Analisis Matematico I

Si una afirmacion es verdadera, pruebala. Si es falsa, da un contraejemplo. Justifica cuida-dosamente.

1. Contando.(a) Si f : R→ [0, 1] es no decreciente entonces el conjunto {x ∈ R|fes discontinua en x}

es a lo mas numerable (puede ser vacıo, finito o numerable).(b) En el plano caben, a lo mas, una cantidad numerable de cırculos, con radio positivo,

disjuntos dos a dos.2. Sean S, T ⊆ R.

(a) Si x ∈ R es cota superior de S y x ∈ S entonces x = supS.(b) Recıprocamente, si x ∈ R es el supremo de S entonces x ∈ S.(c) El supremo de un conjunto es unico.(d)

mın{supS, supT} = sup(S ∩ T ) ≤ max{supS, supT} = sup(S ∪ T ).

(e) Si S ⊆ T y T es acotado superior e inferiormente, entonces S tambien es acotado.(f) Si S ⊆ T y T tiene supremo e ınfimo (i.e. ambos numeros reales existen), entonces

S tambien tiene supremo e ınfimo.(g) Si S ⊆ T , S 6= ∅ y T tiene supremo e ınfimo (i.e. ambos numeros reales existen),

entonces S tambien tiene supremo e ınfimo, y en ese caso

ınf T ≤ ınf S ≤ supS ≤ supT.

¿Es posible que la segunda desigualdad sea igualdad?(h) Si S ⊆ T y T es acotado superior e inferiormente, entonces S tambien es acotado.(i) Si α ∈ R y T tiene supremo entonces sup(αT ) = α sup(T ) y sup(α + T ) =

α + sup(T ). Recuerda que αT = {αt | t ∈ T}, y α + T = {α + t | t ∈ T}.(j) Si T tiene supremo entonces −T tiene ınfimo e ınf(−T ) = − supT.

3. Sean f, g : D → R funciones acotadas (esto es, acotadas superior e inferiormente).Entonces

ınf{f(x)| x ∈ D}+ ınf{g(x)| x ∈ D} ≤ ınf{f(x) + g(x)| x ∈ D} ≤ınf{f(x)| x ∈ D}+ sup{g(x)| x ∈ D} ≤ sup{f(x) + g(x)| x ∈ D} ≤

sup{f(x)| x ∈ D} + sup{g(x)| x ∈ D}.

Da ejemplos para ilustrar que el signo ≤ es necesario.4. El principio de los supremos iterados. Sean X, Y conjuntos no vacıos y seaf : X × Y → R cuya imagen es acotada en R . Sean f1(x) = sup{f(x, y)| y ∈ Y },f2(y) = sup{f(x, y)| x ∈ X} y g2(y) = ınf{f(x, y)| x ∈ X}. Entonces

sup{f(x, y)| x ∈ X, y ∈ Y } = sup{f1(x)| x ∈ X} = sup{f2(y)| y ∈ Y }.

Ademas,sup{g2(y)| y ∈ Y } ≤ ınf{f2(y)| y ∈ Y }

1

ysup{g2(y)| y ∈ Y } ≤ ınf{f1(x)| x ∈ X}.

Esta ultima desigualdad es importante. Da un ejemplo donde haya igualdad y otrodonde haya desigualdad estricta.

5. Si (A,B) es una cortadura en R, prueba que supA = ınf B (y que ambos numerosreales existen).

6. Si I1 = [a1, b1], I2 = [a2, b2], . . . es una sucesion de intervalos cerrados, no vacıos yanidados en R entonces

a1 ≤ a2 ≤ . . . ≤ an ≤ . . . ≤ bn ≤ . . . ≤ b2 ≤ b1,

e∞⋂n=1

In = [sup{an| n ∈ N}, ınf{bn| n ∈ N}] .

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