T.081-5664645 จํานวนจร ิง · Ajarnpuk , T.081-5664645 คณิตศาสตร ์ม.6 PAT1 จํานวนจร ิง หน้า 2

Ajarnpuk www.hot-vcds.com, www.hot-itonline.com T.081-5664645

คณตศาสตร ม.6 PAT1 จานวนจรง หนา 1

จานวนจรง

ประกอบดวย 5 ตอน ดงน

1. สมการอสมการพหนาม

2. สมการอสมการรากทสอง

3. สมการอสมการคาสมบรณ

4. ทฤษฎเศษเหลอ

5. ทฤษฎจานวน

6. Operation

7. บททวนาม



แผนผงแสดงความสมพนธของจานวนชนดตาง ๆ

จานวนเชงซอน

จานวนตรรกยะ (Q) ไดแก จานวนซงสามารถเขยนในรปเศษสวน 0จานวนเตม

จานวนเตม และทศนยมซาได

(จานวนเตมทกจานวนเปนตรรกยะ) จานวนอตรรกยะ (Q) ไดแก จานวนจรงทไมใชจานวนตรรกยะ (ไมสามารถเขยนในรป

เศษสวน0จานวนเตม

จานวนเตม ได) ไดแก 3 , , ทศนยมไมซา เปนตน

ศนย 0

จานวนเตมบวก (1, 2, 3, …)

จานวนเตมลบ

(-1, -2, -3, …)

จานวนเตจานวนตรรกยะทไมใชจานวนเตม

(2

1,

5

4, -0.32)

จานวนอตรรกยะ

( 2 , 3 , )

จานวนตรรกยะ

จานวนเชงซอนทไมใชจานวนจรง

( 1 , 2 , 5 )

จานวนจรง



ก. สมบตของระบบจานวนจรง กาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงใด ๆ R เปนเซตของจานวนจรง

คณสมบต การบวก การคณ 1. การปด 1. a + b R บวกกนแลวได R 6. a.b R คณกนแลวได R 2. การสลบท 2. a + b = b + a 7. ab = ba 3. การเปลยนกลมได 3. (a + b) + c = a + (b + c) 8. (ab) c = a (bc) 4. เอกลกษณ 4. 0 + a = a = a + 0 9. 1(a) = a = (a)1 5. อนเวอรส 5. a + (-a) = 0 = (-a) + a

ทากนแลวไดเอกลกษณ 10. a (a- 1) = 1 = (a- 1) a ทากนแลวไดเอกลกษณ

6. การแจกแจง 11. a (b + c) = ab + ac

ตอนท 1 สมการอสมการพหนาม

ก. การหารสงเคราะห

ตวอยางท 1 จงหาเซตคาตอบของสมการ x3 – 5x2 + 2x + 8 = 0

วธทา ใชทฤษฎเศษเหลอ และการหารสงเคราะหชวยในการแยกตวประกอบ

ขนท 1 ใชทฤษฎเศษเหลอ

ดตวเลขหลงสด คอ 8 ตวประกอบของ 8 ม 1 , 2 , 4 , 8

ลองหาตวประกอบของ 8 ไปแทนใน P(x) แลวดวาตวใดทาให P(c) = 0 กจะได x – c เปนตวประกอบของ

P(x)

ลอง P(1) = 13 – 5(12) + 2(1) + 8 0

ลอง P(-1) = (-1)3 – 5 (-1)2 + 2(-1) + 8 = 0

ดงนน x – (-1) = x + 1 เปนตวประกอบของ P( x )

ขนท 2 ใชทฤษฎหารสงเคราะห โดยเขยนสมประสทธของพหนาม P(x)

เรยงตามลาดบจากดกรมากไปนอย แลวใสเลข 0 สาหรบพจนทมสมประสทธเปน 0

เชน P(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8

1 - 5 2 8



ตวประกอบของ P(x) ทหาจากทฤษฎเศษเหลอ คอ x + 1 ใหเอา (-1) มาใช จะได - 1 1 - 5 2 8 + + +

-1 6 - 8 1 - 6 8 0 “ สมประสทธของผลหาร “

x3 – 5x2 + 2x + 8 = 0

จะได (x + 1)(1x2 – 6x + 8) = 0

(x + 1)(x – 2)(x – 4) = 0 x = - 1, 2, 4

เซตคาตอบของสมการ คอ {-1, 2, 4}

ตวอยางท 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ 12x3 + 16x2 – 5x – 3 = 0

ขนท 1 ทฤษฎเศษเหลอ m

k

โดย k จากตวประกอบของ – 3 คอ 1, 3

m จากตวประกอบของ 12 คอ 1, 2, 3, 4, 6, 12

m

k ท ห.ร.ม.ของ k และ m เปน 1 ไดแก

1, 3, 2

1 , 2

3 , 3

1 , 4

1 , 4

3 , 6

1 , 12

1

หา m

k ททาให 0m

kP ปรากฏวา

32

15

2

116

2

112

2

1 23

P

= 32

5

6

14

8

12

= 32

54

2

3

= 0

จะได 2

1x เปนตวประกอบของ P(x) = 12x3 + 16x2 – 5x - 3



ขนท 2 ใชทฤษฎหารสงเคราะห

2

1 12 16 - 5 - 3

+ + + 6 11 3

12 22 6 0

จะได 12x3 + 16x2 – 5x – 3 =

2

1x (12x2 + 22x + 6)

จากสมการ 12x3 + 16x2 – 5x – 3 = 0

จะได (x-2

1 )(2)(6x2 + 11x + 3) = 0

(2x – 1)(3x + 1)(2x + 3) = 0

x = 2

1 , 3

1 , 2

3

เซตคาตอบของสมการ คอ { 2

1 , 3

1 , 2

3 }

ค. สตรแยกตวประกอบ

1. x2 – y2 = (x – y)(x + y)

2. (x – y) 2 = x2 – 2xy + y2

3. (x + y) 2 = x2 + 2xy + y2

4. x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

5. x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2)

6. (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

7. (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3



ง. การหาเซตคาตอบของสมการตวแปรเดยว

การหาเซตคาตอบของสมการตวแปรเดยว

ขนท 1 จดรปสมการใหอยในรป ฟงกชนของ x = 0 หรอ P(x) = 0

ขนท 2 แยกตวประกอบ P(x) โดย

2.1 ใชดงตวรวม

2.2 ใชสตรแยกตวประกอบ

2.3 ถาสมการอยในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a 0 อาจแยกแฟกเตอร (2 วงเลบ) หรอ

ใชสตร x = a

acbb

2

42

หมายเหต ถา b2 – 4ac < 0 แลว x R

ตวอยางท 4 จงหาเซตคาตอบของอสมการตอไปน

1. x2 + x – 2 0

จะได (x + 2)(x – 1) 0

+ - + - 2 1

จะไดเซตคาตอบของอสมการ คอ (-2, 1)

2. x2 + x – 2 0

จากขอ (1) จะไดเซตคาตอบของอสมการคอ [-2, 1]

3. x2 + x – 2 0

จากขอ (1) จะไดเซตคาตอบของอสมการ คอ (- , - 2) (1, )

4. x2 + x – 2 0

จากขอ (1) จะไดเซตคาตอบของอสมการ คอ (- , -2] [1, )



ตวอยางท 5 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 5

2

2

16

x

x 0

วธทา จากโจทยสามารถแยกแฟกเตอรไดดงน

(x – 4)(x + 4)(x + 2) 0 ; x -2

จะได - + - +

- 4 - 2 4 จะไดเซตคาตอบ คอ (- , -4] (-2, 4]


2

29

145

xx

xx 0

วธทา สวนของอสมการเชน x2 + 9 เปนบวกตลอดเวลา

และ (x + 2)10 เปนบวกตลอดเวลา ยกเวนเมอ x = - 2

เราพจารณาเฉพาะ x2 – 5x – 14 0 และ x - 2

จะได (x – 7)(x + 2) 0

+ - + - 2 7

เซตคาตอบของอสมการ คอ (-2, 7]



ตวอยางท 7 จงหาเซตคาตอบของอสมการ - 2 3

4

x

x 1

วธทา จะสามารถแบงแยกการพจารณาไดเปน 2 กรณ คอ

กรณท 1 -2 3

4

x

x

3

4

x

x + 2 0

3

324

x

xx 0

3

624

x

xx 0

3

23

x

x 0

(3x + 2)(x + 3) 0 ; x -3

กรณท 2 3

4

x

x 1

3

4

x

x - 1 0

3

34

x

xx 0

3

34

x

xx 0

3

7

x 0

-7(x + 3) 0 ; x -3

x + 3 0 ; x -3

x -3



+ - +

- 3 3

2

อนเตอรเซกชน โดยหาสวนซา ซงกคอ x 3

2

เซตคาตอบกคอ {x x 3

2 } หรอ [

3

2 , )


3

x

2

4

x

วธทา 12

3

x

2

4

x

จะได 12

3

x -

2

4

x 0

212

12423

xx

xx 0

212

4863

xx

xx 0

212

105

xx

x 0

212

25

xx

x 0 ; หารดวย –5

ตองกลบเครองหมายของอสมการ

212

2

xx

x 0



(x + 2)(2x + 1)(x – 2) 0 ; x 2

1 , 2

- + - +

- 2 2

1 2

จะไดสวนทเปน ลบ (เพราะอสมการเครองหมายนอยกวา)

จะไดเซตคาตอบ คอ (- , -2]

2,2

1



คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2555

กาหนดให 326 a , ...3333b และ 23 c

ขอใดตอไปนถกตอง

ก. bac

111 ข.

abc

111

ค. cab

111 ง.

acb

111

คณตศาสตร PAT 1 ตลาคม 2553

ให R แทน เซตของจานวนจรง

ถา

153229222 xxxxRxA

แลว ผลบวกของกาลงสองของสมาชกในเซต A เทากบเทาใด


กาหนดให S เปน เซตคาตอบของสมการ 0272732 xxx

ผลบวกของสมาชกทงหมดของ S เทากบขอใดตอไปน

ก. 1.2 ข. 2.2 ค. 3.3 ง. 5.3

คณตศาสตร 7 วชาสามญ 2557

กาหนดให 321 ,, xxx เปนรากของสมการ 03568 23 xxx

โดยท 321 xxx แลวคาของ 31 xx มคาเทากบเทาใด

ก. 2

3 ข.

4

1 ค.

4

1

ง. 2

1 จ. 4

3




กาหนดให A เปน เซตคาตอบของสมการ 0272723 xxx

และ B เปน เซตคาตอบของสมการ 03633631 23 xxx

แลว BA เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน

ก. 9.0,53 ข. 0,1.1

ค. 53,0 ง. 35,1


ให edxcxbxaxxxf 2345)( เมอ edcba ,,,, เปนจานวนจรง

ถากราฟ )(xfy ตดกบกราฟ 2 xy ท 1,0,1,2 x

แลว คาของ )3()2( ff เทากบเทาใด

คณตศาสตร ANET 2549

กาหนดให I เปน เซตของจานวนเตม

ถา 22 9 26 0S x I x x และ 1 2 3x

แลว ผลบวกของสมาชกของ S เทากบเทาใด


กาหนดให 2)1)(12( xxxA

และ

02916 xxB

เซต BA เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน

ก.

3

7,

3

2 ข.

3

5,1 ค.

4

5,

3

4 ง.

1,

3

5



คณตศาสตร PAT 1 กรกฎาคม 2552

กาหนดให 1531 22 xxxA

ถา a เปน สมาชกคานอยสดในเซต A และ b เปนสมาชกคามากสดในเซต A

แลว 2ab เทากบขอใดตอไปน

ก. 24 ข. 16 ค. 8 ง. 4


กาหนดให A เปน เซตคาตอบของอสมการ 0

2

112

x

xx

และ B เปน เซตคาตอบของอสมการ 03722 xx

ถา dcBA , แลว dc 6 เทากบขอใดตอไปน

ก. 4 ข. 5 ค. 6 ง. 7


จานวนเตมทสอดคลองกบอสมการ 0)12)(1(

)4(

xx

xx มทงหมดกจานวน


กาหนดให S เปน เซตคาตอบของอสมการ 065

36132

24

xx

xx

ถา a เปนจานวนทมคานอยสดในเซต ,2S และ b เปนจานวนลบทมคามากทสด ซง Sb

แลว 22 ba เทากบขอใดตอไปน

ก. 9 ข. 5 ค. 5 ง. 9




กาหนดให

122

232|

x

x

xx

xxS ชวงในขอใดตอไปนเปนสบเซตของ S

ก. 3, ข. 5.0,1 ค. 2,5.0 ง. ,1



ตอนท 2 สมการอสมการรากทสอง

ตวอยางท 9 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 13 x > x + 2

วธทา เราตองแบงการพจารณาเปน 2 กรณ คอ

กรณท 1 x + 2 0 และ กรณท 2 x + 2 < 0

จากกรณท 1 จะไดวา 13 x > x + 2 และ x + 2 0

เนองจาก ดานขวามอของสมการเปน + หรอ 0 ทาใหเราสามารถยกกาลง 2 ทง 2 ขาง

แลวจะเหนไดวา 3x + 1 > 442 xx

0 > 32 xx

ดงนนเซตคาตอบของกรณท 1 คอ 32 xx < 0 3x + 1 0 x + 2 0

จากกรณท 2 จะไดวา 13 x > x + 2 และ x + 2 < 0

เนองจาก ดานขวามอของสมการเปน - ดงนน ดานซายมอจะเปนจรงทกกรณ หาก 3x + 1 0

ดงนน เซตคาตอบของกรณท 2 คอ 3x + 1 0 x + 2 < 0

เซตคาตอบของอสมการ คอ การนาเอากรณท 1 และ 2 มายเนยนกนนนเอง




ถา 17113 xxxRxS เมอ R แทนเซตของจานวนจรง

แลว ผลบวกของสมาชกใน S เทากบเทาใด


ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา 17131 xxxRxS และ SxxyRyT ,13

แลว ผลบวกของสมาชกใน T เทากบเทาใด


ถา x เปนจานวนจรงทมากทสดทเปนคาตอบของสมการ

159314 22 xxxx แลวคาของ 12

21

23

9124

xx

xx เทากบเทาใด


ให A เปนเซตคาตอบของสมการ 10126821222 xxxx

และให B เปนเซตคาตอบของสมการ 0601241062 22 xxxx

ผลบวกของคาสมบรณของสมาชกทงหมดในเซต BA เทากบเทาใด

คณตศาสตร PAT 1 พฤศจกายน 2557

ให A แทนเซตคาตอบของสมการ xxxx 310442623 2

ถาผลบวกของสมาชกทกตวในเซต A มคาเทากบ q

p โดยท qp, เปนจานวนเตมบวกทม ห.ร.ม. เปน 1

แลว qp มคาเทากบเทาใด




กาหนดให S เปนเซตคาตอบของสมการ

xxxxx 22123233 2

ถา M และ m เปนคาสงสด และคาตาสดของสมาชกในเซต S ตามลาดบ แลวคาของ Mm 5825

เทากบเทาใด


กาหนดให

4962 xxRxA เมอ R แทน เซตของจานวนจรง


ก. 43 xRxA ข. ,1A

ค. 7 xRxA ง. 732 xRxA


ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา }2343|[ 22 xxxxRxA

แลวเซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน

ก. )4,3()2,( ข. ),3()0,(

ค. ),4()1,( ง. ),1(


กาหนดให A เปนเซตของจานวนจรงทงหมดทสอดคลองกบอสมการ

316 2 xxxx แลวเซต A เปนสบเซตของชวงในขอใดตอไปน

ก. 2,1 ข. 3,0 ค. 4,1 ง. 5,2




ให A เปนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบอสมการ

xxx

x

1

11

2

ถา a เปนขอบเขตบนนอยสดของเซต A และ b เปนขอบเขตลางมากสดของเซต A

แลว คาของ 22 ba เทากบเทาใด



ตอนท 3 สมการอสมการคาสมบรณ

จะตองมความรถงนยามของคาสมบรณของจานวนจรง a

เขยนแทนดวยสญลกษณ | a | หมายถง ระยะทางจากจดแทน 0 ถงจดแทน a บนเสนจานวน

ให a เปนจานวนจรง

a ถา a 0 | a | = - a ถา a < 0

(1) | a – b | = | b – a |

(2) ถา ab 0 แลว | a + b | = | a | + | b |

(3) ถา ab < 0 แลว |a + b | < | a | + | b|

จะไดวา | a + b | | a | + | b |

A

1 0 2 3



ชวงเปด (a, b) หมายถง {x | a < x < b} (1, 3) ชวงปด [a, b] หมายถง {x | a x b} [1, 3] ชวงครงเปด (a, b] หมายถง {x | a < x b} (1, 3] ชวงครงเปด [a, b) หมายถง {x | a x < b} [1, 3) ชวง (a, ) หมายถง {x | x > a} (2, ) ชวง [a, ) หมายถง {x | x a} [1, ) ชวง (- , a) หมายถง {x| x < a} ( , 2) ชวง (- ,a] หมายถง {x| x a} (- , 2]

B

1 0 2 3 C

1 0 2 3 D

1 0 2 3 E

1 0 2 3

G

1 0 2 3 H

1 0 2 3

F

1 0 2 3



ตวอยางท 10 จงหาเซตคาตอบของอสมการ 2x – 1 x + 2

วธทา ใหยกกาลงสองทงสองขาง จะได

2x – 1 2 x + 2 2

(2x – 1)2 – (x + 2)2 0

จาก

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

จะได [(2x – 1) – (x + 2)][(2x – 1) + (x + 2)] 0

(2x – 1 - x – 2)(2x – 1 + x + 2) 0

(x – 3)(3x + 1) 0

+ - +

3

1 3

จะไดคาตอบเซตคาตอบ คอ

3,

3

1




3

x

x

วธทา 1

3

x

x < 2

จะได 1

3

x

x < 2

x + 3 2 x - 1 ; x 1

ยกกาลงสองทงสองขาง

จะได (x + 3)2 [2(x – 1)]2 ; x 1

0 [2(x – 1)]2 - (x + 3)2 ; x 1

0 (2(x – 1) - (x + 3)].[2(x – 1) + (x + 3)] ; x 1

0 (2x – 2 – x – 3)(2x – 2 + x + 3) ; x 1

0 (x – 5)(3x + 1) ; x 1

+ - +

3

1 1 5

จะไดคาตอบเซตคาตอบ คอ

,5

3

1,




23

x

x 5

-1 3

2

511

23

x

x 5

11

23

x

x 5

11

23

x

x

5

11

23

x

x 5

11

23

x

x 5

11

23

x

x

011

523

x

x 0523

x

x 0523

x

xx

02

523

x

x 0523

x

xx 0523

x

xx

052

23

x

x 028

x

x 022

x

x

0

2

2523

x

xx x

1)2(4x - 0 ; x 0 0

1

x

x

02

10523

x

xx x(4x –1) 0 01

x

x

012

122

x

x + - + x(x + 1) 0

02

6

x

x

3

2,1

4

1,0 + - +

+ - + =

4

1,0

,3

20,1

(-6, -2) (- , -1) = = (-6, -2)

ดงนน คาตอบของอสมการ คอ (-6, -2) U 4

1,0 U = (-6, -2) U

4

1,0



คณตศาสตร PAT 1 มนาคม 2552 กาหนดให 13 xxS เซตในขอใดตอไปนเทากบเซต S

ก. 13 xx ข. 12 xx

ค. 13 xx ง. xxx 4


กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวก และ ba

เซตคาตอบของสมการ abbxax |||| เทากบขอใดตอไปน

ก. b ข. ],( ba ค. ),[ b ง. ),2

( ba


ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการ 1|55| )5(2 xxx เทากบขอใดตอไปน

ก. 5 ข. 2

5 ค. 0

ง. 2

5 จ. 5

คณตศาสตร PAT 1 เมษายน 2557

ถา A แทนเซตของคาตอบของสมการ xxx 4|2||22|

แลว เซต A เปนสบเซตของขอใดตอไปน

ก. )0,4( ข. )1,1( ค. )4,0( ง. )2,3(




กาหนดให cba ,, และ d เปนจานวนจรง

ถากราฟ baxy |1| และ กราฟ dcxy ||

ตดกนทจด )5,2( และ )3,8( แลว คาของ 1 dcba เทากบเทาใด


กาหนดให I แทน เซตของจานวนเตม และ SP แทน เพาเวอรเซตของเซต S

ให 812 xIxA และ 023 2 xxIxB


ก. จานวนสมาชกของ BAP เทากบ 4

ข. จานวนสมาชก BAIP เทากบ 2

ค. BAPAPBAP

ง. 0 BAPBAP


ถา A แทนเซตของจานวนเตมทงหมดทสอดคลองกบอสมการ

|73|242|1|3 xxx

และ B แทนเซตคาตอบของอสมการ

0342 2 xxx

แลว ขอใดตอไปนถกตอง

ก. เซต BA มสมาชก 5 ตว ข. ABA

ค. เซต BA มสมาชก 1 ตว ง. BABBA




ถาเซตคาตอบของอสมการ 0|43||25| xx คอ ชวง ],[ ba แลว ba มคาเปนเทาใด


กาหนดให I คอ เซตของจานวนเตม

ให }1192|{ xIxA และ }223|{ 2 xxIxB

(1) จานวนสมาชกของ BA เทากบ 8 ตว

(2) BA เปนเซตวาง

ขอใดสรปถกตอง

ก. (1) ถก และ (2) ถก ข. (1) ถก และ (2) ผด

ค. (1) ผด และ (2) ถก ง. (1) ผด และ (2) ผด


ถาเซตคาตอบของอสมการ )2(22 xxx คอ ชวง ba, แลว ba ม คาเทากบเทาใด


จานวนเตม x ทสอดคลองกบอสมการ 100||100||100|| xx

มจานวนทงหมดเทากบเทาใด

ก. 49 ข. 50 ค. 51

ง. 99 จ. 100



คณตศาสตร PAT 1 เมษายน 2557

ให A แทนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบสมการ

17104

3

784

422

xx

x

xx

x

และให B แทนเซตของจานวนจรง x ทงหมดทสอดคลองกบอสมการ

4|2| 22 xxx

พจารณาขอความตอไปน

(1) BA

(2) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของ BA เทากบ 2





กาหนดให }032|{ 2 xxxA และ |}|21|{ xxxB

ถา ),( baBA แลว ||3 ba มคาเทาใด




กาหนดให A เปน เซตคาตอบของอสมการ 342 22 xxxx

และ }1{ AB

ถา a เปนสมาชกของ B ซง 0 ba ทก Bb แลว พจารณาขอความตอไปน

(1) a3

4 เปนจานวนค

(2) a

5 เปนจานวนค

ขอใดตอไปนถก

ก. (1) และ (2) ถก ข. (1) ถก และ (2) ผด

ค. (1) ผด และ (2) ถก ง. (1) และ (2) ผด


กาหนดให xxxA 31 และ a เปน สมาชกคามากทสดของ A

คาของ a อยในชวงใดตอไปน

ก. 5.0,0 ข. 1,5.0 ค. 5.1,1 ง. 2,5.1




กาหนดใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนจรง

A แทนเซตคาตอบของ 6||32 xx

B แทนเซตคาตอบของ 26 xx


(1) AB เปนเซตจากด

(2) }31|{ xxBA

ขอใดตอไปนกลาวถกตอง




กาหนดให A เปนเซตคาของ 111 x

และ B เปนเซตคาของอสมการ 23

22

1

12

xx

x

x

แลว BA เปนสบเซตของชวงใดตอไปน

ก. (−5, −1) ข. (−3, 1) ค. (−1, 3) ง. (0, 4)

จ. (1, 5)




ให R แทน เซตของจานวนจรง

ถา

1

3

21

xx

xRxA แลว 1,0A เทากบขอใดตอไปน

ก.

3

2

3

1xx ข.

13

1xx

ค.

13

2xx ง.

2

3

3

2xx



ตอนท 4 ทฤษฎเศษเหลอ

ตวอยางท 13 จงหาเศษเมอหาร 153 3 xx ดวย 2

3x

วธทา ให P(x) = 153 3 xx

โดยทฤษฎบทเศษเหลอ เมอหาร 153 3 xx ดวย 2

3x จะไดเศษคอ P(

2

3 )

P(2

3 ) = 3(2

3 )3 + 5(2

3 ) – 1

= 8

133

= 8

516

ตวอยางท 14 จงหาเศษเมอหาร 1352 234 xxxx ดวย 2

1x

วธทา ให P(x) = 1352 234 xxxx เมอหารดวย 2

1x จะไดเศษคอ P(-

2

1 )

P(-2

1 ) = 2(-2

1 )4 – 5(-2

1 )3 – (-2

1 )2 + 3(-2

1 ) + 1

= 2(16

1 ) – 5(-8

1 ) – (4

1 ) - 2

3 + 1

= 8

1 + 8

5 - 4

1 - 2

3 + 1

= 8

812251

= 0

ขอสงเกต ไดเศษเปน 0 แสดงวา 2

1x เปนตวประกอบของพหนาม 1352 234 xxxx




กาหนดให 59)( 2 xaxxP โดยท a เปนจานวนจรง

ถา 1x หาร )(xP แลวเหลอเศษ 6 รากจานวนจรงบวกททาให 0)( xP มคาเทากบเทาใด


ให a และ b เปนจานวนจรง

ถา 125 bxax หารดวย 21x ลงตว แลว ba เทากบเทาใด


ถา 1x หารพหนาม )(xP แลวเหลอเศษเทากบ −1


1) 1x หาร )(xP เหลอเศษ −1

2) 1x หาร )(2 xP เหลอเศษ 1

3) 1x หาร )( xP เหลอเศษ 1

4) 1x หาร )( xP เหลอเศษ 1

จานวนขอความทกลาวถกตองเทากบขอใดตอไปน

ก. 0 ข. 1 ค. 2

ง. 3 จ. 4


ให 10)( 23 bxaxxxP เมอ ba, เปนจานวนเตม และ 9)( 2 xxQ

ถา )(xQ หาร )(xP เหลอเศษ 1 แลว )()( bPaP มคาเทาใด




กาหนดให )(xP เปนพหนามดกร 3

ถา 1x , 2x และ 3x หาร )(xP ลงตว และ 4x หาร )(xP เหลอเศษ 1

แลว )5(P มคาตรงกบขอใด

ก. 4 ข. 1 ค. 0

ง. 1 จ. 4

คณตศาสตร กสพท.

กาหนดให 32011 axx หารดวย 12 x เหลอเศษ )(xr

ถา 3)2( r จงหาคา a

ก. 3 ข. 0 ค. 1

ง. 3 จ. 4



ตอนท 5 ทฤษฎจานวน

ก. การหารลงตว a | b คอ

a หาร b ลงตว หรอ a

b ลงตว (มองงาย ๆ คอ นอย | มาก) เชน 4 | 12, 5 | 15

ทฤษฎบททควรร

(1) ถา a | b และ b | c แลว a | c

(2) ถา a และ b เปนจานวนเตม และ b > 0 แลว ถา a | b แลว a b

(3) ถา a และ b เปนจานวนเตมบวก ซง a | b และ b | a แลว a = b

(4) ถา a | b และ x เปนจานวนเตมใด ๆ แลว a | bx

(5) ถา a | b, a | c และ x, y เปนจานวนเตมใด ๆ แลว a | (bx + cy)

สรปการหารลงตวทควรร

1. หารดวย 2 ลงตว เมอ หลกหนวย ลงทายดวย 2, 4, 6, 8

เชน 2 | 326, 2 | 528, 2 | 694

2. หารดวย 3 ลงตว เมอ นาเลขโดดทกหลกมาบวกกนหมดแลวหารดวย 3 ลงตว

เชน 3 | 324 เพราะ 3 | (3 + 2 + 4)

3 | 291 เพราะ 3 | (2 + 9 + 1)

3. หารดวย 4 ลงตวเมอ 2 หลกทาย หารดวย 4 ลงตว

เชน 4 | 521928 เพราะ 4 | 28

4 | 715832 เพราะ 4 | 32

4. หารดวย 5 ลงตว เมอ หลกหนวยลงทายดวย 0, 5

เชน 5 | 695, 5 | 740

5. หารดวย 6 ลงตว เมอ หารดวย 2 และหารดวย 3 ลงตวทงค

เชน 6 | 966 เพราะ 2 | 966 และ 3 | 966

6. หารดวย 7 ลงตว เมอ เอาตวเลขทตดหลกหนวยทงแลวลบดวยสองเทาของหลกหนวย หารดวย 7

ลงตว



เชน 7 | 48125 เพราะ 4812 – (2 5) = 4802

เพราะ 480 – (2 2) = 476

เพราะ 47 – (2 6) = 35

7 | 35

7. หารดวย 8 ลงตว เมอ 3 หลกทายหารดวย 8 ลงตว

เชน 8 | 588914120 เพราะ 8 | 120

8. หารดวย 9 ลงตว เมอ นาเลขโดดทกหลกมาบวกกนหมดแลวหารดวย 9 ลงตว

เชน 9 | 369576 เพราะ 9 | (3 + 6 + 9 + 5 + 7 + 6)

9. หารดวย 10 ลงตว เมอ หลกหนวยลงทายดวย 0

เชน 10 | 520

ข. จานวนเฉพาะ

ให p เปนจานวนเตม ซง p 0 จะเรยก p วาเปนจานวนเฉพาะ เมอ p 1 และ p

มตวประกอบ 4 ตว คอ 1, -1, p และ -p เชน 2, -2, 3, -3, …

ค. จานวนประกอบ

คอ จานวนทไมใชจานวนเฉพาะและ ไมใช 1 เชน 4, 6, 10,…

วธดตวเลขหลกรอย (???) วาเปนจานวนเฉพาะหรอไม คอ เอาจานวนเฉพาะทนอยกวา

??? ไปหาร ??? วาลงตวหรอไม ถา ไมลงตวเลย กถอวา ??? เปนจานวนเฉพาะ

ตวอยางท 15 จงพจารณาวา 221 เปนจานวนเฉพาะหรอไม

221 = 14 กวา ๆ เพราะฉะนน นา 2, 3, 5, 7, 11, 13 ไปหาร

พบวา ม 13 หาร 221 ลงตว เพราะฉะนน ถอวา 221 ไมเปนจานวนเฉพาะ

ง. ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

การหา ห.ร.ม. (a, b) และ ค.ร.น. [a, b] ม 3 วธทนยมใชทวไป คอ



1. วธแยกตวประกอบ

ตวอยางท 16 จงหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 12 , 18 และ 24 วธทา 12 = 2 x 2 x 3

18 = 2 x 3 x 3 24 = 2 x 2 x 3 x 2

ดงนน ห.ร.ม. คอ 2 x 3 = 6 ค.ร.น. คอ 2 x 3 x 2 x 3 x 2 = 72

จานวนเฉพาะรวมทกจานวน จานวนเฉพาะรวมบางจานวน

2. การตงหารสน ตวอยางท 17 จงหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 126, 210 และ 252 วธทา 2 126 210 252 7 63 105 126 3 9 15 18 3 3 5 6

1 5 2 ดงนน ห.ร.ม. คอ 2 x 7 x 3 = 42 ค.ร.น. คอ 2 x 7 x 3 x 3 x 1 x 5 x 2 = 1260



3. วธของยคลค ตวอยางท 18 จงหา (-24, 56) โดยใชขนตอนวธของยคลค วธทา 56 = 24(2) + 8 24 = 8(3) + 0 แสดงวา (24, 56) = 8 ดงนน (-24, 56) = 8 ตวอยางท 19 จงหาคาของ (-1780, 2492) โดยการใชวธยคลคแบบตารางการหาร วธทา ไมสนใจคาลบ ดใหเปนคาบวก คอ หา ห.ร.ม. ของ (1780, 2492) 2 1780 2492 1 ขน 1 นา 1780 ไปหาร 2492 ได 1 เศษ 712 1424 1780 ขน 2 นา 712 ไปหาร 1780 ได 2 เศษ 356 356 712 2 ขน 3 นา 356 ไปหาร 712 ได 2 เศษ 0 712 เลขนคอจานวนสดทายทไปหารแลวลงตวไมเหลอเศษอก ดงนน ห.ร.ม. คอ 356 ตวอยางท 20 จงหา (56, 72) แลวจงหาจานวนเตม m, n ซง (56, 72) = 56m + 72n วธทา 72 = 56(1) + 16 56 = 16(3) + 8 16 = 8(2) ดงนน (56, 72) = 8 โดยการยอนกลบ 8 = 56 – 16(3) = 56 – [72 – 56(1)]3 = 56 – 72(3) + 56(3) = 56(4) – 72(3) = 56(4) + 72(-3) m = 4 และ n = -3

ผลคณเลข 2 จานวน = ค.ร.น. คณกบ ห.ร.ม.



ตวอยางท 21 ให a เปนจานวนเตม โดยท (a, 182) = 26 และ [a, 182] = 3,034 จงหาคา a วธทา จากทฤษฎบททวา ผลคณเลข 2 จานวน = ค.ร.น. คณกบ ห.ร.ม. จะไดวา 182a = 26 3034 a = 442

จ. จานวนเฉพาะสมพทธ

คอ จานวน a, b ทหาห.ร.ม. แลวได = 1 หรอ (a, b) = 1 นนเอง

เชน (2, 5) = 1 ดงนน 2 และ 5 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ




ให a เปน จานวนคบวก และ b เปน จานวนคบวก

ขอใดตอไปนถก

ก. a และ b เปน จานวนเฉพาะสมพทธ

ข. a b เปน จานวนเฉพาะ

ค. ห.ร.ม.ของ a และ b เทากบ ห.ร.ม.ของ a และ 2b

ง. ค.ร.น.ของ a และ b เทากบ ค.ร.น.ของ a และ 2b


มกองลกหนสดา จานวน 221 ลก และกองลกหนสขาว จานวน 260 ลก ตองการแบงลกหนทงสองกองน

ออกเปนกองเลกๆ โดยท

(1) แตละกองมสเดยวกน

(2) ลกหนแตละกองมจานวนเทากน

ถาตองการใหจานวนลกหนในกองเลกๆ เหลาน มจานวนมากทสด แลว จะแบงไดกกอง


ถา a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465

แลว ba มคาเทาใด


กาหนดให a เปนจานวนเตมบวก

ถา ห.ร.ม. ของ a และ 3780 เทากบ 90 และ ค.ร.น. ของ a กบ 630 เทากบ 6930

แลว a อยในชวงในขอใดตอไปน

ก. ]500,350[ ข. ]650,500[ ค. ]800,650[

ง. ]950,800[ จ. ]1100,950[




ถา S เปนเซตของจานวนนบ n ซง ค.ร.น. ของ 840 และ n มคาเทากบ 12,600

แลว สมาชกของ S ทมคานอยทสด มคาเทากบเทาใด


กาหนดให ba, เปนจานวนเตมบวกซง 18002020 baab

ถา ห.ร.ม. 5),( ba แลว || ba มคาเทากบขอใดตอไปน

ก. 15 ข. 45 ค. 90

ง. 210 จ. 435


จานวนเตมบวก }200,...,102,101,100{, nm

ม ห.ร.ม. และ ค.ร.น ของ m กบ n คอ 35 และ 525 ตามลาดบ แลวคาของ nm เทากบเทาใด


กาหนดให m และ n เปนจานวนเตมบวกซง 2 nm และ ค.ร.น. ของ m กบ n เทากบ 180

แลว ผลคณ nm. มคาเทากบเทาใด

ก. 180 ข. 270 ค. 360

ง. 540 จ. 720


กาหนดให n เปนจานวนนบทมากทสดทหาร 166 และ 1101 แลวเหลอเศษ 1 เทากน แลว n มคาเทากบ

เทาใด




กาหนดให ba, และ c เปนจานวนเตมทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน

(1) 9022 ba

(2) cba 5

(3) 8a


(ก) 3632 cba

(ข) คามากทสดทเปนไปไดของ 333 cba มคาเทากบ 1085


ก. (1) ถก และ (2) ถก ข. (1) ถก แต (2) ผด

ค. (1) ผด แต (2) ถก ง. (1) ผด และ (2) ผด


กาหนดให dcba ,,, และ x เปนจานวนเตมบวก

จงพจารณาขอความตอไปน

(1) ถา d

c

b

a แลว

d

xc

b

xa

(2) xb

xa

b

a


ก. ขอ (1) ถก และ (2) ถก ข. ขอ (1) ถก และ (2) ผด

ค. ขอ (1) ผด และ (2) ถก ง. ขอ (1) ผด และ (2) ผด




กาหนดระบบสมการ

22223 zyx

143 zyx

10 zyx

ถา A เปนเซตของจานวนเตมทอยในชวง ]10,10[

และ |),,{( cbaS เปนคาตอบของระบบสมการทกาหนด โดยท },, Acba

แลว จานวนสมาชกของเซต S เทากบขอใดตอไปน

ก. 13 ข. 14 ค. 15

ง. 16 จ. 17


เศษเหลอจากการหาร 555999 94 ดวย 5 มคาเทากบเทาใด

ก. 0 ข. 1 ค. 2

ง. 3 จ. 4


จานวนเตม cba ,, หารดวย 11 เหลอเศษ 2 , 5 , 7 ตามลาดบ

ขอใดตอไปนหารดวย 11 เหลอเศษมากทสด

ก. 222 cba ข. 222 cba ค. 222 cba

ง. 222 cba จ. 222 cba




กาหนดให n เปน จานวนเตมบวกทมคานอยทสด ซงหารดวย 7 แลว มเศษเหลอเทากบ 4

ถา 9 และ 11 ตางกหาร 2n ลงตว แลว n คอ จานวนใด


ถา x เปน จานวนเตมบวกทนอยทสด ซง 9, 12 และ 15 หาร x ลงตว แต 11 หาร x เหลอเศษ 7

แลว x มคาเทากบเทาใด


กาหนดให n เปนจานวนนบใดๆ และ r เปน เศษเหลอจากการหาร 2n ดวย 11

จานวนในขอใดตอไปนเปนคาของ r ไมได

ก. 1 ข. 3 ค. 5 ง. 7


กาหนดให a ,b , c และ d เปนจานวนเตมบวกทสอดคลองกบอสมการตอไปน

ba 5 ,

cb 2 ,

dc 7 ,

100d

แลวคาของ a ทมากทสดเทากบเทาใด




ให a ,b , c เปนเลขโดดทไมใชศนย

จงหาจานวนสามหลก abc ทมคามากทสดและสอดคลองกบเงอนไข

cbbccaacbaababc

เมอ abc คอ เลขสามหลก และ ab , ba , ... คอ เลขสองหลก

จานวนสามหลก abc คอ อะไร


ถา d เปนจานวนเตมบวกทมากทสด ทจานวน 2233, 7873

และ 10393 หารดวย d แลวมเศษเหลอเทากน คอ r แลว คาของ rd เทากบเทาใด


กาหนดให n เปน จานวนเตมทมคามากทสด ซงมสมบตวา

n หาร 551 และ 731 เหลอเศษ r เทากน และ n หาร 1093 เหลอเศษ 2r

แลว n

r 1 มคาเทากบขอใดตอไปน

ก. 17

1 ข. 18

1 ค. 19

1 ง. 20

1


ถา d เปน จานวนเตมบวก ทมากกวา 1 และ จานวน 4218, 3132

และ 2589 หารดวย d มเศษเหลอเทากน คอ r แลว rd เทากบเทาใด


ถา s เปน ผลบวกของจานวนเตมบวกทงหมดทสรางมาจากเลขโดด 4,3,2 หรอ 5 โดยทตวเลขในแตละ

หลกไมซากน แลว เศษเหลอจากการหาร s ดวย 9 เทากบเทาใด




กาหนดให yx, และ z เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบระบบสมการ

z

1+ x 3, = xyz +y 4,= 5=

1

x

และ y

1+ z =

q

p เมอ p และ q เปน จานวนเตมบวก

โดยท ห.ร.ม. ของ p และ q เทากบ 1 แลว คาของ qp เทากบขอใดตอไปน

ก. 17 ข. 20 ค. 57 ง. 102


กาหนดให aRb หมายความวา a หารดวย b ลงตว เมอ ba, เปนจานวนเตมบวก


(1) ถา xRy และ xRz แลว )( zyxR สาหรบทกจานวนเตมบวก yx, และ z

(2) ถา xRy และ wRz แลว )()( yzRxw สาหรบทกจานวนเตมบวก zyx ,, และ w







กาหนดให A เปน เซตซงสอดคลองกบเงอนไขตอไปน

(1) A1

(2) ถา Ax แลว Ax

1

(3) Ax กตอเมอ Ax2

จานวนในขอใดตอไปน เปนสมาชกของ A

ก. 2

1 ข.

8

1 ค.

16

1 ง.

32

1


กาหนดให BA, และ C เปน จานวนทมคาไมเกน 100

ถา CBA และ ACB 2 แลว คามากสดทเปนไปไดของ B อยในชวงใดตอไปน

ก. 40,0 ข. 60,45 ค. 85,70 ง. 100,90


ถา dcba ,,, เปน เลขโดดทแตกตางกนททาใหจานวนเตม 4 หลก dcba เทากบ 9 เทาของ abcd

แลว b เทากบเทาใด


กาหนดให x เปนจานวนเตมบวกสองหลก โดยม a และ b เปนเลขโดดในหลกสบและหลกหนวย

ตามลาดบ และให y เปนจานวนเตมบวกสองหลกทม b และ a เปนเลขโดดในหลกสบและหลกหนวย

ตามลาดบ ถา a เปนสองเทาของ b และ 2700421793 xy แลว ba เทากบเทาใด




กาหนดให }9,...,2,1,0{,, cba และ 36a , 88b เปนจานวนสามหลก

ถา 1553688 ab และ 88b หารดวย 9 ลงตว แลว ba เทากบเทาใด


ให x แทนจานวนสหลก 0abc และ y แทนจานวนสามหลก bac โดยท }9,...,2,1,0{,, cba และ

cba ,, แตกตางกนทงหมด ถา S เปนเซตของ y ทงหมด โดยท yx มคามากทสด

แลวผลบวกของสมาชกในเซต S ทงหมดเทากบเทาใด


ถา }9,...,3,2,1{,, cba

และสอดคลองกบสมการ 486)14()63( cba

แลว cba เทากบเทาใด


ถา }9,...,3,2,1{,, cba

และสอดคลองกบสมการ 486)14()63( cba

แลว cba เทากบเทาใด




พจารณาการบวกของจานวนตอไปน

เมอ GFEDCBA ,,,,,, แทนเลขโดดทแตกตางกน โดยท 0F และ

}6,5,4,3,2,1{},,,,,{ GEDCBA

ถาจานวนสองหลก AB เปนจานวนเฉพาะ แลว BA มคาเทากบขอใดตอไปน

ก. 4 ข. 5 ค. 7 ง. 9


กาหนดให dcba ,,, และ e เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบ ระบบสมการ

32154 aeeddccbba


(1) dbec

(2) debc

(3) cbda


ก. (1) ถกเพยงขอเดยว

ข. (2) ถกเพยงขอเดยว

ค. (3) ถกเพยงขอเดยว

ง. (1), (2) และ (3) ถกทง 3 ขอ

จ. (1), (2) และ (3) ผดทง 3 ขอ




ให S เปนเซตของคลาดบ ),( ba ซง a และ b เปนจานวนเตมบวกทสอดคลองกบสมการ

10

111

ba

แลว จงหาจานวนสมาชกของเซต S


ให S เปนเซตของจานวนสองหลก ab ทงหมด โดยท

143 baab เมอ }9,...,3,2,1{, ba และ ba

ผลบวกทงหมดของสมาชกใน S มคาเทากบเทาใด



ตอนท 6 Operation


สาหรบจานวนจรงบวก x และ y ใดๆ

กาหนดให yx เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบสมบตตอไปน

(1) yxxxyx )*()(*

(2) xxx *1)*1(*

(3) 11*1

คาของ ))6*5(*4(*3 เทากบเทาใด


ให N แทนเซตของจานวนนบ

กาหนดให baba สาหรบ Nba ,


(1) cbacba สาหรบ Ncba ,,

(2) cabacba สาหรบ Ncba ,,






ba

ba

ba

b

a

a

ba

,

,

,

ba

ba

ba

a

a

b

ba

,

,

,


สาหรบ a และ b เปนจานวนเตมบวกใดๆ

กาหนดให ba เปนจานวนเตมบวกใดๆ

(ก) 4 aaa

(ข) abba

(ค) b

ba

ba

baa

คาของ 10058 เทากบเทาใด


ให N แทน เซตของจานวนนบ สาหรบ Nba ,

และ

พจารณาขอความตอไปน สาหรบ Ncba ,,

(1) abba

(2) cbacba

(3) cabacba


ก. ถก 1 ขอ คอ ขอ (1) ข. ถก 2 ขอ คอ ขอ (1) และ (2)

ค. ถก 2 ขอ คอ ขอ (1) และ (3) ง. ถกทง 3 ขอ คอ ขอ (1), (2) และ (3)




สาหรบ a และ b เปนจานวนเตมบวกใด ๆ

นยาม ba หมายถง kba สาหรบบางจานวนเตมบวก k

ถา yx, และ z เปนจานวนเตมบวก แลวขอใดตอไปนเปนจรง

ก. ถา yx และ zy แลว zyx ข. ถา yx และ zx แลว yzx

ค. ถา yx และ zx แลว zyx ง. ถา yx แลว xy

คณตศาสตร PAT 1 ธนวาคม 2554

กาหนดให 1)1)(1( yxyx

ขอใดตอไปนผด

ก. 1)*()1()1( xxxx ข. )2*()*()2( xyxyx

ค. 2*)*()2*( yxyx ง. xyxxyxx )*)(1()*(


ให N แทน เซตของจานวนนบ

กาหนดให baba สาหรบ Nba ,

พจารณาขอความตอไปน สาหรบ Ncba ,,

(1) abba

(2) cbacba

(3) cabacba

(4) cbcacba


ก. ถก 2 ขอ คอ (2) และ (3) ข. ถก 2 ขอ คอ (3) และ (4)

ค. ถก 1 ขอ คอ (3) ง. (1), (2), (3) และ (4) ผดทกขอ




นยาม baba สาหรบ a และ b เปนจานวนจรงบวกใดๆ

ถา ba, และ c เปนจานวนจรงบวก

แลวขอใดตอไปนถกตอง

ก. bcacba )*()*(* ข. )(*)*( bcacba

ค. cbacba )*()*(* ง. )*()*(*)( cbcacba

คณตศาสตร PAT 1 ธนวาคม 2554

กาหนดให )1,1()1,(),( mnamnamna

และ 10)1,1( a 5)1,2( a 4)1,4( a 50)4,4( a

จงหา )1,3(a



rrnn bar

nba

)(

ตอนท 7 ทฤษฎบททวนาม

พจนท r + 1 ของ การกระจาย

โดย !)!(

!

rrn

n

r

n


999)998()997()996()995( 24816 หารดวย 7 จะเหลอเศษเทากบเทาใด

ก. 1 ข. 2 ค. 4

ง. 5 จ. 6

จ.


ให s เปนเศษเหลอจากการหาร 199991.2199991.3199991 23 ดวย 3

และ t เปนเลขโดดในหลกลานของ 662556 15.14.7 แลว ts มคาเทาใด


ในการกระจาย

551 1

5 102 3

จานวนพจนทเปนจานวนเตม เทากบ ขอใดตอไปน

ก. 5 พจน ข. 6 พจน ค. 7 พจน ง. 8 พจน




ในการกระจาย 10

23 2

xx โดยใชทฤษฎบททวนาม จะไดวาพจนคาคงตวมคาเทากบเทาใด


คาของ rr

r

r

r57

61 6

6

0

เทากบเทาใด

สำรองทนง สำรองทนง www.hot-vcds.comwww.hot-vcds.com

Line : ajarnpuk110Line : ajarnpuk110

Maths4KidMaths4KidBasic English 1Basic English 1Basic English 2Basic English 2

พนฐานคณต L.1พนฐานคณต L.1




เสารเสารจนทร, พฤหสจนทร, พฤหส

พธพธศกรศกร

เสาร, อาทตยเสาร, อาทตยเสารเสารองคารองคารศกรศกร

องคาร, พฤหสองคาร, พฤหสอาทตยอาทตยจนทรจนทรพธพธ

เสาร, อาทตยเสาร, อาทตยเสาร, อาทตยเสาร, อาทตย

14.40 - 16.10 14.40 - 16.10 น.น.18.40 - 20.10 18.40 - 20.10 น.น.

17 - 18.30 17 - 18.30 น.น.18.40 - 20.10 18.40 - 20.10 น.น.

11 - 12.30 11 - 12.30 น.น.13 - 14.30 13 - 14.30 น.น.

18.40 - 20.10 18.40 - 20.10 น.น.17 - 18.30 17 - 18.30 น.น. 17 - 18.30 17 - 18.30 น.น. 13 - 14.30 13 - 14.30 น.น.17 - 18.30 17 - 18.30 น.น.

18.40 - 20.10 18.40 - 20.10 น.น.7.40 - 9.10 7.40 - 9.10 น.น.

9.20 - 10.50 9.20 - 10.50 น.น.

Maths4Kid : พนฐาน Maths (ภาษาองกฤษ) (เหมาะสำหรบ ป.4 - ป.5)Maths4Kid : พนฐาน Maths (ภาษาองกฤษ) (เหมาะสำหรบ ป.4 - ป.5)Basic English 1 : ใชขอสอบ Entrance ในการสอน Basic English 1 : ใชขอสอบ Entrance ในการสอน Basic English 2 : ใชขอสอบ GAT ในการสอน Basic English 2 : ใชขอสอบ GAT ในการสอน (เหมาะสำหรบ ป.6 เตรยมสอบ Gifted, E.P., ม.ตน (เหมาะสำหรบ ป.6 เตรยมสอบ Gifted, E.P., ม.ตน เตรยมสอบเขาเตรยมฯ, ม.ปลาย สอบเขามหาวทยาลย) เตรยมสอบเขาเตรยมฯ, ม.ปลาย สอบเขามหาวทยาลย)พนฐาน L.1 : ใชขอสอบแขงขนเพชรยอดมงกฎ, สสวท. สพฐ. พนฐาน L.1 : ใชขอสอบแขงขนเพชรยอดมงกฎ, สสวท. สพฐ. (เหมาะสำหรบ ป.5 - ป.6 เตรยมสอบ Gifted, ม.1 ทวไป) (เหมาะสำหรบ ป.5 - ป.6 เตรยมสอบ Gifted, ม.1 ทวไป)พนฐาน L.2 : ใชขอสอบสสวท. สมาคมคณตศาสตร (เหมาะสำหรบ ม.2 - 3 ทวไป)พนฐาน L.2 : ใชขอสอบสสวท. สมาคมคณตศาสตร (เหมาะสำหรบ ม.2 - 3 ทวไป)พนฐาน L.3 : ใชขอสอบเขา ม.4 เตรยมฯ มหดลฯ พนฐาน L.3 : ใชขอสอบเขา ม.4 เตรยมฯ มหดลฯ (เหมาะสำหรบ ม.3 เตรยมสอบเขาเตรยมฯ มหดลฯ) (เหมาะสำหรบ ม.3 เตรยมสอบเขาเตรยมฯ มหดลฯ)พนฐาน L.4 : ใชขอสอบคณต PAT1 (เหมาะสำหรบ ม.4 - 6)พนฐาน L.4 : ใชขอสอบคณต PAT1 (เหมาะสำหรบ ม.4 - 6)

สถานทเรยน :สถานทเรยน : ฮอตเอต (ตรงขามโลตสพระราม 4) ฮอตเอต (ตรงขามโลตสพระราม 4)

18 ป18 ป

อยากเกงอยากเกงเลขเลข

องกฤษ องกฤษ ลองดครบลองดครบ

สมครไดตงแตวนนสมครไดตงแตวนนเรยนกลมยอย ไมเกน 15 ทนงเรยนกลมยอย ไมเกน 15 ทนง

คาเรยนคาเรยน10 10 ครง ครง 3,200 3,200.-.-เรมเรยนไดทกวน (นบเปนครง)เรมเรยนไดทกวน (นบเปนครง)

เปยมลนดวยคณภาพเปยมลนดวยคณภาพ

เกง เกง Sure!!Sure!!เกง เกง Sure!!Sure!!

Documents

T.081-5664645 จํานวนจร ิง · Ajarnpuk , T.081-5664645 คณิตศาสตร ์ม.6 PAT1 จํานวนจร ิง หน้า 2