MBA – USM INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES PROFESOR: ENRIQUE NORERO

Integrantes

Rubén Abarca A.

Sergio Campos S.

Pablo Palma S.

Carol Saavedra F.

Trabajo N°2: Programación Entera

1.- (4.-) a) Resuelva el modelo planteado en el punto 2.- anterior por simple inspección, es decir examine todas las combinaciones de valores que puede tomar el cuarteto (X1, X2, X3 y X4), las que en total son 16. Recuerde que la solución deber ser óptima y también factible. El enunciado del punto 2 es el siguiente: Por simple inspección resuelva el siguiente modelo donde las cuatro variables son enteras binarias. 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴 𝒁𝒁 = 𝟑𝟑𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝑿𝑿𝟐𝟐 − 𝟒𝟒𝑿𝑿𝟑𝟑 + 𝑿𝑿𝟒𝟒 𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝑿𝑿𝟑𝟑 ≤ 𝟏𝟏 𝑿𝑿𝟐𝟐 + 𝑿𝑿𝟒𝟒𝟏𝟏 ≥ 𝟏𝟏

Desarrollo:

Lo primero será determinar el N° combinaciones de valores que podrán tomar cada una de las variables. Dado que las variables en estudio son 4, utilizando la regla 2𝑛𝑛, con n=4, tenemos que la cantidad de combinaciones de valores será 16.

Ordenando las 16 combinaciones en una tabla, por simple inspección se tiene que la solución óptima y factible es:

𝒁𝒁∗ = −𝟑𝟑 ; 𝑿𝑿𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 ; 𝑿𝑿𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 ; 𝑿𝑿𝟑𝟑 = 𝟏𝟏 ; 𝑿𝑿𝟒𝟒 = 𝟏𝟏

Luego, la solución encontrada es óptima y factible, ya que minimiza el valor de Z, cumpliendo con todas las restricciones.

En el tercer comunicado, se indica que debe resolverse por simple inspección el ejercicio 4, considerando el enunciado del ejercicio 3, contrario a lo indicado en la guía (ejercicio 2) y resuelto anteriormente. No obstante lo anterior, este será resuelto a continuación: 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴:𝟗𝟗𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝟓𝟓𝑿𝑿𝟐𝟐 + 𝟔𝟔𝑿𝑿𝟑𝟑 + 𝟒𝟒𝑿𝑿𝟒𝟒 S.A: 𝟔𝟔𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝟑𝟑𝑿𝑿𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝑿𝑿𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝑿𝑿𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏𝟎𝟎 𝑿𝑿𝟑𝟑 + 𝑿𝑿𝟒𝟒 ≤ 𝟏𝟏 𝑿𝑿𝟑𝟑 ≤ 𝑿𝑿𝟏𝟏 𝑿𝑿𝟒𝟒 ≤ 𝑿𝑿𝟐𝟐 𝑿𝑿𝑴𝑴 ≥ 𝟎𝟎 ; 𝑿𝑿𝑴𝑴 = {𝟎𝟎,𝟏𝟏} 𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩𝐩 𝐢𝐢 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐,𝟑𝟑,𝟒𝟒 Desarrollo:

Nuevamente, lo primero será determinar el N° combinaciones de valores que podrán tomar cada una de las variables. Dado que las variables en estudio son 4, utilizando la regla 2𝑛𝑛, con n=4, tenemos que la cantidad de combinaciones de valores será 16.

Ordenando las 16 combinaciones en una tabla, por simple inspección se tiene que la solución óptima y factible es:

𝒁𝒁∗ = 𝟏𝟏𝟒𝟒 ; 𝑿𝑿𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 ; 𝑿𝑿𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 ; 𝑿𝑿𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 ; 𝑿𝑿𝟒𝟒 = 𝟎𝟎

Luego, la solución encontrada es óptima y factible, ya que minimiza el valor de Z, cumpliendo con todas las restricciones.

Nota: En ambos casos se probaron otras combinaciones, sin embargo estas no satisfacen todas las restricciones y por tanto no son factibles. b) Recomendaría este método para el caso de un modelo con cincuenta variables binarias; cuantas combinaciones de valores existen en este caso para las variables binarias? Respuesta:

Para un modelo con cincuenta variables binarias, este método no es recomendable ya que se demasiado tedioso y complejo de manejar. La cantidad de combinaciones de valores para un modelo de 50 variables es de 1.125.899.906.842.620, lo cual lo hace inmanejable a través de este método.

2.- (8.-) Con un presupuesto de US$150, Wally Streat está considerando la compra de acciones de 4 grupos distintos. La tabla inferior muestra los dividendos anuales estimados para cada uno de los distintos grupos y el precio de mercado por acción. Para propósitos de diversificación, el número máximo de acciones que Wally comprará de los grupos 1, 2, 3 y 4 son 5, 3, 3 y 2, respectivamente. Sujeto a estos requerimientos de diversificación y a la limitación de presupuestos de US$150, Wally quiere encontrar el portfolio de acciones que maximizará sus dividendos anuales totales. ¿Cuál será la rentabilidad nominal del portfolio, asumiendo que el precio de las acciones se mantendrá igual al precio de compra (es decir la rentabilidad generada por los dividendos)?

Desarrollo:

Para enfrentar el ejercicio, lo primero será definir las variables de decisión:

Variables de decisión:

X1: Acciones a comprar del grupo 1

X2: Acciones a comprar del grupo 2

X3: Acciones a comprar del grupo 3

X4: Acciones a comprar del grupo 4

Función Objetivo:

Max 𝑍𝑍 = 5𝑋𝑋1 + 15𝑋𝑋2 + 12𝑋𝑋3 + 18𝑋𝑋4

Restricciones:

20𝑋𝑋1 + 40𝑋𝑋2 + 30𝑋𝑋3 + 50𝑋𝑋4 ≤ 150

𝑋𝑋1 ≤ 5

𝑋𝑋2 ≤ 3

𝑋𝑋3 ≤ 3

𝑋𝑋4 ≤ 2

𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,𝑋𝑋3,𝑋𝑋4 ≥ 0 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

El problema en cuestión es del tipo programación entera, el cual consiste en maximizar la función objetivo (Max Z). Para encontrar la solución óptima, se utilizó el complemento Solver de Excel, del cual se obtuvieron los siguientes resultados:

Variable X1 X2 X3 X4 Coeficiente óptimo 0 3 1 0

Evaluando estos coeficientes en la función objetivo, el resultado que maximiza las utilidades del portafolio es US$ 57.

3.- (12.-) Una línea aérea planifica comprar jets para pasajeros ejecutivos de tamaño grande, mediano y pequeño. El precio de compra será de $33,5 millones por cada avión grande, $25 millones por uno mediano, $17,5 millones por cada pequeño. El consejo directivo ha autorizado un compromiso máximo de $750 millones para estas compras. Se estima que la ganancia neta anual (después de restar los costos de recuperación de capital) será de $2,1 millones para un avión grande, $1,5 millones si se trata de un avión mediano y $1,15 millones por cada avión pequeño. Se piensa que la compañía podrá disponer de suficientes pilotos como para operar 30 aviones nuevos. Si sólo se compraran aviones pequeños, las instalaciones de mantenimiento podría manejar una flota de 40 aviones, pero para efectos de mantenimiento cada avión mediano equivale a 4/3 de un avión pequeño y cada avión grande equivale a 5/3 de un avión pequeño, en términos de la utilización de las instalaciones de mantenimiento.

a) Formule un modelo de Programación Entera para la situación descrita que maximice la ganancia neta anual. Defina claramente las variables de decisión, función objetivo y restricciones.

b) Considere que la línea aérea establece como política comercial que como máximo se podrán comprar 2 tipos de aviones. Realice las modificaciones necesarias para incorporar esta situación en el modelo construido por usted en a). Además, señale cómo incluiría las siguientes restricciones adicionales:

• No está permitido comprar simultáneamente aviones grandes y medianos. • Si se compran aviones grandes, éstos deberán ser al menos el 40% del total de los

aviones que se compren. • Si se compran aviones pequeños no se podrá comprar aviones medianos.

Desarrollo:

Para facilitar la comprensión del problema, los datos fueron tabulados y se presentan a continuación:

Tipo Avión Precio (*) Presupuesto (*) Ganacia (*)Grande 33,5 2,1

Mediano 25 1,5Pequeño 17,5 1,15

750

(*) Valores expresados en millones de pesos

Respuesta a) En base a lo anterior se definen las variables de decisión de la siguiente forma: X1: Aviones grandes a comprar.

X2: Aviones medianos a comprar.

X3: Aviones pequeños a comprar.

A continuación se define la función objetivo que maximiza la ganancia neta anual de la compañía:

Función Objetivo:

Max 𝑍𝑍 = 2.1𝑋𝑋1 + 1.5𝑋𝑋2 + 1.15𝑋𝑋3

Considerando el planteamiento del problema, la función objetivo queda sujeta a las siguientes restricciones: Restricciones:

33.5𝑋𝑋1 + 25𝑋𝑋2 + 17.5𝑋𝑋3 ≤ 750

𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋3 ≤ 30

53𝑋𝑋1 +

43𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋3 ≤ 40

𝑋𝑋1,𝑋𝑋2,𝑋𝑋3,≥ 0 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒

El problema en cuestión es del tipo programación entera, el cual consiste en maximizar la función objetivo (Max Z). Para encontrar la solución óptima, se utilizó el complemento Solver de Excel, del cual se obtuvieron los siguientes resultados:

Variable X1 X2 X3 Coeficiente óptimo 14 0 16

Evaluando estos coeficientes en la función objetivo, el resultado que maximiza la ganancia neta anual de la compañía es MM$ 47.8.

Respuesta b) Considerando las nuevas restricciones, el planteamiento del ejercicio queda de la siguiente forma: Variables de decisión:

𝑋𝑋𝑋𝑋 = �1, 𝑒𝑒𝑋𝑋 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑋𝑋ó𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑋𝑋𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑋𝑋… .0, 𝑒𝑒𝑋𝑋 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑎𝑎𝑋𝑋ó𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑋𝑋𝑐𝑐𝑒𝑒 𝑋𝑋

𝑋𝑋 = 1, 2, 3 Función Objetivo:

Max 𝑍𝑍 = 2.1𝑋𝑋1 + 1.5𝑋𝑋2 + 1.15𝑋𝑋3

Considerando los nuevos requerimientos del problema, la función objetivo queda sujeta a las siguientes restricciones: Restricciones:

33.5𝑋𝑋1 + 25𝑋𝑋2 + 17.5𝑋𝑋3 ≤ 750

𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋3 ≤ 30

53𝑋𝑋1 +

43𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋3 ≤ 40

𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋3 ≤ 2

𝑋𝑋1 + 𝑋𝑋2 ≤ 1

0.6𝑋𝑋1 − 0.4𝑋𝑋2 − 0.4𝑋𝑋3 ≥ 0

𝑋𝑋2 + 𝑋𝑋3 ≤ 1

𝑋𝑋𝑖𝑖 ≥ 0 𝑦𝑦 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 ; 𝑋𝑋𝑖𝑖 = {0, 1} 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑋𝑋 = 1, 2, 3

El problema en cuestión es del tipo programación entera binaria, el cual consiste en maximizar la función objetivo (Max Z). Para encontrar la solución óptima, se utilizó el complemento Solver de Excel, del cual se obtuvieron los siguientes resultados:

Variable X1 X2 X3 Coeficiente óptimo 1 0 1

Evaluando estos coeficientes en la función objetivo, el resultado 3.25

Nota: En la simulación anterior se consideraron todas las variables que le agregan restricciones al problema. No obstante lo anterior, a continuación se indicará punto a punto la forma en que fueron incluidas estas restricciones en el problema:

• No está permitido comprar simultáneamente aviones grandes y medianos. Respuesta: Se representa de la forma 𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝑿𝑿𝟐𝟐 ≤ 𝟏𝟏

• Si se compran aviones grandes, éstos deberán ser al menos el 40% del total de los aviones que se compren. Respuesta: Se representa de la forma: 𝑿𝑿𝟏𝟏 ≥ 𝟎𝟎.𝟒𝟒(𝑿𝑿𝟏𝟏 + 𝑿𝑿𝟐𝟐 + 𝑿𝑿𝟑𝟑) = 𝟎𝟎.𝟔𝟔𝑿𝑿𝟏𝟏 − 𝟎𝟎.𝟒𝟒𝑿𝑿𝟐𝟐 − 𝟎𝟎.𝟒𝟒𝑿𝑿𝟑𝟑 ≥ 𝟎𝟎

• Si se compran aviones pequeños no se podrá comprar aviones medianos.

𝑿𝑿𝟑𝟑 ≤ (𝟏𝟏 − 𝑿𝑿𝟐𝟐) = 𝑿𝑿𝟐𝟐 + 𝑿𝑿𝟑𝟑 ≤ 𝟏𝟏

4.- Determinar dos subconjuntos de un conjunto ¿Cómo armar dos subconjuntos del conjunto formado por los números 7, 10, 13, 17, 20 y 22, de forma que la diferencia entre la suma de los números de cada subconjunto sea mínima? Como pista, deben usar seis variables enteras binarias. En este caso se debe construir el modelo y luego resolver. Desarrollo:

A continuación se construirá un modelo de programación entera binaria que permita cumplir con el planteamiento de ejercicio;

𝑋𝑋𝑖𝑖 = � 1, 𝑒𝑒𝑋𝑋 𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑁𝑁° 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐0, 𝑒𝑒𝑋𝑋 𝑒𝑒𝑑𝑑 𝑁𝑁° 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒𝑠𝑠𝑠𝑠𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐

𝑀𝑀𝑋𝑋𝑒𝑒 𝑍𝑍 = |(7𝑋𝑋1 + 10𝑋𝑋2 + 13𝑋𝑋3 + 17𝑋𝑋4 + 20𝑋𝑋5 + 22𝑋𝑋6) − ((1− 𝑋𝑋1) ∗ 7 + (1 − 𝑋𝑋2)∗ 10 + (1 − 𝑋𝑋3) ∗ 13 + (1 − 𝑋𝑋4) ∗ 17 + (1 − 𝑋𝑋5) ∗ 20 + (1 − 𝑋𝑋6) ∗ 22)|

Sa: ai en {0,1} ai representa si esta en el subconjunto 1 (ai = 1) o si esta en el conjunto 2 (ai = 0)

i en {1,2,3,4,5,6}

Nota que Z = f(ai) esta en | | (valor absoluto)