UNIVERSIDAD

NACIONAL

DE LOJA

ENSA-CIS-UNL

Área de la Energía, las Industrias y los Recursos Naturales No Renovables

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CARRERA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS

Simulación

Nombre: Jairo Israel Banda Bermeo

Paralelo: Módulo X “B”

Fecha: 23-05-2014

Docente: Ing. Luis Roberto Jácome Galarza.

ENSAYO Nº 1

TEORÍA Y GRÁFICA PARA LAS DISTRIBUCIONES

Distribución Binomial

Esta distribución proviene de n variables de Bernoulli y depende de dos parámetros

B(n,p). Permite calcular la probabilidad de obtener un número k de éxitos al realizar n ensayos de Bernoulli independientes, cada uno de ellos con la misma probabilidad p

de éxito. La variable toma valores enteros entre 0 y n.

Ejemplo: Número de caras al lanzar 100 veces una moneda (p=0.50).

En el siguiente gráfico se muestra la función de probabilidad Binomial con 20

realizaciones y una probabilidad de éxito de 0.25. En abcisas se representan los

distintos valores que puede tomar la variable X (de 0 a 20), y en ordenadas se representa la probabilidad asociada a cada valor posible de X.[1].

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Para calcular la función de probabilidad de una distribución binomial se puede utilizar

el siguiente enlace: http://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/binom/binomdens.phtml ,

que accede a una página con la calculadora que se muestra a continuación, en la que se han introducido los parámetros utilizados en el gráfico. UCLA Statistics.

Concretamente, se obtiene una probabilidad de 0.189685 de que ocurran 4 sucesos con éxito (X-value) de los 20 posibles (Number of Trials) con una probabilidad de éxito

de 0.25 (Probability of Success). En el gráfico se puede leer de forma aproximada

esta probabilidad calculada.

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Distribución de Poisson

Permite calcular la probabilidad de obtener un número k de eventos en sucesos con pequeña probabilidad de ocurrencia. La variable X se mueve desde 0 en adelante,

con valores enteros.

El valor del parámetro λ > 0 representa el número promedio esperado, por unidad de tiempo o de espacio.

Así pues, al parámetro λ se le denomina parámetro de tasa, ya que, en una unidad

de espacio o de tiempo puede que no se observen exactamente λ eventos, pero sin

embargo en un amplio espacio de tiempo o de espacio esperaremos observar

un evento ocurriendo en una tasa de λ por unidad del tiempo o del espacio.

En general se define que una variable aleatoria de Poisson describe un evento raro o poco frecuente, lo cual debe ser entendido en el sentido de que la probabilidad de P(X=k) es menor a medida que el valor de k es mayor.

Ejemplos: el número de errores en una página de un libro, el número de llamadas

telefónicas equivocadas al cabo de un día.

En el siguiente gráfico se muestra la función de probabilidad de Poisson con λ =4. [2].

En la dirección http://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/poisson/poissondens.phtml

tendrá acceso a un calculador de la distribución de Poisson no acumulada, en la que

especificando el valor de X (número de sucesos) y el parámetro λ (Intensity parameter,

que representa el número promedio de sucesos esperado) se proporciona la

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probabilidad de ocurrencia de esos X sucesos (campo Density). Para ello, pulsar el

botón Submit!. UCLA Statistics.

Por ejemplo, encontrará que la probabilidad de ocurrencia de 6 eventos (Pr(X=6)) en

una distribución de Poisson con un valor promedio esperado de 4 sucesos (λ =4), es

de 0.104196, valor que se puede leer en el gráfico anterior de forma aproximada para

X=6.

Distribución Bernoulli

Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y observar si cierto suceso

ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo

sea (fracaso). [3]

En realidad no se trata más que de una variable dicotómica, es decir que únicamente

puede tomar dos modalidades, es por ello que el hecho de llamar éxito o fracaso a los

posibles resultados de las pruebas obedece más una tradición literaria o histórica, en el

estudio de las v.a., que a la situación real que pueda derivarse del resultado. Podríamos

por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta X que toma los valores X=0

si el suceso no ocurre, y X=1 en caso contrario, y que se denota X -> Ber (p). [4].

Su fórmula es:

𝒑 [𝑿 = 𝑿] = 𝒑𝒙(𝟏 − 𝒑)𝟏−𝒙, 𝒙 = 𝟎, 𝟏

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Fig. 3 Función de distribución del modelo de Bernoulli [5]

Un experimento al cual se aplica la distribución de Bernoulli se conoce como Ensayo de

Bernoulli o simplemente ensayo, y la serie de esos experimentos como ensayos

repetidos.

Distribución Erlang

En estadística, la distribución Erlang, es una distribución de probabilidad continua con dos

parámetros k y ʎ cuya función de densidad para valores x > 0 es:

𝒇 (𝒙) = 𝝀𝒆−𝝀𝒙(𝝀𝒙)𝒌−𝟏

(𝒌 − 𝟏)!

La distribución Erlang es el equivalente de la distribución gamma con el parámetro k=1,2 y

ʎ =1/δ. Para k=1 eso es la distribución exponencial. Se utiliza la distribución Erlang para

describir el tiempo de espera hasta el suceso número k en un proceso de Poisson.

Esta función recibe su nombre del matemático e ingeniero danés Agner Krarup Erlang que

la introdujo en 1909.

Se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo, ejemplo: En situaciones donde el

servicio tiene que realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicio exponencial [6].

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Fig. 4 Función de densidad de probabilidad

1. Referencias bibliográficas

[1]. Martínez, Mónica. Marí, Manuel. La Distribución Binomial. En línea. Disponible

en: https://alumnosdeposgrado.files.wordpress.com/2013/10/distribucion-

binomial.pdf (Consultado el 22 de Mayo del 2014).

[2]. Wikipedia, la enciclopedia libre. Distribución de Poisson. En línea. Disponible

en: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Poisson (Consultado el 22

de Mayo del 2014).

[3]. Wikipedia, la enciclopedia libre. Distribución de Bernoulli. En línea. Disponible

en: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Bernoulli (Consultado el 22

de Mayo del 2014).

[4]. Landero, Sonia. Distribución Bernoulli y Distribución Binomial. En línea.

Disponible en: http://www.slideshare.net/sonyelockheart/distribucin-bernoulli-y-

distribucin-binomial (Consultado el 22 de Mayo del 2014).

[5]. Wikipedia, la enciclopedia libre. Distribución de Bernoulli. En línea. Disponible

en: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_Erlang (Consultado el 22

de Mayo del 2014).

[6]. Universidad Católica de Valparaíso. Distribución Erlang. En Línea. Disponible

en: http://www.material_simulacion.ucv.cl/generador_alea/sld019.htm (Consultado

el 22 de Mayo del 2014).