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7/25/2019 Tarea 1 DSP.pdf

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Tarea #1 ELO-313Procesamiento digital de seales con aplicaciones

Felipe vila Crcamo 201121002-6

I. Evaluacin de propiedades de sistemas

Para el presente problema, se estudian 3 archivos de MATLAB precompilados bbox1.p, bbox2.py bbox3.p, los cuales son 3sistemas desconocidos o cajas negras, y de las cuales se quieren hacer pruebas para determinar propiedades caractersticas,como linealidad, invarianza en el tiempo, causalidad y estabilidad.

Linealidad:

Para probar la linealidad de los sistemas estudiados, se sigue la sugerencia dada de excitar los sistemas con ruido blanco,para as asegurar excitaciones ricas en frecuencia. Para esto se toman dos entradas, llamadas x1(t) y x2(t), generadas conel comando de MATLAB wgn(m,n,p) siendo sus argumentos m, n la dimensin del vector (o matriz), y p la potencia endB con respecto a 1[W]. A cada entrada se le asocia una salida de la forma yn =bboxN(xn), con n= 1, 2y N = 1, 2, 3. Asu vez se emplea una tercera entrada denominada y3 =bboxN(x3), con x3(t) =a x1(t) +b x2(t), entonces si se tiene quey3=a y1+b y2 para algn a, b, entonces el sistema se considera no lineal, o sea:

bboxN(a x1(t) +b x2(t)) =a bboxN(x1(t)) +b bboxN(x2(t)) bboxN() Es no lineal (1)En las siguientes imgenes, se observarn en azul el resultado de a y1+b y2 y en rojo el resultado de y3.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1150

100

50

0

50

100

Tiempo [s]

Amplitud

Respuestas de bbox1() a ruido blanco

ay1 + by2y3

(a) Respuestas obtenidas (b) Respuestas con zoom

Figura 1: Prueba de linealidad sobre bbox1()con 2 entradas de ruido blanco.

Se observa que no hay diferencia alguna (no se aprecia la grfica en azul dado que coincide con la respuesta en rojo),aunque esta prueba no es suficiente para afirmar linealidad de bbox1().

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2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 14

3

2

1

0

1

2

3

4x 10

4

Tiempo [s]

Amp

litud


ay1 + by2y3

(a) Respuestas obtenidas (b) Respuestas con zoom

Figura 2: Prueba de linealidad sobre bbox2()con 2 entradas de ruido blanco.

Tal como en el caso debbox1(), ambas respuestas debbox2()son similares, pero no basta para afirmar linealidad del sistema.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 140

30

20

10

0

10

20

30

40

Tiempo [s]

Amplitud


ay1 + by2y3

(a) Respuestas obtenidas

4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8

x 105

15

10

5

0

5

10

15

Tiempo [s]

Amplitud

Respuestas con zoom de bbox3() a ruido blanco

ay1 + by2y3

(b) Respuestas con zoom

Figura 3: Prueba de linealidad sobrebbox3()con 2 entradas de ruido blanco

En este caso, claramente se aprecia en las respuestas con el zoom hecho que existen discrepancias, por lo tanto el sistemabbox3()es un sistema no lineal, pues basta un caso en el cual exista discrepancia entre las respuestas analizadas para hacerla afirmacin. Para los sistemas bbox1()y bbox2()no bastaba con esta prueba para afirmar linealidad, pues las respuestasestudiadas deben ser iguales para cualquier tipo de seal en el tiempo.

Invarianza en el tiempo:

Para hacer la prueba de invarianza, se debe demostrar el supuesto que para cualquier parmetro Rque:bboxN(x(t)) = y(t) bboxN(x(t )) = y(t ) (2)

O sea, que un corrimiento (hacia la izquierda o derecha) en la entrada del sistema, genera la misma salida corrida la mismacantidad de tiempo que la original. Para esto se usan entradas sinusoidales en los sistemas, y se obtienen las siguientes figuras,siendo en azul la respuesta y(t 0.2), siendo y(t) = bboxN(x(t))la salida antre la entrada sinusoidal sin corrimiento, y enrojo la respuesta de la sinusoide con corrimiento hacia la derecha de 0.2[s] bboxN(x(t 0.2)):



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3

0 0.2 0.4 0.6 0.8 16

4

2

0

2

4

6

Tiempo [s]

Amp

litud

Prueba de invarianza para bbox1

y(t 0.2)bbox1(x(t 0.2))

Figura 4: Respuestas obtenidas para bbox1().

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.910

0

10

20

30

40

50

Tiempo [s]

Amplitud


y(t 0.2)

bbox2(x(t

0.2))


0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Tiempo [s]

Amplitud


y(t 0.2)bbox3(x(t 0.2))


Claramente, para las cajas negrasbbox1y bbox3no se aprecian los dos grficos pues al estar superpuestos y ser exactamenteiguales, slo se observa un color, por lo que esta prueba no es suficiente para decir que son variantes en el tiempo (y tampoco



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4

invariantes, pues la demostracin debe ser para cualquier corrimiento, y para cualquier tipo de entrada). Por otra parte, lasrespuestas obtenidas para bbox2presentan diferencias, las cuales basta para afirmar que el sistema es variante en el tiempo.

Causalidad y estabilidad.

En esta seccin, se evaluar la causalidad y estabilidad de los sistemas. Para esto, se excitarn los sistemas con respuestasa impulsos, siendo el impulso generado como [zeros(1, 29), 1, zeros(31, 60)]. Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

0 10 20 30 40 50 600

0.5

1

1.5

Amplitud

Muestra

Respuestas de bbox1() a impulso

(a) Respuesta a impulso bbox1

0 10 20 30 40 50 601

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Amplitud

Muestra


(b) Respuesta a impulso bbox2

0 10 20 30 40 50 601

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Amplitud

Muestra


(c) Respuesta a impulso bbox3

Figura 7: Respuestas a impulso de los sistemas dados.

Comenzando el anlisis de los grficos mostrados con el sistema bbox1dado que es el nico sistema invariante y lineal, seobserva que la respuesta tiene forma de una progresin geomtrica (analizando los datos) desde el instante en que se aplicael impulso (muestra [k] = 30). Siendo en un principio igual a

2y disminuyendo con razn de 0.74por cada muestra. Por

lo que se puede decir que su respuesta a impulso en este caso queda descrita por h1 =

2(0.74)n30(30 n), con () lafuncin escaln unitario. Para el caso la condicn de estabilidad BIBO puede ser probada mediante:

n=

|hN[n]| < (3)

Y dado que la progresin geomtrica en este caso es de razn estrictamente menor a 1, entonces la sumatoria presentada esacotada, por lo que el sistema es estable. Cabe recalcar como el sistema eso s no es causal, dado que la respuesta entregadaaparece en instantes anteriores al cual el impulso es recin aplicado. Basta este contraejemplo para asegurar que bbox1

entonces es no causal. En resumen entonces bbox1 hasta ahora es lineal, invariante, estable en sentido BIBO pero no escausal, siendo un ejemplo claro de la independencia de estas propiedades en sistemas.Por otra parte para bbox2(), tal como en el ejemplo anterior se aprecia que existe respuesta en instantes anteriores al cual seaplica el impulso, por lo que basta como contra ejemplo para asegurar que el sistema no es causal. A su vez, dado que es unsistema variante en el tiempo, no basta la respuesta a impulso para asegurar su estabilidad.Por ltimo, para bbox3()presenta una respuesta a impulso igual a cero en todo instante para las muestras adquiridas. Dadoque el sistema es no lineal, no se puede concluir ni estabilidad o causalidad con el grfico obtenido.



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5

II. Inversin de sistemas

Sea un sistema y = SA(x)dado por y [n] = 12y[n 1] x[n].

Parte A:

Se pide obtener una expresin para el sistema inverso y = SB(x) de modo tal que [n] = SB(SA([n])), donde [n]representa el impulso en tiempo discreto. Siendo un sistema lineal, se quiere entonces encontrar un SB(x) tal que anule el

efecto de SA(x)para cualquier x[n]. Para obtener el sistema se usa la herramienta de la transformadaZ, que en el caso estil, dado que como el sistema SA(x) es lineal, basta encontrar su respuesta a impulso con la transformadaZ despejandoel cociente Y(z)/X(z), para luego as invertir la expresin y volver a componer la ecuacin de diferencias, siendo la querepresente entonces al sistema SB(x). Entonces, aplicando la transformadaZse tiene:

y[n] = 1

2y[n 1] x[n]/Z (4)

Y(z) = 1

2z1Y(z) X(z) (5)

Y(z)

X(z)=HA(z) =

11

2z1 1 (6)

Por lo tanto y como se dijo anteriormente, se desea entonces un HB(z)tal que es (HA(z))1, entonces:

HB(z) = Y(z)

X(z) =

1

2z1 1 Y(z) =X(z)

1

2z1 1 (7)

y[n] = 12

x[n 1] x[n] (8)Siendo entonces la ltima ecuacin presentada el sistema inverso SB(x)buscado.

Parte B:

Se pide crear funciones en MATLAB que implementen los sistemasSA(x)y SB(x)para cualquier entradax[n], y posteriorobtener las respuestas de impulso de SA, SB y SB(SA).Para el desarrollo de las funciones, se considera nicamente entradas causales, y que para ambos sistemas SAy SBse inicializala salida en un principio, siendo para las muestras n = 0 y[0] = x[0] = 0, y como xes causal, para las muestras n < 0setiene salidas nulas. Las funciones se pueden observar en el anexo, seccin II.Con estas funciones, graficando las respuestas a impulso se obtuvieron los siguientes resultados:



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6

(a) Sistema SA(x)

0 5 10 15 20 25 301

0.5

0

0.5

Muestra

Amplitud

Respuesta a impulso del sistema SB(x)

(b) Sistema SB(x)

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Muestra

Amplitud

Respuesta a impulso del sistema SB(SA(x))

(c) Sistema SB(SA(x))

Figura 8: Respuestas a impulso de los sistemas pedidos.

En los casos, el impulso se consider sin ceros a la izquierda del instante en que se dispara, dado que los sistemas soncausales. Observando el tercer grfico de la figura(8c) se aprecia que se obtiene la entrada original, demostrando as que elsistema SB es el inverso de SA, logrando recuperar el impulso de tiempo discreto.

III. Integrales y derivadas en tiempo discreto

Se planea estudiar los siguientes sistemas en tiempo discreto: La derivada dado por el sistema y= S1(x)donde y (t) = ddtx(t). La integral dada por el sistem y = S2(x)donde y(t) =

t

x()d.

Parte A:

En esta seccin se busca formular sistemas en tiempo discreto que aproximen los formulados en tiempo continuo presentadosen el enunciado S1y S2. Se comenzar con el anlisis para la derivada, la cual se puede escribir aproximadamente en tiempodiscreto haciendo uso del tiempo de muestreoT como:

y(kT) = dx(t)

dt

t=kT

x(kT) x((k 1)T)T

(9)

Haciendo uso de la notacin discreta en que n = kT(dado queTse supone fijo, yk es simplemente el nmero de la muestra),se tiene entonces el sistema como:

y[n] = x[n] x[n 1]

T (10)

Ahora bien, para la integral se usa la aproximacin mediante la serie de Riemann, quedando expresado como:

y(kT) =

ku=

x(uT)T (11)

Usando nuevamente la notacin discreta, se tiene entonces que:

y[n] =

nu=

x[u]T (12)



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7

Ahora bien, trabajando la expresin:

y[n] =T

n1u=

x[u] +x[n]

= y[n 1] +x[n]T (13)

Siendo la ecuacin (13) la resultante de la aproximacin de la integral en sistema de tiempo discreto, teniendo as las ecuacionesde diferencias para los sistemas S1 y S2. Cabe destacar en primera instancias que las ecuaciones obtenidas corresponden

mutuamente a sus inversas, lo cual es vlido ya que la derivada y la integral son operaciones inversas de por s. Otrocomentario importante de los resultados obtenidos es que no son nicos, dado que por ejemplo en el caso se empleo para laintegral la aproximacin por series de Riemann o sumas de reas rectangulares, cuando tambin existe por ejemplo medianteregla trapezoidal, y a su vez la derivada en vez de haberla trabajado con datos adyacentes, haberla realizado como la diferenciade s misma con una muestra anterior, pero no lo antecesora, si no dos o tres muestras atras, y dividida la diferencia por elfactor correspondiente del periodo de muestreo entre ambas muestras.Ahora bien para analizar la estabilidad, basta analizar las transformadas Zde las ecuaciones(10)y (13). Procediendo parala derivada se obtiene:

y[n] =x[n] x[n 1]

T /Z Y(z)

X(z)=

1 z1T

(14)

Se observa que el polo se encuentra en z= 0, siendo dentro del crculo unitario en el plano complejo, por lo que es estableel sistema. A su vez, se puede considerar la estabilidad vista en ( 3) donde se tiene que ante un impulso, la respuesta de lasalida sera simplemente{ 1

T, 1T

}, por lo que la suma de esto es acotado, dado que el periodo de muestreo T= 0. Ahora bien,para la integral se tiene:

y[n] = y[n 1] +x[n]T /Z Y(z)X(z) = T1 z1 (15)Claramente en este caso, se posee un polo en z = 1, esto es sobre el circulo unitario en el plano complejo, por lo que seconsidera el sistema como inestable. Esto se pudo haber deducido de igual considerando que ante una entrada acotada comoun escaln, la integral nos arroja una rampa que claramente no es acotada y diverge.

Parte B:

Para esta seccin se pide generar una seal x(t) =sin(2 100 t), duracin de un segundo y aplicarle los sistemas dederivada discreta e integral discreta. Para escoger el periodo de muestreo de la seal, se decide que si se quiere tener 100puntos por periodo, y el periodo dura 10 [ms], entonces con un periodo de 100 [ s] se logra lo buscado. Se disean funcionesen MATLAB que implementan los sistemas discretos de S1 y S2, y que tienen de argumento la seal a derivar (o integrar)y el periodo de muestreo. A su vez se considera que y[0] = x[0] pues se toma en cuenta que la sinusoide de entrada a lossistemas es causal (igual a cero para todo tiempo menor a cero). En el anexo del presente documento aparece en detalle el

cdigo usado. Los grficos obtenidos son los siguientes:



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8

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.051

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Sinusoide de 100[Hz] x(t)

Tiempo [s]

Amplitud

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05800

600

400

200

0

200

400

600

800

X: 0.01Y: 627.9

Derivada discretada de x(t)

Tiempo [s]

Amplitud

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5x 10

3

X: 0.005Y: 0.003182

Integracin discreta de x(t)

Tiempo [s]

Amplitud

Figura 9: Grfica de los primeros 50[ms]de la seal sinusoidal, su derivada discreta e integral discreta.

Analizando los resultados, se puede afirmar que lo obtenido es muy cercano a lo esperado para los sistemas originales. Parala derivada el resultado terico es:

d

dt{sin(2 100 t)} = 200cos(2 100 t) (16)

Siendo entonces la derivada un coseno de amplitud 200 628.31, y dando la amplitud para la derivada discreta muy cercanoa este valor (627.9), y cumpliendo a su vez con ser un coseno claramente. Por otra parte, la integral (dado que se consideracausal la entrada, entonces como la integral es continua, empieza en cero) tericamente es: t

sin(2 100 )d= t0

sin(2 100 )d=cos(200)200

=t

=0

= 0.00159(1 cos(200t)) (17)

Siendo entonces siempre el valor mayor o igual a cero, y a su vez teniendo amplitud igual a 0.00318 , resultado que es muysimilar al obtenido y que se ve en la figura (9). El resultado de la integral de igual manera es intuitivo, dado que como seconsidera entrada causal, se parte integrando el lbulo positivo de la sinusoide llegando a un mximo, y luego disminuyendohasta llegar a cero, para volver a ser positivo, teniendo entonces la integral un valor medio mayor a cero.

Parte C:

Ahora, considerando una entrada comox[n] =[n][n5]entre los tiempos de muestreos 10 n 20se desea graficarla seal x[n]junto a la respuesta a los sistemas discretos de derivador e integrador. Para esto se usa las mismas funciones enMATLAB definidas con anterioridad y que se encuentran en el anexo. Se obtiene el siguiente resultado:



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9

10 5 0 5 10 15 201

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Entrada x[n] = [n] [n 5]

Muestra

Amplitud

10 5 0 5 10 15 201

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Derivada discretada de x(t)

Muestra

Amplitud

10 5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Integracin discreta de x(t)

Muestra

Amplitud

Figura 10: delta

Parte D:

Tal como la seccin anterior, se considera una entrada en este caso como x[n] = [n] [n 11] entre los tiempos demuestreos10 n 20se desea graficar la seal x[n]junto a la respuesta a los sistemas discretos de derivador e integrador.Se toma en cuenta entonces que la entrada a los sistemas es 1 para los 0 n 10, y para cualquier otra muestra la entradaes cero. Se obtiene el siguiente resultado:

10 5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Entrada x[n] = [n] [n 11]

Muestra

Amplitud

10 5 0 5 10 15 201

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Derivada discretada de x(t)

Muestra

Amplitud

10 5 0 5 10 15 200

2

4

6

8

10

12Integracin discreta de x(t)

Muestra

Amplitud

Figura 11: escalon

La salida del sistema del derivador discreto es la que se espera correspondiendo a un impulso en el momento en que seaplica cada escaln y conservando el signo. Por otro parte la salida del sistema del integrador discreto corresponde claramente



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10

a una rampa que comienza a crecer cuando comienza el efecto del escaln y termina de crecer cuando se aplica el otro escalnde polaridad inversa, manteniendose constante, dado que deja de integrar valor alguno.

Parte E:

Para esta seccin, se carga en MATLAB mediante el comando audioread()los archivos de audio music.wavy speech.wav,y se emplean de entrada al derivador e integrador discreto con los cuales se ha estado trabajando, y luego se describe cmoafecta esto en la seal de audio.Lo que se obtuvo fue interesante, dado que en primer lugar se aprecia una distorsin en ambas salidas (para derivadore integrador), pero an se puede reconocer los sonidos, siendo entonces que las salidas de los sistemas obtenidos no sonirreconocibles. Por otra parte se not que la intensidad cambi de manera considerable. Para el derivador, lo obtenido tenamayor volumen, o sea era ms intensa la salida y lo que se explica a que el derivador discreto divide la diferencia por eltiempo de muestreo, entonces dado que el tiempo de muestreo es pequeo, entonces existe una amplificacin en las muestrasclaro. Para el integrador, se not que la intensidad disminuy de manera abrupta, a lo cual se le encuentra explicacin demanera anloga a lo descrito con anterioridad.Aparte de lo descrito con anterioridad, tambin se recalca que lo obtenido de la derivacin de las seales de audio fueronms ruidosas, con alta ponderacin de los sonidos agudos y poco efecto de los tonos graves. Por otra parte lo obtenido con elintegrador se not que los graves estaban ms presentes, mientras que los tonos agudos disminuyeron y el ruido no se sintide manera intensa. La explicacin tiene que ver simplemente a que la derivacin es una operacin que favorece los cambiosabruptos, considerndose entonces en trmino de filtraje un filtro pasa alto en trminos frecuenciales y siendo el motivo quese acenten los tonos agudos y el ruido (dado que el ruido es una seal aleatoria con grandes cambios en el tiempo), mientras

que el integrador el fenmeno es similar pero para bajas frecuencias, actuando como filtro pasa bajo.

Parte F:

Ahora se busca, en funcin de las aproximaciones realizadas con anterioridad, encontrar la ecuacin de diferencias de ladoble derivada y = S1(S1(x)), la doble integral y = S2(S2(x)), la derivada de la integral y = S1(S2(x))y la integral de laderivada y = S2(S1(x)).Dado que tanto la derivada S1 e integral S2 son sistemas LTI, lo pedido se puede obtener con facilidad usando las respuestaa impulso, considerando que sistemas en cascada es lo mismo que tener las funciones de impulso respectiva multiplicndose.Para la doble derivada se tiene ya su respuesta a impulso en (14). Por lo tanto se tendr que:

Hdd(z) = Hd(z)Hd(z) = 1 2z1 +z2

T2 (18)

Pasando entonces a la ecuacin por diferencias se tiene entonces:

ydd[n] =

1

T2 (x[n] 2x[n 1] +x[n 2]) (19)Ahora bien, la respuesta a impulso de la doble integral se obtiene como:

Hii(z) =Hi(z)Hi(z) = T2

1 2z1z2 (20)Por lo tanto, el sistema descrito en ecuacin de diferencias para la doble integral es:

yii[n] =T2x[n] + 2yii[n 1] yii[n 2] (21)

Finalmente, la derivada de la integral y la integral de la derivada, dado que tanto derivada con integral son operaciones inversasy que se puede apreciar con que la transformada Zde las ecuaciones de diferencias vistas en (14) y15) son recprocas, entoncesponer los sistemas en cascada anularan mutuamente sus efectos (pues es la multiplicacin de sus respuestas a impulsos) sinimportar el orden (dado que la multiplicacin es conmutativo), darn como salida la seal de entrada, es decir:

yid = x[n], ydi= x[n] (22)

Ahora bien, si los sistemas mostrados anteriormente fuesen filtros, para el sistema ms simple visto en (22) son filtros pasatodo, dado que la salida es igual a la entrada en todo instante y sin atenuacin en ninguna frecuencia, entonces por trminosde estabilidad BIBO, para cualquier entrada acotada tendr una salida acotada, el sistema es estable.A su vez, el sistema derivador doble dado que conserva polos y ceros del sistema derivador discreto simple pero ahora conmultiplicidad dos, tiene el polo en z= 0por lo que su regin de convergencia contiene el crculo unitario y es estable, y ahoraatenuar an ms los efectos de baja frecuencia y aumentar las frecuencias altas siendo un sistema entonces pasa alto. Parael sistema de integral doble, se tiene entonces claramente que su regin de convergencia ROC no contiene el crculo unitario,pues conserva el mismo polo que el sistema de integral discreto, slo que ahora con el polo doble en z= 1. Para analizar elfiltro, dado que el sistema como se dijo, conserva los polos y ceros del sistema integrador discreto, pero ahora con multiplicidad



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dos, se puede concluir que ser del tipo pasa bajo, y lo cual se nota en el efecto del T2 que entonces, mientras ms pequeoel periodo de muestreo, ms se acentua el efecto de la entrada, siendo entonces como un efecto promedio de los valores pasados.

IV. Estimacin de tiempo de retardo en radares

Sea un radar que transmite una seal xa(t)y recibe una seal ya(t)donde:

ya(t) = axa(t td) +va(t) (23)Donde va(t)es ruido aleatorio. Las seales en tiempo discreto son:

y[n] =ax[n D] +v[n] (24)

Parte A:

Se desea saber como poder calcular el retardo D usando la correlacin cruzada ryx[m]. Primero, la correlacin cruzadaentre dos seales se define como:

ryx[m] =

n=

y[n]x[n m] (25)

Entonces al reemplazar y[n]en la ecuacin anterior se tiene:

ryx[m] =

n=

(ax[n D] +v[n])x[n m] =

n=

ax[n D]x[n m] +

n=

v[n]x[n m] (26)De esta ecuacin se puede apreciar que la correlacin en el caso est dada por dos sumatorias, una correlacionando la entradacon la seal aleatoria y otra correlacionando la seal de entrada consigo mismo pero retardada. La informacin que se busca seencuentra en la sumatoria formada por la entrada multiplicada por ella misma adelantada m muestras, y se puede demostrarque la sumatoria claramente ser mxima, cuando m = D, o sea cuando x[n]se multiplique por ella misma en cada muestra,sin desfase o retardos, por lo que en cercanas de m = D esta sumatoria ser mxima. El problema que presenta lo expuestoanteriormente, es que se tiene datos determinsticos (la sumatoria de las entrada con retardo multiplicada por si mismoadelantadammuestras) y datos aleatorios (la sumatoria que incluye la entrada adelantada mmuestras por el ruido), porlo que existira un grado de inexactitud en la obtencin del valor de D, fuertemente ligado a la energa que posea el ruidoasociado al sistema, a su vez al factor de ponderacin a usado. Entonces a mayor a, es mayor la precisin de la estimacindel retardo D .Para analizar si es posible usar la correlacin ryy [m]para encontrar el retardo, se procede como antes, trabajando la ecuacincomo sigue.

ryy [m] =

n=

y[n]y[n m] (27)

=

n=

(ax[n D] +v[n])(ax[n D m] +v[n m]) (28)

=

n=

a2x[n D]x[n D m] +

n=

ax[n D]v[n m] +

n=

av[n]x[n D m] +rvv (29)

En este caso, se tiene un valor determinstico que es la correlacin entre la seal con desfase consigo mismo adelantada mmuestras, y los demas valores aleatorios, pero si se desea maximizar el valor de la correlacin ryy que es de la manera en quese procedi anteriormente, se requerir que m = 0, por lo que el retardo D no sera posible de obtener directamente.Por ltimo, cabe recalcar que para el clculo de D mediante el uso de la correlacin cruzada ryx en trminos de que si esptimo en el sentido de mnimos cuadrados, se considera primero que el error en mnimos cuadrados es descrito por:

Els(f) =

nk=1

(yk f(xk))2n

(30)

DOnde yk es la seal misma de salida y f(xk la prediccin realizada, y dado que en este caso hay presencia de ruido enel sistema, lo ptimo es usar algn mtodo que minimice este error entre la seal misma, y la prediccin. En el sentidopropuesto, el mtodo consiste en encontrar el retardo Dptimo de la entrada x[n]para que as el error muestra a muestrade la salida propiamente tal y la prediccin realizada sea mnima.



12/23

12

Parte B:

Sea una secuencia x[n]conocida como secuencia de Barker, dada por:

x[n] = +1; +1; +1; +1; +1; 1;1; +1; +1; 1;+1; 1;+1 (31)

y un ruido v [n]Guassiano de media cero y varianza 2 = 0.01. Se escribe un cdigo en MATLAB que genera una secuenciay[n], para muestras entre 0 n 199, con a = 0.9y D = 20.Para esto, se crea una funcin sisrad()que aplica el sistema discreto del radar descrito anteriormente (cdigos se encuentranen el anexo). Ahora bien la grfica obtenida es la siguiente

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Entrada x[n] sec. Barker

Muestras

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

0.5

0

0.5

1

1.5Salida y[n] del sist.con entrada x[n]

Muestras

Figura 12: Grfico de entrada (secuencia de Barker) a la izquierda y salida a la derecha.

Parte C:

Ahora se busca obtener la grfica de las correlaciones ryy [m] y correlacin cruzada ryx[m]. Se crea una funcin que noscalcula la correlacin y que se encuentra en el anexo adjunto al presente informe. Las grficas obtenidas son las siguientes:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2002

0

2

4

6

8

10

12

14

Lag m

Correlacin ryy[m]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2002

0

2

4

6

8

10

12

Lag m

Correlacin cruzada rxy[m]

Figura 13: Grfico de autocorrelacin a la izquierda, y a la derecha la correlacin cruzada

Para determinar la SNR, se determina el valor con la siguiente frmula:

SN R(y) = 10log10

PsealPruido

(32)

Siendo la potencia definida como:

Py =

n

k=1y[k]2 (33)

Se crea una funcin en MATLAB llamadaSNRdb()que se encuentra en el anexo que permite obtener rpidamente lo buscado.En el casose obtiene que para el ruido de varianza 2 = 0.01da:

SN R(y) = 7.8211[dB] (34)

Parte D:

Usando los cdigos mencionados anteriormente, se tiene entonces primero para un 2 = 0.1una salida como la siguiente:



13/23

13

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Muestras0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2Salida y[n] del sist.con entrada x[n]

Muestras

Figura 14: Grfico de entrada (secuencia de Barker) a la izquierda y salida a la derecha para 2 = 0.1.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2005

0

5

10

15

20

25

30

Lag m

Correlacin ryy[m]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2004

2

0

2

4

6

8

10

12

Lag m


Figura 15: Grfico de autocorrelacin a la izquierda, y a la derecha la correlacin cruzada para 2 = 0.1.

En el caso, la SNR es:SN R(y) = 1.9863[dB] Para un2 = 0.1 (35)

El valor claramente disminuye, pues al tener una mayor varianza, la seal de ruido tendr ms potencia pues su variacincon respecto en la media es mayor. Ahora bien para un 2 = 1 se tiene:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Entrada x[n] sec. Barker

Muestras0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

4

3

2

1

0

1

2

3

Salida y[n] del sist.con entrada x[n]

Muestras

Figura 16: Grfico de entrada (secuencia de Barker) a la izquierda y salida a la derecha para 2 = 1.



14/23

14

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20050

0

50

100

150

200

250

Lag m

Correlacin ryy[m]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20015

10

5

0

5

10

Lag m


Figura 17: Grfico de autocorrelacin a la izquierda, y a la derecha la correlacin cruzada para 2 = 1.

En el caso, la SNR es:SN R(y) = 0.135[dB] Para un2 = 1 (36)

En el caso, disminuy notablemente la SNR, dando a entender que la potencia de la salida es comparable a la del ruidomismo, o sea el ruido afecta en gran medida a la salida, pues sus variaciones son mucho mayores que los casos anteriores.Tambin se resalta, que en las correlaciones cruzadas vistas anteriores, en todas el mximo se encontr para m = 20, y asu vez para la autocorrelacin el mximo estaba en m = 0, que coincide con el anlisis hecho en la parte Ade la presente

seccin. A su vez, se ve que a mayor varianza, el mximo disminua en magnitud respecto a los otros valores, y lo que coincidecon el hecho que al incluir ms variabilidad en la seal de ruido, ms impreciso se vuelve el modo mostrado para calcular elretardo.

Parte E:

Se pide hacer todo lo mencionado anteriormente, pero para una secuencia Barker repetida 10 veces. Entonces se tienenlos siguientes resultados usando los cdigos mostrados anteriormente (simplemente ahora hay que modificar la entrada x[n]).Para el 2 = 0.01se tiene:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Muestras0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

1.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5Salida y[n] del sist.con entrada x[n]

Muestras

Figura 18: Grfico de entrada (secuencia de Barker repetida 10 veces) a la izquierda y salida a la derecha para 2 = 0.01.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20020

0

20

40

60

80

100

120

Lag m

Correlacin ryy[m]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20020

0

20

40

60

80

100

120

Lag m





15/23

15

La SNR en el caso es de:SN R(y) = 17.6277[dB] Para un2 = 0.01 (37)

Por otro lado los grficos obtenidos para2 = 0.1son:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20020

0

20

40

60

80

100

120

Lag m

Correlacin ryy[m]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20020

0

20

40

60

80

100

120

Lag m


Figura 20: Grfico de entrada (secuencia de Barker repetida 10 veces) a la izquierda y salida a la derecha para 2 = 0.1.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20020

0

20

40

60

80

100

120

140

Lag m

Correlacin ryy[m]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20020

0

20

40

60

80

100

120

Lag m



La SNR en el caso es de:SN R(y) = 7.985[dB] Para un2 = 0.1 (38)

Y por ltimo los grficos obtenidos para 2 = 1 son los siguientes:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8


Muestras0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

3

2

1

0

1

2

3

4Salida y[n] del sist.con entrada x[n]

Muestras

Figura 22: Grfico de entrada (secuencia de Barker repetida 10 veces) a la izquierda y salida a la derecha para 2 = 1.



16/23

16

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20050

0

50

100

150

200

250

300

Lag m

Correlacin ryy[m]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20020

0

20

40

60

80

100

120

Lag m


Figura 23: Grfico de autocorrelacin a la izquierda, y a la derecha la correlacin cruzada para 2 = 1.

La SNR en el caso es de:SN R(y) = 1.8841[dB] Para un2 = 1 (39)

Con respecto a todo lo mostrado anteriormente, se observa que al igual que ante, en las correlaciones cruzadas el mximose encontraba en D = 20, y no slo eso, puesto que las SNR obtenidas fueron mayores respecto a las SNR obtenidas paralas mismas varianzas pero con una secuencia de Barker no repetida. La explicacin se debe a que en los casos en realidad loque se hizo fue hacer exhaustivamente el mismo experimento de antes de la nica secuencia de Barker, pero en este caso sehaca repetidas veces (10 precisamente), lo cual elimina la aleatoriedad presente en el experimento en el caso original. Estopermite hacer un mejor clculo de D, pues ahora representa una extrapolacin del anlisis presentado con solo una secuenciade Barker, y lo cual explica los mximos locales factores del retardo D presentes en los grficos de las correlaciones cruzadas.

Parte F:

Se busca encontrar la relacin matemtica entre rxxy ryy . Para esto primero se revisa la ecuacin (27) donde se tiene que:

ryy =

n=

a2x[n D]x[n D+m] +

n=

ax[n D]v[n+m] +

n=

v[n]ax[n D+m] +rvv (40)

Si se hace un cambio de variable i = n Den la primera sumatoria y segunda sumatoria se tiene entonces que:

ryy =

i=

a2x[i]x[i m] +

i=

ax[i]v[i+D m] +

n=

av[n]x[n D m] +rvv (41)

Entonces se tiene que:ryy =a2rxx+arxv[m D] +arvx[m+D] +rvv (42)

Por lo tanto, se puede ver la relacin entre ryy y rxx, siendo el ltimo multiplicado por a2 y con sumandos aleatorios. Porlo tanto si se considera el ruido de baja potencia (o varianza), entonces ryy ser muy similar pero escalado con un valor dea2. Se hacen pruebas para ruido de varianza de 2 = 0.01 y un a = 2, y por entrada la secuencia Barker sin repeticin,obteniendo los siguientes resultados de grficos:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 20010

0

10

20

30

40

50

60

X= 0Y= 53.5093

Lag m

Correlacin ryy[m]

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

2

4

6

8

10

12

14

X= 0Y= 13

Lag m

Correlacin cruzada rxx[m]

Figura 24: Con a = 2y 2 = 0.01grfico de autocorrelaciones, a la izquierda de ryy[m]y a la derecha de rxx[m]

Se ve claramente que son muy parecidas, slo el ruido presente en la autocorrelacin de la salida, y a su vez se ve en elmximo un escalamiento, siendo el mximo de la autocorrelacin de la salida 53, y el de la entrada 13, considerando entoncesque est presente la amplificacin cercana a a2 = 4, por lo que el anlisis terico propuesto es vlido.



17/23

17

Anexo: Cdigos Usados en MATLAB

Seccin I: Evaluacin de propiedades de sistemas.

1 t=0:1e6:1;

2 x1=wgn(1,length(t),0);

3 x2=wgn(1,length(t),0);

4 a=2;

5 b=10;6 x3=a*x1+b*x2;

7

8 %Linealidad

9 %bbox1

10 y1=bbox1(x1);

11 y2=bbox1(x2);

12 y3=bbox1(x3);

13 figure

14 plot(t,a*y1+b*y2);

15 hold on

16 plot(t,y3,'r');

17 hold off

18 h = legend('$ay_1+by_2$','$y_3$');

19 set(h,'Interpreter','latex');

20 grid on;

21 ylabel('Amplitud');

22 xlabel('Tiempo [s]');23 title('Respuestas de bbox1() a ruido blanco');

24

25 figure

26 plot(t(1,40:60),a*y1(1,40:60)+b*y2(1,40:60)),'bo';

27 hold on

28 plot(t(1,40:60),y3(1,40:60),'ro');

29 hold off

30 h = legend('$ay_1+by_2$','$y_3$');


32 grid on;


34 xlabel('Tiempo [s]');

35 xlim([t(1,40) t(1,60)]);

36 title('Respuestas con zoom de bbox1() a ruido blanco');

37

38 %bbox2

39 y1=bbox2(x1);40 y2=bbox2(x2);

41 y3=bbox2(x3);

42 figure


44 hold on

45 plot(t,y3,'r');

46 hold off

47 h = legend('$ay_1+by_2$','$y_3$');


49 grid on;



52 title('Respuestas de bbox2() a ruido blanco');

53

54 figure

55 plot(t(1,40:60),a*y1(1,40:60)+b*y2(1,40:60),'bo');

56 hold on57 plot(t(1,40:60),y3(1,40:60),'ro');

58 hold off

59 h = legend('$ay_1+by_2$','$y_3$');


61 grid on;



64 xlim([t(1,40) t(1,60)]);


66



18/23

18

67 %bbox3

68 y1=bbox3(x1);

69 y2=bbox3(x2);

70 y3=bbox3(x3);

71 figure


73 hold on

74 plot(t,y3,'r');

75 hold off

76 h = legend('$ay_1+by_2$','$y_3$');


78 grid on;



81 title('Respuestas de bbox3() a ruido blanco');

82

83 figure

84 plot(t(1,40:60),a*y1(1,40:60)+b*y2(1,40:60),'bo');

85 hold on

86 plot(t(1,40:60),y3(1,40:60),'ro');

87 hold off

88 h = legend('$ay_1+by_2$','$y_3$');


90 grid on;



93 xlim([t(1,40) t(1,60)]);


95

96 %Invarianza

97 x1=sin(2*pi*30*t);

98 x2=[zeros(1,200000),sin(2*pi*30*t(1,200001:1000001))];

99 y1=bbox1(x1);

100 y2=bbox2(x1);

101 y3=bbox3(x1);

102 %bbox1

103 figure

104 plot(t,[zeros(1,200000),y1(1,1:800001)]);

105 hold on

106 plot(t,bbox1(x2),'r');

107 hold off

108 h = legend('$y(t0.2)$','$bbox1(x(t0.2))$');


110 grid on;



113 title('Prueba de invarianza para bbox1');

114

115 %bbox2

116 figure

117 plot(t,[zeros(1,200000),y2(1,1:800001)]);

118 hold on


120 hold off



123 grid on;




127 xlim([0.1 0.9]);

128

129 %bbox3

130 figure

131 plot(t,[zeros(1,200000),y3(1,1:800001)]);

132 hold on


134 hold off



137 grid on;



19/23

19




141

142 %Respuesta a impulso

143 impulso=[zeros(1,29),1,zeros(1,30)];

144 y1imp=bbox1(impulso);



147

148 figure

149 stem(y1imp);

150 grid on


152 xlabel('Muestra');

153 title('Respuestas de bbox1() a impulso');

154

155 figure

156 stem(y2imp);

157 grid on




161

162 figure

163 stem(y3imp);

164 grid on




Seccin II: Sistemas inversos.

Para los sistemas SA y SB se crearon las siguientes funciones:

1 function y = S_A(x)

2 y(1)=x(1)

3 for n= 2:length(x)

4 y(n)=0.5*y(n1)x(n);

5 end

1 function y = S_B(x)

2 y(1)=x(1)


4 y(n)=0.5*x(n1)x(n);

5 end

Generacin de grficos y otros:

1 imp=[1,zeros(1,29)];

2 figure

3 stem(S_A(imp));

4 grid on



7 h = title('Respuesta a impulso del sistema $S_A(x)$');


9

10 figure

11 stem(S_B(imp));

12 grid on



15 h = title('Respuesta a impulso del sistema $S_B(x)$');


17



20/23

20

18 figure

19 stem(S_B(S_A(imp)));

20 grid on



23 h = title('Respuesta a impulso del sistema $S_B(S_A(x))$');


Seccin III: Derivadas e integrales discretas.

Funcin que implemente el sistema para el derivador en tiempo discreto:

1 function y = ddis(x,T)

2 y(1)=x(1);


4 y(n)=(1/T)*(x(n)x(n1));

5 end

Funcin que implemente el sistema para el integrador en tiempo discreto:

1 function y = idis(x,T)

2 y(1)=x(1);


4 y(n)=y(n1)+ T*x(n);

5 end

Generacin de grficos:

1 T=1e4;

2 t=0:T:1;

3 x=sin(200*pi*t);

4 %Parte b

5 figure

6 subplot(1,3,1);

7 plot(t(1:500),x(1:500));

8 grid on

9 title('Sinusoide de 100[Hz] x(t)');



12

13 subplot(1,3,2);

14 plot(t(1:500),ddis(x(1:500),T));

15 grid on

16 title('Derivada discretada de x(t)');



19

20 subplot(1,3,3);

21 plot(t(1:500),idis(x(1:500),T));

22 grid on

23 title('Integracin discreta de x(t)');



26

27 %Parte c

28 T=1;

29 t=10:T:20;

30 x=zeros(1,length(t));

31 x(1,11)=1;

32 x(1,16)=1;

33 figure

34 subplot(1,3,1);

35 stem(t,x);

36 grid on

37 h = title('Entrada $x[n]=\delta[n] \delta[n5]$');





21/23

21


41

42 subplot(1,3,2);

43 stem(t,ddis(x,T));

44 grid on




48

49 subplot(1,3,3);

50 stem(t,idis(x,T));

51 grid on




55

56 %parte D

57 T=1;

58 t=10:T:20;

59 x=zeros(1,length(t));

60 x(1,11:21)=1;

61 figure

62 subplot(1,3,1);

63 stem(t,x);

64 grid on

65 h = title('Entrada $x[n]=\mu[n] \mu[n11]$');




69

70 subplot(1,3,2);

71 stem(t,ddis(x,T));

72 grid on




76

77 subplot(1,3,3);

78 stem(t,idis(x,T));

79 grid on




83

84 %parte E

85 [x1,Fs1]=audioread('music.wav');

86 [x2,Fs2]=audioread('speech.wav');

87 y11=ddis(x1,1/Fs1);

88 y12=idis(x1,1/Fs1);

89 y21=ddis(x2,1/Fs2);

90 y22=idis(x2,1/Fs2);

Seccin IV: Retardo en radares.

Funcin que implementa el sistema del radar discreto:

1 function y=sis_rad(x,v,D,a)

2 y(1:D)=v(1,1:20);

3 for n=21:length(x)

4 y(n)=a*x(nD)+v(1,n);

5 end

Funcin para la correlacin cruzada:

1 function rxy=corr_cruz(x,y)

2 rxy=zeros(1,length(x));

3 for m=1:length(x)

4 for n=1:length(x)



22/23

22

5 if n+m1


23/23

23

21 %parte d sigma^2=1

22 v=sqrt(1)*randn(1,200);

23 y=sis_rad(x,v,D,a);

24 ryy=corr_cruz(y,y);

25 rxy=corr_cruz(y,x);

26 parte4graf(x,y,rxy,ryy,muestra);

27 snr4d2=snrdb(y,v)

28

29 %parte e

30 x=[x(1,1:13) x(1,1:13)];

31 x=[x(1,1:26) x(1,1:26) x(1,1:26) x(1,1:26) x(1,1:26),zeros(1,70)];

32 %parte e sigma^2=0.01

33 v=sqrt(0.01)*randn(1,200);





38 snr4e=snrdb(y,v)

39

40 %parte e sigma^2=0.1

41 v=sqrt(0.1)*randn(1,200);





46 snr4e1=snrdb(y,v)

47

48 %parte e sigma^2=1

49 v=sqrt(1)*randn(1,200);





54 snr4e2=snrdb(y,v)


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Tarea 1 DSP.pdf