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Techniques d’optimisationProjet : Etude d’une sinusoïde
Contexte A partir de l’acquisition d’un signal électrique
on souhaite retrouver, par la technique des moindres carrés, les caractéristiques de la sinusoïde correspondante :
V(n) = A*sin(2πfinnTs + j) + C
Avec :A = amplitudeC = offsetfin= fréquence d’entré
j = phase
Objectif On fait une acquisition du signal pour
des fréquences Fin connues. On cherche ainsi les paramètres C, A et
j du signal :en = C + A*sin(ωn + j) On linéarise suivant :jen = C + A*cos( )j sin(ωn) +A*sin(j)cos(ωn)
Méthode des moindres carrés linéaires Il nous faut résoudre le système :E(a0,as,ac)= Σ (yi-ai*fi)²
avec a0 = C
as = Acos( )j
ac = Asin( )j
Résolution On obtient le système suivant :
=
du type AX=B, que l’on résout à l’aide Matlab avec les valeurs de yi=data et w fournies.
Résultats A = 1.8231e+03 C = -9.4258 = -0.6916j
en = C + A*sin(ωn + j)
Signal d’erreur et variance
Variance = 2.6394
Variation de la fréquence On décide désormais de faire varier la
fréquence d’entrée du signal dans un domaine de 0,02% et constater l’impact sur les paramètres calculés précédemment.
On applique le même algorithme Matlab, et on stocke A, C et j pour chaque fréquence.
Tracé des paramètres
Application à acq2 A = 1820 C = -9.3 = -0.18j
en = C + A*sin(ωn + j)
Méthode des moindres carrés non linéaires (partie 3)
On cherche a modéliser le comportement du signal :en = C + A*sin(ωn + j)
or, ici ωn n’est pas connu. Il nous faut maintenant résoudre le
système suivant :
E(C,A, ω, j)= Σ(C + A*sin(ω*n + j)-data)²
Système étudié On cherche à minimiser l’erreur. On obtient 4 équations:
- f1 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + j)-data) = 0
- f2 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + j)-data)*sin(ω*n + j) = 0
- f3 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + j) -data)*A*n*cos(ω*n + j) = 0
- f4 = = 2*Σ(C + A*sin(ω*n + j)-data)*A*cos(ω*n + j) = 0
Résolution (1) On utilise la méthode itérative de
NewtonXk = Xk-1 + [J(Xk-1)]-1*F(Xk-1)
J la matrice Jacobienne:
J =
Résolution (2) Cette méthode étant itérative, on se
sert des résultats de la partie 2 pour l’étape d’initialisation.
On nomme : Y = [J(Xk-1)]-1*F(Xk-1) Puis Xk = Xk-1 + Y On itère cette opération jusqu’à la
précision entre le signal obtenue et le signal calculé soit inférieur a 0,001
Signal et erreur quadratique
C=-6,8A=15747W=0,766 = 25,4j
Variation de la fréquence De manière similaire à la partie 2, on
souhaite stocker les résultats précédents pour des fréquences qui varient.
Cela nous permet certaines caractéristiques du signal.
Résultats
Application à Acq2 :