Tarea 1 Formas Canonicas

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

ESIME-ZACATENCO

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Análisis de Sistemas Lineales

Tarea Número 1

Elaboro: Profesor: Dr. David Romero Romero

Análisis de Sistemas Lineales- Formas canónicas

ÍNDICE

INTRODUCCIÓN ………………………………………..3

F. CANONICA OBSERVADOR ………………………………………..4

F. CANONICA CONTROLADOR ………………………………………..6

F. CANONICA OBSERVABILIDAD ………………………………………..8

F. CANONICA CONTROLABILIDAD ………………………………………..9

F. CANONICA JORDAN ………………………………………..10

F. CANONICA DIAGONAL ………………………………………..16


INTRODUCCION

MODELOS DE ESTADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Los modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias de un circuito o sistema reflejan relaciones diferenciales entre la entrada de un sistema y la salida del mismo. Por ejemplo si indica una entrada escalar y una salida escalar, y si , entonces un modelo de ecuación diferencial ordinaria de nth orden tiene la forma

De aquí en adelante, las condiciones iniciales serán consideradas de valor cero. La ecuación 4.1 describe un modelo tipo entrada-salida a menudo llamado una descripción externa del sistema. La clave del asunto es poder elegir variables de estado y construir modelos de estado significativos para sistemas representados por modelos externos. La forma de la ecuación 4.1 sugiere hacer que la elección sea una combinación lineal de las variables

derivadas de las entradas y salidas. Así como es la derivada de mayor orden que aparece, hay una necesidad de variables de estado. Se pueden tomar diferentes decisiones elecciones respecto a las variables de estado por lo tanto se producirán diferentes modelos de estado. En consecuencia, un modelo de estado para un sistema dado o circuito no es único. De todas las elecciones posibles para formar un modelo de estado hay algunas que caben dentro de la clasificación de formas canónicas, entre las mas conocidas están:

Forma canónica observador Forma canónica controlador Forma canónica observabilidad Forma canónica controlabilidad


FORMA CANÓNICA OBSERVADOR

Mediante el siguiente ejemplo se mostrará la aplicación de la forma canónica observador para

la descripción externa del sistema siguiente:

Considérese para el presente que todas las condiciones iníciales son cero.

Como una notación conveniente, se define

como el operador derivada. El

operador análogo inverso , representa al operador integral. Entonces con esta notación, la

ecuación 4.5 se convierte en

Combinando términos en potencias de D en el lado derecho y luego multiplicando a la

izquierda por da

[ ] [ ] [ ]

Definiendo la variable de estado y entonces diferenciando la ecuación 4.7 por la

multiplicación D en la izquierda se obtiene

[ ] [ ] [ ]

Después de sustituir por , definimos implícitamente por medio de la ecuación

[ ]

Por lo tanto,

[ ] [ ]

Lo que implica que

[ ] [ ]

Definiendo de forma similar a obtenemos

[ ]

Y en consecuencia

[ ]


Recordando que y combinando las ecuaciones 4.9, 4.12, y 4.13 en una descripción de

matriz genera la forma canónica observador de un modelo de estado para la ecuación 4.5:

[

] [

] [

] [

]

[ ] [

]

El diagrama de simulación análogo asociado con la ecuación 4.14 aparece en la figura 4.1

b3 b2 b1

-a1-a2-a3

x1 x2x3

+++

+

++

++

ẋ1 ẋ2 ẋ3

∫ ∫ ∫

u

y

Figura 4.1 Diagrama de bloques forma canónica observador de la ecuación 4.5


FORMA CANÓNICA CONTROLADOR

Mediante el siguiente ejemplo se mostrará la aplicación de la forma canónica controlador o

estándar de un modelo de estado representación de la ecuación 4.5. El primer paso es

desarrollar el modelo canónico de estado para el sistema auxiliar

Donde los coeficientes a1, a2, y a3 coinciden con aquellos en la ecuación 4.5 y la respuesta

resultado de la entrada u. Entonces asumimos que todas las condiciones iníciales son cero, la

respuesta de la descripción del sistema dada por la ecuación 4.5 es la superposición de las

respuestas del sistema auxiliar dadas por la ecuación 4.16, a las entradas b3 , b2D , y b1D2 .

En particular .

Manteniendo esta consideración en mente, el siguiente paso es construir el modelo canónico

de estado para la ecuación 4.16. En términos del operador diferencial D, la ecuación 4.16 tiene

la representación equivalente.

[ ]

Como tal definimos la variable de estado , lo que implica que

[ ]

Ahora definimos lo que implica que

[ ]

De forma similar, definimos a partir de la ecuación 4.18, se obtiene

De esta discusión al principio del ejemplo y la elección precedente de variables de

estado,

Por lo tanto, las ecuaciones 4.19 y 4.20, junto con las equivalencias y ,

dan el modelo de estado canónico controlador dado por la ecuación 4.15


[

] [

] [

] [ ]

[ ] [

]

Note que las variables de estado x1, x2, y x3, en la ecuación 4.15 corresponden a

diferentes entidades de aquellas en la ecuación 4.14

++

b1 b2 b3

-a3-a2-a1

x1x2x3

+

+

+

+

+y

ẋ1 ẋ2 ẋ3

∫ ∫ ∫ u

Figura 4.2 Diagrama de bloques forma canónica controlador de la ecuación 4.5


FORMA CANÓNICA OBSERVABILIDAD

A continuación se bosquejara los puntos más importantes. Repitiendo los puntos finos

de las dos previas deducciones.

Para bosquejar la deducción de la ecuación 4.21, rescriba la ecuación 4.5 como la

integral de la ecuación

[ ] [ ] [ ]

Identificando como la variable de estado (es decir, definir ), implícitamente

definir por

Identificando con la parte apropiada de Dy, se define implícitamente como

[ ]

en tal caso

[ ]

Dejando las ecuaciones de 4.22 a 4.24 dan el modelo canónico de estado dado

por la ecuación 4.21.

La representación canónica de estado observabilidad tiene la forma

[

] [

] [

] [

]

[ ] [

]

Las cantidades y son llamados a parámetros de Markov del sistema y están

dados por y El diagrama de

simulación análogo correspondiente a la ecuación 4.21 aparece en la figura 4.3.


+

β3 β2 β1

-a3

-a2

-a1

x1x2x3

+ ++

++

+

yẋ1 ẋ2 ẋ3 ∫ ∫ ∫

+

u

Figura 4.3 Representación en diagrama de bloques forma canónica de observavilidad

FORMA CANÓNICA DE CONTROLABILIDAD

Por dualidad, la forma canónica de controlabilidad de la ecuación 4.5 tiene la

representación de modelo de estado

[

] [

] [

] [ ]

[ ] [

]

β1 β2 β3

-a1-a2-a3

x1 x2 x3

+

+

++

+

+ +

y

ẋ1 ẋ2 ẋ3 ∫ ∫ ∫ u

++

Figura 4.3 Representación en diagrama de bloques forma canónica de controlabilidad


FORMA CANÓNICA DE JORDAN

Controlabilidad y observabilidad son invariantes bajo cualquier transformación

equivalente. Si una ecuación de estado es transformada en la forma de Jordan,

entonces las condiciones de controlabilidad y observabilidad se vuelven muy simples y

a menudo pueden ser revisadas por inspección. Considere la ecuación de estado

(6.47)

FIGURA 6.8 REDES

Donde J esta en la forma de Jordan. Para simplificar la discusión, asumiremos que J

tiene solo dos distintos eigenvalores y y pueden ser escritos como

Donde J1 consiste en todos los bloques de Jordan asociados con y J2 consiste en

todos los bloques de Jordan asociados con . Otra vez para simplificar la discusión

asumimos que J1 tiene tres bloques de Jordan y J2 tiene dos bloques de Jordan o

La fila de B correspondiente a la última fila de Jij es denotada por blij. La columna de C

correspondiente a la primera columna de Jij es denotada por cfij


Teorema 6.8

1. La ecuación de estado en (6.47) es controlable si y solo si los tres vectores de la

fila son linealmente independientes y los dos vectores de la fila

son linealmente independientes.

2. La ecuación de estado en (6.47) es observable si y solo si los tres vectores de la

columna son linealmente independientes y los dos vectores de

la columna son linealmente independientes.

Nosotros discutiremos primero las implicaciones de este teorema. Si la ecuación de

estado esta en la forma de Jordan, entonces la controlabilidad de estas variables de

estado asociadas con un eigenvalor pueden ser revisadas independientemente de

aquellas asociadas con diferentes eigenvalores. La controlabilidad de las variables

de estado asociadas con los mismos eigenvalores depende solo de las filas de B

correspondientes a la última fila de todos los bloques de Jordan asociados con el

eigenvalor. Todas las demás filas de B no juegan un rol en la determinación de la

controlabilidad. Las mismas observaciones se aplican a la parte de observabilidad

excepto que las columnas de C correspondientes a la primera columna de todos los

bloques de Jordan determinan la observabilidad. Podemos usar un ejemplo para

ilustrar el uso del teorema 6.8.

Ejemplo 6.10 Considere la ecuación de estado en la forma Jordan

[

]

[

]

[

]

La matriz J tiene dos eigenvalores distintos y . Existen tres bloques de Jordan,

con orden 2, 1, y 1, asociado con . Las filas de B correspondientes a la ultima fila

de los tres bloques de Jordan son [1 0 0], [0 1 0], y [1 1 1]. Las tres filas son

linealmente independientes. Hay solo un bloque de Jordan con orden 3, asociado

con . La fila de B correspondiente a la ultima fila del bloque de Jordan es [1 1 1],

la cual es distinta de cero y es por lo tanto linealmente independiente. Debido a eso

nosotros concluimos que la ecuación de estado en (6.48) es controlable.


Las condiciones para (6.48) sea observable son que las tres columnas [1 1 1]´, [2

1 2]´, y [0 2 3]´ sean linealmente independientes (lo son) y la columna uno [0 0 0]´

sea linealmente independiente (no lo es). Por lo tanto la ecuación es no observable.

Antes de probar el teorema 6.8, dibujamos un diagrama de bloques para

mostrar como surgen las condiciones en el teorema. La inversa de (sI-J) es de la

forma mostrada en (3.49), cuyas entradas consisten únicamente de 1/(s- )k.

Usando (3.49), nosotros podemos dibujar un diagrama de bloques para (6.48) como

se muestra en la figura 6.9. Cada cadena de bloques corresponde a un bloque de

Jordan en la ecuación. Debido a que (6.48) tiene 4 bloques de Jordan, la figura tiene

cuatro cadenas. La salida de cada bloque puede ser asignada como una variable de

estado como se muestra en la figura 6.10. Permítanos considerar la última cadena

en la figura 6.9. Si , la variable de estado xl21 no esta conectada a la

entrada y no es controlable no importa que valores y se tomen. Por otra

parte, si es distinto de cero, entonces todas las variables de estado en la

cadena son controlables. Si hay dos o más cadenas asociadas con los mismo

eigenvalores, entonces nosotros requeriremos la independencia lineal del primer

aumento de vectores de esas cadenas. Las cadenas asociadas con diferentes

eigenvalores pueden ser analizadas por separado. Toda la discusión se aplica a la

parte de observabilidad excepto que el vector columna cfij juega el rol de vector fila

blij.

Demostración del teorema 6.8 Nosotros probamos el teorema usando la

condición de que la matriz [A-sIB] o [sI-A B] tiene todas las filas llenas a cada

eigenvalor de A. A fin de no ser abrumado por la notación, asumimos [sI- J B] para

ser de la forma

[

]


xl11

xl13

1

1

s

1

1

s

1

1

s

2

1

s

1

1

s

2

1

s2

1

s

b111

bf12

cl21

b221

cl11

cf12

b121

c221

b1l11 cf11

bf13 cf13

bl21 cf21

+

++

c221

u

u

u

u

u

y

y

y

y

y y

y

u

x111

xl12

xl21 x221 x121

u

FIGURA 6.9 DIAGRAMA DE BLOQUE DE (6.48).

+is

1

s

1x x

x

i

=

Figura 6.10 Estructura interna de 1/(s- )


La forma Jordan con matriz J tiene dos eigenvalores distintos y . Hay dos

bloques de Jordan asociados con y uno asociado con . Si (6.49) se

vuelve

[

]

El rango de la matriz no cambiara por medio de operaciones elementales entre

columnas. Agregamos el producto de una segunda columna de (6.50) por al

ultimo bloque de la columna. Repitiendo el proceso para la tercera y la quinta

columna, podemos obtener

[

]

Debido a que y son distintos es distinto de cero. Agregamos el

producto a la séptima columna y a la última columna y entonces se

usa la sexta columna para eliminar las entradas del lado derecho para obtener

[

]

Esta claro que la matriz en (6.51) tiene un rango de filas llenas si y solo si y

son linealmente independientes. Procediendo similarmente para cada eigenvalor,

podemos establecer teorema 6.8. Q. E. D.

Considere una ecuación de estado n-dimensional de la forma Jordan con p entradas

y q salidas. Si hay m, con m>p, bloques de Jordan asociados con el mismo

eigenvalor, entonces m numero de 1 x p vectores fila nunca pueden ser linealmente

independientes y la ecuación de estado nunca puede ser controlable. Así una

condición necesaria para que la ecuación de estado sea controlable es . Para


el caso de una entrada o una salida, entonces tenemos los siguientes corolarios

(evidencia).

Corolario 6.8

Una ecuación de estado forma-Jordan de una entrada es controlable si y solo si hay

un bloque de Jordan asociado con cada eigenvalor distinto y cada entrada de B

correspondiente a la ultima fila de cada bloque de Jordan es diferente de cero.

Corolario 6.8

Una ecuación de estado forma-Jordan de una salida es observable si y solo si hay un

bloque de Jordan asociado con cada eigenvalor distinto y cada entrada de C

correspondiente a la primera columna de cada bloque de Jordan es diferente de

cero.

Ejemplo 6.11 Considere la ecuación de estado

[

] [

]

[ ]

Ahí están dos bloques de Jordan uno con orden 3 y asociado con un eigenvalor 0, el

otro de orden 1 y asociado con un eigenvalor -2. La entrada de B correspondiente a

la última fila del primer bloque de Jordan es cero: por lo tanto la ecuación de estado

es no controlable. Las dos entradas de C correspondientes a la primera columna de

ambos bloques de Jordan son diferentes de cero: por lo tanto la ecuación de estado

es observable.


FORMA CANÓNICA DE DIAGONALIZACIÓN

Una vez más considere el sistema homogéneo

Suponga que la matriz A del sistema tiene un conjunto completo de eigenvectores

linealmente independientes e1, e2, e3 con sus correspondientes eigenvalores

. Los eigenvalores pueden o no ser distintos. Se mostrará como estos n

eigenvectores pueden ser usados para definir sistemas separados de primer

orden. Este procedimiento es a veces de beneficios computacionales directos, pero

quizás mas importante como ayuda conceptual.

Dejemos un valor arbitrario de estado x(k) para ser específicos. Desde que ahí n

eigenvectores, este estado puede ser expresado como una combinación lineal de

los eigenvectores en la forma

Donde , son escalares. Usando el hecho de que

multiplicación de (5-7) por la matriz A da

Por lo tanto, expresando como una combinación lineal de eigenvectores

en la forma

Vemos que los coeficientes escalares satisfacen las ecuaciones escalares de

primer orden

.

. (5-9)

.

El vector de estado, por lo tanto, pude ser considerado a cada instante de tiempo

para comprender una combinación lineal de eigenvectores. Con el cambio del

tiempo, el peso de los coeficientes cambia (cada uno independientemente de los

otros) por ello los pesos relativos quizás cambien. En consecuencia. El sistema


puede ser visto como sistemas separados de primer orden, cada uno gobernando

el coeficiente de cada eigenvector.

Cambio de Variable

El análisis ya mencionado puede ser transformado directamente en una técnica de

manipulación conveniente a través de la introducción formal del cambio de

variable. Dejemos que M sea la matriz modal de A. Que es, M la matriz de

cuyas columnas son los eigenvectores de A. para un dado , definimos un

por

Esto es, por supuesto, la representación del vector de la ecuación anterior (5-7) con

las componentes del vector igual a la anterior . La sustitución de este

cambio de variable en la ecuación del sistema da

O, su equivalente

Esto define un nuevo sistema que esta relacionado con el sistema original por el

cambio de variable

La matriz del nuevo sistema es la matriz del sistema correspondiente

al sistema que rige como se expreso antes en (5-9). En consecuencia, quizá

se puede escribir , donde es la matriz diagonal con los eigenvalores

de A en la diagonal. La matriz modal M define un nuevo sistema de coordenadas en

donde A es representado por la matriz diagonal . Cuando se escriben en detalle

(5_11) se convierte en

[

]

[

]

[

]

Que muestra explícitamente la forma diagonal obtenida por el cambio de

variable.


Sistemas continuos en el tiempo

Esto puede ser aplicado a un sistema continuo en el tiempo. Suponga que el estima

esta gobernado por

Donde A es una matriz de con eigenvectores linealmente independientes. Con M

como la matriz modal tal como se ha mencionado, el cambio de variable

Transformando el sistema a

Cuando se escribe en detalle esto es

[

]

[

]

[

]

El vector de estado a cualquier tiempo es una combinación lineal de los

eigenvectores. En el caso de tiempo continuo, los coeficientes de cada

eigenvector satisfacen una simple ecuación diferencial de primer orden. Por lo tanto

otra vez el sistema puede ser considerado para estar separado en sistemas de primer

orden.

Interpretación del diagrama

La interpretación del diagrama del proceso de diagonalización es sencilla y útil. Cuando

es expresado en las nuevas coordenadas (con componentes ) el diagrama del sistema

se rompe en sistemas separados. El resultado se ilustra en la figura 5.3 para sistemas

de tiempo discretos, pero exactamente el mismo diagrama es aplicado en tiempos

continuos con retrasos remplazados con integradores. Los son los coeficientes de

los varios eigenvectores tal como se combinan para generar el vector de estado. Los

eigenvectores por si solos no se muestran explícitamente en este diagrama, aunque

ellos deben ser usados para obtenerlo.


Finalmente, deber ser remarcado que el rol del proceso de diagonalización es al

menos tan conceptual como computacional. Aunque los cálculos de la matriz de

transición de estado pueden ser facilitados si los eigenvectores son conocidos, el

problema de computar los eigenvalores y eigenvectores para un sistema grande es en

si mismo una tarea formidable. A menudo esta forma de análisis detallado no esta

justificado en el ámbito de la motivación al estudiante. En realidad, cuando se

restringe a los métodos numéricos es usualmente muy sencillo de evaluar algunas

soluciones particulares directamente por recursión. Una colección completa de

eigenvectores en forma numérica no siempre es muy iluminador.

Por otra parte, desde un punto de visto conceptual, el proceso de

diagonalización es invaluable, puesto que revela y fundamenta la simplicidad de los

sistemas lineales. Armados con este concepto, sabemos, cuando nos enfrentamos con

lo que parece ser un sistemas complejo interconectado, que hay un forma de verlo, a

través de uno lentes distorsionado con cambios de variables, asi eso aparece como una

colección de sistemas de primer orden. Incluso si nosotros nunca hallamos la

transformación de diagonalización, el conocimiento de que uno existe influye

profundamente en nuestra percepción de un sistema y enriquece nuestra metodología

de análisis.

λ1

+ z1

λ2

+ z2

λn

+ zn

Figura 5.3 Diagrama diagonal

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