TALLER DE CAMPOS ESTÁTICOS

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1. Suponga que el filamento central de un cable coaxial tiene un radio de 1mm y la cubierta

de un radio de 4mm. El eje longitudinal del cable se extiende a lo largo del eje z y la región

1mm<ρ<4mm es un dieléctrico con pérdidas de permitividad relativa 2,25 y conductividad

2,5 Ω-1/m. a) Calcule la capacitancia de este cable y la resistencia para cada 10m de

longitud. b) suponga que el filamento se mantiene a un potencial de 100V y la cubierta se

aterriza. Calcule la densidad superficial de carga inducida en la cubierta. c) Con el potencial

anterior, calcule la potencia que se disipa en 10m de cable debido a la figa del dieléctrico.

El potencial para un cable coaxial,

según las condiciones de frontera es

igual a:

Luego hallamos el campo eléctrico:

Datos:

a: 1mm

b : 4mm

εr: 2.25

σ: 2.5 Ω-1/m

Condiciones de frontera:

V(a)= V0 = 100V

V(b)= 0

Si (por condición de

fronteras), y

entonces tenemos:


Reemplazando tenemos:

La resistencia la podemos calcular de la siguiente manera:

La densidad superficial de carga se calcula con la ecuación planteada anteriormente:

Y por condición de frontera, la cubierta externa la densidad es la misma pero negativa.

Por último la potencia la calculamos de la siguiente manera:


2. Una esfera hueca cuya permitividad relativa es 2.25, cuyos radios interno y externo son

respectivamente 0.10m y 0.20m tiene una densidad volumétrica de carga ρ. El resto del

espacio es aire. Halle el potencial en cualquier punto ubicado a una distancia r de la esfera,

en función de r. Resuelva el ejercicio usando la ecuación de Lapace y la de Poisson. Dé su

respuesta en función de r y de ρ.

Utilizando coordenadas esféricas

teniendo en cuenta que el campo es

radial tenemos:

Resolviendo obtenemos:

Datos:

r1: 0.10m

r2: 0.20m

εr: 2.25

Como el campo dentro de la esfera

es cero entonces el potencial tendrá

que ser una constante.

Luego

Resolviendo tenemos:


Si utilizamos las leyes de Gauss para campo eléctrico podemos obtener:

Ahora remplazamos el campo y el potencial en la siguiente ecuación:

Por último calculamos el potencial para r > 0.20m.

Aquí se cumple también lo mismo que el primer caso.



Sabemos que cuando r tiende a infinito V es cero por lo que C4 = 0

Utilizamos de nuevo la ley de Gauss para campo eléctrico:

Luego despejando tenemos:

Por lo que hemos calculado podemos decir que:

Por la continuidad de la función se debe cumplir que:

El mismo criterio empleamos para hallar K

Finalmente tenemos el resultado total:


3. Una onda electromagnética que se representa por la expresión compleja ,

proviene de x < 0, en donde el índice de refracción y tienen el valor de 1,0 y la longitud de onda

y la intensidad de ésta son, respectivamente, y 0.5µm.

a) Escriba la expresión para esta onda en la región x < 0.

b) La anterior onda incide perpendicularmente en a una placa que ocupa la región

la cual tiene un índice de refracción complejo , siendo , Demuestre que

la razón de la intensidad de la onda incidente a la onda reflejada (reflectividad) viene dada

aproximadamente por

c) Si la intensidad de la onda justo dentro de la placa en su frontera interna decae a y en la

frontera derecha a obtenga el valor de y el de .

d) Calcule la longitud de onda en el interior de la placa.

R/

a)


b)

Ahora

4. Un alambre muy largo se extiende sobre el eje y y tiene una corriente I en la dirección

positiva de este eje. El centro de una espira circular de radio a, se encuentra inicialmente a

una dirección R del alambre. a) Halle la inductancia mutua de este sistema en función de a

y R. b) si la espira se desplaza con una velocidad constante , demuestre que la fem

inducida en la espira cuando , tiene valor de


Lo primero que haremos es hallar el flujo magnético:

Luego calculamos la inductancia mutua que viene siendo el cambio del flujo con respecto a

la corriente:

Ahora procedemos a calcular la fem:


5. Un cable coaxial muy largo consta de un filamento central de radio a y una cubierta de

radio interno b. El eje z se elije del filamento central y éste transporta un densidad de

corriente uniforme . Si μr=1, en el cable y fuera de este, demuestre que si se

supone , el potencial magnético esta dado por .

¿Qué valor tiene la constante c?

Lo primero que calculamos es el potencial magnético para


Debido a que , la constante C1 es igual a cero.

Ahora


Ahora si

Entonces

Y ahora calculamos la constante C1


Remplazando tenemos:

Por condiciones de frontera , esto debido a que la dirección de las

corrientes tanto del cable central como a la cubierta son opuestas.

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