Lêi c¶m ¬n

Trong thêi gian qua, ngoµi sù nç lùc cña b¶n th©n, ®Ò tµi luËn v¨n ®îc hoµn

thµnh víi sù híng dÉn tËn t×nh, chu ®¸o cña T.S NguyÔn §inh Hïng.

LuËn v¨n cßn cã sù gióp ®ì vÒ tµi liÖu vµ nh÷ng ý kiÕn gãp ý cña c¸c thÇy c«

gi¸o thuéc chuyªn ngµnh Lý luËn vµ Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y bé m«n To¸n.

Xin tr©n träng göi tíi c¸c thÇy c« gi¸o lêi biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c cña t¸c

gi¶.

T¸c gi¶ còng xin c¶m ¬n c¸c thÇy c« gi¸o trong Ban gi¸m hiÖu, tæ To¸n tr êng

Nghi Léc 1 ® t¹o ®iÒu kiÖn trong qu¸ tr×nh t¸c gi¶ thùc hiÖn ®Ò tµi.·Gia ®×nh, b¹n bÌ, ®ång nghiÖp lu«n lµ nguån cæ vò ®éng viªn ®Ó t¸c gi¶ thªm

nghÞ lùc hoµn thµnh LuËn v¨n nµy.

Tuy ® cã nhiÒu cè g¾ng, tuy nhiªn LuËn v¨n nµy ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái·

nh÷ng thiÕu sãt cÇn ®îc gãp ý, söa ch÷a. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn

®ãng gãp cña c¸c thÇy c« gi¸o vµ b¹n ®äc.

Vinh, th¸ng 11 n¨m 2007

T¸c gi¶

www.vnmath.com

Môc lôc

TrangMë ®Çu 1Ch¬ng 1. C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn 51.1. T duy 61.2. T duy s¸ng t¹o 61.3. Mét sè yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o 91.4. VËn dông t duy biÖn chøng ®Ó ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o

cho HS.14

1.5. TiÒm n¨ng cña h×nh häc trong viÖc båi dìng t duy s¸ng

t¹o cho häc sinh 19

1.6. KÕt luËn ch¬ng 1 21Ch¬ng 2. Mét sè vÊn ®Ò d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc

theo ®Þnh híng båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh 22

2.1. VÊn ®Ò 1: RÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o qua bµi to¸n dùng

h×nh22

2.2. VÊn ®Ò 2: KhuyÕn khÝch häc sinh t×m ra nhiÒu c¸ch

gi¶i cho mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian54

2.3. VÊn ®Ò 3: X©y dùng hÖ thèng bµi to¸n gèc gióp häc

sinh quy l¹ vÒ quen

69

2.4. VÊn ®Ò 4: ChuyÓn viÖc t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n h×nh

häc kh«ng gian vÒ bµi to¸n h×nh häc ph¼ng

78

2.5. KÕt luËn ch¬ng 2 85Ch¬ng 3. Thùc nghiÖm s ph¹m 863.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm 863.2. Néi dung thùc nghiÖm 863.3. Tæ chøc thùc nghiÖm 863.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm 89kÕt luËn 91tµi liÖu tham kh¶o 92

www.vnmath.com

2

www.vnmath.com

Më ®Çu

1. Lý do chän ®Ò tµi

ThÕ giíi ngµy nay ®ang thay ®æi theo mét tèc ®é luü thõa,

nh»m ®¸p øng ®îc nh÷ng thay ®æi nhanh chãng ®ã trong khoa häc,

c«ng nghÖ, truyÒn th«ng. Chóng ta kh«ng nh÷ng dùa trªn c¸c gi¶i ph¸p

cña qu¸ khø, mµ cßn ph¶i tin tëng vµo nh÷ng qu¸ tr×nh gi¶i quyÕt c¸c

vÊn ®Ò míi.

§iÒu nµy kh«ng chØ hµm ý nãi ®Õn nh÷ng kü thuËt míi mµ cßn

nãi ®Õn môc tiªu gi¸o dôc. Môc tiªu cña gi¸o dôc ph¶i lµ ph¸t triÓn mét

x· héi trong ®ã con ngêi cã thÓ sèng tho¶i m¸i víi sù thay ®æi h¬n lµ

sù x¬ cøng. V× thÕ b¾t buéc b¶n th©n c¸c nhµ gi¸o dôc ph¶i võa gi÷

g×n, lu truyÒn tri thøc vµ c¸c gi¸ trÞ cña qu¸ khø võa chuÈn bÞ cho

mét t¬ng lai mµ ta cha biÕt râ.

To¸n häc cã liªn quan chÆt chÏ víi thùc tÕ vµ cã øng dông réng

r·i trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña khoa häc, c«ng nghÖ, s¶n xuÊt

vµ ®êi sèng x· héi hiÖn ®¹i, nã thóc ®Èy m¹nh mÏ c¸c qu¸ tr×nh tù

®éng ho¸ s¶n xuÊt, trë thµnh c«ng cô thiÕt yÕu cho mäi ngµnh khoa

häc vµ ®îc coi lµ ch×a kho¸ cña sù ph¸t triÓn.

XuÊt ph¸t tõ nh÷ng yªu cÇu x· héi ®èi víi sù ph¸t triÓn nh©n c¸ch

cña thÕ hÖ trÎ, tõ nh÷ng ®Æc ®iÓm cña néi dung míi vµ tõ b¶n chÊt

cña qu¸ tr×nh häc tËp buéc chóng ta ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc

theo híng båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.

ViÖc häc tËp tù gi¸c tÝch cùc, chñ ®éng vµ s¸ng t¹o ®ßi hái häc

sinh ph¶i cã ý thøc vÒ nh÷ng môc tiªu ®Æt ra vµ t¹o ®îc ®éng lùc

trong thóc ®Èy b¶n th©n hä t duy ®Ó ®¹t ®îc môc tiªu ®ã.

Trong viÖc rÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh ë trêng phæ

th«ng, m«n To¸n ®ãng vai trß rÊt quan träng. Bëi v×, To¸n häc cã mét

www.vnmath.com

3

www.vnmath.com

vai trß to lín trong sù ph¸t triÓn cña c¸c ngµnh khoa häc vµ kü thuËt;

To¸n häc cã liªn quan chÆt chÏ vµ cã øng dông réng r·i trong rÊt nhiÒu

lÜnh vùc kh¸c nhau cña khoa häc, c«ng nghÖ, s¶n xuÊt vµ ®êi sèng x·

héi hiÖn ®¹i; To¸n häc cßn lµ mét c«ng cô ®Ó häc tËp vµ nghiªn cøu

c¸c m«n häc kh¸c.

VÊn ®Ò båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh ®· ®îc nhiÒu t¸c gi¶

trong vµ ngoµi níc quan t©m nghiªn cøu. Víi t¸c phÈm "S¸ng t¹o to¸n

häc" næi tiÕng, nhµ to¸n häc kiªm t©m lý häc G.Polya ®· nghiªn cøu

b¶n chÊt cña qu¸ tr×nh gi¶i to¸n, qu¸ tr×nh s¸ng t¹o to¸n häc. §ång thêi

trong t¸c phÈm "T©m lý n¨ng lùc to¸n häc cña häc sinh", Krutecxiki ®·

nghiªn cøu cÊu tróc n¨ng lùc to¸n häc cña häc sinh. ë níc ta, c¸c t¸c gi¶

Hoµng Chóng, NguyÔn C¶nh Toµn, Ph¹m V¨n Hoµn, NguyÔn B¸ Kim,

Vò D¬ng Thôy, T«n Th©n, Ph¹m Gia §øc,… ®· cã nhiÒu c«ng tr×nh

gi¶i quyÕt nh÷ng vÊn ®Ò vÒ lý luËn vµ thùc tiÔn viÖc ph¸t triÓn t duy

s¸ng t¹o cho häc sinh. Hay nh luËn v¨n Th¹c sÜ cña Tõ H÷u S¬n - §¹i

häc Vinh n¨m 2004 víi tiªu ®Ò: "Gãp phÇn båi dìng mét sè yÕu tè

®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o lý thuyÕt ®å thÞ". Ph¹m Xu©n Chung n¨m

2001: "Khai th¸c s¸ch gi¸o khoa h×nh häc 10 THPT hiÖn hµnh qua mét

sè d¹ng bµi tËp ®iÓn h×nh nh»m ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o cho

häc sinh". T¸c gi¶ Bïi ThÞ Hµ - §¹i häc Vinh n¨m 2003, trong luËn v¨n

cña m×nh víi ®Ò tµi: "Ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh phæ th«ng

qua d¹y häc bµi tËp nguyªn hµm, tÝch ph©n".

Nh vËy, viÖc båi dìng vµ ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o trong ho¹t ®éng

d¹y häc to¸n ®îc rÊt nhiÒu nhµ nghiªn cøu quan t©m. Tuy nhiªn, viÖc

båi dìng t duy s¸ng t¹o th«ng qua d¹y gi¶i c¸c bµi tËp h×nh häc ë trêng

THPT th× c¸c t¸c gi¶ cha khai th¸c vµ ®i s©u vµo nghiªn cøu cô thÓ.

V× vËy, t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cña luËn v¨n nµy lµ: "Båi dìng t

duy s¸ng t¹o cho häc sinh trung häc phæ th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp

h×nh häc".

www.vnmath.com

4

www.vnmath.com

2. Môc ®Ých nghiªn cøu

Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ nghiªn cøu vµ ®Ò xuÊt mét sè

vÊn ®Ò nh»m gãp phÇn rÌn luyÖn yÕu tè t duy s¸ng t¹o cho häc sinh

qua d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc.

www.vnmath.com

5

www.vnmath.com

3. Gi¶ thuyÕt khoa häc

NÕu d¹y häc h×nh häc theo ®Þnh híng båi dìng t duy s¸ng t¹o

cho häc sinh th× cã thÓ gãp phÇn ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc trong

giai ®o¹n hiÖn nay vµ n©ng cao chÊt lîng d¹y häc to¸n ë trêng phæ

th«ng trung häc.

4. NhiÖm vô nghiªn cøu

4.1- Lµm s¸ng tá kh¸i niÖm t duy, t duy s¸ng t¹o.

4.2- X¸c ®Þnh c¸c vÊn ®Ò ®· ®Ò xuÊt nh»m rÌn luyÖn n¨ng lùc

t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.

4.3- X©y dùng vµ khai th¸c hÖ thèng bµi tËp h×nh häc phï hîp víi

sù ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.

4.4- TiÕn hµnh thùc nghiÖm s ph¹m nh»m ®¸nh gi¸ tÝnh kh¶ thi,

tÝnh hiÖn thùc, tÝnh hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi.

5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu

5.1- Nghiªn cøu lý luËn

- Nghiªn cøu c¸c tµi liÖu vÒ gi¸o dôc häc m«n to¸n, t©m lý häc, lý

luËn d¹y häc m«n to¸n.

- C¸c s¸ch b¸o, c¸c bµi viÕt vÒ khoa häc to¸n phôc vô cho ®Ò tµi.

- C¸c c«ng tr×nh nghiªn cøu cã c¸c vÊn ®Ò liªn quan trùc tiÕp

®Õn ®Ò tµi.

5.2. Quan s¸t

- Dù giê, quan s¸t viÖc d¹y häc cña gi¸o viªn vµ viÖc häc cña häc

sinh trong qu¸ tr×nh khai th¸c c¸c bµi tËp s¸ch gi¸o khoa.

5.3. Thùc nghiÖm s ph¹m

TiÕn hµnh thùc nghiÖm s ph¹m víi líp häc thùc nghiÖm vµ líp

häc ®èi chøng trªn cïng mét líp ®èi tîng.

www.vnmath.com

6

www.vnmath.com

6. CÊu tróc luËn v¨n

A. PhÇn më ®Çu

- Lý do chän ®Ò tµi

- Môc ®Ých nghiªn cøu

- NhiÖm vô nghiªn cøu

- Gi¶ thiÕt khoa häc

- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu

B. PhÇn néi dung

Ch ¬ng 1. C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn

1.1. T duy

1.2. T duy s¸ng t¹o

1.3. Mét sè yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o

1.4. VËn dông t duy biÖn chøng ®Ó ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho

HS.

1.5. TiÒm n¨ng cña chñ ®Ò h×nh häc trong viÖc båi dìng t duy

s¸ng t¹o cho häc sinh.

1.6. KÕt luËn ch¬ng 1

Ch ¬ng 2. Mét sè vÊn ®Ò d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc theo

®Þnh híng båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh

2.1. VÊn ®Ò 1: RÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o qua bµi to¸n dùng h×nh

2.2. VÊn ®Ò 2: KhuyÕn khÝch häc sinh t×m ra nhiÒu c¸ch gi¶i

trong mét bµi to¸n.

2.3. VÊn ®Ò 3: X©y dùng hÖ thèng bµi to¸n gèc gióp häc sinh quy l¹

vÒ quen.

2.4. VÊn ®Ò 4: ChuyÓn viÖc t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n h×nh häc

kh«ng gian vÒ bµi to¸n h×nh häc ph¼ng.

2.5. KÕt luËn ch¬ng 2

Ch ¬ng 3. Thùc nghiÖm s ph¹m

3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm

www.vnmath.com

7

www.vnmath.com

3.2. Néi dung thùc nghiÖm

3.2.1. Líp thùc nghiÖm

3.2.2. TiÕn tr×nh thùc nghiÖm

3.3. KÕt qu¶ thùc nghiÖm

3.3.1. §¸nh gi¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh ë líp häc

3.3.2. KÕt luËn vÒ thùc nghiÖm s ph¹m.

Ch ¬ng 1

C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn

1.1. T duy

HiÖn thùc xung quanh cã nhiÒu c¸i mµ con ngêi cha biÕt.

NhiÖm vô cña cuéc sèng vµ ho¹t ®éng thùc tiÔn lu«n ®ßi hái con ngêi

ph¶i hiÓu biÕt c¸i cha biÕt ®ã ngµy mét s©u s¾c, ®óng ®¾n vµ

chÝnh x¸c h¬n, ph¶i v¹ch ra nh÷ng c¸i b¶n chÊt vµ nh÷ng quy luËt t¸c

®éng cña chóng. Qu¸ tr×nh nhËn thøc ®ã gäi lµ t duy.

T duy lµ mét qu¸ tr×nh t©m lý ph¶n ¸nh nh÷ng thuéc tÝnh, b¶n

chÊt mèi liªn hÖ vµ quan hÖ bªn trong cã tÝnh quy luËt cña sù vËt

hiÖn tîng trong hiÖn thùc kh¸ch quan mµ tríc ®ã ta cha biÕt (theo t©m

lý häc ®¹i c¬ng - NguyÔn Quang CÈn)

Theo tõ ®iÓn triÕt häc: "T duy, s¶n phÈm cao nhÊt cña vËt chÊt

®îc tæ chøc mét c¸ch ®Æc biÖt lµ bé n·o, lµ qu¸ tr×nh ph¶n ¸nh tÝch

cùc thÕ giíi kh¸ch quan trong c¸c kh¸i niÖm, ph¸n ®o¸n, lý luËn. T duy

xuÊt hiÖn trong qu¸ tr×nh ho¹t ®éng s¶n xuÊt x· héi cña con ngêi vµ

®¶m b¶o ph¶n ¸nh thùc t¹i mét c¸ch gi¸n tiÕp, ph¸t hiÖn nh÷ng mèi liªn

hÖ hîp quy luËt. T duy chØ tån t¹i trong mèi liªn hÖ kh«ng thÓ t¸ch rêi

khái ho¹t ®éng lao ®éng vµ lêi nãi, lµ ho¹t ®éng chØ tiªu biÓu cho x·

héi loµi ngêi cho nªn t duy cña con ngêi ®îc thùc hiÖn trong mèi liªn

hÖ chÆt chÏ víi lêi nãi vµ nh÷ng kÕt qu¶ cña t duy ®îc ghi nhËn trong

www.vnmath.com

8

www.vnmath.com

ng«n ng÷. Tiªu biÓu cho t duy lµ nh÷ng qu¸ tr×nh nh trõu tîng ho¸,

ph©n tÝch vµ tæng hîp, viÖc nªu lªn lµ nh÷ng vÊn ®Ò nhÊt ®Þnh vµ

t×m c¸ch gi¶i quyÕt chung, viÖc ®Ò xuÊt nh÷ng gi¶ thiÕt, nh÷ng ý

niÖm. KÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh t duy bao giê còng lµ mét ý nghÜ nµo

®ã".

Tõ ®ã ta cã thÓ rót ta nh÷ng ®Æc ®iÓm c¬ b¶n cña t duy.

- T duy lµ s¶n phÈm cña bé n·o con ngêi vµ lµ mét qu¸ tr×nh

ph¶n ¸nh tÝch cùc thÕ giíi kh¸ch quan.

- KÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh t duy bao giê còng lµ mét ý nghÜ vµ ®îc

thÓ hiÖn qua ng«n ng÷.

- B¶n chÊt cña t duy lµ ë sù ph©n biÖt, sù tån t¹i ®éc lËp cña

®èi tîng ®îc ph¶n ¸nh víi h×nh ¶nh nhËn thøc ®îc qua kh¶ n¨ng ho¹t

®éng cña con ngêi nh»m ph¶n ¸nh ®èi tîng.

- T duy lµ qu¸ tr×nh ph¸t triÓn n¨ng ®éng vµ s¸ng t¹o.

- Kh¸ch thÓ trong t duy ®îc ph¶n ¸nh víi nhiÒu møc ®é kh¸c nhau

tõ thuéc tÝnh nµy ®Õn thuéc tÝnh kh¸c, nã phô thuéc vµo chñ thÓ lµ

con ngêi.

1.2. T duy s¸ng t¹o

Theo ®Þnh nghÜa trong tõ ®iÓn th× s¸ng t¹o lµ t×m ra c¸i míi,

c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò míi kh«ng bÞ gß bã vµ phô thuéc vµo c¸i ®·

cã. Néi dung cña s¸ng t¹o gåm hai ý chÝnh cã tÝnh míi (kh¸c c¸i cò, c¸i

®· biÕt) vµ cã lîi Ých (gi¸ trÞ h¬n c¸i cò). Nh vËy sù s¸ng t¹o cÇn thiÕt

cho bÊt kú ho¹t ®éng nµo cña x· héi loµi ngêi. S¸ng t¹o thêng ®îc

nghiªn cøu trªn nhiÒu ph¬ng diÖn nh lµ mét qu¸ tr×nh ph¸t sinh c¸i míi

trªn nÒn t¶ng c¸i cò, nh mét kiÓu t duy, nh lµ mét n¨ng lùc cña con ng-

êi.

www.vnmath.com

9

www.vnmath.com

C¸c nhµ nghiªn cøu ®a ra nhiÒu quan ®iÓm kh¸c nhau vÒ t duy

s¸ng t¹o. Theo NguyÔn B¸ Kim: "TÝnh linh ho¹t, tÝnh déc lËp vµ tÝnh

phª ph¸n lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cÇn thiÕt cña t duy s¸ng t¹o, lµ nh÷ng

®Æc ®iÓm vÒ nh÷ng mÆt kh¸c nhau cña t duy s¸ng t¹o. TÝnh s¸ng t¹o

cña t duy thÓ hiÖn râ nÐt ë kh¶ n¨ng t¹o ra c¸i míi, ph¸t hiÖn vÊn ®Ò

míi, t×m ra híng ®i míi, t¹o ra kÕt qu¶ míi. NhÊn m¹nh c¸i míi kh«ng cã

nghÜa lµ coi nhÑ c¸i cò" (NguyÔn B¸ Kim - Ph¬ng ph¸p d¹y häc bé

m«n To¸n)

Theo T«n Th©n quan niÖm: "T duy s¸ng t¹o lµ mét d¹ng t duy

®éc lËp t¹o ra ý tëng míi, ®éc ®¸o, vµ cã hiÖu qu¶ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò

cao". Vµ theo t¸c gi¶ "T duy s¸ng t¹o lµ t duy ®éc lËp vµ nã kh«ng bÞ

gß bã phô thuéc vµo c¸i ®· cã. TÝnh ®éc lËp cña nã béc lé võa trong

viÖc ®Æt môc ®Ých võa trong viÖc t×m gi¶i ph¸p. Mçi s¶n phÈm cña

t duy s¸ng t¹o ®Òu mang rÊt ®Ëm dÊu Ên cña mçi c¸ nh©n ®· t¹o ra

nã. (T«n Th©n - X©y dùng hÖ thèng c©u hái vµ bµi tËp nh»m båi dìng

mét sè yÕu tè cña t duy s¸ng t¹o cho häc sinh kh¸ vµ giái To¸n ë trêng

THCS ViÖt Nam, luËn ¸n phã TiÕn sü khoa häc s ph¹m - T©m lý, ViÖn

khoa häc gi¸o dôc Hµ Néi)

Nhµ t©m lý häc ngêi §øc Mehlhow cho r»ng "T duy s¸ng t¹o lµ h¹t

nh©n cña sù s¸ng t¹o c¸ nh©n, ®ång thêi lµ môc tiªu c¬ b¶n cña gi¸o

dôc" Theo «ng, t duy s¸ng t¹o ®îc ®Æc trng bëi møc ®é cao cña chÊt

lîng, ho¹t ®éng trÝ tuÖ nh tÝnh mÒm dÎo, tÝnh nh¹y c¶m, tÝnh kÕ

ho¹ch, tÝnh chÝnh x¸c. Trong khi ®ã, J.DanTon l¹i cho r»ng "T duy

s¸ng t¹o ®ã lµ nh÷ng n¨ng lùc t×m thÊy nh÷ng ý nghÜa míi, t×m thÊy

nh÷ng mèi quan hÖ, lµ mét chøc n¨ng cña kiÕn thøc, trÝ tëng tîng vµ

sù ®¸nh gi¸, lµ mét qu¸ tr×nh, mét c¸ch d¹y vµ häc bao gåm nh÷ng

chuçi phiªu lu, chøa ®ùng nh÷ng ®iÒu nh: sù kh¸m ph¸, sù ph¸t sinh,

sù ®æi míi, trÝ tëng tîng, sù thÝ nghiÖm, sù th¸m hiÓm".

www.vnmath.com

10

www.vnmath.com

Trong cuèn: "S¸ng t¹o To¸n häc", G.Polya cho r»ng: "Mét t duy

gäi lµ cã hiÖu qu¶ nÕu t duy ®ã dÉn ®Õn lêi gi¶i mét bµi to¸n cô thÓ

nµo ®ã. Cã thÓ coi lµ s¸ng t¹o nÕu t duy ®ã t¹o ra nh÷ng t liÖu, ph¬ng

tiÖn gi¶i c¸c bµi to¸n sau nµy. C¸c bµi to¸n vËn dông nh÷ng t liÖu ph-

¬ng tiÖn nµy cã sè lîng cµng lín, cã d¹ng mu«n mµu mu«n vÎ, th× møc

®é s¸ng t¹o cña t duy cµng cao, thÝ dô: lóc nh÷ng cè g¾ng cña ngêi

gi¶i v¹ch ra ®îc c¸c ph¬ng thøc gi¶i ¸p dông cho nh÷ng bµi to¸n kh¸c.

ViÖc lµm cña ngêi gi¶i cã thÓ lµ s¸ng t¹o mét c¸ch gi¸n tiÕp, ch¼ng h¹n

lóc ta ®Ó l¹i mét bµi to¸n tuy kh«ng gi¶i ®îc nhng tèt v× ®· gîi ra cho

ngêi kh¸c nh÷ng suy nghÜ cã hiÖu qu¶".

T¸c gi¶ TrÇn Thóc Tr×nh ®· cô thÓ hãa sù s¸ng t¹o víi ngêi häc

To¸n: "§èi víi ngêi häc To¸n, cã thÓ quan niÖm sù s¸ng t¹o ®èi víi hä, nÕu

hä ®¬ng ®Çu víi nh÷ng vÊn ®Ò ®ã, ®Ó tù m×nh thu nhËn ®îc c¸i míi mµ

hä cha tõng biÕt. Nh vËy, mét bµi tËp còng ®îc xem nh lµ mang yÕu tè

s¸ng t¹o nÕu c¸c thao t¸c gi¶i nã kh«ng bÞ nh÷ng mÖnh lÖnh nµo ®ã chi

phèi (tõng phÇn hay hoµn toµn), tøc lµ nÕu ngêi gi¶i cha biÕt tríc thuËt

to¸n ®Ó gi¶i vµ ph¶i tiÕn hµnh t×m hiÓu nh÷ng bíc ®i cha biÕt tríc. Nhµ

trêng phæ th«ng cã thÓ chuÈn bÞ cho häc sinh s½n sµng ho¹t ®éng s¸ng

t¹o theo néi dung võa tr×nh bµy.

Theo ®Þnh nghÜa th«ng thêng vµ phæ biÕn nhÊt cña t duy s¸ng

t¹o th× ®ã lµ t duy s¸ng t¹o ra c¸i míi. ThËt vËy, t duy s¸ng t¹o dÉn ®Õn

nh÷ng tri thøc míi vÒ thÕ giíi vÒ c¸c ph¬ng thøc ho¹t ®éng. Lene ®·

chØ ra c¸c thuéc tÝnh sau ®©y cña t duy s¸ng t¹o:

- Cã sù tù lùc chuyÓn c¸c tri thøc vµ kü n¨ng sang mét t×nh huèng

s¸ng t¹o.

- Nh×n thÊy nh÷ng vÊn ®Ò míi trong ®iÒu kiÖn quen biÕt "®óng

quy c¸ch"

- Nh×n thÊy chøc n¨ng míi cña ®èi tîng quen biÕt.

www.vnmath.com

11

www.vnmath.com

- Nh×n thÊy cÊu t¹o cña ®èi tîng ®ang nghiªn cøu.

- Kü n¨ng nh×n thÊy nhiÒu lêi gi¶i, nhiÒu c¸ch nh×n ®èi víi viÖc

t×m hiÓu lêi gi¶i (kh¶ n¨ng xem xÐt ®èi tîng ë nh÷ng ph¬ng thøc ®·

biÕt thµnh mét ph¬ng thøc míi).

- Kü n¨ng s¸ng t¹o mét ph¬ng ph¸p gi¶i ®éc ®¸o tuy ®· biÕt nhng

ph¬ng thøc kh¸c (Lene - d¹y häc nªn vÊn ®Ò - NXBGD - 1977)

T duy s¸ng t¹o lµ t duy tÝch cùc vµ t duy ®éc lËp nhng kh«ng

ph¶i trong t duy tÝch cùc ®Òu lµ t duy ®éc lËp vµ kh«ng ph¶i trong t

duy ®éc lËp ®Òu lµ t duy s¸ng t¹o vµ cã thÓ biÓu hiÖn mèi quan hÖ

gi÷a c¸c kh¸i niÖm díi d¹ng vßng trong ®ång t©m

T duy tÝch cùc

T duy ®éc lËp

T duy s¸ng t¹o

Cã thÓ nãi ®Õn t duy s¸ng t¹o khi häc sinh tù kh¸m ph¸, tù t×m c¸ch

chøng minh mµ häc sinh ®ã cha biÕt ®Õn. B¾t ®Çu tõ t×nh huèng gîi

vÊn ®Ò, t duy s¸ng t¹o gi¶i quyÕt m©u thuÉn tån t¹o trong t×nh huèng ®ã

víi hiÖu qu¶ cao, thÓ hiÖn ë tÝnh hîp lý, tiÕt kiÖm, tÝnh kh¶ thi vµ c¶ ë vÎ

®Ñp cña gi¶i ph¸p.

Nãi chung t duy s¸ng t¹o lµ mét d¹ng t duy ®éc lËp, t¹o ra ý tëng

míi ®éc ®¸o vµ cã hiÖu qu¶ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò cao.

1.3. Mét sè yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o

www.vnmath.com

12

www.vnmath.com

Theo nghiªn cøu cña c¸c nhµ t©m lý häc, gi¸o dôc häc, … vÒ

cÊu tróc cña t duy s¸ng t¹o, cã n¨m ®Æc trng c¬ b¶n sau:

- TÝnh mÒm dÎo

- TÝnh nhuÇn nhuyÔn

- TÝnh ®éc ®¸o

- TÝnh hoµn thiÖn

- TÝnh nh¹y c¶m vÊn ®Ò

1.3.1. TÝnh mÒm dÎo

TÝnh mÒm dÎo cña t duy lµ n¨ng lùc dÔ dµng ®i tõ ho¹t ®éng trÝ

tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c, tõ thao t¸c t duy nµy sang thao

t¸c t duy kh¸c, vËn dông linh ho¹t c¸c ho¹t ®éng ph©n tÝch, tæng hîp,

so s¸nh, trõu tîng ho¸, kh¸i qu¸t hãa, cô thÓ ho¸ vµ c¸c ph¬ng ph¸p suy

luËn nh quy n¹p, suy diÔn, t¬ng tù, dÔ dµng chuyÓn tõ gi¶i ph¸p nµy

sang gi¶i ph¸p kh¸c, ®iÒu chØnh kÞp thêi híng suy nghÜ khi gÆp trë

ng¹i.

TÝnh mÒm dÎo cña t duy cßn lµ n¨ng lùc thay ®æi dÔ dµng,

nhanh chãng trËt tù cña hÖ thèng tri thøc chuyÓn tõ gãc ®é quan

niÖm nµy sang gãc ®é quan niÖm kh¸c, ®Þnh nghÜa l¹i sù vËt, hiÖn

tîng, g¹t bá s¬ ®å t duy cã s½n vµ x©y dùng ph¬ng ph¸p t duy míi, t¹o

ra sù vËt míi trong nh÷ng quan hÖ míi, hoÆc chuyÓn ®æi quan hÖ vµ

nhËn ra b¶n chÊt sù vËt vµ ®iÒu ph¸n ®o¸n. Suy nghÜ kh«ng rËp

khu«n, kh«ng ¸p dông mét c¸ch m¸y mãc c¸c kiÕn thøc kü n¨ng ®· cã

s½n vµo hoµn c¶nh míi, ®iÒu kiÖn míi, trong ®ã cã nh÷ng yÕu tè ®·

thay ®æi, cã kh¶ n¨ng tho¸t khái ¶nh hëng k×m h·m cña nh÷ng kinh

nghiÖm, nh÷ng ph¬ng ph¸p, nh÷ng c¸ch suy nghÜ ®· cã tõ tríc. §ã lµ

nhËn ra vÊn ®Ò míi trong ®iÒu kiÖn quen thuéc, nh×n thÊy chøc

n¨ng míi cña ®èi tîng quen biÕt.

www.vnmath.com

13

www.vnmath.com

Nh vËy, tÝnh mÒm dÎo lµ mét trong nh÷ng ®Æc ®iÓm c¬ b¶n

cña t duy s¸ng t¹o, do ®ã ®Ó rÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh ta

cã thÓ cho c¸c em gi¶i c¸c bµi tËp mµ th«ng qua ®ã rÌn luyÖn ®îc

tÝnh mÒm dÎo cña t duy.

1.3.2. TÝnh nhuÇn nhuyÔn

TÝnh nhuÇn nhuyÔn cña t duy thÓ hiÖn ë n¨ng lùc t¹o ra mét

c¸ch nhanh chãng sù tæ hîp gi÷a c¸c yÕu tè riªng lÎ cña c¸c h×nh

huèng, hoµn c¶nh, ®a ra gi¶ thuyÕt míi. C¸c nhµ t©m lý häc rÊt coi

träng yÕu tè chÊt lîng cña ý tëng sinh ra, lÊy ®ã lµm tiªu chÝ ®Ó ®¸nh

gi¸ s¸ng t¹o.

TÝnh nhuÇn nhuyÔn ®îc ®Æc trng bëi kh¶ n¨ng t¹o ra mét sè l-

îng nhÊt ®Þnh c¸c ý tëng. Sè ý tëng nghÜ ra cµng nhiÒu th× cµng cã

nhiÒu kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn ý tëng ®éc ®¸o, trong trêng hîp nµy sè lîng

lµm n¶y sinh ra chÊt lîng. TÝnh nhuÇn nhuyÔn cßn thÓ hiÖn râ nÐt ë

2 ®Æc trng sau:

- Mét lµ tÝnh ®a d¹ng cña c¸c c¸ch xö lý khi gi¶i to¸n, kh¶ n¨ng

t×m ®îc nhiÒu gi¶i ph¸p trªn nhiÒu gãc ®é vµ t×nh huèng kh¸c nhau.

§øng tríc mét vÊn ®Ó ph¶i gi¶i quyÕt, ngêi cã t duy nhuÇn nhuyÔn

nhanh chãng t×m vµ ®Ò xuÊt ®îc nhiÒu ph¬ng ¸n kh¸c nhau vµ tõ ®ã

t×m ®îc ph¬ng ¸n tèi u.

VÝ dô : Cho tø diÖn OABC, trong ®ã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc

vµ OA = OB = OC = a. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. H·y tÝnh kho¶ng

c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng chÐo nhau AI, OC?

C¸ch 1: Xem kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®êng th¼ng chÐo nhau AI vµ OC lµ

kho¶ng c¸ch tõ 1 ®iÓm thuéc 1 ®êng th¼ng (ch¼ng h¹n O ∈ OC) ®Õn

mét mÆt ph¼ng song song ®êng th¼ng ®ã vµ chøa ®êng th¼ng cßn

l¹i mÆt ph¼ng (AIJ).

www.vnmath.com

14

www.vnmath.com

Qua I kÎ IJ // OC (J ∈ OB)

Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua AI, IJ khi ®ã (P) // OC.

VËy d(AI, OC) = d(OC, (P)) = d(O, (P)).

KÎ OH ⊥ AJ (H ∈ AJ). V× IJ // OC nªn IJ OB

IJ OA

⊥ ⊥

⇒ IJ ⊥ OH.

Do ®ã OH ⊥ (AIJ) hay OH ⊥ (P)

Suy ra d (AI, OC) = d ((P), OC) = d ((P), O) = OH = a

5.

- Hai lµ kh¶ n¨ng xem xÐt ®èi tîng díi nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c

nhau, cã mét c¸i nh×n sinh ®éng tõ nhiÒu phÝa ®èi víi sù vËt vµ hiÖn

tîng chø kh«ng ph¶i c¸i nh×n bÊt biÕn, phiÕn diÖn, cøng nh¾c.

Trë l¹i vÝ dô trªn ta cã:

C¸ch 2: Dùng ®êng vu«ng gãc chung cña AI vµ OC.

- Qua I kÎ ®êng th¼ng IJ // OC (J ∈ OB)

- Qua O kÎ ®êng th¼ng OH // AJ (H ∈ AJ)

- Qua H kÎ ®êng th¼ng HE // IJ (I ∈ AI)

- Qua E kÎ ®êng th¼ng EF // OH (F ∈ OC)

Khi ®ã EF lµ ®o¹n ⊥ gãc chung cña AI vµ OC.

ThËt vËy. V× IJ // OC nªn

IJ OB IJ (AOB)

IJ OA IJ OH (1)

⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥

V× OH ⊥ AJ (theo c¸ch dùng) nªn theo (1) ta cã OH ⊥ (AIJ)

⇒ OH ⊥ AI mµ EF // OH nªn ⇒ EF ⊥ AI (2)

Ta l¹i cã: OC ⊥ (AOB) ⇒ OC ⊥ OH.

Do ®ã EF ⊥ OC (OH // EF) (3)

Tõ (2) vµ (3) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.

www.vnmath.com

15

o

f

c

i

e

h

a

jb

www.vnmath.com

Kho¶ng c¸ch gi÷a ®êng th¼ng AI vµ OC lµ:

d(AI, OC) = EF = OH.

Trong ®ã: 22 2 2 2 2

1 1 1 1 1 5

OH OA OJ a aa2

= + = + = ÷

⇒ OH = a

5. VËy d(AI, OC) =

a

5.

C¸ch 3: XÐt kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng AI vµ OC lµ kho¶ng

c¸ch gi÷a hai mÆt ph¼ng lÇn lît chøa hai ®êng th¼ng AI, OC vµ song

song víi nhau.

Tõ I kÎ IJ // OC (J ∈ OB)

Gäi (P) lµ mp qua AI vµ IJ,

(Q) lµ mp qua DC vµ // (P)

Khi ®ã:

d(AC, AI) = d ((P) (Q)) = d (O, (P)) = OH = a

5.

C¸ch 4: Xem kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®êng th¼ng AI vµ OC lµ chiÒu cao

h×nh chãp cã ®Ønh lµ mét ®iÓm n»m trªn mét ®êng th¼ng (ch¼ng

h¹n O ∈ OC) ®¸y n»m trªn mÆt ph¼ng // ®êng th¼ng ®ã vµ chøa ®-

êng th¼ng cßn l¹i (mp (AIJ)). H×nh chãp OAIJ

Ta cã d(OC, AI) = OAIJ

AIJ

3V

S

Trong ®ã:

VOAIJ = 31 1 a a a

OJ.AJ . . .a6 6 2 2 24

= =

SAIJ = 2

21 1 a a a 5AJ.IJ a .

2 2 4 2 8= + =

www.vnmath.com

16

c

oj

i

b

h

a

www.vnmath.com

⇒ d(OC, AI) = 3

2

a 8 a3 .2a a 5 5

=

VËy d (OC, AI) = a

5.

C¸ch 5: Xem kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng AI, OC lµ chiÒu cao

h×nh hép cã hai ®¸y chøa 2 ®êng th¼ng trªn.

Dùng h×nh hép AMNPOCDI

Gäi V lµ thÓ tÝch cña h×nh hép. Khi ®ã d (OC, AI) = MNCO

V

S

Trong ®ã V = AO . SOCDI = 2AO . SOCI

⇔ V = 2 . a . 31 a a a

OI.IC a. .2 212 2

= =

SMNCO = SAPDI = IA . ID . sin ( ·AID )

= IA . OC . sin ( ¶AIJ )

⇔ SMNCO = IA . OC . AJ

AI = OC . AJ

Trong ®ã OC = a

AJ = 2

2 aa

4+

⇒ SMNCO = 2a 5 a 5

a. .2 2

VËy d(OC, AI) =

3

2

a a2a 5 52

= .

1.3.3. TÝnh ®éc ®¸o

TÝnh ®éc ®¸o cña t duy ®îc ®Æc trng bëi c¸c kh¶ n¨ng.

- Kh¶ n¨ng t×m ra nh÷ng hiÖn tîng vµ nh÷ng kÕt hîp míi.

www.vnmath.com

17

m

a p

d

co

n

b

i

www.vnmath.com

- Kh¶ n¨ng nh×n ra nh÷ng mèi liªn hÖ trong nh÷ng sù kiÖn mµ

bªn ngoµi liªn tëng nh kh«ng cã liªn hÖ víi nhau.

- Kh¶ n¨ng t×m ra nh÷ng gi¶i ph¸p l¹ tuy ®· biÕt nh÷ng gi¶i ph¸p

kh¸c.

C¸c yÕu tè c¬ b¶n trªn kh«ng t¸ch rêi nhau mµ tr¸i l¹i chóng cã

quan hÖ mËt thiÕt víi nhau, hç trî bæ sung cho nhau. Kh¶ n¨ng dÔ

dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c

(tÝnh mÒm dÎo) t¹o ®iÒu kiÖn cho viÖc t×m ®îc nhiÒu gi¶i ph¸p trªn

nhiÒu gãc ®é vµ t×nh huèng kh¸c nhau (tÝnh nhuÇn nhuyÔn) vµ nhê

®ã ®Ò xuÊt ®îc nhiÒu ph¬ng ¸n kh¸c nhau mµ cã thÓ t×m ®îc gi¶i

ph¸p l¹, ®Æc s¾c (tÝnh ®éc ®¸o). C¸c yÕu tè nµy cã quan hÖ kh¨ng

khÝt víi c¸c yÕu tè kh¸c nh: TÝnh chÝnh x¸c, tÝnh hoµn thiÖn, tÝnh

nh¹y c¶m vÊn ®Ò. TÊt c¶ c¸c yÕu tè ®Æc trng nãi trªn cïng gãp phÇn

t¹o nªn t duy s¸ng t¹o, ®Ønh cao nhÊt trong c¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ cña

con ngêi.

1.3.4. TÝnh hoµn thiÖn

TÝnh hoµn thiÖn lµ kh¶ n¨ng lËp kÕ ho¹ch, phèi hîp c¸c ý nghÜa

vµ hµnh ®éng, ph¸t triÓn ý tëng, kiÓm tra vµ kiÓm chøng ý tëng.

1.3.5. TÝnh nh¹y c¶m vÊn ®Ò

TÝnh nh¹y c¶m vÊn ®Ò cã c¸c ®Æc trng sau:

- Kh¶ n¨ng nhanh chãng ph¸t hiÖn vÊn ®Ò

- Kh¶ n¨ng ph¸t hiÖn ra m©u thuÉn, sai lÇm, thiÕu logic, cha tèi -

u tõ ®ã cã nhu cÇu cÊu tróc l¹i, t¹o ra c¸i míi.

C¸c yÕu tè c¬ b¶n cña t duy s¸ng t¹o nªu trªn ®· biÓu hiÖn kh¸ râ

ë häc sinh nãi chung vµ ®Æc biÖt râ nÐt ®èi víi häc sinh kh¸ giái.

www.vnmath.com

18

www.vnmath.com

Trong häc tËp To¸n mµ cô thÓ lµ trong ho¹t ®éng gi¶i to¸n, c¸c em ®·

biÕt di chuyÓn, thay ®æi c¸c ho¹t ®éng trÝ tuÖ, biÕt sö dông xen kÏ

ph©n tÝch vµ tæng hîp, dïng ph©n tÝch trong khi t×m tßi lêi gi¶i vµ

dïng tæng hîp ®Ó tr×nh bµy lêi gi¶i. ë häc sinh kh¸ vµ giái còng cã sù

biÓu hiÖn c¸c yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o. §iÒu quan träng lµ

ngêi gi¸o viªn ph¶i cã ph¬ng ph¸p d¹y häc thÝch hîp ®Ó cã thÓ båi d-

ìng vµ ph¸t triÓn tèt h¬n n¨ng lùc s¸ng t¹o ë c¸c em.

1.4. VËn dông t duy biÖn chøng ®Ó ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc

sinh.

T duy biÖn chøng cã thÓ ph¶n ¸nh ®óng ®¾n thÕ giíi xung

quanh vµ nhiÖm vô cña ngêi thÇy gi¸o lµ rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng

lùc xem xÐt c¸c ®èi tîng vµ hiÖn tîng trong sù vËn ®éng, trong nh÷ng

mèi liªn hÖ, mèi m©u thuÉn vµ trong sù ph¸t triÓn.

T duy biÖn chøng rÊt quan träng, nã lµ c¸i gióp ta ph¸t hiÖn vÊn

®Ò vµ ®Þnh híng t×m tßi c¸ch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, nã gióp ta còng cè

lßng tin khi trong viÖc t×m tßi t¹m thêi gÆp thÊt b¹i, nh÷ng khi ®ã ta

vÉn v÷ng lßng tin r»ng råi sÏ cã ngµy thµnh c«ng vµ híng t×m ®Õn

thµnh c«ng lµ cè nh×n cho ®îc mçi kh¸i niÖm to¸n häc theo nhiÒu c¸ch

kh¸c nhau, cµng nhiÒu cµng tèt.

T duy s¸ng t¹o lµ lo¹i h×nh t duy ®Æc trng bëi ho¹t ®éng vµ suy

nghÜ nhËn thøc mµ nh÷ng ho¹t ®éng nhËn thøc Êy lu«n theo mét ph-

¬ng diÖn míi, gi¶i quyÕt vÊn ®Ò theo c¸ch míi, vËn dông trong mét

hoµn c¶nh hoµn toµn míi, xem xÐt sù vËt hiÖn tîng, vÒ mèi quan hÖ

theo mét c¸ch míi cã ý nghÜa, cã gi¸ trÞ. Muèn ®¹t ®îc ®iÒu ®ã khi

xem xÐt vÊn ®Ò nµo ®ã chóng ta ph¶i xem xÐt tõ chÝnh b¶n th©n

nã, nh×n nã díi nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau, ®Æt nã vµo nh÷ng hoµn

www.vnmath.com

19

www.vnmath.com

c¶nh kh¸c nhau, ... nh thÕ míi gi¶i quyÕt vÊn ®Ò mét c¸ch s¸ng t¹o ®-

îc. MÆt kh¸c t duy biÖn chøng ®· chØ râ lµ khi xem xÐt sù vËt ph¶i

xem xÐt mét c¸ch ®Çy ®ñ víi tÊt c¶ tÝnh phøc t¹p cña nã, tøc lµ ph¶i

xem xÐt sù vËt trong tÊt c¶ c¸c mÆt, c¸c mèi quan hÖ trong tæng thÓ

nh÷ng mèi quan hÖ phong phó, phøc t¹p vµ mu«n vÎ cña nã víi c¸c sù

vËt kh¸c. §©y lµ c¬ së ®Ó häc sinh häc to¸n mét c¸ch s¸ng t¹o, kh«ng

gß bã, ®a ra ®îc nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau.

§iÒu ®ã cã nghÜa lµ chóng ta ph¶i rÌn luyÖn t duy biÖn chøng

cho häc sinh hay nãi c¸ch kh¸c lµ rÌn luyÖn t duy biÖn chøng cho

häc sinh tõ ®ã cã thÓ rÌn luyÖn ®îc t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.

VÝ dô: XÐt bµi to¸n sau ®©y: "Cho tam gi¸c ABC, vÒ phÝa ngoµi

cña tam gi¸c ®ã ta dùng c¸c tam gi¸c ®Òu ABC', ACB', BCA'. Chøng

minh r»ng tam gi¸c IJK t¹o thµnh tõ c¸c ®iÓm lµ t©m cña c¸c tam gi¸c

®Òu trªn lµ mét tam gi¸c ®Òu".

Tríc hÕt ta cha nªu ra lêi gi¶i bµi to¸n ngay mµ h·y ®Æt bµi to¸n

trong nh÷ng mèi liªn hÖ, xem xÐt nã trong sù vËn ®éng, nh×n bµi to¸n d-

íi nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau ®Ó t×m ph¬ng ¸n gi¶i quyÕt tèi u nhÊt, s¸ng

t¹o nhÊt.

§èi víi bµi to¸n chøng minh mét tam gi¸c lµ mét tam gi¸c ®Òu

chóng ta ph¶i híng häc sinh nh×n nhËn tam gi¸c ®Òu díi nhiÒu khÝa

c¹nh kh¸c nhau ®Ó t×m ra c¸c lêi gi¶i cho bµi to¸n:

- NÕu ta nh×n tam gi¸c ®Òu lµ mét tam gi¸c cã ba c¹nh b»ng nhau

chóng ta sÏ cã híng chøng minh ba c¹nh cña tam gi¸c b»ng nhau:

www.vnmath.com

20

www.vnmath.com

K

J

I

B'

A'

CB

AC'

Ta t×m c¸ch biÕn ®æi ®Ó cã biÓu thøc cña KJ2 ®èi xøng ®èi víi

a, b, c. Chó ý r»ng ΔABCSbc.sinA21 = vµ 222 a2bc.cosAcb =−+ . Ta cã

S

332

6cbaKJ

S332

6c

6b

62bc.cosAcbKJ

2222

22222

+++=

+++−+=

www.vnmath.com

21

Do ®ã

bc.sinA33bc.cosA

31

3b

3c

)60bc.cos(A32

3b

3cKJ

22

22o

+−+=

+−+=

C¸ch gi¶i 1:

Chøng minh JI = JK = KI.

Trong tam gi¸c AKJ ta cã:

KJ2 = AK2+AJ2-2.AK.AJ. ·cosKAJ

Gäi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC lÇn

lît lµ a, b, c th×

33bAJ,

33cAK ==

Cßn · )ocosKAJ cos(A 60= +

www.vnmath.com

V× biÓu thøc KJ2 ®èi xøng ®èi víi a, b, c nªn mét c¸ch t¬ng tù ta

cã: 222 KIJIKJ == . Suy ra KIJIKJ == hay tam gi¸c IJK ®Òu.

- NÕu ta nh×n tam gi¸c ®Òu lµ mét tam gi¸c cã ba gãc b»ng nhau

ta sÏ cã híng chøng minh ba gãc cña tam gi¸c b»ng nhau:

Ta yªu cÇu häc sinh h·y xÐt bµi to¸n nµy xem trong b¶n th©n nã

cã nh÷ng mèi liªn hÖ nµo? Lóc nµy buéc häc sinh ph¶i suy nghÜ, ph¶i

®Æt bµi to¸n trong nh÷ng mèi liªn hÖ kh¸c, ta cã c¸ch gi¶i 2:

C¸ch gi¶i 2: Chøng minh ba gãc I, J, K b»ng nhau:

KJ

I

O

C'B'

A'

C

A

B

Ta vÏ ®êng trßn ACB' vµ CA'B ngo¹i tiÕp hai tam gi¸c ACB' vµ

CA'B, hai ®êng trßn c¾t nhau t¹i C vµ O.

Ta cã · ·AOC BOC 120o= = . Do ®ã ta cã · 0AOB 120= vµ ®êng trßn

ABC' còng ®i qua O.

MÆt kh¸c, IJ lµ ®êng nèi t©m, OC lµ d©y cung cña hai ®êng trßn

BOC vµ AOC nªn IJ ⊥ OC.

T¬ng tù, ta cã OAIK ⊥ . Do ®ã, v× · 0AOB 120= , nªn · 0IJK 60= .

Hoµn toµn t¬ng tù ta cã: · · 0JKI KIJ 60= = .

(NÕu O n»m ngoµi tam gi¸c ABC ta còng cã c¸ch chøng minh t -

¬ng tù nh trªn).

www.vnmath.com

22

A

A2

A1

B

O1

O2

www.vnmath.com

VËy ta cã tam gi¸c IJK lµ tam gi¸c ®Òu.

* Khi ®· nªu ®îc hai c¸ch gi¶i cña bµi to¸n vµ nªu nhËn xÐt b©y giê

gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh h·y ®Æc biÖt hãa c¸c gi¶ thiÕt cña bµi to¸n

®Ó lµm s¸ng tá h¬n bµi to¸n vµ cã thÓ t×m ra c¸c bµi to¸n t¬ng tù.

- Tríc hÕt ta xÐt trêng hîp ®Æc biÖt ®ã lµ khi tam gi¸c ABC suy

biÕn thµnh ®o¹n th¼ng tøc lµ ta nh×n ®o¹n th¼ng lµ mét tam gi¸c cã

hai ®Ønh trïng nhau khi ®ã ta sÏ cã kÕt qu¶ nh thÕ nµo?

Gi¶ sö tam gi¸c ABC cã ®Ønh C trïng víi ®Ønh A

Nh×n vµo h×nh vÏ ta thÊy: DÔ dµng

chøng minh ®îc r»ng tam gi¸c AO1O2 lµ tam

gi¸c ®Òu.

VËy ta còng cã kÕt qu¶ hoµn toµn t¬ng tù.

- B©y giê ta xÐt trêng hîp nÕu c¸c tam

gi¸c ®Òu ®îc dùng vÒ phÝa trong cña tam

gi¸c ABC th× sÏ cã ®iÒu g×?

NÕu ta nh×n miÒn trong vµ miÒn ngoµi cña tam gi¸c trong sù

thèng nhÊt th× kÕt qu¶ lµ ta còng thu ®îc mét ®iÒu t¬ng tù nh trªn.

* NÕu ta thay tam gi¸c ABC b»ng h×nh b×nh hµnh ABCD tøc lµ ta

xem tam gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh cã hai ®Ønh trïng nhau th× ta sÏ cã

kÕt qu¶ g×?

NÕu xem tam gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh cã hai ®Ønh trïng nhau th×

tõ c¸c c¸ch dùng tam gi¸c ®Òu vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c b©y giê trªn

c¸c c¹nh cña h×nh b×nh hµnh ta dùng c¸c h×nh vu«ng vÒ phÝa ngoµi

cña h×nh b×nh hµnh.

VËy tø gi̧ c t¹o bëi t©m cña c¸c h×nh vu«ng cã tÝnh chÊt g× t¬ng tù trªn

kh«ng?

www.vnmath.com

23

www.vnmath.com

- Häc sinh vÏ h×nh vµ dù ®o¸n r»ng nÕu ABCD lµ h×nh b×nh hµnh

th× IKLM lµ h×nh vu«ng.

Tõ ®ã sÏ ®a häc sinh ®Õn viÖc chøng minh xem dù ®o¸n ®ã cã

®óng kh«ng.

M

L

K

I

DC

BA

ThËt vËy, v× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn ta cã I vµ L, K vµ M

®èi xøng nhau qua O (O lµ t©m ®èi xøng cña h×nh b×nh hµnh

ABCD), suy ra IKLM lµ h×nh b×nh hµnh. MÆt kh¸c, ta cã hai tam gi¸c

IBK vµ IAM b»ng nhau (c.c.c) nªn ta suy ra gãc KIM lµ gãc vu«ng. VËy

IKLM lµ h×nh vu«ng.

1.5. TiÒm n¨ng cña h×nh häc trong viÖc båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc

sinh.

Trong qu¸ tr×nh häc To¸n th× kü n¨ng vËn dông To¸n häc lµ quan

träng nhÊt, nhµ trêng phæ th«ng kh«ng chØ cung cÊp cho häc sinh

nh÷ng kiÕn thøc To¸n häc, mµ cßn luyÖn cho häc sinh kü n¨ng vËn

dông tÝnh ®éc lËp, sù ®éc ®¸o vµ kh¶ n¨ng s¸ng t¹o.

C¸c nhµ t©m lý häc cho r»ng: "S¸ng t¹o b¾t ®Çu tõ thêi ®iÓm

mµ c¸c ph¬ng ph¸p logic ®Ó gi¶i quyÕt nhiÖm vô lµ kh«ng ®ñ vµ gÆp

trë ng¹i hoÆc kÕt qu¶ kh«ng ®¸p øng ®îc c¸c ®ßi hái ®Æt ra tõ ®Çu,

hoÆc xuÊt hiÖn gi¶i ph¸p míi tèt h¬n gi¶i ph¸p cò".

www.vnmath.com

24

www.vnmath.com

ChÝnh v× vËy ®iÒu quan träng lµ hÖ thèng bµi tËp cÇn ph¶i ®-

îc khai th¸c vµ sö dông hîp lý nh»m rÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng

ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o biÓu hiÖn ë c¸c mÆt nh: kh¶ n¨ng t×m híng ®i

míi (kh¶ n¨ng t×m nhiÒu lêi gi¶i kh¸c nhau cho mét bµi to¸n), kh¶ n¨ng

t×m ra kÕt qu¶ míi (khai th¸c c¸c kÕt qu¶ cña mét bµi to¸n, xem xÐt c¸c

khÝa c¹nh kh¸c nhau cña mét bµi to¸n).

Chñ ®Ò h×nh häc chøa ®ùng nhiÒu tiÒm n¨ng to lín trong viÖc

båi dìng vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o cho häc sinh. Bªn c¹nh viÖc gióp

häc sinh gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp s¸ch gi¸o khoa, gi¸o viªn cã thÓ khai

th¸c c¸c tiÒm n¨ng ®ã th«ng qua viÖc x©y dùng hÖ thèng bµi tËp míi trªn

c¬ së hÖ thèng bµi tËp c¬ b¶n, t¹o c¬ héi cho häc sinh ph¸t triÓn n¨ng lùc

s¸ng t¹o cña m×nh.

Trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn cÇn dÉn d¾t häc sinh gi¶i

quyÕt hÖ thèng bµi tËp míi, t¹o cho häc sinh ph¸t hiÖn vÊn ®Ò míi, ®ã

lµ vÊn ®Ò quan träng mµ ta cÇn quan t©m båi dìng cho häc sinh.

Cã nhiÒu ph¬ng ph¸p khai th¸c kh¸c c¸c bµi tËp c¬ b¶n trong

s¸ch gi¸o khoa, ®Ó t¹o ra c¸c bµi to¸n cã t¸c dông rÌn luyÖn tÝnh mÒm

dÎo, tÝnh nhuÇn nhuyÔn, tÝnh ®éc ®¸o cña t duy.

Trªn c¬ së ph©n tÝch kh¸i niÖm t duy s¸ng t¹o cïng nh÷ng yÕu

tè ®Æc trng cña nã vµ dùa vµo quan ®iÓm: båi dìng tõng yÕu tè cô

thÓ cña t duy s¸ng t¹o cho häc sinh lµ mét trong nh÷ng biÖn ph¸p ®Ó

ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o cho c¸c em. C¸c bµi tËp chñ yÕu

nh»m båi dìng tÝnh mÒm dÎo cña t duy s¸ng t¹o víi c¸c ®Æc trng: dÔ

dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c,

suy nghÜ kh«ng rËp khu«n; kh¶ n¨ng nhËn ra vÊn ®Ò míi trong ®iÒu

kiÖn quen thuéc, kh¶ n¨ng nh×n thÊy chøc n¨ng míi cña ®èi tîng quen

biÕt. C¸c bµi tËp chñ yÕu nh»m båi dìng tÝnh nhuÇn nhuyÔn cña t

www.vnmath.com

25

www.vnmath.com

duy s¸ng t¹o víi c¸c ®Æc trng: kh¶ n¨ng t×m ®îc nhiÒu gi¶i ph¸p trªn

nhiÒu gãc ®é vµ hoµn c¶nh kh¸c nhau, kh¶ n¨ng xem xÐt ®èi tîng díi

nh÷ng khÝa c¹nh kh¸c nhau. C¸c bµi tËp chñ yÕu nh»m båi dìng tÝnh

nh¹y c¶m vÊn ®Ò cña t duy s¸ng t¹o víi c¸c ®Æc trng: nhanh chãng

ph¸t hiÖn nh÷ng vÊn ®Ò t×m ra kÕt qu¶ míi, t¹o ®îc bµi to¸n míi, kh¶

n¨ng nhanh chãng ph¸t hiÖn ra c¸c m©u thuÉn, thiÕu logic.

Ngoµi ra t duy h×nh häc mang nh÷ng nÐt ®Æc trng quan träng

vµ c¬ b¶n cña t duy to¸n häc. ViÖc ph¸t triÓn t duy h×nh häc lu«n g¾n

víi kh¶ n¨ng ph¸t triÓn trÝ tëng tîng kh«ng gian, ph¸t triÓn t duy h×nh

häc lu«n g¾n liÒn víi viÖc ph¸t triÓn cña ph¬ng ph¸p suy luËn; viÖc

ph¸t triÓn t duy ë cÊp ®é cao sÏ kÐo theo sù ph¸t triÓn t duy ®¹i sè.

Nh vËy ®Ó n©ng dÇn cÊp dé t duy trong d¹y häc h×nh häc, viÖc d¹y

häc ph¶i ®îc chó ý vµo: ph¸t triÓn trÝ tëng tîng kh«ng gian b»ng c¸ch:

gióp häc sinh h×nh thµnh vµ tÝch luü c¸c biÓu tîng kh«ng gian mét

c¸ch v÷ng ch¾c, biÕt nh×n nhËn c¸c ®èi tîng h×nh häc ë c¸c kh«ng

gian kh¸c nhau, biÕt ®o¸n nhËn sù thay ®æi cña c¸c biÓu tîng kh«ng

gian khi thay ®æi mét sè sù kiÖn.

Nh vËy tiÒm n¨ng cña chñ ®Ò h×nh häc trong viÖc båi dìng t

duy s¸ng t¹o cho häc sinh lµ rÊt lín.

1.6. KÕt luËn ch¬ng 1

Trong ch¬ng nµy luËn v¨n ®· lµm râ c¸c kh¸i niÖm t duy, t duy

s¸ng t¹o, nªu ®îc c¸c yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o, vµ vËn dông

®îc t duy biÖn chøng ®Ó ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o, ®ång thêi nªu ®îc

tiÒm n¨ng cña chñ ®Ò H×nh häc trong viÖc båi dìng t duy s¸ng t¹o cho

häc sinh.

ViÖc båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua qu¸ tr×nh d¹y

häc gi¶i bµi tËp to¸n lµ rÊt cÇn thiÕt bëi qua ®ã chóng ta gióp häc sinh

www.vnmath.com

26

www.vnmath.com

häc tËp tÝch cùc h¬n vµ kÝch thÝch ®îc tÝnh s¸ng t¹o cña häc sinh

trong häc tËp vµ trong cuéc sèng.

VËy c«ng viÖc cña mçi gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh d¹y häc lµ t×m ra

®îc c¸c ph¬ng ph¸p nh»m ph¸t triÓn vµ rÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o cho häc

sinh.

www.vnmath.com

27

www.vnmath.com

Ch ¬ng 2

Mét sè vÊn ®Ò d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc theo ®Þnh híng båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh

2.1. VÊn ®Ò 1: RÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o qua bµi to¸n dùng h×nh.

To¸n dùng h×nh lµ vÊn ®Ò kh¸ lý thó cña to¸n häc phæ th«ng.

Nã gióp ph¸t triÓn t duy logic, ãc s¸ng t¹o v× ®ßi hái tù t¹o ra h×nh vÏ

cÇn thiÕt ®Ó suy luËn t×m ra c¸ch gi¶i.

2.1.1. Vµi nÐt vÒ lÞch sö h×nh häc dùng h×nh.

Vµo c¸c thÕ kû thø t vµ thø n¨m tríc c«ng nguyªn c¸c nhµ to¸n

häc HiL¹p næi tiÕng ®· quan t©m ®Õn dùng h×nh h×nh häc nh

Pitago, Hip«crat, ¬clit, Ap«l«niut.

Trêng ph¸i Pitago ®· thµnh c«ng trong mét sè bµi to¸n t¬ng ®èi

phøc t¹p nh dùng h×nh ngò gi¸c ®Òu. Vµo thÕ kû thø 5 tríc c«ng

nguyªn cã ba bµi to¸n næi tiÕng. Chia ba mét gãc, gÊp ®«i h×nh lËp

ph¬ng vµ cÇu ph¬ng h×nh trßn (kh«ng gi¶i ®îc b»ng thíc vµ compa).

§Õn thÕ kû thø 6 tríc c«ng nguyªn, ¥clit ngêi s¸ng lËp hÖ h×nh

häc ®Çu tiªn ®· nªu lªn nh÷ng tiªn ®Ò quan träng nhÊt cña h×nh häc

chøng tá vai trß cña dùng h×nh trong to¸n häc nh:

- Cã thÓ v¹ch mét ®êng th¼ng tõ mét ®iÓm tíi 1 ®iÓm kh¸c.

- Cã thÓ liªn tôc kÐo dµi mét ®êng th¼ng bÞ giíi h¹n.

- Víi mçi mét t©m vµ mçi mét kho¶ng c¸ch cã thÓ v¹ch ®îc mét ®êng

trßn.

C¸c nhµ h×nh häc cæ HiL¹p ®· gi¶i ®îc nh÷ng bµi to¸n dùng

h×nh khã b»ng thíc vµ compa, ch¼ng h¹n Ap«l«ni Pecxki ®· gi¶i ®îc

bµi to¸n næi tiÕng mang tªn «ng: "Dùng mét ®êng trßn tiÕp xóc víi ba

www.vnmath.com

28

www.vnmath.com

®êng trßn cho tríc". Hä l¹i gi¶i ®¹i sè víi dùng h×nh nh: Gi¶i ph¬ng

tr×nh bËc nhÊt vµ ph¬ng tr×nh bËc hai b»ng dùng h×nh.

Nh÷ng ngêi s¸ng lËp ra to¸n häc hiÖn ®¹i ®· quan t©m nhiÒu

®Õn c¸c bµi to¸n dùng h×nh. §Òc¸c vµ NewT¬n ®· gi¶i bµi to¸n chia ba

mét gãc b»ng c¸c thiÕt diÖn h×nh nãn, gi¶i ®îc bµi to¸n Ap«l«ni cïng

víi ¥le.

ViÖc kh¶o cøu nhiÒu vÊn ®Ò h×nh häc ®îc dùa vµo h×nh häc

dùng h×nh, ®Æc biÖt ®èi víi c¸ch chøng minh sù tån t¹i, ch¼ng h¹n

sù tån t¹i t©m cña mét ®êng trßn néi tiÕp trong tam gi¸c, sù tån t¹i cña

nh÷ng tam gi¸c ®ång d¹ng, sù tån t¹i cña nh÷ng ®êng th¼ng song

song, … ®Òu ®îc chøng minh b»ng phÐp dùng h×nh.

2.1.2. Gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh lµ g×?.

Gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh lµ t×m ®îc 1 h×nh tho¶ m·n nh÷ng

®iÒu kiÖn trong bµi to¸n.

Nãi nh thÕ cha ®ñ, v× ®iÒu kiÖn quan träng lµ dïng nh÷ng dông

cô g× ®Ó dùng h×nh. Bëi v× trong thùc tiÔn cuéc sèng ®ßi hái tÝnh

hiÖu qu¶ cña c«ng viÖc. HiÖu qu¶ cµng cao th× c«ng viÖc cã gi¸ trÞ.

Lµm sao khi dùng h×nh, sè lîng dông cô sö dông lµ Ýt nhÊt.

VÝ dô víi bµi to¸n "dùng mét gãc b»ng 200, lÊy 1 tia cho tríc lµm

c¹nh", nÕu dïng thíc ®o gãc th× bµi to¸n rÊt ®¬n gi¶n, nhng nÕu chØ

dïng thíc vµ compa th× bµi to¸n nµy kh«ng gi¶i ®îc! (ngêi ta ®· chøng

minh r»ng chØ dïng thíc vµ compa th× kh«ng thÓ dùng ®îc 1 gãc =

200).

2.1.2.1. T¹i sao chØ dïng thíc vµ compa?

C¸c nhµ to¸n häc cæ HiL¹p chØ xem phÐp dùng dïng thíc vµ

compa lµ hîp ph¸p, cã tÝnh chÊt h×nh häc ch©n chÝnh vµ kh«ng c«ng

nhËn viÖc sö dông c¸c dông cô kh¸c ®Ó dùng h×nh.

www.vnmath.com

29

www.vnmath.com

Quan ®iÓm ®ã vÉn tån t¹i cho ®Õn ngµy nay. Hä còng ®· thµnh

c«ng trong viÖc gi¶i nh÷ng bµi to¸n dùng h×nh rÊt khã b»ng thíc vµ

compa. Hä coi thíc kÎ lµ v« h¹n v× chØ cã mét c¹nh , coi compa cã

tÝnh chÊt dïng ®Ó vÏ nh÷ng ®êng trßn cã b¸n kÝnh tuú ý.

C¬ së lý luËn cña h×nh häc dùng h×nh lµ nh÷ng tiªn ®Ò sau

®©y.

* Tiªn ®Ò chung:

a) TÊt c¶ nh÷ng d÷ kiÖn trong ®Ò bµi to¸n dùng h×nh (®iÓm, ®-

êng th¼ng, ®êng trßn…) ®Òu coi lµ dùng ®îc.

b) Nh÷ng ®iÓm lÊy tuú ý trong mÆt ph¼ng (®Ó bæ sung c¸c d÷

kiÖn ®Òu coi nh lµ dùng ®îc).

c) NÕu hai ®êng th¼ng dùng ®îc mµ c¾t nhau th× giao ®iÓm

cña chóng coi nh lµ dùng ®îc.

* Tiªn ®Ò vÒ c¸i thíc:

d) Mét ®êng th¼ng x¸c ®Þnh bëi hai ®iÓm dùng ®îc th× coi nh dùng

®îc.

* Tiªn ®Ò vÒ c¸i compa:

®) Mét ®êng trßn x¸c ®Þnh bëi mét t©m dùng ®îc, mét b¸n kÝnh

dùng ®îc th× coi nh dùng ®îc.

Hai tiªn ®Ò d vµ ® biÓu thÞ díi h×nh thøc trõu tîng vÒ c¸i thíc vµ

compa. Theo hai tiªn ®Ò nµy th× muèn thùc hiÖn mét phÐp dùng

h×nh b»ng thíc vµ compa th× ph¶i cã Ýt nhÊt hai ®iÓm. Nhng nhiÒu

khi trong ®Ò bµi chØ cã mét ®iÓm hoÆc kh«ng cã ®iÓm nµo c¶.

Ch¼ng h¹n:

www.vnmath.com

30

www.vnmath.com

+) Cho mét ®êng th¼ng vµ mét ®iÓm trªn ®ã, dùng t¹i ®iÓm ®ã

®êng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng. ë ®©y chØ cã mét ®iÓm cho tríc

tøc lµ dùng ®îc.

+) Cho hai ®êng th¼ng giao nhau. Dùng ph©n gi¸c cña gãc t¹o

thµnh. ë ®©y chØ cã mét ®iÓm dùng ®îc. (Theo tiªn ®Ò c).

+) Cho mét ®êng trßn. Dùng t©m cña nã. ë ®©y kh«ng cã ®iÓm

dùng ®îc nµo c¶.

2.1.2.2. Gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh b»ng thíc vµ compa lµ chØ râ thø

tù ¸p dông c¸c tiªn ®Ò a, b, c, d, ® ë trªn ®Ó ®a nh÷ng tiªn ®Ò cha

biÕt vÒ nh÷ng yÕu tè dùng ®îc.

VÝ dô bµi to¸n dùng h×nh sau:

Qua mét ®iÓm A ë ngoµi mét ®êng th¼ng d dùng ®êng th¼ng

song song víi d.

C¸ch gi¶i nh sau:

a) Chän mét ®iÓm M tuú ý trªn d (tiªn ®Ò b) vµ dùng ®êng trßn

t©m M b¸n kÝnh MA (phÐp dùng t¬ng øng víi tiªn ®Ò ®).

b) Dùng ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AM (tiªn ®Ò ®).

c) LÊy giao ®iÓm B cña ®êng trßn thø nhÊt víi ®êng th¼ng d (tiªn

®Ò c).

d) Dùng ®êng trßn t©m M b¸n kÝnh BA (tiªn ®Ò ®).

e) KÎ ®êng th¼ng qua A vµ P (tiªn ®Ò d).

Tãm l¹i gi¶i bµi to¸n dùng h×nh trªn ®ßi hái ph¶i lÇn lît ¸p dông

c¸c tiªn ®Ò b, ®, ®, , c, ®, c, d. (DÜ nhiªn tríc hÕt bao giê còng lµ tiªn

®Ò a).

Chó ý: Tuy nhiªn nhiÒu khi ngêi ta kh«ng nªu hai tiªn ®Ò a vµ b

mµ ph¸t biÓu gän nh sau:

www.vnmath.com

31

www.vnmath.com

Gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh b»ng thíc vµ compa lµ thùc hiÖn 1

sè cã h¹n ba phÐp dùng c¬ b¶n sau:

a) KÎ ®êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm ®· biÕt

(tiªn ®Ò vÒ c¸i thíc).

b) Dùng ®êng trßn cã t©m ®· biÕt vµ b¸n

kÝnh ®· biÕt (tiªn ®Ò vÒ c¸i compa).

c) LÊy giao ®iÓm cña 2 ®êng th¼ng ®·

biÕt (tiªn ®Ò c).

2.1.2.3. Dùng h×nh b»ng c¸c dông cô kh¸c.

NÕu kh«ng dïng thíc vµ compa mµ dïng nh÷ng dông cô kh¸c ®Ó

dùng nh: Thíc th¼ng cã 2 biªn, £ke, th× ta vÉn dïng 3 tiªn ®Ò a, b, c cßn

hai tiªn ®Ò d, ® ®îc thay b»ng nh÷ng tiªn ®Ò ph¶n ¸nh tÝnh chÊt cña

nh÷ng dông cô míi.

a) Dùng h×nh b»ng thíc cã hai biªn:

- Tiªn ®Ò vÒ thíc thêng (dïng 1 biªn).

- Mét ®êng th¼ng song song víi mét ®êng th¼ng dùng ®îc vµ

c¸ch nã mét kho¶ng d th× xem nh dùng ®îc (h»ng sè d øng víi bÒ réng

cña thíc 2 biªn).

- NÕu cã hai ®iÓm dùng ®îc A vµ B vµ AB > d th× hai cÆp ®êng

th¼ng c¸ch nhau mét kho¶ng d vµ theo thø tù ®i qua A vµ B ®îc xem nh

dùng ®îc.

VÝ dô: Dùng ph©n gi¸c cña gãc ·xOy .

C¸ch dùng:

- Dùng x'//x vµ c¸ch x mét kho¶ng d (tiªn ®Ò).

- T¬ng tù dùng y'//y (tiªn ®Ò).

- LÊy giao ®iÓm A cña x' vµ y' (tiªn ®Ò c).

- VÏ ®êng th¼ng qua O vµ A (tiªn ®Ò d).

b) Dùng h×nh b»ng £ke.

www.vnmath.com

32

a p

mbd

oa

x

x'

y'y

d

www.vnmath.com

- §êng th¼ng ®i qua 1 ®iÓm dùng ®-

îc t¹o víi mét ®êng th¼ng dùng ®îc mét

gãc α b»ng 900, 600, 300 hoÆc 900 vµ 450,

th× xem nh dùng ®îc (**).

- Mét ®iÓm cña mét ®êng th¼ng dùng ®îc mµ tõ ®ã ta thÊy 2

®iÓm dùng ®îc díi mét gãc α th× xem nh dùng ®îc (.).

Eke thêng cã ba gãc 900, 600 vµ 300 hoÆc 900 vµ 450.

VÝ dô: GÊp ®«i mét ®o¹n th¼ng AB b»ng Eke.

- Qua B dùng ®êng th¼ng t¹o víi AB mét gãc 600 vµ qua A dùng

®êng vu«ng gãc víi AB (tiªn ®Ò **).

- LÊy giao ®iÓm cña hai ®êng võa dùng (tiªn ®Ò c).

- Trªn BA kÐo dµi dùng ®iÓm C nh×n BD díi gãc 600 (tiªn ®Ò

(.) ) hoÆc qua D dùng ®êng th¼ng t¹o víi BD mét gãc 600.

2.1.2.4. Gi¸ trÞ lý luËn vµ thùc tÕ cña c¸c dông cô dùng h×nh.

Bèn dông cô; Compa, thíc, thíc hai biªn vµ eke ®Òu quan träng

nh nhau vÒ gi¸ trÞ lý luËn chÆt chÏ, chÝnh x¸c vµ gi¸ trÞ thùc tÕ cña

chóng trong ®êi sèng vµ s¶n xuÊt.

N¨m 1787 nhµ khoa häc ý MaxkªR«ni ®· chøng minh r»ng:

BÊt kú bµi to¸n nµo cã thÓ gi¶i ®îc b»ng thíc vµ compa ®Òu cã

thÓ gi¶i ®îc b»ng mét m×nh compa th«i.

N¨m 1890 A®¬le ®· chøng minh r»ng: BÊt kú bµi to¸n nµo gi¶i ®-

îc b»ng thíc vµ compa ®Òu cã thÓ gi¶i ®îc b»ng mét c¸i thíc hai biªn

hoÆc b»ng eke.

Trong thùc tÕ kinh nghiÖm cho thÊy r»ng ba dông cô: Compa,

thíc vµ eke lµ nh÷ng dông cô cÇn thiÕt vµ tiÖn lîi nhÊt cho ngêi vÏ.

2.1.3. C¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n.

www.vnmath.com

33

www.vnmath.com

Cã thÓ s¾p xÕp vµ ph©n lo¹i c¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n thµnh

4 lo¹i vÒ ®êng th¼ng, ®êng trßn, tû lÖ vµ diÖn tÝch.

2.1.3.1. Lo¹i ®êng th¼ng

a) Dùng mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi cho tríc trªn mét ®êng th¼ng x¸c

®Þnh.

b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc.

c) Dùng ph©n gi¸c cña mét gãc cho tríc.

d) Dùng trung trùc cña ®o¹n th¼ng cho tríc.

®) T×m trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tríc.

e) Qua mét ®Óm cho tríc dùng mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi

mét ®êng th¼ng cho tríc.

g) Chia mét ®o¹n th¼ng cho tríc ra nhiÒu phÇn b»ng nhau.

h) Dùng ∆ biÕt ba c¹nh (c. c. c.), biÕt hai gãc vµ c¹nh kÒ hai gãc

®ã (g.c.g), biÕt hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a (c.g.c).

i) Dùng tam gi¸c ®Òu hoÆc h×nh vu«ng khi biÕt mét c¹nh cña

nã.

k) Dùng h×nh ch÷ nhËt khi biÕt 2 c¹nh kÒ nhau.

l) LÊy mét ®êng th¼ng ®· biÕt lµm mét c¹nh dùng mét gãc b»ng

600 hoÆc 300.

2.1.3.2. Lo¹i ®êng trßn.

a) Dùng ®êng trßn ngo¹i tiÕp cña mét tam gi¸c cho tríc.

b) Dùng ®êng trßn néi tiÕp cña mét tam gi¸c cho tríc.

c) LÊy mét ®o¹n th¼ng cho tríc lµm b¸n kÝnh dùng mét ®êng

trßn.

d) Chia ®«i mét cung cho tríc.

®) Tõ mét ®iÓm cho tríc ë ngoµi hoÆc ë trªn ®êng trßn dùng

tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®ã.

www.vnmath.com

34

www.vnmath.com

e) Dùng cung chøa gãc.

2.1.3.3. Lo¹i tû lÖ.

a) Cho tríc 3 ®o¹n th¼ng dùng ®o¹n th¼ng tû lÖ thø t.

b) Chia 1 ®o¹n th¼ng cho tríc thµnh 2 phÇn sao cho tû sè cña

chóng b»ng tû sè ®· biÕt m

n.

c) Dùng ®o¹n trung b×nh nh©n cña hai ®o¹n th¼ng cho tríc.

2.1.3.4. Lo¹i diÖn tÝch.

a) Dùng h×nh vu«ng cã diÖn tÝch b»ng tæng diÖn tÝch cña hai

h×nh vu«ng cho tríc.

b) Dùng h×nh vu«ng cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch cña hai h×nh

vu«ng cho tríc.

2.1.4. C¸c bíc gi¶i cña bµi to¸n dùng h×nh.

Ngay tõ thÕ kû thø t TCN, c¸c nhµ h×nh häc cæ HiL¹p ®· t×m ra

®êng lèi chung ®Ó gi¶i 1 bµi to¸n dùng h×nh gåm bèn bíc; Ph©n tÝch,

dùng h×nh, chøng minh vµ biÖn luËn.

2.1.4.1. Bíc ph©n tÝch.

Ph©n tÝch lµ phÇn quan träng nhÊt gióp lËp ph¬ng ¸n dùng ®Ó

t×m ra lêi gi¶i cña mét bµi to¸n lµm c¬ së x¸c ®Þnh ®îc mèi quan hÖ

gi÷a c¸c yÕu tè ph¶i t×m (gièng nh khi gi¶i bµi to¸n ®¹i sè ta chän Èn

biÓu thÞ b»ng ch÷ x ch¼ng h¹n råi lËp mèi liªn hÖ gi÷a x víi c¸c ®¹i l -

îng ®· cho cña bµi to¸n tõ ®ã mµ lËp ®îc ph¬ng tr×nh).

Nh thÕ tríc hÕt ph¶i vÏ mét h×nh t¬ng øng víi h×nh ph¶i dùng

(tøc lµ gi¶ sö h×nh vÏ ®· dùng ®îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n).

Qua h×nh vÏ ph¸t hiÖn nh÷ng yÕu tè cho tríc vµ nh÷ng yÕu tè ph¶i

dùng.

www.vnmath.com

35

αbs a

b

c

c '

www.vnmath.com

VÝ dô bµi to¸n sau ®©y:

Dùng tam gi¸c ABC biÕt c¹nh

®¸y AC = b; gãc A = α kÒ víi ®¸y vµ

tæng cña hai c¹nh kia AB + BC =

S".

Tríc hÕt ta gi¶ sö ∆ABC ®· dùng ®îc (h×nh vÏ). Nh thÕ trªn h×nh

vÏ ta ®· biÕt c¹nh ®¸y AC, gãc A cßn tæng hai c¹nh kia kh«ng cã. §Ó

thÓ hiÖn tæng S ta kÐo dµi c¹nh AB vµ ®Æt trªn ®êng kÐo dµi c¹nh

BC' = BC, thÕ lµ ta cã AC' = S ®· cho.

NÕu nèi C víi C' th× ∆AC'C cã thÓ dùng ®îc ngay (Dùng ∆ biÕt

2 c¹nh vµ gãc xen gi÷a).

Dùng ®îc ∆AC'C nµy chØ cßn ph¶i dùng ®iÓm B trªn c¹nh AC'

®Ó cã ®îc ∆ABC cÇn dùng.

Lu ý r»ng nÕu ta thÓ hiÖn tæng S b»ng c¸ch kÐo dµi c¹nh CB

trªn ®ã ®Æt ®o¹n BA' = BA ®Ó cã CA' = S th× viÖc dùng ∆AA"C

kh«ng dÔ dµng.

VËy bíc ph©n tÝch liªn quan tíi h×nh vÏ ban ®Çu, do ®ã h×nh vÏ

®Ó ph©n tÝch ph¶i ®îc vÏ cÈn thËn vµ chÝnh x¸c.

2.1.4.2. Bíc c¸ch dùng

Bíc nµy gåm 2 phÇn:

www.vnmath.com

36

www.vnmath.com

a) KÓ theo mét thø tù nhÊt ®Þnh tÊt c¶ c¸c phÐp dùng c¬ b¶n

cÇn thùc hiÖn ®îc suy ra tõ bíc ph©n tÝch.

b) Thùc hiÖn c¸c phÐp dùng ®ã b»ng c¸c dông cô thíc vµ

compa, kh«ng ph¶i chØ thùc hiÖn c¸ch dùng mµ cßn ph¶i m« t¶ c¸ch

dùng ®ã.

Víi bµi to¸n trªn, c¸ch dùng sÏ nh sau:

- Trªn ®êng th¼ng bÊt kú xy dùng ®o¹n AC = b

- LÊy AC lµm c¹nh µA = α.

- KÐo dµi AB, trªn ®êng kÐo dµi dùng ®o¹n BC' = BC;

- Dùng ∆AC'C (biÕt gãc A vµ hai c¹nh AC', AC).

- Dùng trung trùc cña CC'.

- LÊy giao ®iÓm B cña trung trùc nµy víi AC'.

Ta ®îc ∆ABC ph¶i dùng.

Së dÜ ph¶i nªu c¸ch thùc hiÖn phÐp dùng v× cïng mét phÐp

dùng cã thÓ cã nh÷ng ph¬ng ph¸p kh¸c nhau. Ta h·y xÐt vÝ vô sau:

"Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD biÕt mét gãc nhän ·BAD = α vµ

hai ®êng chÐo AC = d vµ BD = e".

Gi¶ sö ®· dùng ®îc h×nh b×nh hµnh. V× c¸c ®êng chÐo c¾t

nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng nªn cã thÓ dùng ®îc ngay ∆ABD

biÕt ®¸y BD=e, gãc ë ®Ønh ·BAD = α vµ trung tuyÕn 1

AO d2

= .

Dùng ®îc ∆ABD nµy ta bæ sung nã thµnh h×nh b×nh hµnh

ABCD. Suy ra c¸ch dùng sau:

- Trªn ®êng th¼ng bÊt kú xy

dùng ®o¹n BD b»ng ®êng chÐo nhá e

øng víi gãc nhän cho tríc α.

www.vnmath.com

37

b c

da

d eo

α

www.vnmath.com

- Dùng cung chøa gãc α vÏ trªn

®o¹n BD.

- Dùng ®êng trßn cã t©m lµ trung ®iÓm cña BD vµ cã b¸n kÝnh

d

2.

- LÊy giao ®iÓm cña cung chøa gãc vµ ®êng trßn (cã 2 giao

®iÓm).

- Nèi c¸c giao ®iÓm nµy víi B vµ D, ta ®îc ∆BAD (vµ ∆BA'D).

Cã thÓ bæ sung tam gi¸c thµnh h×nh b×nh hµnh (Tøc lµ x¸c

®Þnh ®Ønh thø t C cña h×nh b×nh hµnh) b»ng nhiÒu ph¬ng ph¸p,

ch¼ng h¹n:

- Qua B dùng BC // AD, qua D dùng DC// AB.

Trªn BD dùng ∆ biÕt hai c¹nh BC = AD vµ CD vµ AB, kÐo dµi AO

vÒ phÝa O vµ ®Æt OC = OA, nèi C víi c¸c ®iÓm B vµ D, …

2.1.4.3. Bíc chøng minh

Sau khi ®· dùng ®îc h×nh cÇn ph¶i x¸c nhËn xem nã cã tho¶

m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n hay kh«ng, tøc lµ ph¶i chøng minh

b»ng h×nh dùng ®îc tho¶ m·n tÊt c¶ c¸c ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi, c¸ch

chøng minh nµy phô thuéc vµo c¸ch dùng. Nãi c¸ch kh¸c nÕu kh«ng

biÕt râ hai bíc ph©n tÝch vµ c¸ch dùng th× kh«ng thÓ nãi r»ng chøng

minh ®óng hay sai, v× cã thÓ cã nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n kh¸c

nhau vµ ngay c¶ khi ®· ph©n tÝch gièng nhau th× còng cã nh÷ng c¸ch

kh¸c nhau ®Ó thùc hiÖn, tøc lµ cã c¸ch dùng kh¸c nhau.

Còng cÇn nãi thªm r»ng nÕu c¸ch dùng ®· râ rµng th× bíc chøng

minh còng ®¬n gi¶n.

www.vnmath.com

38

www.vnmath.com

Trë l¹i bµi to¸n dùng tam gi¸c (bíc ph©n tÝch) c¸ch chøng minh

nh sau: ∆ABC cã gãc A b»ng α (theo c¸ch dùng), c¹nh ®¸y, AC = b,

tæng AB + BC' = AB + BC = S.

VËy tam gi¸c nµy tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n nªn ∆ABC

lµ tam gi¸c ph¶i dùng.

HoÆc víi bµi to¸n dùng h×nh b×nh hµnh, c¸ch chøng minh phô

thuéc vµo c¸ch x¸c ®Þnh ®Ønh C. NÕu x¸c ®Þnh ®Ønh C b»ng c¸ch

dùng BC // AD vµ qua D dùng DC //AB th× bíc chøng minh sÏ nh sau:

- Tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vÒ cã hai cÆp c¹nh song

song (AD//BC; AB//DC).

- Nã cã gãc nhän ·BAD = α, ®êng chÐo BD = e, ®êng chÐo

AC = 2; AO = d (theo c¸ch dùng ∆ABD).

VËy h×nh b×nh hµnh nµy tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n

nªn ABCD lµ h×nh b×nh hµnh ph¶i dùng.

2.1.4.4. Bíc biÖn luËn

Khi gi¶i bµi to¸n ®¹i sè cã tham sè thêng ®Æt ra c©u hái: Víi

nh÷ng yÕu tè cho tríc nh thÕ nµo th× bµi to¸n gi¶i ®îc, kh«ng gi¶i ®îc.

Trong gi¶i to¸n dùng h×nh còng ph¶i ®Æt ra c©u hái nh thÕ, vµ mçi

bµi to¸n lµ mét yªu cÇu vÒ dùng mét h×nh tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn x¸c

®Þnh, c¸c ®iÒu kiÖn nµy thêng ®îc cho bëi c¸c gi¸ trÞ vµ vÞ trÝ cña

mét sè yÕu tè cña h×nh.

ViÖc gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh chØ ®îc coi lµ xong nÕu ®îc

c¸c ®iÒu kiÖn ®Ó lêi gi¶i t×m ®îc lµ ®¸p ¸n cña bµi to¸n. Mét bµi to¸n

dùng h×nh cã thÓ cã mét nghiÖm h×nh, hai hoÆc h¬n 2 nghiÖm

h×nh, cã v« sè nghiÖm h×nh (v« ®Þnh) hoÆc kh«ng cã nghiÖm h×nh

(v« nghiÖm).

www.vnmath.com

39

d

cb

a

c

d '

d

a-b

b

www.vnmath.com

NÕu mét bµi to¸n mµ c¸c gi¶ thiÕt ®èi víi yÕu tè cho tríc thu hÑp

th× ph¹m vi c¸c gi¸ trÞ thÝch hîp cña c¸c yÕu tè ®ã sÏ hÑp ®i vµ bíc

biÖn luËn sÏ ®¬n gi¶n ®i. H·y xÐt vÝ dô sau ®©y:

"Dùng ®êng trßn tiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng cho tríc vµ mét ®-

êng trßn cho tríc".

V× ®Ò bµi cho hai ®êng th¼ng bÊt kú nªn chóng cã thÓ c¾t

nhau, hoÆc song song víi nhau. NÕu chóng c¾t nhau th× phÇn biÖn

luËn sÏ phøc t¹p nhng nÕu chóng song song th× ®¬n gi¶n h¬n.

§èi víi vÝ dô sau: "Dùng tam gi¸c biÕt hai c¹nh vµ gãc ®èi diÖn

víi mét trong hai c¹nh ®ã", th× gãc ®· cho cã thÓ lµ nhän, vu«ng hoÆc

tï, v× thÕ khi biÖn luËn ph¶i xÐt ®Õn c¸c trêng hîp Êy. §Ó ®¬n gi¶n b-

íc biÖn luËn cã thÓ giíi h¹n ®é lín cña gãc, ch¼ng h¹n cho gãc nhän

®èi diÖn víi mét trong hai c¹nh, hay cã thÓ h¹ thÊp h¬n møc ®é b»ng

c¸ch cho gãc nhän ®èi diÖn víi c¹nh nhá.

2.1.5. To¸n dùng h×nh b»ng c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c nhau

§øng tríc mét bµi to¸n dùng h×nh muèn x¸c ®Þnh xem cã thÓ

gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p nµo cÇn biÕt nh÷ng dÊu hiÖu ®Æc trng nhÊt

cña bµi to¸n gi¶i ®îc b»ng ph¬ng ph¸p nµy hay ph¬ng ph¸p kh¸c.

Mçi ph¬ng ph¸p ®Òu cã gi¸ trÞ riªng cña nã. C¸c ph¬ng ph¸p th-

êng sö dông lµ: ph¬ng ph¸p tÞnh tiÕn, ph¬ng ph¸p ®èi xøng trôc, ph-

¬ng ph¸p quay, ph¬ng ph¸p quü tÝch, ph¬ng ph¸p ®ång d¹ng, ph¬ng

ph¸p ®¹i sè.

2.1.5.1. Ph¬ng ph¸p tÞnh tiÕn

VÝ dô: Dùng h×nh thang biÕt bèn c¹nh: hai c¹nh ®¸y a vµ b (a > b) vµ

hai c¹nh bªn c vµ d (c ≤ d)

- Ph©n tÝch:

www.vnmath.com

40

b

d

m n

a '

www.vnmath.com

Gi¶ sö ABCD lµ h×nh

thang ph¶i dùng cã AD lµ ®¸y lín,

BC lµ ®¸y nhá, AB vµ CD lµ hai

c¹nh bªn

Tõ B kÎ BD'//CD. Tam gi¸c

ABD' cã thÓ dùng ®îc ngay v×

biÕt ba c¹nh. ChØ cßn x¸c ®Þnh

®Ønh thø t C cña h×nh thang.

- C¸ch dùng:

Tríc tiªn dùng ∆ABD' biÕt ba c¹nh AB = c; BD' = d vµ AD' = a - b.

Qua B kÎ tia song song víi AD', trªn tia nµy dùng ®iÓm C sao cho BC =

b. Cuèi cïng qua C kÎ CD//BD' c¾t AD' kÐo dµi t¹i D. ABCD lµ h×nh

thang ph¶i dùng.

- Chøng minh:

Ta cã AB =- c, BC = b theo c¸ch dùng, AD = AD' + D'D = AD' +

BC = a - b + b = a.

Vµ CD = BD' vµ lµ ®o¹n ch¾n gi÷a hai ®êng th¼ng song song.

VËy ABCD lµ h×nh thang tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi.

- BiÖn luËn:§iÒu kiÖn ®Ó dùng ®îc h×nh thang lµ d - c < a - b <

d+ c víi ®iÒu kiÖn nµy bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh (nÕu ®iÒu kiÖn

trªn kh«ng ®îc tho¶ m·n th× bµi to¸n v« nghiÖm).

2.1.5.2. Ph¬ng ph¸p ®èi xøng trôc

VÝ dô: Cho ®êng th¼ng d c¾t ®o¹n th¼ng AB. T×m trªn d mét ®iÓm

M sao cho ®êng th¼ng d lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB.

Gäi A' lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua trôc d,ta cã: AM = A'M vµ

· · 0ANM A'NM 90= = .

Do ®ã: ∆MNA = ∆MNA'

www.vnmath.com

41

a

a

a db

b

c

mc

c'

www.vnmath.com

Suy ra: · ·NMA NMA'=

VËy ®iÓm B ph¶i n»m trªn

A'M, nãi c¸ch kh¸c ®iÓm M ph¶i

n»m trªn A'B. Do ®ã ta dùng ®îc

giao ®iÓm M cña ®êng th¼ng A'B

víi ®êng th¼ng d.

Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh nÕu kho¶ng c¸ch tõ A vµ B ®Õn d

kh«ng b»ng nhau. NÕu c¸c kho¶ng c¸ch nµy b»ng nhau nhng hai

®iÓm A vµ B kh«ng ®èi xøng nhau qua d th× bµi to¸n v« nghiÖm (v×

A'B // d). Cuèi cïng nÕu A vµ B ®èi xøng nhau qua d th× bµi to¸n v«

®Þnh: BÊt cø ®iÓm nµo trªn d ®Òu tho¶ m·n.

2.1.5.3. Ph¬ng ph¸p quay

VÝ dô: Dùng ∆ biÕt hai c¹nh vµ trung tuyÕn

kÎ tíi c¹nh thø ba.

Gi¶ sö ABC lµ ∆ ph¶i dùng cã c¹nh

cho tríc lµ a vµ b, cã trung tuyÕn

CD = mc.

Ta quay toµn bé h×nh vÏ xung quanh ®iÓm D mét gãc 1800 sÏ ®-

îc h×nh b×nh hµnh ACBC'.

Trong ®ã biÕt c¸c c¹nh vµ mét ®êng chÐo CC' = 2mc.

Do ®ã c¸ch dùng nh sau:

Dùng tam gi¸c ACC' biÕt ba c¹nh bæ sung nã thµnh h×nh b×h

hµnh ACBC'. Nèi A víi B ®îc tam gi¸c ABC ph¶i dùng.

www.vnmath.com

42

a

b

cd

a

o 1 o 2

c

b

p

www.vnmath.com

§iÒu kiÖn ®Ó dùng ®îc tam gi¸c ACC' lµ a b− < 2mc< a+b. Bµi

to¸n cã 1 nghiÖm h×nh.

2.1.5.4. Ph¬ng ph¸p quü tÝch.

VÝ dô: Dùng ®êng trßn tiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng song song a vµ b

vµ qua 1 ®iÓm P cho tríc.

- Ph©n tÝch: Gäi kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng song song lµ

d. B¸n kÝnh ®êng trßn ph¶i dùng sÏ lµ d

2. Bµi to¸n quy vÒ dùng t©m

cña ®êng trßn tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn:

a) C¸ch ®Òu hai ®êng th¼ng a vµ b.

b) C¸ch ®iÓm P mét kho¶ng d

2.

Suy ra c¸ch dùng sau:

- C¸ch dùng: Tõ ®iÓm A tuú ý trªn ®êng th¼ng a h¹ AH ⊥ b.

Dùng trung ®iÓm C cña ®o¹n AB. Quü tÝch n ®iÓm c¸ch ®Òu a vµ b

lµ ®êng th¼ng c ®i qua ®iÓm C vµ song song víi a,b c¸ch a,b mét

®o¹n b»ng d

2.

Quü tÝch tho¶ m·n ®iÒu kiÖn thø 2 lµ ®êng trßn (P, d

2).

LÊy giao ®iÓm O1 cña ®êng trßn nµy víi ®êng th¼ng C1 dùng

®êng trßn (O1; O1P) ®ã lµ ®êng trßn ph¶i t×m.

- Chøng minh: ®êng trßn (O1; O1P) tiÕp xóc víi 2 ®êng th¼ng a

vµ b v× kho¶ng c¸ch tõ t©m O1 ®Õn hai ®êng th¼ng nµy b»ng nhau

www.vnmath.com

43

a

n 'n "

k ' k " l ' l " b

c

m"m'

www.vnmath.com

vµ b»ng 1

2d. ®êng trßn nµy l¹i qua ®iÓm P theo c¸ch dùng. VËy nã

tho¶ m·n bµi to¸n.

BiÖn luËn:

a) NÕu P n»m gi÷a hai ®êng th¼ng a vµ b th× th× b× to¸n ta cã

hai nghiÖm h×nh lµ hai ®êng trßn (O1; O1P) vµ (O2; O2P).

b) NÕu P n»m trªn a hoÆc trªn b th× bµi to¸n cã 1 nghiÖm h×nh.

c) NÕu P n»m ngoµi kho¶ng t¹o bëi a vµ b th× bµi to¸n v«

nghiÖm.

2.1.5.5. Ph¬ng ph¸p ®ång d¹ng.

VÝ dô: Trong tam gi¸c ba gãc nhän ABC h·y dùng h×nh vu«ng sao cho

hai ®Ønh cña nãn»m trªn ®¸y tam gi¸c vµ hai ®Ønh kia n»m trªn hai

c¹nh bªn.

Ph©n tÝch: Ta ph¶i dùng mét

h×nh vu«ng ®ång thêi tho¶ m·n c¸c

®iÒu kiÖn sau:

a) Hai ®Ønh cña nã ph¶i n»m trªn AB.

b) Mét ®Ønh n»m trªn AC.

c) Mét ®Ønh n»m trªn BC.

Ta thÊy r»ng cã thÓ dùng dÔ dµng h×nh vu«ng tho¶ m·n hai

®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gi¶ sö ®ã lµ h×nh vu«ng K'L'M'N'. Râ rµng phÐp

®ång d¹ng t©m A tû sè ®ång d¹ng bÊt kú sÏ biÕn ®æi h×nh vu«ng

K'L'M'N' thµnh h×nh vu«ng K"L"M"N" khi ®ã ®iÓm M'' n»m trªn ®êng

th¼ng AM'.

§Ó gi¶i bµi to¸n ph¶i chän trong sè c¸c h×nh vu«ng

K"L"M"N"®ång d¹ng víi h×nh vu«ng K'L'M'N' h×nh nµo mµ ®iÓm M''

www.vnmath.com

44

m

m"

c

bll 'kk '

nn '

a

www.vnmath.com

n»m trªn BC. Trong trêng hîp nµy ®iÓm M'' sÏ lµ giao ®iÓm cña hai ®-

êng th¼ng AM' vµ BC. Suy ra c¸ch dùng sau:

- C¸ch dùng:

a) Dùng h×nh vu«ng ng

K'L'M'N' tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn

ban ®Çu.

b) Dùng ®êng th¼ng AM' vµ

lÊy giao ®iÓm M cña nã víi c¹nh

BC.

c) Qua M kÎ ®êng th¼ng

song song víi M'N' ta lÊy giao

®iÓm M cña nã víi c¹ch BC.

d) Tõ M vµ N h¹ c¸c ®êng vu«ng gãc ML vµ NK xuèng AB. Ta ®-

îc KLMN lµ h×nh vu«ng ph¶i dùng.

ThËt vËy, KLMN lµ h×nh vu«ng theo c¸ch dùng, nã ®ång d¹ng víi

h×nh vu«ng K'L'M'N' vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi lµ hai ®Ønh

M vµ N n»m trªn 2 c¹nh BC vµ AC. Bµi to¸n cã 1 nghiÖm h×nh.

2.1.5.6. Ph¬ng ph¸p ®¹i sè.

VÝ dô: LÊy ®Ønh cña mét tam gi¸c cho tríc lµm t©m h·y dùng ba ®êng

trßn tõng ®«i tiÕp xóc ngoµi víi nhau.

- Gi¶i: Gi¶ sö ABC lµ tam gi¸c cho tríc mµ ba c¹nh lµ a, b, c, vµ x,

y, z lµ b¸n kÝnh c¸c ®êng trßn ph¶i dùng.

Ta tÝnh ®é dµi c¸c b¸n kÝnh x, y, z theo ba c¹nh a, b, c ta cã: x +

y = c; x + z = b; y + z = a.

www.vnmath.com

45

a

b

c

xy

y

x

z z

a

b d c

kfe

www.vnmath.com

Do ®ã x = c b a

2

+ −;

a c by

2

+ −=

; a b c

z2

+ −= . B©y giê ta dùng mét

trong ba ®o¹n th¼ng ch¼ng h¹n x

theo c«ng thøc x = c b a

2

+ −; råi vÏ ®-

êng trßn (A, x). Sau ®ã vÏ tiÕp c¸c ®-

êng trßn t©m B vµ C b¸n kÝnh t¬ng

øng c - x vµ b - x.

§Ó chøng minh chØ cÇn nhËn xÐt r»ng hai ®êng trßn cuèi tiÕp

xóc nhau v× tæng c¸c b¸n kÝnh cña chóng. (c- x) + (b - x) = c + b - 2x

= c + b - (c + b - a) = a = BC tøc lµ kho¶ng c¸ch gi÷a hai t©m.

Bµi to¸n lu«n cã mét nghiÖm h×nh v× trong ∆ABC th× b + c > a

nªn x cã thÓ dùng ®îc, ngoµi ra c - x = c- ( )a c bc b a

02 2

+ −+ − = > .

V× a + c > b nªn c>x vµ b - x = ( )a b c

02

+ −> .

V× a + b > c nªn b > x.

2.1.6. Dùng h×nh chØ dïng thíc (kh«ng dïng compa).

2.1.6.1. XÐt hai bµi to¸n sau:

a) "Cho tam gi¸c ABC cã E lµ

®êng trung b×nh . H·y dùng tam gi¸c

mµ ba c¹nh l¹i lµ ba trung tuyÕn AD,

BF, CE cña tam gi¸c ®· cho".

www.vnmath.com

46

A

E

B M D

N

G

F

c

P

m

b'

b

h

a '

am'

a

a 'h

b

b'm

www.vnmath.com

KÐo dµi ®êng th¼ng ®êng th¼ng EF råi tõ C kÎ ®êng th¼ng

song song víi AB c¾t EF kÐo dµi t¹i K. Tam gi¸c AKD lµ tam gi¸c ph¶i

dùng.

ThËt vËy, do EK = BC nªn FK = BD vµ FB = DK, tø gi¸c AKCE lµ

h×nh b×nh hµnh. VËy AK = EC. Suy ra c¸c c¹nh cña tam gi¸c AKD

b»ng c¸c trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC.

b) " Cho tam gi¸c ABC cã EF lµ

®êng trung b×nh. H·y t×m trªn c¹nh

®¸y BC mét ®iÓm M sao cho BM =

1BC

3.".

Dùng trung ®iÓm D cña c¹nh

®¸y BC vµ giao ®iÓm N cña 2 ®êng

th¼ng EB vµ DE, kÎ ®êng th¼ng AN

c¾t BD t¹i M vµ EF t¹i P (h×nh vÏ).

XÐt ∆ABM cã BM = 2EP. Tõ h×nh b×nh hµnh BEFD cã EM =

ND. XÐt hai tam gi¸c b»ng nhau EPN vµ DMN suy ra EN = MD. Nh

thÕ BM = 2MD, tøc lµ 3MD = BD, do ®ã BM = 1

BC3

. VËy M lµ ®iÓm

ph¶i dùng.

2.1.6.2. Dùng ®êng vu«ng gãc víi ®êng kÝnh.

www.vnmath.com

47

a

c '

d

b

d '

m

c

e

www.vnmath.com

"Tõ mét ®iÓm M ë ngoµi hoÆc ë trong mét ®êng trßn ®êng

kÝnh AB cho tríc h·y dùng ®êng vu«ng gãc víi AB".

Nèi M víi hai ®Çu A vµ B cña ®êng kÝnh c¾t ®êng trßn lÇn lît t¹i

B' vµ A'. Hai ®êng th¼ng AA' vµ BB' c¾t nhau t¹i H lµ trùc t©m cña

∆MAB. ( V× hai gãc néitiÕp A' vµ B' ®Òu vu«ng). Do ®ã MH ph¶i lµ ®-

êng cao thø ba, tøc lµ MM' ⊥ AB.

Cã thÓ ®êng vu«ng gãc dùng tõ M tíi AB kh«ng c¾t ®êng trßn

trùc t©m H n»m ngoµi ∆MAB.

2.1.7. Dùng h×nh chØ dïng compa (kh«ng dïng thíc).

2.1.7.1. XÐt bµi to¸n sau ®©y.

"Cho bèn ®iÓm A, B, C, D. H·y dùng giao ®iÓm cña hai ®êng

th¼ng AB vµ CD".

Gi¶ sö bµi to¸n ®· gi¶i ®îc vµ

M lµ giao ®iÓm ph¶i dùng. Ta dùng

hai ®iÓm C', D' ®èi xøngcña C, D

qua ®êng th¼ng AB. Giao ®iÓm hai

®êng th¼ng AB vµ CD b©y giê lµ

giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng CD

vµ C'D'.NÕu CDD'E lµ h×nh b×nh

hµnh th× ba ®iÓm C, C', vµ E n»m

trªn mét ®êng th¼ng.

Cã thÓ dùng ®iÓm E lµ giao ®iÓm cña hai ®êng trßn ( C, DD')

vµ (D', DC). xÐt hai tam gi¸c ®ång d¹ng CLC' vµ ED'C' ta cã

www.vnmath.com

48

a b

c

d

o

www.vnmath.com

C'E C'C

C'D' C'L= . Do ®ã cã thÓ dùng ®o¹n C'L lµ ®o¹n tû lÖ thø t cña ba

®o¹n C'E, C'D' vµ C C'. §iÓm M ph¶i t×m sÏ lµ giao ®iÓm cña hai ®-

êng trßn(C',C'L) vµ (C, C'L).

2.1.7.2. XÐt mét bµi to¸n kh¸c

"ChØ dïng compa lµm sao biÕt ®îc mét tø gi¸c ABCD cho tríc cã

thÓ néi tiÕp trong ®êng trßn".

C¸ch gi¶i nh sau: LÊy B lµm

t©m víi b¸n kÝnh tuú ý v¹ch mét cung

c¾t c¹nh BA t¹i M vµ c¹nh BC t¹i N.

Tõ ®Ønh D lµm t©m víi cïng b¸n

kÝnh ®ã v¹ch mét cung c¾t c¾t c¹nh

DA t¹i E vµ c¹nh DC t¹i F trong trêng

hîp MN = EF' th× tø gi¸c ABCD cã

thÓ néi tiÕp trong ®êng trßn v×

· ·EDF' MBN= , do ®ã · ·ABC EFD+ =

1800.

2.1.8. Dùng tam gi¸c.

Bµi to¸n 1: T×m trong tø gi¸c ABCD mét ®iÓm O sao cho tæng c¸c

kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn c¸c ®Ønh lµ nhá nhÊt.

Ph©n tÝch: - Gi¶ sö O lµ ®iÓm

t×m tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn

c¸c ®Ønh lµ (OA + OC) + (OB + OD).

Tæng c¸c kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn A

vµ C lµ ng¾n nhÊt nÕu ba ®iÓm A,

www.vnmath.com

49

b

a

e

c

D

f '

mn

f

o

ad

cb

a b

cd

o

www.vnmath.com

O, C th¼ng hµng. T¬ng tù tæng c¸c

kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn B vµ D lµ

ng¾n nhÊt nÕu ba ®iÓm B, O, D

th¼ng hµng. Suy ra Oph¶i lµ

giao®iÓm hai ®êng chÐo cña tø gi¸c

ABCD.

- C¸ch dùng: Nèi hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. §iÓm

O lµ ®iÓm cÇn dùng.

- Chøng minh: ThËt v©y,do A, O, C th¼ng hµng nªn tæng OA +

OC lµ ng¾n nhÊt. T¬ng tù tæng OB + OD lµ ng¾n nhÊt. Suy ra tæng

OA + OB + OC + OC lµ ng¾n nhÊt.

- BiÖn luËn: Bµi to¸n lu«n cã 1 nghiÖm h×nh.

Chó ý: Ta cã thÓ xÐt bµi to¸n t¬ng tù sau ®©y:

"T×m mét ®iÓm O trong mÆt ph¼ng cña tø gi¸c ABCD sao

cho AO + OB - OC -OD lµ nhá nhÊt vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, biÕt

r»ng OA = OD hoÆc OA = OC".

- C¸ch chøng minh nh sau: Tæng Oa + OB - OC - OD lµ nhá

nhÊt vÒ gi¸ tÞ tuyÖt ®èi khi tæng nµy =0.

a) NÕu OA = OD vµ OB = OC (h a) th× O lµ giao ®iÓm cña hai

®êng trung trùc cña AD vµ BC .

www.vnmath.com

50

a d ' d

cb

b

c 1

c 2

a b

d c

o

e

www.vnmath.com

a) b)

b) NÕu OA = OC vµ OB = OD (h×nhb) th× O lµ giao ®iÓm cña

hai ®êng trungtrùc cña hai ®êng chÐo AC vµ BD.

Bµi to¸n 2: Dùng h×nh thang biÕt bèn c¹nh.

Xem c¸ch dùng b»ng ph¬ng ph¸p tÞnh tiÕn ë (2.1.5.1).

Chó ý: Sau khi dùng xong tam gi¸c ABD' ta ph¶i bæ sung nã cho

thµnh h×nh thang mµ c¸ch dùng ë trªn chØ lµ mét c¸ch.

Ta cßn cã thÓ dùng theo c¸c c¸ch sau:

- Coi c¹nh AD lµ dùng ®îc, ta

dùng BC//AD vµ sau khi ®Æt trªn

nã ®¸y nhá ta nèi ®iÓm C t×m ®îc

víi ®iÓm D

Khi ®ã ta ph¶i chøng minh r»ng: CD = BD'

- Coi C lµ giao ®iÓm cña hai cung t©m D, b¸n kÝnh DC = d vµ

t©m B b¸n kÝnh BC = b th× trong hai giao ®iÓm C vµ C1 chØ cã C lµ

®iÓm ph¶i t×m, v× ta cßn ph¶i chøng minh BC // AD hoÆc CD // BD'.

- NÕu dùng ®êng th¼ng qua B song song víi AD vµ ®Æt BC2

vÒ bªn tr¸i th× ®iÓm C2 sÏ kh«ng thÝch hîp vµ chØ cã ®iÓm C lµ

®iÓm ph¶i t×m.

Bµi to¸n 3: Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD biÕt mét c¹nh AB = a, tæng

hai ®êng chÐo AC + BD = d vµ gãc t¹o bëi hai ®êng chÐo b»ng α.

- Ph©n tÝch: Gi¶ sö ABCD lµ

h×nh b×nh hµnh ®· dùng ®îc . Trong

www.vnmath.com

51

www.vnmath.com

®ã O lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo vµ

·AOB = α .

Ta cã 1 d

AO BO (AC BD)2 2

+ = + =

.

∆AOB cã thÓ dùng ®îc ngay v×

viÕt mét gãc xen gi÷a hai c¹nh. Tõ

®ã x¸c ®Þnh tiÕp c¸c ®Ønh C vµ D

cßn l¹i cña h×nh b×nh hµnh.

- C¸ch dùng: Dùng ∆AEB biÕt hai c¹nh EA =d

2, AB = a, vµ gãc

®èi víi c¹nh a b»ng α2

.

+ Dùng ®iÓm O trªn c¹nh AE b»ng c¸ch dùng tia Bx sao cho

·EBxα=2

, c¾t AE t¹i O.

+ Trªn Ox dùng ®iÓm D sao cho OD = OB, råi trªn AE kÐo dµi

lÊy ®iÓm C sao cho OC = OA.

Nèi AD, DC, CB ta ®îc h×nh b×nh hµnh ABCD cÇn dùng.

- Chøng minh:

+ V× OE = OB nªn OA + OB = OA +OE = AE = d

2

mµ OC ≠ OD = OA + OB =d

2 nªn AC +BD = d.

Tø gi¸c ABCD cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña

mçi ®êng nªn lµ h×nh b×nh hµnh mµ mét c¹nh AB = a. Ngoµi ra

www.vnmath.com

52

o

cd

ba

21

eα

www.vnmath.com

· ·AOB 2AEB= (gãc ngoµi cña ∆OEB) b»ng α. VËy h×nh b×nh hµnh

ABCD võa dùng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi.

- BiÖn luËn: NÕu d

a2

≥ th× bµi to¸n kh«ng cã nghiÖm h×nh

- NÕu d

a2

< th× sau khi dùng ®îc AE vµ gãc AEB, cung trßn t©m

A b¸n kÝnh a cã thÓ kh«ng gÆp EB hoÆc cã thÓ gÆp EB t¹i mét

®iÓm hoÆc c¾t nhau t¹i hai ®iÓm. Do ®ã bµi to¸n cã khi v« nghiÖm,

cã khi cã mét hoÆc hai nghiÖm h×nh.

- Chó ý:

1) NÕu víi bµi to¸n trªn ta thÊy

tæng hai ®êng chÐo b»ng hiÖu hai

®êng chÐo lµ AC - BD = h th× c¸ch

gi¶i sÏ nh sau:

- §Æt trªn ®o¹n OA mét ®o¹n

OF = OB

- Dùng ∆AFB biÕt hai c¹nh AB

= a, h

AFa

= vµ gãc ®èi víi c¹nh AB lµ

· 0AFB 90α= +2

(V× · · µ µ µ − α= + = + = + α2

0

1

180AFB FBO O F O )

-T¹i B dùng gãc FBC b»ng gãc F1 tøc b»ng 090α−2

®Ó ®îc

∆AOB. Tõ ®ã bæ sung cho thµnh h×nh b×nh hµnh ABCD b»ng nhiÒu

c¸ch kh¸c nhau.

2) Ngoµi ra cã thÓ gi¶i thªm bµi to¸n sau:

www.vnmath.com

53

a b

d c

o

d

c

ba

f

h

g

b

βα

e

d

www.vnmath.com

"Dùng h×nh b×nh hµnh biÕt hai

®êng chÐo vµ mét gãc"

Gi¶ sö ph¶i dùng h×nh b×nh

hµnh ABCD biÕt hai ®êng chÐo AC =

p vµ BD = q vµ gãc nhän t¹i A b»ng

α. Ta chØ cÇn dùng ∆ABD biÕt gãc A

b»ng α, c¹nh BD = q vµ trung tuyÕn

PAO

2= .

Dùng ®îc tam gi¸c nµy chØ cÇn bæ sung nã cho thµnh h×nh

b×nh hµnh ABCD. Nh vËy, ta ®· quy viÖc gi¶i bµi to¸n nµy vÒ viÖc

"dùng mét tam gi¸c biÕt ®¸y, trung tuyÕn vµ gãc ë ®Ønh"

Bµi to¸n 4: Dùng tø gi¸c ABCD biÕt hai c¹nh ®èi AD = a, BC =b, c¸c

gãc µ µ= α, = βA B vµ ®o¹n EF nèi trung ®iÓm hai c¹nh ®èi AD, BC.

- Ph©n tÝch: Gi¶ sö ABCD lµ

tø gi¸c ®· dùng ®îc.

NÕu dêi chæ song song AD

®Õn CG, AC ®Õn BH th× ba tø

gi¸c ACGD, ABHC vµ DBHG ®Òu

lµ h×nh b×nh hµnh. C¸c gãc

· µ · µ= = α = = βGCH A ;HCB B . Nh vËy

∆CGB dùng ®îc ngay (BiÕt hai

c¹nh vµ mét gãc). Tõ ®ã dùng ®îc

cx.

www.vnmath.com

54

www.vnmath.com

Ngoµi ra cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc vÞ trÝ trung ®iÓm M cña BG vÞ

trÝ cña H n»m trªn cx v× F lµ trung ®iÓm cña AH vµ cña BC (giao

®iÓm cña hai ®êng chÐo). EF = 1

2DH = MH = m.

X¸c ®Þnh ®îc vÞ trÝ cña D th× dùng ®îc ngay ®Ønh A.

- C¸ch dùng: ∆CGB biÕt hai c¹nh CG = a, CB = b, vµ ⊥

· =α+GCB B.

- Tõ trung ®iÓm M cña BG lÊy lµm t©m dùng cung trßn b¸n

kÝnh m c¾t cx t¹i H.

- Nèi HM vµ kÐo dµi ®Õn D sao cho MD = m.

- Tõ D dùng DA song song vµ b»ng GC.

- Tø gi¸c ABCD chÝnh lµ tø gi¸c cÇn dùng.

-Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh

+ Chó ý: Cã thÓ gi¶i thªm bµi to¸n sau ®©y.

"Dùng tam gi¸c ABC biÕt hai c¹nh AB = a, BC = b vµ ba gãc A,B,

gãc M gi÷a hai ®êng chÐo".

C¸ch dùng nh sau:

- Dùng ∆ABC trong ®ã gãc B b»ng gãc ®· cho, AB = a, BC = b.

- Dùng t¹i C mét gãc ACx b»ng gãc M ®· cho vµ dùng By// (cx).

- Dïng A lµm ®Ønh vµ AB lµm mét c¹nh dùng mét gãc b»ng gãc

A ®· cho, c¹nh kia ®· c¾t By t¹i D.

Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c ph¶i dùng.

Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh.

*) Bµi tËp tù gi¶i.

www.vnmath.com

55

a

m

b p c

n

p

www.vnmath.com

Bµi 1: Cho hai ®êng th¼ng a vµ b c¾t bëi ®êng th¼ng thø ba.

Dùng mét ®o¹n th¼ng AB = m sao cho AB//C vµ hai ®Çu mót A vµ B

lÇn lît n»m trªn hai ®êng th¼ng a vµ b.

Bµi 2: Cho mét ®êng th¼ng P vµ hai ®iÓm A, B cïng n»m mét

phÝa cña p. H·y t×m trªn P hai ®iÓm P vµ Q sao cho PQ = a cho tríc

vµ AP = BQ.

Bµi 3: Dùng tø gi¸c ABCD biÕt hai c¹nh ®èi AD = a, BC = b vµ

gãc µA = α ; µB=β ; D̂= γ .

2.1.9. Dùng ®êng trßn.

Bµi to¸n 1: Dùng ®êng trßn néi tiÕp trong mét tam gi¸c cho tríc.

- Ph©n tÝch: Gi¶ sö ∆ABC lµ tam

gi¸c cho tríc vµ O lµ t©m ®êng trßn néi

tiÕp tam gi¸c ®ã, tiÕp xóc c¹nh AB t¹i

M.

Ta cã OM ⊥ AB , v× O c¸ch ®Òu

ba c¹nh cña tam gi¸c nªn OA, OB, OC

lµ c¸c tia ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc

cña ∆ABC.

- C¸ch dùng: - Tríc hÕt dùng c¸c

tia ph©n gi¸c cña hai gãc bÊt kú cña ∆

®· cho råi lÊy giao ®iÓm O cña chóng.

- Qua O dùng ®êng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AB. ®îc ®iÓm M

lµ ch©n ®êng vu«ng gãc nµy.

- Dùng ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh OM.

Chøng minh: §êng th¼ng AB tiÕp xóc víi ®êng trßn (.) v× nã

vu«ng gãc b¸n kÝnh OM. T©m O l¹i c¸ch ®Òu ba c¹nh cña ∆, (V× O lµ

www.vnmath.com

56

O

pq

om

i

t

www.vnmath.com

giao ®iÓm cña c¸c tam gi¸c trong cña ∆ nªn OM = ON = OP). Do ®ã

c¸c ®êng th¼ng AC vµ BC theo thø tù vu«ng gãc víi c¸c b¸n kÝnh cña

ON vµ OP t¹i ®Çu mót cña chóng; suy ra mçi ®êng th¼ng trªn tiÕp

xóc víi ®êng trßn (O).

VËy (O, OM) lµ ®êng trßn ph¶i dùng.

- BiÖn luËn; Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh.

Chó ý: Cã thÓ gi¶i bµi to¸n t¬ng nh sau: "Dùng ®êng trßn ngo¹i

tiÕp 1 tam gi¸c cho tríc".

T©m M cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp ph¶i c¸ch ®Òu 3 ®Ønh cña ∆.

nªn M lµ giao ®iÓm ba ®êng trung trùc cña ∆ ®· cho.

NÕu lµ : "Dùng ®êng trßn bµng tiÕp cña 1 tam gi¸c cho tríc" th×

ta cã thÓ t×m t©m lµ giao ®iÓm cña ph©n gi¸c trong 1gãc vµ ph©n

gi¸c ngoµi cña hai gãc cßn l¹i. Ta dùng ®îc ba ®êng trßn bµng tiÕp

cña ∆.

Bµi to¸n 2: Dùng mét ®êng trßn tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cho tríc t¹i

mét ®iÓm cho tríc thuéc ®êng trßn ®ã vµ tiÕp xóc víi mét ®êng th¼ng

cho tríc.

- Ph©n tÝch: Gi¶ sö ®êng trßn (O)

®· dùng ®îc qua ®iÓm M trªn ®êng trßn

(I) cho tríc vµ ®ång thêi tiÕp xóc víi (I) vµ

víi ®êng th¼ng d cho tríc.

T©m O ph¶i n»m trªn ®êng th¼ng

IM. Hai ®êng trßn t©m (O) vµ (I) ph¶i cã

chung mét tiÕp tuyÕn MT qua M nªn O l¹i

ph¶i n»m trªn ph©n gi¸c ®i qua giao

®iÓm P cña d vµ Mt.

www.vnmath.com

57

mp

p

x

y

www.vnmath.com

+ C¸ch dùng: - Dùng tia IM.

- Qua M dùng tiÕp tuyÕn MT cña (I) c¾t t¹i P.

- Dùng ph©n gi¸c cña gãc ¶dpt c¾t tia IM t¹i O.

- Dùng ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh OM.

§ã chÝnh lµ ®êng trßn ph¶i dùng.

+ Chøng minh: - Ta cã OQ ⊥ d. V× OQ = OM (O n»m trªn ph©n

gi¸c gãc ¶dpt ) nªn ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi d.

§êng trßn (O) l¹i tiÕp xóc víi (I) v× ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng

OI nèi t©m cña chóng.

+ BiÖn luËn: - V× Ph¬ng tr×nh vµ d c¾t nhau t¹o thµnh hai gãc

cña gãc tpx c¾t MI kÐo dµi t¹i mét ®iÓm O', ®êng trßn t©m O' nµy

tiÕp xóc víi d ®ång thêi tiÕp xóc trong víi (I). Do ®ã bµi to¸n cã hai

nghiÖm h×nh.

- NÕu IM ⊥ d th× chØ cã mét nghiÖm h×nh.

Chó ý; Ta cã c¸c bµi to¸n t¬ng tù sau ®©y.

1) Dùng ®êng trßn tiÕp xóc

víi 1 c¹nh cña gãc cho tríc vµ tiÕp

xóc víi c¹nh kia t¹i mét ®iÓm cho

tríc.

Gi¶ sö ®êng trßn (O) ®·

dùng ®îc tiÕp xóc víi c¹nh Px vµ

víi c¹nh Py t¹i ®iÓm M cña gãc

xPy. Tia cã c¸ch dùng nh nhau.

- Dùng ph©n gi¸c cña gãc

xPy.

- Dùng ®êng vu«ng gãc víi Dy t¹i M.

www.vnmath.com

58

m

OyI

Byn

o 3

o 2

o 1

o

www.vnmath.com

Giao ®iÓm O tia ph©n gi¸c vµ ®êng vu«ng gãc chÝnh lµ t©m ®-

êng trßn ph¶i dông.

2) §êng trßn ®i qua mét ®iÓm cho tríc vµ tiÕp xóc víi 1 ®êng

trßn cho tríc t¹i mét ®iÓm cho tríc.

Gi¶ sö ®êng trßn (I) ®· dùng ®îc tiÕp xóc víi 1 ®êng trßn (O) ®·

cho t¹i ®iÓm A vµ ®i qua ®iÓm B.

Ta thÊy r»ng t©m I ph¶i n»m

trªn.

- §êng th¼ng OA v× tiÕp xóc

víi ®êng trßn ®· cho t¹i A.

- §êng trung trùc xy cña AB v×

®êng trßn ph¶i ®i qua A vµ B.

Giao ®iÓm cña OA vµ xy lµ

t©m I cña ®êng trßn ph¶i dùng. Bµi

to¸n cã mét nghiÖm h×nh nÕu B

kh«ng n»m trªn tiÕp tuyÕn chung

MN vµ v« nghiÖm nÕu B n»m trªn

MN.

NÕu A trïng víi B th× mäi ®êng trßn cã t©m O trªn OA ®i qua A

sÏ tho¶ m·n bµi to¸n; Cã v« sè nghiÖm h×nh.

3) Dùng ®êng trßn tiÕp xóc

ngoµi víi 3 ®êng trßn b»ng nhau cho

tríc.

Gi¶ sö ®êng trßn (O) ®· dùng

®îc tiÕp xóc víi 3 ®êng trßn b»ng

nhau (O1), (O2), (O3). Ta thÊy r»ng

t©m O ph¶i c¸ch ®Òu t©m ba ®êng

www.vnmath.com

59

b

p

a

n

cm

h

www.vnmath.com

trßn ®· cho tøc lµ OO1 = OO2 = OO3

= R + r, trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®-

êng trßn cÇn t×m vµ r lµ b¸n kÝnh

c¸c ®êng trßn b»ng nhau cho tríc.

Suy ra c¸ch dùng sau: Dùng ®êng trung trùc cña O1O2 vµ ®êng

trung trùc cña O2O3. Chóng c¾t nhau t¹i O lµ t©m ®êng trßn ph¶i

dùng.

Râ rµng nÕu ba ®iÓm O1, O2, O3 th¼ng hµng th× bµi to¸n v«

nghiÖm.

Bµi tËp:

Bµi 1: Cho tríc ba ®iÓm M,N,P, dùng ∆ABC sao cho ch©n ba ®êng

cao cña nã theo thø tù lµ M,N,P.

Bµi 2: Dùng ∆ABC biÕt ®¸y BC, gãc A = α vµ trung tuyÕn AM = m.

Bµi 3: Cho ®o¹n th¼ng AB = a. Dùng trªn ®o¹n AB ®iÓm M sao cho

AM2 = a (A - AM). (Bµi to¸n vÒ phÐp ph©n chia hoµng kim).

Gîi ý:

Bµi 1: Gi¶ sö ∆ABC ®· dùng ®îc vµ ba ®êng cao AM, BN, CP c¾t

nhau t¹i H. VËn dông tÝnh chÊt "ch©n ba ®êng cao cña mét tam gi¸c

t¹o thµnh ba ®Ønh cña 1 tam gi¸c míi mµ ba ®êng cao lµ ph©n gi¸c

cña ba gãc cña tam gi¸c míi".

Ta cã c¸ch dùng sau:

- Nèi ba ®iÓm M,N,P ®îc ∆MNP.

- Dùng hai ph©n gi¸c cña ∆MNP

c¾t nhau t¹i H.

www.vnmath.com

60

www.vnmath.com

- Dùng qua M,N,P c¸c ®êng

vu«ng gãc víi HM, HN, HP c¾t nhau t¹i

A, B, C.

Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c cÇn

dùng.

Bµi 2: Dùng ®îc ®¸y BC ta chØ cÇn x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®Ønh A, ®Ønh A

ph¶i n»m trªn cung chøa gãc α dùng trªn BC ®ång thêi n»m trªn ®êng

trßn t©m lµ trung ®iÓm cña BC b¸n kÝnh b»ng m.

Ta ®îc 4 tam gi¸c b»ng nhau, nhng bµi to¸n chØ cã 1 nghiÖm

h×nh.

Bµi 3: Lu ý: BiÓu thøc x2 = a(a - x) cã thÓ viÕt x x

a a x=

− .

Nh vËy x lµ ®o¹n trung b×nh nh©n gi÷a a vµ a - x ta cßn nãi

r»ng ®©y lµ phÐp chia AB theo trung vµ ngo¹i tû. Bµi to¸n dùng h×nh

næi tiÕng nµy ®îc gäi lµ phÐp chia hoµng kim.

2.1.10. Dùng thiÕt diÖn (mÆt c¾t)

* Ph¬ng ph¸p dùng:

- Cho khèi ®a diÖn (K) vµ mét mÆt ph¼ng (P). NÕu (P) c¾t c¸c

mÆt cña (K) mét sè ®o¹n th¼ng th× h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®o¹n

th¼ng Êy gäi lµ thiÕt diÖn cña (K) víi (P).

- Dùng thiÕt diÖn thùc chÊt lµ dùng giao ®iÓm cña mÆt ph¼ng

víi ®êng th¼ng hoÆc dùng giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng.

- Lu ý ®Õn c¸c tÝnh chÊt song song trong qu¸ tr×nh dùng giao

tuyÕn:

www.vnmath.com

61

www.vnmath.com

1.

d //(P)

d (Q) d // d '

(P) (Q) d '

⊂ ⇒ ∩ =

2. (P) //(Q) (R) (Q) d '

(R) (P) d d // d '

∩ = ⇒ ∩ =

* Bµi to¸n 1:

Cho tø diÖn ABCD; M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC.

1) Mét mÆt ph¼ng (P) qua M vµ song song víi CD c¾t c¸c c¹nh

BD, AD vµ AC t¹i N, R, S. Tø gi¸c MNRS lµ h×nh g×?

2) NÕu (P) song song víi CD vµ c¶ AB n÷a th× tø gi¸c MNRS lµ

h×nh g×?

Gi¶i:

1) (P) // CD. ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?

CD//(P)

CD (BCD) MN//CD

(BCD) (P) MN

⊂ ⇒ ∩ =

(1)

T¬ng tù: (ACD) c¾t (P) theo RS nªn:

RS // CD (2)

2) (P) // CD vµ (P) // AB. ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?

Lý gi¶i nh trªn c©u 1) ta cã thªm MS // NR.

www.vnmath.com

62

A

B

C

D

M

N

S

R

A

B

C

D

M

NS

R

www.vnmath.com

VËy thiÕt diÖn MNRS lµ h×nh b×nh hµnh.

* Bµi to¸n 2:

Cho h×nh chãp S. ABCD lµ mét tø gi¸c låi. Gäi I lµ giao ®iÓm

cña AC vµ BD. VÏ thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng qua I,

song song víi AB vµ SC. ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?

Gi¶i:

* Dùng thiÕt diÖn

- Gäi (α) lµ mÆt ph¼ng qua I song song víi AB vµ SC. (α) c¾t

AD t¹i M vµ BC t¹i N th×:

MN // AB

(α) c¾t SB t¹i P vµ SA t¹i Q th×:

NP // SC vµ PQ // AB

* C¸ch dùng

- Qua I dùng MN // AB (M ∈ AD; N ∈ BC)

- Tõ N dùng NP // SC (P ∈ SB)

- Tõ P dùng PQ // AB (Q ∈ SA)

ThiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (α)

qua I song song víi AB vµ SC lµ tø gi¸c MNPQ.

* ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?

Nh trªn ®· thÊy:

MN//ABMN// PQ

PQ//AB

⇒

* Bµi to¸n 3:

Cho l¨ng trô tam gi¸c ABCA'B'C'. Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung

®iÓm c¸c c¹nh AB, AA' vµ A'C'. H·y dùng thiÕt diÖn cña l¨ng trô víi

mÆt ph¼ng (MNP).

www.vnmath.com

63

S

Q P

BA

M NC

D

I

JA'

A

N

P

B'

BM R

C

C'

I

www.vnmath.com

Gi¶i:

• §êng th¼ng MN c¾t c¸c ®êng

th¼ng BB', B'A' lÇn lît t¹i I vµ J (MN, BB' vµ

B'A' cïng ë trong mÆt ph¼ng (ABB'A')).

• Nèi JP. §êng th¼ng nµy c¾t BC t¹i

Q.

• Nèi IQ. §êng th¼ng nµy c¾t BC t¹i

R.

ThiÕt diÖn cña l¨ng trô víi mÆt

ph¼ng (MNP) lµ ®a gi¸c MNPQR.

Ghi chó:

(i) Do (ABC) // (A'B'S') nªn MR // PQ. Ngoµi ®Æc ®iÓm nµy ra

th× thiÕt diÖn kh«ng cã ®Æc ®iÓm g× kh¸c.

(ii) Hai ®êng th¼ng chØ c¾t nhau khi chóng cïng mÆt ph¼ng

vµ kh«ng song song.

* Bµi to¸n 4:

Cho h×nh chãp SABCD, ®¸y lµ tø gi¸c låi ABCD. H·y dùng thiÕt

diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua A vµ song song víi BD.

Gi¶i:

- Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD trong mÆt

®¸y ABCD. MÆt ph¼ng (P) c¾t SO t¹i O' vµ c¾t mÆt ph¼ng (SBD)

theo giao tuyÕn B'D' song song víi BD // (P). Do ®ã c¸ch dùng:

* C¸ch dùng:

• Nèi SO; lÊy mét ®iÓm O' trªn ®o¹n

SO.

www.vnmath.com

64

S

A B

CD

O

B'

C'D' O'

www.vnmath.com

• Qua O' dùng ®êng th¼ng song

song víi BD, ®êng th¼ng nµy c¾t SB vµ

SD t¹i B' vµ D'.

• AO' c¾t SC t¹i C'.

ThiÕt diÖn lµ tø gi¸c AB'C'D'.

2.2. VÊn ®Ò 2: KhuyÕn khÝch häc sinh t×m ra nhiÒu c¸ch gi¶i cho mét

bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian.

VÊn ®Ò nµy ®îc x©y dùng dùa trªn c¬ së mét vÊn ®Ò To¸n häc

cã nhiÒu c¸ch nh×n nhËn theo c¸c gãc ®é kh¸c nhau. Víi mét bµi to¸n

®îc gi¶i b»ng nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau, häc sinh sÏ ®îc tiÕp cËn theo

nhiÒu ®êng lèi, kiÕn thøc réng h¬n, s©u s¾c h¬n. Tõ c¸c ph¬ng thøc

tiÕp cËn ®ã cã thÓ gi¶i quyÕt ®îc vÊn ®Ò mét c¸ch nhanh chãng, linh

ho¹t. Tuy nhiªn, kh«ng ph¶i bµi to¸n nµo còng gi¶i ®îc theo nhiÒu ph-

¬ng ph¸p, c¸ch gi¶i kh¸c nhau, song ®èi víi mét sè bµi to¸n vÒ h×nh

häc kh«ng gian, ®Æc biÖt lµ c¸c bµi to¸n vÒ h×nh hép, tø diÖn vu«ng,

h×nh chãp … ta cã thÓ gi¶i ®îc theo nhiÒu c¸ch kh¸c nhau. Cô thÓ,

sau khi gi¶i xong mét c¸ch nµo ®ã cña bµi to¸n, gi¸o viªn còng nªn hái

häc sinh: "Bµi to¸n nµy cã c¸ch gi¶i nµo kh¸c n÷a hay kh«ng?". NÕu gi¸o

viªn kh«ng ®Æt ra c©u hái nµy e cã nhiÒu häc sinh sÏ tá ra bøc xóc vµ

biÕt ®©u c¸c em cßn cã nhiÒu c¸ch gi¶i, ph¬ng ph¸p kh¸c hay h¬n nhiÒu

c¸ch gi¶i võa ®îc tr×nh bµy. Mçi häc sinh cã kh¶ n¨ng liªn tëng, huy ®éng

kiÕn thøc kh¸c nhau tuú vµo kh¶ n¨ng t duy gi¶i quyÕt vÊn ®Ò cña c¸c

em.

VÝ dô 1: Cho tø diÖn ABCD. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c

c¹nh AB, CD, vµ G lµ trung ®iÓm cña ®o¹n MN. Chøng minh r»ng ®-

www.vnmath.com

65

a

d

m

bg

n

c

i a '

www.vnmath.com

êng th¼ng AG ®i qua träng t©m A' cña ∆BCD. Ph¸t biÓu kÕt luËn t-

¬ng tù ®èi víi c¸c ®êng th¼ng BG; CG; DG.

C¸ch 1:

+ Chøng minh AG ®i qua A'.

⇔ Chøng minh A, G, A' th¼ng hµng.

⇔ Chøng minh A, G, A' cïng thuéc hai mÆt ph¼ng.

Do G ∈ MN nªn G ∈ mÆt ph¼ng (ABN)

Do A' lµ träng t©m ∆BCD nªn A' ∈ BN

⇒ A' ∈ mp (ABN)

⇒ A, G, A' ∈ mp (ABN) (1)

Gäi I, J lÇn lît lµ trung ®iÓm BC, AD. Ta dÔ dµng chøng minh

®îc tø gi¸c MIJ lµ h×nh b×nh hµnh hay G ∈ IJ ⇒ G ∈ mp (ADI)

MÆt kh¸c A' ∈ DI ⇒ A' ∈ mp (ADI)

⇒ A, G, A' ∈ mp (ADI) (2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ A, G, A' th¼ng hµng hay AG ®i qua A'.

C¸ch 2:

1) Chøng minh AG ®i qua A'.

Trong ∆ABN gäi A'' lµ giao cña BN vµ AG. ¸p dông ®Þnh luËt

Men ®e lªuyt cho ba ®iÓm A, G, A'' ta cã:

AM BA'' NG. . 1

AB A''N GM=

Trong ®ã:

AM 1

AB 3 =

(V × M lµ trung ®iÓm cña AB)

MG=1(V × G lµ trung ®iÓm cña MN)

GM

www.vnmath.com

66

www.vnmath.com

Thay vµo ta cã: BA'' AB

2A''N AM

= = hay BA'' = 2A'N (1)

MÆt kh¸c v× A' lµ träng t©m ∆BCD nªn A' BN

BA' 2A'N

∈ =

(2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ A'' ≡ A'. VËy AG ®i qua A'

C¸ch 3:

1) Chøng minh A, G, A' th¼ng hµng.

⇔ Chøng minh AA', GA' cïng song song mét ®êng th¼ng.

Dùng ®êng th¼ng MH // AA' (H ∈ BN) (1)

Khi ®ã MH lµ ®êng trung b×nh ∆ABA'.

⇒ H lµ trung ®iÓm BA ⇒ BH = HA'.

MÆt kh¸c: BA' = 2A'N hay 2HA' = 2A'N.

⇒ A' lµ trung ®iÓm HN

⇒ GA' // MH (2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ A, G, A' th¼ng hµng

hay AG ®i qua A' .

C¸ch 4:

Do A' lµ träng t©m ∆BCD ⇒ A' = BN ∩ DI (I lµ trung ®iÓm BC).

Nªn A, G, A' th¼ng hµng.

⇒ AG, BN, DI ®ång quy.

Gäi J lµ trung ®iÓm AD.

Khi ®ã ta cã tø gi¸c MINJ lµ h×nh b×nh hµnh.

⇒ G ∈ IJ, G ∈ MN ⇒ AG lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ABN) vµ

(ADI).

DI lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ADI) vµ (BCD).

BN lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (BCD) vµ (ABN)

www.vnmath.com

67

m

a

na '

g

bh

www.vnmath.com

Mµ DI ∩ BN = A' (träng t©m ∆BCD).

Suy ra (theo ®Þnh luËt vÒ giao tuyÕn cña ba mÆt ph¼ng) AG,

BN, DI ®ång quy t¹i A' hay A, G, A' th¼ng hµng.

VËy AG ®i qua träng t©m A' cña ∆BCD. (� )

VÝ dô 2: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD A1B1C1D1

Chøng minh A, G, C1 th¼ng hµng (G lµ träng t©m ∆A1BD).

C¸ch 1:

A, G, C1 th¼ng hµng ⇔ A, G, C1 ®ång thêi thuéc hai mp ph©n

biÖt.

Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD.

⇒ A1O ⊂ (AA1C1C)

V× G ∈ A1O ⇒ G ∈ (AA1C1C)

VËy A, G, C1 ∈ (AA1C1C) (1)

Gäi O1 lµ t©m cña h×nh vu«ng ABB1A1

⇒ DO1 lµ trung tuyÕn cña ∆A1B1D

⇒ G ∈ DO1 ⊂ (ADC1B1)

⇒ G ∈ (AD C1B1)

VËy A; G; C1 ∈ (ADC1B1) (2)

Do mÆt ph¼ng (ADC1B1) vµ mÆt ph¼ng (AA1C1C) lµ hai mÆt

ph¼ng ph©n biÖt nªn tõ (1) vµ (2) suy ra A, G, C1th¼ng hµng.

C¸ch 2:

A, G, C1 th¼ng hµng ⇔ AC1 chøa G.

Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. Ta cã A1O ∈ (AA1C1C)

Gäi G lµ giao ®iÓm AC1 vµ A1O.

www.vnmath.com

68

G

C1D1

B1

o

A1

a

d c

b

O1

www.vnmath.com

Khi ®ã G lµ giao ®iÓm cña AC1 vµ mÆt ph¼ng (A1BD). Ta sÏ

chøng minh G lµ träng t©m ∆A1BD ⇔ Chøng minh A1G = 2GO.

XÐt ∆AOG vµ ∆C1GA1. Cã AO // A1C1 ⇒ 1 1 1

AO OG 1

A C A G 2= =

Hay A1G = 2GO.

VËy G lµ träng t©m ∆A1BD.

C¸ch 3: V× G lµ träng t©m ∆A1BD ⇒ G = A1O ∩ DO1

VËy A1, G, C1 th¼ng hµng ⇔ AC1, A1O, DO1 ®ång quy (O, O1

lÇn lît lµ t©m cña h×nh vu«ng ABCD, ABB1A1).

Ta cã: AC1lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ADC1B1) vµ

(ACC1A1)

DO1lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ADC1B1) vµ (A1BD).

A1O lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (A1BD) vµ (ACC1A1)

(V× O1 ∈ A1B ⇒ DO1 ⊂ (A1BD); O = AC ∩ BD.

⇒ A1O ∈ (ACC1A1)

Mµ DO1 ∩ A1O = G. VËy theo ®Þnh lý vÒ giao tuyÕn cña ba

mÆt ph¼ng ta cã AC1, DO1, A1O ®ång quy t¹i G (G lµ träng t©m

∆A1BD)

Hay A, G, C1th¼ng hµng.

C¸ch 4: Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh

Trong mÆt ph¼ng (ACC1A1). XÐt ∆AOG vµ ∆C1OA1 cã

1 1 1

AO OG 1

A C A G 2= =

(V× O lµ trung ®iÓm AC, G lµ träng t©m ∆A1BD)

· ·1 1AOG C A G= (Gãc so le trong)

VËy ∆C1OA1 ~ ∆AOG hay · ·1 1OGA A GC=

(ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh).

www.vnmath.com

69

a c

c '

g

o

a '

www.vnmath.com

⇒ A, G, C1 th¼ng hµng.

VÝ dô 3: Cho h×nh chãp S ABCD cã SA ⊥ mÆt ph¼ng (ABCD); SA =

2. §¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = 1, BC = 3. TÝnh kho¶ng c¸ch

gi÷a hai ®êng th¼ng AC vµ SD.

C¸ch 1: Xem kho¶ng c¸ch lµ ®é dµi ®o¹n ⊥ gãc chung.

Tõ D dùng Dx // AC.

Tõ A dùng AF ⊥ Dx (F ∈ Dx)

vµ AH ⊥ SF (H ∈ SF)

Qua H kÎ ®êng th¼ng HP // FD (P ∈ SD)

KÎ PQ // AH (Q ∈ AC)

Khi ®ã PQ lµ ®o¹n ⊥ gãc chung cña AC vµ SD.

ThËt vËy:FD AF

FD SA

⊥ ⊥

⇒ FD ⊥ (SAF) ⇒ FD ⊥ AH.

Mµ AH ⊥ SF ⇒ AH ⊥ (SFD) ⇒ AH ⊥ SD.

Do AH // PQ ⇒ PQ ⊥ SD (1)

MÆt kh¸c AH ⊥ FD ⇒ AH ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ AC (2)

Tõ (1) vµ (20 ⇒ PQ lµ ®o¹n vu«ng gãc chung.

XÐt ∆AFD vu«ng vµ ∆CDA vu«ng cã

· · · ·FDA DAC (Sole); FAD ACD= =

VËy ∆AFD ~ ∆CDA ⇒ AF AD AD.CD AB.BC 3

AFCD AC AC AC 10

= ⇒ = = =

2 2 2

1 1 1 1 10 49 6AH

AH SA AF 4 9 36 7= + = + = ⇒ = .

VËy d(AC, SD) = AH = 6

7.

www.vnmath.com

70

b

c

s

h

fd

x

aqp

www.vnmath.com

C¸ch 2: Kho¶ng c¸ch gi÷a AD vµ SD lµ kho¶ng c¸ch tõ ®êng th¼ng AC

®Õn mÆt ph¼ng (SFD).

Tõ D dùng Dx // AC.

Gäi (P) lµ mp qua SD vÊn ®Ò Dx. Khi ®ã (P) // AC.

VËy d (AC, SD) = d(AC, (P)) = d(A, (P)).

Dùng AH ⊥ Dx (F ∈ Dx)AH ⊥ SF (H ∈ F)

Sauy ra AH ⊥ (SFD) hay AH ⊥ (P)

Do ®ã: d(AC, SD) = d(A, P) = AH = 6

7.

C¸ch 3: Xem kho¶ng c¸ch gi÷a AC vµ

SD lµ kho¶ng c¸ch cña hai mÆt ph¼ng.

Tõ D dùng Dx // AC.

Gäi (P) lµ mp qua SD vµ Dx, (Q) lµ mp qua AC vµ (P) // (Q).

Khi ®ã d(AC, SD) = d((Q), (P)) = d((A), (P)) = AH = 6

7

C¸ch 4: Xem kho¶ng c¸ch AC vµ SD lµ chiÒu cao h×nh chãp cã ®Ønh

A vµ ®¸y lµ ∆SFD, h×nh chãp SAFD.

Ta cã: d(AC, SD) = ASFD

SFD

3V

S . Trong ®ã VASFD =

1

6 SA. AF. FD

Ta cã: SA = 2, AF = 2 2 23 9 9FD AD AF 3

1010 10⇒ = − = − =

Suy ra VASFD = 1

6. 2 .

3 9 9.

1010 10=

SD = 2 2SA AD 4 9 13+ = + =

www.vnmath.com

71

a

x

df

h

s

c

b

www.vnmath.com

SF = 2 2 81 7SD FD 13

10 10− = − =

Suy ra SSFD = 1 1 7 9 63SF.FD . .

2 2 2010 10= =

Do ®ã d(AC, SD) = 6

7.

C¸ch 5: Xem kho¶ng c¸ch AC, SD lµ chiÒu cao h×nh hép cã 2 ®¸y lÇn

lît chøa hai c¹nh AC, SD.

Dùng h×nh hép ACEDPQRS.

Ta cã: d(AC, SD) = 2h

DERS

V

S

Trong ®ã:

ThÓ tÝch h×nh hép

V = SA. SACDE

⇒ V = 2. SA . SACD = SA. AD. DC = 6.

Ta cã: SDERS = DS. DE. sin ( ·SDE )

= DS. DE . sin ( ·SDE )

= DS. DE . FS

DE.FSSD

=

= AC. FS = 7

10.10

= 7.

VËy d(AC, SD) = 6

7.

VÝ dô 4: Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét ⊥ nhau vµ OA =

OB + OC. Chøng minh r»ng tæng ba gãc ph¼ng t¹i ®Ønh A b»ng 900.

C¸ch 1: §Æt · · ·BAC ,OAB , OAC= α = β = γ . Khi ®ã bµi to¸n trë thµnh bµi

to¸n chøng minh α + β + γ = 900 ⇔ α = 900 - (β + γ)

www.vnmath.com

72

pq

rs

ac

cdf

www.vnmath.com

⇔ cos α = sin(β + γ) (*)

Ta cã VT cña (*) cosα = 2 2 2AB AC BC

2.AB.AC

+ − (§Þnh lý h/s cosin cho

∆ABC)

⇔ α = 2 2 2 2 2 2OA OB OC (OB OC ) OA

2AB.AC AB.AC

+ + − + = (1)

VÕ ph¶i cña (*): sin (β + γ) = sinβ . cosγ + cosβ . sinγ

⇒ sin (β + γ) = OB OA OA OA

. .AB AC AB AC

+

= 2OA OA

(OB OC)AB.AC AB.AC

+ = (2)

(V× OA = OB + OC theo gi¶ thiÕt).

Tõ (1) vµ (2) ⇒ (*) ®óng.

VËy tæng ba gãc ph¼ng t¹i ®Ønh A b»ng 900.

C¸ch 2: Víi c¸ch ®Æt trªn

¸p dông ®Þnh lý h/s cosin cho ∆ABC.

cosα = 2 2 2AB AC BC

2AB.AC

+ −

⇒ cosα = 2OA CA OA

. cos .cosAB.AC AB AC

= = β γ .

Theo gi¶ thiÕt

OA = OB + OC ⇔ 1 = OB OC

tg tgOA OA

+ = β + γ

⇔ cosβ . cosγ = sinβ . cosγ + sinγ . cosβ

⇔ cosα = sin(β + γ)

www.vnmath.com

73

www.vnmath.com

⇒ ( )

2

2

πα = − β + γ

πα = β + γ −

Trong ∆OAB cã OA > OB nªn β < ·OBA ⇒ 4

πβ <

T¬ng tù ta cã γ < 4π . VËy β + γ < 2

π .

Nªn α = 2π - (β + γ)

VËy α + β + γ = 2π hay tæng ba gãc ph¼ng t¹i ®Ønh A b»ng

900.

C¸ch 3:

§Æt OA = a; OB = b; OC = c.

Khi ®ã v× ∆OBC ⊥ t¹i B.

Nªn BC = 2 2 2 2OB OC B C+ = +

Trong mp bÊt kú ®i qua ®Ønh A, dùng

h×nh vu«ng c¹nh b»ng b + c.

H×nh vu«ng AA1A2A3

Trªn c¹nh A1A2 lÊy ®iÓm B sao cho A1B' = b.

Trªn c¹nh A2A3 lÊy ®iÓm C sao cho A3C' = c

⇒ B'C' = 2 2 2 22 2(A C') (A B') B C+ = +

Khi ®ã ta cã ∆AA3C' = ∆AOC; ∆AA1B' = ∆OAB

∆AB'C' = ∆ABC (C. C. C)

⇒ · · · · 03 1 3 1A AC' L'AB' BAA A AA 90+ + = = hay α + β + γ = 900.

VËy tæng c¸c gãc ph¼ng ë ®Ønh cña tø diÖn b»ng 900.

www.vnmath.com

74

a 3 c '

b '

a

αα

β

a 2

a 1

www.vnmath.com

VÝ dô 5: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA1B1C1D1 cã c¹nh b»ng 1. Gäi M,

N lÇn lît lµ c¸c ®iÓm thuéc c¸c c¹nh AD, BD1 sao cho AM = BN < 1.

Gäi I, J lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, C1D1.

CMR: Bèn ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng.

C¸ch 1: §Ó chøng minh M, I, N, J ®ång ph¼ng ta sÏ chøng minh MI

c¾t NJ ta cã tø gi¸c AIJD1 lµ h×nh ch÷ nhËt

(V× AI // = JD1 = 1

2 vµ · 1IAD = 900).

⇒ IJ ⊥ AB vµ IJ ⊥ C1D1

(1)

Ta còng cã: Tø gi̧ c DIB1J lµ h×nh

thoi

⇒ IJ ⊥ B1D1 t¹i trung ®iÓm O

cña mçi ®êng. Khi ®ã thùc hiÖn phÐp

®èi xøng trôc IJ.

DIJ: A α B tho¶ m·n AD = BB1

D α B1 AM = BM'

M α M'

Mµ BN = AM ⇒ BN = BM' ⇒ N ≡ M'.

VËy DIJ: M α N.

⇒ Bèn ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng.

C¸ch 2: (¸p dông ®Þnh lý Minebuyt trong kh«ng gian)

XÐt c¸c tø gi¸c ghÒnh ABB1D. Cã

1

1 1

IA BN B O DM BN DM. . . . 1

IB NB OD MA NB MA= =

(V× I, O lµ trung ®iÓm cña AB, B1D vµ BN = AM ⇒ DM = NB1)

www.vnmath.com

75

a M D

b

n

b 1

C

i

A1

C1

J

D1

www.vnmath.com

⇒ 4 ®iÓm M, I, N, O ®ång ph¼ng.

MÆt kh¸c ta l¹i cã tø gi¸c DIB1J lµ h×nh thoi nªn J ∈ OI. VËy 4

®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng.

C¸ch 3: §Ó chøng minh bèn ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng ta chøng

minh mÆt ph¼ng ®i qua ba trong bèn ®iÓm sÏ ®i qua ®iÓm cßn l¹i.

Gäi (P) lµ mp ®i qua ba ®iÓm I, M, J. Trong mp (ABCD)

∆IAM ~ ∆IBD ⇒ IA AM

1IB BD

= =

⇒ AM = BD (1)

∆IAM ~ ∆QDM ⇒ IA AM

DQ MD=

⇒ PQ = IA.MD

AM.

Trong mp (CDD1C1): ∆QDE ~ ∆JD1E.

⇒ 1 1 11

JD ED JD .EDED

QD ED QD= ⇒ =

⇒ 11

ID .ED.AM EA.AMED

IA.MD MD= =

(IA = JD1 = 1

2).

∆ ID1E ~ ∆JC1R ⇒ 1 1

1 1

C R ED

C J JD=

⇒ C1R + ED1 = ED.AM

MD.

(E1D1 = 1(1 ED )AM

(1 AM)

−− ⇔ ED1 - ED1 . AM = AM - ED1 . AM

⇒ ED1 = AM

⇒ C1R = AM (2)

www.vnmath.com

76

D1

JC1

A1

i

C

b 1

DMa

b

f

www.vnmath.com

Tõ (1) vµ (2) ⇒ ∆PCR vu«ng c©n (CP = CR)

⇒ ∆PBN' ⊥ c©n hay BD = BM' = AM

⇒ N' = N hay N ∈ (P)

VËy M, I, N, J ®ång ph¼ng.

VÝ dô 6: CHo h×nh ch÷ nhËt ABCDA1B1C1D1 cã c¸c kÝch thíc lÇn lît

AB = a, AD = b, AA1 = C. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®êng th¼ng AD

vµ BD1.

C¸ch 1:

Tõ D kÎ DH ⊥ CD1 (H ∈ CD1)

Tõ H kÎ HE // BC (E ∈ BD1)

Tõ E kÎ EF // DH (F ∈ AD)

Khi ®ã EF lµ ®êng vu«ng

gãc chung cña AD vµ BD1.

ThËt vËy: Do BC ⊥

(CDD1C1) nªn BC ⊥ DH mµ DH ⊥

CD1 suy ra DH ⊥ (BCD1) ⇒ DH ⊥

BD1.

⇒ EF ⊥ BD1 (V× EF // DH) (1)

MÆt kh¸c: AD ⊥ (CDD1C1)

⇒ AD ⊥ DH

⇒ EF ⊥ AD (V× EF // DH) (2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ EF lµ ®êng ⊥ gãc chung cña BD1 vµ AD.

Ta cã d (AD, BD1) = EF = DH.

Trong ®ã: 2 2

2 2 2 2 2 21

1 1 1 1 1 a c

DH DD DC C a (ac)

+= + = + =

www.vnmath.com

77

c 1

b 1

d 1

f

b

a 1

a

cd

h

e

www.vnmath.com

⇒ DH = 2 2

ac

a c+. VËy d (AD, BD1) = 2 2

ac

a c+

C¸ch 2: Gäi (P) lµ mp qua BD1 vµ BC.

Khi ®ã (P) // AD.

d (AD, BD1) = d(AD, (P)) = d(D, (P)).

Tõ D kÎ DH ⊥ CD1 (H ∈ CD1)V× BC ⊥ (CDD1C1) nªn BC ⊥ DH

⇒ DH ⊥ (BCD1) hay DH ⊥ (P)

Suy ra d (AD, BD) = 10 = d(D, (P)) = DH = 2 2

ac

a c+

C¸ch 3: Gäi (P) lµ mp ®i qua BD1 vµ BC.

(Q) lµ mp ®i qua AD vµ // (P)

Khi ®ã d (AD, BD1) = d((Q), P) = d(D1, (P))

(D ∈ (Q)). Qua D kÎ DH ⊥ CD1 (H ∈ CD1)

V× BC ⊥ (CDD1C1) nªn BC ⊥ DH, do ®ã

DH ⊥ (BCD1) hay DH ⊥ (P)

⇒ d (AD,BD1) = DH = 2 2

ac

a c+.

C¸ch 4: Kho¶ng c¸ch gi÷a AD vµ BD1 b»ng chiÒu cao h×nh chãp

DBD1C.

d(AD, BD1) = 1

1

DBCD

BCD

3V

S.

Trong ®ã 1DBCD

1V

6= DD1.DC.BC =

1

6 abc.

1

2 2BCD 1

1 1S BC.CD b a c

2 2= = +

VËy d (AD, BD1) = 2 2

3bac

3b a c+ = 2 2

ac

a c+.

www.vnmath.com

78

cd

c 1

a b

d 1

a 1 b 1

ab

c

e

p

d c

a

a 1

b

f

d 1

b 1

c 1

www.vnmath.com

C¸ch 5: Dùng h×nh hép ADEFA1D1BP.

Gäi V lµ thÓ tÝch cña h×nh hép

Khi ®ã d ( AD, BD1) = 1 1ADD A

V

S

Trong ®ã V = AB . 1 1ADD AS = abc

1 1 1 1

2 2A PBD A BD 1 1S 2S AD .A B b a c= = = +

VËy 1 2 2 2 2

abc acd(AD,BD )

b b c a c= =

+ +.

VÝ dô 7: Cho h×nh tø diÖn ABCD víi P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm AB,

CD. Gäi R lµ ®iÓm n»m trªn c¹nh BC sao cho BR = 2RC. S lµ ®iÓm

n»m trªn c¹nh AD sao cho AS = 2SD. Chøng minh r»ng bèn ®iÓm P,

Q, R, S cïng n»m trªn mét mÆt ph¼ng.

C¸ch 1: (Sö dông ®Þnh lý Mendeleuyp trong kh«ng gian)

XÐt tø gi¸c ghÒnh ABCD cã:

AD BR CQ DS BR DS. . . . 1

PB RC QD SA RC SA= =

(V× P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, CD vµ BR DS 1

1,RC SA 2

= = )

Do ®ã: Bèn ®iÓm P, Q, R, S cïng n»m trªn mét mp.

C¸ch 2: Bèn ®iÓm P, Q, R, S cïng thuéc 1 mp ⇔ cã 2 ®êng th¼ng

(mçi ®êng th¼ng ®i qua 2 trong 4 ®iÓm trªn c¾t nhau).

Gäi I lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng PR vµ AC.

Gäi J lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng SQ vµ AC.

Tõ C kÎ CE // AB, CF // AD.

Trong mÆt ph¼ng (ABC)

∆PBR ~ ∆ECR ⇒ EC RC 1

BP BR 2= =

www.vnmath.com

79

p

f

f

f

f

f

i = j

www.vnmath.com

⇒ EC IC 1

AS IA 2= = ⇒ C lµ trung ®iÓm IA (1)

Trong mÆt ph¼ng (ACD)

∆SPQ ~ ∆ FCQ

⇒

CE CQ1

SD QD

CF JC 1

AS JA 2

= =

= =

⇒ C lµ trung ®iÓm JA (2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ I ≡ J hay PR c¾t SQ t¹i I.

VËy 4 ®iÓm P, Q, R, S cïng thuéc mÆt ph¼ng.

C¸ch 3: Bèn ®iÓm P, Q, R, S cïng thuéc mét mÆt ph¼ng.

⇔ Cã mét mp ®i qua 3 trong 4 ®iÓm còng sÏ ®i qua ®iÓm cßn

l¹i.

Gäi (P) lµ mp ®i qua R, P, Q.

Tø gi¸c PRQS lµ tiÕt diÖn c¾t bëi (P) vµ h×nh tø diÖn ABCD.

Ta sÏ chøng minh S' ≡ S ∈ (P).

ThËt vËy: Tõ C kÎ CE // AB, CF // AD.

Trong mÆt ph¼ng (ABC). Do ∆PBR ~ ∆ECR.

⇒ EC RC 1 EC 1

BP BR 2 PA 2= = ⇒ =

Trong ∆IAD ta cã: EC IC 1

PA IA 2= = (1)

Trong mp (ACD)

Ta cã CF IC 1

AS' IA 2= = theo (1) (2)

V× ∆CFQ ~ ∆DS'Q nªn CF CQ

1S'D QD

= = hay CF = SD.

www.vnmath.com

80

www.vnmath.com

Thay vµo (2) ta ®îc S'D 1

AS' 2= ⇒ AS' = 2S'D.

Mµ gi¶ thiÕt AS = 2SD (S, S' ∈ c¹nh AD).

Do ®ã S' ≡ S hay S ∈ (P)

VËy P, Q, R, S cïng thuéc mét mÆt ph¼ng.

2.3. VÊn ®Ò 3. X©y dùng hÖ thèng bµi to¸n gèc gióp häc sinh quy l¹ vÒ

quen

Quy l¹ vÒ quen lµ qu¸ tr×nh quy viÖc gi¶i mét bµi to¸n vÒ gi¶i c¸c

bµi to¸n quen thuéc ®· biÕt. Quy l¹ vÒ quen lµ mét tri thøc ph¬ng ph¸p

gióp häc sinh dÔ dµng thùc hiÖn mét sè ho¹t ®éng quan träng ®îc quy

®Þnh trong ch¬ng tr×nh. §ång thêi viÖc th«ng b¸o nh÷ng tri thøc nµy

dÔ hiÓu vµ Ýt tèn thêi gian.

Trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y, gi¸o viªn còng cÇn quan t©m cho häc

sinh biÕt kiÕn thøc nµo cã thÓ ®Ó häc sinh tù häc hoÆc tù suy luËn

®îc trªn c¬ së kiÕn thøc ®· ®îc lùa chän, truyÒn thô cho häc sinh.

HoÆc gi¸o viªn còng cã thÓ híng dÉn cho häc sinh x©y dùng c¸c bµi

to¸n gèc ®Ó cñng cè kh¸i niÖm, ®Þnh lý. HÖ thèng bµi tËp gèc ®ãng

vai trß hÕt søc quan träng v× ngoµi chøc n¨ng cñng cè kiÕn thøc cho

häc sinh, hÖ thèng bµi tËp gèc cßn gãp phÇn ®Þnh híng t×m tßi lêi

gi¶i cho c¸c d¹ng to¸n, nhÊt lµ c¸c d¹ng to¸n cã quy tr×nh gi¶i. ViÖc

thùc hiÖn quy tr×nh trong d¹y häc to¸n kh«ng nh÷ng híng cho häc sinh

tíi t tëng thuËt to¸n mµ cßn t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh sö dông mÒm

m¹i, uyÓn chuyÓn c¸c ph¬ng ph¸p d¹y häc kh¸c nhau. Gi¸o viªn dùa

vµo nh÷ng kiÕn thøc truyÒn ®¹t ®Ó d¹y häc sinh tëng tîng, ph¸t triÓn

trùc gi¸c, gióp häc sinh ph¸t triÓn t duy tÝch cùc, ®éc lËp s¸ng t¹o.

Chóng ta h·y xÐt c¸c vÝ dô sau.

VÝ dô 1: Cho tam diÖn vu«ng OABC cã OA = a, OB = b, OC = c.

www.vnmath.com

81

a

o

c

b

h

www.vnmath.com

TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn (ABC)

Gäi H lµ h×nh chiÕu cña O trªn (ABC)

¸p dông tÝnh chÊt cña tam diÖn vu«ng ta cã:

2 2 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC= + + 2 2 2

1 1 1

a b c= + +

⇒ OH = 2 2 2 2 2 2

abc

a b b c c a+ +

Bµi to¸n: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA1B1C1D1 c¹nh b»ng 1. LÊy M trªn

c¹nh CC1 sao cho ®é dµi MC = 35 . Trªn c¹nh A1D1 lÊy N sao cho ®é

dµi A1N = 13 . O lµ t©m h×nh lËp ph¬ng. TÝnh kho¶ng c¸ch tõ

D ®Õn (MNO)?

Khi gÆp bµi to¸n nµy häc sinh sÏ thÊy khã kh¨n khi t×m h×nh

chiÕu cña D trªn (MNO). Khi ®ã gi¸o viªn gîi ý ®Ó häc sinh t×m c¸ch

®a vÒ bµi to¸n gèc.

Nh vËy: Lµm thÕ nµo ®Ó ®a vÒ bµi to¸n gèc?

NÕu häc sinh cha tr¶ lêi ®îc, gi¸o viªn cã thÓ gîi ý: MÆt ph¼ng

(α) trong bµi to¸n gèc c¾t 3 c¹nh cña gãc tam diÖn A, B, C vµ ®é dµi

OA, OB, OC ®· biÕt.

Lêi gi¶i: Gäi E = MO ∩ AA1

P = NE ∩ AD

Q = NE ∩ DD1 vµ R = MQ ∩ DC

Ta cã AE = MC1 = 2

5 ; EA1 = CM =

3

5

www.vnmath.com

82

c 1

d 1

b 1

md

a 1

a

cb

o

r

p

n

e

q

www.vnmath.com

⇒ 1 1

2PA AE 25

3A N EA 35

= = =

⇒ 1

2 2PA A N

3 9= = .

⇒ DP = 11

9.

T¬ng tù ta tÝnh ®îc DQ = 11

5; DR =

11

8

VËy 2 2 22

1 1 1 1

h 11 11 119 5 8

= + + ÷ ÷ ÷

.

* Bµi to¸n t ¬ng tù: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA1B1C1D1 c¹nh b»ng 1.

Trªn AA1 lÊy E sao cho AE = 1

3. Trªn BC lÊy F sao cho ®é dµi BF =

1

4.

Gäi O lµ t©m h×nh lËp ph¬ng. T×m kho¶ng c¸ch tõ B1 ®Õn

(EFO).

VÝ dô 2: Cho h×nh chãp SABC cã ∆ABC ⊥ ë C;

SA ⊥ (ABC). MÆt ph¼ng (P) qua A vu«ng gãc víi SB c¾t SB,

SC t¹i B', C'; B'C' ∩ BC = I. Chøng minh

a) AC' ⊥ (SBC)

b) ∆AC'B' ⊥ t¹i B'

c) AI ⊥ (SAB). Ngîc l¹i nÕu B', C' lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB,

SC th× (AB'C') ⊥ SB.

Gi¶i:

www.vnmath.com

83

www.vnmath.com

a) Do BC AC

BC SA

⊥ ⊥

⇒ BC ⊥ (SAC)

⇒ BC ⊥ AC'

Mµ SB ⊥ AC' ⇒ AC' ⊥ (SBC) (1)

b) Tõ (1) ⇒ AC' ⊥ C'B' hay ∆AC'B' ⊥ ë C'

c) Do AI ⊂ (AB'C') nªn AI ⊥ SB.

AI ⊂ (ABC) ⇒ AI ⊥ SA.

⇒ AI ⊥ (SAB).

Ngîc l¹i, nÕu AB' ⊥ SB; AC' ⊥ SC, ta cã:

BC ⊥ (SAC) ⇒ BC ⊥ AC'

SC ⊥AC'

⇒ AC' ⊥ SB.

KÕt hîp víi SB ⊥ AB', suy ra SB ⊥ (AB'C')

Khi ®ã ta còng cã c¸c tÝnh chÊt a, b, c.

Bµi to¸n 1: Trong (P) cho nöa lôc gi¸c ®Òu ABCD víi AB = BC = CD =

a, AD = 2a. Trªn nöa ®êng th¼ng Ax vu«ng gãc (P) t¹i A, lÊy ®iÓm S.

MÆt ph¼ng qua A ⊥ SD c¾t SB, SC, SD lÇn lît t¹i B', C', D'.

a) Chøng minh: A'B'C'D' lµ tø gi¸c néi tiÕp.

b) Khi S chuyÓn ®éng trªn Ax th× ®êng th¼ng B'C' ®i qua 1

®iÓm cè ®Þnh, ®êng th¼ng C'D' còng ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh.

a) So s¸nh gi¶ thiÕt cña bµi to¸n 1 víi bµi to¸n gèc ë vÝ dô 2 xem

cã g× gièng nhau kh«ng?

* Gièng: Cã mÆt ph¼ng qua A vµ ⊥ SD, cã SA ⊥ ®¸y.

* Gi¸o viªn vÏ riªng ®¸y ®Ó häc sinh thÊy ®îc do ABCD lµ nöa lôc

gi¸c ®Òu nªn nã néi tiÕp trong ®êng trßn ®êng kÝnh AD ⇒

· ·ABD ACD= = 1V.

www.vnmath.com

84

a

c

b

b'

i

c '

ib c

da

s

j

d '

c '

b '

www.vnmath.com

* XÐt c¸c bé phËn liªn quan tíi bµi to¸n gèc.

- Häc sinh sÏ nhËn ra c¸c h×nh chãp ®ã lµ SABD vµ SACD.

Quay vÒ chøng minh bµi to¸n gèc ®èi víi 2 h×nh chãp nµy, ta sÏ

cã:

AB' B'D'

AC' C'D'

⊥ ⊥

Tø gi¸c AB'C'D' néi tiÕp ®êng kÝnh AD'.

b) Khi S thay ®æi trªn Ax, nh÷ng yÕu tè nµo cè ®Þnh, nh÷ng

yÕu tè nµo thay ®æi?

* VÏ vµo trêng hîp cña S vµ

dù ®o¸n ®iÓm cè ®Þnh mµ B'C' ®i

qua?

Liªn hÖ víi bµi to¸n gèc häc

sinh sÏ nghÜ tíi viÖc gäi I = BC ∩

B'C'.

Vµ chøng minh I cè ®Þnh: Ta

®· cã I ∈ BC cè ®Þnh ®Ó chøng

minh I cè ®Þnh ta cÇn chøng minh

thªm ®iÒu g×?

Lóc nµy ®a bµi to¸n vÒ bµi

to¸n gèc ®Ó chøng minh AI ⊥

(SAD) mµ (SAD) cè ®Þnh nªn AI cè

®Þnh.

Bµi to¸n 2: Cho h×nh chãp SABC cã c¹nh SA vu«ng gãc víi ®¸y. Gäi

B', C' lÇn lît lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña A trªn SB, SC.

Gäi I = BC ∩ B'C'. Chøng minh r»ng: · ·IAB ICA= .

www.vnmath.com

85

www.vnmath.com

* Häc sinh dÔ dµng thÊy ®îc bµi to¸n 2 cã nhiÒu gi¶ thiÕt gÇn

víi bµi to¸n gèc nh (SA ⊥ (ABC), B', C' lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB,

SC.

Nhng trong bµi to¸n nµy ∆ABC kh«ng ph¶i lµ ∆ vu«ng.

T×m ®Þnh híng ®Ó chøng minh · ·IAB ICA= ?

Víi vÞ trÝ 2 gãc nµy, häc sinh

sÏ nghÜ tíi viÖc chøng minh IA lµ

tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i

tiÕp ∆ABC. Tõ ®ã ®a vÒ chøng

minh AI ⊥ AD (lµ ®êng kÝnh cña

®êng trßn).

SA AB' SA (ABC)

SD AC' SD (AC'B')

⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥

⇒ AI SA

AI SD

⊥ ⊥

⇒ AI ⊥ (SAD)

⇒ AI ⊥ SD.

ViÖc gi¶i bµi to¸n quy vÒ gi¶i bµi to¸n gèc ®èi víi hai h×nh chãp

SABC vµ SACD.

Bµi to¸n 3: Trªn mÆt ph¼ng (P), cho ®êng trßn (C), ®êng kÝnh AB, M

lµ mét ®iÓm trªn ®êng trßn (C). S lµ mét ®iÓm n»m ngoµi (P), SA ⊥

(P). D lµ mét ®iÓm trªn ®o¹n SA. Tõ D kÎ DE ⊥ SM.

a) Chøng minh khi M di ®éng trªn ®êng trßn (C) th× DE kh«ng

n»m trªn mét mÆt ph¼ng (π) cè ®Þnh.

b) T×m tËp hîp ®iÓm E.

www.vnmath.com

86

i

b

d

c

c '

a

s

b '

s

a

b '

b

m

m'

www.vnmath.com

Ta ph©n tÝch bµi to¸n: Trong bµi to¸n nµy ta cã SA ⊥ (AMB).

§iÓm M thuéc ®êng trßn (C), ®êng kÝnh AB nªn ·AMB = 1V. Do ®ã

cã nhiÒu kh¶ n¨ng cã thÓ liªn hÖ bµi to¸n 3 víi bµi to¸n gèc. Tuy nhiªn,

trong bµi to¸n ta l¹i kh«ng cã h×nh chiÕu cña A trªn SM, SB mµ chØ cã

h×nh chiÕu cña ®iÓm D thuéc SA lªn SM.

Tríc hÕt cho häc sinh gi¶i bµi to¸n sau: Víi gi¶ thiÕt nh bµi to¸n 3,

gäi M' lµ h×nh chiÕu cña A trªn SM. T×m quü tÝch ®iÓm M'.

Bµi to¸n nµy gÇn víi bµi to¸n gèc h¬n bµi to¸n 3, häc sinh sÏ nghÜ

tíi viÖc gäi B' lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB. ViÖc gi¶i bµi to¸n nµy quy

vÒ gi¶i bµi to¸n gèc.

Ta cã:

+ (AM'B') ⊥ SA nªn (AM'B') cè

®Þnh.

+ AB' cè ®Þnh

+ ·AM'B'= 1V nªn quü tÝch ®iÓm

M' lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AB' trong

mÆt ph¼ng (AM'B').

B©y giê häc sinh cã thÓ liªn hÖ

bµi to¸n 3 víi bµi to¸n trªn ®Ó ®i ®Õn:

KÎ DF ⊥ SB, chøng minh

(π) = (DEF) cè ®Þnh vµ ·DEF = 1V ⇒ quy tÝch ®iÓm E.

VÝ dô 3: Cho tø diÖn SABC cã SA ⊥ mÆt ph¼ng (ABC). Gäi H, K lÇn

lît lµ trùc t©m cña c¸c tam gi¸c ABC vµ SBC.

Chøng minh: 1) SC ⊥ (BHK)

2) HK ⊥ (SBC)

Gi¶i:

www.vnmath.com

87

s

hc

i

b

ak

www.vnmath.com

1) Do SA BH

AC BH

⊥ ⊥

⇒ BH ⊥ (SAC)

⇒ BH ⊥ SC (1)

K lµ trùc t©m cña ∆SBC nªn BK ⊥ SC (2)

Tõ (1) vµ (2) ⇒ SC ⊥ (BHK)

Gäi I = AH ∩ BC th×:BC AI

BC SA

⊥ ⊥

⇒ BC ⊥ (SAI)

⇒ BC ⊥ SI ⇒ K ∈ SI. Do vËy BC ⊥ (SAI) ⇒ BC ⊥ HK

(3)

Mµ SC ⊥ (BHK) ( c©u a) ⇒ JC ⊥ HK

(4)

Tõ (3) vµ (4) ⇒ HK ⊥ (SBC).

Bµi to¸n 1: Trong (P) cho ∆ABC cè ®Þnh, trªn ®êng th¼ng Ax ⊥ víi

(P) lÊy ®iÓm S. Hy lµ ®êng th¼ng ®i qua trùc t©m H cña tam gi¸c

ABC vµ ⊥ (SBC). Chøng minh r»ng khi S di ®éng trªn Ax, ®êng

th¼ng Hy lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh.

+ So s¸nh bµi to¸n 1 vµ bµi to¸n

gãc. Trong bµi to¸n gèc ®êng th¼ng

nµo ®ãng vai trß cña Hy?.

+ Quy bµi to¸n 1 vÒ bµi to¸n

gèc?

+ Lêi gi¶i: Gäi K lµ trùc t©m

tam gi¸c ABC ⇒ K cè ®Þnh.

Chøng minh bµi to¸n gèc ta cã

HK ⊥ (SBC) ⇒ K ∈ Hy.

www.vnmath.com

88

c

a

b

n

k i

d

m ha

d m

b

k

ni

a d

c

j

h

i h '

k

k '

s

b

www.vnmath.com

Bµi to¸n 2: Trong mÆt ph¼ng (P) cho mét ®o¹n th¼ng AB cè ®Þnh. Mét ®-

êng th¼ng d cè ®Þnh vu«ng gãc víi AB t¹i I ∈ AB. §êng trßn (C) thay ®æi

lu«n qua AB vµ c¾t d t¹i 2 ®iÓm M,N. Qua A dùng nöa ®êng th¼ng Ax ⊥

(P). vµ trªn Ax lÊy ®iÓm chuyÓn ®éng C. Chøng minh r»ng khi (C) thay ®æi,

®êng th¼ng ⊥ víi mÆt ph¼ng (CMN) vµ ®i qua trùc t©m cña tam gi̧ c CMN

lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh.

+ C¸c yÕu tè nµo lµ cè ®Þnh, yÕu tè nµo lµ thay ®æi?

+ Dù to¸n ®iÓm cè ®Þnh cÇn t×m?

NÕu häc sinh ®· gi¶i quyÕt bµi to¸n 1 th× bµi to¸n 2 th× sÏ dù ®o¸n

®ã lµ K víi K lµ trùc t©m tam gi¸c MAN. Tuy nhiªn, trong bµi to¸n 1, tam

gi¸c ABC lµ cè ®Þnh, cßn trong bµi to¸n 2 do (C) thay ®æi nªn MN

thay ®æi, dÉn ®Õn tam gi¸c AMN thay ®æi?

V× riªng mÆt ph¼ng (P) vµ c¸c

yÕu tè trªn (P). §Õn ®©y häc sinh sÏ

nhí l¹i mét bµi to¸n quen thuéc trong

h×nh häc ph¼ng: Tam gi¸c AMN néi

tiÕp ( C).

K lµ trùc t©m tam gi¸c AMN th×

¶nh ®èi xøng víi K qua c¹nh n»m trªn

(C).

Bµi to¸n 3: Trong mÆt ph¼ng (P) cho h×nh ch÷ nhËt ABCD, gäi I,J lµ

trung ®iÓm cña c¹nh AB, CD. Trong mÆt ph¼ng qua I, J ⊥ víi (P)

dùng nña ®êng trßn ®êng kÝnh IJ. S lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn nöa ®-

êng trßn ®ã.

Gäi H', K' lÇn lît lµ c¸c h×nh

chiÕu ⊥ trùc t©m H, K cña c¸c tam

gi¸c SAB vµ SCD xuèng (P). CMR

www.vnmath.com

89

A

i

h

B

S

J

H'

www.vnmath.com

tÝch HH'. KK' lµ ®¹i lîng kh«ng ®æi khi

S ch¹y trªn nöa ®êng trßn ®· cho.

Tríc hÕt híng dÉn häc sinh biÕn

®æitÝch HH'. KK' vÒ 1 tÝch dÔ ®¸nh

gi¸ h¬n.

Do S ∈ ®êng trßn ®êng kÝnh IJ nªn ¶ISJ = 1V.

⇒ ∆IHH' : ∆KJK'.

⇒ HH' IH'

JK ' KK '= ⇒ HH'.KK' = JK' .IH'

+ Nªu ®Þnh lîng chøng minh Jk'.JH' kh«ng ®æi?

+ Gäi y' cho häc sinh: Vai trß cña H' vµ K' lµ nh nhau nªn nÕu H'

cè ®Þnh th× K' còng cè ®Þnh. Quy bµi to¸n vÒ chøng minh H', K' cè

®Þnh.

§èi víi bµi to¸n nµy, häc sinh rÊt khã ph¸t hiÖn nã cã liªn hÖ víi

bµi to¸n gèc v× nh÷ng dÊu hiÖu ®Ó nhËn biÕt kh«ng dÔ thÊy. Tuy

nhiªn, ë ®©y ta vÉn cã sù xuÊt hiÖn cña trùc t©m H, vµ HH' ⊥

(ABCD). Do vËy H' cã thÓ lµ trùc t©m cña mét tam gi¸c nµo ®ã vµ tam

gi¸c ®ã sÏ ®ãng vai trß nh tam gi¸c SBC trong bµi to¸n gèc.

Dù ®o¸n H' lµ trùc t©m cña tam gi¸c nµo?

Chó ý ®Õn H' ∈IJ vµ

IJ⊥AB, häc sinh sÏ nghÜ ngay tíi

∆ABJ.

H·y vÏ l¹i h×nh chãp SABJ

®Ó dÔ liªn hÖ víi bµi to¸n gèc.

www.vnmath.com

90

www.vnmath.com

B©y giê cßn l¹i lµ chøng

minh IJ ⊥ ∆(SAB) vµ quy vÒ bµi

to¸n gèc ®Ó gi¶i.

2.4. VÊn ®Ò 4: ChuyÓn viÖc t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n h×nh häc kh«ng

gian vÒ bµi to¸n h×nh häc ph¼ng.

H×nh häc kh«ng gian ®èi víi häc sinh líp 11 THPT lµ m«n häc cã

cÊu tróc chÆt chÏ, cã néi dung phong phó h¬n so víi h×nh häc ph¼ng.

Trong qu¸ tr×nh d¹y häc ë trêng THPT, chóng t«i nhËn thÊy ho¹t ®éng

d¹y häc chuyÓn viÖc nh×n nhËn mét vÊn ®Ò h×nh häc kh«ng gian

sang h×nh häc ph¼ng, hay viÖc gi¶i bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian vÒ

viÖc gi¶i mét hoÆc nhiÒu bµi to¸n ph¼ng lµ mét viÖc lµm ®óng ®¾n.

V× ®ã còng lµ mét trong nh÷ng ho¹t ®éng gãp phÇn rÌn luyÖn n¨ng lùc

lËp luËn, sù s¸ng t¹o, tÝnh linh ho¹t vµ kh¶ n¨ng liªn tëng tõ kh«ng gian

sang ph¼ng nãi riªng vµ trong bé m«n h×nh häc nãi chung cña häc

sinh.

Trong mèi liªn hÖ gi÷a h×nh häc ph¼ng vµ h×nh häc kh«ng

gian, trªn c¬ së coi mÆt ph¼ng lµ mét bé phËn cña kh«ng gian chóng

ta cÇn ®Æc biÖt chó träng "t¸ch" bé phËn ph¼ng ra khái kh«ng gian

(vÏ h×nh, xÐt trªn chi tiÕt cña bµi to¸n). C¸c bé phËn ®îc t¸ch ë ®©y cã

thÓ lµ mÆt (mÆt cña khèi ®a diÖn), mÆt c¾t (thiÕt diÖn) hay ®êng

giao tuyÕn. VÊn ®Ò ë chç c¸c bé phËn ®îc t¸ch thÓ hiÖn gi÷a c¸c yÕu

tè ®· cho vµ c¸c yÕu tè cÇn t×m, gióp häc sinh tù gi¶i quyÕt ®îc c¸c

yªu cÇu cña bµi to¸n ®Æt ra.

Th«ng qua d¹y häc c¸c chñ ®iÓm kiÕn thøc vÒ kho¶ng c¸ch,

gãc, mÆt cÇu hoÆc th¼ng hµng, vu«ng gãc, song song, gi¸o viªn cÇn

chó ý rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng lùc quy l¹ vÒ quen, chuyÓn c¸c bµi

www.vnmath.com

91

www.vnmath.com

to¸n kh«ng gian vÒ bµi to¸n ph¼ng quen thuéc, ch¼ng h¹n: xÐt tiÕp

tuyÕn cña mÆt cÇu quy vÒ xÐt tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn lín, t¹o bëi

mÆt ph¼ng qua tiÕp tuyÕn vµ t©m mÆt cÇu. TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a

c¸c yÕu tè quy vÒ tÝnh c¹nh gãc vu«ng cña tam gi¸c vu«ng hoÆc

tÝnh ®êng cao cña tam gi¸c vu«ng.

Khi gi¶i c¸c bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian gi¸o viªn vµ häc sinh th-

êng gÆp khã kh¨n do mét sè nguyªn nh©n sau:

- Häc sinh ph¶i cã trÝ tëng tîng kh«ng gian cao khi ®øng tríc c¸c

bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian.

- V× h×nh häc kh«ng gian cã tÝnh trõu tîng cao nªn viÖc lÜnh

héi vµ sö dông c¸c tri thøc h×nh häc kh«ng gian lµ mét vÊn ®Ò khã

kh¨n thêng gÆp ®èi víi häc sinh còng nh c¸c gi¸o viªn.

- Häc sinh quen víi h×nh häc ph¼ng nªn khi chuyÓn sang h×nh

häc kh«ng gian th× häc sinh khã t×m thÊy c¸c tÝnh chÊt ph¼ng cña

h×nh ph¼ng. Vµ do sö dông h×nh häc ph¼ng tõ tríc nªn khi chuyÓn

sang nghiªn cøu cña h×nh häc kh«ng gian cha biÕt vËn dông nh÷ng

tÝnh chÊt riªng cña h×nh häc ph¼ng cho h×nh häc kh«ng gian.

Mét sè bµi to¸n kh«ng gian sù liªn hÖ gi÷a c¸c yÕu tè ®· cho vµ

kÕt luËn cßn cha râ rµng nªn häc sinh cha lµm quen dÇn víi c¸c ®Þnh

híng ®îc. ChÝnh v× nh÷ng lý do trªn, chóng t«i ®a ra mét sè bµi to¸n

h×nh häc kh«ng gian nhng cã thÓ chuyÓn vÒ bµi to¸n ph¼ng ®Ò

gi¶i.

VÝ dô 1: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA1B1C1D1. Gäi G lµ träng t©m

∆A1BD. Chøng minh r»ng A, G, G1 th¼ng hµng.

§©y lµ bµi to¸n thuéc d¹ng chøng minh ba ®iÓm th¼ng hµng.

Nªn ta cã thÓ dïng phÐp chiÕu song song ®Ó gi¶i bµi to¸n trªn b»ng

c¸ch chØ ra mét phÐp chiÕu song song mµ 3 ®iÓm ®ã lµ ¶nh trïng

www.vnmath.com

92

b

cd

a

A1

o

B1

D1 C1

G

www.vnmath.com

nhau hoÆc chøng minh 3 ®iÓm ®ã cã ¶nh qua phÐp chiÕu song

song lµ c¸c bé 3 ®iÓm th¼ng hµng.

+ Chän phÐp chiÕu song song ((A1B1C1D1), AC1)

+ X¸c ®Þnh c¸c h×nh

chiÕu cÇn thiÕt trªn mÆt

ph¼ng chiÕu. Ph¸t biÓu bµi to¸n

ph¼ng t¬ng øng.

Ta cã phÐp chiÕu song

song (A1B1C1D1), AC1)

biÕn

1 1

(A B C D )1 1 1 1A,C C→ .

A1C1//AO víi O lµ t©m cña

ABCD. Do ®ã nÕu lÊy ®iÓm O1

trªn A1C1 kÐo dµi vÒ phÝa C1

sao cho: C1O1 = AO th×

OO1//AC1

Tõ ®ã suy ra → 1

(A B C D )1 1 1 1O O ⇒ A1O α A1O1

Tõ gi¶ thiÕt G lµ träng t©m ∆BDA1

⇒ G ∈A1O sao cho A1 G = 2GO

⇒ G α G1 ∈A1O1 sao cho G1A1 = 2G1O1

Khi ®ã bµi to¸n ®· cho chuyÓn vÒ bµi to¸n ph¼ng ®ã lµ chøng

minh G1≡ C1 ⇔ A1C1 = 2C1O1.

+ Gi¶i bµi to¸n ph¼ng ®ång thêi chuyÓn kÕt qu¶ vÒ kÕt luËn

cña bµi to¸n ban ®Çu.

www.vnmath.com

93

G

c

n

b

m

d

a

www.vnmath.com

ThËt vËy ta cã: C1O1 = AO = 1

2.AC =

1

2A1C1

⇒ C1O1 = 1

2A1C1 ⇒ G1 = C1

VËy 3 ®iÓm A, G, C1 th¼ng hµng.

VÝ dô 2: Cho h×nh tø diÖn ABCD. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm c¸c

c¹nh AB, CD, vµ O lµ trung ®iÓm ®o¹n MN. Chøng minh r»ng ®êng

chÐo AO ®i qua träng t©m G cña ∆BCD.

(§µo Tam (2005), Ph¬ng ph¸p d¹y häc h×nh häc ë trêng THPT,

NXB H§SP HuÕ).

ViÖc chøng minh G lµ träng t©m O BCD quy vÒ chøng minh

1GM GB

2= (1).

m

a

na '

g

bh

ViÖc chøng minh G lµ träng t©m ∆BCD. Quy vÒ chøng minh

GN = 1

2GB (1).

ViÖc chøng minh hÖ thøc (1) ®îc tiÕn hµnh nhê t¸ch bé ph©n

ph¼ng (ABN) ra ngoµi. Tõ ®ã dÉn tíi bµi to¸n ph¼ng sau:

www.vnmath.com

94

a

A1

o c

C1

G

www.vnmath.com

"Cho tam gi¸c ABN. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, O lµ trung

®iÓm ®o¹n MN. §êng th¼ng AO c¾t BN t¹i G. Chøng minh r»ng

1GN GB

2=

ViÖc gi¶i bµi to¸n nµy thuéc vÒ kiÕn thøc ë cuèi cÊp II. VÏ

MK//AG, sö dông tÝnh chÊt ®êng trung b×nh cña ∆ABG vµ ∆MKN ⇒

BK = KG = GM.

Tõ ®ã 1

GN GB2

= .

VÝ dô trªn ®îc gi¶i th«ng qua viÖc gi¸o viªn t¸ch bé phËn kh«ng

gian ra khái tø diÖn vµ ®a bµi to¸n cÇn gi¶i vÒ bµi to¸n ph¼ng quen

thuéc mµ häc sinh ®· biÕt.

VÝ dô 3: Cho h×nh hép ABCDA1B1C1D1 cã c¸c c¹nh bªn lµ AA1,BB1,

CC1, DD1. X¸c ®Þnh giao ®iÓm G cña ®êng chÐo AC1 vµ mÆt ph¼ng

(A1BD).

Chøng minh G lµ träng t©m ∆A1BD?

Gi¶i:

Ta cã: AC1 ⊂ mp(ACC1 A1), A1O//AC1 nªn gäi G = AC1∩A1O

G

C1D1

B1

o

A1

a

d c

b

O1

Do A1O ⊂ mp(A1BD) ⇒ G ∈ mp(A1BD)

www.vnmath.com

95

www.vnmath.com

VËy G lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng AC1 vµ mp (A1BD).

§Ó chøng minh F lµ träng t©m ∆A1BD ta cÇn chøng minh A1G =

2GO (O lµ trung ®iÓm BD). Khi ®ã chuyÓn bµi to¸n trong kh«ng gian

vÒ bµi to¸n ph¼ng sau:

"Cho h×nh b×nh hµnh ACC1A1. Gäi O lµ trung ®iÓm AC, G lµ

gi¸o ®iÓm cña c¹nh AC1 vµ ®o¹n th¼ng A1O. Chøng minh A1G = 2GO"

ThËt vËy: Do AO//A1C1 ⇒ ¸p dông ®Þnh lý Talet ta cã:

= =1 1 1

AO AO 1

A C A G 2 (v× 2AO = AC = A1C1) ⇒ A1G = 2GO

VËy G lµ träng t©m ∆A1BD.

Chó ý: Ta còng cã thÓ chøng minh G lµ träng t©m ∆A1BD b»ng c¸ch sau:

C¸ch 2: Gäi G lµ träng t©m ∆A1BD. §Ó chøng minh AC1 ®i qua G ta

chøng minh AC1, A1O, DO1 ®ång quy (Trong ®ã O1 lµ trung ®iÓm AB)

Ta cã: AC1 lµgiao tuyÕn cña mp(ACC1A1) vµ mp(ADC1B1)

A1O lµ giao tuyÕn cña mp(A1BD) vµ mp(ACC1A1)

DO1 lµ giao tuyÕn cña mp(A1BD) vµ mp(ADC1B1)

MÆt kh¸c: A1O ∩DO1 = G

VËy AC1, A1O, DO1 ®ång quy t¹i G.

Hay giao ®iÓm cña AC1 vµ mp(A1BD) lµ träng t©m ∆A1BD.

VÝ dô 4: Cho tø diÖn ABCD.

a) Chøng minh r»ng c¸c ®o¹n th¼ng nèi trung ®iÓm cÆp c¹nh

®èi cña tø diÖn c¾t nhau t¹i mét ®iÓm.

b) Gäi A1, B1, C1 lÇn lît lµ träng t©m cña c¸c mÆt cña tø diÖn t-

¬ng øng ®èi diÖn víi c¸c ®iÓm A, B, C, D. Chøng tá r»ng AA1, BB1,

CC1, DD1 ®ång quy t¹i G vµ 1 1 1

1 1 1

GA GB GD

AA BB DD 4

1= = =

www.vnmath.com

96

a

j

d

n

b

ia 1

p

gq

m

i

a

j

dka 1

g

www.vnmath.com

a) Gäi M, N, I, J, P, Q lÇn lît lµ trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AB, CD,

BC, AD, AC, BD.

Ta cã: MJ // = 1

2BD

IN // = 1

2BD

Suy ra tø gi¸c MJNI lµ h×nh b×nh hµnh

⇒ MN, IJ c¾t nhau t¹i trung ®iÓm G cña chóng

Chøng minh t¬ng tù ta cã: Tø gi¸c MPNQ lµ h×nh b×nh hµnh.

VËy MN, IJ, PQ ®ång quy t¹i G.

b) ta cã IJ ⊂ mp(AID) ⇒ G ∈mp(AID)

Gäi A1 lµ giao ®iÓm AG vµ ID

Ta cÇn chøng minh: A1 lµ

träng t©m ∆BCD vµ 1

1

GA 1

AA 4= . ta ®a

vÒ bµi to¸n ph¼ng nh sau:

"Cho ∆AID. Gäi J lµ trung

®iÓm AD, G lµ trung ®iÓm IJ.

www.vnmath.com

97

www.vnmath.com

Gäi A1 lµ giao ®iÓm cña c¹nh ID vµ AG. Chøng minh r»ng A1D =

2A1I vµ 1

1

GA 1

AA 4= "

ThËt vËy: KÎ IK // AA1 ( k ∈ID)

Khi ®ã: JK lµ ®êng trung b×nh ∆DAA: 1 1

JK KD 1

AA A D 2= =

(1)

GA1 lµ ®êng trung b×nh ∆IJK: 1 1GA IA 1

JK IK 2= =

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta cã: 1

1 11

A D 2KDA D 2IA

IK 2IA

=⇒ = =

11 1

1

AA 2JKAA 4GA

JK 2GA

=⇒ = =

⇒ 1

1

GA 1

AA 4= ð .

2.5. KÕt luËn ch¬ng 2.

Trong ch¬ng nµy luËn v¨n ®· nªu ra mét sè vÊn ®Ò nh»m båi d-

ìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp H×nh

häc. Qua ®©y chóng t«i muèn nãi r»ng chóng ta hoµn toµn cã kh¶

n¨ng båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp

To¸n.

www.vnmath.com

98

www.vnmath.com

Ch ¬ng 3

Thùc nghiÖm s ph¹m

3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm

Thùc nghiÖm s ph¹m ®îc tiÕn hµnh nh»m kiÓm tra tÝnh kh¶ thi

vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña c¸c vÊn ®Ò ®· ®îc ®Ò xuÊt.

3.2. Néi dung thùc nghiÖm

Cho häc sinh tiÕp cËn víi nh÷ng h×nh thøc d¹y häc båi dìng t

duy s¸ng t¹o th«ng qua gi¶i bµi tËp.

Nh÷ng vÊn ®Ò ®· ®a ra tiÕn hµnh d¹y häc thùc nghiÖm bao

gåm:

D¹ng 1: RÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o qua bµi to¸n dùng h×nh.

D¹ng 2: Sö dông bµi to¸n gèc

D¹ng 3: Gi¶i bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian chuyÓn vÒ bµi to¸n h×nh

häc ph¼ng.

D¹ng 4: Gi¶i bµi to¸n b»ng nhiÒu c¸ch

3.3. Tæ chøc thùc nghiÖm

3.3.1. Chän líp thùc nghiÖm

ViÖc thùc nghiÖm s ph¹m ®îc thùc hiÖn t¹i trêng THPT Nghi Léc

1.

Líp thùc nghiÖm: Líp 11A3 cã 47 häc sinh

Líp ®èi chøng: Líp 11A7 cã 41 häc sinh

Gi¸o viªn d¹y hai líp nµy lµ thÇy gi¸o NguyÔn Träng Ngµ.

Dùa vµo kÕt qu¶ kiÓm tra chÊt lîng ®Çu n¨m th× chÊt lîng cña

hai líp t¬ng ®èi ®Òu nhau.

3.3.2. H×nh thøc tæ chøc thùc nghiÖm

§ît thùc nghiÖm ®îc tiÕn hµnh tõ 20/10/2007 ®Õn 22/11/2007.

www.vnmath.com

99

www.vnmath.com

3.3.2.1. VÒ néi dung

ViÖc båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua d¹y häc gi¶i

bµi tËp h×nh häc cho häc sinh khèi 11 kh«ng nh÷ng cung cÊp cho c¸c

em nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nhau ®èi víi mét bµi to¸n mµ cßn lµm cho c¸c

em n¾m v÷ng kiÕn thøc h×nh häc h¬n. HiÓu vµ vËn dông mét c¸ch

s¸ng t¹o h¬n trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n.

HÖ thèng c¸c vÝ dô, bµi tËp ®a ra phï hîp víi tr×nh ®é nhËn

thøc, kh¶ n¨ng tiÕp thu cña häc sinh. Lµm häc sinh hiÓu ®îc b¶n chÊt

c¸c vÊn ®Ò khi häc.

3.3.2.2. VÒ h×nh thøc

ViÖc ®Ò xuÊt mét sè vÊn ®Ò ®Ó båi dìng t duy s¸ng t¹o cho

häc sinh th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp t¹o ®iÒu kiÖn cho häc sinh cã

thªm nh÷ng c¸ch gi¶i kh¸c nhau cho mét sè d¹ng to¸n. §ång thêi gióp

cho gi¸o viªn cã nh÷ng thuËn lîi trong viÖc gi¶ng d¹y gióp häc sinh tiÕp

thu vµ vËn dông kiÕn thøc mét c¸ch linh ho¹t, s¸ng t¹o.

Tríc khi tiÕn hµnh thùc nghiÖm, t«i trao ®æi víi gi¸o viªn d¹y thùc

nghiÖm vÒ môc ®Ých, néi dung, kÕ ho¹ch cô thÓ cho gi¸o viªn d¹y

thùc nghiÖm ®Ó ®i tíi viÖc thèng nhÊt môc ®Ých, néi dung vµ ph¬ng

ph¸p d¹y c¸c tiÕt thùc nghiÖm.

§èi víi líp ®èi chøng vÉn d¹y nh nh÷ng giê b×nh thêng. ViÖc d¹y

häc thùc nghiÖm vµ ®èi chøng ®îc tiÕn hµnh song song theo lÞch

tr×nh d¹y cña nhµ trêng.

Chóng t«i ®· phèi hîp mét sè ph¬ng ph¸p d¹y häc nh: Ph¬ng ph¸p

gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, ph¬ng ph¸p ®µm tho¹i ®Ó thùc hiÖn c¸c biÖn ph¸p

®· ®Ò xuÊt.

Th«ng qua c¸c bµi kiÓm tra, thêng xuyªn theo quy ®Þnh cña

ph©n phèi ch¬ng tr×nh vµ mét bµi kiÓm tra hÕt ch¬ng. Chóng t«i theo

www.vnmath.com

100

www.vnmath.com

dâi qu¸ tr×nh häc tËp cña häc sinh vµ ®iÒu chØnh ph¬ng ph¸p kiÕn

thøc truyÒn thô.

KÕt thóc ch¬ng tr×nh d¹y thùc nghiÖm chóng t«i cho häc sinh

lµm bµi kiÓm tra cïng ®Ò bµi víi líp ®èi chøng.

www.vnmath.com

101

www.vnmath.com

Bµi kiÓm tra sè 1

Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh ABCD; O lµ t©m

cña h×nh b×nh hµnh Êy.

H·y dùng thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua

®iÓm I trªn SO song song SB vµ AC.

KÕt qu¶ bµi kiÓm tra sè 1:

§iÓm

Líp 3 4 5 6 7 8 9 10

Tæng sè bµi

11A3 1 4 6 10 11 9 6 0 4711A7 4 8 8 9 6 4 2 0 41

- Líp thùc nghiÖm cã 42/47 (89%) ®¹t trung b×nh trë lªn.

Trong ®ã cã 55% kh¸ giái. Cã 6 em ®¹t ®iÓm 9. Kh«ng cã em

nµo ®¹t ®iÓm tuyÖt ®èi.

- Líp ®èi chøng cã 29/41 (70%) ®¹t trung b×nh trë lªn. Trong ®ã

cã 29% kh¸ giái. Cã 2 em ®¹t ®iÓm 9. Kh«ng cã em nµo ®¹t ®iÓm

tuyÖt ®èi.

Bµi kiÓm tra sè 2

Cho h×nh hép ch÷ nhËt ABCDA'B'C'D' cã ®êng chÐo AC' = 2a;

vµ AB = AA' = a.

1) Chøng minh r»ng hai ®êng th¼ng AC' vµ CD' ⊥ víi nhau.

2) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm D tíi mÆt ph¼ng (ACD') (b»ng 2

c¸ch).

3) X¸c ®Þnh ®êng vu«ng gãc chung cña AC' vµ CD'.

TÝnh ®é dµi cña ®êng vu«ng gãc chung ®ã.

Thang ®iÓm:

C©u 1: 3 diÓm

C©u 2: 4 ®iÓm

www.vnmath.com

102

www.vnmath.com

C©u 3: 2 ®iÓm

VÏ h×nh ®óng, ®Ñp: 1 ®iÓm

KÕt qu¶ bµi kiÓm tra sè 2:

§iÓm

Líp 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tæng sè bµi

11A3 1 1 4 4 7 11 10 8 1 4711A7 2 4 7 6 10 8 3 1 0 41

- Líp thùc nghiÖm cã 41/47 (87%) ®¹t trung b×nh trë lªn.

Trong ®ã cã 63% kh¸ giái. Cã 8 em ®¹t ®iÓm 9. Cã 1 em ®¹t ®iÓm

tuyÖt ®èi.

- Líp ®èi chøng cã 28/41 (68%) ®¹t trung b×nh trë lªn. Trong ®ã

cã 29% kh¸ giái. Cã 1 em ®¹t ®iÓm 9. Kh«ng cã em nµo ®¹t ®iÓm

tuyÖt ®èi.

3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm

3.4.1. §¸nh gi¸ ®Þnh tÝnh

Qua quan s¸t ho¹t ®éng d¹y, häc ë líp thùc nghiÖm vµ líp ®èi

chøng, t«i thÊy:

- ë líp thùc nghiÖm, häc sinh tÝch cùc ho¹t ®éng, chÞu khã suy

nghÜ, t×m tßi vµ ph¸t huy t duy ®éc lËp, s¸ng t¹o h¬n ë líp ®èi chøng.

H¬n n÷a, t©m lý häc sinh ë líp thùc nghiÖm tho¶i m¸i, t¹o mèi quan hÖ

th©n thiÕt, cëi më gi÷a thÇy vµ trß.

- Kh¶ n¨ng tiÕp thu kiÕn thøc míi, gi¶i c¸c bµi tËp to¸n cao h¬n

h¼n so víi bµi ®èi chøng. C¸c em cã thÓ vËn dông c¸c quy tr×nh

hoÆc c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i c¸c d¹ng to¸n c¬ b¶n cña h×nh häc kh«ng

www.vnmath.com

103

www.vnmath.com

gian vµo gi¶i c¸c bµi tËp cô thÓ. C¸c em biÕt huy ®éng kiÕn thøc c¬

b¶n, c¸c tri thøc liªn quan ®Ó gi¶i c¸c bµi tËp to¸n, kü n¨ng lùa chän

cña häc sinh cao h¬n, tr×nh bµy lêi gi¶i bµi to¸n mét c¸ch chÆt chÏ,

ng¾n gän vµ râ rµng h¬n.

3.4.2. §¸nh gi¸ ®Þnh lîng

C¶ hai bµi kiÓm tra ®Òu cho thÊy kÕt qu¶ ®¹t ®îc cña líp thùc

nghiÖm cao h¬n so víi líp ®èi chøng, ®Æc biÖt lµ lo¹t bµi ®¹t kh¸, giái

cao h¬n h¼n. KÕt qu¶ thu ®îc trªn bíc ®Çu cho phÐp kÕt luËn r»ng:

NÕu gi¸o viªn cã ph¬ng ph¸p d¹y häc thÝch hîp vµ häc sinh cã

kiÕn thøc c¬ b¶n, v÷ng ch¾c, kh¶ n¨ng huy ®éng kiÕn thøc c¬ b¶n

cao th× thuËn lîi h¬n trong viÖc tæ chøc ho¹t ®éng nhËn thøc cho häc

sinh. Nhê ®ã häc sinh n¾m v÷ng ch¾c vµ hiÓu s©u c¸c kiÕn thøc ®îc

tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa, ®ång thêi ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o, gãp

phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ d¹y häc m«n to¸n.

www.vnmath.com

104

www.vnmath.com

KÕt luËn

Qua qu¸ tr×nh nghiªn cøu ®Ò tµi "Båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc

sinh THPT qua d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc " chóng t«i ®· thu ®îc kÕt

qu¶ chÝnh sau:

1. Lµm s¸ng tá mét sè kh¸i niÖm liªn quan ®Õn t duy, t duy s¸ng

t¹o.

2. §Ò xuÊt ®îc mét sè vÊn ®Ò nh»m båi dìng t duy s¸ng t¹o cho

häc sinh.

3. Bíc ®Çu kh¼ng ®Þnh tÝnh kh¶ thi vµ tÝnh hiÖu qu¶ cña

nh÷ng vÊn ®Ò ®· ®Ò xuÊt th«ng qua viÖc kiÓm nghiÖm b»ng thùc

nghiÖm s ph¹m.

4. LuËn v¨n cã thÓ lµm tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn To¸n ë tr-

êng THPT.

Qua nh÷ng nhËn xÐt trªn, chóng t«i nhËn ®Þnh: Gi¶ thuyÕt

khoa häc cña luËn v¨n lµ chÊp nhËn ®îc, nhiÖm vô nghiªn cøu ®·

hoµn thµnh.

www.vnmath.com

105

www.vnmath.com

Tµi liÖu tham kh¶o

[1] Lª Quang ¸nh, TrÇn Th¸i Hïng, NguyÔn Hoµng Dòng (1993),

TuyÓn tËp nh÷ng bµi to¸n khã vµ ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n H×nh häc

kh«ng gian, NXB TrÎ - Thµnh phè Hå ChÝ Minh

[2] Ph¹m Xu©n Chung (2001), Khai th¸c tiÒm n¨ng s¸ch gi¸o khoa H×nh

häc 10 THPT hiÖn hµnh qua mét sè d¹ng bµi tËp ®iÓn h×nh nh»m

ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o cho häc sinh (LuËn v¨n th¹c sÜ

Khoa häc s ph¹m)

[3] Hoµng Chóng (1969) RÌn luyÖn kh¶ n¨ng s¸ng t¹o to¸n häc ë trêng

phæ th«ng. NXB Gi¸o dôc

[4] Crutexki V.A (1980) Nh÷ng c¬ së cña T©m lý häc s ph¹m, NXB Gi¸o

dôc.

[5] Crutexki V.A (1973) T©m lý n¨ng lùc To¸n häc cña häc sinh, NXB

Gi¸o dôc.

[6] G. Polya (1968) To¸n häc vµ nh÷ng suy luËn cã lý, NXB Gi¸o dôc

[7] G. Polya (1978) S¸ng t¹o To¸n häc, NXB Gi¸o dôc

[8] Ph¹m V¨n Hoµn, NguyÔn Gia Cèc, TrÇn Thóc Tr×nh (1981), Gi¸o

dôc häc m«n To¸n, NXB Gi¸o dôc.

[9] NguyÔn Th¸i HoÌ (2001), RÌn luyÖn t duy qua viÖc gi¶i bµi tËp to¸n,

NXB Gi¸o dôc.

[10]Phan Huy Kh¶i (1998), To¸n häc n©ng cao cho häc sinh H×nh häc

11, NXB §¹i häc Quèc gia Hµ Néi.

[11] NguyÔn B¸ Kim, Vò D¬ng Thuþ (1996), Ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n

To¸n, NXB Gi¸o dôc.

[12] Lene (1977) D¹y häc nªu vÊn ®Ò, NXB Gi¸o dôc

www.vnmath.com

106

www.vnmath.com

[13] Th¸i V¨n Long (1999), Kh¬i dËy vµ ph¸t huy n¨ng lùc tù häc, s¸ng

t¹o cña ngêi häc trong gi¸o dôc ®µo t¹o, Nghiªn cøu gi¸o dôc.

[14] TrÇn LuËn (1995), D¹y häc s¸ng t¹o m«n to¸n ë trêng phæ th«ng,

Nghiªn cøu gi¸o dôc.

[15] TrÇn LuËn (1995), Ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng

qua hÖ thèng bµi tËp to¸n, Nghiªn cøu gi¸o dôc.

[16] §µo Tam, NguyÔn V¨n Léc (1996), Gi¸o tr×nh H×nh häc s¬ cÊp

vµ ph¬ng ph¸p d¹y häc h×nh häc ë trêng phæ th«ng NXB Gi¸o dôc.

[17] §µo Tam (2005), Ph¬ng ph¸p d¹y häc H×nh häc ë trêng THPT,

NXB §¹i häc s ph¹m Hµ Néi.

[18] T«n Th©n (1995), X©y dùng hÖ thèng c©u hái vµ bµi tËp nh»m

båi dìng mét sè yÕu tè cña t duy s¸ng t¹o cho häc sinh kh¸ vµ giái

ë trêng THCS ViÖt Nam, ViÖn Khoa häc gi¸o dôc.

[19] NguyÔn V¨n ThuËn (2004), Gãp phÇn ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy

l«gic vµ sö dông chÝnh x¸c ng«n ng÷ To¸n häc cho häc sinh ®Çu

cÊp THPT trong d¹y häc §¹i sè, LuËn ¸n TiÕn sÜ gi¸o dôc häc,

Vinh.

[20] NguyÔn C¶nh Toµn (1997), Ph¬ng ph¸p luËn duy vËt biÖn chøng

víi viÖc häc, d¹y, nghiªn cøu To¸n häc, NXB §¹i häc Quèc gia Hµ

Néi.

[21] Vò D¬ng Thuþ, Vò Quèc Chung (1999), Ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o

cho häc sinh TiÓu häc trong qu¸ tr×nh d¹y c¸c yÕu tè h×nh häc,

Nghiªn cøu gi¸o dôc.

[22] TrÇn Träng Thñy (2000), S¸ng t¹o, mét chøc n¨ng quan träng cña

trÝ tuÖ, Th«ng tin khoa häc

[23] TrÇn Thóc Tr×nh (1998), T duy vµ ho¹t ®éng To¸n häc, ViÖn

Khoa häc gi¸o dôc

www.vnmath.com

107

www.vnmath.com

[24] §øc Uy, T©m lý häc s¸ng t¹o, NXB Gi¸o dôc

www.vnmath.com

108