SZÁMOK ÉS MŰVELETEKrások-tanár... · 2018. 9. 19. · 0713. Számok és műveletek – Racionális számok Tanári útmutató 4 Matematika „A” 7. évfolyam MODULLEÍRÁS

SZAacuteMOK EacuteS MŰVELETEK Racionaacutelis szaacutemok

KEacuteSZIacuteTETTE TOacuteTH LAacuteSZLOacute SZEREDI EacuteVA

0713 MODUL

0713 Szaacutemok eacutes műveletek ndash Racionaacutelis szaacutemok Tanaacuteri uacutetmutatoacute 4

Matematika bdquoArdquo 7 eacutevfolyam

MODULLEIacuteRAacuteS A modul ceacutelja A kuumlloumlnboumlző szaacutemok eacutes iacuteraacutesmoacutedjuk szaacutemkoumlroumlk ismeacutetleacutese rendszerezeacutese speciaacutelis elemek szerepe a

szaacutemkoumlroumlkoumln beluumll Időkeret 6 oacutera Ajaacutenlott korosztaacutely 12-13 eacutevesek 7 eacutevfolyam Modulkapcsoloacutedaacutesi pontok Alapműveletek hatvaacutenyozaacutes műveleti tulajdonsaacutegok algebra szaacutemelmeacutelet A keacutepesseacutegfejleszteacutes foacutekuszai Szaacutemlaacutelaacutes szaacutemolaacutes matematikatoumlrteacuteneti kitekinteacutes kapcsaacuten a szaacutemlaacutelaacutes eacutes szaacutemolaacutes toumlrteacuteneteacutenek

egyes fejezetei Szoumlvegesfeladat-megoldaacutes probleacutemamegoldaacutes metakognicioacute egyenlet eacutes feladat koumlzti kapcsolat

kereseacutese nyitott mondatok megoldaacutesaacutenak eacutertelmezeacutese Rendszerezeacutes kombinativitaacutes Nyitott mondatok megoldaacuteshalmazai intervallumok egymaacuteshoz valoacute

viszonya az egeacutesz szaacutemok eacutes racionaacutelis szaacutemok sokfeacutele alakja

AJAacuteNLAacuteS A modul (nem haacutetteacuteranyag reacutesze) viszonylag keveacutes uacutej ismeretet tartalmaz inkaacutebb szintetizaacuteloacute jellegű Fő feladata a szaacutemkoumlroumlk bőviacuteteacuteseacutenek megeacuterteteacutese a matematikai szemleacutelet fejleszteacutese az egyes halmazok oumlsszehasonliacutetaacutesa paacuterhuzamba aacutelliacutetaacutesa Ennek kapcsaacuten vaacuteltozatos gondolkodaacutesi moacutedszerek fejleszteacuteseacutere nyiacutelik lehetőseacuteg Fontos teveacutekenyseacuteg a konkreacutetumokboacutel kiinduloacute aacuteltalaacutenosiacutetaacutes eacutes ennek kapcsaacuten bizonyos algebrai ismeretek megalapozaacutesa A haacutetteacuteranyagok joacute lehetőseacuteget adnak a taniacutetaacutesi oacuteraacutekon valoacute differenciaacutelaacutesra az oacuteraacuten elkezdett gondolatok szakkoumlroumln toumlrteacutenő tovaacutebbgondolaacutesaacutera A feladatok megoldaacutesaacutet helyenkeacutent nem jeloumlltuumlk pirossal hanem szuumlrke haacutetteacuterben a moacutedszertani megfontolaacutesokkal egyuumltt adtuk meg

TAacuteMOGATOacute RENDSZER Feladatlapok feladatgyűjtemeacuteny

EacuteRTEacuteKELEacuteS A gyerekek munkaacutejaacutenak folyamatos megfigyeleacutese szoacutebeli eacuterteacutekeleacutese



MODULVAacuteZLAT

Leacutepeacutesek teveacutekenyseacutegek Kiemelt keacuteszseacutegek keacutepesseacutegek Eszkoumlzoumlk

Feladatok

I A szaacutemok eacutes a szaacutemiacuteraacutes toumlrteacuteneteacutenek aacutettekinteacutese szaacutemok kuumlloumlnboumlző iacuteraacutesmoacutedja

1 Szaacutemok a reacutegmuacutelt időkben ndash olvasmaacutenyok feldolgozaacutesa Szoumlvegeacuterteacutes leacutenyegkiemeleacutes emleacutekezet 1 feladatlap 2 Roacutemai eacutes arab szaacutemok Szabaacutelykoumlveteacutes oumlsszefuumlggeacutes-felismereacutes 2 feladatlap 3 A helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuted Oumlsszefuumlggeacutes-felismereacutes oumlsszesseacuteglaacutetaacutes 3 feladatlap 4 Nem tiacutezes alapuacute szaacutemrendszerek ndash haacutetteacuteranyag Analogikus gondolkodaacutes dedukcioacute 4 feladatlap 5 Ugyanannak a szaacutemnak kuumlloumlnboumlző iacuteraacutesmoacutedjai oumlsszeg szorzat

normaacutelalak hatvaacuteny maacutes szaacutemrendszer Oumlsszefuumlggeacutes-felismereacutes oumlsszesseacuteglaacutetaacutes 5 feladatlap

6 Műveletek kuumlloumlnboumlző alakban iacutert szaacutemokkal optimaacutelis alak kivaacutelasztaacutesa Leacutenyegkiemeleacutes ismeretek alkalmazaacutesa 6 feladatlap 7 Szaacutemok nagysaacuteg szerinti rendezeacutese kuumlloumlnboumlző alakokban 7 feladatlap

II A termeacuteszetes szaacutemok

1 A termeacuteszetes szaacutemok fogalma Azonossaacutegok eacutes kuumlloumlnboumlzőseacutegek kiemeleacutese 2 Mely műveletekre zaacutert a termeacuteszetes szaacutemkoumlr Vaacuteltozaacutesok megaacutellapiacutetaacutesa 3 Mely műveletek vezetnek ki eacutes milyen felteacutetelekkel a termeacuteszetes

szaacutemkoumlrből 4 Szoumlveges feladatok feliacuteraacutesa nyitott mondatokkal a megoldaacutesok

eacutertelmezeacutese

Oumlsszefuumlggeacutes-felismereacutes 8 feladatlap

5 Kuumlloumlnboumlző sorozatok keacutepzeacutese termeacuteszetes szaacutemokkal a Pascal-haacuteromszoumlg

Szaacutemolaacutesi keacuteszseacuteg termeacuteszetes szaacutemokkal 9 feladatlap

6 A Collatz-probleacutema taacutergyalaacutesa a termeacuteszetes szaacutemok koumlreacuteben Szaacutemolaacutesi keacuteszseacuteg termeacuteszetes szaacutemokkal 9 feladatlap 5 7 Szaacutemolaacutesi gyakorlatok Szaacutemolaacutesi keacuteszseacuteg 10 feladatlap



III Az egeacutesz szaacutemok

1 Kivonaacutessal a negatiacutev szaacutemok vilaacutegaacuteba Elemi halmazműveletek halmazok egyesiacuteteacutese kuumlloumlnbseacutege

2 Szaacutemok ellentettje szaacutemok abszoluacutet eacuterteacuteke 11 feladatlap

3 Vaacuteltozatos feladatok a fogalmak elmeacutelyiacuteteacuteseacutere a műveletek eacutertelmezeacuteseacutere

Egyszerű aacutelliacutetaacutesok igazsaacutegaacutenak eldoumlnteacutese a nyelv logikai elemeinek helyes hasznaacutelata matematikai aacutelliacutetaacutesok eacutertelmezeacuteseacuteben 12 eacutes 13

feladatlap 4 Alapműveletek eacutertelmezeacutese Szaacutemolaacutesi keacuteszseacuteg egeacutesz szaacutemokkal 14 feladatlap 1-3 5 Toumlbbtaguacute oumlsszegek oumlsszevonaacutes Szabaacutelyok alkalmazaacutesa 14 feladatlap 4-8 6 Toumlbbteacutenyezős szorzatok hatvaacutenyozaacutes Szaacutemolaacutesi keacuteszseacuteg 14 feladatlap 910 7 Toumlbb műveletet tartalmazoacute kifejezeacutesek műveleti sorrend zaacuteroacutejelek

szerepe Szaacutemolaacutesi keacuteszseacuteg 14 feladatlap 11

IV A toumlrtek

1 Osztaacutessal a toumlrt szaacutemok vilaacutegaacuteba A tanult fogalmak eacutes eljaacuteraacutesok eszkoumlzkeacutent valoacute hasznaacutelata 15 feladatlap 1

2 Szaacutemok reciproka reciprok szaacutem paacuterok tulajdonsaacutega Szabaacutelyszerűseacutegek eacuteszreveacutetelezeacutese ellenpeacuteldaacutek a caacutefolaacutesban

15 feladatlap 2-5

3 Reciprok eacutes ellentett szaacutem paacuterok paacuterhuzamba aacutelliacutetaacutesa Kapcsolatok felismereacutese analoacutegia 15 feladatlap 6



V Műveletek a racionaacutelis szaacutemkoumlrben

1 A toumlrttel valoacute szorzaacutes eacutes osztaacutes eacutertelmezeacuteseacutenek feleleveniacuteteacutese a szaacutezaleacutek mint a toumlrt lehetseacuteges iacuteraacutesmoacutedja

16 feladatlap 12

2 A neacutegy alapművelet racionaacutelis szaacutemkoumlrben toumlrteacutenő elveacutegzeacuteseacutere szolgaacuteloacute gyakorloacute feladatok

16 feladatlap 3-5

3 A racionaacutelis szaacutemok halmaza tulajdonsaacutegai oumlsszeveteacutesuumlk az egeacutesz szaacutemokkal

17 feladatlap

VI A racionaacutelis szaacutemok eacutes azokon is tuacutel

1 Veacuteges eacutes veacutegtelen szakaszos tizedes toumlrtek ndash racionaacutelis szaacutemok tizedes toumlrt alakja 18 feladatlap

2 Tizedes toumlrtek ndash veacutegtelenek is ndash nagysaacuteg szerinti rendezeacutese 19 feladatlap 3 Veacuteges tizedes toumlrtek toumlrt alakja 4 Peacuteldaacutek nem racionaacutelis szaacutemokra 20 feladatlap 5 Racionaacutelis szaacutemok eacutes a szaacutemegyenes intervallumai 6 Veacutegtelen nem szakaszos tizedes toumlrtek eacutes az irracionaacutelis szaacutem 7 Irracionaacutelis szaacutemok a racionaacutelis szaacutemok koumlzoumltt ndash a valoacutes szaacutemok

halmaza 8 Peacuteldaacutek konkreacutet irracionaacutelis szaacutemokra

Irracionaacutelis szaacutemok előaacutelliacutetaacutesa gondolati uacuteton vaacuteltozatos műveletekkel Koraacutebbi gondolatmenetek analoacutegiaacutejaacuteval a szaacutemegyenes bdquobeneacutepesiacuteteacuteserdquo valoacutes szaacutemokkal

21 feladatlap


A FELDOLGOZAacuteS MENETE

I A szaacutemok eacutes a szaacutemiacuteraacutes toumlrteacuteneteacutenek aacutettekinteacutese szaacutemok kuumlloumlnboumlző iacuteraacutesmoacutedja bdquoA hinduktoacutel jutott el hozzaacutenk az a csodaacutelatos szaacutemiacuteraacutesi rendszer amelyben minden szaacutem feliacuterhatoacute tiacutez jeggyel azaacuteltal hogy minden jelnek alaki- eacutes helyieacuterteacuteket tulajdoniacutet Ez a nagy jelentőseacutegű eacutes zseniaacutelis moacutedszer olyan egyszerűnek tűnik hogy emiatt fel sem tudjuk fogni igazaacuten a nagyszerűseacutegeacutet De eacuteppen egyszerűseacutege eacutes a műveletek nagyon koumlnnyű elveacutegezhetőseacutege helyezi ezt az aritmetikai rendszert a leghasznosabb felfedezeacutesek soraacuteba Hogy milyen neheacutez lehetett egy ilyen moacutedszer felfedezeacutese arra koumlvetkeztethetuumlnk abboacutel a teacutenyből hogy az oacutekor keacutet legnagyobb elmeacutejeacutenek Arkhimeacutedeacutesznek eacutes Apolloacuteniosznak a zsenije sem jutott el a helyieacuterteacutekes szaacutemiacuteraacutesi rendszer felfedezeacuteseacuteigrdquo Laplace

1 Szaacutemok a reacutegmuacutelt időkben ndash olvasmaacutenyok feldolgozaacutesai

Ennek az oacuteraacutenak az anyaga nagyon nagy ugyanakkor rengeteg eacuterdekes hasznos informaacutecioacutet tartalmaz nagyon alkalmas a gyerekek eacuterdeklődeacuteseacutenek felkelteacuteseacutere ismereteik meacutelyiacuteteacuteseacutere Csak kis reacutesze neacutelkuumlloumlzhetetlenuumll fontos a toumlbbit kiadhatjuk otthoni munkaacutera is Oumlnaacutelloacutean vagy csoportosan vaacutellalhatjaacutek a gyerekek az itt leiacutertak egy-egy reacuteszeacutenek feldolgozaacutesaacutet Kiselőadaacutest tarthatnak esetleg a csoportok plakaacutetot keacutesziacutethetnek amit zsűrizhetuumlnk hellip A kulcsfontossaacuteguacutenak bejeloumllt reacuteszeket azonban mindenkeacuteppen alaposan fel kell dolgoznunk

Ma termeacuteszetesnek vesszuumlk hogy a szaacutemokkal mennyiseacutegekkel kapcsolatban egy mindenki szaacutemaacutera eacuterthető iacuteraacutesmoacutedot alkalmazunk ami ndash ellenteacutetben a beszeacutelt nyelvvel ndash szinte valamennyi neacutep szaacutemaacutera eacuterthető A bdquokeacutetszer kettő egyenlő neacutegyrdquo hangalak csak mintegy 15 millioacute minus a magyar nyelvet eacutertő minus ember szaacutemaacutera mond valamit de ha ugyanezt a szaacutemok nyelveacuten iacuterjuk le 2 middot 2 = 4 akkor ez szinte mindenki szaacutemaacutera eacuterthető lesz Ugyanez vonatkozik peacuteldaacuteul a szaacutezhuszonhaacuteromezer-neacutegyszaacutezoumltvenhat szaacutemra melyet igen vaacuteltozatos hangalakkal ejteneacutenek kuumlloumlnboumlző nyelveken de leiacuterva 123 456 maacuter mindenki szaacutemaacutera ugyanazt a szaacutemot jelenti sőt nem egy tulajdonsaacutegaacutet is kiolvashatja belőle Meglepő moacutedon a nem is olyan taacutevoli muacuteltban ez az igen egyszerű iacuteraacutesmoacuted egyaacuteltalaacuten nem volt ismert mikoumlzben a korok nagy matematikusai maacuter igen magas szintű felfedezeacuteseket tettek a matematika vilaacutegaacuteban

Kutassaacutek fel a tanuloacutek a leiacutert szaacutemot mineacutel vaacuteltozatosabb nyelveken fedezzeacutek fel a szaacutem iacuteraacutesaacutenak logikaacutejaacuteban a kuumlloumlnbseacutegeket peacuteldaacuteul a neacutemet angol eacutes magyar nyelvekben

Menjuumlnk most vissza sok-sok eacutevezredet visszalapozva a toumlrteacutenelem kezdeti időszakaacuteba Mi lehetett az első matematikaacutera utaloacute teveacutekenyseacutege őseinknek Felteacutetlenuumll a szaacutemlaacutelaacutes (megszaacutemolaacutes) műveleteacutere tereljuumlk a szoacutet megszaacutemlaacutelhattaacutek a toumlrzs tagjait az elejtett aacutellatokat az eacutegen a feacutenyesebb csillagokat keacutet esemeacuteny koumlzt eltelt napokat (pl keacutet telihold koumlzoumltt) vagy a leacutepeacutesek szaacutemaacutet amivel taacutevolsaacutegot meacuterhettek


Hogyan jegyezhetők le a szaacutemok szaacutemjegyek neacutelkuumll

Igen vaacuteltozatos oumltletekkel aacutellhatnak elő a tanuloacutek Ne korlaacutetozzuk őket de ragaszkodjunk hozzaacute hogy rendszeruumlket eacuterthetően el tudjaacutek magyaraacutezni Valoacutesziacutenűleg a szaacutemjegyek helyett valamilyen szimboacutelumot hasznaacutelnak (pont vonal nyiacutelhellip eacutes esetleg a csoportosiacutetaacutes eszkoumlze is felbukkanhat mert ezek neacutelkuumll neheacutez lenne nagyobb szaacutemokat lejegyezni Hasznaacutelhatjaacutek a betűket minus goumlroumlgoumlket ndash is Ne feledkezzenek meg a legegyszerűbb ndash mindig keacutezneacutel leacutevő ndash eszkoumlzről az ujjaikroacutel Proacutebaacuteljanak sziszteacutemaacutet kitalaacutelni amivel 10-neacutel nagyobb szaacutemokat is fel tudnak mutatni Egy-egy joacutel sikeruumllt rendszert bemutatva keacuterjuumlk meg a oumltletadoacutet hogy jegyezzen le a rendszereacutevel aacuteltalunk megadott szaacutemot vagy a gyerekek fejtseacutek meg mennyit is eacuter neacutehaacuteny az ő rendszereacuteben aacutebraacutezolt szaacutem Olvassaacutek el az 1 feladatlap olvasmaacutenyait majd vaacutelaszoljanak a keacuterdeacutesekre Az olvasmaacutenyok feldolgozaacutesaacutet szakeacutertői mozaik moacutedszereacutevel javasoljuk

1 FELADATLAP

1 A szemelveacutenyek elolvasaacutesa utaacuten vaacutelaszoljatok a keacuterdeacutesekre

A csoport

Az ősember minus keacutezenfekvő moacutedon minus az ujjait hasznaacutelta a szaacutemolaacuteshoz Az ujj latin neve digitus innen szaacutermazik a szaacutemjegy angol neve a digit A nagyobb szaacutemok megjeleniacuteteacuteseacutehez maacuter koumlveket rakosgattak edeacutenyekbe vagy csomoacutekat koumltoumlttek botildercsiacutekokra A kapott eredmeacutenyeket a barlang falaacuteba falapokra vagy csontba faragva roumlgziacutetetteacutek A tuacutel sok kő eacutes csomoacute kezeleacutese persze neheacutezkes volt ezeacutert kitalaacuteltaacutek az aacutetvaacuteltaacutesos szaacutemaacutebraacutezolaacutest Eleinte a hatvanas szaacutemrendszer alakult ki (Mezopotaacutemia) a tizenkettes (angolszaacutesz neacutepek) valamint a tiacutezes (roacutemaiak)

a) Honnan szaacutermazik a szaacutemiacutetaacutestechnikaacuteban alapfogalomnak szaacutemiacutetoacute digit eacutes digitaacutelis

elnevezeacutes Az ujj latin neve digitus innen szaacutermazik a szaacutemjegy angol neve digit Tehaacutet a digitaacutelis szaacutemiacutetoacutegeacutep első tagja az ujjakon toumlrteacutenő szaacutemolaacutesboacutel eredeztethető

b) Mely neacutepek milyen szaacutemrendszert alkalmaztak Eleinte a hatvanas szaacutemrendszer alakult ki (Mezopotaacutemiaacuteban) a tizenkettes (angolszaacutesz neacutepekneacutel) valamint a tiacutezes (roacutemaiaknaacutel) A hatvanas szaacutemrendszer nyomai az idő eacutes szoumlgmeacutereacutes meacuterteacutekegyseacutegeineacutel lelhető fel A tizenkettes reacuteszben az idő reacuteszben bizonyos nyelvekben mutathatoacute ki ahol a szaacutemoknak nem 10-ig hanem 12-ig van kuumlloumln neve (peacuteldaacuteul a neacutemet vagy az angol nyelvben)

Az alapműveletek egyik első ismert eszkoumlze avilaacuteg szinte minden taacutejaacuten 3-4 ezer eacutevekuumlloumlnboumlző formaacuteban feltűnő abakusz voltAlapvaacuteltozataacuteban vaacutegatokba helyezett aproacutekoumlvekből aacutellt A koumlvecske latin neve calculus Innen szaacutermazik a mai kalkulaacutetor szoacute Az abakuszt golyoacutes szaacutemoloacutetaacuteblaacutevaacute toumlkeacuteletesiacutetve a XVI szaacutezadig mint fő szaacutemolaacutest segiacutető eszkoumlzthasznaacuteltaacutek eacutes egyetemeken taniacutetottaacutek a veleveacutegzett szorzaacutest eacutes osztaacutest Az abakuszt neacutemilegmoacutedosiacutetva mind a mai napig hasznaacuteljaacutekOroszorszaacutegban Kiacutenaacuteban eacutes Japaacutenban


c) Milyen ősi de maacuteig is hasznaacutelatos szaacutemoloacuteeszkoumlz segiacutetette a szaacutemolaacutest Az alapműveletek egyik első ismert eszkoumlze a vilaacuteg szinte minden taacutejaacuten 3-4 ezer eacuteve kuumlloumlnboumlző formaacuteban feltűnő abakusz volt Alapvaacuteltozataacuteban vaacutegatokba helyezett aproacute koumlvekből aacutellt A koumlvecske latin neve calculus Innen szaacutermazik a mai kalkulaacutetor szoacute

d) Hol hasznaacutelnak ilyen eszkoumlzoumlket napjainkban is Az abakuszt neacutemileg moacutedosiacutetva mind a mai napig hasznaacuteljaacutek Oroszorszaacutegban Kiacutenaacuteban eacutes Japaacutenban

e) Vaacuteltsaacutetok aacutet a 11 oacutera 11 perc 11 maacutesodpercet maacutesodpercekre 111111 = helliphelliphellip maacutesodperc 11 middot 60 middot 60 + 11 middot 60 + 11 = 40 271 maacutesodperc

f) Vaacuteltsaacutetok aacutet a 11 111 maacutesodpercet oacutera perc maacutesodperc alakra 11 111 maacutesodperc = hellip hellip hellip Hasznaacutelhattok kalkulaacutetort Melyik feladat volt az egyszerűbb 11 111 s = 30511 aminek a kiszaacutemiacutetaacutesa nem is egyszerű de bizonyos szaacutemoloacutegeacutepek ismerik ezt a funkcioacutet Ha ilyennel talaacutelkozunk mutassuk ezt be Az utoacutebbi keacutet szaacutemiacutetaacutes leacutenyegeacuteben aacutetszaacutemiacutetaacutes 60-as szaacutemrendszerből illetve 60-as szaacutemrendszerbe amire keacutesőbbiekben is hivatkozhatunk

B csoport

A szaacutemfogalom kialakulaacutesa a szaacutemlaacutelaacutessal kezdődoumltt Maacuter az őskorban is koumlnnyedeacuten szaacutemon tartotta a juhaacutesz a juhait pedig meacuteg huacuteszig sem tudott szaacutemlaacutelni Hogyan Egyszerűen Reggel amikor az akolboacutel egyenkeacutent engedte ki a juhokat minden juh kiengedeacutesekor egy kavicsot dobott az ajtoacute melletti goumldoumlrbe Este pedig amikor egyeseacutevel engedte be az akolba az aacutellatokat minden juh beengedeacutesekor kivett egy kavicsot a goumldoumlrből Ha az oumlsszes megeacuterkezett

Hazaacutenkban meacuteg a muacutelt szaacutezadban is sok helyuumltt az ivoacuteban beveacutesett rovaacutesokkal tartotta szaacutemon a csapos hogy ki mennyit fogyasztott bdquoSok van maacuter a rovaacutesodonrdquo

a) Hogyan tarthatta szaacutemon a juhaacutesz a nyaacutej szaacutemaacutenak vaacuteltozaacutesaacutet aneacutelkuumll hogy szaacutemszerűen tudta mennyi joacuteszaacutega volt Amikor az akolboacutel egyenkeacutent engedte ki a juhokat minden juh kiengedeacutesekor egy kavicsot dobott az ajtoacute melletti goumldoumlrbe Este pedig amikor egyeseacutevel engedte be az akolba az aacutellatokat minden juh beengedeacutesekor kivett egy kavicsot a goumldoumlrből Ha az oumlsszes megeacuterkezett juh beengedeacutese utaacuten is maradt meacuteg kavics a goumldoumlrben akkor tudta hogy haacuteny elbitangolt juh

juh beengedeacutese utaacuten is maradt meacuteg kavics a goumldoumlrben akkor tudta hogy haacuteny elbitangolt juh kereseacuteseacutere kell indulnia ha pedig a kavicsok hamarabb fogytak el mint a juhok akkor tudta hogy mennyi az aznapi szaporulat A legreacutegibb bdquoszaacutemiacuteraacutessalrdquo az uacutegynevezett rovaacutesfaacutekon talaacutelkozunk Amikor a juhaacutesz aacutetvette a gazdaacutetoacutel a juhnyaacutejat akkor egy paacutelcaacutera veacutesteacutek be vonalakkal (rovaacutesokkal) hogy haacuteny anyajuh eacutes haacuteny kos van a nyaacutejban Majd a rovaacutespaacutelcaacutet hosszaacuteban ketteacutehasiacutetottaacutek az egyik fele maradt a gazdaacutenaacutel a maacutesik fele lett a juhaacuteszeacute Iacutegy utoacutelagos vaacuteltoztataacutesroacutel hamisiacutetaacutesroacutel szoacute sem lehetett Termeacuteszetesen egeacutesz nyaacuteron a juhaacutesz is rovaacutespaacutelcaacutekon tartotta szaacutemon az aacutellomaacutenyt a megszuumllető kisbaacuteraacutenyokat eacutes kuumlloumln rovaacutespaacutelcaacuten az elhullott juhokat Mind a mai napig őrzi ezt az eljaacuteraacutesmoacutedot a nyelvuumlnk bdquoDoumlgrovaacutesra jutottrdquo Ősszel azutaacuten bdquoszaacutemadaacuteskorrdquo nem volt gondja a szaacutemadoacute juhaacutesznak mert az eredeti rovaacutespaacutelca adatai valamint sajaacutet rovaacutespaacutelcaacuteinak adatai alapjaacuten el tudott a gazdaacutenak szaacutemolni a juhokkal s megkaphatta a megszolgaacutelt beacutereacutet


kereseacuteseacutere kell indulnia ha pedig a kavicsok hamarabb fogytak el mint a juhok akkor tudta hogy mennyi volt az aznapi szaporulat

b) Mi volt a szaacutemiacuteraacutes legősibb legkezdetlegesebb moacutedja A legreacutegibb bdquoszaacutemiacuteraacutessalrdquo az uacutegynevezett rovaacutesfaacutekon talaacutelkozunk Amikor a juhaacutesz aacutetvette a gazdaacutetoacutel a juhnyaacutejat akkor egy paacutelcaacutera veacutesteacutek be vonalakkal (rovaacutesokkal) hogy haacuteny anyajuh eacutes haacuteny kos van a nyaacutejban Majd a rovaacutespaacutelcaacutet hosszaacuteban ketteacutehasiacutetottaacutek az egyik fele maradt a gazdaacutenaacutel a maacutesik fele lett a juhaacuteszeacute Iacutegy utoacutelagos vaacuteltoztataacutesroacutel hamisiacutetaacutesroacutel szoacute sem lehetett

c) Honnan ered mire utal a nyelvben meghonosodott bdquoDoumlgrovaacutesra jutottrdquo illetve bdquoSok van maacuter a rovaacutesodonrdquo kifejezeacutes A juhaacutesz kuumlloumln rovaacutespaacutelcaacuten tartotta szaacutemon az elhullott juhokat Mind a mai napig őrzi ezt az eljaacuteraacutesmoacutedot a nyelvuumlnk bdquoDoumlgrovaacutesra jutottrdquo Hazaacutenkban meacuteg a muacutelt szaacutezadban is sok helyuumltt az ivoacuteban beveacutesett rovaacutesokkal tartotta szaacutemon a csapos hogy ki mennyit fogyasztott bdquoSok van maacuter a rovaacutesodonrdquo

d) A koumlznapi eacuteletben hol alkalmazzuk a rovaacutesiacuteraacutesra emleacutekeztető iacuteraacutest Megszaacutemlaacutelaacuteskor gyakran huacutezunk kis fuumlggőleges vonalakat amiket toumlbbnyire oumltoumlseacutevel aacutethuacutezva oumlsszegezhetjuumlk a szaacutemolaacutes eredmeacutenyeacutet Peacuteldaacuteul autoacutepaacutelyaacutekon a forgalomszaacutemlaacutelaacutesakor alkalmazzaacutek

C csoport

Az egyiptomi feliratokon az 1-es szaacutemjegy iacuteraacutesjele a paacutelca s kilencig a megfelelő szaacutemuacute fuumlggőleges vagy viacutezszintes paacutelcaacuteval jeloumllteacutek a szaacutemot A 10-es szaacutemjegy jele a halom (egyesek szerint cipoacute) amiből egymaacutes melleacute akaacuter kilencet is lehet iacuterni A 100-as hieroglifikus jele a kiacutegyoacute (zsinoacuter) az l000-es jele a loacutetuszviraacuteg a 10 000-es jele a naacutedkeacuteve (ujj) a 100 000-es jele az ebihal (menyhal) eacutes az 1 000 000 jele egy feltartott kezű emberalak A szaacutemokat az oumlsszeadaacutesi elvnek megfelelően kell az egyiptomi feliratokon olvasni helyieacuterteacutek neacutelkuumll jobbroacutel balra koumlvetkeznek a mind kisebb eacutes kisebb egyseacutegek amelyek eacuterteacutekeit oumlsszegezve kapjuk a szaacutemot Eacuterdekes hogy maacuter az egyiptomiak is hasznaacuteltaacutek a toumlrtszaacutemokat de csak egyseacutegszaacutemlaacuteloacutejuacute toumlrtekkel (uacutegynevezett toumlrzstoumlrtekkel) dolgoztak Az egyiptomi szaacutemoloacutemesterek mind a neacutegy alapműveletet elveacutegezteacutek de a szorzaacutest eacutes az osztaacutest az oumlsszeadaacutesra igyekeztek visszavezetni A keacutepen leacutevő szaacutem 1997

a) Melyik orszaacutegban alkalmaztaacutek a tiacutezes szaacutemrendszert elsőkeacutent eacutes mekkora szaacutemokat tudtak lejegyezni Egyiptomban maacuter tiacutezes szaacutemrendszer volt hasznaacutelatban (minden valoacutesziacutenűseacuteg szerint azeacutert mert a keacutet kezuumlnkoumln tiacutez jav ujjunk van) eacutes a hieroglifikus szaacutemiacuteraacutes egymillioacuteig volt kidolgozva

b) Soroljaacutetok fel neacutehaacuteny peacuteldaacuteval hogyan jeloumllteacutek az egyiptomiak 10 hatvaacutenyait Alkalmaztaacutek-e a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacutedot Az 1-es szaacutemjegy a paacutelca a 10-es jele a halom (egyesek szerint cipoacute) a 100-as jele a kiacutegyoacute (zsinoacuter) az l000-eseacute a loacutetuszviraacuteg a 10 000-eseacute a naacutedkeacuteve (ujj) a 100 000-es jele az ebihal (menyhal) eacutes az 1 000 000 jele egy feltartott kezű emberalak A szaacutemokat az oumlsszeadaacutesi elvnek

Egyiptomban a faacuteraoacutek koraacuteban is maacuter tiacutezes szaacutemrendszer volt hasznaacutelatban (minden valoacutesziacutenűseacuteg szerint azeacutert mert a keacutet kezuumlnkoumln oumlsszesen tiacutez ujjunk van) eacutes a hieroglifaacutekon alapuloacute szaacutemiacuteraacutes egymillioacuteig volt kidolgozva


megfelelően kell az egyiptomi feliratokon olvasni helyieacuterteacutek neacutelkuumll jobbroacutel balra koumlvetkeznek a mind kisebb eacutes kisebb egyseacutegek amelyek eacuterteacutekeit oumlsszegezve kapjuk a szaacutemot

c) Csak az egeacuteszekkel tudtak szaacutemolni az egyiptomiak Hasznaacuteltaacutek a toumlrtszaacutemokat de csak egyseacutegszaacutemlaacuteloacutejuacute toumlrtekkel frac12 frac14 dolgoztak

d) Iacuterd le oacuteegyiptomi moacutedra a 432 szaacutemot 2 paacutelca 3 halom eacutes 4 kiacutegyoacute jelet tetszőleges sorrendben leiacuterva megkapjuk a keacuterdezett szaacutemot

e) Add oumlssze az első 4 toumlrzstoumlrtet 1 1 1 1 772 3 4 5 60+ + + =

Az egyiptomiak nem tudtaacutek lejegyezni eredmeacutenyt csak az oumlsszegalakot hasznaacuteltaacutek Nekuumlnk nem neheacutez oumlsszegezni ezeket a toumlrteket de a toumlrtek egyseacutegtoumlrtekre bontaacutesa maacuter neheacutez feladat Az egyiptomiak elkeacutepesztő eredmeacutenyeket eacutertek el ezen a teacuteren A legnagyobb nevezőjű toumlrzstoumlrtet a 417 felbontaacutesaacutenaacutel hasznaacuteltaacutek 417 = 15 + 129 + 11233 + 13039345

f) Hogyan lehetne egy toumlrtet peacuteldaacuteul a 710

-et toumlrzstoumlrtek oumlsszegeacutere bontani

7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =

Az ilyen jellegű feladatok megoldaacutesa nem olyan egyszerű ezeacutert tanaacuteri segiacutetseacutegre is szuumlkseacuteg lehet Ne adjuk meg azonban azonnal a megoldaacutest inkaacutebb proacutebaacuteljuk őket raacutevezetni a megoldaacutesra (Szakkoumlri teveacutekenyseacuteghez ajaacutenlhatoacute feladat)

2 A roacutemai eacutes az arab szaacutemok

A szaacutemiacuteraacutes toumlrteacuteneteacutenek fontos fejezeteacutet jelentik a roacutemai szaacutemok Nehezen kezelhető voltuk miatt ma maacuter elhanyagolhatoacute a szerepuumlk de sok helyen felbukkannak sőt bizonyos esetekben szinte csak ezeket hasznaacuteljuk A 2 feladatlap keacuterdeacutesei segiacutetseacutegeacutevel feleleveniacutethetik kiegeacutesziacutethetik ismereteiket ezekről a szaacutemokroacutel Elvaacuterhatoacute hogy a tanuloacutek legalaacutebb 50-ig ki tudjaacutek olvasni a roacutemai szaacutemokat de megismerve a felhasznaacutelt jeleket proacutebaacutelkozhatnak nagyobb szaacutemokkal peacuteldaacuteul eacutevszaacutemok kiolvasaacutesaacuteval Hasznos lehet a roacutemai szaacutemokkal toumlrteacutenő bdquokuumlszkoumldeacutesrdquo a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuted előkeacutesziacuteteacuteseacutere is hogy megeacutertseacutek annak szaacutemtalan előnyeacutet Kiegeacutesziacutető anyagkeacutent olvassaacutek el eacutes oldjaacutek meg a 2 feladatlap feladatait vagy azok egy reacuteszeacutet

2 FELADATLAP Hosszuacute uacutet vezetett Babiloacuteniaacutetoacutel Egyiptomon aacutet a ma megszokott szaacutemiacuteraacutesig Az egyik legelterjedtebb eacutes maacuteig is hasznaacutelt iacuteraacutesmoacutedot a roacutemaiaktoacutel oumlroumlkoumlltuumlk Szinte hihetetlen hogy Euroacutepaacuteban egeacuteszen a XIII szaacutezadig kizaacuteroacutelag ebben a formaacuteban jegyezteacutek le a szaacutemokat Ami meacuteg meghoumlkkentőbb ilyen szaacutemokkal kellett műveleteket veacutegezniuumlk

1 Hol talaacutelkozhatunk ma roacutemai szaacutemokkal Daacutetumok eacutevszaacutemainaacutel (feliratokon) keruumlletek eacutevszaacutezadok koumlnyvek tagolaacutesaacutenaacutel

2 Milyen szimboacutelumokat hasznaacutelunk roacutemai szaacutemiacuteraacutesnaacutel I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000

3 Beszeacutelhetuumlnk-e helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacutedroacutel Helyieacuterteacutekekről nem de a tiacutezes szaacutemrendszer nyomai fellelhetőek


Kiteacuterhetuumlnk a roacutemai szaacutemiacuteraacutes fejlettebb vaacuteltozataira ahol kuumlloumlnboumlző eszkoumlzoumlkkel maacuter nagyobb szaacutemok is lejegyezhetők kezdetleges formaacuteban a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuted is megjelenik de a legfontosabb tennivaloacutenk meacutegis annak eacuterzeacutekelteteacutese hogy mennyivel hasznosabb a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuted

Maga a szaacutemolaacutes kuumlloumln tudomaacuteny volt ezekkel a szaacutemokkal Erről mi magunk is meggyőződhetuumlnk ha oumlsszevetjuumlk a szaacutemolaacutest a mai eacutes a roacutemai szaacutemokkal

4 Iacuterjunk fel neacutehaacuteny szaacutemot roacutemai szaacutemmal Proacutebaacuteljunk meg ebben a formaacuteban műveleteket (peacuteldaacuteul oumlsszeadaacutest szorzaacutest) elveacutegezni 38 + 49 = 87 XXXVIII + IL = LXXXVII 111 middot 44 = 4884 CXI middot XLIV = MMMMDCCCLCCCIV

Mi okozza a neheacutezseacuteget A helyieacuterteacutekek hiaacutenya a szaacutemok lejegyzeacuteseacutenek koumlruumllmeacutenyesseacutege

A helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuteddal igen egyszerű a szaacutemolaacutes miacuteg a roacutemai szaacutemok eseteacuten a leiacutert alak alig ad segiacutetseacuteget a szaacutemolaacuteshoz (Az maacuter az oacutera kereteit meghaladoacute teacutema hogy hogyan tudtak meacutegis meglepően nagy szaacutemokkal nagy pontossaacuteguacute eredmeacutenyekre jutni)

5 Egyeacutertelmű-e a szaacutemok aacutetiacuteraacutesa roacutemai szaacutemmaacute Proacutebaacuteld meg a 498-at aacutetiacuterni roacutemai szaacutemmaacute

Az aacutetiacuteraacutes kuumlloumlnboumlző szabaacutelyok szerint toumlrteacutenhet ennek megfelelően toumlbbfeacutele formaacuteban is helyes eredmeacutenyt kaphatnak Peacuteldaacuteul 498 = CDXCVIII = LDVLIII = XDVIII = VDIII A szaacutemokat nem lehet aacutetiacuterni roacutemai szaacutemokkaacute egyeacutertelműen A lehetseacuteges roumlvidiacuteteacuteseket peacuteldaacuteul a kivonaacutes elveacutet csak keacutesőbb kezdteacutek alkalmazni Az EXCEL programmal kiproacutebaacutelhatjuk hogy ugyanahhoz a szaacutemhoz haacutenyfeacutele roacutemai szaacutem tartozik (Laacutesd az Excel Roacutemai (szaacutem forma) fuumlggveacutenyeacutet) A program mutatja hogy a 999 oumlt kuumlloumlnboumlző moacutedon is aacutetiacuterhatoacute roacutemai szaacutemmaacute 999 CMXCIX LMVLIV XMIX VMIV IM Eacuterdemes felfedezni hogy a roacutemai szaacutemboacutel toumlrteacutenő visszaiacuteraacutes maacuter egyeacutertelmű Termeacuteszetesen nem ceacutelunk az aacutetiacuteraacutes ilyen meacutelyseacutegű taacutergyalaacutesa sokkal inkaacutebb azt eacuterzeacutekeltetjuumlk mennyi előnyt jelent a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuted Emellett kreatiacutevabb tanuloacutek maguk is vaacuteltozatos szaacutemiacuteraacutesi moacutedokat talaacutelhatnak ki eacutes igazolhatjaacutek azok helyesseacutegeacutet

6 Mutassuk meg hogy az alaacutebbi felsorolaacutesban szereplő roacutemai szaacutemok mindegyike 999-t jeloumll 999

CMXCIX LMVLIV XMIX VMIV IM Ennek a feladatnak a megoldaacutesaacuteval bőven elegendő peacuteldaacutet kapnak a tanuloacutek a roacutemai szaacutemok eacutertelmezeacuteseacuteből Egyben azt is megeacutertik hogy a roacutemai forma aacutetiacuteraacutesa maacuter egyeacutertelmű

Arab szaacutemok-e az arab szaacutemok Az euroacutepai kultuacuterkoumlrben de leacutenyegeacuteben vilaacutegszerte hasznaacutelt szaacutemjegyeket arab szaacutemoknak nevezzuumlk pedig ezek a szaacutemok hindu eredetűek A XIII szaacutezad koumlrnyeacutekeacuten arab koumlzvetiacuteteacutessel jutottak el Euroacutepaacuteba Miacuteg Indiaacuteban maacuter a Honfoglalaacutes kora előtt hasznaacuteltaacutek a tiacutezes szaacutemrendszert eacutes a mai szaacutemjegyeket Euroacutepaacuteban meacuteg toumlbb mint 500 eacutevig a roacutemai szaacutemok voltak az uralkodoacutek Eacuterdekes hogy ma pont az arabok nem hasznaacuteljaacutek az bdquoarab szaacutemokatrdquo Neacutezzuumlk meg milyenek is az igazi arab szaacutemok Neheziacuteteacutesuumll egy kicsit oumlsszekevertuumlk a szaacutemjegyeket proacutebaacuteljatok rendet teremteni koumlztuumlk Proacutebaacuteljuk meg kitalaacutelni melyik szaacutemjegy mennyit eacuterhet Termeacuteszetesen lehet tippelni is


١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Termeacuteszetesen a szaacutemjegyek eacuterteacutekeacutenek kitalaacutelaacutesaacutehoz tippelni is kell de azeacutert logikaacutet is talaacutelhatunk benne Az 1 2 3 sorrendje gyaniacutethatoacute a 7-es 8-as is szomszeacutedoknak tűnnek Ha szerencseacutenk van a 9-es az aminek laacutetszikhellip Akik helyesen talaacuteltaacutek ki a sorrendet azokat akkor is jutalmazhatjuk ha most eacuteppen a szerencse is melleacutejuumlk szegődoumltt

Adhatunk a gyerekeknek internetes gyűjtőmunkaacutet maacutes kultuacuteraacutek szaacutemiacuteraacutesaacuteroacutel Kuumlloumlnoumlsen az aacutezsiai koumlzel-keleti vagy afrikai neacutepek hasznaacutelnak egyeacuteni iacuteraacutesjeleket Esetleg peacutenzeacutermeacuteket vagy azok keacutepeit is bemutathatjaacutek Utaacutenajaacuterhatnak hogy ezekneacutel a neacutepekneacutel a szaacutemjegyeken kiacutevuumll van-e maacutes elteacutereacutes is a szaacutemok lejegyzeacuteseacuteneacutel

3 A helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuted

A szaacutemiacuteraacutes helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacutedja annyira keacutezenfekvő hogy nem is tudatosiacutetjuk a nagyszerűseacutegeacutet A moacutedszer pontos megismereacutese sok szempontboacutel fontos a tanuloacutek szaacutemaacutera keacutesőbbi tanulmaacutenyaik megalapozaacutesaacutehoz A 3 feladatlap 3 ndash 18 feladatainak megoldaacutesaacuteval ismeacuteteljeacutek aacutet illetve egeacutesziacutetseacutek ki az ezzel kapcsolatos ismereteiket melyek koumlzuumll a legfontosabbakat a feladatlap elejeacuten oumlsszefoglaltunk

3 FELADATLAP

1 Mi a hasonloacutesaacuteg eacutes mi a kuumlloumlnbseacuteg az oacutekori egyiptomi eacutes a mai szaacutem-iacuteraacutesmoacuted koumlzoumltt Az egyiptomiak maacuter hasznaacuteltaacutek a tiacutezes csoportosiacutetaacutest azaz a tiacutezes szaacutemrendszert de az alaki

eacuterteacutekek hasznaacutelata helyett a helyieacuterteacutekek megsokszorozaacutesaacuteval jeloumllteacutek a szaacutemokat Ha peacuteldaacuteul az egyest E-vel a tiacutezest T-vel a szaacutezast S-sel jeloumllneacutenk akkor 234 helyett a

bdquoSSTTTEEEErdquo alakot hasznaacutelnaacutenk

2 Mit eacutertuumlnk azon hogy a toumlbbjegyű szaacutemok egyes szaacutemjegyeinek alaki eacutes helyieacuterteacuteke is van Minden egyes szaacutemjegy eacuterteacutekeacutet az alakja mellett a szaacutemban elfoglalt helye is befolyaacutesolja

3 Haacutenyfeacutele alaki eacuterteacutekű szaacutemjegyet hasznaacutelunk Mieacutert a 9 a legnagyobb alaki eacuterteacutekű szaacutemjegy (Mieacutert nincs szuumlkseacuteg 10-es szaacutemjegyre Hogyan aacutebraacutezoljuk a 10-et) 10-feacuteleacutet 0 1 2 3 4 9 (0) Tehaacutet a nullaacutet az elejeacuten eacutes a veacutegeacuten is mondhatjuk csak nehogy kimaradjon A tiacutez leiacuteraacutesaacutehoz maacuter nem kell uacutejabb szaacutemjegy hiszen azt a tiacutezes helyieacuterteacutekre iacutert 1-es szaacutemjegy fejezi ki

4 a) Soroljuk fel a 2 416 053 szaacutemban előforduloacute alaki eacuterteacutekeket (szaacutemjegyeket) noumlvekvő

sorrendben 0 1 2 3 4 5 6 Ennek a banaacutelis feladatnak a leacutenyege hogy mindenki szaacutemaacutera tisztaacutezoacutedjon mit is eacutertuumlnk a szaacutemok alaki eacuterteacutekeacuten

b) Soroljuk fel a szaacutemban szereplő helyieacuterteacutekeket noumlvekvő sorrendben 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000


5 a) Soroljuk fel a 31015 szaacutemban előforduloacute alaki eacuterteacutekeket (szaacutemjegyeket) noumlvekvő

sorrendben 0 1 3 5

b) Soroljuk fel a szaacutemban szereplő helyieacuterteacutekeket noumlvekvő sorrendben 11000

1100

110

1

10

6 Iacuterd fel a helyieacuterteacutekeket 10 hatvaacutenyaikeacutent

10 hatvaacutenyai 100 101 102 103eacutes 10 hatvaacutenyainak a reciprokai 3

110

2

110

1

110

100 101

Az egyneacutel kisebb helyieacuterteacutekeket negatiacutev kitevővel is feliacuterhatjuk 10-3 10ndash2 10ndash1 100 101 Azaz tiacutezesek szorzaacutesaacuteval vagy osztaacutesaacuteval feliacuterhatoacute szaacutemok A teacutenyezők szaacutemaacutet a kitevő adja meg (0 eseteacuten a hatvaacuteny eacuterteacuteke 1 a negatiacutev kitevő pedig azt mutatja meg hogy haacutenyszor kell tiacutezzel osztani)

7 Van-e legnagyobb ezek koumlzoumltt a szaacutemok koumlzoumltt Legnagyobb nincs hiszen a kitevő termeacuteszetes szaacutem eacutes azok koumlzt nincs legnagyobb

8 Van-e legkisebb ebben a szaacutemhalmazban Melyik a legkisebb Ha nem hasznaacutelunk negatiacutev egeacutesz kitevőt akkor az 1 lesz a legkisebb hatvaacuteny azaz a legkisebb helyieacuterteacutek Termeacuteszetesen a tizedes toumlrtek kapcsaacuten a helyieacuterteacutekek soraacutet az 1-neacutel kisebbek koumlzt folytatjuk ezek is veacutegtelen sokan vannak eacutes baacuter mindegyik nagyobb nullaacutenaacutel nincsen koumlzoumlttuumlk legkisebb Akaacuter itt is bevezethetjuumlk vagy megerősiacutethetjuumlk a negatiacutev egeacutesz kitevős hatvaacuteny fogalmaacutet

9 Mieacutert a 10 hatvaacutenyait hasznaacuteljuk helyieacuterteacutekeknek Leacutenyegeacuteben oumlnkeacutenyes a vaacutelasztaacutes ősi hindu eacutes egyiptomi eredetű eacutes alapja a keacutez ujjainak szaacutemaacuteboacutel adoacutedhat

10 Hasznaacutelhatnaacutenk-e maacutes alapszaacutemot Igen Matematikai szempontboacutel indokolt lehet egy 12-es szaacutemrendszer aminek megvitataacutesaacutet a nem tiacutezes szaacutemrendszerek kapcsaacuten felvethetjuumlk Akaacuter a keacutesőbbiekben akaacuter most is jelezhetjuumlk hogy az elektronikus szaacutemiacutetoacutegeacutepek műkoumldeacutese a 2-es szaacutemrendszeren alapul (keacutet szaacutemjegy minus aacuteramkoumlr keacutetfeacutele aacutellapota) a 16-os pedig a bitek csoportosiacutetaacutesaacuteboacutel adoacutedik

11 Melyik helyieacuterteacuteken szerepelnek az egyes szaacutemjegyek a mintaacuteul vaacutelasztott 2 416 053 szaacutemban 2 416 053 0 ndash szaacutezas 1 ndash tiacutezezres 2 ndash millioacutes 3 ndash egyes 4 ndash szaacutezezres 5 ndash tiacutezes 6 ndash ezres

12 Előfordulhat-e egy szaacutemjegy toumlbbszoumlr is Termeacuteszetesem baacutermelyik szaacutemjegy tetszőlegesen sokszor fordulhat elő egy szaacutem leiacuteraacutesakor

13 Előfordulhat-e egy helyieacuterteacutek toumlbbszoumlr is Az iacuteraacutesmoacutedboacutel koumlvetkezően egyetlen helyieacuterteacutek sem fordulhat elő toumlbb helyen

14 Melyik szaacutemjegy eacuteri a legtoumlbbet a szaacutemban mieacutert A 2-es mert ő szerepel a szaacutem bal szeacuteleacuten tehaacutet ennek a legnagyobb a helyieacuterteacuteke Iacutegy az őt koumlvető szaacutem mindenkeacuteppen kevesebbet eacuter naacutela meacuteg akkor is ha alaki eacuterteacuteke nagyobb


15 Hogyan kapjuk meg egy-egy szaacutem teacutenyleges ndashmaacutes szoacuteval-valoacutedi eacuterteacutekeacutet Minden szaacutemjegy az alaki eacutes helyieacuterteacutekeacutenek a szorzataacutet eacuteri

16 Mennyit eacuternek az egyes szaacutemjegyek kuumlloumln-kuumlloumln eacutes mennyit egyuumltt A 2 keacutetmillioacutet a 4 neacutegyszaacutezezret az 1 tiacutezezret a 3 haacutermat eacuter Egyuumltt ezeknek a szorzatoknak az oumlsszegeacutet eacuteri a szaacutem

17 Iacuterjuk le a szaacutemot helyieacuterteacutek szerint bontott oumlsszegalakban 2 416 053 = 2 middot 106 + 4 middot 105 + 1 middot 104 + 6 middot103 + 0 middot102 + 5 middot101 3 middot100

31015 = 3 middot 101 + 1 middot 100 + 0 middot 10ndash1 + 1 middot 10ndash2 + 5 middot10ndash3

Emeljuumlk ki az alaki eacuterteacutekeket sziacutenessel vagy alaacutehuacutezaacutessal A helyieacuterteacutekeket hatvaacuteny alakban is iacuterhatjuk

18 Iacuterjuk le a koumlvetkező szaacutemokat is helyieacuterteacutek szerint bontott oumlsszeg alakban Hasznaacuteljuk a hatvaacuteny jeloumlleacutest

1234 = 1 middot 1000 + 2 middot 100 + 3 middot 10 + 4 middot 1 = 1 middot 103 + 2 middot 102 + 3 middot 10 + 4 middot 1

10 203 040 = 10 000 000 + 2 middot 100 000 + 3 middot 1 000 + 4 middot 10 = 107+ 2 middot 105+ 3 middot 103 + 4 middot 10

10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1

23611 = 2 middot 100 + 3 middot 10 + 6 middot 1 + 110

+ 1100

= 2 middot 102 + 3 middot 10 + 6 middot 1 + 10ndash1 + 10ndash2

0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000

= 2 middot 10ndash2 + 5 middot 10ndash3

4 Nem tiacutezes alapuacute szaacutemrendszerek ndash haacutetteacuteranyag

Ennek a teacutemaacutenak a taacutergyalaacutesa reacutegoacuteta vita a matematika taniacutetaacutesaacuteban Ha elfogadjuk hogy a nem tiacutezes szaacutemrendszerek elsősorban nem tovaacutebbi megtaniacutetandoacute (tanulandoacute) tananyag hanem a toumlrzsanyag elmeacutelyiacuteteacuteseacutet szolgaacutelja akkor igen hasznos kiegeacutesziacuteteacutesuumll szolgaacutelhat Toumlbbek koumlzt a szaacutemelmeacuteleti keacuterdeacutesek a polinomok eacutes persze a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuted leacutenyegeacutet alapozhatjuk meg aacuteltaluk A 2-es szaacutemrendszer kuumlloumlnoumlsen a szaacutemiacutetaacutestechnika elterjedeacuteseacutevel kapott gyakorlati szerepet Hogy milyen szinten taniacutetsuk ezt a teacutemakoumlrt azt minden tanaacuter az osztaacutelya keacutepesseacutegeinek oacuteraszaacutemaacutenak ismereteacuteben doumlntheti el Laacutettuk hogy a tiacutezes szaacutemrendszer helyieacuterteacutekeit a 10 hatvaacutenyai alkotjaacutek Azt is tudjuk hogy nem szuumlkseacutegszerű hogy a 10 legyen az alapszaacutem Ha maacutest vaacutelasztunk annak keacutet koumlvetkezmeacutenye lesz 1 A helyieacuterteacutekek ennek az uacutej alapnak a hatvaacutenyai lesznek 2 A felhasznaacutelhatoacute szaacutemjegyek szaacutema megvaacuteltozik Peacuteldaacuteul az 5-oumls szaacutemrendszerben a helyieacuterteacutekek (jobbroacutel balra) 1 5 25 125 lesznek Ez esetben maacuter 5-oumls szaacutemjegyre sem lesz szuumlkseacuteg hiszen az 5-t 1 db oumltoumls eacutes 0 db egyes segiacutetseacutegeacutevel iacuterhatjuk le

A szaacutemrendszereknek kuumlloumlnoumlsen a kettes nyolcas eacutes tizenhatos szaacutemrendszernek kituumlntetett szerepe van az informatikaacuteban Mivel kettes szaacutemrendszerben csak keacutetfeacutele (0 eacutes 1) szaacutemjegyeket hasznaacutelhatunk a szaacutemiacutetoacutegeacutepek szaacutemaacutera ez az iacuteraacutesmoacuted sokkal koumlnnyebben kezelhető mint a tiacutezes szaacutemrendszer Szerencseacutere a szaacutemiacutetaacutesok soraacuten a geacutep veacutegzi mind a tiacutezesből kettesbe mind a kettesből tiacutezesbe toumlrteacutenő aacutetszaacutemiacutetaacutest


A 31-et peacuteldaacuteul kettes szaacutemrendszerben 111112 alakban iacuterhatjuk Koumlnnyen ellenőrizhetjuumlk az eredmeacutenyuumlnket hiszen eleacuteg oumlsszeadnunk a helyieacuterteacutekeket azaz kettő hatvaacutenyait

111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1

Maacutes szaacutemrendszerekből toumlrteacutenő aacutetszaacutemiacutetaacutesnaacutel is a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacutedroacutel tanultakat alkalmazzuk csak a helyieacuterteacutekek maacutes alapszaacutem hatvaacutenyai lesznek

12345 = 1 middot 53 + 2 middot 52 + 3 middot 51 + 4 middot 50 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194

Maacutes szaacutemrendszerekbe toumlrteacutenő aacutetszaacutemiacutetaacutesnaacutel a bdquoleltaacuterozaacutesnakrdquo megfelelő eljaacuteraacutessal szaacutemolunk Az aacutetszaacutemiacutetandoacute szaacutemot az uacutej alappal elosztjuk a maradeacutekot feljegyezzuumlk Az osztaacutes soraacuten kapott haacutenyadost mint osztandoacutet ismeacutet elosztjuk az uacutej alappal eacutes az eljaacuteraacutest addig folytatjuk miacuteg a haacutenyados 0 nem lesz Ekkor a feljegyzett maradeacutekokat fordiacutetott sorrendben egymaacutes utaacuten iacuterva kapjuk a nem tiacutezes szaacutemrendszerbeli alakot Peacuteldaacuteul ha 148-at akarjuk 5-oumls szaacutemrendszerbe aacutetiacuterni akkor a koumlvetkező szaacutemiacutetaacutesokat veacutegezzuumlk

Ne feledjuumlk el a 0 maradeacutekot is beiacuterni a szaacutemba

A 4 feladatlapban szereplő feladatokkal gazdagiacutethatjaacutek a nem tiacutezes szaacutemrendszerekről szerzett ismereteiteket A WINDOWS zsebszaacutemoloacutegeacutepe a DERIVE vagy az EXCEL program is tud nem tiacutezes alapuacute szaacutemrendszerekkel dolgozni

4 FELADATLAP

1 Milyen szaacutemjegyek hasznaacutelhatoacutek a tiacutezestől elteacuterő alapuacute szaacutemrendszerekben Az alapszaacutemnaacutel kisebb szaacutemjegyek tehaacutet pontosan annyifeacutele szaacutemjegy amennyi a szaacutemrendszer alapszaacutema

2 Iacuterjuk le helyieacuterteacutek szerint bontott oumlsszeg alakban az oumltoumls szaacutemrendszerben leiacutert 2434 szaacutemot 24345 = 2 middot 53 + 4 middot 52 + 3 middot 51 + 4 middot 50 Tehaacutet ez esetben is az alaki eacutes a helyieacuterteacutekek szorzatainak oumlsszegekeacutent jelent meg a szaacutem Fontos tisztaacuteznunk hogy a keacutetezer-neacutegyszaacutezharmincneacutegy elnevezeacutes helytelen meacuteg akkor is ha hozzaacutetesszuumlk hogy az oumltoumlsben Hiszen azzal hogy oumltoumls szaacutemrendszerre teacutertuumlnk aacutet eacuteppen az ezresek szaacutezasok stb vesziacutetetteacutek el eacutertelmuumlket

3 Mennyit eacuter tiacutezes szaacutemrendszerben a 24345 szaacutem 24345 = 250 + 100 + 15 + 4 = 369

148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435


4 Hasonliacutetsuk oumlssze a szaacutem paacuterokat eacutes tegyuumlk ki a megfelelő relaacutecioacutejelet aneacutelkuumll hogy aacutetszaacutemiacutetanaacutenk tiacutezes szaacutemrendszerbe (Hasonliacutetsaacutetok oumlssze a jegyek szaacutemaacutet az alaki eacutes a helyieacuterteacutekeket Figyeld meg a legnagyobb helyieacuterteacuteken szereplő szaacutem eacuterteacutekeacutet Hasonliacutetsd oumlssze a szaacutemrendszer alapszaacutemait eacutes a szaacutemjegyeket)

a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119

c) 1114 101 0102 Az a) esetben keacutet neacutegyjegyű szaacutem szerepel de a maacutesodiknaacutel nagyobbak az alaki eacutes a helyieacuterteacutekek is tehaacutet ez a nagyobb A b) esetben a 2-es szaacutemrendszerbeli szaacutem legnagyobb helyieacuterteacuteke 32 azaz a szaacutem biztosan kisebb mint 64 mert az maacuter heacutetjegyű lenne A maacutesik szaacutem ugyancsak haacuteromjegyű de a legnagyobb helyieacuterteacutek 81 (92) iacutegy ez lesz a nagyobb A c) feladatban az 1-es szaacutemjegyek ugyanazon a helyieacuterteacuteken szerepelnek hiszen a 2 hatvaacutenyai koumlzt ott vannak minden maacutesodik helyen a 4 hatvaacutenyai

5 Iacuterd aacutet kettes szaacutemrendszerbe a 100-at Nem tiacutezes szaacutemrendszerbe keacutetfeacutele uacuteton juthatunk Az egyik a joacutel ismert osztaacutesos algoritmus ami leacutenyegeacuteben maacuter az alsoacuteboacutel megismert bdquoleltaacuterozaacutesnakrdquo a matematikai megfelelője Baacuter nem egyszerűbb de szemleacuteletesebb ha ehelyett feliacuterjuk a megfelelő szaacutemrendszer helyieacuterteacutekeit eacutes megproacutebaacuteljuk oumlsszerakni belőluumlk az aacutetszaacutemiacutetandoacute szaacutemot 100 =1 middot 64 + 36 36 = 1middot32 + 4 4 = 0 middot16 + 4 4 = 0 middot8 + 4 4 = 1 middot 4 + 0 tehaacutet a 100-at 1-1 db 64-es 32-es eacutes 4-es segiacutetseacutegeacutevel iacuterhatjuk fel 100 = 11001002 Termeacuteszetesen dolgozhatunk a leltaacuterozaacutesnaacutel megismert moacutedszerrel azaz az alapszaacutemmal toumlrteacutenő osztogataacutessal majd a maradeacutekok lejegyzeacuteseacutevel is 100 2 = 50 m 0 50 2 = 25 m 0 25 2 = 12 m 1 12 2 = 6 m 0 6 2 = 3 m 0 3 2 = 1 m 1 1 2 = 0 m 1 a maradeacutekok fordiacutetott sorrend szerint 11001002

6 Melyik szaacutemrendszerben lehet a 100 alakja 400 A legegyszerűbb megoldaacutes a hiaacutenyos maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa lehet 4x2 = 100 amiből adoacutedik a megoldaacutes x = 5 termeacuteszetesen maacutesfajta proacutebaacutelkozaacutesok is szaacutemba joumlhetnek

7 Modellezzuumlk a szaacutemoloacutegeacutep műkoumldeacuteseacutet Szaacutemiacutetsuk aacutet a tagokat (teacutenyezőket) 2-es szaacutemrendszerbe veacutegezzuumlk el a keacutet szaacutem oumlsszeadaacutesaacutet oumlsszeszorzaacutesaacutet Az eredmeacutenyeket szaacutemiacutetsuk vissza tiacutezesbe eacutes ellenőrizzuumlk 25 = 1 1 0 0 12 25 middot 26 = 650 + 26 = 1 1 0 1 02 1 1 0 0 12 middot 1 1 0 1 02 = 1 010 001 0102 51 = 1 1 0 0 1 12


A nem tiacutezes szaacutemrendszer kapcsaacuten szaacutemtalanfeacutele feladat megoldaacutesa kiacutenaacutelkozik az aacutetszaacutemiacutetaacutesok nagysaacuteg szerinti rendezeacutesek műveletveacutegzeacutesek mellett peacuteldaacuteul az oszthatoacutesaacutegi szabaacutelyok aacuteltalaacutenosiacutetaacutesaacutet is kiproacutebaacutelhatjuk de ezek maacuter meghaladjaacutek az idő eacutes a tanterv adta kereteket Szaacutemelmeacuteleti oacuteraacutekon azonban eacuterdemes a joacutel ismert szabaacutelyokat (szaacutemveacutegződeacutes szaacutemjegyek oumlsszege) maacutes szaacutemrendszerekre kiproacutebaacutelni hiszen ezzel erősiacutethetjuumlk meg a tanult szabaacutelyok helyesseacutegeacutet

5 Ugyanannak a szaacutemnak kuumlloumlnboumlző iacuteraacutesmoacutedjai oumlsszeg szorzat normaacutelalak hatvaacuteny maacutes szaacutemrendszer

Nagyon fontos reacutesz semmikeacuteppen se hagyjuk ki Az algebra tanulaacutesaacuteban sokat segiacutet ha maacuter a szaacutemok koumlreacuteben megszokjaacutek hogy egy egy szaacutemnak sok kuumlloumlnfeacutele alakja van amelyek egymaacutessal szuumlkseacuteg szerint kicsereacutelhetők amelyekből szabadon vaacutelogathatunk Emellett ebben a reacuteszben sok fontos fogalmat gyakorolunk meacutelyiacutetuumlnk A koumlvetkezőkben neacutehaacuteny szaacutem vizsgaacutelataacuteval megneacutezzuumlk hogy egy szaacutemot milyen sokfeacutele alakban iacuterhatunk fel Ezek a kuumlloumlnboumlző alakok mind ugyanazt a szaacutemot jelentik de az iacuteraacutesmoacutedok maacutes eacutes maacutes szaacutemtulajdonsaacutegokra vilaacutegiacutetanak raacute A vaacuteltozatos teveacutekenyseacutegek a matematikai ismeretek szeacuteles skaacutelaacutejaacutet mozgoacutesiacutetjaacutek a kifejezeacutesek felismereacuteseacutetől a nagysaacutegrendek tudatosiacutetaacutesaacuten aacutet a szaacutemelmeacuteletig lehetőseacuteget adva a logikus gondolkodaacutes fejleszteacuteseacutere ismeretek elmeacutelyiacuteteacuteseacutere

5 FELADATLAP

1 A koumlvetkező neacutehaacuteny szaacutemot iacuterjaacutetok le szaacutemjegyekkel Szaacutezhuszonneacutegyezer keacutetezer-egy hatezer-oumltszaacutez heacutetmillioacute-haacuteromszaacutezoumltvenheacutetezer heacutetmillioacute-haacuteromszaacutezoumltvenheacutet ezerhuszonneacutegy hatszaacutezmilliaacuterd 124 000 2001 6500 7 357 000 7 000 357 1024 600 000 000 000

a) Hogyan jegyezted le a szaacutemokat Helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuteddal

b) Haacuteny jegyű szaacutemokat kaptaacutel

c) Haacuteny nullaacutera veacutegződnek a szaacutemok A szaacutemok leiacuteraacutesaacutehoz keacutezenfekvő moacutedon a tiacutezes szaacutemrendszer szerinti alakot hasznaacuteljuk A szaacutemjegyek eacutes a szaacutemveacutegi nullaacutek meghataacuterozaacutesa a keacutesőbbi keacuterdeacutesek megvaacutelaszolaacutesaacutehoz segiacutet

d) Lehetett volna kevesebb jellel is leiacuterni valamelyik szaacutemot Neacutehaacuteny esetben a szaacutemok kevesebb jellel is leiacuterhatoacutek Peacuteldaacuteul a 2001 roacutemai szaacutemmal MMI tehaacutet csak 3 karakter az 1024-neacutel roumlvidebb alak a hatvaacutenyjeloumlleacutes 210 A legtoumlbbet a 600 milliaacuterd normaacutelalakjaacuteval lehet roumlvidiacuteteni 6middot1011 Laacutethatoacute tehaacutet hogy nem felteacutetlenuumll a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuted adja a legroumlvidebb leiacuteraacutesi moacutedot Hasznaacuteljuk ezt ki a koumlvetkező feladatban


e) A fenti szaacutemokat maacutes alakban is feliacutertuk Iacuterd mindegyik melleacute az előző szaacutemok koumlzuumll a megfelelőt

Nemcsak a megfelelő szaacutemok beiacuteraacutesa a feladat hanem mindegyikhez indoklaacutest is keacuterjuumlnk Eacuterdemes neacutehaacuteny eacuteszreveacutetelt tenni A 2 middot 4 middot 8 middot 16 szorzat kizaacuteroacutelag 2 hatvaacutenyboacutel aacutell Egyeduumll az 1024 ilyen tulajdonsaacuteguacute szaacutem Tovaacutebb bontva szorzatkeacutent (vagy alkalmazva az azonos alapuacute hatvaacutenyok szorzataacutera vonatkozoacute azonossaacutegot) a 2middot(2middot2)middot(2middot2middot2)middot(2middot2middot2middot2) = 210 alakhoz jutva igazolhatjuk sejteacutesuumlnket A 11 111 010 0012 kettes szaacutemrendszerbeli szaacutem 11 jegyű tehaacutet a legnagyobb helyieacuterteacuteke 210 = 1024 Ilyen nagysaacutegrendű szaacutem csak a 2001 Ellenőrizzuumlk a megfelelő helyieacuterteacutekek oumlsszeadaacutesaacuteval A 25 middot 53 middot 31 szorzat eredmeacutenye 3 nullaacutera (2middot5middot2middot5middot2middot5middot)middot2middot2middot31 a 6 middot (2middot5) middot (2middot5) middotmiddot (2middot5) pedig 11 nullaacutera veacutegződik

f) A kifejezeacutesek koumlzuumll melyik oumlsszeg melyik szorzat Oumlsszegek 7 000 000 + 350 + 7 7 middot 106 + 3 middot 105 + 5 middot 104 + 7 middot 103 Szorzatok 2middot4middot8middot16 25middot53middot31 6middot2middot5middot2middot5middot2middot5middot2middot5middot2middot5middot2middot5middot2middot5middot2middot5middot2middot5middot2middot5middot2middot5 65middot103 A csak oumlsszeadaacutesboacutel illetve szorzaacutesboacutel aacutelloacute kifejezeacutesekneacutel egyeacutertelműen oumlsszeg illetve szorzat a vaacutelasz A priacutemteacutenyezős felbontaacutest hatvaacutenyok szorzataacutenak a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacutedot pedig szorzatok oumlsszegeacutenek tekintjuumlk A szorzatok koumlzuumll azokat nevezzuumlk priacutemteacutenyezős felbontaacutesnak melyekben kizaacuteroacutelag priacutemteacutenyezők szerepelnek A normaacutelalak is szorzat melynek teacutenyezőire fogalmazzuk meg a vonatkozoacute szabaacutelyt

g) Iacuterd fel az 1024 szaacutemot mineacutel toumlbbfeacutele alakban ndash tiacutezes szaacutemrendszerbeli helyieacuterteacutekes bontaacutesban normaacutelalakban priacutemteacutenyezős alakban stb

103 + 2 middot 101 + 4 middot 100 1024 middot 103 210

h) Melyik szorzat tekinthető normaacutelalaknak 1024 middot 103

kifejezeacutes szaacutem 7 000 000 + 350 + 7 7 000 357

2 middot 4 middot 8 middot 16 102425 middot 53 middot 31 124 000

7middot106 + 3middot105 + 5middot104 + 7middot103 7 357 0006 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 middot 2 middot 5 600 000 000 000

65middot103 6500111110100012 2001


6 Műveletek kuumlloumlnboumlző alakban iacutert szaacutemokkal optimaacutelis alak kivaacutelasztaacutesa

6 FELADATLAP

1 Ugyanazt a keacutet szaacutemot megadtuk toumlbbfeacutele alakban is A keacutet szaacutemroacutel keacuterdeacuteseket iacutertunk Melyik aacutelliacutetaacutesra melyik alak alapjaacuten koumlnnyű vaacutelaszolni A = 64 middot 103 = 6 middot 103 + 4 middot 102 = 28 middot 53 eacutes B = 16 middot 103 = 103 + 6 middot 102 = 26 middot 53

a) Melyik nagyobb A vagy B Ebben az esetben mindegyik alak segiacutet Az A nagyobb

b) A middot B = A priacutemteacutenyezős szorzatalak alapjaacuten a legkoumlnnyebb vaacutelaszolni 214 middot 56

c) A B = A priacutemteacutenyezős szorzatalak eacutes (ebben az esetben) a normaacutelalak alapjaacuten koumlnnyű vaacutelaszolni (64 middot 103) (16 middot 103) = 4 vagy (28 middot 53) (26 middot 53) = 22 = 4

d) Haacuteny szaacutezas szerepel A-ban Az oumlsszegalak segiacutet 4

e) A + B = A normaacutelalakot vagy az oumlsszeg alakot ceacutelszerű vaacutelasztani (64 middot 103) + (16 middot 103) = (64 + 16) middot 103 = 8 middot 103 = 8 000 vagy 7 ezres + 10 szaacutezas = 8 ezres

f) (A + B ) oszthatoacute-e 25-tel Ebben az esetben mindegyik alakboacutel koumlnnyen kiolvashatoacute hogy a szaacutem oszthatoacute 100-zal ezeacutert 25-tel is A feladattal ceacutelunk raacutemutatni arra hogy a szaacutemok kuumlloumlnboumlző alakjaiboacutel a szaacutem milyen tulajdonsaacutegai olvashatoacutek ki koumlnnyen illetve melyik alakjaacuteval ceacutelszerű szaacutemolni kuumlloumlnboumlző keacuterdeacutesek megvaacutelaszolaacutesakor Egyuacutettal egyszerű műveleteket is veacutegzuumlnk a kuumlloumlnboumlző alakban iacutert szaacutemokkal A tovaacutebbi eacuterdekes probleacutemaacutekboacutel tanuloacuteink keacutepesseacutegei szerint vaacutelogassunk Laacutettuk hogy ugyanaz a szaacutem toumlbbfeacutele formaacuteban is feliacuterhatoacute eacutes hogy a kuumlloumlnboumlző alakok maacutes-maacutes keacuterdeacutesek megvaacutelaszolaacutesaacuteban segiacutethetnek A normaacutelalak kuumlloumlnoumlsen sok mindenre hasznaacutelhatoacute Laacutessunk erre neacutehaacuteny peacuteldaacutet

A teacuteli eacutejszakaacutek ragyogoacute csillagaacuteroacutel a Sziacuteriuszroacutel az olvashatjuk hogy mintegy 9 feacutenyeacutevnyi taacutevolsaacutegra van Haacuteny km-re lehet ez az eacutegitest ha tudjuk hogy a feacuteny 1 maacutesodperc alatt 300 000 km-t tesz meg eacutes 1 feacutenyeacutev az a taacutevolsaacuteg amit a feacuteny 1 eacutev alatt megtesz

Az eredmeacutenyt a koumlvetkező szorzat adja 60 middot 60 middot 24 middot 365 middot 9 middot 300 000 (km)

Mit jelentenek az egyes teacutenyezők

A szorzat kiszaacutemiacutetaacutesaacutehoz eacuterdemes fejszaacutemolaacutessal eacutes normaacutel alakkal dolgozni 60 middot 60 = 3 600 = 36 middot 103 24 middot 365 asymp 25 middot 4 middot 90 = 9 000 = 9 middot 103 9 middot 300 000 = 2 700 000 = 27 middot 106

A szorzat normaacutel alakokkal tehaacutet 36 middot 103 middot 9 middot 103 middot 27 middot 106 = 36 middot 9 middot 27 middot 103 middot 103 middot 106 asymp 3 middot 27 middot 103+3+6 = 81 middot 1012 = 81 middot 1013

(Ha pontosan szaacutemoltunk volna 85 middot 1013 km-t kaptunk volna) Eacuterdemes veacutegigkoumlvetni a szaacutemolaacutest mert talaacutelkozhatunk benne szaacutemiacutetaacutest koumlnnyiacutető eljaacuteraacutessal (24 middot 365 asymp 25 middot 4 middot 90) a kerekiacuteteacutes szabaacutelyaacutenak kijaacutetszaacutesaacuteval (36 asymp 3) hogy a koraacutebbi felfeleacute kerekiacuteteacutest ezzel korrigaacuteljuk A leacutenyeg hogy veacuteguumll is kalkulaacutetor neacutelkuumll is megkaphattuk az elfogadhatoacute pontossaacuteguacute eredmeacutenyt (sőt a legtoumlbb kalkulaacutetor nem is tudna a kapott 14 jegyű szaacutemmal megbirkoacutezni)


2 A koumlvetkező feladatok eredmeacutenyeacutet az adatok normaacutel alakra toumlrteacutent aacutetszaacutemiacutetaacutesa utaacuten kerekiacuteteacutessel hataacuterozzaacutetok meg

a) A Foumlldtől legtaacutevolabbra jutott ember alkotta eszkoumlzt a Voyager-1 űrszondaacutet 1977 szeptember 5-eacuten bocsaacutetottak fel Haacuteny km-re jutott el ha 1 oacutera alatt 61 690 km-t tesz meg Haacutenyszor van taacutevolabb mint a Nap ha koumlzponti csillagunk 150 millioacute km-re van tőluumlnk Az eltelt napok szaacutema (2006 szeptembereacuteben) 29 (eacutev) middot 365 a keresett szorzat tehaacutet 29 middot 365 middot 24 middot 61 690 = 15 671 727 600 km Normaacutel alakkal eacutes kerekiacutetve 3 middot 10 middot 4 middot 102 middot 2 middot 10 middot 6 middot 104 = 144 middot 108 = 144 middot 1010 km asymp 15 middot 1010 km = 15 milliaacuterd km A FoumlldndashNap taacutevolsaacuteg 150 millioacute km azaz 15 middot 108 km ezeacutert a keresett haacutenyados (15 middot 1010) (15 middot 108) = 102 = 100 Vagyis az űrszonda 100-szor van messzebb mint a Nap (50-szer tehette volna meg a FoumlldndashNap taacutevolsaacutegot oda-vissza)

b) A mai ismereteink szerint a Vilaacutegegyetem 900 milliaacuterd galaxisboacutel aacutell eacutes egy ilyen galaxisban (mint amilyen a mi Tejuacutetrendszeruumlnk is) aacutetlagosan 200 milliaacuterd csillag van Haacuteny csillag van az eacutegen 9 middot 108 middot 2 middot 108 asymp 2 middot 1017 = 200 billiaacuterd csillag van az eacutegen Ezeknek csak egy toumlredeacutekeacutet alig 3000-t laacutethatunk szabad szemmel ndash Haacutenyadreacutesze ez az oumlsszes csillagnak (18 middot 1016) (3 middot 103) = 6 middot 1013 = 60 middot 1012 = 60 billiomod reacuteszeacutet laacutetjuk csak a csillagoknak

c) Mennyi a Foumlld eacutes a Hold oumlssztoumlmege ha a Foumlld toumlmege 5 970 000 000 000 000 000 000 tonna miacuteg a Holdeacute 74 000 000 000 000 000 000 t Normaacutel alakban eacutes kerekiacutetve a 6 middot 1021 eacutes a szaacutemokat kellene oumlsszeadni Vigyaacutezni kell mert itt nem segiacutet igazaacuten a normaacutel alak hiszen a 6 eacutes a 74 nem azonos nagysaacutegrendekhez tartoznak

5 970 000 000 000 000 000 000 = 5970 trillioacute 74 000 000 000 000 000 000 = 74 trillioacute 6044 trillioacute tonna

Normaacutelalakkal 597 middot 1021 + 74 middot 1019 = 5970 middot 1018 + 74 middot1018 = (5970 + 74)middot1018 = 6044 trillioacute

7 Szaacutemok nagysaacuteg szerinti rendezeacutese kuumlloumlnboumlző alakokban

7 FELADATLAP Vizsgaacuteljuk meg hogy mely formaacuteban adott szaacutemokat koumlnnyű nagysaacuteg szerint oumlsszehasonliacutetani rendezni

1 Aacutelliacutetsd noumlvekvő sorrendbe a koumlvetkező szaacutemokat MD CCX XCV CXCV XXXVIII CXXVI 1500 210 95 195 38 126 A helyes sorrend XXXVIII XCV CXXVI CXCV CCX MD Meacuteg a roacutemai szaacutemokat magabiztosan ismerők szaacutemaacutera sem egyszerű a feladat Termeacuteszetesen a megoldaacuteshoz elvezető legbiztosabb uacutet ha aacutetiacuterjuk helyieacuterteacutekes alakra a szaacutemokat A feladat elsősorban a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuted előnyeacutet illusztraacutelja a rendezeacutes tereacuten is


2 Az A-val vagy a B-vel jeloumllt szaacutem a nagyobb A = 47264738465325347568 vagy B = 921374657483746746

A = 47 264 738 465 325 347 568 vagy B = 921 374 657 483 746 746 (utoacutebbi kicsit nagyobb betűkoumlzzel iacuterandoacute iacutegy nem laacutetszik hogy kevesebb szaacutemjegyből aacutell) A legceacutelszerűbb megoldaacutes a szaacutemjegyek oumlsszeszaacutemolaacutesa A B szaacutem ritkiacutetott leiacuteraacutesa miatt raacuteneacutezeacutesre nem laacutethatoacute hogy kevesebb szaacutemjegyből aacutell Ha alkalmazzuk a szaacutemjegyek haacutermas csoportosiacutetaacutesaacutet akkor ki is olvashatjuk a szaacutemokat (47 trillioacutehellip eacutes 921 milliaacuterdhellip) Feluumlletes raacutetekinteacutesre kuumlloumlnoumlsen elteacuterő betűmeacuteret vagy betűkoumlz eseteacuten azonban teacutevedhetuumlnk (enneacutel a feladatnaacutel az a leacutenyeg hogy megeacutertsuumlk a normaacutelalakban toumlrteacutent lejegyzeacutes előnyeacutet a nagysaacutegrend megaacutellapiacutetaacutesaacutenaacutel)

a) Iacuterjuk aacutet A-t eacutes B-t normaacutelalakba keacutet eacuterteacutekes jegyre kerekiacutetve majd hasonliacutetsuk oumlssze a normaacutelalakban lejegyzett szaacutemokat Kerekiacutetve majd normaacutelalakba iacuterva a szaacutemokat koumlnnyen oumlsszehasonliacutethatjuk őket A asymp 47 middot 1019 B asymp 92 middot 1017 amire nyilvaacuten teljesuumll az A gt B relaacutecioacute

b) Haacutenyszorosa megkoumlzeliacutetőleg a nagyobb szaacutem a kisebbnek Ha A-t 470 middot 1017-alakban iacuterjuk miacuteg B-t tovaacutebbra is 92 middot 1017ndashnek kerekiacutetjuumlk akkor laacutethatoacute hogy az araacuteny koumlruumllbeluumll 470 92 = 50-szeres

3 Aacutelliacutetsd noumlvekvő sorrendbe a normaacutelalakban megadott szaacutemokat 317 middot 109 97 middot 107 7 middot 1013 316 middot 1010 3097 middot 109 Előszoumlr a kitevők szerint rendezuumlnk ha ezek koumlzt azonosak vannak akkor az első teacutenyezőt vetjuumlk oumlssze

97middot107 lt 3097 middot 109 lt 317 middot 109 lt 316 middot 1010 lt 7 middot 1013

4 Aacutelliacutetsd noumlvekvő sorrendbe a koumlvetkező szaacutemokat 725 middot 108 797 middot 107 127 middot 106 016 middot 109 1111 middot 106 A feladat kitűzeacuteseacutet az indokolja hogy az előző megoldaacutesaacutet ne alkalmazzaacutek mechanikusan Az itt felsorolt szaacutemok ugyanis nem normaacutelalakban vannak megadva tehaacutet az előzőhoumlz keacutepest neacutemi korrekcioacutera szorulnak 725 middot 108 = 725 middot 1010 797 middot 107 = 797middot 108 127 middot 106 = 127 middot 108 016 middot 109 = 16 middot 108 Előszoumlr 1111 middot 106 = 1111 middot 109 ennek megfelelően a nagysaacuteg szerinti rendezeacutes eredmeacutenye 127 middot 108 lt 16 middot 108 lt 797 middot 108 lt 1111 middot 109 lt 725 middot 1010 II A termeacuteszetes szaacutemok

1 A termeacuteszetes szaacutemok fogalma

A modulnak ebben az oacuteraacutejaacuteban neacutehaacuteny keacuterdeacutes megvaacutelaszolaacutesaacuteval felideacutezzuumlk a termeacuteszetes szaacutemokroacutel tanultakat mely szaacutemok alkotjaacutek ezt a szaacutemhalmazt mely műveletekre zaacutert eacutes mely műveletek mely esetben vezetnek ki a halmazboacutel Nyitott mondatok eacutes szoumlveges feladatok megoldaacutesait keressuumlk a termeacuteszetes szaacutemok koumlreacuteben szoumlveges feladatokat az adatok moacutedosiacutetaacutesaacuteval tesszuumlk megoldhatoacutevaacute a termeacuteszetes szaacutemok koumlreacuteben


8 FELADATLAP

1 Mely szaacutemok tartoznak a termeacuteszetes szaacutemok koumlzeacute pozitiacutev egeacuteszek eacutes a nulla

2 Van-e a termeacuteszetes szaacutemok koumlzt legkisebb legnagyobb Haacuteny 100-naacutel 1000-neacutel kisebb termeacuteszetes szaacutem van Haacuteny termeacuteszetes szaacutem van a 100 eacutes az 1000 koumlzoumltt Haacuteny 4-jegyű termeacuteszetes szaacutem van Legkisebb a nulla legnagyobb nincs Az n lt 100 egyenlőtlenseacutegnek 100 az n lt 1000 egyenlőtlenseacutegnek 1000 az n lt N egyenlőtlenseacutegnek N megoldaacutesa van a termeacuteszetes szaacutemok koumlreacuteben A 100 lt n lt 1000 egyenlőtlenseacutegnek 899 megoldaacutesa van Az N1 lt n lt N2 egyenlőtlenseacutegnek N2 ndash N1 ndash 1 megoldaacutesa van

2 Mely műveletekre zaacutert a termeacuteszetes szaacutemkoumlr

3 a) Milyen termeacuteszetes szaacutemot iacuterhatunk a betűk helyeacutere hogy a művelet eredmeacutenye biztosan

termeacuteszetes szaacutem legyen a baacutermilyen termeacuteszetes szaacutem b 50-neacutel nem nagyobb szaacutem c tetszőleges termeacuteszetes szaacutem d 50 osztoacuteja

b) Haacutenyfeacutele eacuterteacuteket adhatunk a-nak b-nek c-nek eacutes d-nek hogy a felteacutetel teljesuumlljoumln 50 + a 50 ndash b 50 middot c 50 d

a eacutes c veacutegtelen sokfeacutele lehet b 51-feacutele () d veacuteges (1 2 5 10 25 50 azaz 6-feacutele)

4 Milyen termeacuteszetes szaacutemot iacuterjunk az a b c d helyeacutere hogy a művelet eredmeacutenye ne termeacuteszetes szaacutem legyen

a) 6 + a 6 ndash b 6 middot c 6 d Nincs ilyen a szaacutem b gt 6 nincs ilyen c szaacutem d ne legyen a 6 osztoacuteja

b) N + a N ndash b N middot c N d (N valamilyen termeacuteszetes szaacutemot jeloumll) nincs ilyen a szaacutem b gt N nincs ilyen c szaacutem d ne legyen N osztoacuteja A koumlvetkező feladatot csoportmunkaacuteban veacutegezzeacutek el

5 A koumlvetkező feladatok mindegyikeacutehez vaacutelasszaacutetok ki a hozzaacuteillő nyitott mondatot majd keresseacutetek meg azok megoldaacutesaacutet Keress megoldaacutest az egyenletekhez Gondold meg hogy a kapott megoldaacutes elfogadhatoacute-e a szoumlveges feladat megoldaacutesakeacutent Indokolj

a) Egy haacuterom kocsiboacutel aacutelloacute villamoson oumlsszesen 120-an utaztak az első kocsiban 65-en a maacutesodikban 75-en Haacuteny utas volt a harmadik kocsiban

b) Egy hordoacuteban 120 liter bor volt melyből előszoumlr 65 majd 75 litert fejtettek aacutet egy-egy kisebb hordoacuteba Haacuteny liter bor maradt az eredeti hordoacuteban

c) A Holdon a napsuumltoumltte talaj hőmeacuterseacuteklete 120 fok volt A naplemente utaacuten 1 oacuteraacuteval 65 fokkal csoumlkkent a hőmeacuterseacuteklet uacutejabb egy oacutera eltelteacutevel tovaacutebbi 75 fokkal Haacuteny fokos lett a Hold felsziacutene ezen a helyen 2 oacuteraacuteval a naplemente utaacuten


d) Az Alfoumlldnek 120 m tengerszint feletti magassaacutegban leacutevő pontjaacuteboacutel fuacuteraacutest veacutegeznek Első nap 65 maacutesodik nap tovaacutebbi 75 m-t haladtak lefeleacute Milyen magassaacutegban aacutellt ekkor a fuacuteroacute feje

120 ndash 65 ndash 75 = x 120 + (ndash65) + (ndash75) = x x = 120 ndash (65 + 75) 65 + 75 + x = 120 A neacutegy nyitott mondat ugyan ekvivalens de meacutegsem ugyanazt fejezik ki Egy feladathoz toumlbb nyitott mondatot is taacutersiacutethatunk a leacutenyeg az hogy valamennyi megoldaacutesakeacutent adoacutedoacute ndash20 eacutertelmezhető-e Az első keacutet feladat tartalmaacuteboacutel adoacutedoacutean nem hiszen egy villamoson nem utazhat ndash20 utas eacutes a hordoacuteban sem maradhat ndash20 liter bor de mind a ndash20degC mint a tengerszinthez viszonyiacutetott ndash20 m eacutertelmezhető

6 Vaacuteltoztassaacutetok meg az előző feladat szoumlvegeacuteben szereplő adatokat uacutegy hogy mindegyiknek legyen megoldaacutesa Peacuteldaacuteul ha a szoumlveges feladatokban szereplő első adat nem kisebb 140-neacutel akkor mindegyik feladatnak lesz megoldaacutesa

3 Mely műveletek vezetnek ki eacutes milyen felteacutetelekkel a termeacuteszetes szaacutemkoumlrből

7 Iacuterjaacutetok fel a feladatokat nyitott mondatokkal Keressetek megoldaacutest Indokoljaacutetok meg mieacutert nem lehet termeacuteszetes szaacutemmal igazzaacute tenni egyiket sem Pontosan azokat az eseteket vesszuumlk sorra amikor egy nyitott mondatnak nincs megoldaacutesa a termeacuteszetes szaacutemok koumlreacuteben

a) Melyik szaacutemot kell hozzaacuteadni a 10-hez hogy 2-t kapjunk 10 + a = 2 a = ndash8 (negatiacutev egeacutesz) b) Melyik szaacutemmal kell megszorozni a 10-et hogy 2-t kapjunk

10 middot b = 2 b = 02 vagy 15 (toumlrt szaacutem)

c) Melyik szaacutemot kell megszoroznunk oumlnmagaacuteval hogy ndash1-et kapjunk c middot c = ndash1 (nem valoacutes)

A megoldaacutes komplex szaacutemokhoz vezetne de ezuacutettal eleacuteg annyit felfedeztetnuumlnk hogy a szorzaacutes tulajdonsaacutegaacuteboacutel adoacutedoacutean c nem lehet sem pozitiacutev sem negatiacutev (sem 0) tehaacutet a szaacutemegyenesen nincs ilyen szaacutem Azt oacutevatosan hozzaacutetehetjuumlk hogy a szaacutemkoumlr bőviacuteteacuteseacutevel ilyen szaacutemokra is sor keruumllhet

d) Melyik szaacutemot kell megszoroznunk oumlnmagaacuteval hogy az eredmeacuteny 10 legyen d middot d = 10 (irracionaacutelis)

d asymp 316 Termeacuteszetesen a gyoumlkvonaacutesroacutel itt sem beszeacuteluumlnk a 316-hoz proacutebaacutelgataacutessal jussanak eacutes hangsuacutelyozzuk hogy ez csak koumlzeliacutető eacuterteacutek amit szaacutemolaacutessal eacuterdemes ellenőrizni Ha valaki kiacutevaacutencsi a pontos eacuterteacutekre annak egyreacuteszt oumlruumlljuumlnk maacutesreacuteszt intsuumlk tuumlrelemre roumlvidesen kitekintuumlnk erre a műveletre is


4 Szoumlveges feladatok feliacuteraacutesa nyitott mondatokkal a megoldaacutesok eacutertelmezeacutese

8 Vaacutelasszaacutetok ki a 4 nyitott mondat koumlzuumll azt amelyik megfelel a szoumlveges feladatnak majd keresseacutetek meg a megoldaacutesaacutet is Eacutertelmezhetőek-e a kapott megoldaacutesok a szoumlveges feladok megoldaacutesakeacutent

F + 2 middot F + 4 middot F = 25 F + (F ndash 2) + (F + 2) = 25 F + (F + 2) + ( F + 4) = 25 F + (F ndash 2) + (F ndash 4) = 25

a) Egy 25-oumls leacutetszaacutemuacute osztaacutelyt haacuterom nyelvi csoportra osztottak Angolt 2-vel neacutemetet 4-gyel kevesebben tanuljaacutek mint a franciaacutet Haacutenyan tanuljaacutek az egyes nyelveket ha mindenki pontosan egy nyelvet tanul F + (F ndash 2) + (F ndash 4) = 25 3F ndash 6 = 25 3F = 31 Tehaacutet nincs megoldaacutes mert a gyerekek szaacutema nem lehet toumlrt

b) 25 fuumlzetet uacutegy kell elhelyezni haacuterom fioacutekban hogy az alsoacuteban kettővel a koumlzeacutepsőben neacuteggyel toumlbb legyen mint a legfelsőben Haacuteny fuumlzet legyen az egyes fioacutekokban F + (F + 2) + (F + 4) = 25 3F + 6 = 25 3F = 19 Tehaacutet nincs megoldaacutes mert a fuumlzetek szaacutema nem lehet toumlrt

c) Egy 25 km-es taacutevot 3 reacuteszletben futottunk veacutegig A maacutesodik oacuteraacuteban keacutetszer a harmadikban pedig neacutegyszer annyit futottunk mint az elsőben Mekkora taacutevot teljesiacutetettuumlnk az első a maacutesodik illetve a harmadik oacuteraacuteban F + 2 middot F + 4 middot F = 25 7F = 25

F = 257

(km)

d) Egy 25 hektaacuteros erdőben haacuteromfeacutele fa van A toumllgyes teruumllete keacutet hektaacuterral nagyobb a buumlkkoumlseacute pedig keacutet hektaacuterral kisebb mint a fenyveseacute Mekkora az egyes fafajtaacutekra jutoacute teruumllet F + (F ndash 2) + (F ndash 4) = 25 3F = 25

F = 253

(ha)

9 Vaacuteltoztassaacutetok meg az előző feladatban szereplő szoumlvegek mindegyikeacuteben szereplő 25-oumls szaacutemot olyanra hogy mindegyiknek legyen megoldaacutesa 21 vagy 42 Ezuacutettal az egyenletek nem ekvivalensek de iacutegy is egy feladathoz toumlbb is rendelhető A leacutenyeg most is annak eacuteszreveacutetele hogy a tanuloacutek vagy a fuumlzetek szaacutema nem lehet toumlrt miacuteg taacutevolsaacuteg vagy teruumllet eseteacuten eacutertelmezhető a toumlrtszaacutem mint megoldaacutes A 25 helyeacutere keruumllő szaacutem az egyenletek megoldaacutesa szerint 3 eacutes 7 koumlzoumls toumlbbszoumlroumlse kell hogy legyen tehaacutet 21 vagy 42 elfogadhatoacute eacutes kiproacutebaacutelandoacute eacuterteacutek


10 A koumlvetkező feladatoknaacutel gondoljaacutetok meg lehet-e a faacutek szaacutema illetve egy telek oldalaacutenak hossza toumlrt szaacutem

a) Haacuteny sorba helyezzuumlnk el 100 faacutet egy neacutegyzet alakuacute telken ha minden sorban eacutes oszlopban ugyanannyi faacutet akarunk elhelyezni A faacutekat 10 middot 10-es sorokba lehet rendezni A megoldaacuteshoz a gyoumlkvonaacutes vezet el de erre legfeljebb utalunk (mint koraacutebban a hatvaacutenyozaacutes inverz művelete kapcsaacuten) Valoacutejaacuteban keressuumlk azt a nem negatiacutev egeacutesz szaacutemot ami oumlnmagaacuteval megszorozva 100-at ad eacutes ennek megtalaacutelaacutesa a tanuloacuteknak sem okoz gondot

b) Haacuteny sor legyen ha 50 faacutet szeretneacutenk uumlltetni az előző felteacutetelek szerint Az egeacutesz szaacutemok koumlreacuteben nincs megoldaacutesa a feladatnak Az 50 fa esete becsapoacutes valoacutesziacutenűleg toumlbben feleannyi sorral illetve oszloppal oldanaacutek meg a feladatot ami csak akkor gond ha ellenőrzeacutessel nem veszik eacuteszre hogy ez a megoldaacutes nem joacute Miutaacuten proacutebaacutelgataacutessal raacutejoumlnnek hogy az egeacutesz szaacutemok koumlreacuteben nincs megoldaacutesa a feladatnak oumlsszevetjuumlk a koumlvetkező feladattal Mindkeacutet esetben olyan szaacutemot keresuumlnk mely oumlnmagaacuteval megszorozva 50-et ad

c) Mekkora egy 50 m2-es telek egy oldalaacutenak a hossza Az egeacutesz szaacutemok koumlreacuteben nincs megoldaacutesa a feladatnak Neacutegyzet eseteacuten toumlbbfeacutele moacutedon is megkoumlzeliacutethetik a megoldaacutest Az egyik leglaacutetvaacutenyosabb ha Cabri geometria programmal neacutegyzetet szerkesztenek kiiacuteratva oldalaacutet eacutes teruumlleteacutet majd egyik csuacutecsaacutet megragadva addig mozgatjuk azt miacuteg teruumllete 50 egyseacutegnyi nem lesz Ekkor leolvassuk az oldal hosszaacutet ami eacutertelemszerűen 7-neacutel valamivel nagyobb lesz Feladatunk ezuacutettal meacuteg nem az hogy raacutevilaacutegiacutetsunk a szaacutem irracionaacutelis voltaacutera hanem csak annyi hogy leacutetezik a feladatnak megfelelő szaacutem Azt azonban maacuter most is hangsuacutelyozni kell hogy a kapott eacuterteacutek nem pontos tehaacutet koumlzeliacutető eacuterteacutek Felkeacuteszuumlltebb tanuloacutek koumlzt persze lehet hogy lesz aki azonnal előveszi a zsebszaacutemoloacutegeacutepeacutet eacutes gyoumlkoumlt vonva az 50-ből pontosabb eacuterteacuteket ad Engedjuumlk meg hogy bemutassa eredmeacutenyeacutet de tisztaacutezzuk hogy az ő eredmeacutenye sem a pontos eacuterteacutek


Az alapműveletek gyakorlaacutesaacutet a termeacuteszetes szaacutemokkal kezdjuumlk jaacuteteacutekos eacuterdekes feladatok kapcsaacuten nemcsak a műveletveacutegzeacutes gyakorlaacutesa de egyeacuteb kitekinteacutesek eacuterdekeacuteben is Hasznaacuteljuk ki a feladatok adta lehetőseacutegeket csoport munkaacutek szervezeacuteseacutere is

9 FELADATLAP Az alapműveletek gyakorlaacutesaacutet a termeacuteszetes szaacutemokkal kezdjuumlk Elsősorban sorozatok kapcsaacuten nyiacutelik alkalmatok szaacutemolni de egyben gondolkodni is Lehet fejben is szaacutemolni iacuteraacutesban is de keressetek lehetőseacutegeket amelyekkel megkoumlnnyiacutetitek a szaacutemolaacutest

1 Az itt laacutethatoacute Pascal-haacuteromszoumlgben koumlnnyen felismerhető szabaacutely szerint helyezkednek el a szaacutemok Megtalaacutelhatjaacutetok benne a termeacuteszetes szaacutemok sorozataacutet is Iacuterjaacutetok be a hiaacutenyzoacute szaacutemokat a sejtekbe eacutes ellenőrizzeacutetek az utolsoacute sorral hogy joacutel dolgoztatok-e Adjaacutetok oumlssze az egy sorban leacutevő szaacutemokat Hogy meacuteg mennyifeacutele eacuterdekesseacuteg van benne elrejtve annak felfedezeacutese raacutetok vaacuter


A tovaacutebbiakban is termeacuteszetes szaacutemokboacutel keacutepezuumlnk kuumlloumlnboumlző sorozatokat Megvizsgaacuteljuk a sorozatban szereplő szaacutemok tulajdonsaacutegait megproacutebaacuteljuk feliacuterni azokat valamilyen szabaacutellyal

2 Szaacutemoljatok fejben 13-toacutel 5-oumlseacutevel a keacutetjegyű szaacutemok koumlreacuteben Mi lesz az utolsoacute tag 13 18 23 28 33 38 43 48 53 58 63 68 73 78 83 88 93 98 Lesz-e a sorozat tagjai koumlzt

a) toumlrtszaacutem b) negatiacutev szaacutem c) 5-nek toumlbbszoumlroumlse d) 10-nek hatvaacutenya

a)-d) a sorozat keacutepzeacutesi szabaacutelya eacutes a műveleti tulajdonsaacutegok miatt nem e) 8-cal oszthatoacute szaacutem Nem kizaacutert a 88 ilyen eacutes persze lenneacutenek tovaacutebbiak is a 3- 4- stb

jegyű tagok koumlzoumltt f) 6-nak hatvaacutenya Nem lesz mert a 6 hatvaacutenyai 6-ra veacutegződnek miacuteg a sorozat tagjai 3-ra

illetve 8-ra g) Mire veacutegződik a legnagyobb haacuteromjegyű neacutegyjegyű szaacutem A 10 hatvaacutenyt megelőző

szaacutemveacutegződeacutesek mindig 8-asok lesznek

3 Fejben szaacutemoljatok de iacuteraacutesban jegyezzeacutetek le a tagokat Folytassaacutetok a sorozatot az utolsoacute tag duplaacutezaacutesaacuteval Legyen a kiindulaacutesi szaacutem

a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760

e) Van-e olyan szaacutem amelyik toumlbb sorozatban is előfordul


Figyeljuumlk meg a sorozat tagjainak szaacutemveacutegződeacuteseacutet A d) sorozat minden tagja 1 nullaacutera veacutegződik a b) sorozat tagjai az első 3-at leszaacutemiacutetva 3 nullaacutera A maacutesik keacutet sorozatnak nem lesz nullaacutera veacutegződő tagja Mivel a c) sorozat tagjai 3-nak toumlbbszoumlroumlsei miacuteg az a) sorozat egyik tagja sem tartalmazhat 3-as priacutemteacutenyezőt ezeacutert nem lesz olyan szaacutem ami toumlbb sorozatban előfordul Legalaacutebb olyan fontos felismerni hogy milyen kapcsolat van az első kettő eacutes a maacutesodik keacutet sorozat tagjai koumlzt hiszen szembetűnő hogy a b) sorozatban az a) sorozat tagjainak ezerszeresei a d) sorozatban pedig a c) sorozat tagjainak tiacutezszeresei jelennek meg

f) Haacutenyszorosa baacutermely tag a kettővel haacuterommal előtte leacutevőnek 4- illetve 8-szorosa hiszen ismeacutetelt duplaacutezaacutesokkal kaptuk

g) Hogyan lehet koumlnnyen 2 hatvaacutenyaival szorozni osztani fejben Ismeacutetelt duplaacutezaacutesokkal felezeacutesekkel Esetleg kiteacuterhetuumlnk az egyiptomiak szorzaacutesi moacutedszereacutere

4 Indulj ki a 33-boacutel A koumlvetkező tag legyen az előző 100-szorosa Nevezd meg a sorozat első 6 tagjaacutet Milyen iacuteraacutesmoacuteddal lehetne koumlnnyen eacutes keveacutes szaacutemjegy felhasznaacutelaacutesaacuteval az első 10 tagot leiacuterni 33 3300 330 000 33 000 000 3 300 000 000 330 000 000 000 azaz 33 middot 101 33 middot 103 33 middot 105 33 middot 107 33 middot 109 33 middot 1011 tehaacutet a normaacutelalak nyuacutejtja a legegyszerűbb iacuteraacutesmoacutedot

6 A Collatz-probleacutema taacutergyalaacutesa a termeacuteszetes szaacutemok koumlreacuteben

5 A koumlvetkező feladatban toumlbb sorozatot is elindiacutetunk de mindegyikre ugyanazt a szabaacutelyt alkalmaztuk Fedezd fel a szabaacutelyt majd folytasd a sorozatokat

a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1

Alkalmazzaacutetok a folyamataacutebraacuten feltuumlntetett eljaacuteraacutest a 28 29 30hellip kezdőszaacutemokkal eacutes folytassaacutetok a sorozatot Mit figyelhettek meg Matematikusok felteacutetelezik hogy baacutermely pozitiacutev egeacutesztől indulva előbb-utoacutebb eljutunk az 1-hez Aki egy szeacutep hosszuacute sorozatra kiacutevaacutencsi proacutebaacutelkozzon a 27 31 41 47 54 55 62 63 kezdőszaacutemok valamelyikeacutevel de nem aacutert ha tud programot iacuterni hozzaacute vagy legalaacutebbis zsebszaacutemoloacutegeacuteppel is segiacuteti munkaacutejaacutet

N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem

Szorozd meg 3-mal eacutes adj hozzaacute 1-et

igen

Adj meg egy pozitiacutev egeacutesz szaacutemot (N)


A peacuteldaacutek egy szaacutemtalan eacuterdekesseacuteget felvonultatoacute rekurzioacutes sorozatot mutatnak meg A szabaacutely felismereacutese talaacuten nem olyan egyszerű Amit elsőre is megfigyelhetnek a tanuloacutek az az hogy itt toumlbbfeacutele szabaacutely is megmutatkozik hiszen a szaacutemok egy reacutesze feleződik miacuteg maacutesik reacuteszuumlkkel valami maacutes toumlrteacutenik Ha alaposabban szemuumlgyre veszik a szaacutemokat hamar felfedezik hogy a paacuteros tagok feleződnek A paacuteratlan tagok pedig ugyanazon eljaacuteraacutessal mindig paacuterossaacute alakulnak A szabaacutely szorozd meg 3-mal majd adj hozzaacute 1-et Maga a sorozat is innen kapta a neveacutet (3N+1) de emlegetik Collatz-probleacutemakeacutent is A leacutenyege kideruumll a tovaacutebbi peacuteldaacutekboacutel miszerint baacutermely pozitiacutev egeacutesszel indiacutetott sorozat előbb-utoacutebb eleacuteri az 1-et (ahonnan 4 2 1 4 2 1-keacutent ismeacutetlődik) Eacuterdemes a sorozattal eljaacutetszani mert a fejszaacutemolaacuteson tuacutel sok eacuterdekesseacuteget fedezhetnek fel a tanuloacutek ndash Olyan sorozat melynek mindig bdquoveacutegerdquo van amennyiben 1-hez eacuterve aacutellandoacute ciklusba keruumlluumlnk ndash Paacuteratlan szaacutemot mindig paacuteros koumlvet tehaacutet a 3N + 1 eljaacuteraacutes utaacuten mindig felezeacutes koumlvetkezik ndash Kettő hatvaacutenyboacutel indulva aacutellandoacute felezeacutessel jutunk az 1-hez ndash Az 1-ig szinte megjoacutesolhatatlan hosszuacutesaacuteguacute sorozatok vezetnek kiveacuteve termeacuteszetesen a 2 hatvaacutenyaival indiacutetott sorozatok ndash Egymaacutes melletti szaacutemok sokszor azonos hosszuacutesaacuteguacute sorozatot indiacutetanak de ezek elteacuterő utakat jaacuterhatnak be Ha a tanuloacutek eleacutegseacuteges informatikai ismeretekkel rendelkeznek peacuteldaacuteul a felteacuteteles utasiacutetaacutesok tereacuten akkor akaacuter Excelben is keacutesziacutethetnek programot mely elkeacutesziacuteti a sorozatot Ez esetben eacuterdemes lejegyezni haacuteny leacutepeacutes alatt jutottunk el egy szaacutemtoacutel az 1-ig vagy hogy melyik volt a sorozat soraacuten eleacutert maximaacutelis szaacutem Tanulsaacutegos eacutes egyben versenyfeladatnak is joacute ha a 28 29 30 szaacutemtoacutel indiacutetjuk a sorozatot (akaacuter fejszaacutemoltataacutessal akaacuter le is jegyezhetik a tagokat) Valamennyi sorozatnak 19 tagja lesz 28 14 7 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 29 88 44 22 11 34 17 52 26 13 40 20 10 5 16 8 4 2 1 30 15 46 23 70 35 106 53 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

A sorozatokat iacuterjuk fel a taacuteblaacutera egy sorba legalaacutebb addig amiacuteg kuumlloumlnboumlznek a tagok Eacuterdemes megfigyelni a keacutet alsoacute sorozat viselkedeacuteseacutet hiszen toumlbbszoumlr keruumllnek egymaacutes koumlzeleacutebe de azutaacuten elvaacutelnak egymaacutestoacutel eacutes csak a 40-től koumlzoumls az uacutetjuk Hasonloacute eacuterdekesseacutegek sokkal nagyobb szaacutemoknaacutel meacuteg feltűnőbbek A 27 az első kellemetlen szaacutem mert hosszas fel-le ugraacutelaacutes utaacuten csak 112 tagkeacutent keruumll elő az 1 eacutes ekoumlzben maximaacutelis eacuterteacutekkeacutent 9232-ig jut el a sorozat Ilyen raacutezoacutes kezdőszaacutemok meacuteg a 31 41 47 54 55 62 63hellip Ami izgalmassaacute teheti a probleacutemaacutet hogy meacuteg nem bizonyiacutetott az aacutelliacutetaacutes miszerint minden kezdőszaacutem előbb-utoacutebb eljut az 1-hez Ugyanezen az oacuteraacuten lehetőseacuteg van tovaacutebbi figuraacutelis szaacutemok felfedezeacuteseacutere is Az aacutebraacutek alapjaacuten iacuterjaacutek fel a sorozatok neacutehaacuteny tagjaacutet Folytathatoacute a sorozat kuumlloumlnbseacutegi sorozatok segiacutetseacutegeacutevel is hiszen azok mind szaacutemtani sorozatok lesznek Elszaacutentabbaknak megmutathatjuk a sorozatot generaacuteloacute keacutepletet is melybe a termeacuteszetes szaacutemokat helyettesiacutetve megkapjuk a sorozat tagjait Ez is joacute alkalmat ad a szaacutemolaacutesi keacuteszseacuteg fejleszteacuteseacutere a helyettesiacuteteacutesi eacuterteacutek fogalmaacutet is meacutelyiacutethetjuumlk aacuteltala


7 Szaacutemolaacutesi gyakorlatok

10 FELADATLAP A koumlvetkező feladatokkal a fejszaacutemolaacutest eacutes iacuteraacutesbeli szaacutemolaacutest gyakorolhatjaacutetok

1 Ezeket a feladatokat fejben proacutebaacuteljaacutetok kiszaacutemolni a) 10 ndash 9 + 8 ndash 7 + 6 ndash 5 + 4 ndash 3 + 2 ndash 1 = 5 (kuumlloumlnbseacutegeket zaacuteroacutejelezhetjuumlk) b) 100 ndash 99 + 98 ndash 97 + 96 ndash ndash 3 + 2 ndash 1 = 50 (kuumlloumlnbseacutegeket zaacuteroacutejelezhetjuumlk) c) (10 middot 9 middot 8 middot 7 middot 6 middot 5 middot 4 middot 3 middot 2) (5 middot 6 middot 7 middot 8 middot 9 ) = 240 (egyszerűsiacuteteacutes utaacuten) d) 1000 ndash 25 middot 8 + 37 middot (45 ndash 15 middot 3) = 800 (zaacuteroacutejeles kifejezeacutes eacuterteacuteke 0)

2 Ezeket a feladatokat iacuteraacutesban szaacutemiacutetsd ki (sajaacutetos eredmeacutenyeket adoacute feladatok koumlnnyű ellenőrizni eacutes motivaacuteloacute is lehet)

a) 18 693 + 222 222 + 6 178 839 + 1 234 567 = 7 654 321 b) 654 321 + 456 790 + 123 456 = 1 234 567 c) 3 688 214 ndash 2 453 647 = 1 234 567 d) 9 526 969 ndash 1 872 648 = 8 654 321 e) 1 279 463 ndash 723 908 = 555 555 f) 617 middot 40 = 24 680 g) 367 middot 37 = 13 579 h) 402 859 middot 19 = 7 654 321 i) 9721middot127 = 1 234 567 j) 172 205 31= 5555 k) 96 252 78= 1234 l) 298 845 29 = 10 305

Az eddigi feladatokban termeacuteszetes szaacutemok szerepeltek Foglaljuk oumlssze a legfontosabb ismereteket ezekről a szaacutemokroacutel

OumlSSZEGZEacuteS

A termeacuteszetes szaacutemokhoz dolgok megszaacutemlaacutelaacutesaacuteval juthatunk el Megaacutellapodaacutes szerint a 0-t is termeacuteszetes szaacutemnak tekintjuumlk A termeacuteszetes szaacutemok jele N Baacutermely keacutet termeacuteszetes szaacutemot oumlsszeadva vagy oumlsszeszorozva mindig termeacuteszetes szaacutemot kapunk

A kivonaacutes eacutes osztaacutes elveacutegezhetőseacutegeacutehez bőviacutetenuumlnk kell a termeacuteszetes szaacutemok halmazaacutet

III Az egeacutesz szaacutemok A termeacuteszetes szaacutemok halmazaacuteboacutel kileacutepve az egeacutesz szaacutemok koumlreacuteben folytatjuk a szaacutemolaacutest Itt maacuter fontos feleleveniacuteteni olyan szabaacutelyokat melyek a negatiacutev szaacutemok megjeleneacuteseacutevel keruumlltek bevezeteacutesre Nagyon fontos időt szaacutenni a toumlbbtaguacute oumlsszegek oumlsszevonaacutesaacutera ennek egyenletmegoldaacutesnaacutel nagy szerepe lesz Ugyancsak elmeacutelyiacutetendő a szorzatok kiszaacutemiacutetaacutesa doumlntően az előjel megaacutellapiacutetaacutesa amit a hatvaacutenyozaacutessal is meacutelyiacutethetuumlnk Alkalmazzuk a szabaacutelyok megfogalmazaacutesaacutenaacutel a bdquohogyan szaacutemoltaacutelhelliprdquo keacuterdeacutesek megvaacutelaszolaacutesaacutenaacutel az ellentett eacutes az abszoluacutet eacuterteacutek fogalmakat


1 Kivonaacutessal a negatiacutev szaacutemok vilaacutegaacuteba

Laacutettuk hogy a kivonaacutessal kijutunk a termeacuteszetes szaacutemok koumlreacuteből Hogy ne kelljen korlaacutetokat szabni ennek a műveletnek kibőviacutetjuumlk a termeacuteszetes szaacutemok halmazaacutet a negatiacutev egeacutesz szaacutemokkal A pozitiacutev eacutes negatiacutev szaacutemokat előjeluumlk segiacutetseacutegeacutevel kuumlloumlnboumlztethetjuumlk meg Az előjelet csak negatiacutev szaacutemoknaacutel kell kitenni de pozitiacutev szaacutemok eseteacuten is hasznaacutelhatjuk kuumlloumlnoumlsen ha hangsuacutelyozni kiacutevaacutenjuk pozitiacutev előjeleacutet Gyakran halljuk olvassuk ezt teacuteli időszakokban amikor a hőmeacuterseacutekletet előjeles szaacutemmal adjaacutek meg Nyaacuterra ez feleslegesseacute vaacutelik

Milyen teruumlleteken hasznaacuteljaacutek napjainkban a negatiacutev szaacutemokat Sorolj fel neacutehaacutenyat eacutes azt is tedd hozzaacute milyen nagysaacuteguacuteak ezek a szaacutemok Peacuteldaacuteul Hőmeacuterseacuteklet ennek van alsoacute hataacutera ndash273deg ami eacuterdeklődeacutest eacutes eacutertetlenseacuteget vaacutelthat ki Tengerszinthez viszonyiacutetott magassaacuteg a Mariana-aacuterokeacute ndash11 033 m (ezt tenger boriacutetja) a Holt-tengernek pedig a felsziacutene van ndash397 m-en Egy orszaacuteg koumlltseacutegveteacutese amely negatiacutev eacuterteacutek eseteacuten azt jelenti hogy az orszaacuteg abban az eacutevben toumlbbet koumlltoumltt mint amennyit megtermelt Kereshetnek aktuaacutelis eacuterteacutekeket

Milyen mennyiseacutegek nem vehetnek fel negatiacutev eacuterteacutekeket Peacuteldaacuteul egy halmaz elemeinek szaacutema vagy a toumlmeg de mindenkeacuteppen emliacutetsuumlk meg a hosszuacutesaacutegot (abszoluacutet eacuterteacutek kapcsaacuten kuumlloumlnoumlsen fontos) a teruumlletet vagy a teacuterfogatot A tananyag elsősorban az előző eacutevekben megszerzett ismeretek feleleveniacuteteacuteseacutet elmeacutelyiacuteteacuteseacutet szolgaacutelja de uacutej szempont hogy a termeacuteszetes szaacutemok vizsgaacutelataacutehoz hasonloacutean azt is vizsgaacuteljuk mely műveletekre zaacutert illetve mely művelet vezet ki a halmazboacutel

2 Szaacutemok ellentettje szaacutemok abszoluacutet eacuterteacuteke

11 FELADATLAP Eleveniacutetsuumlnk fel keacutet koraacutebban tanult fogalmat

1 Figyeljeacutetek meg a koumlvetkező szaacutem paacuterokat (5 ndash5) (20 ndash20) (ndash11 11) (a ndasha) a) Milyen művelettel kaphatod meg az első szaacutemboacutel a maacutesodikat minus1-gyel valoacute szorzaacutessal b) Milyen művelettel kaphatod meg a maacutesodikboacutel az elsőt minus1-gyel valoacute szorzaacutessal c) Mennyi lesz ezeknek a szaacutem paacuteroknak az oumlsszege 0

A negatiacutev szaacutemok meglehetősen keacutesőn kaptak szerepet a matematikusok koumlzt Csak a koumlzeacutepkor veacutege feleacute a XIIminusXV szaacutezadban kezdteacutek hasznaacutelni ezeket mint hiaacutenyt jelentő szaacutemokat Az 1500-as eacutevek legnagyobb matematikusai Cardano Stifel nem leacutetező (fiktiacutev) vagy abszurd szaacutemoknak nevezteacutek de 100 eacutevvel keacutesőbb meacuteg Descartes (ejtsd Deacutekaacuter) is a hamis jelzővel illette a negatiacutev szaacutemokat Eacuterdekes hogy ezer eacutevvel koraacutebban az indiai matematikusok maacuter hasznaacuteltaacutek a negatiacutev szaacutemokat eacutes minden műveletet elveacutegeztek veluumlk Euroacutepaacuteban egy ideig bdquoprdquo eacutes bdquonrdquo betűkkel kuumlloumlnboumlztetteacutek meg a pozitiacutev eacutes negatiacutev szaacutemokat a + eacutes ndash előjelek is csak az 1500-as eacutevekben terjedtek el


d) Van-e paacuterja a 0-nak Mi lesz a paacuterja A 0 paacuterja a 0 e) Hogyan nevezzuumlk ezeket a szaacutem paacuterokat Ellentett szaacutem paacuterok f) Mi lesz baacutermely szaacutem ellentettjeacutenek az ellentettje Igazold az előzőek alapjaacuten Maga a szaacutem

Az a) b) keacuterdeacutesre maacutes vaacutelasz is lehet joacute peacuteldaacuteul eacuteszrevehetik hogy a szaacutem ellentettjeacutet uacutegy is megkaphatjuk ha kivonjuk belőle a szaacutem keacutetszereseacutet Felfedezhetik a tanuloacuteink hogy a szaacutemegyenesen a 0-ra valoacute tuumlkroumlzeacutessel is megkaphatjaacutek egy szaacutem ellentettjeacutet Az is helyes ha azt mondjaacutek hogy a szaacutem eleacute tett negatiacutev előjel is az ellentettjeacutehez vezet Az f) keacuterdeacutesre a fentiekből baacutermelyiket alkalmazhatjuk bizonyiacutetaacuteskeacutent

2 Milyen koumlzoumls tulajdonsaacutega van a 25 ndash 15 eacutes a 15 ndash 25 kivonaacutesok eredmeacutenyeacutenek 25 ndash 15 = +10 15 ndash 25 = ndash10 A keacutet eredmeacuteny csak az előjeleacuteben teacuter el A keacutet eredmeacuteny a szaacutemegyenesen egyenlő taacutevolsaacutegra helyezkedik el a nullaacutetoacutel

TUDNIVALOacute

Keacutet szaacutemot egymaacutes ellentettjeacutenek nevezzuumlk ha csak előjeluumlkben teacuternek el egymaacutestoacutel Egy szaacutem ellentettjeacutet ndash1-gyel valoacute szorzaacutessal is megkaphatjuk A szaacutemegyenesen a 0-toacutel egyenlő taacutevolsaacutegra talaacutelhatoacute szaacutemok egymaacutes ellentettjei Ellentett szaacutemok oumlsszege 0

3 Mely szaacutemok talaacutelhatoacutek a szaacutemegyenesen a 0-toacutel 25 12 1 0 illetve ndash1 egyseacutegnyire 25 egyseacutegre 25 eacutes ndash25 12 egyseacutegre 12 eacutes ndash12 1 egyseacutegre 1 eacutes ndash10 egyseacutegre csak a 0 ndash1 egyseacutegre ilyen szaacutem nincs mert a taacutevolsaacuteg nem lehet negatiacutev szaacutem

4 Sorold fel azokat az egeacutesz szaacutemokat melyek 5 egyseacutegneacutel koumlzelebb vannak a 0-hoz -4 ndash3 ndash2 ndash1 0 1 2 3 4

5 Haacuteny olyan egeacutesz szaacutem van amelynek taacutevolsaacutega legfeljebb 10 egyseacuteg a 0-toacutel 21 ilyen szaacutem van plusmn10 plusmn9 plusmn1 0

6 Sziacutenezd ki a szaacutemegyenesen azokat a szaacutemokat melyek a 0-toacutel legalaacutebb 4 de kevesebb mint 8 egyseacutegre vannak

7 Fogalmazd aacutet a 3-6 feladatok szoumlvegeacutet uacutegy hogy az abszoluacutet eacuterteacutek fogalmaacutet is felhasznaacutelod Mely szaacutemok abszoluacutet eacuterteacuteke 25 12 1 0 illetve ndash1 Sorold fel azokat az egeacutesz szaacutemokat melyek abszoluacutet eacuterteacuteke kisebb mint 5 Haacuteny olyan egeacutesz szaacutem van amelynek abszoluacutet eacuterteacuteke legfeljebb (nem nagyobb mint) 10 Sziacutenezd ki a szaacutemegyenesen azokat a szaacutemokat melyek abszoluacutet eacuterteacuteke legalaacutebb 4 de kisebb mint 8

8 Iacuterj fel nyitott mondatokat melyek megoldaacutesait (vagy azok szaacutemaacutet) a 3 - 6 feladatok adjaacutek x= 25 x= 12 x= 1 x= 0 x= ndash1 xlt 5 xle 10 4 lexlt 8

ndash15 ndash10 ndash5 0 5 10 15


TUDNIVALOacute

Egy szaacutem abszoluacutet eacuterteacutekeacuten a szaacutemegyenesen a nullaacutetoacutel valoacute taacutevolsaacutegaacutet eacutertjuumlk Egy szaacutem abszoluacutet eacuterteacuteke negatiacutev szaacutem eseteacuten a szaacutem ellentettje egyeacutebkeacutent oumlnmaga Egy szaacutem vagy kifejezeacutes (x) abszoluacutet eacuterteacutekeacutenek jele x


12 FELADATLAP

1 Az abszoluacutet eacuterteacutek eacutes az elletett fogalmak ismereteacuteben vaacutelaszolj a keacuterdeacutesekre a) Haacuteny olyan szaacutem van aminek az ellentettje 100 1 a ndash100 b) Haacuteny olyan szaacutem van aminek az abszoluacutet eacuterteacuteke 100 2 a 100 eacutes a ndash100 c) Haacuteny olyan szaacutem van aminek az ellentettje ndash100 1 a 100 d) Haacuteny olyan szaacutem van aminek az abszoluacutet eacuterteacuteke ndash100 nincs e) Mely szaacutemok nagyobbak az ellentettjuumlkneacutel a pozitiacutevak f) Mely szaacutemok kisebbek az abszoluacutet eacuterteacutekuumlkneacutel a negatiacutevak g) Melyik szaacutem nagyobb 12-vel az ellentettjeacuteneacutel 6 h) Melyik szaacutem kisebb 8-cal az abszoluacutet eacuterteacutekeacuteneacutel ndash4

2 Mi lehetett a szaacutem ha a) hozzaacuteadtam az abszoluacutet eacuterteacutekeacutet iacutegy 0-t kaptam baacutermely negatiacutev szaacutem b) hozzaacuteadtam az ellentettjeacutet iacutegy 0-t kaptam baacutermely szaacutem c) kivontam az ellentettjeacutet iacutegy nullaacutet kaptam csak a 0 d) hozzaacuteadtam az abszoluacutet eacuterteacutekeacutet eacutes az ellentettjeacutet iacutegy 0-t kaptam csak a 0

3 Mely egeacutesz szaacutemokra igazak a koumlvetkező aacutelliacutetaacutesok a) x= x b) x + (ndashx) = 10 c) x +x=10 d) x ndash 2middotx = ndashx x ge 0 Oslash x = 5 azonossaacuteg e) x gtx f) xlt 5 g) xlt ndash5 h) ndashx gt x Oslash ndash5 lt x lt 5 Oslash x lt 0

4 Igaz vagy hamis Hasonliacutetsaacutetok oumlssze a termeacuteszetes szaacutemok a negatiacutev egeacuteszek eacutes az egeacutesz szaacutemok halmazaacutet a koumlvetkező aacutelliacutetaacutesok alapjaacuten Az utolsoacute sorhoz keressetek olyan aacutelliacutetaacutest amire teljesuumllnek a felteacutetelek Pozitiacutev

egeacuteszek Negatiacutev egeacuteszek

Egeacutesz szaacutemok

Veacutegtelen sok eleme van I I I Van legnagyobb eleme H I H Baacutermely elemeacuteneacutel van kisebb eleme H I I Baacutermely elemeacutenek abszoluacutet eacuterteacuteke is benne van I H I Baacutermely elemeacutenek ellentettje is benne van H H I Baacutermely keacutet elemeacutenek oumlsszege is benne van I I I Baacutermely keacutet elemeacutenek szorzata is benne van I H I Baacutermely keacutet elemeacutenek haacutenyadosa is benne van H H H Minden eleme termeacuteszetes szaacutem I H H Peacuteldaacuteul Baacutermely keacutet elemeacutenek szorzata pozitiacutev Nincs keacutet olyan eleme amelynek oumlsszege 0 I I H


OumlSSZEGZEacuteS

A termeacuteszetes szaacutemok halmazaacutet a negatiacutev egeacutesz szaacutemokkal kiegeacutesziacutetve az egeacutesz szaacutemok halmazaacutehoz jutunk Az egeacutesz szaacutemok halmazaacutenak jele Z Az egeacutesz szaacutemok oumlsszege szorzata eacutes kuumlloumlnbseacutege is mindig egeacutesz szaacutemot eredmeacutenyez

Az egeacutesz szaacutemokra eacuterveacutenyes műveleti szabaacutelyok gyakorlaacutesaacutera az oacutera tovaacutebbi reacuteszeacuteben eacutes haacutezi feladatkeacutent a 13 feladatlap feladataiboacutel lehet vaacutelogatni

13 FELADATLAP

1 Fejben szaacutemoljatok Hogyan kapjaacutetok meg a kuumlloumlnbseacuteget 12 ndash 15 = ndash3 100 ndash 101 = ndash1 499 ndash 1000 = ndash501 1 ndash 1 000 000 = ndash999 999 666 ndash 777 = ndash111 1234 ndash 5678 = ndash4 444 Mindenkeacuteppen fogalmazzaacutek meg hogy a nagyobb szaacutemboacutel vontaacutek ki a kisebbet eacutes ennek a szaacutemnak vetteacutek az ellentettjeacutet Gyakori hiba hogy iacuteraacutesbeli kivonaacutesnaacutel akkor is feluumllre iacuterjaacutek a kisebbiacutetendőt ha az kisebb Ebben az esetben toumlbbnyire rosszul szaacutemolnak

2 Keressuumlk meg a nyitott mondatok megoldaacutesaacutet a) 20 ndash a = minus5 5 ndash b = minus20 100 ndash c = minus100 0 ndash d = minus1234

a = 25 b = 25 c = 200 d = 1234 Fontos eacuteszrevenni hogy rendre pozitiacutev szaacutemokat vontunk ki a kisebbiacutetendőből (kuumlloumlnben nem kaphattunk volna negatiacutev szaacutemot) A kivonandoacute a kisebbiacutetendő eacutes a maradeacutek kuumlloumlnbseacutegeacuteből adoacutedik Nem probleacutema ha neacutehaacuteny tanuloacute keacutet leacutepeacutesben jut el a megoldaacutesig tehaacutet előszoumlr nullaacuteig majd onnan tovaacutebb Ez hasznosabb mintha formaacutelisan oumlsszeadja az egyenletben szereplő keacutet szaacutem abszoluacutet eacuterteacutekeacutet

b) a ndash20 = minus5 b ndash 5 = minus2 c ndash 379 = minus379 d ndash 50 = minus100 a = 15 b = 3 c = 0 d = ndash50

A megoldaacutes itt se formaacutelisan mechanikusan toumlrteacutenjen A ndash5 kuumlloumlnbseacuteg azt jelenti hogy a 20-at naacutela 5-tel kisebb szaacutemboacutel vontuk ki stbhellip Ez esetben az utolsoacute egyenlet is kezelhetőbb az 50-et naacutela 100-zal kisebb szaacutemboacutel vontuk ki melyik az 50-neacutel 100-zal kisebb szaacutem

3 Iacuterjunk fel neacutegy kivonaacutest melyeknek eredmeacutenye ndash20 Az elsőnek pozitiacutev szaacutem legyen a kisebbiacutetendője a maacutesodiknak negatiacutev A harmadiknaacutel a kisebbiacutetendő a negyedikneacutel a kivonandoacute legyen nulla 16 ndash 36 = ndash20 ndash16 ndash 4 = ndash20 0 ndash 20 = ndash20 ndash20 ndash 0 = ndash20

A feladat az előzőben felismertek (ismeacuteteltek) elmeacutelyiacuteteacuteseacutet szolgaacutelja Emellett a kivonaacutes szereplőinek neveit is erősiacutetjuumlk

4 Van-e legnagyobb illetve legkisebb egeacutesz szaacutem Se legnagyobb se legkisebb nincs

5 Melyik a legkisebb pozitiacutev egeacutesz +1

6 Melyik a legnagyobb negatiacutev egeacutesz ndash1

7 Mindegyik feladathoz hasznaacuteljatok szaacutemegyenest

a) Jeloumlljeacutetek be a szaacutemegyenesen a ndash6-naacutel nagyobb negatiacutev egeacuteszeket Haacuteny szaacutemot talaacuteltatok ndash5 ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 tehaacutet 5 db


b) Jeloumlljeacutetek be a szaacutemegyenesen a 4-neacutel kisebb pozitiacutev egeacuteszeket Haacuteny szaacutemot talaacuteltatok 3 2 1

c) Jeloumlljeacutetek be a szaacutemegyenesen a ndash4-neacutel nagyobb egeacuteszeket Haacuteny ilyen szaacutem van ndash3 -ndash2 ndash1 0 1hellip veacutegtelen

d) Jeloumlljeacutetek be a szaacutemegyenesen az 5-neacutel kisebb egeacuteszeket Haacuteny ilyen szaacutem van 4 3 2 1 0 ndash1 ndash2hellipveacutegtelen

e) Karikaacutezzaacutetok be a szaacutemegyenesen pirossal a ndash7-neacutel nagyobb egeacuteszeket keacutekkel a 3-naacutel kisebb egeacuteszeket Mely szaacutemokat karikaacuteztaacutetok be mindkeacutet sziacutennel ndash6 ndash5 ndash4 ndash3 ndash2 ndash1 0 1 2

f) Karikaacutezzaacutetok be a ndash3-naacutel nem kisebb egeacuteszeket pirossal a 3-naacutel nem nagyobb egeacuteszeket keacutekkel Haacuteny szaacutemot karikaacuteztaacutel be mindkeacutet sziacutennel ndash3 ndash2 ndash1 0 1 2 3 tehaacutet 7 db szaacutemot

8 Mely egeacutesz szaacutemok teszik igazzaacute a koumlvetkező aacutelliacutetaacutesokat

0 lt a lt 5 ndash3 lt b lt 2 ndash10 le c lt ndash7 a = 1 2 3 4 b = ndash2 ndash1 0 1 c = ndash10 ndash9 ndash8

ndash503 lt d le ndash499 ndash1 le e le 1 ndash3 gt f gt 13 d = ndash502 ndash501 ndash500 ndash499 e = ndash1 0 1 f = Oslash

9 Haacuteny megoldaacutesa van az egyenlőtlenseacutegeknek az egeacutesz szaacutemok koumlreacuteben

minus20 lt a lt 20 ndash100 le b le 100 ndash500 le c lt 0 39 201 500

ndash45 le d lt ndash55 ndash109 lt e lt 109

100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999

4 Alapműveletek eacutertelmezeacutese

A termeacuteszetes szaacutemok halmazaacuteboacutel kileacutepve az egeacutesz szaacutemok koumlreacuteben folytatjuk a szaacutemolaacutest Itt maacuter fontos feleleveniacuteteni olyan szabaacutelyokat melyek a negatiacutev szaacutemok megjeleneacuteseacutevel keruumlltek bevezeteacutesre Nagyon fontos időt szaacutenni a toumlbbtaguacute oumlsszegek oumlsszevonaacutesaacutera ennek az egyenletmegoldaacutesnaacutel nagy szerepe lesz Ugyancsak elmeacutelyiacutetendő a szorzatok kiszaacutemiacutetaacutesa doumlntően az előjel megaacutellapiacutetaacutesa amit a hatvaacutenyozaacutessal is meacutelyiacutethetuumlnk Alkalmazzuk a szabaacutelyok megfogalmazaacutesaacutenaacutel a bdquohogyan szaacutemoltaacutelhelliprdquo keacuterdeacutesek megvaacutelaszolaacutesaacutenaacutel az ellentett eacutes az abszoluacutet eacuterteacutek fogalmakat A termeacuteszetes szaacutemok koumlreacuteben nem kellett szabaacutelyokat megfogalmazni a műveletek eacutertelmezeacuteseacutere elveacutegzeacuteseacutere Ha a negatiacutev szaacutemokat is bevonjuk akkor az alapműveletek reacuteszben uacutej eacutertelmet nyernek Emleacutekezzetek az első csodaacutelkozaacutesra amikor kideruumllt hogy hozzaacuteadaacutessal is csoumlkkenhet eacutes elveacutetellel is noumlvekedhet egy mennyiseacuteg gondoljunk csak az adoacutessaacutegra eacutes vagyoni helyzetuumlnkre Az oumlsszeadaacutes eacutes kivonaacutes műveleteacuteneacutel uacutej szabaacutelyokat fogalmaztunk meg amelyek a negatiacutev szaacutemok hozzaacuteadaacutesaacutet kivonaacutesaacutet tetteacutek lehetőveacute A szorzaacutes uacutej eacutertelmet nyert hiszen a negatiacutev egeacutesszel toumlrteacutenő szorzaacutes maacuter nem iacuterhatoacute fel oumlsszeadaacuteskeacutent A hatvaacutenyozaacutes is uacutej probleacutemaacutekat vetett fel akaacuter az alap akaacuter a kitevő helyeacutere keruumllt negatiacutev egeacutesz szaacutem


14 FELADATLAP 1 Toumlltseacutetek ki a taacuteblaacutezatokat Indokoljaacutetok meg mely felteacutetelek mellett keruumllnek bizonyos cellaacutekba azonos szaacutemok

a) a b a + b a + b a+b a + b a +b ndasha+ b

ndash5 +8 3 3 13 13 3 3 ndash9 +2 ndash7 7 11 11 ndash7 ndash7 ndash10 ndash4 ndash14 14 14 6 ndash6 ndash14 +2 ndash8 ndash6 6 10 ndash6 10 ndash10

b) a b a ndash b b ndash a a ndash b b ndash a andashb bndasha a ndash b ndash5 +8 ndash13 13 13 13 ndash3 3 ndash3 ndash9 +2 ndash11 11 11 11 7 ndash7 7 ndash10 ndash4 ndash 6 6 6 6 6 ndash 6 14 +2 ndash8 10 ndash10 10 10 ndash6 6 10

c) a b a middot b a middot b a middot b a middot b a middot b ndash5 +8 ndash40 40 40 40 ndash40 ndash9 +2 ndash18 18 18 18 ndash18 ndash10 ndash 4 40 40 40 ndash40 ndash40 +2 ndash8 ndash16 16 16 ndash16 16

2 Veacutegezd el a koumlvetkező műveleteket (Hasznaacuteljaacutetok ki hogy a feladatokban azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutemok szerepelnek iacutegy egyreacuteszt fejben szaacutemolhattok maacutesreacuteszt az eredmeacutenyeket megfelelő moacutedosiacutetaacutessal felhasznaacutelhatjaacutetok a keacutesőbbi feladatokban A műveletek elveacutegzeacutesekor fogalmazzaacutetok meg az alkalmazandoacute szabaacutelyt)

a) +65 + (+13) = +78 +65 +( ndash13) = +52 ndash65 + (+13) = ndash52 ndash65 + (ndash13) = ndash78

b) +65 ndash (+13) = +52 +65 ndash (ndash13) = +78

ndash65 ndash (+13) = ndash78 ndash65 ndash (ndash13) = ndash52

c) +65 middot (+13) = 845 +65 middot (ndash13) = ndash845 (ndash65) middot (+13) = ndash845 (ndash65) middot (ndash13) = 845

d) +65 (+13) = +5 +65 (ndash13) = ndash5 (ndash65) (+13) = ndash5 (ndash65) (ndash13) = +5

e) +65 0 = nincs eacutertelmezve 0 13 = 0 (ndash65) 0 = nincs eacutertelmezve 0 0 = nincs eacutertelmezve


3 Oldd meg a nyitott mondatokat (A nyitott mondatok igazzaacute teacuteteleacuteneacutel alkalmazzaacutetok az előbb hasznaacutelt szabaacutelyokat)

+9 + a = +5 a = ndash4

minus9 + b = minus7 b = +2

minus2 + c = ndash8 c = ndash6

+15 + d = minus15 d = ndash30

minus77 + e = 0 e = +77

f ndash (+9) = ndash3

f = +6 g ndash (+7) = ndash9

g = ndash2 ndash5 ndash h = ndash20

h = +15 +3 ndash i = +8

i = ndash5 ndash11 ndash j = +11

j = ndash22

(+25) middot k = ndash75 k = ndash3

(ndash11) middot m = +77 m = ndash7

n middot (ndash6) = ndash48 n = +8

(minus33) middot p = 0 p = 0

q middot q = ndash9 nincs megoldaacutes

ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7

t = ndash7 u (ndash3) = ndash6

u = +18 v (+5) = ndash5

v = ndash25 x (ndash9) = 0

x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes

5 Toumlbbtaguacute oumlsszegek oumlsszevonaacutes

Egy feladat megoldaacutesa soraacuten toumlbb műveletet tartalmazoacute műveletsorral is talaacutelkozhatunk A koumlvetkező szaacutemkifejezeacutesek ilyenek

4 Veacutegezd el az oumlsszevonaacutesokat (Csoportosiacutetsd előjel szerint a szaacutemokat majd a kapott keacutet kuumlloumlnboumlző előjelű oumlsszeggel szaacutemolj tovaacutebb)

33 + (ndash7) + (ndash11) + 20 + (ndash41) = ndash6 (ndash48) + (ndash50) + 26 + (ndash66) + (ndash100) = ndash238 (ndash28) + 21 + 70 + (ndash9) + 58 = 112 123 + 248 + (ndash73) + 301 + (ndash473) = 126

5 Veacutegezd el az oumlsszevonaacutesokat (Ha figyelmesen megneacutezitek a tagokat akkor kideruumll hogy lehetőseacuteg van a szaacutemolaacutes megkoumlnnyiacuteteacuteseacutere)

100 + (ndash55) + 30 + 25 + (ndash101) = ndash1 (ndash20) + 30 + 40 + (ndash50) + 60 = 60 (ndash45) + 30 (ndash70) + (ndash25) + 40 = ndash70 333 + 444 + 555 + (ndash777) + (ndash500) = 55

6 Iacuterd aacutet az kivonaacutesokat oumlsszeadaacutessaacute Utaacutena szaacutemolj az oumlsszeadaacutesnaacutel ismeacuteteltek szerint

25 ndash (ndash12) ndash (ndash8) + 13 = 25 + 12 + 8 + 13 = 58 (ndash10) + 18 ndash (ndash7) = ndash10 + 18 + 7 = 15 100 ndash (ndash30) + 25 + 5 ndash 20 = 100 + 30 + 25 + 5 + (ndash20) = 140 ndash8 ndash 5 ndash (ndash11) + 9 + (ndash11) = ndash8 +(ndash5) + 11 + 9 + (ndash11) = ndash4

7 Iacuterd aacutet a műveletsort hogy csak pozitiacutev szaacutemok szerepeljenek benne Ezutaacuten leacutepeacutesről leacutepeacutesre szaacutemolj

3 + (ndash5) ndash (ndash7) ndash2 = 3 ndash 5 + 7 ndash 2 = 3 ndash9 + (ndash6) ndash (ndash7) + 3 + (ndash2) ndash (ndash10) = 0 ndash 9 ndash 6 + 7 + 3 ndash 2 + 10 = 3


8 Oldd meg az egyenleteket A megoldaacutes előtt veacutegezd el a lehetseacuteges műveleteket

(ndash35) + (ndash40) + x = 0 x = 75 75 + (ndash30) + x = 100 x = 55 (ndash56) + 46 + (ndash20) + x = ndash76 x = ndash 46 100 + (ndash55) + 30 + 25 + (ndash101) + x = 0 x = 1

6 Toumlbbteacutenyezős szorzatok hatvaacutenyozaacutes

9 Veacutegezd el a szorzaacutesokat (Előbb aacutellapiacutetsd meg a szorzat előjeleacutet utaacutena szaacutemold ki az abszoluacutet eacuterteacutekeacutet)

4 middot 5 middot ( ndash3) middot 10 = ndash600 (ndash5) middot (ndash3) middot (ndash10) middot 4 = ndash600 (ndash2) middot (ndash4) middot (ndash25) middot (ndash7) = 1400 (ndash4) middot 7 middot 2 middot (ndash25) = 1400

10 Veacutegezd el a szorzaacutesokat Hataacuterozd meg a szorzatok előjeleacutet toumlbbfeacutelekeacuteppen (Oumlsszeszaacutemolhatjuk a negatiacutev teacutenyezőket figyelembe veacuteve a negatiacutev alaphoz tartozoacute kitevőket)

(ndash2)3 middot 32 = ndash72 (ndash2)4 middot (ndash5)2 = 400 (ndash2)2 middot (ndash2)3 middot (ndash2)4 middot (ndash5)9 = 109 (ndash1)111 middot (ndash111)1 = 111

7 Toumlbb műveletet tartalmazoacute kifejezeacutesek műveleti sorrend zaacuteroacutejelek szerepe

11 Veacutegezd el a műveleteket (Uumlgyelj a sorrendre)

(ndash10) + (ndash3) middot (ndash5)2 = ndash10 + (ndash75) = ndash85 (ndash10) + (ndash3) middot (ndash5)2 = (ndash13) middot 25 = ndash325 (ndash10) + (ndash3) middot ( ndash5)2 = ndash10 + 152 = 215 ndash10 + (ndash3) middot (ndash5)2 = (ndash10 + 15)2 = 25 IV A toumlrtek

1 Osztaacutessal a toumlrt szaacutemok vilaacutegaacuteba

Az osztaacutes toumlbb szempontboacutel is kuumlloumlnleges szerepet toumllt be az alapműveletek koumlreacuteben Ez a művelet nemcsak a termeacuteszetes de az egeacutesz szaacutemok koumlreacuteből is kivezet Az alaacutebbi osztaacutesok koumlzuumll vaacutelasszuk ki azokat melyek haacutenyadosa nem egeacutesz szaacutem 12345 5 = 54321 4 = 3333 10 = 77777 7 = 120 61 = 1234 4321 = Az eddig megszerzett szaacutemelmeacuteleti ismeretek alapjaacuten oldjaacutek meg a feladatot 5 eacutes 10 toumlbbszoumlroumlseit koumlnnyen felismerik a 4 toumlbbszoumlroumlsei paacuteros szaacutemok a csupa egyforma szaacutemjegyből aacutelloacute szaacutemok oszthatoacutek a szaacutemjeggyel egy szaacutemnak a feleacuteneacutel nagyobb szaacutemok koumlzt csak oumlnmaga lehet osztoacuteja Ha nem akarunk az egeacutesz szaacutemok koumlreacuteből kileacutepni akkor maradeacutekos osztaacutest is veacutegezhetuumlnk A maradeacutek lehetőveacute teszi hogy bdquokijaacutetsszukrdquo az osztaacutes egeacutesz szaacutemok koumlreacuteből toumlrteacutenő kileacutepeacuteseacutet


Ez tette lehetőveacute hogy az osztaacutessal maacuter alsoacute tagozatban is foglalkozzunk de ennek az volt az aacutera hogy az eredmeacuteny ndash a haacutenyados ndash mellett megjelent a maradeacutek Az oszthatoacutesaacutegra maradeacutekokra a matematika egy kuumlloumln fejezete a szaacutemelmeacuteletet szoacutel Ha meg kiacutevaacutenunk szabadulni a maradeacutekoktoacutel akkor az osztaacutes elveacutegzeacuteseacutehez az egeacuteszeket ki kell egeacutesziacutetenuumlnk a toumlrt szaacutemokkal Baacutermely osztaacutes eredmeacutenyeacutet feliacuterhatjuk toumlrt alakban uacutegy hogy az osztandoacutet a szaacutemlaacuteloacuteba az osztoacutet a nevezőbe iacuterjuk Az iacutegy kapott toumlrtet persze egyszerűsiacutethetjuumlk is

15 FELADATLAP

1 Iacuterjaacutetok fel toumlrtkeacutent a haacutenyadosokat majd egyszerűsiacutetsetek ha lehet

32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =

Laacutethatjaacutetok hogy minden osztaacuteshoz tartozik egy toumlrt alak meacuteg ahhoz is amelyiknek eredmeacutenye egeacutesz szaacutem A keacutet egeacutesz szaacutem haacutenyadosaacuteval előaacutelloacute szaacutemokat racionaacutelis szaacutemoknak nevezzuumlk A haacutenyadost megkaphatjuk tizedes toumlrt alakban is ha az iacuteraacutesbeli osztaacutest folytatjuk az egeacutesz reacutesz utaacuten A legtoumlbb szaacutemoloacutegeacutep vagy matematikai program is tizedes toumlrtkeacutent adja meg a haacutenyadost A kivonaacuteshoz hasonloacutean az osztaacutesnaacutel sem csereacutelhetők fel a műveletben szereplő szaacutemok Neacutezzuumlk meg hogyan vaacuteltozik a haacutenyados ha felcsereacuteljuumlk az osztandoacutet eacutes az osztoacutet

2 Szaacutemok reciproka reciprok szaacutem paacuterok tulajdonsaacutega

2 Veacutegezd el az osztaacutesokat A haacutenyadosokat tizedes toumlrttel add meg Majd szorozd oumlssze a keacutet haacutenyadost

8 5 = 16 5 8 = 0625 16 middot 0625 = 1 Ha joacutel szaacutemoltaacutel akkor eredmeacutenyuumll 1-et kaptaacutel Meacuteg szembetűnőbben mutatkozik ez meg ha az osztaacutesok eredmeacutenyeacutet toumlrtkeacutent iacuterjuk le 8 5 = 8

5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute

Keacutet szaacutemot reciprok szaacutemoknak nevezuumlnk ha szorzatuk 1

3 Iacuterd a szaacutemok melleacute a reciprokukat

a) 5 15 20 25 174 7 9

4 7 99 175 15 20 29 17 255harr harr harr harr harr

b) Hogyan kaphattuk meg ezeknek a szaacutemoknak a reciprokaacutet Mit tuumlkroumlz az utolsoacute peacutelda Fogalmazd meg Egy toumlrt alakban iacutert szaacutem reciprokaacutet a szaacutemlaacuteloacute eacutes a nevező felcsereacuteleacuteseacutevel kaphatjuk amiből koumlvetkezik hogy ha egy szaacutem reciprokaacutenak vesszuumlk a reciprokaacutet akkor visszakapjuk az eredeti szaacutemot


c) Ezeknek a szaacutemoknak a reciprokaacutet is szaacutemold ki 10 5 5413 3 0 4 2 2 1 113 19 2 5 5

5 5 1235 123

harr harr harr harr harr harr

Mennyiben nehezebb ez a feladat az előzőneacutel hogyan hidalhatoacute aacutet a neheacutezseacuteg Talaacuteltaacutel-e az adott szaacutemok koumlzt olyanokat melyek egymaacutes reciprokai Hogyan iacuterhatoacute fel koumlnnyen egy egeacutesz szaacutem reciproka A szaacutemok nem toumlrt alakban szerepelnek iacutegy az előző formaacuteban nem kaphatoacute koumlzvetlenuumll meg a reciprok Előtte tehaacutet toumlrt alakra hozzuk a tizedes toumlrteket Az egeacutesz szaacutemokat 1 nevezőjű toumlrtekkeacutent iacuterhatjuk fel A megoldaacutesokboacutel (is) laacutetszik hogy a 04 eacutes a 25 egymaacutes reciproka

4 Van-e reciproka a 0-nak Indokoljaacutetok a vaacutelaszt Mivel egy szaacutemnak eacutes reciprokaacutenak szorzata 1 ezeacutert nullaacutenak nem lehet paacuterja Ha 0 az egyik teacutenyező akkor a szorzat nem lehet 1 Maacutesreacuteszt a 0 reciproka formailag 10 lenne ami nem eacutertelmezhető

5 Van-e olyan szaacutem ami megegyezik a reciprokaacuteval Az a middot a = 1 egyenletnek keacutet megoldaacutesa van az 1 eacutes a ndash1 Mindkettő egyenlő a reciprokaacuteval

3 Reciprok eacutes ellentett szaacutem paacuterok paacuterhuzamba aacutelliacutetaacutesa

6 Az ellentettről eacutes a reciprokroacutel tanultakkal egeacutesziacutetsd ki a taacuteblaacutezat hiaacutenyos mondatait

Ha keacutet szaacutem egymaacutes ellentettje akkor oumlsszeguumlk 0

Ha keacutet szaacutem egymaacutes reciproka akkor szorzatuk 1

Ha keacutet szaacutem oumlsszege 0 akkor a keacutet szaacutem egymaacutes ellentettje

Ha keacutet szaacutem szorzata 1 akkor a keacutet szaacutem egymaacutes reciproka

Az egyetlen szaacutem amely egyenlő az ellentettjeacutevel a 0

Az egyetlen pozitiacutev szaacutem amely egyenlő a reciprokaacuteval az 1

Ellentett szaacutemok csak előjeluumlkben kuumlloumlnboumlznek abszoluacutet eacuterteacutekuumlk megegyezik

Egy szaacutem reciprokaacutet a szaacutemlaacuteloacute eacutes nevező felcsereacuteleacuteseacutevel kaphatjuk meg

Egy szaacutem ellentettjeacutenek az ellentettje maga a szaacutem

Egy szaacutem reciprokaacutenak a reciproka a maga szaacutem

Ha egy szaacutemot a-val jeloumlluumlnk akkor az ellentettje ndasha Az a baacutermilyen szaacutem lehet

Ha egy szaacutemot a-val jeloumlluumlnk akkor az a

reciprokaa1 Az a nem lehet nulla

Egy szaacutem ellentettjeacutet (ndash1)-gyel valoacute szorzaacutessal kapjuk (Megkaphatjuk uacutegy is hogy kivonjuk a szaacutemboacutel a keacutetszereseacutet)

Egy szaacutem reciprokaacutet a (ndash1)-edik hatvaacutenya adja (Pozitiacutev szaacutem eseteacuten megkaphatjuk uacutegy is hogy elosztjuk a szaacutemot a neacutegyzeteacutevel)

Az ellentett eacutes a reciprok szaacutem paacuterok tulajdonsaacutegainak paacuterhuzamba aacutelliacutetaacutesa nagyon fontos teveacutekenyseacuteg Nemcsak az ismeretek elmeacutelyiacuteteacuteseacutet segiacuteti de előkeacutesziacuteti a matematikai struktuacuteraacutek megalapozaacutesaacutet is az additiacutev eacutes multiplikatiacutev inverz elem keacutepzeacuteseacutevel a neutraacutelis elem szerepeacutenek bemutataacutesaacuteval




A racionaacutelis szaacutemok koumlreacuteben mindegyik alapművelet elveacutegezhető Egyes a műveletek azonban uacutej eacutertelmet nyerhetnek Maacuter a negatiacutev szaacutemmal valoacute szorzaacutes sem volt visszavezethető azonos tagok oumlsszegeacutere eacutes ugyanez a helyzet fennaacutell a toumlrttel valoacute szorzaacutesnaacutel is Peacuteldaacuteul 2 2 2 2 2 843 3 3 3 3 32 4 3 5

sdot = + + + =

sdot =

Toumlrttel valoacute szorzaacutes nem eacutertelmezhető oumlsszeadaacuteskeacutent mert a tagok szaacutema nem lehet toumlrt Ezeacutert uacutej eacutertelmezeacutest adtunk a toumlrttel valoacute szorzaacutesnak 2 3 2 jelenteacutese 3 4 3sdot -nak a 3 reacutesze

4

TUDNIVALOacute

Baacutermely szaacutem toumlrttel adott reacuteszeacutet a toumlrttel valoacute szorzaacutessal kapjuk meg

Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =

A valahaacutenyad reacuteszt sokszor szaacutezaleacutekban adjuk meg A szaacutezaleacutek a 100 nevezőjű toumlrtnek maacutesfajta jeloumlleacutese Peacuteldaacuteul 35 125 500 3535 125 500 35

100 100 100 100= = = =

Nem csak 100-as nevezőjű toumlrtek iacuterhatoacutek szaacutezaleacutek alakba 33 66 12 60 12 2 2066 60 2050 100 20 100 60 10 100

= = = = = = =

240 80 80300 100

= =

A fenti toumlrteket egyszerűsiacuteteacutessel vagy bőviacuteteacutessel alakiacutetottuk szaacutezadokkaacute 7 5 4 208 6 11 150= = = =


A fenti toumlrteket nem tudjuk szaacutezadokkaacute alakiacutetani egyszerűsiacuteteacutessel vagy bőviacuteteacutessel Ilyenkor osztaacutessal tizedes toumlrtteacute alakiacutetjuk a toumlrtet eacutes ndash esetleg kerekiacuteteacutes utaacuten ndash ebből kapjuk a szaacutezaleacutek alakot 7 57 8 0875 875 5 6 083 838 6= = = = = asympamp

4 2011 150

= =

Osztaacutes utaacuten iacuterjaacutetok aacutet a fenti keacutet toumlrtet szaacutezaleacutekokkaacute 36 13 Nemcsak a toumlrtek iacuterhatoacutek aacutet szaacutezaleacutekra hanem fordiacutetva a szaacutezaleacutekok is toumlrtekkeacute

75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP

1 Iacuterjaacutetok aacutet toumlrtteacute a koumlvetkező szaacutezaleacutekban megadott szaacutemokat Lehetőseacuteg szerint egyszerűsiacutetsetek

16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100

A toumlrttel valoacute osztaacutesnak is uacutej eacutertelmet adhatunk 3 5 3 15 3 15Ha 5-nek a reacutesze akkor az a szaacutem aminek a reacutesze az 54 4 4 4 4

15 3 15 4amit a 5 osztaacutessal kapunk meg4 4 4 3

sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute

Egy szaacutem vagy mennyiseacuteg toumlrt reacuteszeacuteből az egeacutesz mennyiseacuteget osztaacutessal kapjuk meg Peacuteldaacuteul

Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163

Vaacutelasz 16 8 16 9 6

3 9 3 8= sdot = tehaacutet a 6-nak 8

9 reacutesze a 16

3

2 Figyeljetek a keacuterdeacutesre Iacuterjaacutetok fel a megfelelő művelettel majd szaacutemiacutetsaacutetok ki

Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a

Melyik szaacutemnak a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a a 15

2 4 2 10 30 4515 10 15 12 15 153 5 9 3 100 10sdot = sdot = sdot = sdot =

2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =



3 Tegyeacutetek proacutebaacutera tudaacutesotokat az itt szereplő műveletek elveacutegzeacuteseacutevel

A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113

(A + B) middot A = 054

A ndash B = ndash23 C ndash D = 12

minus A ndash C = 715

minus B ndash D = 43

(B ndash A) B = 092

B ndash A = 23 D ndash C = 12

C ndash A = 715

D ndash B = 43

minus (C + D) middot C =119

A middot B = 05 C middot D = 79

A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157

A middot A ndash C middot C = 91225

minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715

A middot B middot C D = 27

Eacuterdemes ezt vagy valami hasonloacute feladatsort elveacutegeztetni a tanuloacuteinkkal tesztelve a szaacutemolaacutesi keacuteszseacuteguumlket Baacuter hetedikre maacuter valamennyi esettel megismerkedtek de gyakorlott tanaacuterok tudjaacutek hogy ndash kuumlloumlnoumlsen eacutev elejeacuten ndash meglepően hiaacutenyosak lehetnek az ismereteik Eacuterdemes tehaacutet egy teszttel szembesiacuteteni őket eacutes ennek alapjaacuten gyakoroltatni az alapműveleteket a koumlvetkező feladatokkal vagy baacutermilyen maacutes feladatgyűjtemeacutenyből oumlsszeaacutelliacutetott peacuteldaacutekkal Baacutermennyire is szeretneacutenk korszerű matematikaacutet taniacutetani ne felejtsuumlk el hogy tanuloacuteinknak meacuteg a szaacutemtalan segeacutedeszkoumlz mellett is meg kell tanulniuk szaacutemolni A koumlvetkező feladatsorokkal fejleszthetitek tudaacutesotokat

4 Alapműveletek tizedes toumlrtekkel a) 345 + 568 + 111 + 0243 = 171493 1001333 + 109077 + 3331001 = 14435101 513 + (minus32) + 487 + (minus68) = 0 minus01 + 002 + (minus0003) + 00004 = ndash 00826 b) 5479 ndash 179 = 3689 238 ndash 726 = 1654 70 ndash 025 = 6975 501 ndash 122 = 4888 100 ndash 10001= ndash 001 015 ndash 1014 = ndash 999 c) 3425 middot 16 = 548 3425 middot 016 = 548 (minus1001) middot 101 = ndash 101101 (minus025) middot (minus032) = 008 2345 middot 0165 middot 0 = 0 025 middot 345 middot 400 = 345


d) 357 3 = 119 777 15 = 518 (minus264) 24 = minus 011 (minus12) (minus04) = ndash 30 0121 44 = 00275 711 036= 1975

5 Alapműveletek toumlrtekkel vegyes szaacutemokkal Szaacutemolaacutes koumlzben ideacutezzeacutetek fel a műveletekről tanultakat Ne feledkezzetek meg az egyszerűsiacuteteacutesekről

a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute

Az egeacutesz eacutes toumlrt szaacutemok halmazaacutenak egyesiacuteteacuteseacutevel kapott halmaz a racionaacutelis szaacutemok halmaza A racionaacutelis szaacutemok halmazaacutenak jele Q A racionaacutelis szaacutemok koumlreacuteből egyik alapművelet sem vezet ki A termeacuteszetes szaacutemokboacutel a neacutegy alapművelet minus veacuteges sok minus alkalmazaacutesaacuteval kapott szaacutem mindig racionaacutelis A racionaacutelis szaacutemok mindig feliacuterhatoacutek keacutet egeacutesz szaacutem haacutenyadosakeacutent

17 FELADATLAP

1 Hasonliacutetsuk oumlssze az egeacutesz eacutes a racionaacutelis szaacutemok neacutehaacuteny tulajdonsaacutegaacutet Neacutehaacuteny egyszerűnek tűnő keacuterdeacutes meglepő vaacutelaszokat rejt

a) Melyik a legkisebb pozitiacutev egeacutesz szaacutem Az 1

b) Melyik a legkisebb pozitiacutev toumlrtszaacutem Nincs ilyen


Proacutebaacuteljanak keresni akaacuter toumlrt akaacuter tizedes toumlrt alakban majd mutassaacutek meg hogy lehet kisebbet előaacutelliacutetani akaacuter a nevező noumlveleacuteseacutevel akaacuter a tizedesvessző utaacuteni nullaacutek szaacutemaacutenak noumlveleacuteseacutevel Mindkeacutet eljaacuteraacutes tetszőlegesen sokaacuteig veacutegezhető

c) Haacuteny egeacutesz szaacutem van az 1 eacutes az 1000 koumlzoumltt Melyik a legkisebb eacutes a legnagyobb Nyiacutelt intervallumkeacutent 998 egeacutesz van koumlzoumlttuumlk a legkisebb a 2 a legnagyobb a 999

d) Haacuteny toumlrtszaacutem van az 1 eacutes a 2 koumlzoumltt Melyik a legkisebb eacutes a legnagyobb Hogy veacutegtelen sok van azt maacuter koraacutebbi proacutebaacutelkozaacutesaik is igazoljaacutek de ismeacutet eljaacutetszhatnak azzal hogy hasztalan keresik a legkisebbet illetve a legnagyobbat A teveacutekenyseacuteg a toumlrt eacutes tizedes toumlrt fogalmainak elmeacutelyiacuteteacuteseacutet is szolgaacutelja

e) 1-neacutel nagyobb vagy 1-neacutel kisebb pozitiacutev racionaacutelis szaacutemboacutel van-e toumlbb Termeacuteszetesen ugyanannyi azaz veacutegtelen sok van ami egyreacuteszt meglepő is lehet ha a tanuloacutek a szaacutemegyenesre gondolnak hiszen az egyik halmaz egy egyseacutegnyi szakaszt miacuteg a maacutesik egy feacutelegyenest bdquofed lerdquo de eacuterdemes koumllcsoumlnoumlsen egyeacutertelmű megfelelteteacutessel igazolni az aacutelliacutetaacutest minden 1-neacutel kisebb racionaacutelis szaacutemhoz egyeacutertelműen tartozik egy 1-neacutel nagyobb racionaacutelis szaacutem eacutes fordiacutetva hiszen a szaacutemlaacuteloacute eacutes nevező csereacuteje pontosan ezt a hozzaacuterendeleacutest veacutegzi el

2 A taacuteblaacutezat kiegeacutesziacuteteacuteseacutevel veacutegezzeacutetek el a keacutet szaacutemhalmaz oumlsszehasonliacutetaacutesaacutet

Egeacutesz szaacutemok Racionaacutelis szaacutemok Jele Z Jele Q Egeacutesz szaacutemok koumlreacuteből az osztaacutes művelete kivezet

Racionaacutelis szaacutemok koumlreacuteből egyik alapművelet sem vezet ki

Baacutermely keacutet kuumlloumlnboumlző egeacutesz szaacutem koumlzoumltt veacuteges sok egeacutesz szaacutem talaacutelhatoacute

Baacutermely keacutet kuumlloumlnboumlző racionaacutelis szaacutem koumlzoumltt veacutegtelen sok racionaacutelis szaacutem talaacutelhatoacute

Keacutet nem szomszeacutedos egeacutesz szaacutem koumlzoumltt van legkisebb eacutes legnagyobb egeacutesz szaacutem

Keacutet kuumlloumlnboumlző racionaacutelis szaacutem koumlzoumltt nincs legkisebb illetve legnagyobb racionaacutelis szaacutem

Az egymaacutest koumlvető egeacutesz szaacutemok egyseacutegnyi taacutevolsaacutegra helyezkednek el a szaacutemegyenesen iacutegy beszeacutelhetuumlnk szomszeacutedos egeacuteszekről

A racionaacutelis szaacutemoknak nem adhatoacutek meg a koumlzvetlen szomszeacutedjai nincs hozzaacutejuk legkoumlzelebb eső racionaacutelis szaacutem

3 Igaz vagy hamis a) Minden racionaacutelis szaacutem egeacutesz szaacutem Hamis hiszen a toumlrtek is racionaacutelis szaacutemok b) Minden termeacuteszetes szaacutem racionaacutelis szaacutem Igaz mert a termeacuteszetes szaacutemok a racionaacutelis

szaacutemok reacuteszhalmazaacutet keacutepezik c) Van olyan racionaacutelis szaacutem amely termeacuteszetes szaacutem Igaz mert a pozitiacutev egeacuteszek eacutes a 0 is

racionaacutelis szaacutemok eacutes ezek alkotjaacutek a termeacuteszetes szaacutemokat d) Van olyan egeacutesz szaacutem amely nem racionaacutelis szaacutem Hamis minden egeacutesz szaacutem feliacuterhatoacute

toumlrtkeacutent uacutegy hogy a nevezőbe egy 1-est iacuterunk e) Baacutermely keacutet kuumlloumlnboumlző racionaacutelis szaacutem koumlzt talaacutelhatoacute tovaacutebbi racionaacutelis szaacutem Igaz eleacuteg a

keacutet szaacutem oumlsszegeacutenek feleacutere azaz a szaacutemtani koumlzepeacutere hivatkozni f) Keacutet racionaacutelis szaacutem kuumlloumlnbseacutege nem lehet kisebb mint 00000001 Hamis az aacutelliacutetaacutes azt

proacutebaacutelja kiprovokaacutelni hogy van olyan hataacuter amelyneacutel koumlzelebb maacuter nem lehetnek egymaacuteshoz a racionaacutelis szaacutemok Ellenpeacutelda 0000 000 001 eacutes 0000 000 001 1

g) Az 1 eacutes a 1 000 000 koumlzoumltt toumlbb egeacutesz szaacutem van mint racionaacutelis szaacutem a 0 eacutes az 1 koumlzoumltt Hamis hiszen az előbbiek szaacutema veacuteges az utoacutebbiakeacute veacutegtelen



1 Veacuteges eacutes veacutegtelen szakaszos tizedes toumlrtek ndash racionaacutelis szaacutemok tizedes toumlrt alakja

A racionaacutelis szaacutemokat tizedes toumlrtkeacutent is feliacuterhatjuk Neacutezzuumlk meg hogy milyen lehet ez a tizedes toumlrt Mivel minden racionaacutelis szaacutem feliacuterhatoacute keacutet egeacutesz szaacutem haacutenyadosakeacutent a tizedes toumlrt alakot ennek a keacutet szaacutemnak az osztaacutesaacuteval kapjuk Peacuteldaacuteul 2 3 792 5 04 3 8 0375 79 80 098755 8 80= = = = = =

A toumlrtek tizedes toumlrt alakja veacuteges mert egy veacuteges sok osztaacutes utaacuten 0 maradeacutekot kaptunk

Ismeruumlnk azonban maacutes eseteket is Az 13

a legegyszerűbb peacutelda arra hogy egy racionaacutelis szaacutem

tizedes toumlrt alakja maacuteskeacuteppen is viselkedhet 1 1 3 0333333= = ami soha nem eacuter veacuteget hiszen minden osztaacutes utaacuten megjelenik ugyanaz a

maradeacutek Az ilyen veacutegtelen tizedes toumlrtek jeloumlleacuteseacuteneacutel az ismeacutetlődő szaacutemjegy foumlleacute pontot teszuumlnk 2 52 3 06666 06 5 12 041666 0 4163 12= = = = = =amp amp

Az első toumlrt az ismeacutetlődő szaacutemmal kezdődoumltt Ilyen esetekben tiszta szakaszost tizedes toumlrtről beszeacuteluumlnk A maacutesodik toumlrtnek van nem ismeacutetlődő reacutesze ndash 041 ndash majd ezt koumlveti a szakasz Az ilyen szaacutemokat vegyes szakaszos tizedes toumlrteknek nevezzuumlk A szakasz aacutellhat 1 vagy toumlbb jegyből 4 54 9 04444 0 4 5 11 0454545 0 459 11= = = = = =amp amp amp

Uumlgyeljuumlnk arra hogy utoacutebbi szaacutem nem azonos a 045amp szaacutemmal hiszen ez vegyes szakaszos

tizedes toumlrt melyneacutel 1 szaacutemjegyből aacutell a szakasz Utoacutebbi szaacutem a 4190

tizedes toumlrt alakja

Felvetődik a keacuterdeacutes hogy mieacutert lesznek az osztaacutes soraacuten kapott veacutegtelen tizedes toumlrtek szakaszosak

18 FELADATLAP

1 Veacutegezzeacutetek el a koumlvetkező osztaacutesokat Figyeljeacutetek meg haacuteny jegyből aacutell a szakasz Alkalmazzaacutetok a megfelelő jeloumlleacutest

a) 40 9 = 4444 50 9 = 5555 1 jegyből b) 60 11 = 54545 70 11 = 63636 2 jegyből c) 80 7 = 11428571 90 7 = 12857142hellip 6 jegyből

Eacuteszrevehetitek hogy a szakasz hosszaacutet az osztoacute hataacuterozza meg 9-cel osztva peacuteldaacuteul mindig egyjegyű szakaszt kaptunk Azt sem neheacutez kitalaacutelni melyik szaacutem adja az ismeacutetlődő szakaszt 9-cel osztva mindig a maradeacutek jelenik meg a veacutegtelen szakaszos tizedes toumlrtben Adoacutedhat hogy a 79 = 07777 89 = 08888 mintaacutejaacutera a 99-et 0999-re alakiacutetjaacutek a tanuloacutek Ez esetben megint a koumlruumllmeacutenyektől fuumlggően elemezhetjuumlk a veacutegtelen sok 9-esre veacutegződő tizedes toumlrtek eseteacutet


Ha 11-gyel osztunk akkor mindig keacutet jegyből aacutelloacute szakaszt kapunk Osszatok el tovaacutebbi szaacutemokat 11-gyel eacutes figyeljeacutetek meg milyen szaacutemok alkotjaacutek a szakaszt Mennyi a szakaszt alkotoacute szaacutemjegyek oumlsszege Mi lesz az első szaacutemjegy Eacuterdemes oumlnaacutelloacute munkaacuteval felfedeztetni eacutes megfogalmaztatni a tapasztaltakat A tizenegyedek keacutetjegyű szakaszt produkaacutelnak melyben a szaacutemjegyek oumlsszege 9 eacutes az első jegy mindig 1-gyel kisebb mint a maradeacutek

7-tel osztva uacutegy tűnhet sosem eacuter veacuteget az osztaacutes de ha meggondoljuk hogy a maradeacutek csak 7-feacutele lehet (1 2 3 4 5 6 eacutes 0) akkor a 6 osztaacutes utaacuten vagy veacuteges tizedes toumlrtet kapunk vagy egy koraacutebbi maradeacuteknak kell megjelennie Tehaacutet a szakasz nem lehet hosszabb mint 7 ndash 1 = 6 jegy Itt kell a tanuloacuteknak felismerni hogy a szakasz nem aacutellhat toumlbb jegyből mint az osztoacute eacuterteacuteke a maradeacutekok lehetseacuteges eacuterteacutekei miatt Hiba forraacutesa lehet azonban hogy a haacutenyadosban ismeacutetelten megjelenő szaacutemjegyneacutel maacuter a szakasz veacutegeacutere gondolnak holott csak a maradeacuteknaacutel jelentkező ismeacutetlődeacutes jelentheti a szakasz kezdeteacutet Eacuterdemes esetleg szaacutemiacutetoacutegeacuteppel az 117-et megvizsgaacutelni amelynek toumlrt reacuteszeacuteben 0058823 hamar megjelenik a keacutet 8-as de a szakasz csak a 16 jegy utaacuten eacuter veacuteget A 17 a 7 19 23 eacutes 29-hez hasonloacutean hozza a maximaacutelis hosszuacutesaacuteguacute szakaszt eacutes kuumlloumlnboumlző osztandoacutekkal vizsgaacutelva itt is felfedezhető hogy a szakasz jegyeinek sorrendjeacuteben nincs elteacutereacutes csak a kezdőszaacutemban A felfedezeacuteshez termeacuteszetesen nagy pontossaacutegra dolgozoacute program szuumlkseacuteges

Nem a 7-es az egyetlen osztoacute amelyik iacutegy viselkedik Keressetek szaacutemoloacute- vagy szaacutemiacutetoacutegeacuteppel olyan osztoacutekat amelyekneacutel a szakasz hossza eggyel roumlvidebb mint az osztoacute helyeacuten leacutevő szaacutem Ha sokjegynyi pontossaacuteggal műkoumldő programotok van akkor ugyanezt vehetitek eacuteszre 17-tel 19-cel 23-mal vagy 29-cel osztva Teacutevedeacutes lenne ebből arra koumlvetkeztetni hogy minden priacutem eseteacuteben ez a helyzet hiszen peacuteldaacuteul a 13-mal toumlrteacutenő osztaacutesnaacutel csak 6 jegyből aacutell a szakasz Megaacutellapiacutethatoacute hogy az osztaacutesnaacutel kapott veacutegtelen szakaszos tizedes toumlrtben a szakasz jegyeinek szaacutema mindig kevesebb mint az osztoacute helyeacuten leacutevő szaacutem

2 Tizedes toumlrtek ndash veacutegtelenek is ndash nagysaacuteg szerinti rendezeacutese

19 FELADATLAP

1 Veacutegezzeacutetek el az osztaacutest a szakasz felismereacuteseacuteig majd jeloumlljeacutetek megfelelően a kapott veacutegtelen tizedes toumlrtet

123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp

2 Aacutelliacutetsuk a 1 feladatban kapott neacutegy haacutenyadost nagysaacuteg szerint noumlvekvő sorrendbe

A szaacutemok egeacutesz reacutesze megegyezik tehaacutet eleacuteg csak a toumlrt reacuteszeket oumlsszehasonliacutetanunk Segiacutet ha ezuacutettal toumlbb (4) jegyet is leiacuterunk belőluumlk Oumlsszehasonliacutetaacuteskor balroacutel jobbra haladva hasonliacutetjuk oumlssze a szaacutemjegyeket tehaacutet a helyes sorrend 1234444 lt 1234500 lt 1234545 lt 1234555

17 = 0142857 142857hellip 27= 0285714 285714hellip 37= 0428571 428571hellip 47= 0571428 571428hellip 57= 0714285 714285hellip 67= 0857142 857142hellip

Eacuterdemes megfigyelni mi lesz a szakasz ha 7-tel osztunk Laacutethatoacute hogy valoacuteban mindegyik osztaacutes 6 jegyű szakaszt eredmeacutenyezett Figyeld meg a szakaszban szereplő szaacutemok sorrendjeacutet Mit veszel eacuteszre


A tizedes toumlrtek ilyen moacutedon toumlrteacutenő nagysaacuteg szerinti rendezeacutese nagyon fontos Azeacutert pont ezek a szaacutemok keruumlltek ide hogy az aproacute elteacutereacutesek alapjaacuten elmeacutelyiacutetseacutek a helyieacuterteacutekes iacuteraacutesmoacuteduacute szaacutemok rendezeacuteseacutet Ezt a ceacutelt szolgaacutelja a 3 feladat is

3 Iacuterjuk aacutet tizedes toumlrtteacute a koumlvetkező toumlrteket

a) A feladat megoldaacutesaacutet nagyban koumlnnyiacuteti hogy a nevezőben 10 hatvaacutenyai szerepelnek 3

10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67

b) A koumlvetkező toumlrtekből bőviacuteteacutessel olyan toumlrtekhez juthatunk melyeknek nevezői szinteacuten 10 hatvaacutenyai Mieacutert Figyeld meg a nevezők priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacutet 45

08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=

Eacuteszre kell venni hogy a nevező priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacuteban legfeljebb 2 eacutes 5 szerepel Mivel a 10 hatvaacutenyaiban is csak ezek a szaacutemok szerepelnek meacuteghozzaacute egyenlő szaacutemban ezeacutert a bőviacuteteacutes a kevesebb teacutenyező kiegeacutesziacuteteacuteseacutevel toumlrteacutenik

c) Mieacutert nem lehet a koumlvetkező toumlrteket bőviacuteteni az előző mintaacutejaacutera Ismeacutet a nevező priacutemteacutenyezős felbontaacutesa adja meg a vaacutelaszt Milyen moacutedon alakiacutethatod aacutet a toumlrtet tizedes toumlrtteacute

0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=

A probleacutema hogy a nevezőben nemcsak 2 eacutes 5 szerepel hanem valami maacutes szaacutem is iacutegy maacuter nem lehet a nevezőt 10 hatvaacutenyra hozni Marad a szaacutemlaacuteloacute osztaacutesa a nevezővel ami ez esetben veacutegtelen tizedes toumlrtet eredmeacutenyez

OumlSSZEFOGLALAacuteS

Ha egy toumlrt nevezőjeacuteben 10 valamelyik hatvaacutenya szerepel akkor a szaacutemlaacuteloacuteban elhelyezett tizedesvesszővel koumlzvetlenuumll aacutetiacuterhatjuk tizedes toumlrtteacute

0450000145

231001

123

=

=

Ha a toumlrt nevezőjeacutenek priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacuteban legfeljebb 2-es eacutes 5-oumls teacutenyezők vannak akkor bőviacuteteacutessel 10 hatvaacutenyaacutevaacute alakiacutetjuk Ezutaacuten az előzőek szerint toumlrteacutenhet az aacutetalakiacutetaacutes

33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot

Keressuumlnk oumlsszefuumlggeacutest a toumlrtreacutesz hossza eacutes a nevező priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacuteban szereplő kitevők koumlzt Ha eszkoumlzt hasznaacutelva toumlbb peacuteldaacutet is laacutetnak akkor bizonyaacutera felfedezik hogy a szakasz vagy az előtag hossza a nevezőben előforduloacute legnagyobb olyan kitevővel egyezik meg amit a 2 vagy az 5 hordoz Ezeacutert eacuterdemes 64-del vagy akaacuter 1024-del proacutebaacutelkozva sarkiacutetani a szabaacutelyt


Ezeknek a szabaacutelyoknak a felfedezeacutese lehetőleg ne a tanuloacutei koumlnyv alapjaacuten hanem uumlgyes raacutevezető keacuterdeacutesekkel eacutes feladatokkal toumlrteacutenjen Tananyagkeacutent valoacute szerepelteteacutese legfeljebb azt a ceacutelt szolgaacutelja hogy keacutesőbb megtalaacuteljaacutek a tanuloacutek eacutes hivatkozhassanak raacute Semmikeacuteppen sem megtanulandoacute anyag sokkal inkaacutebb a felfedezeacutes szabaacutelyszerűseacutegek felismereacuteseacutenek ceacuteljaacutet szolgaacutelja Ha a nevező priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacuteban nemcsak 2-es eacutes 5-oumls priacutemteacutenyezők vannak akkor nem lehet 10-hatvaacutenyuacute nevezőre bőviacuteteni Ekkor ndash osztaacutessal ndash veacutegtelen tizedes toumlrtet kapunk Ha a nevező priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacuteban se 2-es se 5-oumls nem szerepel akkor tiszta szakaszos tizedes toumlrtet kapunk amely a szakasszal kezdődik Ha szerepel 2-es vagy 5-oumls akkor vegyes szakaszos tizedes toumlrt lesz az eredmeacuteny amelyben van nem ismeacutetlődő reacutesz is

1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp

Keress oumlsszefuumlggeacutest a nem ismeacutetlődő reacutesz hossza eacutes a nevező priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacuteban szereplő kitevők koumlzt

Ezuacutettal is megfigyelhető hogy a nem ismeacutetlődő reacutesz hosszaacutet a 2 vagy az 5 kitevője koumlzuumll a nagyobb hataacuterozza meg

4 Iacuterjaacutetok aacutet a 2 11 21 1 19 7 53 9 50 100 5 90 33 250

toumlrteket tizedes toumlrtteacute majd rendezzeacutetek

azokat noumlvekvő sorrendbe 2 11 210 222 0 22 0 219 50 1001 19 7 530 2 0 2111 0 2121 0 2125 90 33 250

= = =

= = = =

Ennek megfelelően a tizedes toumlrtek nagysaacuteg szerinti sorrendje 02 lt 021 lt 02111hellip lt 0212 lt 0212121hellip lt 022 lt 0222hellip Eacuterdemes felvetni ndash eacutes gyorsan elutasiacutetani ndash a koumlzoumls nevezőre hozaacutessal toumlrteacutenő rendezeacutest hiszen a nevezők legkisebb koumlzoumls toumlbbszoumlroumlse 49 500 lenne Itt hangsuacutelyozzuk hogy a szaacutemok toumlrtalakja aacuteltalaacuteban keveacutesbeacute alkalmas a nagysaacuteguk oumlsszehasonliacutetaacutesaacutera mint a tizedes toumlrtalak Az ilyen feladatokban a tizedes toumlrt alakban valoacute feliacuteraacutes ceacutelravezetőbb

5 Doumlntseacutetek el a koumlvetkező toumlrtek koumlzuumll melyeknek lesz veacuteges tizedes toumlrt alakja

11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024

Proacutebaacuteljaacutetok megaacutellapiacutetani a toumlrtreacuteszben szereplő jegyek szaacutemaacutet Eleacuteg a nevezőről megaacutellapiacutetani tartalmaz-e 2 eacutes 5 mellett maacutes priacutemteacutenyezőt is Ha ezt megtalaacuteljaacutek akkor a priacutemteacutenyezős felbontaacutestoacutel is eltekinthetuumlnk


6 Igaz vagy hamis (Az aacutelliacutetaacutesok tovaacutebb nem egyszerűsiacutethető toumlrtekre vonatkoznak) a) Ha egy toumlrt nevezője 2 hatvaacutenya akkor tizedes toumlrt alakja veacuteges

Igaz meacuteghozzaacute annyi jegyből fog aacutellni amennyi a 2 kitevője b) Ha egy toumlrt nevezője 10 hatvaacutenya akkor tizedes toumlrt alakja veacuteges

Igaz mint az előzőneacutel c) Ha egy toumlrt nevezője paacuteros akkor tizedes toumlrt alakja veacuteges

A paacuteros nevező csak annyit jelent hogy a nevező priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacuteban van kettes Emellett azonban baacutermi szerepelhet ami elrontja a veacutegesseacuteget pl maacuter a hatodok is veacutegtelen tizedes toumlrtek

d) Ha egy toumlrt nevezője paacuteratlan akkor tizedes toumlrt alakja veacutegtelen Hamis mert 5 hatvaacutenyai paacuteratlanok eacutes veacuteges tizedes toumlrtet eredmeacutenyeznek

e) Ha egy toumlrt nevezője 1-neacutel nagyobb eacutes 1-re 3-ra 7-re vagy 9-re veacutegződik akkor tizedes toumlrt alakja veacutegtelen Igaz mert ezekben az esetekben nem is lehet a priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacuteban 2 eacutes 5 tehaacutet raacuteadaacutesul tiszta szakaszos tizedes toumlrtek lesznek (Kiveacuteve ha a nevező 1)

f) Ha egy toumlrt veacuteges tizedes toumlrtteacute iacuterhatoacute akkor reciprokaacutenak tizedes toumlrt alakja is veacuteges Hamis mert a reciprok eseteacuten a szaacutemlaacuteloacute keruumll a nevezőbe Pl frac34

g) Ha egy toumlrt nevezője paacuteros vagy 5-re veacutegződik eacutes tizedes toumlrt alakja veacutegtelen akkor a tizedes toumlrtben lesz nem ismeacutetlődő reacutesz is Ez a megaacutellapiacutetaacutes arroacutel szoacutel hogy a nevező priacutemteacutenyezős felbontaacutesaacuteban szerepel 2 vagy 5 iacutegy a tizedes toumlrt vegyes szakaszos lesz

h) Ha egy toumlrt nevezője legalaacutebb keacutetjegyű eacutes abban csak egyforma szaacutemjegyek talaacutelhatoacutek akkor annak tizedes toumlrt alakja nem lehet veacuteges A felteacutetel inkaacutebb szaacutemelmeacuteleti probleacutemaacutet vet fel az ilyen tiacutepusuacute szaacutemok priacutemteacutenyezős felbontaacutes mindenkeacuteppen tartalmaz 2 eacutes 5 mellett maacutes szaacutemot is pl 11 vagy 111 vagy 1111 baacuter ezek oumlsszetettek de hoznak uacutej priacutemeket

i) Ha egy toumlrt tizedes toumlrt alakja veacuteges akkor annak neacutegyzete is 3 4 stb hatvaacutenya is veacuteges tizedes toumlrtet ad (Proacutebaacuteld bebizonyiacutetani veacutelemeacutenyed) Ha veacuteges akkor a nevezőben legfeljebb 2 eacutes 5 szerepel de neacutegyzetre emeleacutessel nem kapunk uacutejabb priacutemteacutenyezőket Keacutezenfekvőbb azonban arra hivatkozni hogy a szorzaacutes művelete keacutet veacuteges tizedes toumlrtből nem eredmeacutenyezhet veacutegtelent

7 Szaacutemiacutetoacutegeacutepes programmal sok jegy pontossaacuteggal iacuterjaacutetok aacutet tizedes toumlrt alakba az 1 1 1 49 499 4999

toumlrteket Milyen eacuterdekesseacuteget veszel eacuteszre a toumlrtreacuteszben

1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp

Tehaacutet a toumlrt reacuteszben 2 hatvaacutenyai jelennek meg legalaacutebbis egy ideig meacuteghozzaacute annyi jegyre ahaacuteny jegyű a nevező Ha megtalaacuteljaacutek a tanuloacutek a szakasz veacutegeacutet akkor ott pedig az 5 hatvaacutenyait laacutethatjaacutek

TUDNIVALOacute

A racionaacutelis szaacutemok tizedes toumlrt alakja veacuteges vagy veacutegtelen szakaszos tizedes toumlrt


3 Veacuteges tizedes toumlrtek toumlrt alakja

Az előzőekben toumlrteket hoztunk tizedes toumlrt alakra most veacutegezzuumlk el ennek a feladatnak a fordiacutetottjaacutet Az 1-neacutel kisebb szaacutemok eseteacuten a toumlrt reacutesz keruumll a szaacutemlaacuteloacuteba eacutes a legkisebb helyeacuterteacutek a nevezőbe

07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123

Ha a tizedes toumlrt egyneacutel nagyobb akkor a szaacutemlaacuteloacuteba a tizedes toumlrt keruumll de tizedesvessző neacutelkuumll

567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001

Mivel ez az anyag maacuter oumltoumldikben is előkeruumllt a tanuloacutek lehetőleg koumlnyv eacutes egyeacuteb segiacutetseacuteg neacutelkuumll oumlnaacutelloacutean oldjaacutek meg a feladatokat Iacuterjaacutetok aacutet a koumlvetkező tizedes toumlrteket toumlrtalakba majd veacutegezzeacutetek el a lehetseacuteges egyszerűsiacuteteacuteseket

01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =

A szaacutemok a didaktikai sorrend elveacutenek megfelelően iacuteroacutedtak az előző szinte vonzza a koumlvetkezőt Veacutegigjaacuterva aacutetismeacutetlik eacutes be is gyakoroljaacutek a koraacutebban tanultakat

4 Peacuteldaacutek nem racionaacutelis szaacutemokra

Baacuter az alapműveletek nem vezetnek ki a racionaacutelis szaacutemok koumlreacuteből ez nem jelenti azt hogy nincsenek nem racionaacutelis szaacutemok Keacutesőbb megismerkeduumlnk olyan műveletekkel melyek a racionaacutelis szaacutemok koumlreacuteből is kivezetnek Az iacutegy kapott szaacutemokat irracionaacutelis szaacutemoknak nevezzuumlk Bebizonyiacutethatoacute hogy az irracionaacutelis szaacutemok nem iacuterhatoacutek fel egeacutesz szaacutemok haacutenyadosakeacutent eacutes tizedes toumlrt alakjuk veacutegtelen eacutes nem szakaszos Ilyen irracionaacutelis szaacutem a goumlroumlg π (pi) betűvel jeloumllt szaacutem melynek koumlzeliacutető eacuterteacuteke 3141592653 Ez a szaacutem jaacutetszik szerepet a koumlr keruumlleteacutenek eacutes teruumlleteacutenek kiszaacutemiacutetaacutesaacuteban Ugyancsak irracionaacutelis szaacutemmal adhatoacute meg annak a neacutegyzetnek az oldala melynek teruumllete 2 teruumlletegyseacuteg Ez a hosszuacutesaacuteg megkoumlzeliacutetőleg 1414213562 Ezeket a szaacutemokat a gyakorlatban a megvastagiacutetott kerekiacutetett eacuterteacutekuumlkkel szoktaacutek helyettesiacuteteni Mi magunk is tudunk irracionaacutelis szaacutemokat bdquogyaacutertanirdquo ha valamilyen szabaacutelyossaacuteggal veacutegtelen nem szakaszos tizedes toumlrtet aacutelliacutetunk elő Ilyenek peacuteldaacuteul 010110111011110111110 0123456789101112131415 02481632641282565121024 Fogalmazd meg milyen szabaacutelyszerűseacuteggel aacutelliacutetottuk elő a fenti irracionaacutelis szaacutemokat Igaz-e hogy ezek veacutegtelen tizedes toumlrtek Igaz-e hogy nem szakaszosak Az irracionaacutelis szaacutemokkal kiegeacutesziacutető anyagkeacutent talaacutelkozhattok ennek a fejezetnek a veacutegeacuten


20 FELADATLAP 1 Iacuterjatok konkreacutet peacuteldaacutet racionaacutelis szaacutemokkal a koumlvetkező esetekre Ha nem talaacuteltok megoldaacutest indokoljaacutetok meg mieacutert nincs

a) Keacutet toumlrt oumlsszege egeacutesz 2 4 23 3+ =

b) Keacutet kuumlloumlnboumlző toumlrt kuumlloumlnbseacutege egeacutesz 1124 ndash 724 = 4 (azonosak a toumlrt reacuteszek)

c) Keacutet kuumlloumlnboumlző toumlrt szorzata egeacutesz 125 08 = 1 (pl reciprokok vagy reciprokok toumlbbszoumlroumlsei)

d) Keacutet azonos toumlrt szorzata egeacutesz Racionaacutelis szaacutemok koumlzt nem lehet (irracionaacutelisnaacutel igen pl neacutegyzetgyoumlk kettő)

e) Keacutet kuumlloumlnboumlző toumlrt haacutenyadosa egeacutesz 45 05 = 9

f) Keacutet negatiacutev egeacutesz szaacutem oumlsszege termeacuteszetes szaacutem Nem lehet mert az oumlsszeg negatiacutev lesz

g) Keacutet negatiacutev egeacutesz kuumlloumlnbseacutege termeacuteszetes szaacutem minus15 ndash (minus20) = +5

h) Keacutet negatiacutev szaacutem szorzata negatiacutev Nem lehet

i) Keacutet nem pozitiacutev szaacutem szorzata nem negatiacutev Lehet ha valamelyik nem pozitiacutev nulla akkor a szorzat is nulla azaz nem negatiacutev

j) Keacutet pozitiacutev szaacutem szorzata kisebb baacutermelyikuumlkneacutel Kisebbek 1-neacutel 02 middot 03

k) Egy egeacutesz eacutes egy toumlrt szorzata egeacutesz 04 middot 200

l) Egy egeacutesz eacutes egy toumlrt oumlsszege egeacutesz Nem lehet


2 Helyezzeacutetek el a koumlvetkező szaacutemokat a halmazaacutebraacuteban 4 33 5123 2006 0159

66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp

a) Milyen szaacutemok keruumllnek a halmazaacutebra keacutek reacuteszeacutebe

A keacutek reacuteszbe azok a toumlrt szaacutemok keruumlltek amelyek nem egeacuteszek (A racionaacutelis eacutes az egeacutesz szaacutemok kuumlloumlnbseacuteghalmaza)

b) Milyen szaacutemok keruumllnek a halmazaacutebra saacuterga reacuteszeacutebe A saacuterga reacuteszbe a negatiacutev egeacuteszek keruumlltek (Az egeacuteszek eacutes a termeacuteszetes szaacutemok kuumlloumlnbseacuteghalmaza)

c) A halmazaacutebra melyik sziacutenű reacuteszeacutebe keruumllhet keacutet zoumlld szaacutem oumlsszege illetve szorzata Keacutet zoumlld azaz termeacuteszetes szaacutem oumlsszege eacutes szorzata is termeacuteszetes tehaacutet a zoumlld reacuteszben marad

d) A halmazaacutebra mely reacuteszeacutebe keruumllhet keacutet saacuterga szaacutem oumlsszege illetve szorzata Keacutet saacuterga azaz negatiacutev egeacutesz szaacutem oumlsszege negatiacutev egeacutesz tehaacutet saacuterga szorzata pozitiacutev egeacutesz tehaacutet zoumlld lesz

e) Hova keruumllhet keacutet saacuterga szaacutem haacutenyadosa Keacutet negatiacutev egeacutesz szaacutem haacutenyadosa pozitiacutev tehaacutet kikeruumll a saacutergaacuteboacutel de lehet zoumlld peacuteldaacuteul ndash6 eacutes ndash3 haacutenyadosa vagy keacutek ndash7 eacutes ndash4 haacutenyadosa

f) Van-e olyan szaacutem a felsoroltak koumlzt amelyik a halmazaacutebra feheacuter reacuteszeacutebe keruumllt Mieacutert A 660660666066660 veacutegtelen eacutes nem szakaszos tizedes toumlrtet jelez Iacutegy ez a szaacutem a feheacuter reacuteszbe keruumll Persze ezt nem koumlnnyű eacuteszrevenni a tanuloacuteknak ha ez az első talaacutelkozaacutesuk nem racionaacutelis szaacutemmal

g) Lehet-e keacutet keacutek szaacutem oumlsszege kuumlloumlnbseacutege szorzata haacutenyadosa zoumlld szaacutem Keacutet toumlrtszaacutem oumlsszege kuumlloumlnbseacutege szorzata eacutes haacutenyadosa is lehet termeacuteszetes szaacutem peacuteldaacuteul

23 + 47 = 7 513 ndash 213 = 3 125 middot 16 = 2 36 09 = 4 Keressenek a tanuloacutek peacuteldaacutekat toumlrtalakuacute szaacutemokkal is

Racionaacutelis szaacutemok


Termeacuteszetes szaacutemok

Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip


5 Racionaacutelis szaacutemok eacutes a szaacutemegyenes intervallumai

Ez az oacuterareacuteszlet csak kuumlloumln oacuterakeretben vagy szakkoumlri anyagkeacutent dolgozhatoacute fel A legfontosabb ismeretek a racionaacutelis szaacutemokroacutel szoacuteloacute fejezet veacutegeacuten ( V 3 pont) talaacutelhatoacuteak meg

21 FELADATLAP

Haacuteny racionaacutelis szaacutem van

A racionaacutelis szaacutemok alapjait megismerve olyan iraacutenyba indulunk hogy keacutepuumlnk lehessen az irracionaacutelis szaacutemokroacutel Ez a reacutesz a keacutet szaacutemhalmaz rokon tulajdonsaacutegait veszi ceacutelba

Tudjuk hogy a racionaacutelis szaacutemok szaacutema veacutegtelen hiszen magukban foglaljaacutek az ugyancsak veacutegtelen sok szaacutemot tartalmazoacute egeacuteszek halmazaacutet Miacuteg azonban a szaacutemegyenes baacutermekkora ndash veacuteges ndash reacuteszeacutet lefedve veacuteges szaacutemuacute egeacutesz szaacutemot takarnaacutenk le addig racionaacutelis szaacutem a szaacutemegyenes legroumlvidebb szakaszaacuten is veacutegtelen sok van A fekete csiacutek aacuteltal lefedett egeacuteszek szaacutema veacuteges mert laacutethatoacutean kevesebb mint 200

Ezzel a fekete csiacutekkal mind a negatiacutev mind a pozitiacutev szaacutemok koumlzuumll veacutegtelen sokat fedtuumlnk le

Legyen A eacutes B a szaacutemegyenesen keacutet kuumlloumlnboumlző racionaacutelis szaacutem Mutassuk meg hogy van koumlzoumlttuumlk is racionaacutelis szaacutem

1 Legyen a C az AB szakasz felezőpontja

Igaz-e hogy C-hez tartozoacute szaacutem racionaacutelis

Mivel C az A eacutes a B szaacutemtani koumlzepe ezeacutert eacuterteacutekeacutet uacutegy kapjuk meg hogy oumlsszeadjuk a keacutet szaacutemot majd elosztjuk 2-vel Mivel ezek a műveletek nem vezetnek ki a racionaacutelis szaacutemok koumlreacuteből ezeacutert C is racionaacutelis szaacutem lesz Hasonloacute eljaacuteraacutessal kaphatunk racionaacutelis szaacutemokat A eacutes C illetve C eacutes B koumlzoumltt meacuteghozzaacute tetszőlegesen sokat

2 Keressuumlnk racionaacutelis szaacutemot a koumlvetkező szaacutemok koumlzoumltt

a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99

c) 0001 eacutes 0002

d) 1111 eacutes 11111 Egyik lehetőseacuteg hogy kiszaacutemiacutetjuk a szaacutem paacuterok szaacutemtani koumlzepeacutet peacuteldaacuteul

C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

vagy (0001 + 0002) 2 = 0003 2 = 00015 Maacutesik uacutet hogy a toumlrteket koumlzoumls nevezőre hozzuk majd tetszőlegesen nagy nevezőre bőviacutetjuumlk azokat Ezutaacuten koumlnnyedeacuten illeszthetuumlnk koumlzeacutejuumlk toumlrteket 1 2 20 1 3 303 6 60 2 6 60

eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt

Tizedes toumlrtekneacutel meacuteg egyszerűbb a dolgunk hiszen eleacuteg a kisebbik szaacutem toumlrt reacuteszeacutehez az első elteacuterő szaacutemjegytől tetszőleges szaacutemokat hozzaacuteiacuterni 0001 lt 0001 1 lt 0001 2 lt 0001 23 lt 0001 234 lt hellip lt 0002 illetve 0111 lt 01110 1 lt 01110 2 lt 01110 21 lt 01110 211lt hellip lt 01111

3 Keressetek 3-3 szaacutemot amelyek igazzaacute teszik a koumlvetkező egyenlőtlenseacutegeket

Ezek a feladatok nem csak a szaacutemegyenes feltoumllteacuteseacutet a racionaacutelis szaacutemok sűrűseacutegeacutet igazoljaacutek de igen alkalmasak azok nagysaacuteg szerinti rendezeacuteseacutenek meacutelyiacuteteacuteseacutere is

a) ndash001 lt a lt 001 ndash0001 0 +0001

b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200

koumlzoumls nevezőre hozunk majd bőviacutetuumlnk vagy tizedes

toumlrtteacute is alakiacutethatunk

d) 3130 ltlt d mivel az 1 033333

3= hellip ezeacutert 031-gyel kezdődő toumlrtek mind joacutek

e) 0123 lt e lt 01234 01230hellip utaacuten baacutermi iacuterhatoacute

f) 03 034flt ltamp 0334hellip utaacuten baacutermi iacuterhatoacute

g) 0121 012glt ltamp amp amp amp 012113helliputaacuten baacutermi iacuterhatoacute

6 Veacutegtelen nem szakaszos tizedes toumlrtek eacutes az irracionaacutelis szaacutem

Mivel racionaacutelis szaacutemokat a szaacutemegyenes baacutermely reacuteszeacuten talaacutelunk eacutes baacutermelyik kettő koumlzt veacutegtelen tovaacutebbi talaacutelhatoacute felvetődik a keacuterdeacutes hogy a racionaacutelis szaacutemokhoz tartozoacute pontok kitoumlltik-e a szaacutemegyenest vagy maradnak olyan pontok amelyek nem racionaacutelis szaacutemokhoz tartoznak

Tudnunk kell hogy ez igen komoly fejtoumlreacutest okozoacute keacuterdeacutes nemcsak a tanuloacutek szaacutemaacutera hiszen szemleacuteletuumlnk szerint a mindenhol jelenleacutevő racionaacutelis szaacutemok laacutetszoacutelag kizaacuterjaacutek maacutes szaacutemok leacutetezeacuteseacutenek lehetőseacutegeacutet

A keacuterdeacutes megvaacutelaszolaacutesaacutehoz teacuterjuumlnk vissza a racionaacutelis szaacutemok tizedes toumlrt alakjaacutehoz Tudjuk hogy minden racionaacutelis szaacutem feliacuterhatoacute keacutet egeacutesz szaacutem haacutenyadosakeacutent ebből adoacutedoacutean a tizedes toumlrt alakjuk vagy veacuteges vagy veacutegtelen de utoacutebbi esetben is szakaszos tizedes toumlrt Adoacutedik a koumlvetkező keacuterdeacutes


Vannak-e veacutegtelen nem szakaszos tizedes toumlrtek

Mivel olyan művelet nem ismert a tanuloacuteink előtt ami kivezetne a racionaacutelis szaacutemok koumlreacuteből ezeacutert az egyetlen jaacuterhatoacute uacutet hogy csinaacutelunk ilyeneket meacuteghozzaacute tizedes toumlrtekből megfelelő a szakaszt bdquotoumlnkretevőrdquo truumlkkoumlkkel Baacuter eddig ilyenekkel nem talaacutelkoztunk hiszen az alapműveletek nem szolgaacuteltatnak erre lehetőseacuteget de ettől meacuteg előaacutelliacutethatunk ilyeneket

4 Folytassaacutetok a toumlrt reacuteszt egy benne fellelhető szabaacutely szerint tovaacutebbi szaacutemjegyekkel a) 010110111011110111110 111111 0 1111111 0 11111111 0hellipminden 0 utaacuten eggyel toumlbb 1 koumlvetkezik b) 0123467891011121314 15 16 17 18 19 20hellip c) 02357111317 19 23 29 31hellip priacutemek sorozata d) 01123581321 34 55 89hellip Fibonacci-sorozat tagjai e) 002040801603206401280256() 0512 1024 2048hellip 2 hatvaacutenyai minden uacutejabb kettő

hatvaacuteny koumlzoumltt egy 0-val Koraacutebban talaacutelkoztunk olyan racionaacutelis szaacutemmal is melynek tizedes toumlrt alakja ugyaniacutegy kezdődik 14999

f) Meg lehet-e mondani baacutermely toumlrtreacuteszről a felismert szabaacutely alapjaacuten hogy mi lesz a 20 50 100 tag Egyeacutertelműen megadhatoacute akaacutermelyik tag baacuter esetenkeacutent nem koumlnnyű kiszaacutemolni

g) Kialakulhatnak-e ezekben a veacutegtelen tizedes toumlrtekben a racionaacutelis szaacutemokra jellemző ismeacutetlődő szakaszok Nem A tanuloacutek gyakran oumlsszeteacutevesztik a szabaacutelyossaacutegot a szakaszossaacuteggal Fontos tisztaacutezni hogy eacuteppen a toumlrt reacuteszben leacutevő szabaacutelyossaacuteg kizaacuterja a szakasz kialakulaacutesaacutet

A veacutegtelen nem szakaszos tizedes toumlrtek nem racionaacutelis szaacutemok A fenti moacutedon előaacutelliacutetott szaacutemokat irracionaacutelis szaacutemoknak nevezzuumlk Az irracionaacutelis szaacutemok nem iacuterhatoacutek fel keacutet egeacutesz szaacutem haacutenyadosakeacutent Az irracionaacutelis szaacutemok ilyen bevezeteacuteseacutevel indirekt moacutedon jutunk a legfontosabb tulajdonsaacutegukhoz miszerint nem iacuterhatoacutek fel ab alakban A bizonyiacutetaacutest azonban elveacutegezhetjuumlk hiszen azt maacuter tudjaacutek hogy mieacutert lesz egy racionaacutelis szaacutem tizedes toumlrt alakja szakaszos

5 Keacutesziacutetsuumlnk veacutegtelen tizedes toumlrteket Mit gondoltok az adott szabaacutely racionaacutelis vagy irracionaacutelis szaacutemot eredmeacutenyez-e Minek alapjaacuten tudjaacutetok eldoumlnteni A keacuterdeacutes megvaacutelaszolaacutesaacutehoz azt kell eldoumlnteni hogy az adott szabaacutely lehetőveacute teszi-e szakasz kialakulaacutesaacutet vagy ellenkezőleg eacuteppen hogy megakadaacutelyozza azt

a) Iacuterjaacutetok a toumlrtreacuteszbe az 5 toumlbbszoumlroumlseit 05101520253035 nem lesz szakasz tehaacutet irracionaacutelis

b) Iacuterjaacutetok a toumlrtreacuteszbe az egymaacutest koumlvető pozitiacutev egeacuteszek 5-oumls maradeacutekaacutet

0123401234012340hellip racionaacutelis mert szakaszos lesz a toumlrt 1234099999

c) Iacuterjaacutetok a toumlrt reacuteszbe az egymaacutest koumlvető pozitiacutev egeacuteszek neacutegyzeteacutet 014916253649hellip nem lesz szakasz tehaacutet irracionaacutelis Ugyan a szaacutemveacutegződeacutesek szakaszt keacutepeznek de a koumlztuumlk leacutevő szaacutemok nem

d) Iacuterjaacutetok a toumlrt reacuteszbe az egymaacutest koumlvető pozitiacutev egeacuteszek neacutegyzeteacutenek utolsoacute szaacutemjegyeacutet

01496569410 1496569410 1496569410hellip racionaacutelis 1496569 410 166 2854909999999999 1111111111

=


e) Vegyeacutetek az 81 tizedes toumlrt alakjaacutet majd iacuterjaacutetok a toumlrtreacutesz veacutegeacutere a 2 feladat b) pontjaacuteban

szereplő szaacutemot 0125 123467891011121314 Ez a peacutelda azt mutatja hogyan alakiacutethatoacute egy veacuteges tizedes toumlrt irracionaacutelis szaacutemmaacute Maacuter itt raacutevilaacutegiacutethatunk hogy ezt veacutegtelen sokfeacutelekeacuteppen megtehetjuumlk

f) Vegyeacutetek az 13

tizedes toumlrt alakjaacutet eacutes adjaacutetok hozzaacute az 2 feladat a) feladatban szereplő

szaacutemot 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 hellip + 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 hellip 0 4 3 4 4 3 4 4 4 3 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 3 hellip Első peacutelda arra hogy irracionaacutelis szaacutemmal alapműveletet veacutegzuumlnk Szemleacuteletes peacuteldaacutejaacutet adja hogy racionaacutelis eacutes irracionaacutelis szaacutem oumlsszege irracionaacutelis Azt is kiolvashatjuk belőle hogy keacutet irracionaacutelis szaacutem kuumlloumlnbseacutege lehet racionaacutelis

7 Irracionaacutelis szaacutemok a racionaacutelis szaacutemok koumlzoumltt ndash a valoacutes szaacutemok halmaza

Most hogy laacutettunk neacutehaacuteny irracionaacutelis szaacutemot feltehetjuumlk a keacuterdeacutest

Haacuteny irracionaacutelis szaacutem van

Laacutettuk hogy baacutermely keacutet racionaacutelis szaacutem koumlzoumltt veacutegtelen sok racionaacutelis szaacutem van Van-e baacutermely keacutet racionaacutelis szaacutem koumlzoumltt irracionaacutelis szaacutem is Laacutettuk hogy keacutet racionaacutelis szaacutem koumlzeacute koumlnnyen beilleszthetuumlnk tovaacutebbi racionaacutelis szaacutemokat Azt is laacutettuk hogy egy racionaacutelis szaacutem tizedes toumlrt alakjaacutenak megfelelő moacutedosiacutetaacutesaacuteval hozzaacute tetszőlegesen koumlzel aacutelloacute irracionaacutelis szaacutemokhoz juthatunk

8 Peacuteldaacutek konkreacutet irracionaacutelis szaacutemokra

6 Keressetek irracionaacutelis szaacutemokat amelyek igazzaacute teszik az egyenlőtlenseacutegeket

a) 05 lt a lt 06 Keresuumlnk 05 eacutes 06 koumlzoumltt racionaacutelis szaacutemot pl 051 majd a veacutegeacutere iacuterjuk egy irracionaacutelis szaacutem toumlrt reacuteszeacutet 051 10110111011110hellip Termeacuteszetesen veacutegtelen tizedes toumlrtet is vaacutelaszthatunk majd abboacutel kiindulva juthatunk irracionaacutelis szaacutemhoz 055555555hellip + 012112111211112111112hellip = 067667666766667666667

b) 2063

blt lt

Az előzőhoumlz hasonloacutean a 061-ből kiindulva juthatunk szaacutemtalan moacutedon szaacutemtalan irracionaacutelis szaacutemhoz

c) 06 07clt ltamp Itt a 067-ből induljunk ki eacutes egeacutesziacutetsuumlk ki irracionaacutelis toumlrtreacutesszel

7 Laacutettuk hogy baacutermely keacutet racionaacutelis szaacutem koumlzoumltt van irracionaacutelis Elmondhatoacute ez vajon fordiacutetva is azaz baacutermely keacutet irracionaacutelis szaacutem koumlzoumltt is van irracionaacutelis eacutes racionaacutelis szaacutem Proacutebaacuteld a tizedes toumlrtekkel megismert lehetőseacutegek felhasznaacutelaacutesaacuteval igazolni elkeacutepzeleacutesed


A koumlvetkező gondolatmenettel jaacutetszhatunk el de csak akkor ha a tanuloacutek eacuterettseacutege ezt megengedi eacutes kellő oumlnaacutelloacutesaacuteggal alkalmazzaacutek a tanultakat A keacutet irracionaacutelis szaacutem veacutegtelen nem szakaszos tizedes toumlrt legyen A lt B Attoacutel fuumlggően mennyire koumlzel vannak egymaacuteshoz egy vagy toumlbb jegyuumlkben megegyeznek de egy adott helyeacuterteacuteken a B-neacutel nagyobb jegy szerepel Ettől a ponttoacutel kezdve A jegyeit elhagyjuk uacutegy hogy a visszamaradoacute szaacutem nagyobb legyen A-naacutel de kisebb legyen B-neacutel A = 0123 234 345 456 567hellip B = 0123 234 345 567 678hellip A keresett szaacutem 0123 234 345 46 A eacutes B koumlzoumltt van eacutes racionaacutelis hiszen veacuteges

A racionaacutelis eacutes irracionaacutelis szaacutemokat egyuumltt valoacutes szaacutemoknak nevezzuumlk A valoacutes szaacutemok teljesen kitoumlltik a szaacutemegyenest azaz a szaacutemegyenes minden pontja megfelel egy valoacutes szaacutemnak A valoacutes szaacutemok halmazaacutet R betűvel jeloumlljuumlk

Az iracionaacutelis szaacutemok szerepe nemcsak a szaacutemegyenes bdquokitoumllteacuteseacutebenrdquo aacutell Szaacutemtalan valoacutes probleacutemaacutenak csak az irracionaacutelis szaacutemok koumlreacuteben van megoldaacutesa Ezek koumlzuumll iacuteme kettő ndashHa egy neacutegyzet teruumlle van megadva akkor az oldala aacuteltalaacuteban irracionaacutelis szaacutem Peacuteldaacuteul ha a teruumllete 2 (cm2) akkor az oldala 1414213562 (cm) kezdetű irracionaacutels szaacutem Pontosan neacutegyzetgyoumlk kettő-nek nevezzuumlk eacutes 2 -vel jeloumlljuumlk

ndashBaacutermely koumlr keruumlleteacutenek hosszaacutet elosztva az aacutetmeacuterő hosszaacuteval egy 3141592653 kezdetű irracionaacutelis szaacutemot kapnaacutenk melyet a goumlroumlg pi (π) betűvel jeloumlluumlnk Ezeken a peacuteldaacutekon kiacutevuumll is szaacutemtalan feladat vezetne irracionaacutelis szaacutemokhoz de ezeket gyakorlati megfontolaacutesboacutel a mindennapi eacuteleben racionaacutelis szaacutemmaacute kerekiacutetjuumlk



MODULLEIacuteRAacuteS A modul ceacutelja A kuumlloumlnboumlző szaacutemok eacutes iacuteraacutesmoacutedjuk szaacutemkoumlroumlk ismeacutetleacutese rendszerezeacutese speciaacutelis elemek szerepe a

szaacutemkoumlroumlkoumln beluumll Időkeret 6 oacutera Ajaacutenlott korosztaacutely 12-13 eacutevesek 7 eacutevfolyam Modulkapcsoloacutedaacutesi pontok Alapműveletek hatvaacutenyozaacutes műveleti tulajdonsaacutegok algebra szaacutemelmeacutelet A keacutepesseacutegfejleszteacutes foacutekuszai Szaacutemlaacutelaacutes szaacutemolaacutes matematikatoumlrteacuteneti kitekinteacutes kapcsaacuten a szaacutemlaacutelaacutes eacutes szaacutemolaacutes toumlrteacuteneteacutenek

egyes fejezetei Szoumlvegesfeladat-megoldaacutes probleacutemamegoldaacutes metakognicioacute egyenlet eacutes feladat koumlzti kapcsolat

kereseacutese nyitott mondatok megoldaacutesaacutenak eacutertelmezeacutese Rendszerezeacutes kombinativitaacutes Nyitott mondatok megoldaacuteshalmazai intervallumok egymaacuteshoz valoacute

viszonya az egeacutesz szaacutemok eacutes racionaacutelis szaacutemok sokfeacutele alakja

AJAacuteNLAacuteS A modul (nem haacutetteacuteranyag reacutesze) viszonylag keveacutes uacutej ismeretet tartalmaz inkaacutebb szintetizaacuteloacute jellegű Fő feladata a szaacutemkoumlroumlk bőviacuteteacuteseacutenek megeacuterteteacutese a matematikai szemleacutelet fejleszteacutese az egyes halmazok oumlsszehasonliacutetaacutesa paacuterhuzamba aacutelliacutetaacutesa Ennek kapcsaacuten vaacuteltozatos gondolkodaacutesi moacutedszerek fejleszteacuteseacutere nyiacutelik lehetőseacuteg Fontos teveacutekenyseacuteg a konkreacutetumokboacutel kiinduloacute aacuteltalaacutenosiacutetaacutes eacutes ennek kapcsaacuten bizonyos algebrai ismeretek megalapozaacutesa A haacutetteacuteranyagok joacute lehetőseacuteget adnak a taniacutetaacutesi oacuteraacutekon valoacute differenciaacutelaacutesra az oacuteraacuten elkezdett gondolatok szakkoumlroumln toumlrteacutenő tovaacutebbgondolaacutesaacutera A feladatok megoldaacutesaacutet helyenkeacutent nem jeloumlltuumlk pirossal hanem szuumlrke haacutetteacuterben a moacutedszertani megfontolaacutesokkal egyuumltt adtuk meg

TAacuteMOGATOacute RENDSZER Feladatlapok feladatgyűjtemeacuteny

EacuteRTEacuteKELEacuteS A gyerekek munkaacutejaacutenak folyamatos megfigyeleacutese szoacutebeli eacuterteacutekeleacutese



MODULVAacuteZLAT


Feladatok






















IV A toumlrtek



15 feladatlap 2-5






16 feladatlap 12


16 feladatlap 3-5


17 feladatlap






21 feladatlap












1 FELADATLAP


A csoport











B csoport










C csoport













7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =




















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt











MODULVAacuteZLAT


Feladatok






















IV A toumlrtek



15 feladatlap 2-5






16 feladatlap 12


16 feladatlap 3-5


17 feladatlap






21 feladatlap












1 FELADATLAP


A csoport











B csoport










C csoport













7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =




















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt


















IV A toumlrtek



15 feladatlap 2-5






16 feladatlap 12


16 feladatlap 3-5


17 feladatlap






21 feladatlap












1 FELADATLAP


A csoport











B csoport










C csoport













7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =




















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt













16 feladatlap 12


16 feladatlap 3-5


17 feladatlap






21 feladatlap












1 FELADATLAP


A csoport











B csoport










C csoport













7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =




















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt




















1 FELADATLAP


A csoport











B csoport










C csoport













7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =




















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt












1 FELADATLAP


A csoport











B csoport










C csoport













7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =




















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt














B csoport










C csoport













7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =




















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt














C csoport













7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =




















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt

















7 5 2 1 1 1 1 1 10 10 10 2 5 3 5 6

= + = + = + + =




















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt





















١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt










١ ٢ ٧ ٠ ٤ ٩ ٦ ٣ ٥ ٨ ٩ ٨ ٧ ٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9





3 FELADATLAP











sorrendben 0 1 3 5


1100

110

1

10



110

2

110

1

110

100 101



















10 110 001 = 10 000 000 + 100 000 + 10 000 + 1 = 107+ 105+ 104+ 1


+ 1100


0025 = 2 middot 1100

+ 5 middot 11000







111112 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1






4 FELADATLAP




148 5 = 29 33 29 5 = 5 44 5 5 = 1 00 1 5 = 0 11 Tehaacutet a 148 = 10435



a) 3 3334 4 4445

b) 111 1112 1119









5 FELADATLAP
















65middot103 6500111110100012 2001



6 FELADATLAP



































8 FELADATLAP


































F = 257

(km)


F = 253

(ha)




















a) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384

b) 125 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 128000 256000

c) 3 6 12 24 48 96 192 384 768 1536 3072 6144 12288 24576

d) 120 240 480 960 1920 3840 7680 15360 30720 61440 122880 245760









a) 3 10 5 16 8 4 2 1hellip 4 2 1 4 2 1hellip

b) 7 22 11 34 17 52 26 13 40hellip 20 10 5 16 8 4 2 1

c) 15 46 23 70 35 106 53hellip 160 80 40 20 10 5 16 8 4 2 1

d) 128 64 32 16hellip 8 4 2 1


N paacuteros

Oszd el 2-vel

nem


igen












OumlSSZEGZEacuteS

















TUDNIVALOacute










TUDNIVALOacute



12 FELADATLAP









OumlSSZEGZEacuteS



13 FELADATLAP

























100 2 middot 109 ndash 1 = 1 999 999 999


















+9 + a = +5 a = ndash4




minus77 + e = 0 e = +77




h = +15 +3 ndash i = +8


j = ndash22






ndash60 s = ndash6

s = 10 ndash49 t = +7


u = +18 v (+5) = ndash5


x = 0 (ndash5) y = 0

nincs megoldaacutes


























15 FELADATLAP


32 16 50 10 63 910 5 15

32 10 50 15 61 2

3143 4

== = == =

60 456 5 10057 9 1 99

0 7 45 9 100 99= === =





5 5 8 = 5

8 8 5 40 1

5 8 40sdot = =

TUDNIVALOacute



a) 5 15 20 25 174 7 9





5 5 1235 123



























sdot = + + + =

sdot =


4

TUDNIVALOacute


Peacuteldaacuteul

3 3 5 3 155-nek a reacutesze 54 4 4 4

sdotsdot = =

4 4 35 4 1435-nek a reacutesze 27 7 7 7

35 sdotsdot = = =

1 1

4 3

3 2 3 2 1-nak a reacutesze 8 9 8 9 12

sdot =


100 100 100 100= = = =


= = = = = = =

240 80 80300 100

= =




4 2011 150

= =


75 3 120 6 123 125 25 575 120 123 125100 4 100 5 100 100 200 40

⎛ ⎞= = = = = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

16 FELADATLAP


16 = 425

45 = 920

80 = 45

225 = 94

600 =6 1111=1111100



sdot=

= sdot =

TUDNIVALOacute


Melyik szaacutem 89

reacutesze a 163



9 reacutesze a 16

3


Mennyi 15-nek a 23

reacutesze 45

reacutesze 29

reacutesze 30 -a


reacutesze 45

reacutesze 29



2 45 4 3 2 3015 225 15 18 15 675 15 503 2 5 4 9 100= = = = =




A = 02 B = 25 C = 23

D = 116

A + B = 27 C + D =116

A + C = 1315

B + D =113





(B ndash A) B = 092


C ndash A = 715

D ndash B = 43



A middot C = 215

B middot D = 3512

(D ndash C) D = 37

A B = 008 C D = 47

A C = 310

B D =157


minus

B A = 125 D C = 74

C A =103

D B = 715







a) 3 5 8 4

138

+ = 9 4 57 5

733

+ = 3 2 7 4 5 1 00

372

+ + =

4 3 5 3 5 4

19160

+ + = 2 45 5 5

165

+ = 5 13 26 3

166

+ =

b) 13 5 18 8

minus = 17

4 7

3minus = 5 1

9 329

minus = 3 1 68 7

135

minus =

4 12 5 2

3210

minus = 1 53 3 6

122

minus = 5 38

72 14 8

minus =

c) 27 7

3 6sdot =

8 85 7 35sdot = 3

535 sdot = 12 9 1

32sdot =

2 1 5 3

215

sdot = 8 5 15 4

23

sdot = 55 15 24 16 22 425

9sdot sdot = 5 1

865 1

15sdot =

d) 6 3 11

211

= 5 2 8

516

= 31 8 5

15

= 16 15 4

512

=

4 3 9 5

2027

= 12 9 7 14

83

= 9 11 4 2

32

= 19 41 321 7

815

=


TUDNIVALOacute


17 FELADATLAP







































18 FELADATLAP









19 FELADATLAP


123 45555 123 45 123 45

123 44

5555

4

5 45 617 25 5

1 123111 4 12 9 135 3 41 58 1

=

=

= =

= =

amp

amp amp amp









10= 03 49

100= 049 123

1000= 0123 21

1000= 0021 67

10= 67


08= 21325

0 5= 34

0 75= 750

0 14= 920

0 45=



0 663

62 = 0 559

55 = 0 8181911

= 0 9161112

66 = 0 86131

665

=




0450000145

231001

123

=

=


33 3320 20111 111250

5 165 1655 100

4 444 0 444250 4 1000

sdot= = =

sdotsdot

= = =sdot




1511

= 15 11 = 1363636 =136amp amp

5568 = 68 55 = 12363636 =1236amp amp

309275

= 309 275 = 112363636 = 11236amp amp






= = =

= = = =



11 4 77 5 5 21 17 111 13 15 1001 4 11 1000 6 21 5 32 200 24 24 1024















1 0 02040816326449

asymp

1 0 002004008016032064128256 125025005499

asymp

1 0 000200040008001600320064012802560512102420484999

asymp


TUDNIVALOacute





07 = 710

037 = 10037 000123 =

100000123


567 = 100567 3333 =

103333 1001 =

1001001


01 012 0123 01234 012345 12345 12345 12345

1 12 3 123 1234 617 12345 2469 12345 2469 12345 2469 12345 2469 10 100 25 1000 10000 500 100000 20000 10000 2000 1000 200 100 20

= = = = = =




















66666 666 66 6606606660666606

minus minus

minus amp













Szaacutemok

49

666

ndash33

5123

2006

ndash015 666

666

minus

66amp

660660666066660hellip




21 FELADATLAP










a) 1 1eacutes3 2

b) 1 1eacutes100 99



C B A


1252

652

21

31

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +


eacutes= = = =

20 21 22 23 29 3060 60 60 60 60 60

lt lt lt lt lt





b) 52

51

ltlt b 11 12 50 50

c) 41

51

ltlt c 41 42 200 200



























=














b) 2063

blt lt









Documents

SZÁMOK ÉS MŰVELETEKrások-tanár... · 2018. 9. 19. · 0713. Számok és műveletek – Racionális számok Tanári útmutató 4 Matematika „A” 7. évfolyam MODULLEÍRÁS