Taller

Matemático

Sucesiones

Cristóbal Pareja Flores

antares.sip.ucm.es/cpareja

Facultad de Estadística

Universidad Complutense de Madrid

Sucesiones Taller matemático 2 / 12

1. Sucesiones Sucesión: Lista de términos, ordenados: 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, ...

1. Ejemplos: (a) 1, 3, 5, 7, … (b) 1, -1, 1, -1, … (c) 2, 4, 6, 8, … (d) 1, 2, 4, 8, 16, … (e) 1, -3, 9, -27, … (f) 11, 9, 7, 5, … (g) 1, 3, 6, 8, … (h) 1, 1, 2, 3, 5, … (i) 1, -3, 5, -7, …

2. Descripción genérica: • Mediante un término general:

(j) 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 1 (j) 𝑏𝑛 = 2𝑛 (k) 𝑐𝑛 = (−1)

𝑛 • Mediante una regla de formación: (sucesiones recurrentes)

(l) Los dos primeros términos son ... y ... Los siguientes se obtienen mediante la suma de los dos precedentes. (Fibonacci) 𝑎1 = 1 𝑎2 = 1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1

3. Ejercicio: (1) Halla los primeros términos de las sucesiones dadas mediante los términos generales o reglas de formación del apartado anterior. (2) Busca el término general o la regla de formación de los ejemplos del apartado inicial.

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2. Sucesiones importantes 2.1. Progresiones aritméticas: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑

1. Ejemplos (algunas lo son; otras, quizá no): (a) 4, 7, 10, 13, … (b) 45, 40, 35, 30, … (c) 3.5, 3.8, 4.1, 4.4, …

2. Ejercicio:

• ¿Cuáles de las sucesiones anteriores son progresiones aritméticas? • En las p.a., halla el primer término, la diferencia y el término general. • Elige una p.a. cualquiera y suma 𝑎1 + 𝑎10, 𝑎2 + 𝑎9, 𝑎3 + 𝑎8, etc.

3. Cálculo: suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión aritmética:

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 + 𝑎1 ----------------------------------------------------------------

2𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 + ∗ + ∗ + ⋯+ ∗ + ∗

𝑆𝑛 = 𝑛 𝑎1 + 𝑎𝑛2

3. Ejercicio: En las p. a. anteriores, calcula 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + …+ 𝑎20.

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2. Sucesiones importantes 2.1. Progresiones aritméticas: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑

1. Ejemplos (algunas lo son; otras, quizá no): (a) 4, 7, 10, 13, … (b) 45, 40, 35, 30, … (c) 3.5, 3.8, 4.1, 4.4, …

2. Ejercicio:

• ¿Cuáles de las sucesiones anteriores son progresiones aritméticas? • En las p.a., halla el primer término, la diferencia y el término general. • Elige una p.a. cualquiera y suma 𝑎1 + 𝑎10, 𝑎2 + 𝑎9, 𝑎3 + 𝑎8, etc.

3. Cálculo: suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión aritmética:

𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯+ 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 +⋯+ 𝑎2 + 𝑎1 ----------------------------------------------------------------

2𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎𝑛 + ∗ + ∗ + ⋯+ ∗ + ∗

𝑆𝑛 = 𝑛 𝑎1 + 𝑎𝑛2

3. Ejercicio: En las p. a. anteriores, calcula 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + …+ 𝑎20.

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2. Sucesiones importantes 2.2. Progresiones geométricas: 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟

𝑛−1

1. Ejemplos (algunas lo son; otras, quizá no): (a) 3, 6, 12, 24, … (b) 20, 10, 5, 2.5, … (c) 1, -1, 1, -1, …

2. Ejercicio: (a) ¿Cuáles de estas sucesiones son progresiones geométricas? (b) En las p. g., halla el primer término, la razón y el término general.

3. Suma de los primeros 𝑛 términos de una progresión geométrica: 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + … + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 𝑆𝑛 ∙ 𝑟 = 𝑎2 + 𝑎3 + 𝑎4 + … + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛 ∙ 𝑟 ----------------------------------------------------------------------------

𝑆𝑛 𝑟 − 1 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑟 − 𝑎1

𝑆𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑟 − 𝑎1𝑟 − 1

=𝑎1 − 𝑎𝑛 ∙ 𝑟

1 − 𝑟=𝑎1 − 𝑎1 ∙ 𝑟

𝑛−1 ∙ 𝑟

1 − 𝑟=𝑎1 ∙ (1 − 𝑟

𝑛)

1 − 𝑟

3. Ejercicio: (a) en las p. g. anteriores, calcula 𝑎10 + 𝑎11 + 𝑎12 + …+ 𝑎20. (b) Cuando una p. g. tiene |𝑟| < 1, ∃𝑆∞: serie. Deduce esta fórmula y aplícala a una p. g. concreta. (c) En la figura, área de la zona naranja.

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2. Sucesiones importantes

2.3. Sucesiones de potencias: 𝑎𝑛 = 𝑛𝑘

1. Cuadráticas: 𝑎𝑛 = 𝑛2 𝑆𝑛 =

𝑛 ∙ (𝑛+1)∙ (2𝑛+1)

6

2. Cúbicas: 𝑎𝑛 = 𝑛3 𝑆𝑛 =

𝑛2(𝑛+1)2

4

2.4. Sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

𝑎1 = 1 𝑎2 = 1 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1

3. Notación 𝑎𝑛

10

𝑛=4

1. Ejercicio. Interpreta, calcula:

𝑖

𝑛

𝑖=1

(2𝑖 + 1)

𝑛

𝑖=1

(11 − 𝑖)

𝑛

𝑖=1

2(𝑖−1)𝑛

𝑖=1

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Números triangulares

Solución

• Pongamos unos cuantos términos: 𝑡𝑛 : 1 3 6 10 15 21 …

• No es conocida: formamos

la sucesión de las diferencias: 𝑎𝑛 : 2 3 4 5 6 …

• Conocida: 𝑎𝑛 = 1 + 𝑛 𝑠𝑛 = (1 + 𝑖)𝑛𝑖=1 =

𝑛 ∙ (𝑛+3)

2

• Volvemos a 𝑡𝑛:

𝑡1 = 1 = 1 + 𝑠0 𝑡2 = 1 + 𝑎1 = 1 + 𝑠1 𝑡3 = 1 + 𝑎1 + 𝑎2 = 1 + 𝑠2 𝑡4 = 1 + 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 = 1 + 𝑠3 …

𝑡𝑛 = 1 + 𝑎1 + 𝑎2 + …+ 𝑎𝑛−1 = 1 + 𝑠𝑛−1 = 1 + 𝑠𝑛−1

4. Ejercicio resuelto

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Cuadrados de naranjas

1. Interpreta y calcula:

𝑎1, 𝑎2, 𝑎𝑛, 𝑆𝑛

Pirámides de naranjas

2. Interpreta y calcula:

𝑝1, 𝑝2, 𝑝𝑛, 𝑆𝑛

𝑝𝑛

10

𝑛=4

Fractales

3. Calcula los perímetros.

4. Calcula el número de lados.

5. Ejercicios y problemas

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Elemento genérico de una matriz (= término general)

Estrategias:

- Buscar primero el término general de cada fila.

Puede interesar buscar primero el “término inicial ficticio” de cada fila.

- Buscar primero el término general de cada columna.

Puede interesar buscar primero el “término inicial ficticio” de cada columna.

6. Sucesiones en 2D

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

11 12 13 14 15

16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

1 6 11 16 21

2 7 12 17 22

3 8 13 18 23

4 9 14 19 24

5 10 15 20 25

2 3 4 5 6

3 4 5 6 7

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10

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Apéndice A: ideas para buscar patrones

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Apéndice A: ideas para buscar patrones

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Cociente y resto:

23 // 7 = 3

23 % 7 = 2

Ejemplos de sucesiones:

• Escribe los primeros términos de estas sucesiones:

𝑎𝑛 = 𝑛 // 2 𝑏𝑛 = 𝑛 % 2

𝑐𝑛 = ( 𝑛 − 1) // 7 + 1 𝑑𝑛 = 𝑛 − 1 % 7 + 1 𝑒𝑛 = (𝑛 + 3) // 5 𝑓𝑛 = 𝑛 + 1 % 5

• Halla el término general de éstas sucesiones:

- 1, 1, 2, 2, 3, 3, … - 0, 1, 2, 0, 1, 2, … - 1, 2, 3, 1, 2, 3, …

- 4, 5, 6, 4, 5, 6, 4, 5, 6 …

Apéndice B: Sucesiones con la división entera