Table des matières

Remerciement 3

Résumé 4

Abstract 5

1 Introduction 61.1 Complémentaire santé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Contrats collectifs et contrats individuels . . . . . . . . . . . . 61.1.2 Frais d’optique et le financement . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 L’ANI et la réforme « contrat responsable » . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Les phénomènes de « sélection adverse » et « risque moral » . . . . . 10

2 Méthodologie de la tarification 122.1 L’approche « Fréquence × coût » traditionnelle . . . . . . . . . . . . 122.2 Tarification « Fréquence × coût » avec le modèle GLM . . . . . . . . 13

3 Présentation du portefeuille 173.1 Présentation des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Démographie du portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.3 Présentation du risque optique dans le portefeuille . . . . . . . . . . . 18

3.3.1 Les formes de garanties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.2 La consommation des frais d’optique et le remboursement

dans le portefeuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4 Etudes statistiques et traitements des variables 214.1 Variables-réponses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.1.1 Fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.1.2 Coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Variables explicatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.1 Effets uni-variés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2.2 Effets croisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2.3 Montant de garantie et le « risque moral » . . . . . . . . . . . 31

5 Construction du modèle de tarification en optique 325.1 Structure des modèles étape par étape . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1.1 Tarification des lunettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

5.1.2 Tarification des lentilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Construction des modèles, diagnostic et validation . . . . . . . . . . . 36

5.2.1 Modèle de fréquence des lunettes . . . . . . . . . . . . . . . . 365.2.2 Modèle multinomial logit pour prédire le type d’équipement . 425.2.3 Modèle de coût par type de verre et monture . . . . . . . . . . 445.2.4 Modèle de tarification des lentilles . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.3 Résultats du modèle de tarification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 L’impact de la réforme du « contrat responsable » 496.1 Comparaison des garanties avant et après la réforme . . . . . . . . . . 496.2 Comparaison du comportement de consommation des lunettes . . . . 506.3 Vérification de la significativité de l’évolution de comportement . . . 51

7 Le comportement de consommation : contrats collectifs vs. contratsindividuels 537.1 Comparaison de la démographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.2 Analyses statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.3 Comparaison du comportement avec le modèle GLM : collectif vs.

individuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.3.1 Fréquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587.3.2 Coût moyen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

8 Conclusion 62

9 Annexe 65

A Démographie 66

B Résultats des modèles 68

Note de synthèse 74

Summary 77

2

Remerciement

Je tiens à remercier à Jean-Charles Martin-Vivier qui m’avait confié le sujet demémoire pour sa confiance et son encouragement.

Je remercie infiniment à mon tuteur de mémoire à l’entreprise Ahmed OULDAHMED JIDDOU pour ses idées, son temps et sa patience.

Je remercie à Laurence BATTUT pour son idée sur la modélisation.

Je remercie à Chaojun LIU pour ses aides techniques sur les algorithmes mathé-matiques.

Je remercie à Gabriel PORTIER, Iris WENCEL, Mickael MATIGNON pour sesaides pendant la réalisation de ce mémoire.

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Résumé

Le mémoire a été réalisé dans l’équipe santé au sein de la Direction Technique etMarketing Santé Collectives d’AXA Solutions Collectives. Le mémoire est composéde trois parties.

La première partie abordera la construction d’un nouveau modèle de tarificationsur les frais d’optique dans le portefeuille des contrats collectifs. Le modèle construitest préconisé de prendre en compte plus d’information que le modèle actuel et dedécrire mieux l’hétérogénéité du comportement de consommation dans la populationdes assurés. Nous utilisons le modèle GLM pour réaliser le nouveau modèle.

La deuxième partie du mémoire abordera l’impact de la nouvelle réglementation« contrat responsable ». Cette réforme en complémentaire santé est entrée en vi-gueur le 1er avril 2015 sur les contrats individuels. Elle est en train d’être mise enconformité progressivement sur les contrats collectifs jusqu’au 1er janvier 2018. Nouspensons que la réforme peut impacter fortement le comportement de consommationen optique à cause des planchers et des plafonds fixés par le gouvernement. Nouscomparerons la fréquence et le coût moyen avant et après la réforme.

La troisième partie du mémoire abordera la comparaison du comportement deconsommation des bénéficiaires dans les contrats collectifs et dans les contrats indi-viduels. Deux phénomènes économiques-le « risque moral » et la « sélection adverse» seront étudiés. Comme les contrats collectifs sont obligatoires alors que les contratsindividuels sont souscrits à volonté des assurés. On peut supposer que la « sélec-tion adverse » est négligeable dans les contrats collectifs. Si on suppose de plus queles souscripteurs des contrats individuels souscrivent leur contrat exactement selonl’anticipation des dépenses dans l’année prochaine et leur comportement correspondà leur anticipation, le « risque moral » peut être négligé dans les contrats indivi-duels. Par conséquent, selon nos hypothèses, la corrélation positive entre le niveaude garantie et la fréquence de consommations et le coût moyen peut être expliquéerespectivement par les deux phénomènes économiques dans les deux portefeuilles.

Mots clés

Complémentaire santé, frais d’optique, modèle linéaire généralisé (GLM), loi dePoisson, loi Conway-Maxwell-Poisson, simulation Monte Carlo, contrat responsable,sélection adverse, risque moral

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Abstract

The dissertation was made in the health team within the Collective TechnicalHealth and Marketing Department of AXA Collective Solutions. The brief is com-posed of three parts.

The first part will discuss the construction of a new pricing model for opticalcharges in the collective contract portfolio. The constructed model advocates takingmore information into account than the current model and better describing theheterogeneity of consumer behavior in the insured population. We use the GLMmodel to realize the new model.

The second part of the paper deals with the impact of the new "responsiblecontract" regulation. This complementary health reform came into effect on April1, 2015, on individual contracts. It is being gradually brought into compliance oncollective contracts until January 1, 2018. We believe that the reform can have astrong impact on consumer behavior in optics because of the fixed floors and ceilingsby the government. We compare the frequency and the average cost before and afterthe reform.

The third part of the thesis will deal with comparing the consumer behavior ofbeneficiaries in collective contracts with those in individual contracts. Two economicphenomena - "moral hazard" and "adverse selection" will be discussed. Collectivecontracts are compulsory, whereas individual contracts are subscribed at will to thepolicyholders. It can be assumed that "adverse selection" is negligible in collectivecontracts. If one assumes moreover that the subscribers of the individual contractssubscribe their contract precisely according to the anticipation of the expenses inthe next year and their behavior corresponds their anticipation, whereas the "moralhazard" can be neglected in the individual contracts. Therefore, according to our as-sumptions, the positive correlation between the guarantee level and the consumptionfrequency and the average cost can be explained by the two economic phenomenain the two portfolios, respectively.

Keys words

Complementary health, vision care, generalized linear model (GLM), loi de Pois-son, law Conway-Maxwell-Poisson, Monte Carlo simulation, responsible contract,adverse selection, moral hazard

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Chapitre 1

Introduction

1.1 Complémentaire santéLa complémentaire santé est un système d’assurance maladie qui complète celui

de la sécurité sociale. Elle intervient sous forme de remboursement partiel des soinsen complément de la prise en charge par la sécurité sociale.

La consommation totale en santé sont souvent classifiée en grandes catégories :soins hospitaliers, soins de ville, médicaments, transports et autres biens médicaux(Réf. DREES, Comptes de la santé). La catégorie hospitalisation pèse quasiment lamoitié de la consommation totale et les autres biens médicaux comprenant princi-palement l’optique et les prothèses en représentent environ 8%. (Figure 1.1 : gauche)

Nous remarquons que la proportion du financement de la sécurité sociale esttrès déséquilibrée dans les différentes catégories. (Figure 1.1 : droite) Sur les soinshospitaliers et les transports, la proportion du remboursement de la sécurité socialeest supérieure à 90%, alors que sur les autres biens médicaux, la sécurité sociale nerembourse que 43%. Sur les postes qui ne sont pas bien remboursés par la sécuritésociale, la proportion du financement de la complémentaire santé augmente pourcompenser.

1.1.1 Contrats collectifs et contrats individuels

Il existe deux types de contrat en complémentaire santé selon la norme d’adhé-sion : les contrats à adhésion collective et les contrats à adhésion individuelle.

Le souscripteur d’un contrat individuel est une personne physique alors que ce-lui d’un contrat collectif peut être une personne physique (par exemple le directeurd’une entreprise) ou une personne morale qui représente une entreprise.

La souscription d’un contrat individuel n’est pas obligatoire. Les individus sous-crivent à volonté et peuvent choisir la gamme de garantie. Les primes sont prélevéessur les comptes individuels.

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Figure 1.1 – Consommation totale des soins et biens médicaux et financement en2015

Depuis la rentrée en vigueur le 1 janvier 2016 de la loi ANI (Accord nationalinterprofessionnel), les entreprises du secteur privé sont obligées de proposer à sessalariés une mutuelle collective (un contrat de base). Le règlement des primes surce contrat de base se réalise souvent par un compte d’entreprise. Les salariés nesont en général pas en mesure de choisir la gamme de garantie du contrat de base,mais peuvent éventuellement choisir de rajouter des options supplémentaires. Cescontrats d’option ne sont pas concernés dans l’étude présente.

1.1.2 Frais d’optique et le financement

Les frais d’optique comprennent les frais sur les lunettes et les frais sur les len-tilles. Les lunettes sont plus consommées que les lentilles.

Selon la sphère et le cylindre, les verres des lunettes peuvent être classifiés en 3classes : verres simples, verres complexes et verres très complexes.(Figure 1.2) Selonla combinaison des deux verres sur un équipement de lunettes, nous pouvons avoir6 types d’équipement. Nous les codons avec une lettre et un chiffre, de C1 à M3.(Figure 1.3)

Figure 1.2 – Types de verre selon la sphère et le cylindre

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Figure 1.3 – Codage des types d’équipement des lunettes

La proportion du remboursement de la sécurité sociale en optique est très faiblepar rapport à la proportion moyenne du remboursement de la sécurité sociale dansla consommation totale en santé (4% contre 78,3%, Réf. Figure 1.4 : gauche). Onconstate dans le même graphique que le remboursement de la complémentaire santéreprésente 72% des frais totaux. Si on regarde la distribution du financement desfrais d’optique selon l’année (Figure 1.4 : droite), nous remarquons une croissanceforte du pourcentage de financement de la complémentaire santé et une décroissancede celui de la sécurité sociale.

Figure 1.4 – Financement des frais d’optique. (Sources : Challenges.fr, DREES)

Il est intéressant de noter que le risque d’optique a ses spécificités par rapportaux autres postes médicaux :• La consommation des lunettes (le risque optique) dépend non seulement à la

dégradation de vue (le vrai besoin), mais aussi à l’envie de l’assuré de changerde lunettes pour d’autres raisons que l’évolution de vue (pour l’apparence parexemple).• La consommation est très élastique à cause de l’existence de toute la gamme

des lunettes sur le marché optique. L’assuré a un très grand choix selon sonniveau de garantie et son revenu.

Comme le risque optique est lié non seulement à l’état de santé de l’assuré(l’étatde vue), mais dans une large mesure au comportement de l’assuré et le marché

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d’optique, l’assureur doit faire attention à la stratégie pour fixer les garanties et doitprendre en compte ces facteurs mentionnés pour la tarification.

1.2 L’ANI et la réforme « contrat responsable »Les deux réglementations les plus récentes en complémentaire santé sont la loi

ANI et la réforme dite « contrat responsable ».

L’accord national interprofessionnel (ANI) a été signé le 11 janvier 2013. Le butde l’accord est la généralisation de la protection sociale collective dans les entreprisesdu secteur privé. A partir du 1er janvier 2016, tous les entreprises du secteur privésont obligées de proposer des mutuelles à ses salariés. De plus, la loi ANI définie descouvertures minimales sur certaines catégories médicales : y compris des planchersdu forfait optique. (Figure 1.3)

Figure 1.5 – Planchers et plafonds de remboursement en forfait des lunettes fixéspar la loi ANI et le contrat responsable

La réforme « contrat responsable » impacte les contrats collectifs ainsi que lescontrats individuels. La mise en conformité des contrats individuels est déjà terminée(le 1er avril 2015) et celle des contrats collectifs est en cours jusqu’au 1er janvier 2018.La réforme intervient aux plusieurs catégories médicales dont :• Consultation : Le remboursement des dépassements d’honoraires des médecins

du secteur 2 non-adhérents au contrat d’accès aux soins (CAS) est plafonné à125% en 2015 et 2016 et à 100% à partir de 2017.• Optique : La réglementation fixe des planchers et surtout les plafonds de prise

en charge des forfaits optiques. (Figure 1.3) Le remboursement maximal sur

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la monture est fixé à 150 euros. De plus, la réglementation limite le forfait op-tique de la complémentaire santé à un seul équipement tous les 2 ans pour lesadultes et un équipement par an en cas de l’évolution de la correction visuelleou pour les enfants de moins de 18 ans.

Ces décrets sont pour les buts de :• Lutter contre les dépassements d’honoraires des médecins libéraux.• Lutter contre les dérapages tarifaires parfois rencontrés chez les opticiens.

Les contrats qualifiés de « responsable » sont inférieurement taxés que les non-responsables (7% contre 14%). Pour bénéficier de l’avantage fiscal, les assureursajustent les garanties des anciens contrats pour respecter les conditions de quali-fication. Par exemple, l’assureur doit réduire la prise en charge des dépassementsd’honoraire sur les anciens contrats haut de gamme et corriger le montant de forfaitoptique pour respecter les fourchettes autorisées de la prise en charge.

En optique, nous attendons un fort impact de la réforme sur la consommationen optique à cause de la forte élasticité des dépenses sur les lunettes.

Une comparaison des garanties et la consommation des frais d’optique avant etaprès la réforme du « contrat responsable » sera abordée dans Chapitre 6.

1.3 Les phénomènes de « sélection adverse » et «risque moral »

Le phénomène de « sélection adverse » se manifeste avant la souscription ducontrat et est conduit par l’asymétrie de l’information sur le type de risque (parsimplification : haut risque et bas risque) entre l’assuré et l’assureur, dans un mar-ché où les assurés peuvent choisir librement le contrat d’assurance (le cas des contratsindividuels).

Les assurés connaissent mieux leur type de risque et choisissent le contrat d’assu-rance selon leur risque et leur préférence face au risque. Par conséquent, si l’assureurpropose un niveau moyen de garantie correspondant au risque moyen de la popula-tion totale, le contrat va séduire seulement les hauts risques. Finalement, l’assureursubirait de la perte car le vrai niveau de risque dans le portefeuille est le haut risqueau lieu du risque moyen.

Pour lutter contre la « sélection adverse », l’assureur doit différencier les ga-ranties pour les hauts risques et les bas risques. Comme l’assureur ne connaît pasparfaitement le type de risque de chaque individu, il peut construire des contratsavec différentes garanties et laisser les assurés à choisir le contrat qui correspond àleur type de risque. Ainsi, le choix de l’assuré peut exposer son type de risque. Par

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conséquent, l’assureur est en mesure de prendre en compte l’effet de la « sélectionadverse » en intégrant le niveau de garantie choisi par l’assuré dans les variablesdéterminant le tarif.

Dans les contrats collectifs, les assurés ne peuvent pas choisir le niveau de ga-rantie. L’effet de la « sélection adverse » est donc négligeable. En revanche, il fautfaire attention à un autre phénomène qui peut y exister : le « risque moral ». Il sedifférencie de la « sélection adverse » par sa caractéristique « post-contractuelle ».Plus précisément, le comportement de consommation de l’assuré peut évoluer selonle niveau de la couverture sur le risque. Autrement dit, si le coût de sinistre pourl’assuré est plus faible, l’assuré peut faire moins d’attention à éviter le risque etengendre donc un coût total de sinistre plus élevé. Mais cette action n’est pas obser-vable par l’assureur. En optique, particulièrement, les assurés qui ont un bon niveaude garantie s’intéresse à profiter la garantie dans la plus grande mesure possible.

Strictement dit, le « risque moral » peut coexister avec la « sélection adverse» dans des contrats individuels. Mais il est difficile pour l’assureur de distinguerles deux phénomènes qui sont liés aux caractéristiques et comportements cachés àl’assuré propre. Par contre, en optique, il serait raisonnable de considérer que la« sélection adverse » domine le « risque moral » en supposant que les individusconnaissent parfaitement leur type de risque et la fourchette de prix des lunettesqu’ils vont consommer au moment de la souscription.

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Chapitre 2

Méthodologie de la tarification

La tarification d’un risque se base principalement sur la loi des grands nombreset certaines hypothèses :

Supposons que pour chaque type de risque, le montant des sinistres d’un individui pendant la période t soit une variable aléatoire Si.

Supposons que P soit la prime pure pour la période que l’assuré doit payer pource type de risque. Le but est de minimiser l’écart moyen entre tous les montants desinistres possibles et la prime pure :

Min E[(Si − P )2]

Nous donnons le résultat sans démonstration que la prime pure P cherchée est l’es-pérance mathématique des sinistres pour chaque individu E[Si].

Au sein d’une population homogène par rapport au risque étudié, la prime purepeut être estimée par la moyenne des sinistres observés S parce que l’espérance d’unevariable aléatoire peut être approchée par la moyenne d’une série des observationsdes variables aléatoires iid, selon la loi des grands nombres.

2.1 L’approche « Fréquence × coût » traditionnelleLes modèles « fréquence × coût » représentent des modèles qui modélisent sépa-

rément la fréquence de survenances et le montant de sinistre de chaque survenanceen les supposant indépendants :

Soit variable aléatoire X ij le montant du jème sinistre en catégorie d’acte i, Ni le

nombre de survenance annuel des sinistres en catégorie i. Donc pour chaque catégoriei :

Si =

Ni∑j=1

X ij

Le modèle repose sur deux hypothèses :

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— Les variables X ij(j ∈ [0;Ni]) sont indépendantes et identiquement distribuées

— X ij(j ∈ [0;Ni]) et Ni sont indépendantes, soit les fréquences et les coûts sont

indépendantsDonc, pour estimer le sinistre annuel du risque de catégorie i Si, nous calculonsl’espérance :

E(Si) =∞∑k=1

P (Ni = k)× E[k∑

j=1

X ij]

E(Si) = [∞∑k=1

P (Ni = k)× k]× E[X i1]

D’où nous avons :E(Si) = E[Ni]× E[X i

1]

Le produit de la fréquence et le coût moyen est souvent effectué dans un certainnombre de sous-populations. En générale, le nombre de sous-populations n’est pastrès grand et donc cette méthode ne peut pas bien capturer l’hétérogénéité de lapopulation.

Une autre limitation du modèle « fréquence × coût » traditionnel est que ladistribution de la variable réponse n’est pas considérée. Alors que les distributionsde la fréquence et du coût sont très utiles pour faire les simulations pour prédire lescénario central et des scénarios moins fréquents des sinistres.

2.2 Tarification « Fréquence × coût » avec le modèleGLM

Le modèle de tarification « fréquence × coût » avec GLM est toujours un mo-dèle « fréquence × coût ». Mais les deux variables réponses sont modélisée par deuxmodèles GLM avec différentes hypothèses.

Le modèle linéaire généralisé (GLM)[6] est considéré comme une généralisationdu modèle linéaire Gaussien.

Rappelons qu’un modèle linéaire classique s’écrit :

Y = Xβ + ε

Où Y est la variable à modéliser, on l’appelle variable réponse.

X est une matrice de n× p, où n est la taille d’échantillon. Chaque ligne corres-pond un individu i, p−1 est le nombre de variables observées pour prédire la variableréponse, soit les variables explicatives ou variables prédicateurs. La première colonnede la matrice X est un vecteur avec tous les éléments égaux à 1.

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β est un vecteur de dimension p, chaque élément représente le paramètre à es-timer pour la variable explicative correspondante, le premier élément représente leterme constant dans le modèle.

Le terme Xβ est donc une combinaison linéaire des variables prédicateurs. Au-trement dit, les effets des variables explicatives sur la variable réponse sont supposésadditifs.

ε est le terme d’erreur.

On cherche donc à prédire E(Y |X) = Xβ.

Notons µi l’espérance de Y pour l’individu i, nous avons pour chaque individu :

µi = x′iβ

Où xi est un vecteur dont chaque élément représente la valeurs des variables expli-catives de l’individu i.

Le modèle GLM applique une fonction de lien g(·) sur l’espérance conditionnellede la variable réponse et la modélise par une combinaison linéaire :

g(E(Y |X)) = Xβ

Pour chaque individu, nous avons :

g(µi) = x′iβ, µi = g−1(x′iβ)

Les observations yi sont supposées suivre une loi de la famille exponentielle.Unedistribution appartient à la famille exponentielle si sa fonction de densité s’écrit sousla forme :

fY (yi|θi, φ) = exp(yiθi − b(θi)ai(φ)

+ c(yi, φ))

Où les fonction ai(·), b(·), et c(·) se distingue selon les formes de densité.

θi et φ caractérisent la loi de distribution de la variable réponse de l’individu i. φest appelé paramètre de dispersion. Dans le modèle GLM, le paramètre est supposéindépendant des individus.

Quand la densité est de la forme exponentielle, les propriétés des lois dans lafamille exponentielle nous donnent :

E(yi) = µi = b′(θi), V ar(yi) = b′′(θi)φ

Pour chaque lois de la famille exponentielle, l’espérance µ et le paramètre θpeuvent être reliés par une fonction de lien dite canonique g∗(·), qui est tel queg∗(µ) = θ, soit g∗(·) = b′(·)−1.

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L’application d’une fonction de lien permet tout d’abord à assurer les valeursde prédiction g−1(Xβ) rester dans des limites raisonnables. Elle peut aussi changerles caractéristiques des effets des variables explicatives sur la variable réponse. Parexemple, en appliquant une fonction de lien log(·) sur la variable réponse dans unmodèle linéaire classique, le modèle additif est transformé à un modèle multiplicatif.

Selon le type de la variable réponse, nous avons différents choix sur la loi d’hy-pothèse. Il faut noter que l’hypothèse de la loi pour la variable réponse sert nonseulement à estimer la moyenne de la variable réponse conditionnelle aux variablesexplicatives, mais aussi à estimer la dispersion qui est nécessaire pour obtenir l’in-tervalle de confiance.

Pour modéliser les variables de comptage(la fréquence), les lois les plus utiliséessont la loi de Poisson et la loi binomiale négative.

La loi de Poisson est la loi la plus utilisée pour modéliser la fréquence. Une hy-pothèse forte rapportée par une des propriétés de la loi de Poisson est l’égalité dela moyenne et la variance (dite « équidispersion »). Par contre, les données réellespeuvent présenter de la sur-dispersion(avec une variance supérieure à la moyenne) oude la sous-dispersion. La sur-dispersion est plus considérée dans la pratique car unevariance plus importante signifie qu’il est plus difficile de couvrir le risque à un ni-veau souhaité. En revanche, il ne faut pas négliger le phénomène de sous-dispersion.Si les données présentent de la sous-dispersion, il faut décrire la réalité pour corres-pondre aux vraies observations.

La loi binomiale négative est souvent considérée quand les données présentent dela sur-dispersion car le paramètre de dispersion est obligé d’être supérieur à 1 dansla loi binomiale négative. Mais elle n’est pas pertinente pour modéliser des donnéesprésentant de la sous-dispersion pour la même raison.

Pour modéliser les données sous-dispersées, la distribution Conway-Maxwell-Poisson (CMP)[4] peut être utilisée. La distribution peut être considérée comme uneloi de Poisson ajustée par un paramètre de dispersion. L’avantage d’une régressionavec la distribution CMP est qu’elle peut non seulement modéliser les données sur-dispersées, mais aussi les données sous-dispersées car son paramètre de dispersionest autorisé de prendre des valeurs supérieures ou inférieures à 1. Un des inconvé-nients est que la forme de la loi fait intervenir la somme des séries infinies, qui rendcompliqué le calcul et engendre de la charge lourde dans les logiciels informatiques.

Dans notre modèle de fréquence, nous allons étudier la dispersion des donnéesqu’on dispose et appliquer des modèles pertinents.

Pour modéliser les variables continues(le coût moyen), la loi Gamma et la loiinverse Gaussienne sont les plus utilisées.

La loi inverse Gaussienne suppose une dispersion plus importante que la loi

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Gamma : La fonction de variance est V (µ) = µ3 pour la loi inverse Gaussienne alorsque celle pour la loi Gamma est V (µ) = µ2.

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Chapitre 3

Présentation du portefeuille

3.1 Présentation des donnéesTrois bases de données des années 2015 et 2016 sur environ 20 000 contrats collec-

tifs sont utilisées pour réaliser les études dans ce mémoire : la base des assurés, la basedes prestations (consommations), et la base des garanties. Les variables essentiellessont présentées dans Table 3.1.(Voir Annexe Figure A.2 pour des exemples concrets)

3.2 Démographie du portefeuilleDans Figure 3.1, la pyramide des âges nous donne une vision globale sur la struc-

ture des âges dans le portefeuille. Comme les contrats collectifs concernent plus lessalariés, nous voyons la chute de l’exposition dans le portefeuille à partir de l’âgede 60 ans. La figure en bas à gauche montre la répartition des assurés par type debénéficiaire et par âge. Le pourcentage des conjoints commence à accroître forte-ment à partir de l’âge de 25 ans. Nous observons dans la figure en haut à droite quel’âge moyen et médian des conjoints sont plus élevés que ceux des assurés princi-paux. Mais une portée plus grande de l’âge des assurés principaux est remarquée.Les ascendants et les autres types de bénéficiaires représentent moins de 0,5% dansla population totale. On considère donc les fusionner avec les conjoints.

Les tableaux en bas à droite dans Figure 3.1 nous montre que le taux de fémi-nisme est plus élevé chez les conjoints alors que les hommes représentent 64% chezles assurés principaux.

La figure Annexe Figure A.1 nous présente la distribution géographique des bé-néficiaires. La carte est colorée selon l’exposition totale des bénéficiaires dans larégion. Nous remarquons que la plus part des bénéficiaires sont concentrés en Ile-de-France, Rhône-Alpes et Provence-Alpes-Côte d’Azur (PACA) où se concentrentles entreprises. Dans certaines régions comme la Corse, la Basse-Normandie et leLimousin, nous avons très peu de bénéficiaires dans le portefeuille.

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Base des assurésIdentifiant individuelNuméro du contratAge, sexeType de bénéficiaire Assuré principal,conjoint ou enfantRégion 22 modalitésRégime de prestations Régime général, agricole, Alsace-Moselle ou autresSecteur d’activité Activités financières, immobilier, etc. (12 modalités)CSP Cadre(C), non cadre(NC) ou l’ensemble de personnel(EP)

EP signifie que le contrat est souscrit pour les cadreset non-cadres

Base des prestationsIdentifiant individuelNuméro du contratCode d’acte code indiquant le poste médicalDate de soinsNombre d’actes Nombre d’actes remboursésFrais réels Frais réels en euros, c’est le prix totalRemboursement de la SécuRemboursement AXA remboursement complémentaire selon la garantie proposée

Base des garantiesNuméro du contratLibellé de la garantie indiquant le montant de garantie,

distinguant parfois des garanties réseau/hors réseau,distinguant souvent des garanties par type de verre

Table 3.1 – Présentation des bases de données

3.3 Présentation du risque optique dans le porte-feuille

3.3.1 Les formes de garanties

Il existe plusieurs expressions de garantie en optique. La plupart des garantiesdans notre base sont exprimées en pourcentage du PMSS (Plafond mensuel de lasécurité sociale). Le PMSS est un indice en euros revalorisé chaque année selon l’évo-lution des salaires. Il existe aussi des garanties en euros et en pourcentage de la basede remboursement (en euros) de la sécurité sociale. Finalement, nous avons réussi àtransformer toutes les formes de garantie en montant en euros.

Le montant de garantie des lunettes se distingue selon le type de verre car lesprix des différents types de verre sont très différents.

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Figure 3.1 – Démographie des bénéficiaires dans le portefeuille

Figure 3.2 – La consommation des frais d’optique et le remboursement dans leportefeuille

D’ailleurs, les montants de garantie peuvent aussi différer selon l’opticien où alieu la consommation. Il existe un réseau d’opticiens qui engage une relation parte-naire entre l’assureur et certains opticiens. Souvent, ces opticiens partenaires sontengagés à des tarifs négociés et des services supplémentaires pour offrir aux assurésun meilleur rapport qualité-prix. L’assureur propose parfois une meilleure garantiepour les équipements consommés dans le réseau que ceux consommés hors réseaupour encourager la consommation dans le réseau partenaire.

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3.3.2 La consommation des frais d’optique et le rembourse-ment dans le portefeuille

Dans notre portefeuille, 82% de la consommation totale en optique est rembour-sée par la complémentaire santé alors que ce pourcentage pour la sécurité socialen’est que de 3%. D’ailleurs, 90% des frais réels sont engendrés par la consommationdes lunettes. Nous constatons aussi un taux de remboursement de complémentairesanté légèrement plus élevée sur les lentilles (89% contre 81% sur les lunettes). (Fi-gure 3.2)

20

Chapitre 4

Etudes statistiques et traitementsdes variables

4.1 Variables-réponses

4.1.1 Fréquence

La fréquence annuelle d’un poste médical représente le nombre moyen de consom-mations dans l’année. Les lunettes sont généralement consommées par équipement,soit deux verres plus une monture. Donc, le nombre de consommations correspondau nombre d’équipements ou le nombre de monture. Il existe des consommationsconcernant des équipements « incomplets » (une seule monture ou un seul verre,etc.). Mais nous avons vérifié que ce cas concerne une population très faible dans labase et nous les considérons comme des équipements complets.

Dans la population totale, nous observons une fréquence des lunettes de 0,20 quisignifie que chaque individu consomme en moyenne 0,2 équipement dans l’année.

Plus précisément, nous donnons la distribution du nombre d’équipements partype d’équipement dans Table 4.1 : La plupart des équipements consommés sontdes équipements avec deux verres simples (le type C1). Les équipements de type C2et M1 occupent respectivement la deuxième et la troisième place. Les autres typesd’équipement sont rarement consommés. Nous considérons les fusionner avec le typeC2 dans la suite des études.

Une autre façon de décrire la fréquence des lunettes est de considérer séparémentles verres et les montures. La distribution du nombre de montures est identiqueavec la distribution du nombre d’équipements. Table 4.2 présente la distribution dunombre de verres par type : les nombres paires correspondent des lunettes consom-mées avec deux verres du même type, les nombres impaires sont créés par les lunettesachetées avec deux verres de types différents (un verre simple et un verre complexepar exemple). D’ailleurs, dans tous les verres consommés, les verres simples et com-plexes représentent respectivement 66,7% et 32,8%. Les verres très complexes sontrarement consommés.

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Combinaison des verres dans l’équipement Codage 0 1 2 3 4 5 Total2 verres simples C1 0 34665 323 12 3 0 350032 verres complexes C2 0 16322 121 10 3 1 164572 verres très complexes C3 0 173 0 1 0 0 1741 verre simple + 1 verre complexe M1 0 745 39 0 0 0 7841 verre simple + 1 verre très complexe M2 0 3 0 0 0 0 31 verre complexe + 1 verre très complexe M3 0 253 2 0 0 0 237Nulle consommation sur lunettes N 246528 0 0 0 0 0 246528Nombre total d’équipements consommés 246528 52143 485 23 6 1 299186

Table 4.1 – Distribution du nombre de lunettes consommées par individu selon letype d’équipement

Type de verre 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Verres simples 260396 962 36275 31 1487 2 16 0 17 0 0Verres complexes 279795 1193 17418 21 736 0 10 0 11 0 1Verres très complexes 298735 263 184 0 4 0 1 0 0 0 0

Table 4.2 – Distribution du nombre de verres consommés par individu selon le typede verre

Quant aux lentilles, le nombre de consommations n’est pas disponible. Nousconsidérons donc seulement si l’individu a consommé des lentilles dans l’année. Ainsi,la fréquence des lentilles correspond à la probabilité de consommer des lentilles pourchaque individu et peut aussi être interprétée comme la proportion des gens quiconsomment des lentilles dans l’année. Dans la base, nous constatons une fréquencedes lentilles de 0,05.

La consommation des lentilles est très faible par rapport à celle des lunettes.C’est à cause du fait que la consommation des lentilles est liée à l’habitude indivi-duelle et n’est pas nécessaire pour tout le monde. De plus, les gens supporteraientde plus en plus mal ce produit en vieillissant.

4.1.2 Coût

Le coût d’une paire de lunette peut se scinder en deux parties indépendantesconditionnellement au profil de l’assuré : le coût des verres et le coût de la monture.Table 4.3 nous montre que le prix unitaire des verres dépend fortement au typede verre : les verres complexes (243 euros par verre en moyenne) sont en moyenneplus chers que les verres simples (103 euros par verre en moyenne). Les verres trèscomplexes (317 euros par verre) sont encore plus chers mais présentent une disper-sion plus importante à cause du faible échantillon. Une monture coûte 175 euros enmoyenne.

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Le coût des lentilles correspond aux frais réels totaux annuels, dont la moyenneest de 213 euros.

Médian Moyenne Ecart-typeVerres simples 90 103 49Verres complexes 225 243 95Verres très complexes 299 318 119Montures 160 175 75Lentilles 192 213 117

Table 4.3 – Statistiques des coûts des verres, montures et lentilles

4.2 Variables explicatives

4.2.1 Effets uni-variés

Age

En général, l’effet d’âge joue un rôle très important ou même déterminant dans laconsommation en santé. En optique, nous envisageons une tendance d’augmentationdes dépenses par âge à cause de la dégradation de vue. Cette tendance est vérifiéesur la fréquence des lunettes dans le graphique en haut dans Figure 4.1. En mêmetemps, nous constatons trois pics de consommation : Le premier pic est observé chezles enfants de 8 à 10 ans qui représente l’évolution fréquente de renouvellements chezles adolescents qui ont le problème de myopie. La fréquence ré-augmente à partirde 20 ans et le deuxième pic est observé chez les adultes vers 28 ans. Ce sont pro-bablement les jeunes salariés qui travaillent toujours sur l’écran. Ensuite, une forteaugmentation de fréquence des lunettes commence vers 40 ans parce que à partirde ces âges, les gens commencent à avoir besoin aux verres progressifs pour voir deloin et de près. Le pic de consommation est observé dans la population de plus de55 ans où la fréquence s’élève à 0,31 équipements en moyenne par an. La consom-mation des verres progressifs chez les gens à partir de 40 ans est aussi confirmée parl’augmentation de la fréquence des verres complexes montrée dans le graphique enmilieu dans Figure 4.1 car la plus part des verres progressifs sont classifiés dans lesverres complexes.

La proportion de la population consommant des lentilles dans l’année ne suitpas exactement l’allure de la consommation des lunettes, les enfants de moins de12 ans consomment rarement de lentille. Un seul pic de consommation est observé.La proportion de population qui consomme des lentilles commence à augmenter àpartir de 12 ans et atteint au pic de 10% chez les adultes de 28 à 30 ans. Puis laproportion descend progressivement. (Réf. Figure 4.1)

Le graphique en bas dans Figure 4.1 présente le coût moyen par type de verreet monture, et le coût annuel des lentilles selon l’âge. Le coût moyen des verres

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Figure 4.1 – L’effet d’âge sur la fréquence et le coût moyen

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simples et celui des montures présentent des bosses chez les adultes de 28 à 30 ans.Le coût moyen des verres complexes et le coût annuel des lentilles ne présentent pasde tendance significative.

Pour décrire l’effet de l’âge sur la fréquence dans le modèle GLM, il n’est passuffisant de la mettre directement dans le modèle en tant que variable numériquesans traitement parce que l’effet d’une variable numérique est supposé linéaire sur latransformation de la variable réponse avec la fonction de lien. Nous pensons donc àrajouter une fonction de lissage à l’aide des « splines » [2] pour mieux décrire l’effetd’âge.

Nous avons essayé de différents nombres de paramètres pour la courbe de lis-sage : de 3 à 9. (Réf : Figure 4.2) Nous pensons que la courbe avec 9 paramètrescorrespond très bien l’allure initiale de l’effet d’âge. De plus, la courbe de lissageprésente en même temps une bonne régularité.

Figure 4.2 – Lissage d’âge dans le modèle de fréquence des lunettes

Sexe

En moyenne, les femmes consomment plus fréquemment de lunettes et la propor-tion de population consommant des lentilles est plus élevée chez les femmes, selon lesrésultats statistiques dans Figure 4.3. En revanche, le coût moyen unitaire des verreset des montures ne présente pas d’écart significatif dans la population féminine etla population masculine.

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Figure 4.3 – La fréquence et les coûts moyens par sexe

Régime de prestations

Nous avons principalement 4 régimes de prestations dans le portefeuille : le ré-gime général, agricole, Alsace-Moselle et TNS (travailleurs non-salariés). Le régimeAlsace-Moselle a une fréquence des lunettes proche du régime général. Les régimesagricole et TNS consomment moins fréquemment des lunettes que le régime général.Il faut noter toutefois que l’échantillon des régimes autres que le régime général esttrès faible par rapport à celui du régime général, car la plus part des entreprises sonten régime général.

Région

Nous avons 22 régions en France métropolitaine et l’exposition dans chaque ré-gion est très différente. Dans le modèle GLM, pour assurer la robustesse du modèleet éviter le problème d’« over-fitting », il faut éviter le faible échantillon dans chaquecase d’estimation (une case d’estimation est composée des bénéficiaires disposant lesmêmes observations des variables explicatives). Pour cette raison, il vaut mieux defaire le regroupement sur les variables avec trop de modalités.

Nous pensons qu’il est pertinent de faire le regroupement selon à la fois la fré-quence moyenne et le prix moyen des lunettes. Nous présentons les régions sur un gra-phique de dimensions fréquence-prix moyen des lunettes (Figure 4.4). Ile-de-Franceest remarquablement isolée des autres régions avec la fréquence la plus élevée et lecoût moyen le plus élevé. Poitou-Charente dispose un niveau de fréquence moyenpar rapport aux autres régions mais le coût moyen le plus bas. La classification desrégions se réalise avec l’algorithme k-means[3]. Pour choisir le nombre de groupes àretenir, on analyse graphiquement la somme des variances intra-groupes. La sommedes variances intra-groupes décroit avec l’augmentation du nombre de classes. Selonla règle du coude, nous pouvons retenir 5 groupes car l’augmentation du nombre

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de groupes à supérieure à 5 ne donne pas beaucoup d’avantage. Nous retrouvonsfinalement que l’Ile-de-France compose son propre groupe. Alsace et Lorraine oùapplique le régime Alsace-Moselle sont regroupées ensemble, ainsi que le PACA etle Rhone-Alpes. Zone 3 regroupe les régions où la fréquence de consommations estla plus basse tandis que Zone 2 regroupe les régions où la fréquence est plutôt élevéemais le prix n’est pas aussi élevé qu’en Ile-de-France.

Figure 4.4 – La classification des régions selon la fréquence et le prix moyen deslunettes

Secteur d’activité

La variable de secteur d’activité disposent 12 modalités. Les secteurs où pèsele plus l’exposition du portefeuille sont les secteurs d’immobilier, location et ser-vices aux entreprises, les secteurs en commerce, réparations automobiles et d’ar-ticles domestiques, ainsi que l’industrie manufacturière. Avec la même méthode declassification sur les régions, nous regroupons les secteurs d’activité en 4 classes desecteurs.(Figure 4.5)

Les activités financières, l’immobilier, l’éducation et des activités similaires sontclassifiées dans la même classe de secteur, et représentent la population qui consommentplus fréquemment des lunettes et consomment des lunettes les plus chères. Les acti-vités des transports et communications et l’industrie manufacturière consommentpresque aussi fréquemment des lunettes que les activités financières et immobi-lières, mais consomment des lunettes beaucoup moins chères. Le secteur construc-tion et l’industrie manufacturière consomment moins fréquemment des lunettes etconsomment des lunettes moins chères.

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Figure 4.5 – La classification des secteurs d’activité selon la fréquence et le prixmoyen des lunettes

Cadre ou non cadre

Cette variable dispose trois modalités : C (cadres), NC (non-cadres) et EP (l’en-semble de personnel). C signifie que l’individu est couvert par un contrat souscritpour seulement les cadres dans l’entreprise, où on déduit que l’individu est cadre.EP signifie que l’individu est couvert par un contrat souscrit pour tous les salariés etnous ne pouvons donc pas savoir si l’individu est cadre ou non-cadre. En calculantla fréquence moyenne et le coût unitaire moyen pour les cadres et les non-cadres,nous constatons qu’une fréquence de lunettes plus élevée chez les cadres. De plus,les cadres consomment plus de lunettes et des lunettes plus chères.

Garantie distinguant le remboursement réseau et hors réseau

Nous avons déjà présenté dans l’introduction que l’existence du réseau des opti-ciens partenaires est un engagement profitable pour les trois parties : l’assureur, lesopticiens et les assurés. En négociant les prix raisonnables et accessibles, les opti-ciens peuvent inciter plus de clients, l’assureur peut maîtriser mieux le montant deremboursement et les assurés peuvent trouver des lunettes de bon rapport qualitéprix.

Dans notre base, nous constatons tout d’abord un meilleur niveau de garantiesur les lunettes dans le réseau (en moyenne 1,2 fois plus que le montant de garantiedes verres hors réseau). (Figure 4.6)

De plus, nous observons une fréquence plus importance sur ces contrats distin-

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Figure 4.6 – Les montants de garantie dans les contrats distinguant les garantiesdans le réseau et hors réseau

guant le montant de garantie réseau et hors réseau. En même temps, nous constatonsque le prix moyen des verres est moins élevé dans le réseau des opticiens. (Figure4.7) En résumant, les contrats distinguant le montant de remboursement des lu-nettes dans le réseau et hors réseau incitent les assurés à consommer plus dans leréseau des opticiens.

Figure 4.7 – La fréquence et les coûts moyens des consommations sur les contratsdistinguant les garanties réseau et hors réseau et les contrats qui ne les distinguentpas

4.2.2 Effets croisés

Certaines variables peuvent impacter la variable réponse de façon corrélée. Parexemple, nous avons déjà vu l’allure de la fréquence selon l’âge et nous savons aussique la fréquence des femmes est plus élevée que les hommes. Mais, l’évolution del’effet d’âge est-elle identique chez les femmes que chez les hommes ? Les études deseffets croisés sont nécessaires.

Figure 4.8 nous présente que la fréquence des lunettes ne présente pas de diffé-rence significative pour les filles et les garçons avant l’âge de 8 ans ainsi que pour lespersonnes de plus de 60 ans. Par contre, la fréquence diffère fortement selon le sexedans la population de 8 ans à 60 ans. Donc, la différence de fréquence de lunettesdue au sexe n’est pas identique pour tous les âges. Le même phénomène est vérifié

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sur la proportion de population consommant des lentilles. Par contre, sur le coûtmoyen des lunettes et lentilles par âge, on ne trouve pas de différence significativeentre les femmes et les hommes.

Figure 4.8 – La fréquence des lunettes selon l’âge et le sexe

Il faut noter que le secteur d’activité et la variable distinguant cadre ou non-cadresont définis selon les caractéristiques professionnels des assurés principaux. Donc, lesdeux variables peuvent porter des effets plus importants chez les assurés principauxque les conjoints et les enfants. Par exemple, Figure 4.9 nous montre que l’écart desfréquences entre les cadres et non-cadres est moins important chez leur conjoint. Lesenfants des cadres et les non-cadres ne présente pas de différence significative sur lafréquence. Dans Figure 4.10, nous observons le même phénomène sur les classes desecteurs d’activité.

Figure 4.9 – La fréquence des lunettes par CSP et type de bénéficiaire

Par conséquent, la prise en compte des variables croisées (type de bénéficiairecroisée avec les deux variables) est nécessaire et permet d’isoler les effets de la CSPet le secteur d’activité chez les assurés principaux.

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Figure 4.10 – La fréquence des lunettes par classe de secteurs d’activités et typede bénéficiaire

4.2.3 Montant de garantie et le « risque moral »

A cause du phénomène de « risque moral » que nous avons présenté dans la pre-mière partie du mémoire, nous pensons que le montant de garantie peut impacter lecomportement de consommation car les assurés ont l’intérêt à consommer la totalitéde la garantie.

Nous créons le niveau de garantie en découpant le montant de garantie entranches de 50 euros.(Table 4.4) En présentant la fréquence de consommation deslunettes et le coût moyen par type de verre et monture selon le niveau de garantiedans Figure 4.11, on vérifie que le niveau de garantie a un impact positif sur lafréquence de consommation ainsi que les coûts moyens des verres et montures.

Donc, en intégrant la variable du niveau de garantie dans le modèle de tarifica-tion, nous prenons en compte l’effet du « risque moral ».

Niveau 0 Niveau 1 Niveau 2 Niveau 3 Niveau 4 ...[0,25) [25,75) [75,125) [125,175) [175,225) ...

Table 4.4 – Construction du niveau de garantie à partir du montant de garantie

Figure 4.11 – La fréquence et les coûts moyens selon le niveau de garantie

31

Chapitre 5

Construction du modèle detarification en optique

Un modèle de tarification sert à estimer la prime pure pour un acte médical pourun individu de caractéristiques données en fixant le niveau de garantie.

Nous tarifons tout d’abord les lunettes et ensuite les lentilles.

5.1 Structure des modèles étape par étape

5.1.1 Tarification des lunettes

Avant de construire du modèle de tarification « Fréquence × coût » , nous pen-sons à vérifier l’indépendance de la fréquence et le coût.

Nous comptons le nombre d’équipements par individu dans la population consom-mant des lunettes et calculons les frais réels moyens par équipement. La distributiondes frais réels selon le nombre d’équipements est présentée dans Figure 5.1.

Figure 5.1 – Vérification de l’indépendance entre la fréquence et le coût des lunettes

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En observant que 99% des consommants ont consommé un seul équipement etun peu moins de 1% en ont consommé deux. Dans ce cas-là, les observations rares en3, 4 ou 5 équipements risquent de biaiser fortement le test de corrélation. Par consé-quent, il vaut mieux de faire le t-test pour seulement les individus qui ont consommé1 ou 2 équipements où il y a assez d’échantillons. (Table 5.1). Nous constatons quela moyenne des frais réels pour les gens qui ont consommé un seul équipement est de475,1 euros et celle pour les gens qui ont consommé deux équipements est de 476,2euros. L’hypothèse nulle de l’égalité des moyennes dans les deux groupes n’est pasrejetée.

Welch Two Sample t-testdata : FR_moy[nb_equip == 1] and FR_moy[nb_equip == 2]t = -0.099008, df = 402.2, p-value = 0.9212alternative hypothesis : true difference in means is not equal to 095 percent confidence interval :-24.77612 22.40018sample estimates :mean of x mean of y475.054 476.242

Table 5.1 – T-test : L’indépendance de la fréquence et le coût des lunettes

Par conséquent, nous considérons que la fréquence des équipements et le coûtmoyen par équipement sont indépendants. La tarification de « fréquence × coût »est applicable.

Nous commençons par la modélisation de la fréquence. La structure du modèleest présentée en détail dans Figure 5.2. Le modèle de la fréquence nous prédira lenombre moyen d’équipements consommés selon les caractéristiques et le montant degarantie de l’individu intéressé.

En revanche, le modèle de fréquence ne peut pas prédire le type d’équipement àconsommer. En supposant que le type d’équipement est un caractéristique propre àl’individu et est indépendant de la fréquence des équipements, nous pouvons créer unmodèle multinomial Logit pour prédire les probabilités de consommer les différentstypes d’équipement.(Voir le schéma dans Figure 5.3) Le modèle intègre seulementles variables liées à l’individu propre (les variables liées à la garantie sont négligées).Finalement, à partir des variables individuelles, le modèle nous prédit les probabi-lités que l’individu va consommer les types d’équipement C1, C2 et M1. En fait, lemodèle multinomial Logit peut aussi prendre la catégorie la plus possible commela valeur de prédiction. Par contre, comme le type M1 est une catégorie de taillebeaucoup plus faible que les types C1 et C2, ce qui conduit au problème de « imba-lanced classification », la catégorie prédite serait jamais le type M1. C’est pour cetteraison que nous préférons garder toutes les probabilités comme valeurs de prédiction.

Ensuite, nous modélisons le coût moyen d’un équipement. Comme nous avons

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Figure 5.2 – Modèle de la fréquence des lunettes

vu dans la partie des statistiques descriptives, le prix des verres dépend fortementau type de verre. Par conséquent, le modèle GLM est réalisé par type de verre etmonture. Le coût moyen d’un équipement est obtenu par une reconstitution selon lacombinaison des verres de l’équipement. Le modèle est bien présenté dans Figure 5.4.

Jusqu’alors, pour chaque individu, nous pouvons prédire le nombre moyen delunettes à consommer, les probabilités d’avoir différents types d’équipement et lecoût moyen d’un équipement pour AXA par type d’équipement. Nous pouvons donccalculer sa prime pure pour le poste lunettes comme :

Nombre moyen d′equipements

×

(Pr(C1)× cout(C1) + Pr(C2)× cout(C2) + Pr(M1)× cout(M1))

5.1.2 Tarification des lentilles

Nous nous intéressons tout d’abord si l’individu consomme ou pas des lentillespendant l’année (variable réponse égale 1 ou 0), une régression logistique est perti-

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Figure 5.3 – Modèle multinomial Logit pour prédire les probabilités de consommerdes équipements de type C1, C2 et M1

nente pour étudier ce type de problème.

Ensuite, nous modélisons le coût total annuel des lentilles où un modèle GLMavec la loi Gamma ou la loi inverse Gaussienne peut être considéré.

Les variables explicatives sont identiques que celles utilisées dans le modèle detarification pour les lunettes.

Le tarif pour les lentilles est obtenu par :

Probabilite de consommer des lentilles

×

cout moyen annuel des lentilles

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Figure 5.4 – Modèle du coût moyen pour AXA des lunettes

5.2 Construction des modèles, diagnostic et valida-tion

5.2.1 Modèle de fréquence des lunettes

Nous relançons le premier modèle GLM avec la loi de Poisson à l’aide des va-riables traitées, sans prenant en compte aucun effet croisé. A l’aide d’un test dedéviance[5], ce premier modèle peut nous donner la première vue sur la significati-vité de chacune des variables explicatives. L’idée globale du test est de vérifier chaquefois si le rajout d’une nouvelle variable réduit significativement la déviance du mo-dèle. Selon le résultat du test présenté dans Annexe Table B.1, nous constatons quetoutes les variables portent des effets significatifs sur la fréquence des équipements.Ce premier modèle donne un critère AIC de 280282.

Nous rajoutons ensuite des effets croisés à prendre en compte que nous avonsdiscuté dans la partie statistiques descriptives : type de bénéficiaire × CSP, type debénéficiaire × secteur d’activité et âge × sexe. Par rapport au premier modèle, cemodèle rajoute trois effets croisés avec des variables déjà comprises dans le modèle.Nous vérifions dans le test de déviance (Table 5.2) que les nouvelles variables de

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croisements sont significatives et le modèle réduit la valeur du critère AIC à 280011.

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev SignificativitéNULL NA NA 299185 185348ns(age, 9) 9 8037 299176 177312 ***SEXCLI 1 1023 299175 176289 ***zone 4 452 299171 175836 ***regime2 4 105 299167 175732 ***type_benef3 2 301 299165 175431 ***csp 2 48 299163 175383 ***secteur_classe 3 63 299160 175320 ***as.factor(niv_lun) 4 290 299156 175030 ***gar_reseau 1 455 299155 174574 ***ns(age, 9) :SEXCLI 9 248 299146 174326 ***type_benef3 :csp 4 23 299142 174303 ***type_benef3 :secteur_classe 6 37 299136 174266 ***

Table 5.2 – Test de déviance : Modèle de fréquence des lunettes avec Poisson aveceffets croisés

Maintenant, nous testons la dispersion des données. Comme nous avons présentédans la partie de la méthodologie, si les données présentent de la sur-dispersion oude la sous-dispersion, il n’est pas pertinent de les modéliser avec une loi de Poisson.Un test de dispersion peut nous donner non seulement si les données présententsignificativement de la sur-dispersion, mais aussi le coefficient de dispersion. Surnos données, nous constatons dans le résultat du test que les données disposent uncoefficient de dispersion de 0,848 (Table 5.3), qui est inférieur à 1. Par conséquent,nous pensons à la présence de la sous-dispersion.

Overdispersion testdata : g2z = −76.491, p− value = 1alternative hypothesis : true dispersion is greater than 1sample estimates :dispersion0.8476215

Table 5.3 – Test overdispersion pour le GLM avec loi de Poisson

Même si la binomiale négative dispose un paramètre spécifique pour décrire ladispersion, elle n’est pas applicable dans le cas sous-dispersée car le paramètre dedispersion est supposé supérieure à 1 dans la loi (signifiant une sur-dispersion). Aprèsdes recherches des études sur les données sous-dispersées, nous trouvons que la dis-tribution de Conway-Maxwell-Poisson(CMP) s’y adapte. La distribution CMP peutêtre considérée comme la loi de Poisson ajustée avec un paramètre de dispersion,mais ce paramètre de dispersion peut être inférieur ou supérieur à 1. Donc, la loi

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CMP est plus flexible dans la modélisation des variables de comptage.

Comparons maintenant la performance des modèles avec la loi de Poisson, la loibinomiale négative et la loi CMP avec le critère AIC et le log de vraisemblance : Lemodèle CMP dispose l’AIC le plus faible et la vraisemblance la plus élevée.

Poisson Binomiale négative CMPAIC 280011 280016 271802

log(Vraisemblance) -139956 -139957 -135850

Table 5.4 – Critère AIC et log(vraisemblance) pour GLM avec Poisson, binomialenégative et CMP

En revanche, ces critères permettent de comparer les modèles entre eux maisn’évalue pas l’adéquation du modèle par rapport aux vraies observations. Pour com-parer les prédictions et les observations, les méthodes les plus utilisées sont l’analysedes résidus et le test de déviance. Si le modèle est pertinent, les valeurs de prédictionne doivent pas être très loin des observations correspondantes et donc les résidussont faibles. De plus, un bon modèle donne des résidus uniformément répartis autourdes observations sans présentant de tendance ou des formes particulières.

Par contre, la performance d’un modèle sur une variable de comptage n’est pasfacile à évaluer parce que les observations de la variable réponse sont des nombresentiers. Comme les valeurs de prédictions ne sont pas entières, le graphique des rési-dus présente toujours des formes similaires au graphique dans Figure 5.5 et est doncdifficile à interpréter.

Figure 5.5 – Graphique des résidus d’une loi de Poisson

Après des recherches sur ce problème. Nous trouvons une solution à l’aide de lasimulation Monte Carlo proposée par Boyle, Paul et Flowerdew (et al.)[1]. L’idée dela méthode est que si le modèle est correct, autrement dit, les observations suiventvraiment des lois supposées avec des paramètres estimés, nous pouvons donc générerdes valeurs de réponse simulées à partir des lois estimées. Ensuite, avec ces nouvelles

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valeurs de réponse (simulées), nous ré-appliquons le modèle GLM. Donc, si le mo-dèle initial est de bonne qualité, l’échantillon simulé porte de même caractéristiquesque les vraies observations et donc la déviance doit être proche de celle du modèleinitial. En effectuant un certain nombre de simulations, nous obtiendrons une distri-bution des déviances. Nous pouvons donc évaluer la qualité du modèle initial selonla position de sa déviance dans la distribution.

Nous appliquons cette méthode sur notre modèle de Poisson et le modèle avecCMP. A cause de la limite de la capacité de calcul, nous n’avons pas pu réaliser lasimulation sur toutes les observations. Nous tirons aléatoirement 5000 observationspour illustrer cet approche d’évaluation de la performance d’adéquation. Le nombrede simulations est de 1000. (Figure 5.6)

Figure 5.6 – Evaluation de la performance d’adéquation par simulation (n=1000) :Poisson et CMP

Nous vérifions que la déviance du modèle de Poisson initial n’est pas tombée dansla distribution empirique des déviances obtenues par les données simulées, alors quela déviance du modèle avec CMP est sur le quantile de 0,55, qui est très proche dela médiane. Cela signifie que le modèle initial avec CMP est un modèle pertinent.La performance d’adéquation de la loi de Poisson n’est pas satisfaisante.

Nous pouvons aussi regarder la distribution empirique du nombre d’équipementsdans la population totale. (Figure 5.7) Nous constatons que la loi de Poisson génèrebeaucoup trop de valeurs supérieures à 2. En revanche, la loi CMP génère des po-pulations beaucoup plus semblables à l’échantillon initial.

Finalement, nous testons s’il y a un problème de « over-fitting » dans le modèleà l’aide de la méthode de validation croisée. Si un modèle présente une bonne per-formance sur les data utilisés pour la construction du modèle mais très mauvaiseperformance sur des nouveaux data, le modèle présente très probablement un pro-blème de « over-fitting » et doit être ajuster jusqu’à la disparition du problème.

La méthode de validation croisée est une méthode d’estimation de la fiabilitéd’un modèle fondée sur une technique d’échantillonnage. Il y a plusieurs techniques

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Figure 5.7 – Génération des scénarios de consommation

d’échantillonnage, nous utilisons ici le technique « k-fold cross-validation » [7]

En général, prenant k = 10 est suffisant pour tester le problème d’« over-fitting». Sur l’ensemble de notre base, nous avons une MSE de 0,1417. En réalisant un «10-fold cross-validation », nous obtenons 10 valeurs de MSE présentées dans Figure5.8. Les valeurs sont tous proches de la MSE de la base originale et la moyennedes 10 MSE est de 0,14. Donc, nous constatons une performance robuste du modèleconstruit.

Figure 5.8 – Validation croisée du modèle de la fréquence avec CMP

Interprétons maintenant les paramètres du modèle. Pour la cause de la confiden-tialité, nous ne donnons que des coefficients estimés pour certaines variables.(Figure5.9) Nous constatons que :

• Toutes les zones autres que l’Ile-de-France consomment significativement moinsfréquemment que l’Ile-de-France.

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• Le régime Agricole consomme beaucoup moins que le régime général et lerégime TNS ne présente pas de différence significative par rapport au régimegénéral, alors que le régime Alsace-Moselle consomme significativement plusque le régime général.• Les contrats avec garanties distinguant le remboursement réseau ou hors réseau

incitent les bénéficiaires à consommer plus fréquemment dans le réseau.• Le niveau de garantie présente un effet positif sur la fréquence des lunettes.

Plus le montant de garantie augmente, plus importante est la fréquence deconsommation.

Figure 5.9 – Coefficients du modèle de fréquence avec loi CMP pour les variableszones, régimes, etc.

Pour interpréter les coefficients des variables croisées, il faut trouver la bonne mo-dalité de référence. Par exemple, pour la variable croisée CSP×type de bénéficiaire,nous obtenons trois groupes de coefficients : les coefficients sur la CSP seulement, lescoefficients sur le type de bénéficiaire seulement, et les correctifs sur le croisementde la CSP et le type de bénéficiaire. (Figure 5.10 : tables en haut) A partir de cescoefficients, nous obtenons les coefficients des différentes populations par rapport àla référence des assurés principaux cadres. On constate donc dans le table en basde Figure 5.10 que chez les assurés principaux, les non-cadres consomment moinsque les cadres. Les conjoints des cadres consomment moins que les conjoints desnon-cadres. Alors que les enfants des cadres ou non-cadres ne présentent pas d’écartsur la fréquence de consommation.

41

Figure 5.10 – Coefficients de la variable croisée CSP*type de bénéficiaire

Il faut interpréter les coefficients de la variable secteur d’activité×type de bénéfi-ciaires de la même façon que la variable CSP×type de bénéficiaire. Nous constatonsprincipalement que les assurés principaux dans le secteur des activités financièresconsomment significativement plus fréquemment des lunettes que dans les autressecteurs d’activité.

5.2.2 Modèle multinomial logit pour prédire le type d’équi-pement

Nous avons réussi à prédire la fréquence d’équipements sans considérant précisé-ment quel type d’équipement pour chaque individu. Nous nous intéressons mainte-nant son type d’équipement. Comme le type d’équipement est l’information propreà l’individu et non liée à la garantie, nous enlevons les variables liées à la garantie.Nous avons ici deux hypothèses :• Le type d’équipement d’un individu est sa propre caractéristique et constant

pendant l’année.• Le type d’équipement est indépendant de la fréquence des équipements.Un modèle multinomial logit nous permet d’estimer les probabilités de consom-

mer chaque type d’équipement. La variable réponse est le type d’équipement (unevariable catégorielle) et les variables explicatives sont les variables liées à l’individu.

Nous avons constaté dans Table 4.1 que les équipements les plus consommés sontceux qui avec deux verres simples et ceux qui avec deux verres complexes, les typesd’équipement C3, M2 et M3 sont très peu consommés. Nous les fusionnons avec leséquipements avec deux verres complexes. Finalement, nous retenons trois catégoriespour le modèle multinomial Logit : les équipements avec 2 verres simples(C1), ceuxqui avec 2 verres complexes(C2) et ceux qui avec 1 verre simple plus 1 verre com-plexe(M1).

42

Un traitement de lissage est aussi appliqué pour capturer l’évolution des proba-bilités de consommer différents types d’équipement selon l’âge.

Le test de déviance vérifie qu’au niveau de significativité 0,05, les variables sexe,CSP, régime de prestations et secteur d’activité ne sont pas significatives. Nous leséliminons donc du modèle. Finalement, L’âge porte l’effet le plus important sur lesprobabilités de consommer les différents types d’équipement. L’effet de la zone estaussi significatif.

Nous illustrons l’effet d’âge sur les probabilités de consommer les différents typesd’équipement dans Figure 5.11. La probabilité de consommer deux verres plus unemonture (l’équipement de type C1) est plus élevés chez les personnes de moins de45 ans. A partir de 45 ans, la probabilité de consommer des équipements avec deuxverres complexes (type C2) augmente. La probabilité de consommer des équipementsavec des verres mixtes(un verre simple plus un verre complexe) est faible pour tousles âges.

Figure 5.11 – Probabilités de consommer différents types d’équipement selon l’âge

43

5.2.3 Modèle de coût par type de verre et monture

Tout d’abord, il faut choisir la variable réponse pour le modèle GLM. Deux mon-tants pourraient nous intéresser pour modéliser le coût :

FR Frais réels (montant total)RC remboursement complémentaire AXA

(c’est le coût pour AXA pour calculer la prime pure)

Modéliser les frais réels évite perdre d’information sur la consommation réelle.Mais pour obtenir la charge pour AXA, il faut prendre le minimum des frais réelsmoins la partie remboursée par la sécurité sociale et le montant de garantie corres-pondant. Modéliser le montant de remboursement AXA nous permettrait d’obtenirdirectement le coût pour AXA. En revanche, comme le montant de remboursementne peut pas dépasser le montant de garantie, ce montant est censuré au montantde garantie. Les modèles pour des données censurées doivent être utilisées et celacompliquerait le travail. Donc, nous décidons de modéliser les frais réels.

Pour les variables réponse continues, il existe certains choix sur la loi d’hypothèsedans la famille exponentielle. Les lois les plus utilisées sont la loi Gamma et la loiinverse-Gaussienne.

Nous présentons ici en détaille les méthodes pour la comparaison des modèles,le diagnostic et la validation pour le modèle des verres simples. Nous les appliquonsidentiquement sur les verres complexes et les montures.

En relançant le premier modèle de Gamma sur les coûts moyens des verressimples, les variables explicatives sont tous constatées significatives. Nous appli-quons aussi un modèle GLM avec la loi inverse Gaussienne. Le modèle avec Gammadonne un AIC plus faible que celui avec inverse Gaussienne (800495 contre 802810).

Etudions maintenant les graphiques des résidus.(Figure 5.12) Les résidus sur lesdeux modèles semblent uniformément répartis autour des valeurs de prédiction. Parcontre, les résidus de déviance tendent vers plus une loi normale dans le modèleavec Gamma. Par conséquent, le modèle Gamma s’adapte mieux à nos données. Eneffectuant les mêmes études sur les verres complexes et les montures, nous obtenonsdans tous les cas un AIC plus faible avec la loi Gamma. Donc, le modèle Gammaest retenu pour modéliser le coût moyen unitaire des verres et des montures.

Nous utilisons la simulation Monte Carlo pour générer des scénarios des frais réelsdes verres. Prenons l’exemple des verres simples. Nous trouvons que les quantilesdes valeurs simulées sont toujours faibles que ceux des vraies observations. (Figure5.13 : courbe bleu) Nous pensons donc à une sous-estimation sur la queue de ladistribution des frais réels. En effet, comme la loi Gamma dispose une queue fine,il est difficile de générer des grandes valeurs. Pour donner plus d’importance surles montants élevés, nous considérons un traitement log sur les frais réels avant la

44

Figure 5.12 – Graphiques des résidus : Gamma et inverse Gaussienne

construction du modèle. Ainsi, les frais réels sont supposés suivre une loi log-Gammacaractérisée par les paramètres estimés qui dispose une queue plus épaisse que laloi Gamma. La courbe rouge dans Figure 5.13 nous montre une amélioration sur lagénération des grands montants. Elle sur-estime un peu les frais réels mais respectele principe de prudence de la tarification en assurance.

Nous constatons aussi que le traitement avec la fonction log() nous donne desmeilleures estimations sur les frais réels des verres complexes et des montures.

Figure 5.13 – Simulation des frais réels des verres simples : le modèle GLM sur lesfrais réels vs. le modèle GLM sur les log(frais réels)

45

En effectuant la validation croisée sur les modèles pour éviter le problème de «over-fitting », la robustesse des modèles est constatée.

En étudiant les paramètres des modèles de coût moyen (Annexe Table B.2 −B.4), nous retrouvons que :

• Sur tous les types de verre et les montures, le coût moyen est significativementplus élevé en Ile-de-France.• Les hommes consomment des verres simples plus chers que les femmes mais

cette différence n’est pas vérifiée sur les verres complexes et les montures.• Le coût des lunettes est plus faible pour les enfants.• Les secteurs d’activité du commerce, des services collectifs et hôtel et res-

taurant consomment significativement des lunettes plus chères que les autressecteurs.• Les cadres consomment des lunettes plus chères que les non-cadres et la diffé-

rence est significative.• Le niveau de garantie joue un rôle important sur le coût moyen des verres et

montures. L’effet est positif et significatif.

Finalement, pour avoir le montant de remboursement d’AXA, il faut prendrele minimum des frais réels déduits du remboursement de la sécurité sociale et lemontant de garantie correspondant.

5.2.4 Modèle de tarification des lentilles

Nous nous intéressons la probabilité de consommer des lentilles dans l’année etle coût total annuel.

La probabilité de consommer des lentilles est modélisée par une régression logis-tique.

On remarque sur les paramètres du modèle logistique (Réf. Annexe Table B.5)que :• Ile-de-France consomme significativement plus de lentilles.• La proportion de population consommant des lentilles est plus importante chez

les cadres.• Le secteur des activités financières dispose aussi une proportion plus élevée de

population consommant des lentilles.• Le niveau de garantie impacte positivement et significativement la probabilité

de consommer des lentilles.Nous remarquons dans le modèle de Gamma sur le coût annuel des lentilles

que :(Réf. Annexe Table D.6)• Les hommes dépensent plus sur les lentilles.

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• Ile-de-France consomme significativement plus sur les lentilles.• Les cadres dépensent moins sur les lentilles que les non-cadres. Peut-être les

cadres consommant des lentilles utilisent plus souvent les lunettes et occasion-nellement des lentilles.• Le secteur des activités financières consomme moins sur les lentilles. Cela pour-

rait aussi être interprété par la possibilité que les cadres portent plus souventdes lunettes que les lentilles.• Le niveau de garantie a un effet positif et significatif sur la dépense sur les

lentilles.En résumant les résultats du modèle de tarification sur les lentilles, nous remar-

quons que la consommation des lentilles est liée à la consommation des lunettes. Lespopulations où la proportion des gens consommant des lentilles est élevée sont lespopulations qui consomment plus de lunettes. Par contre, comme la consommationdes lentilles n’est pas forcément le vrai besoin, le comportement de consommationdépend non seulement du trouble visuel des assurés, mais aussi de leur habitude.

Le tarif pour les lentilles est obtenue par le produit de la probabilité de consom-mer des lentilles dans l’année et le coût annuel moyen pour AXA.

5.3 Résultats du modèle de tarificationNous présentons maintenant les résultats du modèle de tarification. En prenant

une population d’échantillon, nous calculons concrètement leur tarif de complémen-taire santé sur le poste optique. Nous retrouvons dans Figure 5.14 quelques illus-trations des tarifs sur les lunettes selon l’âge, le sexe, la zone, etc.. Nous constatonsque les facteurs étudiés se manifestent bien leur impact sur les tarifs finaux :

• Le tarif évolue selon l’âge de l’assuré. L’évolution correspond bien l’allure del’effet d’âge donné par les statistiques descriptives. D’ailleurs, la différence del’évolution de l’effet d’âge sur les hommes et les femmes est conservée.• Le tarif est en moyenne plus élevé en Ile-de-France. Les régions PACA, Alsace,

etc. (la zone 5) sont en deuxième place au niveau de tarif.• Selon l’augmentation du niveau de garantie, le tarif augmente significative-

ment. C’est-à-dire, l’effet du « risque moral » est bien pris en compte dans lemodèle de tarification.• Le tarif pour les activités financières est plus élevé que les autres secteurs

d’activité. Le tarif le plus faible est donné aux individus dans le secteur detransport et santé et action sociale.

D’ailleurs, avec le nouveau modèle de tarification, nous pouvons non seulementcalculer le tarif total (la somme des tarifs individuels), mais aussi obtenir la distribu-tion du tarif grâce aux lois estimées. Plus précisément, au lieu d’utiliser directementla moyenne de la fréquence et les coûts moyens par type d’équipement, nous gé-nérons des échantillons selon la loi de la fréquence et les lois du coût moyen. En

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Figure 5.14 – Tarif du poste optique selon quelques facteurs

effectuant la simulation pour 100 fois, nous obtenons une distribution du tarif total.(Figure 5.15) Ainsi, nous pouvons obtenir des quantiles de la distribution et mieuxmaîtriser le risque du portefeuille. Cette distribution peut servir aussi à la généra-tion des scénarios du coût de sinistre pour l’année suivante.

Figure 5.15 – Distribution du tarif total

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Chapitre 6

L’impact de la réforme du « contratresponsable »

Nous abordons maintenant l’étude sur l’impact de la réforme du « contrat res-ponsable ». Nous nous intéressons dans un premier temps la correction des garantiesà cause de la mise en conformité de la réforme. Dans un deuxième temps, nous com-parons le comportement de consommation d’une même population avant et après laréforme.

Nous extrayons les contrats qui sont passés aux contrats responsables le 1erjanvier 2016 pour avoir des données de prestations sur deux années complètes quicorrespondent respectivement les consommations effectuées avant et après la miseen conformité de la réforme.

6.1 Comparaison des garanties avant et après la ré-forme

Figure 6.1 nous montre l’évolution des garanties sur les contrats étudiés, nousremarquons que les garanties élevées sur les verres simples ont été diminuées. Lesgaranties sur les verres complexes ont augmenté. Les garanties pour les monturessont tous ajustées à 150 euros qui correspond le montant maximal autorisé par lecontrat responsable.

En calculant la moyenne du montant de garantie selon le type de verre et lamonture (Table 6.1), nous constatons que la moyenne des garanties sur les verressimples sont très proches sur les deux années. La moyenne des garanties sur les verrescomplexes augmente légèrement après la réforme de contrat responsable alors quela moyenne des garanties sur les montures baisse fortement (de 198 euros en 2015 à150 euros en 2016). En fait, comme le plafond pour les montures n’est que 150 eurosalors que le plafond autorisé sur les verres complexes est élevé, sur certains ancienscontrats, l’assureur rajoute simplement la partie réduite de la prise en charge de lamonture à la prise en charge des verres complexes pour garder le même montant du

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forfait optique après la réforme, pour des raisons commerciales.

Figure 6.1 – Distribution des garanties avant et après la réforme « contrat respon-sable »

Verres simples Verres complexes MonturesMoyenne de garantie en 2015 (euros) 141 207 198Moyenne de garantie en 2016 (euros) 144 236 150

Table 6.1 – Moyenne du montant de garantie selon le type de verre et montureavant et après la réforme du contrat responsable

6.2 Comparaison du comportement de consomma-tion des lunettes

Regardons maintenant le comportement de consommation des lunettes avant etaprès la réforme via la moyenne des frais réels, la moyenne du remboursement AXAet la moyenne du reste à charge à l’assuré. (Figure 6.2)

Figure 6.2 – La fréquence moyenne, les moyennes des frais réels, du remboursementAXA et du reste à charge avant et après la réforme du contrat responsable

Nous constatons tout d’abord que la fréquence ne diffère pas significativementavant et après la réforme. Pour comparer les frais réels, nous appliquons le taux del’inflation médicale française 2015 estimé par Willis Towers Watson. On constateune diminution sur les frais réels des verres et les montures. Surtout, les frais réels

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moyens des montures réduisent significativement, accompagné par une forte baissedu remboursement AXA et une augmentation du reste à charge à l’assuré. En résu-mant, sur les contrats étudiés, la réforme « contrat responsable » impacte fortementle coût des montures consommées et même si les assurés ont déjà choisi des monturesmoins chères, le reste à charge à l’assuré augmente tout de même à cause de la fortebaisse du montant de garantie sur les montures.

La proportion du remboursement AXA sur les deux années est présentée dansFigure 6.3. Nous constatons que la proportion du remboursement AXA monte surles verres complexes et réduit sur les montures. Il est intéressant de noter que laproportion du remboursement AXA sur la totalité des frais d’optique reste presqueinchangée sur ces contrats étudiés. (77% en 2015 et 78% en 2016) Mais la prise encharge de la complémentaire santé porte plus sur les verres que les montures qui nesont pas vraiment liées à la fonction médicale des lunettes.

Figure 6.3 – Proportion de remboursement AXA avant et après la réforme

6.3 Vérification de la significativité de l’évolutionde comportement

Pour vérifier la significativité de l’évolution à cause de la réforme, on construitun modèle GLM en créant une indicatrice indiquant si l’individu est couvert par uncontrat responsable. La significativité de l’impact de la réforme se manifeste ainsipar la significativité du coefficient de cette indicatrice dans le modèle GLM.

Nous commençons par tester la significativité de l’évolution de la fréquence. (Fi-gure 6.4) Dans le modèle, nous avons pris en compte seulement l’âge, le sexe etle type de bénéficiaire parce qu’elles sont les variables les plus significatives pourdéfinir la fréquence de consommations. Sachant que l’échantillon n’est pas assez vo-lumineux, nous négligeons les autres variables pour éviter l’« over-fitting ». Nousconstatons que le coefficient pour l’indicatrice de contrat responsable n’est pas si-gnificatif, qui signifie que sur les contrats étudiés, le passage au contrat responsablene porte pas d’effet significatif sur la fréquence de consommations.

Par contre, nous constatons l’impact de la réforme sur les coûts de verres etmontures est significatif : les coefficients de l’indicatrice de contrat responsable sonttous significatifs pour les frais réels des verres simples, verres complexes et montures.(Figure 6.5) Le coût moyen unitaire pour les verres et les montures a diminué après

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Figure 6.4 – Vérification de la significativité de l’impact du « contrat responsable» sur la fréquence

la réforme. Ce phénomène peut être expliqué partiellement par le fait que les assurésconsomment plus dans le réseau où le prix des lunettes est moins élevé, à cause del’inflation du prix dans le marché d’optique.

Figure 6.5 – Vérification de la significativité de l’impact du « contrat responsable» sur le coût moyen par type de verre et monture

52

Chapitre 7

Le comportement de consommation :contrats collectifs vs. contratsindividuels

Le portefeuille des contrats collectifs et celui des contrats individuels sont trèsdifférents. Tout d’abord, la population dans les contrats collectifs est composée dessalariés et éventuellement leur famille, alors que dans les contrats individuels, lapopulation est composée principalement des retraités et des TNS.

Le but de ce chapitre est d’observer le phénomène de « sélection adverse » et decomparer le comportement de consommation dans les deux portefeuilles.

7.1 Comparaison de la démographieDans un premier temps, nous illustrons la composition des deux populations

dans Figure 7.1. Une grande proportion de personnes âgées est observée dans le por-tefeuille des contrats individuels. D’ailleurs, nous retrouvons un taux de féminismeplus élevé dans les contrats individuels que dans les contrats collectifs. Ensuite, nousvérifions un pourcentage plus élevé des enfants dans les contrats collectifs. Cela peutêtre expliqué par le fait que les assurés principaux sont principalement les retraitésdans les contrats individuels et donc leurs enfants sont en âges d’actif et couvertsplutôt par les contrats collectifs.

Comme nous avons peu d’échantillons dans le portefeuille des contrats collectifsà partir de l’âge 60, nous allons prendre les assurés de 60 ans ou moins pour com-parer le comportement de consommation des lunettes.

Figure 7.2 nous montre la répartition des régimes de prestation est dans les deuxpopulations. Le régime TNS représente 23% dans la population totale du portefeuilleindividuel et 26% dans la population de 60 ans ou moins. Alors qu’il représente seule-ment 3% dans le portefeuille collectif.

53

Figure 7.1 – Comparaison de la population des assurés dans le portefeuille descontrats collectifs et individuels

Figure 7.2 – Répartition du régime de prestations des contrats collectifs et indivi-duels

7.2 Analyses statistiquesPour comparer le comportement des deux portefeuilles, nous prenons seulement

les contrats responsables et les bénéficiaires de 60 ans ou moins. A cause de ces

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contraintes, l’échantillon dans les contrats collectifs est relativement faible.

Dans les deux bases de données (collective et individuelle), nous avons 6 variablesen commun : âge, sexe, type de bénéficiaire, zone, régime de prestation et montantde garantie.

Montant de garantie

Figure 7.3 – Répartition du montant de garanties des contrats collectifs et indivi-duels

Nous remarquons dans Figure 7.3 que les montants de garantie dans les contratsindividuels sont en moyenne inférieurs aux contrats collectifs. Cela pourrait être lastratégie de l’assureur pour affronter la « sélection adverse ». En effet, supposons queles souscripteurs des contrats individuels choisissent leur contrat selon l’anticipationdes dépenses, s’il existe un contrat avec une garantie élevée en optique, les gensqui souscrivent à ce contrat-là vont très probablement consommer la totalité de lagarantie. Ainsi, la mutualisation du risque n’existe plus car quasiment tout les sous-cripteurs consomment la totalité de la garantie. Finalement, le tarif pour la garantieoptique est proche du montant de garantie. Ce type de garantie n’aurait pas de senscar il n’y a pas d’intérêt de souscrire une garantie avec une prime du même montant.

Dans les contrats collectifs qui sont obligatoires, avec un même niveau de primeque les contrats individuels, l’assureur peut proposer les garanties plus élevées grâceà la mutualisation du risque.

L’écart des niveaux de garanties entre les contrats collectifs et les contrats in-dividuels pourrait conduire aux comportements de consommation hétérogènes dansles deux populations. Dans Figure 7.4, on contrôle la consommation totale annuellepar consommant. Nous constatons que les frais réels des bénéficiaires des contratscollectifs sont plus élevés que ceux des contrats individuels. Le reste à charge dans

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les contrats collectifs est moins élevé grâce aux meilleures garanties.

Figure 7.4 – Distribution des frais réels, remboursement AXA et reste à charge parconsommant dans l’année

Si nous comparons la répartition des niveaux de garantie(Figure 7.5), nousconstatons que plus d’une moitié de bénéficiaires dans les contrats individuels ontdes niveaux de garantie faibles (Niveau 0 et Niveau 1) alors qu’il y a aucun bénéfi-ciaire sur ces niveaux de garantie dans les contrats collectifs.

Figure 7.5 – Distribution des niveaux de garantie des contrats collectifs et indivi-duels

Nous nous intéressons à la relation entre le niveau de garantie et la fréquence etle coût dans les contrats individuels.

En calculant la fréquence moyenne par le niveau de garantie, nous constatonsune forte croissance de la fréquence selon l’augmentation de la garantie.(Figure 7.6)

56

En traçant la distribution des frais réels selon le niveau de garantie. (Figure 7.7)La courbe de densité se déplace vers la droite selon l’augmentation du niveau degarantie, indiquant l’augmentation de la moyenne des frais réels selon le niveau degarantie et une proportion plus importante des consommations en grands montantssur les niveaux de garantie élevés.

Figure 7.6 – Fréquence selon le niveau de garantie dans les contrats individuels

Figure 7.7 – Distribution des frais réels selon le niveau de garantie des contratsindividuels

Comme on a discuté dans les parties précédentes du mémoire, l’existence de larelation positive entre le niveau de garantie et la fréquence de consommations ou lesfrais réels dans les contrats individuels peut être interprétée comme l’effet de la «sélection adverse » si on suppose que les assurés choisissent leur contrat selon leuranticipation sur les dépenses et leur comportement après la souscription correspond

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à leur anticipation.

Par contre, si les assurés choisissent le contrat pour d’autres raisons que l’anti-cipation des dépenses, leur comportement peut être lié au « risque moral ».

Ici, nous portons plutôt sur la première hypothèse car la deuxième hypothèse estplus compliquée à vérifier et à étudier à partir de nos données.

Age

L’âge est toujours un des facteurs les plus essentiels pour tarifer les contratsen santé. Regardons l’évolution de la fréquence selon l’âge dans les contrats in-dividuels.(Figure 7.8) Comme la fréquence est très hétérogène selon le niveau degarantie, nous traçons la fréquence selon l’âge et le niveau de garantie. Nous consta-tons tout d’abord les pics de consommation chez les adolescents et les personnes deplus de 45 ans, comme dans les contrats collectifs. Ensuite, nous constatons que lafréquence se déplace vers le haut selon le niveau de garantie tout en gardant l’allurede l’évolution selon l’âge.

Nous nous intéressons maintenant à comparer l’effet de l’âge dans les contratsindividuels et les contrats collectifs. Vu la répartition des niveaux de garantie dansles deux portefeuilles, nous pensons à comparer la fréquence pour les bénéficiaires dela garantie du niveau 2 et du niveau 3.(Figure 7.9) Nous vérifions que sur le niveaude garantie équivalent, la fréquence de consommations dans les contrats individuelsest supérieure que celle dans les contrats collectifs. Le phénomène peut être expliquépar la « sélection adverse » car les gens qui n’ont pas de trouble visuel ne vont engénéral pas choisir de contrat avec de la garantie optique alors que ceux qui n’ontpas de trouble visuel sont parmi les bénéficiaires des contrats collectifs.

7.3 Comparaison du comportement avec le modèleGLM : collectif vs. individuel

7.3.1 Fréquence

Avec les variables en commun dans les deux portefeuilles, nous modélisons lafréquence de consommations et comparons les coefficients. (Figure 7.10) Nous avonspris seulement les bénéficiaires dans les deux portefeuilles avec les niveaux de ga-rantie 2 ou 3.

Nous avons des remarques intéressants :• Les hommes consomment moins fréquemment dans les contrats collectifs ainsi

que dans les contrats individuels. Mais l’écart avec les femmes est plus impor-tant dans les contrats individuels.

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Figure 7.8 – Fréquence selon l’âge et le niveau de garantie

Figure 7.9 – Fréquence selon l’âge dans les contrats collectifs et individuels pourles niveaux de garantie 2 et 3

• En Ile-de-France, les bénéficiaires des contrats collectifs consomment plus fré-quemment que ceux dans les autres régions alors que c’est à l’inverse dans lescontrats individuels.• Le niveau de garantie porte un effet positif sur la fréquence dans les deux

portefeuilles. Mais selon notre hypothèse, l’impact est conduit par le « risquemoral » dans les contrats collectifs alors qu’il est engendré par la « sélectionadverse » dans les contrats individuels.

7.3.2 Coût moyen

Nous nous intéressons l’impact des variables en commun des deux portefeuillessur le coût moyen des verres simples (Figure 7.11) et des montures (Figure 7.12),sachant que l’échantillon des verres complexes est très faible dans les contrats col-

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Figure 7.10 – Modèle GLM sur la fréquence dans les contrats individuels et collec-tifs

lectifs responsables. On constate que :

• Les verres simples et montures consommés en Ile-de-France sont plus chersque dans les autres régions. Mais cet écart est plus important dans les contratscollectifs.• L’effet positif du niveau de garantie est une nouvelle fois vérifié sur les verres

simples. Le « risque moral » et la « sélection adverse » se manifestent res-pectivement dans les deux populations. L’effet du niveau de garantie sur lesmontures n’est pas significatif à cause du faible échantillon des garanties autresque 150 euros.

Figure 7.11 – Modèle GLM sur le coût des verres simples dans les contrats indivi-duels et collectifs

60

Figure 7.12 – Modèle GLM sur le coût des montures dans les contrats individuelset collectifs

61

Chapitre 8

Conclusion

Avec le modèle GLM, nous avons réussi à créer un nouveau modèle de tarifica-tion. Dans ce nouveau modèle, les variables qui sont déjà prises en compte dans lemodèle actuel (l’âge, la région, etc.) sont mieux traitées avec la méthode de lissageet l’algorithme de classification. Nous avons aussi rajouté d’autres facteurs commevariables explicatives et montré leur importance sur la fréquence de consommationset le coût moyen.

Nous avons bien discuté les lois d’hypothèse dans le modèle GLM. Pour modé-liser la fréquence des lunettes, nous avons observé le phénomène de sous-dispersionqui mérite d’autant d’attention que le phénomène de sur-dispersion mais n’est passouvent considéré dans les modèles de GLM pour la fréquence. Nous avons appliquéla loi CMP qui est flexible au choix du paramètre de dispersion et est donc pertinentpour modéliser les données sous-dispersées.

Ensuite, pour vérifier que la loi CMP décrit bien les données réelles, nous avonseffectué des recherches sur l’évaluation de la performance d’adéquation sur les don-nées discrètes. Une méthode de simulation et comparaison de déviance est retrouvée.Nous avons constaté que la performance de la loi CMP est très satisfaisante.

D’ailleurs, nous pensons qu’un modèle de tarification ne doit pas donner seule-ment la moyenne du tarif. Comme nous avons supposé des lois de distribution surla variable-réponse, nous avons pensé à utiliser ces lois estimées pour créer une dis-tribution de tarif pour connaître non seulement le scénario central, mais aussi desscénarios moins fréquents (par exemple, les quantiles des 0,9, 0,95, etc.).

A part de la construction d’un modèle de tarification, nous avons abordé desétudes économiques sur les frais d’optique.

Tout d’abord, nous avons étudié l’impact de la nouvelle réglementation « contratresponsable ». La réforme fixe des planchers et des plafonds précis sur la prise encharge des lunettes par la complémentaire santé.

Sur les données de l’année 2015 et celles de l’année 2016, nous constatons que la

62

fréquence de consommations n’a pas évoluée sur la même population. Par contre, lecoût moyen des montures consommées a fortement baissé à cause de la diminutionde la prise en charge des montures.

Ensuite, nous avons étudié le comportement de consommation dans les contratsindividuels et comparé avec les contrats collectifs.

Il est intéressant à noter que le niveau de garantie impacte positivement la fré-quence et le coût moyen dans les deux portefeuilles mais est conduit par différentsmécanismes.

Dans les contrats individuels, nous supposons que le comportement de consom-mation correspond à l’anticipation de l’assuré au moment de la souscription. Ainsi,la corrélation positive entre le niveau de garantie et la fréquence et le coût moyens’interprète comme l’effet de la « sélection adverse ».

Par contre, dans les contrats collectifs, la « sélection adverse » peut être suppo-sée négligeable. C’est plutôt un effet « post-contractuel » qui conduit à la rélationpositive entre le niveau de garantie et la fréquence et le coût : le « risque moral ».

Strictement dit, le « risque moral » peut coexister avec la « sélection adverse »dans les contrats individuels. Mais il est difficile de les distinguer car les deux phé-nomènes sont tous conduits par des caractéristiques cachées (par exemple l’aversionau risque).

Une limitation dans les études est que nous n’avons pas d’information sur lerevenu de l’assuré, qui est un facteur très important impactant la consommation ensanté. Si nous disposons du revenu de l’assuré, la consommation des frais d’optiqueserait plus prévisible.

63

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64

Chapitre 9

Annexe

65

Annexe A

Démographie

Figure A.1 – L’exposition des bénéficiaires en France

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Figure A.2 – Exemples des données

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Annexe B

Résultats des modèles

Df Deviance Resid. Df Resid. Dev Pr(>Chi)NULL NA NA 299185 185348,49 NAns(age, 9) 9 8036,65 299176 177311,84 0 ***SEXCLI 1 1023,17 299175 176288,68 0 ***regime2 4 98,71 299171 176189,97 0 ***csp 2 19,08 299169 176170,89 0 ***zone 4 464,31 299165 175706,59 0 ***secteur_classe 3 60,23 299162 175646,36 0 ***type_benef3 2 326,63 299160 175319,73 0 ***as.factor(niv_lun) 4 289,94 299156 175029,8 0 ***gar_reseau 1 455,38 299155 174574,41 0 ***

Table B.1 – Test de déviance : Modèle de fréquence des lunettes avec Poisson sanseffet croisé

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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 4,3 0,01 312,21 0 ***splines : :ns(age, knots = c(30, 50))1 0,02 0,01 1,44 0,15splines : :ns(age, knots = c(30, 50))2 0,47 0,03 15,43 0 ***splines : :ns(age, knots = c(30, 50))3 0,07 0,03 2,06 0,04 *SEXCLIM 0,03 0 9,1 0 ***zoneZone_2 -0,17 0 -37,19 0 ***zoneZone_3 -0,21 0 -43,93 0 ***zoneZone_4 -0,24 0 -56,91 0 ***zoneZone_5 -0,11 0 -26,16 0 ***type_benef3Enfant -0,07 0,01 -6,85 0 ***type_benef3Conjoint -0,01 0,01 -0,8 0,42cspEP -0,01 0,01 -1,77 0,08 .cspNC -0,04 0,01 -5,87 0 ***secteur_classesecteur2 -0,01 0,01 -0,8 0,42secteur_classesecteur3 -0,04 0,01 -3,43 0 ***secteur_classesecteur4 -0,03 0 -5,43 0 ***as.factor(niv_gar)2 0,16 0 35,7 0 ***as.factor(niv_gar)3 0,36 0 75,22 0 ***as.factor(niv_gar)4 0,43 0 91,72 0 ***as.factor(niv_gar)5 0,38 0 77,51 0 ***gar_reseau -0,04 0 -10,83 0 ***type_benef3Enfant :cspEP 0,02 0,01 2,71 0,01 **type_benef3Conjoint :cspEP 0,01 0,01 0,98 0,33type_benef3Enfant :cspNC 0,05 0,01 5,36 0 ***type_benef3Conjoint :cspNC -0,01 0,01 -0,64 0,52type_benef3Enfant :secteur_classesecteur2 0,07 0,02 3,91 0 ***type_benef3Conjoint :secteur_classesecteur2 -0,01 0,02 -0,3 0,76type_benef3Enfant :secteur_classesecteur3 0,02 0,02 1,03 0,3type_benef3Conjoint :secteur_classesecteur3 0,01 0,02 0,6 0,55type_benef3Enfant :secteur_classesecteur4 0,01 0,01 1,96 0,05 *type_benef3Conjoint :secteur_classesecteur4 -0,01 0,01 -1,69 0,09 .AIC = 800633

Table B.2 – Modèle GLM avec loi Gamma : verres simples

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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 4,94 0,01 373,95 0 ***age 0,01 0 38,51 0 ***zoneZone_2 -0,11 0,01 -19,24 0 ***zoneZone_3 -0,08 0,01 -14,83 0 ***zoneZone_4 -0,11 0,01 -22,5 0 ***zoneZone_5 -0,06 0,01 -10,51 0 ***type_benef3Enfant -0,07 0,01 -4,8 0 ***type_benef3Conjoint 0 0 -0,41 0,68regime202_Agricole 0,02 0,02 1,15 0,25regime203_TNS 0,06 0,01 5,58 0 ***regime204_Alsace | Moselle 0,01 0,01 1,48 0,14regime299_Autres 0,37 0,14 2,66 0,01 **cspEP -0,03 0 -6,17 0 ***cspNC -0,05 0,01 -9,04 0 ***secteur_classesecteur2 0 0,01 0,03 0,97secteur_classesecteur3 -0,01 0,01 -1,51 0,13secteur_classesecteur4 -0,01 0 -3,62 0 ***as.factor(niv_gar)2 0,1 0,01 17,67 0 ***as.factor(niv_gar)3 0,21 0,01 37,01 0 ***as.factor(niv_gar)4 0,33 0,01 58,12 0 ***as.factor(niv_gar)5 0,41 0,01 73,5 0 ***gar_reseau -0,03 0 -7,17 0 ***AIC = 457474

Table B.3 – Modèle GLM avec loi Gamma : verres complexes

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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 4,62 0,02 271,33 0 ***splines : :ns(age, knots = c(30, 50, 70))1 0,48 0,02 29,37 0 ***splines : :ns(age, knots = c(30, 50, 70))2 0,45 0,02 24,75 0 ***splines : :ns(age, knots = c(30, 50, 70))3 1,31 0,05 24,89 0 ***splines : :ns(age, knots = c(30, 50, 70))4 0,17 0,07 2,31 0,02 *SEXCLIM 0,01 0 2,1 0,04 *zoneZone_2 -0,18 0,01 -34,47 0 ***zoneZone_3 -0,21 0,01 -41,7 0 ***zoneZone_4 -0,22 0 -47,18 0 ***zoneZone_5 -0,13 0 -27,99 0 ***regime202_Agricole 0,01 0,02 0,68 0,5regime203_TNS 0,06 0,01 6,21 0 ***regime204_Alsace | Moselle 0,04 0,01 4,66 0 ***regime299_Autres -0,34 0,21 -1,59 0,11type_benef3Enfant -0,01 0,01 -0,84 0,4type_benef3Conjoint -0,02 0,01 -2,29 0,02 *cspEP -0,05 0,01 -7,51 0 ***cspNC -0,07 0,01 -10,41 0 ***secteur_classesecteur2 0 0,01 0,13 0,89secteur_classesecteur3 -0,05 0,01 -6,34 0 ***secteur_classesecteur4 -0,03 0 -8,05 0 ***as.factor(niv_gar)2 0,07 0,01 8,96 0 ***as.factor(niv_gar)3 0,11 0,01 20,49 0 ***as.factor(niv_gar)4 0,18 0 38,37 0 ***as.factor(niv_gar)5 0,28 0 58,36 0 ***type_benef3Enfant :cspEP 0,05 0,01 4,72 0 ***type_benef3Conjoint :cspEP 0,02 0,01 1,51 0,13type_benef3Enfant :cspNC 0,08 0,01 6,96 0 ***type_benef3Conjoint :cspNC 0,02 0,01 1,53 0,13AIC = 608356

Table B.4 – Modèle GLM avec loi Gamma : montures

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Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)(Intercept) -8,82 0,27 -32,24 0 ***ns(age, knots = c(20, 30, 40))1 6,94 0,26 26,65 0 ***ns(age, knots = c(20, 30, 40))2 3,59 0,19 19,38 0 ***ns(age, knots = c(20, 30, 40))3 11,15 0,55 20,25 0 ***ns(age, knots = c(20, 30, 40))4 -0,34 0,4 -0,84 0,4SEXCLIM 0,11 0,4 0,28 0,78zoneZone_2 -0,6 0,03 -17,81 0 ***zoneZone_3 -0,77 0,03 -22,58 0 ***zoneZone_4 -0,59 0,03 -20,23 0 ***zoneZone_5 -0,49 0,03 -17,4 0 ***cspEP -0,09 0,03 -3,42 0 ***cspNC -0,1 0,03 -3,06 0 ***regime202_Agricole -0,09 0,12 -0,8 0,42regime203_TNS 0,25 0,06 4,03 0 ***regime204_Alsace | Moselle 0,18 0,06 3,27 0 ***regime299_Autres -1,35 0,58 -2,31 0,02 *type_benef3Enfant -0,46 0,05 -9,65 0 ***type_benef3Conjoint -0,35 0,03 -11,97 0 ***secteur_classesecteur2 -0,32 0,06 -5,15 0 ***secteur_classesecteur3 -0,48 0,08 -5,86 0 ***secteur_classesecteur4 -0,23 0,03 -7,24 0 ***as.factor(niv_lent)2 0,1 0,03 3,1 0 ***as.factor(niv_lent)3 0,3 0,03 10,37 0 ***as.factor(niv_lent)4 0,47 0,03 17,03 0 ***ns(age, knots = c(20, 30, 40))1 :SEXCLIM -0,77 0,39 -2 0,05 *ns(age, knots = c(20, 30, 40))2 :SEXCLIM -0,85 0,28 -3,03 0 ***ns(age, knots = c(20, 30, 40))3 :SEXCLIM -1,91 0,84 -2,28 0,02 *ns(age, knots = c(20, 30, 40))4 :SEXCLIM -0,79 0,66 -1,2 0,23type_benef3Enfant :secteur_classesecteur2 0,24 0,14 1,68 0,09 .type_benef3Conjoint :secteur_classesecteur2 0,34 0,12 2,74 0,01 **type_benef3Enfant :secteur_classesecteur3 0,5 0,14 3,49 0 ***type_benef3Conjoint :secteur_classesecteur3 0,07 0,13 0,52 0,61type_benef3Enfant :secteur_classesecteur4 0,23 0,06 3,67 0 ***type_benef3Conjoint :secteur_classesecteur4 0,11 0,05 2,05 0,04 *AIC = 90885

Table B.5 – Régression logistique pour la probabilité de consommer des lentilles

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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) 5,07 0,32 15,87 0 ***ns(age, knots = c(5, 20, 30, 40, 60))1 -0,08 0,31 -0,27 0,79ns(age, knots = c(5, 20, 30, 40, 60))2 -0,02 0,32 -0,06 0,95ns(age, knots = c(5, 20, 30, 40, 60))3 -0,12 0,32 -0,37 0,71ns(age, knots = c(5, 20, 30, 40, 60))4 0,11 0,25 0,44 0,66ns(age, knots = c(5, 20, 30, 40, 60))5 0,26 0,6 0,44 0,66ns(age, knots = c(5, 20, 30, 40, 60))6 -0,11 0,13 -0,86 0,39SEXCLIM 0,07 0,01 7,78 0 ***zoneZone_2 -0,25 0,02 -16,28 0 ***zoneZone_3 -0,35 0,02 -23,17 0 ***zoneZone_4 -0,33 0,01 -25,91 0 ***zoneZone_5 -0,21 0,01 -17,7 0 ***type_benef3Enfant -0,1 0,02 -4,3 0 ***type_benef3Conjoint 0,01 0,01 1,36 0,17cspEP 0,05 0,01 4,03 0 ***cspNC 0,05 0,01 3,4 0 ***secteur_classesecteur2 0,04 0,01 3,54 0 ***secteur_classesecteur3 0,03 0,01 2,51 0,01 **secteur_classesecteur4 0,07 0,01 4,69 0 ***as.factor(niv_lent)2 0,25 0,01 18,85 0 ***as.factor(niv_lent)3 0,4 0,01 30,78 0 ***as.factor(niv_lent)4 0,56 0,01 47,09 0 ***AIC = 151453

Table B.6 – Modèle de Gamma du coût annuel des lentilles

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Note de synthèse

Le mémoire a été réalisé dans l’équipe santé au sein de la Direction Techniqueet Marketing Santé Collectives d’AXA Solutions Collectives.

La première partie du mémoire aborde sur la création d’un nouveau modèlede tarification pour les frais d’optique médicale en utilisant le modèle linéaire géné-ralisé (GLM). Le modèle de tarification porte sur le périmètre des contrats collectifs.

Le modèle de tarification actuel en complémentaire santé au sein d’AXA utilisela méthode « fréquence × coût » traditionnelle. Dans cette méthode, une fréquencemoyenne et un coût moyen sont calculés tout d’abord pour la population totale.Ensuite, pour prendre en compte les effets de l’âge, du sexe, de la région, du typede bénéficiaire, etc., des correctifs correspondants sont appliqués. Finalement, l’es-timation de la prime pure est obtenue par le produit de la fréquence moyenne, lecoût moyen et des correctifs selon le profil de l’individu.

Cette méthode de tarification est simple à mettre en application mais présentequelques inconvénients :

• Premièrement, le nombre de facteurs pris en compte dans le modèle actuel estrestreint. Il existe des informations disponibles et potentiellement impactantla consommation en santé mais négligées par le modèle actuel.• Deuxièmement, certains facteurs sont traités de façon trop simplifiée et donc ne

permettent pas de bien capturer l’hétérogénéité dans la population des assurés.Par exemple, les correctifs de l’âge sont en tranches d’âge et les régions sontregroupées seulement en trois zones.• Troisièmement, les distributions de la fréquence et du coût moyen ne sont pas

prises en compte. Autrement dit, le modèle actuel s’intéresse seulement auxmoyennes et n’attache pas assez d’attention aux dispersions de la fréquence etdu coût moyen.

Afin de mieux décrire le comportement de consommation en santé des assurés,le modèle actuel est préconisé d’être renouvelé avec des méthodes plus sophistiquéeset pertinentes.

Le modèle GLM est très utilisé dans l’assurance non-vie. Il peut modéliser larelation de la variable réponse avec des variables explicatives. Le concept du mo-dèle ressemble à celui du modèle linéaire Gaussien : les variables explicatives (les

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caractéristiques individuels) impactent la variable réponse (la fréquence ou le coût)via une combinaison linéaire. La distribution de la variable réponse dans GLM estsupposée dans la famille exponentielle qui comprend des lois adaptables à différentstypes de variable (les variables de comptage, les variables de proportion, les va-riables continues, etc.). Par conséquent, le modèle s’adapte à modéliser le nombrede consommations ainsi que le montant de consommation.

On construit donc tout d’abord un modèle GLM pour la fréquence des lunettes.Par contre, ce modèle de fréquence ne prédit pas le type d’équipement consommé.Nous créons donc un modèle multinomial logit pour prédire les probabilités deconsommer différents types d’équipement. Ensuite, le coût moyen est modélisé partype de verre et monture.

Finalement, on obtient un modèle de tarification qui peut non seulement donnerla moyenne du tarif, mais la distribution du tarif à partir des lois estimées dansle modèle GLM. A l’aide de la simulation Monte Carlo, nous pouvons obtenir lescénario central ainsi que des scénarios moins fréquent (par exemple, les quantilesdes 0.9, 0.95, etc.) qui servent à la mesure du risque.

Dans un deuxième temps, le mémoire aborde des études économiques liées à laconsommation des frais d’optique.

Tout d’abord, on étudie l’évolution du comportement de consommation entraî-née par une des nouvelles réglementations : la réforme « contrat responsable ».

Cette réforme en complémentaire santé est entrée en vigueur le 1er avril 2015sur les contrats individuels. Elle est en train d’être mise en conformité progressive-ment sur les contrats collectifs jusqu’au 1er janvier 2018. La nouvelle réglementationdonne de l’avantage fiscal sur les contrats en complémentaire santé qualifiés de « res-ponsable ». Ces derniers doivent respecter un cahier des charges précis et s’engagentà inciter les assurés à adopter un comportement responsable : consulter en prioritéle médecin traitant, respecter le parcours de soin coordonné, éviter les profession-nels pratiquant de forts dépassements d’honoraires, etc.. En optique, le montant duforfait optique dans les contrats responsables doit respecter des planchers et desplafonds fixés par le gouvernement.

Nous comparons tout d’abord l’évolution des garanties à cause de la mise enconformité de la réforme et ensuite le comportement de consommation des assurés.

La dernière partie du mémoire étudie la différence du comportement de consom-mation des contrats collectifs et des contrats individuels. Comme les contrats collec-tifs sont obligatoires pour les salariés, ces derniers ne sont pas en mesure de choisirla gamme de garanties. Autrement dit, les bénéficiaires des contrats proposant debonnes garanties en optique n’ont pas tous de trouble visuel. Par contre, les contratsindividuels sont souscrits par les assurés à volonté. On peut penser que les souscrip-teurs choisissent la gamme de garantie selon son anticipation sur les dépenses en

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santé. Par exemple, si un individu a choisi un contrat avec une garantie élevée enoptique, il va très probablement consommer des lunettes dans l’année et s’intéres-serait à consommer la totalité de la garantie. Inversement, les individus qui n’ontpas de trouble visuel ne choisit probablement pas de contrat proposant des forfaitsd’optique, sauf s’il est très averse au risque en pensant qu’il peut avoir besoin delunettes dans l’année. Le phénomène que les assurés choisissent le niveau de couver-ture selon leur type de risque est appelé « sélection adverse » dans l’économie. Cephénomène est conduit par l’asymétrie de l’information entre l’assuré et l’assureurcar le type de risque est connu à la souscription pour l’assuré mais ne l’est pas pourl’assureur.

Notre étude confirme que le montant de consommation et le montant de garan-tie choisie présentent une corrélation positive dans les contrats individuels, qui peutêtre expliquée principalement par le phénomène de la sélection adverse. En revanche,dans la partie de la construction du modèle de tarification, nous constatons aussiune corrélation positive des deux montants dans les contrats collectifs où l’impact de« sélection adverse » devrait être négligeable car les assurés ne sont pas en mesurede choisir la gamme de garanties. Nous pensons à un autre phénomène économiqueconduit par l’asymétrie d’information : le « risque moral », qui décrit le phénomènede l’évolution du comportement de l’assuré selon le niveau de couverture du risquequi est inobservable par l’assureur.

Strictement dit, le « risque moral » peut coexister avec la « sélection adverse» dans des contrats individuels. Mais il est difficile pour l’assureur de distinguerles deux phénomènes qui sont liés aux caractéristiques et comportements cachés àl’assuré propre. Par contre, en optique, il serait raisonnable de considérer que la« sélection adverse » domine le « risque moral » en supposant que les individusconnaissent parfaitement leur type de risque et la fourchette de prix des lunettesqu’ils vont consommer au moment de la souscription.

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Summary

The dissertation was made in the health team within the Collective Health Tech-nical and Marketing Department of AXA Collective Solutions.

The main mission is the creation of a new pricing model for medical optical feesusing the generalized linear model (GLM). The pricing model covers the scope ofcollective agreements.

The current healthcare complementary pricing model within AXA uses the tradi-tional frequency× cost method. In this method, an average frequency and an averagecost are calculated first for the total population. Then, to take into account the ef-fects of age, sex, region, type of beneficiary, etc., corrective measures are applied.Finally, the estimate of the pure premium is obtained by the product of the averagefrequency, the average cost and the corrections according to the profile of the indi-vidual.

This method of pricing is simple to implement but has some disadvantages :

• First, the number of factors considered in the current model is limited. Thereis information available and potentially impacting health consumption butneglected by the current model.• Second, some factors are over-simplified and therefore do not capture hete-

rogeneity in the insured population. For example, age corrections are in agegroups and regions are grouped into only three areas.• Third, distributions of frequency and average cost are not taken into account.

In other words, the current model focuses only on averages and does not payenough attention to dispersions of frequency and average cost.

In order to better describe the health consumer behavior of insured persons, thecurrent model is advocated to be renewed with more sophisticated and relevant me-thods.

The GLM model is widely used in non-life insurance. It can model the rela-tionship of the response variable with explanatory variables. The concept of themodel resembles that of the Gaussian linear model : the explanatory variables (theindividual characteristics) impact the response variable (frequency or cost) via alinear combination. The distribution of the response variable in GLM is assumedin the exponential family, which includes laws adaptable to different types of va-

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riables (count variables, proportion variables, continuous variables, etc.). Therefore,the model adapts to model the number of consumptions as well as the amount ofconsumption.

Thus, a GLM model for the frequency of the spectacles is first constructed.On the other hand, this frequency model does not predict the type of equipmentconsumed. We thus create a multinomial logit model to predict the probabilities ofconsuming different types of equipment. Then, the average cost is modeled by typeof glass and frame.

Finally, we obtain a pricing model that can not only give the average of thetariff but the distribution of the tariff from the laws estimated in the GLM model.Using the Monte Carlo simulation, we can obtain the central scenario as well as lessfrequent scenarios (for example, the quantiles of 0.9, 0.95, etc.) used to measure therisk.

In a second phase, the paper will deal with economic studies related to theconsumption of optical costs.

First, we study the evolution of consumption behavior caused by one of the newregulations : the "responsible contract" reform.

This complementary health reform came into effect on April 1, 2015, on indivi-dual contracts. It is being gradually brought into compliance on collective contractsuntil January 1, 2018. The new regulation gives tax benefits on contracts in sup-plementary health qualifying as "responsible". The latter must respect specific spe-cifications and undertake to encourage insured persons to behave responsibly : toconsult the doctor in the first place, to respect the coordinated care path, to avoidprofessionals who practice high fee overruns, and so on. In optics, the amount of theoptical package in the responsible contracts must respect floors and ceilings fixed bythe government.

We first compare the evolution of the guarantees because of the conformity ofthe reform and then the consumer behavior of the insured.

The last part of the paper will examine the difference in the consumption beha-vior of collective contracts and individual contracts. Since collective agreements aremandatory for employees, they are not in a position to choose the range of guaran-tees. In other words, beneficiaries of contracts offering good optical guarantees donot all have visual impairment. On the other hand, individual contracts are takenout by insured persons at will. One might think that subscribers choose the rangeof guarantees according to their anticipation of health spending. For example, ifan individual has chosen a contract with a high warranty in optics, he will mostlikely consume glasses in the year and would be interested in consuming the entirewarranty. Conversely, individuals who do not have visual impairment probably donot choose a contract offering optical packages, unless they are very averse at risk

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thinking that they may need glasses in the year. The phenomenon that insured per-sons choose the level of coverage according to their type of risk is called "adverseselection" in the economy. This phenomenon is driven by the asymmetry of the in-formation between the insured and the insurer because the type of risk is known atthe time of the subscription for the insured but not for the insurer.

Our study confirms that the amount of consumption and the amount of gua-rantee selected have a positive correlation in individual contracts, which can beexplained mainly by the phenomenon of adverse selection. On the other hand, inthe construction part of the pricing model, we also find a positive correlation ofthe two amounts in the collective contracts where the impact of "adverse selection"should be negligible because insured persons are not in a position to choose therange of guarantees. We think of another economic phenomenon driven by informa-tion asymmetry : "moral hazard", which describes the phenomenon of the evolutionof the insured’s behavior according to the level of coverage of risk that is unobser-vable by the insurer .

Strictly speaking, "moral hazard" may coexist with "adverse selection" in indi-vidual contracts. But it is difficult for the insurer to distinguish the two phenomenathat are related to characteristics and behaviors hidden from the insured. On theother hand, in optics, it would be reasonable to consider that "adverse selection"dominates "moral hazard" by assuming that individuals are fully aware of their typeof risk and the price range of the glasses they will consume at the time of subscrip-tion.

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