CURSO: Metodos Especiales I para FsicaPROFESOR MATERIA: Alvaro Valdes de LuxanPRIMER TALLER.Fecha de entrega: en el primer parcial.

PROBLEMAS.

1. Demuestre que en coordenadas cilndricas: r = e + zez

2. Escriba en coordenadas esfericas A = xyi xj+ 3xk y exprese Ar, A y A en terminos de r, , .

3. Encuentre si son ortogonales los sistemas de coordenadas definidos por:

x = 2uv, y = u2 + v2, z = v

x = 2uv, y = u2 v2, z = v

4. A partir de la identidad A (BC) = (A C)B (A B)C con A =

Aiei, etc. Y teniendo en

cuenta que ei ej =3

k=1 ijkek probad que

3k=1

ijklmk = iljm imjl

Demostrad ademas que:3jk=1 ijkljk = 2il

AB =3

ijk=1 ijkAiBj ek

A BC =3

ijk=1 ijkAiBjCk

A BC = B CA = C AB

A BA = 0

(AB) (AB) = A2B2 (A B)2

(AB) (CD) = (A C)(B D) (A D)(B C)

5. Sabiendo que se cumple:

ei =1

2

jk

ijkej ek

ei

uj=

ej

hi

hj

ui, i 6= j

Demostrad que:

ei

ui=jkl

ijkiljel

hk

hi

uk=

k 6=i

ek

hk

hi

uk

6. Calcule eiuj

donde ui, uj son las coordenadas cilndricas (, , z). Hagalo tambien para las coorde-

nadas cartesianas (r, , ).

7. Calcule los factores de escala en coordenadas cilndricas y los elementos de lnea, superficie y volu-men. Ademas, demuestre que:

e = e, e = e, ez = 0

v = drdt

= e+ e+ ez z

a = dvdt

= e( 2) + e(+ 2) + ez z

8. Si f = f(r) con r =x2 + y2 + z2, demuestre que f(r) = rdf(r)

dr.

9. Consideremos una transformacion de coordenadas xi =3

j=1 aijxj donde las xi son las coordenadas

cartesianas, las aij son las componentes de una matriz ortogonal (3

i=1 ajiaki = jk) y los factoresde escala son hi=1, para i = 1, 2, 3. Probad que

2 yA son invariantes bajo esta transformacion.

Nombra un tipo de transformacion que cumpla las condiciones anteriores.

10. Evalue (rrn) y (rrn) en coordenadas cartesianas.

11. Compruebe el Teorema de Gauss para el campo vectorial A = 4xi 2yj+ z2k, sobre la superficiey el volumen de una esfera de radio 4.

12. Evalue (rf(r)) en coodenadas cartesianas y cilndricas. f(r) es funcion de r =x2 + y2 + z2.

13. Demuestre que 2 y A son invariantes bajo rotacion de coordenadas.

Consideremos una transformacion de coordenadas xi =3

j=1 aijxj donde las xi son las coor-

denadas cartesianas, las aij son las componentes de una matriz ortogonal (3

i=1 ajiaki = jk)y los factores de escala son hi=1, para i = 1, 2, 3. Probad que

2 y A son invariantesbajo esta transformacion.

14. Halle la circulacion del campo A = (x2 y2)i+ 2xyj en:

En un contorno cuadrado delimitado por los ejes cartesianos y las rectas x = 1 y y = 1.

Un crculo de centro en el origen y radio 2.

15. Dados los siguientes campos escalar y vectorial g(x, y, z) = 7x+4y2 5z y f(x, y, z) = 3x2 i 3yj+

z2k, convierta cada uno a cilndricas y a esfericas, luego halle gradiente, divergencia, rotacional ylaplaciano en cartesianas, esfericas y cilndricas.

16. Demuestre que los operadores gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas esferi-cas se obtienen por la teora de factores de escala y por la regla de la cadena.

17. El vector potencial de un dipolo magneticom esA(r) = 04pimrr3

. Demuestre que el campo magneticoB = A es:

B(r) =0

4r3

[3r(r m)

r2m

]

18. Demuestre quef(r)(r r)dV = (f(r))r=r

19. Pruebe que:

f(x)[g(x)]dx =Nk=0

[f(x)

(dg(x)

dx

)1]x=xk

Donde las xk son las N races de g(x) = 0. Ademas se pide que(dg(x)dx

)6= 0.

20. Demuestre que el angulo solido subtendido por el cono de abertura en coordenadas esfericas es = 2(1 cos ).

21. Halle el angulo solido, medido desde el origen de coordenadas, que subtiende el rectangulo situadoen el plano y = b y limitado por las lneas x = a, x = a, z = c, z = c.