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ANÁLISIS Y MÉTODOS NUMÉRICOS

Nestor Abel Sánchez Goycochea

13 de julio de 2015


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UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO

FACULTAD DE CIENCIAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Profesora: Verónica Anaya Domı́nguez.

D e p a r t a m e n t o d e M a t e m ´ a t i c a -

U n i v e r s i d a d d e l B ´ ı o - B ´ ı o - 2 0 1 5

Análisis y Métoddos Númericos(390026-392056)

TAREA 2:

1. Sea f función continua en [a, b] y f (a)f (b) < 0. El método de bisección genera unasucesión {ck}

∞

k=1 que aproxima a x, raı́z de f , con

|ck − x∗| ≤ b − a

2k

cuando k ≥ 1.

Demostraci´ on. Recordemos que en el método de bisección se considera

ck = bk + ak

2 , ∀ k ≥ 1

donde a1 = a, b1 = b y x∗ ∈ (ak, ck) ó x∗ ∈ (ck, bk), de aquı́ se sigue que:

|ak − x∗| ≤ bk − ak

2 , |bk − x∗| ≤

bk − ak2

∀ k ≥ 1 (1.1)

Luego,

|ck − x∗| = bk + ak2 − x∗=

1

2 |(bk − x∗) + (ak − x∗)|

≤ 1

2 (|bk − x∗| + |ak − x∗|)

Aplicando (1.1) se tiene que

|ck − x∗| ≤ 1

2

bk − ak

2 +

bk − ak2

=

1

2(bk − ak)

Entonces:

|ck − x∗| ≤ 1

2(bk − ak), ∀ k ≥ 1 (1.2)

Por otra parte, la longitud del intervalo se reduce a la mitad en cada fase del método, es

decir:

bk − ak = bk−1 − ak−1

2 , ∀ k ≥ 2 (1.3)

Luego, probaremos por inducción que

bk − ak = b − a

2k−1 , ∀ k ≥ 1 (1.4)

1 Nestor Abel S ́ anchez Goycochea


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Entonces, si k = 1 se tiene que b1 − a1 = b−a21−1

y asumamos que (1.4) se cumple para

k = n − 1 (hipótesis inductiva), probaremos que también se cumple para k = n ≥ 2.En efecto,

bn − an = bn−1 − an−1

2 =

1

2

b − a

2(n−1)−1

=

b − a

2n−1

Por lo tanto, de (1.2) y (1.4) se concluye que:

|ck − x∗| ≤ 1

2

b − a

2k−1

=

b − a

2k

2. Determine el número de iteraciones necesarias en el método de bisección, para aproxi-

mar la raı́z de f (x) = x3 + 4x2 − 10 en el intervalo [1, 2] con una precisión de 10−3.

Demostraci´ on. Como f es continua en [1, 2] y f (1)f (2) < 0, (pues f (1) = −5 yf (2) = 14) entonces por el ejercicio 1 se sigue que:

|ck − x∗| ≤ 2 − 1

2k =

1

2k

Para aproximar la raı́z de f (x) = x3 + 4x2 − 10 en el intervalo [1, 2] con una precisiónde 10−3 se debe tener que:

1

2k ≤ 10−3 ⇐⇒ 2k ≥ 103

⇐⇒ k ln(2) ≥ ln (1000)

⇐⇒ k ≥ ln(1000)

ln(2)

⇐⇒ k ≥ 9.965784 ≈ 10

Por lo tanto el número de iteraciones necesarias es 10.

3. Sea g función continua en [a, b] y g(x) ∈ [a, b], ∀ x ∈ [a, b], entonces g tiene al menosun punto fijo en [a, b].

Si, además g ′(x) está definida en (a, b) y existe K


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Demostraci´ on. Considerando xk = g(xk−1) y g(x∗) = x∗ se sigue que:

|xk − x∗| = |g(xk−1) − g(x∗)|

Por el Teorema del valor medio, ∃ c ∈ [a, b] tal que

|xk − x∗| ≤ |g′(c)| |xk−1 − x∗|

|xk − x∗| ≤ K |xk−1 − x∗| , ∀ k ≥ 1 (4.1)

Aplicando recursivamente (4.1) se sigue que:

|xk − x∗| ≤ K |xk−1 − x∗|

≤ K (K (|xk−2 − x∗|))= K 2 |xk−2 − x∗|

≤ K 2(K (|xk−3 − x∗|))

= K 3 |xk−3 − x∗|

≤ ...

|xk − x∗| ≤ K k |x0 − x∗| , ∀ k ≥ 1 (4.2)

En particular, tomando k = 1 en (4.2) se tiene:

|x1 − x∗| ≤ K |x0 − x∗|

|x1 − x∗| ≤ K (|x0 − x1| + |x1 − x∗|)

|x1 − x∗| ≤ K |x0 − x1| + K |x1 − x∗|

(1 − K ) |x1 − x∗| ≤ K |x0 − x1|

y como 1 − K ̸= 0 (pues K


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Por lo tanto,

|xk − x∗| ≤

K k

1 − K |x0 − x1| (4.4)Finalmente, para cualquier ϵ > 0 y aplicando lı́mite en (4.4) se tiene:

ĺımK →∞

|xk − x∗| ≤ ĺımK →∞

K k

1 − K |x0 − x1|

|xk − x∗| ≤ 0 < ϵ

Esto muestra que {xk}∞

k=0 converge a x∗.

5. Si Q0(f ) =n

∑ j=0A jf (t j) es una f ́ormula de cuadratura para aproximar la integral

1

∫ −1f dx,

entonces para x j = b − a

2 t j+

a + b

2 , ∀ j = 0, · · · , n; se tiene una f ́ormula de cuadratura

para el intervalo [a, b]:

b∫ a

f dx ∼ Q(f ) =n∑

j=0

b − a

2 A jf (x j)

Demostraci´ on. Considere

x j = b − a

2 t j +

a + b

2 , ∀ j = 0, · · · , n

y observe que

Si t0 = −1 ⇒ x0 = b − a

2 (−1) +

a + b

2 = a

Si tn = 1 ⇒ xn = b − a

2 (1) +

a + b

2 = b

Entonces, podemos pasar de una integral en el intervalo [a, b] al intervalo [−1, 1]., estoes

b∫ a

f (x j)dx j =

b − a

2

1∫ −1

f (x j(t j))dt j

∼

b − a

2

Q0(f )

=

b − a

2

n∑ j=0

A jf (x(t j))

=n

∑ j=0

b − a

2

A jf (x j)



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6. Determine la regla de cuadratura de Newton-Cotes para aproximar

b

∫ a

f dx. Consideran-

do n = 1, x0 = a + h, x1 = a + 2h, donde h = b−a

3 .

Demostraci´ on. Considerando n = 1 y siguiendo la regla de Newton-Cotes se tiene

b

∫ a

f (x)dx ≈

b

∫ a

p1(x)dx =

b

∫ a

[L0(x)f (x

0) + L

1(x)f (x

1)] dx

= f (x0)

b∫ a

x − x1x0 − x1

dx + f (x1)

b∫ a

x − x0x1 − x0

dx

= f (a + h)

−h

b∫ a

(x − x1)dx + f (a + 2h)

b∫ a

(x − x0)dx

= −f (a + h)

h

(x − x1)

2

2

ba

+ f (a + 2h)

h

(x − x0)

2

2

ba

= −3f

2a+b3

b − a

−

(b − a)2

6

+

3f a+2b3

b − a

(b − a)2

6

=

b − a

2

f

2a + b

3

+ f

a + 2b

3

Por lo tanto la regla de cuadratura es:

b

∫ a

f (x)dx ≈ b − a2 f 2a + b3 + f a + 2b3

7. Determine la regla de cuadratura de Newton-Cotes para aproximar

b

∫ a

f dx. Consideran-

do n = 2, x0 = a + h, x1 = a + 2h, x2 = a + 3h, donde h = b−a

4 .

Nestor Abel S ́ anchez Goycochea 6


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Demostraci´ on. Considerando n = 2 y siguiendo la regla de Newton-Cotes se tiene

b∫ a

f (x)dx ≈

b∫ a

p2(x)dx =

b∫ a

[L0(x)f (x0) + L1(x)f (x1) + L2(x)f (x2)] dx

= f (x0)

b∫ a

x − x1x0 − x1

x − x2x0 − x2

dx

A

+f (x1)

b∫ a

x − x0x1 − x0

x − x2x1 − x2

dx

B

+ f (x2)

b

∫ a

x − x0x2 − x0 x − x1

x2 − x1 dx C

(7.1)

Luego,

A = 1

(x0 − x1

−h)(x0 − x2

−2h)

b∫ a

[x2 − (x1 + x2)x + x1x2]dx

= 1

2h2

x3

3 −

(x1 + x2)x2

2 + (x1x2)x

ba

= 1

2h2

b3 − a3

3 −

(x1 + x2)

2 (b2 − a2) + (x1x2)(b − a)

= (b − a)

2h2

b2 + ab + a2

3 −

(x1 + x2)

2 (b + a) + (x1x2)

= 4h

2h2

b2 + ab + a2

3 −

3a + 5b

8 (b + a) +

a2 + 3b2 + 4ab

8

= 2ha2 + b2 − 2ab

12

= 8

b − a

(b − a)2

12

A = 2

3(b − a)

De forma análoga

B = − 13

(b − a), C = 23

(b − a)



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Luego, reemplazando A, B y C en (7.1) obtenemos:

b∫ a

f (x)dx ≈ f (x0)2

3(b − a) − f (x1)

1

3(b − a) + f (x2)

2

3(b − a)

= 2

3(b − a)

f (x0) −

1

2f (x1) + f (x2)

= 2

3(b − a)

f

3a + b

4

−

1

2f

a + b

2

+ f

a + 3b

4

Por lo tanto la regla de cuadratura es:

b∫ a

f (x)dx ≈ 2

3(b − a)

f 3a + b

4

−

1

2f a + b

2

+ f

a + 3b4

8. Determine el número de sub-intervalos necesarios para que el error que se comete al

aproximar

1∫ 0

e−x2

dx por la regla de Trapecios Compuesta sea menor que 10−4.

Demostraci´ on. El error que se comete al aproximar una función por la regla de Trape-

cios Compuesta, para nuestro caso, es:

|E 1(f )| ≤ (1 − 0)3

12m2 máxx∈[0,1]

|f ′′(x)|

Para que dicho error sea menor a 10−4 se debe tener:

1

12m2 máxx∈[0,1]

|f ′′(x)| ≤ 10−4 (8.1)

Por otra parte

f (x) = e−x2

=⇒ f ′(x) = −2xe−x2

=⇒ f ′′(x) = e−x2

(4x2 − 2)

=⇒ |f ′′(x)| =e−x2 4x2 − 2

=⇒ |f ′′(x)| ≤4x2 − 2 (8.2)

Además como x ∈ [0, 1] se tiene:

0 ≤ x2 ≤ 1 =⇒ 0 ≤ 4x2 ≤ 4 =⇒ −2 ≤ 4x2 − 2 ≤ 2

entonces 4x2 − 2 ≤ 2 (8.3) Nestor Abel S ́ anchez Goycochea 8


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Ası́ de (8.2) y (8.3) se tiene|f ′′(x)| ≤ 2

y tomando max́imo

máxx∈[0,1]

|f ′′(x)| = 2 (8.4)

Luego, de (8.1) y (8.4)

1

12m2(2) ≤ 10−4

m2 ≥ 104

6

m ≥ √ 50003m ≥ 40.8248 · · · ≈ 41

Por lo tanto se necesitan 41 iteraciones para que el error sea menor a 10−4.


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