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Universidad de Los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
Cátedra: Taller de Geometría
Mérida – Venezuela
Propuesta didática para la enseñanza y apredinzaje del Teorema de Thales relacionando conceptos de la vida
cotidiana y utilizando juegos didácticos para visualizar su aplicación
Profesora Yazmary Rondón
Estudiantes: Yessika Ayala CI: 19046271 John Murillo CI: 18506733
Octubre, 2013
Introducción La presente propuesta busca dar a conocer el Teorema de Thales de una forma didáctica
y amena que permita el mejor aprovechamiento de los recursos y comprension del
estudiante, se plantea su enseñanza mediante diferentes clases bajo la guía del modelo
didactico para la enseñanza de la geometria Van Hiele el cual propone el desarrollo de
cinco fases que son las siguientes:
FASE 1°: PREGUNTAS E INFORMACIÓN
Mediante preguntas adecuadas se trata de demostrar el punto de partida de los
estudiantes “averiguese lo que sabe y ensáñese en consecuencia”. Ausubel.
FASE 2°: ORIENTACIÓN DIRIGIDA
Aquí es donde la importancia de la capacidad didáctica del profesor/a más se va a
necesitar. De su experiencia señalan que el rendimiento de los alumnos, no es bueno si
no existen una serie de actividades concretas, bien secuenciadas, para que los
alumnos/as descubran, comprendan, asimilen, apliquen.
FASE 3°: EXPLICACIÓN (EXPLICITACIÓN)
Es una fase de interacción (intercambio de ideas y experiencias) entre alumnos/as y en la
que el papel del profesor, la interacción entre alumnos/as es importante ya que les obliga
o ordenar sus ideas, analizarlas y expresarlas de modo comprensible para los demás.
FASE 4°: ORIENTACIÓN LIBRE
Aparecen actividades más complejas fundamentalmente referidas a aplicar lo
anteriormente adquirido, tanto respecto a contenidos como al lenguaje necesario. Estas
actividades deberán ser lo suficientemente abiertas, lo ideal son problemas abiertos, para
que puedan ser abordables de diferentes maneras o puedan ser de varias respuestas
válidas conforme a la interpretación del enunciado.
FASE 5°: INTEGRACIÓN
La primera idea importante es que, en esta fase, no se trabajan contenidos nuevos sino
que sólo se sintetizan los ya trabajados. Se trata de crear una red interna de
conocimientos aprendidos o mejorados que sustituya a la que ya poseía.
Estas fases tienen la finalidad de alcanzar un nivel de conocimiento a los que Van Hiele
clasifico de la siguiente manera:
El nivel 0 (visualización o reconocimiento): en este nivel es el más básico se le enseña
al alumno el reconocimiento de los objetos por su apariencia física, relacionándolos a
elementos del entorno sin diferenciar sus características.
El nivel 1: Análisis, es este nivel el alumno no solo relaciona las figuras geométricas con
los objetos de su entorno, sino que mediante la observación y experimentación con los
mismos, llega a definir los objetos a partir de sus propiedades y características.
El nivel 2: Ordenación o clasificación. En el nivel anterior el alumno ya empieza a formar
su razonamiento matemático señalando las figuras que cumplen con ciertas
características, alcanzar el nivel 2 implica que el alumno ya debe describir las condiciones
necesarias y suficiente que debe cumplir una figura así como el papel que representa en
la geometría, es decir definirla formalmente, en un lenguaje matemático.
El nivel 3: Deducción formal, cuando un alumno se encuentra en este nivel implica que ya
está en la capacidad de realizar deducciones y demostraciones lógicas justificadas
mediante proposiciones planteadas para llegar a un resultado, comprendiendo la relación
entre las propiedades que formalizan el método axiomático de las matemáticas.
El nivel 4: Rigor. Este nivel es el más alto llegar a él implica un conocimiento de las
diferentes premisas del método axiomático, se trabaja la geometría a partir de definiciones
abstractas y demostraciones que implica un amplio conocimiento en matemática y
específicamente en geometría.
Objetivo General Proporcionar alternativas didácticas para la enseñanza y aprendizaje del Teorema de
Thales en los estudiantes del 3° año del liceo Dr. “Armando Gonzalez Puccini” a través
de ejercicios, herramientas y juegos didácticos.
Objetivos Específicos Diagnosticar el conocimiento previo de los estudiantes.
Demostrar a través de conceptos básicos el significado de semejanza y
proporcionalidad utilizando ejemplos de la vida diaria.
Explicar a través de ejercicios la aplicación del Teorema de Thales.
Evaluar el nivel de razonamiento de los estudiantes mediante ejercicios
propuestos.
Aplicar el recurso didáctico.
Clase 1°.
Inicio:
Fase 1: Información
Dialogar con los estudiantes acerca de las nociones que tienen sobre
proporcionalidad y semenjanza.
Inducción de terminología de semejanza con ejemplos de figuras tales como los
triángulos rectángulos e isósceles, una pelota de beisboll y fútbol.
Ejemplos como el cubo de rubit y fracciones como
;
;
, para
deducir que los resultados son iguales en ambas fracciones.
Preguntar a los estudiantes acerca de cosas cotidianas que tengan relación con la
semejanza y la proporcionalidad.
Desarrollo: Fase 2: Orientación dirigida
Razón: cociente completo de la división del primer número por el segundo.
La razón de dos números , se representa por la notación:
, que se lee es a .
Proporción: una proporción es una igualdad de dos razones.
En una proporción
, a los términos los denominamos extremos y a los
términos los denominamos medios.
El producto de los valores de los términos extremos es igual al producto de los términos
medios. Es decir, si
entonces . Ejemplo:
Semejanzas: dos figuras son semejantes cuando existe una propiedad que trasforma una
en otra. Ello significa que tendrá la misma forma (y distinto tamaño).
Ejemplo:
Criterios de semejanza
Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.
Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.
Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo
comprendido entre ellos es igual.
Ejemplos:
1. Determinar si son semejantes los siguientes triángulos:
Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.
180º − 100º − 60º = 20º
Son semejantes porque tienen dos ángulos de igual medida.
Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y el ángulo entre ellos de igual
medida.
2. Los catetos de un triángulo rectángulo que miden 24 m y 10 m. ¿Cuánto medirán
los catetos de un triángulo semejante al primero cuya hipotenusa mide 52 m?
Cierre: Desarrollo de actividades colectivas con el fin de demostrarles a los estudiantes la
proporcionlidad que existe en el cuerpo humano mediante el método utilizado por
Leonardo da Vinci en su trabajo “el hombre de vitruvio”.
Se divide el grupo de alumnos en dos y prosiguen con los siguentes pasos:
Elegir a un compañero o compañera, midan las distancias desde su ombligo hasta cada
una de sus extremidades extendidas, y el diámetro de la circunferencia formada por el
estudiante con sus extremidades extendidas.
Conversen con sus compañeros y compañeras ¿Qué se puede concluir con respecto a
los resultados de esas medidas?
Clase 2°
Continuación de la fase 2
Inicio Repaso de semejanza y proporcionalidad.
Inducción al Teorema de Thales
o Evolución
o Importancia
o Aplicación
Desarrollo Terorema de Thales o teorema fundamental de la proporcionalidad.
Si se traza una recta paralela a un lado de un triángulo, entonces los segmentos
determinados sobre los otros dos lados son proporcionales.
Explicación de la definición utilizando triángulo prediseñada para demostrar que se
cumple el Teorema de Thales, y por ende el paralelismo que existe entre la recta secante
con el tercer lado del triángulo.
En la figura, y se cumple que:
.
El recíproco de este teorema también es cierto, es decir:
“si una recta intersecta dos lados de un triángulo en dos puntos distintos de modo que los
segmentos determinados sobre esos lados resultan proporcionales, entonces esta recta
es paralela al tercer lado.”
En la figura, si se cumple que
entonces .
Teorema general de Thales:
Si tres o mas rectas paralelas son cortadas por dos o mas rectas transversales,
entonces los segmentos determinados sobre las transversales son proporcionales.
Tenemos que , SI son rectas secantes
que intersectan a la paralelas en los puntos y F como indica la figura, entonces
se cumple que
.
Ejemplo 1:
En la figura siguiente . Determinemos la medida del segmento .
Solución:
Como , entonces los segmentos determinadossobre son
proporcionales, es decir:
.
Reemplazando tenemos:
De donde obtenemos:
Ejemplo 2:
La razón de chicos a chicas en una clase es de 2 a 3. Hay 12 chicos ¿cuántas
chicas hay?
.
Ejemplo 3:
La directora del liceo prevee que el curso próximo el número de estudiantes
aumentará en un 5%. Ahora son 400. ¿Cuántos serán el año que viene?
Cierre Fase 3: Explicitación
Explicación de la fase…
1. En la figura siguiente . ¿cual es el valor de ?
2. En la figura . ¿Cuál es el valor de ?
3. Si en la figura , y , determine las medidas de
.
CLASE 3:
Fase 4: Orientación libre
Explicación…
1. En la figura siguientes , . ¿Cuál es valor de ?
2. En la figura, . Determine el valor de x.
3. A cierta hora del día, un árbol de 2,15 m de altura proyecta una sombra de 1,4 m
de longitud. A esa misma hora, ¿Cuál es la longitud de la sombra de un niño que
mide 1,4 m?
4. Determine la altura de una torre que proyecta una sombra de 24 m al momento en
que la sombra de una persona de 1,6 m de altura es de 3,2m de longitud.
5. Las áreas de dos triángulos equiláteros están en la razón 1:9, y el lado del
triángulo menor es 2. ¿cuál es el lado del mayor?
Fase 5: Integración
Piramithales, es un juego didáctico para la enseñanza sobre el
Teorema de Thales, consta de una base en forma de pirámide
que permite que tres jugadores por ronda, uno en cada cara de
la pirámide los jugadores va avanzando hacia la cima de la
pirámide respondiendo preguntas acerca de proporcionalidad y
semejanza y/o Teorema de Thales, las preguntas van
aumentando su complejidad de acuerdo a lo que van
escalando en la misma.
Características:
Piramithales es un juego que consta de un pirámide de tres lados.
Permite que jueguen tres estudiantes al mismo tiempo uno en cada una de las
caras de la pirámide.
La pirámide consta de 8 escalones de diferentes colores y cada escalón tiene una
serie de casillas con respectivas preguntas, el primer escalón consta de 8
preguntas y las mismas van disminuyendo en una razón de 1 a medida que se
avanza de forma ascendente en la pirámide.
Las preguntas son de diferentes características, de proporcionalidad, semejanza,
y problemas directos del Teorema de Thales.
Cada escalón tiene un color específico con las tarjetas del mismo color que
representa la pregunta y en su reverso tiene la respuesta.
La pirámide mide 40cm, cada cuadro del escalón mide 5x5cm.
Reglas:
Tres jugadores por ronda.
Todos los jugadores tienen salida en la parte inferior izquierda del lado de la
pirámide que le corresponde.
Especificación de los escalones cada escalón se encuentra dividido en casillas las
cuales presentan alguna de las siguientes características:
El triángulo, si el participante cae en la casilla del triángulo
debe tomar una carta con la figura del triángulo y el color que
le correspondió, el participante se encontrará con una pregunta
sobre semejanza o proporcionalidad de triángulos, si la
contesta correctamente le permite conservar su posición para
darle al dado su siguiente turno; de lo contrario si contesta incorrectamente
pierde un turno.
El cuadrado, si el participante cae en la casilla con la figura
del cuadrado debe tomar una carta con la figura del cuadrado
y el color correspondiente al escalón donde se encuentra, el
participante debe contestar una pregunta referente a
semejanza y proporcionalidad con respecto al cuadrado.
El signo de interrogación, si elparticipante al lanzar sus dados
cae en una casilla con un signo de interrogación, se econtrará
con una pregunta sobre el Teorema de Thales en general, si
contesta correctamente podrá volver a lanzar el dado de
nuevo para avanzar, de lo contrario deberá lanzar el dado
pero para retroceder los espacios tanto el numero que
muestre el dado.
Combinación de signos, si el participante al darle alos dado
cae en esta casilla, tiene la oportunidad de elegir que
pregunta desea contestar, si una de triángulo, de cuadrado o
general. Si contesta correctamente le permitirá al participante
avanzar al escalón superior izquierdo, saltándose lo
intermedios, de lo contrario deberá devolverse al escalón
inferior izquierdo.
La casilla en blanco, si el participante cae en una casilla en
blanco, tendrá la oportunidad de permanecer en su posición
aguardando su próximo turno sin responder ninguna
pregunta.
