H. Garnier 1

Hugues GARNIER

hugues.garnier@univ-lorraine.fr

Synthèse de

correcteurs numériques

par transposition analogique

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Les 2 voies pour la synthèse de correcteurs numériques

•  La synthèse de correcteurs numériques par transposition de correcteurs continus est une approche couramment utilisée dans le domaine industriel pour deux raisons majeures :

–  les méthodes de synthèse de correcteurs continus sont généralement bien maîtrisées

–  les spécifications sont plus facilement interprétables avec des modèles continus qu’avec des modèles échantillonnés

Système continu G(s)

Correcteur continu C(s)

Système échantillonné G(z)

Correcteur numérique C(z)

Discrétisation

Discrétisation Synthèse

Synthèse

Mét

hode

de

T

rans

posi

tion

Méthodes

propres au num

érique

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•  Méthodologie 1.  Synthèse d’un correcteur continu C(s) par une des méthodes de

synthèse traditionnelles (correcteur PID ou autres) déterminé à partir du modèle du système à contrôler permettant de respecter le cahier des charges

2.  Transposition de la fonction de transfert continu C(s) en un correcteur numérique C(z) pour avoir un algorithme de commande numérique qui s’approche le plus possible de comportement du contrôle numérique

Synthèse de correcteur numérique par transposition du correcteur analogique

C(z) C(s)

C(s)

Discrétisation

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Synthèse de correcteur numérique par transposition du correcteur analogique

+ -

C(z) Y(z) Yc(z) ε (z) G(s) Bo(s)

Te

+ -

C(s) G(s) Y(s) Yc(s) ε (s)

Transposition par discrétisation

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Méthodes de discrétisation du correcteur analogique

Il en existe de nombreuses dont :

- la méthode de l’invariance impulsionnelle

- la méthode de l’invariance indicielle

- la méthode des pôles et des zéros

- la méthode de l’approximation avancée

- la méthode de l’approximation retardée

- la méthode de l’approximation de Tustin (ou bilinéaire)

•  Visualisez la vidéo de Brian Douglas •  Discrete control #2: Discretize! Going from continuous to discrete domain

•  Remarque importante •  La méthode de discrétisation par le bloqueur d’ordre zéro (zoh) n’est pas

adaptée ici (car il n’y a pas de bloqueur avant le correcteur !)

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On connaît C(s) Comment en déduire C(z) ???

Approximations avancée et retardée

s = 1Teln(z) Relation non linéaire !

z = esTe ≈1+Tes +…s = z −1

Te=1− z−1

Tez−1

Approximation avancée Déconseillée car ne conserve pas la stabilité !

z = esTeOn connaît la relation liant z à s :

z = 1

e−sTe=

11−Tes +…

s = z −1Tez

=1− z−1

TeApproximation retardée

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Stabilité et distorsion de l’approximation retardée

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On connaît C(s) Comment en déduire C(z) ???

Approximation de Tustin ou bilinéaire

s = 1Teln(z) Relation non linéaire !

Approximation de Tustin ou bilinéaire

z = esTeOn connaît la relation liant z à s :

z = esTe2

e−sTe2

≈1+Te2s +…

1−Te2s +…

s = 2Te

z −1z +1

=2Te

1− z−1

1+ z−1

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Stabilité et distorsion de l’approximation de Tustin

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Synthèse d’un correcteur numérique par transposition d’un correcteur continu – Exemple

Soit le correcteur continu : et Te=0,3s

Approximation avancée

Approximation retardée

Approximation de Tustin

Sous Matlab : Cd=c2d(Cc,Te,’tustin’)

C(s ) = 1+0,53s1+0,21s

C(z) = 0,53z −0,230,21z +0,09

C(z) = 0,83z −0,530,51z +0,21

C(z) = 1,89z −1,06z +0,17

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Rappel sur les correcteurs PID

+ -

C(s) G(s) Y(s) Yc(s) ε (s) U(s)

C(s ) = Kp 1+1Tis

+Tds⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

C(s ) = Kp 1+1Tis

+Tds

1+TdNs

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

avec N ≥ 5

PID idéal

PID réel

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Version numérique du PID par les 2 méthodes de transposition conseillées

Approximation retardée

Approximation de Tustin

Approximation retardée : formules plus simples souvent utilisées en

pratique pour cette raison

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Schéma d’implantation de la forme standard d’un PID numérique (approximation retardée)

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Schéma d’implantation de la forme sans dérivation de l’entrée d’un PID numérique (approximation retardée)

En pratique, on dérive rarement le terme de consigne pour éviter des variations brutales de la commande lors de changement brusque de type échelon sur la consigne. Le schéma devient alors

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Algorithme d’implantation de la forme sans dérivation de l’entrée d’un PID numérique (approximation retardée)

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Anti-saturation d’intégrale

•  La partie intégrale peut entraîner des effets indésirables lorsque, en raison d’un signal d’erreur trop grand, l’intégrateur sature

•  L’actionneur reste alors en butée, même lorsque la sortie du système varie

•  Une approche possible pour éliminer cet effet consiste à introduire un bouclage sur l’intégrateur, ramenant l’écart entre l’entrée u(k) et la sortie us(k) de la saturation (réelle ou simulée), avec une constante d’intégration Tt

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Forme parallèle du PID numérique : un réglage plus pratique

C(s ) = Kp 1+

1Tis

+Tds⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = Kp +

Kis+Kds

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PID numérique dans un code informatique

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Réglage des actions du correcteur PID analogique Rappels

•  Le réglage du correcteur PID analogique passe par le choix de

Kp, Ti, Td, Tt , N

–  N est souvent fixé à N=10 –  Tt est choisie dans la plage [0,1Ti ; Ti]

•  Pour la détermination des paramètres Kp, Ti, Td, des méthodes de réglage

ont été proposées comme par exemple celles de Ziegler-Nichols

•  Ces réglages constituent une base qu’il convient d’affiner en fonction des performances désirées

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Influence des actions P, I et D dans le cas de la forme parallèle du PID numérique

C(s ) = Kp 1+

1Tis

+Tds⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = Kp +

Kis+Kds

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Régulation numérique par transposition d’un correcteur continu – A retenir

•  Méthodes de transposition conseillées en pratique : •  Approximation bilinéaire (Tustin) ou approximation retardée (car formules les

plus simples)

•  Comportement de la régulation numérique au mieux équivalent à celui de la régulation analogique mais souvent moins bon

•  convient si le système est lent •  convient si la période d’échantillonnage est petite par rapport à la dynamique

principale τ du correcteur (si Te<τ/10)

•  Attention ! Même si la stabilité du système bouclé avec le correcteur analogique est vérifiée, cela ne garantit pas la stabilité du système bouclé avec le correcteur numérique !

•  Il faut en particulier vérifier que la période d’échantillonnage choisie n’entraîne pas une perte de la stabilité

•  L’effet de la présence du bloqueur d’ordre zéro (retard additionnel) n’est pas pris en compte dans la synthèse et peut jouer sur la stabilité

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TP asservissement et régulation de température via un contrôle PID numérique