7/22/2019 Tarea 3 ED

1/3

Tarea 3 - Ecuaciones Diferenciales

Sadrac Sanhueza Carrasco

Universidad de Concepcion

9 de agosto de 2013

1. Tractriz

Una persona P que parte del origense mueve en la direccion positiva deleje X, jalando un peso a lo largo dela curva C, llamado Tractriz, comose muestra en la figura. Inicialmenteel peso se encontraba en el eje y, en(0, s) y es jalado con una cuerda delongitud constante s, que se mantie-ne tensa durante el movimiento. De-termine una ED para la trayectoria Cdel movimiento. Suponga que la cuer-da siempre es tangente a C.

Solucion

Sabiendo que:

Para todo punto Cde la Tractriz, la rectaPCes tangente a la Tractriz

en C

La distancia entre el puntoP(xp, 0) y el punto C(x, y) es constante e iguala s

El punto C0(0, s) esta en la Tractriz

Sea fla funcion Tractriz y para cada x R y sea y= f(x)

Como

PCpasa por los puntos C(x, y), P(xp, 0), luego su ecuacion esy 0 = m(x xp)

donde m es la pendiente. La pendiente es equivalente a la derivada de f en x,luego

y = f(x)(x xp) (1)

1

7/22/2019 Tarea 3 ED

2/3

Por el Teorema de Pitagoras

xp= x (s2

y2

) (2)

con signo () si Cse mueve en sentido positivo y signo (+) si lo hace en sentidonegativo. De (2) en(1), se tiene:

y= f(x)(s2 y2) (3)

Por lo tanto, la funcion Tractriz f sera la que resuelva la ecuacion diferencial(3) y cumpla la condicion inicial f(0) =s, finalmente:

y= dy

dx(x)(s2 y2)

dy

dx=

y

s2 y2

2. Superficie Reflectora

Suponga que cuando la curvaCquese muestra en la figura se gira res-pecto al ejeXgenera una superficiede revolucion, con la propiedad deque todos los rayos de luz paralelosal eje Xque inciden en la superfi-cie son reflejados a un solo punto 0(el origen) utilice el hecho de queel angulo de incidencia es igual alangulo de reflexion para determi-

nar una ED que describa la formade la curva C.

Solucion

Supongamos que la curva Cgira con respec-to al eje Xy la recta que pasa por el punto(x, y) es tangente a la curva C.Como el angulo de incidencia es igual al

angulo de reflexion, se tiene que

2+ =

2

7/22/2019 Tarea 3 ED

3/3

Luego

tan= cat.op.cat.ady.

= yx

= tan( 2) = tan(2) = 2tan()1 (tanx)2

Luego, haciendo un cambio de variable, y = tanx As,

y

x=

2y

1 (y)2 y y(y)2 = 2xy y(y)2 + 2xy y= 0

Usando la formula cuadratica se tiene

y =2x

4x2 + 4y2

2y =

xx2 +y2

y

Como dydx>0, la ecuacion diferencial de la curva C es

dy

dx=x+

x2 +y2

y

3