1.1 VECJORfS eN ELESPACIO. COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

mi, T, kl es una base orto normal.-lo . -+ -:>- -?- -} -t -}

V = 0.(1 + OB + oe = ai + bj + ck-->

A los números a, b, e se les llama coordenadas de v respectode B. Se escribe así: vea, b, e)

E~yroducto de un 'lector por un número y la suma de dos o más-,------------"-~:. -+ vectores se realiza de la misma forma que en el plano.A ai + bj _ _ _

Combinación lineal de vectores: Dados los vectores v1' v2, ... , vn y los números al') -lo ~ ~

al 'lector alvl + ai'2 + ... + anvn se le llama combinación lineal de los vectores vI' v2'

1.2 DEPENDENC1A E INDEPENDENCIA LINEAL

• Varios vectores se llaman Iínealmente dependíenres, (L.D.) si alguno de ellos puede ponersecomo combinación lineal de los demás En caso contrario se dice que son linealmente inde-pendientes.

• Dos vectores de la misma dirección son 1.D. Si tienen distinta dirección son 1.I.

• Tres vectores coplanarios son L.D. SI no están en un mismo plano son 1.I.

• Cuatro o más vectores del espacio son siempre 1.D.

1.3 PRODUCTO ESCALAR. A.PUCAClONES

Pl~Odu_cto~sca1ar de dos vectores, Dados- u(x1' YI' z.), v(xz, Y2' z2) en una base orronormal

u . ~.= 1\i.1 1vi cos (u--:v) = xlx2 + YIY2 + Z1Z2 (expresión analítica)

Ángulo de dos vectores (11--:v) = a

ti . V x1x2 + YIY2 + zlz2cc>s a = --> --> =

1 u 11 vi ~xi + Yi + zi . ~x~+ y~ + z~ .Proyección de un vector sobre otro

. --> --> u . v x1X2 + YIY2 + zlZ2(hoy. de u sobre v) = Ivl = .1 2 2 2

'1X2 + Y2 + z2

~ - --- ----Criterio de-perpendicu1aridad de dos vectores (no nulos)

Ü .1 v ~ u· v = O ~ xlx2 + YIY2- + zlz2 = O

1.4 PRODUCTO VECTORIAL APLICACIONES

Si u Y v son 1.1., el pr-oductovecros-js] u x v es un vector cal que:

• Mód~lo 1J x vi = 1u1 1visen a

• Dirección perpendicular a u y v. _.Si u Y v son L.D.: U x- V = O

Expresión analítica de u x v:

--> --> ki j-. ~---.. _.= /YI Zl-/7 /

XlZl /7 /

Xl Yl ¡k--> -->u xv= Xl Yl Zl 1 -

Z2- J ".X2 Y2 -:2 Y2 Zz X2 X2 Y2'

Xl YI Zl

[U,....• wl =V, Xi Y2 z2

x3 Y3 z3

1.5 PRODUCTO MIXTO. APLICACIONES

• e llama pr-oducto mixto de yes vectores ti, ~, w y se designa. por [ti, v, wl al númeroque se obtiene al realizar la siguiente operación:

. Lu, », wl = ti . (v x w)

• Interpretación geométrica del producto mixto:

1·[i1~ ~, wl I = volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los___ yectores U, v y w.

--'1- -EJERCiera RESUELTO"

Halla el volumen del paralelepipedo definido por los vectores ¡;(-3, 2, 5), ¡;(O, 3, -1) Y2(4,1, -2).

RESOLUCiÓN

1

..• -> ••• Iv= [u, v, wl -g ~ ~1 I = 1-531 = 53 u3

4 1 -21. -,:..

-J~,_E=J~E~R~C~le~la~R~E~S~U~E~LT~O~ _

a) Calcula elproducto' veCtoriáz de 1-1(5, 0, -1) Y iJ 0, -2,3}-

b) Comprueba que (u x v).l u y (u x v).l i:e) Halla el área del triángulo determinado por u y v.RESOLUCIÓN -> •••

••• -> 1 i j k ... -> ..• -> -> ( 6 )a) u x v = I ~ ~2 -31 = (O- 2) i - 05 + 1) j + (-10 - O)k ~ u x v = -2, -1 , -la

b) (u x V).l u <=> (u x v) . u = O ~ (-2, -16, -la) . (5, O,-1) = -la + la = O

(u x v) .1v <=> (u x v) . v = O ~ (-2, -16, -TO) . 0, -2, 3) = -2 + 32 - 30 = o

c) L~..-...,..~~7Área del triángulo = 1.lux vi = 1.~(_2)2 + (-16)2 + (-10)2 = .-13260 = 3 ill u2

2 2e '~

U

. '.~~"~E~J~ER~e~l~e!SlO~RE~S~U~EJ::LT~a~ -:- -=-~~~~=~->~=:-:=+-« -> z (1, -2, 5) Y W (3, 2, 1), expresa w como com-

Dados los vectores x (3, -el,2), y (0,3, -1),binacion lineal de x, y, z.

RESOLUCIÓN

Queremos encontrar [res números a, b, e, cales que:

-> -> b-> -> (3 2 1) = a(3, -1,2) + b(O, 3, -1) + c Cl, -2,5)w = ax + y + cz ~ "

3 = 3a + e 1 a = 12 = =a + 3b - 2c b = 11 2a b + 5e e - O

• Si d y di. no ~9n paralelas, r y. S .se cortan ° cTU<:an.Comprobamos si los vectoresPQ son o no L.D.:

( dI------M - \-~dT

\ x2 - Xl

d, di y

2.1 _ K;.\ IONf5 DE lOS VECTORfS A PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

• Coordenadas del vector que une dos puntos A(xl' YI' zl) y B(x2, Y2' Z2}A

/~B" ;-' .AB =. (X2 - Xl' Y2 - Y1J Z2 - Zl)

0>-

• Comprobación de que tres puntos están alineados:

B

A~ _(XI+X2 YI+Y2 ZI+Z2)JV1- 2 ' 2 ' 2

• Simétrico de un punto respecto de otro: PiCa, b, e), es el simétrico de P respecto de Q, si Qes el punto medio del segmento PP'.

/>:Q~

P'

Si P(xl, Yl' z.), Q(x2, Y2' z2) y P'(a, b, e), se verifica:

Xl + a _ YI + b _ Xl + e .2 - x2' ~ - Y2' -2- = Zz

2.2 ECUAClONES DE LA RECTA

2.3 POSICIONES RELATiVASDE DOS RECTAS

Tenemosdos rectas r y s determinadas, cada una de ellas, por un punto y un vector dirección:

. r: IP(xI, YI' zl) s. Q(x2, Y2' z2)d(dI' d2, d3) di(dl

1, c{'2' d'3L.- - _..Para estudiar la posición relativa de r y s empezamos por comprobar si d y d' son paralelos .

• Si d}Id " las rectas r y s son paralelas o coinciderr:

Tomamos un punto P E r y comprobamos si pertenece a s.

Si P E s ~ r y s coinciden.Si P.,; s ~ r y s son paralelas.

. d',¡-

Y2 - YI

r y s se cortan.r y s se cruzan.

Dirección de una recta: Si la recta está dada por sus ecuacíones paramétricas o continuas, suvector director es evidente. Si la recta se da en forma implícita, como intersección de dos planos,

Ia.:y: + by + cz = d 1 direcci d b . 1 d . 1d -> ->, Ee vector ireccion e r se o tiene como e pro ucto vectona e n x n .vec->a'x + b'y + c'z = d' ..

tores normales de los planos).

-r =r: . u ,d!l- .. -Ángulo de dos rectas con direcciones a ya'. cos a. = lerlld'l

I---!\I

II

!11

¡1

2.4 ECUAClONES DEL PlANO

rt El plaE~ _11:. está _d~[erminado por.un. punto -.P(xo, Yo' zo) y dos vectoresu(u1' u2> u3) y v'(v1, "» v~ no proporcionales, ni nulos. X (x, y, z) es unpunto genérico del plano.

Ecuación vectorial del plano 11:

ax = 6P + A u + IIv --* (x,]l, z) _= (¿Co']lo' _zo) "':.VUv Zi2' u3) +

Ecuaciones paramétrícas de 11:

IX = Xo + AU1 + llV1

¡y: Yo : A. u2 ~ )lV2

Z - zo ' ~u3' ',),LV3

~n(a'b"l.

.7'~~.---...._.::... -- - -

= O => ax + by + cz + d = O. El vector n(a, b, c) es un vector n.C2r~~. _. --:-<deLplano.~_

Ecuación de un plano conocido un punto P y. el vector normal

El plano será de la forma: ax + by + CZ + k = O. Sustituyendo las coordenadas de P en esa ecua-ción, obtenemo:;~'~k::' l

2.5 POSiCIONES RELATIVASDE PLANOS Y RECTAS------------- -_..-_._-_.

¡-¡~cz:»~

• Si ran (jv!) = ran (NI') = 1 => los planos coinciden /1 11~e~ y Rlano. Sean dr e~.:e_~tor director de r y ñ el vector normal del plano.

d,.! Si dr'n '* O => l~.re~ta corta al r:l~no

! 0 Si d . ¡¡ = O => la recta está contenida o es paralela al plano. Paca averi-d / r guarlo tomamos un punto de r y comprobamos si per-_______ L~-~-_--'_'-~--~ tenece al plano. En caso afirmativo, la recta está conte-

nida en el plano y en caso negativo es paralela al plano.

Dos planos pueden cortarse en una recta, ser paralelos o coincidir.'. . - . ¡ax + by + cz + d = O

Estudiamos el sistema formado por sus ecuaciones ¡ II " d' - O'

SeanM = (;, :' ;,) y M' = (:' :' ;, :') a x + oy + e z -r- -

• Si ran (N!) = ran (M') = 2 => los planos se cortan en una recta

• Si ran (N!) = 1 Y ran (M') = 2 => los planos son paraleIos

2.6 ÁNGULOS DE RECTASY PLANOS

Dirección de un plano: La dirección de un plano viene determinada por un vector normal a él.

Por ejemplo, dado el plano 11:. x + 2y - z + 1 = O, el vector nO, 2, -1) es perpendicular a 11: yatodos 10s planos paralelos a 11:.

Si sabemos que el plano 11: es paralelo a dos rec as r y s cuyos vectores dirección son d/d1, d2, d3

)

Y d/d'l' d'2' d'3)' el vector normala 11: es n = dr x ds (producto vectorial de dr y d).

-> ~~-In . n'lÁngulo de <!os__planos_con vectores_norma)es n y n': cos a = Inlln'l

Ángulo de recta y plano: .Es el que forma. la recta con su proyección •

~"",

ñ,."'90\CI.- /d-+sobre el plano. E~ complementario del que forman d y n. _ __ o _ Id· ñ:1

sen a - cos (90 - a) - lerllñ:1

__________Distancíaentre dos rectas r: y_s __

Si ~on paralelas, tomamos un punto de una cualquiera de ellas y calculamos su distancia a la otra.• • 4 _

Si se cruzan hallamos el plano n que contiene a r y es paralelo a s. Después tomamos un puntode s y calculamos la distancia de ese punto al plano rt. Es la mínima distancia entre r y s.

Distancia entre dos puntos: -i~xl' Yl' zl) Y. E(x2, Y2' Z2) es el módulo del vector., AB:IAB I = ~(x2 - x1)2 + (Y2 - yJ2 + (Z2 - zl)2

Distancia entre un punto P y una recta r': es la distancia de p. a su proyección P' sobre r.

Tomamos un puma cualquiera de r, A, y su vector dirección. Calculamos elárea del paralelogramo determinado por Ai y dr y la dividimos por la baseIdr [. Así obtenemos la distancia de Par

. IAi x drlh = dist (P, r) = Id I

r

P .. ----------!,: :.r.>

~~A

Dístancía de un punto P(xo; Yo' %0) a un plano rt: ax + by + cz + d = O

. liL"'o + byo + cZo +d Idist (P, n) = '>/? ? ?

a-+b-+c-

Distancia entre dos planos paralelos

Tomamos un punto de uno de ellos y calculamos la distancia de ese punto al otro plano.

r¡.,1t11¡¡I\

t1

Distancia de una recta r a un plano rc' paralelo a ella

Tomamos un punto P de r y calculamos la distancia de Pan.

2.8 ÁREAS Y VOlÚMENES

Área de un triángulo del que se conocen los vértices A, E Y C:, ~ 1--+--+

~ea de ABC = 21AB x ACI

Volum.en de un tetraedro del que se conocen los vértices A, E, C y D:

A <1> e Volumen del tetraedro " i I[AB, AC, Ab)I

D

2.10 FPOBlEl't\AS DE RECAPITULACIÓN----- -- --_._---~--------

Sim~1?~o de un punto P respecto de un plano. rr.p,

La recta r que pasa por P y es perpendicular a rt corta al plano n en un pun-to M, que es el punto medio entre P y susimétrico P'.

p/~

. -Simétrico de un punto P respecto de una recta r

p

r~-i-----,- El plano n que pasa por P y es perpendicular a r corta a dicha recta r en

1t 1V[ P' el punto NI, que es el punto medio entre P y su simétrico P'.

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UNA RECTA r SOBRE lJN PL<\J.~O a

I-- _._----- r/1)

~.''_.

• Hallamos el plano ~ que contiene a r y es perpendicular a, a.

• La recta s, proyección de r sobre a, viene dada por la intersección delos planos a y ~.

RECTA QUE SE·APOYA EN DOS RECTAS DADAS, r y s, Y PASA POR UN PUNTO P

Hallamos el plano a que comiene.a r y a P y el plano ~ que contiene a s y a P Estos dosplanos determinan la recta buscada

EJERCICIO RESUELTO

Escribe las ecuaciones paramétricas de las siguientes rectas:

r) Pasa por R (-1,5, 3) y es paralela a d (3, 0, 2).

s) Pasa por P(1, 2, -5) Y Q(3, -2, 1).

RESOLUCIÓN

r) x = -1 + 31,.y=5z=3+2A

s) Vector dirección PQ = (2, -4, 6)Tomamos uno paralelo, vO, -2, 3). x = 1 + ACon el punto P escribimos las ecuaciones pararnétricas: y = 2 - 21,.

z = -5 + 31,.

1") EJERCICIO RESUELTO

Escribe las ecuaciones de los siguientes planos:

o.tpasa por los puntos A(3, 0, -1), B(1, 1, O) Y C(2, -1,3).

)3: tiene por vector normal ñ (2, -1, 3) y pasa por P( -5, 2, 3).

RESOLUCIÓN

a: Los vectores AB = (-2, 1, 1) Y Ac = (-1, -1, 4) Y uno de los puntos, por ejemplo AC3, O, -1), de-terminan el plano:

Ecuaciones pararnétricas de a:x=3-2A-).ly= A-).lz = -1 + A + 4).l

x-3 yEcuación implícita de a: -2 1

-1 -1

z+l

1 = O ~ 5x + 7y + 3z - 12 = O4

)3: Su ecuación implícita será de la forma 2x - y + 3z + k = o. Para que contenga a P(-5, 2, 3) debecumplirse 2(-5) - 2 + 3 . 3 + k = O ~ k = 3La ecuación de )3 es 2.", - Y + 3z + 3 = o.

~ EJERCiCIO RESUELTO--..,x = 1-1,.

Estudia la posición relativa de las rectas r: y = 2 + Az=3

x =2).l

Y s: y = 3 -2).l-

z=3

RESOLUCIÓN

d/-1, 1, O); d/2, -2, O) ~ dr y ds tienen la misma dirección, puesto que sus coordenadas sonproporcionales.

Tomamos un punto de r, PO, 2, 3), Y comprobamos si pertenece a s.1 = 2).l ~ ).l = 1/22 = 3 - 2J.l ~ ).l = 1/2 P E s. Las rectas r y s coinciden.3 = 3

EJERCICIO RESUELTO--yy~--------------------------------------------------------------------------------

/

X+2Y-Z=1Dada la recta r: y elplano a:3x - 2y + Z = 1, halla el ángulo que forman.

3y -z =2

RESOLUCIÓN

Hallamos el vector dirección de la recta con los vectores nO, 2, -1) Y n/(O, 3, -1):-¿ 7

n x ñ' =

k~-4 -4 '7

-1 = i + j + 3k ~ arO' 1, 3)-1

1

O

J23

Tomamos el vector normal de 0.: nc/3, -2, 1)Idr· Ii'al 4

sen a = cas (900- 0.) = ~ a. = 18" 48' 14"

Id) IIi'al fu {14

_~~.,__E_JE_R_C~l~C~IO~R~E~S~U~~~~L~T_O~ _a) Estudia la posición relativa de los planos a: 3x - 2y + Z - 2 = O Y ~: x + y + 3z = O.

¡X=2-A

b) Estudia laposición relativa de r: y = A con los planos a y ~.z=l

RESOLUCIÓN

a) NI = (3 -2 1) ran (M) = 2 = ran (M') => Los planos se cortan en una recta.1 1 -3

b) Posición de r y a: (V-l, 1, O), naC3, -2, 1) ~ dr' no. = -3 - 2 + O;te.O

r y a se cortan en un punto P.Para hallar el puma P sustituimos las coordenadas de un punto genérico de r(2 - A, A, 1) en elplano a:3(2 - A) - 21... + 1 - 2 = O -7 5 - 51... = O => A = l.

Con este valor de A obtenemos el punto P en r, 0, 1, 1).

Posición de r y ~: d/-l, 1, O), n~(l, 1, 3) ~ dr• n~ = -1 + 1 + O = Or está contenida o es paralela a ~. Comprobamos si un punto cualquiera de r pertenece a ~:

PO, 1, 1): 1 + 1 + 3 ;te.O P \t:~. Por tanto, r es paralela a ~.

EJERCiCIO RESUELTO

Dados los puntos A(3, -1, O), B(2, 0, -2), C(J, 3, 4) Y D(O, 0, -3), halla:

a) El área del triángulo A-cn b) El volumen del tetraedro ARCD.

RESOLUCIÓN--> ..•i j

a) Ac= (-2, 4, 4); AD= (-3,1, -3) ~ Ac x AD= -2 4-3 1

k4 = -167 - 187 - 10k

-31AC x ADI = ~(-16)2 + (-18)2 + (-10)2 = ~680 -7 Área ACD = t ~680 = ~170 u2

1-1 1 -2

-.;. ----? ~ ---+

b) AB = (-1,1, -2); [AB, AC, ADl = 1-2 4 4-3 1 -3

Volumen del tetraedro = i .1-221 =131u3

= -22

EJERCICIO RESUHíO~t~~~~~~~~~---------------------------------------------------,i<¡1_ 1

e IIj!1

z+3Calcula la distancia del punto P(1,5, -2) a la recta x = y = -:.;¡--

RESOLUCIÓN

d/l, 1, -2) A(O, 0, -3) E r; AP= 0,5, 1)

Hallamos AP x d =r

...i1

1

-e-j

-2 = 117 - 37 + 4k => lA? x drl = ~112 + (-3)2 + 42 = ~1461

1

5

-. IAY x d) ;/146 • r73h = d (P, r) =~ . Idrl = --16 = -~ 3" u

EJERCICIO RESUELTO--~~----~------~------------------------------------------------------------------ ----Halla-el punto simétrico de P(2,·~1,3) respecto de:

a) elplano 11:: 3x - y + Z + 1= O b) la rectaIx = 1 + 2A

r: y = 3AZ=-3-A

RESOLUCIÓN

a) Escribimos la ecuación de la recta que pasa. por

x=2+3Ar: y=-J-A

Z=3+A

P y es perpendicular al plano 11::

P(2, -1,3)

dr = n = (3, -1, 1)

Obtenemos el punto de corte de r y M.

3(2 + 3A) - (-1 - A) + 3 + le + 1 = O => A = -1 ~ M(-l, O, 2) punto medio de PP'.

(x + 2 l::...=..l z + 3) = (-lO?) P'(-4 1 1)2 ' 2 '2 ' ,- => "

b) Escribimos la ecuación del plano 11: que pasa por P y es perpendicular a r => d/2, 3, -1).

11:: 2x + 3y - z + k = O=>4 - 3 - 3 + k = O => k = 2 => 2..:'( + 3y - Z + 2 = O

Punto de corte de r y 11:: 20 + 2/...) + 3 . 3A - (-3 - A) + 2 = O => A = _12

M(O, -~, -t) es el punto medio de P y plex, y, z),

x + 2 = o. .r..=-l = _2 z + 3 = _2 => PI(-2, -2, -8)2 '2 2' 2 2

? EJERCICIO RESUELTO

IX=A x-3 z-2Halla la ecuación de la recta r que se apoya en r: y = 2 Y en s: --- = y = - ....•- y pa-1 -..;sa por el punto P(-1, 1,2). z = 1 -A

RESOWClÓN

Plano a: contiene a P y a r:

x+ 1 y-1 z-2d/1, O, -1); A (O, 2, 1) E r -1 -1 1 = O => x + z - 1 = O

1 O -1

x+ 1 y-1 z-2d/1, O, -2); EC3, O, 2) E S 4 -1 O = O => 2x + 8y -i- z - 8 = O

1 O -2

Ix + z - 1 = OLa recta pedida es 2x + 8y + Z _ 8 = O

EJERC1C10 RESUELTO__L-~~~~~~~~~ _

Ix -2y + z = 1Halla laproyección ortogonal de la recta r: sobre elplano 11:: 3x -2y + z - 5 = O.

x+2=O

RESOLUCIÓNx =-2y=Az = 3 + 2A

Hallamos el plano 11:I que contiene a r y es perpendicular a 11::

x+2 y z-3d/O,-1, 2); A(-2, O, 3) E r; n(3, -2,1) ni: O 1 2 = O => 5x + 6y- 3z + 19 = O

3 -2 1

Expresamos r en pararnétricas:

l·3x - 2y + Z - 5 = O

La recta s proyección de r sobre 11: es 5x + 6y _ 3z + 19 = O