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UNIVERSIDAD PARTICULAR INCA GARCILAZO DE LA VEGAMT01 - MATEMTICA ITarea Acadmica 2013-2ALUMNOING DE SISTEMAS 2013 - 2

TEMAAplicacin de las derivadas en el clculo de lmites.

Y

Regla de L' Hospital.

INTRODUCCIN

La ciencia Matemtica le ha dado al hombre las ms poderosas herramientas para enfrentar los problemas de la vida diaria. Caso todos los campos del saber humano se valen de tcnicas matemticas para indagar en la explicacin de relaciones causales de los procesos y fenmenos que ocurren en cada especialidad. Hoy en da resulta frecuente encontrarnos artculos de las ciencias mdicas, qumico-farmacuticas, ciencias sociales (o de cualquier rea general del saber), en que se haga referencia a algn concepto o ente matemtico..

APLICACIONES GEOMETRICAS DE LAS DERIVADAS EN EL CLCULO DE LMITESRecta tangente a una curva en un punto

La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la recta tangente a la parbola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta

y =-3x -2 La pendiente de esta recta es m= -3

f'(a) = 2a 5

2a 5 = 3a = 1

El punto de tangencia es P(1, 2)La recta tangente es y 2= -3 (x 1) Recta normal a una curva en un punto

La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuacin de la recta tangente y normal a la parbola y = x2 + x + 1 y paralela a la bisectriz del primer cuadrante (recta y = x ).

La pendiente de la recta dada es m = 1

f'(a) = 2a + 1 = 1

a = 0

Punto de tangencia:(0, 1)

Recta tangente:

y 1 = x

y = x +1 Recta normal:

y 1 = x

y = x + 1Crecimiento y decrecimiento

Crecimiento: Si f es derivable en a

Decrecimiento: Si f es derivable en a

Extremos:

Tenemos un mximo en x=a si

-La funcin existe en ese punto.

-En x=a la funcin pasa de ser creciente a decreciente.

Tenemos un mnimo en x=a si

-La funcin existe en ese punto.

-En x=a la funcin pasa de ser decreciente a creciente.

EJEMPLO1

Clculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x3 3x + 2

Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:

1. Derivar la funcin.f '(x) = 3x2 3

2. Obtener las races de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.3x2 3 = 0 x = -1 x = 1

3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (races) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera. Si f'(x) > 0 es creciente.Si f'(x) < 0 es decreciente.Del intervalo (, 1) tomamos x = -2, por ejemplo.

f ' (-2) = 3(-2)2 3 > 0

Del intervalo (1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo. f ' (0) = 3(0)2 3 < 0

Del intervalo ( 1, ) tomamos x = 2, por ejemplo.

f ' (2) = 3(2)2 3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:De crecimiento: (, 1) (1, )

De decrecimiento: (1,1) EJEMPLO 2Clculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de

Dnde se encuentran los mximos y mnimos de esta funcin?Concavidad y convexidad. Puntos de inflexin.

Hemos tomado el criterio que el valle tiene forma cncava y la montaa forma convexa.

Ejemplos de clculo Intervalos de concavidad y convexidad

EJEMPLO 1:

Estudiar los intervalos la concavidad y la convexidad de la funcin:

f(x) = x3 3x + 2

Para estudiar la concavidad y la convexidad, efectuaremos los siguientes pasos:

1. Hallamos la derivada segunda y calculamos sus races.f''(x) = 6x 6x = 0x = 0.

2. Formamos intervalos abiertos con los ceros (races) de la derivada segunda y los puntos de discontinuidad (si los hubiese).3. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada segunda.Si f''(x) > 0 es cncava.

Si f''(x) < 0 es convexa.Del intervalo ( , 0) tomamos x = 1f''(1) = 6(1) < 0 Convexa.

Del intervalo (0, ) tomamos x =1

f''(1) = 6 (1) > 0 Cncava.

4. Escribimos los intervalos:

Concavidad: (0, )

Convexidad: ( , 0)EJEMPLO 2:

Estudia los intervalos de concavidad y convexidad de la funcin

Puntos de inflexin

En ellos la funcin no es cncava ni convexa sino que hay cambio de concavidad a convexidad o viceversa.

y en a se produce un cambio de signo de fOptimizacin de funciones

Pasos para la resolucin de problemas de optimizacin1. Se plantea la funcin que hay que maximizar o minimizar.2. Se plantea una ecuacin que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya ms de una variable.

3.Se despeja una variable de la ecuacin y se sustituye en la funcin de modo que nos quede una sola variable.

4. Se deriva la funcin y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.

5. Se realiza la 2 derivada para comprobar el resultado obtenido.EJEMPLO:

De todos los tringulos issceles de 12 m de permetro, hallar los lados del que tome rea mxima.

La funcin que tenemos que maximizar es el rea del tringulo:

Relacionamos las variables:

2 x + 2 y = 12

x = 6 y

Sustituimos en la funcin:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las races.

Realizamos la 2 derivada y sustituimos por 2, ya que la solucin y = 0 la descartamos porque no hay un tringulo cuyo lado sea cero.

Por lo que queda probado que en y = 2 hay un mximo.

La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) tambin miden 4 m, por lo que el tringulo de rea mxima sera un tringulo equiltero. Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Si comparamos infinitos observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el lmite es 0.

Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Aplicando las propiedades de los logaritmos en el segundo miembro tenemos:

Ejercicios resueltos de la regla de L'Hpital

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Regla de L Hospital.

En matemtica, ms especficamente en el clculo diferencial, la regla de l'Hpital o regla de l'Hpital-Bernoulli es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar lmites de funciones que estn en forma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemtico francs del siglo XVII Guillaume Franois Antoine, marqus de l'Hpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre clculo diferencial, aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarroll y demostr.

Esta regla denominada Regla de LHospital deja bien en claro que bajo ciertas condiciones, el lmite del cociente de dos funciones f(x)/g(x) coincide con el lmite del cociente de sus derivadas. Su demostracin utiliza el resultado como teorema general del valor medio. Sean f y g funciones derivables en un intervalo abierto (a, b) que contiene a c, excepto posiblemente en el propio c. Supongamos que g (x) 0 para todo x en (a, b), excepto en el propio c. Si el lmite de f(x)/g(x) cuando x tiende a c produce la forma indeterminada 0/0, entonces.

Ya que que el lmite de la derecha existe o es infinito. Este resultado es vlido tambin si el lmite de f(x)/g(x) produce cualquiera de las formas indeterminadas /, (-)/, /(-), o (-)/(-).

La regla del LHospital puede aplicarse a lmites laterales. Por ejemplo, si el lmite de f(x)/g(x) cuando k tiende a c por la derecha produce la forma indeterminada o/o, entonces.

Puesto que este ltimo lmite existe (o es infinito).

Cuando calculamos lmites, en el Volumen I, nos encontramos con que muchos de ellos eran en principio lmites indeterminados de la forma . Igualmente, calculamos lmites que eran indeterminados de la forma . En ambas oportunidades establecimos algunos mtodos que nos permitieron calcular dichos lmites; sin embargo, existe una regla que permite esos clculos de un modo ms rpido y que est basada en el clculo de derivadas.

Aunque el resultado que vamos a mencionar se llama la "regla de L'Hpital", sta se debe al famoso matemtico suizo Jean Bernoulli (1667 - 1748). Bernoulli (discpulo de Leibniz) haba instruido en el Clculo al marqus francs, G. F. A. de L'Hpital (1661 - 1704). Bernoulli y L'Hpital hicieron un pacto: el primero reciba un salario regular a cambio de enviarle a L'Hpital sus descubrimientos matemticos para que este ltimo los utilizase como quisiera.

L'Hpital incluy la "regla" en lo que constituye el primer texto de Clculo diferencial impreso: Analyse des infiniment petits, publicado en Pars en 1696. Este texto que influy mucho en la mayor parte del siglo XVIII, contena muchos resultados que hoy sabemos se deban a Jean Bernoulli.

siempre que exista o sea infinito.

Veamos unos ejemplos que ilustran cmo se aplica esta regla.

Ejemplo 1. Un lmite aplicando la regla de L'Hpital

Calcular

Solucin: Observe que la regla dice que tenemos un lmite:

es decir, se toma el numerador como una funcin f(x) y el denominador como otra funcin g(x).

En este caso

f(x) = cos 3x + 4x - 1

y

g(x) = 3x.

Adems

f(0) = cos 3 0 + 4 0 - 1 = 1 + 0 - 1 = 0

y tambin

g(0) = 3 0 = 0.

Todo esto significa que se puede aplicar la regla de L'Hpital porque el lmite es de la forma .

Ahora bien, la regla dice que tenemos

Es decir, se derivan el numerador y el denominador separadamente (no se deriva como un cociente). En el caso que nos ocupa tendramos entonces:

Ejemplo 2. Aplicando dos veces la regla de L'Hpital

Calcular

Solucin: Tomamos

f(x) = ex + e-x - 2 y g(x) = 1 - cos2x,

entonces

f(0) = e0 + e-0 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0

g(0) = 1 - cos2 0 = 1 - 1 = 0

y se puede aplicar la regla de L'Hpital:

observando el lmite de la derecha nos damos cuenta que tambin es de la forma . Volvemos a aplicar la regla de L'Hpital (derivando el numerador y derivando el denominador):

Concluimos que

Ejemplo 3. Uso de la regla de L'Hpital cuando x ->infinito

Calcular

Solucin: Tenemos que

y

por lo que estamos ante un lmite de la forma . Entonces, segn la regla de L'Hpital tenemos

Finalmente, hacemos notar que siempre hay que verificar que el lmite es de la forma o puesto que de lo contrario aplicar la regla de L'Hpital puede inducir a errores.

Ejemplo 4. Un caso en que la regla de L'Hpital no es aplicable

Suponga que tenemos A simple vista, este lmite se puede obtener por simple evaluacin:

y esto indica que no es de las formas apropiadas para aplicar la regla de L'Hpital. Qu sucedera si no nos damos cuenta de ello o an dndonos cuenta insistimos en aplicarla?. En ese caso haramos lo siguiente:

Y sto es un error puesto que el lmite es 8/7 y no 2.

CONCLUSIONES

El clculo diferencial estudia los incrementos en las variables. El clculo diferencial, diferente a lo que piensa la mayora de la gente, tiene un campo de aplicacin prctico muy amplio.RECOMENDACIONES Para graficar y solucionar problemas de optimizacin yaproximacin, calcular los valores mximos y mnimosrelativos de una funcin mediante laaplicaron de los criterios de la primera ysegunda derivada, analizando losintervalos donde la funcin es creciente o decreciente, cncava o convexa eidentificando la existencia de puntos deinflexin,

WEB GRAFAhttp://www.vadenumeros.es/segundo/limites-regla-de-lhopital.htmhttp://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l%27H%C3%B4pitalhttp://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/derivada/5_aplicaciones_de_las_derivadas_al_clculo_de_lmites.html EMBED Equation.3

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