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TABLA DE DERIVADAS CCNN
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Funciones: f, g (contienen a la x) Número: k
1) y = k y ’ = 0
2) y = x y ’ = 1
3) y = f ± g y ’ = f ’ ± g ’
4) y = k · f y ’ = k · f ’
5) y = f · g y ’ = f ’ · g + f · g ’
6) y = g
f y ’ =
2
'·'·
g
gfgf −
7) y = fk y ’ = k · f
1−k · f ’
8) y = kf y ’ = f ’ · k
f· L k
9) y = ef y ’ = f ’· e
f
10) y = loga f y ’ = f
f
La
'·
1
11) y = L f y ’ = f
f '
12) y = sen f y ’ = f ’· cos f
13) y = cos f y ’ = - f ’ ·sen f
14) y = tg f y ‘ = f ‘· sec2 f
15) y = arctg f y ‘ = 21
'
f
f
+
16) y = arcsen f y ‘ = 21
'
f
f
−
17) y = arccos f y ‘ = 21
'
f
f
−
−
18) y = fg y ‘ = g · f
1−g· f ‘ + g ‘ · f
g · L f
ejerciciosyexamenes.com
DERIVADASDERIVADAS1. y = 5x6-3x5+3x3-2 2. y = x-4+2x-3+x-43.
x
3+x2+x3=y 10 4. 3+x.-x.3=y 3 π
5. y = 4 senx - 3 cosx 6. x+x
2+x2=y 5
7. y = 4x3 + 2x3 - x3 + 4 8. x3-x.2
=y cosπ
9. y = cos(3x) 10. y = cos2(x3)11. y = sen (3x2-2x) 12. y = cos(x2)13. y = sen3(2x2) 14. y = cos4(3x4)15. y = 3 sen2(2x-3) 16. y = cos5(3x2)17. y = cos (senx) 18. y = cos2(sen(3x))19. 3 2 x=y cos 20. 3 22 )x(=y cos
21. 3x-x=y 2 22. 3 22 )3x-x(=y
23. ( )3x-x2=y3 24. 3 2 xsen=y
25. 5 sen(3x)=y 26. senx-3x=y
27. ( )x-1-x3=y 223 28. ( )5x-x3 sen=y 2
29. )1-(x+xsen=y33 30. ( )x3-x=y 23
cos
31.5
x=y 32.
x
5=y
33.4
3x-x=y
4
34.x
3-x=y
3
35.3
)3x-x(=y
24 36.x3
)1-(x=y
3
37.1-x
x=y
2
2 38.x
3x=y
39.x
3=y 40.
x3
x=y
41. 3 2 senx-x3=y 42. 1)-(3xnl=y
43. 3x)-x(nl=y 2 44. 2-xnl=y
45. )x(3=y 2
2log 46. e=y x 2
47. 2=y x 48. e=y 2x-x2
49. 3=y xsen 50. )x(tg=y 3
51. e3=y 3x-x2 52. e=y cosx
53. xtg3=y 2 54. 1)-(x.1)-x(=y 2
55. xnl.x=y 2 56. x.e=y x2
cos
57. e.x=y x34 58. x sen.e=y x3-x 24
ejerciciosyexamenes.com
59. e.xnl=y xsen2 60.xnl
1=y
61.
1+x
3-x=y
2
23
62. e.xnl=y senx-x 2
63. ( ) e.xsen-3x=y x32 3
cos 64.
2-x
xnl=y
3
22
65.3
xnl=y
x66.
senx-x
xnl+e=y
2
x
67.
e
xsennl=y
x68.
1-x
xsen=y
69.1-x2
2-3x+x2-x3=y
24
70. ( ) x.)e( sen=y 3x 2cos
71. )x(arctg=y 2 72. xarcsen=y 3
73. x)(nl=y sec 74. x)n(larctg=y
75. e.xarcsen=y cosx 76. )e(arctg=y 3x
77.
e
tgxnl=y
x3 2 78.
e
1+xarcsen=y
x
79. ( )arctg(5x)nl=y 80. xarctg=y 3
81. (senx)arctg5=y 2 82. 3=y )x(arctg 2
83.x
2)-(3xarcsen=y
284.
3-4x
xtg-xsen=y
85. x=y senx 86. )x(sen=y x 2
87. )x(=yx-x3
cos 88. 4=y x)n( larctg
89.
x
2+xnl=y
2
3
90.
senx
e=y
3x x2
91. 10=y cosx-3x
e-senx x
92.
x)n(lsen
xtg=y cos
93.)xn(l
x=y
3
cosx
94.
3
tgxnl.)e(4=y
x
x22cos
95. 3
x2
(cosx)arctg
)e(sen=y 96.
5
e=y
x
x)(nl
cos
cos
97.e
x.)e(=y
tgx
xcos 98. ( )x+)e(tg=y 2x x
99.x)-x(nl
x.earctg=y
2
x cos 100.)e(sen
xnl=y
cosx
cos
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APLICACIONES DERIVADAS CCNN
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1) Dada la función 35 5x3xf(x) −= , estudiar su monotonía y los máximos y
mínimos relativos.
2) Estudiar monotonía y máximos y mínimos relativos de la función:
1x
2xf(x)
2
2
+
+=
3) Estudiar la curvatura y los puntos de inflexión de la función:
53xxf(x) 24+−=
4) Halla b, c y d sabiendo que la curva dcxbxxy 23+++= pasa por el
punto (0, 2) y presenta un punto de inflexión en (2, -22).
5) (Sep 05) Dada la función 1x
xlnf(x)
2
−= donde ln significa logaritmo
neperiano, definida para x > 1, hallar un punto (a, f(a)) tal que la recta
tangente a la gráfica de f(x) en ese punto sea paralela al eje OX.
6) (Jun 04) Calcular la base y la altura del triángulo isósceles de perímetro
8 y área máxima.
7) Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función
f(x) = 4x2 – x3 en el intervalo [1, 3].
8) (Sep 05) Dada la función x
1f(x) = , se pide:
a) Hallar la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto
(a, f(a)) para a > 0.
b) Hallar los puntos de corte de la recta tangente hallada en el apartado
a) con los dos ejes de coordenadas.
c) Hallar el valor de a > 0 que hace que la distancia entre los dos
puntos hallados en b) sea mínima.
9) Dada la función 2xx·ef(x) −
= , estudia intervalos de crecimiento y
máximos y mínimos relativos.
10)Determine los coeficientes a y b de la función f(x) = x3 + ax + b, de
manera que f tenga un mínimo relativo en x = 1 y que el valor mínimo
relativo que alcanza en ese punto sea 3.
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APLICACIONES DERIVADAS CCNN
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11)Dada la función ��
���
�=
a
xln
2
xf(x)
2
, donde a > 0 es un número fijo, estudiar
concavidad y convexidad.
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LÍMITES Y CONTINUIDAD CCNN
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Calcular los siguientes límites:
1) a) 2x
86xxlim
2
2
x −
+−
∞→ b)
1x
1xlim
2
4
x −
−
∞→ c)
1x
1xlim
7
5
x −
−
∞→
2) a) 3x
3lim
3x −→ b)
1x
12xlim
1x +
+
−→ c)
20x x
1lim
→
3) a) 4x
x4xlim
2
4x −
−
→ b)
1x
1xlim
2
3
1x −
−
→
4) a) 1x1
xlim
0x +−→ b) )xxx(lim 2
x−+
∞→ c) ��
�
����
�−
+∞→x
1x
xlim
2
x
5) Calcular: 0x
lim→
(1 – cos x) · cotg x
6) Calcular el siguiente límite: x
0x))x2(sen(lim
+→
7) Calcular: xsen
1
0x)x1(lim +
→
8) (Sep 06)
a) Calcula los valores de a y b para que la función:
��
�
>+
≤≤+
<+
=
�xsibax
�x0si2acosxx
0xsi23x
f(x)2
2
sea continua para todo valor de x.
b) Estudiar la derivabilidad de f(x) para los valores de a y b obtenidos en el
apartado anterior.
9) (Jun 05) Calcula los siguientes límites:
)xxxx(lim 22
x−−+
∞→ b) �
�
��
�−
∞→ 2
�)arctg(ex·lim x
x
10) (Jun 03) Calcula los siguientes límites (donde “ln” significa Logaritmo Neperiano).
)ln(cos(2x)
)ln(cos(3x)lim
0x→ b)
4x
x4x4lim
0x
−−+
→
11) Calcular los siguientes límites:
2x0x )1e(
xcos1lim
−
−
→ b)
senx
1xelim
x
0x
−−
→ c)
2
x·cos
2
xsen
xcos1lim
0x
−
→
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REPRESENTACIÓN GRÁFICA CCNN
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Representar gráficamente las siguientes funciones:
1) a) x2xxf(x) 23+−= b) xxxf(x) 23
+−=
2) a) 1x
1-xf(x)
+= b)
x
1xf(x)
2+
= c) 1x
1f(x)
2+
=
3) a) ( ) x·ex1f(x) += b) 4)ln(xf(x) 2−= c) x·senx-cosxf(x) =
4) x1
xf(x)
+=
5) 2x5x·f(x) −=
6) x9x6x)x(f 23−−=
7) 2xf(x) 2−=
8) 1x
xf(x)
2−
=
9) ·lnxef(x) x=
Tenéis dibujadas las gráficas en: http://www.acienciasgalilei.com/mat/graf-func0.htm
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TABLA DE INTEGRALES Yr 13
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f,g: funciones (contienen x)
K y C: constantes (números)
1) � += Cxdx
2) ( )� � �±=± dxgdxfdxgf ···
3) � �= dxfKdxfK ····
4) � −≠++
=+
)1(1
·'·1
kCk
fdxff
k
k
5) � += Cfdxf
fln·
'
6) � += Cedxef ff ·'·
7) � += CK
KdxKf
f
f
ln·'·
8) � +−= Cfdxsenff cos·'·
9) � += Csenfdxff ·'·cos
10) � += Cftgdxff ·'·sec2
11) � +=−
Cfarcsendxf
f21
'
12) � +=−
−Cfdx
f
farccos
1
'2
13) � +=+
Cfarctgdxf
f·
1
'2
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INTEGRALES
1. dxx3∫ 2. dx
3
x3
∫ 3. dx6
x4
∫
4. dx3)+x( 3∫ 5. dx)x
1-2x+x( 2∫ 6. dx
x
1+x-x23
∫
7.x
dx2
∫ 8.
x
dx5
∫ 9. dxx
3+2x-x6
4
∫
10. dx3
x4 3
∫ 11.4 x
dx∫ 12. dxx3+x
3
8 3
∫
13. dx1)+x(x3∫ 14. dxcosx)8+ senx2-x( 2∫ 15. dxx
1+e
x
∫
16.xx
dx∫ 17. dx
x
3)+x(1)+(x3
2
∫ 18. dxx)+cosx+x( 2sec∫
19. dxxtg2∫ 20. dx
x
1+x
∫ 21. dx
xxsen
xsen-x22
22
cos
cos∫
22. dxx
e+1e
-xx
∫ 23. dx35
xx∫
24. dxx+1
3-
x-1
122∫
25.xxsen
dx22
cos∫ 26. dx
xsen
xsen-22
3
∫ 27. ∫ 2+3x
dx
28.x-3
dx∫ 29.
x+2
dxx2
∫ 30.
)1+(x
dx23
∫
31.x+1
dxx3
2
∫ 32.
xsen+3
dxsen2x2
∫ 33.
1+6x-x
dx3)-(x
2∫
34. dxe+2exx∫ 35. dx
x
xln∫ 36. dx1+xx
32∫
37. dx5xsen∫ 38. dxx6x 2cos∫ 39.
xsen+1
dxx2
cos∫
40.xtg-1x
dx
22cos∫ 41. dxex x4 5
∫ 42.
x+1
dx)x(48
3
∫
43. dx2x∫ 44.
9+x
dx2
∫ 45. dxe7x∫
46. dx)e+e( -xx∫ 47.
x
e x
∫ 48. dxe
xxsen
cos∫
49.x-25
dx
2∫ 50.
9+x2
dx2
∫ 51. dx)5+(2x 9∫
52.x+1
dx)(arctgx2
3
∫ 53. dxxxsen5 cos∫ 54. dx
xsen
x
3 2
cos∫
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55.xx
dx
ln∫ 56. dx
x
xcos∫ 57. dx)e+e( 2-xx∫
58.x-1)x(
dx
23arccos
∫ 59. dxxx+5
x+1
ln
ln∫ 60. dx
x
tgx+xtg2
2
cos∫
61. dx senxcosx∫ 62. dxeexe
x
∫ 63. dxeexx cos∫
64.1+)1+(x
dx2
∫ 65. dxcosx
xsen3
∫ 66.
x
dxsenlnx∫
67.x+2
dxx6
2
∫ 68. dxx-1x
dx
2ln
∫ 69. dxx
x+3∫
70. dxxsen
x3
3cos∫ 71. dxex x-3 4
∫ 72. dx1+e2-e
ex2x
x
∫
73.x-1
dxx
4∫ 74. dxx+1x 2∫
75. dxtgxx)( cosln∫
76. dxxx
x)(
ln
lnln∫ 77. dx
x
e2
xtg2
cos∫ 78. dx
x
senx2
cos∫
79. dx2x-2
xsen2
cos∫ 80. dxxxsen
23cos∫ 81. dx
e
xxsen
cos∫
INTEGRACIÓN POR PARTES
82. dx senxx∫ 83. dx3xx cos∫ 84. dxxx2 ln∫
85. dxexx3∫ 86. dxex
3x2∫ 87. dxex x∫
88. dxarcsenx∫ 89. dx2x+1x∫ 90. dxarctgxx∫
91. dx senxx2∫ 92. dx)x( 2ln∫ 93. dx)x( lnsen∫
94. dxxx ln∫ 95. dxarctgx∫ 96. dxxx2 cos∫
97.x+1
dxx∫ 98. dxx)sen( ln∫ 99.
x
dxx2cos
2∫
100. dxx
xln∫ 101. dxex)-x( -x2∫ 102. dxex x3 2
∫
103. dxxln∫ 104. dxxex cos∫ 105. dxxsene
x∫
106. dxex -3x∫ 107.
x
dxx2
cos∫ 108. dxcosxx∫
109. dxx
x3
ln∫ 110. dx senxx
2∫ 111. dxxe-3x cos∫
112. dx)x(x 2ln∫ 113. dxxx3 ln∫ 114. dx
x
x)( lnln∫
115.x-1
dxx∫ 116. dx3)senx-(x∫ 117. dx)x+1+(x 2ln∫
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118. dxx-1
arcsenxx
2∫ 119. dxarcsenxx 2∫ 120. dx)(lnxx 2∫
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
121. dxx
x
2
32
+
−∫ 122.
4-x
dx2
∫ 123. dx6-x+x
1-x2
∫ 1
124.6+5x+x
dx22
∫ 125. dx)1-(xx
1+x2
∫ 126.
2x+x
dx2
∫ 2
127. dx6-x+x
1+x2
2
∫ 128. dxx+x
1-x2
3
∫ 129. dx1-x
1+x2
2
∫ 3
130.1)+(xx
dx2
∫ 131.
9-x
dx2
∫ 132.
1)+(x)1-(x
dxx2
∫ 4
133.2)+(x1)-(xx
dx6∫ 134. dx
x+x2-x
1+x-x23
2
∫ 135. dx1+x
1-2x+x2 2
∫ 5
136.4+x3-x
dx7x)-x(223
2
∫ 137.
3-2x+x
dx4)+(2x2
∫ 138.
3)+(x)2-1)(x+(x
dx2
∫
139.x+x
dx23
∫ 140.
)1+(x)2-(x
dx5)+2x+x(322
2
∫ 141. dx4x-x
8-x+x3
45
∫
142. dx1+x
1-x2
2
∫ 143.
4x+x4-x
dx8)-(x23
∫ 144. dx2-x5+x4-x
1+x23
∫
145.x+x+x
dx23
∫ 146.
4+x
dx2
∫ 147.
5+2x-x
dx2
∫
148.1-x
dx33
∫ 149. dx25x+x6-x
25+2x-x523
2
∫ 150.
1)+x()1-(x
dx2x-22
∫
INTEGRALES VARIADAS
151. dx3)-2x+x3+x( 23∫ 152. dx3)+e( x∫ 153. dxx
1+
2x
1-x+e 23
3x-
∫
154. dxexx2∫ 155.
)1+(3x
dx4
∫ 156. dx)x2/3+(3x+5
x2+33
2
∫
157.)x+x(
dx1)+(2x32
∫ 158. dxx
x2
cos∫ 159.
e+e
dx5x-x
∫
160. dxx)xtag+(1 22∫ 161. dxxsen2∫ 162. dxxtag
2∫
163. dxx)tag+(3 2∫ 164. dxx
x
−
+∫1
1 165. dxxx+2 2∫
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166. dx senx+1
cosx5∫ 167. dx
e
1+e+ex
x3x
∫ 168.
x-9
dx
2∫
169.1+x
dxx32
3
∫ 170. dx3
5x
x
∫ 171. dxx
x2
ln∫
172. dx4x
4+
xsen
x6232
2
∫
cos173.
e
dx1+2x
∫ 174.
4+x
dx2
∫
175.4+x
dxx3
2
∫ 176. dxe+1
e6x
3x
∫ 177. dx(-5x)e x-5 2∫
178. dxx
tgx2
cos∫ 179. dxtgx∫ 180. dx sen2x)3-5x( cos∫
181.)3+x(+1
dxx22
∫ 182. dxx
xln∫ 183. dxcosx)e-(x x∫
184. senx-1
dx∫ 185. dxcosxe
senx∫ 186. dxxxsen33
cos∫
187. dx)x+(1x 2cos∫ 188.
)x+(1x
dx∫ 189. dx
9-x
9+x2
∫
190. dxe+2
e5x
x
∫ 191. dxx-x
x-x3
∫ 192.
xsen-1
dx2
∫
193.x+x
dxx∫ 194. dx
x
xtg2
3
cos∫ 195. dx
x
e2
tgx
cos∫
196. dxx5+9
2x2
∫ 197. dx1+x
1+3x+x+x2 23
∫ 198. dxcosxsenx
xsen+1 2
∫
199. dxxsen
cosx3
∫ 200. dxx-1
dx2x
4∫
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EJERCICIOS DE FUNCIONES CCNN
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1) (Jun 07) Dada la función 4x
12xf(x)
2
2
+
−= calcular el área de la región
acotada encerrada por su gráfica y el eje OX.
2) (Sep 06) Calcular � +
2
1
2 2xx
dx
3) (sep 06) Dada la función 2xxef(x) = , se pide:
a) Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de
crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos,
intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.
b) Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f(x)
entre 1x1 ≤≤− .
4) (Jun 06)
a) Estudiar y representar gráficamente la función: ( )2
2-x
1f(x) =
b) Hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica
de la función anterior y las rectas y = 1, x =2
5
5) (Sep 05) Se considera la función:
( )21)(
x
x
e
exf
+=
a) Calcular los extremos locales y/o globales de la función f(x).
b) Determinar el valor del parámetro a tal que: � =
a
04
1dx)x(f
6) (Jun 05) Sea f(x) una función derivable en (0, 1) y continua en [ ]1,0 , tal
que f(1) = 0 y � =
1
0
1dx)x´(xf2 . Utilizar la fórmula de integración por partes
para hallar �1
0
dx)x(f .
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EJERCICIOS DE FUNCIONES CCNN
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7) (Jun 05) Calcular un polinomio de tercer grado dcxbxaxxp +++=23)(
sabiendo que verifica:
a) Tiene un máximo relativo en x = 1.
b) Tiene un punto de inflexión en el punto de coordenadas (0, 1).
c) Se verifica: 4
5dx)x(p
1
0
=� .
8) (Sep 04) Sea la función ( )22 1xx
1x2)x(f
++
+= .
a) Hallar sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.
b) Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida
en el apartado anterior, teniendo en cuenta, además, que f tiene
exactamente tres puntos de inflexión cuyas abscisas son
2
31xy
2
1x,
2
31x 321
+−=−=
−−= respectivamente.
c) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el
eje OX, la recta x = 0, y la recta x = 2.