Embed Size (px)
Citation preview
Przekształcenia całkowe
Wykład 7
Szeregi Fouriera
Definicja:
Mówimy, że ciąg funkcji całkowalnych z kwadratemw przedziale jest ciągiem ortogonalnym, jeżeli
{ }( )nX x[ , ]a b
0 dla ,( ) ( )d
0 dla .
b
n ma
n mX x X x x
A n m≠⎧
= ⎨ > =⎩∫
Szeregi Fouriera
Zadanie :
Sprawdzić, że ciąg funkcji
Jest ciągiem ortogonalnym w .
{ }1, sin , cos , sin 2 , cos2 ,x x x x …
[ , ]−π π
Szeregi Fouriera
Rozwiązanie:
Należy sprawdzić (zakładając )
1) 2)
3) 4)
5) 6)
7) 8)
n m≠
sin d 0n x xπ
−π
=∫ cos d 0n x xπ
−π
=∫
sin sin d 0n x m x xπ
−π
=∫ cos cos d 0n x m x xπ
−π
=∫
sin cos d 0n x m x xπ
−π
=∫2sin d 0n x x A
π
−π
= >∫
2cos d 0n x x Aπ
−π
= >∫ d 0x Aπ
−π
= >∫
Szeregi Fouriera
Zadanie 1 :
Szeregi Fouriera
[ ]
[ ]
1 1sin d sin d cosd d
1 cos cos 0
nn
nn
u n xn x x u u u
u n x n n
n nn
πππ
− π−π − π
⎫=⎧= = = − =⎨ ⎬=⎩ ⎭
= − π− π =
∫ ∫
Zadanie 2 :
[ ]1 1cos d cos d sin 0d d
nn
nn
u n xn x x u u u
u n x n n
πππ
− π−π − π
⎫=⎧= = = =⎨ ⎬=⎩ ⎭
∫ ∫
Wzory
Szeregi Fouriera
cos( ) cos cos sin sincos( ) cos cos sin sin
α + β = α β − α βα −β = α β + α β
Po odjęciu stronami
[ ]
cos( ) cos( ) 2sin sin1sin sin cos( ) cos( )2
α −β − α + β = α β
α β = α −β − α + β
Zadanie 3 :
1 2
1 2
( ) ( )
2 2 1 1( ) ( )
1 1sin sin d cos( ) d cos( ) d2 2
( ) ( )
d ( )d d ( )d
1 1cos d cos d2( ) 2( )
n m n m
n m n m
n x m x x n m x x n m x x
u n m x u n m x
u n m x u n m x
u u u un m n m
π π π
−π −π −π
− π + π
− − π − + π
= − − + =
⎧ ⎫= + = −⎪ ⎪= =⎨ ⎬= + = −⎪ ⎪⎩ ⎭
= − =− +
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Szeregi Fouriera
1 1sin ( ) sin ( ) 0n m n mn m n m
= − π− + π =− +
Wzory
Szeregi Fouriera
cos( ) cos cos sin sincos( ) cos cos sin sin
α +β = α β− α βα −β = α β+ α β
Po dodaniu stronami
[ ]
cos( ) cos( ) 2cos cos1cos cos cos( ) cos( )2
α +β + α −β = α β
α β = α +β + α −β
Zadanie 4 :
Szeregi Fouriera
1 2
1 2
( ) ( )
1 1 2 2( ) ( )
1 1cos cos d cos( ) d cos( ) d2 2
( ) ( )
d ( )d d ( )d
1 1cos d cos d2( ) 2( )
1 1sin ( ) sin ( ) 0
n m n m
n m n m
n x m x x n m x x n m x x
u n m x u n m x
u n m x u n m x
u u u un m n m
n m n mn m n m
π π π
−π −π −π
+ π − π
− + π − − π
= + + − =
⎧ ⎫= + = −⎪ ⎪= =⎨ ⎬= + = −⎪ ⎪⎩ ⎭
= + =+ −
= + π− − π =+ −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Wzory
Szeregi Fouriera
sin( ) sin cos cos sinsin( ) sin cos cos sin
α + β = α β + α βα −β = α β − α β
Po dodaniu stronami
[ ]
sin( ) sin( ) 2sin cos1sin cos sin( ) sin( )2
α +β + α −β = α β
α β = α + β + α −β
Zadanie 5 :
Szeregi Fouriera
[ ]
1 2
1 2
( ) ( )
1 1 2 2( ) ( )
( )1 ( )
1 1sin cos d sin ( ) d sin ( ) d2 2
( ) ( )
d ( )d d ( )d
1 1sin d sin d2( ) 2( )
1 1cos2( ) 2( )
n m n m
n m n m
n m
n m
n x m x x n m x x n m x x
u n m x u n m x
u n m x u n m x
u u u un m n m
un m n m
π π π
−π −π −π
+ π − π
− + π − − π
+ π
− + π
= + + − =
⎧ ⎫= + = −⎪ ⎪= =⎨ ⎬= + = −⎪ ⎪⎩ ⎭
= + =+ −
= ++ −
∫ ∫ ∫
∫ ∫
[ ]( )2 ( )
cos 0n m
n mu + π
− + π=
Wzory
Szeregi Fouriera
2 2 2
2
2 2 2
2
cos2 cos sin 2cos 11 1cos cos22 2
cos2 cos sin 1 2sin1 1sin cos22 2
α = α − α = α −
α = + α
α = α − α = − α
α = − α
Zadanie 6 :
Szeregi Fouriera
[ ] [ ]
2
22
22
21 1sin d d cos2 dd 2 d2 2
1 1 1cos d sin 02 2 2
nn
nn
u n xn x x x n x x
u n x
x u x u
π π π
−π −π −π
ππ π
−π − π− π
=⎧ ⎫= − = =⎨ ⎬=⎩ ⎭
= − = π − = π − = π
∫ ∫ ∫
∫
Zadanie 7 :
Szeregi Fouriera
[ ] [ ]
2
22
22
21 1cos d d cos2 dd 2 d2 2
1 1 1cos d sin 02 2 2
nn
nn
u n xn x x x n x x
u n x
x u x u
π π π
−π −π −π
ππ π
−π − π− π
=⎧ ⎫= + = =⎨ ⎬=⎩ ⎭
= + = π + = π + = π
∫ ∫ ∫
∫
Sprawdziliśmy, że dany ciąg jest ortogonalny w przedziale , przy czym .[ , ]−π π A = π
Rozwinięcie funkcji w szereg Fouriera
Definicja:
Niech będzie funkcją o okresie mającą w przedziale co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości
i całkowalną w tym przedziale.Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg:
gdzie – współczynniki.
( )f x 2π[ , ]−π π
0
1( ) ( cos sin ),
2 n nn
af x a n x b n x∞
=
= + +∑
0 , ,n na a b
Szeregi Fouriera
Czyli
Wyznaczanie współczynników
Wiemy, że ciąg jest ciągiem ortogonalnym w przedziale . Obie strony wzoru na szereg Fouriera całkujemy od do .
0 1 1 2 21( ) cos sin cos2 sin 22
f x a a x b x a x b x= + + + + +…
{ }1, sin , cos , sin 2 , cos 2 ,x x x x …[ , ]−π π−π π
Szeregi Fouriera
Otrzymujemy:
Szeregi Fouriera
[ ]
0
1
0 0
00
0
( )d d cos d sin d2
( )d2
1 ( )d
n nn
af x x x a n x x b n x x
af x x x a
a f x x
π π π π∞
=−π −π −π −π
ππ
−π−π
π
−π
⎛ ⎞⎜ ⎟
= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= = π
=π
∑∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
Obie strony równania wyjściowego mnożymy przez i całkujemy od do . Wówczas otrzymujemy:
cosm x −π π
Szeregi Fouriera
0
0
1
0
cos ( )d cos d2
cos cos d sin cos dn nn
dla n m
am x f x x m x x
a n x m x x b n x m x x
π π
−π −π
π π∞
= −π −π
π =
= +
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜+ + ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎠⎝
∫ ∫
∑ ∫ ∫
cos ( )d
1 ( )cos d
m
m
m x f x x a
a f x m x x
π
−π
π
−π
= π
=π
∫
∫
Szeregi Fouriera
Obie strony równania wyjściowego mnożymy przez i całkujemy od do :
sin m x−π π
0
0
1
0
sin ( )d sin d2
cos sin d sin sin d
sin ( )d
1 ( )sin d
n nn
dla n m
m
m
am x f x x m x x
a n x m x x b n x m x x
m x f x x b
b f x m x x
π π
−π −π
π π∞
= −π −π
π =
π
−π
π
−π
= +
⎞⎛⎟⎜⎟+ +⎜⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠
= π
=π
∫ ∫
∑ ∫ ∫
∫
∫
Szeregi Fouriera
Szereg Fouriera
Szeregi Fouriera
0
1
0
( ) ( cos sin )2
1 ( )d
1 ( )cos d
1 ( )sin d
n nn
n
n
af x a n x b n x
a f x x
a f x n x x
b f x n x x
∞
=
π
−π
π
−π
π
−π
= + +
=π
=π
=π
∑
∫
∫
∫
Jeżeli jest funkcją nieparzystą:( )f x
Szeregi Fouriera
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )∫
∫∫∫
∫∫∫
∫ ∫∫
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+==
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+==
−−
−−
−−
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
ππ
π
π
ππ
ππ
ππ
0
0
0
0
0
0
00
sin2
sinsin1sin1
0coscos1cos1
011
nxdxxf
nxdxxfnxdxxfnxdxxfb
nxdxxfnxdxxfnxdxxfa
dxxfdxxfdxxfa
n
n
Szeregi Fouriera
Jeżeli jest funkcją parzystą:( )f x
Szeregi Fouriera
00
0
0
0
1 2( )d ( )d
1 2( )cos d ( )cos d
1 ( )sin d
1 ( )sin d ( )sin d 0
n
n
a f x x f x x
a f x n x x f x n x x
b f x n x x
f x n x x f x n x x
π π
−π
π π
−π
π
−π
π
−π
= =π π
= =π π
= =π
⎡ ⎤= + =⎢ ⎥π ⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
Szeregi Fouriera
jest funkcją nieparzystą( )f x
Szeregi Fouriera
0
0
00
2 ( )sin d
n
n
aa
b f x n x xπ
==
=π ∫
jest funkcją parzystą( )f x
Szeregi Fouriera
00
0
2 ( )d
2 ( )cos d
0
n
n
a f x x
a f x n x x
b
π
π
=π
=π
=
∫
∫
Rozwinięcie funkcji o okresie 2L w szereg Fouriera
Definicja:
Niech będzie funkcją o okresie mającą w przedzialeco najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i
całkowalną w tym przedziale.
( )f x[ , ]L L−
2L
Szeregi Fouriera
Szeregiem Fouriera tej funkcji nazywamy szereg:
gdzie – współczynniki.
0
1( ) ( cos sin ),
2 n nn
a n x n xf x a bL L
∞
=
π π= + +∑
0 , ,n na a b
Szeregi Fouriera
01 ( )d
1 ( )cos d
1 ( )sin d
L
L
n
L
nL
a f x xL
n xa f x xL L
n xb f x xL L
−
π
−π
−
=
π=
π=
∫
∫
∫
jest funkcją nieparzystą( )f x
Szeregi Fouriera
0
0
00
2 ( )sin d
n
L
n
aa
n xb f x xL L
==
π= ∫
jest funkcją parzystą( )f x
Szeregi Fouriera
00
0
2 ( )d
2 ( )cos d
0
L
L
n
n
a f x x
n xa f x xL
b
=π
π=π
=
∫
∫
