432

Gran parte de las materias pri-mas de las industrias extractiva yde procesos son sustancias en fasesólida; así sucede en los campos deseparación y transformación -cual-quiera que sea la acepción queadopte el sector económico en elque se encuadren convencional-mente tales actividades-, como esel caso de la minería, producciónde energía, cerámica, metalurgia,química básica, farmacéutica, ali-mentaria, o en el tratamiento desubproductos, residuos y contami-nantes. En buena parte de los pro-cesos químico-físicos a escala delaboratorio, planta piloto o indus-tria, se pueden identificar numero-sas operaciones en las que hay só-lidos, bien como sustratos implica-dos en fenómenos de transporte,bien como reactivos, bien comocatalizadores. Es difícil tambiénencontrar un proceso físico-mecá-nico en el que los sólidos no mani-fiesten su presencia como elemen-tos limitantes, coadyuvantes u ob-jeto de manipulación. y transfor-mación (Fig. 1).

Como es sabido, la metodologíay sistemática de las operaciones bá-sicas (incluyendo los reactores quí-micos, junto con las operaciones detransferencia de momento, energíay materia) es un instrumento muy

2. Antecedentes.Los sólidosparticulados en química e ingeniería química

No parece preciso resaltar la im-plicación de sólidos bajo la formade partículas (sólidos particulados,sólidos granulares, sólidos fina-mente divididos) en un buen núme-ro de procesos químicos, aunque síparece estar aún justificada la nece-sidad de definir de manera cualita-tiva y cuantitativamente adecuaday fiable sus descriptores morfológi-cos. Los criterios y la simbologíade ya la clásica - aunque imprescin-dible- obra de Allen [1], desde unaperspectiva, y de Coulson y Ri-chardson desde otra [2], no se hanaceptado con carácter general mu-chos años después del impacto ini-cial de estas contribuciones. Losimportantes y afortunados esfuer-zos de IUPAC [3] para unificar loscriterios en la descripción de pará-metros texturales de sólidos fina-mente divididos, como poros y su-perficies específicas, no han encon-trado por el momento similar efica-cia en el ámbito de la caracteriza-ción dimensional de partículas yconjuntos de partículas.

Así, el desarrollo de cada vezsofisticadas tecnologías de análisisgranulométrico y la disponibilidadde suficientes recursos de compila-ción de datos, cálculo y modeliza-ción, conviven con imprecisiones,definiciones equívocas o incerti-dumbre en un grado que sería ina-sumible en el ámbito de otras pro-piedades con similar significaciónen ciencia e ingeniería.

1. Introducción

Tamaño de sólidosparticuladosUn problema de conceptos, una cuestión de nomenclatura, ¿un reto para la IUPAC?

J. L. Bueno de las HerasDpto. de Ingeniería Química y Tecnología del Medio Ambiente.

Universidad de Oviedo

El presente artículo pretendeincidir sobre una problemática

que, lejos de su cierre categorial[0], no ha sido aún resuelta de

forma satisfactoria en un terrenomeramente práctico. Se enfoca elproblema desde la perspectiva del

manejo de los modelosfenomenológicos de unidades de

proceso en los que se hallaimplicado el tamaño de

partículas, analizando algunas delas formas más frecuentes de

definir descriptores individualesy representativos y abogando poruna sistematización conceptual y

una nomenclatura biunívocaunificada y simplificada.

Manejo de Sólidos

Ingeniería Químicawww.alcion.es

menta el criterio del científico yagiliza la toma de decisiones delingeniero.

En la figura 3 se resumen losprincipales grupos de operacionesbásicas con fases sólidas comoprotagonistas [4]. Cabe incidir enque si el concepto de operación bá-sica se vincula habitualmente conun objetivo activo (adecuación,transferencia, producción, separa-ción, recuperación, transforma-ción, etc.), no menos importante esla finalidad pasiva o analítica delas operaciones básicas, invirtien-do el sentido de alimentación dedatos e incógnitas, de forma que,partiendo de aparatos diomensio-nados ad hoc, en condiciones ex-perimentales simplificadas, depu-radas y exentas de artefactos, seandeterminadas propiedades de losmodelos termodinámicos, cinéti-cos o hidrodinámicos los objetivosde cálculo. De hecho, hay croma-tógrafos preparativos y analíticos,sedimentadores separativos y gra-nulométricos, adsorbedores destina-dos a depurar o a determinar áreassuperficiales y reactores destina-dos a producir trabajo, llevar a ca-bo análisis térmicos, caracteriza-ción de distribuciones de tiemposde retención hidrodinámica me-diante técnicas estímulo respuesta(DTR), o determinación de meca-nismos de reacción homogénea yheterogénea, como se trata de ilus-trar mediante los diagramas lógi-cos de la figura 4.

Cualquier modelo inductivo odeductivo, teórico o empírico quese maneje en análisis o síntesis deoperaciones básicas, implica elmanejo de descriptores morfológi-cos, entre otras propiedades que nocorresponde analizar aquí [4], yque se organizan someramente enla figura 5.

3.1. Descriptores individualizados–––––––––––––––––––––––––––––––

Generalmente, y para evitar am-

3. Contexto.Propiedadesmorfológicas de lossólidos particulados

satisfactorio para el análisis de pro-cesos químico-físicos más comple-jos. Una operación básica tiene unobjetivo y se fundamenta en uno ovarios fenómenos de transferencia ytransformación simultáneos y/oconsecutivos; está condicionada porcircunstancias externas y/o por ope-raciones previas en la línea de pro-ceso o en el protocolo del procedi-miento y, a su vez, condiciona aotras operaciones posteriores, invo-lucrando trasiegos materiales yenergéticos que pueden llevarse acabo con ciertos grados de libertad

de selección de condiciones de tra-bajo. Una operación, en suma, tienelugar con una eficacia que dependede las limitaciones impuestas por elequilibrio y la cinética global, en elcontexto de unas disponibilidadestemporales, espaciales, de consumoenergético, control y operabilidadimplícitas en los dispositivos tecno-lógicos, prototipos o aparatos co-merciales diseñados o utilizados.

En la figura 2 se interrelacionande una forma simplificada los ele-mentos conceptuales que constitu-yen la estructura lógica de unaoperación básica. En el caso de tra-tarse de sistemas dispersos (macro-fluidos, como suspensiones yemulsiones), y particularmente enel caso de de operaciones con sóli-dos, las descripciones mecanísticashan de incluir, además de las for-mulaciones termodinámicas y detransporte o reactividad molecularconvencionales, las concernientesa transiciones termomecánicas, fe-nomenología de interfase y estáticay dinámica de sistemas con trans-misión por contacto mecánico. Entodo caso, este tratamiento unitariopermite una sistemática analógicautilísima, tanto entre operacionesfenomenológicamente disímilescomo entre operaciones afines, loque facilita el aprendizaje, funda-

INGENIERIA QUIMICA

434

Figura 1. Los sólidos en los procesos químicos: Elementos fronterizos o de entorno (definición de volúmenes, fricción,transmisión de trabajo externo ycalor), elementos auxiliares (distribuidores de flujo,mezcladores pasivos, ampliadores de interfase detransferencia) y protagonistas de adecuación, transporte, transducción y/ o transformación físico-química (solutos, adsorbedores, reaccionantes, catalizadores, etc.).

Figura 2. Elementos conceptualesen una operación básica

sí e implicados en la descripción denumerosos fenómenos de interéscientífico y tecnológico; porosidadexterna o interparticular y área su-perficial hidrodinámica son con-ceptos morfológicos también muyligados a forma y tamaño y, de he-cho, pueden inferirse fácilmente delos anteriores. Entre estos fenóme-nos, sin entrar en la significaciónque la propia escala de tamaño tie-ne en la definición y modelizaciónde propiedades [4], desde la cohe-sión al color, pasando por el trans-porte y la reactividad, cabe citarpor su importancia [5-10]:

- Ecuaciones de estimación dela cinética y del consumo energéti-co en procesos de adecuación mor-fológica, como molienda y sinteri-zación y establecimiento de crite-rios de la eficacia de clasificaciónen seco, como tamices, filtros, ci-clones e impactadores.

- Modelos de distribución defuerzas y tensiones en almacena-mientos de graneles, como apila-mientos, silos y tolvas y cálculosde flujo de graneles a través de sis-temas de vaciado y conducciones.

- Ecuaciones de variación decantidad de movimiento para ladescripción de problemas de flujoen torno a cuerpos sumergidos,distribuciones de tiempos de resi-dencia, cálculo de consumos depotencia y pérdidas por fricción,

bigüedad o imprecisión en la vin-culación de propiedades a un de-terminado estado de agregación y,por tanto, a una determinada mo-delización cinética y de equilibrio,el concepto de partícula se define apartir del nivel microscópico dedescripción fenomenológica, gene-ralmente en escenarios de escruti-nio con dimensiones L>10 nm.Los principales descriptores mor-fológicos, tamaño y forma, con-templan el resultado microscópicoy macroscópico, tanto de la contri-bución de propiedades químico-fí-sicas -estructura cristalina, porejemplo- , como de propiedades deproceso - conformación, condensa-ción, intrusión, evacuación o frag-mentación,- y tienen gran relevan-cia como factores analíticos - porejemplo en la caracterización deaerosoles o de microbiota, indica-dores de calidad intrínseca de unproducto -por ejemplo en pigmen-tos- , como criterio de separación-caso de la cromatografía hidrodi-námica-, como factores condicio-nantes de la cinética de procesos -superficies de transferencia o catá-

lisis estérica- o como elementos dediseño -pérdidas de carga en fil-tros, membranas o intercambiado-res iónicos, por ejemplo.

La forma y el tamaño de partícu-las son conceptos vinculados entre

INGENIERIA QUIMICA

436

Figura 3. Principales operaciones básicas con sólidos particulados y propiedades de éstos implicadas en la formulación fenomenológica de las mismas

Figura 4. Esquemas de flujo de información más frecuentes de las operaciones básicas. ( Las entradas representan datos o variables de conexión y diseño, y las salidas respuestas o variables de estado)

piedad, lo que dificulta notable-mente la formulación rigurosa defenómenos, el consenso entre dis-tintos autores y la certidumbre porparte de usuarios, referenciadoreso estudiosos. En la figura 6 se re-sumen algunas de estas formas[11-12], que corresponden a tresgrupos bien definidos conceptual-mente y consolidados por el desa-rrollo de técnicas de análisis gra-nulométrico diferenciadas:

- Tamaños por acotación ytransformación analítica.

- Tamaños por equivalencia geo-métrica.

- Tamaños por equivalencia fe-nomenológica.

Una manera simple de definir laforma de partículas es acudir a unadescripción verbal cualitativa nor-malizada. Tal tipo de descripción,para no resultar arbitraria o vario-pinta, ha de ajustarse a una serie decriterios, por ejemplo a glosarioscomo el BS A107:

- Indentidades geométricas: For-mas cúbicas, esféricas, elípticas,aciculares, esféricas etc.

- Características cristalográfi-cas: Sistema cristalográfico, trun-camientos, maclas, etc.

- Figuras conformacionales: Es-tándares para figuras típicas porextrusión, moldeo o mecanización.

- Formas libres: Analogía mor-fológica: globular, vermiforme, fu-siforme, etc.

Los principales descriptores deforma son:

- Factores de forma.- Coeficientes de forma.- Relaciones de forma. - Indices de forma.

Los factores de forma son rela-ciones entre magnitudes significa-tivas de cada partícula y las equi-valentes volumétricas o proyecti-vas de cuerpos utilizados como re-ferencia morfológica significativa,frecuentemente la esfera - esferici-dad, redondez, circularidad, lisura,rugosidad, angularidad - o bien porla repetición de pautas en funciónde la escala - índices fractales- ,pudiendo utilizarse otros factoresfenomenológicos, como las rela-

tanto con fines separativos comoen procesos de transferencia y re-acción química que impliquen con-tacto sólido-fluido.

- Modelos de transmisión de ca-lor y difusión molecular, particu-larmente en lechos fijos y fluidiza-dos y en sólidos porosos.

- Modelos macroscópicos de re-actividad química heterogénea yheterocatálisis.

El grupo más obvio de descrip-tores morfológicos concierne alconcepto de tamaño de partícula.La mayor parte de quienes amable-mente sigan estas líneas se habráenfrentado, y en más de una oca-sión, con un parámetro del tenor ded, D, r,R, l , L, σ, x ó X, en refe-rencia al tamaño de un pellet de ca-talizador de platino soportado, alcalibre de un poro, al diámetro me-dio representativo de una muestraparticulada cualquiera, a la estima-ción del consumo de potencia deuna trituradora, a sus propios resul-tados de un análisis mediante uncontador Coulter® o un fotosedi-mentador láser, o al tamaño eficazde un cluster o de una molécula ac-tiva recogido en cualquier manualde datos.

¿Qué representan realmente d, D, r,R, l , L, s, x ó X ?

Buena parte del tratamiento quela morfología de partículas mereceen trabajos científicos concernien-tes a sólidos particulados resulta de-

salentador. Bajo denominacionessimplificadoras como éstas, x ó d,se resume de un plumazo toda ulte-rior referencia o consideración a loque es tamaño de una partícula o ta-maño medio de un conjunto de par-tículas. Parece no demasiado infun-dada la idea de que se dan las cir-cunstancias para que haya una per-versa impermeabilidad entre los es-fuerzos de los analistas granulomé-tricos y el de quienes manejan siste-mas granulados, unos muy escrupu-losos con la puesta a punto de mé-todos cada vez más imaginativos yprecisos para la caracterizaciónmorfológica, y los otros aparente-mente más renuentes a justificar laselección crítica de métodos de aná-lisis adecuados a cada problema enparticular, y a la disciplina de unasistemática en la definición del tipode tamaño realmente concernido osignificativo en su trabajo.

Como es sabido, excepto parapartículas de geometría sencilla(esferas - burbujas, gotas, esferoli-tas - y poliedros - cristales-) o con-vencional (estándares conforma-cionales, como rellenos o piezasmecanizadas según patrones), for-ma y tamaño son dos conceptos re-lativos, aunque vinculados, ya queexisten múltiples posibilidades deacotación geométrica o de medi-ción fenomenológica que seríanprácticamente imposibles de con-jugar si no existiera un criterioacerca de la forma. Desafortunada-mente, forma y/o tamaño se resis-ten, en la mayor parte de los casos,a ser descritos por una única pro-

INGENIERIA QUIMICA

438

- Propiedades morfológicasTamaño, Volumen, SuperficieForma, Uniformidad- Propiedades texturalesRugosidadPorosidad, TortuosidadArea específica- Propiedades estructurales(Mecánicas y reológicas) Masa unitaria, DensidadesRigidez, Elasticidad, Plasticidad, Fluidez,Cohesión,DurezaHomogeneidad, Isotropía- Propiedades térmicasSusceptibilidad térmica, Dilatación Calores específicos, Calores de transiciónConductividad térmica- Propiedades eléctricas y electromagnéticasConductividad eléctricaSusceptibilidad dieléctricaColor y brilloEmisividad, Absorbancia, Transmitancia, Reflectancia

Figura 5. Principales propiedades delos sólidos particulados coninterés analítico,de operación o de diseño

equivalentes. Se representan nor-malmente en la literatura por lossímbolos α o f, y se recomiendahacerlo con dos subíndices, unoque hace referencia a la magnitudmorfológica y otro que hace refe-rencia al tipo de dimensión linealcaracterístico elegido. Por ejem-plo, el volumen de una partículaestá relacionado con el cubo deldiámetro de la esfera de igual vo-lumen a través del coeficiente fvv =π/6, y la relación de diámetros en-tre la esfera de igual superficie y lade igual volumen a través del coe-ficiente fPP = 6 .Por el contrario, sise trata de relacionar una magnitudmorfológica con una magnitud li-

ciones de compactado de Kaye, lapivotabilidad de Shepard y Youngo la rodabilidad.

La esfericidad es un conceptovolumétrico introducido por Wad-del, definida como la relación entrelas áreas superficiales de la esferaisócora y la de la propia partícula.Al no ser fácilmente aplicable estadefinición, en la práctica se han in-troducido otras formas simplifica-das basadas en relaciones entre ra-dios de curvatura de círculos inscri-tos en la silueta de la partícula o, deuna forma más sencilla, en relacio-nes entre dimensiones fácilmentemedibles, como largo, ancho ygrueso. Estimaciones numéricasbasadas en relaciones poderadas delas distintas acotaciones posiblesson el grado de redondez de Wa-dell, la relación de redondez deWentworth, el índice de redondezde Cailleux y el índice de elonga-ción de Schneiderhölm. Existentambién otras formas afines, comola relación de aspecto centroide, ladesigualdad, la asimetría y la pro-pia rugosidad, definida ésta paracontemplar las alteraciones morfo-lógicas superficiales de inferior or-den de magnitud que las dimensio-nes globales de la partícula, formu-lándose generalmente como rela-ción del tamaño medio de las irre-gularidades superficiales a la cotamáxima o a un diámetro equivalen-te, o como relación entre áreas rea-les y áreas de figuras lisas envol-ventes. Sin embargo, y al igual quesucede con la circularidad, la medi-da directa según la definición es re-lativamente difícil, y se ha recurri-do a aproximaciones proyectivas,como la esfericidad práctica de Wa-dell, la esfericidad de intersecciónde Krumbein y Laird, la esfericidadde Sneed y Folk y la esfericidadproyectiva de Riley, entre otras.

La circularidad es un conceptoplanar introducido por Wentworth,que en el algunos textos se deno-mina también como redondez, einclusive coincide con algunas for-mas de expresar la angularidad olisura; se define como la relaciónentre los perímetros del círculo deigual superficie proyectada que lapartícula y el propio perímetro dela partícula. En la práctica se dis-pone de gráficos que permiten una

fácil estimación visual, con unerror similar al que se produciríatras un laborioso cálculo, de corre-laciones para clasificar las partícu-las en función de sus relaciones di-mensionales, así como de algorit-mos para una satisfactoria interpre-tación analítica de imagen, bien es-pacial o bien de proyección.

Los coeficientes de forma sonlos coeficientes numéricos que re-lacionan una magnitud, como lalongitud, la superficie, el volumeno el área específica, con la corres-pondiente potencia de una magni-tud lineal característica, como pue-de ser cualquiera de los diámetros

INGENIERIA QUIMICA

440

Figura.6. Principalesdescriptores dimensionalesde partículas

sión de los valores es muy grande,por lo que otros recursos estadísti-cos como los valores mediana, mo-da o los momentos de orden supe-rior, como los que sirven para ca-racterizar la dispersión, simetría oforma de la distribución, sirven deinformación complementaria paradescribir algo más satisfactoria-mente un conjunto de partículas.

Cualquier experimentalista dis-pone de suficientes datos propioscomo para ilustrar ejemplos de sig-nificativas diferencias entre distin-tas formas de interpretar los datos.Tomando un ejemplo de la propiabibliografía [9] puede encontrarseque la misma muestra podría ilus-trarse por los siguientes descripto-res, conservando la terminologíaoriginal (porque también convienereferirse a las incertidumbres cau-sadas por una difícil trasposiciónidiomática): arithmetic mean 12,2µm, count median diameter 10,0µm, surface mean diameter 14,9µm, volume mean diameter 17,9µm, volumen-surface mean diame-ter 25,4 µm, weigt mean 34,2 µm,median diameter by weight 31,0µm. Puesto que la distribución seaproxima a una log normal, las es-timaciones efectuadas de acuerdocon algunas relaciones teóricas [1]no presentan desviaciones superio-res al 5%.

¿A qué tipo de diámetro se refieren estos valores?; ¿es lomismo XVA para Allen [1] quedav para Coulson [2]?; ¿qué significa y qué sentido físico tiene una media aritmética ouna media geométrica?; ¿quécambia si cambiar la posicióndel descriptor de calidad, por

ejemplo, entre los términos frecuentes surface meany meanby surface?; ¿se pueden inferirunos de otros y cómo hacerlo y

traducirlo adecuadamente ?

a) Elementos formales

Un análisis granulométrico, co-mo cualquier otro espectro, constade un descriptor cualitativo o pro-piedad (P, generalmente en absci-sas) y un descriptor cuantitativo ofrecuencia (Y, generalmente en or-denadas). Las dimensiones en L deuno y otro ( πy j, respectivamente,

neal no definida coherentemente,por ejemplo, el volumen con el ta-maño de Stokes o con la luz de ma-lla, los valores de los coeficientesde forma toman valores más com-plicados, inclusive adoptan formasno cuantificables analíticamente.En tales casos ha de acudirse a ta-blas de datos o a procedimientosde cálculo y estimación, como lacorrelación de Heywood en fun-ción de factores de forma (esferici-dad, relación de elongación o rela-ción de grosor), y otras análogas.

Finalmente, las relaciones deforma no son más que cocientesentre distintos parámetros de tama-ño para la misma figura, y general-mente son relaciones entre cotas orelaciones entre las distintas for-mas de los diámetros, por lo quevarios de ellos son también facto-res de forma (esfericidad) o coefi-cientes de forma (índice granulo-métrico n, n = Do/Dp), generalmen-te datos empíricos recogidos en ta-blas, nomogramas o gráficos [11].

Buena parte de los descriptoresde tamaño están relacionados recí-procamente por fórmulas exactas opor correlaciones empíricas relati-vamente sencillas [11-12]. Cuandolas partículas son funcionalmenteisomórficas, las diferencias cuanti-tativas entre unos y otros descrip-tores suelen ser poco importantes,como el lector interesado podrácomprobar con lápiz y papel, se-leccionando geometrías capricho-sas o esterotipadas que cumplaneste requisito.

En otros casos, en partículas noisomórficas, las diferencias pueden

ser mayores. Permítase un ejemplocolateral: El Elogio de Horizontees una típica obra de Eduardo Chi-llida, construida en cemento arma-do y sustanciada en una figuraabierta, de 10 m de altura y 500 t,fuertemente cimentada en un cerrocostero, que se ha ido consolidan-do en estos últimos años como unmonumento emblemático de laciudad de Gijón. Anticipándose alas más diversas valoraciones y ca-lificativos que toda obra artística,particularmente de esta envergadu-ra y ubicación, suscita en el espec-tador soberano, el autor declaraba-ya en la inauguración de la escul-tura- que “cualquier interpretaciónde (su) Elogio podría ser tan váli-da como la (suya) propia”. Con es-ta autorización genérica, y sin en-trar en el análisis químico, estruc-tural , armónico, visual o acústicodel objeto -sobre lo que no deja dehaber bibliografía-, un análisis mor-fológico simplificaría la valoraciónde la forma prosaica que se muestraen la, también, diversidad de crite-rios resumidos en la figura 7.

3.2. Descriptores de conjuntos –––––––––––––––––––––––––––––––

La caracterización de conjuntosde partículas se hace a través de losrecursos de la estadística descripti-va, atribuyendo a la población o ala muestra las características deuna partícula representativa.

No es preciso insistir demasiadoen imprecisión que este tipo de ge-neralización implica cuando se tra-ta de conjuntos integrados por po-cos elementos o cuando la disper-

INGENIERIA QUIMICA

442

Area específica= 2 m2/m3 fvv = 0,52Esfericidad espacial= 64% fvs = 0,14Da xz = 9,75 m fss = 3,14Da xy = 7 m fsv = 1,04Ds = 11,25 m fpp = 6,00Dv = 7,25 m fps = 22,24Dp = 3 m fpv = 14,52

Figura 7. Arte y morfología de sólidos con-formacionales:Una contribucióna la ficha técnica de “El elogio del horizonte” de Chillida

embargo, se han conseguido algu-nas aproximaciones teóricas y em-píricas que permiten salir del paso(como la relación de Withe-Hatch-Choate [1,9-12], por ejemplo).

En la figura 9 se resumen losdos principales tipos de tamañosmedios sobre la base de la infor-mación suministrada por cualquiersistema de análisis granulométrico[14]. El descriptor cualitativo esuna función sencilla del tamañoequivalente Dδ (generalmente unavariante de las descritas en la figu-ra 8) significativa en el fenómenodiferenciador de la técnica analíti-ca, mientras que el descritor cuali-tativo es la propiedad Y detectadapor el medidor. Por ejemplo, enanalizadores sedimentométricos[15-17] se miden diámetros isoci-néticos (frecuentemente tamañosde Stokes) en frecuencia numérica(contadores), superficial (opacíme-tros) o másica (balanzas).

b) Medias ponderadas

Se suelen representar [12] conel símbolo del descriptor indivi-dual Dδ entre corchetes < >, indi-cando como subíndices la funciónde ponderación ε (generalmente,sólo se indica si ésta es funcional)y la propiedad Y utilizada comocriterio de frecuencia. Por ejemplo,si para describir el resultado de untamizado se recurre al diámetromedio gravimétrico (Mean sieve

en la figura 8) sirven ocasional-mente para clasificar el tipo deanálisis (por ejemplo, 10: tama-ño/conteo; 03: forma/pesada, 33volumen/volumen). Suponiendoque el criterio para medir el tama-ño o la forma de cada elemento es-té resuelto, y sea suficientementeexplícito, existen otras dos cuestio-nes más, previas a cualquier cálcu-lo de momentos: la definición de laescala funcional y el convenio so-bre el peso estadístico de los valo-res individuales. Si bien la elec-ción parece libre a priori, de he-cho, el elegir uno u otro criteriocondiciona los resultados cualitati-va y cuantitativamente, por lo queno han de perderse de vista, a pesarde su buena parte de convenciona-lidad, los fundamentos estadísticosde cada uno de ellos. Es decir, hade elegirse el algoritmo de mediaestadística que realmente represen-te la media fenomenológica.

La escala lineal es la más senci-lla y suele utilizarse sin demasia-dos escrúpulos para distribucionesdel mismo orden de magnitud. Encambio, para distribuciones en lasque entre la mayor y la menor delas partículas puede existir una ra-zón superior a 10, las medias fun-cionales tienden a agrupar mejorlos valores, reduciendo sesgos y,generalmente, desplazando las me-dias hacia valores más bajos. Deentre las medias no lineales másutilizadas, la geométrica o logarít-mica y la armónica, la primera sue-le ser la más utilizada para la ca-racterización de conjuntos de partí-culas de amplio intervalo de tama-ños, existiendo variantes prácticas,como la escala Φ (logarítmica enbase 2 de tamaños en mm, utiliza-da con secuencias de luz de mallanormales en tamizado), que no sonmás que formas arbitrarias de nor-malización de los valores de estecampo transformado. Las mediasarmónicas o proporcionales, vin-culadas a dependencias funciona-les del inverso de la dimensión li-neal característica, no son de usofrecuente en morfología de partí-culas, pero sí en morfología de po-ros, por razón del tipo de modelosfenomenológicos empleados (porejemplo, la ecuación deWasburn[13] para interpretar la intrusiónisotérmica de mercurio).

En cuanto a los criterios deponderación o frecuencia, como seindicó someramente líneas atrás,existen varias posibilidades deelección de la magnitud extensiva,expresada convencionalmente porsus dimensiones en la forma Lj:atribuir el peso estadístico al nú-mero (j = 0) de partículas de un de-terminado tamaño, o a la masa ovolumen (j = 3) de partículas dedeterminado tamaño, o a la super-ficie (j = 2) o a su momento (j = 4).Obviamente de recurrir a los mo-mentos de orden n positivo supe-rior se realza el peso estadístico delas partículas mayores, mientrasque los de orden negativo, como lasuperficie específica, j = -1, realzael peso estadístico de las menores.El experimentador puede elegir asu conveniencia, según los crite-rios de análisis o sus posibilidadesinstrumentales, pero no deja de ha-ber una cierta ambigüedad en todoello, por lo que es conveniente sermuy explícito en la descripción delos criterios seguidos cuando sepresentan o manejan "valores me-dios".Por tratarse de valores esta-dísticos (es decir, de funcionesaplicadas a numerosos elementos)el problema de conversión de unasmedias en otras es irresoluble conexactitud, salvo en el caso de lasmedias logarítmicas y sólo por ra-zón de las propiedades de estatransformación, cuestión analizadafrecuentemente por los autoresmás relevantes que se citan. Sin

INGENIERIA QUIMICA

444

Figura 8. Resumen deconceptos formales implicados en un análisisgranulométrico

gún un determinado criterio de fre-cuencia Y. Así, se pueden conside-rar partículas de área equivalenteal área media del granel o a su vo-lumen medio y ser equivalentespor conteo, por gravimetría o porcualquier otro criterio, lo que im-plica valores diferentes, en ocasio-nes muy diferentes. Se han desig-nado estas medias con el símboloDδ, bajo una raya que representaeste tipo de media, y los subíndices

pY, donde Y se refiere a la magni-tud que representa el criterio defrecuencia de cada clase (masa, vo-lumen, conteo...) y p se refiere a lapropiedad (cuya dimensión en L esπ) en que la hipotética partícula esequivalente al conjunto de la sus-pensión.

Así, por ejemplo, el diámetro dela partícula de volumen equivalen-te a la media numérica, o por con-teo, de la muestra (number volumemean diameter) sería, mantenien-do las suposiciones ya hechas, esdecir, partículas isomorfas medi-das por tamizado:

expresión deducida de la defini-ción; Si todas las partículas fueseniguales a la media en cuestión, elvolumen de la muestra sería:

Vtotal(muestra real) = ∑ (fvoDi)3._ni

Vtotal(partículas iguales a la representativa) =

= fvo(Dnv)3ntotal

Análogamente se podría definiren partícula media representativade la superficie por un criterio má-sico (mass mean surface diameter):

Como se ha dicho, las partículasisomórficas tienen iguales valoresde f con independencia de su tama-

ΦD5∑ΦD3∑

=f soD2( )

i∆ f voD3( )∑

f so ρ ∆f voD3( )∑=

Dms =f soD2( )

i∆m i∑

f so ∆m i∑=

f soD2( )i∆viρ∑

f so ρ ∆vi∑=

=Di

3∆n i∑∆n i∑

3 = D30

Dnv =ϕDi

3( )∆n i∑f vo ∆n i∑

3 =f voD3( )

i∆n i∑

f vo ∆n i∑3 =

diameter by weight) se está carac-terizando el conjunto por un pará-metro definido así:

siendo: dx^ la fracción másica decada elemento, es decir, por unamedia basada en la fracción mási-ca que existe de cada tamaño. En lapráctica habría un número discretode tamices, por lo que la funciónno será continua y se podrá escri-bir, por aproximación, atribuyendoa cada clase un tamaño y un pesoestadístico:

o bien, si la densidad es unifor-me para todas las partículas, conindependencia de su tamaño

siendo: Di el tamaño nominal decada tamiz i (dos tamices consecu-tivos definen una clase), ∆mi la ma-sa retenida en ese tamiz (peso decada clase) y ∆vi el volumen equi-valente a esa masa. Para simplificarla nomenclatura, D representa el ta-maño de tamizado o luz de mallaDo i y ϕ el correspondiente coefi-ciente de forma (shape coefficient),fvo, ya analizado previamente.

De acuerdo con esto, el diáme-tro medio en masa o en volumenresultan ser una función que puederepresentarse de forma simplifica-da para densidad constante:

Si todas las partículas son mor-fológicamente análogas, es decir,con igual valor de su coeficiente deforma, la expresión puede simplifi-carse sacando factor común, adop-tándose el convenio de que los su-

D m =ϕD4∑ϕD3∑

=Di ∆v i∑v total

=Di ∆ ϕ D( )3[ ]∑

∆ ϕ D( )3[ ]∑

D m = D v =Di ∆v i∑

∆v i∑=

D m =D

i∆mi∑

∆mi∑=

Di ∆mi∑mtotal

D m = Dd∫ x̂

bíndices representen las dimensio-nes de la magnitud longitud en lasfunciones que aparecen en nume-rador y denominador.

Si el tamizado se hubiera reali-zado por conteo es obvio que se hu-biera preferido otra media (meansieve diameter by count), cuya de-finición sería distinta:

Podría definirse la media basa-da en la longitud (mean sieve dia-meter by length) <D>L u otras me-dias basadas en momentos o cual-quier otra definición. Si bien aca-démicamente ello es aceptable, enla práctica alguna de estas defini-ciones podría ser artificiosa (de he-cho podría utilizarse una media ba-sada en la longitud en el caso defracciones moleculares de cadenaspoliméricas o de fibras, pero no esfrecuente hacer un escáner con losrechazos de una serie de tamices).

Si la distribución se ajusta a laforma logarítmica estaría justifica-do recurrir a las medias geométri-cas (geometric mean sieve diame-ter by count).

La terminología inglesa, que pa-rece razonable adoptar como refe-rencia, obedece con frecuencia alcriterio genérico indicado en la figu-ra 9. Las medias logarítmicas suelendenominarse indistintamente geo-metric mean o median por razón delsignificado de su coincidencia en elcaso de distribuciones logarítmiconormales, mientras que el criterio deponderación suele venir precedidopor la oportuna preposición.

c) Medias representativas

Un tamaño medio representati-vo de una determinada propiedadglobal P es el tamaño de una partí-cula que tuviera el mismo valor dela propiedad que el conjunto, ate-niéndose a su peso estadístico se-

D log ,n =antilog

log Di( )∑ ∆ni

∆ni∑

Di n

=Di∆ni∑

∆ni∑≡

Di∆ni∑nt

D m =Di

4∑Di

3∑

INGENIERIA QUIMICA

446

168-152-149-129-148-175-168-104-144-134-145-137-131-122-153-149-169-132-147-150-152-140-118-161-153-177-146-152-112-140-145-l52-151-145-112-162-188-156-160-170-165-156-157-161-155-162-155-170-160-172-158-155-182-132-115-180-117-116-113-145-181-132-137-140-128-129-131-144-111-116-101-105-110-162-159-164-166-110-171

se obtienen resultados menosdiscrepantes:

- Descriptores de dispersión:

ño, por lo que las expresiones sepueden simplificar notablemente.

d) Discusión

Es preciso hacer algunas obser-vaciones. En primer lugar, las me-dias representativas de longitudcoinciden con las correspondientesmedias ponderadas (la potenciaπ=1); por ejemplo XNL, numberlength mean [1] y dav arithmeticmean [9], por lo que la nomencla-tura se podría simplificar. En se-gundo lugar, y como se ha visto enestos ejemplos, la nomenclaturainglesa suele hacer anteceder elcriterio de ponderación al nombrede la propiedad representativa, pe-ro esto no es general - el mismodescriptor puede aparecer en lamisma obra como volume mean ocomo number volume mean, mien-tras que weight mean no coincidecon volume mean porque el primertérmino se refiere a lo que deberíahaberse denominado mean bymass. En tercer lugar, se puedecomprobar que sólo tienen sentidofísico claro las formas medias re-presentativas D10, D20, D30, D40,D21, D31, D41, D32, D42 y D43.

De una forma simplificada, to-das ellas obedecen a una fórmulageneral:

y sólo las formas Db+1,b puedenpertenecer simultáneamente a am-bos grupos, diámetros poderados ydiámetros representativos.

Tampoco es ésta una soluciónbiunívoca, ya que suelen confun-dirse dos de los tres tipos de mediasrepresentativas indicados en la fi-gura 9, que -a pesar de su similituddiomensional- son diferentes con-ceptual y numéricamente: así lamedia D43 podría representar, ade-más de los conceptos tamaño repre-sentativo de la longitud media envolumen (mass or volume lengthmean) y media en volumen (meanby volume or by mass) el conceptode tamaño representativo del mo-mento específico (volume momen-tum mean, XVM en [1], que no dalugar a otra incertidumbre añadida

Dab =ΦDa∑ΦDb∑

1a−b

sólo por el hecho de que el concep-to que tal denominación podría re-presentar estrictamente, D73, no re-sulta frecuente, aunque no deje decarecer de sentido físico.

En general, para distribucionesde tipo log normal se suelen obte-ner las pautas de la figura 10, sinembargo, cuando se aplican estosconceptos a distribuciones de esca-sa dispersión, como por ejemplo lasiguiente:

113-126-139-171-119-134-170-144-153-l75-126-180-139-126-149-117-154-122-137-140-142-

INGENIERIA QUIMICA

448

Figura 9. Principales

tipos (dos tiposy una variante)de descriptoresestadísticos de

conjuntos departículas

Fig.10. Ejemplo

ilustrativo de la diferencia

que puedeexistir entre

distintos descriptores

poblacionalespara una

misma muestra

[7] Leitzelement, M., Larson, K. y Dodds, J.“Quelques experiences practiques d’analyse departicules par chromatographie hydrodynami-que”. Analusis 2, (5), 260-265 (1984).

[8] Rhodes, M. Principles of Powder Technology.John Wiley & Sons. West Sussex. England (1990).

[9] Stockham, J.D. “Particle Size Analysis”. AnnArbor. Michigan (1979).

[10] Svarovsky, L. Handbook of Powder Techno-logy. Volumen 5. Elsevier Science PublishersB.V.-Amsterdam. (1985).

[11] Bueno, J.L. y Dizy J. “Correlation for shapeand size of individual particles”. J. Bulk Solids &Powder Technology, 11, 4, 1-8. (1987).

[12] Bueno, J.L. y Gutiérrez, C. “Propiedades mor-fológicas de fases particuladas”, INGENIERIAQUIMICA nº 259, 299-307, octubre (1990); “Ca-racterización de partículas por su forma y tamaño”,INGENIERIA QUIMICA. nº 265, abril (1991).

[13] Lowel S., Shields J.E. “Powder surface areaand porosity”. Chapman & Hall. N.Y. (1984).

[14] González Posada, L. y Bueno, J.L. “Estudiocomparativo de procedimientos de análisis granu-lométrico” (1994); Tesis de Licenciatura. Univer-sidad de Oviedo. 2001, en prensa.A bars-code-li-ke classification useful in the reference to labora-tory and commercial granulometric procedures.Powder Technology.

[15] Bueno, J.L., Lavin, A.G., Coca, J. “Teoría ypráctica de la sedimentación II: Operaciones desedimentación individualizada”; INGENIERIAQUIMICA. 210, 131-139 (1986).

[16] Bueno, J.L., Lavin, A.G. y Dizy J. “Advanta-ges of estimating settling rates of fine particleswith nomographs”, Hydrobiologia 325, 47-63(1996).

[17] Bueno, J.L., Lavin A G., Coca, J. “Un mode-lo de elutriador ideal y su aplicación en análisisgranulométricos”. Latin American Applied Rese-arch 24, 99-108 (1994).

Rango: 87Desviación promedio:17.57Desviación típica 21.5Inexactitud sobre supuesto de

uniformidad (error medio) 2.16

- Descriptores de simetría

Sesgo: -0.0126; curtosis = -2.26

- Descriptores de posición:

Media aritmética: 145; moda:150; mediana: 147,5

D10= 145.7; D20= 169; D30=148.6; D21=137,15; D32= 146,7;D43= 154,5

“La experimentación es un mo-lino que todo lo muele, pero inca-paz de sacar harina de trigo degranos de cebada”. T.Huxley.

Una primera conclusión con-cierne al tipo de descriptores. Po-dría concluirse que cada fenómenorequiere un tipo de tamaño repre-sentativo en ese fenómeno y que,por tanto, hay tantos tamaños re-presentativos o equivalentes comofenómenos sobre los que describirgradación y equivalencia. (Esto nodebiera representar ninguna difi-cultad conceptualmente diferentepara quien esté acostumbrado aque existen tantas áreas BET comoadsorbatos y tantas densidades co-mo presiones y fluidos de intru-sión). Por tanto, y si los analizado-res granulométricos no son másque operaciones básicas operandoen modo invertido, las únicas gra-nulometrías significativas sonaquellas obtenidas con analizado-res basados en una fenomenologíaidéntica o afín al fenómeno en elque se hayan de aplicar (de pocosirve un análisis de imagen para di-señar un electrofiltro, y de pocodatos de electrozona para valorarun lecho catalítico).

“Los experimentadores se con-fían porque consideran los algorit-mos estadísticos como estricta-mente demostrados por los mate-máticos, y éstos se crecen creyendoque su simple uso es una justifica-ción experimental de su consisten-cia” H. Poincaré.

4. Conclusiones

La segunda conclusión concier-ne al sentido físico de los algorit-mos de interpretación de datos yno necesita más comentario.

La tercera conclusión parececonfirmar el pensamiento de Hey-wood enunciado hace ya casi cua-renta años: “El estado actual de laciencia de sólidos particulados estáen un similar grado de desarrolloconceptual y metodológico que laQuímica en la época de Lavoisier”.

Es probable que nunca una des-cripción fenomenológica necesa-riamente multifuncional pueda des-cansar en el conocimiento de laspropiedades intrínsecas de la mate-ria al nivel corpuscular y cuánticoque hoy día, en pos del descubri-miento de pocas grandes leyes de lanaturaleza, explora con tanta fortu-na la química-física. Es muy difícilque la ciencia de sistemas particu-lados encuentre algún día el cierrecategorial que para la química ele-mental supuso completar el sistemaperiódico. Sin embargo, es muyprobable que, gracias a las teoríasde la semejanza, nuevos enfoquesfuncionales que se han evidenciadotan afortunados en otros campos,sean trasponibles a éste.

Enlazando con el título de estetrabajo, es imprescindible que sím-bolos y lenguajes diversos repre-senten etimologías y enfoques en-riquecedores y que no se convier-tan en dificultades añadidas y gra-tuitas.

[0] Bueno, G. “Teoría del cierre categorial”. Pren-sa Ibérica (1992).

[1] Allen, T. y Davies, R. “Evaluation of Instru-ments for Particle Size Analysis”. Dupont Engi-neering Services, Wilmington, Delaware.USA.,13-18 (1981).

[2] Coulson, J.M., Richardson, J.F., Backhurst,J.R. y Harker, J.H. Chemical Engineering. Perga-mon Press. N.Y. (1979).

[3] IUPAC. “Recomendations for the characteri-zation of porous solids”. Pure &Appl. Chem. 66,8, 1739-1958 (1994).

[4] Bueno, J.L. En preparación. Tecnología dePartículas: Introducción a las Operaciones con só-lidos. Ed.Síntesis, Madrid (2002).

[5] Beddow, J.K. Particulate Science & Tecno-logy. Chemical Publishing Co. Inc. New York.USA (1981).

[6] Kaye, B.H. Direct Characterization of Fine-particles. John Wiley & Sons.-New York. (1981).

5. Referencias

INGENIERIA QUIMICA

450