Tassi convertibile ed intensità istantanea di interesse · 2020. 3. 18. · In capitalizzazione composta, dato il tasso effettivo annuo di interesse del 5% (!= 0,05), si calcoli

I regimi finanziariTassi convertibili e intensità istantanea di interesse

Tassi convertibile ed intensitàistantanea di interesse

https://web.uniroma1.it/memotef/node/7495


Tassi convertibiliDefinizione

Riconsideriamo il tasso effettivo di interesse riferito all’!-esima parte del periodounitario in ipotesi di struttura piatta, definito dalla (17)

" #$= 1 + "#

#$ − 1.

Tale relazione è stata dedotta da considerazioni basate sul principio di assenza diarbitraggio che, come si vedrà più avanti, valgono per il regime finanziario dellacapitalizzazione composta.

DefinizionePrende il nome di tasso nominale (per periodo unitario) rinnovabile (o convertibile) ! volte nel periodo unitario il prodotto

* ! = ! + " ,-

(46)

OsservazionePer alleggerire la notazione, nel seguito – laddove l’uso non sia ambiguo – si denoteranno con . e / rispettivamente il tasso di interesse e il tasso di sconto per periodo unitario (cioè si scriverà . per .0 e / per /0):



Tassi convertibiliTasso di interesse e tasso di sconto convertibili

Osservazioni

• Il tasso convertibile !(#) esprime un’intensità. Infatti, dimensionalmente

! # = # & ' ()=' ()()= (*+#,-. /+-.)

(0,#/.)

• Analogamente a quanto fatto per il tasso di interesse, è possibile definire il tassonominale di sconto per periodo unitario rinnovabile # volte nel periodounitario semplicemente sostituendo nella (46) 1(/) a '(/), cioè

3 # = # & 145

(47)

essendo, nell’ambito del regime della capitalizzazione composta, il tasso di scontorelativo all’#-esima parte del periodo unitario

1()= 1 − 1 − 1

().



Tassi convertibiliSignificato finanziario

Il tasso nominale !(#) “converte” il tasso effettivo di interesse relativo all’#-esima partedel periodo unitario, %&/(, riferendolo al periodo unitario stesso.Benché il tasso convertibile sia spesso impiegato (è tipicamente usato per le obbligazioni), laconversione non è finanziariamente corretta perché equivale a sommare # volte il tasso %&/(relativo a sottoperiodi diversi del periodo unitario, come esemplificato dal grafico seguente

In regime di capitalizzazione composta su base pari ad un #-esimo di periodo unitario, laconversione significa che a ogni scadenza l’investitore di un capitale unitario () = 1) riscuotel’interesse %&/(; quindi nell’intero periodo unitario viene riscosso complessivamente l’interesse# - %&/(. La scorrettezza finanziaria nasce dal fatto che ogni importo %&/( matura in un’epocadifferente del periodo unitario e quindi non potrebbe essere sommato ai rimanenti, se non dopoessere stato riferito ad una stessa epoca.

) = 1.

m volte

. + &( . + 0

( . + (1&( . + (

( = . + 1

%&(

%&(

%&(

%&(



Tassi convertibiliEsplicitazione nei tre regimi finanziari

Il tasso convertibile è definito in maniera generale come ! " = " $ %&/(.Ovviamente tale espressione si particolarizza in rapporto al regime finanziario.

1. Nel regime della capitalizzazione composta, essendo %&/( = 1 + % &/( − 1, si ha

! " = " $ 1 + % &/( − 1 (48)

2. Nel regime della capitalizzazione semplice, essendo %&/( = %/", si ha

! " = " $ ,( = % (49)

3. Nel regime dello sconto commerciale, essendo -&/( = -/", si ha

. " = " $ /( = - (50)

Per illustrare il significato finanziario del tasso convertibile si analizzerà nel dettaglio la(48). Assumeremo cioè in primo luogo che il regime finanziario sia quello dellacapitalizzazione composta. Solo successivamente i risultati saranno generalizzati.



Tassi convertibiliTasso di interesse convertibile nel regime della capitalizzazione composta

Esempio 24In capitalizzazione composta, dato il tasso effettivo annuo di interesse del 5% (! =0,05), si calcoli il tasso nominale annuo &(() per un frazionamento:• semestrale (( = 2)• quadrimestrale (( = 3)• trimestrale (( = 4)• mensile (( = 12)• settimanale (( = 52).

Essendo & ( = ( . 1 + ! 0/2 − 1 , si ha

& 2 = 2 . 1 + 0,05 0/4 − 1 ≅ 0,04939015 4,94%& 3 = 3 . 1 + 0,05 0/8 − 1 ≅ 0,04918907 4,92%& 4 = 4 . 1 + 0,05 0/; − 1 ≅ 0,04908894 4,91%& 12 = 12 . 1 + 0,05 0/04 − 1 ≅ 0,04888949 4,89%& 52 = 52 . 1 + 0,05 0/<4 − 1 ≅ 0,048813061 4,88%

Cosa suggerisce tale sequenza?



Tassi convertibiliTasso di interesse convertibile nel regime della capitalizzazione composta

Esempio 24 (segue)

OsservazioneAl crescere di !, "(!) decresce e tende a stabilizzarsi ad un valore che dipende dal tassoeffettivo annuo. Per dedurre la relazione analitica che esiste, nel regime della capitalizzazionecomposta, tra % e "(!) al crescere di ! occorre studiare la funzione "(!).

Tassi effettivi annui ® 1,0000% 2,0000% 3,0000% 4,0000% 5,0000%

m Tasso nominale annuo

Annuale 1 1,0000% 2,0000% 3,0000% 4,0000% 5,0000%

Semestrale 2 0,9975% 1,9901% 2,9778% 3,9608% 4,9390%

Quadrimestrale 3 0,9967% 1,9868% 2,9705% 3,9478% 4,9189%

Trimestrale 4 0,9963% 1,9852% 2,9668% 3,9414% 4,9089%

Mensile 12 0,9954% 1,9819% 2,9595% 3,9285% 4,8889%

Settimanale 52 0,9951% 1,9806% 2,9567% 3,9236% 4,8813%

Giornaliero 365 0,9950% 1,9803% 2,9560% 3,9223% 4,8793%

Continuo ∞ 0,9950% 1,9803% 2,9559% 3,9221% 4,8790%

D tra giornaliero e continuo 0,0000001 0,0000005 0,0000012 0,0000021 0,0000033



Tassi convertibiliStudio della funzione !(#) nel regime della capitalizzazione composta

• Insieme di definizione: ∀# ∈ ℝ | # ≠ 0 (finanziariamente ha senso # > 0)

• Limiti:

lim/→±2

! # = lim/→±2

# 4 1 + 7 8// − 1 = lim/→±2

1 + 7 8// − 11#

= ln(1 + 7)

(limite notevole)lim/→<=

! # = lim/→<=

# 4 1 + 7 8// − 1 = 0 (immediato)

lim/→<>

! # = lim/→<>

# 4 1 + 7 8// − 1 = +∞ (de L’Hospital)

• Segno: ! # > 0 ∀# ∈ @. B.

• Derivata prima:CD(/)C/

= 1 + 7 8// − 1 − 8/1 + 7 8// ln(1 + 7)

lim/→E2

F!(#)F#

= 0, lim/→H2

F!(#)F#

= 0, lim/→<=

F!(#)F#

= −1, lim/→<>

F!(#)F#

= −∞,

• Segno della derivata prima: CD(/)C/

< 0 ∀ # ∈ @. B. (!(#) decrescente)



Tassi convertibiliStudio della funzione !(#) nel regime della capitalizzazione composta

• Derivata seconda:%&'(()%(& = *

(+ 1 + . */( ln2(1 + .)

• Segno della derivata seconda: %&'(()%(& > 0 per # > 0 (!(#) convessa)

%&'(()%(& < 0 per # < 0 (!(#) concava)

!(#)

#

Grafico della funzione:

ln(1 + .)



Tassi convertibiliIntensità istantanea di interesse

Riconsideriamo il lim$→±'( ) = ln(1 + /)

L’intensità istantanea di interesse δ esprime con quale intensità la legge dicapitalizzazione accresce l’interesse, nell’ipotesi che il regime finanziario sia quello dellacapitalizzazione composta (istantanea poiché ) → ∞).

Per definizione poniamo

δ = ln(1 + /) (51)

e chiamiamo δTasso nominale di interesse per periodo unitario rinnovabile istante per istante

o, più sinteticamente,

Intensità istantanea di interesse



Tassi convertibiliTasso di sconto convertibile e intensità istantanea di sconto

Oltre al tasso di interesse convertibile, è stato definito [cfr. (47)] anche il tasso disconto convertibile come

! " = " $ %&'

Ricordando che nel regime della capitalizzazione composta è

(&'= (

&' ⟺ 1 − %&

'= 1 − %

&' ⟺ %&

'= 1 − 1 − %

&'

segue che, in tale regime,

! " = " $ 1 − 1 − %&'

Per rappresentare graficamente la funzione ! " è sufficiente osservare che

! " = " $ 1 − 1 − % &/' = " $ 1 − (&/'

= " $ 1 − 1 + . /&/' = −" $ 1 + . /&/' − 1 = 0(−")

Questo è il motivo per cui si è studiata la funzione 0(") sull’intero asse reale (con" ≠ 0) anziché solo per valori positivi di".



Tassi convertibiliTasso di sconto convertibile e intensità istantanea di sconto

Pertanto, il grafico della funzione è: ! " = $(-")

"

-ln(1-*)

Osserviamo che

lim-→±0! " = lim-→±01 − 1 − * 2/-

1/" = lim2-→±0

1 − 1 − * 2/-

1/" = − ln 1 − * .

Per definizione! = − ln 1 − * (52)

è detto tasso nominale di sconto per periodo unitario rinnovabile istante peristante (o intensità istantanea di sconto).



Tassi convertibiliIntensità istantanea di interesse e di sconto

OsservazioneConfrontiamo le due espressioni

δ = ln(1 + () (51)

* = − ln 1 − , (52)

Ricordando che , = -./- e sostituendo nella (52) si ha

* = − ln 1 − , = − ln 1 − (1 + ( = − ln 1

1 + ( = − ln 1 + ln 1 + ( = 0

cioè

* = 0L’intensità istantanea di sconto è uguale all’intensità istantanea di interesse.

Infatti, dato il significato finanziario di intensità istantanea di interesse e di sconto,non ha senso distinguere l’inizio e la fine di un intervallo di tempo di ampiezzainfinitesima.



Intensità istantanea di interesse e di scontoGeneralizzazione

OsservazioneLo studio dei tassi di interesse e di sconto convertibili ha riguardato finora il casoparticolare del regime finanziario della capitalizzazione composta, per il quale ledefinizioni di !(#) e % # si particolarizzano – come visto – nelle:

! # = # ' 1 + * +/- − 1 e % # = # ' 1 − 1 − / +/-

Il comportamento al limite dei tassi di interesse e di sconto convertibili hacondotto a definire l’intensità istantanea (di interesse e di sconto), semprenell’ambito del regime della capitalizzazione composta.

L’obiettivo diviene quindi la generalizzazione di tale risultato, cioè la definizionedi un’intensità istantanea a prescindere dallo specifico regime finanziario.

Tale estensione permetterà di stabilire se un regime finanziario consenta o menoopportunità di arbitraggio.

Generalizzeremo il risultato prima per leggi finanziarie che dipendono dalla soladurata e successivamente per leggi finanziarie che dipendono dall’epoca inizialee finale dell’operazione finanziaria.



Intensità istantanea di interesse e di scontoGeneralizzazione per leggi dipendenti dalla sola durata

Consideriamo il fattore di capitalizzazione come dipendente dalla sola duratadell’operazione finanziaria e valutiamo l’interesse prodotto da un importo unitario,estendendo la durata dell’operazione stessa da !" a !" + ∆!.

0 !" !" + ∆!

1

'(!")

'(!" + ∆!)

* + ,,+ ,.∆+

Moltiplicando e dividendo per '(!"), l’interesse *+,,+,.∆+ = ' !" + ∆! − '(!") puòessere scritto in modo equivalente come

*+,,+,.∆+ = '(!") 1 2 +,.∆+ 32(+,)2(+,)

(53)




Poiché per ipotesi la funzione !(#) è continua e derivabile, l’incremento ! #% + ∆# −!(#%) può essere approssimato dal differenziale !′ #% ∆#, quando ∆# → 0.

Sostituendo nella (53), per ∆# → 0, si ha

,-.,-.0∆- = ! #% 2 3 -.0∆- 43 -.3 -.≅ ! #% 2 3

6 -. ∆-3 -.

= ! #% 2 36 -.3 -.

2 ∆#

0 #% #% + ∆#

1

!(#%)

!(#% + ∆#)

, - .,- .0∆-

! #% + ∆# − ! #%!′ #% ∆#

8 = ! #% + !′ #% ∆#

!(#)

#




In generale, per ! qualsiasi, può scriversi

"#,#%∆# ≅ ( ! ) *+ #* # ) ∆! (∆! → 0)

Pertanto, un capitale unitario investito all’epoca 0 determina tra ! e ! + ∆! uninteresse proporzionale:

• al capitale 1(2);• all’intervallo di tempo ∆2;• alla funzione 1

+ 21 2 .

Ricordando che 3 ln ( ! = *+ #* # , si pone per definizione

7 ! ≔ 3 ln ( ! = *+ #* # (54)

La funzione 7 ! prende il nome di forza di interesse o intensitàistantanea di interesse.



Forza di interesseGeneralizzazione per leggi dipendenti dalla sola durata

Integrando entrambi i membri della (54) si ha

!"

#$ % &% = !

"

#(ln + % &%

= ln + % "#

= ln + , − ln + 0= ln + ,

cioè infine

+ , = /∫12 3 4 54 (55)

Data la forza di interesse, la (55) consente di ricavare il fattore di capitalizzazione.

Sfruttando le relazioni fondamentali, segue

6 , = 78(#) =

7;∫1

2 < = >== /? ∫1

2 3 4 54 (56)

Data la forza di interesse, la (56) consente di ricavare il fattore di attualizzazione.




OsservazioneRiconsideriamo la relazione ! " = $

%('), dalla quale segue

!)(") = − +) "+, " .

Sostituendo nella (54), si ha quindi

. " = /0 '/ ' =

120 324 352 3

= − %0 '%4 ' + " = − %0 '

% ' = −6ln +(") (57)

Nella forma espressa dalla (57), la funzione . " prende il nome di forza di sconto ointensità istantanea di sconto.

Come è ovvio, integrando entrambi i membri della (57), si perviene sempre alla (56):

9:

'. ; <; = −9

:

'6ln + ; <; = − ln + ; :'= − ln +(")

cioè

ln + " = −∫:' . ; <; ⟺ + " = ?1 ∫@

3 A B CB, cioè la (56).




Esempio 25Sia l’anno l’unità di misura del tempo e viga sul mercato dei capitali, per ! ≥ 0, laseguente forza di interesse

$ ! = 120 + 2!

Indicare la legge di capitalizzazione e il montante prodotto da 1.000€ nelle due seguenti alternative di investimento:a) Impiego del capitale per una durata di tre annib) Impiego del capitale per una durata di due anni e sei mesi ed immediato

reimpiego dell’importo ottenuto per ulteriori sei mesi.

In primo luogo occorre calcolare

+,

-$ . /. = +

,

- 120 + 2. /. =

12+,

- 110 + . /.

= 12 ln (10 + .) ,- =

12 ln 10 + ! − ln 10

= 12 ln 1 + 1

10 ! = ln 1 + 110 !

5/7




Esempio 25 (segue)

Pertanto, essendo. ∫"# $ % &% = ln 1 + ,

,"-,//

, segue

0 - = 123 ,4 ,,"#

5/6

= 1 +110 -

Si osservi che sono verificate le condizioni affinché 0 - sia interpretabile come fattoredi capitalizzazione, essendo:• 0 - > 0 per - > 0• 0 0 = 1

• 09(-) = ,

/" ,4 55<#

> 0 per - > 0

Montante nelle due alternative di investimento:

a) =(>) = 1.000 @ 1 + A," ≅ 1.140,175425

b) =(H) = 1.000 @ 1 + /,I," @ 1 + ",I

," ≅ 1.145,643924



Forza di interesseRegime della capitalizzazione composta

1. Nel regime della capitalizzazione composta è ! " = 1 + & ', per cui

( " = !′(")!(") =

1 + & ' ln(1 + &)1 + & ' = ln 1 + & = (

Si osservi che, in questo regime, la forza di interesse non dipende dal tempo. Inoltreche la (54) generalizza la (51), nel senso che fornisce il valore di ( già calcolatocome limite del tasso di interesse convertibile al tendere di. ad infinito.

Dalla ( = ln 1 + & segue /0 = 1 + & , dalla quale – elevando alla " entrambii membri, /0' = 1 + & '.

Pertanto, nel regime della capitalizzazione composta, può scriversi

! " = /0' (58)

Dalla (58), attraverso le relazioni fondamentali, seguono le relazioni

1 " = /20' (59)

& " = /0' − 1 (60)

4 " = 1 − /20' (61)



Forza di interesseRegimi della capitalizzazione semplice e dello sconto commerciale

2. Nel regime della capitalizzazione semplice è ! " = 1 + & ' ", per cui

( " = !′(")!(") =

&1 + & ' "

Si osservi che, in questo regime, la forza di interesse dipende dal tempo.

3. Nel regime dello sconto commerciale è !(") = ,,-.'/, per cui

( " = !′(")!(") =

01 − 0 ' " 2

11 − 0 ' "

= 01 − 0 ' " 2 ' 1 − 0 ' " = 0

1 − 0 ' "

Si osservi che anche in questo regime la forza di interesse dipende daltempo.



Forza di interesseCostanza della forza di interesse (per leggi dipendenti dalla durata) e non arbitraggio

OsservazioneCome si dedurrà in seguito, l’indipendenza dal tempo della forza di interesse(per leggi finanziarie che dipendono dalla sola durata dell’operazione) costituisceuna condizione fondamentale per discriminare i regimi finanziari cheammettono opportunità di arbitraggio da quelli che escludono tale opportunità.

Per caratterizzare i regimi finanziari in base al comportamento della forza diinteresse, si definirà quest’ultima per leggi finanziarie di due variabili (epocainiziale ed epoca finale dell’operazione) e si fornirà una condizione più restrittivadi quella di arbitraggio (teorema di Cantelli).



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Tassi convertibile ed intensità istantanea di interesse · 2020. 3. 18. · In capitalizzazione composta, dato il tasso effettivo annuo di interesse del 5% (!= 0,05), si calcoli