Series de Taylor y de Maclaurin

Gustavo Daniel Cruz Barragán

17-ene-2014

Resumen

A lo largo de este curso y al �nal de los anteriores, me he dado cuenta que el uso del cálculo

se hace cada vez más fundamental, y en este breve ensayo pretendo hacerle llegar al maestro

mi entusiasmo por una de las tantas herramientas que me ha podido ensenar. Mi meta en este

trabajo es exponerle mi entendimiento acerca de las series de Taylor y de Maclaurin, y lo que

entiendo de ellas es que sirven para una cosa: hacer aproximaciones polinomiales para cualquier

función que sea in�nitamente diferenciable (en cierto intervalo).

Sea f(x) una función que tenga derivadas en todos los órdenes en un intervalo I. Supongamos f(x)como una serie de potencias, esto sería

f(x) =∞∑n=0

an(x− a)n = a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + · · ·+ an(x− a)n + · · ·

derivando término a término, obtenemos

f′(x) = a1 + 2a2(x− a) + 3a3(x− a)2 + · · ·+ nan(x− a)n−1 + · · ·

f′′(x) = 1 · 2a2 + 2 · 3a3(x− a) + 3 · 4a4(x− a)2 + · · ·+ n(n− 1)(x− a)n−2 + · · ·f

′′′(x) = 1 · 2 · 3a3 + 2 · 3 · 4a4(x− a) + · · ·+ n(n− 1)(n− 2)(x− a)n−3 + · · ·

...f (n)(x) = n!an mas una suma de términos con (x− a) como factor

tal que si x = a, obtenemos

f (n)(a) = n!an

cuyo enésimo término es an =f (n)(a)

n!.

Al sustituir esta fórmula para an de nuevo en la serie, se observa que si f tiene un desarrollo deserie de potencias en a, debería ser de la forma

f(x) =∞∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k = f(a) + f

′(a)(x− a) +

f′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n + · · ·

1

Y esta es la serie de Taylor generada por f en x = a. La serie de Maclaurin es la misma serie deTaylor, pero con la diferencia de que está generada por f en x = 0, y toma la forma

∞∑k=0

f (k)(0)

k!xk = f(0) + f

′(0)x+

f′′(0)

2!x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn + · · ·.

Podemos considerar que las fórmulas de Taylor son una generalización del teorema del valor mediopara lo cual escribimos un teorema nuevo.

Teorema 1

Sea f una función tal que f y sus primeras n derivadas son continuas en el intervalo cerrado [a, b].Además, considere que f (n+1)(x) existe para toda x del intervalo abierto (a, b). Entonces existe unnúmero z en el intervalo abierto (a, b) tal que

f(b) = f(a) +f

′(a)

1!(b− a) +

f′′(a)

2!(b− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(b− a)n +

f (n+1)(z)

(n+ 1)!(b− a)n+1 (1)

Nos damos cuenta que cuando n = 0, tenemos que (1) se convierte en

f(b) = f(a) + f′(z)(b− a)

donde z está entre a y b. Esta es la conclusión del teorema del valor medio.Si reemplazamos b por x en (1), obtenemos la fórmula de Taylor

f(x) = f(a) +f

′(a)

1!(x− a) +

f′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n +

f (n+1)(z)

(n+ 1)!(x− a)n+1 (2)

donde z está entre a y x. Para que (2) se cumpla, tanto f como sus primeras n derivadas deben sercontinuas en un intervalo cerrado que contenga a a y a x, y la (n + 1)-ésima derivada de f en unintervalo abierto equivalente. Podemos escribir a (2) como

f(x) = Pn(x) +Rn(x) (3)

donde

Pn(x) = f(a) +f

′(a)

1!(x− a) +

f′′(a)

2!(x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)

n!(x− a)n (4)

y

Rn(x) =f (n+1)(z)

(n+ 1)!(x− a)n+1 donde z está entre a y x.

2

Pn(x) se denomina polinomio de Taylor de n-ésimo grado de la función f en el número a, y Rn(x)se llama Residuo. Del mismo modo podemos obtener el polinomio de Maclaurin de n-ésimo

grado a partir de (4) con a = 0:

Pn(x) = f(0) +f

′(0)

1!x+

f′′(0)

2!x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn (5)

Si Rn(x) → 0 cuando n → ∞ para toda x en el intervalo, decimos que la serie de Taylor generadapor f en x = a converge a f en el intervalo, y escribimos

f(x) =∞∑k=0

f (k)(a)

k!(x− a)k

Demostración Teorema 1:

Sean F y G dos funciones de�nidas por:

F (x) = f(b)− f(x)− f ′(x)(b−x)− f

′′(x)

2!(b−x)2− · · ·− f

(n−1)(x)

(n− 1)!(b−x)n−1− f

(n)(x)

n!(b−x)n (6)

y

G(x) =(b− x)n+1

(n+ 1)!(7)

Deducimos entonces que F (b) = 0 y G(b) = 0. Derivando (6) obtenemos:

F′(x) = −f ′

(x)− (−f ′(x) + f

′′(x)(b− x))−

(−2f

′′(x)(b− x)

2!+f

′′′(x)(b− x)2

2!

)− · · ·−(

−f(n−1)(x)(n− 1)(b− x)n−2

(n− 1)!+f (n)(x)(b− x)n−1

(n− 1)!

)−(−f

(n)(x)n(b− x)n−1

n!+f (n+1)(x)(b− x)n

n!

)

F′(x) = −f ′

(x)+f′(x)−f ′′

(x)(b−x)+2f

′′(x)(b− x)

2!−f

′′′(x)(b− x)2

2!+· · ·+f

(n−1)(x)(n− 1)(b− x)n−2

(n− 1)!−

f (n)(x)(b− x)n−1

(n− 1)!+f (n)(x)n(b− x)n−1

n!− f (n+1)(x)(b− x)n

n!Reduciendo términos obtenemos:

F′(x) = −f

(n+1)(x)

n!(b− x)n

Y derivando (7) obtenemos:

G′(x) = −(n+ 1)(b− x)n

(n+ 1)!= −(b− x)n

n!

Observamos entonces que tanto F como G son continuas en [a, b] y diferenciables en (a, b) y queademás, para toda x en (a, b), G

′(x) 6= 0. Hallando su relación...

3

F (b)− F (a)

G(b)−G(a)=F

′(z)

G′(z)

donde z está en (a, b). Pero como F (b) = 0 y G(b) = 0, tenemos que:

F (a) =F

′(z)

G′(z)G(a) =

[− n!

(b− z)n

] [−f

(n+1)(z)

n!(b− z)n

] [(b− a)n+1

(n+ 1)!

]

F (a) =f (n+1)(z)

(n+ 1)!(b− a)n+1

Si x = a en (6), resulta:

F (a) = f(b)− f(a)− f ′(a)(b− a)− f

′′(a)

2!(b− a)2 − · · · − f (n−1)(a)

(n− 1)!(b− a)n−1 − f (n)(a)

n!(b− a)n ⇒

f (n+1)(z)

(n+ 1)!(b−a)n+1 = f(b)−f(a)−f ′

(a)(b−a)−f′′(a)

2!(b−a)2−· · ·−f

(n−1)(a)

(n− 1)!(b−a)n−1−f

(n)(a)

n!(b−a)n

Luego

f(b) = f(a)+f′(a)(b−a)+

f′′(a)

2!(b−a)2+· · ·+f (n−1)(a)

(n− 1)!(b−a)n−1+

f (n)(a)

n!(b−a)n+

f (n+1)(z)

(n+ 1)!(b−a)n+1

que es el resultado que esperábamos según la ecuación (1).

Serie Binomial

A �n de obtener la serie binomial, consideremos primero el teorema del binomio estudiado enálgebra. El teorema del binomio expresa (a + b)m con m > 0, como la suma de potencias de a y bcomo sigue:

(a+ b)m = am +mam−1b+m(m− 1)

2!am−2b2 + · · ·+ m(m− 1) · . . . · (m− k + 1)

k!am−kbk + · · · bm

Al considerar a = 1 y b = x, y al aplicar el teorema del binomio a la expresión (1 + x)m con m > 0,se obtiene:

(1 + x)m = 1 +mx+m(m− 1)

2!x2 + · · ·+ m(m− 1) · . . . · (m− n+ 1)

n!xn + · · · (8)

y esta es la serie de Maclaurin para (1 + x)m denominada también serie binomial. Esta serie esconvergente si |x| < 1, ya que si aplicamos el criterio de la razón tenemos:

lımn→+∞

∣∣∣∣un+1

un

∣∣∣∣ = lımn→+∞

∣∣∣∣∣∣m(m−1)···(m−n+1)(m−n)

(n+1)!xn+1

m(m+1)···(m−n+1)n!

xn

∣∣∣∣∣∣ = lımn→+∞

∣∣∣∣m− nn+ 1

∣∣∣∣ |x|= lım

n→+∞

∣∣∣∣∣mn− 1

1 + 1n

∣∣∣∣∣ |x| = |x|Y esto nos da paso para enunciar el siguiente teorema.

4

Teorema 2

Si m es cualquier número real, entonces

(1 + x)m = 1 ++∞∑n=1

m(m− 1)(m− 2) · · · (m− n+ 1)

n!xn

para todos los valores de x tales que |x| < 1.

Ejercicios

En los ejercicios 1 a 5, determine los polinomios de Taylor de órdenes 0, 1, 2 y 3 generados por f en a.

1. f(x) = e2x, a = 0f(x) = e2x ⇒ f

′(x) = 2e2x ⇒ f

′′(x) = 4e2x ⇒ f

′′′(x) = 8e2x

en orden 0:P0(x) = f(0) = e0 = 1en orden 1:P1(x) = f(0) + f

′(0)(x− 0) = 1 + 2e0x = 1 + 2x

en orden 2:

P2(x) = f(0) + f′(0)(x− 0) +

f′′(0)

2!(x− 0)2 = 1 + 2x+

4e0x2

1 · 2= 1 + 2x+ 2x2

en orden 3:

P3(x) = f(0) + f′(0)(x − 0) +

f′′(0)

2!(x − 0)2 +

f′′′

(0)

3!(x − 0)3 = 1 + 2x + 2x2 +

8e0x3

1 · 2 · 3=

1 + 2x+ 2x2 +4

3x3

2. f(x) = sin x, a = 0f(x) = sin x⇒ f

′(x) = cos x⇒ f

′′(x) = − sinx⇒ f

′′′(x) = − cosx

en orden 0:P0(x) = f(0) = sin 0 = 0en orden 1:P1(x) = f(0) + f

′(0)(x− 0) = 0 + cos (0) · x = x

en orden 2:

P2(x) = f(0) + f′(0)(x− 0) +

f′′(0)

2!(x− 0)2 = x− sin (0) · x2

1 · 2= x

en orden 3:

P3(x) = f(0) + f′(0)(x− 0) +

f′′(0)

2!(x− 0)2 +

f′′′

(0)

3!(x− 0)3 = x− cos (0) · x3

1 · 2 · 3= x− 1

6x3

3. f(x) = ln x, a = 1

f(x) = ln x⇒ f′(x) =

1

x⇒ f

′′(x) = − 1

x2⇒ f

′′′(x) =

2

x3en orden 0:

5

P0(x) = f(1) = ln 1 = 0en orden 1:P1(x) = f(1) + f

′(1)(x− 1) = 0 + 1 · (x− 1) = x− 1

en orden 2:

P2(x) = f(1) + f′(1)(x− 1) +

f′′(1)

2!(x− 1)2 = (x− 1)− 1 · (x− 1)2

1 · 2= (x− 1)− 1

2(x− 1)2

en orden 3:

P3(x) = f(1)+f′(1)(x−1)+

f′′(1)

2!(x−1)2+

f′′′

(1)

3!(x−1)3 = (x−1)− 1

2(x−1)2+

2 · (x− 1)3

1 · 2 · 3=

(x− 1)− 1

2(x− 1)2 +

1

3(x− 1)3

4. f(x) = tan x, a = π4

f(x) = tan x⇒ f′(x) = sec2x⇒ f

′′(x) = 2 tanx sec2x⇒ f

′′′(x) = 2 sec2x+ 6 tan2x sec2x

en orden 0:P0(x) = f(π/4) = tan (π/4) = 1en orden 1:

P1(x) = f(π/4) + f′(π/4)(x − π/4) = 1 + sec2(π/4)(x − π/4) = 1 +

(2√2

)2

(x − π/4) =

1 + 2(x− π/4)en orden 2:

P2(x) = f(π/4) + f′(π/4)(x− π/4) +

f′′(π/4)

2!(x− π/4)2 = 1 + 2(x− π/4)+

2(tan (π/4) sec2(π/4))

1 · 2(x− π/4)2 = 1 + 2(x− π/4) + 2(x− π/4)2

en orden 3:

P3(x) = f(π/4) + f′(π/4)(x− π/4) +

f′′(π/4)

2!(x− π/4)2 +

f′′′

(π/4)

3!(x− π/4)3

= 1 + 2(x− π/4) + 2(x− π/4)2 +2 sec2(π/4) + 6 tan2(π/4) sec2(π/4)

1 · 2 · 3(x− π/4)3

= 1 + 2(x− π/4) + 2(x− π/4)2 +8

3(x− π/4)3

5. f(x) =√x, a = 4

f(x) = x1/2 ⇒ f′(x) =

1

2x−1/2 ⇒ f

′′(x) = −1

4x−3/2 ⇒ f

′′′(x) =

3

8x−5/2

en orden 0:P0(x) = f(4) = 41/2 = 2en orden 1:

P1(x) = f(4) + f′(4)(x− 4) = 2 +

1

2 · 41/2(x− 4) = 2 +

1

4(x− 4)

en orden 2:

P2(x) = f(4) + f′(4)(x− 4) +

f′′(4)

2!(x− 4)2 = 2 +

1

4(x− 4)− 1

2! · 4(x− 4)2

43/2= 2 +

1

4(x− 4)−

1

64(x− 4)2

6

en orden 3:

P3(x) = f(4) + f′(4)(x − 4) +

f′′(4)

2!(x − 4)2 +

f′′′

(4)

3!(x − 4)3 = 2 +

1

4(x − 4) − 1

64(x − 4)2 +

1

1 · 2 · 3· 3

8· 1

45/2(x− 4)3 = 2 +

1

4(x− 4)− 1

64(x− 4)2 +

1

512(x− 4)3

En los ejercicios 6 a 10, determinar las series de Maclaurin para las funciones dadas.

f(x) = f(0) + f′(0)x+

f′′(0)

2!x2 + · · ·+ f (n)(0)

n!xn + · · ·

6. f(x) = e−x

f(x) = e−x ⇒ f′(x) = −e−x ⇒ f

′′(x) = e−x ⇒ · · · ⇒ f (n)(x) = (−1)ne−x → f (n)(0) = (−1)n

e−x = 1− x+x2

2!− x3

3!+ · · · =

∞∑n=0

(−1)nxn

n!

7. f(x) = x ex

f(x) = x ex ⇒ f′(x) = ex + x ex ⇒ f

′′(x) = ex + (ex + x ex) = 2ex + x ex

⇒ f′′′

(x) = 2ex + (ex + x ex) = 3ex + x ex ⇒ · · · ⇒ f (n)(x) = nex + x ex → f (n)(0) = n

x ex = 0 + 1x+2x2

2!+

3x3

3!+ · · · = x+x2 +

1

2x3 + · · · =

∞∑n=0

nxn

n!=∞∑n=0

nxn

n(n− 1)!=∞∑n=0

xn

(n− 1)!

8. f(x) = sin 3x

sinx =∞∑n=0

(−1)nx2n+1

(2n+ 1)!=⇒ sin 3x =

∞∑n=0

(−1)n(3x)2n+1

(2n+ 1)!= 3x− 33x3

3!+

35x5

5!− 37x7

7!+ · · ·

9. f(x) = sinh x

sinhx =ex − e−x

2=

1

2

[ ∞∑n=0

xn

n!−∞∑n=0

(−1)nxn

n!

]=

1

2

(1 + x+

x2

2!+x3

3!+ · · ·

)

−1

2

(1− x+

x2

2!− x3

3!+ · · ·

)=

1

2

(2x+

2x3

3!+

2x5

5!+ · · ·

)= x+

x3

3!+x5

5!+ · · · =

∞∑n=0

x2n+1

(2n+ 1)!

10. f(x) = cosh x

coshx =ex + e−x

2=

1

2

[ ∞∑n=0

xn

n!+∞∑n=0

(−1)nxn

n!

]=

1

2

(1 + x+

x2

2!+x3

3!+ · · ·

)

+1

2

(1− x+

x2

2!− x3

3!+ · · ·

)=

1

2

(2 +

2x2

2!+

2x4

4!+ · · ·

)= 1 +

x2

2!+x4

4!+ · · · =

∞∑n=0

x2n

(2n)!

En los ejercicios 11 a 15 determine la serie de Taylor generada por f en x = a.

11. f(x) = x3 − 2x+ 4, a = 2f(x) = x3 − 2x+ 4⇒ f

′(x) = 3x2 − 2⇒ f

′′(x) = 6x⇒ f

′′′(x) = 6⇒ · · · ⇒ f (n)(x) = 0,

7

Si n ≥ 4, entonces: x3 − 2x + 4 = 8 + 10(x − 2) +12(x− 2)2

1 · 2+

6(x− 2)3

1 · 2 · 3= 8 + 10(x − 2) +

6(x− 2)2 + (x− 2)3

12. f(x) = x−2, a = 1f(x) = x−2 ⇒ f

′(x) = −2!x−3 ⇒ f

′′(x) = 3!x−4 ⇒ f

′′′(x) = −4!x−5 ⇒ · · · ⇒ f (n)(x) =

(−1)n(n+ 1)!x−(n+2),=⇒ x−2 = 1− 2!(x− 1) +3!(x− 1)2

2!+

4!(x− 1)3

3!+ · · · =

∞∑n=0

(−1)n(n+ 1)!(x− 1)n

n!=∞∑n=0

(−1)n(n+ 1)n!(x− 1)n

n!=∞∑n=0

(−1)n(n+ 1)(x− 1)n

13. f(x) = (1− x)−3, a = 0f(x) = (1 − x)−3 ⇒ f

′(x) = 3(1 − x)−4 ⇒ f

′′(x) = 12(1 − x)−5 ⇒ f

′′′(x) = 60(1 − x)−6 ⇒

· · · ⇒ f (n)(x) =(n+ 2)!

2!(1− x)−(n+3)

1

(1− x)3= 1 + 3x +

3 · 4x2

2!+

3 · 4 · 5x3

3!+ · · · =

∞∑n=0

(n+ 2)!xn

2n!=

∞∑n=0

(n+ 2)(x+ 1)!xn

2n!=

∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)n!xn

2n!=∞∑n=0

(n+ 2)(n+ 1)xn

2

14. f(x) = cos (2x+ π/2), a = π/4f(x) = cos (2x+ π/2) ⇒ f

′(x) = −2 sin (2x+ π/2) ⇒ f

′′(x) = −2 · 2 cos (2x+ π/2) ⇒

f′′′

(x) = 2 · 2 · 2 sin (2x+ π/2)⇒ f (4)(x) = 2 · 2 · 2 · 2 cos (2x+ π/2)

cos (2x+ π/2) = −1 + 0 +22(x− π/4)2

2!+ 0− 24(x− π/4)4

4!+ · · · =

∞∑n=0

(−1)n+122n(x− π/4)2n

(2n)!

15. f(x) = 2x, a = 1f(x) = 2x ⇒ f

′(x) = 2x ln 2⇒ f

′′(x) = 2x(ln 2)2 ⇒ f

′′′(x) = 2x(ln 2)3 ⇒ · · ·

⇒ f (n)(x) = 2x(ln 2)n → f (n)(1) = 2 (ln 2)n

2x = 1 + 2 (ln 2)(x− 1) +2 (ln 2)2(x− 1)2

2!+

2 (ln 2)3(x− 1)3

3!+ · · · =

∞∑n=0

2 (ln 2)n(x− 1)n

n!

8