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i STUDIECENTRUM VOOR KIRNINIRQI
T U
REPRESENTATION A DES FINS DE CONTROLE DES PROCESSUS DE FABRICATION
L'
G. COCQUYT, R. HECQ
Q I
U C L • A I
BLG 445
144, avenue E. PUsky, BRUXELLES 4 (BELGIQUE)
E. Ptakytaan 144, BRUSSEL 4
(BELGIË)
REPRESENTATION A DES FINS DE CONTROLE DES PROCESSUS DE FABRICATION
G. COCQUYT, R. HECQ
BLG 445
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T
G. COCQUYT, R. HECQ j
3LG 4*5 v M at 1 9 7 1 ! ;
REPRESENTATION A DES FINS OF CONTROLE DES PROCESSUS DE FABRICATION
Résumé". - On a d é c r i t l a r e p r é s e n t a t i o n des p r o c e s s u s de f a b r i c a t i o n d ' ^ q u i - ;
pements m é c a n i q u e s p a r l a m é t h o d e des g r a p h e s , en p a r t a n t des réponses t e m
p o r e l l e s t r a n s f o r m é e s en 2 des f o n c t i o n s é c h a n t i l l o n n é e s des d é b i t s .
La mé thode e s t g é n é r a l e e t pe rmet d ' é t a b l i r l e s s t r u c t u r e s de g e s t i o n , |
comme on l e m o n t r e dans un cas r é e l I c h a i n e de f a b r i c a t i o n i n s t a l l é e à
l ' u s i n e MMl p o u r ! a f a b r i c a t i o n des é l é m e n t s r r - n b u s t î b l e s du t y p e MTR).
C ' e s t à p a r t i r des s t r u c t u r e s de g e s t i o n que l ' o n d é d u i t e n s u i t e l e c o n t r o l e
adéquat aux f i n s des g a r a n t i e s dans l e c a d r e du T r a i t a de n o n - o r o I i f é r a t i e n
des armes n u c l é a i r e s .
Une s e c o n d * p a r t i e e x p l i c i t e c e r t a i n s des a l g o r i t h m e s que l ' o n p o u r r a i t
u t i l i s e r p o u r l a g e s t i o n des f a b r i c a t i o n s . 'Jne annexe f o r m u l e l a g é n é r a l i s a
t i o n des r e l a t i o n s de r é c u r r e n c e du doma ine temps c o r r e s p o n d a n t aux f o n c
t i o n s de t r a n s f e r t du doma ine -ryirbo I i que .
G. COCQUYT, R. HECQ
BLG H t * t Mai 1971)
REPRESENTATION A DES FINS DE CONTROLE DES PROCESSUS DE FABRICATION
S a m e n v a t t i n g . - He t e e r s t e dee l van deze t e k s t b e s c h r i j f t de v o o r s t e l l i n g
van de f a b r i k e g e van m e c h a n i s c h e o n d e r d e l e n met s i gn aal s t roomd i ag rammen , ver - t
t r e k k e n d van de z -g e t ran s ' o rm ee rden van b e m o n s t e r d e t i j d f unk t i e s . De -^e tode
i s a lgemeen en l a a t t o e O e n e e ' s t r u k t u ren v a s t t e i e g g e n z o a l s w n r d t a a n g e
d u i d doo r m i d d e l van een r ë e e l v o o r b e e l d I f a b r i k a g e van * . > l i j t s t o f e l e m e n t e n
voo r de 9 R 2 - r e a k t o r i n de w e r k p l a a t s ' van M.M.N. i . V e r t r e k k e n d van a a n g e
p a s t e s t r u k t u r e n kar een e f f i c i e n t e k. -r••* ro » e /an de w a a r b o r g e n worden v e r
r i c h t .
Het tw»ede dee l v e r d u i d e l i j k t e n k e l » a l g o r i t m e n d i e men kan g e b r u i k e n
voor d i t b e h e e r van de ' a b r i k a g e . In de b i j l a g e worden e n k e l e b e w e r k i n g e n
op r e k u r r e n t i e b e t r e k k i o g e n i n de t i j d , en de d a a r b i j h o r e n d e o v e r d r a c h t s - 1
v e r h o u d i n g e n i n h e t t r a n s f o r m a t i e d o m e i n v o o r g e s t e l d , t e r v e r d u i d e l i j k i n g en 1
v. ra I gemen i n g . I
G. COCQUYT, R. HECO
BLG 4H5 (Ma i 1971 )
REPRESENTATION A DES FINS DE CONTROLE DES PROCESSUS DE FABRICATION
Summary. - I n t h e f i r s t p a r t , a d e s c r i p t i o n i s g i v e n o f a m e c h a n i c a l d e v i c e
m a n u f a c t u r i n g p l a n t by means o ' s i g n a l f l o w g r a p h s , u s i n g t h e z - t r a n s f o r m s I
o f sampled f u n c t i o n s o f t i m e . The me thod i s g e n e r a l and p e r m i t s e s t a b l i s h - !
ment t h e management s t r u c t u r e s , as i I l u s t r a t e d by a r e a l case ( m a n u f a c t u r i n g !
o* f u e l e l e m e n t s f o r t h e 3R2 r e a c t o r i n M .M.N . ) . I t i s shown t h a t , s t a r t i n q 1
f rom t h e s e s t r u c t u r e s , e f f i c i e n t c o n t r o l e f o r s a f e g u a r d p u r p o s e s i s p o s s i b l e ]
The second p a r t e x p l a i n s some a l g o ' i t h m s w h i c h can be used f o r t h e mana - i
gement o f such p l a n t s .
In a p p e n d i x , some c a l c u l u s w i t h r e c u r s i v e f o r m u l a e and t h e i r z - t r a n s f o r m
tramfer f u n c t i o n s are performed f o r c l a r i f i c a t i o n and g e n e r a l i z a t i o n .
« t
Remerciements
Les auteurs remerci ent tout particulièrement Monsieur Bt>ets et
Monsieur wossens (MMH) Pour leur aide ainsi que pour leurs
conseils judici eux.
Ils tiennent aussi à marquer leur reconnaissance à Monsieur
Semelmans pour son efficace collaboration.
TA; DES M A T I E R E S
LE MODELE MULTI DIMENSIONNEL
I . i . I n t r oduc t i on
\ . z. D e s c r i p t i o n d ' u n e f a b r i c a t i o n
i . 3 . C o n t r o l e e t réponse t e m p o r e l l e du sys tème
1 .4 . Graphe mu 1 1 i d î m e n s i o n n e I de f a b r i c a t i o n
1 . 4 . 1 . D é f i n i t i o n s des v e c t e u r s et des o p é r a t e u r s
i . 4 . 2 . D e s c r i o t i c i du g rapne
1. 4 . 3. Exemp I e
! . 5. A p p l i c a t i o n à l a c h a î n e de f a b r i c a t i o n de l ' u s i n e MMN
1 . 5 . 1 . d e s c r i p t i o n de l a f a b r i c a t i o n
1 . 5 . 2 . Giaphe de f a b r i c a t i o n
I . 5. i . G e s t i o n de f a b r i c a t i o n
1 . 5 . 4 . R e p r é s e n t a t i o n de !-; g e s t i o n de f a b r i c a t i o n
1 . 5 . 5 . C o n t r ô l e et g a r a n t i e s
LES ALGORITHMES
2 . 1 . La réponse
2 . 1 . 1 . Choix d s méthodes
a. Le c ; I eu I de l a moyenne
b. Le c - i c u l de l a moyenne o r o g r e s s i v e
c. L' "ii g - r i t h m e p r o p o r t i o n n e l
2 . 1 . 2 . H rog -amm
P r e m i e r as : La v a l e u r moyenne b o ré v o i r r e s t e c o n s t a n t e en f o n c t i o n du temps
Deix ième ras : La v a l e u r moyenne à p r é v o i r é v o l u e l en temen t en f o n c t i o n du temps
T r o i s i è m e cas : V a l e u r moyenne c o n s t a n t e où i n t e r v i e n t une i m p u l s i o n de q u a t r e j n i t é s de temps pa r exemnle
Rem a rque
2.2. Les f l u c t u a t i o n s s t a t i s t i q u e s
2 . 2 . 1 . C o n s i d é r a t i o n s g é n é r a l e s
2.2.2. Choix des a l g o r i t h m e s
a. L ' a l g o r i t h m e p a r sommat ion des c a r r é s
b. L ' a l g o r i thme des c a r r é s p r o p o r t i o n n e l s
2 . 2 . 3 . Exempi es
2 . Z . 3 . I . A l g o r i t h m e de l a moyenne p r o g r e s s i v e avec x = 10 A l g o r i t h m e de l a sommat ion des c a r r é s avec y - 10
2 . 2 . 3 . 1 . 1 . P r e m i è r e s t a t i s t i q u e
2 . 2 . 3 . 1 . 2 . Deuxième s t a t i s t i q u e
2 . 2 . 3 . z . A l g o r i t h m e p r o p o r t i o n n e l a v e c 3. = 0 , I
A l g o r i t h m e d e s c a r r é s p r o p o r t i o n n e l s a
z . 2 . 3 . ^ . 1 . P r e m i è r e s t a t i s t i q u e
z . 2 . 3 . z . ^ . D e u x i è m e s t a t i s t i q u e
ANNEXE
R e l a " i o n s de r é c u r r e n c e d e s t r a n s f o r m é e s en z de I a r é p o n s e im
1 . ALGORITHME PROPORTIONNEL DU PREMIER DEGRE
2 . ALGORITHME DU SECOND DEGRE
3 . F ILTRE D'ORDRE SUPERIEUR
3 . 1 . La f o n c t i o n de t r a n s f e r t ne c o n t i e n t p a s de t e r m e s en
n u m é r a t eu r
5.2. La f o n c t i o n de t r a n s f e r t c o n t i e n t des t e r m e s en z au n
3 . 3 . Remarques
REFERENCES
1. LE MODELE MULTIDIMENSIONAL
1.1. Int roduct ion
Une reo ré sen t a t i on T a t hém a t i que un i d i men s i o n n e I ! e de l a c h a î n e de * ab r i c a t i on
des é I é m e n t s c o m b u s t i b I es du ré a c t eu r BR2 é t a b I i e à l ' u s i n e de ! a Mét a M u r g i e e t
M é c a n i q u e N u c l é a i r e s (MMN) a D e s s e l à d é j à é t « é t a b l i e [ l ] .
C e t t e r e p r é s e n t a t i o n p e r m e t d ' a n a l y s e r a i s é m e n t l ' e f f i c a c i t é du c o n t r ô l e des
m a t i è r e s s o u s g a r a n t i e d a n s i e c a d r e du T r a i t é de n o n - p r o l i f e r a t i o n des ? r - ;es
n u c l é a i r e s L^] . La c h a î n e un î d i Ten s i e n n e ! ! e n r é s e n t e l e s c a r a c t é r i s t i q u e s e s s e n t i e l
l e s de t o u t e s l e s c h a î n e s de f a b r i c a t i o n d ' é q u i p e m e n t s m é c a n i q u e s : *
- s t o c k a g e s d ' e n t r é e , i n t e r m é d i a i r e e t de s o r t i e ;
- a t e l i e r s avec o u s a n s r e j e t s pou r m al f a ç o n s .
Ce r a p p o r t e x c o s e une r e o r i e n t a t i o n g é n é r a l i s é e oou r l e s f a o r i c a t i on s ae ce + y n e .
A c e t e f f e t , on a c o n s i d e r " que :
- l e s e n t i t é s q u i c o n s t i t u e n t l a m a t i è r e p r e m i è r e du p r o d u i t s o n t de o l u s i e u r s m o
de ! es d i f f é r e n t s ;
- l a f a b r i c a t i o n s e f a i t s e l o n l e s a t e l i e r s a v e c eu s a n s r e j e t s e t a v e c ou sans
D r o d u c t i o r de d é c h e t s .
1.2. D e s c r i p t i o n d 'une f a b r i c a t i o n (F ig . 1)
On a c o n s i d é r é une s e u l e c h a î n e de f a b r i c a t i o n de p l u s i e u r s m o d è l e - de p r o d u i t ' - :
sem i — "f i n i s c o m p r e n a n t t r o i s a t e l i e r s , à s a v o i r :
- un a t e l i e r d ' u s i n a g e s s n s d é c h e t s , m a i s a v e c r e j e t s ;
- un a t e l i e r d ' u s i n a g e avec d é c h e t s , où s o n t r é c u p é r é s l e s r e j e t s ;
- un a t e l i e r d ' a s s e m b l a g e .
P a r une s u i t e d ' o p é r a t i o n s d o n t l a d u r é e e s t (p + q) u n i t é s de t e m p s , on f a b r i
que d a n s un a t e l i e r d ' u s i n a g e X. - m o d è l e s de p r o d u i t s s e m i - f i n i s , à o a r t i r ae n m o
d è l e s de m a t i è r e s p r e m i è r e s ou i p r o v i e n n e n t d ' u n s t o c k a g e G| a l i m e n t a de I ' ext .4 r i e u r
! f o u rn i s s eu r, a t e l i e r , . . . ) .
\c r è s un c h e m i n e m e n t de p un i t ' - s de t e m p s d a n s l ' a t e l i e r X. un p r e m i e r c o n t r o l e r e
j e t t e l e s m a l f a ç o n s de c h a q u e m o d è l e v e r s un a t e l i e r d*3 r é c u p é r a t i o n X^ .
En >'• z une d e u x i è m e c o n t r ô l e s é p a r e d ' a b o r d l e s r e j e t s en r é c u p é r a b l e s e t i r
r é c u p é r a b l e s . Les p r e m i e r s e n t r e n t en t r a i t e m e n t p o u r ê t r e t r a n s f o r m é s en p r o d u i t s
ré C U D * ré s , a v e c p r o d u c t i o n de d é c h e t s . Les i r r é c u p é r a b l e s s o n t s t o c k é s en Z% e t l e s
d é c h e t s de r é c u p é r a t i o n en Sr . Ces s t o c k s s o n t ^ v a c u é s p é r i o d i q u e m e n t .
On f i x e l a d u r é e du t r a i t e m e n t d e s r e j e t s à s u n i t é s de t e ^ n s q u e l l e q u e s o i t l a n a
t u r e de l a r é c u p é r a t i o n , e t a p r è s t r a n s f o r m a t i o n , l e s p r o d u i t s s ^ m i - f i n i s r é c u p é r é - ,
r e t o u r n e n t d a n s l ' a t e l i e r v | j u s t e a p r è s ! e p r e m i e r c o n t r o l e p o u r y p o u r s u i v r e ! ' u - i -
n a g e u en d a n t q u n i t * s de t em n S .
X ou de t o u s a u t r e s •* au i p »men t s c o n s t i t u a s d ' é l d m p n t s d i s c r e t s .
On suppose que l a r é c u p é r a t i o n n ' e s t p o s s i b l e que dans le sens :
modèle n - mode! e I n-1 ) - model e I n - 2 ) - . . . - mode l e I .
En conséquence, l ' o r d r e d ' e n t r é e en f a b r i c a t i o n des modèles d o i t ê t r e l e même.
Comme i l e x i s t e dans l e s d é b i t s de l ' a t e l i e r X| un déca lage de temps e n t r e un mo
d è l e donné e t l e modèle c o r r e s p o n d a n t récupéré en X^, c e l u i - c i ne peut r e v e n i r en
f a b r i c a t i o n nue l o r s q u e son modèle e s t t r a i t é au o o i n t de r e t o u r en X , . ."uand l a
durée du t r a i t e m e n t de r é c u p é r a t i o n est s u p é r i e u r e au déca lage t e m o o r e ! , i l s u f f i t
d ' a j o u t e r a u t a n t de f o i s p u n i t é s de temps Q u ' i l es t n é c e s s a i r e . Dans ce qui s u i t ,
on admet que !a durée de r é c u p é r a t i o n es t t o u j o u r s i n f é r i e u r e au déca lage e n t r e l e s
modèles (p = 0 ) .
Au s o r t i r de l ' a t e l i e r X ( , i es p r o d u i t s s e m i - f i n i s e n t r e n t dans un s tockage
i n t e r m é d i a i r e S^. Les d i f f é r e n t s modèles de ces p r o d u i t s s e m i - f i n i s e n t r e n t e n s u i t e
en p r o p o r t i o n s d é f i n i e s dans un a t e l i e r d 'assemb lage X~ d ' o ù i l s s o r t e n t en p r o
d u i t s f i n i s , après un temos de cheminement égal à r u n i t é s de t e r e s . Les o r o d u i t s
f i n i s sont a l o r s emmagasinés dans un s tockage S. avant d ' ê t r e acheminés v e r s l e s
u t i I i sa teu r s .
En g é n é r a l , l a f a b r i c a t i o n des équ ipements mécaniques demande o i u s i e u r s c h a î
nes o a r a l l è l e s qui se r e j o i g n e n t dans l ' a t e l i e r d 'assemb lage par l ' i n t e r m é d i a i r e
d 'un ou de D l u s i e u r s s t o c k a g e s .
1.3. Contrôle e t réponse tein/iorelle du système
Le p r é s e n t modèle suppose un c o n t r ô l e r é g u l i e r des mouvements des é l é m e n t s e t
des n i v e a u x des s t o c k s . On o b t i e n t a i n s i des f o n c t i o n s é c h a n t i l l o n n é e s dont la r é
ponse t e m p o r e l l e es t f a c i l e m e n t n o t é e p a r l e s t r a n s f o r m é e s en z [ i j .
On prend comme u n i t é de temps un i n t e r v a l l e assez c o u r t , sous-mu I t i n 1 e e n t i e r de
l ' i n t e r v a l l e e n t r e deux é c h a n t i l l o n n a g e s . Dans l e domaine des f o n c t i o n s t r a n s f o r
mées, une m u l t i p l i e at ion pa r z rep ré sen te un r e t a r d de temps u n i t a i r e .
1.4. Graphe mul t idimensionneJ eu- f a b r i c a t i o n
1.4.1. Définitions des vecteurs et des opérateurs
P u i s q u ' i l s ' a g i t d ' é t a b l i r u n m o d è l e m u l t i d i m e n s i o n n e l , i l fist l o g i q u e ' l ' u t i
l i s e r l ' o u t i l mathémat ique des espaces v e c t o r i e l s a f f i n s . Dans c e t t e r e p r é s e n t a t i o n ,
l e s d é b i t s son t f i g u r é s par des v e c t e u r s co lonnes : chaque l i g n e r e n r é s e n t e un mo
d è l e et l a v a l e u r des é l émen ts de l a c o l o n n e es t l e nombre d ' e n t i t é s ^u modè le c o n
s i d é r é .
D ] = d é b i t d ' e n t r é e dans l e s tock 5|
D | | ] = d é b i t de s o r t i e du s tock S( v e r s l ' a t e l i e r X(
D22] = d é b i t de s o r t i e du s tock S2 v e r s l ' a t e l i e r X2
D ] = d é b i t de s o r t i e du s tock S3 v e r s l ' e x t é r i e u r
- :> -
R ] = d é b i t des r e j e t s i r r é c u p é r a b l e s
DR] = d é b i t d ' é v a c u a t i o n des r e j e t s du s tock SR
- L ' o p é r a t e u r un i t a i re es t r e p r é s e n t é p a r l a m a t r i c e [ l j .
- L ' o p é r a t e u r de déca lage des modèles qui impose des r e t a r d s en r a i s o n i n v e r s e des
l i g n e s es t r e o r é s e n t é p a r l a m a t r i c e d i a g o n a l e [z~m], où m es t nu ' ou e n t i e r .
- L ' o p é r a t e u r de d é c a l a g e de temps c o r r e s p o n d a n t à l ' u s i n a g e avant le p r e m i e r c o n
t r o l e es t r e p r é s e n t é p a r ! a m a t r i c e d i a g o n a l e [ z ~ p ] . Si on admet Tue l e s temps
d ' u s i n a g e avan t c o n t r ô l e s o n t égaux p o u r t o u s l e s modè les ( c . - è - d . t o u s les e x
posan ts p é g a u x ) , on a une m a t r i c e s c a l a i r e e t on peu t é c r i r e : [ z~ D ] = z~P [ l j .
- L ' o p é r a t e u r des r e j e t s après le p r e m i e r c o n t r ô l e e s t r e p r é s e n t é nar l a m a t r i c e
d i a g o n a l e [ K ] OÙ l e s é l é m e n t s son t l e s v a l e u r s :
K i i = Ceb i t des r e j e t s modè le i
D é b i t des é lémen ts modèle ï
et on d é f i n î t que :
[B] = [ I ] - [K] ( ! )
- L ' o p é r a t e u r des r e j e t s r é c u p é r a b l e s ap rès l e deuxième c o n t r ô l e es t r e p r e s e n t ^ p a r
l a m a t r i c e d i a g o n a l e [L ] OÙ les é l émen ts sont l e s f a c t e u r s :
D é b i t des r e j e t s i r récuoé rab l es modèle i L. . = ï : —
1 1 Débi t des r e j e t s model e i ap rès p remi e r cont rô I e
En p a r t i c u l i e r , on a :
D é b i t des r e j e t s i r r é c u p é r a b l e s modèle I L i i = - — = I
D é b i t des r e j e t s modè le I après p r e m i e r c o n t r o l e
ca r l e modè le I e s t l e seul modèle i r r é c u p é r a b l e .
Par dé f in i t i o n , on a :
R] = [L ] [K] D | ( j ( 2 )
- L ' o p é r a t e u r des r e j e t s r é c u p é r a b l e s ap rès l e deuxième c o n t r ô l e es t donné par l a
re l a t ion :
[M] = [ l ] - [ L ] ( 3 )
En p a r t i c u l i e r , l ' é l é m e n t Mj ( = 0 .
- L ' o p é r a t e u r de t r a n s f o r m a t i o n e t de déca lage tempore l e s t r ep résen té p a r une ma
t r i c e [T . • . z ~ ' m i ~ m j ' ] t r i a n g u l a i r e s u p é r i e u r e dont l e s é léments d iagonaux son t
nul s .
Les é l émen ts de c e t t e m a t r i c e son t l e s f a c t e u r s :
T. D é b i t des r e j e t s du modèle i , récupéré du modèle j
'J Déb i t des r e j e t s r é c u p é r a b l e s du modè le j
L ' i n d i c e des l i g n e s c o r r e s p o n d au modè le r i c u p é r é , t a n d i s que l ' i n d i c e co l onne
co r respond au f o r m a t r é c u p é r a b l e .
- 4 -
I l f a u t n o t e r que l a somme des é l é m e n t s T J J de c h a q u e c o l o n n e de l a m a t r i c e
[ T j j . z - ^ ' i - ^ j ' ] e s t é g a l e à i .
- ( m j - m j ) z J e s t l e r e t a r d imposé aux m o d è l e s j r é c u p é r é s en m o d è l e i p o u r s ' a d a p t e r
au d é c a l a g e t e m p o r e l du m o d è l e i .
- Les o p é r a t e u r s des d é c h e t s [ N ] J s o n t l e s d i f f é r e n t e s mat r i ces d i a g o n a l e s où ! ° s é l é
men ts c o r r e s p o n d e n t aux t e r m e s en T des d i f f é r e n t e s l i g n e s de l ' o p é r a t e u r de t r a n s
f o r m a t i o n . Ces o p é r a t e u r s C a l c u l e n t l e s d é c h e t s en p a r t a n t du v e c t e u r c e l o n s F\
Le p ro du i t LNj j - i-J = R^] { donne un v e c t e u r c o l o n n e d o n t I ' i n d i ce des I i gnes co r r e soon c
aux m o d è l e s r é c u p é r a b l e s ; t a n d i s que l ' i n d i c e de l ' o p é r a t e u r [ N ] • c o r r e s p o n d .au mo
d è l e r é c u n é r é .
Le v e c t e u r R^j ; comprend donc t o u s l e s m o d è l e s i r é c u p é r é s des m o d è l e s r é c u p é r a t i o n .
L o r s q u ' o n met t o u s l e s v e c t e u r s Rr.] • l ' u n à c o t é de l ' a u t r e , on f o rme u^e m a t r i c e :
L R D J = 'lHVr | • • • R [ J » • • • RD1 n^
- L ' o p é r a t e u r gu ; e f f e c t u e l e d é c a l a g e de t e m p s c o r r e s p o n d a n t à l a r é c u p é r a t i o n e s t r e
p r é s e n t é p a r l a m a t r i c e s c a l a i r e [ z " s ] = z _ s [ l ] , p u i s o u e l a d u r é e du t " = i t e ^ e p t d e e
r e j e t s e s t l e même que l que s o i t l e t r a i t e m e n t .
- La m a t r i c e v e c t e u r L ^ R P J r e p r é s e n t e l e d é b i t d ' é v a c u a t i o n d e s d é c h ° t s du s t o c k 3.-,.
- L ' o p é r a t e u r l u i e f f e c t u e l e d é c a l a g e ce t e m p s c o r r e s p o n d a n t à l ' u s i n a g e a p r è s l e p r e
m i e r c o n t r ô l e e s t r e p r é s e n t é p a r l a m a t r i c e d i a g o n a l e [z~^] . o i on admet que l e s
t emps d ' u s i n a g e a n r è s c o n t r o l e s o n t é g ^ u x DOU r t o u s l e s m o d è l e s , on a une m a t r i c e
r i re , - d " [ I J sea l a i r e e t on p e u t
- L ' o p é r a t e u r TU i e f f e c t u e l e d é c a l a g e de t e m p s c o r r e s p o n d a n t à l ' a s s e m b l a g e e s t rep ré
s e n t e p a r l a m a t r i c e s c a l a i r e [ z ~ r ] = z - r [ i ] , p u i s q u e l ' o n p e u t a d m e t t r e , a r r i o n ,
l u e l e s temps d ' a s s e m b l a g e s o n t é g a u x p o u r t o u s l e s p r o d u i t s s e m i - f i n i s .
- L ' o p é r a t e u r d ' i n t é g r a t i o n qu i donne l e s n i v e a u x des s t o c k s à p a r t i r des d ' b i t s e s t
I " I rep ré s e n t e o a r l a m a t r i c e d i a g o n a l e : t
L I - z - ' J
1.4.2. Description du graohe (Fig. 2)
Les e n t r é e s du g r a p h e s o n t l e s i n f o r m a t i o n s qui i n f l u e n c e n t l e s s o ^ ' i e s e t l e s
s t o c k s . Ce s o n t donc l e d é b i t d ' e n t r é e dans l e s t o c k S , , l e d é b i t des r e j e t s , l e d é b i t
ae r d é c h e t s e t l e s d é c i s i o n s de f a b r i c a t i o n .
Les s o r t i e s du g r a p h e s o n t l e s i n f o r m a t i o n s qu i i n t é r e s s e n t l a c o n d u i t e de l a f a b r i c a
t i o n : d é b i t des p r o d u i t s s e m i - f i n i s s o r t a n t de l ' a t e l i e r d ' u s i n a g e X | , a i n s i que l e s
n i v e a u x d e s s t o c k s . Le g r a p h e a é t é é t a b l i de t e l l e s o r t e que l e s e n t r é e s se t r o u v e n t
à gauene de l a f i g u r e e t l e s s o r t i e s à d r o i t e .
Oo ne c o n s i d è r e c i - a p r è s que des p rému 11 i p I i c a t i o n s .
- 5 -
i.4'2.i. Le stock d'entrée S,
C'es t l ' i n t é g r a l e de l a d i f f é r e n c e e n t r e D&] e t [z -™] D, , ] .
Le p r o d u i t [z~m] D ( | ] f i x e pour l es d i f f é r e n t s modèles l ' o r d r e tempore l de s o r t i e
du s tock S. .
En p r i n c i p e , chaque é lémen t de l a m a t r i c e d i a g o n a l e [ z~ m ] e s t f o n c t i o n du nombre
d ' e n t i t é s de l a l i g n e co r respond ante du v e c t e u r co lonne D( ( ] , compte tenu de l ' o r d r e
tempore l imposé pa r l e p rocessus de r é c u p é r a t i o n .
En p a r t i c u l i e r , s i l ' a t e l i e r d ' u s i n a g e es t équ ipé pour t r a v a i l l e r en p a r a l l è l e , et
s i on veut que l ' u s i n a g e de t o u s l es modèles commence en même temps, i l s u f f i t de
pose r t ous l es m = 0 dans l a m a t r i c e d i a g o n a l e [ z - m ] .
1.4.2.2. Le débit dans l'atelier X% jusqu'au premier contrôle
Le d é b i t d ' e n t r é e dans l ' a t e l i e r X| au noeud A é t a n t dé te rm iné par
[z~ m ] D j | ] , on o b t i e n t en B , l e d é b i t [ z " p ] [ z - m ] D M J q u i , après l es r e j e t s i m
posés par l e p r e m i e r c o n t r ô l e d e v i e n t :
[ z -P ] [ z " m ] D, , ] - [K] [?~O] [ Z - " 1 ] D , , ]
so i t ,
{ [ I ] - [K l> [ Z - P ] [ z " m ] D , , ]
Ce qui donne par l a r e l a t i o n ( I ) :
[B] [ z - P ] [ z - " 3 D , , ]
1 . 4 . 2 . 3 . Le débit dans l'atelier X0
S o r t a n t de l ' a t e l i e r Xf au noeud B , 1 e déb i t ' des p r e m i e r s r e j e t s es t donn^'
p a r [K] [ z -P ] [ z " m ] D , , ] .
Lo rs du deuxième c o n t r ô l e , c . - è - d . en E / l e d é b i t des r e j e t s i r r é c u p é r a b l e s es t
donné par :
E] = [L ] [K] [ z - P ] [z~ m ] D , , ] <4)
Remarquons i c i que l a m a t r i c e d i a g o n a l e [L ] a son é lément L ( , éga l à I , pu i sque l e
fo rmat I e s t i r r é c u p é r a b l e .
Au noeud E , c . - à - d . après l e s r e j e t s i r r é c u p é r a b l e s , l e d é b i t dans X^ est donné
par :
[K] [ z - P ] [ z " m ] D , , ] - [ J LKI [ z -P ] Cz"m] D , , ]
so i t ,
{ [ I ] - [ L ] } [K] [ z -P ] [ 7 - ^ ] D , , ]
Ce qui donne :
[M] [K] [ z -P ] [ z " m ] D M ]
- 6 -
I I f a u t n o t e r que l a mat r i ce d i a g o n a l e [ M ] a son é lément M, ( ' = o . Le d é b i t des mo-
d è l e s récupérés qui - e t o u r n e n t dans l ' a t e l i e r Xj au noeud C es t donné p a r :
[Tï j . z ~ ( m i ~ m J ]] [M] [K] [ z -P ] [ z " m ] D M ]
t a n d i s aue l es d é c h e t s sont donnés par :
R fri U " S ] [N] j [M] [K l [ z - P ] [ z - m ] D , , ] 5)
1.4. 2.4. Le débit dans l 'ate it er X1 après le. premier contrôle
Au noeud C , on a la somme des deux d é b i t s , s o i t :
' j -z [B] [ z -P ] {z-™} D M ] + [ T i . j . z ( m i V ] [M] [K] [z-P] [z-m] D- .]
ou,
{[B] + [ T i j . - I m ; - m j ) ,
[M] [K ] } [ 2 - P ] [z~ m ] D M ]
Le r é s u l t a t des o p é r a t i o n s m a t r i c i e l l e s des termes en T i j c o r r e s p o n d à une o o é r a t i o n
s u r l e s c o l o n n e s . Chaque t e r n e d 'une co lonne de ia m a t r i c e t r i a n g u l a i r e s u p é r i e u r e è
é l émen ts d iagonaux n u l s est m u l t i p l i é par i ' é l é m e n t c o r r e s p o n d a n t du p r o d u i t des
m a t r i c e s d i a g o n a l e s .
La mat r i ce [ Aj c o r res pon dan t au r é s u l t a t des o o é r a t i o n s m a t r i c i e l l e s e n t r e acco lades
es t donc une m a t r i c e t r i a n g u l a i r e s u p é r i e u r e dont les é l é m e n t s d iagonaux sont ceux
de l a m a t r i c e d i a g o n a l e [B] .
On. oeut donc é c r i r e que l e d é b i t en C es t éga l à :
[A] [ z -P ] [z~m ] D , , ]
A l a s o r t i e de l ' a t e l i e r X ( / c . - à - d . en D , l e d é b i t es t donné pa r :
[ z - q ] [A] [ z -P ] [7.-*] D , , î
1.4.2.5. Le stock inte rnédiai re S2
C ' e s t l ' i n t é g r a l e de la d i f f é r e n c e e n t r e l es d é b i t s [ z ~ q ] [ A ] t z " p ] [ z~ m ] D, , ]
e t D 2 2 ] .
1.4.^.6. Le débit dons l'atelier X2
A l ' e n t r é e E , 1 e d é b i t es t égal au v e c t e u r c o l o n n e D22] qui r e p r é s e n t e t ous
l e s p r o d u i t s s e m i - f i n i s qui d o i v e n t s e r v i r à l ' a s s e m b l a g e de X équ ipemen ts .
On peut donc é c r i r e : D 2 2 J ~ ^ - D ' 2 2 ^ ( 5 J
Puisque l a m a t r i c e [ z _ r ] es t une m a t r i c e d i a g o n a l e à é l é m e n t s égaux, en F on a :
z ~ r [ ! ] \ - D ' 2 2 ] = À . z " r O ' ^ J «7)
Après F , l e v e c t e u r c o l o n n e des modèles d i s p a r a î t p u i s q u ' i l s ' a g i t d ' équ i 0 emen t s
assemblés . Le d é o i t en G es t donc :
X - . z'rt>'22] , ]
i T
- 7 -
La constante c est l a v a l e u r s c a l a i r e qui r é s u l t e de l ' o p é r a t i o n m a t r i c i e l l e D2 2]
1.4.2.6. Le stock de sortie S3
Cest I ' i n t é g r a l e de l a di f férence snt re I es débi t s - . z ~ r D ' 2 2 ] l ] T e t D s .
1.4.2.7. Le stock de rejets Sn
C ' e s t l ' i n t é g r a l e de l a d i f f é r e n c e e n t r e l e s d é b i t s R] et D R ] .
1.4.2.8. Le stock des déchets Sn
C ' e s t l ' i n t é g r a l e de l a d i f f é r e n c e e n t r e l e s d é b i t s [ R Q ] e t [Dp r j ] ,
1.4.3. Exemple ; Cas de trois modèles
On On d é t a i l l e l a p a r t i e du graphe mu 11?d imens ionne l aux noeuds 3 , C , E
F et l e s o p é r a t i o n s m a t r i c i e l l e s c o r r e s p o n d a n t e s ( F i g . 3 ) .
V e c t e u r c o l o n n e du d é b i t des f o r m a t s récupé rés sans t e n i r compte des déca lages de
temps
0 T | 2 T | 3
0 0
0 0
T 23
T | 2 . F 2 + T | 3 . F 3
T 2 3 ' F 3
0
M a t r i c e des v e c t e u r s c o l o n n e s , d é b i t s des déche ts sans t e n i r compte des déca lages
de temps
0 0
0 T | 2 0
0 0 T
0 0 0
0 0 0
0 0
" 0 0 0
0 0 0
0 0 0
23
0
r 2
F,
0
T , 2 . F 2
T, 3. F 3
0
0
T 2 3 ' F 3
0
0
0 J
= RiJ
= "ni D-»2
= Rnl DJ3
- 8 -
0 0 0
T | 2 . F 2 0 0
T | 3 . F 3 T 2 3 . F 3 0
1.5. Application à l a chaîne de fabricat ion de l ' u s i n e MMN
I.5.Î. Description de la fabrication
On cons idère uniquement la p a r t i e de l a chaîne de f a b r i c a t i o n où l a m a t i è r e
f i s s i l e est t r a i t é e . La ma t i è re première ent rç sous l a forme de 6 formats de p l a q u e t
tes q u i , après usinage dans l ' a t e l i e r X, f donnent comme p r o d u i t s s e m i - f i n i s s i x f o r
mats de plaques laminées. Après assemblage dar.s l ' a t e l i e r X ( / 18 plaques laminées
( 3 x 6 formats) donnent comme p rodu i t f i n i un élément combust ib le .
Les r e j e t s sont réexpédiés au fou rn i sseu r : l ' a t e l i e r X j n ' e x i s t e pas. Les temps de
cheminement sont :
p = I semaine
q = 3 semaines
r = 0, 25 semai ne
1.5.2. Graphe de fabrication
Tous les opéra teurs m a t r i c i e l s sont diagonaux, ce qui r ev i en t à d i r e que l ' o n
a 6 graphes p a r a l l è l e s sans p o s s i b i l i t é de t r a n s f e r t de l ' u n à l ' a u t r e , mais les t aux
de r e j e t s sont d i f f é r e n t s pour chacun des graphes.
L ' a p p l i c a t i o n du graphe de l a F i g . 2 au cas cons idéré est donné par l a F ie . 4 où,
- X| représente l a t o t a l i t é des e n t i t é s qui se t rouven t dans l ' a t e l i e r Xç ;
- X2 représente l a t o t a l i t é des e n t i t é s qui se t rouven t dans l ' a t e l i e r X2 .
1.5.3. Gestion de fabrication
La ges t ion de f a b r i c a t i o n v i se à o p t i m i s e r le p r i x de rev ien t pour un d é b i t
donné.
En p r i n c i p e , l a bonne marche d'une f a b r i c a t i o n
1) se règle sur l a vente c . - à - d . le déb i t de s o r t i e qui détermine le d é b i t d ' e n t r é e
des mat iè res premières ;
2) impose des s tocks qui sont optimums, donc s u f f i s a n t s t ou t en é tan t minimums. Des
stocks t r op é levés imp l iquen t une charge économique. Des s tocks t r op öu mal é q u i
l i b r é s menacent la c o n t i n u i t é de l a f a b r i c a t i o n .
On d i s t i n g u e deux types de s tocks .
- Le stock en cours de f a b r i c a t i o n dans les a t e l i e r s
Pour un o u t i l l a g e donné et une produc t ion demandée le m e i l l e u r p r i x de r ev i en t
r ésu l t e de l ' o p t i m i s a t i o n de la f onc t i on Homme-Heure et f i x e ce s tock . Dans
c e r t a i n s cas, la nécess i té économique peut imposer une v a r i a t i o n c y c l i q u e des
déb i t s d ' e n t r é e .
x Toutefois dans les systèmes d i t " t rava i l à fa chaîne", l 'opt imisat ion correspond toujours a la capacité dt
production maximale. Lorsque la production demandée est i n f é r i e u r e a la production maximale, on ne peut que
réduire la duré"e dt fonctionnement du système.
[[R], R]2 *h~\ =
- 9 -
- Les s t o c k s proprement d i t s , en marche no rma le , ne peuven t pas descendre en-dessous
du n i veau p r é f i x é p a r l e s c o n t r a i n t e s économiques e t de f a b r i c a t i o n .
1.5.4. Représentation de la gestion de fabrication
La F i g . 4 mon t re que pour g é r e r l a f a b r i c a t i o n :
1) I l f a u t , s i Mon v e u t o r o d u i r e un d é b i t de Ds é lémen ts c o m b u s t i b l e s , i n t r o d u i r e
dans l a cha îne de f a b r i c a t i o n un d é b i t de 3 . D s ] .
2 ) I l f a u t p o u v o i r e s t i m e r l a q u a n t i t é de r e j e t s de chaque fo rma t e n t r e deux é c h a n
t i l l o n n a g e s c o n s é c u t i f s .
On suppose i c i l e p rob lème r é s o l u en posant l e d é b i t des r e j e t s égal à R] * , ce
qu i r e v i e n t à p r é v o i r l ' o p é r a t e u r des r e j e t s [ K ] * que l ' o n d o i t a p p l i q u e r au d é b i t
d ' e n t r é e , L ' a s t é r i s q u e i n d i q u e q u ' i l s ' a g i t d ' u n e p r é v i s i o n .
On peu t à l a r i g u e u r a d m e t t r e comme o p é r a t e u r M * l ' o p é r a t e u r [ K ] p r é c é d e n t , ma is
c e l a c o n d u i t pour l ' a t e l i e r X( à des d é b i t s d ' e n t r é e e t de s o r t i e peu r é g u l é s .
L ' é t u d e des a l g o r i t h m e s qui peuven t ê t r e u t i l i s é s pour l a p r é v i s i o n des r e j e t s
f a i t l ' o b j e t de l a deuxième p a r t i e du r a p p o r t .
On v o i t éga lement dans l e g raphe de l a F i g . 4 que l e s s tockages S| e t S^ sont l e s
s e u l s pou r l e s q u e l s i l e s t p r u d e n t de p r é v o i r , en marche n o r m a l e , une r é s e r v e m i n i
male exp r imé^ en é lémen ts c o m b u s t i b l e s .
s o i t X | . n ' ] + £ %• l ] pour l e s t o c k S(
et %2' 5 ] + A % • l ] pou r l e s t o c k S2
avec , Xj et x^ = nombre d ' é l é m e n t s c o m b u s t i b l e s minimum p r é f i x é .
n ' ] = v e c t e u r de p r o p o r t i o n n a l i t é des f o r m a t s , compte t e n u des r e j e t s
A % - l ] = f l u c t u a t i o n s t a t i s t i q u e admise ( e n t r e 0 e t A.%) pour chaque f o r m a t .
Si l ' o n veu t d i f f é r e n c i e r l a f l u c t u a t i o n en f o n c t i o n des f o r m a t s , i l
s u f f i t de remp lace r l ] p a r l e v e c t e u r c o l o n n e adéqua t .
A D a r t î r des r é s e r v e s m i n i m a l e s n é c e s s a i r e s , i l e s t a l o r s p o s s i b l e de c a l c u l e r é v e n
t u e l l e m e n t I e vec teu r c o l o n n e qu i r é t a b l i t I a p r o p o r t i onna l i t é des f o r m a t s dans l e s
s t o c k s , à savoi r :
Dm] p o u r l e s t o c k S(
Dg] pou r I e s t o c k S^
Par exemple :
- b p a r t i r de l a f l u c t u a t i o n s t a t i s t i q u e l o r s q u e l e s s t o c k s r e s t e n t c o n t a n t s ;
- dans l e cas des s t o c k s à é v o l u t i o n p é r i o d i q u e en r e t e n a n t l ' i n f o r m a t i o n r e c u e i l l i e \
l o r s q u e l e s t o c k minimum d ' u n f o rma t es t a t t e i n t , j u s q u ' a u moment où l ' o n a l e s
données r e l a t i v e s à t o u s l e s f o r m a t s .
- 10 -
Ei p l u s des c o n t r a i n t e s c i - a v a n t , l ' o p t i m i s a t i o n du p r i x de r e v i e n t peu t e x i g e r
une v a r i a t i o n du d é b i t d ' e n t r é e dans l ' a t e l i e r d ' u s i n a g e . Pour ce f a i r e , on m u l t i p l i e
l e v e c t e u r ' c o l o n n e 3 Ds] p a r un f a c t e u r f | ( z ) , v a r i abl e d ' u n e man iè re p é r i o d i q u e :
pa r e x . , f ; t z) = U , 5 ) . z " k + ( l , 5 ) . z " 2 k + ( 1 , 0 ) . z ~ 3 k + I O , 0 ) . z " 4 k + M , 5 ) . z _ 5 k +
( l , 5 ) . z ~ ^ k + ( l , 0 ) - z ~ 7 k + Dans ce c a s , i l e s t b i e n entendu que l ' o D é r a t e u r [ K ]
d o i t s ' a p p l î a u e r au d é b i t p récéden t pour c a l c u l e r l e v e c t e u r c o l o n n e R] que l ' o n
d o i t a j o u t e r au d é b i t s u i v a n t , en t e n a n t con.pte des é v e n t u e l s r e t a r d s qui en r é s u l
t e n t l o r s q u e f i ( z ) = 0 . Pour l e s r e t a r d s don t i l es t q u e s t i o n , i l en e s t ae même
oour l es v e c t e u r s Dg] e t Dm].
Lorsque l e d é b i t d ' e n t r é e dans l ' a t e l i e r X( e s t c o n s t a n t , i l e s t é v i d e n t que f j ( z )
es t t o u j o u r s égal à I .
A p a r t i r du g raphe de l a F i g . 4 e t des c o n d i t i o n s c i - d e s s u s , on peut é t a b l i r l a r e
p r é s e n t a t i o n de l a F i g . 5.
E t a b l i r l e d é b i t d ' e n t r é e en f o n c t i o n du d é b i t de s o r t i e e t des r e j e t s , en m a i n
t e n a n t l e s s t o c k s minimums n é c e s s a i r e s e s t l a c o n d i t i o n du démar rage .
I l f a u t auss i que la g e s t i o n reche rche et m a i n t i e n n e l e t a u x de r e j e t s l e p l u s f a i b l e
en é t u d i a n t au début d ' u n e f a b r i c a t i o n l e s pa ramè t res t e c h n i q u e s e t humains qui i n
f l u e n c e n t l e s m a l f a ç o n s . Ces pa ramè t res ne r e s t e n t cas c o n s t a n t s dans l e temps.
A i n s i , pa r example, t o u t e s a u t r e s c o n d i t i o n s r e s t a n t é g a l e s , un v i e i l l i s s e m e n t de
l ' o u t i l l a g e peut se t r a d u i r e pa r une augmen ta t i on l e n t e du p o u r c e n t a g e moyen des
r e j e t s .
Sans d é v e l o p p e r c e t aspec t du p rob lème qui s o r t du c a d r e que l ' o n s ' e s t p roposé , i l
a p p a r a î t cependant que l ' i n t e r p r é t a t i o n des v a r i a t i o n s du taux des r e j e t s es t cons tam
ment i n d i s p e n s a b l e à t o u t e bonne g e s t i o n .
1.5.5. Contrôle et garanties
Une f a b r i c a t i o n p l a n i f i é e a p p e l l e l e c o n t r ô l e des dé tou rnemen ts , pa rce q u ' i l s
p e r t u r b e n t le bon f o n c t i o n n e m e n t e t peuvent ê t r e l a cause de p e r t e s f i n a n c i è r e s i m
p o r t a n t e s . Ce c o n t r ô l e es t d ' a u t a n t p l u s complexe que l a m a t i è r e t r a i t é e es t i n t r i n
sèquement p l u s oné reuse , c a r I ' î n té r ê t ne se l i m i t e pas aux s eu I s p r o d u i t s f i n i s .
Or, l e c o n t r ô l e ne s ' e f f e c t u e que p a r compara ison e n t r e ce qui d o i t e x i s t e r e t ce
qui e x i s t e , e t l a d é t e c t i o n e s t à p o s t e r i o r i . La m a t i è r e f i s s i l e qu i e n t r e dans l a
f a b r i c a t i o n des é lémen ts c o m b u s t i b l e s à l a MMN es t une m a t i è r e non seu lement onéreuse
mais auss i une m a t i è r e soumise aux g a r a n t i e s dans l e c a d r e du T r a i t é de non-D ro l i f é -
r a t i o n des armes n u c l é a i r e s .
A MMN l a f a i b l e s s e du c o n t r ô l e par compara ison es t l a durée du cheminement dans
l ' a t e l i e r d ' u s i n a g e et le l i e u f a v o r a b l e pour e f f e c t u e r un dé tournement se s i t u e
au début de l a c h a î n e , quand l a m a t i è r e f i s s i l e e s t encore sous forme de p l a q u e t t e s .
Les p e t i t s dé tou rnements même s u c c e s s i f s ne s o n t pas dangereux en eux-mêmes, pu i sque
l e p r e m i e r de l a s é r i e es t d é t e c t é d ' u n e façon c e r t a i n e ap rès q u a t r e semaines l o r s
de I ' i n v e n t a i r e .
Par c o n t r e , i l e s t e s s e n t i e l de p o u v o i r d é t e c t e r au p l u s v i t e l e s dé tou rnemen ts im
p o r t a n t s .
- I I -
A c e t t e f i n , on c o n s i o è r e i d d e r n i è r e d é t e ~ i r ,at : on du t a u x de r e j e t moyen e t l a
b a n d e de f l u c t u a t i o n s t a t i s t i q u e c o r r e s p o n d a n t e comme l a p r é v i s i o n du p r o c h a i n t a u x
de r e j e t . On p e u t a l o r s d é t e c t e r avec une c e r t a i n e p r o b a b i l i t é l e s d é t o u r n e m e n t s
i m p o r t a n t s e f f e c t u é s au d é b u t du p r o c e s s u s d ' u s i n a g e . L o r s q u e l ' i d e n t i f i c a t i o n e t
i a D r é v i s i o n des r e j e t s s e n t f a i t e s , l ' a n a l y s e des p o s s i b i l i t é s m o n t r e que ! es d é
t o u r n e m e n t s s o n t d é t e c t é s d i r e c t e m e n t , à m o i n s d ' a d m e t t r e une c o m p l i c i t é de l ' u s i n e
e i ! e—m em e .
P a r t a n t du g r a p h e de l a F i g . 4 , on p e u t é t a b l i r l e g r a p h e de l a F i g . 6 .qui r e p r e n d :
- p a r " c o m p a r a i s o n " l a d é t e c t i o n de t o u s l e s d é t o u r n e m e n t s ;
- p a r l a " p r é v i s i o n " du d é b i t des r e j e t s l a d é t e c t i o n des d é t o u r n e m e n t s i m p o r t a n t s .
Dans ce g r a p h e , l a p r é v i s i o n du d é b i t des r e j e t s e s t o b t e n u e en p rému i t i p ! i a n t l e
v e c t e u r d e s e n t r é e s r é e l l e s c a r l a m a t r i c e [K ] * d é j à c i t é e ( v o i r 1 .5 . 4- ! .
La s o u s t r a c t i o n du r e j e t r = e l donne avec une c e r t a i n e p r o b a b i l i t é une i n d i c a t i o n de
d é t o u r n e m e n t que l ' o n a n o t é e Vp (p = p r é l i m i n a i r e ) .
P a r c o n t r e , l a s o r t i e Vp (F - f i n a l ) donne a v e c c e r t i t u d e l ' i n d i c a t i o n de a é t o u r n e -
m e n t .
Le c o n t r ô l e aux f in r~ de g a r a n t i e de l a c h a î n e de f a b r i c a t i o n de l ' u s i n e MMN p o u r l e s
é l é m e n t s c o m b u s t i b l e s d e s t i n é s aux r é a c t e u r SR2 p e u t donc s ' e f f e c t u e r comme s u i t :
I ) i d e n t i f i e r p é r i o d i q u e m e n t n a r une m é t h o d e non d e s t r u c t i v e t o u t e s l e s e n t i t é s T U i
se t r o u v e n t d a n s l e s d i f f é r e n t s s t o c k s ; on v é r i f i e a i n s i l a r é a l i t é des d é c l a
r â t i ons ;
2> d é t e c t e r l e s d é t o u r n e m e n t s i m p o r t a n t s e f f e c t u é s 3u d é b u t de l ' u s i n a g e p a r l a p r é
v i s i o n du t a u x des r e j e t s ;
5) d é t e c t e r . l e s d é t o u r n e m e n t s e f f e c t u é s au c o u r s de l ' u s i n a g e en c o m p a r a n t l e s s o r
t i e s r é e l l e s aux s o r t i e s t h é o r i q u e s .
Le g r a p h e de l a F i g . 6 e t l a r e p r é s e n t a t i o n de l a F i g . 5 p e u v e n t se t r a d u i r e en
schéma b l o c s de g e s t i o n p a r o r d i n a t e u r ( F i g . 7 ) o ù :
I ) Le b l o c "modè l e m a t hém a t i q u e " c o m p a r e l e dé b i t q u i s o r t de l ' a t e l i e r d ' u s i n a g e
au d é b i t qu i d o i t en " s o r t i r , c e qu i s i g n a l e t o u s l e s d é t o u r n e m e n t s ( D é t e c t i o n
f i n a l e , V p ) .
2 ) Le b l o c " C a l c u l des c a r a c t é r i s t i q u e s du m o d è l e " donne t o u t , l e s r e n s e i g n e m e n t s
p o u r é t a b l i r l ' é v o l u t i o n d e s r e j e t s , e t i n d i que I es d é t o u r n e m e n t s impo r t a n t s :
" D é t e c t i o n p r é ' i m i n a i r e " . Les r e j e t s s o n t i c i d o n n é s en % p o u r l e s r e n d r e i n d é -
ri ;'TI H . ,n t , ;, ri »* ! ' en t ré e .
3) Le b l o c " G e s t i o n " é t a b l i t l e s d é b i t s d ' e n t r é e en f o n c t i o n des i m p é r a t i f s de
g e s t i o n .
F.;: o u t r e , l e s n i v e a u x des d i f f é r e n t s s t o c k s p e r m e t t e n t l o r s d ' u n e i n s p e c t i o n de
c o m p a r e r l a s i t u a t i o n r é e l l e à l a s i t u a t i o n t h é o r i q u e .
Dans l e p r é s e n t s c h é m a - b l o c ne f i g u r e r , t p a s l e s i n f o r m a t i o n s r e l a t i v e s à l ' i d e n t i
f i c a t i o n des e n t i t é s .
- 12 -
2. LES ALGORITHMES
2.1. La réponse
On a vu dans l a p r e m i è r e p a r t i e l ' i n t é r ê t q u ' i l y a de p r é v o i r l e d é b i t des
r e j e t s pour une bonne g e s t i o n de f a b r i c a t i o n et auss i subs i d i ai rement p o u " s a t i s f a i r e
aux " G a r a n t i e s " . L ' a p p l i c a t i o n de l a méthode des g raphes à une des cha înes de f a b r i
c a t i o n de l ' u s i n e MMN a donné un modèle ma thémat ique mu 11 i d imens ionne l d i a g o n a l ! se .
Le d é b i t des r e j e t s pour un fo rmat donné es t donc i ndépendan t des a u t r e s f o r m a t s . On
se l i m i t e , en conséquence, à un seul f o rma t pour l ' é t u d e des méthodes p r é v i s i o n n e l l e s .
Pour l a p r é v i s i o n de l a m a t r i c e [ K ] , i l s u f f i t e n s u i t e d ' a p p l i o u e r à chacun des f o r
mats l a méthode a d o p t é e .
On n ' exam ine ra p résen temen t que deux méthodes p r é v i s i o n n e l l e s s i m p l e s s u s c e D t i b l e s
d ' a p p l i c a t i o n dans l e s u s i n e s de f a b r i c a t i o n .
2.1.1. Choix des method e s
Puisque l ' a v e n i r ne peut ê t r e o révu qu 'en f o n c t i o n du passé , l e s m e t h o d e s pré
v i s i o n n e l l e s qui se p r é s e n t e n t d i r e c t e m e n t à l ' e s p r i t , s o n t l e s s u i v a n t e s .
a) Le c a l c u l de l a moyenne de t o u t e s l es mesures a n t é r i e u r e s . C e t t e méthode e s t l i é e
à l a re i a t i on :
KN+2 _ KN + I
KN.N + K N + !
N + I
avec,
K^ + i = v a l e u r moyenne des N+l t a u x de r e j e t s ,
K*+2 = p r é v i s i o n pour l e N + 2 , è m e t aux de r e j e t s .
K^ = v a l e u r moyenne des N taux de r e j e t s .
KN + | = v a l e u r du N+ l ' ^ ' 1 1 6 t a u x de r e j e t s .
La moyenne que l ' o n o b t i e n t pa r l a méthode de r é c u r r e n c e c i - d e s s u s , donne l a même
impor tance à t o u t e s l es mesures . C e t t e méthode a donc l ' i n c o n v é n i e n t de t e n i r
"de moins en moins compte " des d e r n i è r e s mesures que l ' o n e f f e c t u e , a l o r s que
pour un p rocessus i n d u s t r i e l , ce s o n t l e s d e r n i è r e s v a l e u r s qui sont l e s p l u s
s i g n i f i c a t i v e s , p u i s q u ' u n e f a b r i c a t i o n ne peu t pas ê t r e c o n s i d é r é e comme un i n
v a r i a n t .
b) Le c a l c u l de l a moyenne p r o g r e s s i v e , c r à - d . l a moyenne des x d e r n i è r e s mesures .
L ' a l g o r i t h m e c o r r e s p o n d a n t es t :
K N+2 " KN + I
N
N-x 1 Kj t ( K N + | - K N # X
- 13 -
avec ,
KN + | = v a l e u r moyenne des 10 d e r n i e r s taux de r e j e t s a n t é r i e u r s comptés à
p a r t i r du N + I ' ^ m e t aux de r e j e t s
*N + 2 = p r é v i s i o n pour l e N + 2 i e n i e taux de r e j e t s
Kj = un des d i x d e r n i e r s t a u x de r e j e t s a n t é r i e u r s compté à p a r t i r du N l t T i e
t aux de r e j e t s
K N + | = v a l e u r du N + l l è r T i e t aux de r e j e t s
KN_X = v a l e u r du ( N - x ) l è m e t a u x de r e j e t s
Cet a l g o r i t h m e o u b l i e t o u t e s l e s v a l e u r s a n t é r i e u r e s à l a x ' ^ 6 v a l e u r . On p rend ra
x = 10 dans l e s exemples .
c) La r e l a t i o n de ce que l ' o n a a p p e l é "algorithme p r o p o r t i o n n e l "
» * r * n
K N + l = K M ~ | K N ~ KN ! CL
Ou
K*N + ( = K*N (i - a ) + KN .a
a v e c ,
K*N+1 = v a l e u r p révue pour le N + I , è m e t aux de r e j e t s
K*N = v a l e u r p révue pour l e N l è m e t aux de r e j e t s
KN = v a l e u r du N i è m e t aux de r e j e t s
L ' a l g o r i t h m e p r o p o r t i o n n e l ne demande que l a r e t enue de l a p r é v i s i o n l a p l u s ré
c e n t e , et o u b l i e l e passé d ' u n e m a n i è r e exponen t i e l l e .
2.1.2. Programme
Pour é t u d i e r l a réponse des méthodes c i t é e s , chacune d ' e l l e s e r a a p p l i q u é e à
une s t a t i s t i q u e p r é é t a b l i e qui f i g u r e l es pou rcen tages des r e j e t s
I ) où l a v a l e u r moyenne r e s t e c o n s t a n t e en f o n c t i o n du temps,
2) où l a v a l e u r moyenne é v o l u e len tement en f o n c t i o n du temps, ce qui s i m u l e une va
r i a t i o n de l a f a b r i c a t i o n ,
5) où l a v a l e u r moyenne r e s t e c o n s t a n t e , ma is où a p p a r a î t une i m p u l s i o n qui f i g u r e
une p e r t u r b a t i o n .
P r e m i e r cas : La v a l e u r moyenne à p r é v o i r r e s t e c o n s t a n t e en f o n c t i o n du temps
a) Méthodes p a r moyenne g é n é r a l e ou pa r moyenne p r o g r e s s i v e
I I es t b i en é v i d e n t que les e s t i m a t i o n s pa r ces deux méthodes son t d ' a u t a n t p l u s
v a l a b l e s que l e nombre de mesures es t é l e v é . Pu isque l e système à c o n t r ô l e r es t
i n v a r i a n t dans l e temps, l a p r é v i s i o n d 'une v a l e u r es t la même que l ' e s t i m a t i o n
de c e t t e va l eu r.
- 14 -
b) Méthode par a lgor i thme propor t ionne l
I l ne res te donc à examiner que la réponse de l ' a l g o r i t h m e propor t ionne l en
fonc t i on du paramètre a.
Cet a lgor i thme qui est une r e l a t i o n de récurrence, nécess i te une es t ima t ion de
l a va leu r i n i t i a l e , qui peut ê t r e s o i t une moyenne ca lcu lée à p a r t i r des premiè
res mesures, s o i t une va laur erronée.
De l'examen du graphique F ig . 8, qui représente l a réac t ion de l ' a l g o r i t h m e , on
consta te que pk i s a est p e t i t :
- moins la p rév i s ion est in f luencée par l a s t a t i s t i q u e ;
- p lus long est le temps nécessaire pour a t t e i n d r e l ' é q u i l i b r e ;
- moins v i t e l ' a i go r i thme oubl i e le passé. Aussi, pou r a = I , l ' a i go r î t hme o u b l i e
automatiquement l ' a v a n t - d e r n i è r e mesure, de sor te que la p rév is ion est l e r é s u l
t a t de la dern iè re mesure.
Les cons ta ta t ions c i -dessus sont des conséquences du temps d 'adapta t ion qui r é
s u l t e de l ' e x p o n e n t i e l l e de la dynamique du système, et de ce f a i t , sont dé te r
minées par l ' i n t e r v a l l e de temps T appelé "Constante de temps d ' a d a p t a t i o n " , avec:
I T = -
a D'autre pa r t , l ' i n t e r v a l l e de temps T détermine l a c o r r e c t i o n apportée à l ' e s t i
mation i n i t i a l e . A ins i :
- après I T, on a une co r rec t i on de 63,7 % de l ' e r r e u r sur l ' e s t i m a t i o n i n i t i a l e ;
- après 3 T, on a une co r rec t i on de 95 % de \}erreur sur l ' e s t i m a t i o n i n i t i a l e ;
- après 4 T, on a une co r rec t i on de 98 % de l ' e r r e u r sur l ' e s t i m a t i o n i n i t i a l e .
Deuxième cas : La va leur moyenne à p révo i r évolue lentement en fonc t ion du temps
a) La méthode par moyenne générale
La F ig . 9 montre que les p rév i s i ons données par c e t t e méthode ne sont pas accep
tab les lorsque le nombre de va leurs an té r ieu res est é levé . En e f f e t , i c i aucune
val eu r n' est oub l iée et la val eu r actu - I l e a la même impo rtance qu' une val eu r pas
sée depuis longtemps. On comprend aisément q u ' i l n 'es t guère poss ib le dans ces
cond i t i ons de su iv re un système qui évolue dans l e temps. La méthode est donc à
rej e te r .
b) La méthode par moyenne progressive
La F i g . 9 montre que c e t t e méthode s u i t l ' é v o l u t i o n avec des f l u c t u a t i o n s accepta-
bl es lorsqu 'on adopte x = 10 ( voi r 2. I . I ). On peut remarquer que l ' é t a t d 'équi I ib re
est a t t e i n t après 10 mesures et q u ' i l est t e l que l 'asymptote de la réponse (pente)
est la même que c e l l e du système. Cet asymptote coijpe l ' axe ho r i zon ta l après 5 u n i
tés de temps, c . - à - d . le temps correspondant au nombre de mesures d i v i sé par 2.
c) La méthode par a lgor i thme propor t ionne l
La F i g . 9 montre que c e t t e méthode, lo rsqu 'on adopte a = 0, ! , s u i t l ' é v o l u t i o n avec
des f l u c t u a t i o n s du même ordre de grandeur que c e l l e s de la moyenne progress ive
- 15 -
lorsque x= 10. On remarque aussi qu ' i l faut attendre plus longtemps pour atteindre
l 'équ i l ib re : par exemple, après t ro is Constantes de Temps, on est à 5 % de la va
leur d 'équi l ibre. L'asymptote coupe l'axe horizontal au temps correspondant è rr
mesures.
Troisième cas : Valeur moyenne constante où intervient une impulsion de quatre un i
tés de temps par exemple.
La Fig. 10 montre que la réponse de la moyenne progressive est de forme trapézoïdale,
tandis que la réponse de l 'algorithme proportionnel est la combinaison de deux ex
ponentiel ! es.
Remarque
Notons que si l'on veut transposer les algorithmes retenus dans le domaine des
transformées en z, on a :
- pour la moyenne progressive, le graphe de transfert :
I I
Flz) o •» o —J ~ z o M ( z !
- pour l 'algorithme proportionnel, le graphe de transfert :
a
l - I l -a ) z"1
F(z) o • *—: o M(z)
L ' intérêt de la transposition ci-dessus réside dans le f a i t que c'est la structure
mathématique de la fonction de transfert qui adapte qualitativement la réponse.
I l est donc j u s t i f i é de rechercher la relation de récurrence du domaine temps à par
t i r de la fonction de transfert (voir Annexe). Rappelons que la transposition du
domaine temps au domaine des transTormées en z est p resqu'immédi ate.
2 .2 . Les fluctuations stat is t iques
Prévoir l 'évolut ion de la valeur moyenne du pourcentage des rejets est u t i l e à
la bonne gestion d'une fabrication (voi r 1.5.4), mais cet te valeur ne su f f i t pas aux
"Garanties". En ef fe t , pour détecter les anomalies, les "Garanties" exige que l 'on
détermine la prévision moyenne avec une bande dans laquelle i l y aura 95 % de chance
de trouver le rejet réel futur.
2.2.1. Considération générale»
Le but que l'on se propose ici est de prévoir d'une manière satisfaisante dans
un système essentiellement dynamique la grandeur de la f luctuation stat is t ique d'un
futur immédiat.à par t i r d'un passé récent, car le passé éloigné ne correspond plus
aux conditions du fonctionnement actuel.
- l o
l l ne s'agit donc pas d'étudier ic i la s t a t i s t i q u e d'un ensemble de mesures c l ô t u r é .
Cependant, p u i s q u i ' i l s ' a g i t de s t a t i s t i q u e s , on compare c i - a p r è s les cond i t i ons
du problème posé aux axiomes de l a s t a t i s t i q u e c l a s s i q u e .
1) Un procédé i n d u s t r i e l dépend è l a f o i s des r é a l i t é s techniques et des cond i t i ons
humaines, et par conséquent, l e système peut a v o i r une s t r u c t u r e non l i n é a i r e
q u i , en o u t r e , n ' es t pas forcément cons tan te .
Le système est supposé l i n é a i r e parce que par les c o n d i t i o n s de l 'énoncé, on ne
dispose pas du nombre s u f f i s a n t de mesures pour reconna î t re l a s t r u c t u r e éven
t u e l l e de !a non- l i n4ar i t é .
2) D'autre p a r t , l a réponse de M a lgo r i t hme p ropo r t i onne l f l u c t u e en raison inverse
du temps d 'adap ta t i on et i l en est de même pour la moyenne p rogress ive par rap
por t au nombre de va leurs qui i n t e r v i e n t dans la moyenne.
Un compromis est donc nécessai re en t re l a f l u c t u a t i o n et l ' a d a p t a t i o n de l a r é
ponse ( voi r 2 . 1 . 2 ) .
En conséquence, c e t t e f l u c t u a t i o n i r p l i q u e une c o r r é l a t i o n en t re l a réponse et
l ' i n t e r v a l l e de conf iance que l ' on peut c a l c u l e r .
3) En ou t r e , puisque l a p r é v i s i o n du f u t u r immédiat se f a i t è p a r t i r du passé r é
cent, la grandeur de l ' é c h a n t i l l o n sera forcément l i m i t é .
4) De p lus , dans un système dynamique où l a réponse est en r e t a r d par rapport è la
r é a l i t é ( v o i r 2 . 1 . 2 ) , l a di s t r i but ion qu'el le quelle soit ne cessera pas d'évoluer par
rapport à la réponse.
En résumé, l a p r é v i s i o n d 'un i n t e r v a l l e de conf iance au sens s t a t i s t i q u e du terme
est d i f f i c i l e pour les ra isons su ivantes :
- f l u c t u a t i o n sur l ' e s t i m a t i o n de l a val eur moyenne e t r e t a r d par rappor t à une
réal i té dynami que ;
- n o n - l i n é a r i t é du système ;
- d i s t r i b u t i o n non normale ;
- échanti I Ion I i m i t é .
La fo rmula t ion de l ' i n t e r v a l l e de con f iance d'un t e l système appa r t i en t au domaine
des s t a t i s t i q u e s et so r t du cadre que l ' o n s ' e s t imposé dans l e présent mémoire.
On s ' e s t l i m i t é i c i aux a lgor i thmes où l ' e s t i m a t i o n d 'une " d é v i a t i o n s tandard" m u l
t i p l i é e par 2, donne un " i n t e r v a l l e de con f i ance " qui a pour o rd re de grandeur l a
p r o b a b i l i t é de 95 %. Pour é v i t e r t o u t e con fus ion , nous appelons " i n t e r v a l l e s t a t i s
t i q u e " cet i n t e r v a l l e de con f iance .
2.2,2. Choix de* algorithme*
A p a r t i r des a lgor i thmes retenus pour l a réponse ( v o i r 2 . 1 . 1 ) , la p r é v i s i o n
de l ' i n t e r v a l l e s t a t i s t i q u e est c a l c u l é e par les a lgo r i thmes s u i v a n t s .
a) L'algorithme par sommation des carrés, Iié à I a relation :
Is * 2
N+2 * y ' ( H » 2 . » 2 V'2
2 [ i V - K j ] + [ K M + l - K Î + , ] - [ K M - K N ] \ L N-y J
17 -
y étant la grandeur de l ' é c h a n t i l l o n cons idé ré .
Bien q u ' i n s p i r é e par la r e l a t i o n c l a s s i q u e , rappelons encore que la p rév i s i on de
l ' i n t e r v a l l e s t a t i s t i q u e I s n 'es t pas un i n t e r v a l l e de conf iance au sens c l a s
sique du te rme.
b) L'algorithme proportionnel des carrés l i é à la r e l a t i o n :
1/2 l*s N+ I = 2 I * s N + r l l -Y» + [KN - KN*] Y
Y est i c i un paramètre -jui j o j e le même ro le que le paramètre et de l ' a l g o r i t h m e
proport i o n n e l .
2.2.3. Exemples
Si le f a i t d ' u t i l i s e r des a lgor i thmes pour le c a l c u l de l ' i n t e r v a l l e s t a t i s t i
que l i bè re l ' ana lyse de !a p rév i s ion de tou tes les c o n t r a i n t e s , i l i n t r o d u i t par
con t re la no t ion du compromis qui accompagne les r e l a t i o n s emp i r iques .
On peut donc :
- s o i t u t i l i s e r un temps d 'adap ta t i on d i f f è r e n t lo rsqu 'on u t i l i s e l ' a l go r i t hme pro
po r t i onne l et l ' a l g o r i t h m e p ropor t ionne l des car rés ;
- s o i t cons idére r un nombre de mesures d i f f è r e n t lo rsqu 'on u t i l i s e I • a Igor i thme de
la moyenne progress ive et l ' a l g o r i t h m e par sommation des car rés ;
- s o i t combiner les types d 'a lgo r i thmes : moyenne progressive et a lgor i thme propor
t i o n n e l das carrés par exemple.
Pour i l l u s t r e r ce qui précède, on a é t a b l i les s t a t i s t i q u e s qui f i g u r e r a i e n t les
pourcentages des r e j e t s de deux compagnes de f a b r i c a t i o n .
La va leur moyenne des r e j e t s est cons tan te , mais pour f i g u r e r un détournement on a
i n t r o d u i t un r e t r a i t de 20 % du déb i t d ' e n t r é e pendant deux semaines.
Parmi les combinaisons poss ib les , on a c h o i s i les exemples su i van t s :
2.2.3.1. Algorithme de la moyenne progressive avec x * 10
Algorithme Par sommation des carrés avec y - 10
2 . 2 . 3 . 1 . 1 . PREMIERE STATISTIQUE ( F i g . I l )
Aucune p répara t ion de détournement n'a é té e f f ec tuée et i l apparaî t c la i rement
que le premier pourcentage de r e j e t s rée ls qui dépasse la p rév i s i on annonce le dé
tournement important de p laquet tes (ou un détournement de plaques laminées re je tées
y correspondant ) .
Le couple de pourcentage hors p rév i s ion qui s u i t peut ê t r e i n t e r p r ê t é :
- s o i t , comme un moindre détournement de p laquet tes (ou un détournement de plaques
laminées r e j e t é e s ) , dûment préparé par des malfaçons v o l o n t a i r e s a f i n d ' é l a r g i r la
p rév i s ion de l ' i n t e r v a l l e s t a t i s t i q u e ;
- s o i t , comme une négl igence s u i v i d'une c o r r e c t i o n susc i tée par le s u r v e i l l a n c e .
«fWtjftW-,
- 18 -
2 . 2 . 3 . 1 . 2 . DEUXIEME STATISTIQUE ( F i g . 12)
Les détournements sont i c i intelligemment préparés dès le début de la f a b r i
c a t i o n , mais on peut y v o i r que les a l e r t e s fonc t i onnen t d'une manière s u f f i s a n t e .
2 . 2 . 3 . 2 . Algorithme proportionnel avec a * 0,1
Algorithme proportionnel des carrés avec Y x °>2
2 . 2 . 3 . 2 . I . PREMIERE STATISTIQUE ( F i g . 13)
Du point de vue de l'îlerte, le résultat est semblable à celui du cas 2.2.3.1.1
2.2.3.2.2. DEUXIEME STATISTIQUE (Fig. 14)
Du point de vue de l'alerte, le résultat est moins valable que celui du cas
2.2.3.1 .2.
2.2.3.3, Remarque
Durant la période t r a n s i t o i r e au début de la f a b r i c a t i o n , la p rév i s i on de
I ' " i n t e r v a l l e s t a t i s t i q u e " dépend essen t ie l l ement des deux premiers pourcentages
de r e j e t s . Cet " i n t e r v a l l e s t a t i s t i q u e ' * est d ' a u t a n t plus large que la d i f f é r e n c e
e n t r e les va leurs des deux premiers r e j e t s es t plus grande.
- 19 -
ANNEXE
Re la t i ons de récurrence à p a r t i r des t ransformées en z de I a réponse itnpui s ionnel I e.
Pour f a c i l i t e r la compréhension, on a jugé p r é f é r a b l e de s é r i e r l es x l i f f i c u l t é s .
1 . ALGORITHME PROPORTIONNEL DU PREMIER DEGRE
Cet a lgo r i thme a été appelé " p r o p o r t i o n n e l " , parce que l e r é s u l t a t u^ est co r
r igé par un nombre qui est p ropo r t i onne l à l ' e r r e u r : ,uK_| - xK , l e f a c t e u r de p r o
p o r t i o n n a l i t é é tan t a . Si K est l ' i n d i c e de temps, on a a l o r s
ou ,
h< = H-\ ( l ~ a ) + xK,a
En prenant l es t ransformées en z de c e t t e express ion, on t r ouve :
Mtz) = M l z J . z - 1 - [ M ( z ) . z - 1 - X (z ) ] a
ou
M(z) = M ( z ) . z - ' c l -a ) + X l z ï - a
Ce qui correspond au graphe c i -dessous :
X(z) o 1 o £ 1 o MCz)
U-OO-z- 1
En e f f e t , par l a bouc le , on a :
M(z) = X(z) [a + a ( l - c o - z - ' + a ( l - a ) 2 . z - 2 . . . ]
M(z) = XIz) • a [I + ( l - a ) . z - 1 + ( l - a ) 2 . z ~ 2 . . . ]
M(z) = X l z ) . I - U - o o . z - 1
Cet a lgo r i t hme peut ê t r e cons idéré comme un a lgor i thme du premier degré, parce que
l e graphe ne c o n t i e n t qu 'une seule branche u n i t a i r e Cz~ ' ) .
Les f o n c t i o n s de t r a n s f e r t des a lgo r i thmes seront t o u j o u r s notées par A ( z ) .
2. ALGORITHME DU SECOND DEGRE
On a vu que l ' a l g o r i t h m e p ropor t i onne l " f i l t r e " l ' e n t r é e , e t que l e r é s u l t a t
f l u c t u e encore si l ' o n ne s ' impose pas un temps d ' adap ta t i on convenable ( v o i r
2 . 1 . 2 ) . M a i s o n peut aussi app l i que r sur l e r é s u l t a t d 'un premier a lgor i thme
un a u t r e a lgor i thme " f i l t r a n t " .
- 20 -
Par exemple, en u t i l i s a n t les a lgo r i thmes p r o p o r t i o n n e l s de $ I . , on a :
X(z) o-
( l-OO-z t l - c U - z " 1
o M(z)
ou
XCz) o-
"12
_ l - C l -CU-z - ' J -o M(z)
ou
X(z) o- I
I n l - 2 ( l - a ) - z - ' + i\-<x)2. z - 2 _ -O M(z)
En r é a l i t é , i l n ' es t pas nécessai re que l e dénominateur s o i t un ca r ré p a r f a i t . I l se
peut éventuel lement qu'un polynôme en z~' du second degré donne une m e i l l e u r e réponse
qu'un ca r ré p a r f a i t , mais i l f au t t o u j o u r s que ' ' e x p r e s s i o n en z de la réponse impu l
s i o n n e l l e de l ' a l g o r i t h m e s o i t t e l l e que pour t tendant vers l ' i n f i n i , on ob t ienne 0.
Une réponse i m p u l s i o n n e l l e qui ne tend pas ve rs zero , lorsque t tend ve rs l ' i n f i n i ,
ne correspond pas à un f i l t r e qui " o u b l i e " les mesures du passé.
On peut t r o u v e r l a va leu r f i n a l e en cherchant l a l i m i t e par l e théorème de l a va leu r
f i n a l e :
I im |X =. I im r t _ « Z - U | L
I - z - I
, - l A( z)
Dans l e cas présentement é t u d i é , on a :
l im ;x = | im I - z - 1
\ -*a> j ~ I = j a"
_ • •
z l-^U-oo-z-1 + u-a) 2 .z - 2
, - l -
= 0
B(z) Quand A(zJ a un p o l e z ' = I, c . - à - d . s i on a par exemple : A(z) = ^j
on o b t i e n t :
I ii m \x _ l i m | - z" ' t "-• co z""'-*l . - I I - z - I
B . - I * 0
Pour qu'un f i l t r e " o u b l i e " c . - à - d . , pour que l a l i m i t e f i tende vers 0 lo rsque t tend
vers l ' i n f i n i , i l s u f f i t q u ' i l ne cont ienne pas de pô le z " 1 = I .
- 21 -
3 . FILTRE D*ORDRE SUPERIEUR
CORRESPONDANCE ENTRE LA FONCTION DE TRANSFERT ET LA RELATION DE RECURRENCE DE
L'ALGORITMIE
S ' i l est intéressant de général iser la re la t ion de t r ans fe r t , i l est d'autant
plus u t i l e d ' é t a b l i r l ' a lgor i thme correspondant sous forme de re la t ion de récurrence,
qui a le grand avantage de prendre une mémoire machine l im i tée .
3 . 1 . La fonction de t r a n s f e r t ne cont ient ;>as «le termes en z au numérateur
Supposons que la transformée en z de la réponse impulsionnel le (ou fonct ion de
t r a n s f e r t ) de l 'a lgor i thme so i t donnée par l a re la t i on :
A(z) = B
l
l = n
B:
. - I v - i = l i l - a . z " ' )
Ce qui peut se représenter par l e graphe c i -après :
I
B,
I —a, . z - I X(z) o m o ^ o -ç>
( I)
N M
2 N
5
Pour un M ( z ) ' 1 ' quelconque, on a en temps réel l 'expression donné par :
ce qui se v é r i f i e facilement à p a r t i r de $ I avec les correspondances suivantes
, l i - l )
U ) K-l
K et
et
B: a
a{ —> i i - a )
Remarquons que dans la re la t ion (2) l ' i n d i c e supérieur des var iables et des constan
tes indique l'emplacement dans le graphe, tandis que l ' i n d i c e i n fé r i eu r se rapporte
au temps.
En p a r t i c u l i e r , pour la dernière branche déplacée dans le temps, c . - à - d . , lorsque K
é t a i t ( K - l ) , on a :
(3 )
- 22 -
D'où l ' o n t i re :
Jl) il) il) il) il)
Si on m u l t i p l i e l ' a v a n t - d e r n i è r e branche par B , on a :
B ' " . ^ 1 - " = B U ! . a , I - | 1 . ^ 7 " + B " . * B " - " . ( I ,1 <
1 - 2 1 <*>
Si on remplace B ( * ) . ! ^ _ ] " , ) par sa va leu r donnée par ( 4 ) , on o b t i e n t :
QU)^il-n = a U - ! , r ^ : - a ( n . a y n + B , n .B ( < - , \ ^ K | ' K - l ' K-2 I l K
s o i t ,
^ - u . a u-„ B ur' r i» . a u , ^ j t B . i - .» > ( 1 u - 2 . ,6)
Si dans l a de rn iè re branche non déplacée dans l e temps
^ , = a,n.^i; + B , n - ^ - "
on i n t r o d u i t l a va leu r de ! * „ " * donnée par l a r e l a t i o n ( 6 ) , on t r o u v e :
(7
La r e l a t i o n c i -dessus donne \i en f o n c t i o n de u^ , , Jl e t ^ K
U ) 0 ( l - l ) „ ( i - 2 ) On peut donc de l a r e l a t i o n (7) t i r e r l a v a l e u r de B .B .[*
Ce qui donne. :
B«'».B , l-".^ l-2,.(i"-[«a,+a"-"]Mü l
,*« , l ,.«"-".Miii Si on déplace l a r e l a t i o n (8) dans l e temps c . - à - d . si K dev ient ( K - l ) , e t si on
m u l t i p l i e par a**""^)^ o n a
)
2 B.nB«i-i.>aa-2).(l«i;2.= a U_2 )^aj_a , i -2, [ a m + a u- . . j^n
+ a « " . a " - " . a " - 2 ' . ^ «
D'aut re p a r t , l a r e l a t i o n (2) permet d ' é c r i re après mul t i p l i ca t i on par B( l ' . B '
B l ! l . B l i - | l ^ ' - 2 , . a l , - 2 l . ^ î ; 2 , 1 . B l " . B , l - | l - B1 1 - 2 1 . ^ 5 1
- 23 -
D'où, p a r s o u s t r a c t i o n du second membre de ( 9 ) du second membre de ( 8 ) on a :
Mi" - [*' " • a"-"] £ | •«'"•*"-".^-a"-2 ' .^;
• a , ,-2lf«")+«"-"l^+«" ,.« , I- | ,.«"-2,.!^; )
-3
= B U , . B , M , . B C ' - 2 V < - 3 ]
K
ce qu i donne :
il) ( H u = LL r K r K - I
V J i > a
\=l-2
il) U - l ) U ) il-2) (Z- l ) U - 2 ) ot .a +a .a +a «a m a
K-2
- \l U i = t - 2
( i ) + il - K
( 1-3) . i B ( i )
i = i - 2
Remarquons que :
1) l e c o e f f i c i e n t de | l e s t l e c o e f f i c i e n t de z du polynôme qu i se t r o u v e au K- I
dénomina teu r de l a f o n c t i o n de t r a n s f e r t ;
2) l e c o e f f i c i e n t de H K _ 2 e s t l e c o e f f i c i e n t de z~~2 du polynôme qui se t r o u v e au
dénomina teu r de l a f o n c t i o n de t r a n s f e r t ;
l e c o e f f i c i e n t de JJL es t l e c o e f f i c i e n K—3
dénomina teu r de l a f o n c t i o n de t r a n s f e r t .
3) l e c o e f f i c i e n t de JJL es t l e c o e f f i c i e n t de z"-5 du polynôme qui se t r o u v e au K—3
Général i sons :
I M ( * ) ih tU) * \ = * l ' V l + A 2 ' »*K-2 + '•• + W * +}XK i» B
( i )
I -\
Or,
il-l) u = x ' K K
D'où l ' o n a
il) . il) il )
h - VfV, + A2-V2 +
il) l
i =1
s o i t
il) S A- ' i + B x
I = I K
avec, B = H B i = l
( i )
- 24 -
3 . 2 . La fonction de transfert cont ient des termes en z au numérateur
Considérons la fonction de t rans fer t :
Ftz) = N ( z ) 3n + iV*"1 + ?2*z"2 + ••• + h'* -n
D(z) I - a , . 2 - ' - a 2 . z ~ ^ - . . . - V z ~ m
3Q + 3 r z ~ ' • ?2'Z"2 + + v*-n
Plz ) ( l )
Puisque le système est l i n é a i r e , on peut e f fec tuer séparément les opérations corres
pondant aux d i f f é r e n t s termes du numérateur.
Un terne quelconque 3r»z~J s i g n i f i e : décalage dans le temps de j uni tés e t m u l t i -
p i i c a t ion avec ? - .
Appelons ,u>K . le résul tat d'un f i l t r e avec fonction de t r a n s f e r t :
P(z)
On a :
{1K,j = a r r H < - | , j + a2^K-2,j + • " + V ^ H C H I I , j + ? j * x K-j
Puisqu' i l y a m branches, i l faut f a i r e la somme des m résu l ta ts comme le montre le
graphe c i -après :
Xlz)
Po/Plzl
M(z)
- 25 -
On a donc,
n n n n
K = j i * - J - - j i "".J +a* A "M.J + - * "» j î " - . j ' A ^
Or. n v
ji ^-''j= ^ - ,
n
j=0
n v u ^K-wi = -aK-m
j=0 ' J
Ce qui donne l a r e l a t i o n de récurrence c i -dessous
m n
i = l j = 0 J J
qui correspond à l a f onc t i on de t r a n s f e r t :
F(z) = - a j . z - 1 - a 2 . z - 2 - . . . - *m-z-™
3 . 3 . Remarques
a) La formule générale ne c a l c u l e la moyenne qu'avec des c o e f f i c i e n t s oc. et 3:
b ien déterminés.
Pour un f i l t r e du premier ordre, i l f a u t que * + P s I . En g é n é r a l , i l f * u t que:
m n S * , • S p.. » I
i*l j=0 J
b) La f o n c t i o n de t r a n s f e r t général e t l a r e l a t i o n de récurrence corespondante
permet tent de c h o i s i r un a lgor i thme adapté s o i t au fonct ionnement de l ' u s i n e ,
s o i t 3ux c a r a c t é r i s t i q u e s du c a l c u l a t e u r .
Par example, si le c a l c u l a t e u r n 'a pas une mémoire s u f f i s a n t e pour e f f e c t u e r une
moyenne p rog ress i ve avec d i x r é s u l t a t s de mesures, on peut t r o u v e r un a lgo r i thme
qui donne une réponse presqu 'équ iva l en te .
- 26 -
A i n s i , l a fonct ion de t r a n s f e r t :
(0,3)2 _ 0i09
U - 0 , 7 . 2 - ' ) 2 i - i ^ . z " 1 + 0 , 49 . z " 2
qui correspond à la r e l a t i o n de récurrence :
H = '>4 H-\ ~ ° ' 4 9 ^K-2 * °» 0 9 XK
donne pour un échelon de v i t esse : une asymptote qui coupe l ' a x e hor i zonta l après
6 u n i t é s de temps et une diminut ion de l a s t a t i s t i q u e d'un f a c t e u r 9 ,
tand is que l a moyenne progressive donne pour un échelon v i t e s s e : une asymptote
qui coupe l ' a x e hor i zon ta l après 5 u n i t é s de temps et une d iminut ion de la s t a t i s
t i q u e d'un f a c t e u r 10.
On v o i t donc q u ' i l est f a c i l e d 'adapter aux cond i t ions dés i rées l a fonct ion de
t r a n s f e r t du domaine symbolique sans t e n i r compte des r e l a t i o n s de récurrence du
domaine temps.
Après avo i r chois i la transformée en z de l a réponse impuls ionne l le , on t rouve d i
rectement l a r e l a t i o n de récurrence du domaine temps par l a correspondance que l 'on
v ien t d 'é tab l i r.
REFERENCES
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Fig. 1 Schéma-blocs d# la fabrication.
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Fig..2 Modèle mathématique de la fabrication
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Fig. 4 Modèle mathématique de la fabrication des éléments combustibles BR2.
contraintes des stocks
contraintes des débits de sortie
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Pour les "gains" sur les branches et les signaux aux noeuds, voir f ig. 2
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Fig. 5 ™ Représentation de la fabrication gérée
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Fig. 6.— Modèle mathématique avec détection
des détournements.
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Prévision das rajetsC*»)
• Interval I» statistique ft)
ï> — Rejets réel*(%)
^ Détection preliminaire
Contraint** > drs
stocks.
Contraints* da* débit» do sortis.
CALCULATEUR
Fig. 7 . _ Représentation »chématique de la fabrication gérée
avec détection des détournements.
k
n.50- rejet \
11,00-
10,50-
10,00-
9.50-
9,00-
850-
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jet réel
s 0.1
r 0.2
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temps
Fig. 8.— Réponse de l'algorithme proportionnel en fonction du paramétre <*\
I rejet •/•
13,00-
12.00 -
i \00-
10,00-
9,00-
ï 8,00-
rejet réel
algorithme proportionnel
moyenne progressive
moyenne (après 64 mesures)
ï—.—,—.—r T — ' — i — • — i — • — i — ' — r - 1 — i — • — i — ' — i — • — i — • — i — • — i — • — i — « — i — « — i — « — r - , — , — , — . — r
temps
FI g. 9 Réponse "échelon vitesse,,- Comparaison des algorithmes.
•j.'ïjwrf-siw inf-*,?f,ia?vt-i ' -«* . .^•-tf :^-*^- '-*.-.**.* »^--^j^i,«J/fSafc-^--; ,u-^\ï^s^^ f*w^^K*ifâ^tisièà^S^r^A:'-_r-ÏS^S^ ;r-^if. i&>- .-u'?! v>" , [^•&rJtJi^-f^m\i'.%i&iLÏ.Jt«'f
rejet % . }
n.OO-
10,00-
9,00-
8,00-
"1
i i
i i
7,00-
1 h
1
rejet réel.
algorithme proportionnel.
moyenne progressive
'impulsions
- — i — • — r - • — i — » — i — ' — i — ' — i — • — r ~ « — i — • — i — • — i — • — i — • — i — » — i — - - p - i — | — i — p
temps
Fig.iO—Réponse impulsion,,- Comparaison des algorithmes.
DCTCCTION M I UMIN AIM Ot OCTOURNCMfNT
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