Taller de Admisin a la Maestra de Probabilidad y Estadstica 2015

El taller de admisin a la Maestra en Probabilidad y Estadstica del CIMAT tiene como objetivo apoyar la preparacin de los estudiantes al examen de admisin a travs de la resolucin de problemas en los temas que forman parte del examen. El taller permite, adems, que haya una mayor interaccin entre los candidatos a ingresar a la maestra y los investigadores que participan en el taller, lo que permite una mejor evaluacin de las capacidades y conocimientos de los candidatos. El taller se realizar del 4 al 8 de mayo de 2015. Durante estos cinco das los participantes se dedicarn a resolver problemas en las reas de Clculo, Anlisis Real, Clculo Vectorial y Algebra Lineal bajo la supervisin de investigadores y ayudantes del rea de Probabilidad y Estadstica y al finalizar el Taller realizarn el examen de admisin. Para participar en el taller los estudiantes deben prepararse previamente estudiando los temas que se indican al final de este texto. En la bibliografa se indica, en todos los casos, libros de texto o material de apoyo que pueden obtenerse gratuitamente en internet y que tienen el nivel adecuado. Los participantes del Taller se dividirn en grupos y desarrollarn sus actividades bajo la supervisin de un investigador del CIMAT. Al inicio de cada da se asignarn los problemas que los estudiantes deben resolver. El trabajo se desarrollar individualmente aunque los estudiantes podrn consultar al supervisor de su grupo as como conversar con sus compaeros sobre las ideas que tengan. Asimismo podrn consultar el material disponible en la biblioteca, aunque se enfatiza que el objetivo del taller es que los participantes traten de resolver los problemas con las herramientas que tienen a su alcance y no que busquen la solucin en libros de texto o internet. Adems de los problemas asignados a cada estudiante, habr una lista general de problemas. Los estudiantes que concluyan los problemas que les han sido asignados. Podrn escoger problemas de esta lista para resolverlos y presentarlos al final de la sesin. Por la tarde los grupos reportarn en el pizarrn las soluciones que lograron obtener para los problemas asignados, en una reunin en la cual deben participar todos los miembros del grupo. Se procurar que todos los estudiantes participen en esta sesin en igual medida. Tambin debern entregar por escrito la solucin de un problema asignado en comn a todos los integrantes de su grupo. Estas soluciones escritas sern revisadas y corregidas por el supervisor. El viernes por la maana se realizar el examen de admisin, con lo cual concluyen las actividades. Durante los das previos, cada estudiante ser entrevistado por un par de investigadores como parte del proceso de admisin.

Durante el perodo del taller CIMAT cubrir el alojamiento y comidas de los participantes. Para mayor informacin sobre el taller dirigirse al Dr. Juan Carlos Pardo-Milln, jcpardo@cimat.mx Temas en lgebra Lineal I. Elementos bsicos Operaciones y propiedades bsicas. Sistemas de ecuaciones, reduccin gaussiana. Matrices elementales. Descomposicin LU. Inversa de una matriz. Eficiencia de algoritmos. Determinantes. II. Independencia y Ortogonalidad. Espacios vectoriales reales. Independencia lineal. Subespacios. Bases y dimensin. Rango de una matriz.

Ortogonalidad. Proyecciones. Ortogonalizacin va Gram--Schmidt. Mnimos cuadrados. III. Eigenvalores y descomposiciones matriciales Eigenvalores. Descomposicin espectral. Raz cuadrada de una matriz. Propiedades extremales de eigenvalores. Formas cuadrticas. Matrices positivas definidas. Descomposicin espectral y singular. Normas matriciales. Referencias: 1. Strang, G. (1976), LinearAlgebra and its Applications. Academic Press.

2. Noble, B. y Daniel, J.W. (1989), Algebra lineal aplicada. Prentice--Hall Hispanoamericana S.A. 3. Hefferon, J. (2011) Linear Algebra. Disponible en internet (gratis) en: http://joshua.smcvt.edu/linearalgebra/ 4. Treil, S. (2009) Linear Algebra Done Wrong. Disponible en internet (gratis) en: http://www.math.brown.edu/~treil/papers/LADW/LADW.pdf Temas de Clculo y Anlisis I. Clculo Real Sistemas numricos. Sucesiones, lmites, convergencia, sucesiones de Cauchy, propiedades de sucesiones convergentes. Series, convergencia, propiedades, criterios de convergencia. Funciones, lmites, continuidad, continuidad uniforme. Sucesiones y series de funciones, convergencia uniforme. Derivacin y propiedades de derivadas. Teoremas del valor medio, de Taylar, de L'Hpital. Definicin y propiedades de derivadas. Teorema fundamental del clculo. Derivadas bajo el signo de la integral. Integrales impropias. d. Funciones, lmites, continuidad, continuidad uniforme. Sucesiones y series de funciones, convergencia uniforme. Derivacin y propiedades de derivadas. Teoremas del Valor Medio, de Taylor, de L'Hpital. Definicin y propiedades de la Integral de Riemman. Teorema Fundamental del Clculo. Derivadas den integrales. Integrales impropias. II. Anlisis matemtico Propiedades de orden y de completez de los nmeros reales. Topologa de espacios cartesianos. Conjuntos cerrados, abiertos. Conjuntos compactos y Teorema de Heine--Borel. Mtricas y Normas. Propiedades y Ejemplos.

Referencias:

1. Ross, K.A. (1980), Elementary Analysis: The Theory of Calculus. Springer--Verlag. 2. Bartle, R.G. (1982), Introduccin al anlisis matemtico. LIMUSA. 3. Spivak, M. (1992), Calculus: clculo infinitesimal, 2 ed. Editorial Revert SA. 4. Trench, W.F. Introduction to Real Analysis. Disponible en internet (gratis) en: http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF 5. Tambin se pueden consultar las notas del curso de Anlisis Real (en espaol) disponibles en http://www.cimat.mx:88/~jortega/AnReal.html Temas de Anlisis Vectorial I. Espacios euclideanos. Productos escalares y productos vectoriales. II. II. Derivadas y propiedades. Gradientes y derivadas direccionales. III. Funciones vectoriales. Divergencia y rotacional. IV. Teorema de Taylor V. Mximos y mnimos. Multiplicadores de Lagrange.VI. Integrales dobles y triples. Cambio de orden de integracin. VII. Cambio de variables. Coordenadas cilndricas y esfricas. Referencias: 1. Marsden, J.E. y Tromba, A.J. (1996), Vector Calculus, 4th ed. W. H. Freeman Company 2. Cain, G. y Herod, J. (1997) Multivariable Calculus. Disponible en internet (gratis) en: http://people.math.gatech.edu/~cain/notes/calculus.html