59

. Si f(X1! X2) es una función de producción con X2 fijo. y = Nivel de producción f(X1, X2); esta forma es debida al PM1 decreciente.

y Y=f(x1 ,x2)

Nivel de

Producción

Factor

4.9 LOS RENDIMIENTOS DE ESCALA:

Existen rendimientos constantes a escala: cuando se duplican o se multiplican por t los factores y se duplica la producción o se multiplica por t. O sea, los costos medios son constantes porque: '­

C(P1,P2, Y) ::: C(P1, P2, 1) Y Costos medios = C(P.L....E~ Y =Nivel de producción Y O sea:

2 f(X1, X2) = f(2x1, 2X2)

hacer t f(X1, X2) = f(tX1, tX2)

) esto porque una empresa puede replica de ,lo que hacia antes.

Los rendimientos constantes a escala describen lo que ocurre si se incrementan todos los factores, mientras que el producto marginal describe lo que ocurre si se incrementa uno de ellos y el otro permanece constante. Si f(tX1, tX2) > tf(X1, X2) ~ rendimientos crecientes de escala.

Se obtiene un producto mayor al multiplicar los factores por t que t

veces el producto inicial. En este caso bajan los costos medios.

Ejemplo: Oleoducto e ingeniería de volúmenes. Cuando f(tX1, tX2) < tf(X1, X2) ~ rendimientos decrecientes a escala. Algo mal puede estar ocurriendo, ocurre caso peculiar, nos olvidamos de un factor esencial. En este caso los costos medios totales suben.

60

Ejemplo: Aplicación de Formas Tecnológicas en la Explanación de 100 áreas.

Factor 1: Máquinas automáticas (buldozer) ~ 4 horas/área.

Factor 2: Maquina pequeña~ 24 horas/área.

Relación de Técnica de Sustitución = RTS = 24/4 = 6/1 horas.

Significa 6 horas de buldozer pequeño= 1 hora de buldozer grande y viceversa (1/6).

Si solo se emplean buldozer pequeño en 2.400 horas hace las 100 áreas.

Si se utiliza Buldozer grande en 400 horas hace 100 áreas.

Pequeño Buldozer Línea de Isocuanta =100 áreas

Factores perfectamente sustituibles.

~,600)

A = 400 hs Máquina grande

Supongamos el caso de que la explanación fuera irregular y que su distribución en zonas fuera de la siguiente manera:

Zona 1: Manzanas pequeñas irregulares =20 áreas. Zona 2: Manzanas normales = 30 áreas, distante. vertedero. Zona 3: Manzanas regulares próximas.a vertedero = 50 áreas.

Zona 1: Explanar una manzana con máquina pequeña = 24 horas y con máquina grande =24 horas. Esto por la dificultad de maniobrar el buldozer.

Relación Técnica de sustitución =RTS =z4/24 1/1 . Zona 2: Explanación con máquina grande = 12 horas/área a causa del

61

alejamiento de los vertederos; con maquina pequeña = 24 horas/área. Relación Técnica de Sustitución = RTS =24/12 =2/1.

Zona 3: Explanación 4 horas/área con máquina grande y 24 horas/área con Maquina pequeña.

Relación Técnica de Sustitución = 24/4 = 6/1.

Ejercicio: construir la Isocuanta.

1. Si hacemos todas las 100 áreas con máquina grande gastamos: 480h en zona 1, 360h en zona 2, 200h en zona 3, Total = 1040hs.

2. Si solo hacemos la zona 1 con maquina pequeña y el resto de zonas (2,3) con máquina grande, M. pequeña = 20 x 24 = 480.

í 30 x 12:; 360 Máquina grande = 560 h =~

l 50 x 4 = 200.

3. Máquina pequeña zonas 1 y 2: 480 + 720 = 1200 horas. Máquina grande en zona 3: 200 horas.

4. Máquina pequeña para todas las áreas: 2400 horas.

A,8,C,D posibilidades de explanación de las 100 áreas = técnica para un mismo nivel de produCCión = 100 áreas.

t

Maquina pequeñf = X2

A(1040, O)

C(200, 1200)

8(560,480)

Máquina Grande =X1

62

Cada tramo tiene una RTS diferente (Relación Técnica de Sustitución): entendida como la relación a la que la empresa tendrá que sustituir un factor otro para mantenerse en el mismo nivel de producción.

RTS CD =horas buldozer peg = 2400 -1200 = 6 horas buldozer grande 200

RTS 8C = horas buldozer peg .. =1200 - 480 =2 horas buldozer grande 560 - 200

RTS A8 = hOLas buLdozer pego = 480 =1 Horas buldozer grande 1040 - 560

Obsérvese que la relación de sustitución del factor 1 por el factor 2 decrece a medida que se sustituya M. pequeña por máquina grande: A medida que vamos sustituyendo pequeña por máquina grande obligamos a la máquina a un número cada vez mayor de trabajos para Jos que se encuentra cada vez menos especializada que la M. Pequeña, o sea le obligamos a explanar un número cada vez mayor de parcelas donde su eficacia relativa es menor; por ello se dice que la RTS es decreciente, va de 6 a 1, o lo que es lo mismo, la pendiente de /a Isocuanta es decreciente. Esto significa que la pendiente de /a Isocuanta deberá disminuir cuando nos desplazamos a /0 largo de ella buscamos incrementos del factor 1 (máquina grande).

Ahora, la alternativa técnica (RTS) que se selecciona afecta los costos de la tarea (100 áreas) por ello mas que la técnica más moderna se debe elegir aquella que optimice los resultados (costo mínimo).

Conclusión:

La combinación óptima de factores se encontraría donde el cociente de precios es igual a la RTS (Relación Técnica de Sustitución). Veámoslo:

Si una hora de máquina grande = $100 y una hora hombre = $50, cuál es al combinación de factores más económica?.. o dicho de otro modo, qué cantidad del factor 2 (máquina) y de factor 1 (hombres) debo utilizar para que las 1 00 unidades de Isocuanta salgan al costo mínimo? ... o sea las 100 áreas?

Los precios de los factores desempeñan aquí un importante papel, aunque también es importante la eficacia relativa de los factores medida por la RTS. Si todo se explana con buldozer grande se gasta

63

1040 horas x $100/hora == $10400 y si todo se explana con hombres se gastarían 2400 horas a 50t == $120000.

¿ Cómo reducir los costos?

Sustituyendo horas buldozer grande por su equivalencia en horas buldozer pequeño. En el tramo AS la RTS = 1, o sea:

1039 horas ( Mag. grande) x $100 + 1 hora (Hombre) x $50 = $ 103950.

$103950 < $104000 esto porque 21 = 100 == 2 RTS P2 50

Si sustituimos un costo de $100 por un costo de $50 hasta que la RTS=2 o sea hasta el punto S podemos incorporar M. Péqueña que tienen el mismo rendimiento de la máquina y cuestan solo $50!hora.

lli == 100 = 2 pero ahora RTS = 2 o sea que horas M.pequeña= ~ P2 50 horas máquina G. 1

El costo de las diversas técnicas sería:

Costo en A. .... .. ........... 1.040 x 100 = 1'04.000 Costo en 8 .... ........ ..... . 560. x 100 + 480 x 50:= 80.000 Costo en C .................. 200 x 100 + 1.200 x 50 := 80.000 Costo en D ................ .. 2.400 x 50 = 120.000

Se cumple entonces la regla que la combinación óptima de factores de producción (todo BC) es aquella en la que RTS (Relación Técnica de Construcción) = relación de precios de los factores.

Matemáticamente sería:

Si la función de producción X = f(V1, V2) y X = Xc en el óptimo, entonces:

(

64

= Relación a la qu.e sustituimos el factor 1 por el 2 (si aumenta el factor 1 se reduce el factor 2).

Ejercicio: Producir Xc a costo mínimo si p1 = precio del factor 1 y P2 = precio del factor 2

Langragiano .p =p1V1 + p2 V2 + A [f(V1, V2) - Xc]

0b = Pl + A---ªL-= O ( 1 )

atb = P2 + A~= O (2)

Eliminando A e igualando (1) Y (2) obtenemos

~~ = - dVL=21 aV2 d V1 P2

Se confirma la regla de que la combinación óptima de factores se encuentra donde la relación de precios es igual a la técnica dé sustitución de factores.

Ejemplo: Minimizar el costo de X =8(V1)0.4 (V2)O.6 Pl = $120/hora P2 =$90/hora

0oX = 8 X 0.4Vl.Q·~20 .6 oX = 8x O.6V1 . 4 V2.Q.4 aV1 aV2

Se forman las derivadas parciales con respecto a Vl y a V2

(productividades marginales) las cuales al relacionarse forman la RTS (Relación Técnica de Sustitutos) y se igualan a la relación de precios.

8 x 0.4 V1 -0.6 V2 0.6 = 120 => V2 = 2V1 => El costo mínimo se cumple cuando por 8 x 0.6 V1 0.4 V2 -0.4 90 cada unidad del factor 2 =utilizamos 2 unidades del factor 1 .

65

¿CUÁNDO UN CAMBIO DE TÉCNICA lES FAVORABLE O DESFAVORABLE?

El cambio es favorable cuando para las mismas dosis de factores V1, V2, Vn se obtiene mayor cantidad de producto. Desfavorable en sentido contrario. Ejemplo :Sean las técnicas Xc y X1 . Si Xo = 50 (V - 0.30)

X= Número de perforaciones en una calle. V = Número de horas de trabajo.

X1= 60 (V - 0.30)

Si V = 3.30 Xo=150 y X1=180

Significa que es mejor la técnica que expresa la función de producción 1que la O.

TÉCNICA ÓPTIMA: Supongamos que se tienen dos técnicas expresadas en dos ftJnciones de producción de coeficientes diferentes.

X1= 50 (V - 0.20) Sea V = Número de horas trabajadas en un proceso productivo.

X2 = 60 (V - 0.40)

Supongamos que X1 > X2, o sea que la técnica 1 es mejor que la técnica 2, tendríamos que: 50 (V - 0.20) > 60 (V - .040) -4 10V < 14 -4 V < 1.40 horas. Quiere decir que si el número de horas trabajadas es menor a 1.40, es mejor la técnica 1 que la técnica 2.

La conclusión básica es que la bondad de una técnica depende del nivel de producción y no de la técnica misma.

4.10 LAS PRODUCTIVIDADES.

Miden el efecto de una variación en la cantidad del factor sobre el producto o nivel de producción.

Productividad Media = X = f (V) = Cantidad de producto asignable a / una unidad de factor. V I

/ n, .' . ~

~Al>~~ ,;; BIBLIOTECAs..

PíODE ___; .n"'llC-A M.INAI

66

Productividad Marginal =~=f '(V) =Cambio en el producto como av consecuencias de utilizar una

unidad mas de factor.

Productividad Total técnica.

::: X = f(V) producción asociada al uso de cierta

Ejemplo (tabla 1).

Cuadro 1:

Productividades de la función de producción de trigo.

x= 14.604V1 - O.0538Vl

, Dosis de ! Producción Ifertilizante I de trigo

(Qm/Ha) (Qm/Ha) 3 15.0 4 16.0

! Productividad I media

15/3 = 5 16/4 =4

Productividad ! marginal I

1 2

Productividades marginales crecientes

ZONA DE LOS RENDIMIENTOS CRECIENTES

5 1 18

. 0

6 19.0 7 19.5

8 19.7 9 19.6 10 19.4

li8i5 = 3.6 19/6 =3.1 19.5/7 = 2.8

19.7/8 = 2.4 19.6/9 =2.2 19.4/10 =1.9

i 0.5 0.2

-0.1 -0.2

Productividades marginales

decrecientes

Productividades marginales negativas

ZONA DE LOS RENDIMIENTOS DECRECIENTES

I

I

PRODUCTIVIDADES MEDIAS DECRECIENTES

67

CAPíTULO V

El TAMAÑO DEL PROYECTO

En este capítulo se explicarán los métodos para definir el nivel óptimo de producción.

La definición del tamaño del proyecto es fundamental para la determinación de inversiones y costos que se derivan del estudio técnico. Para un mismo volumen de producción se obtienen resultados económicos muy diferentes si el tamaño considera la operación de varias plantas a un solo turno o de una planta a varios turnos.

Cuando existen dos o mas posibilidades para lograr un mismo objetivo (nivel de producción) deberán desarrollarse los estudios de las diferentes alternativas técnicas sometiendo la decisión final a la última evaluación. De todas maneras el tamaño responde a la dinámica del mercado pero está determinado por las siguientes variables:

Tamaño =f (mercado, alternativas tecnológicas,localización, precio de los insumos, capacidad financiera, perecibilidad de los insumos o del producto terminado).

Para las decisiones de tamaño siempre se ha considerado la siguiente Hipótesis: El tamafto es controlable a largo Plazo; por tanto el objetivo será buscar un criterio de decisión sobre tamaño.

Variables determinantes del tamaño

Determinantes Mercado Tecnología del proceso productivo Localización Disponibilidad y precio de insumos Financiamiento del proyecto

Premisa: El tamaño no debe obedecer a una situación coyuntural de corto plazo sino que deberá optimizarse frente al dinamismo de la demanda. Ello implica que debe ser mayor el tamaño que la demanda actual, pero este se debe adecuar frente a las expectativas del crecimiento de la demanda.

El análisis de los campos de variación del tamaño permitirá definir los límites dentro de los cuales se fijará el tamaño del proyecto.

68

Si en algunos casos la tecnología utilizada permite la ampliación de la capacidad productiva en tramos, la optimización del tamaño deberá evaluar dos relaciones: Relación precio - volumen por efecto de la elasticidad ingreso de la demanda.

y la relación Costo- volumen por efecto de las economias y deseconomias de escala.

Se evalúan estas relaciones para determinar costos y beneficios de diferentes alternativas de tamaño. Se escoge luego aquel tamaño que maximiza la utilidad. La regla nos dice que el Optimo de tamaño sucede: cuando el beneficio marginal =Cmg. La demostración se verá luego.

Por lo tanto, la cantidad a producir por un inversionista, la cual es el indicador de tamaño, no proviene del azar sino mas bien es el resultado de una decisión analizada. Ello significa que un volumen de producción puede ser fijo en el corto plazo, pero es variable en el mediano y largo plazo, habida cuenta de la disponibilidad de los factores de producción: trabajo, máquinas, materias primas y capacidad de producción vista en locales plantas y equipos 'pesados' .

Se presenta entonces el problema de tamaño como un problema de fijar un "nivel de producción" por un productor cuyo objetivo es maximización del beneficio. Este se trata por medio de procedimientos diferentes pero compatibles: 1 ). La función producción y 2) la función de costos

la dos de

5.1. PROCEDIMIENTO DE LA FUNCIÓN DE PRODUCCiÓN.

La función de producción asocia la cantidad máxima posible de producción, dadas unas técnicas disponibles, a partir de una canasta de insumas (factores) o entradas posibles.

La noción de la función de producción supone implícitamente la de eficiencia es decir la preferencia de la mejor técnica adaptada, tarea que deberá corresponder al ingeniero. El siguiente cuadro indica este proceso.

69

~os Trabajo Cantidad máxima (factores) Máquinas ~:Q (tamaño)~ ()e

Energía -0 ()

Máquinas 1 'g ~ Producción. :J ...Materias primas u.. a..

La función de producción asocia cantidades de insumas (trabajo, máquinas, materias primas) con cantidades de productos (Q) habida cuenta de las técnicas disponibles; y la segunda función de costos, es obtenida al asociar a una cantidad producida el costo mínimo de los factores para su obtención.

Como se sabe la productividad marginal de cada insumo (factor) es decreciente, es decir si su cantidad aumenta, la producción aumenta a un ritmo mas débil, por tanto cada productor deberá adquirir aquellas cantidades de insumas que hagan la productividad del ultimo insumo empleado igual a su precio.

El beneficio entonces es máximo en este punto porque si empleara mas insumas sus compras costarían mas de lo que se obtiene de producción adicional, y si empleara menos¡ sus beneficios bajarían a causa de una ganancia menor por la "subutilización" de insumas. En resumen, si las productividades marginales son decrecientes la producción óptima (maximizadora de beneficio) se presenta cuando el valor de la productividad marginall de cada insumo (factor) es igual a su precio. Veámoslo con un cuadro que resume una función de producción en el que un obrero puede trabajar entre 1 y 5 horas para mover m3 de tierra al costo de $20 I hora ya un precio de venta de $10 m3

.

Cuadro 1.

# Horas de t~~b_ajo _ Producción total M3 Productividad Marginal M3

-i 11 I I I 11

2 18 7 3 23 5 4 25 2

15 26

r Es evidente que la productividad marginal es decreciente en razón de la Lfatiga del trabajador (ver gráfica 1). Entonces resulta que cuando el

valor de su productividad marginal es 2 m3 '" 1 O = $20 que es igual a lo

que le pagan por hora =$20, el trabajador no avanzará mas de 4 horas, porque si avanza hasta la quinta hora, su productividad marginal es:

70

1*$1 O <$20, que es lo que se le paga al trabajador por hora. En consecuencia la quinta hora de trabajo ya dejará pérdida de $10. O sea, Se> tr:::lb:::liaril 4 hOr:":::IS con Iln:::l nrOriUCriAn ri", ?5 m~ (T:::Im:::ln-o O'ntimo\

'-" 1"""",, '"""J """"" 1: .~ '"'" ..... "~3 ..... ...,.""._"" ..... '"'" ,..,Il0l1':.1 1,' ',"""I~

porque el beneficIo sera: 25 m .. $10 - 4 horas" 20 ::: $170 (beneficIo máximo). Si se trabajara 5 horas el benefiic¡o sería 26 m3

• $10 - 5 horas * $20 :: 160 (se reduciría el beneficio). Por tanto el óptimo de

3producción Tamaño Óptimo será 25 m que es justamente donde el' valor de la productividad,margina! 2 • $10 es igual a! precio hora ($20) o 1'0 que es lo mismo, donde el valor de fa que aporte la última hora 2 m3 * $10 es igual al precio de esa hora $20.

Gráfica 9

Productividad Marginal decreciente.

•

1 2 3 4 5 Horas

5.2. PROCEDIMIIENTO DE LAS FUNCIONES DE COSTOS.

La función de costos puede obte'nerse a partir de relaciones técnicas (forma como se combinan los factores de producción) y del precio de los factores de la producción. Resulta entonces que el Tamaflo Óptimo (máximo beneficio) habrá qUé buscarlo a partir del cálculo del, costo marginal o sea del costo de expansión (costo de la última unidad producida). Sin embargo, lo que se entiende es que si la productividad, marginal de la función de producción es decreciente, el costo marginal será creciente, porque si fuera al contrario 11a producción no tendría límites porque se podría expandir indefinidamente. O sea, cada vez que se extiende mas allá del nivell optimo cuesta mas y mas producir una nueva unidad de producción. En tal caso la producción se lIevaria hasta

71

el punto en que el costo de la última unidad sea igual al precio, dicho de otra manera: para que exista el máximo de beneficio en una producción, ésta deberá llevarse hasta el nivel donde el costo marginal de la última unidad sea igual a su precio ,cuando este es dado como en el caso de los mercados de competencia perfecta. O, cuando el costo marginal sea igual al ingreso marginal, si por razones de captura del mercado se baja el precio; situación que puede ser alcanzada por quienes tienen posiciones de productores monopólicos u oligopólicos. En este caso la función de Ingreso total Y¡(O¡) =p¡(O¡) * O¡ , lo cual significa que la función de ingreso total crece en ciertos tamaños cuando la elasticidad precio de la demanda es mayor que 1 y decrece en los tramos en que la demanda es inelástica: ver gráfica N° 2 con precios decrecientes,

Gráfica N° 10

Procedimiento de la función de costos

~ ~ / .

(

Yso. Marginal

\

> Q Q

Si Q* > Q e<l Si Q*= Q e=l Si 0* <O e> l

Q

72

Q. Cantidades

Cuadro No. 2

Fuente: Infante Vmarreal Arturo. Evaluación Financiera de proyectos de inversión. Pago 183.

Ahora, el costo marginal sube en función de los costos que varían \ según el nivel de producción, pero existe un componente de los costos

que es fijo, es decir es independiente del nivel de producción, podemos decír entonces que la ley del costo marginal creciente es cierta solo en aquellos tramos en que los costos fijos ya se han congestionado porque antes de su congest,ión el costo unitario (costo medio total) es decreciente. En tal caso habría que señalar que el nivel de producción debería tener tamaño mínimo que es justamente aquel que permite cubrir con el margen de contribución (precio - costos variables) los costos fijos. Veámoslo.

Ingreso total 2 =Cfijos +CvO - Utilidad. Cv =costos variables. C. fijos = Costos fijos.

Si utilidad =O Y. tOl = Cfijos + evo P * o = Cfijos + CvO

Qo = Cfijos Pv = Precio de venta Pv-Cv

Cv =Costos variables.

00 =Tamaño Mínimo (tamaño en que el margen de utilidad (Pv - Cv)) cubre los costos fijos.

Si representamos con un mismo gráfico las funciones de 1M y de CM, obtenemos lo que muestra el gráfico N° 3 es decir un área de utilidad abcd que no es máxima:

10

Precio

6 5 . 4 3 2 1 10

. y Total . y Marginal

10 10 2

15 12

3 116 -115 -114

10 -4

73

$

/ / CM = Costo Marginal

Yso. Marginal

~--__~--~----~------__~> O Qo Q1 Q2

Fuente: Infante Villarreal, Arturo. Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión. Pago 188.

Si el inversionista se expande de Q1 a 02 puede captar el área ced con lo cual maximiza utilidad que es justamente el punto en el cual el Ingreso Marginal es igual al Costo Marginal.

El tamaño del proyecto resulta entonces de un análisis interrelacionado de la tecnología del proyecto y del estudio del mercado. Cuando como normalmente sucede no coinciden en este aspecto ambos estudios, será el más crítico el que condicione al otro. O sea deja un mercado insatisfecho o se trabaja con capacidad ociosa. La alternativa que permita un mejor resultado éconómico(utilidad maxima) será la que prime considerando no solo la situación vigente, sino también las proyecciones futuras del' mercado.

Utilidades

To (tamaño óptimo)

74

ISignifica que el TM"JAf~O es óptimo (o 1!1 Utilidadest las utilidades son MAXIMAS) cuando el

incremento de utilidades es igual a O por I expandir el Tamaño.

I

To T TAMAÑO CMg =Img

To óptimo =Max. de beneficio

Modelo que describe como la empresa define la Q (cantidad) que produce y el modo en que produce.

Matemáticamente:

n BNt Utilidad =L(1 y -lo

!=o + 1,

dB}(1)

derivada.Utilidad _ t dT dIo (1) = O c:=:::'.>

dT - 1=4 (1+iy dT Beneficio Marginal =Costo Marginal

dt =derivada del Tamaño (incremento). No obstante, la mayor demanda de un producto que tiene margen de contribución positivo no siempre hace que la utilidad se incremente. Esto puede suceder por las siguientes Razones:

t precio~ La mayor d,emanda se incentiva bajando los precios.

t Costos ~ Incremento de costos fijos por razones de expansiones de la demanda.