SZEREGIDef. Jeżeli dany jest ciąg liczb rzeczywistych (lub - ogólniej - zespolonych, ale

szeregami zespolonymi nie będziemy się tutaj zajmować), to możemy utworzyć ciąg

Mówimy wtedy, że dany jest

szereg , a ciąg nazywamy ciągiem sum częściowych tego szeregu.

Mówimy że szereg jest zbieżny, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny

(tzn. zbieżny do skończonej granicy s, zwanej sumą tego szeregu), w przeciwnym przypadku (gdy granica ta nie istnieje, lub też istnieje, ale jest nieskończona) szereg ten

nazywamy rozbieżnym. Np. szereg jest, jak można wykazać, rozbieżny (mimo że

ciąg jest oczywiście zbieżny do zera). Od tej pory symbol oznacza zarówno sam

szereg, tzn. zespół dwóch odpowiednio ze sobą powiązanych ciągów oraz , jak i jego sumę s (także w przypadku ).

Szeregi znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach. Ponieważ napisanie ogólnego wzoru na sumę częściową oraz obliczenie (dokładne - z definicji) sumy szeregu jest na ogół niemożliwe (a nawet jeśli możliwe, to bardzo trudne), w większości przypadków zadawalamy się samym stwierdzeniem, czy szereg jest zbieżny, czy nie, oraz przybliżonym obliczaniem sumy szeregu. Dla pierwszego z tych celów dysponujemy różnymi kryteriami zbieżności szeregu, natomiast jeżeli chodzi o sumę, to zadowalamy się przybliżonym obliczeniem sumy, biorąc pewną ilość początkowych wyrazów szeregu, tzn. pewną jego sumę częściową , i staramy się oszacować dokładność takiego przybliżenia (lub, mając zadaną z góry dokładność, staramy się dobrać takie n, aby było przybliżeniem nieznanej sumy s z zadaną dokładnością).

I. BADANIE ZBIEŻNOŚCI Z DEFINICJI (w nielicznych przypadkach, w których jest to możliwe)

0. Zbadać z definicji zbieżność szeregów i - w przypadku zbieżności - znaleźć ich

sumę: a) ; b) ; c) (wsk.: ułamki proste);

d) ; e) ; f) .

II. ALGORYTM BADANIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGU

Niech będzie dany szereg (na początek - liczbowy):

1. Sprawdzamy przede wszystkim, czy , tzn. czy spełniony jest warunek konieczny zbieżności szeregu. Jeżeli granica ta nie istnieje, bądź też istnieje, lecz jest różna od zera, to badany szereg jest rozbieżny. Natomiast jeżeli , to jest to dopiero wstępem do badania ewentualnej

zbieżności szeregu. Należy przede wszystkim pamiętać, że np. szereg jest rozbieżny.

Zbieżność szeregu bowiem to nie tylko zbieżność ciągu do zera, lecz zbieżność ciągu

sum częściowych (do skończonej granicy). Jeżeli spełnienie

warunku koniecznego jest oczywiste, nie musimy specjalnie podkreślać, że warunek SZEREGI - Strona 1

konieczny jest spełniony, ponieważ i tak należy przeprowadzić dalsze badanie, czy szereg jest zbieżny, czy nie.2. Mogą teraz nastąpić dwa przypadki: albo wszystkie (albo wszystkie począwszy od pewnego, dostatecznie dużego n) są nieujemne - wtedy przechodzimy do punktu 3, albo wśród występuje nieskończenie wiele wyrazów obu znaków - wtedy przechodzimy do punktu 7).3. Jeżeli , gdzie funkcja f jest nieujemna i nierosnąca w przedziale <1,) (a więc, w szczególności, ) oraz stosunkowo łatwo jest obliczyć całkę funkcji f, to można spróbować zastosować kryterium całkowe zbieżności szeregu. [Nie dotyczy Inżynierii Lądowej - Studia Zaoczne.] Ogólnie rzecz biorąc, kryterium całkowe stosujemy dosyć rzadko.Kryterium całkowe (lub inne metody) pozwalają w szczególności stwierdzić, że szereg

jest zbieżny gdy >1, natomiast rozbieżny gdy 1 (oczywiście to ostatnie jest

interesujące tylko dla >0, bo dla 0 nie jest spełniony nawet warunek konieczny zbieżności). Szereg ten jest bardzo ważny jako źródło porównań z innymi szeregami - zob. dalej - tym bardziej, że jego zbieżności lub rozbieżności nie można rozstrzygnąć ani przy pomocy kryterium d'Alemberta, ani kryterium Cauchy'ego. Tak więc zbieżność szeregu, do którego nie stosuje się ani kryterium d'Alemberta ani kryterium Cauchy'ego, można

niekiedy rozstrzygnąć właśnie przez porównanie z szeregiem postaci z odpowiednio

dobranym ). 4. Jeżeli (nadal wszystkie , czyli mamy do czynienia z szeregiem o wyrazach nieujemnych) od razu widać, że kryterium całkowego nie da się zastosować z powodu zbytniej trudności obliczenia całki [bądź, w przypadku Inżynierii Lądowej - Studia Zaoczne, z powodu nieznajomości całek], można próbować zastosować kryterium

porównawcze. Najczęściej porównujemy dany szereg z szeregiem postaci z

odpowiednio dobranym . Kryterium to w oryginalnej, nierównościowej postaci jest dosyć uciążliwe, ponieważ nie od razu wiadomo, w którą stronę należy szacować. Można sobie pomóc wtedy przybliżonym oszacowaniem, wynikającym z oceny, które składniki mają największy wpływ; inaczej mówiąc, staramy się oszacować, jakiego rzędu (1/n) jest wyraz ogólny badanego szeregu. Jeżeli teraz okaże się, że >1, to oczywiście staramy

się wykazać, że badany szereg jest zbieżny, porównując go ze zbieżnym szeregiem

, a więc potrzebujemy wykazać nierówność . I na odwrót, jeżeli okaże

się, że <1, to badany szereg porównujemy z rozbieżnym szeregiem , a więc

potrzebujemy wykazać nierówność . Oto najczęściej używane oszacowania:

Kłopotu z kierunkiem nierówności możemy często uniknąć, stosując tzw. postać

„graniczną” kryterium porównawczego (jeżeli dane są szeregi , , gdzie an>0,

SZEREGI - Strona 2

bn0 i lim (bn/an,)= g, gdzie 0<g<, to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

zbieżny jest szereg .) Jednak postać graniczna nie zawsze da się zastosować, np. dla

szeregu , który w sposób oczywisty jest zbieżny (porównanie z szeregiem ),

wspomniana granica nie istnieje, bo nie istnieje granica ciągu {|sin n|}.5. Przed lub po zastosowaniu kryterium porównawczego można spróbować zastosować

kryterium d'Alemberta lub Cauchy'ego. Prawdą jest, że jeżeli istnieje granica ,

to istnieje również granica i też jest równa „g”, tyle że tę ostatnią na ogół trudniej jest policzyć.6. Jeżeli żadne z podanych wyżej kryterium nie rozstrzyga o zbieżności - to znaczy, że metodami omawianymi w obecnym wykładzie nie można rozstrzygnąć, czy szereg jest zbieżny.7. Jeżeli w badanym szeregu występują dowolnie daleko wyrazy obu znaków (a spełniony jest, jak powiedziano, warunek konieczny ) - możemy przede wszystkim zbadać, czy jest

zbieżny szereg - jednym z kryteriów omówionych w punktach 3 - 6. Wtedy badany

szereg jest również zbieżny - i mówimy wtedy, że ten szereg jest BEZWZGLĘDNIE

ZBIEŻNY. Metoda badania bezwzględnej zbieżności jest właściwie jedyną metodą, którą możemy zastosować, gdy badany szereg spełnia warunek konieczny zbieżności i gdy znaki wyrazów szeregu zmieniają się nieregularnie (tak że na pewno nie jest to szereg

naprzemienny - np. ).

8. Jeżeli badany szereg jest szeregiem naprzemiennym - co oznacza (o czym należy

pamiętać) nie tylko to, że jest on postaci lub , gdzie an0 i lim an

=0, ale że ponadto a1a2...anan+1...0 (inaczej mówiąc, ciąg an jest nierosnący - a przynajmniej nierosnący od pewnego miejsca), to badany szereg jest zbieżny na podstawie kryterium Leibniza. Warunek anan+1 możemy badać albo rozpatrując różnicę an–an+1

(powinna być 0) albo iloraz an+1/an (powinien być 1), albo wreszcie w niektórych przypadkach - badając przy pomocy rachunku różniczkowego monotoniczność funkcji f takiej, że f(n)=an (wystarczy, aby była nierosnąca począwszy od pewnego x). (Czy jest to wtedy zbieżność bezwzględna, czy tylko warunkowa - musimy zbadać oddzielnie.)

9. Dla szeregów potęgowych można wykazać, że zbieżność wewnątrz

przedziału zbieżności jest zawsze bezwzględna - i dlatego do takich szeregów można zastosować nieco zmodyfikowane kryterium d'Alemberta lub Cauchy'ego - co sprowadza się do wzorów na promień zbieżności: jeżeli istnieje jedna z granic lim (|an+1/an|)=g lub

, to promień zbieżności R badanego szeregu jest równy: a) 1/g, jeżeli 0<g<; b) (tzn. szereg jest zbieżny dla każdego xR), jeżeli g=0,

SZEREGI - Strona 3

c) 0 (tzn. szereg nie jest zbieżny dla żadnego x z wyjątkiem x=x0 , a jest to przypadek mało interesujący), jeżeli g=.

Pełne badanie przedziału zbieżności szeregu potęgowego obejmuje również badanie zbieżności na krańcach przedziału zbieżności (co jest oczywiście konieczne tylko w przypadku a)), przy czym należy pamiętać, że ten problem nigdy nie da się rozstrzygnąć przy pomocy kryterium d'Alemberta ani kryterium Cauchy'ego, ponieważ mamy wtedy zawsze przypadek, w którym granica w oryginalnej postaci takiego kryterium jest równa (o ile istnieje) 1, a w tym przypadku kryterium nie rozstrzyga o zbieżności; ponadto zbieżność na krańcach przedziału zbieżności nie musi być bezwzględna.

III. PRZYKŁADY

A. Zbadać zbieżność szeregów o wyrazach nieujemnych:a) Kryterium całkowe (nie dotyczy Inżynierii Lądowej - Studia Zaoczne, przynajmniej w początkowym okresie nauki, przed wprowadzeniem całek):

(i) ; (ii) ;(iii) (lub porównawcze, nawet prościej) ;

(iv) (>0) (v)

b) Kryterium porównawcze i warunek konieczny zbieżności:

(i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v) ;

(vi) ; (vii) ; (viii) ;

(ix) ; (x) ; (xi) ;

(xii) (spróbować także z kryterium d'Alemberta i z kryterium Cauchy'ego);

(xiii) (spróbować także z kryterium d'Alemberta); (xiv) ;

(xv) ; (xvi) ; (xvii) ; (xviii) ; (xix) .

c) Kryterium d'Alemberta: (i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ;

(v) (an+1/an > 1, więc szereg jest rozbieżny); (vi) .

d) Kryterium Cauchy'ego:

(i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) ; (v)

B. Zbadać zbieżność bezwzględną i warunkową:a) Szeregi o wyrazach na przemian dodatnich i ujemnych:

SZEREGI - Strona 4

(i) ; (ii) ; (iii) ; (iv)

(wsk.:obl. an–an+1); (v) [wsk.: zbadać pomocniczą funkcję f(x)=(ln x)/x];

(vi) (analogicznie);

b) Szeregi o wyrazach dowolnych:

(i) ; (ii) ; (iii) ; (iv) .

C. Szeregi funkcyjne (m.in. - potęgowe): dla jakich x jest zbieżny szereg:

(i) ; (ii) ; (poniżej - szeregi potęgowe:)

(iii) ; (iv) ; (v) ; (vi) ;

(vii) ; (viii) ; (ix) (por. odp. przykł. z A a);

(x) [wsk. aby zbadać zbieżność na jednym z krańców przedziału zbieżności,

należy zbadać granicę , czyli , czyli

i już łatwo

otrzymujemy 0, czyli granicą wyrazu szeregu jest e0=1, czyli nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności].

IV. ROZWIJANIE FUNKCJI W SZEREG POTĘGOWY

Jeżeli dla |x – x0|<R, gdzie R>0 (tzn. funkcja f rozwija się w

szereg potęgowy w pewnym otoczeniu punktu x ), to współczynniki an tego szeregu potęgowego wyrażają się jednoznacznie jako

Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby szereg potęgowy o tak wyliczonych współczynnikach był zbieżny do rozpatrywanej funkcji f w pewnym otoczeniu punktu x0

jest, aby n-ta reszta we wzorze Taylora, Rn , dążyła do zera (w tym otoczeniu). Warunkiem dostatecznym na to, aby szereg był zbieżny do funkcji f (w pewnym otoczeniu punktu x0) jest, aby wszystkie pochodne fn(x) były wspólnie ograniczone przez pewną stałą M w tym otoczeniu.

A. Podstawowe rozwinięcia w szereg.

1. (szereg geometryczny);

SZEREGI - Strona 5

2. , gdzie

(uogólnienie symbolu Newtona i wzoru dwumianowego); w szczególności, dla =–1 dostajemy znów szereg geometryczny; dla =–2, –3 itd. możemy ten wzór otrzymać również przez kolejne różniczkowanie szeregu geometrycznego z punktu 1); przypadek =–1/2 znajduje zastosowanie w rozwinięciu arkusa sinusa - zob. punkt 7) poniżej.

3. ;

4. ;

5. ;

Uwaga. Szereg 3) jest bezwzględnie zbieżny (a więc, jak można wykazać, zbieżny) także dla zespolonych wartości z:

; podstawiając tu w szczególności z=iy, grupując składniki rzeczywiste i

zespolone i porównując z rozwinięciami 4) i 5), otrzymujemy wzór . Tak więc

6. [otrzymane przez całkowanie odpowiedniego szeregu

geometrycznego - rozwinięcia na 1/(1+x) z punktu 1)];

7.

[otrzymane przez całkowanie rozwinięcia na , otrzymanego z kolei z punktu 2) dla a

= –1/2 z podstawieniem –x2 zamiast x]; podwójny wykrzyknik nie oznacza tu silni silni, lecz (2n)!!=2. 4. ... .n, (2n–1)!!=1. 3. ... .(2n–1).

8.

[otrzymane przez całkowanie rozwinięcia na 1/(1+x2), otrzymanego z kolei z punktu 1) z podstawieniem –x2 zamiast x].

B. Ogólne wskazówki odnośnie rozwijania w szereg potęgowy.

Przy rozwijaniu danej funkcji w szereg potęgowy należy, o ile jest to możliwe, kombinować ze sobą podane powyżej rozwinięcia. Należy raczej unikać, o ile tylko jest to możliwe, bezpośredniego wyliczania kolejnych pochodnych, a to z następujących powodów:1. Bezpośrednie otrzymanie ogólnego wyrażenia na n-tą pochodną danej funkcji jest na ogół niemożliwe - udaje się to właściwie jedynie w przypadkach prostych rozwinięć, które zostały powyżej podane jako podstawowe.2. Nawet jeżeli takie wyrażenie dałoby się otrzymać, nie wiadomo - bez bliższego zbadania - dla jakich wartości zmiennej otrzymany szereg jest zbieżny (jeżeli w ogóle jest zbieżny dla jakichkolwiek wartości xx0).3. Nawet o ile otrzymany szereg ma niezerowy promień zbieżności, może być zbieżny niekoniecznie do danej funkcji. Klasycznym przykładem jest tu – ku przestrodze – funkcja

SZEREGI - Strona 6

dana wzorami f(x) = exp(–1/x) dla x0, f(0)=0, która - choć oczywiście różna od zera dla x0 - ma wszystkie pochodne w punkcie 0 równe zero; tak więc jej szereg Taylora w otoczeniu punktu 0 jest wprawdzie zbieżny – ale do funkcji tożsamościowo równej zero, a nie do danej funkcji.

Korzystanie ze znanych rozwinięć wykorzystuje m.in. następujące fakty:

1. Suma szeregów potęgowych (w otoczeniu tego samego punktu x0) jest szeregiem potęgowym, podobnie iloczyn szeregu potęgowego przez stałą.2. Zastąpienie w szeregu względem potęg y, zmiennej y przez pewną naturalną potęgę zmiennej x daje w wyniku również szereg potęgowy.3. Pomnożenie szeregu potęgowego względem potęg zmiennej x (tzn. w otoczeniu punktu x=0) przez pewną naturalną potęgę x daje w wyniku szereg potęgowy. Podobnie - podzielenie, o ile wszystkie wyrazy dadzą się podzielić (tzn. szereg zaczyna się w istocie od wyrazu z xk - wtedy można podzielić przez x, x2 , ..., xk zależnie od potrzeby).4. Przy odpowiednich założeniach, szeregi potęgowe można całkować lub różniczkować wyraz po wyrazie (i w wyniku otrzymujemy oczywiście również szereg potęgowy). 5. Istnieją pewne reguły mnożenia szeregów potęgowych, podstawiania jednego szeregu potęgowego w drugi i odwracania sumy szeregu potęgowego - ale tutaj nie będziemy ich stosować.

C: Przykłady.Rozwinąć następujące funkcje w szereg potęgowy w otoczeniu punktu x0 (jeżeli x0

nie jest podane, to przyjąć x0=0). Podać promień zbieżności otrzymanego szeregu. (Wyrażenie „uzupełnić w x0” oznacza, że należy dookreślić funkcję w punkcie x0 tak, aby była w tym punkcie ciągła.)1a. (1+x)3 ; 1b. x3+4x2+3x+2, x0 =1 ;

2. itp.

(wsk.:podany ułamek rozłożyć na ułamki proste).

3. itp.

itp.

4. itp.

5. itp.

6. x + sin x cos x ; x3sin 3x ; x2cos 4x ; x cos x – sin x ; sin (x2) ; x cos (x2) ; sin2x ;

cos24x ; sin x sin 3x ; x2sin x cos3x; (uzup. w zerze) ; x2sin3x itp.

7. arc tg x ; arc tg x3 ; arc sin x ; arc sin x2 ; (uzup. w 0); arc cos x ; x3arc sin x ;

(x–tg x) cos x itp.

SZEREGI - Strona 7

8. ;

itp.

9. itp.

10. itp.

Wskazówki 1. Otrzymujemy tylko skończoną ilość wyrazów różnych od zera. 2. Kombinować szereg geometryczny i podstawianie np x3 zamiast y, wreszcie mnożenie przez xk . 3. (1+y) plus poprzednie metody. 4. Poprzednie metody, lub różniczkowanie szeregu geometrycznego plus poprzednie metody. 5. Poprzednie metody plus mnożenie szeregu potęgowego przez xk . 6. Poprzednie metody plus fakt, że pewne iloczyny dadzą się zamienić na sumy. 7. Całkowanie lub różniczkowanie szeregów potęgowych plus poprzednie metody. 8. Poprzednie metody plus podstawowe własności logarytmów. 9,10. Patrz 8.

D. Szacowanie dokładności obliczenia sumy przez wzięcie skończonej ilości wyrazów (tzn. danej sumy częściowej); dobieranie n tak, aby n-ta suma częściowa przybliżała

sumę szeregu ze z góry zadaną dokładnością.(Dla szeregów naprzemiennych, korzystamy po prostu z faktu, że błąd jest nie większy od wartości bezwzględnej pierwszego odrzuconego wyrazu. W pozostałych przypadkach staramy się oszacować odrzucone wyrazy przez wyrazy odpowiedniego szeregu geometrycznego.)

1. Napisać przedstawienie liczby w postaci szeregu potęgowego. Ile należy wziąć

wyrazów rozpatrywanego szeregu, aby otrzymać przybliżenie tej liczby z dokładnością do 0,0001 ?2. Ile należy wziąć wyrazów rozwinięcia w punkcie x=1 funkcji arctg x, aby otrzymać przybliżenie liczby z dokładnością do 0,01 ?3. Dla jakich wartości x przybliżenie sin x x obarczone jest błędem <0,01? 4. Dla jakich wartości x przybliżenie cos x 1 – x2/2 obarczone jest błędem a) < 0,01; b) < 0,001; c) < 0,0001.

SZEREGI - Strona 8