabla). Time se dobije prva

ekonomska karakteristika funkcije korisnosti koja kaže da je prva derivacija

funkcije korisnosti pozitivna.

2. Druga ekonomska karakteristika funkcije korisnosti definira skup pretpostavki o

investitorovim sklonostima riziku. Moguće su tri osnovne pretpostavke: investitor

ima averziju prema riziku, investitor je neutralan u odnosu na rizik i investitor

je sklon riziku. Sve tri pretpostavke mogu biti definirane kao moguće opcije

77


prilikom odabira fer kockanja. Stoga su za razmatranje ponuđene mogućnosti (opcije)

koje su prikazane u Tablici 12.

Tablica 12: Primjer fer kockanja

Investirati: Ne investirati:

Rezultat Vjerojatnost rezultata Rezultat Vjerojatnost

rezultata

2 1/2 1 1/10 1/2

Opcija investiranja ima očekivanu vrijednost u iznosu od (1/2) (2) + (1/2) (0) = 1

USD. Pretpostavka je da je investitor spreman platiti 1 USD radi preuzimanja opcije

investiranja i postizanja mogućih rezultata. Ukoliko pak investitor odabere opciju ne

investirati, ostaje mu 1 USD kao rezultat. Pozicija investitora može biti poboljšana ili

pogoršana preuzimanjem opcije investiranja. Isto tako, u slučaju opcije investiranja

kao treća mogućnost se pojavljuje investitorovo očekivanje da neće biti ikakvih

promjena u njegovoj poziciji. Zato što je očekivana vrijednost kockanja prikazana u

Tablici 12 u potpunosti jednaka svojim troškovima, takva situacija se zove fer

kockanje.

Na redu je razmatranje svih triju osnovnih pretpostavki o investitorovim sklonostima

riziku u sklopu navedenog primjera fer kockanja:

a) Averzija prema riziku znači da će investitor odbaciti fer kockanje. U terminima

rezultata iz Tablice 12 to znači da će investitor zasigurno odabrati rezultat od 1 USD

nasuprot jednakim šansama da dobije rezultate od 2 USD ili 0 USD. Averzija prema

riziku podrazumijeva da je druga derivacija funkcije korisnosti negativna U''(W)<0

. Tvrdnja se istražuje na slijedeći način. Na primjer, ukoliko određeni investitor

odabere opciju ne investiranja, u tom slučaju očekivana korisnost od ne investiranja

mora biti veća od očekivane korisnosti investiranja kao što je prikazano slijedećim

izrazom: U(1) > (1/2) U(2) + (1/2) U(0), nakon što se sredi izraz dobije se

relacija: U(1) - U(0) > U(2) - U(1) .

78


Ako se analizira dobivena relacija može se zaključiti kako jedinična promjena između

0 i 1 ima mnogo veću vrijednost od jedinične promjene između 1 i 2. U tom slučaju

će investitor odbaciti fer kockanje zbog toga što je moguća šteta od investiranja veća

od moguće koristi od ne investiranja. Funkcija u kojoj je dodatno jedinično povećanje

izraženije od prethodnog jediničnog povećanja predstavlja funkciju s negativnom

drugom derivacijom.

b) Neutralnost u odnosu na rizik predstavlja situaciju u kojoj je investitor indiferentan

o tome hoće li ili neće investirati. U terminima rezultata iz Tablice 12 to znači da će

investitoru biti sasvim svejedno odabere li mogućnost investiranja ili odustane od nje.

Neutralnost u odnosu na rizik podrazumijeva situaciju u kojoj je druga derivacija

funkcije korisnosti jednaka nuli U''(W)=0 . Analiza ove tvrdnje je slijedeća. Naime,

za onog investitora kojemu je svejedno hoće li investirati ili neće, vrijednosti

očekivane korisnosti investiranja i ne investiranja moraju biti jednake kako je

prikazano izrazom: U(1) = (1/2) U(2) + (1/2) U(0), nakon što se izraz sredi

dobije se relacija: U(1) - U(0) = U(2) - U(1). Uspoređujući lijevu i desnu stranu jednakosti može se vidjeti kako su jedinične

promjene između 0 i 1 te 1 i 2 identične. Funkcija u kojoj su jedinična povećanja

jednaka i neovisna jedna o drugom predstavlja funkciju s drugom derivacijom

jednakoj nuli.

c) Sklonost riziku znači da će investitor odabrati fer kockanje. U terminima rezultata

iz Tablice 12 to znači da će investitor zasigurno odabrati mogućnost za jednakim

šansama za rezultatima od 2 USD ili 0 USD nasuprot rezultatu od 1 USD. Sklonost

riziku podrazumijeva da je druga derivacija funkcije korisnosti pozitivna U''(W)>0 .

I ova posljednja tvrdnja se istražuje. Na primjer, ukoliko određeni investitor odabere

opciju investiranja, u tom slučaju očekivana korisnost od investiranja mora biti veća

od očekivane korisnosti ne investiranja kao što je prikazano ovim izrazom:

U(1) < (1/2) U(2) + (1/2) U(0), nakon što se sredi izraz dobije se relacija:

U(2) - U(1) > U(1) - U(0) .Ako se analizira dobivena relacija može se zaključiti kako jedinična promjena između

2 i 1 ima mnogo veću vrijednost od jedinične promjene između 1 i 0. U tom slučaju

će investitor odabrati fer kockanje zbog toga što je moguća korist od investiranja veća

79


od moguće koristi od ne investiranja. Funkcija u kojoj je dodatno jedinično povećanje

izraženije od prethodnog jediničnog povećanja predstavlja funkciju s pozitivnom

drugom derivacijom.

Kratki pregled triju osnovnih opcija o investitorovim sklonostima riziku je prikazan

zajedno s osnovnim obilježjima u Tablici 13.

Tablica 13: Opcije investitorovih sklonosti riziku

Uvjet Definicija Posljedica

1. Averzija prema riziku Odbacuje fer kockanje U''(0) < 0

2. Neutralnost u odnosu na rizik Indiferentan prema fer kockanju U''(0) = 03. Sklonost riziku Odabire fer kockanje U''(0) > 0

Grafički prikazi karakterističnih funkcija korisnosti s različitim koeficijentima

sklonosti riziku su prikazani na Slici 28 i Slici 29.

Slika 28: Oblici krivulja funkcije korisnosti u prostoru bogatstva

U(W) 1

3 2

W

Slika 29: Oblici krivulja funkcije korisnosti u prostoru očekivanog prinosa i

standardne devijacije

r

3 1

80


2

Napomena uz grafikone:

1 - funkcija korisnosti investitora sklonog riziku.

2 - funkcija korisnosti investitora neutralnog u odnosu na rizik.

3 - funkcija korisnosti investitora koji ima averziju prema riziku.

3. Treća ekonomska karakteristika funkcije korisnosti definira pretpostavku o tome

na koji način se investitorove preferencije mijenjanju s promjenom bogatstva. Ako

bogatstvo investitora raste, u tom slučaju pitanje glasi da li više ili manje tog

bogatstva treba biti investirano u rizični portfolio? Ukoliko investitor povećava

novčani udio svoje imovine investirane u rizični portfolio paralelno s povećanjem

svojeg bogatstva, tada se za njega kaže da smanjuje apsolutnu averziju prema riziku.

Ako investitor ne mijenja novčani udio svoje imovine investirane u rizični portfolio u

situaciji povećanja svojeg bogatstva, tada se za njega kaže da drži konstantnom

apsolutnu averziju prema riziku. I konačno, ako investitor smanjuje novčani udio

svoje imovine investirane u rizični portfolio paralelno s povećanjem svojeg bogatstva,

tada se za njega kaže da povećava apsolutnu averziju prema riziku.

Ako su U'(W) i U''(W) prva i druga derivacija od funkcije bogatstva na nivou

bogatstva W, tada se može kazati kako je mjera za apsolutnu averziju investitora

prema riziku jednaka:

A(W) = -U''(W) / U'(W) (XXIV)

U tom slučaju A'(W), derivacija od A(W), predstavlja prilagođenu mjeru o tome kako

se ponaša apsolutna averzija prema riziku s obzirom na promjene u bogatstvu. U

Tablici 14 su prikazani odnosi između A'(W) i promjene u averziji prema riziku te

primjeri funkcija korisnosti za svaki tip ponašanja.

81


Tablica 14: Promjene u apsolutnoj averziji prema riziku

4. Posljednja, četvrta ekonomska karakteristika funkcije korisnosti se primjenjuje za

ograničenje investitorove funkcije korisnosti u tom smislu da kazuje kako se mijenja

postotak investitorove imovine uložene u rizični portfolio s promjenom bogatstva.

Ako investitor ulaže veći postotak svoje imovine u rizični portfolio paralelno s

povećanjem bogatstva, tada se kaže kako on povećava relativnu averziju prema

riziku. Ako pak ulaže manji postotak svoje imovine u rizični portfolio paralelno s

povećanjem bogatstva, tada se kaže kako smanjuje relativnu averziju prema riziku.

Relativna averzija prema riziku je usko povezana s apsolutnom averzijom prema

riziku. Osnovna razlika između te dvije mjere je u tome da relativna averzija prema

riziku iskazuje postotnu promjenu imovine investirane u rizični portfolio za razliku

od apsolutne averzije prema riziku koja iskazuje promjenu novčanog udjela imovine

investirane u rizični portfolio. Mjera za relativnu averziju investitora prema

riziku je jednaka:

R(W) = -WU''(W) / U'(W) = WA(W) (XXV)Ako je R'(W) prva derivacija od W, tada R'(W) < 0 znači da funkcija korisnosti

pokazuje smanjenje relativne averzije prema riziku. U situaciji kada je R'(W) = 0

funkcija korisnosti pokazuje konstantnost relativne averzije prema riziku. I na kraju,

ako je R'(W) > 0 tada funkcija korisnosti pokazuje povećanje relativne averzije prema

riziku. Svi rezultati su prikazani u Tablici 15, kao i primjeri funkcija korisnosti za

svaki tip ponašanja.

82

Uvjet Definicija Svojstva od A'(W)Primjer funkcije

korisnosti

1. Povećanje apsolutne averzije prema rizikuPovećanjem bogatstva treba držati manju količinu imovine u rizičnom portfoliu.

A'(W) > 0 W(-C)*(W*W)

2. Konstantnost apsolutne averzije prema rizikuPovećanjem bogatstva treba držati umjerenu količinu imovine u rizičnom portfoliu.

A'(W) = 0 -e(-C)*(W)

3. Smanjenje apsolutne averzije prema rizikuPovećanjem bogatstva treba držati veću količinu imovine u rizičnom portfoliu.

A'(W) < 0 ln W


Tablica 15: Promjene u relativnoj averziji prema riziku

4.1.3. Krivulje indiferencije

Koncept krivulje indiferencije se zasniva na teoriji funkcije korisnosti i iz nje

izvedenoj averziji investitora prema riziku. Zbog različite nesklonosti riziku

investitori će tražiti i različite premije rizika kojom će kompenzirati smanjenu

korisnost zbog rizika. Krivulja indiferencije pokazuje povezanost između averzije

prema riziku i prihvatljive premije rizika investitora. Na krivulji indiferencije se

nalaze sve kombinacije investicija koje imaju identičnu korisnost za određenog

investitora tako da je on indiferentan prema njihovom izboru.

U promatranje su odabrane dvije različite krivulje indiferencije od kojih se jedna

odnosi na konzervativnog, a druga na agresivnog investitora (koji su već prije

spomenuti u 2. i 3. poglavlju). Konzervativni investitor ima izrazitu averziju prema

riziku tako da u njegovoj politici investiranja prevladava princip sigurnosti. S druge

strane, i agresivni investitor nije sklon riziku ali ipak ne u tolikoj mjeri kao i

konzervativni investitor, tako da u njegovoj politici investiranja prevladava princip

profitabilnosti. Ako se pogleda grafički prikaz krivulja indiferencije na Slici 30,

mogu se izvesti slijedeći zaključci.

Slika 30: Krivulje indiferencije

očekivani prinos portfolia

konzervativni investitor

83

Uvjet Definicija Svojstva od R'(W)Primjer funkcije

korisnosti

1. Povećanje relativne averzije prema rizikuPostotak investiranja u rizični portfolio se smanjuje u situaciji povećanja bogatstva.

R'(W) > 0 W - b*W2

2. Konstantnost relativne averzije prema rizikuPostotak investiranja u rizični portfolio ostaje nepromijenjen u situaciji povećanja bogatstva.

R'(W) = 0 ln W

3. Smanjenje relativne averzije prema rizikuPostotak investiranja u rizični portfolio se povećava u situaciji povećanja bogatstva.

R'(W) < 0 -e2W-1/2


agresivni investitor

K

A

f rizik portfolia

Krivulja indiferencije konzervativnog investitora je strmija od krivulje indiferencije

agresivnog investitora. To je pokazatelj da konzervativni investitor ima veću averziju

prema riziku. Zbog toga je konzervativni investitor za razliku od agresivnog

investitora spreman tražiti veću premiju rizika za investicije koje imaju isti rizik

portfolia ( f K > A ). Agresivni investitor je pak skloniji prihvaćanju rizika uz

istovremenu mogućnost ostvarivanja višeg prinosa.

Krivulja indiferencije se može pomicati na više ili na niže. Više krivulja indiferencije

označava i veći nivo korisnosti u odnosu na nižu krivulju. Svaki investitor može

iscrtati svoju mapu neograničenog broja krivulja indiferencije. Izbor optimalnog

portfolia se temelji na teoriji korisnosti i principu dominacije portfolia. To znači da se

odabire samo portfolio s efikasne granice. Optimalan portfolio za potencijalnog

investitora će biti onaj koji predstavlja tangentu njegove krivulje indiferencije

na efikasnu granicu. Svaki drugi efikasan portfolio ne zadovoljava interese

investitora prema njegovoj averziji prema riziku jer ima manju korisnost od

optimalne (ostvaruje niži prinos te nema zadovoljavajuću premiju rizika). Stoga se

može zaključiti kako je optimalan portfolio za svakog investitora onaj portfolio koji

mu osigurava maksimalnu korisnost. Primjer optimalnog portfolia kojeg predstavlja

točka u kojoj se dodiruju krivulja indiferencije i efikasna granica je grafički prikazan

na Slici 31. Prikazana su dva optimalna portfolia (A i B) - za konzervativnog i

agresivnog investitora zasebno. Vidljivo je da će konzervativni investitor ostvarivati

manji prinos od agresivnog investitora, ali uz znatno manji rizik ulaganja. S druge

strane, agresivni investitor će ostvarivati veći prinos od konzervativnog investitora,

no pri tome će mu biti povećan rizik ulaganja.

84


Slika 31: Optimalni portfolio (A i B)

prinos

konzervativni investitor agresivni investitor

B

A

rizik portfolia

S obzirom na dosadašnju analizu, važno je na kraju spomenuti da ne postoji

jedinstveni optimalni portfolio što je prije svega prouzročeno različitim sklonostima

investitora. Naime, kao što je već ranije u više navrata spomenuto, ovisno o različitim

sklonostima prema riziku te ostvarenju što većeg prinosa, svaki investitor će imati

svoju vlastitu krivulju indiferencije kojom će se pozicionirati na efikasnu granicu.

Stoga se može kazati kako je određivanje optimalnog portfolia u ovom slučaju

individualna stvar svakog investitora, te se stoga ne može sveukupno generalizirati

(niti se može primijeniti univerzalni postupak rješavanja).

Zbog svega navedenog, valja znati kako se optimizacija efikasnog investicijskog

portfolia primjenom teorije korisnosti u pravilu upotrebljava kod onih tehnika za

izračunavanje koje kao konačno rješenje nude krivulju efikasne granice. Radi se o

primjerima investicijskih portfolia kod kojih je isključivo dozvoljeno rizično

uzajmljivanje i pozajmljivanje s obzirom da ne postoji bezrizična imovina (vidi

tehnike za izračunavanje pod 3.3.2. i 3.3.4.). To znači da se samo određenim

pozicioniranjem krivulje indiferencije bilo kojeg investitora na efikasnu granicu može

dobiti jedinstveno optimalno rješenje.

4.2. Optimizacija efikasnog investicijskog portfolia mjerenjem

performansi portfolia

85


Na prethodnom primjeru teorije korisnosti moglo se vidjeti kako se može dobiti više

optimalnih rješenja efikasnih investicijskih portfolia. Svaki tako odabrani portfolio je

optimalan s obzirom na sklonosti investitora koje se pritom manifestiraju. Bilo da se

radi o konzervativnom ili agresivnom investitoru, svaki put će se njegova krivulja

indiferencije drugačije pozicionirati na efikasnoj granici. Stoga je donesen zaključak

kako ne postoji jedinstveni optimalni portfolio koji se može odrediti primjenom

teorije korisnosti. S druge strane, u slučaju optimizacije efikasnog investicijskog

portfolia mjerenjem performansi portfolia može se definirati samo jedno optimalno

rješenje na temelju skupa efikasnih rješenja. Naime, takvo optimalno rješenje

predstavlja isključivo onaj rizični portfolio koji u kombinaciji s nerizičnim portfoliom

ima za rješenje pravac efikasne granice s maksimalnim nagibom. U tom slučaju takav

rizični portfolio predstavlja jedino optimalno rješenje u varijanti kada investitor sav

svoj portfolio investira u rizičnu imovinu (to je jedna od mogućih kombinacija

investiranja). Da bi se moglo izračunati takvo optimalno rješenje, potrebni su novi

tipovi pokazatelja, odnosno nove mjere performansi portfolia. Radi se o tipovima

indeksa, kao što je na primjer Sharpeov indeks, koji mogu dati samo jedno

optimalno rješenje problema (kada se isključivo ulaže u rizični portfolio). Njihovom

primjenom se može steći pouzdanija slika o tome kakav je stvarni položaj nekog

investicijskog portfolia i s kakvom uspješnošću se vodi. Temeljna zajednička

karakteristika za sva tipove indeksa govori o tome da se mjerenje performansi

investicijskog portfolia odnosno mjerenje njegovog prinosa (r) promatra kroz

prizmu rizika neovisno o tome na koji način se taj rizik izražava (može biti riječi ili o

mjeri za ukupni rizik portfolia () ili o mjeri za sistematski rizik ()). Isto tako, valja

spomenuti kako svi tipovi indeksa implicitno pretpostavljaju da je moguće

posuđivanje imovine (novca) uz bezrizičnu stopu prinosa (rf). U praksi se smatra da

se takva bezrizična stopa prinosa uobičajeno ostvaruje kod vrijednosnih papira na

tržištu novca, pri tome se najčešće misli na kratkoročne državne blagajničke zapise.

4.2.1. Tipovi indeksa za mjerenje performansi portfolia

86


Tipovi indeksa za mjerenje performansi portfolia pripadaju u skup instrumenata koje

je znanost upravljačkih financija namijenila za praktično djelovanje. Pojavili su se

otprilike u isto vrijeme, krajem 60-tih godina prošlog stoljeća, a dobili su imena

prema znanstvenicima koji su ih i patentirali. Zbog toga se mogu smatrati veoma

korisnim rješenjima koja se ipak u određenim situacijama moraju usklađivati sa

stvarnim poslovanjem odgovarajućih investicijskih fondova. To je razlog zašto se

ponekad smatraju samo kao polazna odnosno inicijalna rješenja prilikom detaljnije

razrade složenijih problema.

Postoje tri osnovna tipa indeksa za mjerenje performansi portfolia:

1. Sharpeov indeks

2. Treynorov indeks

3. Jensenov indeks

Indeksi se mogu razvrstati u dvije osnovne kategorije s obzirom na mjeru rizika koju

koriste. U prvoj kategoriji je Sharpeov indeks koji koristi mjeru ukupnog rizika

portfolia (), dok su u drugoj kategoriji Treynorov i Jensenov indeks koji koriste

mjeru sistematskog rizika portfolia (). Izračunavanje Sharpeovim indeksom se

koristi prilikom rješavanja problema investicijskog portfolia upotrebom moderne

portfolio teorije, za razliku od Treynerovog i Jensenovog indeksa koji se koriste uz

model procjenjivanja kapitalne imovine (CAPM), što također podrazumijeva njihovu

primjenu kod jednoindeksnog modela te modela arbitražne teorije procjenjivanja s

jednim faktorom rizika. Zbog toga se o Sharpeovom indeksu, koji je u ovom slučaju

interesantniji indeks za proučavanje, detaljnije govori u slijedećem dijelu ovog

poglavlja, dok je sada izvršena analiza preostala dva indeksa (ali ne toliko detaljno s

obzirom da CAPM i ostale teorije tržišta kapitala nisu glavna tema ovog rada).

1. Treynorov indeks

U koncipiranju pokazatelja za mjerenje performansi portfolia, Treynor je smatrao da

je bolje se osloniti na sistematski rizik, nego na ukupni rizik kao što je to učinio W.F.

87


Sharpe. Zbog toga se Treynor opredijelio za primjenu beta koeficijenta () kao mjere

sistemskog rizika, čime se postavilo pitanje utvrđivanja odgovarajućeg odnosno

karakterističnog regresijskog pravca (koji je identičan onome kod jednoindeksnog

modela). Opći izraz Treynorove karakterističnog regresijskog pravca izgleda ovako:

rAt = A + Armt + At (XXVI)

gdje je rAt prinos portfolia A u vremenu t, A je slobodni regresijski koeficijent za

portfolio A, A je koeficijent regresije za portfolio A odnosno mjera sistematskog

rizika, rmt je indeks tržišnog prinosa u vremenu t i At je neobjašnjivi prinos portfolia

A u vremenu t (rezidual).

Karakteristični regresijski pravac se može grafički prikazati na Slici 32 (strana 90).

Na os ordinate se nanosi stopa prinosa portfolia, a na os apscise visinu sistematskog

rizika. Dužina rfA predstavlja kombinaciju bezrizične imovine i rizičnog portfolia A.

Prema modelu procjenjivanja kapitalne imovine, dužina rfA se tretira kao pravac

tržišta kapitala (CML), odnosno kao novi efikasni portfolio. Na taj način se može

kazati kako je polazna točka za izračunavanje optimalnog rješenja investicijskog

portfolia skup efikasnih rješenja (odnosno efikasna granica). Prosječnu stopa prinosa

portfolia A predstavljarAt. Radi se o prosječnoj vrijednosti svih stopa prinosa

portfolia A kroz određeno vremensko razdoblje promatranja t (najčešće je u pitanju

prosjek vrijednosti mjesečnih prinosa određenog portfolia koji se onda svode na

interval godine tj. anualiziraju). Na grafu se vidi i ucrtana vrijednost rf koja

predstavlja već od prije definiranu bezrizičnu stopa prinosa.

Slika 32: Performanse portfolia A

prinos portfolia (rmt)

rAt A

88


rf X

sistematski rizik portfolia ()

Ako se pogleda grafički prikaz, vidi se i kut , koji se nalazi u trokutu rfAX.

Izračunavanjem tangensa kuta dobije se omjer nasuprotne i prilažeće katete

trokuta rfAX, što predstavlja vrijednost Traynerovog indeksa za rizični portfolio A:

tg A = (rAt - rf ) / A (XXVII)

Što je veća vrijednost tangensa kuta , odnosno Treynorovog indeksa, to su bolje

performanse analiziranog investicijskog portfolia. Dakle, prema gornjem izrazu, onaj

portfolio koji daje najveći omjer prinosa i rizika predstavlja optimalno rješenje, a

njegova funkcija cilja izgleda ovako:

funkcija cilja: Z ( i ) = max tg i } (XXVIII)

gdje je i kut što ga zatvara rizični portfolio i (i=1,2,...,N) u trokutu rfiX. Ukupan broj

rizičnih portfolia iznosi N.

2. Jensenov indeks

Za razliku od Treynora, Jensenova temeljna teza je da se svaki pojedinačni portfolio

vrijednosnih papira mora uspoređivati s linijom tržišta vrijednosnih papira (SML).

Time se pokazuje kolika je diferencija između očekivane stope prinosa pojedinačnog

portfolia vrijednosnih papira i stope prinosa koja je proistekla iz portfolia

vrijednosnih papira koji je pozicioniran na pravcu tržišta vrijednosnih papira. Njegova

ideja se može lijepo razabrati i razumjeti na slijedećem grafičkom primjeru (Slika

33).

Slika 33: Položaj investicijskog portfolia A u odnosu na

89


pravac tržišta vrijednosnih papira (SML)

očekivani prinos portfolia (E(r))

CML

A

SML

rf A’

sistematski rizik portfolia ()

Stvarni položaj pojedinačnog portfolia A je određen točkom A. Budući da Jensen

razmatra položaj bilo kojeg pojedinačnog portfolia u odnosu prema pravcu tržišta

vrijednosnih papira, potrebno je naći korespodentnu točku koja leži na pravcu tržišta

vrijednosnih papira. To je i učinjeno tako da je ucrtana točka A’. Na temelju tih

točaka, Jensen je postavio slijedeću jednadžbu koja ujedno i predstavlja vrijednost

njegovog indeksa:

JA = E(rAt) - rf + (E(rmt) - rf) A (XXIX)

gdje je JA Jensenov indeks portfolia A, E(rAt) očekivana stopa prinosa pojedinačnog

portfolia A u vremenu t, rf prinos bezrizične imovine, E(rmt) očekivana stopa prinosa

tržišnog portfolia u vremenu t i A veličina sistematskog rizika pojedinačnog portfolia

A.

Ukoliko pojedinačni portfolio A posjeduje podcijenjene vrijednosne papire, imat će

uvijek pozitivnu vrijednost Jensenovog indeksa. Nasuprot tome, ukoliko pojedinačni

portfolio A posjeduje precijenjene vrijednosne papire, vrijednost Jensenovog indeksa

će mu uvijek biti negativna. Ta činjenica će se reflektirati na grafičkom prikazu na taj

način da će portfolio koji ima pozitivnu vrijednost Jensenovog indeksa uvijek biti

pozicioniran iznad pravca tržišta vrijednosnih papira (kao što je ovdje primjer sa

90


portfoliom A). Sva portfolia kojima je negativan Jensenov indeks moraju biti

pozicionirana ispod pravca tržišta vrijednosnih papira.

Glavni cilj je kao i kod Treynorovog indeksa, doći do optimalnog rješenja. Prva korak

za tako nešto je pretpostavka da se pojedinačni portfolio A, kao i svaki drugi portfolio

koji se analizira, nalazi na skupu efikasnih rješenja (odnosno efikasnoj granici). Valja

se prisjetiti da prema modelu procjenjivanja kapitalne imovine pravac tržišta kapitala

(CML) predstavlja tu novu granicu efikasnog portfolia koja je rezultat uvođenja

bezrizične imovine. Ukoliko je efikasna granica pozicionirana iznad pravca tržišta

vrijednosnih papira, to znači da se ostvaruju bolji rezultati s određenim portfoliom

nego u obrnutoj situaciji (to je slučaj prema Slici 33). Stoga se kao zaključak nameće

pretpostavka da se optimalno rješenje kod upotrebe Jensenovog indeksa može postići

slijedećom funkcijom cilja:

funkcija cilja: Z ( Jk ) = max Jk (XXX)

gdje je Jk vrijednost Jensenovog indeksa za rizični portfolio k (k=1,2,...,N). Ukupan

broj rizičnih portfolia iznosi N.

4.2.2. Sharpeov indeks

Sharpeov indeks reflektira u kojoj mjeri je managersko ponašanje u oblikovanju

portfolia vrijednosnih papira orijentirano prema riziku, odnosno koliko su

managerske odluke vezane uz portfolio vrijednosnih papira opterećene rizikom. Za

razliku od prethodna dva indeksa, Sharpeov indeks nema beta koeficijent () kao

mjeru rizika, već umjesto njega koristi standardnu devijaciju (). Zbog toga je u

kontekstu ovog rada Sharpeov indeks interesantniji, jer se može koristiti prilikom

rješavanja problema investicijskog portfolia upotrebom moderne portfolio teorije

(primjenjuje se u empirijskoj analizi). Ukoliko se na takav način riješi jedan problem

investicijskog portfolia, dobije se za rješenje pravac efikasne granice koji predstavlja

kombinaciju rizične i bezrizične imovine u prostoru očekivanog prinosa i standardne

91


devijacije. Važno je znati da je riječ o primjeru efikasne granice kod bezrizičnog

uzajmljivanja i pozajmljivanja. Nakon toga, primjenom Sharpeovog indeksa može se

iz dobivenog skupa efikasnih rješenja kao konačni cilj dobiti samo jedno optimalno

rješenje koje u stvari predstavlja vrijednost preferiranog rizičnog portfolia. Takvo

optimalno rješenje koje se dobije primjenom Sharpeovog indeksa nije ništa drugo

nego jedno od mogućih efikasnih rješenja iz skupa efikasnih rješenja koje se isto tako

postiže implementacijom određenih tehnika za izračunavanje kod kojih je dozvoljeno

bezrizično pozajmljivanje i uzajmljivanje (vidi pod 3.3.1. i 3.3.3.).

Stoga, se može zaključiti kako je Sharpeov indeks zapravo već impostiran (unesen) u

funkciju cilja matematičkog modela kod navedenih primjera tehnika za izračunavanje

efikasne granice.

Grafički prikaz izračuna Sharpeovog indeksa je pokazan na Slici 34. Na os apscise

umjesto sistematskog rizika se unese ukupni rizik portfolia, a na os ordinate prinos

portfolia. Točka B predstavlja položaj investicijskog portfolia B. Bezrizična stopa

prinosa je jednaka rf. Prosječnu stopa prinosa portfolia B predstavljarBt. Dužina koja

spaja nerizičnu imovinu i rizični investicijski portfolio B je označena s rfB (naravno,

riječ je o efikasnoj granici).

Slika 34: Performanse portfolia B

prinos portfolia (rmt)

rBt B

rf Y

ukupni rizik portfolia ()

92


Izračun Sharpeovog indeksa se postiže na identičan način kao i kod Treynorovog

indeksa (postoje gledišta da rezultati primjene Sharpeovog i Treynorovog indeksa

daju približno iste rezultate). Najprije se odredi trokut rfBY, te u njemu kut .

Tangens kuta predstavlja odnos nasuprotne i prilažeće katete što je jednako

vrijednosti Sharpeovog indeksa za rizični portfolio B:

tg B = (rBt - rf) / B (XXXI)

Što je veća vrijednost tangensa kuta , to je i bolji rezultat koji daje Sharpeov indeks.

Onaj investicijski portfolio koji daje najveći omjer prinosa i rizika predstavlja

optimalno rješenje, a njegova funkcija cilja u tom slučaju izgleda ovako:

funkcija cilja: Z ( i ) = max tg i } (XXXII)

gdje je i kut što ga zatvara rizični portfolio i (i=1,2,...,N) u trokutu rfiY. Ukupan broj

rizičnih portfolia iznosi N.

Može se primijetiti kako je dobivena funkcija cilja identična izgledu funkcije cilja kao

i kod već spomenutih tehnika za izračunavanje efikasne granice (relacije XVIII i

XX). Jedina razlika je u korištenju simbolarit odnosno rp (koji daju iste rezultate).

5. Empirijska analiza odabranog investicijskog portfolia

američkih državnih obveznica

Nakon što je u prethodnim poglavljima ovog rada napravljena teoretska postavka

moderne portfolio teorije, u ovom poglavlju je kao završni korak obavljena

empirijska analiza odabranog investicijskog portfolia primjenom moderne portfolio

teorije.

Za analizu je odabran skup od 9 različitih vrsta vrijednosnih papira s financijskih

tržišta Sjedinjenih Američkih Država koji se međusobno razlikuju s obzirom na

rokove dospijeća. Takvi vrijednosni papiri se zbog svojih zajedničkih karakteristika

prepoznaju pod jednim jedinstvenim imenom - državne obveznice. Vremensko

razdoblje promatranja odgovarajućih parametara obveznica približno iznosi 14

godina, što je dobivenim rezultatima dalo visok nivo reprezentativnosti odnosno

93


pouzdanosti. Nakon što je definiran takav investicijski portfolio, te nakon što su

pribavljeni svi potrebni podaci za njegovu analizu, pristupilo se definiranju

matematičkog modela. On je odabran na temelju jedne od četiri moguće tehnike za

izračunavanje efikasne granice. Rješavanje odabranog modela je obavljeno

primjenom računala odnosno upotrebom odgovarajućih softvera. Interpretacija

dobivenog optimalnog rješenja je izvedena u skladu s postavljenim kriterijima

optimizacije. Za kraj su ostavljene modifikacije optimalnog rješenja što je

podrazumijevalo korištenje drugih tehnika za izračunavanje efikasne granice uz

raspoloživost istim podacima odnosno parametrima.

Postignuti rezultati ove empirijske analize su dali značajan doprinos prilikom

donošenja konačnih zaključaka vezanih uz glavna pitanja ovog rada. Na osnovu njih

su uglavnom potvrđena sva prethodna teoretska razmatranja koja su se odnosila na

primjenu moderne portfolio teorije kod optimizacije karakterističnih investicijskih

portfolia.

5.1. Definiranje investicijskog portfolia američkih državnih

obveznica

Odabrani investicijski portfolio američkih državnih obveznica se sastoji od 9 različitih

vrsta vrijednosnih papira koji se međusobno razlikuju prema svojem dospijeću.

U prvu kategoriju tog investicijskog portfolia spadaju kratkoročni vrijednosni papiri

na tržištu novca koje u ovom slučaju predstavljaju tromjesečni i šestomjesečni

blagajnički zapisi.

Drugu kategoriju investicijskog portfolia sačinjavaju dugoročni vrijednosni papiri na

tržištu kapitala koji imaju fiksni prinos. Radi se o trezorskim zapisima od 1 do 3

godine dospijeća, od 3 do 5 godina dospijeća, od 5 do 7 godina dospijeća te od 7 do

10 godina dospijeća. Preostala tri vrijednosna papira pripadaju obveznicama koje

94


imaju rok dospijeća od 10 do 15 godina, od 15 do 30 godina te maksimalnih 30

godina.

Rekapitulacija svih 9 vrsta vrijednosnih papira koji se koriste u empirijskoj

analizi je slijedeća:

Puni naziv vrijednosnog papira: Skraćeni naziv vrijednosnog papira:

1. tromjesečni blagajnički zapisi 3mth bill

2. šestomjesečni blagajnički zapisi 6mth bill

3. trezorski zapisi od 1 do 3 godine 1-3 yrs

4. trezorski zapisi od 3 do 5 godina 3-5 yrs



7. obveznice od 10 do 15 godina 10-15 yrs

8. obveznice od 15 do 30 godina 15-30 yrs

9. tridesetogodišnje obveznice 30 yrs

Skraćeni nazivi vrijednosnih papira su kratice iz engleskog jezika koje se uobičajeno

koriste na svjetskim financijskim tržištima za njihovo obilježavanje.

Zajednička karakteristika svih nabrojanih vrijednosnih papira je ta da su izdani od

strane američke federalne vlade. To je i glavni razlog da se odlikuju visokim

stupnjem bezrizičnosti, uz napomenu da im je unaprijed poznata visina prinosa.

S obzirom na zajedničko porijeklo i navedene karakteristike koje su najbliže

karakteristikama tradicionalnih obveznica, u ovoj analizi se navedene kategorije

vrijednosnih papira tretiraju kao jedinstvena kategorija, kojoj je dan naziv državne

obveznice.

5.2. Priprema i sakupljanje podataka za matematički model

Da bi se pripremili svi potrebni podaci za daljnje korištenje u matematičkom modelu,

trebalo je najprije izvršiti njihovo prikupljanje. Podaci o tržišnoj vrijednosti indeksa

95


američkih državnih obveznica su predočeni od strane Merrill Lynch kompanije, koja

iskazuje vrijednosti svojih indeksa na dnevnoj osnovi. Odabrani indeksi pripadaju 1.

sektoru (SOV) prema službenoj klasifikaciji Merrill Lynch indeksa. To je razumljivo

s obzirom da se radi o najkvalitetnijim obveznicama Sjedinjenih Američkih Država

koje pripadaju grupaciji ekonomski najrazvijenijih zemalja svijeta. Uslijed velike

vremenske serije podataka od skoro 14 godina (od 31. prosinca 1987. godine do 30.

rujna 2001. godine), indeksi nisu odabrani na dnevnoj osnovi već su korištene njihove

prosječne mjesečne vrijednosti (ukupno ih ima 166). Takve prosječne mjesečne

vrijednosti indeksa su dobivene na temelju zbroja svih vrijednosti dnevnih indeksa u

mjesecu podijeljenog s ukupnim brojem dnevnih indeksa objavljenih za taj mjesec.

Prikupljanje svih vrijednosti odabranih indeksa je obavljeno na način da su podaci

preuzeti sa službene stranice Merrill Lyncha. Pristup toj bazi podataka je omogućen

korištenjem Bloomberg Open servisa. To je servis koji svakom svojem korisniku

(odnosno pretplatniku) omogućuje pristup najvažnijim podacima s najpoznatijih

svjetskih financijskih tržišta koji se odnose na vrijednosne papire. Prema tome, radi se

o pouzdanom dobavljaču informacija kojemu je osnovna zadaća informirati svoje

korisnike o svim novostima sa svjetskih tržišta kapitala. Zbog toga je upotreba

Bloomberg Open servisa veoma rasprostranjena, kako među raznolikim financijskim

institucijama, tako i među pojedincima investitorima.

Ovako odabrani tržišni indeksi državnih obveznica predstavljaju indekse ukupnog

prinosa. To znači da je u njihovu vrijednost osim kapitalnog dobitka uključena i

isplaćena kamata. Isto tako valja znati da su u sklopu prikazanih tržišnih cijena

indeksa, ovisno o momentu njihova izračunavanja, pripisane i vrijednosti naraslih

kamata. Kompletna vremenska serija prosječnih mjesečnih vrijednosti indeksa za svih

9 državnih obveznica je prikazana u Tablici 16 u Prilogu.

Nakon što su podaci pribavljeni, potrebno je izvršiti i njihovu pripremu za upotrebu u

matematičkom modelu. Prvi korak u tom pravcu je izračunavanje svih vrijednosti

mjesečnih prinosa odabranih vrijednosnih papira za sve godine promatranja. Za

izračunavanje prinosa državnih obveznica koristi se slijedeća formula:

rmi = ( tmi / t(m-1)i - 1 ) 100 (XXXIII)

96


gdje je rmi prinos i-tog vrijednosnog papira u m-tom mjesecu, tmi vrijednost indeksa i-

tog vrijednosnog papira u m-tom mjesecu, a t(m-1)i vrijednost indeksa i-tog

vrijednosnog papira koji prethodi m-tom mjesecu.

Iz gornje jednakosti za izračunavanje mjesečnih prinosa se vidi da je jednakost

djelomično bazirana na principu verižnih indeksa. To se može zaključiti po tome što

se svaki član vremenskog niza dijeli s prethodnim članom. Nazivnik u svakom

verižnom indeksu je jednak brojniku prethodnog indeksa. Zbog toga što se baze tih

relativnih brojeva mijenjaju, takvi indeksi se zovu indeksi s promjenjivom bazom.

Prema jednakosti je vidljivo da će broj mjesečnih prinosa biti manji za jedan u odnosu

na zadani broj članova vremenskog niza (ukupno 165). Zbog toga se za izračunavanje

mjesečnog prinosa na kraju prvog mjeseca (taj podatak odgovara datumu 31. siječnja

1988. godine) kao baza uzima vrijednost indeksa prethodnog vremenskog intervala

tzv. nultog mjeseca (datum 31. prosinca 1987. godine). Ta vrijednost indeksa se ne

uključuje u zadani vremenski niz, već služi samo za izračunavanje prinosa prvog

mjeseca. Vremenski niz s kojim se raspolaže u ovom radu je trenutni, jer takav niz

predstavlja skup kronološki uređenih veličina (prinosi obveznica) koje odražavaju

razine pojave u odabranim vremenskim točkama. Frekvencije trenutačnog niza ne

mogu se zbrajati da bi dobiveni zbroj imao smisleno značenje, dakle takav niz nema

svojstvo kumulativnosti.

Primjer izračunavanja prinosa 3. obveznice (1-3 yrs) na kraju 20. mjeseca

promatranja na osnovu prethodne relacije ( XXXIII ) izgleda ovako:

t 20 3 = 358.267 (vrijednost indeksa 3. obveznice u 20. mjesecu)

t 19 3 = 360.483 (vrijednost indeksa 3. obveznice u 19. mjesecu)

r 20 3 = ( t 20 3 / t 19 3 - 1 ) 100

r 20 3 = ( 360.483 / 358.267 - 1 ) 100 = - 0,614731 %

Mjesečni prinos trezorskog zapisa od 1 do 3 godine u 20. mjesecu promatranja

(datum 31. kolovoza 1989. godine) iznosi - 0,614731 %. Rezultat ukazuje na

činjenicu da je u tom mjesecu došlo do pada cijene odnosno vrijednosti tog trezorskog

zapisa. To je pouzdan pokazatelj kako i kod državnih obveznica unatoč velikoj

sigurnosti ulaganja u takve vrijednosne papire može doći do pada njihove vrijednosti.

97


Prije svega, to je posljedica utjecaja negativnih kretanja na financijskim tržištima koje

se u određenoj mjeri reflektira i na ovu vrstu vrijednosnih papira.

Sve izračunate vrijednosti mjesečnih prinosa američkih državnih obveznica za

razdoblje od 31. siječnja 1988. godine do 30. rujna 2001. godine su prikazane u

Tablici 17 u Prilogu. Indeksi su prikazani u apsolutnim iznosima (a ne u postotnim),

a njihove vrijednosti su zaokružene na šestu decimalu.

Završni dio pripreme podataka za korištenje u matematičkom modelu obuhvaća

izračunavanje prosječnih vrijednosti prinosa, standardne devijacije i varijance

promatranih državnih obveznica. Nakon toga, izračunate su sve varijance i

međusobne kovarijance investicija u portfoliu koje su zatim smještene u matricu

kovarijanci. Za takav postupak izračunavanja korišteno je računalo, odnosno

programski paket Excel 7.0 (Windows 97 - Microsoft Office).

Nakon što su uneseni kompletni rezultati prinosa za svih devet obveznica u razdoblju

od 165 mjeseci, na bazi tih rezultata su izračunate postotne i apsolutne vrijednosti

veličina potrebnih za matematički model koje su raspoređene u Tablice 18 , 19 i 20

kako je prikazano na slijedećoj stranici:

Tablica 18: Ukupni prosjeci prinosa obveznica za svih 165 mjeseci (u postocima)

Vrijednosni papiri Ukupni prosjeci Ukupni prosjeci(državne obveznice) mjesečnih prinosa (%) godišnjih prinosa (%)

3 mth bill 0,4643% 5,7160%

6 mth bill 0,4844% 5,9706%

1-3 yrs 0,5791% 7,1742%

3-5 yrs 0,6635% 8,2591%

5-7 yrs 0,7135% 8,9060%

7-10 yrs 0,7436% 9,2972%

10-15 yrs 0,7734% 9,6864%

15-30 yrs 0,8421% 10,5868%30yrs 0,7571% 9,4727%

Tablica 19: Standardna devijacija i varijanca od ukupnih prosjeka prinosa obveznica

za svih 165 mjeseci (u postocima)

98


Vrijednosni papiri Varijanca od ukupnih Varijanca od ukupnih Stand. devijacija od ukupnih Stand. devijacija od ukupnih(državne obveznice) prosjeka mjesečnih prinosa (%) prosjeka godišnjih prinosa (%) prosjeka mjesečnih prinosa (%) prosjeka godišnjih prinosa (%)

3 mth bill 0,0002% 0,0022% 0,1360% 1,6445%

6 mth bill 0,0003% 0,0030% 0,1589% 1,9230%

1-3 yrs 0,0026% 0,0315% 0,5126% 6,3276%

3-5 yrs 0,0107% 0,1286% 1,0347% 13,1484%

5-7 yrs 0,0180% 0,2161% 1,3413% 17,3374%

7-10 yrs 0,0278% 0,3336% 1,6660% 21,9298%

10-15 yrs 0,0297% 0,3564% 1,7220% 22,7386%

15-30 yrs 0,0564% 0,6786% 2,3744% 32,5249%30yrs 0,0777% 0,9366% 2,7877% 39,0901%

Tablica 20: Vrijednosti matrice kovarijanci prosječnih mjesečnih prinosa

državnih obveznica (u apsolutnim iznosima)

V.P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 0,00000185 0,00000197 0,00000291 0,00000405 0,00000466 0,00000535 0,00000530 0,00000601 0,00000700

2 0,00000197 0,00000252 0,00000560 0,00000913 0,00001086 0,00001256 0,00001251 0,00001456 0,00001645

3 0,00000291 0,00000560 0,00002628 0,00005113 0,00006402 0,00007635 0,00007678 0,00009565 0,00010855

4 0,00000405 0,00000913 0,00005113 0,00010707 0,00013657 0,00016570 0,00016713 0,00021379 0,00024480

5 0,00000466 0,00001086 0,00006402 0,00013657 0,00017990 0,00021994 0,00022308 0,00029136 0,00033529

6 0,00000535 0,00001256 0,00007635 0,00016570 0,00021994 0,00027756 0,00028148 0,00037449 0,00043410

7 0,00000530 0,00001251 0,00007678 0,00016713 0,00022308 0,00028148 0,00029654 0,00039216 0,00045245

8 0,00000601 0,00001456 0,00009565 0,00021379 0,00029136 0,00037449 0,00039216 0,00056379 0,00065189

9 0,00000700 0,00001645 0,00010855 0,00024480 0,00033529 0,00043410 0,00045245 0,00065189 0,00077715

Na osnovu dostupnih mjesečnih podataka izračunati su prosječni mjesečni prinosi,

varijance odnosno standardne devijacije (drugi korijen iz varijance) te međusobne

kovarijance prosječnih prinosa. Zbog lakše komparacije podataka i činjenice da je

uobičajeno iskazivati rezultate na nivou godine, izračunati su i godišnji podaci za sve

navedene parametre. Za takav izračun je korištena formula iz financijske matematike

koja se primjenjuje kod složenog kamatnog računa (riječ je o korištenju relacije za

izračunavanje nominalne kamatne stope kada je poznata konformna kamatna stopa).

Formula kojom se mjesečni interval iskazivanja podataka svodi na nominalni u ovom

slučaju godišnji interval izgleda ovako:

p g = ( 1 + p m ) 12 - 1 (XXXIV)

99


gdje je pg podatak koji se iskazuje na nivou godine, a pm podatak koji se iskazuje na

nivou mjeseca. U ovom primjeru taj podatak predstavljaju prosječni prinosi, varijanca

i standardna devijacija.

Analogno razmatranjima iz prethodnih poglavlja, u trenutku prije nego se krene s

izradom odgovarajućeg matematičkog modela, poželjno je izvršiti i analizu

vrijednosti koeficijenata korelacije prosječnih mjesečnih prinosa državnih obveznica.

Naime, od prije je poznato da postojanje efikasnog portfolia ovisi o intenzitetu

koeficijenata korelacije između 2 investicije. U situaciji kada postoji savršena

pozitivna korelacija između dvije investicije (=+1), tada ne postoji efikasan portfolio

s obzirom da linearno povećanje prinosa portfolia uzrokuje isto takvo smanjenje

standardne devijacije i obratno. To znači da se promjena vrijednosti prinosa odnosno

standardne devijacije za obje analizirane investicije odvija na razini istog intenziteta u

identičnom smjeru. Potencijalnom investitoru koji posjeduje takve dvije investicije je

u tom slučaju sasvim svejedno koju od njih će zadržati, a koju će prodati. Očigledno

je kako mu nije isplativa opcija držanja obje savršeno pozitivne korelirane investicije

u portfoliu, jer na taj način neće pridonijeti poboljšanju diverzifikacije portfolia.

Na temelju izračunatih vrijednosti kovarijanci i standardnih devijacija prosječnih

mjesečnih prinosa američkih državnih obveznica za postavljeni matematički model,

izračunate su i vrijednosti koeficijenata korelacije kako se vidi u Tablici 21.

Tablica 21: Vrijednosti koeficijenata korelacije prosječnih mjesečnih prinosa

državnih obveznica (u apsolutnim iznosima)

Dobivene vrijednosti koeficijenata korelacije zadovoljavaju osnovni uvjet

diverzifikacije portfolia, što znači da u odabranom portfoliu američkih državnih

100

V.P. 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1,00000000 0,91185731 0,41787937 0,28789610 0,25567726 0,23621653 0,22608938 0,32938581 0,18468448

2 0,91185731 1,00000000 0,68792375 0,55556936 0,50968958 0,47452749 0,45735832 0,38608527 0,37139902

3 0,41787937 0,68792375 1,00000000 0,96395687 0,93121620 0,89400814 0,86984025 0,78589865 0,75963229

4 0,28789610 0,55556936 0,96395687 1,00000000 0,98406285 0,96121347 0,93795595 0,87015555 0,84865309

5 0,25567726 0,50968958 0,93121620 0,98406285 1,00000000 0,98424583 0,96581235 0,91485363 0,89671795

6 0,23621653 0,47452749 0,89400814 0,96121347 0,98424583 1,00000000 0,98112171 0,94667836 0,93465619

7 0,22608938 0,45735832 0,86984025 0,93795595 0,96581235 0,98112171 1,00000000 0,95908119 0,94248505

8 0,32938581 0,38608527 0,78589865 0,87015555 0,91485363 0,94667836 0,95908119 1,00000000 0,98483322

9 0,18468448 0,37139902 0,75963229 0,84865309 0,89671795 0,93465619 0,94248505 0,98483322 1,00000000


obveznica ne postoje 2 vrijednosna papira koja su međusobno savršeno pozitivno

korelirana. Sve vrijednosti koeficijenata korelacije su pozitivne i kreću se u intervalu

od 0,18 do 0,98 (najveće vrijednosti koeficijenata su zabilježene kod one 2 investicije

koje su prema svojim dospijeću i karakteristikama najbliže jedna drugoj - npr. 8. i 9.).

5.3. Izrada odgovarajućeg matematičkog modela primjenom jedne

od tehnika za izračunavanje efikasne granice

U trećem poglavlju ( 3.3. Tehnike za izračunavanje efikasne granice ) je obavljena

teoretska postavka za sva četiri moguća primjera tehnika za izračunavanje efikasne

granice. S obzirom na postavljene uvjete i unaprijed poznate pretpostavke, evidentno

je kako tehnika za izračunavanje kod koje kratka prodaja nije dozvoljena uz

postojanje rizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja (3.3.4.) predstavlja najsloženiju

tehniku prema kriteriju težine izračuna. Stoga je i logično da je ta tehnika odabrana za

primjenu kod ove empirijske analize.

Radi se o modelu (XXI) kod kojeg se treba minimizirati funkcija cilja koja

predstavlja vrijednost varijance odnosno rizik na određenom nivou prinosa, dok su

varijable modela vrijednosni udjeli (ponderi) obveznica u portfoliu. To je problem

matematičkog programiranja kojemu je funkcija cilja kvadratna funkcija, a tri

postojeća ograničenja predstavljaju linearne funkcije od kojih jedno ograničenje u biti

predstavlja uvjet nenegativnosti. Model izgleda ovako:

funkcija cilja: Z ( wi ) = min i=1N wi

2i2 + i=1

N j=1N wiwjij

uz ograničenja: 1) i=1N wi rmi =rp

2) i=1N wi = 1

3) wi 0 za sve i (i=1, 2,..., N)

Simboli u modelu imaju slijedeća značenja:

101


N - ukupan broj vrijednosnih papira (obveznica) u portfoliu.

wi - vrijednosni udjeli (ponderi) obveznica investiranih u portfolio ( i = 1,2,...,N ).

i2 - varijanca obveznice i ( i=1,2,...,N ).

ij - kovarijanca obveznice i te obveznice j ( ij; i, j = 1,2,...,N ).

rmi - prosječni mjesečni prinos po obveznici i ( i=1,2,...,N ).

rp - prosječni mjesečni prinos portfolia koji se sastoji od N obveznica.

Prvo ograničenje se odnosi na sumu svih umnožaka vrijednosnih udjela (pondera) i

prosječnih mjesečnih prinosa po obveznici i koja mora biti jednaka prosječnom

mjesečnom prinosu portfolia koji se sastoji od N obveznica.

Drugo ograničenje ukazuje na činjenicu da je suma svih vrijednosnih udjela (pondera)

obveznica investiranih u portfolio jednaka jedan.

Treće ograničenje predstavlja uvjet nenegativnosti kojim se definiraju vrijednosni

udjeli (ponderi) obveznica investiranih u portfolio kao veličine koje su veće od nule

ili su jednake nuli.

Ovako zadani model predstavlja problem višekriterijskog (bikriterijskog) odlučivanja

koji je ekvivalentan problemu parametarskog programiranja (PP) s jednim

parametrom na desnoj strani ograničenja (prosječni mjesečni prinos portfolia rp) i

jednom funkcijom cilja (minimalnom varijancom portfolia p2). Rješenja ovog

modela su definirana unutar odgovarajućeg intervala čije veličine se kreću u rasponu

između izračunate minimalne i maksimalne vrijednosti prosječnog mjesečnog prinosa

portfolia (rp ). Promjenom vrijednosti parametra desne strane (rp ), mijenja se i

minimalna vrijednost funkcije cilja odnosno vrijednost varijance portfolia ( p2 ),

čime se mijenjaju i vrijednosti varijabli tj. vrijednosni udjeli obveznica investiranih u

portfolio ( wi ). Ukupan broj vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa portfolia (rp )

unutar zadanog intervala se može prilagoditi odgovarajućim potrebama analize (to se

naravno reflektira i na konačan broj rješenja varijabli modela wi ).

Iz prakse je poznato da je problem minimiziranja/maksimiziranja kvadratne funkcije

cilja i postojećih linearnih ograničenja nakon problema linearnog programiranja (LP)

najjednostavniji problem matematičkog programiranja za izračunavanje. Takav

matematički model zahtijeva primjenu računala, odnosno odgovarajući softver koji ne

mora biti isključivo namijenjen rješavanju 'teških' problema matematičkog

102


programiranja i koji je lako dostupan. S druge strane, da je u pitanju obratna situacija

u kojoj zadana funkcija cilja definira maksimalnu vrijednost prinosa portfolia ( rp ), a

parametar na desnoj strani ograničenja predstavlja varijancu portfolia ( p2 ), tada bi

se za izračunavanje takvog modela podrazumijevala primjena odgovarajućeg

profesionalnog softvera. Naime, problem maksimiziranja/minimiziranja linearne

funkcije cilja uz postojanje jednog kvadratnog i dva linearna ograničenja ne spada u

kategoriju 'jednostavnih' matematičkih problema za izračunavanje. Stoga se nameće

logički zaključak kako je ovako postavljeni matematički model prije svega posljedica

traženja načina za što jednostavnijim izračunavanjem zadanih varijabli modela uz

poštivanje činjenice koja govori o tome da je portfolio strategija prvenstveno i

usmjerena na smanjenje rizika investiranja (u zadanom problemu funkcija cilja je

minimalna varijanca portfolia).

Funkcija cilja koja predstavlja minimalnu varijancu može se interpretirati tako da se

iz priložene relacije jasno vidi kvadratna funkcija. U tom slučaju se varijanca na

osnovu poznatih parametara izražava (IX) preko matrice kovarijanci prosječnih

mjesečnih prinosa obveznica ( ij = ji ; ji ; N=9 ):

2 = i=19 wi

2i2 + i=1

9 j=19 wiwjij =

12 12 13 14 15 16 17 18 19 w1

21 22 23 24 25 26 27 28 29 w2

31 32 32 34 35 36 37 38 39 w3

41 42 43 42 45 46 47 48 49 w4

= w1 w2 ... w9 51 52 53 54 52 56 57 58 59 w5 =

61 62 63 64 65 62 67 68 69 w6

71 72 73 74 75 76 72 78 79 w7

81 82 83 84 85 86 87 82 89 w8

91 92 93 94 95 96 97 98 92 w9

103


= 12w1

2 + 22w2

2 + 32w3

2 + 42w4

2 + 52w5

2 + 62w6

2 + 72w7

2 +

82w8

2 + 92w9

2 + 212w1w2 + 213w1w3 + 214w1w4 +

215w1w5 + 216w1w6 + 217w1w7 + 218w1w8 +

219w1w9 + 223w2w3 + 224w2w4 + 225w2w5 +

226w2w6 + 227w2w7 + 228w2w8 + 229w2w9 +

234w3w4 + 235w3w5 + 236w3w6 + 237w3w7 +

238w3w8 + 239w3w9 + 245w4w5 + 246w4w6 +

247w4w7 + 248w4w8 + 249w4w9 + 256w5w6 +

257w5w7 + 258w5w8 + 259w5w9 + 267w6w7 +

268w6w8 + 269w6w9 + 278w7w8 + 279w7w9 +

289w8w9

Konačni izgled postavljenog matematičkog modela nakon uvrštenja ukupnog broja

obveznica ( N=9 ) u funkciju cilja i sva tri ograničenja je slijedeći:

funkcija cilja: (XXXV)

Z ( w1, w2, w3, w4, w5, w6, w7, w8, w9 ) = min 12w1

2 + 22w2

2 + 32w3

2

+ 42w4

2 + 52w5

2 + 62w6

2 + 72w7

2 + 82w8

2 + 92w9

2 +

212w1w2 + 213w1w3 + 214w1w4 + 215w1w5 +

216w1w6 + 217w1w7 + 218w1w8 + 219w1w9 +

223w2w3 + 224w2w4 + 225w2w5 + 226w2w6 +

227w2w7 + 228w2w8 + 229w2w9 + 234w3w4 +

235w3w5 + 236w3w6 + 237w3w7 + 238w3w8 +

239w3w9 + 245w4w5 + 246w4w6 + 247w4w7 +

248w4w8 + 249w4w9 + 256w5w6 + 257w5w7 +

258w5w8 + 259w5w9 + 267w6w7 + 268w6w8 +

269w6w9 + 278w7w8 + 279w7w9 + 289w8w9

104


uz ograničenja:

1) w1 rm1 + w2 rm2 + w3 rm3 + w4 rm4 + w5 rm5 + w6 rm6 +

w7 rm7 + w8 rm8 + w9 rm9 + =rp

2) w1 + w2 + w3 + w4 + w5 + w6 + w7 + w8 + w9 = 1

3) w1 0

w2 0

w3 0

w4 0

w5 0

w6 0

w7 0

w8 0

w9 0

_____________________________________________________

5.4. Rješavanje matematičkog modela pomoću računala

U situaciji kada su postavljeni svi preduvjeti za rješavanje modela, potrebno je

definirati upotrebu odgovarajućeg softverskog paketa (iz do sada navedenih razloga

evidentno je kako izračunavanje parametara modela bez upotrebe računala ne dolazi u

obzir ni u kojem slučaju). Uzevši u obzir današnji nivo razvijenosti kompjuterske

tehnologije i informatičkih znanosti ne bi smjelo biti problematično naći odgovarajući

program za rješavanje ovog problema nelinearnog programiranja. Jedina moguća

dvojba koja se u tom slučaju može pojaviti se odnosi na odabir najboljeg programa od

svih ponuđenih (odnosno dostupnih). S obzirom na količinu raspoloživih podataka u

modelu, poželjno je u ovom slučaju upotrijebiti softver čije su karakteristike u prvom

redu brzina pri računanju kao i velika preciznost dobivenih rezultata (tu se prije svega

misli na zaokruživanje rezultata - što više decimalnih mjesta to bolje). Od većeg broja

mogućih programa za izračunavanje problema nelinearnog programiranja, slijedeća

dva programa su lako dostupna i relativno jednostavna za korištenje:

105


1. “MATHPROG” (OR COURSEWARE - Copyright 1995 by McGraw-Hill Inc.) -

to je softver čija je osnovna namjena rješavanje problema iz operacijskih istraživanja

(u tu kategoriju spadaju i linearno programiranje, dinamičko programiranje, problem

transporta te analiziranje mreža). Što se tiče nelinearnog programiranja, ono je u

ovom softveru zastupljeno s tri metode pomoću kojih se rješavaju definirani

matematički problemi ovisno o svojoj težini (tu se prije svega misli na broj varijabli i

ograničenja kao i na složenost postavljene funkcije cilja). To su:

a) Gradijentna metoda.

b) Frank-Wolfe-ova metoda.

c) SUMT - Sequential Unconstrained Minimization Tehnique.

Za postavljeni problem u empirijskoj analizi (XXXV) koristi se iz softvera okvir za

rješavanje zvan "Model Kvadratnog Programiranja" (engl. "Quadratic

Programming Model") koji je koncipiran na taj način da mu je funkcija cilja

kvadratna, a ograničenja linearna uz postavljene uvjete nenegativnosti na varijable.

Uvrštavanjem parametara iz postavljenog modela dobiju se optimalna rješenja kao i

vrijednost funkcije cilja.

2. "SOLVER" (WINDOWS 97 - EXCEL 7.0 - Copyright 1997 by Microsoft) - radi

se o alatu koji je dio "Excela" i nalazi se u "Tools" meniju. Taj program je

napravljen s ciljem rješavanja klasičnih problema optimizacije - linearnih i

nelinearnih. Ima slijedeće parametre:

1) "Set Target Cell" - definiranje ćelije koja predstavlja funkciju cilja te ispis

vrijednosti funkcije cilja u toj istoj ćeliji.

2) "Equal to: Min or Max" - solucija kojom se odabire da li se minimizira ili

maksimizira funkcija cilja.

3) "By Changing Cells" - ispis rješenja varijabli u odabranim ćelijama.

106


4) "Subject to the Constraints" - definiranje (ne)jednadžbi ograničenja i uvjeta

nenegativnosti pomoću odabranih ćelija i karakterističnih vrijednosti.

Poslije definiranja svih parametara, program se pokreće odabirom opcije "Solve"

nakon čega se problem rješava na taj način da se ispišu rezultati u ćelijama koje su

odabrane u prvom i trećem parametru. Ako postoji optimalno rješenje postavljenog

problema, dobije se slijedeća informacija ispisana na monitoru računala:

5) "Solver Results": Solver found a solution.

All constraints and optimality conditions are satisfied.

Na taj način je dobivena potvrda kako je zadani model matematički ispravan, te da su

dobivena rješenja optimalna uz zadovoljenje svih postavljenih uvjeta.

Uzimajući u obzir sve prednosti i nedostatke oba dostupna programa za rješavanje

modela nelinearne optimizacije, odlučeno je da se upotrijebi "Solver" (radi se o

novijem i kvalitetnijem programu od "Mathprog"). Razlozi tome leže u većoj brzini

pri unosu podataka i ispisu rješenja, kao i zbog velike preciznosti dobivenih rezultata

što nije slučaj kod "Mathprog" softvera (postoji mogućnost osjetljivijeg podešavanja

u meniju "Solver Options" u opciji "Precision", na primjer na sedam decimala).

Primjer rješavanja zadanog modela iz empirijske analize ( XXXV ) pomoću "Solvera"

je prikazan na slijedeća četiri grafička prikaza. Na slikama su prikazani kronološki

postupci u procesu izračunavanja jednog optimalnog odnosno efikasnog rješenja:

Slika 35: Pregled unosa osnovnih parametara modela u "Solver"

107


Slika 36: Promjena vrijednosti ćelije u jednom ograničenju

108Promjena vrijednosti ćelije u ograničenju

Osnovni parametri "Solvera"


Slika 37: Rješavanje modela s modificiranim jednim ograničenjem

Slika 38: Ispis jednog optimalnog (efikasnog) rješenja "Solvera"

Pokazani primjer rješavanja problema u "Solveru" se odnosi na izračunavanje jednog

optimalnog (efikasnog) rješenja. Naime, poznato je na osnovu teoretske postavke

zadanog modela (XXXV) koji predstavlja jednu od tehnika za izračunavanje efikasne

granice da se kao konačno rješenje problema nije moglo dobiti samo jedno optimalno

109

Jedno optimalno (efikasno) rješenje

Modificirano ograničenje


(efikasno) rješenje. Rješenje problema predstavlja skup optimalnih rješenja odnosno

skup efikasnih rješenja. Ako se definira prinos na određenom nivou uz minimalni

rizik, dobije se jedno efikasno rješenje (odnosno jedna točka na krivulji efikasne

granice). Takav efikasni skup je određen minimiziranjem rizika za svaku razinu

prosječnog prinosa portfolia. Vrijednost prosječnog prinosa portfolia u tom slučaju

varira između prosječnog prinosa na portfolio minimalne varijance i prosječnog

prinosa na portfolio maksimalnog prinosa.

Razine prosječnih prinosa portfolia u tom slučaju mogu biti izražene samo preko

ukupnih prosjeka prinosa devet pojedinačnih obveznica koje sačinjavaju portfolio

(Tablica 18). Prema rezultatima iz Tablice 18 evidentno je da će se raspon

dozvoljenih vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa devet pojedinačnih obveznica

kretati u intervalu od 0,465 % do 0,840 %. U tom slučaju prosječni prinosi portfolia

ne mogu biti izvan tog intervala. Naime, analizirani portfolio može sadržavati od 1 do

9 obveznica. Ukoliko ima samo jednu obveznicu, vrijednosti njegovog prosječnog

prinosa se zasigurno nalaze u granicama intervala. S druge strane, ako sadrži više od

jedne obveznice, portfolio ni u tom slučaju ne može iskazivati veći prosječni prinos

jer su vrijednosti prosječnih prinosa obveznica koje ga sačinjavaju vrijednosti iz

zadanog intervala (zna se da je prinos portfolia linearna funkcija vrijednosnih udjela

investicija u portfoliu). Na osnovu ove analize se može zaključiti kako će se ukupni

prinos portfolia uvijek ostvarivati u granicama intervala kojeg čine prinos

najprofitabilnije i prinos najmanje profitabilne obveznice u investicijskom portfoliu.

Definiranje ukupnog broja prosječnih mjesečnih prinosa unutar zadanog intervala je

stvar slobodnog izbora. Ukoliko se želi dobiti veći skup efikasnih rješenja radi

kvalitetnije analize (i zbog bolje aproksimacije grafičkog prikaza efikasne krivulje), u

tom slučaju se odabire veći broj vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa u intervalu.

U ovoj analizi je odabrano 76 referentnih točaka koje tvore aritmetički niz s

razlikom od 0,005 % između svake točke. Time je postignut i identičan broj efikasnih

rješenja unutar zadanog intervala.

Postignute vrijednosti funkcije cilja (minimalna varijanca odnosno minimalna

standardna devijacija prosječnih mjesečnih prinosa portfolia) te optimalna rješenja

varijabli (vrijednosni udjeli obveznica u portfoliu) su prikazani u Tablicama 22 i 23

110


u Prilogu za sve referentne vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa iz zadanog

intervala.

Dobiveni rezultati koji su prikazani u Tablicama 22 i 23 mogu se interpretirati na

slijedeći način (za primjer je odabrana jedna referentna točka odnosno prosječni

mjesečni prinos portfolia 76. prema redoslijedu):

za unaprijed odabrani prosječni mjesečni prinos portfolia u vrijednosti od 0,0084

(0,84 % mjesečno), vrijednost minimalne varijance prosječnog mjesečnog prinosa

portfolia (rješenje funkcije cilja) u toj referentnoj točki iznosi 0,00055379

(0,055379 % mjesečno).

optimalna rješenja varijabli (odnosno vrijednosnih udjela obveznica u portfoliu) u

toj referentnoj točki iznose:

w1 = 0 ;

w2 = 0 ;

w3 = 0 ;

w4 = 0 ;

w5 = 0 ;

w6 = 0 ;

w7 = 0,02931388 ;

w8 = 0,97068612 ;

w9 = 0 .

Postignuti rezultati se radi lakše usporedbe s drugim podacima iskazuju i u

vremenskom intervalu od godine dana (tzv. nominalni vremenski interval). U tom

slučaju se za preračunavanje rezultata iz mjesečnih intervala na godišnje intervale

upotrebljava ranije korištena formula (XXXIV).

Vrijednosti funkcije cilja (minimalna varijanca odnosno minimalna standardna

devijacija prosječnih godišnjih prinosa portfolia) su zasebno prikazane u Tablici 24 u

Prilogu.

Za kraj ovog dijela empirijske analize u kojoj je riješen zadani matematički model,

preostao je još prikaz dobivenih rezultata na grafikonu. Slijedeći grafički prikaz

111


(Slika 39) se dobije tako da se na os apscise nanese minimalna varijanca (odnosno

standardna devijacija) dok se na os ordinate nanese vrijednost prosječnog prinosa

portfolia. Dobivena međuovisnost između prinosa investicijskog portfolia obveznica i

rizika ulaganja u taj isti portfolio predstavlja krivulju efikasne granice (u ovom

primjeru radi se o 'aproksimativnom' pravcu efikasne granice). Radi se o skupu

efikasnih portfolia koja su dominantnija u odnosu na druga moguća portfolia. Iz

prethodne analize je poznato kako postoji neograničen broj mogućih portfolia koja se

mogu postići kombiniranjem iz postojećeg skupa investicija kojeg u ovom slučaju

tvori devet različitih vrsta američkih državnih obveznica (ali ih niti jedan racionalan

investitor neće odabrati jer ne nude optimalno odnosno efikasno rješenje).

Slika 39: Pravac efikasne granice odabranog investicijskog portfolia američkih

državnih obveznica

5.5. Određivanje optimalnog rješenja i implementacija

Za konačno rješavanje zadanog problema potrebno je iz postojećeg skupa optimalnih

odnosno efikasnih rješenja dobiti samo jedno optimalno rješenje. S obzirom na zadani

112


matematički model i implikacije koje on nosi, jedini kriterij pomoću kojeg se može

dobiti jedno optimalno rješenje je kriterij optimizacije koji se ostvaruje

primjenom teorije korisnosti. Naime, iz dosadašnjeg djela analize je poznato da se

kod ovakvog modela ne može koristiti Sharpeov indeks jer se njegova upotreba

podrazumijeva samo kod onih modela koji dozvoljavaju bezrizično uzajmljivanje i

pozajmljivanje (kod takvih modela je Sharpeov indeks impostiran u funkciju cilja).

U tom slučaju potrebno je definirati o kakvoj vrsti investitora je riječ. Ukoliko je u

pitanju konzervativni investitor, on će zasigurno odabrati jednu točku na lijevoj

polovici pravca efikasne granice kao potencijalno optimalno rješenje. Ukoliko je pak

u pitanju agresivni investitor, jedna od točaka na desnoj polovici pravca efikasne

granice se može smatrati potencijalnim optimalnim rješenjem.

U ovom primjeru riječ je o agresivnom investitoru koji je spreman prihvatiti nešto

veći rizik investiranja da bi ostvario prosječni prinos portfolia od maksimalnih 10 %

godišnje. Referentna točka na pravcu efikasne granice koja je najbliža ovom zahtjevu

investitora je prema ponuđenim rezultatima 67. po redoslijedu.

Interpretacija konačnog optimalnog rješenja zadanog matematičkog modela je

slijedeća:

za unaprijed definiran prosječni godišnji prinos portfolia od maksimalnih 10 %,

prema raspoloživom skupu efikasnih rješenja najbolje odgovara prosječni godišnji

prinos portfolia od 9,97 %.

u tom slučaju vrijednost minimalne standardne devijacije prosječnog godišnjeg

prinosa portfolia (tj. rješenje funkcije cilja) iznosi 25,4734 %.

optimalna rješenja varijabli (odnosno vrijednosnih udjela obveznica u portfoliu) u

toj referentnoj točki iznose:

w1 = 0 ;

w2 = 0 ;

w3 = 0 ;

w4 = 0 ;

w5 = 0 ;

w6 = 0 ;

w7 = 0,68452412 ;

113


w8 = 0,31547588 ;

w9 = 0 .

Na osnovu dobivenih rezultata može se zaključiti kako je investitor spreman uložiti

svoja financijska sredstva u kupnju isključivo dvije vrste američkih državnih

obveznica od raspoloživih devet. Radi se o obveznicama koje imaju rok dospijeća od

10 do 15 te od 15 do 30 godina. Otprilike dvije trećine svojih sredstava investitor će

uložiti u prvu obveznicu (10-15 yrs), a jednu trećinu u drugu obveznicu (15-30 yrs).

To su dugoročni vrijednosni papiri koji imaju nešto veći tržišni rizik od ostalih

obveznica zato što im je i duži rok dospijeća glavnice. Naime, uzrok tome su znatnije

oscilacije njihovih prosječnih godišnjih prinosa kao posljedica utjecaja različitih

kretanja na financijskim tržištima. Onaj investitor koji je spreman uložiti svoj novac u

takve vrijednosne papire mora biti siguran da će u dužem vremenskom razdoblju više

riskirati, ali je isto tako vrlo vjerojatno da će mu se investicija višestruko isplatiti

(ostvarit će veliki profit ako bude dovoljno strpljiv).

Grafički prikaz (Slika 40) konačnog optimalnog rješenja podrazumijeva ucrtavanje

krivulje indiferencije koja tangira na pravac efikasne granice u točki optimalnog

rješenja T67 (rp = 9,97 % ,p = 25,4734 % ).

Slika 40: Konačno optimalno rješenje za portfolio američkih državnih obveznica

kada

investira agresivni investitor

114


5.6. Analiza optimalnog rješenja i modifikacija

Dobiveno optimalno rješenje predstavlja u suštini produkt razmišljanja agresivnog

investitora. Ukoliko u međuvremenu takav investitor odluči promijeniti svoju

strategiju investiranja uslijed novih kretanja na financijskim tržištima, tada će se

promijeniti i njegova dotadašnja optimalna odluka, odnosno odabrano optimalno

rješenje na pravcu efikasne granice. Na primjer, ukoliko je došlo do trenutnog porasta

vrijednosti cijena obveznica, u tom slučaju investitor odustaje od dugoročnog

ulaganja u obveznice i odlučuje mijenjati portfolio kojim je do tada raspolagao te

prodaje svoje obveznice (radi se o obveznicama 10-15 yrs i 15-30 yrs). Prikupljena

financijska sredstva odlučuje reinvestirati, ali ovaj put se njegova razmišljanja silom

prilika mijenjaju. Naime, u međuvremenu je došlo do ekonomske recesije 19 na

globalnom nivou, uslijed čega će svaki racionalni investitor pokušati ulagati svoja

sredstva u sigurnije investicije. U tom slučaju kupuju se najmanje rizične investicije

koje predstavljaju kratkoročni državni vrijednosni papiri odnosno blagajnički zapisi

(3 mth i 6 mth). Zbog utjecaja negativnih eksternih faktora, investitor je primoran

mijenjati svoju strategiju ulaganja te prelazi na konzervativnije investiranje, a njegova

krivulja indiferencije se pozicionira na lijevoj polovici pravca efikasne granice.

Njemu više nije bitno ostvariti što veći profit, već mu je u interesu postići sigurnost

uloženih sredstava u vrijednosne papire. U tom slučaju njegovu zonu interesa na

analiziranom primjeru predstavljaju prva četiri rješenja odnosno prve četiri referentne

točke.

Iz navedene analize je vidljivo kako se vrijednost optimalnog rješenja može vrlo lako

promijeniti u situaciji kada se kao kriterij optimizacije primjenjuje teorija korisnosti.

S obzirom na postojeći ljudski faktor koji se manifestira kroz promjenu sklonosti

investiranja, teško je sa sigurnošću zaključiti gdje će se u određenom vremenskom

razdoblju pozicionirati optimalno rješenje na pravcu efikasne granice.

19 Ekonomska recesija - predstavlja usporavanje opće privredne aktivnosti u nekoj zemlji, odnosno usporavanje njezinih stopa rasta ili čak njihov blagi pad. Posrijedi je blaži oblik privredne krize ili sam njen početak. Ublažuje se različitom kombinacijom mjera i instrumenata ekonomske politike.

115


Ako se želi izbjeći takva vrsta neizvjesnosti, u tom slučaju se mora primijeniti drugi

kriterij optimizacije koji sa sobom povlači i drukčiji matematički model odnosno

tehniku za izračunavanje efikasne granice.

Riječ je o primjeni tehnike za izračunavanje kod koje kratka prodaja nije

dozvoljena uz postojanje bezrizičnog uzajmljivanja i pozajmljivanja (XX).

Takav model za razliku od analiziranog modela (XXI) ima drugačiju funkciju cilja te

ne sadrži prvo ograničenje. Novi parametar koji se uvodi u model je stopa

bezrizičnog prinosa portfolia (rf). Da bi se za takav model dobilo optimalno

rješenje, potrebno je imati na raspolaganju podatke za sve veličine pomoću kojih se

može prikazati skup efikasnih rješenja (to su prinos portfolia i standardna devijacija).

Zbog te činjenice i radi jednostavnosti izračuna ovog primjera, sve vrijednosti

veličina iz prethodnog modela se koriste za analizu i u ovom modelu. To znači da

se skup efikasnih rješenja dobije kombinacijom bezrizičnog portfolia i samo jednog

rizičnog portfolia (koji se nalazi na krivulji efikasne granice rizičnih portfolia

preuzetoj iz prethodnog primjera). Optimalno rješenje problema u tom slučaju

predstavlja isključivo vrijednost preferiranog rizičnog portfolia (u varijanti kada

investitor ulaže 100% svoje imovine u rizični portfolio jer mu nerizični portfolio nije

zanimljiv). Model izgleda ovako:

funkcija cilja: Z (wi ) = max (rp - rf ) / p

uz ograničenja: 1) i=1N wi = 1

2) wi 0 za sve i (i=1, 2,..., N)

Simboli u modelu imaju slijedeća značenja:

N - ukupan broj vrijednosnih papira (obveznica) u portfoliu.

wi - vrijednosni udjeli (ponderi) obveznica investiranih u portfolio ( i = 1,2,...,N ).

p - standardna devijacija prosječnog prinosa portfolia.

rf - stopa bezrizičnog prinosa portfolia.

rp - prosječni mjesečni prinos portfolia koji se sastoji od N obveznica.

116


Funkcija cilja ovog modela zapravo predstavlja vrijednost Sharpeovog indeksa koji je

prema relaciji (XXXI) jednak:

tg = (rp - rf ) / p

Na osnovu te činjenice se može kazati kako je upotrebom ovog modela na snazi

kriterij optimizacije koji se ostvaruje mjerenjem performansi portfolia odnosno

primjenom odgovarajućih indeksa (u ovom slučaju Sharpeovog indeksa).

Vrijednosti prosječnih mjesečnih prinosa portfolia koje su predstavljene referentnim

točkama se mogu isto tako prikazati na nivou godine. U tom slučaju se i standardna

devijacije iskazuje na godišnjem nivou. Ukoliko se zna da je stopa bezrizičnog

prinosa portfolia jednaka 5,52 % godišnje (radi se o godišnjoj stopi na 30-dnevni

blagajnički zapis za kojeg se smatra da ima najprihvatljiviju bezrizičnu kamatnu

stopu), tada se na osnovu zadanog modela mogu izračunati vrijednosti funkcije cilja

odnosno vrijednosti Sharpeovog indeksa. Rezultati su prikazani u Tablici 25 u

Prilogu.

Optimalno rješenje predstavlja najveća vrijednost Sharpeovog indeksa od svih

ponuđenih vrijednosti (maksimum od tg ). Iz rezultata u Tablici 25 je vidljivo da je

riječ o 12. po redu referentnoj točki za koju je vrijednost Sharpeovog indeksa jednaka

0,27351 što daje kut od 15,30 stupnjeva.

U tom slučaju interpretacija optimalnog rješenja je slijedeća:

optimalna vrijednost funkcije cilja odnosno vrijednost Sharpeovog indeksa jednaka

je Z (wi) = tg = 0,27351 .

optimalna rješenja varijabli (odnosno vrijednosnih udjela obveznica u portfoliu)

iznose:

w1 = 0 ;

w2 = 0,62410227 ;

w3 = 0,37589773 ;

w4 = 0 ;

w5 = 0 ;

w6 = 0 ;

w7 = 0 ;

117


w8 = 0 ;

w9 = 0 ;

Investitor ulaže svoju financijsku imovinu u šestomjesečne blagajničke zapise i u

trezorske zapise od 1 do 3 godine. Ulaganjem u te vrijednosne papire ostvarit će

prosječni godišnji prinos od 6,42 % uz prisutni rizik ulaganja odnosno godišnju

standardnu devijaciju od 3,2963 % .

Optimalno rješenje je grafički prikazano na Slici 41. Osim pravca efikasne granice iz

prethodnog primjera, na graf je unesena i vrijednost stope bezrizičnog prinosa. Isto

tako, vidljiv je i trokut što ga zatvaraju koordinate referentne točke T12 (prosječni

prinos portfolia i minimalna standardna devijacija) s točkom na osi ordinate koja

predstavlja vrijednost stope bezrizičnog prinosa. Tangens kuta u takvom

pravokutnom trokutu predstavlja najveću vrijednost Sharpeovog indeksa od svih

mogućih referentnih točaka na pravcu efikasne granice.

Slika 41: Konačno optimalno rješenje za portfolio američkih državnih obveznica

koje se dobije primjenom Sharpeovog indeksa

118


Za kraj ove analize je ostavljen grafički prikaz kretanja vrijednosti Sharpeovog

indeksa (Slika 42). Iz prikaza je vidljivo kako je koncentracija najvećih vrijednosti

Sharpeovog indeksa (koje su veće od 0,25) u intervalu od šeste do dvadeset i sedme

referentne točke sa pravca efikasne granice (to su vrijednosti prosječnih godišnjih

prinosa od 6,04 % do 7,38 %). Taj interval ujedno predstavlja i optimalno područje

ulaganja u vrijednosne papire s obzirom na prihvatljivi rizik investiranja (standardna

devijacija nije velika).

Slika 42: Vrijednosti Sharpeovog indeksa u odnosu na prinos portfolia

119


6. Zaključak

Za ispunjenje temeljnih ciljeva u ovome magistarskom radu trebao sam obaviti

teoretsku analizu moderne portfolio teorije kao i njenu primjenu na modelu

optimizacije investicijskih portfolia. Koristeći empirijsku analizu na primjeru

konkretnog modela optimizacije došao sam do određenih rezultata i adekvatnih

zaključaka kojima sam potvrdio unaprijed postavljene hipoteze. Glavne pretpostavke

koje sam potvrdio u ovom magistarskom radu se mogu podijeliti u četiri osnovne

grupe:

Kao prvo i osnovno, pokazao sam da i na zadanom praktičnom primjeru (radi se o

investicijskom portfoliu američkih državnih obveznica) vrijedi teoretska postavka

Markowitz-evog modela (Moderna portfolio teorija). Unošenjem konkretnih

vrijednosti za parametre postavljenog matematičkog modela, kao rezultate sam

dobio optimalne vrijednosti funkcije cilja, odnosno optimalna rješenja varijabli.

Nakon toga sam bio u mogućnosti interpretirati dobivene rezultate, analizirati

njihove vrijednosti te moguće implikacije na potencijalne investitore.

Dokazao sam da se praktični primjer matematičkog modela moderne portfolio

teorije može brzo i efikasno riješiti pomoću računala. Naime, glavna kritika ovog

modela prilikom njegova pojavljivanja 1952. godine je bila sporost i složenost u

izračunu što je otežavalo njegovu primjenu u praksi. Danas to više nije slučaj jer se

svaki takav model može riješiti uz primjenu specijaliziranih softvera bez obzira na

broj ulaznih parametara (odnosno broj vrijednosnih papira u portfoliu). U slučaju

manjeg broja ulaznih parametara ( i 10 ), takvi modeli se bez većih problema

mogu rješavati i pomoću priručnih aplikacija kao što je to bio slučaj u ovome radu

(korišten je alat Solver kao dio Microsoft-ovog Excel-a).

Utvrdio sam da se ovisno o zadanom investicijskom portfoliu obveznica ili dionica

njihove granice efikasnosti razlikuju u svome obliku (pravac ili krivulja). Prema

rezultatima sa dva različita financijska tržišta (slovensko i američko) mogao sam

zaključiti kako će investicijski portfolio obveznica kao efikasnu granicu uvijek

120


davati pravac, dok će investicijski portfolio dionica za efikasnu granicu imati

konkavnu krivulju. Spajanjem ta dva investicijska portfolia kao efikasna granica se

dobije kombinacija krivulje i pravca (radi se o pravcu sa zaobljenim vrhovima).

Ustanovio sam da u slučaju ograničene mogućnosti ulaganja u obveznice (smanjen

mogući izbor obveznica) te manje vremenske serije podataka neće doći do

značajnije promjene oblika efikasne granice. Tu usporedbu sam obavio

analizirajući rezultate (odnosno efikasnu granicu) na primjerima odabranih

investicijskih portfolia sa slovenskog i američkog tržišta kapitala koji se

međusobno razlikuju, kako u broju tako i u kvaliteti ulaznih parametara modela.

Vjerujem da je očekivani znanstveni doprinos ovog rada moguć ukoliko postignuti

rezultati i adekvatni zaključci budu imali odgovarajuću primjenu na deviznom tržištu

vrijednosnih papira (posebno se to odnosi na Hrvatsku narodnu banku s obzirom da

sam kao zaposlenik te institucije neko vrijeme proveo na poslovima upravljanja

deviznim pričuvama), kao i na domaćem financijskom tržištu koje se uslijed

obavljenog procesa mirovinske reforme treba postepeno razvijati u tom pravcu (tu

prije svega mislim na obvezu ulaganja mirovinskih fondova u domaće državne

obveznice).

Moje osobno mišljenje je da se iz gore navedenih činjenica kao zaključak nameće

misao kako bi ovaj magistarski rad mogao biti ‘korak dalje’ u implementaciji

postojećih znanstvenih metoda na financijskom tržištu vrijednosnih papira, kako na

praktičnom tako i na teoretskom području.

121


7. Popis oznaka i kratica

str.

1. CD - engl. Certificates of Deposit. 5

2. LIBOR - engl. London InterBank Offered Rate. 6

3. GNMA - engl. Government National Mortgage Asociation. 9

4. CBOE - engl. Chicago Board of Options Exchange.

11

5. DJIA - engl. Dow-Jones Industrial Average Index.

14

6. OTC - engl. Over The Counter Market. 15

7. SOV - engl SOVereign Sector. 16

8. QGVT - engl. Quasi & Foreign Government Sector.

16

9. COLL - engl. Securitized / COLLateralizated Sector. 16

10. CORP - engl. CORPorate Sector. 16

11. CAPM - engl. Capital Asset Pricing Model. 23

12. CML - engl. Capital Market Line. 24

13. SML - engl. Security Market Line. 25

14. APT - engl. Arbitrage Pricing Theory. 27

15. SUMT - engl. Sequential Unconstrained Minimization Tehnique. 107

122


8. Popis slika

str.

Slika 1: Klasifikacija financijske imovine u Prilogu

Slika 2: Karakteristični regresijski pravac kod jednoindeksnog modela 20

Slika 3: Pravac tržišta kapitala 24

Slika 4: Pravac tržišta vrijednosnog papira 26

Slika 5: Pravac arbitražnog procjenjivanja 29

Slika 6: Efekt stupnja diverzifikacije na komponente ukupnog rizika

portfolia 33

Slika 7: Normalna distribucija investicija A i B s istim očekivanim

prinosom 34

Slika 8: Normalna distribucija investicija A i B s istom standardnom

devijacijom 35

Slika 9: Međuovisnost očekivanog prinosa i standardne devijacije portfolia

u uvjetima savršene pozitivne korelacije ( = +1) 45


u uvjetima savršene negativne korelacije ( = -1) 46


u uvjetima kada ne postoji veza između kretanja prinosa

2 investicije ( = 0) 47


u uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5) 48


za različite vrijednosti koeficijenata korelacije 49

Slika 14: Moguće kombinacije više investicija u portfoliu 50

Slika 15: Efikasna granica 51

Slika 16: Efikasna granica u uvjetima kada kratka prodaja nije dozvoljena 54

123


Slika 17: Efikasna granica u uvjetima kada je kratka prodaja dozvoljena 56

Slika 18: Očekivani prinosi i rizici kada je bezrizična stopa prinosa

u kombinaciji s portfoliom A 59

Slika 19: Kombinacije bezrizične imovine i različitih rizičnih portfolia 60

Slika 20: Efikasna granica u uvjetima uzajmljivanja po bezrizičnoj stopi

prinosa 61

Slika 21: Efikasna granica u uvjetima uzajmljivanja i pozajmljivanja po

različitim bezrizičnim stopama prinosa 62

Slika 22: Efikasna granica na tržištu obveznica 64

Slika 23: Efikasna granica na tržištu dionica 64

Slika 24: Efikasna granica na kombiniranom tržištu obveznica i dionica 65

Slika 25: Kombinacija bezrizične imovine s rizičnim portfoliom 67

Slika 26: Efikasni portfolio u uvjetima bezrizičnog

uzajmljivanja i pozajmljivanja 69

Slika 27: Tangencijalna portfolia za različite bezrizične stope prinosa 70

Slika 28: Oblici krivulja funkcije korisnosti u prostoru bogatstva 81

Slika 29: Oblici krivulja funkcije korisnosti u prostoru očekivanog prinosa

i standardne devijacije 82

Slika 30: Krivulje indiferencije 85

Slika 31: Optimalni portfolio (A i B) 86

Slika 32: Performanse portfolia A 90

Slika 33: Položaj investicijskog portfolia A u odnosu na

pravac tržišta vrijednosnih papira (SML) 91

Slika 34: Performanse portfolia B 94

Slika 35: Pregled unosa osnovnih parametara modela u "Solver" 109

Slika 36: Promjena vrijednosti ćelije u jednom ograničenju 110

Slika 37: Rješavanje modela s modificiranim jednim ograničenjem 110

Slika 38: Ispis jednog optimalnog rješenja "Solvera" 111

Slika 39: Pravac efikasne granice odabranog investicijskog portfolia

američkih državnih obveznica 114

Slika 40: Konačno optimalno rješenje za portfolio američkih državnih

obveznica kada investira agresivni investitor 116

124


Slika 41: Konačno optimalno rješenje za portfolio američkih državnih

obveznica koje se dobije primjenom Sharpeovog indeksa 120

Slika 42: Vrijednosti Sharpeovog indeksa u odnosu na prinos portfolia 121

9. Popis tablica

str.

Tablica 1: Matrica kovarijanci 38

Tablica 2: Historijski podaci o obveznicama i dionicama 42

Tablica 3: Prosječni prinosi i standardne devijacije za kombinirani portfolio

obveznica i dionica 42

Tablica 4: Očekivani prinosi i standardna devijacija investicija A i B 44

Tablica 5: Očekivani prinosi i standardne devijacije investicijskog portfolia

u uvjetima savršene pozitivne korelacije ( = +1) 45


u uvjetima savršene negativne korelacije ( = -1) 46


u uvjetima kada ne postoji veza između kretanja prinosa

2 investicije ( = 0) 47


u uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5) 48


u uvjetima pozitivne korelacije srednje jakosti ( = +0,5)

i dozvoljene kratke prodaje 56

Tablica 10: Rezultati dviju alternativnih investicija A i B 74

Tablica 11: Ponderirane vrijednosti rezultata W 75

Tablica 12: Primjer fer kockanja 79

Tablica 13: Opcije investitorovih sklonosti riziku 81

Tablica 14: Promjene u apsolutnoj averziji prema riziku 83

Tablica 15: Promjene u relativnoj averziji prema riziku 84

Tablica 16: Prosječne mjesečne vrijednosti Merrill Lynch indeksa

američkih državnih obveznica (i=1,2,...9) u Prilogu

125


Tablica 17: Prosječne mjesečne vrijednosti prinosa američkih

državnih obveznica (i=1,2,...,9) u Prilogu

Tablica 18: Ukupni prosjeci prinosa obveznica za svih 165 mjeseci

(u postocima) 100

Tablica 19: Standardna devijacija i varijanca od ukupnih prosjeka prinosa

obveznica za svih 165 mjeseci (u postocima) 100

Tablica 20: Vrijednosti matrice kovarijanci prosječnih mjesečnih prinosa

državnih obveznica (u apsolutnim iznosima) 100

Tablica 21: Vrijednosti koeficijenata korelacije prosječnih mjesečnih prinosa

državnih obveznica (u apsolutnim iznosima) 102

Tablica 22: Vrijednosti funkcije cilja (minimalna varijanca odnosno

standardna devijacija) u Prilogu

Tablica 23: Optimalna rješenja varijabli (vrijednosni udjeli obveznica

u portfoliu) u Prilogu

Tablica 24: Vrijednosti funkcije cilja u postocima (minimalna

varijanca odnosno standardna devijacija) u Prilogu

Tablica 25: Vrijednosti Sharpeovog indeksa u Prilogu

126


10. Literatura

1. Adrović, Zdenko i drugi, "Masmedijin poslovni riječnik", MASMEDIA d.o.o.,

Zagreb, 1995.

2. Barro, R., "The Stock Market and Investment", Review of Financial Studies, Vol.

3, No. 1, 1990., strana 131 - 151.

3. DeFusco, Richard Armand, McLeavey, Dennis W., Pinto, Jerald E., and Runkle,

David E., "Quantitative Methods for Investment Analysis", Association for

Investment Management & Research, 2001.

4. Elton, Edwin J. & Gruber, Martin J., "Modern Portfolio Theory and Investment

Analysis", 5th edition, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1995.

5. Fabozzi, F. & Kole, S., "Selected Topics in Investment Management for Financial

Planning", 1985.

6. Fama, Eugene F. & French, Kenneth R., "Business Conditions and Expected

Returns on Stocks and Bonds", Journal of Financial Economics, 1989., strana 23 -

49.

7. Fama, Eugene F., "Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical

Work", Journal of Finance 25, 1970., strana 383 - 417.

8. French, Kenneth R., Schwert, G. William and Stambaugh, Robert F., "Expected

Stock Returns and Volatility", Journal of Financial Economics 19, 1987., strana 3

- 29.

127


9. Harnett, D. & Horrel, J., "Data, Statistics and Decision Models with Excell", John

Wiley & Sons, Inc., New York, 1998.

10. Hodrick, Robert, "Dividend Yields and Expected Stock Returns: Alternative

Procedures for Inference and Measurement", Review of Financial Studies 5,

1992., strana 357 - 386.

11. Kirby, Chris, "Measuring The Predictable Variation In Stock and Bond Returns",

The Review of Financial Studies 10, 1997., strana 579 - 630.

12. Korn, Ralf & Korn, Elke, "Option Pricing and Portfolio Optimization: Modern

Methods of Financial Mathematics", American Mathematical Society, USA, 2001.

13. Lamont, Owen, "Earnings and Expected Returns", Journal of Finance 53, strana

1563 - 1578.

14. Lewis, Adrian S. & Borwein, Jonathan M., "Convex Analysis and Nonlinear

Optimization: Theory and Examples", Springer Verlag, 2000.

15. Markowitz, H. M., "Portfolio Theory", Journal of Finance, ožujak 1952., strana

77.

16. Markowitz, H. M., "Portfolio Selection", Efficient Diversification of Investments,

John Wiley and Sons, New York, 1959.

17. Michaud, O. Richard, "Efficient Asset Management: A Practical Guide to Stock

Portfolio Optimization and Asset Allocation", Oxford University Press, UK,

1998.

18. Nicholson, R., "Mathematics for Business & Economics", McGraw - Hill Inc.,

USA, 1986.

128


19. Orsag, Silvije, "Financiranje emisijom vrijednosnih papira", HZ RIF, Zagreb,

1997.

20. Orsag, Silvije, "IX. Moderna portfolio teorija", Priručnik za polaganje ispita za

obavljanje poslova Investicijskog savjetnika, HUFA, Zagreb, 2001.

21. Orsag, Silvije, "X. Teorije tržišta kapitala", Priručnik za polaganje ispita za

obavljanje poslova Investicijskog savjetnika, HUFA, Zagreb, 2001.

22. Peressini, Anthony L., Sullivan, F. E., and Uhl, J. J., "The Mathematics of

Nonlinear Programming", Springer Verlag, 1988.

23. Prohaska, Zdenko, "Analiza vrijednosnih papira", Infoinvest d.o.o., Zagreb, 1996.

24. Relić, Branko, " Gospodarska matematika", HZ RIF, Zagreb, 1996.

25. Ross, S., "The Arbitrage Theory of Capital Asset Pricing", Journal of Economic

Theory, 1976., strana 343 - 362.

26. Santini, Ivan, "XII. Mjerenje performansi portfolia", Priručnik za polaganje ispita

za obavljanje poslova Investicijskog savjetnika, HUFA, Zagreb, 2001.

27. Steuer, Ralph E., "Multiple Criteria Optimization: Theory, Computation, and

Application", Krieger Publishing Company, 1989.

28. Šošić, Ivan & Serdar, Vladimir, "Uvod u statistiku". Školska knjiga, Zagreb,

1994.

29. Urry, S. A., "Introduction to Operational Research", Longman Publishing Group,

1996.

30. Vanderbei, Robert J., "Linear Programming: Foundations and Extensions",

Kluwer Academic Publishers, 1998.

129


31. White, D. J., "Operational Research", John Wiley & Sons, Inc., New York, 1986.

11. Sažetak (Summary)

Hrvatski jezik

Konačni cilj ovog rada je postignut time što je izvršena praktična primjena moderne

portfolio teorije na primjeru optimizacije investicijskog portfolia za definirani

matematički model. Ulazne podatke za takav matematički model predstavlja

unaprijed odabrani skup vrijednosnih papira u vlasništvu potencijalnog investitora

baziran na principu diverzifikacije portfolia (radi se o portfoliu kojeg sačinjavaju

blagajnički zapisi, trezorski zapisi i obveznice izdane od strane američke vlade). S

obzirom na postojanje različitih preferencija prilikom investiranja, očigledno je kako

svaki potencijalni investitor prvenstveno ima namjeru maksimiziranja prinosa

portfolia uz postizanje što manjeg rizika ulaganja ili minimiziranje rizika ulaganja uz

postizanje što većeg prinosa portfolia. Primjenjujući modernu portfolio teoriju kao

jednu od poznatih teorija tržišta kapitala, postignuto je rješenje modela koje

zadovoljava zadane pretpostavke tako što je dobiven skup efikasnih rješenja odnosno

efikasna granica. U takvom matematičkom modelu korištene su veličine poput

očekivanog prinosa portfolia, standardne devijacije portfolia, matrice kovarijanci,

bezrizične stope prinosa te vrijednosnog udjela investicije u porfoliju (ponder). Isto

tako, korištena su ograničenja vezana uz termine kratke prodaje te bezrizičnog

uzajmljivanja i pozajmljivanja. Na kraju, postizanje samo jednog optimalnog rješenja

iz skupa efikasnih rješenja je bilo moguće primjenom teorije korisnosti što je

podrazumijevalo ucrtavanje krivulje indiferencije na postojeći graf efikasne granice.

Odabir konačnog rješenja je ovisio o činjenici da li je investitor bio sklon rizik,

neutralan prema riziku ili je imao averziju prema riziku. Drugu varijantu je

predstavljala primjena Sharpeovog indeksa kao jednog iz skupa indeksa koji služe za

mjerenje performansi odabranog investicijskog portfolia. Najveća postignuta

130


vrijednost Sharpeovog indeksa je davala optimalno rješenje zadanog modela (na

odabranom alternativnom primjeru).

English language

This paper tries out a modern portfolio theory using as an example investment

portfolio optimisation related to a defined mathematical model. Data providing input

to this model comprise a selected portfolio of securities owned by a potential investor

based on the portfolio diversification principle (this portfolio consists of US treasury

bills, US treasury notes and US bonds). Various preferences expressed in the course

of investment making indicate that each potential investor is primarily interested in

either maximizing the return on the portfolio while reducing the investment risk to the

lowest possible degree, or minimizing the investment risk and deriving the highest

possible return. Modern portfolio theory is a well-known capital market theory, which

provided a model that fulfilled specified requirements by generating a number of

efficient solutions or an efficient frontier. The following categories were used in the

model: expected return on a portfolio, standard deviation of a portfolio, covariance

matrix, riskless rate of return, and the value of a portfolio investment (weight).

Limitations related to short sale terms and riskless borrowing and lending were also

used. Finally, an optimal solution was chosen from a number of effective solutions by

means of utility theory, which implied adding the indifference curve to the figure

showing the efficient frontier. The final solution was adopted considering investors'

attitudes towards risk, i.e. whether they preferred risk, were indifferent or opposed to

it. An alternative solution was provided by applying the Sharp's index, one among a

set of indices used for measuring the performance of a selected investment portfolio.

The maximum value of the Sharp's index was the optimal solution for the given

model (based on the selected alternative example).

131


12. Ključne riječi (Key words)

Hrvatski jezik English language

vrijednosni papiri securities

teorije tržišta kapitala capital market theories

portfolio portfolio

diverzifikacija portfolia portfolio diversification

moderna portfolio teorija modern portfolio theory

optimizacija investicijskog portfolia investment portfolio optimisation

efikasan portfolio efficient portfolio

efikasna granica efficient frontier

matrica kovarijanci covariance matrix

očekivani prinos portfolia expected return on a portfolio

bezrizična stopa prinosa riskless rate of a return

standardna devijacija portfolia standard deviation of a portfolio

težina (ponder) weight

kratka prodaja short sale

bezrizično uzajmljivanje riskless borrowing

bezrizično pozajmljivanje riskless lending

teorija korisnosti utility theory

krivulja indiferencije indifference curve

funkcija preferencije preference function

investitor sklon riziku risk-seeking investor

investitor neutralan u odnosu na rizik risk-neutral investor

investitor koji ima averziju prema riziku risk-averse investor

performanse portfolia portfolio performances

132


tipovi indeksa type of indexes

Sharpeov indeks Sharp's index

blagajnički zapisi SAD US treasury bills

trezorski zapisi SAD US treasury notes

obveznice SAD US bonds

13. Prilozi

1. Slika 1: Klasifikacija financijske imovine

2. Tablica 16: Prosječne mjesečne vrijednosti Merrill Lynch indeksa američkih

državnih obveznica (i=1,2,...9)

3. Tablica 17: Prosječne mjesečne vrijednosti prinosa američkih državnih

obveznica (i=1,2,...,9)

4. Tablica 22: Vrijednosti funkcije cilja (minimalna varijanca odnosno

standardna devijacija)

5. Tablica 23: Optimalna rješenja varijabli (vrijednosni udjeli obveznica u

portfoliu)

6. Tablica 24: Vrijednosti funkcije cilja u postocima (minimalna varijanca

odnosno standardna devijacija)

7. Tablica 25: Vrijednosti Sharpeovog indeksa

133


14. Životopis (Biografija)

Rođen sam u Zagrebu, 27. kolovoza 1970. godine. Nakon završetka osnovne škole,

1985.g. sam se upisao u srednju školu "Ruđer Bošković" koju sam i završio 1989.g.

godine s odličnim uspjehom (oslobođen mature kao odličan učenik), te stekao zvanje

elektroničar.

U jesen 1991.g. upisao sam se na Ekonomski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, gdje sam

i diplomirao 3. srpnja 1996.g. na smjeru računovodstvo i poslovne financije

(diplomski rad odličan, a ukupni prosjek ocjena 3,8). Naziv teme diplomskog rada je

"Višekriterijska analiza odabranih ekonomskih pokazatelja", iz predmeta Operacijska

istraživanja. U sklopu studiranja pokazao sam adekvatni interes za matematičke

discipline, pa sam tako na drugoj godini studiranja bio demonstrator iz matematike, a

od 1994.g. sam član Hrvatskog društva za operacijska istraživanja (HDOI) na čijim

konferencijama sam aktivno učestvovao.

U međuvremenu sam se od 1. siječnja 1994.g. zaposlio u računovodstvu

Prehrambeno-biotehnološkog fakulteta u Zagrebu na poslovima glavnog knjigovođe i

obračuna osobnih dohodaka. U razdoblju od travnja 1996. do listopada 1997. godine

sam honorarno vodio kompletne računovodstvene poslove poduzeća "Leora" d.o.o.

koja je hrvatsko predstavništvo talijanske petrokemijske tvrtke.

U Hrvatsku narodnu banku sam došao 1. ožujka 1997. godine na poslove stručnog

suradnika u Direkciji za statistiku. U HNB-u sam u proteklom razdoblju osim u

Direkciji za statistiku radio i u Direkciji za upravljanje deviznim sredstvima odakle

sam prošle godine prešao u Direkciju računovodstva na poslove glavnog stručnog

suradnika. Trenutno sam na poslovima vezanim uz izradu internih financijskih

izvještaja HNB-a, te na poslovima vođenja bezgotovinskog platnog prometa putem

134


NKS-a (nacionalnog klirinškog sustava), koji se u Direkciji računovodstva obavlja

elektronskim putem (upotrebom aplikacija elektronskog plaćanja).

Od ostalih karakteristika valja napomenuti da poznajem rad na PC-u (Microsoft -

Word, Excel, PowerPoint, Access, Quickbook; Internet ...) te da se vrlo dobro služim

engleskim jezikom. U slobodno vrijeme se bavim sportom rekreativno (nogomet i

košarka). Oženjen sam, živim zajedno sa suprugom Ivanom u vlastitom stanu, otac

sam sina Luke rođenog 16. rujna 2001. godine.

135

Documents

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU · Web viewIndeksni modeli nastoje odrediti kretanje prinosa na neku investiciju kao linearnu funkciju jednog ili više faktora koji se predstavljaju određenim