Syalom !

ROTASI• C. Pengertian Rotasi dan persamaan Transformasi Rotasi

pada Bidang.• Pengertian Rotasi• Putaran / rotasi adalah suatu transformasi yang

memindahkan setiap titik pada bidang dengan cara memutar.

• Pengertian persamaan Transformasi Rotasi / perputaran : Misalkan titik P(x,y) terletak pada bidang Cartesius. Titik P(x,y) dirotasikan sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’).Persamaan yang menghubungkan x’ dengan x dan y’ dengan y dinamakan sebagai persamaan transformasi rotasi pada bidang.Persamaan transformasi ini juga ditentukan oleh besar sudut dan titik pusat rotasinya.

• Ada 3 hal yang perlu diperhatika dalam rotasi yaitu :1. Pusat titik putar2. Besar sudut putaran3. Arah putaran.

1. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0)

Perhatikan gambar

berikut !Y

P(x, y)

P’(x’, y’)

0 AB

C

Dr

r

β

Di dalam segitiga OAP diperoleh :OA=OP cos β → x=r cos β dan AP=OP sin β → y=r sin βDi dalam segitiga OBP’ diperoleh :OB=OP’ cos (β+ θ )X’=r cos β cos θ - r sin β sin θ X’=x cos θ - y sin θ BP’ = OP’ sin (β+ θ )Y’=r sin (β+ θ )Y’=r sin β cos θ + r cos β sin θ Y’=y cos θ + x sin θ

x

Jadi dari keterangan diatas dapat disimpulkan bahwa:

Misalkan titik P(x,y) diputar sejauh θ dengan titik pusat rotasi di O(0,0) sehingga diperoleh bayangan titik P’(x’,y’). Dengan hubungan sbb:

X’ = x cos θ - y sin θ

Y’ = x sin θ + y cos θ

Jadi dapat dituliskan sbb:

P(x,y) P’(x’,y’) dimana :

X’=x cos θ -ysin θ

Y’=x sin θ + y cos θ

Secara matriks dapat dituliskan sbb :

,O

y

x

y

x

cossin

sincos

'

'

User

1.A. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ=(+90o).

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh bayangan sbb :

y

x

y

x

90cos90sin

90sin90cos

'

'

x

y

x

y

yx

yx

y

x

y

x

y

x

0

0

.0.1

.1.0

'

'

01

10

'

'

Contoh 1.1.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar +90o dengan titik pusat O(0,0)?

Jawab :

P(5, -3)

P’ (3, 5)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

Secara matematis dapat ditentukan sbb :

5

3

'

'

05

30

'

'

3051

3150

'

'

3

5

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (+90o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(3, 5)

1.1.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o ?

Jawab :

Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb:2y’ – (-x’) = 10X’ + 2Y’ = 10.Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o adalah x+2y=10

'

'

'

'

x

y

y

x

x

y

y

x

Secara geometrik dapat dilukiskan sebagai berikut :

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

YG :2x-y=10

G’ : x+2y=10

A(4, -2)

B(5,0)

A’(2,4)

B’(0,5)

Tugas

1. Tentukanlah bayangan dari titik A( 5, 10) yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan arah dengan arah jarum jam dengan titik pusat putaran di O(0, 0)

2. Tentukanlah bayangan dari garis y = 4x – 5 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?

3. Tentukanlah bayangan dari garis x2 + y2 – 2x + 4y = 25 yang diputar sebesar 90 derajat berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putaran di titik O (0, 0) ?

1.B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= -90o

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

y

x

y

x

90cos90sin

90sin90cos

'

'

'

'

.0.1

.1.0

01

10

'

'

x

y

y

x

x

y

yx

yx

y

x

y

x

Contoh 1.2.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat O(0,0)?

• Jawab :

P’ (5, -3)

P(3, 5)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y


3

5

'

'

03

50

'

'

5031

5130

'

'

5

3

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(5, -3)

1.2.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -90o ?

•Jawab :

Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb:

2 (-y’) – x’ = 10

-X’ - 2Y’ = 10.

Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 90o adalah x+2y= -10

'

'

x

y

y

x

1.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= 180o .

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= 180o maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

y

x

y

x

180cos180sin

180sin180cos

'

'

'

'

'

'

0

0

.1.0

.0.1

10

01

'

'

y

x

y

xatau

y

x

y

x

y

x

yx

yx

y

x

y

x

Contoh 1.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat O(0,0)?

• Jawab :

P’ (-3, -5)

P(3, 5)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

Secara matematis dapat ditentukan sbb :Jawab :

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(-3, -5)

5

3

'

'

50

03

'

'

5130

5031

'

'

5

3

10

01

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x


• Jawab :

Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb:2 (-x’) – (-y’) = 10-2X’ + Y’ = 10.Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x- y= -10

'

'

'

'

y

x

y

xatau

y

x

y

x

1.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= (-180o ).

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ=(- 180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

y

x

y

x

180cos180sin

180sin180cos

'

'

'

'

,

'

0

0

.1.0

0.1

10

01

'

'

y

x

y

xatau

y

x

y

x

y

x

yx

yx

y

x

y

x

Contoh 1.4.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar -180o dengan titik pusat O(0,0)?

• Jawab :

P’ (-3, -5)

P(3, 5)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y


Jawab :

5

3

'

'

50

03

'

'

5130

5031

'

'

5

3

10

01

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(-3, -5)

1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi (-180o ) ?

• Jawab :

Dengan mensubstitusikan x = -x’ dan y = -y’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb:2 (-x’) – (-y’) = 10-2X’ + Y’ = 10.

Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi (-180o )adalah 2x- y= -10 atau y – 2x = 10

'

'

'

'

y

x

y

xatau

y

x

y

x

1.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= 270o .

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ= 270o maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

y

x

y

x

270cos270sin

270sin270cos

'

'

'

'

'

'

0

0

.0.1

.1.0

01

10

'

'

x

y

y

xatau

x

y

y

x

x

y

yx

yx

y

x

y

x

Contoh 1.5.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar 270o dengan titik pusat O(0,0)?

• Jawab :

P’ (5, -3)

P(3, 5)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y


3

5

'

'

03

50

'

'

5031

5130

'

'

5

3

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

Jawab :

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(5, -3)


• Jawab :

Dengan mensubstitusikan x = -y’ dan y = x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb:2 (-y’) – (x’) = 10-2y’ - x’ = 10.

Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi 270o adalah x + 2y= -10

'

'

'

'

x

y

y

xatau

x

y

y

x

1.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di O(0,0) dan θ= (-270o ).

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat O(0,0) dan sudut rotasi sebesar θ = (- 270o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

y

x

y

x

270cos270sin

270sin270cos

'

'

'

'

'

'

0

0

.0.1

.1.0

01

10

'

'

x

y

y

xatau

x

y

y

x

x

y

yx

yx

y

x

y

x

Contoh 1.6.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-270o) dengan titik pusat O(0,0)?

• Jawab :

P’ (-5, 3)

P(3, 5)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y


Jawab :

3

5

'

'

03

50

'

'

5031

5130

'

'

5

3

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat O(0,0) adalah P’(-5, 3)

1.4.b. Tentukan persamaan bayangan kurva 2x – y = 10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -270o ?

• Jawab :

Dengan mensubstitusikan x = y’ dan y = -x’ ke persamaan 2x – y = 10 diperoleh sbb:2 y’ – (-x’) = 102y’ + x’ = 10.Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y =10 oleh rotasi berpusat di O(0,0) dengan sudut rotasi -270o adalah x + 2y = 10

'

'

'

'

x

y

y

xatau

x

y

y

x

Tugas1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 270 derejat dengan titik

pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?

2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (-180) derejat dengan titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?

3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (-90) derejat dengan titik pusat O(0,0). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?

4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?

5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat O(0, 0) ?

2. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k)

),,( khM

Y

P(x, y)

P’(x’, y’)

0

M(h,k)

Jika titik P(x,y) kita pandang terhadap titik pusat M(h,k) maka posisi titik P terhadap titik M dapat dituliskan P(x-h, y-k).dan posisi bayangannya P’(x’-h, y’-k) Sehingga dengan demikia dapat dituliskan bayang titik P tersebut didalam koordinat kartesiusnya sbb:P(x,y) P’(x’,y’) dimana :X’-h =(x-h) cos θ – (y-k) sin θ Y’-k =(x-h) sin θ + (y-k) cos θSecara matriks dapat dituliskan sbb :

k

h

ky

hx

y

x

cossin

sincos

'

'X

2.A. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ=(+90o).

• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut θ= (+90o) maka diperoleh bayangan sbb :

hkx

yhk

k

h

kyhx

kyhx

y

x

k

h

ky

hx

y

x

0.1

1.0

'

'

01

10

'

'

k

h

ky

hx

y

x

90cos90sin

90sin90cos

'

'

Contoh 2.1.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar +90o dengan titik pusat M(2,1)?

• Jawab :

P(5, -3)

P’(6, 4)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(2,1)?


4

6

1

2

3

4

'

'

1

2

03

40

'

'

1

2

4031

4130

'

'

1

2

4

3

01

10

'

'

1

2

13

25

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jawab :

Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (90o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)

Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 3x-4y=-12 oleh rotasi berpusat di M(-1, 2) dengan susut rotasi 90o ?

• Jawab :

'

'

'

'

xhk

khy

y

xatau

hkx

yhk

y

x

Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = k+h-x’, h=-1,dan k=2 ke persamaan 3x – 4y = -12 diperoleh sbb:3(y’+h-k) – 4(k+h-x’) = -12 3(y’+(-1)-(2)) – 4(2+(-1)-x’)= -12 atau 3(y’-3) – 4(1-x’) = -123y’ - 9 – 4 + 4x’ = -12 atau 4x’ + 3y’ = -12 + 13 4x’ + 3y’ = 1Jadi persamaan bayangan kurva 3x – 4y = -12 oleh rotasi berpusat di M(-1,2) dengan sudut rotasi 90o adalah 4x + 3y= 1

2.B. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-90o)

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-90o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

k

h

ky

hx

y

x

90cos90sin

90sin90cos

'

'

hkx

ykh

y

xatau

xkh

hky

y

x

k

h

kyhx

kyhx

k

h

ky

hx

y

x

'

'

'

'

(0)).(1(

)(1).(0

01

10

'

'

Contoh 2.2.a Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-90o) dengan titik pusat M(1,2)?

• Jawab :

P(3, 5)

P’(4, 0)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(1,2)


• Jawab :

0

4

2

1

2

3

'

'

2

1

02

30

'

'

2

1

3021

3120

'

'

2

1

3

2

01

10

'

'

2

1

25

13

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-90o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)

Contoh 2.1.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi -90o ?

• Jawab :

hkx

ykh

y

x

'

'

Dengan mensubstitusikan x = h+k-y’, y = x’+k-h’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(h+k-y’) – (x’+k-h) = 12 atau 2(2+3-y’) – (x’+3-2)= 122(5-y’) – (x’+1)= 12 atau 10-2y’-x’-1 = 12-x’ - 2y’ = 12 – 9 atau x’ + 2y’ = -3Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -90o adalah x + 2y= -3

2.C. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (180o) .Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat

M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

k

h

ky

hx

y

x

180cos180sin

180sin180cos

'

'

yk

xh

k

h

kyhx

kyhx

Y

X

k

h

ky

hx

y

x

2

2

)).(1().(0

).(0))(1(

'

'

10

01

'

'

Contoh 2.3.a. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar 180o dengan titik pusat M(2,1)?

• Jawab :

P(5, -3)

P’(-1, 5)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(2,1)

Secara matematis dapat ditentukan sbb :• Jawab :

5

1

1

2

4

3

'

'

1

2

40

03

'

'

1

2

4130

4031

'

'

1

2

4

3

10

01

'

'

1

2

13

25

10

01

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (180o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(-1, 5)

Contoh 2.3.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 180o ?

• Jawab :

'2

'2

2

2

'

'

yk

xh

y

xatau

yk

xh

y

x

Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 128 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12-2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y= -10

2.D. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (-180o) .

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (-180o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

k

h

ky

hx

y

x

180cos180sin

180sin180cos

'

'

yk

xh

k

h

kyhx

kyhx

y

x

k

h

ky

hx

y

x

2

2

)).(1().(0

).(0)).(1(

'

'

10

01

'

'

Contoh 2.4. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesaar (-180o) dengan titik pusat M(1,2)?

• Jawab :

P(3, 5)

P’(-1, -1) -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(1,2)


1

1

2

1

3

2

'

'

2

1

30

02

'

'

2

1

3120

3021

'

'

2

1

3

2

10

01

'

'

2

1

25

13

10

01

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jawab :

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (-180o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(-1, -1)


• Jawab :

'2

'2

2

2

'

'

yk

xh

y

xatau

yk

xh

y

x

Dengan mensubstitusikan x = 2h-x’, y = 2k-y’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(2h-x’) – (2k-y’) = 12 atau 2(2.2-x’) – (2.3-y’)= 128 - 2x’- 6 + y’=12 atau 2-2x’ +y’ = 12-2x’ + y’ = 10 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 180o adalah 2x - y = -10

2.E. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ= (270o)

Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat M(h,k) dan sudut rotasi sebesar θ= (270o) maka diperoleh bayangan secara matriks sbb :

k

h

ky

hx

y

x

270cos270sin

270sin270cos

'

'

xkh

khy

k

h

kyhx

kyhx

y

x

k

h

ky

hx

y

x

).(0)).(1(

).(1).(0

'

'

01

10

'

'

Contoh 2.5. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(3,5) yang diputar sebesar (270o) dengan titik pusat M(1,2)?

• Jawab :

P(3, 5)

P’(4, 0)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(1,2)

Secara matematis dapat ditentukan sbb :• Jawab :

0

4

2

1

2

3

'

'

2

1

02

30

'

'

2

1

3021

3120

'

'

2

1

3

2

01

10

'

'

2

1

25

13

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(3,5) yang dirotasikan sejauh (270o) dengan titik pusat M(1,2) adalah P’(4, 0)

Contoh 2.5.b Tentukanlah persamaan bayangan kurva 2x - y=12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan susut rotasi 270o ?

• Jawab :

'

'

'

'

xhk

ykh

y

xatau

hkx

khy

y

x

Dengan mensubstitusikan x = h-k-y’, y = k-h-x’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12x’ - 2y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi 270o adalah x - 2y = 15

2.F. Persamaan transformasi Rotasi dengan titik pusat di M(h,k) dan θ=(-270o).• Jika suatu titik P(x,y) dirotasikan dengan titik pusat

M(h,k) dan sudut θ= (-270o) maka diperoleh bayangan sbb :

k

h

ky

hx

y

x

270cos270sin

270sin270cos

'

'

hkx

ykh

k

h

kyhx

kyhx

y

x

k

h

ky

hx

y

x

).(0).(1

)).(1().(0

'

'

01

10

'

'

Contoh 2.6. Tentukanlah titik bayangan dari titik P(5,-3) yang diputar sebesaar -270o dengan titik pusat M(2,1)?

• Jawab :

P(5, -3)

P’(6, 4)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1234567

-2-3-4-5-6

X

Y

M(2,1)


• Jawab :

4

6

1

2

3

4

'

'

1

2

03

40

'

'

1

2

4031

4130

'

'

1

2

4

3

01

10

'

'

1

2

13

25

01

10

'

'

y

x

y

x

xx

xx

y

x

y

x

y

x

Jadi bayangan dari titik P(5,-3) yang dirotasikan sejauh (-270o) dengan titik pusat M(2,1) adalah P’(6, 4)


• Jawab :

'

'

'

'

xkh

khy

y

xatau

hkx

ykh

y

x

Dengan mensubstitusikan x = y’+h-k, y = h+k-x’, h=2,dan k=3 ke persamaan 2x – y = 12 diperoleh sbb:2(y’h-k-y’) – (k-h-x’) = 12 atau 2(2-3-y’) – (3-2-x’)= 12-2 – 2y’- 1 + x’=12 atau -3+ x’ - 2y’ = 12x’ - 2y’ = 15 Jadi persamaan bayangan kurva 2x – y = 12 oleh rotasi berpusat di M(2, 3) dengan sudut rotasi -270o adalah x - 2y = 15

Tugas

1. Titik A ( 2, 4 ) diputar sebesar 45 derejat dengan titik pusat M(2,-3). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?

2. Titik B ( -5, 8 ) diputar sebesar (60) derejat dengan titik pusat M(4, -6). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?

3. Titik C ( 8, -9 ) diputar sebesar (135) derejat dengan titik pusat M(-4, -2). Tentukanlah bayangan titik tersebut ?

4. Tentukanlah bayangan garis 5x – 3y = 10 yang diputar sebesar (-270) derejat dengan titik pusat M(3, 4) ?

5. Tentukanlah bayangan garis y = 2x2 – 4x + 5 yang diputar sebesar (180) derejat dengan titik pusat M(-3, 2) ?

Documents

Syalom !