Upload
others
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 1 sur 10
TD S11 : Filtrage linéaire analogique d’un signal - corrigé
Exercice 1 : Filtre RL
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 2 sur 10
Exercice 2 : Filtre RC
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 3 sur 10
Exercice 3 : Détecteur de métaux
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 4 sur 10
Exercice 4 : Filtre de Colpitts 1. Diviseurs de tension :
𝑢s =
13j𝐶𝜔
13j𝐶𝜔 +
1j𝐶𝜔
𝑢𝐿 =𝑢𝐿
4
𝑢𝐿 =𝑍
𝑍 + 𝑅𝑢e =
𝑢e
1 +𝑅𝑍
𝑍 étant l’impédance équivalente au dipôle {bobine + condensateur C + condensateur 3C}. D’où : 1
𝑍=
1
j𝐿𝜔+
1
1j𝐶𝜔 +
13j𝐶𝜔
=1
j𝐿𝜔+ j
3
4𝐶𝜔
On a donc 𝑢s =𝑢e/4
1+j(3
4𝑅𝐶𝜔−
𝑅
𝐿𝜔)
⇒ 𝐴 =1
4,
𝑄
𝜔0=
3
4𝑅𝐶 et 𝑄𝜔0 =
𝑅
𝐿.
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 5 sur 10
On en déduit 𝑄 =𝑅
2√
3𝐶
𝐿 et 𝜔0 =
2
√3𝐿𝐶.
2.
a. 𝐻(𝜔)~0
j𝜔𝐴
𝑄𝜔0⇒ 𝐺dB(𝜔)~
020log (
𝐴
𝑄) + 20log (
𝜔
𝜔0) : asymptote oblique.
De plus, 𝜑(𝜔 = 0) =𝝅
2 : asymptote horizontale.
𝐻(𝜔) ~+∞
𝜔0𝐴
j𝜔𝑄⇒ 𝐺dB(𝜔) ~
+∞20log (
𝐴
𝑄) − 20log (
𝜔
𝜔0) : asymptote oblique.
De plus 𝜑(𝜔) ~+∞
−𝝅
2 : asymptote horizontale.
b. On a 𝐻(𝜔0) = 𝐴 ⇒ 𝜑(𝜔0) = 0 et 𝐺dB(𝜔0) = 𝐺dBmax ⇒ 𝑓0 = 1,0kHz.
Les fréquences de coupures sont telles que 𝐺dB(𝑓c) = 𝐺dBmax − 3,0dB avec 𝐺dBmax ≈ −12dB ⇒G(𝑓c) ≈ −15dB ⇒ 𝑓c1 ≈ 0,96kHz et 𝑓c2 ≈ 1,06kHz.
3.
a. cos𝑎cos𝑏 =1
2[cos(𝑎 + 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)] ⇒ 𝑢e(𝑡) = 𝐵cos(201𝜔0𝑡) + 𝐵cos(𝜔0𝑡) .
b. Le gain pour la composante sinusoïdale de fréquence 𝑓0 est 𝐴, et la phase correspondante est nulle : la composante sinusoïdale correspondante en sortie s’écrit 𝑢s1(𝑡) = 𝐴𝐵cos(𝜔0𝑡). Le gain pour la composante sinusoïdale de fréquence 201𝑓0 = 0,20MHz ≈ 1,9 × 102𝑓c2 est très inférieur à 𝐴 : la composante sinusoïdale correspondante en sortie est négligeable par rapport à 𝑢s1(𝑡).
Finalement, on obtient 𝑢s(𝑡) =𝐵
4cos(𝜔0𝑡) .
Exercice 5 : Filtre de Wien
1. À basse fréquence, les condensateurs sont équivalents à des interrupteurs ouverts. Aucune intensité ne traverse donc les résistances : 𝑈s = 0.
À haute fréquence, le condensateur est équivalent à un fil : 𝑈s = 0.
On peut donc supposer que ce filtre est un passe-bande.
2. Admittance de l’association parallèle de 𝑅 et 𝐶 : 𝑌1 =1
𝑅+ j𝐶𝜔.
Pont diviseur de tension : 𝑈s =𝑍1
𝑍1+𝑅+1
j𝐶𝜔
𝑈e.
Fonction de transfert : 𝛽 =𝑈s
𝑈e=
1
1+(𝑅+1
j𝐶𝜔)𝑌1
⇒ 𝛽 =1
3+j(𝜔
𝜔0−
𝜔0𝜔
).
3. 𝛽 =1
√9+(𝜔
𝜔0−
𝜔0𝜔
)2
𝛽 est maximum lorsque son dénominateur est minimum, c’est-à-
dire pour 𝜔M = 𝜔0 . Le gain correspondant est 𝛽M =1
3.
À basse fréquence, lim𝜔→0
𝛽(𝜔) = 0.
À haute fréquence, lim𝜔→+∞
𝛽(𝜔) = 0.
𝜑 = arg [3 + j (𝜔0
𝜔−
𝜔
𝜔0)]
À basse fréquence, 𝜑(𝜔)~0
arg (j𝜔0
𝜔) =
𝝅
2.
À haute fréquence, 𝜑(𝜔) ~+∞
arg (−j𝜔
𝜔0) = −
𝝅
2.
𝜑(𝜔 = 𝜔0) = 0.
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 6 sur 10
4. Par définition des pulsations de coupure, 𝛽(𝜔c) =𝛽M
√2.
On obtient alors 𝜔c =±3±√13
2𝜔0.
Les pulsations sont positives : 𝜔c =±3+√13
2𝜔0. 𝜔𝑐 = 0,30 𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1 ou 𝜔𝑐 = 3,3 𝑟𝑎𝑑. 𝑠−1
Largeur de la bande passante : Δ𝜔 = 3𝜔0 ⇒ 𝑄 =1
3.
5. Impédance d’entrée : impédance équivalente vue de l’entrée. 𝑍e = 𝑅 +1
j𝐶𝜔+ 𝑍1 avec
1
𝑍1=
1
𝑅+ j𝐶𝜔.
On obtient 𝑍e =1−
𝜔2
𝜔02+j
3𝜔
𝜔0
−𝜔2
𝜔02+j
𝜔
𝜔0
𝑅 ⇒ 𝑍e(𝜔 = 𝜔M) =3j
j−1𝑅 .
Impédance de sortie : L’impédance de sortie est l’impédance équivalente vue de la sortie du filtre, la source de tension étant éteinte, c’est-à-dire remplacée par un fil.
On a alors 1
𝑍s=
1
𝑍1+
1
𝑍2 avec 𝑍2 = 𝑅 +
1
j𝐶𝜔.
On obtient alors 𝑍s =1+j
𝜔
𝜔0
1−𝜔2
𝜔02+j
3𝜔
𝜔0
𝑅 ⇒ 𝑍s(𝜔 = 𝜔M) =1−j
3𝑅 .
6. On peut écrire 𝑈e(𝑡) = 𝑢e1(𝑡) + 𝑢e2(𝑡), avec 𝑢e1(𝑡) = 𝑈0cos(𝜔0𝑡) et 𝑢e2(𝑡) = 𝑈0cos(3𝜔0𝑡). On note 𝑢s1(𝑡) la tension de sortie correspondant à la tension d’entrée 𝑢e1(𝑡), et 𝑢s2(𝑡) celle correspondant à 𝑢e2(𝑡). Le filtre étant linéaire, la tension de sortie 𝑈s(𝑡) s’écrit 𝑈s(𝑡) = 𝑢s1(𝑡) + 𝑢s2(𝑡).
On a 𝑢s1(𝑡) = 𝛽(𝜔0)𝑈0cos[𝜔0𝑡 + 𝜑(𝜔0)] avec 𝛽(𝜔0) =1
3 et 𝜑(𝜔0) = 0.
𝑢s2(𝑡) = 𝛽(3𝜔0)𝑈0cos[3𝜔0𝑡 + 𝜑(3𝜔0)] avec 𝛽(3𝜔0) =3
√145 et 𝜑(3𝜔0) = −arctan (
8
9).
On en déduit 𝑈s(𝑡) =𝑈0
3cos(𝜔0𝑡) +
3𝑈0
√145cos [3𝜔0𝑡 − arctan (
8
9)] .
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 7 sur 10
Exercice 6 : Filtre coupe-bande
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 8 sur 10
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 9 sur 10
Exercice 7 : Gabarit d’un filtre passe-bas
TD S11 – Filtrage analogique d’un signal - corrigé
Page 10 sur 10