1

SYLABUS 3. - 5. PŘEDNÁŠKY Z

GEODÉZIE 2 (Vytyčování)

1. ročník bakalářského studia

studijní program G

studijní obor G

doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc.

březen 2018

2

Geodézie 2 – přednáška č.3 až 5

VYTYČOVÁNÍ (Skripta Geodézie 2, str.62, ) Vytyčování je možno rozdělit na vytyčování polohy (ve vodorovné rovině), vytyčování výšky, popř. vytyčování prostorové. Týká se např. vytyčování hranic pozemků, kde vytýčení probíhá vzhledem k bodům ZPBP a PPBP, ale nejčastěji se týká vytyčování ve výstavbě (např. stavebních objektů) či ve strojírenství, energetice apod., a to vzhledem k vytyčovací síti, budované speciálně k tomuto účelu (podrobněji v předmětu

Inženýrská geodézie). Obecně lze polohové vytyčení, kterému je věnována tato kapitola, rozložit na základní prvky, kterými jsou vytyčení bodu, přímky, úhlu a úsečky. S ohledem na řešenou úlohu, konfiguraci sítě a požadovanou přesnost vytyčení se volí vytyčovací metoda, přístroje a pomůcky, ale i způsob stabilizace bodů (dřevěným kolíkem, při vyšších požadavcích na přesnost s hřebíčkem, ocelovou trubkou či železnou tyčí, často obetonovanou, nastřelovacím hřebem apod.).

VYTYČENÍ BODU V obrázku č.1 jsou zobrazeny 4 základní metody vytýčení bodu C z daných bodů

A,B:

pravoúhlými souřadnicemi (staničením x´c a kolmicí y´c), neboli ortogonálně,

protínáním vpřed z úhlů (ωA , ωB),

protínáním z délek (sAC a sBC),

polárními souřadnicemi (ωA , sAC), neboli rajónem,

průsečíkovou metodou,

v současné době lze bod C vytýčit též metodami GNSS.

Ze známých souřadnic daných a určovaných bodů se podle zvolené metody vytyčení nejprve vypočtou vytyčovací prvky (úhly a délky – sylaby přednášek č.6 a 7, Geodézie 1), přičemž délky vypočtené ze souřadnic je třeba nejprve převést z nulové hladiny a zobrazení do skutečnosti (tedy s opačným znaménkem než při opravách měřených délek pro souřadnicové výpočty).

Vytyčení pravoúhlými souřadnicemi předpokládá viditelnost mezi body A,B; pata kolmice Q (obr.1) se vytyčuje s ohledem na požadovanou přesnost dvojitým pentagonem nebo teodolitem (zařazení do směru A,B) a pásmem (staničení xc´), stejně jako pravý úhel v bodě Q a délka kolmice yc´. Přesnost ortogonálně vytyčeného bodu závisí na přesnosti zařazení paty kolmice do přímky, na přesnosti vytyčení délky staničení a délky kolmice a konečně na přesnosti vytyčení pravého úhlu. Při přesnosti požadované v řádu centimetrů vyhovuje použití dvojitého pentagonu, jehož úhlová chyba se uvažuje hodnotou 1´ až 2´ (což představuje teoreticky příčnou chybu 3, resp. 6 mm na 10 m, nebo 9 až 18 mm na vzdálenost 30 m, prakticky však s ohledem na přesnost provážení paty kolmice olovnicí 3 až 5 cm). Má-li být dosaženo přesnosti v řádu milimetrů, je nutno použít teodolitu odpovídající třídy přesnosti, a to jak pro zařazení paty kolmice do přímky, tak i pro vytyčení kolmice (úhlová chyba 0,01 gon (resp.0,002 gon) způsobí příčnou chybu 5 mm (resp. 1 mm) na délku 30m.

3

V obrázku č.2 je znázorněno vytyčení rohů objektu (body A,B) pravoúhlými souřadnicemi (staničení a kolmice) z měřické přímky dané body 1,2.

Při vyšších požadavcích na přesnost (v řádech milimetrů) se vytyčení provádí ve dvou fázích. Nejprve se vytyčí přibližná poloha bodu a bod se osadí vhodnou stabilizací tak, aby na ní bylo možno realizovat posuny do „přesné“

polohy (např. deskou na kolících). Ve druhé fázi se pak převádí vytyčení na zaměření bodu (které je přesnější, neboť oba koncové body jsou, na rozdíl od vytyčování, „pevné“), výpočet jeho polohy a výpočet a následnou realizaci posunů do polohy projektované. Pro „přesné“ určení měřených prvků se vodorovné úhly měří ve dvou polohách, popř. i ve více skupinách, stejně jako vodorovné délky. Tento postup platí i pro ostatní metody vytyčení.

Vytyčení protínáním vpřed z úhlů předpokládá vzájemnou viditelnost mezi danými body A,B a určovaným bodem C. Vytyčovaný bod se určí jako průsečík dvou úhlů ωA , ωB, (obr.1) nejlépe při současném použití dvou teodolitů, postavených na daných bodech A a B. Použije-li se pouze jeden teodolit je nutno vytyčený úhel z jednoho daného bodu (např. A)

vyznačit dvěma body přibližně v místě bodu C a spojnici těchto bodů realizovanou např. pásmem, provázkem či drátem protnout úhlem vytyčeným z druhého daného bodu (např. B). Při vyšších požadavcích na přesnost vytyčení se postupuje způsobem uvedeným výše, tzn. po vytyčení přibližné polohy bodu C a jeho osazení vhodnou deskou se na okrajích desky vyznačí vždy dvěma body vytyčené směry a graficky realizuje průsečík (pravítkem). V obrázku č.3 je znázorněno vytyčení rohu objektu (bod A) protínáním vpřed z úhlů, z daných bodů 1,2.

S ohledem na požadovanou přesnost vytyčení bodu se použije teodolit odpovídající třídy přesnosti. Přesnost vytyčení závisí i na přesnosti dostředění teodolitů na daných bodech a především na úhlu průseku vytyčovacích směrů (měl by být v rozmezí od 30 do 170 gon – Návod na obnovu katastrálního operátu – přednáška G1 č.10).

Vytyčení protínáním vpřed z délek vyžaduje stejné předpoklady jako v předchozím případě. Vytyčovaný bod se určí jako

průsečík dvou kružnic o poloměru délek sAC a sBC, vytyčovaných z daných bodů A a B. Úloha je vhodná pro vytyčení pásmem a krátké délky (do délky jednoho kladu pásma), tedy při nižších požadavcích na přesnost vytyčení (obr.4). Při použití elektronického dálkoměru v totální stanici je vhodnější použít jiného postupu, nejspíše polární metody.

4

Vytyčení polárními souřadnicemi (rajónem) předpokládá viditelnost minimálně z jednoho daného bodu na druhý daný bod (např. z A na B – obr.1) a dále z bodu A na vytyčovaný bod C. Tato metoda je v současné době nejpoužívanější klasickou metodou, s ohledem na dnes již standardní přístrojové vybavení. Postup při vytyčení je takový, že na bodě A se vytyčí úhel ωA, s orientací na bod B a ve vypočtené vzdálenosti sAC se vyznačí poloha vytyčeného bodu C.

Na obrázku č.5 je znázorněno vytyčení rohů stavebního objektu (A,B) polární metodou z daných bodů 1,2. Přesnost vytyčení bodu je závislá na přesnosti dostředění přístroje na stanovisku a cíle na orientačním bodě, podobně jako na dostředění cílové značky (terč, hranol) na určovaném bodě C a dále především na přesnosti vytyčované (popř. měřené) délky a vytyčovaného (měřeného) úhlu. Při použití totální stanice je chyba v podélném směru, daná délkovým měřením, prakticky

konstantní, zatímco chyba v příčném směru, ovlivněná přesností úhlového měření, je závislá na délce záměry (s délkou záměry, při stejné úhlové chybě, roste).

Postup při vytyčení úhlu je uveden v následujícím textu.

Vytyčení průsečíkovou metodou Průsečíková metoda se používá jako doplňková pro opakované vytyčení bodů stavebních objektů vytyčených jiným postupem a zajištěných odsazenými body, stabilizovanými vhodným způsobem tak, aby byly k dispozici po celou dobu výstavby (např. stavebními lavičkami – obr.6, zabetonovanými ocelovými trubkami či železnými trny). Rohy stavebního objektu (A až D) se přitom stabilizují pouze dočasně dřevěnými kolíky a zajišťují na odsazené lavičky v prodloužení stran objektu (body A´ až D´ a A´´ až D´´) hřebíkem zatlučeným do horní hrany vodorovně osazeného

prkna, přichyceného na dva dřevěné kůly, zaražené do terénu (obr.6). Zajištění rohů objektu na odsazené stabilizace je nutné vzhledem k očekávanému zničení kolíků při zemních pracích (výkopy pro základové pasy či základovou desku) a nutnost opakovaného vytyčování rohů do výkopů, pro založení stěn na základech a kontrolu realizace stavby. Průsečíky se v tomto případě realizují obvykle tenkými dráty, napnutými mezi odpovídajícími si hřebíky na lavičkách. Poznámka: Prkna na stavebních lavičkách se osazují do vodorovné polohy, přičemž se jejich výška vytyčuje do roviny odsazené o zvolenou hodnotu od projektované výšky (ve stavební hantýrce tzv.

„vágris“) zpravidla nultého podlaží objektu, v projektu označené jako ±0, které odpovídá stanovená

nadmořská výška.

Vytyčování průsečíkovou metodou z odsazených zajišťovacích bodů se ve stavebnictví používá poměrně často, např. pro opakované vytyčování patek sloupů (obr.7) (pro výkop, pro osazení bednění, pro betonáž, pro osazení kotevních šroubů do hlavy patek,

pro usazení ocelových či železobetonových sloupů, pro kontrolní měření), osazovaných v pravoúhelníkových sítích, nebo též u liniových staveb (obr.8) (opakované vytyčení bodů

v ose např. komunikace).

5

Vytyčení technologiemi GNSS Polohové vytyčení bodu lze realizovat i vhodnými postupy využívajícími technologie GNSS, s ohledem na požadovanou přesnost vytyčení. (Základní informace o GNSS na

str.21 tohoto sylabu. Podrobnější informace v předmětech Inženýrská geodézie a Vyšší geodézie)

VYTYČENÍ PŘÍMKY Touto úlohou se rozumí vytyčení mezilehlých bodů přímky, dané v terénu body P (počáteční bod) a K (koncový bod). Podle požadované přesnosti vytyčení, viditelnosti a přístupnosti koncových bodů přímky se volí vhodná metoda vytyčení.

Vytyčení mezibodů na přímce zařazením od oka (při nižších požadavcích na přesnost vytyčení)

Vytyčení v plochém a přehledném terénu Na koncových bodech P a K vytyčované přímky se postaví do stojánků výtyčky a urovnají se do svislé polohy pomocí olovnice nebo alespoň podle svislé hrany blízké

budovy apod. Mezibody se zařazují do zákrytu těchto výtyček od oka ze vzdálenosti cca 5 m za bližší výtyčkou (aby co nejméně zakrývala výtyčku vzdálenější – obrázky č.9, 10). V místě zvoleného mezibodu M

pohybuje pomocník svisle drženou výtyčkou ve směru přibližně kolmém na přímku a podle pokynů měřiče ji zařadí do zákrytu krajních výtyček. Vytyčení se zpřesní při samostatném zařazení levého a pravého okraje výtyček. Výslednou polohou je pak průměr z obou vytyčení (obr.9). Mezibody se stabilizují nejčastěji kolíkem, po jehož osazení do terénu se provede kontrola vytyčení. Při pečlivé práci měřiče i pomocníka lze očekávat přesnost v zařazení mezibodů do přímky kolem 5 cm, s ohledem na vzdálenost koncových bodů, svažitost a konfiguraci terénu.

Vytyčení přes terénní vlnu či násep Vytyčení mezibodů přímky přes terénní vlnu nebo násep lze provést postupem

uvedeným ve skriptech Geodézie 2, str.64 (obr.11). Tento postup vyžaduje 2 měřiče (postavené za body P a K a 2 pomocníky s výtyčkami (figuranty) na zvolených bodech M, resp. N. Nejprve měřič postavený za bodem K zařadí do směru na bod M1 pomocníka na bodě N, a to do bodu N2. Potom měřič postavený za

6

bodem P zařadí do směru na bod N2 pomocníka na bodě M, a to do polohy označené na obrázku č.11 M3. Takto se postupuje opakovaně, až jsou posuny na bodech M a N prakticky nulové a mezibody jsou v přímce. Jiným postupem, vyžadujícím pouze 2 měřiče, obsluhující též výtyčky, je postupné vzájemné zařazování do směru na příslušný koncový bod. Tedy měřič za bodem M1, zařadí do směru na bod K výtyčku do bodu N2. Potom měřič za bodem N2 zařadí do směru na bod P výtyčku do bodu M3, a tak dále až jsou všechny body v zákrytu. Oba postupy, postupného přibližování k přímce, předpokládají viditelnost mezi body P, M, N a mezi body K, M, N.

Vytyčení mezibodů na přímce dvojitým pentagonem (při již vyšších požadavcích na přesnost vytyčení)

Při vyšších požadavcích na přesnost vytyčení mezibodu přímky (kolem 3 cm) je možné v přehledném terénu použít k zařazení bodu do přímky dvojitého pentagonu (přednáška č.4, Geodézie 2). Pro kontrolu a zvýšení přesnosti vytyčení je vhodné vytyčit mezibod ve dvou polohách

(otočit pentagon o 200 gon – obr.12).

Vytyčení mezibodů na přímce teodolitem (při nejvyšších požadavcích na přesnost vytyčení) Mezibod na přímce lze vytyčit v jedné nebo ve dvou polohách teodolitu, opět s ohledem na požadovanou přesnost vytyčení.

Je-li požadovaná přesnost v zařazení mezibodu do přímky kolem 1cm, je možno jej vytyčit v jedné poloze dalekohledu. Teodolit se zcentruje a zhorizontuje (olovnicí, optickým dostřeďovačem či laserovou olovnicí) na jednom koncovém bodě přímky a druhý koncový bod se signalizuje výtyčkou ve stojánku, olovnicí zavěšenou na stativu nebo terčem na stativu, popř. při přímé viditelnosti se bod signalizuje špičkou tužky či hřebíčkem. Použité pomůcky by měly odpovídat požadované přesnosti vytyčení. Dalekohled teodolitu se přesně zacílí na protilehlý bod a utáhne se hrubá horizontální ustanovka. Sklápěním dalekohledu ve svislé rovině se postupně cílí na vytyčované mezibody, které se stabilizují nejčastěji dřevěnými kolíky tak, aby po zatlučení svislá ryska ryskového kříže procházela středem kolíku. Na hlavu kolíku se poté přenese směr přímky a přesně signalizuje hřebíčkem. Přesnost vytyčení je ovlivněna přesností centrace teodolitu i cílové značky, osovými chybami teodolitu (úklonná, kolimační a nepřesná horizontace), v závislosti na sklonu záměry a významně může být ovlivněna též viditelností (nebo spíše neviditelností) na hlavu kolíku. Při přímé viditelnosti odpadají chyby z provažování cíle na hlavu kolíku. Přesnost je rovněž významně ovlivněna pečlivostí pracovníků, a to jak u teodolitu, tak u mezibodu.

Při maximální požadované přesnosti se mezibody zařazují do přímky v obou polohách dalekohledu (vylučují se osové chyby teodolitu), centrace na koncových bodech musí být provedena optickým dostřeďovačem a směr přímky se získá průměrem vytyčení v první a druhé poloze dalekohledu. Pro nejpřesnější práce v inženýrské geodézii se opět vytyčení převádí na zaměření, takže po přibližném vytyčení bodu se bod pečlivě signalizuje terčem na stativu, dostředěným opticky, úhel mezi koncovým bodem a mezibodem se zaměří

7

s požadovanou přesností (i ve více skupinách), vypočte se příčný posun, který se realizuje na hlavě kolíku a vytyčená poloha se kontrolně zaměří (podrobný výklad

v předmětu Inženýrská geodézie).

Prodloužení přímky Obdobně jako vytyčení mezibodů přímky lze prodloužení přímky za jeden koncový bod řešit s ohledem na požadovanou přesnost vytyčení. Prodloužení přímky od oka Postupuje se obdobně jako při zařazení bodů do přímky s tím, že sám měřič zařazuje do zákrytu výtyček na koncových bodech, nejlépe závěs olovnice (popř. výtyčku) držený v natažené ruce před okem. Prodloužená přímka by neměla přesáhnout ¼ až 1/3 vzdálenosti koncových bodů.

Prodloužení přímky teodolitem

Prodloužení přímky proložením dalekohledu Postup centrace a signalizace na koncových bodech přímky je opět obdobný jako při vytyčování mezibodů do přímky. Po přesném zacílení dalekohledu v 1. poloze na protilehlý koncový bod P se proloží dalekohled do 2. polohy a do směru se v požadované vzdálenosti vytyčí poloha bodu C1. Poté se znovu pečlivě zacílí na bod P ve 2. poloze a postup se opakuje. Výsledkem druhého proložení je bod C2. Výslednou polohou bodu prodloužené přímky je průměrná poloha bodů C1 a C2. Přesnost vytyčení bodu na prodloužené přímce je ovlivněna chybami v cílení a v dostředění přístroje a cíle. Přístrojové chyby, až na vliv sklonu osy alhidády, se průměrem vytyčení ve dvou polohách dalekohledu vyloučí.

Prodloužení přímky vytyčením přímého úhlu (200 gon) Postup je jiný v tom, že místo proložení dalekohledu se na koncovém bodě K vytyčí přímý úhel (200 gon) na vodorovném kruhu a v požadované vzdálenosti

se vytyčí poloha bodu C1. Totéž se provede ve druhé poloze dalekohledu a vytyčí poloha C2. Výslednou polohou bodu prodloužené přímky je opět průměrná poloha bodů C1 a C2 (obr.13). Přesnost vytyčení je navíc oproti

předchozímu postupu, ovlivněna nepřesností odečtení vodorovného kruhu.

Vytyčení průsečíku dvou přímek Opět podle požadavku na přesnost vytyčení průsečíku se volí vhodný postup (od oka, dvojitým pentagonem nebo teodolitem).

Vytyčení průsečíku od oka – shlédnutím Koncové body přímek se signalizují výtyčkami ve stojáncích a dva měřiči zařazují

postupně pomocníka s výtyčkou do směru obou přímek. Je-li výtyčka současně zařazena do směru obou přímek, nachází se v jejich průsečíku. Vytyčuje-li průsečík pouze jeden měřič s pomocníkem, vytyčí nejprve dva mezibody na jedné přímce (poblíž průsečíku) a potom jiné dva mezibody na druhé přímce (obr.14). Průsečík se získá pomocí pásma nebo provázků natažených na spojnici mezibodů obou přímek. Obdobně se postupuje při vytyčení průsečíku pomocí dvojitého pentagonu.

8

Vytyčení průsečíku teodolitem Obdobně jako v předchozím případě se na obou přímkách vytyčí teodolitem po dvou mezibodech poblíž jejich průsečíku, mezibody se stabilizují kolíky s hřebíčky a provázkem se určí průsečík, který je možno kontrolně z krajních bodů obou přímek přeměřit. Při současném použití dvou teodolitů je možno průsečík vytyčit přímo.

VYTYČOVÁNÍ ÚHLŮ Úhly požadované velikosti lze vytyčit opět několika postupy, s ohledem na jejich požadovanou přesnost. Často se vyskytuje úloha, při které se vytyčuje pravý úhel.

Vytyčení pravého úhlu Při nižších požadavcích na přesnost vytyčení je možno pravý úhel vytyčit pomocí Pythagorejského trojúhelníka pásmem (postup je uveden v tomto sylabu str.20, nebo skripta

Geodézie 1, str.79). Na stejném místě je vysvětlen postup vytyčení pravého úhlu pentagonem, který je přesnější. Je-li požadována vyšší přesnost ve vytyčení pravého úhlu, použije se teodolit odpovídající úhlové přesnosti. Na bodě, v němž má být pravý úhel vytyčen se pečlivě zcentruje (optickým dostřeďovačem) teodolit, stejně jako cílová značka (výtyčka, terč na stativu apod.) na vzdálenějším bodě přímky, k níž je kolmice vztyčována. Na tuto značku se pečlivě zacílí dalekohled v 1. poloze a na vodorovném kruhu se nastaví čtení blízké nule (zpravidla kolem 0,01 gon). Poté se na vodorovném kruhu nastaví čtení o 100 gon (popř. o 300 gon) větší a směr kolmice se vyznačí ryskou na hlavě kolíku. Totéž se provede ve druhé poloze dalekohledu a výsledný směr kolmice je průměrem rysek z první a druhé polohy dalekohledu. Průměrný směr kolmice je prakticky zbaven přístrojových chyb teodolitu. Při použití opticko-mechanického teodolitu s koincidenčním způsobem čtení vodorovných směrů (např. Zeiss Theo 010A(B)) se nejprve nastaví požadované „jemné“ čtení na mikrometrické stupnici mikrometrickým šroubem, poté se přibližně nastaví otáčením alhidády „hrubé“ čtení a po upnutí hrubé ustanovky se zkoincidují protilehlé částí stupnic vodorovného kruhu jemnou ustanovkou vodorovného kruhu. Tím je záměrná přímka nastavena do vytyčovaného směru.

Vytyčení libovolného úhlu Při nižších požadavcích na přesnost lze vytyčit úhel libovolné velikosti bez úhloměrného přístroje, pomocí délkového měření a vypočtené tangenty vytyčovaného úhlu. Funkce tgα je definována jako poměr protilehlé strany ku přilehlé v pravoúhlém trojúhelníku. Vytyčuje-li se tedy úhel α od přímky PK z bodu P, vytyčí se na přímce PK ve vzdálenosti s (celého kladu pásma, tedy 20 nebo 30 m) bod M, ve kterém se vytyčí kolmice a na ní ve vzdálenosti x = s.tgα bod N. Spojnice PN svírá s přímkou PK vytyčený úhel α. Přesnost vytyčení je závislá na velikosti úhlu α a je vyšší pro malý úhel. Analogicky lze řešit i určení velikosti úhlu α. Na jednom rameni úhlu se zvolí bod N, ze kterého se spustí kolmice na přímku PK (bod M) a změří se délka PM a délka kolmice MN. Úhel α = arctg MN/PM.

Při vyšších požadavcích na přesnost se úhel vytyčí teodolitem vhodné úhlové přesnosti, a to buď v jedné poloze dalekohledu, nebo při maximální požadované přesnosti ve dvou polohách dalekohledu (obr.15). Výsledným směrem je průměr obou poloh(bod B). Při maximální přesnosti se opět převádí vytyčování na zaměření, dříve uvedeným postupem, kdy na přibližné vytyčení směru navazuje přesné zaměření s realizací posunů (Inženýrská geodézie).

9

VYTYČOVÁNÍ POMOCÍ LASERU Lasery se používají k vytyčování přímek a rovin (tzv. rotační lasery), a to vodorovných, svislých i šikmých. Mají využití především při vytyčování ve stavebnictví, ve vedení stavebních strojů apod. (Více informací v předmětech Inženýrská

geodézie a Automatizace v IG). VYTYČOVÁNÍ OBLOUKŮ (Skripta Geodézie 2, str.69, )

Vytyčování oblouků se vyskytuje zejména u liniových staveb (silnice, železnice, regulované vodní toky atd.). Prostorová poloha liniové stavby je dána tzv. trasou, kterou lze rozložit na složku polohovou, tvořenou osou liniové stavby (průmět trasy do vodorovné roviny) a na složku výškovou, tvořenou niveletou (průmět trasy do svislé roviny). Předmětem přednášek 2. semestru geodézie je polohové vytyčování, proto se zde budeme zabývat pouze složkou polohovou. Osu liniové stavby je možno rozlišit na úseky přímé a oblouky, umožňující změnu směru (obr.16). Nejčastěji se používá oblouků kružnicových pro jejich konstantní křivost a jednoduchost výpočtu i vytyčování. S ohledem na eliminaci příčného rázu účinkem odstředivé síly, působící na rychle jedoucí vozidlo při změně směru z přímé do oblouku a zaručení plynulého přechodu z přímého úseku do kružnicového oblouku o poloměru R , vkládá se mezi přímý úsek a kružnicový oblouk přechodnice, tedy křivka plynule měnící svou křivost k z nulové hodnoty na hodnotu poloměru R,

tedy

(podrobně bude probráno v předmětu Inženýrská geodézie).

Jako přechodnice se používá klotoida u silničních staveb (a v současnosti často i u železnic), kubická parabola u železnic a lemniskáta u vodních toků.

Poznámka: Působení odstředivé síly se čelí též příčným náklonem komunikace (silnice, železnice) v oblouku. Plného náklonu v kružnicovém oblouku se dosahuje postupně v průběhu přechodnice (u železniční stavby se nazývá vzestupnice). Jedná se o výškové řešení trasy a podrobně bude probráno v Inženýrské geodézii.

Projekt liniové stavby je dán směrovým (dříve též tečnovým)

polygonem, jehož vrcholy se značí VBi (kde i je číslo vrcholu) a jsou číslovány ve směru rostoucího staničení (od bodu ZÚ – začátek úpravy, do bodu KÚ – konec úpravy). Do směrového polygonu jsou pak navrhovány oblouky (viz výše), číslované v souladu s čísly vrcholů (obr.16). Středový úhel α (je shodný s úhlem při vrcholu směrového polygonu α = 200 gon – ω, nebo α = ω – 200 gon) a je buď přímo měřen, nebo vypočten ze souřadnic bodů na stranách směrového polygonu (obr.16 a 17). Poloměry kružnicových oblouků jsou voleny s ohledem na návrhovou rychlost, svažitost (maximální povolený spád podle třídy komunikace) a konfiguraci terénu (nejkratší spojení dvou míst, mezi kterými se komunikace navrhuje). V neposlední řadě se přihlíží k ekonomickým nákladům stavby (jiná kritéria jsou stanovena pro dálnice – tunely, mosty, výkopy, násypy, jiná pro silnice nižších tříd – vedeny spíše po fyzickém povrchu).

10

Hlavní body a hlavní prvky kružnicového oblouku Pro změnu směru z přímého úseku do oblouku jsou důležité body dotyku kružnicového oblouku s tečnou (stranou směrového polygonu) a vrchol oblouku, které tvoří tzv. hlavní body kružnicového oblouku (v obr.16 vyznačeny červeně). K jejich vytyčení ze směrového polygonu pak slouží délky, popř. i úhly, nazývané hlavními prvky kružnicového oblouku, které jsou obvykle počítány ze zadaného poloměru R, a středového úhlu α. Označení hlavních bodů kružnicového oblouku je rozdílné v silničním a v železničním (uvedeno v závorce) stavitelství (obr.17): TK (ZO) tečna – kružnice [silnice], (začátek oblouku) [železnice], KK (VO) kružnice – kružnice, (vrchol oblouku), KT (KO) kružnice – tečna, (konec oblouku).

V silničním stavitelství je zvykem označovat délkové hlavní prvky (celkem je jich 5) velkými písmeny, v železničním stavitelství malými (podobně jako např. v matematice či geodézii), úhlové hodnoty pak řeckými písmeny. Vzhledem k tomu, že se geodeti častěji setkávají s vytyčením osy silnice, je zde upřednostněno označení používané v silničním stavitelství.

Proto se hlavní prvky kružnicového oblouku (v obr.17 červeně) označují: T (t) délka tečny (vzdálenost TK a VB), Z (z) vzepětí (vzdálenost KK od VB), xv x-ová souřadnice vrcholu oblouku KK po tečně s počátkem v bodě TK, yv y-ová souřadnice vrcholu oblouku KK od tečny, O (o) délka kružnicového oblouku. Obdobné je to i s označováním zadaných prvků oblouku: tedy R (r) se značí poloměr oblouku, středový úhel se značí α

a úhel tečen τ. Mezi úhlem tečen a úhlem středovým platí vztah: α = 200gon - τ.

Výpočet hlavních prvků kružnicového oblouku K výpočtu hlavních prvků kružnicového oblouku je nutno určit vrcholový (a následně i středový) úhel stran směrového polygonu (dvou tečen kružnicového oblouku). Projektuje-li se silnice tzv. trasováním přímo v terénu (silnice menšího významu), vytyčí se směry tečen dvěma body a v průsečíku dvou sousedních tečen se vytyčí vrchol VB. Na něm se pak přímo měří, obvykle levostranný úhel ω (po směru staničení stavby – obr.16) a dopočítá středový úhel α. Zaměří se rovněž délky stran směrového polygonu. Projektant zvolí vhodný poloměr kružnicového oblouku a hlavní prvky je potom možno vypočítat přímo. V současné době se převážně řeší trasa analyticky, takže se její průběh navrhne do mapového podkladu vhodného měřítka a souřadnice vrcholů směrového polygonu (tj. průsečíků tečen) se z mapy odměří nebo se vypočtou ze zadaných podmínek (např. rovnoběžnost osy komunikace, v zadané vzdálenosti, s uliční frontou objektu, jehož

11

rohy jsou dány v souřadnicích apod.). Ze souřadnic se potom vypočtou prvky směrového polygonu (délky a vrcholové, resp. středové úhly), do kterého se navrhují oblouky. Kružnicový oblouk je přitom dán 3 prvky (např. bod, tečna a poloměr nebo střed a poloměr, přičemž střed kružnice je prvek dvojnásobný).

Výpočet hlavních prvků (obr.17):

délka tečny: (z pravoúhlého trojúhelníka S,TK,VB), pravoúhlé souřadnice vrcholu oblouku:

⁄ (z pravoúhlého trojúhelníka S,E,KK), ⁄ ( ⁄ ) (rozdíl poloměru a odvěsny z pravoúhlého trojúhelníka S,E,KK),

vzepětí:

(

) (z trojúhelníka S, TK,VB),

délka oblouku: ⁄ , kde ρ = 200/π pro setinnou míru.

Nepřímé určení úhlu tečen τ Je-li průsečík tečen nepřístupný (padne do lesa, skály či zástavby), nelze úhel tečen přímo měřit. Není-li osa řešena v souřadnicích, určuje se úhel tečen nepřímo a to:

buď pomocí trojúhelníka,

nebo pomocí polygonového pořadu.

Řešení pomocí trojúhelníka Předpokladem je přímá viditelnost mezi dvěma body P1, P2 na sousedních tečnách

(obr.18). Z měřených úhlů φ´ a ψ´na bodech P1, P2 se odečtením 200 gon nejprve vypočtou

úhly φ a ψ. Úhel tečen τ = 200 – (φ + ψ).

Pro vytyčení bodů dotyku TK a KT se sinovou větou z měřené délky d a úhlů φ a ψ vypočtou délky a a b:

( ), resp.

( ).

Po výpočtu středového úhlu α = 200gon – τ

se zvolí poloměr kružnicového oblouku R a

vypočte délka tečny Bod TK se vytyčí od bodu P1 ve směru

tečny t1 ve vzdálenosti x = a – T (kladná hodnota se vytyčuje směrem k vrcholu VB) a bod KT pak od bodu P2 ve směru tečny t2 ve vzdálenosti y = b – T, (dle obrázku č.18 záporná hodnota a vytyčuje se směrem od vrcholu VB). Výpočet hlavních prvků je již dále stejný.

Řešení pomocí polygonového pořadu Pokud není přímá viditelnost mezi sousedními tečnami, lze řešit určení úhlu tečen polygonovým pořadem, vedeným z bodu P1 na tečně t1 na bod P5, ležící na tečně t2

(obr.19). Polygonový pořad například o 5 vrcholech (obr.19) tvoří spolu s průsečíkem tečen VB šestiúhelník, kde součet vnitřních úhlů v n-úhelníku je:

∑ ( ) ,

tedy pro zvolený šestiúhelník platí: ( ) ,

a to včetně úhlu tečen τ. Úhel tečen se tedy vypočte ze vztahu:

( ) ∑ ,

kde pro náš příklad n = 6.

12

K přechodu na stejné řešení jako u trojúhelníka stačí určit z polygonového pořadu vzdálenost d1,5.

Z měřených délek di,i+1 a vrcholových úhlů ωi polygonového pořadu se vypočtou souřadnicové rozdíly ve vlastní zvolené souřadnicové soustavě s počátkem v bodě P1 a poloosou +x vloženou do směru tečny t1 (obr.19), ze vztahů:

a .

Souřadnice koncového bodu P5 potom jsou:

∑ a ∑

.

Délka d1,5 se vypočte Pythagorovou větou z rozdílu souřadnic bodů P1 (0;0)

P5 ( x5; y5): √(

).

Z rozdílů souřadnic se vypočte i směrník

, přičemž platí, že α1,5 = φ a

dále směrník α5,VB = α4,5 + ω5 + 200 gon a posléze úhel ψ = α5,VB – (α1,5 + 200 gon).

Vytyčení podrobných bodů kružnicového oblouku Po vytyčení hlavních bodů kružnicového oblouku následuje vytyčení bodů podrobných, a to zpravidla po 20 m (s ohledem na vytyčení příčných řezů pro výpočty kubatur tělesa komunikace). Podrobné body se mohou vytyčovat v zaokrouhleném staničení od začátku a konce oblouku symetricky, nebo častěji se vytyčují v okrouhlém staničení od začátku úpravy komunikace, tedy bez ohledu na začátek oblouku. Potom je délka oblouku od bodu TK k prvnímu podrobnému bodu obecné číslo, stejně jako od posledního podrobného bodu oblouku k bodu KT (tyto délky jsou samozřejmě navzájem různé). Podrobné body je možno vytyčovat různými postupy:

polárními souřadnicemi,

semipolárním způsobem,

polárními souřadnicemi s přenášením přístroje po obvodě,

pravoúhlými souřadnicemi od tečny,

pravoúhlými souřadnicemi od tětivy.

Vytyčení podrobných bodů polárními souřadnicemi (rajónem) Pro zvolenou délku oblouku oi (při známém poloměru oblouku R) se počítají polární souřadnice od bodu dotyku TK (popř. pro druhou větev kružnicového oblouku od bodu KT), tj. úhel δi od tečny a délka soi po tětivě (obr.20). Pro výpočet vytyčovacích prvků se nejprve vypočte středový úhel φi, odpovídající zvolené délce oblouku oi a poloměru R:

,

kde pro výpočet φi v gonech se dosazuje délka oblouku a poloměr ve stejných jednotkách (nejčastěji v metrech) a radián v odpovídajících jednotkách (zde tedy v gonech). Pro určení úhlu δi platí známá poučka v kružnici pro vztah mezi úhlem středovým a obvodovým (obr.20), tedy že úhel obvodový je polovinou odpovídajícího úhlu středového:

13

,

,

∑

.

Délka soi se vypočte z pravoúhlého trojúhelníka S,TK,Pi ze vztahu:

∑

.

Jsou-li zvolené délky oblouku stejné, pak úhel δ2 = 2.δ1 , stejně jako φ2 = 2. φ1 . Pro délku tětivy tento vztah samozřejmě neplatí, tedy so2 ≠ 2.so1 .

Po výpočtu vytyčovacích prvků se první podrobný bod 1 vytyčí z bodu TK úhlem δ1 od směru tečny na VB a délkou so1. Stejně se pokračuje i při vytyčení dalších podrobných bodů. K použití tohoto postupu je třeba totální stanice s elektronickým dálkoměrem. Vhodnou kontrolou výpočtu vytyčovacích prvků i vytyčení hlavních bodů kružnicového oblouku je kontrolní polární vytyčení vrcholu oblouku KK (již dříve vytyčeného s použitím hlavních prvků oblouku). (Podrobný postup je uveden ve skriptech

Geodézie 2).

Vytyčení podrobných bodů semipolární metodou Tento postup byl s výhodou používán v době, kdy nebyly k dispozici totální stanice s

elektronickými dálkoměry a délky se vytyčovaly pásmem. Vodorovné úhly na podrobné body se vytyčují stejně jako u polární metody, tedy z bodu TK (popř. KT), ovšem délky se vytyčují vždy z předchozího vytyčeného bodu, tedy délka so1 z bodu TK, s12 z bodu 1, s23 z bodu 2 atd. (obr.21). Délky tětiv se volí do délky jednoho kladu pásma.

Vytyčení podrobných bodů polární metodou s přenášením přístroje po obvodě Tohoto postupu se používá při vytyčování kružnicového oblouku v zářezu nebo v

tunelu, kde není přímá viditelnost mezi bodem TK a podrobnými body. Jedná se vlastně o postupné vytyčování bodů polygonového pořadu s délkami si,i+1 a vrcholovými úhly ωi (obr.22). Výpočet délek tětiv mezi podrobnými body je stejný jako v předchozích případech, vrcholové úhly se počítají ze

vzorců, vycházejících ze vztahů mezi středovým a obvodovým úhlem (obr.22):

,

.

14

Jsou–li zvolené délky oblouků stejné, pak ωi = 200 gon + φi . Nejprve se z bodu TK vytyčí polárními souřadnicemi (ωTK; so1) podrobný bod č.1, který se stabilizuje vhodným způsobem. Na vytyčený bod se přenese teodolit (totální stanice) a s orientací na předchozí bod (zde TK) se vytyčí vrcholový úhel ω1. Ve vytyčeném směru se vynese délka s12 a stabilizuje se podrobný bod č.2. Stejně se postupuje i dále.

Vytyčení podrobných bodů pravoúhlými souřadnicemi od tečny (ortogonálně) Při vytyčení podrobných bodů pravoúhlými souřadnicemi od tečny rozlišujeme ještě dvojí postup:

volí se délka oblouku (obdobně jako při polární metodě),

volí se délka x-ové souřadnice na tečně.

Při volbě délky oblouku oi se počítají odpovídající středové úhly φi (stejné vzorce jako pro polární metodu) a prostřednictvím známého poloměru R se vypočtou z pravoúhlého trojúhelníka S,i,pata kolmice na spojnici S,TK, souřadnice xi a yi ze vztahů (obr.23):

, ( ) .

Při volbě x-ové souřadnice xi se vypočte souřadnice yi ze stejného trojúhelníka (obr.23), a to buď Pythagorovou větou:

√ ,

nebo se ve stejném trojúhelníku nejprve vypočte středový úhel:

a další postup výpočtu je pak již stejný jako při volbě délky oblouku.

Vytyčení podrobných bodů pravoúhlými souřadnicemi od tětivy Postup je uveden ve skriptech Geodézie 2, str.77 (samostudium).

Vytyčovací výkres Vytyčovací výkres liniové stavby slouží k vytyčení osy komunikace, tedy k vytyčení podrobných bodů v přímém úseku a k vytyčení hlavních i podrobných bodů kružnicového oblouku (obr.24). Obsahuje body vytyčovací sítě, vytyčovací prvky, popř. souřadnice hlavních a podrobných bodů, použitý souřadnicový a výškový systém, značku severu, měřítko vytyčovacího výkresu, zhotovitele, popř. další údaje.

15

VYTYČOVÁNÍ SMĚRU PŘES PŘEKÁŽKU (Skripta Geodézie 2, str.80)

K vytyčování směru přes překážku se v geodézii často používá polygonových pořadů. Podle požadavků na přesnost a spolehlivost vytyčení se k vytyčení použije buď volného polygonového pořadu nebo uzavřeného, popř. i oboustranně orientovaného polygonového pořadu s možností vhodných kontrol nebo i vyrovnání. Při vysokých požadavcích na přesnost a spolehlivost vytyčení se buduje trojúhelníková síť s nadbytečným počtem měřených veličin a s vyrovnáním metodou nejmenších čtverců. V obou případech se úlohy řeší obvykle v místním (lokálním) souřadnicovém systému.

Prodloužení směru za překážku Překážka (v obr.25 např. les) se obejde vhodně voleným volným polygonovým

pořadem, s měřenými vrcholovými úhly ωi a délkami stran si,i+1. Počátek místního souřadnicového systému se volí v koncovém bodě přímky před překážkou (P1 ≡ 0) a kladný směr osy +x se s výhodou vloží do prodlužovaného směru přímky (obr.25).

Poslední polygonový bod se volí za prodlouženou přímkou (odhadne se z mapy). Postup výpočtu je následující:

16

výpočet směrníků stran polygonového pořadu

, od bodu P2 platí obecně:

,

tedy pro směrník strany 5,6 .

výpočet souřadnicových rozdílů ; .

výpočet souřadnic bodů (stačí bodů kolem průsečíku s přímkou, v našem případě bodů P5 a P6)

∑ ; ∑

,

∑ ; ∑

,

kde n = 6 (v našem příkladu).

Pro výpočet vzdálenosti s5,7 mezi bodem P5 a bodem P7, který leží na vytyčované přímce, se využije skutečnosti, že tento bod leží zároveň na ose +x, tedy jeho souřadnice y = 0. Tedy platí:

.

Odtud:

, kontrolně:

a .

výpočet vytyčovacích úhlů φ, popř. φ´ Směrník strany s5,6 je stejný jako směrník strany s7,6 a platí:

a .

Směr přímky se vytyčí z bodu P7 s orientací na bod P5 , (popř. na bod P6), a to úhlem φ´ + 200 gon (popř. 200 gon – φ). Kontrolně je možno úhel φ´ vypočítat ze vztahu pro součet vnitřních úhlů v mnohoúhelníku (zde šestiúhelníku):

∑ ( ) ,

potom ∑ .

Délka s1,7 je rovna souřadnici x7, tedy ∑ .

Vytyčení přímky přes překážku Přímka je dána svými koncovými body P1 ≡ P a P6 ≡ K (obr.26), mezi kterými je

překážka znemožňující viditelnost (např. les). Úkolem je vytyčit směr jejich spojnice (např. pro vykácení lesního průseku pro dálkové elektrické vedení, pro komunikaci apod.) a určit její délku. Mezi koncové body se vloží polygonový pořad, ve kterém se změří levostranné vrcholové úhly ωi a délky si,i+1. Polygonový pořad se řeší v místní souřadnicové soustavě, s počátkem (0) vloženým do bodu P a kladnou poloosou +x vloženou do strany s1,2.

17

Postup výpočtu je následující:

výpočet směrníků stran polygonového pořadu ,

od bodu P2 platí obecně: ,

tedy pro směrník koncové strany 5,6 (pro příklad na obrázku č.26):

.

výpočet souřadnicových rozdílů ; .

výpočet souřadnic bodů (stačí souřadnice koncového bodu K ≡ P6).

∑ ; ∑

,

kde n = 6 (v našem příkladu).

výpočet délky strany sP,K a směrníku P,K Z rozdílu souřadnic koncového a počátečního bodu (přičemž yP = 0; xP = 0) se vypočte vzdálenost sP,K mezi body P a K z Pythagorovy věty:

√

a směrník P,K ze vztahu:

.

výpočet vytyčovacích prvků

Vytyčovacími prvky jsou v tomto případě úhly a od polygonových stran P1,P2 resp. P5,P6 (obr.26), které se vypočtou z rozdílů směrníků: a .

Kontrolou výpočtu vytyčovacích úhlů je jejich součet v n-úhelníku pro vnější či vnitřní vrcholové úhly (známé vzorce), nebo v případě zvrhlého n-úhelníka (příklad v obrázku č.26) součet vypočtený ze vzorce:

∑ ,

který ovšem předpokládá zavedení levostranných (popř. pravostranných) úhlů v celém n-úhelníku. Proto se do výpočtu musí na bodě P1 zavést úhel

400 gon - (obr. 26).

Není-li možno měřit některé délky přímo, je možné je nahradit délkami nepřímo určenými z vhodně volených základen (délkově zaměřených) a vodorovných úhlů měřených z jejich koncových bodů (v obrázku č.27 délky mezi body P1,P2 a P5,P6 skripta Geodézie 2, str.83). Poznámka:

Při použití totální stanice s elektronickým dálkoměrem lze při avizované viditelnosti mezi uvedenými body měřit jak úhel, tak i délku.

Vytyčení přímky přes překážku uzavřeným polygonovým pořadem Při vyšších nárocích na přesnost a spolehlivost vytyčení přímky přes překážku, je možno koncové body přímky spojit dvěma větvemi polygonových pořadů, které tak vytvoří uzavřený polygonový pořad se třemi nadbytečnými prvky, které umožňují jednak kontrolu měření a výpočet souřadnic bodů s vyrovnáním (obr.28). Řešení je obdobné jako v předchozím případu s volbou místního souřadnicového systému. Počátek se opět volí ve výchozím bodě P a kladná poloosa +x se vloží do

18

první polygonové strany sP,1. Změří se levostranné vrcholové úhly ωi a délky polygonových stran si,i+1. Při použití přibližného způsobu vyrovnání se nejprve provede vyrovnání úhlové, při němž se úhlový uzávěr vypočte ze vztahu:

( ) ∑ .

Dosažený úhlový uzávěr se porovná s mezním uzávěrem ∆Mω. Je-li splněna

nerovnost: , úhlový uzávěr se rozdělí úměrně počtu vrcholů a měřené úhly se opraví:

.

Z opravených vrcholových úhlů se vypočtou směrníky polygonových stran: ,

.

Z vyrovnaných směrníků a měřených délek se vypočtou souřadnicové rozdíly: ; .

Vzhledem k tomu, že se jedná o uzavřený polygonový pořad, který vychází z bodu 1 a končí stejným bodem, tedy 1 (formálně 1 ≡ 9 = n), měl by součet souřadnicových rozdílů vyjít nulový. Potom platí:

∑ ∑

.

Dále se vypočtou souřadnicové uzávěry:

∑ ; ∑

a polohový uzávěr : √ , který se porovná s mezním uzávěrem ∆Mp .

Platí-li nerovnost , rozdělí se souřadnicové uzávěry úměrně absolutním

hodnotám souřadnicových rozdílů:

∑| | | | ;

∑| | | | .

Poznámka: Hodnoty mezních uzávěrů, vycházející z požadované přesnosti vytyčení, se stanoví prostřednictvím zákona přenášení chyb se zohledněním očekávané přesnosti měřených veličin.

Po výpočtu souřadnic bodů polygonového pořadu (pro vyřešení stanovené úlohy

stačí souřadnice bodu K ≡ 5) se určí délka strany sP,K a směrník P,K , stejně jako v předchozím případě:

√

,

19

a vypočtou se vytyčovací prvky, kterými jsou v tomto případě úhly P a K nebo KP

a K od polygonových stran P1,P2 a P5,P4, resp. P1,P8 a P5,P6 (obr.28), které se vypočtou z rozdílů směrníků: a nebo a . JEDNODUCHÉ VYTYČOVACÍ POMŮCKY

Určování úhlů stálé velikosti (Skripta Geodézie 1, str.79, ) Častou úlohou geodetické praxe je vytyčení pravého nebo přímého úhlu. Je-li požadováno rychlé a méně přesné vytyčení (jako např. u mapovacích prací), vystačí se s jednoduchými vytyčovacími pomůckami, jakými jsou např. pásmo a hranol (nejčastěji pětiboký, n. pentagon). Přitom se může jednat jak o vytyčení bodu na kolmici (obr.29a) či přímce (obr.29c), tak o zaměření daného bodu pravoúhlými souřadnicemi k měřické přímce, tj. jednak zařazení bodu do přímky (vytyčením přímého úhlu, obr.29c) a dále určení paty kolmice (obr.29b). Pravý úhel lze též vytyčit jen pásmem (obr.29d), a to s využitím tzv. Pythagorejského trojúhelníka (pravoúhlého) o stranách rovných násobkům čísel 3, 4 a 5 (32 + 42 = 52). Na dané přímce se vytyčí od bodu A úsečka o délce 4 m (bod P). K tomuto bodu se přiloží nula pásma, údaj 8 m (3 + 5 = 8) se ztotožní s bodem A, pásmo se napne a u údaje 3 m na pásmu leží bod B, který leží na kolmici k úsečce AP.

Vytyčení pásmem je pracné a poměrně nepřesné (podle přesnosti vytyčovaných délek), proto je nejpoužívanější pomůckou pro vytyčení pravého úhlu pentagon, a to zpravidla dvojitý, umožňující i vytyčení úhlu přímého.

Průběh paprsku v pětibokém hranolu (pentagonu) je znázorněn na obrázku č.30. Hranol má tvar deltoidu (čtyřúhelníku), s jedním úhlem pravým a úhlem protilehlým o velikosti 50 gon. Nepotřebná část hranolu u vrcholu V je z důvodu zmenšení hmotnosti a rozměru odbroušena (proto pětiúhelník). Hranol dává velmi jasný obraz a má velké zorné pole. Stěny BC a ED spolu svírají úhel 50 gon a jsou amalgamovány (postříbřeny), takže působí jako úhlové zrcátko. Stěny EA a AB spolu svírají pravý úhel, tedy 100 gon.

20

Paprsek dopadá na stěnu AB pod úhlem , láme se při průchodu z prostředí řidšího

(vzduch) do hustšího (sklo) ke kolmici pod úhlem ´ a pod úhlem a dále dopadá na amalgamované stěny, od kterých se odráží. Na stěnu EA dopadá pod úhlem δ´, láme se od kolmice (z prostředí hustšího do řidšího) a vychází pod úhlem δ. Z trojúhelníka D´C´V plyne:

a odtud .

Dále z trojúhelníka D´C´P vyplývá:

( ) a po dosazení z předchozí rovnice: .

Ze čtyřúhelníka B´PE´A je zřejmé:

a po dosazení za ε = 100 gon bude:

.

Při rovnosti úhlů = δ a ´ = δ´ bude výsledná změna ω vystupujícího paprsku od

paprsku vstupujícího rovna pravému úhlu, neboť ze čtyřúhelníka B´RE´A plyne:

a dále .

Při vytyčení kolmice na přímku AB, v bodě A (obr.31) se pentagon umístí pomocí olovnice zavěšené v ose pentagonu nad bod A, a otočí se jednou stěnou ke vzdálenější výtyčce, označující směr přímky (v obr.31, bod B). V druhé stěně hranolu se objeví obraz této výtyčky, udávající spolu s okem (v obrázku bod C) směr hledané kolmice (při změně natočení pentagonu se pravý úhel nemění).

Pro vytyčení přímého úhlu (možnost zařazení pentagonu do přímky) se sestavují dva pentagony nad sebe (tzv. dvojitý pentagon), vzájemně natočené tak, že umožňují vytyčit pravé úhly z obou stran úsečky (obr.32). Hranoly jsou uloženy v pouzdře a často

umístěny v kardanově závěsu s háčkem pro závěs olovnice tak, že hmotnost olovnice po jejím zavěšení automaticky urovnává dvojitý pentagon do svislice. Určuje-li se bod na přímce AB (obr.32), pohybuje se dvojitým pentagonem ve směru kolmém k dané přímce až obraz výtyčky postavené na bodě A (v obr.32 dolní hranol) splyne s obrazem výtyčky postavené na bodě B (horní hranol). Olovnice pak

směřuje do vrcholu dvou pravých úhlů, majících společné rameno, takže vrchol musí ležet na spojnici daných bodů A,B.

Dvojitým pentagonem lze rovněž vytyčit kolmici k dané přímce či vyhledat patu kolmice spuštěné z daného (zaměřovaného) bodu (na obr.32 bod D). Dvojitým pentagonem se přitom pohybuje kolmo (zařazení do přímky) a podél

21

dané přímky (vyhledání paty kolmice), až splývají obrazy obou koncových bodů A,B a určovaný bod D, signalizovaný např. svisle postavenou výtyčkou (levá část obr.32).

Kontrola funkce dvojitého pentagonu

zkouška vytyčení pravého úhlu se provede z přesně vytyčené paty kolmice (teodolitem), zhruba uprostřed mezi body A,B a vytyčí se směr kolmice jak z bodu A, tak z bodu B. Směřují-li obě vytyčení do stejného bodu, je pomůcka v pořádku.

zkouška vytyčení přímého úhlu se provádí vytyčením bodu na přímce, zhruba uprostřed dané přímky A,B, a poté opakovaným vytyčením s pentagonem přetočeným o 200 gon (B,A). Je-li poloha bodu z obou vytyčení prakticky stejná, je pomůcka v pořádku.

Přesnost pentagonu Přesnost pentagonu při vytyčení pravého nebo přímého úhlu je udávána úhlovou hodnotou 1´ až 2´ , která způsobí příčnou chybu cca 10 až 20 mm na délku 30m. Problém s viditelností krajních bodů nastává ve svažitém terénu. Částečně tento problém řešil trojitý pentagon (3 pentagony nad sebou, přičemž horní a dolní jsou ve stejné poloze, což umožňuje viditelnost i výtyčky postavené pod svahem nebo na něm.

ZÁKLADNÍ INFORMACE O GNSS (Global Navigation Satellite System) Globální navigační satelitní systém GPS (Global Positioning Systém) byl vyvinut americkou armádou a jedná se o družicový pasivní dálkoměrný systém. Je tvořen 24 družicemi kroužícími ve výšce 20 000 km (oběžná doba cca 12 hodin). V současné době je ve službě celkem 31 satelitů. Družice vysílají speciální kódovaný signál obsahující informace o své poloze a čase vysílání zprávy. Signály z družic přijímá uživatel pomocí speciálního přístroje, který informace zpracovává (počítá vzdálenosti mezi přijímačem a družicí) → odtud dálkoměrný. Přijímač žádný signál nevysílá → odtud pasivní. Výpočet pozice vychází ze znalosti rychlosti šíření družicového signálu a rozdílu času mezi vysíláním a příjmem signálu. Pro určení prostorové polohy je potřeba přijímat signál minimálně ze 4 družic. Systém GPS lze rozdělit na 3 segmenty: kosmický (družice), řídící (kontrolní monitoring družic, výpočty, korekce systému) a uživatelský (přijímací aparatury). Zpracování signálu:

navigační – nejjednodušší, přesnost 5 a ž 10 m,

diferenciální GPS – stejný algoritmus, navíc se zavádí řada korekcí, přesnost kolem 1 m,

geodetické – nutné dva speciální přijímače nebo připojení do sítě referenčních stanic (v současnosti v ČR: CZEPOS, Topnet, Trimble VRS Now). Výpočet je velmi složitý, určuje se pouze rozdíl poloh. Přesnost v cm, při dlouhých observacích (12 hodin) až v mm. Měřit i vytyčovat lze v reálném čase (on-line spojení s referenční stanicí), potom přesnost v poloze do 50 mm (běžně do 30 mm). Ve výšce je přesnost 1,5 až 2x horší.

Ve světě jsou kromě systému GPS v provozu nebo ve výstavbě další GNSS. Jsou to:

ruský GLONASS (28 satelitů),

evropský GALILEO (3 satelity),

čínský BEIDOU (COMPASS) (35 satelitů). Dále existují regionální navigační systémy, které doplňují stávající GNSS:

japonský QZSS (3 ? satelity),

indický IRNSS (7 ? satelitů). Existence vícero GNSS má pro uživatele řadu výhod. Mezi největší lze řadit dostatečný počet viditelných satelitů v každém okamžiku.