Taller Estadística Descriptiva (Ej. Resueltos)

Yohana Bonilla G. Página 1

TALLER No 1 ESTADISTICA DESCRIPTIVA

1. Dada la lista de puntuaciones en una prueba de Sistemas en los siguientes datos y utilizando un intervalo

de clase de 5, establecer una distribución de frecuencia. Empezar el intervalo inferior de clase con una

puntuación de 35. Graficar las distribuciones absolutas y acumuladas. Encontrar la Media, Mediana,

Moda, la Desviación Estándar, coeficientes de: Variación, de Asimetría y Curtosis.

59 48 53 47 57 64 62 62 65 57 57 81 83

48 65 76 53 61 60 37 51 51 63 81 60 77

71 57 82 66 54 47 61 76 50 57 58 52 57

40 53 66 71 61 61 55 73 50 70 59 50 59

69 67 66 47 56 60 43 54 47 81 76 69

Solución:

a. Tabla de distribución de Frecuencias para los datos agrupados

Intervalo Frecuencia (absoluta)

f

35-39 1

40-44 2

45-49 6

50-54 11

55-59 12

60-64 11

65-69 8

70-74 4

75-79 4

80-84 5

b. Distribuciones de frecuencia absoluta y acumulada

Intervalos Frecuencia f

Frecuencia acumulada FI

35-39 1 1

40-44 2 3

45-49 6 9

50-54 11 20

55-59 12 32

60-64 11 43

65-69 8 51

70-74 4 55

75-79 4 59

80-84 5 64

y mayor... 0


Gráfico: Distribución de frecuencia absoluta.

Gráfico: Distribución de frecuencia acumulada.

c. Media :

60,453 Mediana: 59,5 Moda: 57

Desviación estándar s:

Coeficiente de variación:

1 2

6

11 12

11

8

4 4 5

0 0

2

4

6

8

10

12

14

35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84 y mayor...

Fre

cue

nci

a

Intervalos

Distribución de frecuencia absoluta Frecuencia

1 3

9

20

32

43

51 55

59 64

0

10

20

30

40

50

60

70

35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60-64 65-69 70-74 75-79 80-84

Fre

cue

nci

a ac

um

ula

da

Intervalos

Distribución de frecuencia acumulada

Frecuencia acumulada

d. Asimetría:

0,29252031

Curtosis:

-0,36653649


Coeficiente de asimetría:

En este caso tenemos Asimetría positiva de los datos.

Curtosis:

2. Dada una lista de puntuaciones, cada una de las cuales es el porcentaje de palabras consideradas

agradables por una persona (Coeficientes de Afectividad) entre 64 palabras, elaborar una distribución de

frecuencia haciendo la mejor elección de intervalo de clase y límite de clase.

43 62 52 48 46 65 43 48 52 51 57 48 48

38 42 44 46 43 35 42 45 45 44 46 40 40

47 52 38 51 45 38 51 40 46 45 54 55 41

50 59 42 39 56 44 43 47 51 43 50 34 40

53 42 31 44 51 43 48 41 43 48 41 55

Calcule la media aritmética, la mediana y la moda

Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y Curtosis

Solución:

a. Empezaremos por presentar los datos ordenados de menor a mayor en una tabla:

Tabla de datos ordenados menor a mayor, (64 datos)

No. Datos No. Datos

1 31 33 45

2 34 34 46

3 35 35 46

4 38 36 46

5 38 37 46

6 38 38 47

7 39 39 47

8 40 40 48

9 40 41 48

10 40 42 48

11 40 43 48

12 41 44 48

13 41 45 48

14 41 46 50

15 42 47 50

16 42 48 51

17 42 49 51


18 42 50 51

19 43 51 51

20 43 52 51

21 43 53 52

22 43 54 52

23 43 55 52

24 43 56 53

25 43 57 54

26 44 58 55

27 44 59 55

28 44 60 56

29 44 61 57

30 45 62 59

31 45 63 62

32 45 64 65

Si se tienen N datos u observaciones podemos usar la fórmula de Sturges que propone tomar como número k

de intervalos el valor:

En este caso N=64

Tomaremos 7 intervalos.

Para determinar la amplitud o intervalo de clase que llamaremos a sabemos que:

Para nuestros datos:

Con k=7 y la amplitud a=5 generamos la siguiente distribución de frecuencias:

Intervalo Frecuencia

1. 31-35 3

2. 36-40 8

3. 41-45 22

4. 46-50 14

5. 51-55 12

6. 56-60 3

7. 61-65 2


Y graficamos la distribución a partir de la tabla anterior:

b.

Media

46,15625

Mediana

45

Moda

43

c.

Desviación estándar

6,508160323

Asimetría

0,473309993

Curtosis

0,553124035

3. Representar un polígono de frecuencia y un histograma para la distribución de puntuaciones de aptitud

para la química de un curso de primer año.

Sacar conclusiones referentes a estos datos según se presenten los gráficos y además, graficar las

frecuencias relativas acumuladas.

Puntuaciones Frecuencias

90 – 94 4

85 – 89 10

80 – 84 14

75 – 79 19

70 – 74 32

65 – 69 31

3

8

22

14 12

3 2

0

5

10

15

20

25

31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65

Fre

cue

nci

a

Intervalo

Distribución de frecuencia absoluta

Frecuencia


60 – 64 40

55 – 59 28

50 – 54 29

45 – 49 21

40 – 44 18

35 – 39 10

30 – 34 6

25 – 29 1

20 – 24 3



Solución:

a. Total de datos N=266


Frecuencia

acumulada

(Fi)

Frecuencia

relativa

acumulada=Fi/N

20 – 24 3 3 0,0113

25 – 29 1 4 0,0150

30 – 34 6 10 0,0376

35 – 39 10 20 0,0752

40 – 44 18 38 0,1429

45 – 49 21 59 0,2218

50 – 54 29 88 0,3308

55 – 59 28 116 0,4361

60 – 64 40 156 0,5865

65 – 69 31 187 0,7030

70 – 74 32 219 0,8233

75 – 79 19 238 0,8947

80 – 84 14 252 0,9474

85 – 89 10 262 0,9850

90 – 94 4 266 1,0000

Total de datos

N 266


3 1

6 10

18 21

29 28

40

31 32

19

14 10

4

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94

Fre

cue

nci

as

Puntuaciones

Histograma

Frecuencias (f)

3 1

6

10

18 21

29

28

40

31 32

19

14

10

4 0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94

Fre

cue

nci

as

Puntuaciones

Polígono de frecuencias

Frecuencias …


b.

Media aritmética para datos agrupados:

es la frecuencia de cada clase.

es el punto medio de cada clase.

es el número total de datos igual a la suma de las frecuencias de todas las clases.

Para calcularla usamos la siguiente tabla:

Puntuaciones

(Clase) Frecuencias

(f)

Punto

medio

(M)

f.M

20 – 24 3 22 66

25 – 29 1 27 27

30 – 34 6 32 192

35 – 39 10 37 370

40 – 44 18 42 756

45 – 49 21 47 987

50 – 54 29 52 1508

55 – 59 28 57 1596

60 – 64 40 62 2480

65 – 69 31 67 2077

70 – 74 32 72 2304

75 – 79 19 77 1463

0,0113 0,0150 0,0376 0,0752

0,1429

0,2218

0,3308

0,4361

0,5865

0,7030

0,8233 0,8947

0,9474 0,9850 1,0000

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 75 – 79 80 – 84 85 – 89 90 – 94

Frec

uen

cia

rela

tiva

acu

mu

lad

a

Puntuaciones

Frecuencia relativa acumulada

Frecuencia relativa …


80 – 84 14 82 1148

85 – 89 10 87 870

90 – 94 4 92 368

Totales 266 16212

Mediana para datos agrupados:

Para calcular la mediana usamos la tabla de frecuencias acumuladas.

La clase mediana es la clase cuya frecuencia es mayor o igual que N/2.

Donde N siempre denota el número de datos o suma de frecuencias absolutas.

La mediana puede determinarse entonces como:

En donde:

es el límite inferior de la clase de la mediana.

es la frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana

es la frecuencia absoluta de la clase mediana.

es la amplitud o Intervalo de Clase.


Tabla para calcular la mediana

Moda para datos agrupados:

Moda para datos agrupados:

Ya que por definición la moda es la observación que ocurre con mayor frecuencia, se hallará en la

clase que tenga la mayor frecuencia, llamada la clase modal.

Para estimar la moda en el caso de datos agrupados, se utiliza la fórmula:

En donde:

es el límite inferior de la clase modal.

es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase anterior.

es la diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la clase siguiente.

es el intervalo de clase.

De la tabla inmediatamente anterior usada para calcular la Mediana, tenemos que


Frecuencia

acumulada

(Fi)

20 – 24 3 3

25 – 29 1 4

30 – 34 6 10

35 – 39 10 20

40 – 44 18 38

45 – 49 21 59

50 – 54 29 88

55 – 59 28 116

60 – 64 40 156

65 – 69 31 187

70 – 74 32 219

75 – 79 19 238

80 – 84 14 252

85 – 89 10 262

90 – 94 4 266

Total de datos

N 266

Clase mediana:

frecuencia acumulada 156

Lmed= 60

F=116

fmed= 40

a=5


c. Desviación estándar para los datos agrupados:

Usamos los resultados anteriores obtenidos para y y los puntos medios :

Puntuaciones

(Clase)

Frecuencias

(f)

Punto

medio

(M)

f.M^2

20 – 24 3 22 1452

25 – 29 1 27 729

30 – 34 6 32 6144

35 – 39 10 37 13690

40 – 44 18 42 31752

45 – 49 21 47 46389

50 – 54 29 52 78416

55 – 59 28 57 90972

60 – 64 40 62 153760

65 – 69 31 67 139159

70 – 74 32 72 165888

75 – 79 19 77 112651

80 – 84 14 82 94136

85 – 89 10 87 75690

90 – 94 4 92 33856

Totales 266 1044684

Coeficiente de variación CV:

Asimetría:

La asimetría puede medirse mediante el Coeficiente de Karl Pearson

En este caso la distribución será asimétrica negativa.


Curtosis:

Para datos agrupados en intervalos se emplea la siguiente fórmula:

4. Para decidir acerca del número de mostradores de servicio que serán necesarios en las tiendas que se

construirán en el futuro, una cadena de supermercados quería obtener información sobre el tiempo (en

minutos) requerido para atender a los clientes. Para obtener información acerca de la distribución de los

tiempos de atención a los clientes, se obtuvo una muestra de 60 clientes y se anotó el tiempo empleado en

atender a cada uno de ellos.

3.6 1.9 2.1 0.3 0.8 0.2 1.0 1.4 1.8 1.6 1.1 1.8

0.3 1.1 0.5 1.2 0.6 1.1 0.8 1.7 1.4 0.2 1.3 3.1

0.4 2.3 1.8 4.5 0.9 0.7 0.6 2.8 2.5 1.1 0.4 1.2

0.4 1.3 0.8 1.3 1.1 1.2 0.8 1.0 0.9 0.7 3.1 1.7

1.1 2.2 1.6 1.9 5.2 0.5 1.8 0.3 1.1 0.6 0.7 0.6

Construya un histograma de frecuencias relativas para estos datos.

Qué fracción de los tiempos de atención es menor o igual que un minuto?



Solución:

a. Presentamos los datos ordenados de menor a mayor:

Tabla de datos de tiempo de atención.

No. Datos No. Datos No. Datos

1 0,20 21 0,80 41 1,60

2 0,20 22 0,90 42 1,60

3 0,30 23 0,90 43 1,70

4 0,30 24 1,00 44 1,70

5 0,30 25 1,00 45 1,80

6 0,40 26 1,10 46 1,80

7 0,40 27 1,10 47 1,80

8 0,40 28 1,10 48 1,80

9 0,50 29 1,10 49 1,90

10 0,50 30 1,10 50 1,90

11 0,60 31 1,10 51 2,10

12 0,60 32 1,10 52 2,20

13 0,60 33 1,20 53 2,30

14 0,60 34 1,20 54 2,50

15 0,70 35 1,20 55 2,80

16 0,70 36 1,30 56 3,10

17 0,70 37 1,30 57 3,10

18 0,80 38 1,30 58 3,60


19 0,80 39 1,40 59 4,50

20 0,80 40 1,40 60 5,20

Los dividimos en 8 intervalos de clase 7:

Clase Frecuencia

f Frecuencia

relativa=f/N=f/60

0,2-0,8 21 0,350

0,9-1,5 19 0,317

1,6-2,2 12 0,200

2,3-2,9 3 0,050

3,0-3,6 3 0,050

3,7-4,3 0 0,000

4,4-5,0 1 0,017

5,1-5,7 1 0,017

Total 60

b. De la Tabla de datos de tiempo de atención es claro que hay 25 datos de tiempo, menores o iguales

a un minuto.

Por lo tanto la fracción de los tiempos de atención menor o igual que un minuto es:

0,350 0,317

0,200

0,050 0,050

0,000 0,017 0,017

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,2-0,8 0,9-1,5 1,6-2,2 2,3-2,9 3,0-3,6 3,7-4,3 4,4-5 5,1-5,7

Fre

cue

nci

a re

lati

va

Clase

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa


c. Media aritmética

Mediana: 1,10

Moda: 1,10

d. Desviación estándar:


Asimetría:

Curtosis:

5. En la siguiente tabla se muestra el tiempo transcurrido (en meses) entre la aparición de una enfermedad y

su recurrencia, para 50 pacientes.

2.1 4.4 2.7 32.3 9.9 9.0 2.0 6.6 3.9 1.6 14.7 9.6 16.7 7.4

8.2 19.2 6.9 4.3 3.3 1.2 4.1 18.4 0.2 6.1 13.5 7.4 0.2 8.3

0.3 1.3 14.1 1.0 2.4 2.4 18.0 1.6 3.5 11.4 18.0 26.7 3.7 12.6

23.1 5.6 0.4 8.7 24.0 1.4 8.2 5.8

Construya un polígono de frecuencias relativas para estos datos.

Obtenga la fracción de los tiempos de recurrencia menores o iguales que 10.



Solución:

a.


Tabla de Datos ordenados de menor a mayor

No. Datos No. Datos

1 0,2 26 6,6

2 0,2 27 6,9

3 0,3 28 7,4

4 0,4 29 7,4

5 1,0 30 8,2

6 1,2 31 8,2

7 1,3 32 8,3

8 1,4 33 8,7

9 1,6 34 9,0

10 1,6 35 9,6

11 2,0 36 9,9

12 2,1 37 11,4

13 2,4 38 12,6

14 2,4 39 13,5

15 2,7 40 14,1

16 3,3 41 14,7

17 3,5 42 16,7

18 3,7 43 18,0

19 3,9 44 18,0

20 4,1 45 18,4

21 4,3 46 19,2

22 4,4 47 23,1

23 5,6 48 24,0

24 5,8 49 26,7

25 6,1 50 32,3

En amarillo: tiempos de recurrencia menores o iguales que 10, total=36.

Datos agrupados en intervalos de clase 5:

Clases Frecuencia Frecuencia relativa


0,1-5,0 22 0,44

5,1-10,0 14 0,28

10,1-15,0 5 0,10

15,1-20,0 5 0,10

20,1-25,0 2 0,04

25,1-30,0 1 0,02

30,1-35,0 1 0,02

Total 50

Polígono de frecuencias relativas:

b. Fracción de los tiempos de recurrencia menores o iguales que 10:

c. Media:

Mediana: 6,35

Moda: 0,2

6. Veintiocho solicitantes interesados en trabajar para un programa de construcción de viviendas de interés

social, rindieron un examen diseñado para medir su aptitud para las obras civiles. Los resultados fueron

los siguientes:

79 97 86 76 93 87 98 68 84 88 81 91 86 87

70 94 77 92 66 85 63 68 98 88 46 72 59 79

0,44

0,28

0,10 0,10

0,04 0,02 0,02

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,1-5,0 5,1-10,0 10,1-15,0 15,1-20,0 20,1-25,0 25,1-30,0 30,1-35,0

Fre

cue

nci

a re

lati

va

Clases

Frecuencia relativa

Frecuencia relativa


Construya un polígono y un histograma de frecuencias relativas para estas puntuaciones. (Use

intervalos de clase de ancho 9, empezando en 44.5).


Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y Curtosis.

Solución:

a.

Histograma de frecuencias relativas

Polígono de frecuencias relativas

0,036 0,036

0,179 0,179

0,321

0,250

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

44,5-53,4 53,5-62,4 62,5-71,4 71,5-80,4 80,5-89,4 89,5-98,4

Fre

cue

nci

a re

lati

va

Clases

Frecuencia relativa=f/28

Frecuencia relativa=f/28

Clases Frecuencia

f Frecuencia

relativa=f/28

44,5-53,4 1 0,036

53,5-62,4 1 0,036

62,5-71,4 5 0,179

71,5-80,4 5 0,179

80,5-89,4 9 0,321

89,5-98,4 7 0,250

Total 28


b. Media:

Mediana: 84,5

Moda: 68

c. Desviación estándar:


Coeficiente de asimetría:

Curtosis:

7. Una empresa de ventas lleva registros sobre la inversión en publicidad, expresada en términos del

porcentaje de los gastos totales; estos se presentan a continuación:

2.6 3.6 3.1 2.6 2.7 3.9 2.4 2.7 2.5 2.3 4.0 3.2 2.5 1.7

0.3 3.1 2.6 1.3 4.3 1.5 2.8 1.8 4.2 3.5 2.4 2.2 3.4 3.7

0.8 2.3 1.9 4.5 1.2 2.2 2.2 3.0 2.1 1.8 2.9 3.8 3.5 1.6

3.2 4.4 1.4 0.7 2.8 3.3 0.5 2.3

Solución:

0,036 0,036

0,179 0,179

0,321

0,250

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

44,5-53,4 53,5-62,4 62,5-71,4 71,5-80,4 80,5-89,4 89,5-98,4

Fre

cue

nci

a re

lati

va

Clases

Polígono de frecuencias relativas

Frecuencia …


a. Agrupar la información en intervalos de clase y construya una tabla de frecuencias completa.

Usamos la fórmula de Sturges para determinar el número de intervalos:

En este caso N=50

Y el intervalo de clase a

Puesto que hemos ordenado los datos de menor a mayor en la siguiente tabla:

No. Datos No. Datos

1 0,3 26 2,6

2 0,5 27 2,6

3 0,7 28 2,7

4 0,8 29 2,7

5 1,2 30 2,8

6 1,3 31 2,8

7 1,4 32 2,9

8 1,5 33 3

9 1,6 34 3,1

10 1,7 35 3,1

11 1,8 36 3,2

12 1,8 37 3,2

13 1,9 38 3,3

14 2,1 39 3,4

15 2,2 40 3,5

16 2,2 41 3,5

17 2,2 42 3,6

18 2,3 43 3,7

19 2,3 44 3,8

20 2,3 45 3,9

21 2,4 46 4

22 2,4 47 4,2

23 2,5 48 4,3

24 2,5 49 4,4

25 2,6 50 4,5

En amarillo: 33 datos inferiores a 3.1


Tomamos el intervalo de clase: 0,6 y agrupamos los datos en una tabla de frecuencias, empezando en 0,3:

Tabla de frecuencias

Clase Frecuencia

f Frecuencia acumulada

Frecuencia relativa

Frecuencia acumulada relativa=(frecuencia acumulada)/50

0,3-0,8 4 4 0,08 0,08

0,9-1,4 3 7 0,14 0,14

1,5-2,0 6 13 0,26 0,26

2,1-2,6 14 27 0,54 0,54

2,7-3,2 10 37 0,74 0,74

3,3-3,8 7 44 0,88 0,88

3,9-4,4 5 49 0,98 0,98

4,5-5,0 1 50 1 1

Total 50

b. Graficar el histograma y el polígono de frecuencias.

Con las frecuencias absolutas f de la Tabla de frecuencias anterior construimos el histograma y el polígono

de frecuencias:

4 3

6

14

10

7

5

1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0,3-0,8 0,9-1,4 1,5-2,0 2,1-2,6 2,7-3,2 3,3-3,8 3,9-4,4 4,56-5,0

Fre

cue

nci

a

Clase

Histograma

Frecuencia


c. Calcular el porcentaje de registros que son inferiores a 3.1%

A partir de la tabla de frecuencias:

Usamos la tabla de frecuencias acumulada. En este caso el porcentaje de registros inferiores a 3,1% estaría

determinado por la frecuencia 27, previa a la clase 2,7-3,2

Por conteo directo de la muestra bruta, viendo la tabla.

Usando la gráfica:

Sumamos las frecuencias absolutas antes de la clase: 2,7-3,2

d. Estime el porcentaje de registros que son mayores que 1.5 pero menores de 3.5.

De la tabla obtenemos directamente esta información:

Del dato 9 al 39, tenemos la condición buscada, por lo tanto

e. Calcule la media aritmética, la mediana y la moda

Media:

Mediana: 2,6

Moda: 2,2

4 3

6

14

10

7

5

1 0

2

4

6

8

10

12

14

16

0,3-0,8 0,9-1,4 1,5-2,0 2,1-2,6 2,7-3,2 3,3-3,8 3,9-4,4 4,56-5,0

Fre

cue

nci

a

Clase

Polígono de frecuencias

Frecuencia


f. Calcule la desviación estándar y los coeficientes de: Variación, Asimetría y Curtosis.

Desviación estándar

Variación:

Asimetría:

Curtosis:

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Taller Estadística Descriptiva (Ej. Resueltos)