KETERBAGIAN

OLEH

KELOMPOK 2

ANGGOTA : 1. EKA PRIPA MAHHARRINI

(1206103020012)

2. FATHIYA SALSABILA

(1206103020044)

3. KHAIRATUL ULYA PHONNA

(1206103020038)

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENGETAHUAN

UNIVERSITAS SYIAH KUALA

DARUSSALAM

BAB 1

PENDAHULUAN

1. Latar belakang

 

Dalam menyelesaikan soal dalam matematika penting untuk di ketahui tentang

teori yang berlaku dalam penyelesaian sebuah soal . hal ini penting dilakukan supaya

dalam penyelesainya memperhatikan prosedur penyelesaian soal. Seperti dalam

penyelesaian soal keterbagian.

Teori bilangan adalah salah satu cabang pelajaran matematika. Dalam teori

bilangan ada bab yang berjudul keterbagian bilangan. Keterbagian bilangan merupakan

bagian dasar dari berbagai sifat teori bilangan. Oleh karenanya, kita sebagai mahasiswa

harus mempelajari dan memahami keterbagian bilangan.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Sifat-sifat Keterbagian

Jika suatu bilangan bulat (Z) dibagi oleh suatu bilang bulat yang lain, maka hasil pembagiannya adalah bilangan bulat atau bukan bilangan bulat.

Defini 2.1

Suatu bilangan bulat n adalah habis dibagi oleh suatu bilangan bulat m≠0 jika ada suatu bilangan bulat x sehingga n=mx

Notasi :

• m│n dibaca m membagi n, n habis dibagi m, m faktor n, atau n kelipatan dari m

• m ł n dibaca m tidak membagi n, n tidak habis membagi m, m bukan faktor n, atau n bukan kelipatan dari m .

Jika m│n dan 0<m<n, maka m disebut pembagi murni dari n.Notasi mk││n digunakan untuk menyatakan mk│n tetapi mk+1│n. Pembagian di dalam Z dapat dilakukan tanpa memperluas Z menjadi Q. kemudian, jika m,n ϵ Z dan mn = 0, maka m = 0 atau n = 0, dan dikataka bahwa Z tidak mempunyai pembagi nol.

Sifat ini memungkinkan dilakukannya penghapusan, misalnya : Jika m, n ϵ Z dan 5m = 5n, maka 5m – 5n = 05(m – n)=0 5 = 0 atau m – n = 0 karena 5≠0, maka m – n = 0 atau m = n jadi, persamaan 5m = 5n menjadi m = n tidak diperboleh dengan mengalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan (⅕) sebab (⅕) bukan bilangan bulat. Untuk selanjutnya, pernyataan m│n sudah dianggap m ≠ 0.

Dari definisi 2.1 ditentukan bahwa :

1. 1│x untuk setiap x ϵ Z karena ada x ϵ Z sehingga x = x.1 jadi, pernyataan-pernyataan 1│3, 1│5, 1│101, dan 1│-107 semuanya bernilai benar.

2. X│0 untuk setiap x ϵ Z dan x ≠ 0 karena ada 0 ϵ Z sehingga 0 = 0.x jadi, pernyataan-pernyataan 3│0, 10│0, -5│0, dan -35│0semuanya bernilai benar.

3. x│x untuk setiap x ϵ Z dan x ≠ 0 karena ada 1 ϵ Z sehingga x = 1.x jadi, pernyataan-pernyataan 2│2, -3│-3, 9│9, dan -5│-5 semuanya bernilai benar.

4. Jika x│y, maka kemungknan hubungan antara x dan y adalah x<y, x=y, atau x>y misalnya 2│4 dengan 2<4, 2│2 dengan 2=2, dan 2│-2 dengan 2>-2

Dalil 2.1.ajika a,b ϵ Z dan a│b, maka a│bc untuk semua x ϵ Z

Bukti :

karena diketahui bahwa a│b, maka sesuai dengan definisi 2.1, ada suatu x ϵ Z sehingga b = axb = ax berati bc = axc → bc = a(cx).Ini berati ada y = cx ϵ Z sehingga bc = ayJadi : a│bc

Dalil 2.1.bjika a,b,c ϵ Z, a│b dan b│c, maka a│c

Bukti :

a│b → b = ax untuk suatu x Zb│c → c = by untuk suatu y Z(c = by dan b = ax) → (c = axy atau c = a(xy){c = a(xy) untuk suatu w = xy ϵ Z}→ a│c jadi : a│c

Dalil 2.1.cjika a,b ϵ Z; a│b dan b │a, maka a = ± b

Bukti :

a│b → b = ax untuk suatu x ϵ Zb│a → a = by untuk suatu y ϵ Z(a =by & b =ax)→{a =(ax)y atau a =a(xy)}a│b → a≠0 a = a(xy = 0) → a(1-xy) = 0{a≠0 dan a(1-xy) = 0} → 1-xy=0 → xy = 1xy = 1 → {(x = 1 dan y = 1) atau (x = -1 dan y = -1)}x = y = 1 → a = by = bx = y = -1 → a = by = -bjadi : a = ± b

Dalil 2.1.djika a, b, ϵ Z, a│b dan a│c, maka a│(b±c)

Bukti :

a│b → b= ax untuk suatu x ϵ Z a│c → c = ay untuk suatu y ϵ Z(b = ax dan c = ay) → (b ± c = ax ± y dengan (x ± y) ϵ Zjadi : a│(b ± c)

Dalil 2.1.ejika a, b, c ϵ Z, a│b dan a│c, maka a│(bx ± cy) untuk semua x, y ϵ Z (bx + cy disebut kombinasi linear dari b dan c)

Bukti :

a│b → b = ax untuk suatu x ϵ Za│c → c = ay untuk suatu s ϵbx + cy = (ar)x + (as)ybx + cy = a(rx + sy) dengan (rx + sy) ϵ Zjadi : a│(bx + cy)

Dalil 2.1.fJika a, b, c ϵ Z, a> 0, b>0, dan a│ b, maka a ≤ b

Bukti :

a│b → b = ax untuk x ϵ ZKarena a > 0, b > 0, dan b = ax, maka x > 0Karena x Z, maka x bukan pecahanKarena x Z dan x > 0, maka kemungkinan nilai x adalah 1,2,3,....., yaitu x = 1 atau x > 1(b = ax dan x = 1) → (b = a atau a = b)(b = ax dan x > 1) → (b > a atau a < b)(a = b atau a < b) → a ≤ bJadi : a│ b

Dalil 2.1.ga│ b jika dan hanya jika ma│ mb untuk semua m ϵ Z maka m ≠ 0

Bukti :

(a) a │ b → b = ax untuk semua x ϵ Zb = ax → mb = m(ax) → mb = (ma)x → ma │ mbJadi : ma │ mb(b) ma │ mb → = (ma)x untuk suatu x ϵ Zmb = m(ax) dan m ≠0 → b = ax → a │ bJadi : a │ b

Dalil 2.1.hJika a,b,c ϵ Z, a│b dan a│(b+c), maka a│c

Bukti :

a│b → b = ax untuk semua x ϵ Z

a│ (b+c) → (b+c) = ay untuk suatu y ϵ Z(b+c) = ay → c = ay – b(c = ay – b dan b = ax) → c = ay – ax = a(y-x)(c = a(y – x) dan (y-x) ϵ Z) → a│ cJadi : a│ b

Dalil 2.2 (Dalil Algoritma Pembagian)

Jika a,b ϵ Z dan a>0, maka ada bilangan-bilangan q,r ϵ Z yang masing-masing tunggal sehingga b = qa + r dengan 0 ≤ r < a.Jika a ϵ b, maka r memenuhi ketidaksamaan 0 < r < a.

Bukti:

Dengan a,b ϵ Z dapat di bentuk suatu barisan aritmatika (b – na) dengan n ϵ Z, yaitu : ...,b-3a,b-2a,b-a,b,b+a,b+2a,b+3a..... Yang mempunyai bentuk umum suku (b-na). Ambil suatu himpunan S yang unsur-unsurnya adalah suku-suku barisan yang tidak negatif, yaitu : S = {b – na │n ϵ Z, b-na ≥ 0}.Menurut prinsip urutan, S mempunyai unsur terkecil, misalnya r. Karena r ϵ S, maka r dapat dinyatakan sebagai r = b-qa dengan q ϵ Z dari r = b – qa dapat diperoleh b = qa + r jadi, jika a > 0 dan a,b ϵ Z, maka ada q,r ϵ Z sehingga b = qa+r

Definisi 2.2Jika b=aq + r dengan 0 ≤ r < a,

Maka:

b disebut bilangan yang di bagi (divided)a disebut bilangan pembagi (divisor)q disebut bilangan hasil bagi (quotient) r disebut bilangan sisa (remainder)

Jika a = 2 dan b sembarang bilangan bulat positif, maka menurut dalil 2.2, b dapat dinyatakan dengan : b= 2q + r, 0 ≤ r < 2 ini berarti bahwa nilai-nilai b yang mungkin dapat di tentukan oleh nilai-nilai yang mungkin, yaitu r=0 atau r=1.

Untuk r = 0, b= 2q + r = 2q + 0 =2q b = 2q dengan q ϵ Z di sebut dengan bilangan bulat genap (even integer) untuk r = 1, b= 2q + r =2q + 1 b = 2q + 1 dengan q ϵ Z disebut dengan bilangan bulat ganjil berdasarkan dalil algoritma pembagian , setiap bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai bilangan bulat genap 2q atau bilangan ganji (2q + 1).

Dalil 2.3Jika b ϵ Z dan b>1, maka setiap n ϵ Z+ dapat ditulis secara tunggal dalam

bentuk :

n = akbk + ak-1bk-1+…+ a2b2 + a1b1 + a0b0

Yang mana k ϵ Z dan k ≥ 0, ai ϵ Z dan 0 ≤ ai ≥ b-1 untuk I = 0, 1,….,k dan ak ≠ 0

Bukti :

Karena b ϵ Z dan b>1, sehingga menurut pembagian algoritma, hubungan antara n dan b adalah :

n = bq0 + a0, 0 ≤ a0 ≥ b-1

Jika q0 ≠ 0, maka hubungan antara q0 dan b menurut pembagian algoritma adalah :q0 = bq1 + a1, 0 ≤ a1 ≥ b-1

Jika langkah serupa dikerjakan, maka diperoleh :q1 = bq2+a2, 0 ≤ a2 ≥ b-1q2 = bq3+a3, 0 ≤ a3 ≥ b-1 ...qk-2 = bqk-1+ak-1, 0 ≤ ak-1 ≥ b-1qk-1 = bqk+ak, 0 ≤ ak ≥ b-1, qk=0

Langkah terakhir ditandai dengan munculnya qk =0Karena barisan q0, q1, q2,…, qk adalah barisan bilangan bulat tidak negatif yang menurun, maka paling banyak ada q0 suku yang positif, dan 1 suku qk yang bernilai nol.

Dari persamaan tadi dapat ditentukan bahwa :n = bq0+ a0

= b(bq1+a1) + a0

= b2q1 + ba1 + a0

= b2(bq2+a2) + ba1 + a0

. . = bk-1qk-2 + bk-2ak-2 + bk-3ak-3 +…+ ba1 + a0

= bkak-1+ bk-1ak-1 + bk-2ak-2 +…+ ba1 + a0

n = bk+1ak + bkak + b k-1ak-1 +…+ ba1 + a0

Karena qk =0, maka :

n = bkak + bk-1ak-1 +…+ ba1 + a0

= akbk + ak-1bk-1 +…+ a1b1 + a0 b0

Contoh 2.3Tunjukkan bahwa 3| (n3-n) untuk semua n ϵ ZJawab :menurut dalil pembagian algoritma, ada suatu bilangan bulat q sehingga n=3q, n=3q+1, atau n==3q+2Untuk n=3q :n3-n = n(n-1)(n+1)

= 3q(3q-1)(3q+1)= 3{q(3q-1)(3q+1)}

Jadi, 3| (n3-n) Untuk n=3q+1 :n3-n =n(n-1)(n+1) =3q+1(3q+1-1)(3q+1+1) =3q+1(3q)(3q+2) =3q(3q+1)(3q+2) =3{q(3q+1)(3q+2)}Jadi, 3| (n3-n) Untuk n=3q+2 :n3-n =n(n-1)(n+1) =3q+2(3q+2-1)(3q+2+1) =3q+2(3q+1)(3q+3) =3q+2(3q+1)(3q+3) =3{q(3q+2)(3q+1)(q+1)}Jadi, 3| (n3-n)

BAB III

KESIMPULAN

Suatu bilangan bulat x dikatakan habis dibagi oleh suatu bilangan bulat y ≠ 0, jika

terdapat satu bilangan bulat p sedemikian sehingga x = py. Jika hal ini dipenuhi maka y

dikatakan membagi x dan dinotasikan dengan y│x yang dapat diartikan sebagai y adalah

faktor (pembagi) x, atau x adalah kelipatan y. Jika Y tidak membagi x dinotasikan dengan

y ł x.

SOAL QUIZ

1. Buktikan 2│ (n2-n) .Dimana n adalah sembarang bilangan bulat .2. Buktikan 2│ (n-2). Dimana n adalah sembarang bilangan bulat.3. Buktikan 2│ (n-1). Dimana n adalah sembarang bilangan bulat.4. Mengapa 4│56 dan 56│336, apakah 4│336?5. Apakah 5│10 dan 10│30 ? mengapa?6. Pembagi-pembagi atau faktor-faktor dari 21 adalah?7. Tentukan pembagian algoritma berturut-turut untuk :

a. 547 dalam basis 3b. 972 dalam basis 5c. 2004 dalam basis 4

PEMBAHASAN

1. Buktikan 2│ (n2-n) .Dimana n adalah sembarang bilangan bulat .

Pembahasan : Menurut dalil pembagian algortitma, ada suatu bilangan bulat q sehingga n = 2q atau n = 2q+1Untuk n = 2q, dapat di cari:n2 - n = n(n-1)

= 2q(2q-1) = 2{q(2q-1)}

Jadi : 2 │ (n2 – n)

Untuk n = 2q + 1n2 – n = n(n-1)

= 2q+1(2q+1-1) = 2q(2q + 1)

Jadi : 2│ (n2 – n)Sehingga 2 │ (n2 – n) untuk semua n Z

2. Buktikan 2│ (n-2). Dimana n adalah sembarang bilangan bulat

Pembahasan :Menurut dalil pembagian algortitma, ada suatu bilangan bulat q sehingga n = 2q atau n = 2q+1Untuk n = 2q, dapat di cari:

n – 2= 2q -2Jadi : 2 │ (n – 2)

Untuk n = 2q + 1n-2 = 2q + 1 -2 = 2q -1Jadi : 2 │ (n – 2)Sehingga 2 │ (n – 2)untuk semua n Z

3. Buktikan 2│ (n-1). Dimana n adalah sembarang bilangan bulat.

Pembahasan :Menurut dalil pembagian algortitma, ada suatu bilangan bulat q sehingga n = 2q atau n = 2q+1Untuk n = 2q, dapat di cari:n – 1= 2q -1Jadi : 2 │ (n – 1)

Untuk n = 2q + 1n - 1= 2q + 1 -1 = 2q Jadi : 2 │ (n – 1)Sehingga 2 │ (n – 1) untuk semua n Z

4. Mengapa 4│56 dan 56│336, apakah 4│336?

4│56 → 56 = 4 . 14

56│336 → 336 = 4 . 14 . 6 → 336 = 4 . 84

5. Apakah 5│10 dan 10│30 ? mengapa?

5│10 → 10 = 5 . x x Z

10│30 → 30 = 10 . y y Z

Maka : 30 = 5 . x . y w = xy = Z

30 = 5 xy

30 = 5 w sesuai dengan dalil 2.1.b

30 = 5 . 6

305 = 6

6. Pembagi-pembagi atau faktor-faktor dari 21 adalah?

Pembahasan :

yaitu ±1, ±3, ±7, ±21

7. Tentukan pembagian algoritma berturut-turut untuk :

a. 547 dalam basis 3

Pembahasan :

547=3.182+1

182=3.60+2

60=3.20+0

20=3.6+2

6=3.2+0

2=3.1+2

(547)10=(202021)3

b. 972 dalam basis 5Pembahasan :972=5.194+2194=5.38+4 38=5.7+3 7=5.1+2 2=5.0+2

(972)10=(22342)5

c. 2004 dalam basis 4Pembahasan :2004 = 4. 501 + 0501   = 4. 125 + 1125   = 4. 31 + 131     = 4.7 + 37       =4.1 + 31 = 4.0 + 1

Jadi, 2004 = 133110