Técnicas de demostración + • • • • • • • • • • • • •

Fecho de recepción: enero 30 de 2007. Fecho de aceptación: marzo 5 de 2007.

1 Magíster en Ingeniería de Sistemas.

Docente investigador, Universidad

libre.

2 Especialista en software para

redes y telemótica. Dacente

investigadora, Universidad Libre.

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RESUMEN

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Ing. José Fabio Dóvila Escobar' Ing. Luz Myriam Padilla Gil"

El diseño de algoritmos es un actividad mental que la llevan a cabo profesionales de diferentes áreas, particularmente matemáticos e ingenieros. Es considerada

una de las actividades intelectuales más difíciles, particularmente cuando se tiene

que demostrar que el algori tmo es eficiente y correcto. La herramienta necesaria

y suficiente para verificar la correct itud de un a lgoritmo es el Principio de Inducción Matemática (PIM). El algoritmo es la materia prima fundamental para el ingeniero y en especia l para el de sistemas; con ellos se construyen programas

y con programas se construye software comple jo aplicable a todas las campos de

lo actividad humana.

Se muestra la construcción de un a lgoritmo dado en forma de pseudo código y apoyados

en el Principio de Inducción Matemática realizamos la comprobación del mismo.

INTRODUCCiÓN

El método deductivo, muy usado en matemática, obedece a la siguiente idea: l/A partir de un cierto conjunto de axiomas aceptados sin demostración y de reglas

lógicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas

combinando los axiomas y respetando en cada etapa las reglas lógicas".

Otro método para demostrar resultados generales que dependen en algún sentido de los números naturales es conocido con el nombre de Inducción Matemático.

Esta dependencia de los números naturales significa: se sabe que una determinada

afirmación es verdadera para algunos casos particulares y surge la pregunta : ¿Dicha

afirmación sigue siendo verdadera paro los infinitos números naturales restantes?

Existen muchas afirmaciones que sólo son válidas para un número finito de casos y

en consecuencia son falsas para un número infinito de situaciones.

El método de inducción matemótica se apl ica cuando:

i . sabemos la respuesta al principio.

ii. sabemos cómo determinar la respuesto en una etapa a partir de la respuesto en

la etapa anterior, y

111 . tenemos una expectativa (una ideo) de la respuesta general.

el- ACADÉMICO /' -----_/'

l . ¿Qué es una

demostración?

Una demostración de un teorema

matemáti co es uno sucesión de posos

que conducen o la conclusión deseado. Las reglas que d ichas sucesiones de

pasos deben seguir fue ron hechas

explícitas cuando fue forma lizada lo

lógica al principio de este siglo, y no

han cambiado desde entonces. Estas

reglas pueden ser usados para refutar

una demostración con errores lógicos;

sin embargo, no pueden ser usadas

para encontrar una demostración de

la cua l no se tenga una conjetu ra

matemótica expresada en términos

de una proposición, lo cual significo

que dado un argumento éste debe ser

convincente para que lo proporción

por demostrar sea verdadero. La lógica

está relacionada con lo que hoce

convincentes a los argumentos.

2 . Principio de Inducción Matemática

De las herramientas matemáticas

básicas útiles en la a lgoritmia, quizá

no haya ninguno más importante que

lo inducción matemática. No sólo

nos permite demostrar propiedades

interesantes acerca de la corrección y

eficiencia de los a lgoritmos, sino que

además puede incluso uti lizarse para

determinar qué propiedades es preciso

probar. La inducción matemótico se

emplea cada vez mós por los expertos

en computación.

La inducción matemático es una técnica

de demostración, la cual se puede

definir de la siguiente formo :

Suponga que se tiene una función

proporcional P(n) cuyo dominio de

discu rso es el conjunto de los números

naturales, además asumo que:

a) Paso Base. P(l) es ve rdodero, el

cual es fó cil de calcular.

b) Hipótesis inductiva . Suponga

verdodero para un k el cuol

pertenece o los nú meros naturales,

entonces P(k) se debe asumir

ve rda dero .

e) Verificación . Si P( k) es verdadero

se debe comprobar para el

siguiente término, es decir P(k + 1) .

Por lo tanto se debe concluir que

P(n) es verda dero para todo n en

los naturales .

A continuación se desarrollará un

e jercicio de aplicación del PIM.

P(n): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + n =

n(n + 1) V N (o) 2 ' n E

3. Demostración

Se puede enunciar de lo fo rma: lo suma

de los n primeros números, donde n se

encuentra en los nú meros naturales.

La anterior propo rción t iene un va lor

de verdod, dependiendo del número

que se le asigne a ni e l cual debe

empezar desde 1, ha sta un valor

determinado.

P(n): 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + n =

n(n +1 ) N 2 ' VnE

al Es un poco co mp lejo realizar su

demostra ción de forma di recta; es

decir p = > q.

Poreso,esút ilel principio de inducción

matemótico, para la verificación de

este t ipo de proposiciones .

Se puede observa rque lo proposición

está escrito en fo rma ascendente,

pero también es pos ible escribir de

forma descendente; esto es :

P(n) n + (n - 1) + (n - 2) + ... + 1

n(n + 1) (b) - --

2

b) Si observamos tenemos escrito, la

mismo expresión, de dos formas:

uno en lo que se encuentro con el

(a) y lo otra con (b).

Ahora si sumamos miembro a

miembro las dos expresiones :

S(n)= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ... + n S(n)~ n + (n -1)+ (n - 2)+ (n - 3)+ (n -4)+ ... + 1

2S(n)~ n + (n + 1)+ (n + 1)+ (n + 1)+ (n + 1)+ ... + (n + 1)

Observamos que en lo sumo hoy n sumandos. Esto es: 25(n) = n(n + 1)

Despejando:

Sin ) = n(n + 1) 2

que era lo expresión orig inal.

Lo formo de obtener lo proporción

inicial fue de un matemático céleb re.

Lo idea l es retomor el PIM pa ra

probar secuencias que tengan un

comportamiento de sucesión.

Tomando lo anter ior es pos ible

com probar la co rrección de u n algoritmo

el cual está compuesto por uno serie

de líneas consecutivas; esto le da un

comportamiento de sucesión y es así

como util izamos el PIM para comprobar

su correcto funcionamien to.

Por tan to en el siguiente pseudocód igo

se verá su aplicación. Para entender

un poco esto realizamos el siguiente

ejemplo.

Inicio

Función Averiguar (e)

c ~ O

d ~ O

Mientras que (d <> e) haga

e ~ c+e;

d ~ d+l;

Fin _ Mientras_ que

Escribir( c )

Fin _Función_Averiguar.

Final

A continuación tratamos de encontrar una proposición en términos de n, es

decir P(n) que se obtiene del anterior fragmento de código. Esto, inicialmente es realizar una prueba de escritorio, la cual tiene como fin extraer del código

las variables que intervienen.

Para ello realizamos la sigu iente tobla:

e e d

O 6 O

6 1

12 2

18 3

24 4

30 5

36 6

Ahora realizando un análisis detallado

podemos hacer:

Poro un valor n ;?: O, se tiene:

Co ; O do ;0

d ,; d ,+ 1

d, ; d, + 1

Lo cuál se obtiene la proposición P(n).

P(n): c" ; el" * e . d" ; d,,_, + 1

Con esta proposición la probamos con el PI M, el cual será verdadero para todo n ;,: o.

Paso Base o Básico: Se comprueba para un n = O, en la proposición dada.

P(O): Co = do • e, dado que do = O, entonces Co = O; lo que comprueba el paso base.

Paso Inductivo o paso bacano: Se asume un valor cua lquiera verdadero,

seo este valor k, entonces:

P(k): c, = d, • e, debe ser una tautología.

Paso verificación: En el cual hoy que

comprobar el siguiente valor de k, el cual es Ik + ¡) en la proposición .

Esto es: P(k + 1): c,., = d,., • e

Para comprobar trabajamos el lado izqu ierdo de la igualdad:

Esta igualdad se obtiene porla estructu ra

de control. (Número de veces que se ha ejecutado el ciclo).

Ahora por el paso inductivo se tiene:

P(k): c, = d, • e, reemplazando en resulta:

c" , = Id, • e) + e =

c =le'dJ+e= ,.1

c" , = e(1 + dJ

Pero d, + 1 = 1 • d, = d'+l ' igualdad que se obtiene al comprobar el código dado anteriormente.

Luego P(k + 1): c'+1 = d,,, • e, que era la que se deseaba demostrar.

Dado que cumple con los tres pasos básicos del Principio de Inducción

Matemática, entonces lo proposición:

P(n): Co = do • e, para todo n;,:O, donde n estó en los números naturales

es verdadera.

Nos hemos dado cuenta, que el PIM es útil en la comprobación de un algoritmo dado.

Ahora bien, ya con los análisis

realizados, podemos sin ningún temor

cambiar el nombre del fragmento de código dado anteriormente. Es decir;

Inicio

Función Cuadrado ( e )

c ~ O

d~O

Mientras que ( d < > e) haga

c ~ c+ e;

d ~ d+ l;

Fin _Mientras_que

Escribir( c )

Fin _ Función_Averiguar.

Final.

La función ya tiene un nombre, el cua l es

coherente con la que la función realiza ,

para estar acordes con uno de los

principios de ingeniería de software.

CONCLUSIONES

En Ingeniería de Sistemas, los temas

desarrollados en matemática discreta, fundamentan: el análisis algorítmico

y la complejidad computacional; la

ACADÉMICO

teoría de la computabi lidad y eficiencia

de programas, la teoría de lenguajes

fo rmales, el análisis sintáctico y

su apl icación a la compilación de

exp resio nes y programas; la detección y corrección de errores; por mencionar

algunos .

El Principio de Inducción matemática es

uno herramienta útil para comprobar

que un algoritmo es correcto, es decir

que haga lo que tenga que hacer; por tanto el PIM es un método de demostración.

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Universidad Libre