Taller de Álgebra con la Voyage 200 - matesup.cl · Taller de Álgebra con la Voyage 200 Universidad de Talca Instituto de Matemática y Física 4 Profesores: Juanita Contreras S

I Congreso de Tecnologías Portables. Taller de Álgebra con la Voyage 200

Universidad de Talca Instituto de Matemática y Física

1 Profesores: Juanita Contreras S. Claudio del Pino O.

Taller de Álgebra con la Voyage 200

Resumen

En este taller se abordarán diversas actividades de álgebra, de preferencia aplicadas, mostrando diferentes aproximaciones para su solución (numéricas, gráficas y algebraicas), que se potencian usando como recurso tecnológico los ambientes que ofrece la calculadora Voyage 200. Al mismo tiempo se presentarán otras posibilidades que permite esta calculadora para generar actividades personalizadas por el profesor: de programación y de edición.

Introducción 1. Generalidades sobre la calculadora gráfica VOYAGE 200 Esta es calculadora gráfica y programable, con las potencialidades de un computador, que se ha transformado en un poderoso recurso para apoyar la enseñanza y aprendizaje de la matemática. Esta herramienta de aprendizaje personal, es compatible con las calculadoras TI-92 Plus (aplicaciones y variables), TI-89 (variables) y TI-92 (casi todas las variables).

Principales características • 2.7 megabytes (MB) de memoria Flash (ROM), para instalar aplicaciones y

aumentar su funcionalidad. 188 K disponibles para el usuario. • Sistema Operativo actualizable electrónicamente via Internet, utilizando el cable

TI- GRAPH LINK y el software TI Connect. • Teclado completo QWERTY. • Pantalla gráfica de 128 x 240 pixel. • Despliegue de resultados en notación matemática estándar. • Ventanas de:

• Trabajo (Home) • Edición de funciones • Gráficos • Generación de tablas • Edición de textos con 255 símbolos, incluyendo caracteres griegos e

internacionales, con características de computador (cut, copy, paste y find).

• Edición de programas, etc. • Capacidad de mostrar ventanas simultáneas.




• Aplicaciones pre-instaladas: Cabri Geometry, CellSheet, Finanzas, The Geometer's Sketchpad, Raíces de Polinomios (Polynomial Root Finder), Ecuaciones Simultáneas (Simultaneous Equation Solver), Estadística con Editor de Listas, StudyCards, Interfase en español, inglés, francés o alemán.

Como opera Opera básicamente a través de comandos directos incorporados en menús o que pueden ser digitados por medio de su teclado QWERTY. Ofrece la posibilidad de trabajo interactivo e integrado de múltiples ambientes: operación directa, generación de funciones, gráficos, tablas, editor de texto y programación en lenguaje de alto nivel.

Posibilidades que ofrece Una de las principales características de la VOYAGE 200 es la variedad de posibilidades matemáticas que ofrece:

• Tiene incorporado uno de los software de propósitos matemáticos más usados en la actualidad: DERIVE. Este permite: ∗ Desarrollar cálculos exactos y aproximados en aritmética con números enteros,

racionales, reales y complejos. ∗ Manipular simbólicamente expresiones algebraicas, aplicando las reglas del álgebra,

trigonometría, matrices y cálculo (límites, derivadas, integrales). ∗ Graficar con excelente resolución y posibilidades funciones de dos variables

(rectangular, paramétrico y polar) y tres variables (rectangular) en múltiples ventanas.

∗ Resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones; tanto algebraica como gráficamente. ∗ Generar y manipular tablas de datos. ∗ Cálculos y gráficos estadísticos.

• Tiene incorporado el software CABRI II y Sketchpad, software de propósitos

geométricos, desarrollados para que la geometría pueda ser estudiada a través de la exploración.

View Screen Es un recurso tecnológico que permite, con la ayuda de un retroproyector, proyectar la información contenida en el visor de la calculadora a un telón o pizarra acrílica.

Graph Link Es un cable que permite intercambiar información entre la calculadora y un computador

Que se obtiene de ella A nivel de enseñanza y aprendizaje de la matemática, ésta calculadora ofrece posibilidades para:




∗ Reforzar el aprendizaje de los estudiantes en todos los contenidos de matemática de

enseñanza básica, media y superior. ∗ Desarrollar la comprensión de algoritmos por iteración de operaciones. ∗ Comprobar y verificar resultados obtenidos de ejercicios y problemas resueltos a mano. ∗ Promover la independencia del estudiante en la resolución de problemas. ∗ Formular generalizaciones a partir de modelos obtenidos por medio de experimentos con

cálculos o gráficos. ∗ Acceder a un mismo concepto en distintas formas y lenguajes (algebraico, numérico y

gráfico). ∗ Facilitar una mayor interacción entre alumnos y/o profesor. ∗ Ofrecer un ambiente de laboratorio. ∗ Crear ejemplos y contraejemplos. ∗ Abordar problemas con datos reales. ∗ Que cada alumno trabaje a su propio ritmo. ∗ Retroalimentación con independencia de la presencia del profesor. ∗ El view screen permite hacer presentaciones durante el desarrollo de la clase o

laboratorio y llevar preparados ejemplos y textos, sin necesidad de digitarlo en el momento; permitiendo así un trabajo más dinámico.

2.- Clases apoyadas con la VOYAGE 200. Con respecto a clases de matemáticas asistidas con esta tecnología, se pueden señalar los siguientes aspectos: • El ambiente de edición de texto permite preparar, entre otros,

a) Resúmenes de los principales conceptos. b) Ejercicios. c) Ejemplos. d) Gráficos. e) Tutoriales para ser trabajados por el estudiante.

• El ambiente de funciones permite llevar preparadas funciones para destacar los aspectos que se deseen. Esta tecnología permite definir un gráfico con características especiales: tipo de línea, rangos de la ventana gráfica, generación automática de tablas de valores, etc. Como es de suponer esta calculadora también permite graficar (y animar) varias funciones.

• El ambiente de álgebra (home) permite, durante la clase chequear respuestas, hacer

cálculos con precisión predeterminada, manipular expresiones algebraicas (simplificar, factorizar, sustituir valores, etc.), resolver ecuaciones, calcular derivadas e integrales, trabajar matrices etc.

• El ambiente de programación, permite programar en un lenguaje muy similar al BASIC.




Observaciones ∗ Todas las actividades preparadas para una clase (texto, gráficos, funciones, etc.) es

posible guardarlas, en diferentes archivos y directorios, en la calculadora. ∗ No hay problema con la capacidad de la calculadora, pues con el graph-link se puede ir

traspasando toda la información de la calculadora a un computador.

Un primer paseo por la VOYAGE 200

Algunas teclas importantes

Tecla que permite mover el cursor (en ventana de álgebra o en ventana de gráfico)

2nd

Tecla que permite ejecutar funciones en azul.

♦.

Tecla diamante (verde), permite ejecutar opciones en verde.

STO

Tecla de asignación.

Teclas que mueven el cursor Teclas de

funciones

Tecla

APPS

Barra espaciadora




APPS

Para accede a las aplicaciones

ESC

Para retornar a un menú anterior

CLEAR

Para eliminar una línea (en la ventana o en la línea de edición)

Barra espaciadora

Ejemplos: Ejecutando 2nd 5 Enter se ingresa 5

Ejecutando 2nd π se ingresa el número pi Nota: 2nd ON para apagar la calculadora Menú de Aplicaciones Presionando la tecla APPS se despliega el menú de aplicaciones de la VOYAGE 200:

APPLICATIONS 1: FlashApps 2: Y=Editor 3: Window Editor 4: Graph 5: Table 6: Data/Matrix Editor 7: Program Editor 8: Text Editor 9: Numeric solver A: Home

• En la ventana de HOME

Generalmente al encender la calculadora, presionando la tecla ON, aparece desplegada la ventana [Home]. En esta ventana se ejecutan las instrucciones, se evalúan expresiones y se visualizan los resultados.




Actividades

0 Apresto

1 Una actividad de exploración

2 Sucesiones definidas por recurrencia

3 Trabajando con una sucesión especial

4 Explorando un problema de cuadrados

5 Sumando áreas

6 Concentración de una droga en la sangre

7 Doblando una hoja de papel rectangular

8 Resolviendo aproximadamente una ecuación trascendente

9 Encontrando el mejor lugar para construir un puerto

10 Apresto sobre matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

11 Descubriendo un mensaje

12 Estudiando una familia de sistemas de ecuaciones lineales

13 Encontrando salarios

14 Determinando un polinomio cúbico

15 Descubriendo funciones.




A través de los siguientes ejemplos se introducirán algunos comandos y funciones básicas que ofrece la calculadora:

Actividad 0: Apresto

Ejemplo Ingreso Resultado

1.

Calcular ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −− 6

75

152

31

• 1/3 - (2/15)*(5/7-6) • Enter

2. Ingresar la expresión

( )352 ba −

• (2a-5b)^3 • Enter

3. Expandir la expresión

( )352 ba −

• Expand((2a-5b)^3) • Enter Nota: La función expand se encuentra también con: F2 y 3

4.

Evaluar la expresión

( )352 ba −

para 21

=a y

3=b

• ( )352 ba − |

21

=a and

3=b • Enter




5. Factorizar la expresión

3223 125150608 babbaa −+−

Nota: Esta expresión se encuentra en la ventana

• Tecla F2 y 2

• Ubicar el cursor con en la expresión

• Enter • Cerrar el paréntesis ) • Enter

6.

Definir la función

352)( 2 +−= xxxf

• 352 2 +− xx STO )(xf

• Enter

7. Calcular • f(a+1) • f(f(-5))

• f(a+1) • f(f(-5))

8. Determinar todos los x en IR tal que f(x)=0

• Solve(f(x)=0,x)




• Gráficos en la VOYAGE 200 Como todos sabemos, una buena representación gráfica es fundamental para estudiar una función. En efecto, la mayor parte de las propiedades de una función, se pueden deducir de un observación y análisis cuidadoso de su gráfico.

La VOYAGE 200 dispone de ambientes especiales para graficar funciones, tanto en 2 como en 3 dimensiones. Para obtener con la calculadora VOYAGE 200, el gráfico, por ejemplo, de la función y=f(x)=(x-1)(x+2)2, se procede de la siguiente manera:

Pasos Teclas Salida 1 Preparando la

calculadora para graficar funciones: Presionar tecla MODE En modo Graph seleccionar Function

Mode

Enter

Enter

2 Ir al ambiente de ingreso de funciones:

• ♦ - Y = • Con ubicarse

en el nombre de la función a ingresar (y1, y2, ...)

• Enter • Ingresar la fórmula

de la función • Enter

3 Nota: Con F4 se activa (o desactiva) la función a graficar.

4

Seleccionar el tipo de gráfico deseado:

1:Line 2:Dot 3:Square 4:Thick, etc.

Seleccionemos, en este ejemplo, el modo Line

F6




y presionar Enter 5 Seleccionar el rango

donde se desea obtener el gráfico. Rango en el eje X: desde xmin a xmax Rango en el eje X: Desde ymin a ymax

♦ - Window

6

Graficar la función seleccionada

♦ - Graph




Actividad 1: Una actividad de exploración

Considerar la expresión algebraica: 11

−−

xx n

1. Usando la calculadora simplificar la expresión dada, para n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

2. En base a los resultados obtenidos, conjeturar la expresión simplificada de 11

−−

xx n

,

siendo n un número natural.

3. ¿Qué técnica matemática podría utilizar para demostrar su conjetura?. Hacerlo.

4. Sin usar la calculadora, simplificar la expresión: 11

−−−

xx n

, siendo n un número

natural.




Actividad 2: Trabajando con sucesiones definidas por recurrencia • Presionar la tecla MODE, y del menú Graph elegir SEQUENCE. • La calculadora Voyage (y la TI-92) trata las sucesiones de dos maneras.

a) Mediante el editor de funciones y= Editor y la tabla de cálculos Table. Recomendable. b) De manera directa, en la ventana de Home

• La calculadora permite definir hasta 99 sucesiones de nombres: u1, u2, ..., u99. • El término general de la sucesión u1 es denotado u1(n), y su primer término es

denotado ui1, donde i=1 por defecto, es decir, ui1=u1(1). Ejemplo

Dada la sucesión geométrica definida por: ⎩⎨⎧

=>= −

21,3

1

1u

nparauu nn

En modo Sequence

• Presionar APPS

Elegir editor de funciones y= Editor Presionar la tecla Enter

• Colocar el curso en u1

Presionar la tecla F3 Escribir en la línea de edición 3* u1(n-1) Presionar la tecla Enter Quedando u1(n)=3* u1(n-1)

• Colocar el cursor en ui1

Presionar la tecla F3 Escribir en la línea de edición 2 Presionar la tecla Enter Quedando ui1=2




• Estudiar la sucesión con Table

Presionar ♦ Table

• Graficar la sucesión

Presionar ♦ Graph

• Calcular el quinto término de la sucesión

En la línea de edición de Home, escribir u1(5), y presionar la tecla Enter.

• Calcular la suma de los diez primero

términos. En la línea de edición de Home, escribir: Sum(u1(n), n, 1, 10) y presionar la tecla Enter.

• Verificar que una fórmula explícita de u1(n) es: 2*3n-1

• Verificar que una fórmula explícita para la

suma de los n primeros sumandos es:

13 −= nnS

Nota. Para definir la sucesión dada en modo directo.

Estando en Home, escribir la fórmula: when(n>1, 3*u(n-1), 1) STO un donde la fórmula de definición de un es de la forma: when(n>1, "fórmula de recurrencia un", "primer término u1") u(n)




Actividad 3: Trabajando con una sucesión especial

Dada la sucesión: ( ) ( )5

5151 nn

na −−+= , donde n es un número natural

1. Calcular na para n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

2. En base a los resultados obtenidos, ¿qué podría conjeturar con respecto al tipo de

número que es na ?

3. ¿Qué técnica matemática podría utilizar para demostrar su conjetura?. Hacerlo.

5. A qué sucesión de números le recuerda la sucesión generada.




Actividad 4: Explorando un problema de cuadrados.

Dado un cuadrado de lado k=2, considerar un punto Q que se mueve a lo largo de uno de

sus lados y que va generando cuadrados inscritos en el cuadrado dado, tal como se muestra

en la siguiente figura.

a) Llamando x al segmento indicado en la figura anterior. ¿Entre qué valores varía x?

b) Considerar la función A = A(x) = área del cuadrado inscrito asociado a x. Observando

las figuras y sin hacer cálculos, hacer un esbozo del gráfico de A.

c) Determinar la expresión analítica de la función A.

d) Determinar, usando las aproximaciones indicadas a continuación, cuando A es mínima.

k

Q

k

Q

k

Q

k

Qx

Numérica:




Gráfica:

Algebraica:

Otra:




Actividad 5: Sumando áreas Se cuenta con un trozo de alambre de longitud L m. Se corta el alambre obteniendo dos trozos. Con uno se construye un cuadrado, y con el otro, un triángulo equilátero. Considerar L=10 m Sean c(x) y t(x) las funciones que representan el área del cuadrado y del triángulo, respectivamente, en función de la longitud x del primer trozo. a) Determinar el dominio de cada función, considerando las restricciones del problema.

b) En la ventana de Home, definir cada función, considerando su dominio en el problema.

En primer lugar, limpiar las variables, presionando la tecla F6, y de este menú, presionar la tecla Enter en 1:Clear a-z.

(Expresión de c(x) | x ≥ 0 and x ≤ 10) STO c(x) Presionar la tecla Enter (Expresión de t(x) | x ≥ 0 and x ≤ 10) STO t(x) Presionar la tecla Enter

b1) Determinar el área del cuadrado y del triángulo para cinco valores de x, evaluando cada función.

b2) Hallar el área del cuadrado construido, cuyo perímetro es 7m

c) Construir una tabla de valores para las funciones c(x) y t(x), con incremento 0.1.

Definir ambas funciones en el editor de funciones

Presionar APPS Elegir editor de funciones y= Editor Presionar la tecla Enter Colocar el cursor en y1, presionar la tecla F3, y escribir en la línea de edición: c(x) Colocar el cursor en y2, presionar la tecla F3, y escribir en la línea de edición: t(x)

Presionar las teclas Table

Presionar F2, y definir el incremento en 0.1




De la observación de la tabla: c1) Determinar el o los valores de x tal que las áreas de ambos polígonos sean iguales.

c2) Determinar los valores de x tal que el área del cuadrado es mayor que el área del

triángulo.

d) Graficar cada función

Presionar APPS y elegir y= Editor Constatar que al lado de cada función a graficar debe estar el símbolo √ . De no estarlo,

presionar la tecla F4.

Luego, presionar las teclas Graph

En la ventana gráfica, presionar la tecla F3 para colocar el cursor en la gráfica. e) Determinar la función S(x) que representa la suma de las áreas de las dos figuras, en

función de la longitud x del trozo con el que construye un cuadrado.

Definir esta función en el editor de funciones: y= Editor e1) Graficar la función y=S(x)

e2) Determinar el perímetro de cada figura tal que la suma de sus áreas sea máxima




Actividad 6: Concentración de una droga en la sangre El modelo de concentración de Heinz afirma que si una droga se administra intramuscularmente, entonces la concentración de la droga en la sangre del paciente, x horas después, está dada por:

)()( xbxa eeab

cxf −− −−

=

con 0 < a < b, y c es una constante positiva.

)(xf medido en miligramos por mililitro de sangre (mg/ml) Sea a = 1, b = 2, c = 1 a) Ingresar la fórmula a la calculadora. Anotar en el recuadro la edición en la calculadora.

b) Generar una tabla de valores de y=f(x) para x > 0, a intervalos de 0.05

Definir la función en el editor de funciones: Presionar APPS Elegir editor de funciones y= Editor Presionar la tecla Enter Colocar el cursor en y1, y presionar la tecla F3 para editar la función Escribir en la línea de edición: f(x) Presionar las teclas Table

Presionar F2, y definir el incremento en 0.01

De la observación de la tabla: b1) ¿después de cuántas horas la concentración de la droga es 0.2 ?

b2) Estudiar la variación de la concentración de la droga a medida que transcurre el tiempo.




b3) ¿Al cabo de cuánto tiempo la concentración es máxima?

c) Graficar la función y=f(x)

Presionar las teclas Graph

En la ventana gráfica, presionar la tecla F3 para colocar el cursor en la gráfica. Recorriendo la gráfica, presionando las flechas derecha o izquierda:

c1) Determinar, al cabo de cuánto tiempo la concentración de la droga es 0.2 c2) Determinar cuando la concentración es máxima

d) Resolver la ecuación f(x)=0.2.

d1) Usando la calculadora Entrar al ambiente de Home, presionando las teclas APPS Home

Escribir en la línea de edición: solve(f(x)=0.2,x) Presionar la tecla Enter Para obtener valores aproximados de las soluciones de la ecuación, editar:

approx(solve(f(x)=0.2,x))

Anotar la(s) soluciones de la ecuación, e interpretar dichos valores.

d2) Resolver algebraicamente (a mano) la ecuación f(x)=0.2

e) Considerar diversos valores de a, b, c, tales que 0 < a < b, c>0. Determinar, usando

tabla de valores o gráfica de la función, si la concentración es máxima cuando:

bablnaln

t−−

=




Actividad 7: Doblando una hoja de papel rectangular Una larga hoja de papel rectangular de 4cm de ancho, se dobla de una esquina formar un triángulo BAC, de manera que el punto B se puede desplazar en el borde derecho de la hoja, como se muestra en la figura.

a) Determinar la función que define el área y=S(x) del triángulo ABC en función de x =OA

b) Construya una tabla de valores que relacione x con y=S(x).

c) Graficar la función y=S(x).

d) Hallar el o los valores de x, tal que el área del triángulo ABC sea 25.4 .

e) Hallar el o los valores de x, tal que el área del triángulo ABC sea mínima.




Actividad 8: Resolviendo aproximadamente una ecuación trascendente. Como se sabe, en general, no existen métodos algebraicos para encontrar las soluciones de una ecuación trascendente. Tal es el caso de la ecuación:

x4 = 4x

Los métodos disponibles para encontrar las soluciones de esta ecuación son gráficos y numéricos. (a) Usando gráficos adecuados con la calculadora VOYAGE 200, obtener

aproximadamente la(s) solucion(es) de la ecuación propuesta.

Gráficos realizados: Procedimiento utilizado: Solucion(es) aproximada(s) encontradas:

(b) Otra manera de resolver la ecuación propuesta con la calculadora VOYAGE 200, es

utilizar en su ambiente Home, la función nSolve.

• Ir al ambiente Home, e ingresar la función: nSolve(x4 = 4x, x)




Ingresar en el ambiente Home

Resultados obtenidos

nSolve(x4 = 4x, x)

Como se puede observar, la calculadora VOYAGE 200 entrega una de las soluciones: x = -0.76666.

• Para encontrar, si es que existen, otras soluciones se puede:



nSolve(x4 = 4x, x) | x> -0.7666

Como se puede observar, la calculadora VOYAGE 200 entrega otra de las soluciones: x = 2.

• ¿Qué haría para encontrar, en caso de existir, otra(s) solucion(es)?






Actividad 9: Encontrando el mejor lugar para construir un puerto Una isla se encuentra a 1Km de la costa y en dicha costa existe un pueblo 10Km más abajo. Una compañía de transportes se propone construir un puerto para llevar materiales de construcción desde el pueblo a la isla. La velocidad de un camión es de 70km/h y la de un barco de 20Km/h. La situación planteada viene modelada en la siguiente figura:

(a) Designar por A el punto de la costa que está directamente frente a la isla, por B el

punto de la costa donde está ubicado el pueblo, y por X el punto de la costa donde se construirá el puerto.

(b) Dada las condiciones del problema, ¿es posible que el lugar más adecuado para

construir el pueblo esté:

más arriba del punto A?. más abajo del punto B?.

Fundamente sus respuestas:

(c) Por las condiciones del problema y considerando su respuesta precedente, cuál es el

rango de lugares de la costa donde razonablemente, debería construirse el puerto.




(d) Llamar d a la distancia entre el pueblo y el punto de construcción del puerto. Expresar, en términos de d, el tiempo t1 necesario para ir del pueblo al puerto:

t1 =

(e) Expresar, en términos de d, el tiempo t2 necesario para ir del puerto a la isla:

t2 =

(f) Usando la información anterior, expresar, en términos de d, el tiempo total T necesario

para ir del puerto a la isla:

t =

(g) Ingresar al área de trabajo las relaciones anteriores. Las asignaciones precedentes, en la

VOYAGE 200, se verían así:

• Finalmente, ¿en qué lugar le recomendaría a la compañía construir el puerto?




Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Actividad 10: Apresto sobre matrices y sistemas de ecuaciones lineales.

Ingreso de matrices en la calculadora a) Directamente en la línea de edición de

HOME • filas entre corchetes

[[-2, 3.5, π ] [3, 0, 1]]

• Filas entre “punto y coma”

[2, 0, 2, -1 ; 5, 1, -4, 2 ; 1, 2, 0, 5]

• Para guardar una matriz con el nombre de

una variable usar la tecla STO y el nombre de la variable

b) Ingreso a través del editor de matrices

• Presionar la tecla [APPS] para abrir el editor de datos

• Elegir [6] Data/Matrix Editor, y • Seleccionar [3] New




• En la ventana que se abre, elegir Matrix

• En Type elegir Matrix • Elegir la carpeta en Folder • En variable editar un nombre para la

matriz • En Row escribir el número de filas • En Col escribir el número de columnas

• Para ingresar los datos de la matriz,

colocar el cursor en cada casilla correspondiente, entrar el valor y presionar la tecla Enter.

El nombre de esta matriz es bb

• Escribiendo en la línea de edición de Home, el nombre bb, seguido de la tecla Enter, aparece en la ventana la matriz recién definida.

Nota: • Las matrices que han sido definidas con

un nombre de variable (desde Home o desde el editor de matrices), se encuentran disponibles en el menú variable

• Para modificar uno o más elementos de una matriz, se selecciona la matriz y se ingresan nuevos valores.




Para definir matrices especiales, o para aplicar funciones sobre matrices

• Para definir matrices especiales, y utilizar

funciones particulares, se puede usar la ayuda del menú de funciones:

[2nd] MATH Matrix

Por ejemplo: Matriz identidad de orden 3:

Identity(3) Matriz diagonal:

diag([ π , -1, t+1])

randMat(n,p) construye una matriz con n filas y p columnas, cuyos elementos son enteros comprendidos entre –9 y 9, generados de manera aleatoria.

Para resolver sistemas Resolver el sistema de ecuaciones lineales:

114856

=+=+−

yxyx

• solve(−x+6*y=5 and 8*x+4*y=11, {x,y})

• Enter

Operaciones con matrices

Suma + A + B Resta - A - B Producto * A*B Ponderación α A Inversa de una matriz ^-1 A^-1 Potencia de una matriz ^m A^m




Menú MATH - matriz

Determinante det det(A) Transpuesta AT Dimensión de una matriz dim dim(A) Matriz identidad identity Identity(n) Matriz aleatoria randM randM(num filas,num col) Matriz aumentada augment augment(A,B)




Actividad 11. Encriptando mensajes Un EMISOR envía un mensaje encriptado a un RECEPTOR, en que ambas personas (emisor y receptor) conocen la(s) claves de encripción (o encriptación). Una manera de encriptar un mensaje es, usando matrices cuadradas invertibles con componentes enteras, cuya inversa tenga componentes enteras también, es decir usando matrices con componentes enteras con determinante 1 ó -1. El método consiste en: Etapa 1. El emisor y el receptor acuerdan una manera de encriptar las letras del alfabeto.

Por ejemplo se adoptará el siguiente acuerdo: se hará corresponder a cada letra del abecedario un número entero positivo, como se muestra a continuación, asignando el 0 al espacio en blanco, y los números 28, 29, etc a algunos signos especiales.

Espacio en blanco

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

Ñ

O

P

Q

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

18

19

20

21

22

18

18

19

20

21

,

.

:

¿

?

28

29

30

31

32

Independiente que las letras sean mayúsculas ó minúsculas, y vocales acentuadas o nó. Etapa 2. El emisor codifica el mensaje a enviar. Mensaje: Esto es interesante

E

S

T

O

E

S

I

N

T

E

R

E

S

A

N

T

E

5

20

21

16

0

5

20

0

9

14

21

5

19

5

20

1

14

21

5

Obteniendo la cadena de números:

5

20

21

16

0

5

20

0

9

14

21

5

19

5

20

1

14

21

5

Etapa 3. El emisor encripta el mensaje, a través de una clave, que conoce tanto el emisor

como el receptor. (El mensaje aún no es enviado) Supongamos que la clave para encriptar el mensaje es la matriz con componentes enteras e invertible, tal que su inversa también tiene componentes enteras:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=2537

A




La cadena que contiene el mensaje, la dividimos en dos filas, formando la matriz:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

052114120519521149020501621205

C

Nota: se forma una matriz con dos filas ya que la matriz clave es cuadrada de orden 2. Si la matriz clave es de orden 3, se divide en tres filas, una a continuación de la otra, etc., completando con 0 si fuese necesario Para encriptar el mensaje calcula la matriz CA ⋅

1. Determinar la matriz CA ⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅ CA

Etapa 4. El emisor envía la cadena encriptada al receptor. En este ejemplo se envía la cadena:

Etapa 5. Descriptando el mensaje. El receptor conoce el sistema de codificación y la

matriz clave de encriptación, recibe el mensaje, y procede a descifrarlo. Parte 2. Descifrar el mensaje.

Parte 3. Determinar un valor entero de k , tal que la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

52221324

k

kD tenga

determinante 1− . Usar esta matriz para encriptar el siguiente mensaje:

El martes se realizará la feria

Parte 4. Usando la misma regla de codificación y la misma D que ha determinado en la parte 3, desencriptar el siguiente mensaje:

57 18 32 42 -6 63 34 24 87 52 23 32 63 31 53 26 21 88 92 27 48 63 -18 100 56 38 135




Actividad 12: Estudiando una familia de sistemas de ecuaciones lineales

Considerar los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

141312543

=+=+

yxyx

1098765

=+=+

yxyx

898887181920

=+−=−−

yxyx

345

131211−=−+−

=+yx

yx

1. ¿Qué tienen de particular los coeficientes de las ecuaciones que conforman los sistemas

dados?

2. Resolver cada uno de los sistemas anteriores.

3. ¿Qué puede observar en las soluciones obtenidas?

4. ¿Qué puede conjeturar, en base a la observación anterior?

5. ¿Es cierto que, los coeficientes de todo sistema de ecuaciones lineales equivalente a

cada sistema dado, tienen la particularidad observada?




Actividad 13: Encontrando salarios. Un carpintero (C), un electricista (E) y un fontanero (F) llegan a un acuerdo para reparar sus casas respectivas. Deciden todos trabajar 10 días de acuerdo al siguiente programa:

C E F Días en casa de C 2 1 6 Días en casa de E 4 5 1 Días en casa de F 4 4 3

A la hora de fijar los salarios deciden hacerlo de modo que cada uno de ellos pague lo mismo que reciba. Encontrar el salario de cada uno de ellos.

Asignar las variables que correspondan.

Plantear el sistema de ecuaciones que modele la situación.

Determinar, usando la Voyage 200, el conjunto solución del sistema precedente.

Dar una solución al problema planteado que haga que los tres salarios sean números naturales y estén comprendidos entre 60 y 80.




Actividad 14: Determinando un polinomio cúbico.

Determinar un polinomio del tipo: dcxbxaxxp +++= 23)(

de modo que cumpla las siguientes condiciones:

∫ ∫∫ ===1

0

1

0

21

0

0)()()( dxxpxdxxxpdxxp

1. Usando la calculadora obtener las tres integrales requeridas:

=∫1

0

)( dxxp

∫ =1

0

)( dxxxp

∫ =1

0

2 )( dxxpx

2. Considerando las tres condiciones del problema se obtiene el siguiente sistema de

ecuaciones:

3. Resolviendo el sistema precedente se obtiene que:

4. Por lo tanto el polinomio buscado es:




Actividad 15: Descubriendo funciones. Introducción: En el trabajo que se hace en la enseñanza de funciones, en general, no se trabajan actividades en las cuales se descubra la función que modela una determinada situación contextualizada. Normalmente, este tópico se le reserva a la asignatura de Estadística. Sin embargo, con el uso de la Voyage 200, es posible modelar situaciones elegidas y trabajadas por los estudiantes. A modo de ejemplo, en la siguiente actividad se explora una función que modela el decrecimiento en los record mundiales en 100 metros planos. Actividad. En la siguiente tabla se ilustran algunos record mundiales en 100 metros planos (hombres) desde el año 1932.

Record Atleta País Fecha 10.64 Ralph Metcalfe USA Jul 16, 1932 10.34 Norwood Ewell USA Jul 09, 1948 10.25 Armin Hary FRG Jun 21, 1960 9.95 Jim Hines USA Oct 14, 1968 9.93 Calvin Smith USA Jul 03, 1983 9.92 Carl Lewis USA Sep 24, 1988 9.85 Leroy Burrell USA Jul 06, 1994 9.79 Maurice Greene USA Jun 16, 1999 9.77 Asafa Powell JAM Jun 14, 2005

como se puede observar a simple vista, los tiempos en los cuales se ha ganado esta carrera, han ido bajando. A continuación se ilustra, paso a paso, una forma de modelar estos datos con la V200. Paso Teclas V200 Pantalla 1 Ingreso de datos APPS – 6




2 Grafico de datos. Definir

gráfico

F2 – Plot 1 – F1 Elegir: Plot Type: Scatter Mark: Box x: c1, y: c2 Enter – Enter.

3 Obtener gráfico Seleccionar ventana de gráfico.

♦. - WINDOW

Obtener gráfico ♦. - GRAPH

4 Buscar un

modelo. Elijamos, a modo de ejemplo, un modelo lineal.

Volver a los datos. APPS– 6 – ENTER

F5 Calculation Type: LinReg X: c1, y: c2 Store RegEQ to: y1(x)

ENTER

5 Graficar el

modelo encontrado.

♦. - GRAPH

Usando el modelo encontrado: a) ¿Qué record se puede esperar para el próximo año? (Extrapolación). b) ¿Cuál habrá sido el record en el año 1970? (Interpolación). c) ¿Qué deficiencias le encuentra a este modelo?




d) Buscar un modelo cuadrático para esta situación. Comparar ambos modelos. Extensiones: a) Buscar en Internet los record femeninos en los últimos 50 años. b) Buscar modelos de esta información. c) Comparar con el caso masculino. Buscar, junto a su profesor de Biología, explicaciones

razonables.

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Taller de Álgebra con la Voyage 200 - matesup.cl · Taller de Álgebra con la Voyage 200 Universidad de Talca Instituto de Matemática y Física 4 Profesores: Juanita Contreras S