TECHNIQUES IN FRACTAL GEOMETRY

分形11何巾前技巧

〔英l肯尼思·法称科内 著

曾文曲 王向阳 陆夷 译

东北 大学 出版 社

图书在版编目（CIP)数据

分形几何中的技巧／（英）肯尼思·法尔科内（Kenneth J. Falconer）著；曾文曲，

王向阳，陆夷译 ．一沈阳：东北大学出版社，1999.6(20002.9重印）

书名原文：Techniques in Fractal Geometry ISBN 7-81054-393-8

工．分⋯ II．①法⋯ ②曾⋯ ③王⋯ ④陆⋯ M．解析拓扑学 N . 0189.3

中国版本图书馆CIP数据核字（98)第40430号

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9HE, without the permission in writing of the publisher.

本书经授权译自威利公司英文第一版，版权所有，违者必究。

⑥东北大学出版社出版

（沈阳市和平区文化路3号巷11号 邮政编码 110006)

电话：(024)83680265 传真:(024)83680267

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开本：850mm x 1168mm 1/32 字数：283千字 印张：10.875

印数：2500-4500册

1999年6月第1版 2002年9月第2次印刷

责任编辑：冯淑琴 孟 颖 贵任校对：孟 颖

封面设计：唐敏智 责任出版：秦 力

定价：20.00元

内 容 提 要

本书集中介绍了最近几年出现的、在研究分形的数学理论中

行之有效的各种新技巧，其中包括各种研究维数及分形集和分形

测度的其它参数的方法，以及概率分析中的重要定理，如遍历定

理和更新定理在分形研究中的应用，同时还阐述了许多新的更复

杂的技巧，如热力学形式体系及切线测度等，这都是深入研究分

形必不可少的工具．

本书可以看成是《分形几何— 数学基础及其应用》一书的续

篇，是深入进行分形理论研究必备的教科书和参考书．

本中译本的翻译出版获得了广东省自然科学基金的部分资

助．

中 译 本 前 言

（分形几何中的技巧）被译成中文，我感到非常高兴，当今

世界，人们对分形数学的应用兴趣正与日俱增。我也特别注意到

中国学者对分形有相当的兴趣，中国的大学及一些研究机构已经

做了大量的出色的研究工作。我希望此书能有助于一些最新的分

形理论的观点和方法，为广大的学生和研究人员所接受，让我再

次感谢曾文曲教授组织翻译此书，这样的翻译工作需要极高的数

学水平和语言技巧，我非常赞赏他们的辛勤劳动与献身精神。

肯尼思 J．法尔科内

（Kenneth J．Falconer)

1998年7月于St. Andrews, Scotland

原 著 前 言

本书叙述当前在分形的数学理论研究中的各种技巧。对那些

研究分形几何以及在数学或者科学的其它领域中遇见分形的

人，这是一本指导和参考性的著作，并且书中包含的材料有助于

进一步的研究。此书是 1990年出版的《分形几何— 数学基础

及其应用》一书的续篇。《分形几何— 数学基础及应用》中包含

了分形数学理论的主要内容，它原来的目的是提供给研究生读者

的，但是随着人们对这个学科兴趣的迅速增长，它已被用来作

为本科生的基本教程。

阅读本书需要适当的数学分析的基础，一定的概率论知识对

阅读书中的若干地方是有帮助的．读者应当熟悉《分形几何— 数

学基础及应用》一书的基本内容，特别是关于维数和迭代函数系；

在第一、章复述了主要的思想和符号。本书经常用到来自《分形几

何— 数学基础及应用》一书的资料，并用FG表示。 书中介绍的许多内容是近年来出现的，其中包括研究维数和

分形集及测度的其它参数的各种方法 ，以及更复杂的技巧。比如

热力学形式体系及切线测度，它们现在频繁地被用于分形几何的研

究中，并有广泛的应用。书中同时也包括了若干来自概率分析的

“大定理”，比如遍历定理和更新定理，它们已经有效地应用到分

形的研究中。在叙述基本理论的同时，也举出了许多例子和应用，

比如在微分方程和调和分析领域。书中的一些结果是首次给出，

但对它的证明通常是简化了的。

《分形几何中的技巧》一书的风格与《分形几何－－数学基础及

应用》相似，在数学上是准确的，但目的是给出对所研究课题的直

观感觉，而不是纠缠到不必要的形式上的细节中去。基础的概念

1

介绍尽可能简单，而许多理论只对相当特殊的情况作了详细的展开，并在后面带有一个较一般情形下的类似的概述。例如，只对

康托集的一个简单的非线性推广介绍了热力学形式体系．与《分

论的技巧尽量减少 ，而测度的“直观”性质的存在性则认为是当然

形几何— 数学基础及应用》中一样，测度的。“＊”号标明的部分

在首次阅读时可以略过而不影响阅读的连贯发展．

并不企图使本书包括绝大部分已知的结论，作者深信，阐明

数学思想及概念比技术细节更重要。经常见到这样的数学著作，

过分的一般性遮盖住了简明且优美的数学思想。通常，如果理解

了基本的数学思想，那么读者就会明白如何将它们结合或发展成

更一般的结果。希望读者能把书中讨论的问题推广到更一般的情

形。

每一章后面都有关于所阐述论题的历史及最近发展状况的简

要注记。对所研究的覆盖一定范围的某个论题所涉及的资料是浩

如烟海的，所以书中只给出那些令人感兴趣的，能跟踪论题进一

步发展的，最新的以及关键性工作的资料。每章后附有的练习，

是为了加深正文的内容，并指明进一步的理论和给出必要的例

子。

由于书中包含的论题是相当广泛的，因而要保持符号的完全

一致是不可能的．书中的一些地方，只好在标准符号与自相容性

之间作一折衷。本书在符号上与《分形几何— 数学基础及应用》

中的符号也有某些区别。

在写作以及修改后的稿中总不可避免有一些错误，我对此感

到十分遗憾，希望这些错误是明显的，不至于将读者引入歧途。

对本书的电子版本我反复的订正和修改。据我的经验，可以断言，

作为有能力的作者，用传统的方法蜷曲在椅子上，用手工认真地

修改打字稿，比在计算机屏幕上修改要好得多，这将费力较少，

没有那么大的压力，也可能会更准确。

2

我非常感谢参与此书出版准备工作的全体人员， 特别是

John Howroyd, Maarit Jarvenpaa, Pertti ,Mattila, Lars

Olsen和Toby O'Neil对本书的初稿提出了非常有益的意见。Ben Soares制作了图象，并与Toby O'Neil一起设计和制作了封面的照片。我十分感谢Gill Gardner，他把我的几乎是模糊不

清的手稿全部输入电脑，使之成为电子版本。同时也感谢John

Wiley and Sons出版社的工作人员，特别是Stuart Gale, David

Ireland和Helen Ramsey，他们负责了此书的出版。

最后，我要感谢我的家庭，感谢在我写作本书的期间，他们

的巨大的耐心和理解。

Kenneth J.Falconer

1996年4月于St . Andrews

注记：

在参考文献中，引用作者早些时候出版的书《分形几何—

数学荃础及其应用》时，用FG表示．

书中用“＊”号标明的部分，可以在首次阅读时略过。

3

引 论

“分形”这个名字源自于拉丁文的“破碎”，它是由Benoit

Mandelbrot在他1975年发表的奠基性的论文中，为高度不规

则的集合给出的命名。从那时起，分形几何引起了人们广泛的注

意，当然，有时也引起了激烈的争论。

这个学科的发展，主要有两个方面：一方面是科学与自然中

的许多“真实的分形”得到了验证；另一方面，随着在分形分析中

的新工具的产生，用于研究分形集的数学理论与方法有了巨大的

发展，其中大部分源自于几何测度论。这本书主要涉及分形研究

中的数学理论与方法。

人们做了各种努力企图给分形一个数学定义，但是这些定义

都很难验证是适用于一般的情形。这里我们不给分形下确切的定

义，而是考虑欧几里得空间中的集合E，如果它具有下面所有的

或是大部分的性质，它就是分形：

(i) E具有精细的结构，即有任意小比例的不规则的细节。 (ii) E是如此的不规则，以至于无论它的局部或整体都不能用

微积分的或传统的几何语言来描述。

(iii)通常E具有某种自相似或自仿射性质，可能是统计或者

是近似意义上的。

(IV) E的“分形维数”（用某种方式定义的）通常严格大于它

的拓扑维数。

(V）在许多令人感兴趣的情形，E具有非常简单的，可能是

由迭代给出的定义。

(Vi）通常E有“自然”的外貌。

1

分形的例子比比皆是，但分形的某些类型引起了特别的注意。在简单的变换族之下不变的分形，它的例子显示在图0.1中，这些分形包括自相似分形、自仿射分形、近似自相似分形及统计自相

似分形．特别，一些自相似分形是众所周知的，如三分康托集，von

Koch曲线，Sierpinski三角形（或垫）以及Sierpinski地毯，参见图0.2．作为动力系统吸引子或斥子的分形，比如由复函数迭代

产生的Julia集已有了广泛的探讨。

分形几何研究的对象是具有性质（i)一 （Vi）的集合，其中

令人感兴趣的许多问题，仍然是几个世纪以来在研究传统的几何

对象中提出的问题，这包括：

(a）确定：探索定义分形的有效方法，例如迭代函数系就提供了确定某类分形的一种方法。

(b)局部描述：局部光滑的曲线看起来与直线段类似，而分形

没有这样简单的局部结构。诸如密度，切线测度的概念提供了分

形的局部信息。

(c）分形的度量：“度量”分形的常用方法是利用某种形式的维

数，然而维数只是提供有限的信息，并且现已引入确定分形外貌

的一些其它方法．比如“缺项性”及“多孔性”被用来描述集合中

小尺度“空洞”的比例。上述两个量还有更多的作用，了解它们的

定义和性质需要较深的数学基础。

可能有人认为，在分形分析中过分强调了维数的作用．确实，

维数（各种不同的定义）在数学上是较易处理的，并且经常可以

用实验估认 而且分形物体的维数经常与它的其它性质联系在一起。比如，经过区域边界的热流的速度依赖于边界的维数，动力

系统的吸引子的维数也与其它动力学参数，如李雅普洛夫指数相

关连。然而，物体的复杂分形外貌不仅由它的维数，而且还非常

需要由合适的分形测度来反映。

(d）分类：我们寻求根据重要的几何性质对分形进行分类的

2

未194M 气．， (b卜

淤赞 (}}) id)

x

．扣‘ }_ 、。 .w

嘴 匆’二， ‘ 娜‘．三11、＿ 八 产、尸 认 洒

，、 ‘ ，气

(c) (r)

图0.1在映射族下不变的分形．(a）和（b)是自相似的，（。）和（d)是自仿射的， (e）是自保形的，而（(f）是统计自相似的

3

'r-S了飞六 (:")

(b)

---- - ---- - - - ------- (":) （d）

图0.2 众所周知的自相似集. (a)von Koch曲线（维数为log4Aog3= 1.262), (b）三分康托集（维数为log2/log3=0.631),(c) Sierpinski三角形或垫

（维数为log3/log2＝1.585),(d)Sierpinski地毯维数为log8/log3=1.893)

4

方法。一种处理方法是如果两个集合间存在双李 卜希兹映射，

则将它们看成是等价的（正像在拓扑中，如果两集合是同胚的，

则把它们看成是等价的一样），并且寻求等价集的“不变性”。比

如两个双李卜希兹等价的集有相同的维数，但是，这其中维数并

不是完全不变的．除了某些相当特殊的一类集合，有许多并不等

价的集合，它们可以有相同的维数．

(e)几何性质：正交投影、交集、乘积集等的性质，都是令人感兴趣的问题。

（0在其它数学领域中的分形：分形很自然地出现在许多数学领域，例如，动力系统或者双曲型几何，分形几何的一般理论应

当很容易联系到这些领域。

（）分形几何在典型的物理现象中的应用：在物理学及自然

中有许多“近似分形”，它们经常可以用“数学的”分形来模拟．确

实，对物理现象，数学理论将告诉我们更多的东西．

在一些领域，数学和物理结合得相当紧密，例如，布朗运动

的维纳模型给出了在分子的碰撞之下，质点运动的不规则轨道的一个合理的概率描述。然而在其它领域，科学或自然中遇见

的分形与适合数学上研究的分形之间经常有相当的不同。在实际

中，诸如“为什么物体有分形结构？”或者“如果出现某些分形特征，

由此可以得到什么推论？”这样的问题都还没有被完全令人满意的

回答．尽管如此，这方面的研究还是有所进展，越来越多的分形

已被从“动力学”角度进行研究，例如热流通过分形域扩散的现象

已从数学上进行模拟。

分形的特征更经常是由测度而不仅仅是由集合来显示．“多重

分形分析”展现了（有时是相当丰富的）测度的分形结构，以及单

个测度可以导出分形集的完整的谱．上述（a)一（g）提出的许多问

题都可以像对集合提出一样对测度提出，并且现在也正以研究

分形集的平行方法对多重分形测度进行研究。 5

本书介绍了在研究分形及多重分形方面发展起来的一些技巧，

下面简要浏览一下书中涉及的内容．

第一章集中介绍了在全书中要用到的一般定义和符号，讨论

了一些涉及半可乘序列和凸函数的不等式。还介绍了有关测度理

论的基本思想，为了后面的引用，还导出了关于测度收敛性的一

些结果。

第二章回顾了分形几何的基本概貌，这些内容在早些时候出

版的FG一书中有详细得多的讨论。同时还回顾了维数（豪斯道夫、填充和盒维数）的基本定义和计算它们的方法，并讨论了迭

代函数系产生的分形。

第三章介绍了在研究维数中的两种有用的技巧。第一个是隐

含法，这种方法并不需要了解分形的确切维数值，而能对它的某

些性质进行研究．特别是那些在相对较弱的意义下“近似自相

似”的集合，从维数的观点看来，必然会显示出引人注意的规律

性。第二，在这一章中还找出了实数集的盒维数与相应余集的区

间长度之间的关系．在一定的意义下，盒维数描述集合的余集，

而豪斯道夫维数描述集合本身。

下面两章进一步利用近似自相似的概念导出“热力学形式体系”，

这个强有力的技巧（它源自于统计力学）把有关严格自相似集的

“线性”理论延拓成“近似自相似集”上的“非线性”结论．并在

cookie一cutter集这种特殊的情形下发展了热力学系统的理论，

这种。cookie一cutter”集可以看成是一种“非线性康托集”。在推导出对这种集合的“有界畸变”原理之后，利用一类函数的“压

力”，得到了这种集合的维数公式．

第六至第八章介绍了有关概率分析的三个基本结果：遍历定

理、更新定理及鞅收敛定理．给出了这些结果的证明，并将这些

结果应用到诸如分形的平均密度，自相似集的计盒数和分形在双

李 卜希兹映射下的分类上。

6

第九章介绍了切线测度，它本质上是点周围的测度的放大序

列的极限。切线测度类似于导数，在这个意义上，它含有集合或

测度的局部结构的信息．但它有比原测度更规则的性态。这一章

还给出了集合密度的简单应用，特别是利用切线测度证明了，非整

数维集合几乎处处没有密度。在这一章中还说明了切线测度怎样

才能应用到调和分析的问题中去．

人们经常很自然地去研究测度而不是集合的分形性质，确实，

许多分形集，比如动力系统的吸引子本质上已经是测度．第十、

十一两章讨论测度的分形性质，特别考虑x的集合凡，对给定的

测度A，在E：的每一点上，u都具有局部维数“，即在E：上，以x

为中心的充分小的球的测度（大约）等于球的半径的：次方。 对

某些A，及一定范围的二，集E：可能比较“大”，而E：的“大小”可

以用A或者可以用g 来度量。在第十章中，考虑了导致拼的“维数分

解”的拜（E：）；而第十一章则考察了E：的维数，导出了u的“多

重分形谱”。还利用热力学形式体系把这一理论推广到非线性情形‘

第十二章介绍了分形几何与微分方程理论相互作用的几个途

径．在这个领域中，已经发展了一些重要的方法，并且本书前面

的一些技巧也可以应用到这个领域中。这一章介绍了处理动力系

统吸引子维数与微分方程关系的一般方法，还讨论了关于偏微分

方程解的区域中分形边界的作用，特别是分形性影响解的渐近形

式及特征值的渐近分布的方式。本章的最后一节涉及到在分形的

区域上建立微分方程的问题。本章的内容是在较大范围内选取的，

一般都没给出完整的证明．

分形几何可以从许多不同的观点进行研究，不可避免，书中

采用的处理方法反映了作者自己所积累的学术经验。书中包含的

论题是根据作者的兴趣及一时的念头选取的，还有许多应用于分

形分析中的其它有价值的技巧，如小波方法和在图象压缩中应用

的各种不同的迭代函数系，书中都没有论及．虽然如此，书中描

7

述的各种方法都是具有广泛的应用的，并且有希望在将来发现进

一步的应用。

注记与参考文献

自从Mandelbrot开创性的论文发表以来（1975,1982)，已经

出版了大量关于分形的各种书籍，Edgar (1990), Falconer(1990), Mehaute(1991）和Peitgen等（1992）的这些书给出了分

形的基本的数学处理方法．Federer(1969) Falconer(1985）和Mattila(1995）的书专门探讨了几何测度论，Rogers(1970）的书讨论T豪

斯道夫测度的一般理论，而Wicks (1991）的书是众非标准分析的观点来处理这个论题．强调计算机与分形结合的书有Peitgen和Saupe(1988）及Devaney和Keen (1989）的书．包括Barnsley

(1988), Peruggia (1993）的一些书特别讨论T迭代函数系。而

Barnsley和Hurd(1993）及Fisher(1995）的书是涉及图象压缩的

应用。Massop ust (1994）的书讨论了分形函数和曲面，Tricot

(1995）的书考虑了分形曲线．Kahane(1985）和Stoyan兄弟(1994)的书中包括了随机分形的材料。Edgar (1993）选编的关于分形的“优秀论文”选使我们能从历史的角度了解分形这个论

题。

许多令人感兴趣的问题可以从Cherbit(1991), Belair和Dubuc(1991),Bedford等（1991),Bandt等（1992）和Bandt等编辑的关于

分形数学的会议论文集中找到．

有大量的关于分形在物理上的应用的书，这其中有Pietronero

和 Tosatti (1986), Feder (1988), Fleischmann等（1990), Smith

(1991),Vicsek(1992）和Hastings(1993）等编著的书．

8

目 菊走

中译本前言

原著前言

引论 ·········································‘·····················⋯⋯（1）

第1章 数学背景····························。···················⋯⋯（1）

1.1 集合和函数 ·························。····················一 （1）

1.2 一些有用的不等式 ·..............I..........................(4）

1.3 测度 ·····················································⋯⋯（8）*1.4 测度的弱收敛................................................(16) 1.5 注记与参考文献·............................................(20 )

练习 ·...........................................................(20)

第2章 分形几何回顾 ·............................................... .(22 )

2.1 维数回顾 ·.....................................................(22)

2.2 迭代函数系回顾 ·............................................(34 )

2.3 注记与参考文献 ·............................................(46)

练习 ·...........................................................(46)

第3章 研究维数的一些技巧··································一 （48)

3.1 隐含法 ·........................................................(48)

3.2 剪切集的计盒维数 ·.........................................(60 )

3.3 注记与参考文献 ····．．······················，··········⋯⋯（“）

练习 ········。·············、································，·⋯（67）

第4章 Cookie一cutter和有界畸变····。····················一 （69）

4.1 Cookie一cutter集 ·········，··························⋯⋯（69）

4.2 Cooki“一“utter的有界畸变 ·.............................(73 ) 1

4.3 注记与参考文献 ·............................................(80 )

练习 ·........................................................... ( 81)

第5章 热力学形式体系·............................................ (82) 5.1 压力和Gibbs测度 ····································⋯⋯（82)

5.2 维数公式 ················································⋯⋯（87)

*5.3 不变测度和变换算子 ············，····················⋯⋯（91)

5.4 嫡和变分原理 ··········································⋯⋯（98)

5.5 进一步应用 ··················.................................(102)

5.6 为什么称为“热力学”形式体系·..........................(10刀

5.7 注记与参考文献 ············.................................(110)

练习 ·.......................................................... (l10)

第6章 遍历定理与分形·............................................(111)

6.1 遍历定理 ·············································.........(111) 6.2 密度与平均密度 ·............................................(11刀

6.3 注记与参考文献 ····································.........(129)

练习 ·...........................................................(129)

第7章 更新定理与分形·............................................(131) 7.1 更新定理 ·············································.........(131)

7.2 对分形的应用 ·...............................................(143)

7.3 注记与参考文献 ················，···················.........(149)

练习 ·.......................................................... (149)

第8章 鞅与分形····································..................(151) 8.1 鞅与收敛定理 ·...............................................(151)

8.2 随机剪切集 ·..............I...................................(159)

2

8.3 分形的双李卜希兹等价 ·...................................(16乃

8.4 注记与参考文献 ·............................................(171)

练习 ·...........................................................(172)

第9章 切线测度···························、···········...............(173) 9.1 定义和基本性质 ·............................................(173)

9.2 切线测度与密度 ·............................................(181) 9.3 奇异积分 ·······································...............(191) 9.4 注记与参考文献 ·............................................(19习

练习 ·...........................................................(196)

第10章 测度的维数 ·······································.........(198) 10.1 局部维数和测度维数 ·...................................(198) 10.2 测度的维数分解 ·.........................................(20乃

10.3 注记与参考文献 ·......................................... (21句

练习 ·........................................................(216)

第11章 部分多重分形分析 ·.................................. ...(218)

11.1 精细的与粗线条的多重分形理论 ·....................(219)

11.2 自相似测度的多重分形分析 ·.......................... (22句 11.3 在Cookie一cutter集上的Gibbs

测度的多重分形分析 ··················..................(236)

11.4 注记与参考文献 ·........................................(240)

练习 ·........................................................ 242)

第，2章 分形与微分方程 ·.........................................(244) 12.1 吸引子的维数 ·............................................(244)

12.2 带有分形边界区域的拉普拉斯特征值 ·..............(263)

3

12.3 带有分形边界区域上的热方程 ·.......................(271)

12.4 分形域上的微分方程 ·...................................(279)

12.5 注记与参考文献 ·.........................................(289) 练习 ·........................................................ (290)

参考文献 ················································...............(293)

索引 ·...................................................................(305)

译后记 ·..................................················· ............. (323)

4

第1章 数学背景

本章集中叙述了一些常用的数学性质，供后面的章节中参考

使用。第一节介绍了基本的术语和记号，然后讨论了一些特别有

用的不等式，如半可加不等式和凸函数的一些性质。最后两节涉

及测度论的概念 ，它在分形几何理论中发挥了重要的作用。本章

中只概述了测度论的基础部分，然后就弱收敛作了略为详细的讨

论，这或许是一个大家较不熟悉的论题。

1.1 集合和函数 首先，提出一些在本书中将要经常遇见的标准数学定义和符

号。

通常，用记号I表示实数集，z为整数集，cc为有理数集，用

矿，7+和⑧＋表示它们相应的正子集． 一般，研究工作是在n维欧几里德空间R”上进行，其中R=Ai

正好是实数轴，而R? 2是欧几里德平面．PR”中的点记为小写字母

x, y等，x十Y表示x和Y的（向量）和，板为x乘以实数i。通常使用的是 k”上的欧几里德距离或度量，于是点X, Y E IR”间的距

离是Ix-Y1= 艺n：｝从一 12) 1}2i=i Ixi-Y,12)111，这里x,y的坐标形式分别为x=(x,，⋯，xn）和Y-(Y，，一，Yn) 一般用大写字母A, E, X Y等表示an的子集。一个非空集

合X的直径由IW1=SUP{Ix-Y I: x,y EX｝给出，按约定｝悯=0。非

空集合X和Y I H]的距离记作dist(X,Y)=inf {lx-yl : x E X, y E玛．对；>0，一个集合X的 r-邻域或r一平行体由下式给出：

Y一J、，．；。。．，＿、，．、，飞 t xex

z 第，章 数学背景

定义中心在xE R”半径为 r>0的闭球和开球分别为

B(x,r) =.{y C- A'：ly一xI <- r}和

B0(x,r)＝{y e T：ly一XI＜r｝当然，CRS中的球就是区间，R2中的球是圆。如果一个集合

XC Rn满足X C B(x,r),则称X是有界的，于是一个非空集合X

是有界的当且仅当｝XI <00.

开集和闭集由通常的方法定义。称一个集合A C Rn是

开的，如果对任意xeA,存在 r>0使B(x,r)CA．如果集合

ACHo包含了其本身的所有极限点，即如果（x')崔、是A中点构成的收敛于xC-RM的序列，那么必有xeA，则称集合诬是闭的．集合A是开的当且仅当它的补集是闭的。一个集合A的

内部，记作 intA，是A所有开子集的并集。A的闭包，记为A,

是所有包含A的闭集的交集。A的边界定义为OA = A \intA, 如果每个覆盖集合A的开集族都存在覆盖 A的有限子族，

则称 A是紧的．Rn的一个子集A是紧集当且仅当它是闭的且

有界 ，也许这也可以作为faun的子集紧性的定义。

由开集或闭集的并或者交这样构造集合的思想引出了波

雷尔集的概念，Rn的波雷尔子集族形式上是满足下列条件的

集合的最小族：

(a）每一个开集是波雷尔集，每一个闭集也是波雷尔集．

(b）如果A� AZ ,⋯是任意可数个波雷尔集组成的集族，那么U思IA，、门思IA，和A八A：也是波雷尔集． 任何初始是由开集或闭集构造的集合，经过有限次的可数

并或交后仍是一个波雷尔集，实际上，本书涉及的 a"的所有

子集都是波雷尔集。

偶尔使用符号＃表示一个集合点（通常是有限个）的个数。

f:X- Y通常表示一个函数或映射f, x为它的定义域，Y

1.1集合和函数 3

为它的值域或上域‘。如果当x, O X2时，f(x}) :Af(x)，则称f是一个单射或I一I的；如果f(X)=Y，则称f是一个满射或映上的。如果f同时是单射和满射，则称f是AR射或 I一1对应的。

如果f:X--Y和g:Z-- W，这里 Ycz，定义f与9的It合

90f:X - W, (9of)(x)=9(f (x))。对f:X一X，定义f的第k次迭代为fk:X--X，满足f '(x) = x, f '(x) =f(f“一’(x)), k =1, 2, 3, . . .,

那么尹是f与它自己的k次复合。对双射f: X -- Y, f的逆是

f数f-1: Y-- X,满足对所有xC-X有f -'(f (x)) = x，和对所有的yGY有f(f一，(v)) =Y.

对A cX，函数1,,: X--{0,1}满足：x }A, I., (x) = 0和x EA,I A(x)= 1, 1，称为A的示性函数或特征函数，它的值 “显示”了

点x是否在集合A中。

某些函数类需特别注意。记 C(X)为连续函数f:X--R的

向量空间，Co(X）为具有有界支撑的连续函数的子空间(f:X-. m的支撑是指除f (x)=O以外的X的最小闭子集）。对一个

合适的定义域XCA"，记C'(X)为有连续导数的f数f:X-- A的

空间，CZ M 为那些具有二阶连续导数的函数空间。与分形

有着特别联系的是李卜希兹函数．对函数f:X- Rm，如果存在一个数。，满足对任意x,ycx,

If (x）一f (y)1（c Ix-yj (1.l)

则称f为一个李 卜希兹函数．使上不等式成立的。的下确界

称为f的李卜希a常数，记为Lip f。对适当的m，也记 Lip X为从 X到R“的李卜希兹函数空间。

形如lim k＿二“＊二“或l im二＿o f (x)=a的式子总是意味着极限存在，同时取表示出的极限值。

对描述函数的极限行为有一些有用的约定．对f. R斗～H十，f (x）二0(9(x)）表示当x -i 00时，f (x) l g (x) --'0, f (x) = 0(g(x) )表示当 x～ 00时f (x)l g(x)保持有界．类似地，如 f (Y) / g (x) -1

4 第1章 数学背景

记为f (x）一g (x)。对所有 x e R+，如果存在数c,, c2满足0<c,5 f (x) /g (x) Sc2<"O，记为 f (x) x g (x)。偶 尔有记号

f (x) = g(x)，用于不太严格地表示对较大的x, f (x )与g (x)“粗

略可比”。对其它定义域上的函数和x趋近于另外极限值的情

形，则可以用明显的方法改写上述记号。

1.2一些有用的不等式

下面讨论一些简单但非常有用的不等式．

半可加序列非常频繁地出现在一般分析和分形几何，特别

是动力系统中．一个实数序列（(ak)孔，，如果对任意的k, m e十满足不等式

a＊十。：成a,＋a., (1.2)

则称为具有半可加性。这样一个序列的基本性质是（(aklk)k：是

收敛的。

命题 1.，

设（(a k)k，是一个半可加序列，那么limk- }aklk存在且等于

infk},,aklk（也许是一个实数或一0o),证明 给定一个正整数 m，任何整数 k可以写成形式

k=qm+r，这里gGZ,0<,r<m一1。对k >m，应用式（1.2) q次，得

a。 a 、＿ ＿aa_＋a_ a_. “＿ 二二～ 二 一二 (},II 7 l一 < 灬三二二竺一‘三二 二 二二七 半 一二几－

n qm十r qm m qm

因k～ 00，故q～00，得到

li份up aklk < a.lmx

上式对所有me Z＋都正确，故lim sup, -,a,/k < in爪a,lk。即证得了极限存在且等号成立．口

1.2一些有用的不等式 5

系1.2

设 b是一个实数，使 （(a,) k，对所有 k,m=1,2,...,

ak+,,<a,+ a�,+b成立，则“三lim＊一二ak/k存在，且对所有k有a,）ka一b。

证明 首先，(ak+m+b)<(a,+b)+(a.+b）成立，故应用命题1.1到序列 （ak+b )迄，上，即得 limk-a ak/k =1imk＿二（ak+b)/k =infk al(ak+b)/k。记a为这个极限值，则对任意k, a,<(ak+b)/k成立。口

同样，一个正实数序列（bk)k=1，如果对任意k, mcZ+有bk+m < bkbm，称该序列是半可乘的。

系1.3

设（(bk)k=，是一个半可乘序列，那么lim＊一二（(bk)1/k存在且等于

in几，1(bk)1/k=证明 序列a,= log b＊是半可加的，由命题1. l, log衅k = ak/k是

收敛的，故bkl Ik是收敛的。口 接下来考虑一些与凸函数有关的不等式。设XCW是一个区

间。函数沙：X ，如果对任意x1, x2 EX及任意满足“1+12=1

的正数“1,：2： 沙 (11x1＋12x2)-<+1' (x1)＋LX 2o(x2) (1.3)

则称0是凸的；几何上这意味着沙的图的每一条弦都在图的上方

（图1.1)。如果沙是二阶连续可导函数，那么沙是凸的当且仅当

对任意x E X, } "(x) >, 0成立。如果不等式（1.3）对任意xI Ox Z严格成立，则函数沙是严格凸的。如果对任意XEX, }"(X) >0，则W是严格凸的。函数}: X～ RR，如一0是凸的，则称沙是凹的．

凸性条件（1.3)蕴涵了一个熟悉的含有更多项的不等式，即众

所周知的Jensen不等式。

6 第1章一数学背景

命题 1.4

设少 X- R,是凸的，x, ..... X. c- X,气，}}, a}>0且满足

E' Ia，一1，那么

沙信一X)i‘客·‘＊（·。） (1.4)如果少是严格凸的，则当且仅当x：二x2 =·一x．时等式成立．证明 对m>, 3，用归纳法的步骤证明。由式（1.3)可得

价（ m一）一}((1一）运’一（1一）一。） ‘（，一）沙（馨’一（，一）一）+ a. }（二）(1.5)

因为艺么Ia"(1 -am）一’一1，故式（(1.4）由关于m一1的不等式推得。

如果价是严格凸的，那么式 （1.5）中的等式蕴涵 x. =

艺答’叮1一叼一’x,，即x。一艺几。：入．通过重新编号，可以将任何x，看作“xm"；于是式（1. 4)中的等式蕴涵对任意k有

xk=Y-几：：产‘。口

二 图1.1 凸函数沙的图

1.2一些有用的不等式 7

注意如果q/: X～ 1'3是一个凹函数，则成立与式（1.4)相反的

不等式。

在式（1.4)中适当选取价，可得出著名的算术一几何平均不等

式，参看练习1.2. 下面的应用对第5章中与熵有关的内容特别重要。这里我们

约定0 logo =0.

系，．5

设。，，⋯，。，是“概率”，满足对任意i, p,>,0及艺几，；‘＝1．设4�"',9，是实数，那么

艺；‘（一logp,＋、‘）<10g艺e', (1.6)

其中等号成立当且仅当对所有的‘，。，一砂／艺工1价。证明 定义价(x) =x logx (x>0),少(0) = 0。因为对 x > 0,} "(x) > 0，故}: [0,00) 是一个连续的严格凸函数。为方便起

见，记s一（工几，，丿）一，。应用式（1.4)，其中：，一see x‘一。，/e',，则

O (s，一0( i： (se')(p,/e'')) 毛艺se" }(p,/eQ')

于是

s log s 艺se',p,e一" log(p,/e'）

＝、艺p;(logp‘一。，），

这就是式（(1.6)。当沙是严格凸时，等式成立需要满足p ,/e4, = c,这里。不依赖于i，且1＝艺几IPI=c艺几，砂。口

8 第t章 数学背景

1.3 测 度 测度或“质量分布”是分形几何的核心部分。它们在分形的数

学中是一个主要的工具，此外，测度能显示出可以用它自己的方

式研究的分形特征。测度基本上是把集合数值化的一种方法 ，它

使“整个是部分的和”的原理得到了应用．这样，如果用一种合理

的方法将一个集合分成有限或可数个部分，那么整个集合的测度

就是这些部分的测度之和。测度常常被认为是一种“质量分布”或

“负荷分布”，这种解释也许对那些对正规的测度论不太熟悉的人

是有帮助的。

在本书中，总是力求减少测度论的多方面技巧。由于我们仅

研究定义在R0的子集上的测度，可以避开那些发生在更一般拓

扑背景下的不熟悉的测度特征。这里，给出了测度的一个正式的

定义来保证其精确性，但也许更重要的是使读者对测度的性质有

一个直观的感觉。

设x C IN0，如果P取非负值，也可取00，对x的每个子集满

足，

(a )。（劫一。， (1.7)(b）如果AFB，那么,u(A) -< ,u(B) , (1.8)

(c）如果A �A z,⋯是一个可数的集序列，那么

／（QU·‘）、客·（·‘。 、、.9)则称A是x上的浏度。于是（a)要求空集有零测度，(b)表示“大的集合有大一些的测度”，性质（(c）保证了任何集的测度都不会比它的任何可数分割部分的测度和更大。使一个测度有用还需要更

多的条件，即对“好的”不交集A;，式（1.9)的等号成立。这就引出了可测性概念．

1.3测 度 9

给定一个测度拜，如果存在X的一族子集，使u在其上表现

出好的加法方式：即如果集合Acz X，对任意E匚X都满足

P(E)＝u(E自A)＋u(E\A) (1．10)则称A是h-可测的（或者当使用的测度很明确时，只称为可测

的）。记M是可测集族，它总是构成6一域，即kC-M，且如果

A： , A2,...c-M，则U}j ,A,EM,n },A,EM及A,\AZ EM。对于适当定义的测度，M将是一个非常大的集族，特别它将是包含波雷尔

集的。一域．

命题 1.6

设u是X上的测度，M是X的所有Y-可测的子集族。

(a）如果A： ,A-,...E M是不交的，则

U（ U A,）一客 ju(A) (1.11)(b）如果A, (-- Az c:⋯是M中的一列不降的集序列，则

·（S一卜。·（·，） (1．12)(c）如果A, =) A2=)⋯是M中一列不增的集序列，及拜(A)＜00，则

u( n一）一，二·（，‘） (1.13) 连续性质（b)和（(c）由（a）容易得到。性质（a)是测度的一个决

定性的性质，即p在一些大的集族M 的不交集上具有可加性。

对我们遇见的所有测度，M均包含波雷尔集，然而一般的9v1不

会包含X的所有子集，对任意的不交集A� A2, ... (a）也不会成立．

（技术注记：这里所讲的“测度”就是在一般的测度论课本中

的“外测度”。那些书中仅在某些9一域M的集合上定义测度凡

10 第1章 数学背景

使M的集满足式（1.7)一（1.9)，且如果A‘是M中的不交集，则式(1.9)的等号成立．然而，u可以通过定义 9 (A) =

inff艺iu(A,):Ac U ;A;, A;c-M｝扩张到所有AcX上．在涉及豪斯道夫测度等问题的研究中，在一开始就假设测度是定义在所有

集合上还是比较方便的．）

本书涉及的是R生，或}R�"的子集上，且在波雷尔子集上有良女引比

态的测度。X(= R"，如果X的波雷尔子集都是p一可测的，则称测度＃

是X上的波雷尔测度。可以证明,u是波雷尔测度当且仅当对任

意满足dist(A,B) > 0的X的子集A,B，

u(A U B)＝P(A)＋u(B) (1．14)称波雷尔测度u为波雷尔规则的，如果X的任一子集都包含在一

个与之具有相同测度的波雷尔集内．对这样的测度，利用在波雷

尔集上的工作，就可以达到我们实际要达到的全部目的．

实际上，在本书中将遇到的所有测度（包括豪斯道夫测度和

填充测度）都是R"上或它的适当子集上的波雷尔规则测度。因

此，为了避免乏味的重复，约定在书中出现的“测度”都意味着是

“波雷尔规则测度”。于是，对本书的目的，这样的测度是一个相

对于波雷尔集具有良好性态的集函数。为避免平凡情形，对所有

的测度Y均假设/'(X)>Oo

X上满足川X) < 00的测度lu称为有限的；如果对每个有界集A有城A) < 00，则称Y是局部有限的。如果川刀=1，则称It

为一个概率测度（这个标准术语并不意味着要把＃与概率联想在

一起）。

如果lu是一个局部有限（波雷尔规则）测度，则集合的测度能够按下面的意义用紧集和开集的测度来逼近：对任一非空开

集U，

,U(U)=sup伊(A) : A (-- U, A是紧集｝ (1.15)和对任一集合E,

1.3测 度 11

P(E）二inf{g(U)：E c: U, U是开集｝ (1.16)参见练习1.5,

u的支撑，记为spt,U，是补集的测度为0的最小闭集，即

spt,u=X\ U {U：U是开集，U(U) = 0} 下面列出一些基本测度的例子．

(1)任意A c R'，设,u(A）是A中点的个数（可以是00)，这是R"上 的计数浏度．

(2）对给定a e H"，如aOA，令u扭）=0，如aC-A，令lu“）＝1，那

么JU被认为是单位质量集中在。的以｛。｝为支撑的测度．(3) R"上的勒贝格测度是对具有“n维体积”的一大类集族的自然 推广（n=1为“长度”，n=2为“面积”，n=3为‘体积”）．定义

“坐标平行体”A＝{(x}}...}x")“R"：a,}x,}b,｝的”维体积为 vol"(A)＝(b。一a,)(b2一a2) ... (b。一a")

那么n维勒贝格测度L"定义为

￡”(A)＝inf{ Y_ vol"(A,)：A (-- U A}), I- I ,_,

这里的下确界是对A的所有可数平行体覆盖取的．经过一

些努力就可以证明 户确实是68"上的（波雷尔规则）测度，

且如果A是一个平行体或者用通常的测量法则可以计算体

积的其它任何集合，l(A）等于A的n维体积．

(4）设lu是X上的测度，E(-- X, Il在E上的限制，记为川：，对任 意AcX，定义如下：

}I E\A)＝P(A门E) (1．17)

容易验证，每一个＃一可测集都是川r可测的，且只要E是可 测的及h(E) < 00，则拜一定是（波雷尔规则）测度．

(5)定义测度的一个非常有用的方法是反复ilw分。见图1.2。对

m>- 2，取H"的一个子集系统，用序列｛(i�...,i,): k>0，对每

个J, 1 <ij<-m｝来标记．对任意（( il'...,ik)，设X, ,.... r。是R"的

12 第，章 数学背景

一个有界非空的闭子集，记E为所有这样的集合组成的集

族．假设这些集合是嵌套状的，所以

X,"...,,,。U戈、1＊，‘ （l．18)

（虽然并不需要，但通常上式是不交并）。任意（i"...0 ，对

x，，⋯‘。 E E，设风戈卜．．．．‘。）<①，且按下面的方法定义：

P(X".、！。）一答P(Xl"、“，1) （，，19) 即“质量”u(X",...,,,）在子集x，，．⋯1＊，‘（1蕊1簇。）之间分配。假定对每一个序列（('I} 'z9...)，集合的直径｝戈1，二，,I和它的测度川戈，价口当k -o- 00时都趋近于0，对每个k，记Ek =X',...、和E=n-.,E,，故E是一个递减的闭的非空集序列的 交集，因此也是闭的和非空的。对A c:,R.，定义

,u(A) = inf{耳 y(vi)：‘n“cU, V,，ViE呼（，·，“）

公 巴 L2测度用反复细分方法的构造过程．在嵌套状的结构中，

万的每个集合上的测度都在它的子集间进行分配

1.3测 度 13

不难证明h是一个支撑包含在 E内的测度 ，且满足对任意

（i：，⋯1^），城戈1，口具有预先分配的值。于是如果lu是由这 种“反复细分”程序定义的，它就能扩张为E上的测度。

有关这个构造过程的一个简单的例子是，设m=2，对每

个k，所有的戈，一1‘构成了2k个长度各为2-k的［[0,1]上闭的 二进子区间的集合，用显然的方法细分下去．对每一个这样

的子区间，取JU(Xa,...口= 2-k，则容易验证式（(1.19)成立，且式 (1.20）定义了勒贝格测度在【0,1]上的限制．

如果使某一性质不成立的集合具有的 lu-测度为0，则称对几乎所

有的x或几乎处处（关于测度l4)该性质成立。例如，几乎所有的实数关于勒贝格测度来说是无理数。

偶尔会用到下面的密度结论，其大意是说，从测度的观点来

看，集合E的几乎所有的点“均在”E中。如果在点x上，式（1.21)成立 ，则称它是E的一个密度点．

命题 1.7

设l4是R”上的局部有限波雷尔测度，那么对每一个I<河测集E,

lim,u(E () B (x,r))/ it (B(x,r)) (1.21),0存在，且对＃一几乎所有的xE E，极限值为1，而对h-几乎所有的

xOE，极限值为0,

证明 由于这是一个局部结果，故可以假设h是有限测度．取

c<l，定义

A＝{XEE：对任意小的r, u(E门B (x,r)) < cu(B(x,r))};下面证明/.' (A) = 0．给定“>0，存在一个开集 USA，满足

P(U)<城A)+E．定义球族v为： 下={B:B的中心在A中，BTU, Y(E门B) < cu(B)}

则 乍是A的一个Vitali覆盖，即对任意xEA及6>0，都存在

14 第1章 数学背景

下中的一个中心在x，半径小于b的球。Vitali覆盖定理表明，在

下中存在不交球序列B�凡，⋯满足城A\ U,B,)=0，那么

u(A)＝u(A n U ,B,)＋P(A\ U,B)

＝艺u(A门B,）＋0S c艺P(B) 宜 百

＝cu( U ,B)_< cu(U)＜c(N(A)＋“）

上式对任意“>0都成立，所以u (A) <cu(A)，即得u(A)=0．于

是，可以断言，对充分小的r，及任意c<l，对u-几乎所有的xe E,

cu (B (x, r)) <_ u ( E门B (x, r))<-,u (B (x, r))．即对u-几乎所有的

xE E极限（1.21)成立且等于1．

将上述关于E的论证过程应用于A'\ E，可得 对u-几乎所有

的x}E，式（1.21）等于0。口

有时在同一个集合上要考虑几种测度，对 X上的测度u和

v，如果存在数c�c2 > 0，使对任意Ac-- X, c,u(A) < v(A) _< c,u(A) (1.22)

则称拼和v是等价的．

X上关于测度u的积分是按通常步骤定义的．一个简单函数

f:X-R是指下面形式的函数

f (x)＝艺a,' ,,,(x)

其中a,'...'akc- R, A,,---,A＊是u-可测集，I.,，为A。的示性函数．定义简单函数f关于lu的积分为

丨，d；一睿·，，（、，）更一般函数的积分是由简单函数的逼近来定义的．如果对任意

CE R，集合｛xC-X:f(x)<c｝是可测集，则称f:X-- [R是一个可浏函数（特别对波雷尔测度lu，所有连续函数都是可测的）。定义一

1.3测 度 15

个可测函数f :X～ R' U {0)的积分为：

丨，du=sup｛丨9‘一是简单函数，0<9<f)（这个积分值也可能为无限）．最后，对一个可测函数f: X-A,

记f. (x）一max{f (x),0}, f (x) =max｛一f (x),0}，而当If, du和仁du均有限时，定义

少‘一介du-介du如果f if Idu= f f+du+ f f du < 0o，这样的函数f称为u-可积．所有常用的积分性质都成立，例如f (f +g)du=If du + f gdu和f(; f )du＝;If du()实数）． 对一个可测集A，定义A土的积分为孔f du=仃l,,du. 一些基本的收敛定理也成立，这些定理叙述的是保证

limJ fk．dlimo一少du ‘，·，，，成立的条件，其中fk:X一R是对几乎所有的x,满足limk_.f (x)

二f (x）的函数序列。一种情况是沃）为非负函数的单调序列（单调收敛定理），或者P (X) < 0o且对任意的k及XEX，存在c使

II (x)I-<c（有界收敛定理），还有一种情况极限式（1.23）也成立，

这就是如果存在函数g:X-R十U {0)，满足Jgdu < oo孙寸任意k和x, II (x)1-<9(x)（控制收敛定理）． 与本节有密切联系的还有Fatou引理，即对任意可测函数序

列(f），

丁lim infk-m、‘；‘，‘二。f介‘； 我们常常希望在二重积分中能够交换积分次序，这个通常可

以利用Fubini定理．如果u和，是欧几里德空间子集上的局部

有限测度，那么对连续函数f:XXY-'R十U {0):

16 第t章 数学背景

f (ff‘一，dI'(x))dv(Y)=J (ff(一）dv(y))dj'(x)（如果f是一个波雷尔函数，即对所有实数。,{(x,Y):f (x,Y)<c}

是XXY的波雷尔子集，则上式也同样成立）。

积分通常可以用不同的记号表示，根据不同的侧重要求可写

成If d[l,丁f或者丁f (x)dP(x)．当A是n维勒贝格测度￡”时，通常用Jf dx或丁f (x)d x代替丁f d L"(x), 记L'(ti）为价可积函数的向量空间，即函数了：X～ R满足

f 1f 10<00, l' (A)为勒贝格可积函数，即f : ,R -- R满足

份Id L<二。

*1.4测度的弱收敛

这里集中叙述一些有关测度弱收敛的性质，主要在第9章中

要用到．本节仅涉及需要用到的性质。作为一种选择，初次阅读

时可以略过证明不看，当然这可能会有点不利于对本论题的体

会。

设u,JU�U2,⋯是L4"上的局部有限测度，如果

｝、少d一介dp (1.24)对任意f E co(,R")（即对紧支撑的任意连续函数f）成立，则称序

列伊＊）二：弱收敛到lu，记为U,～JU或limk-l'U,='U,

＊上的一个简单例子：如果；，（，）一牛｛＃，。：：，／、。A}，即 －一”J ”、”‘丬J’户n一，一‘“、一丿 k ‘”－ 一‘’一‘一

p＊是Ilk的点质量的总和，则,U, ---P- Jr I

尽管弱收敛不能保证对每一个集合A都有,U, (A)～9 (A),但对开集或紧集仍成立一些有用的不等式．

1.4测度的弱收数 17

引理 1.8

设（Pk)k，是Rn上满足Yk-u的一个局部有限测度序列，如果A是紧的，则

u(A)）lim sup uk(A) (1.25)k-m而如果U是开的，则

u(U) <, li叨nfuk(U) (1.26)w证明 记A'= {x: dist(x,A) <句为紧集A的开6-邻域，则当6 -* 0时，Ao',.A，所以由式（(1.13), u(心）一u(A)。于是对给定

的“>0，存在6>0，使u (A') <,u (A) + e。设f E Co (Rr）是满足0 < f (x) < 1的任意函数，且对x E A, f(x)=l，而对 x嗜 A's,

f (x）一0（实际上可取f (x）一max{0,1一6-'dist(x,A)})，那么

P(A) +￡妻u(Ao)）介d一，、丁fd一 ）li伙瞥p uk(A);

由于上式对任意小的“都成立，即得式（1.25)。不等式（1.26）也可用式（1.12）类似证明．口

弱收敛的重要性在于下面的紧致性质，它使我们能从一般测

度序列中选取出弱收敛子列。

命题 ，.9

设u�/-t2, ⋯是A'上的局部有限测度，且对任意有界集A，满足supkuk(A) < oo，则（,U,琅，有弱收敛的子序列。

＊证明 注意到CO(R.）在范数11刀｝二＝max{If (x) I :xe R0｝下有一个可数稠密的函数子集认狠。（例如，设g.(x)=max{0, m一IXI},

由Weierstrass逼近定理易见函数集合｛P9.: P是一个有理系数的多项式，m‘I十｝是可数的和稠密的）。

18 第1章 数学背景

下面采用对角线法论证：对k进行归纳法可得子序列（气。）：－，，

其中Pa,，一从，而对k一1,2,---（气1) ,_，是伊。一，．‘）二：的子序列，使存在a, E R，当i～ 00时，J f du,.,～a,。于是对任意k，当i～00时，丁f du,,,～ ak．由于认）是稠的，即知对任意fE Cu(RI) ，存在a(f）‘A，使

ffd.u,,一。） (1.27)而且a是线性的，即a(f+g)=a(f)+a(g）和a林f )=)a(f )，且

。是有界的，即如果spt f c-- A，那么I a (f )I镬 (supkuk(A)) II f IIRiesz表现定理表明在这些条件下，存在一个局部有限的测度u,

并对所有f E Ca(A"）满足。(f）一丁f du;于是由式（(1.27）知u,,, -- u,而（践‘）二：是(Ak)k，的一个子序列。口 有时通过距离的收敛来表示测度的弱收敛会方便一些．对

R>O，定义ff8"上的局部有限测度集上的d：为

“·（一，一｛} ffdy- f fdv I : f E Lip, ,j (1.28)这里Lip：表示满足sptf c:B(O,R）和Lip f <-I（即｝f (x）一f (Y)1<Ix-YI, x,YE R"）的李卜希兹函数f : R"-[0, 00）的集合，那2.R寸每

个R, d：是一个伪距离（即它是非负的，对称的，满足三角不等式），然而d"(u, v) = 0并不能得到u=v．虽然如此，d：仍是支撑包含在开球B0(O,R）中的局部有限测度集上的距离，参见练习

1.10．显然，如果R, 5 Rz, )RI1有d,， (.u,v) <- d�,(u,v).

引理 1.10

设＃Pr]⋯和lu是R.上的测度，那么卩，弱收敛到拜当且仅当对任意R > O, dR(pk,ku)～0.

＊证明 首先假定对某个R, d1I(yk,川升0，通过考虑子序列并用重新排序的方法 ，可知存在“>0和函数fk E Lip,，使对任意的k

1.4测度的弱收敛 19

Ilf,du。一If, du l % E．由Arzela一Ascoli定理，存在认）的一个子序列，通过重新排序可以又一次得到整个序列，利用人在B0(0,R)外等于零的性质，知在Lip，上一定存在函数f，一致地有

f,～厂。于是

少d一尹‘。一（夕‘；。一乒‘；＊）·（介‘。。一乒d1u) ·（介‘；一少‘。）

当k -. 00时，这个和的第一项趋于0（由于人一致收敛于f及

由式（1.25）知伊, (B(0, R )))二．是有界的），第三项趋于0（由于人一致地收敛于f)，但是中间一项的绝对值有下界“，所以u＊不弱收敛于u.

反之，设对任意R > 0, d.(u�u)～ 0，而f：卿～R是连续的，

且spt f a B(O,R)，则对给定的。>0，存在李 卜希兹函数g: A"-R，使spt g c B(O,R)，且9在下列意义下通近l，即对任意X e A", I f (X) - 9 (X) 1 < e.（由中值定理，9可以任意充分地逼近I，因f是连续可微的）．那么利用三角不等式和9有李卜希兹正和负的部分，如果k充分大，由式（1.25)

一少‘一少‘·卜丁，，一，‘一丁9du,-J9‘·｝ ·丁，“一f’‘“ 簇 Eu,(B(O,R))＋2(Lip g)心(u�u)＋Eu(B(O,R))

5 3EU(B(O,R ))＋2伍ip9)E

因此u＊弱收敛于拜．口 还需要的其它性质是d：的可分性，即存在伪度量（空间）中

稠的可数测度集。

20 第1章 数学背景

引理 1.11

在R"上存在局部有限测度 i<, , 'U2⋯的可数集 ，使得对R“上的每一个局部有限测度 JU及任意 R, q>O，存在 k使

dR(.U,Yk)＜叮。

中证明 为证明本引理，只要证明对任意R=1, 2,⋯都存在这样的

测度集和利用可数集的可数并仍是可数的性质就足够了。对

.1- 1,2,⋯设Cl.一q．，是与B(O,R)相交的边长为2一’的（半开）二进制立方体，设6J.‘是在C1.，中心点上的一个单位点质量，设(rk)k：是所有形如Yi J.f,cad，的测度集合的一个枚举，这里对每个.l和i，序列（(9,.,.� q1.,,2,...）是非负有理数的一个枚举。

给定P，设v.=艺}_}} (C/. }) a1."，这里选取J足够大以使

d R (u, v) <合。成立。现在选取；k-Y'=}ql. i. cal.，使得dR(v.,uk) <喜。，这可以通过对每个，，取。，，。充分接近。(C）来实一““1 一2 ”一 ‘一’一一 ‘一‘～ ’一’一I- I j,"p’“～灬～ ‘“一）/.Ii”一冖

现．于是dR('U,Uk) <叮，引理得证．口

1.5注记与参考文献

本章的大部分内容可以在关于测度论的任何基本教程中找到更

为详细的叙述，例如Doob (1994）或Kingman和Taylor (1966)的书。在Falconer (1985）和Mattila (1995a）书中的处理是特别针对分形几何的，同时也包括了Vitali覆盖结论和密度性质的更多

细节．

练 习

．1.1设f:10,11～ [0,1]是可微函数，证明极限lim。一二衅‘存在， 这里。k =sup,‘二‘,I会f k(X)I, f“是了的第、次迭代。（提示： 用链条法则证明(bk）是半可乘的。）

练 习 21

1.2用式（(1.4)证明算术一几何均值不等式：即（H j-1 x)

十艺X.-.x.，这里x�".,xm > 0,（提示：一logx是凸的．）1.3设 ③= (9i}925⋯ 是有理数的一个枚举。对ACA，定义

,u (A)一艺q,- A2-',验证“是一个使a的所有子集可测的测 度。并证明虽然u扭\(a) = 0，但sptu=a，即u是“集中” 于 ③的。

1.4设u是R"上的测度，满足对所有x e a"，存在球B (x, r)使

u(B(x,r)) < 00,证明u是局部有限的。

1.5用局部有界（波雷尔规则）测度的定义及命题 1.6验证式

(1.15）和式（1.16),

1.6对任意k，设｛气．币毛=1或2｝是2‘个长度为3-‘的按通常 三分康托集 E构造与迭代的第k级子区间。脸证由假设

城气．．．．）＝2一 t= 2-和利用式（(1.20)可以导出E上的一个测度。证

I'll当设u(x",...,,,)=(1/3)"' (2/3)",，这里n，和n,分x11是（il， ...'iF) 中数字1和2出现的次数，则上述结果同样是正确的。

1.7设f':[0,1]～ R十是连续的，在［0,1］土定义＃为＃(A) =Lj(x)dxe 证明u和L是等价的，这里 L是勒贝格浏度．（注意对所有

xe [O,1】和c�c� 0＜c, < j (x) <- c,）。1.8设JU＊是R"土的测度，它赋予单位质童到点1+1/k上．找出

沮11度序'11 ()U,）的弱极限.u. P,([o,11)～ .u([O,1]）成立吗？1.9证明如果A＊一p，且A是满足城OA) = o的有界集，这里aA 是A的边界，那么气(A) 城A),

1.10脸证由式（1.28)定义的d，是局部有限测度的伪距离及支撑 在B0(O,R）土的All度的距离。

第2章 分形几何回顾

这一章要复习一些分形几何的基本思想，它们将频繁地出现

在整本书中．首先讨论分形维数，特别是豪斯道夫、填充、计盒维

数的定义和性质，然后回顾迭代函数系，它提供了一种描述许多

分形和分形测度的简便的方法．

为方便参考，将这些基本定义、性质和记号集中在这里，几

乎所有的这些内容在FG中都有更为详细的叙述和完整的证明．

2.1维数回顾

集合的“分形维数”的概念几乎是整个分形数学的中心．通常

我们只对An的子集的维数感兴趣，但本质上同样的定义在一般

距离空间上也成立．

许多维数的定义依赖于对集E“在尺度r下的度量”，通过这

样的尺度观测集合可以确定集合的不规则性．于是维数通常是

依据这些度量值当r、0时服从的幂定律的状况来定义．

这里主要涉及集合的豪斯道夫、填充和计盒维数，虽然还提

出了许多其它定义，但这些是最常用的维数定义．必须强调的是，

尽管对“适当规则”的集，常用的维数定义经常给出相同的值，但

集合的维数值还是会随利用的定义的不同而变化的．因此在任何

特别的上下文中，弄清楚使用了哪种维数定义是重要的．

计盒维数

计盒维数（也称为熵维数、容量维数、对数密度等）．从概念

上看，它是用到的最简单的维数，见FG的3.1节．对R"的一个

非空有界子集E，设N,(E)是覆盖E的直径为r的集合的最少个

2.1维数回顾 23

数．（回忆一下集合U的直径的定义是｝Ul=sup{Ix-A :x, Y E U},即在U中任何两点之间的最大距离．) E的下、上计盒（或盒）维数

的定义分别为：

J：一。一，：一：一。logN (E) ，，，、 dim,E＝lim inf止二三二址全二乙 (2.1、 P-0 一tog r

和

二 。一，：＿＿＿＿＿logN(E) ，，，、 dim BE一，im sup lo贡么 (2.2)o gr,

如果它们相等就把这相等的值称为E的计盒维数或盒维数

」：一。一：：一logN， (E) ，，，、 dim.E＝lim二二三二泣立二乙 (2.3) ，～。 一iog r

这样，能覆盖E的直径为，的集合的最少个数大约是厂’阶，这

里s二dim.E,

有若干经常用到的这些定义的等价形式。如果从(E)取以下任一个数，式（2.1）一（(2.3)的极限值不变：

（i）覆盖E的直径为；的集的最少个数，

(ii)覆盖E的半径为r的闭球的最少个数，

(iii)覆盖E的边长为；的立方体的最少个数，

(iv）中心在E内半径为r的不交球的最多个数，

(v)与E相交的r一网立方体个数，因此有名称“计盒”．(r-网立方体是形如【m,r,(m,+1)r)x ...x[m,r,(m,+1)r）的立方

体，这里m� ... ,m。是整数．） 通过比较上述各种情形中的N,(E)的值，即可得到这些定义

形式的等价性．见FG中的等价定义3.1.

有一个具有相当不同性状的盒维数的等价定义，它涉及到

r-邻域或称r-平行休E的”维体积，E，定义如下：

E,= Ix EA"：存在yEE，使｝x一yj 5 r}那么对E } }"}

24 第2章 分形几何回顾

lop- L"(E_) Q1m -C ＝ 九一 llm SUD 一 1乙.41

，一。一 log r

一 。一 ，：＿＿＿：＿。log P(E) dim of＝n一lim inf止二泛己二二止二2仁 (2.5) ，～” log r

且如果下面极限存在，则

J：＿。＿＿＿，：＿log L" (E ) dim,E = n一lim - ‘二一乏二上二 (2.6) ,-o log r

其中户是n维体积或n维勒贝格测度。就这个定义来说 ，盒

维数有时被称为N可夫斯基维数。

豪斯道夫和填充维数

豪斯道夫和填充维数要比盒维数复杂一些，它们是通过测度

定义的。A"的一个有限或可数的子集族｛U,}，如果对任意i,

IU'I<6且EC＝ U,mz, U,，则称｛U,｝是EAR"的一个6-夜盖。设E是R"的子集，s>,0．对任意8>0，定义

驾（“卜‘·镇I up :{U,｝是“的‘一覆盖｝(2.7)随着6的减少，E的6-覆盖族是减少的，所以上式中下确界是非降的，且当6 \, 0时趋近一个极限。于是定义

9-('(E）一蚀呱(E) (2.8)

这个极限对所有EAR"存在，可以是。或00。称开（习为E的s维豪斯道夫测度。

可以证明开(E)是Ry上的一个波雷尔规则测度（见式（(1.14)),故对任意集合E�E,,...，特别有

“（x“‘）‘xY_ 9-C (E,) (2.9)i- I

2.1维数回顾 25

如果 E。是不交的波雷尔集，则等号成立． 豪斯道夫测度推广了勒贝格测度，故3{'(E)给出一个集合或

曲线E的“长度”，开 (E)给出一个区域或曲面（标准化）的“面积”，等等。通常，L一2-"v.开，这里。。是。维单位球的体积。 经常要考虑在李卜希兹映射下集合的象的豪斯道夫测度。对

任一满足

If (x）一f (y)1 - c Ix一v1，任意x,y E E (2.10)的李卜希兹函数f: E -- !R0,

3-f'汀(E))（c'歼'(E) (2.11)

同样，如果f: E --}- R'是双李卜希兹函数，即若。�c2>0 ，对任意x,y e E,

c, Ix一y1｝r (x）一f(y)I "'CZlx一y1则

c, 9-('(E)扩(f (E))-<cZ sT(E) (2.12)上述的一种特殊情形是当f是相似比为r的相似变换时，即对任意x,y E E, If (x）一f (y)1 = rIx一y1，此时：

开’汀(E))＝r'到飞E) (2.13)这就是豪斯道夫测度的比例性质，它可以推出熟悉的长度、面

积、体积等的比例性质．

由式（(2.7)和（(2.8)容易证明，对任意集合ESP"，存在数dim HE,称之为E的豪斯道夫维数，满足：如果、< d imHE, 9-(' (E) = 00，如

果s>dimHE, 3{'(E)=0．即 dim HE＝inf{ s：开(E)＝0}＝sup｛s：尸(E)＝0o}

于是集合E的豪斯道夫维数可以被认为是这样的一个数s，使得

在s处开'(E）从00“跳跃”到0，见图2.1．当s=dim HE，测度欢E)可以是零或无穷，但是在最好的情形是 （发生于许多熟悉的例子）0 < 9-C' (E) < 00，在这种情形下，有时称E为一个s-集。

26 第2章 分形几何回顾

开（￡） co ．，．．．．．．．．．．．．．．

0．忄一 一一一— ．～尸－－－－－～－～， s 0 d'MHE

图2.1 E的滚斯道夫维数是：，在：处9-C ( E）从二跳跃到。

填充维数的定义与豪斯道夫维数定义相似。称一族中心在E

内，半径最多为S的有限或可数的不交的球族｛尽｝为EcR"的一个S-填充。对S>0，定义

P;(E)=sup体IB,I': {B,｝是·的一个‘一填充｝那么随着S的减少P;(E)是不升的，故可取极限

P0-(E)＝蚀P; (E)

遗憾的是 Po不是一个测度（它不满足半可数可加性），为了克服这个困难，定义

，！（·卜inf{ y-li-，：（一）：一叠一｝这是一个ff8"上的波雷尔测度，称为E的s一维揍充刚度．P', P2

也给出了光滑集的长度，面积等，但是对分形，9-C'和尹’可以是非常不同的测度。

21维数回顾 27

在李卜希兹映射方面，填充测度与豪斯道夫测度的表现形式

是一样的，用P'取代扩，式（(2.11）一（(2.13)仍然成立。可以证明对任意集合A, -'TP(A) < P '(A).

类似于豪斯道夫维数，存在称为E的填充维数的数dimPE,满足：如果s<dimpE，则 P'(E) =00，如果s>dimPE，则 P'(E)＝0．即

dimPE＝inf{ s：P'(E)＝0｝二sup{ s：P'(E)＝00｝ 有时通过上盒维数来表示填充维数是方便的．对Ee. .II ,

dimPE=inf{supdim.E,: E0= Ul ' f=1·‘｝（下确界在 E的所有可数覆盖 ｛尽｝中取）。见FG中的命题 3.6,

维数的基本性质

书中将频繁地用到维数的一些基本性质。如果用“dim”表示

豪斯道夫、填充、上盒和下盒维数中的任一个，则下列性质都成

立．

单调性 如果El (-- E2，则dimE, <dimE2,有f1-集 如果E是有限的，贝11 dimE=0．

开集 如果E是RR上的（非空）开子集，则dimE=n,

光滑流形 如果E是R"上的m维光滑流形，则 dimE=m,

李 卜希兹映射 如果 f : E --- R"是李 卜希兹函数，则

dimf (E),<dimE,（对豪斯道夫和填充维数结论由式（2.11) 及它的填充测度的相应形式得到，对盒维数从定义就可推

出）。注意特别当x是开集，EcX，而f:x一R3”具有有界

导数时，由中值定理知上述结论也是成立的。

几何不变性 如果f是一个相似或仿射变换，则dimf(E)=dimE

（这是双李卜希兹不变性的一种特殊情况）．

28 第2章 分形几何回顾

豪斯道夫、填充和上盒维数是有限稳定的，即对任何有限集

族｛E�---,E小 有dim U'o,E,=max,},}kdimE,，然而下盒维数不是有限稳定的．

豪斯道夫和填充维数是可数稳定的，即 dim Uw ,E, =

sup,t,,,dimE,（结论可以由豪斯道夫和填充测度的半可数可加性推出。）可数稳定性是这些维数优于盒维数的主要优点之一，特别

它蕴涵着可数集的豪斯道夫和填充维数为零。

再回顾一下结论dimBE=dimBE和di而BE=不石BE，这里E是E的闭包．但由于经常要研究在H“的一个开域内稠密的分形

集E，因而它有满的盒维数n，事实上这正是盒维数的一个缺陷。

在这些维数之间有一些基本的不等式。对任意非空集E

dimHE簇 dimHE 不石BE和dimHE,< dimBE不不BE (2.14)（对涉及到盒维数的不等式，假设E是非空和有界的．）应用中，大部分定义的维数取值是在豪斯道夫和上盒维数之间，因此如果

能够证明dimHE=di而BE，那么所有正常定义的维数都取这共同的值。

维数计算

我们频繁地要估计一些集合的维数，通常下估计比上估计更

难得到．寻找一个集合的维数有许多种途径，但是大部分方法涉

及到研究此集合支撑的一个适当的测度（其它方法常常能转化成

这一过程）．一个基本但却非常有用的技巧被称为“质量分布原理 ”。

命题 2.1 （质量分布原理）

设EcH", p是使,O(E) > 0的有限测度，假设存在数s>,0, c>0

和S B>0，对所有满足｝Ui 58。的集合U, ,U(U)-<cl ul,

2.1维数回顾 29

则歼'(E)）u(E)/c且

s-d1m�E<,dimBE<,刁 imBE证明 回顾一下FG中命题4.2的非常简单的证明．如果｛认｝是直径最多为S。的E的任何覆盖族，则

Y(E) -<,U( U U)（艺,U(U) -<cy-IUx f 浦 舒

故对S 6o, a (E) < c州(E）成立。令b～0即得结论．口

如果能找到E上的满足一定的“局部密度”条件的测度f4，发

展上述的思想就能够估计集合E的豪斯道夫和填充测度及它的

维数。观察豪斯道夫和填充测度之间的（近似）对称性，下面的命题给出它们的上、下估计。

命题 2.2

设EAR”是波雷尔集，ft是A”上的有限的波雷尔测度，0＜c＜00。

(a）如果对所有x E E, lim sup，一。fu(B(x,r))/r',< c，则 开（￡））f4(E)/c.

(b）如果对所有x E E, lim sup，一。u(B(x,r))/r',>- c，则 开（￡）5 2'u(E)/c.

(c）如果对所有x e E, lim inf,一。u(B(x,r))/r',< c，则 P(E)）2T(E)/c.

(d）如果对所有x‘E, lim inf,-o u(B(x,r))/r',> c，则 P(E) < 2'Y(E)/c.

证明 （a)和（b)在FG中的命题4.9有证明；(a)的证明需要用到

稍许超出豪斯道夫测度定义的内容，同时（b)的证明要用到Vitali覆盖引理。对填充测度可用非常类似的方法同样证明，(d)由填充

测度的定义容易得到，(c)需要用到覆盖引理．口

30 第2章 分形几何回顾

人们对集合的维数经常比对集合的测度更感兴趣，因此下面

给出命题2.2的关于维数的一个版本，通过测度的局部维数来表

达可能是更方便一些。定义u在x任R“的下，上局部维数（也称为．点维数或Holder指数）为

丬：一 ，，‘＿、＿，：＿：＿rlog u(B(x,r)) dim,--,u(x)＝lim inf二二户二二二五：二2二 (2.15) "--o log r

一 ＿＿，、 。． lo"u(B(x.r)) alm ,_ .UIxl＝ lim sun 一 11.161

.--o一 iog r

这些局部维数表示了r充分小时川B (x, r)）所服从的幂定律的状

况。注意如果存在r＞0使u(B(x,r))＝0，则dim...u(x) = dim.,u(x)二co．

命题 2.3

设E c A3’是波雷尔集，u是有限测度，

(a）如果对任意xE E及,u(E)>O, d im,.u(x) r s，则dim�E>s,(b）如果对任意xE E, dim,au(x)-s，则dim �ESs,

(c）如果对任意xE E及u(E) > 0, dim,j'(x) > s，则dimpE >,s,(d）如果对任意xE￡，dim u(x)<s，则dim,E 5 s,证明 由命题 2.2，注意到（a)中的假设蕴涵对任意 “> 0,

lim sup,_ou(B(x,r))/r，一‘=0，即得结论（(a)．对（b)、(c）和（d）类似可证．口

注意在命题2.3的（a)和（(c）中，只要假设x属于具有正踌测度的E的子集就够了．

下面叙述的是上面结果的部分逆命题，它们确定了在一个给

定维数的集合上支撑着一个具有相应局部维数的测度．

命题 2.4

设ECR·是非空波雷尔集

2.，维数回顾 31

(a）如果dim PE > s，则存在满足0 < u (E) < oo的u，且对任意 xc-E,旦迪"u (x) % s,

(b）如果dimPE<s，则存在满足0<u同 < 00的u，且对任意 xE￡，鱼mIOCP(x)-<s,

(c）如果dimPE>s，则存在满足0<u(E)<oc的u，且对u- n乎

所有x,不成 u(x)）s,(d）如果dimPE < s，则存在满足0<u团 < 00的u，且对任意

x e E, dim丨‘u (x) < s,证明 （a）是FG中的系4.12 ("Frostman引理”）表达成局部

维数的形式．(b), (c)和（d)的证明也要用到类似精细的论证，详细的技巧可在参考文献中找到．口

注意，在命题2.3和2.4中，集合的下局部维数与它的豪斯道

夫维数相关联，而集合的上局部维数与填充维数相关联。

命题2.3(a）和2.4(a)可以被“积分”而得到位势理论准则，在计

算豪斯道夫维数和测度时经常用到它．对：>0，定义R‘上的测度u的s一能为

1, (u) =丨丁一，｝一du(x)du(y) 命题 2.5

设ECA3”

(a）如果存在E上满足1, (u) < 00的有限测度u，则H'(E）二00,

且dim�E>,s,(b）如果E是满足9-C' (E) > 0的波雷尔集，则存在E上的有限测

度u，对任意t<s,满足式（川＜00.证明 见FG中的定理4.13．口

32 第2章 分形几何回顾

密度和可求长性

在几何测度论的发展中，密度发挥了相当重要的作用．虽然

有可能定义任何有限测度的密度，但这里主要注意的是 、一集的

密度，即满足0< H(E) <oo的波雷尔集E(-- A3"，其中、=dim�E,E在x点的下、上仔维）密度定义如下

D'(x)=D'(E,x）一lim男f开(E n B(x,r))/(2r)' (2.17)和

D '(x）一D'(E,x）一lim sup 3-!(E (1 B(x,r))/(2r)' (2.18)r-0（当研究的集E是明确的，则记为D'(x）比D ' (E,x)更好些．）当

旦'(E,x) =于(E,x）时，E在x的密度D'(E,x）存在且等于这相同值。（通过在式（(2.17)和（(2.18)中用A来替代 3{'，则可以定义更

加一般的测度＃的密度．）

注意到，如果X是R的开子集及了.X-,3是c，映射，那么对Ec-A，

D'(E,x)=D'(f (E),f (x)）和D'(E,x)＝D'(f (E),f (x)) (2.19)

对任意使f'(x)O0的x成立．直观上这是因为f可以看作是在x

附近的相似比为 ｝f ' (x)｝的局部相似变换，利用比例性质（(2.13),这个变换将B(x, r)的直径扩大了丨f'(x)I倍，相应的B (x, r)的开一测度则扩大了if '(x)1！倍，见练习2.6,事实上，式（(2.19)对可微保形映射f:X一R”也是成立的，其中XCR"o（称映射f是保形的，如果f '(x)作为R”上的线性变换 ，是对任意x c- R"的

相似变换。）

关于密度的经典结论是勒贝格密度定理。它叙述的是，如果

E是A”的勒贝格可测子集，则对 L0一几乎所有的x有 。．，＿八＿，、、。＿，＿，、、 f 1 x。E

lim L'(￡门B (x， r))/ L(B(x， r)＝又立 ‘泣七 (2.20) r"‘一、一”一丫一，’”一、一丫’'” t 0 xOE

这是在命题1.7中取9为户的特殊情形．由于 L=2-"v,开，

2.1维数回顾 33

其中。。是刀维单位球的体积，用密度的形式表示即是 ＿＿、二 ＿。＿。＿ 、、，＿、＿ （1 xE E

D "(E,x，一lim V(E n B(x,r))/(2r)r }a ”一龙0 xO E (2.21)对开一几乎所有的x成立。自然要问对一般的、值，在什么范围

内有类似式（2.21)的结果成立。 对 、一集E }= PI3"，容易证明对厂’一几乎所有的x}E,

D' (E,x) = 0。而且对几乎所有的xc-E, 2-'<万' (E, x) S 1，见FG中的命题5.1。一个更加深刻的性质是，除了、是整数，对 9-C'-

几乎所有的x E E, D'(E,x) < D'(E,x)。在系9.8中将利用切线测度证明这一点，而FG中的命题5.3给出了一种特殊情形。从

某种意义上说，这个密度的不存在是分形性的反映。

s是整数时的情形就更为复杂．在这种情况s-集Ecz: H”可

以分解为E=ER U尽，这里ER是规则的，即对9-f’一几乎所有的

xc-E，满足D'(ER,x) = D' (ER,x) = 1，而E,是不规则的，它对开一乎所有的x E E�卫'(E., x) S c护(E,, x)，这里c<1，仅依赖于n和s，见图2.2,

落今二 ／ ＼

～ 八少入 ~矛‘ ,4二寸：．：、厂 从 户 ＿ 、 八一 一、 － 一

\\W ，一）沪 、认 Ek El

图2.2 1一集F.分解成一个规则部分E，和一个不规则部分F,,

34 第2章 分形几何回顾

规则和不规则集具有通过可求长性表现出的几何特性．

如果E是规则的，则E是可求长的，即E的几乎所有部分都能被

使-V (E\ U :, E) =0的可数李卜希兹子集族E,, E z,⋯所覆盖．（称

集合E。为李卜希兹子集，如果E,,=I (A)，其中A c:R', f : A -R"是一个李卜希兹映射．）于是可求长集是由一族可数的李卜希兹子集

组成 ，这些李卜希兹子集看起来像曲线、曲面或典型的s一维集合

的子集．

另一方面，如果E是不规则的，那么E是完全不可求长的，

即对每个李卜希兹子集瓦，满足:9-f' (E门凡）=0，故E与可求长的s一维集只有可以忽略的交。这样，不规则集可能被认为是分形，

而规则集或可求长集则是非分形的，对整数维集来说，密度的

不存在正是它的分形性质特征．在5一集的度量或密度性质与集

的几何性质或可求长性结构之间建立联系是困难的，它是几何测

度论发展的中心问题，更详细的可参见FG的第5章．

2.2 迭代函数系回顾

迭代函数系（或图）提供了一种描述和重新构造许多分形的非常简便的方法，从某方面来说这些分形是由它们自己的小象点

构成的．此问题的研究是在R"的非空闭子集x上进行的，且经

常是X= R"．一个迭代函数系(IFS)由一族X上的压缩映射

{F,，二，},FM｝组成，这里m> 2。于是对i= 1,⋯ ,m, F,：X -X I F,(x）一F,(Y)l, r,lx一Y｝ 任意x,y EX (2.22)

这里r,< 1．记

r...＝黑乏r, (2.23)故rmi n＜I。 一个IFS最基本的性质是它确定了唯一的满足E = U-,. , F,(E)

的非空紧集E，这种集常常是分形。例如，由下式给出的

F，，F,：R～A3,

22迭代函数系回顾 35

＿，、 1 ，＿ ＿，、 1 2 ，＿＿．、

F,(x）一言‘和 F,(x）一言‘＋亏 (2.24)满足E=F,(E) U F,(E)的集合E是三分康托集，见图2.3

0 ’‘， 叭 I ．． ．． 翻 翻 ⋯ 口 目 的 “ 的 口． ．． ．⋯ “ 二

气⑧ E 112(E)

图2.3三分康托集由二个与它“己的比例为专的复制所构成·于是 E=FI(E) U F2(E)，其中F：和F：由式（2.24)给出

为了确定这个基本性质，考虑X的非空紧子集类S，在S上

可以定义一个度量或距离d为

d(A,B）一inf{a :A c B。且BcA,) (2.25)这里A；是A的6-邻域．这样，d满足关于距离的三个要素

((i) d (A, B) >, 0，等式成立当且仅当A=B, (ii) d (A , B)=d (B, A)，

(iii）对任意的A, B, C d (A, B) S d (A, C) + d (C, B))，且称之为S上的豪斯道夫距离。

可以证明d是S上的完备距离，即S内的每一哥西序列集都收敛于S内的某个集。用这个事实可以给出熟悉的IFS的基本

性质 “压缩映射定理”的证明。在FG中的定理9.1给出了一种

可供选择的证明。

定理 2.6

设｛F�，二，F�}是X c R3"上的IFS，那么存在唯一非空紧集EcX,满足

E一目F,(E) (2.26)而且，对AES，定义变换F: S～S为：

F(A)＝U F,(A) (2.27)

36 第z章 分形几何回顾

则对任意AES，当k～二时，在距离 d下

Fk(A）一E

这里F'是F的第 k次迭代．更进一步，如果AES，对任意i,

F,(A) C A，则

E一冂P(A) (2.28)

证明 如果A,B E S，那么利用距离d的定义并注意到，如对所

有i, 6一邻域（F,(A))；包含F,(B)，则（U',_ }F,(A))‘包含U ;_,F,(B),反之亦然，则

“‘·‘·，，·‘·，，一“（mu,-I一（·），U‘！（·）） }ma x d(F,(A),F,(B))o1414.

由式（2.22),

d(F(A),F(B))S(max r) d(A,B) (2.29)I<+.

由于max,<;<},r,< 1，故映射I是完备度量空间（(S,d)上的一个压缩．由Banach压缩映射定理，F有唯一不动点，也就是说，存在唯一的集EES，满足F(E) = E，即式（2.26)，而且当k -. 00时，

P(A)～ E．特别，如果对任意i, F,(A) c A，那么F(A) czz A，于是

Fk(A）是包含E的一个递减的非空紧集序列，且使交集n -,P(A)必然等于E。口

满足式（(2.26）的唯一非空紧集E称为IFS IF， ..... F.｝的吸引子或不变集。IFS可以被认为是集合E的定义或表示。

有两个与IFS相联系的主要问题．其一是给定一个分形E,

要寻找一个以E为吸引子的IFS，至少使找到的IFS的吸引子非

常接近E。在许多情况下，包括许多熟悉的自相似集，含有较少

的压缩变换的适当的IFS可以通过观察写出，如例（2.24）中的三

分康托集一样。在这样的例子中，IFS提供了一个非常有效的描

2.2迭代函数系回顾 37

绘集合或对集合进行“编码”的方法。它引出了更一般的分形图象

压缩问题：如何寻找所含数量较少的压缩变换族来表示任意给定

的集合或图像，见FG的9.5节。

反过来的问题是重构给定的IFS的吸引子E，这在计算上非

常容易。这是由于，由迭代式（2.29)，对每个AES,

d(F(A),E)<(maxr,)kd(A,E) (2.30)IC4.因此 P(A）以几何速度收敛于E，故对合适的k绘出P(A) =

U ,, F， o F,3 o ... o F, (A）的图，就给出了E的一个近似（这里的并是对所有k项序列（i�iz，一，i,), i;E {1,2,...,m｝的集合1＊取的）。有时称这些集合Fk(A）为关于E的先分形，例如见图 2.4和

2.5。一个可供选择但常常是有效的重构E的方法是取任

意初始点xo，以及随机地以等概率从｛Fl'...'FT}独立地选择一

个序列F,,, F,,,⋯那么由 x,＝F}.(xk-：） k＝1,2,... (2.31)

定义的点列对足够大的k不可分辨地靠近E，而且还随机地在E

上分布。譬如从k二100开始的序列（(x,)的图可以给出E的一个良好的州以。在某些例子中，通过力椒选择F‘的概率可以得到更好的

结果．取“迭代函数系”这个名称的原因明显地是从这些重建过程

来的。

IFS提供了对吸引子E和E的先分形的组成部分进行编码的

一个自然的方法，利用类似的方法，则三分康托集中的点可以用

仅包含数字0和2的3进小数展开式来表示。设｛Fl,...， Fm｝是吸引子为E的IFS，对k =0,1,2,---，定义人为所有从｛1,2, ...,m｝中选择的k一项整数序列集，即

Ik二｛(i,,1...... lk): 1毛,<m｝； (2.32)把Io看作仅包含空集的序列．通常把1＊的序列简写为

i＝(il)i2l...}1,) (2.33)

38 第2章 分形几何回顾

记所有这样的有限序列的集合为

‘一以、 (2.34)而I.为无穷序列组成的相应的集，故

1}＝{(i"iz， ... )：1<毛（m} (2.35)

▲ 众 矗 ED 气 E2

A, ------ A ------ ------- A--A-- 1?3 乓 ES

图2.4 在Sierpinski三角形构造中的先分形的通常序列，满足￡‘= Fk (A),

这里A是一个等边三角形

用i,j记i和i前后相连的序列是方便的。特别如果i= (ill -901则i, i＝(iI,...ikli)o 记AES，使得对任意i, F,(A) c A，则F (A) c A．从式（(2.28)

可知，E是下面递减集合序列的交，

Fk(A，一叼F,。一F,, (A) (2.36)其中的并是对（(ill ..., ik ) E Ik取的。而且，对任意（(i� ..., 1k),

月，。⋯。F.,（A）c F,。⋯。凡＿，(A)，且 阴：。⋯。F, (A )I < rm.=IF,, o ... o F,, _, (A) I。于是对任意（(i�i2, ...) E I.，当k～00时，I F,、 o⋯o F,(A)I～0，且

22迭代函数系回顾 39

亡· ． ．．八南

．：．：．：⋯：．：： F'(A)

撰麟襄FX A

图2.5 一个由三个仿射变换｛F�F2, F,｝组成的IFS，在（a)中它们以明显

的方式将正方形A映射成矩形，(b)显示了先分形F"(A)收敛到F.

40 第2章 分形几何回顾

x，卜‘2三门F,t o⋯o F,, (A) (2.37) k-0

为这个递减集合序列交集的单点。由于E的每个点都至少在一

个这样的序列（i,,i2...) E 1二的交集里，故

￡一U {xllal.｝ (2.38) 1}

可以断言，对（(i�...,ik) E 1, E可由嵌套状集合F： o...OF,k(A）构造出来，见图2.6，这类似于通常的三分康托集的构造．

这种组成部分Ft o...OF,＊ (A）和点xi";z...．的编码在IFS的吸引子的分析中确实是非常有用的．为方便起见，对 i =(i�...ik) el和AcX，记

A,= A,....,＝F,,o...0F,, (A) (2.39)

}}acfi

亠 图2.6-迭代函数系的表示．压缩映射F,和F：分别将大椭圆A映射

成区域FI(A)和FAA)．集合P(A)二U F。， o.二“F,,(A)递减到 IFS的吸引子F.

在最简单的情形，集合F, (A)，一，F. (A）可以是互不相交的。

2.2迭代函数系回顾 41

在这种情况，式（(2.36）的并是不交的，且E的每个点有一个如

xi"h⋯的唯一表示。事实上，如果这种情况发生，那么由于对任意满足F(A) -- A的A, ESA成立，故F, (E), ---F,, (E)是互不相交

的。当并E =U二A(E)是不交的，就称IFS{F�}}},F},}满足强分离条件。三分康托集的IFS (2.24）及其它IFS属于这种情形，它们都具有完全不连通的吸引子。然而强分离条件对许多想要达到

的目的来说是太强了，因而常常只在弱分离条件下研究问题．称

IFS{F�..., Fm｝满足开集条件（OSC)，如果存在一个非空有界开集USX，使

U F,(U) c U (2.40)

且U几：F,(U）是不交并。对像v on Koch曲线，见图2.7，和Sierpinski垫这样的集合，容易验证OSC成立．

在特别好的情形，当F,(刀，⋯，F。（刃互不相交时，可以定义

f : U , ,F,(X)～x为 f (x）二F; '(x） 当x E F,(x) (2.41)

（如果F,(X）不是互不相交的，恻虽分离条件成立，那么这种情况相当于用一个适宜的子集甚至可以是E本身替代X,）对某些目的，研

究单个映射f比m个映射F‘要更方便一些，在第3和第4章就要大量利用这条途径．特别在E = f (E)=f一’(E)的意义下吸引

子E对f是不变的。

有许多类型的IFS特别令人感兴趣．如果｛F�---F.｝是相似变换，吸引子E称为自相似的；如果它们是仿射变换，E称为自

仿射的；如果它们是保形变换（即对任意 i和任意xE X导数

厂(x）是相似的），那么E称为自保形的：见图0.1和0.2的一些

例子．在第4章将看到与某些动力系统相联系的“cookie-cutter"集是怎样等同于IFS的吸引子的．

在计算IFS的吸引子的维数方面已经付出了巨大的努力，各

42 第2章 分形几何回顾

一赢F2((!) F3(0F, (} " 3 F}(11)sa U

图2.7 对vonKoch曲线的开集亲件．开集U是边界三角形的内部，

且与F�---,F。显然是相似的．

种各样的估计已在FG的第9章中给出，其它一些将在本书中得

出．这里要回顾一下有关自相似集的维数公式，这也许是一个最

重要的结果。

定理 2.7

设E是一族相似变换｛Fl,---,F.｝的吸引子，这里F，有相似比r,．如果满足开集条件（2.40)，则dim,E=dimpE=dim,E=dim,E=s，且。＜H'(E), Ps (E) < 00，其中s是下式的唯一正数解．

艺r<＝1 ‘ (2.42) 1=

证明 这个定理的标准证明在FG的定理9.3中给出．一个可供

选择的处理方法，请参见本书后面的例子3.3。口

由定理2.7可以立即得出，例如，von Koch曲线的（盒和豪

斯道夫）维数是log4/log3, Sierpinski垫的维数是log8/log3，这些集合均满足OSC。当然，定理2.7特别对满足强分离条件的系

统成立，由此给出了三分康托集的维数为log2/log3, 迭代函数系的概念可以推广为支撑在系统的吸引子上的自然

不变测度的定义。设｛Fl,...,F.｝是XCR"上的一个IFS, P�..., P.

2.2迭代函数系回顾 43

是概率，对任意i, 0,<p,51 ，且艺,P‘一1，这样一个系统称为概率迭代函数系。至少在强分离情形下，不难看出它是如何在E上导

出一个测度的。这里集合F, (E), . . . } Fm (E)是不交的，所以对任意诬e I,尽的子集乓，，⋯，乓，也是不交的。可以通过按比例P,：P2：一 P，反复地把测度细分到这一嵌套状集合类上而定义

出测度P，故

P(Ea.f2.、“）＝夕，卫夕‘：⋯夕，。 (2.43)用通常的方法可以将它扩张成支撑为E的波雷尔测度，见 1.3

节。下面的结果保证了在一般情形下，这种测度的存在性。

定理 2.8

设伊],---IF�,｝是X C H"上与概率｛P, l " , Pm｝相关联的迭代函数系，则存在唯一的波雷尔概率测度P(满足P(X)= 1)，对任意波雷尔集A满足

P(A）一艺P,P(Fi }(A)) (2.44) 可＝1

且对任意连续的g:X-R

介（·）d／（·卜m(x)dP(x) _ p,介（一‘x))dP(x) (2.45)而且sptP=E，这里E是IFS{F,: 1-i-m, p,:A0｝的吸引子。如满足强分离条件，则式（(2.43)成立。

证明 证明这个定理的最简单方法是利用压缩映射定理。设

M是X上有有界支撑的波雷尔概率测度族．赋予M上的距

离为‘(v) Iv2)=sup f } f9dv：一f9dv2l一｝(2.46)这里Lip g是9的李卜希兹常数，见式（l. l)。容易验证d是M上

的距离，也容易证明d是完备距离．定义映射价：M, M，对任

44 第2章 分形几何回顾

意波雷尔集A:

}(v)(A）二艺p, v(F, '(A)) (2.47)

这意味着对每个可测函数g:x}凡

f d}(v)客 P9 少。。一）dv (2.48)为了看清0是M上的压缩，注意到对任意i, Lip (r,-'(g o F;)) -1,故

d(}‘一，AV)，一｛一f90‘一，一f90（一）卜Lip g‘I｝ 一p 1}.p了（少 9P。F)‘一f(9。F)d v 2}：Lip。‘1｝ ,<}P,s一｛一J(9。一，d一J(9。一）dv,：一｝ ,<ip,s,_:一｛r;一J rt ' (9。一，dv,-f J r,,(9。一）d一！：一｝ }EP‘一｛If9d一fgdv2一一｝ 簇 rn,,d(v,'U2)

其中r‘和rmas如式 （2.22）和式 （2.23）中的一样。于是沙是M 上的压缩，故由压缩映射定理知存在唯一的＃EM ，满足

少伊）=u，即满足式（2.44）和式（2.45), 由式（2.44）知sptP= U F,(sptg)，这里是对所有满足P,oo

的i求并，故spt,U是IFS (F,: I K-i<m, p,960｝的唯一非空紧吸引子．最后，如果强分离条件成立，那么在式（(2.44)中取A为

风⋯‘，、，即得城风，....I.)=P1,W双、．．．，“），所以再反复迭代可以得出式(2.43)．口

2.2迭代函数系回顾 45

满足式（2.44）的概率测度P称为关于这个概率IFS的不变测

度．可以看出，强分离情形，在对任意波雷尔集A, P(I-}(A))-P(A)

的意义下，尸对由式（2.41）定义的映射I是不变的．

Ei L. 声‘ 产。．

应价 t:。． 人 丿 B．

荔 a.} e.‘一二 公 矛

‘：‘2刁口cr万: Ed.2 . t ，

叭 ，． 声。t 声 ‘． 了 E.

盒瘾．挽．‘会．裁岌价、． 图2.8 一个支律在Sierpinski三角形上的自相似测度（测度的密度由点

的疏密程度显示）．其中pi=0.8, p2=0.05, p,=0.15

关于构造不变测度P，有一个随机算法．设（ip i2'...）是随机序

列，以概率P：使ii = i，且对每个i, ii相互独立．固定xe sptU，对任意波雷尔集A定义

P,(A卜｝曳士＃｛“·‘“，满足F,. o...oF,I(x)“‘｝(2.49)那么对P-几乎所有的x,气(A) =川A)，见练习2.10．于是，在按概率P．选择F，的一个随机映射序列对x的迭代产生的点集中，

位于集合A内的迭代点所占的比例近似于P(A)，这个性质对不变测度的计算研究非常有用．

某些类型的不变测度特别令人感兴趣．由一族相似变换

fF...... F井得到的测度P称为自相似浏度．例如．取F．和F,如

式（2.24)，且令Pl=P2=令，可以得到“康托测度’，它均匀地分布一、、－一 丿’一 、『’ r2 2 ’，～”’J“ ,',, -- ’u--v -4-11, 1 r

46 第2章 分形几何回顾

在三分康托集上。又如Sierpinski三角形上的例子，见图2.8,同样，由一族仿射变换得到的测度称为自仿射浏度．

2.3 注记与参考文献

关于维数、密度和可求长性方面的材料可以在FG的第2一5

章找到，较完整的讨论可见Falconer(1985）和Mattila (1995a）的书。测度的局部维数特性的详细处理，命题2.2一2.4，由Cutler

(1986,1995）给出。有趣的是，在Tricot(1982）提出填充测度的许多年前，豪斯道夫（1919)就引进了冠以他名字的测度。

尽管IFS的许多理论是由Moran(1946）给出的，但用IFS

描述集合的思想却来自于Hutchinson(1981)．关于IFS的更详

细的寸濒似看FG的第9章，Barnsley（1988），Barnsley和Demko(1985）和Edgar(1990）的论著．关于由某类IFS描述的集合的维数有相当多的文献。许多关于自相似集的结果可以在这些参考文

献中重辱刂，关于自仿射集可看Bedford和Urbanski(1990)，Falconer(1988,1992）和Hueter和Lalley(1995）的文章。

练 习

2.1验证维数不等式（(2.14),

2.2设｛Fl,...,F.｝是由满足开集条件的相似变换构成的IFS，且 具有维数为s的吸引子E。证明士课i O j, All 3-r(F}(E)门凡(E)) ＝0,

2.3求集合｛(1/p, 1/4):p,4E Z十｝C R2的豪斯道夫和盒维数。2.4设E是三分康托集。用命题2.2求出9-C' (E)和 P' (E)的枯 计值，这里s=log2/log3.

2.5证明下密度D' (E, x)是x的波雷尔函数，即对任意c E I18,

{x : D'(E,x) <- c｝是波雷尔集。证明对土密度结论也正确．2.6验证密度映射性质（2.19),

练 习 47

2.：固定。＜＊＜喜，设F� F,: R-R由F,(x）一＊二，F, (x)＿．，一－－－ － 一2

一合·＋合给出，描述｛F�F,｝的吸引子以及求出它的豪斯 道夫和盒维数的表达式。

2.8求出由图0.2描述的分形的IFS，然后求它们的豪斯道夫和

盒维数的表达式。

2.9验证式（2.25）和式（2.46)定义的是距离。

2.10证明由式（2.49)给出的随机测度代，当sptu满足强分离条 件时，对JU-几乎所有的x等于不变浏度Yo（提示：定义

f:sptu～spt,U,由式（2.41)给出，故I (x...a....)＝x,,, (,,..）2.11验证如果E是满足强分离条件的IFS的吸引子，那么存在

数0<c,, c,<00，对任意 xE E和 0<r<,1，满足c, r'

开'(E自B (x, r)) -c,r'。推广这个结果到IFS满足开集条 件的情形。（提示：寻找包含在E中，且又包含E n B (x,r)

的E的相似集合．）

第3章 研究维数的一些技巧

正如我们所见到的，有许多定义“分形维数”的方法．由于

豪斯道夫维数是以测度为基础的，所以特别适合于发展一般的数学

理论．另一方面，计盒维数在应用上常常更容易计算或估计．许多其它维数的定义仅仅适用于特别类型的集合，如曲线．分形的

许多熟悉的例子，包括如v on Koch曲线那样的自相似集，具有

相同的豪斯道夫、下盒和上盒维数。然而，其它的分形，如自仿射

集，它的豪斯道夫维数可能严格小于它的盒维数．

由于已提出的几乎所有维数定义得出的维数值都介于豪斯道

夫维数和上盒维数之间，这两种维数也许使人感到特殊的兴趣．

特别有用的是，如果能够知道一个集合的豪斯道夫和上盒维数相

等，这时中间的定义也取这个值．在3.1节中给出了有关集合的

“近似自相似’条件，在这些条件下保证了上述的维数相等，并且

能对维数进行直接的计算。在3.2节中则通过补集的几河性质得

到了集合的盒维数的表达式，并由此导出了下、上盒维数相等的

判别准则．这些技巧给在FG中讨论的维数计算补充了更直接的

途径。

3.1隐含 法 求一个集合的豪斯道夫维数的通常方法是，对、>1o计算s-

维豪斯道夫测度9-C' (E）并找出使测度值从无穷跳到0的‘值．

这样的计算以及关于盒维数的相应计算可能是相当复杂的．本节

讨论一种不同的途径，给出了不用先计算s，而保证o < H' (E)或3l' (E) < oo的集合E上的几何条件，其中、=dim �E．利用这点通常容易求出5．（例如，确定了三分康托集在维数值处有正的有

3.1隐 含 法 49

限豪斯道夫测度，则利用豪斯道夫测度的比例性质容易证明它的

豪斯道夫维数是log2/log3.）这一节中还给出了保证 dim HE=

旦imBE=di而BE的类似的条件． 使我们可以不用直接计算而得到关于维数结论的定理称为隐

含定理。这里证明了两个这样的定理，它们可以应用到满足下述

条件的集合上：即集合的较小的部分与较大的部分“近似相似’．

在这个意义下，可以通过李卜希兹函数确切地表述．定理3.1能

够应用到这样的集合E，它的每个小邻域能够在李卜希兹映射下

映射到E的一个较大的部分，其中李 卜希兹常数由邻域的大小所

确定，见图3.l.

定理 3.1

设E是 .的非空紧子集，a>0和ro>0．假设对每个与E

相交且满足！Ul < r。的集U，存在映射y：E (1 U～E满足 alUl-'Ix一YI-<l9(x）一g(Y)l (x,y E E (1 U) (3.1)

那么如果记、二dim, E，则，-'(E) >a'> 0，且鱼MBE=di而声＝、。证明 只要证明对任意d>0，如果开（助< a'，则而iBE<d就足够了，因为由式（2.14), dim HE < d成立．通过取d任意地接近dim�E，这意味着 不币声,<dim�E，即知等号成立．

如果3{"(E) < a0，存在与E相交且！U,l <min{专 a, r,｝的集 ，曰‘，－一’“一丿一 ”确一 砂一 ．．二、一 ’一‘， 一 气2 ’ “，一‘一’－

合U, ,⋯ , U.，满足Ec U,-,U，和艺i=ll认Id <a.（由子在估计这些和中取U‘为开集，故由E的紧性知存在有限的覆盖集族．）取t接近d，可以找到0<t<d,满足

a一，艺I UJ'＜1 (3.2)

由假设存在9,: E n U,-E(i=1,2,...,m),满足

Ix一Yl<a一’I U;I I9,(x）一9,(Y)1 (x,Y E E n U,) (3.3)定义在适当的域上的这些函数的逆｛9,’ , ',9,.，有点像迭代函数

50 第3章 研究维数的一些技巧

系一样．设1＊＝｛（1，，⋯，1＊）：1蕊礼簇m｝是由整数｛1,2,...,m｝组成的k一项序列的集合，又设I - U xk=Olk．对每个 1＝（it，⋯，id E IV定义

U,,...;‘一g f, I (9,,’（．．'(9,,’ (E))'二））。注意这些集合也许有些是空的，这是由于如果A门g,(E门U,)

一怜，则有9, 1 (A）一怜，但对每个k仍然有Ec 。对x,Y E叭：、，重复应用式（(3.3)，则

丨x一YI（a一k I U;卜二I U,｝｝g"1o⋯o g，， (x）一g"o‘”。9,(Y)1特别

I u;,,.。；｝（a一klU，， I...IU。日El

亠 E

图3.1 满足定理3.1条件的集合E，从E的小邻域

到E上的映射，满足式（(3.1)

设b=a一’ min,},}},IU;I．给定 r<IEI，对任意 xEE存在

i =(i...... ik)E I满足xEU。和br<a-'IU,,I...IU,,IIEI <r。因此，用N(r）表示直径最大为；且能覆盖E的集合的最少个数，利用

式（(3.2)则有

3.1隐 含 法 51

N(r) 5＃｛iC-I：br5“一‘｝U,I..·｝U,川Ell

‘昆(br）一’(a一‘IUl,I...IU,, IIED'

‘IEI'b一‘r一 Y-ak-0一“‘盈‘，Uj-”’UID,

一，“，‘”一Y - (ak-0一i l u,｝。）“ （c, r一‘

对合适的。：＜。成立。由式（(2.2)得dim.E,< t < d，定理得证．口

前面定理的假设涉及到从集合的小邻域到它的较大部分的映

射。下一个定理是它的补充，要求所有小邻域包括了整个集合的

“不太压缩”的象点，见图3.2,

扮 图3.2 满足定理3.2条件的集合E, E到小球的映射满足式（(3.4)

52 第3章 研究维数的一些技巧

定理 3.2

设E是即的非空紧子集，a>0 , ro>0．假设对每个中心在E内，半径r<r。的闭球B都存在映射g:E-E门B，满足

arlx一YI < Ig(x）一g(y）丨 （x,yc- E) (3.4)

那么如果记 s=dimHE，则开' (E) < 4'a-' < 00，且鱼鱼．。￡＝dimHE＝s.

证明 为了证明结论，用N(r)表示半径为r中心在E内的不交闭

球的最大个数．下面假设存在 r<min{。一’，r小使 N(r) > a-'r-' (3.5)

并由此来引出矛盾．给定式（3.5),则存在t>、使

，，，三N(r) > a-'r''; (3.6)于是存在半径为；中心在E内的不交球族B},...,B.. 由假设存在映射g; : E～ E门B,(1 i<m)满足

arlx一YI' Ig,(x）一9‘(Y)1 (3.7)

本质上，{g...... g.｝是以E的某个子集为吸引子的IFS(不必是压缩的），可以用常规的方法找出这个吸引子的维数下界，从而也

是E的维数下界．

设d = min�户ist(B;,刃>0，利用式（3.7)（、一1）次，注意到r<a一’，即有

dist(g,,,o...og,,(E), g,,o⋯o gj. (E))）(ar)“一’dist(B;，B,, ) ）(ar)'d (3.8)

其中9是满足iq 96人的最小整数。设JU是E上的由重复分配（见式（1.19)）定义的测度，对任意（i�...， ik）满足＃(&,o ...og，(E))=m一‘设U是R"的与E相交且IUI<d的任意子集，k是使

(ar)"d K- I Ul＜(ar)kd (3.9)

的最小整数．由式（(3.8)U最多与一个k项序列（(i,. .动的9,,o...o9,(E )相交，故由式（3.6）和式（3.9)

3.1隐 含 法 53

u (U) <。一‘＜(ar)" < (dar）一‘lull

由质量分布原理（命题2.1）即得dimHE,t>s, 由此可以断定如果dim HE=s，则对任意充分小的r,

N (r) < a-；一‘．这意味着TMBE<s，故由式（(2.14)即得等号成立．进一步，通过利用二倍半径的球，E能够被半径为2r的N(r)

个球覆盖（否则，半径为r中心在E内的N(r)个不交球不是最大

族）．因此由gf',(E) < a-'r-'(4r)' = 4'a一’知开(E) < 4,a-。口

定理3.2的假设也蕴涵着 P(E) < 00，见练习3.2,

用三分康托集可以非常简单地说明如何应用这些定理。如果

U与E相交且对kE V, 3-‘一’引UI < 3-'，那么存在相概比为3'

的从 U n E到 E的明显的相似变换，故式（3.1)成立，此时

。一喜。类似地，如果B是中心在E内长度为：r的！x 1111（一维 3－一’，一’‘一 ‘一’一 ’－－－－－－－－－－ 一 几·球），这里：满足3-'<r<3-'十’，则存在一个相似比为3-‘的从E到

EnB的相似变换，给出a二专 的式（(3.4)．由定理3.1和3.2一，，一”‘，曰’灬“ “’一“一 一 I ’‘二二二一丿’一’一一 ＿

可以断言，当、一dimHE时，业五BE=dimHE一、且。<H(E) < 00,记E：和E：为康托集E的左边和右边“部分”，由豪斯道夫测度的

比例性质（2.13)，见图2.3，可以得到 9'(E)＝}'(E})＋9-f' (ER)＝3一’卯(E)＋3一’开'(E)

于是1二2X3-s，立即得出了三分康托集的维数、= log2/log3. 下一个例子把上述论证推广到更一般的自相似集上，提供了

在强分离条件下定理2.6的一个可供选择的证明．

系3.3 （自相似集）

设E是由相似变换族｛F�...F.｝构成的IFS定义的自相似集，这里F‘的相似比是r,，且0<r,<1．如果dim HE=s，则3{' (E) < 00

且dim,E=dim ,E=s．进一步，如果｛F; (E) I -j.：是不交集，则

0 < J-0 (E)，且：满足艺几厂一1.

54 第3章 研究维数的一些技巧

证明 记rmio =min, 。设xe E和r<IEI，对任意k存在（不一定唯一）满足xE凡。一。F,, (E)的序列（(i,1 i� .. )．选择k，使r,n;or < r,, ... r,, J E J S r．那么F,，o... oF,, : E-En B(x, r）是相似比至少为rm,,IEI-'r的相似变换，所以由定理3.2即得维数的等式及

犷(E)＜00。 现在假设min,,户ist(F,(E), F}(E)) = d > 0，那么如果(it, .. , Jk)

与（i...... ik）不等，则有dist(F,,o...oF,,(E),凡，0...0凡(E))->r,,...r‘_， d,如果U与E相交且｝Ul<d, xE E门U，可以找到（ate }}ejk)，使

x e F,t o...oF,, (E)及d r,：二’r,, - I UI < dr,,---r,, . ,．于是 U对任意(ill⋯，.1k）96（it，⋯，ij与F}o ...oFt(E）不交，且满足E自Uc凡o...oFK(E)．因此（F‘,0.0F,X）一’:E门U- E是一个具有相似比(r,， . .r t）一’,>djUj-’的相似变换，由定理3.1又一次得出0 < H'(E)及关于维数的等式。

最后，在不相交情形，由豪斯道夫测度的比例性质（2.13)，又

可得出9-('(E)毛二尸(F,(E))组几, r,扩（：）；由于0<开伍）< 00,

即得1＝艺r,,，这里s=dim�E。口

事实上如果｛F19...IF.｝满足开集条件，则结论0<尸(E)是成立的，这可由定理 3.1的加强形式用类似的方法推出，见练

习3.3,

注意对自相似集E，不需要 IFS上的任何分离条件就有

dim�E =卫鱼mBE=dim BE和开(E) < o0．甚至当集合｛F,(E)｝实质性地充 分相交，上述结果仍成立，而此时维数严格地小

于艺r,'=1的解。

对上面证明进行平凡的修改就使隐含定理可以应用到自相似

集的许多子集上．在下面的系中，式（3.10)的集A称为土自相似

的，而式（(3.11)的集A则称为下自相似的，见图3.3,

3.1隐 含 法 55

‘ 益 决m ‘ 0乙凵n

口n 口习 心n 口n

习‘泪a曰“知0左凵人口舀 ‘凵a

‘“盔 口n 0应 ‘》‘》 口j 合山 ‘亠 ‘占 ‘． J曲 ．山 ‘山 L妇0孟‘泣‘凵么口n 公右凵a0目凵玉口口

己山 山山 自占 自山 口j 自确 自山 口j

八才、n八 nn.,八 Jl。 尤klm 口凵伪刀凵含

口名盏 八八 n 八 八6 AA tkA 入自 办二

抓 hAA 益 滩 - A ALf A AAAAAAA久 - -么 （．）

赢 (b)

图3.3基于Sierpinski三角形的下自相似集的例子（a)及

上自相似集的例子（b)

系 3.4 （上自相似和下自相似集）

设｛Fl，...,F.｝是以E为吸引子的相似变换族．(a）如果A是满足

56 第3章 研究维数的一些技巧

A。U F,(A) (3.10)

的E的非空紧子集，且dim �A=s，则dim产=d而BA = s，并且开 (A)＜co·

(b）如果A是满足

A c U F,(A) (3.11)

的非空紧集，且dim HA =s，则只要集合｛F,(E)),，是不交的，则dim,,A =dim ,A＝s且H,(A)＞0.证明 （a)如果xc-A--E，且r充分小，在系3.3的证明中定义的

映射F,o...oF,k : A～ A n B(x,r)的限制满足定理3.2的条件，即得结论．

(b）条件（3.11)蕴涵着ASE(见式2.28)，于是如果U是与A

相交且直径充分小的集合，由系3.3中证明知，映射（汽．。⋯。只少’的限制：A门U -A满足定理3.1的条件，即得结论．口

推广了自相似集的有向图集，给出了另一个例子．设下是标

号为｛1,2,...,好的“顶点”集，E是“有向边”的集合，它的每条边开始和结束都在顶点，所以（飞均是一个有向图一 对顶点可能由几

条边联结，同样允许边的起点和终点在同一个顶点．记E,.,是从顶点i到顶点1的边的集合，E之，是k条边序列（(e,, e2, ...led的集合，这k条边从顶点i到顶点1形成一条有向路径．假设可传递条件

成立，即存在正整数PO，使对任意l, J存在满足I <p K,p。的整

数P，使E' ,j是非空的，也就是在图中存在联结每对顶点的道路． 对每条边eE E，设凡：fR "～ a’是相似比为r，的相似压缩变换，

其中。<r,< 1，则存在唯一的非空紧集族El'...,乓，使

E。一只绒F,(E)i ‘，·，2)（这个结论的证明类似于定理2.6中对常规的IFS的证明，见练

3.1隐 含 法 57

习3.6)。压缩集{F,: e EE}称为有向图迭代函数系，集合

{El,- ,E,｝称为有向图集族。由式（(3.12)的迭代，可见

E二l ) U F_。二。F_ (E.) (3.13) ］一，（。⋯，。，）E E',.i

设式（3.12)中的并对所有i是不交的，这个分离条件也许比开集

条件放松。

、公 、＿俨 、 ，， 一炙

‘、 从 ’All 一 J 产

,汽 ·、凡－

I .- ，． I'.－

价、了 ＿F ＿’、 节 ．

.J 、人’

El f t EZ

，厂、～卜一兰一一一＿‘一、， 11,了 ． 、 、． ）A/,

’‘丶一钾几一一不厂一牙、一／’

图34 一对用相似比标记的方向图集，即￡．是由自己旋转9。。的比例

JIJ z }'"Jf犷 r7 Fx竺 13叭 'flit'2 ......., _ ._ _...组b C . I}0 F,=史息己旋” 900的比例为合的缩影与“。的比例为亨的缩影组成

通过与第（i}l)通路

AcrJ'，一艺r, (3.14) CCE,J

相对应的qxq矩阵Ac''，将求出有向图集的维数．记P(Ac'}）为A (+)

的最大的特征值 潍对值 ），它必定是实数．事实上P ( A c'I）二

58 第3章 研究维数的一些技巧

limk＿二｝I ( A(')) kllllk，它是A ('，的谱半径．可以证明（见练习

3.7) P(A('')关于s是严格递减的，故存在唯一正数：满足P (A('')

=1。一旦确定了（在系3.5中）对任意i, 0 <对（瓦)<00的这个容易导出的事实，即知这个、值实际上是每个E，的维数．

在图3.4展示了一对有向图E�E2．在这种情况下，

月‘：）＿厂（合)'（合1、 ＼（合）（普）’／

容易验证P(Ao>）一1，故由系3.5知对i一1,2, dimBE,=dimBE,=1. 下面的关于有向图集的分析与在系3.3中对自相似集的讨论

类似。

系 3.5（有向图集）

设E�...,E；是如上叙述的有向图集族，则存在一个数s，对所有i=1,...,9，满足dimBE,=diMBE,= dim BE,=s及0＜尸(E)＜00,且、是满足P(A(')) = l的唯一正数，这里A(”由式（3.14)定义。证明 可传递条件的推论是对每一对 i, j (1 <i, j<m)，及

(e，， ...， ep)E EP，和P -<Pa，存在相似变换 FeIo...oF,P：乓～E, (3.15)

特别，由此可以推出对所有i,j, d'MHE,>-d'MH乓，故存在一个数，，对任意i满足dim HE，一s,

设r,, = min,C-E.,re．给定xEE‘和r- JEJ，由式（3.13）存在整数j和一个边序列（(e}}...}ek)任 E,,rCE'满足x E凡0...OFe, (即。选择k使rrmi.IE,｝一’<relre...reF < r I Ej -’成立。由式（3. 15）可以找到(e＊十：，⋯，e、＋，）6写少，，这里p蕊p。，使x e Fe， o...OFe... (Ei)。由于r J E,｝一’i r,,- . -r 4 rep . i . . . re, ,, l r r.i, l Ell -'rpm，所以Feto...OFe,.r' E,E, n B(x,r)是相似比至少为r} in引一’的相似变换．由定理3.2,

s一dim �E,＝鱼巨HE, =不而．E;，且开(E冫＜二。

al隐 含 法 59

现在固定i，记d= min dist(凡（习，凡（乓））＞0，这里最小值是取遍所有满足。E'F,j和e'E写，的相异的。和e'．那么对不同的边序列（e，， ...}e,) E E几和（e1...... ekl) EE各，

dist(F, o’oFe,（即，凡·。“1 o Fey（乓）））dre。...re.＿：(3.16)如果U与E，相交，且IUI<d和x E E,门U，由式（3.13）可以找到

j, k和（e：，’‘’，气卜王k(e,...,ek) E E,r，满足，E Fe， o ... o Fee ( E）和dre,...re,- l Ul

<dr，， --- r；一由式（3.13）和式（3.16) E, n U c Fe， o...oF，‘ (E),即（F。： o...oFe, e,）一’：E,门U 乓。利用式（3. 15）可以找到F。，， o⋯ of.j 。＿ .:乓--" E,，其中P -<Po，故（Fee ., o . . . o Fee .,) (Fe, o... o F,J’：E,自U～ E‘是一个相似比为（re.I...re。 -,)(re,...re,）一’i)-mi'odlUl-’的相似变换。由定理3.1知 V(E) >0. 设在式（3.12)中的并是不交的，则对每个i,

9

J' (E,）二艺Y_ Jr (F,(EJ)) 丿＝1 ec马

一全Y- r. 9-C0 (E) J-1 ee万1，］

写成矩阵形式是

／90(E,)、 ／9护(E, )、

I ： ！＝A(') l ： 1

＼开(E)／ ＼开(E)／

这里A('，是由式（3.14）给出的矩阵．由Perron - Frobenius定理，任何具有非负值的矩阵都有由非负分量构成的特征向量，它在数

量乘积范围内是唯一的，并与唯一的具有最大绝对值的特征值相

对应。在这种情形，取、=dim.E,附所有i)，可知 （开’（双），⋯，

开（即) T是A(”的具有正的分量和特征值1的特征向量，因此它一定是最大的特征值。于是P (A(' )) =1。由于P(A('))养于、严格递减（见练习3.7)，故、是完全由这个条件所确定的．口

60 第3章 研究维数的一些技巧

3 在系4.6中将给出这些隐含法在cookie-cutter集上的一个

应用．

3.2 剪切集的计盒维数

在本节中要研究怎样求出某些分形的计盒维数．特别将涉及

到从初始集上通过去掉或“剪切”掉不交区域序列而得到的那些分

形。a的所有紧子集都能用这种方法得到．例如，三分康托集是

通过从[o, t］上除去开区间序列（令，冬），（令，冬），（干，冬），一 一 “、L几，一J一 ’‘’一 ’‘一 ’甲‘“‘J、3 ’3 丿’、 9 ’9 、9 ’9

（斗 ，令 ），⋯而得到的．类似时，平面上的Sie币inski三角形是 27 ' 2了 2’ ‘‘’“ ‘冖‘ ” 、’，” 心 ，，一 — 冖· 1 — ，‘，r，一

通过从初始等边三角形上去掉一系列等边三角形而得到的。下面

将稍微详细地处理A的子集，然后简要地讨论高维的类似情况．

我们将看到Ia的子集的盒维数仅仅依赖干余集的区间大小而不

是它们的排列。于是，在某种意义上来说，盒维数描述了集合的

余集而不是集合本身．

设A是R3上的一个有界闭区间，A�凡，⋯是A的满足JAI一艺s1=1 IAj｝的不交的开子区问序列。（当然｝A,｝是A‘的长度。）设E =A\ U ., A,，故E是一个具有余区间A,、勒贝格测度（或长度）为零的紧集．当希望强调这种由剪切掉一系列区间而得到的

构造时，就称这样的集合为剪切集。记“‘=1A.｝为 A‘的长度，并

假设这些区间以递减的长度排序，故a,3az>,a3...，见图3.5(a), 在研究下盒和上盒维数（见2.1节）的任何等价定义时，通过

E的r-邻域E，的大小给出的闵可夫斯基定义是较方便的，见式

(2.4）一（2.6)．记V (r) = I l (E.）为E，的一维勒贝格测度（或长度）．很容易用区间A；的长度来表示V (r)．设；毛长 a� k是满‘ 丿” ’、目”‘’‘一“ 一‘”‘r一“ ’一r一“’ 、2． 一 2 ‘’ ‘一‘”

足a�,<,2r<a。的整数，那么E，由所有满足i->k+1的区间氏和在每个A,(1 <i<k)两旁长度为r的两个区问，以及在集合E的两端的各一个长度为r的区间构成，见图3.5(b)．于是

V(r）一2(k + 1)r+艺a‘其中a,*, <2r<a, (3.17)

3.2剪切集的计盒维数 61

a7 04 气 、 al as a,

H 卜－州 卜－－－－一－刊 曰 卜一一一一一一－一一一一一一一丬 曰 卜－－」

．．⋯ 曰二 1 ：．． 曰．go I 川．石

(a)

井贬翻．=a:::ae份 ;jar.助狱 份．卜“！：：：忍 ．砚： 猫：臼盆丿":.:;n挂as 知 s军．:?.

曰 r

伪）

图3.5 (a)剪切集￡的间隙长度 （b)￡的r-邻域￡，

原则上，联合（2.4)一（(2.6)的公式使我们能够从已知a‘的长度

去求出E的盒维数．特别地，维数仅仅依赖于这些长度而不依赖

于A内的相应不交区问A，的排列．下一个命题通过A‘的极限状 况确定了E的盒维数的界．

需要用到下面的不等式。如果（ak)k．是收敛于0的递减序列，

0<x< l，那么

艺a厂'(a‘一a，十：）<(1一“）一’a｛一 （3.18) j＝盖

为看清这点，只要注意到左边的式子是x-’在区间【0, al)上积分 的下和．

命题 3.6

记

＿loea, ＿＿ ⋯ lo"a, a＝ 一 iim Ini一 ill v＝ 一 ilm sun 一

“～Q iogu “～x一 logic

则1<6<a，且

IIa-dimBES不而BE,< Ilb (3.19)证明 由于ka,<JEJ，所以I<b<a．由对任意充分大的k，及0＜C�CI＜00,

62 第3章 研究维数的一些技巧

c,k一‘簇a, < c 2k _6 (3.20)的假设，利用逼近的方法容易导出式（3.19)。事实上如果r充分小且

ak+，,<2r<ak (3.21)则由式（3.17), (3.20）和式（3.21）得出

V(r)）2(k＋1)r ->- 2c丨/0a口｛"r>2c丨“2一’l" r，一”“．再由式（2.4）即得1/a旦jMBE,

为证明维数的上界，可在式（(3.20)中设b＞1,如果；充分小，

选取k满足式（3.21)，由恒等式（3.17）并利用式（3.20), (3.21）及(3.18）即有

V(r)＝2(k＋I )r＋艺al 介＋王

＝（灸＋1)(2r一a,+1)＋艺(i＋1)(a‘一a‘十．）

簇4kr＋2艺i(a，一a，十：） 众＋1

蕊4c'l"a万'l"r+24"艺a厂116 (a，一a‘十：）

成 4c2'lb2一’l" r，一’lb＋2c； "(12 一I /b）一’a；-aka+丨’b

攫c ,r，一，／b对某常数c，成立．由式（2.5)得出估计不MBE簇 1/b。口

当然式（3.19)对b=00仍然成立，这里“I/ao=0", 如果下式中极限存在，从命题 3. 6立即可得dim声＝

一1 /lim (logak/logk)，从这个公式可以求出许多集合的盒维数．例如，如果E是三分康托集，余区间的长度（(a 。由ak=3-a,=3-’一’给出，这里 。是满足 2''<,k52"+'-12' 的整数．则 limk-}loga沪ogk

＝lim一二一（m＋1）log3 /m log2＝一log3/log2，故dimBE=log2/tog 30

3.2剪切集的计盒维数 63

同样，对由P >O, E(P)={0,1,2-P,3-P,4-P,---｝定义的“收敛序列集”，有a,,= k-”一（(k + 1)一，一 pk-，一’（利用中值定理），故

limk - . logo, / logk =1im, _ . logpk-’一’/ logk＝一（p+1)，给出d imBE(''＝1 /(P＋1), 下面的有关命题3.6的部分逆命题表明在给定盒维数的条件

下，可以推出关于余区间的长度（气狠，的一些结论．

命题 3.7

设

t＝鱼鱼BE和 s＝不而BE (3.22)这里0<t-s<1，则

、、，⋯ ＿lo它a ＿二 To2a 一门 一tll(t门 一c)l<lim inf二二左二 k <lim clin二二户二 t ＜ ＿ 1 /e

，一 且ogu 卜国一 logrc (3,23)证明 设对充分小的r

c,r，一‘簇V (r) 5 c, r，一‘ (3.24)其中。�c2是正常数，而0<t<s<l。则由盒维数的闵可夫斯基定义，在上述假设下完全可以推导出式（(3.23)。事实上，利用式

(3.17）可得

c,r，一‘K- 2(k + 1)r+艺a, S c2r，一，其中a,+, 52r-a,. (3.25) 七+1

取；一冬。＊，由上式右边不等式知。,(k +1)<c,2：一。；一，即得式 2 __�～一 一、“～ ‘’J‘“一 一“、‘－ 一丿 一2一 一“ ’一 ”J冖

(3.23）的右边不等式。 现在，记Y＝(1一s)/(1一t)，选择b）1使得

c,b，一‘妻2c2 (3.26)

取r=6a;，且设9是满足aq+, - 2r < a,（故q <k)的整数．只要k充分大，由式（3.17）可得

V(r）一V(冬。，）一：（。＋1)，十觉a，一（、＋1)a，一文。， 、2 -" 一、1 一厂 粼'1q+l 、－－ 一’一 u -1k+I

64 第3章 研究维数的一些技巧 查

一2(9＋1)r一（k＋1)a,＋艺a, q+,

一（、＋1)(2r一aq+})＋Y- (i＋1)(a‘一a,：） 叼＋1

簇 k (2r一a,+‘）＋k(aq+：一a, )

＝k(2r一a,)

（2kr

因此由式（3.26）和（3.24）知 C,a｛一’续c,b’一‘at'一’一。,a；一’

＝“：；，一’一。2a,一’ 簇 V(r）一V(a,)

‘V(r，一V(专·＊） <2kba孟

于是C, k一’,<a；一’+,=a梦’一”“，一‘，，即得a, >, c, k一‘’一‘，，“’一”，其中C31C。不依赖于k，这正是所要求的式（3.23)左边的不等式．口

容易验证当、=0或、=1时，式（3.23）的右边不等式成立，而

如果t=s=1，则lim loga,/logk＝一1, 可以证明在式（3.23）中所表示的界是能够达到的最好的结

果．特别，如果将自然数按从小到大的次序分成一系列长度增加得

很快的数段，并使属于同一数段的k ,a＊都取相等的值，就能证明下

界是最佳可能值．

命题3.6和3.7的一个令人满意的推论是，当Toga,/logk的极

限存在时，E的盒维数明确地存在．

系 3.8

设EcH"是如上所述的剪切集．那么dim,E=不不BE当且仅

3.2剪切集的计盒维数 65

当lim,,cloga,/Iogk存在，这时

dimBE一 I/(lim loga,/logk)t-,证明 由命题3.6，如果I<a=65ao，则I/a<dimBE<dimBE< I I

b a

反过来，如果05t=s< I，命题3.7和它下面的注解给出了

lim- loea,/Ioek＝一上 ．冂 s

尽管缺乏一般性的应用，但类似的分析可以将结论推广到高

维空间的剪切集上．下面举例说明，这是一个从平面区域上除去

圆盘序列构成的集合的例子。

爹工尸一’ 一明逻x才)y- ‘’‘人 ’-V-", z : .,:

笼

匕＿＿＿ 图3.6平面上一个剪切集．这里，在每一步除去尽可能大的圆盘．除

去的圆盘族称为正方形的Apollonian填充．刹下的剪切集称为

剩余集，它的豪斯道夫和盒维数大约为1.31

为方便起见，设A是周长为P的平面紧凸区域，ApA2⋯为包含在A中且全部面积与A的面积相等的不交开圆盘序列．设

E=A\ U -,.,A,，故E是具有蜂窝状外观的面积为零的集合，见图

66 第3章 研究维数的一些技巧

3.6．设r。是A，的半径，且设r,>,r,>- r,3⋯。

与直线上子集的情况一样，可以求出E的r-邻域E,的面积V (r)．如果r,+1 <r<rk，则E,\E由以下三部分点组成：其一是A

外的与A之距离在；之内的点集；其二是对所有1 <i<k，在每个

A，内的内、外半径分别为r,-r和r，的圆环；还有就是对所有的

i.k+1的圆盘A,。于是 ＊ 的

V(r）一（(pr＋7Lrz)＋E n(r一（r。一r)2)＋E 7cr 卜 鑫 ‘一几＋ 1

一；r+2nr艺r, +“艺r; + 7rr"(1一、） 1-I 1一k+l

像一维情形一样，建立起V (r)与r,的关系，进而建立dim,E与r。的关系是可能的。例如，设r,: 1-1, k-a，这里112< a< 1,（回顾一下，a＊ -},, , bk意味着对某C,,C,>,-O, C,-<-a,lb,-<-c,，对任意k成立．）

那么对r,+1 <r<rk,

V(r) X；＋；艺i一＋艺i一’一rzk 1 七+1

X rk’一“＋k’一2a

兴 rrI,4一”“＋rc2‘一”‘·

欠 r2一’ja

由式‘2.6，即得dimBE一告． 显然可以用类似的方法求出剪切其它图形的一些区域而得的

集合的盒维数．

3.3 注记与参考文献

基本的“隐含定理”是McLaughlin (1987)给出的，进一步的

结果和应用在Falconer(1989)的文章中．有向图集合的更多细

节参见Bedford (1986), Mauldin和Williams (1988）和Edgar

＿ 练 习 67

(1990)，半自相似集见Bandt(1989）和Falconer (1995a). Perron-Frobenius定理在Bellman (1960）中论及。Besicovitch和Taylor

(1954)研究了补区间的长度和R的子集维数之间的关系．类

似于命题3.闹 3.7的盒维数结果可以在Lapidus和Pommerance(1993）和Falconer(1995b）中找到。

练 习3.1举例说明如果没有E是紧集的条件，则定理3.1和3.2的结

论不对。

3.2证明定理3.2的假定蕴涵着P, (E) 5 P, (E) < oo，这里P’和

名是填充浏度和先浏度，见2.1节．（用假设卿(E) >。一’代 替式（(3.5)来修改定理3.2的证明，得到对：> s,满足艺以｝：＞ a-‘的不交球B�...,B.然后取g,:E-E门B，使alB,llx-yj

簇 Ig,(x) - g,(Y) I,以及用类似的方法推出dim �E > s, )3.3证明用“假设有一个数9，对每个与E相交且｝UI < r,,的集合

U，都存在集合U� i=1,...,4,满足U c U a,_, U� vt及映射

g, : E冂U‘一E满足a丨UI-'Ix一YI丨g, (x）一g,(Y)I”代替定理 3.1中的第二句话，定理3.1仍然成立．

3.4利用练习3.3证明如果仅仅要求E满足开集条件（(2.40),系

3.3的最后一个结论成立．

3.5设E是三分康托集的子集，它由[0,11中那些以3为底仅包

含数字0和2且没有相邻2出现的展开式所表示的数组成。

设E，＝￡门[0,冬］，E，＝E门［冬 ,1．证明E，、￡，可以表述 3“ ‘ ”“3 － 一’ J’ ‘ 一 ’ 一

为一个有向图集系统，并证明dimHE, = dim,,E, = log ((1 + 涯 ）/2)/log3,

3.6证明存在唯一一族仆空紧集E,满足式（3.12),（提示：在含有 9个部分的有向图集的集合上定义一个度蚤，使每两个含有4

个部分的有向图集之间的距离等于相应的集合对之间的豪斯

68 第3章 研究维数的一些技巧

道夫}1_离的最大值，模仿定X. 2.6的证明．）

3.7在其有相应的矩阵A('’的两个有向图集族情无下，证明最大

特征值由下式给出

。（，（，））一喜（，丨！丨＋A(,)＋冬（（，丨‘卜A''丨）2＋；，丨，：、梦丨）112 2 、一‘，－ 一孟.孟止产 2

通过检查递减的每项A '，对P(A}''）的作用，证明P(A(''）是关 于S严格递减的．

3.8设E是［[0,1 ]的（紧）子集，它由那些十进制仅包含数字 0,2,4,6,8的展开式所表示的数组成．从定理3.1（或定理3.2)

推出dim�E=dimBE．从命题3.6推出dim, E=log5/1og10.3.9 V(r)是高度为1的Sierpinski三角形的r-邻域的面积，证明

V(r) X 32-x，这里2-' < r,< 2-‘一’，由此推证出Sierpinski三

角形的盒维数等于log3/log2.3.10设E是R的一个紧子集,E'是由E加上E的每个补区间中

的一个单卢、而得的集合，证明dim,E'=dim,, E,（设dim,E存

在）．

第4章 Cookie-cutte：和有界畸变

在本章中引进了cookie-cutter集，它可以看成是一种“非线

性的康托集”．这将使我们可以在第5章中利用cookie-cutter

去说明自相似集的理论是怎样推广到非线性的类似集类上的．利

用。ookie-cutter，可以在相对简单的条件下描述一些非常一般理论的基本思想．

4.1 Cookie-cutter集

我们研究称为cookie-cutter的动力系统的一个简单形式。

cookie-cutte：具有的分形斥子称为cookie-cutter集，它可以被认

为是相应的迭代函数系的吸引子．虽然将有关的理论推广到多个

映射的情形需要一些变化 ，但为简单起见，在这里还是建立

只有两个映射的IFS．尽管完全可以将这些理论推广到R3“的子

集上，但这里只对R的子集X进行研究．

设X是有界非空闭区间，X：和戈是X的不交子区间．设f:X, U X,--X是将X：和X2都双射地映到X上的映射（见图

4.1)．假设f有连续导数（稍后将需要更强的可微性条件）而且是扩张的，即对任意x E XI U X2, I f '(X) I > 1-（通常f是一个定义在更大范围，也许甚至是定义在整个A上的函数在X上的限

制，例如，f可能是如图4.2中的一个单峰函数在X上的限制．）

下面研究由f的迭代点给出的动力系统．令人特别感兴趣的是集合

E一｛xEX：对所有k = 0,1,2,---,f '(x）有定义，且在 X, U戈中｝ (4.1)

这里 f‘是f的第k次迭代．那么E是在f的迭代下保留在

70 第a章 cookie-cutter和有界崎变

X, U戈中的点的集合。由于E＝门k}Of _k(X)，是由递减的紧集序列生成的，故集合E是紧的，并且是非空的．

显然，E在f下是不变的，这是因为xEE当且仅当f (x) E E,即

f (E)＝E“f一’(E) (4.2)

进一步，在下面的意义下E是一个斥子，即不在E中的点（然而

它们也许很接近E)最终在f的迭代下映射到X, U戈的外面．

事实上，如图4.2的例子中，对所有x 0 E, f '(x)～一00，见FG,13.1节。

匚 X1 凡

X1.1 X1.2 X2.1 X2.2

Xt.m 。．。一， ⋯ 。．．． 一 石 一。． 。二 。二

图4.1 以cookie-cutte：集E＝门t-of -k (X)为斥子的。ookie-cutter

函数f : x, U x,～x

考察这种情形的等价的方法是把这个函数作为迭代函数系的

4.1 Cookie-cutter集 71

“逆”。定义F�F2 : X～ X是f的反函数的两个分支，于是

F,(x)＝I一’(x) n X, F2(x)＝I一’(x) n X2

故F：和F2分别将X双射到X，和戈上．于是

，，＿＿、＿fF ' (x) （二。X) J (x）二哎认生1丫一〔 犷二介二 J、一，tF2 ' (x) （二。X2) (4.3)

由于I是一个在紧集X, U X2上满足．II'(x)I > 1的连续可导

函数，故存在数O<Cmi.CC.．二＜1，对任意x E X, U X2，满足

1<c孟簇II '(x)I -< Cm-in < 00。由此推出反函数F., F2是可微的，Bytx EX, Cmin,< IF,'(x)L, IF2'(x)I -< Cmex，由中值定理，对i= 1,2

Cminlx一v1（I F,(x)一F,(Y)I _< Cma.Ix一YI (x,YEX) (4.4)

门 图4.2 单峰函数f :R～R产生的。ookie-cutter系统．在这个例子

中cookie-cutter集E一门7一。f _' 10,1］是I的斥子，对任意 ，0 E, t曳I "(X)二一‘

72 第4章 Cookie-cutter和有界畸变

由式（4. 1), I的斥子E满足

E二Fr(E) U F,(E) (4.5)

由于F：和F2是X上的压缩映射，利用定理2.5中的IFS的基本性质，有唯一的非空紧集E使等式（4.5)成立．于是I的斥子E

是IFS{F�F2｝的吸引子． 与2.2节一样，这里仍用由I和2组成的序列1,={(i�⋯, 1k ):

ij = I或2｝来标记与IFS相关联的区间，并记1= U -k-j,．特别，对每个正_ (t},...}tk)，记X ix．．．．，行 Fro...0F,(X)．这样，f k:X,-X

在闭区问之问是一个具有逆F o...oF、的双射，更一般地，f k戈．‘一 戈：＿，一‘．对每个k < in是一个双射．由于X, U X2是不交并，且X, U戈CX，故对任意i , X,,l U X,.2也是不交并，且

X,.1 U X,.2 C X,．于是Ek =UI-I,X。包含2‘个不交的闭区间，且(Ek)k=。是一个递减的紧集序列。如同式（(2.28）一样，E_ n,z=uEk,且E是完全不连通的，并与一个康托集拓扑等价。

注意到利用式（(4.4)，对每一个JEl和i= 1,2 Cmi。丨Xj < 1X,1 < C_.IX'1 (4.6)

在最简单的情形，由相似变换族（2.24）构成的IFS对应于由

f (x) = 3x (mod 1）给出的映射f : [0,专)U［号，’］一［0,11.于是斥子E是三分康托集，且集合E＊是由2k个长度为3-‘的区问

组成．然而令人更感兴趣的是F：和F,不是相似变换的情形．例

如，F,,F2：[0,1] -'[0,11，其中

F, (x) =合·＋I_10一，FAX) 3·＋子一青‘(4.7)给出的不变集E，它是三分康托集的“非线性扰动”．这相当于E

是非线性函数I的斥子，这个函数由式（(4.3)通过F：和F,定义在［[0,1)的一对子区问上．

这种形式的动力系统f : X, U戈～X，或者X上的等价

IFS{F,,F,)，称为cookie-cutter系统，集合E称为cookie-cutter集。

4.2 Cookie-cutt。的有界崎变 73

映射F,和F2通常不是相似变换，E是“畸变”了的康托集，但仍然是 “近似自相似”的。

4.2 cookie-cutter的有界畸变

有界畸变原理使集合的“近似自相似性”的思想精确化，这个

原理叙述的是任何充分小的邻域都可以被一个不过分畸变的变

换映射成集合的较大的部分．

首先证明定义在cookie-cutter集E上的一般函数价的“有界变差原理”，然后用与E的儿何性质相关的方法选择中而得到有

界畸变的结果．设f:x,Ux2--x是如4.1节所述的，具有相

应I FS (F,, F,｝和斥子E的cookie-cutter系统．设中：X, U X2 -- R是一个李卜希兹函数，对某个a>0,满足

I (}(x）一(P(Y)I -<aIx一YI (x,Y E X, U X) (4.8)

（事实上，在理论上仅仅需要0:E一A，但实际上币常常是自然地定义在一个比E大的集合上 ）．

令人感兴趣的是在f的逐次迭代下，迭代点的0值，特别将对k = 1,2,⋯估计和式

Sk }(x) _ }(x)＋.45(f x)＋(A(f 2x)＋⋯＋(U‘一’x) 七一1

＝艺q(f 'x) (4.9) 丿一0

这里f 'x是在f下的x的第1次迭代。（为了避免过分繁琐的记号，在文中常用f Jx替代f'(x).）注意到只要对某些iejk, xEX,,

Sk召x)就有定义。如果对w E X,：＝气o ... OF,, w，则有下面的可供选择的形式

Sk ">(F‘一“. OF,, w，一蒸4(F, o...OF,, w) (4.10)可以把牛Sk (P(x)看成是中在二处和它的最初、一、次迭代的平均． ‘一’‘～ k 一 「I- -‘冖1一 ’一 －－一 ”’～”‘”‘’“’－ 一，、一 ’灬‘’一‘’

有界变差原理是关于中的李 卜希兹条件的推论．这个原理断

74 第4章 Cookie-cutter和有界崎变

言和式Sk OW在x处对k一致的意义下不会有太大的变化。

命题 4.1 （有界变差原理）

设 中:X -R是李卜希兹函数

(a）存在数b使对任意k = 1,2,⋯和任意的（(i1' ..., ik) E Ik，当

x,y E戈，．．、时： Isk识x）一Sk奴y)1 -< b (4.11)

(b）更一般地，对任意q>k和任意(i�...,i") E Iq，只要x,YEX,,．，、，则

IS,, 4(x）一Sk (P(y)I簇 b I X1一’IXi........ "1 (4.12)证明 反复应用式（4.4)，对任意（(i�... fik)E1, IX,而1=1凡0...op4(X)l簇Cmaa1X1。如果x,y E戈，：。，则对j = O,l,}}},k一1, f Ix, f IYEX,，.}，二，、，由式（4.8)

｝q(f'x)一O(f 1y)1 <- al f Ix一f IYl

S al戈），！．⋯J。l <ac篇:IXI}

因此，

’“：(P(x，一“＊F(Y)I一｝Z (P(f 1 x1.a ，一L (P(f lY)I 介一1

成艺｝4(f, x)一q(f 1Y)1 丿一0

众一 1

簇艺ac盆xixi ,_o

簇 acm..IXu(1一cMal)

令b = acm.,IXI/(1一cm..)，即得式（4.11). (b）的证明与上面的证明非常类似，只要注意到，如果

x,y E戈．．、，则.f'x..f'Y E X".,...Ja，故 ｝(P(f'x)一(t(.f'Y)l 5 acm.=IX,,.,．．‘｝．口

4.2 Cookie-cutt， 的有界崎变 75

有时为方便起见，将式（4.11)写成下面形式

＿‘＿exDS改x e一”簇 二二口三二k r\ 蕊e6 (4-1-3)

exp3k p(y)

现在设f :x, U戈～X是可微函数族C2，即具有连续二阶导

数的二次可微函数（在区间的端点可微是单侧意义的）。等价地，

F，和F2是X上的C，族。对x E x, U戈，选取 cp(x)＝一logl f '(x)I (4.14)

由于0<II'(x)I，故函数中在X, U戈上具有有界连续的一阶导数。由中值定理，中同时在x，和X2以及X, U戈上满足李卜希兹条件。

和式Sk o恰好是需要估计的X,的大小，对f'应用复合函数导数的链条法则，可以得到

(fk)'(x)=f'U,一’x)xf'(fk一’二）x⋯x f '(x) (4.15)

这里一撇“‘”表示求导．取对数，由式（4.14)及式（4.9)，可得

一logl(f ")'(x)1一艺一loglf 'U x）丨 （4.16) ,so

＝E(w ,x) j -o

＝Sk召劝 (4.17)

（只要对j=O,l,}}},k一1, fix eX, U戈，也即xe U i-A l则上述等式成立．）于是，通过f的迭代的导数，和式Sk o有了清楚的解释。

映射fk:戈．．1。-, X是双射，进一步，它还是个双李卜希兹映射，而具有的映射常数与｝Xi...... 1,！一’没有太大区别．特别对任意

！EX,，二，I，，1戈⋯，‘｝兴！Xll（fk）’（x）I一’，见图4.3．由于在下面的命题中按式（4.14）的形式取巾，并应用了有界变差原理，将使这一点显得更明确。

76 第4章 Cooki e"cutt“和有界崎变

芍.z E2.1.1, E 2,12.2 乓，2。1，1，1

：·““一 (E}}) 0 1111 e 0INNON, n- －．．⋯ 的 二 1 口⋯ ⋯ ”． ．．⋯ ⋯ “． ．⋯ 月 二 朋 ⋯

englargement of E 1.2

． 1二 1 ．．⋯ “”． 1111的． ．．一 fit阴 S 目 1-111 UIl ”⋯ 翻 ．

englargement of E2.1.1

目．．⋯ 翻 1111 11⋯ 11 “． ．．．．． ．．⋯ 肠二 门 翻．翻 ．．－

englargement of E z.1a.z

川 “ “． ”－ 一 “．“． ．．．． ．一 翻月 “．．⋯ ⋯

englargement of乓.2,1,1 ,1

图4.3对cookie-cutter集F.的有界崎变原理·图中显示了一些E,l,...,.1�的组成部 分的相似样本．它看起来就象是E的“崎变’版本．对所有的k及（(}1}...,;t)

崎变的“数t’是有界的

命题 4.2 （有界畸变原理）

对任意k =0, 1,2,---，及任意（(it,...,id e It，存在数b。和b,，使

对任意xeX,1．、，

bo'｝戈：，．,, I I汀')'(x)1 -< b,, (4.18)进一步，f':X ．，，。～X对任意y,Z E X,.....,、满足：

b丁’丨Y一ZI,IfV）一l (Z)1 I戈。，.,,I-<b,IY一ZI (4.19)证明 因为X,1,...,,1 =凡0 ...OFi1 (X)，故f':戈，．，。。～x是可微的双射．对f‘应用中值定理即知对Y,z E戈．，、，存在WE戈"1,，使

f '(Y）一f '(Z）二（Y一Z)U')'(W) (a.2)

选取Y和：为XI L... 1。的端点，那么f '(y), f '(Z)是x的端点，故对某个W任x11.... j,

IXI＝｝戈，，．．、，；II(f ')'(W)I (4.21）

4.2 Cookie-cutt“ 的有界畸变 77

利用式（(4.13)形式的有界变差原理，并结合式（(4.17)可以看出对

任意X, W任X"...．。，

二， 丨（fk丫（x、｝ e一”（，毕今共粤二岑，，簇eb (4.22)

】以 一）Lw）！

联合上式与式（(4.21)，可得式（(4.18)，并且由式（4.20)得出式（4.19)这里b。和b：仅仅依赖于｝川和b。口

在式（(4.19)中，有界畸变原理说明了fk可以由相似变换一致地逼近。

有时将式（(4.18)写成下面的一种替代形式是有用的．对任意x E X.

I X ，1 b厂 'b}- 一一一一二二〕三二J」色上一一一一 蕊b.

I(F},0}’‘0F.)'(x)I

注意到当F� F：是具有相似比。� C2的相似变换的特殊情况，此

时f '(x）在X4....,r。上是常数，于是上述的论证推导出｝X"....,，‘ I＝宁1,...Cr IXI，正如对自相似集所期望的一样． 命题4.2的关键之处是b。和b，不依赖于k。虽然平均值估

计是应用于函数的k次复合上，但是f '(x)及f 'U'(x)）不像x那

样在戈二、，。上变化那么大，除非当.1非常接近k。这里正是利用式（(4.15)控制了(f k)' (x)在X"..，上的变化．

有界畸变原理的一个有用的推论是，对每一个i，集合X,.，和X,'2在X，内是非常合理地分隔开的，而且X，以一致的方式与球（区间）是可比较的．

系 4.3

设￡是一个cookie-cutter集，d＝dist(X,,戈），则

(a）对任意;E/

dbI'IX,｝-dist(X,,,,X,.,) 51X J (4.23)

78 第4章 Cookie-cutter和有界崎变

(b）设}=dbI ,Cmin。对任意 i，如果x EX,n E和Ix, I；＜Ix, I Cm众，则

B(x,) r)门￡C X,门E c B(x,r) (4.24)

证明 映射f0:x,～ x是满足式（(4.19）的可微双射。取Y E x,,1和：‘x,.2，使得fk(Y)Ex，和f k(Z) E X2，且满足dist(f k(Y),f '(z))=d，由式（(4.19)的右边不等式即可推出式（(4.23）的翻力的不等式。

由于x, C x ,.l U X&2，所以式（(4.23）右边的不等式是显然的。

对（b）注意Yl1如果 iC-I＊和｝;r<db,'IX,j，则由（a）知B(x,) r）对

任意JEIA, jai，是与Xi不交的。于是式（(4.24)左边的包含关系成立，右边的包含关系也立即可得．口

现在推证“在没有太多的畸变”的条件下E的小部分可以映

射成较大的部分。更确切地说，存在双一李 卜希兹映射，把中心

位于E内的每个球映射到E的较大的部分上，其李卜希兹常数与

球的大小是可比较的。满足系4.4结论的集合有时称为近似自相

似的或拟自相似的。

系 4.4

设E是一个cookie-cutter集，则存在数C>0及ro>0，使得对每一个中心在E中，半径；<r。的球B，存在映射g : E (1 B - E,满足

C一’r一’Ix一YI簇 I9(x）一9(Y)1 S cr一’Ix一YI (x.YEEn B) (4.25)

证明 设r<r。三d匀'IXI及xc-E，那么由式（(4.6)可以找到k和1二（(i,...， ix)E I,，使得x EX‘和cmindb;'IX, I <-r<db;'IX,I,由系4.3(b), E () B(x,r) c: X� 411用式 （4.19）即得f k:EnB(x,r)-E满足

b;'IX,｝一’IY一zi -< If k(Y)一f k(z)I-<b.IX,｝一’IY一：｝故

4.2 Cookie-cutt“ 的有界崎变 79

Cmiud b'2：一’ly一：｝（If V）一f'(Z)I <dr一’ly一：｝取9=f'，即得式（4.25)。口

cookie-cutter集E同时也是“相对”意义下的近似自相似集，

这其中整个E可能映射成E的较小邻域而没有发生太多的畸

变．

系 4.5

设E是cookie-cutter集，则存在c>0和r0>0，使得对每个

中心在E中且半径；<r。的球B，存在映射9:E～E (1 B，满足 c一’rlx一yi-<I9(x）一9(y)l -<crIx一yl (x,y E E) (4.26)

证明 设xGE和；<ra=IXI，可以找到 1＝（i，，⋯，ix），使得x E X,

和Cmiur < l戈I<r，故X,czB(x,r)。把式（4.19）应用到y=F‘l‘o...oF‘＊ (x)

和：一F o...oF,。 (w)任Xi上，则有 b;’IX'Ilx一wl < IF,1 o...oF;七 (x）一F,， o...0F,, (vv) I < b,IXjIIx一＼vv I

故

cmi.b, 'rlx一、vl < IF，1 o...cF.（二）一F, O ... OF,,（、，）｝S b,rIx一‘vI取9为F,o二。F,‘在E上的限制，上式即是式（(4.26)。口

这些有关近似相似性的结论使得我们可以把3.1节的隐含定

理应用tI1 cookie-cutter集上。

系 4.6

设E是cookie-cutter集，满足dim �E＝s。贝1坦im BE一dim BE＝dim,E＝s，且0＜3(' (E)＜00。

证明 由系4.4和定理3.1知，这些维数是相等的且。< 9P (E),而由系4.5和定理3.2即得9-P(E) < 00。口

8D 第4章 Cookie-cutter和有界崎变

从第5章的更深刻的探讨中，将可以得到这些维数的性质，

同时还得出有关维数自身的公式。

一 E

图4.4 一个具有斥子F.二n k _oI一‘M ln 四部分’cookie-cutter函数I

就象例3.4一样，同样也能获得满足f (A) c=A或f (A) :DA

的cookie-cutter集的子集A的信息，见练习4.3, 注意到本章（以及下章）的理论可以应用到许多其它的情形

中，这在5.5节有概略的叙述。特别，对m一部分的cookie-cutter

f数f : x, U⋯U xm一x的讨论仅需要少许的修改，其中f : X;～ X是扩张的双射，i= 1,2,---,m，见图4.4,

4.3注记与参考文献

有界畸变原理来自许多不同的文章。例如可以参看Bedford

(1986）等人的文章，以及在5.7节中列出的与热力学形式体系相关联的其它参考文献。

练 习 81

练习

4.1找出由式（(4.7)给出的与F,, F2对应的函数l4.2直接证明三分康托集是近似的自相似集，找出此情形中用于

式（4.25）最小数。．

4. 3设 A是cookie - cutter集 E的一个非空紧子集，且 s=dim.A．利用式（4.25）和式（4.26）证"A与系3.4类似的结

论．即如果Acz f一’(A), All s=dimBA且.9 -(' (A) > 0,以及如 果f (A)。A, All s＝dim,A且H'(A)＜二．

第5章 热力学形式体系

许多数学问题都可以简单地在“线性”情形下解决，但相对应

的非线性问题却很难分析处理。例如，三分康托集E是由式（(2.24)给出的属上的两个相似变换组成的IFS的吸引子。从这样的

“线性”描述很快地得到了康托集的许多性质，例如利用定理2.7

可知它的维数是log2/log3。然而我们想处理像在第4章中描述

的cookie-cutter集那样的“非线性”集，如［Fh IFS (4.7）所决定的[0,11的子集，这些非线性构造较难分析，既没有关于E的维数的简单的表达式，也不清楚如何得到精确的维数估计。

本章描述一种方法，它使得在线性或分段线性情形得到的许

多结果和思想能够推广到非线性情形。主要的目的是导出由非线

性系统定义的分形的维数公式，而且动力系统和分形的许多其它

方面也可以利用这种方法处理。

为易于叙述，将介绍在4.1节中描述的cookie-cutter系统的

热力学形式体系，并且这也说明了热力学形式体系的基本思想能

得到更加广泛的应用。

本章的许多概念首先是在统计力学中提出的，这是一个与动

力系统平行的令人注意的学科，请参见5.6节。这就是为什么命

名为“热力学形式体系”并出现诸如“压力”、"Gibbs测度”以及

“嫡”这些术语的缘故。需要强调的是，在这里并不一定要有统计

力学的知识。

5.1压力和Gibbs测度

热力学形式体系由两个部分组成，即适当的动力系统或IFS,和定义在相应不变集上的李卜希兹函数。

5.1压力和Gibbs测度 83

这里将处理4.1节中所描述的cookie-cutter系统．回顾一下

有关记号：X是实的闭区间，具有不交的子区间X；和戈，

f :X. U X,～X是扩张映射，它具有连续的二阶导数，并且将X,

和戈双射到X上。这个动力系统有一个cookie-cutter斥子E,它可以等价地看作是由X上的一对压缩映射｛F, , Fz｝组成的IFS的吸引子．这里仍使用4.1节的记号，特别仍用 1和2组成的序

列标记不同层次的嵌套状区间X,

还有李卜希兹函数中：X, U Xz～ F3，存在。>0，使

I O(x）一(h(Y)I,< aIx一YI (x,Y E X, U X_) (5.1)与4.2节一样，应用那里提到的有界变差理论，对x6UiEax(，记

Sk 4(x)＝艺(P(f 'x) (5.2) J=O

由命题4.1知，存在数b使

Isk 4(x）一Sk 0(Y)1 5 b (5.3)

或等价地，对任意x,y E X,，及任意 JElk和任意k, L＿exo（S山（x

e一b \止二二竺兰 k r二兰二 \ e6 (5.4) exp W k (lY))

我们从研究一般的李 卜希兹函数 中开始．在下一节中将

选取适当的中导出E的维数公式。 第一个目标是寻找一个由E支撑的测度A和一个数PM ，使

对任意的 ;Elk及xEX,，

1,L(均 X, exp（一kP(中））exp(S,召x))数P(哟相当重要，称它为0的压力，测度JU则称为中的Gibbs测度．

现在证明下面定理的扭）部分，在下一节可用它来建立E的维数的公式．对结论（b)，则可以进一步加强关于＃的条件，它的证

明涉及到较复杂的泛函分析，故把它放到5.3节中证明。

84 第5章 热力学形式体系

定理 5.1

(a）对任意k和 E I,，设xiE戈，则极限

PW一lim牛logE expS, 4(x,) (5.5) - k一(E 1,一‘一r一“丁、一

存在，且不依赖于xfE戈的选取．而且，存在支撑在E上的波雷

尔概率测度JU和数a.>0，使对任意k和任意i=. ti， ...}ik E人，

·、·‘屯又不爆..." )exp(-kP((P)+S,q(x))‘一 ‘，·‘，对任意x任X"．，、成立．(b）可以选择到满足式（5.6)的测度p，且或者

(i) u对任意波雷尔集A,满足变换性质

·（，(A))=exp P(di)工二p（一，x))d,u(x)或者

(ii) u在I之下是不变的，即对任意g E C(E),

丁g(x)d,u(x) =丨。(f (x))dP(x)证明（a） 固定wC-E。由式（5.2)，对k,m =1,2,---,

S, (P(x)＝SAO)＋S,. fi(I'x) (5.7)

取指数函数并求和，则由式（5.4)

艺 expS,+. (P(x)＝ 艺 ex p (S, (P(x))exp (S,. (p(f 'x)) s了k -- s:了A-.x=.

＝艺 艺 exp (S, O(x))exp (S. 4(f 'x)) }: f"==， =:f'=0=

＝艺 ex p(S� (P(z))艺 exp(S, O(x)) =:f -r．即 x: P s-=

簇 e6艺 exp(S.,P(z))艺 ex p(S, qb(x)) z: f.：二 -f'二．，

5.1压力和Gibbs测度 85

如果记

$k＝ 艺 ex p(S, 4>(x)) (5.8) x:J,x二‘

则上式即是下面的不等式的右边不等式

e一，s, s,. S sk+M < e"s, s. (5.9)而左边的不等式可以利用式（5.4)的另一个不等式用相同方法得

到．取对数且记ak=logs,，即得

ak＋a一 b <a＊十。,<ak+a.+b

由系1.2, lim＿二牛a，=limy＿二牛log s，存在，即在这种情形下～ ‘、一’一，－一 禽～工k －一 盆～田k 一0一 ’‘一 ’一’一一 ””“”’

极限（(5.5)对每个i = (i�...,iw)存在，其中x。二凡。⋯。凡IV．利用式（5.4)知极限（5.5)存在，并且对任意选取的x,EX。极限是相同

的．同时注意到如果把系1.2应用到序列（ak）和（一ak)，则可以得

到对任意的k, kP(q5)一bK-ak<kP((P)+b，即

e一‘ex p(kP(0))< s,<-ekexp(kP(中）） (5.10) 现在通过在属上定义离散测度P111，并取。～的的极限的方

法构造一个满足式（5.6)的测度。对m = 1,2,⋯和任意集A，定义

P. (A）一十＿E＿exp(S. 4(x)) ""m x.走 产x．目

（即是对所有在A中的汽0...cF． w点求和）。显然＃。是支撑在E上的离散测度（由于IV EE，故对所有满足f "x=w的x，有xc-E)

且p.(E) = 1．于是存在支撑在E上的波雷尔测度u，它是测度序

列lu．的弱极限（见命题1.9), 当然h(E) = 1。而且，如果iC-I,和k<m，利用式（5.7)，则

,o.(X,，一青二。Y-二＿ exp(S.Xrf'x “·，，

一会二。：Y-二． exp(Sk4(x))exp(Xvf'x w ：一＊(P(f＊二））

86 第5章 热力学形式体系

于是 ，如果Y是X‘的任意点，由于f': X,-X是双射，则由式（5.4)

e一”mm(均蕊s,} 'exP(Sk Y'(Y))艺 exp (S. -, Y'(J 'X)) .Ex,: f一s=w

簇 eb'U.(X, )

或者

e-"u (X.) 5、一，eXU(S, (1)(v1) S. exn(S ，d>(z)l, sEX:f一、二w

簇 ebu.(X,)

利用式（5.8)得

［＿．，、：＿，、＿

e一”,U.(X) <- exp又Sk Y'(Y)汾）蕊e6“二（X,)故由式（5.9)

e一’brm (X,) < sk ,exp (S,叔Y)) < e26u. (X i )以上对所有m>,- k都成立，所以（PT）的子序列的弱极限拜满足

e一2b， p(X ，e 2b 止辶一 ＜ 一 一二公二二纽一一一 长 止一～

sk exp(sk中妙）） $k

*I]用式（5.10）即得不等式（5.6)e

结论（(b）可由定理5.5得出，而定理5.5将在5.3节中证明．口

由式（5.5)定义的数POP称为币的拓扑压力或压力，对某个a,>0 满足式（5.6)的测度称为中的Gibbs测度。由定义知中的

任意两个Gibbs测度是等价的。上面已经证明了cookie-cutter

集支撑一个Gibbs测度。

在式（(5.5)中可取x。是X，中的任意点。由于F,o...oF,t:X-X,Cz- X是压缩映射，所以存在唯一的x, E戈，满足F,。一0F4 x,=x,,或者等价地满足了kx,- Y,．于是，对 ;E几，可以选取点x,E X‘为{' k 2‘个的不动点的集合，即是那些具有的周期能除尽k的f的

5.2维数公式 87

周期点的集合。这就导出了下面的可以避免提到X,的关于压力的表达式：

p(q)一，im牛log E exp(S,(h(x)) (5.11) k-4 k一。e Fief.一L－、一咤了、一／丿

一lim生loa S. ext)((b(x)＋(b(f x) +⋯＋(b(fk-：二、、 民 －～ 人 又〔F认P

其中Fix f k表示f‘的不动点的集合。

5.2维数公式

通过适当地选取李卜希兹函数，上一节的理论可以转化为

通过压力表达的关于cookie-cutter集E的优美的豪斯道夫维数

公式。

为了寻找集合的豪斯道夫测度和维数，需要估计式（2.7)中的

和。对cookie-cutter集E，自然要利用由区间｛戈：i C-lk｝提供的E的覆盖。只要选取k使max,.,,ix,i-<5，则

坎（￡）l<艺！X,l' (5.12) (E,,

令6,0，则

H'(E)‘lim infk"x溉IX,，’ （，·，，）由此可知，对任意使上式的下极限有限的、，dim�E <, s。然而，

正如我们将要看到的，还含有更多的内容。在f的非常一般的条

件下，这些和有非常好的性状，它满足艺1E4IX,I' x exp(kP)，这里只是某个函数的压力。于是压力P是第k层嵌套状区问长度的、次幂和的指数增长速度。而且，在式（(5.13)中的极限给出x (E)的下估计同时也是上估计，故豪斯道夫维数等于使 只二0的数、，更

进一步，开在E上的限制是Gibbs测度。 对、EFR，在式（5.1)中取

4(x)＝一：logl.厂'(x）丨 （s.14)

88 第5章 热力学形式体系

并把压力P(-sloglf 'I）看成随、变化，其中f‘是f的导数。那

么任意选取X,C-Xi，利用式（5.2), (4.16）和（4.18)，式（5.5）变成

，（一、logIf，．）一，im牛，。9艺。xp（k-1im 1 log Y-exp( Y-一、logIf，（，、，）！、(5.，，） k-一- k一。!e1, 丶j-0一。IJ‘’一‘’7‘－一

一丨噢借log馨I汀)“一，，一’ (5.16)

一丨叹资log甄IX,I' (5.17)（注意上式与式（5.13)的相似之处。）下面考察P(一sloglf'D随s变化的情况。

引理 5.2

对、E 和S>p,

一Sm25P（一（s＋S)logl f‘丨）一P（一slo g I f‘｝）簇一Sm，(5.18)其中

0＜m，三inf。X。X71oglf '(X)1 。：Zloglf'(X)X, ｝三mZ＜的．特别，P(-sloglf' I）对 s是严格递减和连续的，且满足

lira一＿二P（一slog) f‘｝）＝的和lim：一二p（一slog) f‘｝）＝一0o。

证明 对S>0

11O9恿二p（ k-Ik log Y'exp( Y-e J-0一（s·b)logIf'UxJI) ‘k log ,（二p（k-1p( Y-j0一，ogIf V'x,)I）二p（一‘km,)) ‘1：" ：。、。厂k-1＿。In。。f'犷JY。！ )丫。。 飞 下尸 10 g 乙exp 厶 一s1 og！J LJ’ x卩11 1一um, 一k一。、1.11一‘、 J-0－一 、‘“7／

令k一00并利用式（(5.15)得到式（5.18)的右边不等式。左边不等式用相同方法可以得到．口

5.2维数公式 8.9

于是P(一sloglf 'I）的图形具有图5.1所示的形式（函数是凸

的，见练习5.5)．特别，存在唯一的数s满足P（一sloglf 'p=0.这个数即是cookie-cutter集E的豪斯道夫维数。

定理 5.3

设、是唯一满足下式的实数

P（一sloglf‘｝）＝0 (5.19)

那么dimHE=s且。＜开(E) < 00。并且，开在E上的限制是Gibbs测度，特别，存在数。1>0，使对任意iC-I。和任意k,

a, IIX,I'< H'(E n X,)（a,IX,I' (5.20)证明 设s由式（5.19）确定，对这个s，取O(x) = -sloglf,(x)l，令u是由定理5.1给出的相应的Gibbs测度．由于POP =0，对任

意x E X,，任意' E Ik及所有k，式（5.6)变为 ao’<P(X,)/exp(S,权x)) < as

故利用式（(4.16)的链条法则，即

·、：‘；（X‘）／。·p（－－5k-1<JI(X)/exp}-s Eloglf "U'x)I=o ）一；(Xl)/l(f，），（·）一‘一联合上式以及式（(4.18)，知存在数a2，使对任意 i

＿，， }(X.) ，

a,’<介群～镇a2 (5.21，于是，＃是由E支撑的，且在每个区间x‘上的测度值与1XII’可比的概率测度．

由有界畸变原理的推论，测度A可能与E上的豪斯道夫测度

有关．设x‘E, r<cmnIXI (4.2节的记号），下面来估计＃(B(x,r)),这里B(x,r)是中心在x长度为2r的区间（一维球 ）。利用式（(4.6)

可以找到整数k和 {E人，使XEX‘且 IXtI \ r+mi乙1XII0

由式（(4.24)知，

90 第5章 热力学形式体系

u(B(x,) r)) ' P(X,)' P(B(x,r))这里i=d匀' Cmi。是与x和：无关的，故由式（(5.21)

a2 ',u(B(x,; r))（IX,l'-a2,u(B(x,r))于是，存在b1>0使

b2 'r'- u(B(x,r)) < b,r' (5.22)

对任意xC-E和充分小的；均成立。由命题2.2知b2' S开(E)2'b,，且dimHE=dimBE=s。类似地，可推出JU等价于s维豪斯道夫测度在E上的限制，即对每个波雷尔集A,匀' 3-f' ( E自A)簇P (A) <, 2'b2 9-f (E (1 A)。取A=X‘并联合上式与式（(5.21）就得到了式（5.20)。口

八，tog If' f )

牛一． 图5.1 关于一个（两部分）cookie-cutter系统的压力

函数P(一sloslf 'I)的形式

可以从几个方面考察维数公式（5.19)。选取式（5.16)中的x,为fk的不动点，就像在式（5.11)中一样，通过动力学的术语得出

的dim HE是等于满足下式的、值．

0一liar华；。：Y- IU k)'(x)！一 - /C 一。azFi,

5.3不变测度和变换算子 91

同样利用式（5.17), dimHE是使

：＊（E。 IXII')1e{,‘一“ 5.23)的、值。而且，在式（(5.20)中，对所有1e Ik求和，即知对任意k,0<al , H'(E)<艺leis IX11'<a,开(E) < 00。于是这些自然的和给出了关于豪斯道夫测度的界，可将这些与式（5.13)比较。

在E是自相似集以及F：和FZ是相似比为r：和r2的相似变换的特殊情形，dimHE是满足r, +r孟=1的数s，见式（2.42)。这里

f k .戈⋯，‘。一X是相似比为（(r}： ...r}）一’的相似变换，故

Z 1(f k)'(X 1)let, ‘一‘一Y- (r,习 . . . r{.)lei, ’一（r,＋『‘，“一’利用式（5.16), s满足P(-sloglf 1)=0，故压力公式确实是关于自相似集的维数公式到非线性集上的推广。

值得注意的是，通过考察压力公式的导数，对式（5.16)的收

敛速率有一个控制．事实上，如果对X' y C -X‘和 i E I� b是使

sllogl(f "AX)｝一logl(fk)'(y)I I -<b的数，则对任意k, ｝＿ ， ．，，．、 1， 。．，，‘、， 、．＿＿｝＿26 IP（一sloglf‘｝）一千 log L I(./ k)'(xl）｝一，<- (5.24) ｛一‘一。IJ’‘ k一。lei, ’‘一‘”｝一k

见练习5.2，上式与式（5.18)一起，使对dimHE的通近的精度能得到估计。

"5.3不变测度和变换算子

本节介绍关于热力学形式体系的一些稍微复杂的方面，同时

导出压力的一个可供选择的特征。测度起的主要作用是在

cookie-cutter函数f下的不变性，即由E支撑的测度p对每个

连续函数g: E一R都满足

丁。（，(x))dP(x) =丁g(x)d,u(x) (5.25)

92 第5章 热力学形式体系

上式等价于对每个波雷尔集A, u汀一’(A))城A)。在下一节中

将导出不变原理，即压力是对E上的所有不变概率测度u的一定

的表达式的上确界．

为进一步论证 ，首先要证明可选择定理 5.1中的测度 u为不

变的．这个特别的，同时也是相当微妙的论证通常需要利用算子

Lm的性质，通过泛函分析的方法来实现的。 设E是关于l的cookie-cutter斥子，O:E- R是如上所述

的李卜希兹函数。记C(E)是E上的实值连续函数空间。定义变换

葬子或称Sinai-Bowen-Ruelle算子Lm: C(E）一C(E）为 (L刃)(x)＝g (F, x)e k(' x)＋9(F,x)e4K"' (5.26)

＝ 艺 9(y)el' (5.27) 厂了lrl-=

算子L，是线性的（即LO(g, + 9) = Leg, + Lag,和L4,()g) = A(L4）对数量之成立）和正的（即如果对任意xEE, g(x)>0，那么对任意

x E E, (L祠)(x)＞0), 有时需要重复地应用算子Lm。记L导为L。的k次迭代（故

有L初= L,,(L,g)，等等），通过对式（(5.26）进行反复的迭代，可得

(Lk,.9)(x）一（，：，．．孤。。g(F,,o...oF‘,x)exp[q(F,,of f, 一；，x) ＋叔凡。⋯。凡x)＋’二＋4(F,, x))

一 艺 9(F,,o...oF,,x)exp(S,(P(F,o...oF,x)) (5.28) （‘卜二，1） E人

下面的联系L。和I的恒等式是有用的。设9,,92 E C(E)，则

(L,,((g,0f)xgz))(x)＝Y_ g}(r (F}x))g,(Fx)e"(',') 才一！J

一艺g, (x)g, (F,x)e $(F") I二 津

＝g, (x)(L碑Z)(x) (5.29)

5.3不变测度和变换算子 93

变换算子的主要性质将由下面的定理给出，它是

Ruelle-Perron-Frobenius定理的一种叙述方法。

定理 5.4

(a）存在i>0及对xC-E，恒大于零的W (X)，且＊E C(E)，使w是

Lm的具有特征值之的特征函数，即 Low＝iw (5.30)

(b）存在支撑在E上的波雷尔概率测度JU，使对任意g E C(E),

丨（L,,q)d,u =“丨。dy ‘，·，，，(c）对任意的9 E C(E)，由

丨。‘一丨。W‘· (5.32) 定义的测度 ，在f下是不变的。（假设w是规范化的，故

v(E)＝1。）

证明 由于 中是李 卜希兹映射，故存在足够大的数a>0，使对

x,y E E和i= 1, 2, e'a(F,=，一功‘价，，，簇e·，’一”。设C.- < 1如式（4.4）中一样，固定：>0且：cm.,+a<a。设P=e-'"' >0，其中｝El是E的直径．定义

B= {g E C(E)：对任意x,y E E, P < 9 (x) 51及 g(x) 5 g(y)e,｝一，，｝

则B是凸集（即如果91,92 E B和0<tK,I，则tg, +(1一t为2C-B)，且B是C(E)的同等连续的子集，故由Arzela - Ascoli定理知，B是

C(E)在范数II II二之下的紧子集．下面证明L，的一个规范化的形式将B映射到它自身，也即它具有不动点。

设9满足

0 }-'- 9 (x) ' 9 (y)e"，一A (x,yc- E) (5.33)

那么如果x, y e E，则｝F,x-F,yl-cm,.Ix-yl，故由式（5.26)

94 第5章 热力学形式体系

(LA)(x)‘1Y_2 g(F,y)e,ia, 2 “二，’一”ear’一”e Wir) 5 e"’一，'(L}9)(y) (5.34)

利用T4(x)一L,ag(x)/IILa,,g日二，在B上定义规范化的映射To.由上面知，对x, y E E, (T,,g)x-e"’一’' (T }9) (Y)．由于｝IT411.=1,所以，对任意yEE,刀=e-s,"-(T4)(力l<1．于是几映射紧凸集B到它自己，故由Schauder不动点定理，存在 W E B使

几W=W，或Lo W=1W，其中之-1ILOW11.．由于W E B，即得w(x) >0和1.>0，这就完成了（a)的证明。

现在定义测度集合 M-伊：sptucE和丁wdu=1}，这里w如（(a）中所示。可把wt看作是E上的连续线性函数空间C(E)*

的子集，也许可以等同于E上的符号测度集。记L享为C (E)上的映射L。的对偶映射，对g E C(E), L幸由下式定义：

丁gd(L* u)=丁(L,ag)du (5.35)刀阝么又寸u任w1

I wdl 1 L*u、一｛华(L,w)d。一｛wd。一；

因此份L*将M映射到它自己·由于M是凸的，且在弱一＊拓扑的意义下是C(E)＊的紧子集，由Schauder不动点定理知，存

在测度。。“，使令L*m。一；。于是由式（(5.35)保证了式（(5.31)成立，可用常数乘＃使u(E) = 1，这就保证了u是如（b)所需的概

率测度。

为验证由式（5.32）给出的，是在I下不变的，设g E C (E),rnd

丨“(x)d v(x，一丨“(x)w(x)du(x， 由式‘5.32)

一“一丁。（·）（：一）(x)du(x）由式（5.30)

5.3不变测度和变换算子 95

一“一丁（“·（（。。，）一）)(x)du(x，由式‘5.29) 一“一“丨（gof )(x)w(x)du(x）由式‘，·，，， 一丁g(f (x))dv(x） 由式‘5.32)

口

变换算子有许多其它重要的谱性质，这里就不深入介绍了，

例如元是重数为1的特征值，且使L，的谱的留数是在一个半径严格小于又的圆盘内．

变换算子与压力P(cp)有密切的关系．定理5.4的特征值i

结果是等于exp P(q5)，而且u和v则是关于0的Gibbs测度．这是在下个定理中阐述的内容，它通过证明Gibbs测度可以选取为

不变测度而推广了定理5.1,

定理 5.5

设 1., u和，如定理5.4中所述，则logy =P(O)，且u和v是关于中的Gibbs测度．于是u和v是E上的波雷尔概率测度，

对任意k和iC-Ik, xC-X,，存在数ao>0，使 ＿，＿ u（X‘） v（X ， a.:’簇一 一，若牛共匕，，丫，， ．一一一，一，＝井于罕一 一一，？一簇a. 一exp（一k P(哟+S ,权x))’exp（一k P(哟＋Sk召x))

(5.36)

测度，在I下是不变的．测度p对任意波雷尔集ASE和

k＝1,2,⋯满足

,u(f'(A))=expkP(4)工exp（一“。，·）”；（·）(5.37)证明 记】，为集合A的示性函数．设 i = (i� ..., i,) e I,，由于凡。⋯。凡x EX,：二．、当且仅当.1I =i�...J,=i。成立，因为x e f '(A)

96 第5章 热力学形式体系

当且仅当对Ac--X },...,,,, F,， o...oF,(x) E A，所以由式（(5.28）知，对Ac戈，．．．．‘＊(1 E,

L'(e一s'"s)1 A(x))＝exp（一Sk 4(Fao...OF,, x)) I A(F,, o...OF4x) x exp(S,叔F‘． o---oF，。 x)) ＝1It(A)(x)

两边积分并利用式（5.31) k次，即得

。（，＊（‘））一丁、。（一（·）du(x) ＿r；＊‘＿一：。，：），‘＿、、丬。，，、八 ＝ 1 i..-：Ie 0" 、一，i，Ix，jQu)x)

J一Ib、” A，一尸、一，

＿；＊r。一：。，二），‘＿、丬，，‘＿、 二 /.’！e ”丫、一尹IJ（X坦 林IXI

一J一 ‘，、，、，一、‘、，

一“。工e-s.O(x)du(x) (5.38)对 i Elk，上式对任意包含在X, n E中的波雷尔集A都成立，故由可加性知式（5.38）对任意波雷尔集ASE成立。在式（5.38)中

令A=X, n E，利用式（5.4)，则对所有y ex,， e一”（; ke一’.m(r)u(X ) < e6

对所有的i Elk求和，并与式（(5.5)比较，显然有p(q)=log;. ，故由式（5.38)得到式（5.37)，同时也得到关于＃的不等式（5.36)。因为

由式（5.32)

（丨of w(x))u(X,)-<v(X,）提(sup w(x))u(X,)zcE这里0 < inf ,,w(x) <sup,,,w(x) < o0，所以对等价的测度v，式（5.36)也成立。 口

注意，由定理5.5立即可以得出定理5.1的（b)部分。

现在容易推出Gibbs测度的一个更重要的性质，称之为遍历

性。如果对每个可测的不变集ACX（在f一’(A) = A的意义下），

5.3不变测度和变换算子 97

或者u(A)=0，或者u(X\A)=0，则称测度u关于f是遮历的．于是在遍历的情形，唯一不变的集是那些用u来度量时是平凡的

集．

如果A是不变集，那么A＝n k_of一'(A) a n k=of一'(X) = E,

故A--E。进一步，A= U,E,,Fho...o凡(A)，所以A n x,=F． o... oF,， (A)，且

f *(An x,)＝A (5.39)

系 5.6

任何满足式（5.6)的Gibbs测度u是关于f遍历的。

证明 首先设u为定理5.5中满足式（(5.37)的测度。如果A是不变集，那么ASE，由式（5.39)和式（5.37)，对任意 ;Elk，有

，（，）一，（，。（、n xi)）一。xpkP(。丨。xp（一、＊4(x))du(x) .)An xi

于是由式（5.4)，对任意x E x, ,

e一‘u(A) - exp (k P(cp)一Sk奴x)) u（A n x,)

用完全相同的方法，以不变集E替代A，即

exp (kP(哟一S,召x)) 9 (E门X,) < ebu(E)

但是u(E) = 1且IL的支撑是E，故联合这些不等式，对所有X‘都

有 ：

P(A),u(X,)＝,u(A)u(E门X,) < e'"y(A冂X,)

由于｛戈门E: ic-l� k=0,1,---｝生成了E的波雷尔子集，故对每个波雷尔集BCE:

p(A),u(B) < e="FI(A门B),

取B=E\A，就有＃(A)m(E\A) < e2",O(A (1(E\A)) = 0，这就得到T所需要的或者城A)=0，或者风E\A) = 0,

由定义（5.6)，任何其它的相应于给定的中的Gibbs测度v，在式（1.22)的意义下等价于这个N。因此如果A是不变集，那么或

98 第5章 热力学形式体系

者v(A）二：0，或者v(E\A) = 0．口

本节的一个结论是，Gibbs测度可以同时选取为在f下不变

和遍历的。这样的测度在遍历理论中起到了特别重要的作用，就

如我们将在第6章中看到的一样。

5.4嫡和变分原理

嫡量化了一种速率，可以按此速率从一系列重复的观察中得到有关动力系统的信息。在一定的意义下，等价的系统具有同样

的嫡。因此嫡是动力系统理论中的一个重要的不变量。这里首先

定义熵，然后推出变分原理：压力在涉及嫡的表达式中取最大

值．

下面继续讨论4.1节中引进的具有了：x, U X,- x和斥子E的cookie一cutter系统。设p是E上的在f下不变的概率测度。考虑下面的“实验”，通过观察一个点x“E的迭代落入x；或

戈来确定‘的位置．对} = p}1,2}...，设ii是使了’二“X,的整数1或3．于是把f 'x看作为初始时刻在x的质点，经过时间.1之后

所处的位置，把气看成是在J时刻质点在左边（在x，中）或右边（在X2中）的一个观察。自然要提出的问题是，k次观察序列

(Xyfx", ... X"-,）是如何精确地确定点的初始位置x。特别，一个与给定的观察集合相关的x的集合的测度值

/I {x: f'x E XI，对］=0,1,---,k一1｝＝u(Xia ,...,r,-}) (5.40)是怎么样的？如果这个测度是较小的，那么x是由这k次观察

（根据测度川较准确地确定．

如果对给定的x EE，发现对充分大的k,城戈⋯J。＿，）~ Ck成立，这里0<c<l，那么随着每次成功的观察，我们可以利用一个大约

等于。的因子改善对x的位置的了解．于是关于x信息获得的速

率大概为

5.4熵和变分原理 99

一log。一牛logu(X．1-）一 I logu(X,) (5.41) 一。一 k 一口 、一勺一、“一’' k 一别 、一‘丿

这里 i =io,i�...'i＊一，。当然这个值依赖于x，而x在试验中事先是不知道的。然而，关于测度＃，对所有属于E的x按式（5.41)的形式取平均，可以得到下面的和式：

一资EIE4”(X,)log,u(X,)它表示在时间0<j,<k一1中获得的信息的平均速率，当k～①

时，取极限就得出了对全部时间的平均值。

这种启发式的讨论，引导我们做出f的关于浏度u的熵的定义为：

、，三、，“）一lim一牛艺u(X,)logu(X,) (5.42) NW’ ＊二一函 k`“一‘，一创、一‘丿

当然，这里要事先假定极限存在 ，利用半可加不等式可以证明这点。

命题 5.7

设u是支撑在I的斥子E上的不变概率测度，则由式（5.42)

定义的熵h,(f）存在。证明 只要证明序列艺,.a - U(Xi)log川X,）是半可加的，则由命题 1.1可知极限（5.42)存在．

为简洁起见，记沙(t) = - tlogt (t > 0),沙(0) = 0，那么0是[0,00）上的凹函数，即一4是凸函数．对正整数i和j，和任意

iel,,介1i，假设u(Xj)>0对任意.1r El,成立，利用沙的凹性（见命题1.4）以及艺.fE,}U(Xj）一1,

}G(u(x,)，一‘猛u(xu)）

一‘伍u(X,)u(X�)lu(X,)) ，只u(Xi)0(u(X�)lu(X,))

100 第5章 热力学形式体系

由0的定义，则

}(u(xl))% ZYM) P(XI) (logo（二，）一log,u(x u)) J.1,‘J‘u(X,

’只u(X,i)logu(xj)＋只ku(Xlj))如果j E I,使u(X,)=0，则可以通过对那些满足u(Xj) o 0的j EI,求和得到相同的不等式。现在对全部 {E式求和，注意到由于u

是不变的，艺tei,}(X}j）一。(Xi)，即得：

I ku(x,)) -> E u(x,)logu(x,)＋Y- O(u(x�)) 1611 Je1i 1Jel,_,

于是

艺O(u(X,))〔艺40M））＋艺}G(u(x1)) 01,.j 161, 1e勺

换句话说，即序列。‘二艺1.110 (A (X 1)）一艺‘。。一。(X,)logu(X,）满足半可加性质（1.2)，故由命题1.1知极限（(5.42)存在． 口

事实上 ，嫡比由式 （5.42)显示出的更为一般。如果

X= Y, U⋯UY．是将x划分成有限个 （可测的）“盒子”的任

意划分，可以对每个i，观察使j'x E玖，即x的迭代点落入的盒子序列（y1ol...5Y_， )，并估计获得信息的速率

丨噢一资EP(Y、一。一，)logu(Y、一丿这里Y,a..、一。＝｛‘:J Ix G Y,,, j=0,1,---,k一1)·值得注意的是，这个极限存在，且对任何合理的划分Y, U⋯UY．极限值为气汀）

（合理是在如下的意义上的，如果k充分大，观察到的（yw... , Y,._, )在几乎所有xE E之间是可分辨的）。然而为了我们的目的，取式

(5.42)作为嫡的定义已经是足够了。 变分原理刻划了压力作为所有不变概率测度的一定的表达式

5.4熵和变分原理 101

的最大值的特性。为了证明这点，需要下面的关于不变测度的积

分表达式。

引理 58

设E是如上的cookie-cutter集，设中：E～ 1R是李卜希兹函数，且设ILI是E上的不变慨率测度。那么对任意选取的X,E X,，

丁(P(x)d。一：二k , Sk q(x,),u(XI) (5.43)证明 首先注意到，如果＃是不变的，那么对任意.l,丁,}(x)dju=丁(P(f 'x)d N（重复应用式（5.25))，所以

丨、x)d；一华｛k-1 d(f'x)d。一李｛ S, O(x)dy (5.44) Jr‘一／一‘ kJj=o‘、’一’下’ kJ一，“一‘一‘

因此，如果对每个 ic-ik, X'EX,，利用有界变差估计式（5.3)和由于

,U(E)二1，通过分割积分区域，即得：

一丁“·”一借I Sklei,“一）'U(X,）一 一k 0'ff eXiS'(P(x)d一，x,)P(Xd）一 ‘资Y- Y(X,,E,,）二。｝：。O(x) -、＊。·‘）｝ （立 k

令k～00即得式（5.43)． 口

定理 5.9（变分原理）

设 中：E --" R是李 卜希兹函数，则上确界

P(中）=sup{h,,+丁和FU : FU是E上的不变概率测度｝在定理 55中的不变Gibbs测度？处取到。

102 第5章 热力学形式体系

证明 对任意 i EI，选取xtC-Xf．对k=0,1,2,⋯和不变概率测

度u，利用系1.5定义

。、（，）二牛Yu(X,)［一logy(X,)+S,(P(x,)] (5.45) k拭 ”一‘，· －－。，、一

‘资log EexpS,(e1,。·。）令k～ 00，注意到分别从式（5.42),(5.43)和（5.5)可以得到上面这

个不等式中三部分的极限，于是

”二丁、；、。。 为看清定理5.5中的不变Gibbs测度”使上式的等号成立，

注意到由式（5.36)

Pt(v)，华F, v(X,)［一log(a.exp（一、P(P)＋Sk -P(x,)))＋SI(P(XJ] k拭 、一“·一。、。一「、

一牛E v(X。)［一logo,＋k P((P)] k拭 、．／L 、。

一P(。一士logaa结合式（5.45)（以，替代川并令k--o- 00，再一次利用式（5.42)和

(5.43)，即得hv+丁树v > P(扔。口

取沙＝一slogIf 'I，利用定理5.3，可以得到关于斥子E的豪斯

道夫维数的变分公式．即存在唯一的实数：使

0 =sup {h，一s jlogIf 'Idu :u是E上的不变概率测度｝

5.5进一步应用 本章的方法以及4.2节的基本有界变分原理，适用于许多其

它的动力系统和迭代函数系统．这里列举一些进一步的情形，在

5.5进一步应用 103

这些情形中，有关的吸引子或斥子支撑着不变的Gibbs测度，且满足变分条件，而它的维数可以通过压力求出。

弱可微性条件

热力学理论只需在关于0和f的较弱的条件下作少许的修改就能成立。关于有界变差原理，只要4是以某个“>0为指数

的Holder连续函数就成立（故用以下条件

I O(x) -O(Y)I -< al x一Y1, (5.46)替代李卜希兹条件（5.1))，见练习5.1。因此，关于有界畸变原理和维数公式，只要f I(x)满足“-Holder条件就足够了，在这种

情况下，称f属于可微族C，十‘。

更一般的迭代函数系统

设x是I”的闭子集I Fl,---F。是C2一压缩映射（或对某个

a>0的C' * -压缩），具有满足E= U "-,F,(E)的非空紧吸引子E。如果·n=1和选取X使得｛F;刀｝几，是不相交的集合，那么将第 4章和第 5章分析过程稍作修改就可证明“m一部分

cookie-cutter集E”是近似自相似的，并且维数可由P(-sloglf'D=0得出，这里，P的定义式（5.5)中的和是对整个指标集 人＝

(019 ... Jk )：15ij<-m｝求的，见图4.4, 对高维的情形就更复杂了。设X是A’中的一个“好的”域，

例如,R‘自身，或者是凸集或具有光滑边界的连通域。如果可微

映射F : X -"- X的导数F'(x)（看作是线性映射）是相似变换，则称F是保形的。于是保形映射是“局部相似”的，它将小的区域

变换成几乎相似的象．设Fl,---F}: X - X是内射并是CZ一保形压缩映射。如果对i= 1, ... ,m,戈＝汽（幻，X"...,戈是不相交的，

我们将这个IFS的吸引子E看作为函数f : X, U⋯U戈-. X的斥子，并且如果x EX,，则f (x) = F; ' (x)。这里进行的分析或多

104 第5章 热力学形式体系

或少与第4,5章中的分析类似，但这里利用了链条法则和中值定

理的高维表达式，得出有界变差和畸变原理以及E的近似自相似

性。E的维数通过求解P(-slogIIf'11)=0可以得到，这里｝If‘日

是导数f’的扩张比，E支撑着一个不变Gibbs测度IU，且

/I(XI) x IXII'.

如果X1,...,X.不是不相交但E满足开集条件，IFS吸引子E不总是等同于动力系统的斥子．然而通过对保形映射F�}}}F。而

不是对f的研究，（即用（(F1,0 ...0F）一’代替f‘：戈、．，。。-x，并利用式（(4.10)定义的S, 0)可以用相同的方法得到相应的理论．

有向图系统

热力学形式系统中有一个有待处理的由式（(3.12)定义的有向图的

非线性形式。对。E E,j，取F,:茂一戈是适当的集合族x�...戈c R"上的Cz一压缩映射，并且得到一族满足式（(3.12）的集合E}'... 'E,.在一定条件下，这些集合的全体也许是以F。为局部逆的某一动力系统厂的斥子．在戈cRI，或者X, c f,4’且F，是保形映射的情

形下，热力学形式体系导出了与系3.5的公式P(Ac, }）二1中的“压力相似的量”以及E。上的Gibbs测度。

Julia集

某些复解析函数f:C一c的Julia集是一族非常重要的近似

自相似集．（注意这里要求l是解析的，意味着相应的实函数f:R’一A’是保形的。）那么f可能有斥子E，故存在E的一个邻域X(E c int(X)), f在x上是扩张的，此时对 ：Ex, If'(z)I>1,

且使得E={zc-X：对任意k＝1,2,---,f '(Z) C -X)。这样的集E是f的Julia集．对“大多数”复数c，函数f (z)=z'十c是这种情形的一个例子，特别当】cl较小时，E同胚于一个圆周，而当ICI较大

时，E是完全不连通的，见FG, 14.3节．在f (Z) = z'十。，｝。｝较大

5.5进一步应用 105

的这种最简单的情形，可以选取集X使得逆f一’有两个分支

F�F2 : X～ X都是压缩保形的，见图5.2．那么Julia集E是保

形IFS｛F�凡｝的吸引子。于是E是近似自相似的，其豪斯道夫维数和盒维数都可由P(一sloglf 'I)=0得出．

对其它解析函数 f:C--c，经常可以找到一个分解

E= E,U...UEj称为E的马尔可夫划分），及一个元素为0,1

的矩阵(T)，和对E,J= I定义的函数F,.J : Ej～ E,，使得对每个i，函数凡，是E‘附近的f一’的一个分支。这本质上是一个保形映射的有向图系统，见图5.3．如前所述，由热力学理论得出了Julia

集E的维数是P(- slogIf 'I) = 0的满足。< H(E)＜二的解。 热力学的方法导出了许多Julia集的进一步的性质。例如，

当c较小时，dim�(zz+c的Julia集）渐近于1 + Icj'/41og2，而对

较大的。，则渐近于21og2/loglcl。这个理论可以延拓到更一般的多项式和其它解析的函数。

r孙、

护名二‘ ． 一

r }-.,c 一 。、: ，；t．’ R}‘ A ．：t，

”：f．

t }+袅 14 奋电J 吃．，

、趁d ，．、

图5.2 f (z) = z= + 0.5 + 0.3i的Julia集，在由f的逆的两个分支

所组成的IFS下，它是一个自保形集合

106 第5章 热力学形式体系

几 图5.3 f (z)=z:+0.279+0.3i的Julia集E．这样一个集合利用马尔可夫11i分

F. = F., U F.：可以看作是一个有向图集．在以F，和Fi作为f一’的“东

北”和“西南”分支的同时，并有F.,=F,(E,)U F,(E2）和E2 FXE,)U FEE)

}RR "上的非保形斥子

虽然在一些特殊情形取得了一些进展，但要将热力学形式体系推广到那些非保形映射上去就不那么容易爪例如，记S是把区间

[0,1］的端点0和I重迭在一起而形成的圆周，设f:SXR-SXR是一个保持垂直线的扩张映射，即对适当的f，和f,，有f (x,Y) =以(x) , f (x,Y))．那么f有一条环绕柱面SXR的斥子曲线。在一定的

条件下，这个斥子是可由P (s中：＋盛）=0得出维数的分形曲线，这里P是压力，币，和叭是涉及f在x和Y方向上的扩张比的函数。 对于某些二维区域的微分同胚，在能将映射分解成一个扩张

和一个压缩两个分支的局部分解情况下，必然存在一个与压力有

关的，并给出所发生的不变的马蹄形吸引子的维数的公式．

5.6为什么称为“热力学，形式体系 107

对不能分解成“独立”方向形式的函数f，如图5.4的例子，这种情形是相当复杂。有关维数公式方面已经取得了一定的进

展，在12.1节中概述了一种能导出维数上界的方法。

亠 图5.4 非保形映射：(x,Y) -'(x，一YZ. 6xy）的斥子

5.6为什么称为“热力学”形式体系

在涉及动力系统时，数学家们经常要问的问题是：为什么给

这种方法冠以“热力学”的名字？尽管有关的内容不是物理形式，

但是许多思想，如Gibbs测度的存在性首先是从统计力学中发展

起来的，许多年以后才被移植到动力系统中去。

为简单起见，考虑一维的粒子链，这些粒子只位于整数点

(1， 2， 3,...， k)上。每个粒子只位于两个可能的位置之一，分别用1

和2标记（见图5.5)，于是系统的组态可以用k个数组成的序列确

108 第6章 热力学形式体系

定i =(i,,...,ik)，其中对j= 1,---,k, ij= 1或2。每个组态具有相应的能量，记为E,．“，并且对每个实数、，定义划分函数

Zk一Y- exp（一sE,1 ,...,k) 11一 ，J‘

其中求和是对全部2k个可能的组态进行的。

2－ 一 一闷一一 洛 、一

1 2 3 4 S 6 ， A

粒子

图5.5具有能It F,、，。和与exp(一SE"'...",）成比例的发生概率的粒子系统 的组态01'...,动．

当粒子的数目充分大的时候，粒子在这个过程中有相互作用

并进行能量交换．支配这种交互作用的基本原则是波尔兹曼定律，

即在特定组态下，系统的小部分的概率与这个组态的能量的幂成

比例，即对实数s

，、，二 、二‘，＊ exp（一sEll ..＿ ) 组态（i...... U的概率 ＝二二￡二苦早三‘习匕 一·一 ，， ，一。－一 ’ Zk

其中s可以看成是系统的绝对温度的倒数屎 以波尔兹曼

常数）。

在最简单的情形，每个粒子的能量仅依赖于它自己的状态，

所以氛．，、是这些粒子各自能量的和。于是，记}(i� ...}ik)为第一个粒子具有的能量（只依赖于Q, I为“漂移”I (i� i2, ..., ik) =(i2,...,(k,Jl)，其中J。是任意选取的，则

E;,...,,＝权i）＋4U（i））＋⋯＋(P(l‘一’（i )) = Sk奴i） 于是

Z'k＝艺exp（一SS,权i )) fait

5.6为什么称为“热力学”形式体系 109

而对 J Elk'

组态（‘）的概率冖exp(-sS,(P(i)) ＿＿＿、，－－一 Z'k

如果允许粒子链为无穷，令k～ 00，这就是所谓的取热力学

极限。只要能量满足一定的合理的物理条件，例如某种形式的平

移不变性，那么利用平行于建立有界变差原理和动力系统的

Gibbs测度的存在性的论证可以说明：

Zk - exp(k只）

以及对任意有限的序列i = (ill..',ik), 组态U. jz ,... )(其中j。＝1：，⋯，人＝1＊）发生的概率

X exp（一SSk叔i）一k P,)

其中数只是物理系统的压力，这个概率是有关状态的典型Gibbs分布。

与上面叙述平行的，出现在cookie-cutter动力系统中的公式

和关系现在也很清楚．在这方面有如下的对应：

统计力学 动力系统

有限粒子组态 区间X, 无限粒子组态 E的点

能量E, Sk叔x)

温度的倒数 维数

划分函数 和 艺exp(S,叔X d) del,

压力 拓扑压力

组态上的Gibbs分布 E上的Gibbs测度

虽然说“斥子的维数是当压力为零时温度的倒数”，可能是

不适宜的，但是，动力系统的许多特征最好是用统计力学中的一些

平等概念来研究。

110 第5章 热力学形式体系

5.7注记与参考文献

关于热力学方法可以被应用于动力系统的这个引人注意的见

解由Sinai(1972）首先提出的，以后被Bowen (1975）和Ruelle(1978)进一步发展．后两本书给出了很有技巧性的叙述，正如P arry和Pollicott(1990斯做的一样，他们利用C函数去研究连续系统的周期轨道而推广了这方面的工作。Bedford (1991)给出了这

个材料的很好的综述，与此相关的各种综述性的文章均已包括在

Bedford等人（1991)的书中。关于定理5.4证明中用到的函数解

析性质可参见Dunford和Schwartz(] 958）的书。

Ruelle(1982)的书处理了与Julia集相关的R’区域上的保形映射的特别情形。Bedford (1986）和Mauldin以及 Williams

(1988）分析了有向图或递归的IFS, Bedford和Urbanski(1990)研究了保存垂直线的映射。McClusky和Manning(1983）得到T关于马蹄形吸引子的公式，Falconer(1994)考虑了一般非保形斥

子情形。

练习5.1证明命题4.1的有界变差原理，其中李 卜希兹条件（(4.8)用

E-Holder条件（5.46）代替．

5.2验证式（5.24）给出了关于在压力的定义中收敛速率的界。

5.3设f :X,UXZ--X是通常形式的cookie-cutter系统，即f 是E土的2- 1函数。证明如果u是E土的任意不变的概率

浏度，则h� <log2，且总可以找到IU，使hN=1og2,5.4考虑使f (x)=3x(modl）的式（2.24）的系统，E是三分康托

集．对任意实数s，找出P(- slog) f ' I)。设＃是E上的“均匀

分布”概率I度（即如果iC-Ikf 91II P(Z) =2-k)。求出h，并直接 验证当币二一sloglf 'I时,h，十JNil = P(O).

5.5证0I1由式（5.15)给出的P(- slog丨．f 11）是s的凸函数。

第6章 遍历定理与分形

遍历定理是概率论及动力系统中最基本的和最有用的结果

之一 在这一章中，证明了遍历定理并说明它可以应用到分形几

何的研究中，特别是有关分形的局部性质，比如密度和平均密

度．而遍历定理的其它应用可以在本书的后面部分遇到。

6.1遍历定理

对遍历定理设定的条件如下：集合x，其上的映射f:x-x,及X上的有限测度u。且设任意可测集AcX的逆象I一’(A)是

可测的，以及

u(I一’(A))＝u(A) (6.1）

即u在f下是不变的，或者说f对＃是保%il1的。条件（(6.1)等价

于对任意可测函数g : X- A ,

介(x)du(x) =介。（·））‘。 (6.2)下面总是假设u是波雷尔规则测度，所以式（6.1)与式（6.2)对所

有连续函数g:X～ R成立是等价的。 回顾一下，称测度u对f是遍历的，如果对任意使A=f一’(A)

的可测集A,川A)=0或者川从A)=0。本质上，这意味着这个

系统是不可分的：即如果集A满足A=f一’(A）及0 < u(A) < u(X),

则可以分别考虑把I限制在A和X\A的两个独立系统。 如果u是遍历的，且qb: X- 是对任意x满足(P(x)=(P(f (x))

的可测函数，则对几乎所有的x，存在数元使，

中(x)＝又 (6.3)

为看清这点，注意到对任意1,E H，集A＝｛x E X: qb(x) <勺是可测

112 第6章 泊历定理与分形

的，且满足 I一’(A) = A，故由遍历性，或者 P (A) =0，或者

,U(X\A) = 0，这就是或者对几乎所有的x, 4(x) < ;，或者对几乎所有的x, q5(x). ;.。

把f:X-X看成是动力系统，如果时刻0时粒子的位置是

x，则k次迭代f kx表示时刻k时粒子的位置。对咖X～ R，把

十-j.0I - I Off IX)看成是二的前“次迭代所计算出的-P的时间平均。遍历定理断言，对几乎所有的x，当k一二时这些平均值

趋于一个极限．而且，如果9是遍历的，这个极限不依赖于x，且

等于中的空间平均，即等于丁X(P(Y)du(Y)．于是，在遍历的情形下，对几乎所有的初始点x,中的时间平均等于中的空间习钧．

定理 6.1（遍历定理）

设f:X-'X, u是在f下不变的X上的有限测度，又设

币e L'(川，则对9-几乎所有的x，极限

。(x）二！im牛艺Off IX) (6.4) k-W k昌丁、“一，

存在，如果拜是遍历的，则对A-几乎所有的x,

。(x）一去 ｛4(v)d,u(Y) (6.5) 拜(X)J：”‘’ “‘

证明 为简单起见，只对存在M，使对任意x EX, I(P(x)I<M的情况证明定理，而对推广到0 E L'(x)的情形，参见练习6.1,

记 一，、 1岁1一灬’凵 xk(x)＝千 乞4(f Ix) (6.6)

k局T \J一，为关于前k次迭代的中的平均，并记

x (x）一lim supxy(x)k- M证明的关键是说明，对任意“>U，下式成立

丁a (x)d u(x)‘丁＊·）‘·（·，一 ‘6.7)

6.1遥历定理 113

为验证上式 ，定义

T(x)＝min{k＞0：ak (x) - Y (x）一“｝则由x的定义，可知对任意x, T(x) < 00。如果存在T< oo，使对

任意x,T(x)<T,则和式（6.6）可以分割成每段长度最多为T的一

些部分，使每部分的(P(f , x)关于i的平均值最小为Y (X)一“．更

确切地说，对每个x，用归纳法定义序列（(k�k2, ...)，即取k, =T(x),而对i二2,3,---, k,=T(f "+.＋‘，一’x)，使得

丿汀一万：Off x)一“甜‘’‘‘’“‘一’x) ）州x (f k,+...+k,-,x）一“）

＝k,( T (x）一“） (6.8)

上面最后一步的等号是因为对所有的k, x (x) = x (f IX)。对所有的i求和，则只要k具有k：十一十k‘的形式，就可得

人一1

艺(P(f'x)）k( x(x）一。） j-0

对任意的整数k，取i为使k,+}}}+k,5k的最大的正整数，并把 k一1 k,+---+k,

和 艺Off 'x)与 又 Of Ix)比较，因为。<k-(k，十⋯+ k,) 丿=o i=0

5 T,所以可得

E (P(f'x)）(k一7')(x (x）一“）一TM j -o

对上式两边同日小帜分（注意到由式（6.2),了gb(rix)d P(x) =丁q5(x)d,u(x)),同除k并令k～00，即知在此情形下，式（(6.7)成立．

现在设‘(x）是无界的，可选择 T充分大，使P(A) <e，这里

A三 ｛x : T(x) >乃。在A上修改币的定义成劝＊：X一R使 （奴x) (x诱A)

（M (x EA)

114 第6章 遍历定理与分形

在式（(6.6）中用q5＊代替中定义a,，令 T* (x)＝min{k＞0: ak(x)〕 a(x）一“｝

即知对任意x, T* (X)双因为对任意x CA, T*(x)=1)。重复上面的过程，可得

丁。·”·（·）‘丨‘*(x)dh(x，一 一丨，x)d,u(x) +少0* (x，一“·，，‘·‘·，一 、丁4(x)d,u(x)·2ME·“

因为“可以选择的任意小，所以式（6.7)成立。

由于“是任意的，式（6.7）意味着丁x (x)dh(x)丁O(x)d,u(x),利用对称的论述同样可以得到，

J (P(x)dP(x)‘丨：(x)d,u(x)，其中a (x）一lim inf a, (x)k - x 。联合这些不等式，就有丁( a (x) -a (x))djl(x) <- 0．由于0<a(x)-a(x)，这意味着对几乎所有的x,

x(x)=a(x)，所以这共同的值等于极限（(6.4),

显然，ak(f x）一“k(x) = ((P(f 'x）一}(x))/k，所以只要极限存在，

(D(f(x)=(D(x)。于是如果JU是遍历的，式（6.3)意味着对几乎所有的x，存在又使OW = ;I成立。利用控制收敛定理及＃的不变性，

;..U(X）一f (x)d/'(x) = lim0 -.f一（x)d/'(x) = fq)(x)dg(x),即式（6.5）成立。 口 然而，遍历定理的这个形式只适合于对自相似集的应用．为

了研究非线性的cookie-cutter集，还需要下面的可称为“近似的

6.1泊历定理 ，15

遍历定理”的遍历定理的推广形式。

系 6.2

j:X～ X，设lu是X上的有限不变测度，对n=1,2,...,

叭EL'(P)。设对任意的正数k和n，以及任意x e X,

1叭U‘x）一叭+k(x)I＜“。 (6.9)

其中。.\*, 0。则对；一几乎所有的x，极限。(x)=1im}韶：结 }k(x)k=o m y存在。如果f是遍历的，则(D(x)几乎处处是常数。

证明 对m>, l及n>- l，成立恒等式

月若葱’(Mx）一，卜．艺(kW (6.1。、 m＋n局 ’‘、’ m＋n昌 ’‘“， 、·一 ，

＋击 氮1，。十＊(x)- (P. (f“·，，(6.11)

+不 mm+n．m Lr 'I'nU“·， (6.，，，固定n，令m -w 00，对几乎所有的x，式（(6.10)收敛到零，式（6.11)的模小于E，而利用定理6.1，式（(6.12)对几乎所有的x收敛于一

个数，记为V. (x)。于是对几乎所有的x

(D'(x、一。簇lim inf止丫cb. (x) 一 二 m k-0

K- llm sun止m-I‘、、‘(D*(X)＋。 ．～戈 m ＊．。 －

令n～00，则对几乎所有的x，

lim止兮&,(x) =1im V_(x、三。(x) ．～ m m 止．0 一 ”～国

如果户是遍历的，则由定理6.1,《几乎处处是常数，所以小也几乎处处是常数。 口

116 第s章 谊历定理与分形

遍历定理的一个简单的应用涉及动力系统的李雅普洛夫指

数．设x=H是闭区间，而f: x--x是c映射，李雅普洛夫指数反映了在迭代f之下扩张或压缩的局部速度。定义f在x的

李雅普洛夫或特征指数 (x)为：

;. (x）二｛im资logl(f')'(x)I (6.‘，， 一lim牛乞丨。glf '(f 1x)I (6.14) k - cok ,ad一 ‘、，一

式（(6.14)用到了式（4.16)的链条法则．于是对中心在x的较小的

区间.1, If'(J)1=exp(k;(x))IJI。当然，这个定义假设T极限（6.13)存在；在合理的条件下，这可以从遍历定理得出。

命题 6.3

设u是对c'映射 f:x一 x的不变遍历测度，又设

flog If '(x) Idu(x)＞一00．则对11-几乎所有的x，存在数i.，使李雅普洛夫指数｝%(x)存在且等于i.证明 在定理6.1中取q5(x) = logif '(x)｝即得结论。口

在上述条件下，把之看成是f的李雅普洛夫指数． 李雅普洛夫指数可以推广到可微映射f:x- x上，其中x

是H‘的合适的子集。导数（(f ')' (x)是a’上的线性算子，并记

a; (x) , a?(x), ... , ak,(x）为椭圆（f k)' (B）的主半轴的长度，其中B是R’中的单位球．李雅普洛夫指数定义为随k增长的这些主半

轴长度的对数速度：

;,,(x）一丨峡资log a,,(x)。一，，⋯，·）于是，李雅普洛夫指数描述了在迭代f之下无穷小球的形变。利

用遍历定理的一个更加复杂的版本，可以证明，如果JU关于r是

6.2密度与平均密度 117

不变的且是遍历的，则对IU几乎所有的X和对所有的i，存在

数/. }）!.2）⋯>, ;,..>, 0，使从X)一称

6.2密度与平均密度 自相似集和cookie-cutter集支撑的自然测度，关于这些集定

义的变换是不变和遍历的。正因为如此，使得遍历定理是研究它

们的有用的工具．下面先概述一下这些测度的性质。

引理 6.4

(a）设EAR’是满足强分离条件（见2.2节）的自相似IFS的维

数为、的吸引子。而p= -VI：是s维豪斯道夫测度 9-C0在E 上的限制．则＃关于f:E-E是不变的且是遍历的．（其中

f是式（2.41)给出的逆映射）．

(b）更一般的，设E是由式（2.43)一（2.44)给出的自相似集，且满 足强分离条件。而u是E上的自相似测度，则 JU关于

f:E-E是不变的和遍历的．(c）以维数为s的cookie-cutter集E为支撑的不变遍历概率测度

u与9-C'1：等价．证明 利用通常的IFS的记号（见2.2节），对ACE

f一’(A)＝U F, (A)

是不交并。利用开的，因此也是u的比例性质（(2.13)，并利用式（(2.42)

P(f一’(A ))＝艺u(F,(A))＝艺r; }(A)＝u(A)

所以JU在f之下是不变的． 现在，设ASE是可测的且A=f一，(A)，故对任意k和

‘一（(i,,”’，‘＊），‘一f一‘(A)一目。F, ,o．”o F,, (A)，则A门E,,,....，；－F， o...oF。 (A)，并利用比例性质：

118 第6章 遮历定理与分形

u(A门E,)= (r,，...r,,) ,u(A)＝P(E)Y(E）一’,U(A)设C是由满足

,U(A门U)＝,U(U)P(A)N(E）一’ (6.15)

的集UaE组成的集类。上面已经证明了任意;E人，E,E C，由可加性知，这样的集合任意可数并也属于C。由k的规则性，对任

意给定的可测集USE，可以找到下降到U的这样的集序列，所

以式（(6.15)对任意的这样的集合U成立。特别取U=A，即有

,U(A) =,u(A门A) =,u(A)h(A护(E犷’，即得

u(A) = 0或u(A) =.U(E)，所以JU是遍历的． (b）注意到对任意ACE，形式为,U(F}(A)) = P p(A）的比例性

质成立，则（b)的证明与（a)的证明类似，只是把其中的r;由P。代替。

(c）这个（(a）的非线性的类似结论已在第5章中证明：定理5.3表明了到、在E的限制是Gibbs测度，定理 5.5表明存在等价的

不变Gibbs测度，而系5.6则说明这些测度是遍历的。口

由弓1理6.4(c）可得出cookie-cutter系统的李雅普洛夫指数存

在，且在E上9f'一几乎处处是常数。

下面对某些分形的密度考虑遍历性的一些推论．设EcR’是满足0 < JP(E)＜二，且豪斯道夫维数为s的波雷尔集，而且，为

方便起见，记u= x1。为、维豪斯道夫测度在E上的限制，即

P(A)＝尸(E门A) (6.16)回顾式（2.17）一（2.18),（也可见FG第5章）,E在x的（s维）T,上密度是定义为

D '(x）= D'(E,x）二lim啼 inf3('(E n B(x,r))/(2r)',-0 一lim inf p(B(x,r))/(2r)' (6.17),-o

及

D '(x）一万'(E,x)＝ii伙sup 3p'(E (1 B(x,r))l(2r)' 一ii叭sup F}(B(x,r))/(2r)' (6.18)

6.2密度与平均密度 119

其中x E R,，这些密度表明集E在x点周围集中的程度。显然，

对任意x, D'(x) K, D'(x)，但是对不规则的“分形”集，对u-几乎所

有的xEE，这个不等式严格成立（见2.1节）。然而，作为遍历性的一个直接推论是，在自相似集和cookie-cutter集的情形，下密

度和上密度几乎处处是常数。

命题 6.5

设 E或者是满足强分离条件的 自相似集，或者是

cookie-cutter集，且s=dim HE．则存在常数丝和d，满足0<d蕊了蕊l，使对牙一几乎所有的x C- E,

R !(x) = d 及 -5'(X) =d证明 设f:X-X是定义自相似集或cookie-cutter集E的函数，设X是使E在其内部的集合，则由式（(2. 19)，对任意x E E,卫'(x)＝旦'U (x)).

利用引理6.4(a)或（c)，存在遍历测度u等价于 34、在E上的

限制。因为旦’是x的可测函数（见练习6.4)，由式（6.3)知R !(x)

对u-几乎处处是常数，因此对开’一几乎所有的x E E,全(x)是常数。类似的论述也可以应用到D' (x)上。 注意到对任意x, 0 < D '(x)（见式（5.22))及对H，一几乎所有的

x, D ' (x) <-I（其实对所有x都成立，见FG命题5. 1)，所以0＜鱼蕊了\1 口

有关密度的一个经典结果（(FG5.1节）指出，如果0 < 9{'(E)<00，且s是非整数，则对开一几乎所有的x,卫'(x) <矛(x)，即密度不存在，所以在命题6.5中a<a。这意味着当r充分小时，

比值

k(B(x,r))/(2r)'0 9P(E门B (x,r))/(2r)' (6.19)

或多或少在三与7之间“振荡” 很自然人们要试图去描述这个

120 第6章 油历定理与分形

振荡，特别地，对充分小的r去寻找式（(6.19)的“平均’值．因为

自相似集在一个以儿何速率趋于0的比例下显示了自相似性（例

如，三分康托集具有的自相似性的比是夸，合，命⋯），所以利用这样一种平均的形式是合适的，它赋予如此比例的每一步骤以

相等的量．

因此 ，下面引进对数平均

A'‘一T)一_1T工一。。（。（一）)(2e-}）一。！ 一2一1丨了ll(B(x,e-'))e"dt (6.20)

TJ,-o、‘’

定义E或u在x的下、上平均密度为

A'(x）一li巩沙f A'(x,7 )

＿ A'(x)＝lim sun A'(x,T)汉 T～二－

如果了(x) = A' (x)，则称这个共同值为平均密度或二阶密度，并用

A'(x）表示，则 1厂r u（B（x， e一，））

A'(x)＝lim - 1 二玉岑二共，止L dt (6.21） T"0 T 。一。 (2e-')'

（当然，这些平均密度可以对更一般的测度拜定义，而不仅仅只

是限制在豪斯道夫测度。）

易见，对任意x

卫'(x)止(x)〔矛(x)护(x) (6.22)

对任意，>0，密度及平均密度是由A在B(x, r)上的限制所确定，

即创门只是局部的定义，因此，它们反映了E在x的局部结构． 我们已经注意到，对一个分形集E，密度D'(x)一般不存在．

然而，对许多分形，包括自相似集和cookie-cutter集，平均密度

A'(x）确实存在，且在几乎所有的x上取相同的值。可以利用遍

历定理证明这个事实，首先在特别简单的假设下，即E是三分康

6.2密度与平均密度 121

托集的情形说明这个方法．

定理 6.6

设E是三分康托集，s=log2/log3，设Ju=开’！：（即E上的自然均匀分布的测度）。则对u-几乎所有的xEE，平均密度A}x)

存在，且

A'(x) = -共二丨丨｝二一，I-'dg(x)dPCv）一。.62344... (6.23) 2'10g2lx jI. -YI共一””一’证明 对k = 0,1,2,}}}，记

未，、，、＿卜·，,u(B(x,3一））J。 ,(x，一丨：一＊～二乏二2-' " dt (6.24)

（当然在此种情况下，B(x,r）正好是区间【x-r, x+r]）设f:E-E是由f (x) = 3x(mod 1）给出，则f以自然的方式反映了E的自相

似性（；寸r<冬，·像·厂（：n B (x, r)）恰好是：n B (x, r）扩大三1一”一、‘一‘一 3 ” 一 丿、 ” 一、”／’一‘”一 ” 、‘”’＿－－一倍）。利用这二点及u的比例性质，注意到如果用f (x)代替x,t一1代替t，式（6.24）的被积式中恰好是分子分母同时扩大2倍。

于是叭(x)= 4,-}(f (x))，并且对f的迭代 (P,(x)＝Tk一（f x)＝A一z(f Zx)＝·一 AU 'x)

因为A对f是不变且遍历的（由引理6.4(a)或直接验证），所以由遍历定理6.1，对u-几乎所有的xEE，利用式（6.24),

工、（，）‘。。卜；。士k-1J-0、。、） 一lim牛玄qVx) k- x k o ‘’、一，

＿，：＿1介 u(B(x,3一））J。 =1im 灬止‘ ！ 二二立竺乏二2：‘"灬 do k-m、J。一。 2-

122 第6章 泊历定理与分形

一2'、浮工T。 u(B(x,e-'))-0 (2e-'),“ ＝2'A'(x)

这其中由于积分的有界性使我们能从离散的极限过渡到连续的极

限。于是对u-几乎所有的x，平均密度A'(x)存在且等于a，这里

一2一工“‘，”“。， 把a表成式（(6.23）的形式是方便的，代入式（(6.24)，并记 1X

为集X的示性函数，则

2，一工工方。，！“‘”‘一，一”，‘！‘·‘·， 一fJ_a工2'1(，一‘u(y)dt du(x) 一flIJI-110”一”“’一’“‘““”·‘“‘’“du(x)du(y) 一1log2。二ff＊ Idu(x)du(y)-yl< 1 ·llog2仃（，一，，一‘”“（·，‘“。，

，二一y1 >十

一1log2：二一ffyI> 7｝一，一”u(x)du(y)即得式（6.23),这里利用了康托集左右两部分具有相似性的论

断，即：

（。·。）｛（·，，）：！一，｝＜合卜（。·。）｛（二，）：，一，｝，一合｝，

6.2密度与平均密度 123

由此，可将对t的积分分成两部分）．

式（6.23）中的被积函数在积分域上是非奇异的，因而在数值计算上也不是太难处理．这个积分可以看成是 通过测度IUxu

给定分布的随机变量的期望，粗略地可以利用蒙特卡罗方法，或

者较精确的可以作为一系列随机变量的矩进行计算．口

上述证明毫无困难地适用于E是“m部分康托集”的情形，

这种所谓的“m部分康托集”是将单位区间细分为间隔相等且长

度为之的m个子区间，并按此方法进行迭代所得的分形集。于是

E是由相似变换族F,(x)=),x+(i- 1)(1一｝－）/(m一1), i=1,，二，m组

成的IFS的不变集．则s=dim�E＝一logm/logy且9-C' (E) = l ,并对IU一几乎所有的x,

，：（x）冖二 1A'(x) = ｛丨．二一，I-'d,u(x)dP(Y) 2'logm ji’一

其中P是 9-f，在 E上的限制，而这里的双重积分是对全部的

(x,Y) E U I.声‘x乓进行积分。 这类集的平均密度显示在图6.1中，特别可以看出，相同维

数的集可以有不同的平均密度；所以平均密度是用来区分相同维

数的集合的一个参数 。

对由几个不同相似比的相似变换生成的自相似集，证明它的

A'(x)存在且几乎处处是常数是比较复杂的。而对一般的

cookie-cutter集，这个间题的证明更麻烦，需要用到系6.2的近

似遍历定理。然而定理6.6的证明是这些进一步推广问题证明的

基本原型。

设f : X, U戈～X是带有斥子E的C，的cookie-cutter系统，其中E是在X的内部．又设s=dim �E，使0 < 3-{'(E) < oo,

而u = J-PI E，为方便起见，先将在研究E的平均密度中需要的已知结果罗列如下：

124 第6章 迫历定理与分形

A(x)

..J

0州冖eeee一－一丁－－－－一，广一 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

diml1E.一协g M /10g)6

图6.1 对不同的m及不同的dim�E,，部分康托集E的平均密度

可以找到ro，使当0<r,<r。及xC-X时， B(x,r) c X (6.25)

所以特别地，对任意k及任意的（i�...,ik) E I� F,： o...oF‘是定义在所有这样的B(x, r)上的．由式（5.20)知，对任意x EE及；> 0,存在数d>0使

,U(B(x,r))r一’簇d (6.26)

注意到由式（4.12)及式（(4.17)，对任意q> k及任意（(i1'...,i4)和任意

x, y E X,,．‘，存在数b>0使 Ilogl(f )'(x)1一logl(f ')'(y)II-<bIX}..,....,,1

特别，由式（(4.23)，如果x,y 6 XI }....,j‘及q是使f F(x)lf (Y) E X, .}....,,,的最大整数，则

IlogI(f ")'(x)｝一logl(f )'(y)II-<b,d一’If (x）一f "(y)1 (6.27)

定理 6.7

设E是cookie-cutter集，而v是E上的任意不变遍历测度，

6.2密度与平均密度 126

则存在数a使对v一几乎所有的x EE，平均密度A'(x)存在且等于a,

＊证明 基本论证与定理6.6平行，但是cookie-cutte：系统的非线性性需要用到遍历定理的推广系6.2。

对 n = 0,1,2,⋯及xc-E，令

0,(x）一fb：一“‘’)’e=n e',u(B(x,e-'))dt (6.28) Jb8ur'r(=〕丨

其中拜= gr'IE，先证明叭满足系6.2的条件（(6.9), 固定x EE，及固定整数n和k，记

t.＝logl汀．）‘汀'x)I (6.29)

（即在fkx处计算f’的导数），设n充分大，使e-'" S r。而

F,， o...oF、是使F1,o...OF4(f 'x) =x的I一‘的一个分支． 又设x_,x、是区间

Ffo...cF,(B(f'x,e‘·）） (6.30)中的点，分别满足：

｝汀')'(x-)l＝in月汀')'(x)l及 】汀')'(x+)卜supl汀')'(x)1

其中下、上确界是在区间（6.30）上取的。利用豪斯道夫测度（2.11)的李卜希兹性质，并由中值定理用通常的方法得到相应的李 卜希

兹常数，则对t3 t,,

,4(B(f 'x,e一‘））（I汀')'(x十）I'P(F，， o...OF,,(B(f'x,e一‘））） （｝汀')'(x.)I',u(B(x,e一‘｝汀')'(x_)｝一’））

（上式最后一步是把中值定理应用到Fl、 o... OF,‘而得出的，注意到(Fl． o...OF,,)'(f '(x))＝汀')'(x）一’）． 由式（6.28）及（6.31)，然后作代换u=t+logl(f )'(x_）丨，则

126 第6章 遍历定理与分形

Tn(I x) f '.t”一（。。＊·，一）)dt ‘t,f“二。（。（一｝。‘），（一）｝一））！（，＊），（·＋）．。！ (t. -,+bgl(f ')'(=-H ＿ 、、｝(f ')'(x.）卜．

＝ i e-uc tim e 一，n一 iau

1·－·止，一 蜘，一 11厂Ilx ) I J“一,,+bHUf’ )‘c=-H ，、八一， ｝

n.-i+bHI（了)'(=)I 簇 I e"u(B(x.e一“、、d“＋￡ Jt,+bHl(1 )'(s）丨

利用式（6.26）及（6.27)，并注意到由式（6.30）当n - 时，

｝f几x一f‘x＿｝，｝f‘x一f‘x＋｝一致地趋于零 ，即得当n - 时，

上式中的“。对k和x一致地趋于零．由于由链条法则知

t"＋logy汀‘）‘(x)＝logy汀”＋k), (x)｝，即

7".(J kx)叭十＊(x)＋“。其中n 时，“。一0。这就证明了不等式

1叭(J kx）一吹*k(x)I“， (x e￡）的一半，而另一半的证明可以用完全同样的方法进行证明．

因为v是不变遍历测度，所以由系6.2知，存在ao>0，使对v一几乎所有的x,

1 noHl(I")'(+)I＿＿， ＿、、． 1 r.'． — i e-ucncx.e }nac＝ — ,?. (D,lx)～ a.

m jo m k=o －

由命题6.3知，对h-几乎所有的x,斋logl(f -)'(x)I一“，这里“是李雅普洛夫指数，所以当m～ 00时，

t 广loaur "r(x)i — i e-u(tsm e ‘ ))at ～ a.i

iog1U’．’）m l j。

由于被积函数是有界的（见式（6.26))，可以将。-. 00的序列的极

限改成如式（(6.21）的T～ 00的连续极限，即得对v一几乎所有

的x,

A'(x) = a挤一’2-‘ 口

6.2密度与平均密度 ，27

通过适地选择v，可以得到关于cookie一cutter集平均密度存

在的自然的结果。

系 6.8

设E是豪斯道夫维数为、的cookie-cutter集，则存在a>0使

对开一几乎所有的xc-E 月，j＿＿、＿，：＿＿＿卜 3fiE门Bx e一，））」＿ A'(x1= lim ！ ‘匕上止亡二止二‘二竺'乙 " dt＝a (6.32)

T-" mJ‘一。 (2e-}),

证明 根据引理6.4(c)，存在与尸｝：等价的E上的不变遍历测度v，则易见式（6.32)是命题6.7在此情形下的一种变化形式。口

与密度不同，平均密度对广泛类型的分形都有定义且是描述

它们的一 个自然参数。遗憾的是平均密度通常是很难计算，甚

至进行数值计算也是很难的，只能利用定理6.6所显示的应用于

康托集的类似的方法，对某些cookie-cutter集的平均密度进行

估计 ，但这也是相当复杂的。

还有另一种通过奇异积分丁Ix-yl-'du(y)表示平均密度A'(x)的方法．

命题 6.9

设u是R.上的有限测度，设xE R.，对xEE及；> 0,

u(B(x,r))<dr' (6.33)

如果在x处u的平均密度A'(x)存在，则

，：，＿、＿，：＿ 1 r du(y) A'(x) =1 im 一 1 一型2乙乙 ． (6.34) ,--0 2'sllogEl．二一，．）：Ix一yl' ,

证明 在式（6.20）中，记m (r) = P(B(x,r))，则

A'（一：一，一T-'丈一（(e一）dt

128 第8章 迫历定理与分形

作变换；= e-‘及“=e-r然后进行分部积分，利用式（(6.33）及

丁;r-'dm (r) < 00，则有

‘。（一，ogg)=，一，og￡一工二。r一（r)d r 一2一｝log￡一：m (E)￡一（1)+工一。r一，'dm。，， 一logE｝一［10(1)+ f二一，、，‘｝一”·。，」

9卩得式（6.34） 口

反之，奇异积分也可以通过平均密度来表示，即当。-" 0时，

式（(6.34）可变成 r du(Y) ！ 一之卫十 ～ 2'sIlogsIA'(x) (6.35) J。二一，，，‘Ix一YI

因为平均密度，或等价的奇异积分仅只依赖于在x任意小的邻域

中的测度u，所以易见对任意连续函数f:E-'H,

r f(Y)du(Y) ！ 二铎岁号井 ～ 2'sIlogsI f (x)A'(x) (6.36) j1.-rl>, ｝X一Y

事实上，如果f EL'(u)（即f是满足丁If Idu < 00的可测函数），则对A-几乎所有的x，式（(6.36）成立．在调和分析领域，可以利用

Hardy-littlewood最大定理的一个变形证明这个结果，而把对连续函数成立的公式转换成对可积函数同样成立．在、=log2/log3,

E是三分康托集且u = MI：的情形，利用式（6.23)，公式（(6.36)变成对几乎所有的x,

f f (Y)du(Y)＿＿。，＿＿。．，，＿、v。‘nn，，⋯ 丨：，一，，，厂节戈岩一，ogElJ (x) X 0.60912...。

练习 129

6.3注记与参考文献

有关遍历定理的详细论述及它的变化形式可参见Pa rry

(1981）和Petersen (1983）的书。Birkhoff(1931）首先证明了遍历

定理，而本章给出的证明本质上是由Katznelson和Weiss(1982)给出的。

遍历定理对动力系统的应用，特别是对李雅普洛夫指数的

应用是Pollicott(1992）的文章描述的。

Salli(1985）的文章给出了命题6.5的非遍历证明。Bedfor d

和 Fisher (1992)的文章引入 了平均 密度，他们证 明了

cookie-cutter集上平均密度的存在性．本章叙述的方法是 Falconer

(1992b）给出的．Patzschke和Zahle(l993）计算T三 分康托集

情形的平均密度的值，而Leistritz(1994)计算了m部分康托集。

Bedford和Fisher(1992）和Falconer和Xiao(1995）考虑了布朗

轨道的平均密度和其它随机集。Patzschke和Zahle(1993）利用相似的技巧研究了分形函数的局部性质。

练习

6.1推导出中E L'(9)情形下的（XT7不是对任意x, 10(4 , M的 限制）的遍历定理。为做到这点 ，先假设对任意 x, (P(x) >-0,

利用定理6.1到函数币'(x) = max f中(X), M｝上．简言之，修 改定理6.1的证明使中可以是无界的．

6.2脸证不等式（6.22),

6.3设E是满足0<JP'(E)<00的实区间［a,b]的紧子集，又设存在

xEE使平均密度A'(x)存在。f: [a,b]一R,证明如果f是具

有连续导数的单射，则A'(x)等于f (E)在 f (x)的平均密度，

但如果j: [a,b] -,f [a,b]仅仅是A李卜希兹的，则上述结论

未必成立．

130 第6章 遍历定理与分形

6.4验证式（6.17）和（6.18）定义的密度夕(x）和矛(x）是u可All函 数。

6.5设s=log2/log3, E是三分康托集，u- 9PIE，且p>0，证明

与定理6.6类似，。次幕的平均密度浊7' jou(B(x,e-)YeP"dt 存在，且对u-几乎所有的x是常数．

6.6以 “的（右）单边平均密度AR (x卜想犯ou([x,x+e-])/e-"dt, 证明以u作为康托集上的普通浏度，A R(x)存在且几乎处处是 常数。这个值等于什么？其相应的几乎必然的左单边密度又

如何？与u的平均密度有什么关系？

6.7在I是连续函数的情形验证式（6.36),

第7章 更新定理与分形

更新定理是概率分析中的另一个主要定理，它在分形几何中

已得到很好的应用．分形的某些自相似性反映在与更新方程的等

价关系上，因此，更新定理的结论就可以转而给出分形结构的一些信息。

7.1更新定理

设g :m～ R是一给定函数，JU是给定的支撑在【0,+00）上波．雷尔概率测度．称积分方程：

，(t)=g(t)+贡，(t - y)dP(y)（！·“） (7.‘）为更新方程。令人感兴趣的是这个方程的“解”六特别，更新定理将告诉我们当t--+00时f (t)的性状．经常把变量t当作“时间飞因而式（}.1)表示f在时刻t时的值依赖于t之前的值．

更新方程作为积分方程在方程领域中已被广泛研究，同时它

在概率论中也具有基本的重要性．经常被引用的例子是考虑灯泡的更新或替换．在时刻0时，装上一个新的灯泡，在它烧坏的瞬

间换上新灯泡 ，如此进行下去．设 拜为灯泡寿命分布的概

率测度（因而城丨t�tz]）就是灯泡在时间区间【ti,tJ内烧坏的概率），取g(t) = 0 (t < 0), g(t) =1 (t,>- 0)，又设f (t）是到时刻t替换的期

望次数，则f (t)满足方程（(7.1)．为看清这点，设第一次替换发生在时刻y>0，则对t>y ＃（到时刻t的替换次数）=1+＃（到时刻t-y的替换次数）

更新方程可方便地用卷积来表达。回顾一下，如果r是

[0, + 00）上的波雷尔测度，f是R上的波雷尔可测函数，假定下述

132 第7章 更新定理与分形

积分存在，定义卷积介u为：

（，二）(t) =贡，(t - y)du(y) (7.2) 在这一记号下，式（(7.1 )可表成：

f＝9＋f *} (7.3)

下面需要反复计算这个方程对u的卷积，因而定义k一阶卷积

A. k，取拜.“是在0处的单位质量（因而f *u*0=f)，取u.'=u，一

般地，对于k＝1,2,---，令

(f *u*k)(t)＝汀＊u.(‘一”*u)(t) (7.4)

一f-(f *0。一）（卜y)du(y) 一Jo ...f，(t -，，一，k)du(y,)...du(yk) (7.5)

（易见卷积满足结合律，所以在式（7.4）中不必使用括号）。把式（7.2)

反复代入本身k一1次可得到式（(7.5)的形式．和y,+---+y＊的分布对于更新理论而言是一个中心问题．

首先证明，在适当的条件下，更新方程有唯一解。取u为支

撑在［[0，十00）上的波雷尔概率测度，使

“ -- }}t du(t0）一 （7.6)为了避免出现平凡的情形，设u不是集中在0的单点测度，即

u({0}) < 1，显然，对任何a>0

：一r一‘·（！）·， (7.7)这里总是假定9：R-R的不连续点集是离散集，并且存在c>0,

“＞0使

丨9(t)｝, c一“，‘， (t e R) (7.8)

7.1 更新定理 ，33

特别9是有界、可积的．（事实上这一理论在相当弱的条件下就成

立：只需假定9是“直接的黎曼可积”就足够了。） 给定条件（7.6)一（7.8)，就可以表示出更新方程的解。记 了是

满足下列条件的波雷尔可测函数f:'R-'R的空间，丨些丿(t) = 0,且对任意a E R, f在半直线（- 00,a] 上有界。空间 丿 自然是一

个可在其上寻找式（7.1)的解的空间。

命题 7.1

设9和＃满足式（7.6)一（7.8)，则存在唯一的fE丿，满足更新

方程（7.1)，且

f一艺。＊＃·， (7.9)

即

，(t) _ Y-k=n贡⋯丈9(t-Y,一，k)d,u(Y.)...du(Y,) (7.10)进而，f (t)在R上有界，且如果9连续，则f在再上一致连续。

证明 下面在简化了的情况下证明这一命题。即假设存在‘>0

使得

u[O,TI二0 (7.11)

（这一假设在所有应用中都成立，没有这一附加条件的命题的证

明见练习7.1,)

利用式（(7.8)，并注意到JU是概率测度，对于tc-R3,

- f o一}}19(t0一：一，k)Id,u(Y,)...du(Yk) 一// ...上轰 19(t -J} f U k-a，，一，k)Id.u(Y,)...dP(Y.。 ‘c犷⋯方k-n一”.u(Y,)...dP(Y.) (7.1：／

134 第7章 更新定理与分形

、c f0 ...f2/(，一，d,u(y,)...d/.t(Y.) ‘，·，，， = 2c/(1一e-,T) (7.14)

为了得到式（(7.13)，由式（(7.11)知，Y,,”’ ,Y。除去gx.二x,U的一个零测集(Y�-,Y.）之外，均大于等于T。因此级数（(7.10)绝对一致收敛，且对任意t“R

I f (t)1 - 2c/(1一e-0) (7.15)

对于t<0，式（7.12)的界为：

·ao⋯ ('x mC j0 . . . J() k(\-='0·一 ‘,u(Y.)...du(Y.)‘二’““一”，，(7.‘6)这里再一次使用了式（7.11)。把上述结果应用到式（7.10)中，可得，

对任意t<0

If (t)I-<ce"/(1一e- T) (7.17)因此lim：一二f(t)=0，所以fc-F. 对于任意t，则

E（。*,U"k)(t)＝g(t)＋E ((g*u'k)*u)(t) k一0 k-0

一。（艺卜rp m-1J 0 }(。一，‘卜，”“‘，，令m --. 00，并注意到式（(7.14)，由控制收敛定理知f满足式

(7.1）。

现假定f �f 2E F均为式（(7.1)的解，则f0 五一几E f满

足f0=fo *u，反复与u做卷积，则有fo＝fo＊u *kto =lo 对所有k成立。这样对任意“6风及k = 1,2,---

IIo（！，，一，，』．＋．工。to（！－y. - ... - yk)du(y.，一。＊，

7.， 更新定理 135

·于二丨；‘卜，】一州，⋯‘“。＊， u-rl一·一y, >o

‘。，。。．f‘，，、，、r-...f二。：，。．f‘，，、！。：一，，一，AA Idly、⋯d，，‘、，、 0“一“ J0 j0 ，“

、。，，。．f‘，，、．、。，，。．了‘，，、．户。厂x，一，丬，，‘、，八“ V41－二 “ \Jo ／

给定。>0，可选充分大的“使上式第一项小于奋。（由于lim,＿一二fa(v）一。）。然后，选充分大的、使上式第二项小于专。（利用式（(7.7)及f.的有界性），这样对任意“>0, IL (01<8，所以f<, (t) = 0，即对任意t E}, f (t)=f2 (t) o

最后证明：如果9连续，则l一致连续。给定“>0，由式(7.8)，如果选择T充分大，对任意Itl>T, 19(t)I<-Ee-专“。由此及9在区间〔一T-1,T+ 1]上的一致连续性可推知：存在ho>0，对

任意tER及0<h<ho

19(t+h）一。(t)1 5 2Ee-slq/2 (7.18)在式(7.9）或式（7.10）中，用g(h +·）一9('）替代9('）即得：

f（。＋h）一f（：）＝Y- ((9(h＋·）一9(-))* P*)(t).

用式（7.18）取代式（7.8）可得到Ig(t+h）一9(t)1的有界性，利用这

一点并把对式（7.15)的估计应用到f (t+h)一f (t)上，即得：对任

意t c- A及0<h-ho， If (t+h）一f (t)I-<4E/(1一e-a*s)成立．由于“可任意小，所以了在IRA上一致连续。口

在更新理论中有两种相当不同的情况。第一种情形是，lu可

能由某个：>0的整数倍的离散集所支撑，在这种情况下，对所有

的k， W'由同一个集所支撑。因而由式（(7.10）知f (t)仅依赖于

g (t一kT), k=0,1,2,---。而另一种情形，是这样的，不存在．为

136 第7章 更新定理与分形

了了解这一差别的意义，再一次考虑灯泡替换的例子。如果生产

工艺保证灯泡总是在 24小时的整数倍烧坏，若第一个灯泡是在午

夜安装；则更新仅发生在午夜．另一方面，如果灯泡的寿命分布不具有这种周期性，则经过相当长时间之后，灯泡的替换在白天

或黑夜都在可能发生。

由此，可定义测度u是T-算术的：如果T>0是使得u的支撑包

含在加法群‘7Z -----{Tk; k e黔中的最大正数．如果这样的，不存在，则称u是昨T-算术的．作为一个简单的例子，假定＃的支撑

是两点集{Yl,Y2)，这里Y�Y2 > 0，则夕：／夕2为无理数时，u是非算术的．当Y,/Y7为有理数时，设Yl-klT, Y]=气，，其中k,, k,是互质的整数，则u是T一算术的。类似地，例如u的支撑包含区间，则u

是非算术的．

更新定理考虑当t～ 00时更新方程的解f的极限性状。其主要结论是：在非算术的情形下，lim：一二f(t)存在；而在T-算术的情形下，I渐近于以：为周期的周期函数。 更新定理有各种各样的证明，但没有特别初等的证明。这里

给出了两种证明：第一种证明用到了概率论的思想，并且通过“游

戏”给予直观的解释。第二种证明利用傅立叶变换，并需要借助

于Tauberian定理．

定理 7.2（更新定理）

设9,u满足式（7.6)一（7.s), f e F满足更新方程(7.1)。如果u是非算术的，则

，、，（！卜“一f-I。（，）‘， （，·，，）如果u是T一算术的，则对任意Y e 10,T),

丨im f (kT＋Y）一“一’，茎二g(1T+Y) (7.20)

7.1 更新定理 137

第一种证明 这一证明利用了概率论的思想。这里给出算术

情形的证明，虽然它也适用于非算术的情形。通过把坐标放大或

缩小适当的倍数，可以认为u是1一算术的，再通过坐标平移，可

设式（7.20）中的Y=0,

下面用概率的术语来表述更新方程（(7.10)的解．设（Y19 Y29...)是独立的同以概率测度u为分布的随机变量序列（因而对于任意

j,u(A）是半A的概率）。记P是序列（Y�玖，⋯）的集上的乘积测度，〔是相应于P的期望．用这些记号，式（7.10)可写成：

l (t)＝E E (g(t一Y,一一 Yk）） 几＝0

＝艺g(i)P(存在k，使Y,＋⋯＋Y,＝t-1) (7.21) ］一 国

固定m任V，考虑下列二人游戏：设有一块“板子”，由一系列

标号为卜m, -m + 1,..., -1,0,1,2,---｝的“正方形”组成，见图7.1.甲从第一m正方形开始，乙从第0正方形开始．两人反复掷

一枚“骰子”以决定移动的步数．设掷出x点的概率为u({x})，并且如果掷出x点，就向前走x步。直观上很明显（至少对于玩过

板子游戏的人来说），如果Y是一个很大的整数，则实际上甲、乙

有同样的机会在游戏的某一步到达第Y正方形，尽管开始的位

置不同。为了看清这一点，假设概率测度u是由有限整数点集

{1}...}好所支撑，且u({1})>0，所以游戏者每次移动的位置总是

甲

｝'}崖或 -1 0 l 2薰 5 6 1 8 乙

图7.1 更新定理证明中的‘游戏’．以概率 1游戏者最终到达

同一个正方形上

138 第7章 更新定理与分形

在1到R之间，并且有一正的概率只移动一步。游戏者以下述方

式依次移动位置，甲先掷“骰子”、移动，并重复这一过程，直到他

的位置到达乙，或者超过乙的位置。然后乙掷“骰子”、移动、直到

他的位置到达甲，或超过甲的位置．之后又轮到甲，如此下去。

则以概率1，甲、乙中有一个最终会到达另一人所占据的正方形．

这是因为在每次轮流开始时，两人之间的位置不超过R，故至少

有“=P({1})Q>0的概率，在本轮结束时，两人占据相同位置，而与以前发生的事是相互独立的。这样在n次轮流之前甲、乙没有

相遇的概率最多为（1一“）”～0，当n-}oo时。上述讨论适用于一

般的＃．1一算术的条件意味着，甲、乙二人在有限次轮流中相遇

这一事件有正的概率。条件（7.6)保证：由每掷一次“骰子”而移动经过的正方形个数的期望值是有限的．

显然，一旦甲、乙位于同一正方形，则甲、乙沿给定的正方形

序列行进的概率相同。记S。为“甲、乙第一个同时到达的正方形为正方形，：”这一事件，设；）n，则

P（甲到达rIS") = P（乙到达rIS"),

这里的概率是在S。条件下的条件概率。由游戏的“平移不变性”，

对r>, m>- 0,

IP（乙到达；+m）一P(乙到达r)I

＝丨P（甲到达r）一P（乙到达r)I

一xY-"-o尸（甲，哒：“·，一‘乙，哒·，“·，，尸‘“·，一 成艺P (S")

一（。xU： S""=,+I）一0并由上一段叙述知，当；--i 00时，上式对m一致收敛到0，因此

{P(乙到达r)),'.：是哥西序列，所以，

7.1 更新定理 139

P（乙到达r)～ n (7.22)

当r一00对某一n成立．由式（(7.6)知，乙每掷一次“骰子”后行

进经过的正方形个数的平均值为艺t,u({t})一A，显然。一).-I．通 仁一0

过随机变量Y，来解释式（(7.22）就是：当r--*. oo,

P(存在k，使Y,＋⋯＋Y,＝r)～n＝2一’，

这样，当t -" 00时，和式（(7.21）中的“第.1项”收敛于9(.i);-1，由式（(7.8),

D9(.l A＜二，而＃是概率测度，由控制收敛定理即知I (t) --）＝ 一国

Y- 9(.1）之一，。］＝一的

＊第二种证明 这种方法利用了傅立叶变换的性质和维纳的

Tauberian定理。

这关系到函数的卷积（(I*妈(x)三仁.I (x- Y)} (Y)dy当r --w 0o时极限的存在性问题．维纳的Tauberian定理指出：如果I是R

上的有界函数，并且存在函数V E L' (嘟 使当 x～的时，

U*哟(x)～1，则对任意(p EL'(R)

U·(p)(x) -‘上0(Y)dy'炙lk(Y)dy (7.23)倘若沙的傅立叶变换不为0，即对任意的。任R,

价(u) 0 0 (7.24)

其中叭。）一丁几e'"s叔x)d二是价的傅立叶变换。 ［对于“充分好”的函数，这一定理的直观考虑方式是：如果

}(U)o0，而巾是一个其傅立叶变换中迅速下降的函数，则可由

叔“）一叔u)h (u）来定义h (u)，从而由卷积定理，(Parch，这里h是傅立叶变换为h的函数，形式上有

U·，）‘·卜（（介价）·”）（·卜m0)*h)(x)-J-二 U*m‘）（一，）“。”，(7.25)

140 第7章 更新定理与分形

只要hc-Ll(卿，上式积分的主要贡献来自“相对较小”的Y。所以，如果x非常大，则对使h (y)有意义的Y,仃＊哟(x一Y)接近于1,

于是式（(7.25）的积分接近于1丁%h (y)dy。由于O=h4，所以仁二q(Y)dy = J'- . 0(Y)dy j'mh (y)d y，因而式（7.23）成立。］ 下面在u是非算术的情况下，介绍更新定理的Tauberian证

明．首先假设9是连续的，则由命题7.1知f一致连续．对式(7.1)积分、移项并交换积分次序，得二

fs-一。。（！）‘！一fy-f0＿二【，(t) -，(t - y)]dtdu(y) 一仁。上：＿，，(t)dtdu(y) 一卫一二f,}- x-t，(t)du(y)dt 一卫＿二，（！）；【二一：,ao)dt

因此，如果定义0(t) = 0，当t<0;沙(t) = u([t, 00))，当t>0．则

f F二 9(t)dta一仁f (0（一）dt一。·＊）（·）(7.26)特别，当x～00时

(f *0)(x）一f-二 g(t)dt (7.27)m维纳的定理（(7.23）告诉我们：如果傅立叶变换条件（(7.24)成立，则

对任意中E L'嘟

(f·‘，‘·，一f-'O.g(t)dt f -二}y)dy' f }(Y)dy 一“-} f二 9(t)dt f x二 4(Y)dy (7.28)

7.1 更新定理 ，41

因为由式（7.6), f'.O (y)d，一f, .u([t, 00))d‘一介护“（‘）一之。为了验证式（(7.24)，可利用u的非算术性．对于“=0, 0 (0)一丁s.} (y)dy=之> 0;对于。960，由分部积分得：

ku卜f}0一（[t,oo))dt 一（-U([0,00))- J1"el"ldu(t)/'iuo 一（1一zJ 0一（t)J'iu

由于p([0, 00)) =1，所以如果存在u00，使1=丁o e'0'du(t)，唯一的可能是对几乎所有的t， e'" = 1，这就要求对u'几乎所有的t，存在整数

n，使t=2nn/u，因而u是（2'71/u)·算术的。因此，对任意u E IA,

沙(u) 96 0，即条件（7.24）成立，所以式（7.28）成立．

在式（(7.28）中，以f (X)代替(f＊O)(X)，并选取中接近“狄拉克

6-函数”．由命题7. 1, f在再上一致连续，因而对任意“>0，存在6>0，当。<h<-6时，对任意的XER, If (X+ h）一f WI < E．选取

q5>0，使得 犷二(P(y) ay= 1且当lyl >- 6时 (p (y) = 0，则有If (X）一汀* 4)(x)1 <“对任意x成立．由于“可以选的任意小，故

由式（7.28）可得：当x～ 00时，f (x) -. 1.-,J0}9(t)dt，这就是式（7.19), 最后，可以把这一定理推广到9在一个离散点集上不连续的情

况。任意给定“>0，可找到9u,9, : fP - R，使9-90+9,，其中90

是连续的，而9, > 0，且犷}g, (t)dt < e．类似地，可找到连续函数92：R一fa使92 > 9,，且犷.92(t)dt < 2E，并且可进一步要求9019．和92对常数。满足有界条件（(7.8)．设f,沂和几是与9019：和92对应的更新方程的解（由式（(7.9)给出）。上面已经证明了更新定理对于连

续函数90192成立，故当X-. 00时

142 第7章 更新定理与分形

，。（·）一“一}}二 9o(t)dar且0‘，‘二：up了】（·）‘，‘二：PA（·卜“一炙g,(t)dt＜，“一从而，如果x充分大，则

if（·卜“一}} g(t)dt 、｝，(x) - fa（·）｝·！；（·，一“一f -I m！一 ·“一f--.｝。。（！，一。(t)ldt 一；（·）。·卜(x) -“一丈一（t)d！卜“一犷二。,(t)dt ＜3之一，。

因此，在这种情况下结论（7.19)成立． 口

至于有关的应用，lu具有相当特殊的形式，它支撑在一有限

集上，并且可用下面的方式表述更新定理．称正实数集｛Y�...Y.)是z_茸术的，如果T>0是使得每个Y，都可表成？的整数倍的最大实数．如果这样的，不存在，则称该集合是柞算术的．

系 7.3

设m >, 2, Y,, ...,Y. > 0是“时间”，p,,...,P.>0是“概率”，因而

艺P，二1。设9满足式（(7.8)，并设IEF满足下面形式的更新方程：J_1

I（：）一。（‘）＋E Pi (t - yi) (7.29) ］一1

如果行,,...,Y.｝是非算术的，则

7.2 对分形的应用 ，43

lim f (t，一“一’丁x9(Y)dy如果｛Y� " . ,Y.｝是T-算术的，则

lim f (kT＋Y)＝1.一’E 9UT+，） k- 戈 丿，一沈

对任意Y。[0,T)成立，这里之＝艺Y;P,。 ,a,

证明 如果取r是支撑在｛YP...,Y�｝的概率测度，使对}=1}...}yn}城｛助）一P;，则系7.3的结论正好是定理7.2的复述。{y，..... Y.｝与＃的T一算术或非算术的定义正好相一致． 口

7.2对分形的应用

设q (r）是自相似分形E在尺度；下的度量值，利用自相似性，对r'> r，可以写出用q (r'）表示q (r）的关系式．利用变换可把这

种关系转化为更新方程．由更新定理保证的解的极限性态正好与当r-0时，q (r）的性态相对应。

通过例子可很好地说明这一问题。设｛Fl,...,F.｝是迭代函数系，这里F‘是压缩比为r，的压缩映射，EAR’是吸引子（见2.2节），则E= U",_,F,(E)，为了方便起见，设集的并是不交的。像定

义式（2.1）一（2.3）一样，记N(r)＝N,(E）为E的覆盖数函数，即

直径为r的E的覆盖所包含的集的最少个数。已经知道这时盒维

数dim声=dimBE=s，这里s满足艺r,'= 1，见定理2.7，因此

lim logN(r)/0 （一logr）一s，不难证明：对任意r<1，存在c�c2 > 0,使得。,r'- N(r) - c,r',更新定理能使我们获得当；较小时的有关N (r)的更为精确的信息．回顾一下f (r)一 g (r)的意义是：

lim f (r)/g(r）一1。

144 第7章 更新定理与分形

命题 7.4

设E是如上所述的自相似集,N(r）为E的覆盖数函数．如果

｛logr厂’，⋯，logr奋’｝是非算术的，则存在c>0，使当r-0时， N(r)～cr一， (7.30)

如果｛logr, ',---,logr-'｝是T-算术的，则r一0时 N(r）一 r-'p（一logr) (7.31)

这里p是一具有周期r的正函数。

证明 设d=min;,,jdist伍(E),F, (E)), N, (r）是直径为r的覆盖F, (E)的集的最少个数。注意到，如果一个集的直径；<d，则该集最多

只能与一个F, (E）相交。但如果；>d，则该集可以与若干个F,习相交．由此，可计算覆盖E所需的直径为r的集的个数：

N(r)＝艺N;(r）一h (r)

这里，当0<r<d时，h(r)=0；而当r>, d时，h (r) > 0．由于F;(E)

与E相似，相似比为r,，故Ni-(r) = N(r/r,)，因此

N(r）二艺N(r/r,）一h (r) (7.32)

这是反映E的自相似性的方程。见图7.2。用如下代换变换式

(7.32)，即令

r=e一‘；j(t)=e一’N(e一‘）；9(t) = e一"h (e一‘） (7.33)

则

N(e一）二艺e' gag r, e一’。‘一N(e一“are）一h (e一‘）

两端乘以e -“得

f（：）＝艺r; f (t - logr, '）一g(t) (7.34)

这里、二dim.E，则艺r：一1，所以它是带有“时间”Y,=logr,'}u概

7.2对分形的应用 145

率”Pi =r,的更新方程(7.29),

r

一 ＿＿ E

〔获刃三D （三沙 ‘乌恋王〔三） （圣）三扫 C三〕 、．．．．．．．．．．，．卩．． 、．．．．．．．护卩－－．J

x I/rlr rrlr}二 ＠鑫x I /r= 〔篷夔荻羹沙 逐巫多丿

r/r2

图7.2 图中的自相似集F,由相似比为r,,r2两部分组成，把F.的左、右

两部分，分别放大 1/r� 1/r2倍，可发现E的r-班盖、r/r，一班盖

及r/r2-班盖之间的关系．由此得出关系式（(7.32)

由于N(r)是整数值且是不降的．因而I及h有离散的不连续点集。由于当0<r<d时，h(r)=0，故t）一log d时，9(t) = 0,遗憾的是，当t～一00时，抓t)无界，所以按通常情况不能将更

新定理用于式（7.34)．为了解决这一问题，修改I和9的定义如

下 ：

，o(t)一｛；（t，t<0(r) t >, 0 f0 。＜0

yak/，一l“（‘，一‘，：履一，，r, f（‘一’ogr,') t>,0则对 t任R

I .(t) =Y- r,' f of：一log r;'）一go(t) (7.35) (=1

这里，如果t 0[0，一log min {r,,...,r.,d )]，则go(t) = 00

146 第7章 更新定理与分形

由系7.3可推知：在非算术情形下，存在。>0，使.f (t) = I .(t)

～。；而在算术情形下j (t)渐近于一正周期函数。由变换（(7.33)

的逆变换可推出式（7.30）和式（7.31)。口

注意到式（7.30）中的常数。是由更新定理通过9。得出的，因此，当r- 0时N(r）的极限可用N(r）在1 >r>min{r,,---,r.,d｝范围上的值表示出来。而式（(7.31)中的函数P与此类似。由于

{logr, ',....logr.'}“通常”是非算术的（即存在i:Aj，使logr, '/log叮’是无理数），所以“通常”的结论是r'N(r)收敛于一极限值．式（7.31)

的渐近周期性是一种“例外”的情况，虽然在相似比r‘都相同的自相似集（如三分康托集）会出现这种情况。

为了获得更精确的渐近形式，下面考虑直线的子集。设E是

[0,1]的自相似子集，它是由相似比为r�...,r。的相似变换生成，

并假定在变换的第一步，区间之间的间隙的长度为bl'...,b._,o定义E的间隙计数函数：

G(r)=$${E的长度大于等于r的补区间｝

（这样，对于三分康托集，r,=rz=b,=1/3，如果3-1"'1 <r,<3-k,则G(r)=2‘一1)．对于较小的r，更新定理的方法适宜用于估计

G (r),

命题 7.5

设E是如上所述的［[0,1 ]的自相似子集．如果｛{logr, ',

logr-'｝是非算术集，1.11 r‘0时，

G (r）一r-'s-'l b;l I r,' logr, ' (7.36)

如果｛logr,...... logr,'｝是T-算术的，则对任意，>0，当k～ 00时

G（，，“）一（“。‘）一’(1一e一”）一’Y-exp(slogx-srL (log b;' 讧＝、

7.2 对分形的应用 147

·logx)／·」）·（客r; logr,】）一 （7.37)这里P=e-，而符号“Lx J”表示“不超过x的最大整数”。

证明 注意到对每个i, F, (E)这一部分上的每一间隙的长度等于E的相应的间隙长度乘以r,，因此可以通过计算每一部分的间隙

个数，再加上每部分之间的间隙个数来求出 E的间隙个数，则

G (r）一艺G (r/r, )＋#{i：b, >, r}

这一公式当r＞0时成立，且当r,> l时，上式右边第二项变为0,

做变换

r=e一‘；f (t)=e-0G(e一‘）；9(t)=e-"#{i：b,>,e一‘｝则可得与式（7.34）类似的等式：

I（‘）＝艺r, f (t-logr,')＋g(t) (7.38) I_

这里当‘续。时，f (t）一。（：）一。。取s=dimBE=dim�E，则艺r;=1,

且I9 (t) I -< (m一1)e,．所以可直接将更新定理应用于式（(7.38),由于

xf x。（‘，‘r一Mf-,01 b, e-"d艺 一I、一’b;

由系7.3得：

！＊，(t) = s-'}”：／客。logr, '再把上式变换回去，就得到式（7.36), T一算术的情况可用同样的

方法证明．口

1a$ 第7章 更新定理与分形

命题7.5可用来推导E的r-邻域的勒贝格测度 V(r)的渐近

形态．见3.2节。

系 7.6

设￡是如上所述的［0,1］的自相似子集，假定｛logr; ...... logr.' )是非算术的，则当：～0时

V (r卜r！一2卜！（卜s）一客。：／客r,' log r,-'证明 这里只给出证明的梗概，需要的精确的估计可像式（3.17)那样较容易地补上．

V(r）一2r(G(2r)+ 1) +艺{JAJA是长度小于2r的间隙｝(7.39)这里G是间隙计数函数。G (r）一cr-'，而。是式（7.36）中r-’的系数，于是

：｛｝川：，是长度/1、于2r的间隙｝一丈}td G(t) - 21t-'dtcSJa ＝cs(1一s）一’(2r)，一，

由式（7.39)

V(r）一 c(2r)’一’＋cs(1一s)-'(2r)’一’

＝c(2r)’一’(1一s）一’

即为所证。 口

当然在算术的情况下有与系7.6类似的结论（是更复杂凌乱的公式）。

更新定理的方法可以应用于许多其它的集与量上。基本思想

总是利用自相似性写出迭代关系，而后把它变换成更新方程，最

7.3 注记与参考文献 149

后应用更新定理。这种方法可用于具有较弱分离条件的集上，如

开集条件，见练习7.4．已导出的更新定理的更完善的形式可用

于研究近似自相似集，如cookie-cutter集或保形迭代函数系的吸

引子。

这一方法可用于考察反映自相似集的分形性质的各种不同

量的无穷小极限。在12.3节中给出了对分形域上的热方程解的

极限形式的应用实例。

7.3注记与参考文献 更新定理的叙述可在许多概率论的教科书中找到 ，比如

Feller (1966）或Grimmett与Stirziker (1992)。更新定理的Tauberian证明可在Rudin(1973）的书中找到，用概率论方法的

证明见Lalley(1991)。其它证明见Lindvall(1977）及Levitin与

Vassiliev(1996).

Lalley(l988,1991)将更新理论用于分形的覆盖函数，这些论

文中的第一篇处理了具有开集分离条件的自相似集。Kigami与Lapidus(1993）和Falconer(1995b）把更新理论的方法用于自相似集的间隙计数函数以及；一邻域的长度。更新定理适用于非线

性IFS吸引子（如cookie -cutter集）的一般情况见Lalley(1989),那里给出了许多应用例子。

练 习7.1在没有假设（(7.11)的条件下，证明命题7.1,（注：需要多做一

卢、工作来话计（(7.12)式中的和艺e-'”一”-... -yd以获得像式（(7.15)

和式（(7.17)的估计，而这可利用式（(7.7)做为丁⋯丁#{k:a-y,+ ...+y,-<b}du(y)...du(ym), (a<b)的界而得列。

7.2在非算术的情形下，改写定理7.2的第一个证明。（现在“游

巧。 第7章 更新定理与分形

戏”要在实直线上进行，沿直线移动的距离由概率测度u

确定。）

7.3对三分康托集，详细求出N(r)，并验证式（(7.31)成立，这里P

是其有周期log3的周期（昨常数值）函数．

7.4设￡是von Koch曲线，N (r）是E的覆盖数函数。证明

N(r) = 4N(3r) - h (r)，这里当r< 1/6时，Ih(r)I<6.由此推出

N(r)～ r-log<�0e'P(-logr)．这里P具有周期log3。从而更新 理论的方法可用于不严格分离的自相似集．

7. 5设E是三分康托集 ，u是3-L、在E上的限制，s=log2/log3.

定义M(r）二（u x u){(x,Y): Ix一YI Sr}=fu(B(x,r))du(x)。证明 M (r) =音 M (3 r) +g (r)，这里9 (r) = (u x u) { (x, Y)

2 、 ， 」、，， ＿＿

告<-Ix-YI-r}。由此研究当；一。时，M(r)的性质。7.6设E c R"是IFS的自相似吸引子，其相似变换｛Fl,...,F.｝的 相似比为r，，⋯，r．，且每一部分F,(E)互不相交。固定x O E, 定义N(r)=＃{(i,,⋯ ,ik): dist(F,，o...oF,,x,E)>- r｝试研究当 ；～0时，N(r）的渐近形态。

第8章 鞅与分形

鞅收敛定理给出了保证随机变量或函数序列收敛的一般条

件。在本章中，将证明这一定理，并给出这一定理在分形几何中

的两种相当不同的应用。

8.1 鞅与收敛定理 虽然鞅收敛定理可表示为分析上的结果，并且的确下面的应

用之一就是分析上的内容，但把鞅看作概率术语是更自然的．

“鞅”这个词来源于经典的赌博名词（意思是每次输掉之后，再把

赌注加倍），因而自然地把鞅直观地认为是关于赌博的内容。 赌徒同赌场进行一序列赌博，赌博在下列意义上是公平的，即

无论赌注多大，输、赢的均值为00（因而下面的掷骰子游戏就属

于这种情况。即赌博者在没有掷到6点时，输掉其赌注；而在出

现6点时，赢得其赌注6倍的钱。）如果赌博者k次赌博之后的赌

本用随机变量Y＊表示，则赌博的公正性要求Y＊十，的期望值等于Yk，而与赌注多大以及以前的输赢无关。鞅收敛定理的一个版本

是：如果对于所有的k, Yk >, 0(即赌博者不允许欠债），则以概率1,Y＊收敛于随机变量Y，而Y满足E(Y)<- E (Yo)，这里Y。是初始赌本，E表示数学期望．（在赌博例子中Y等干0的概率很大，即使

赌博者极为小心，Y>0也仅只有正的概率）。无论赌博者使用何

种“系统”来确定其第k次的赌注（可以依据前k一1次赌博的输

赢而定。）。Y＊几乎必然收敛于一最终值Y，而Y的期望不超过初

始赌本。特别，这意味着不存在任何一种赌博系统能使赌博者获

得利润。

与此类似的想法大量地存在于概率分析中。下面从样本空间

Q开始，了是其上的事件u一域（即了对可数并、交以及取补运算

152 第8章 鞅与分形

是封闭的）。在其上定义概率测度尸。设 天 C男 C ...匚J是一

列非降的事件Q_域，并且假定F是包含所有 天的最小‘一域．

对于k=0,1,2,⋯设Yk是天上的随机变量。称Yk或更准确地(Yk ,天）是鞅，如果对于任意的k = 0, 1, 2,⋯

E（｝Y,I)＜0o (8.1)

且

E(Yk,1l天）＝Yk (8.2)

条件（8.2)，即 Yk.、对 天的条件期望等干Yk，其基本意义是：无论过程的前k步发生了什么，Yk十，的期望总是等于Yk。［注：在技术上，关于对6一域的条件期望的测度论的定义是相当

复杂的。但对本书来说把 E( Yk+,l为看成是在已知Yo， ...， Y的条件下计算出来的Yk,，的平均值就足够了。下面将用到的条件期望的性质在这种意义的解释下是很自然的。］

在赌博的例子中，天代表前k步所有可能收入的集合。则式(8.2)的意义就是：无论赌博的前k步发生了什么，赌博者在第k+1

次赌博之后的赌本Yk +，的平均值等于赌博之前的赌本 Y。这反映了游戏的公平性。

由式（8.2)可得到无条件期望

E（Yk十，）=E（Y) (8.3)

即在不知道以前发生了什么情况的条件下，Yk十，的平均值与Y的平均值相同。

很多定理在条件（8.2)变弱为不等式时就能成立。设对于

k = 0,1,2,---，E(IYU<-，称（Yk，刃）是土鞍，如果

〔（Yk十,I为簇Yk (8.4)称（Yk，刀是下鞍，如果

E（矶＋：｝X)% Yk (8.s)（从而，在上鞅的情况下，对赌场有利；而在下鞅的情况下，对赌

博者有利。）

8.1 鞅与收敛定理 ，53

当函数序列定义在嵌套集上时，鞅可看作是分析上的方法而

不是概率上的。一种简单的情况可用图形直观表示，见图8.1,

设E是一集合，p是E上的有限波雷尔测度，Ca, C',⋯是由E的具有正测度的不交子集构成的有限集类，并且对于每个 k,

E= U{AEC｝，而且 C中任一集合均为叹＋，中集的不交并。设天是由Ck生成的6-域，在这种情况下，它是山叹中的集通过求并运算而得到的有限集族。对于k=0,1,2,⋯设

＿．＿．⋯⋯ — ，。

＿＿～＿ ＿～＿～＿ 一＿＿ 一一一～一9,

·－－一一－二 9,

－···－～一－－－ ．，“‘．’．～．‘．“‘，，

！一 ～一 －一一－-i co

卜一一一一一一一一一一一州卜一一 C,

卜— 艹一一一一一一十— 一一卜一— 一」c；

卜－一丬一一一＋一一丬一一一十－ C,

图8.1 函数序列份J是一个鞅,9＊在 叮的每个区间上是一常数，并且对任

意x EA,9k(x)等于9k"：在 9的一个区间A上的平均值

:1k: E-[0，十OD）按如下方式定义‘对任意AE叮

＿ 154 第8章 鞅与分形一 —

gk(x）为常数，当x EA (8.6)且

9k(x) =。（，）一工。＊＋，(Y)dll(Y) (8.7)当.xeA即9＊在 叹中的集A的任一点处的值等于9k +，在A上的平均值。

这里用分析的方法解释概率概念，用函数代替了随机变量；

用积分代替了期望。条件（(8.6）说明9、是天一可测的；而式（(8.7)

则是鞅的条件（(8.2)。因此可以认为（(9k ,天）是鞅． 为什么鞅和上鞅是重要的？其主要原因是在非常弱的假设下，

它们以概率 1收敛（或者用分析的术语来说一几乎处处收敛）。

鞅收敛定理的标准证明是借助上交叉的概念。固定两个数a<b,

考虑区间［[a,b]的上交叉数，即Y＊从小于“变化为超过b的变化次数。更正规地，定义到时刻n为止，由Y＊产生的［[a,b]的上交

Y -数u。为满足下列条件的最大整数M：如果存在整数R,，S，使 0<R,＜S,＜Rz＜S,＜⋯＜R,�<Sn,l<。 (8.8)

并且对所有 1 <i<-M

YR。 < a，YS‘>b设随机整数S,和R‘是如此选取的：S‘是大于R;的最小整数，而

R;是大于S，一，的最小整数，由此可保证式（(8.8)成立。 鞅收敛定理证明的关键是下面的关于上交叉数期望的界。

命题 8.1（上交叉引理）

设Y＊是上鞅，U。是到时刻n区间[a,b]的上交叉数，则 ＿，，、，E（I y ＋Ia E(U＿）, 二竺止上二』卫‘二二二二 (8.9) 一、 "丿 6一a

证明 定义新的过程Zk，它“尾随”Yk。在赌博的例子中，我们把

Z＊看作第二个赌博者乙在k次赌博之后的赌本（允许是负的），乙

8.1 鞅与收敛定理 155

的每局赌注以下述方式依赖于甲（赌博者甲如前所述，其赌本为

Yk)．赌博者乙的初始赌本Zo=o，并且乙在甲的赌本首次小于a

的时刻R：之前不参与赌博．从时刻R。起，乙开始下注，其赌注与甲相同，直到甲的赌本超过b之时S：为止，然后停止下注。当甲的赌本再次低于a时，乙又开始下注，赌注大小与甲相同，直

到甲的赌本再一次超过b，如此下去，见图8.2．正常情况下，不

能有许多上交叉，否则乙的尾随于甲的系统将导致一个不可思议

的利润。在数学上对于式（8.8)中的上交叉，定义

（Z, （如果0,<k <R，或 S.,<k <R ，） Z。十一 K (8.10)

l及＋Yk,，一Yk （如果R,<k <S;)

（第一种情况是乙“钉住”，第二种情况乙的赢得与甲相同．）由于

Y＊是上鞅，由式（8.10)和（8.4)得：

fZ, （如果0,<k <R．或S,Sk<R＿，） E（2 ．｝If.、二K

} Zk+E(Y＊十，｝为一Yk（如果R;<k<S)

（Zk

（这说明无论以前的赌博收入是多少，乙在每次赌博之后的期望

赌本最多是这次赌博之前的赌本．乙所使用的系统，尽管利用了

甲，但仍然不能产生期待的利润。）取无条件期望，则有

E (Z,+,) < E (Z,)，因此E (Zj < E (Z.）二0。 由于对【“，b]的每一个上交叉Zk至少增加b-a，所以

Z}>(b一a)U.+min{0, Y二一a) (8.11)（上式中的第二项是考虑到Y。在时刻n小于a的可能性）对式(8.11)取无条件期望，得

O>,E(Zj>,(b一a)E (U,)+E (min {0, Y一a}) ） (b一a)E（认）＋E（一民卜la丨）

由此可得式（8.9)。 口

156 第8章 鞅与分形

‘匕‘一适一一一一 一 ／ 一 ． 一 Y

丨 权 ／ 一 '}-, / Z‘

。忄冖～一～一只闷厂一一一一一一一 一－一奋

图8.2 上交又引理的证明．赌博者乙（(k次赌博之后的赌本为Zk)在赌博者

甲（其赌本为Yk)“上交叉”时下注，图中以实线表示．上交叉序列

为乙带来了利润．如果上交叉经常出现，这将意味着乙有一个“直

的系统’，但在鞅或上鞅的情况下，这是不可能的

现在可以容易地得出上鞅收敛定理．

定理 8.2 （上鞅收敛定理）

设Y，是鞅或上鞅，且 supk E（｝Ykl)＜00 (8.12)

则存在随机变量（即P一可测函数）Y，使得 Yk～ Y, a. s，进而

8.1 鞅与收敛定理 157

E (I YI) < 1噢 inf E (I Y,I)·因此I YI < o0，a.s,证明 由命题8.1以及式（(8.12)知：对每对有理数a<b，随机变

量Y＊以概率 1产生有限次［[a,b]的上交叉。由于有可数多个有理

数对，因而以概率1，随机变量Y＊在每个有理区问[a,b]发生有限

次上交叉。如果一个实数序列{Yk} k=。不收敛，则可找到有理数。，

b，使lim ik"可y<ak<b<li刃supyk，特别地有｛Yk策。在［[a,b〕发生无穷多次上交叉。由此可得结论：矶以概率1收敛。定义Y----

li玛三可Y，则Yk一Y a.s．由Fatou引理E(IYI)=E (Ii叨nfIYkl)

lim ikti叮E(IY,I)<sup E(IYk1)<oo所以｝YI＜oo a. s。 口

下面的应用将考虑非负（上）鞅（即对任意k, Yk,>O)对此有下列的推论。

系 8.3

给定非负上鞅Yk，则存在非负随机变量Y，使Y＊几乎必然收

敛于Yo而且0<E(Y)<吮fE(Y,),证明 由于对任意k,0<E(IYk1)-E(Y,)<E(Y,)< 00，由定理8.2即

得所要结论。 口

定理8.2或系8.3这种形式的鞅收敛定理有一个缺点，即可

能会出现这种情况：非负鞅玖，对任意k, E(Yk)= E(Ya)>0成立，但极限 Y却几乎处处为0。在许多应用问题当中需要得到至少有

正的概率使Y>0＿的结论。因此现在增加条件来保证这个性质成

立。

鞅Yk称为是Lz·有界鞅，如果

supoI}k<、E（玲）＜00 (8.13)

158 第8章 鞅与分形

系 8.4

设Yk是L2一有界鞅，则存在随机变量Y，使Yk -> Y, a.s且当k -.oo时 E (I Y一Ykl)-<E((Y一Yk )Z)告～0,特别，对任意k，〔(Y)=E (Yk).

证明 注意到加果j>k，则〔(YjYj.X)=E(Yjl X)Yk=Yk，取无条件期望，E(乙玖）二E(欢），于是对m}l

务‘〔‘Y厂Yj-l)”一}(E(Yj”一2E (YJY，一’＋E (Y;-))

一Y_ (Ej=（℃，一E‘℃一” 二E (Y二）一E（欢）

所以由式（(8.13）知艺E (()'j一乙一，)2) < 00。同理，当。>k时 ］＝1

E ((Y。一Yk)2)＝E (Y,'-�）一E (Y,）一Y_ E ((Yj一1'j- )2) 丿-k+l

令m～ 00，由Fa to u引理，当k～ 00时

E ((Y一‘k)2) -<， Lrj-k+l〔((Yj一Y，一）’）一0利用哥西一许瓦兹不等式

IE（｝YI）一：(I Y,I)i -<E (I Y一Y} 1) -< E ((Y一y J2)～0由于Y＊是鞅，由式（8.3)知E (Y,）是常数，因而命题得证．口

可以把鞅收敛定理改写成分析的形式，以得出函数序列几乎

处处收敛的条件．

系 8.5

对k=0,1,2,---，设C＊是如上所述具有正测度的不交波雷尔集的有限集类，再设9k: E-[0， oo)满足式（8.6)及式（8.7)。则存在

8.2 随 机剪切集 159

做雷尔可测)m数9:E-[0,00)使对＃-J L乎所有x E E, gk(x)- J (x),证明 这一命题正是系8.3的分析表达。条件（(8.6)保证9＊是

f＊一可测，这里F＊是由叹生成的“一代数。式（(8.7)表明9＊十，在A上的平均值是9k(x)，而这正是式（8.2)，由系8.3知9k (x) u一几乎处处收敛。口

8.2随机剪切集

人们已经提出了大量的随机分形结构，见FG15.1节。经常可以利用鞅方法来分析随机分形。通常的作法是：把随机集上的随机

测度定义为与分形结构相关联的测度序列的极限，然后利用鞅来

推导极限测度的性质。在这里是要找出一个随机分形的维数，该分形是把单位区间去掉一序列长度递减的随机区间而得到。（注意这种

结构与3.2节中结构不同之处在于去掉的区间可以是重叠的。）

设｛a,J k=：是给定的满足0<a,<合的收敛于。的递减数列。再设A�A�⋯是［[0,11的随机开子区间序列，A。的长度为ak.区问A＊的中点独立地均匀分布于【0,1]。把区间【0,1]的两个端点认为是一样的将是方便的，即如果A。的中心在 x处，而

0<x<令 a4(相应地1一x<令 a, <- 11，则A，是由两端的两个区 2 一“、’”’一 “－ 一’一2 一“一丿”’‘一“一 ～’‘一’1．．’‘’‘’一

间组成：A‘一【0, x +合·＊）凵（，一合a, + x,，丨（相应地，，一［。，二十粤ak-1)凵（二一冬a, 11).通过·切掉·区问，＊定义随

2 “ ‘一、 2 “’J－一 ’一 ‘一” 一 ” 瓦’一一 ’一

机闭集序列E,，即E,,=[0,1], E,=E,_,\ A,, k=1,2,---，则切割集 工 芯

E一巳E,,=10,11 \ P A, (8.14)是一随机闭集，见图8.3。容易看出：如果艺a, < 00则‘(E) > 0

乏＝1

（这里￡是勒贝格测度或。长度·）具有正概率；如果艺 a,＝二，则 丘，1

160 第8章 鞅与分形

几乎必然有 L (E) = 0。下面考虑一种重要的情形：对0<t< 1,

存在常数t，使当k一 00时

aL一李 (8.15) k

下面将证明：在这种情况下，只要E是非空的，则它一般是分

形．并将证明：以概率1, E的豪斯道夫维数最多是 1一‘，并且通

常就是 1一t,

o } u 1

卜一一一－— ～一一一」 卜一一一一一一一一一一一月Ee丬1 — — — Et

At — — 一 — El

注玉 — — 一 — Ej

．⋯ ⋯ 石

图8.3 随机剪切集E的构造是反复去掉随机区间而得到．图中左边显示

的区间序列是为了形成右边的集而被切掉的部分

首先来估计一个给定的点以及一对给定的点属于E＊的概

率。显然对任意x E [0, 11, P (x E A) = a,．定义 几

P＊二H(1-a,) k=1,2,--- (8.16) i=1

下面的计算依赖于对这个乘积的估计。由于艺a,=00，所以 i= l

8.2 随机剪切集 161

k 介 介

logpk=Y-log(1一a;）一一Y-a‘一一I t/i一一‘logk (8.17)

于是由式（8.15)知，

logPk～一tlogk～tlogak 、 (8.18)

对于x,Y E [0,1]，记d(x,y) =min钊x-YI, 1一｝x-YI)，即把0和1看作相同的点时，x与Y之间的距离．

引理 8.6

(a）对任意x E [0,1』及k=1,2,---

P (x。￡＊）＝fl (1一。‘）二。。 (8.19)

(b）给定“>0，存在c>0，使得

P(xE E＊且yE及），＿」，＿＿＿＿卜：‘：+. 一 ,<cd（x，夕f“‘十‘ ' (8.20)

Pt

对任意x,y E [0,1]及k＝1,2,⋯成立。

证明 x E Ek，当且仅当对所有的i=l,---,k, xOA;．由于事件(x 0 A)=，是相互独立的，所以

人 告

。（二。Ek）一fl P (x 0 A;）一fl(1一a,）一。＊

给定“>0，由式（8.18)知，存在。1>0使对任意k=1,2,---

fj (1一a;）一。k>,cla;l+e) (8.21) j=1

考虑当x,y均不属于A，时，A，的位置，并利用A，的中点服从均匀分布 ，则

f 1一a‘一d(x,y) < 1一a； 当a, -> d (x, y) P(xOA，且y0 A,)= ’＿一 ＿

〔1一2a;< (1一a)， 当a) < d (x,y)

所以

162 第8章 鞅与分形

P(x OA，且YOA))，f(1一“J-’ 当。1）d (x,y) li一a,)- ( 1 当a,< d (x, y)

因而由切割的集的独立性，对满足式（(8.21）合适的。：，

P (xEE；且YEEk)＿六 P (x4A，且yOA） Pw j=, li一aj) -

＜ 卩 n一。、一， j:a,D d(x,Y)

一（( j(d(xy))）一， 簇。「’t(i +c)al(d(x.Y))

其中j(d(x,y)）是使得aj >,d(x,y)的最大整数j。由式（(8.15)知，a,+, la, - 1，因此aj(d（二．，））一d (x, y)，即知式（8.20）对合适的常数c>0成立。口

以IE,.E。为EkxE＊的示性函数，则不等式（8.20）可写成

Pk2E(IE‘二：t(x,Y)）一pk 2 P (xEE＊且YEE,） 簇cd(x,y）一“，十‘， (8.22)

下面引入随机测度序列＃k=Pk’ L IEt，即勒贝格测度在E。上的限制再乘以因子Pk1。从而对集合A,

.Uk(A)＝Pk’L (A门Ek)以下将使用鞅收敛定理来证明：＃＊以概率1收敛于一随机测度P．回顾一下，二进区间是助2-'",勿+ I)2-'"）这种形式的区间，其中m,p是整数．

引理 8.7

以概率1存在支撑在E上的，满足0<,,u(E)<00的波雷尔测度＃，使对每个集A, u, (A) --川A)，其中A是二进区间的有限并。而且,Y(E) > 0有正概率。

8.2 随机剪切集 163

证明 记 天 是由A�AZ,...,A＊的中点的随机位置为基础的

Q-域．（形式上，大 是由田,1】的波雷尔子集的k-重乘积生成的“一域．）对每个二进区间A，由独立性得：

E (P。十}(A)l大）＝E(Pk+} L(A n Ek na0,1]\Ak+，））｝天）

＝P汉：L ([0,1]\A＊十】）L (A冂Ek)

＝夕-'Pk+,(1一ak+I)Pk'Uk(A)

＝Pk(A)

所以对每个二进区问A,气(A）是非负鞅。由系8.3知：存在随机变量城A)，使得以概率 1，对可数多个二进区间中的每个区间A,

Yk(A) -,u(A)成立。以通常的方式把＃扩张为支撑在E上的波

雷尔测度，由可加性，对于二进区间的有限并A，也成立Pk(A)一

u(A)o (事实上，几乎必然这一收敛对干任意的波雷尔集成立．）

现在考虑(YO, I D2，利用式（8.22)

E ((Y,[0,1])'）二Pk'E( L(Ek))

＝Pk"E((‘X￡)(x, y）：xc-E，且y E Ek)

一；2E (ff,·‘二。（一，)dxdy l ‘c J'0上、（一）'('+')dxdy＜二

这里选取￡使得t(I+E)<I,（注意d(x,y)-’象Ix一yl’一样，当

x接近y时出现奇异值）于是＃110,1]是LZ一有界鞅，由系8.4,E (Iu(E)) = E (u[0,11）二E (,U.[0,11 11) = 1，由此得到P(,u(E)>0)>0．口

命题 8.8

对于随机剪切集E,以概率1, dim HE<不不BE - 1一‘，并以正

概率使1一t<-dimHE.

164 第8章 鞅与分形

证明 给定b，令k(句是使得a,引人卜26的最大整数k。注意到，如果X C-氏，这里E。是E的b-邻域，并且j,<k(句，则x0有，这里不是与A，具有相同中点，长度为a,-28的开区间．由剪切的独立性，对任意x E [0,1 ],

P(xc- E,)<,P(x0A冫任意j一1,---,k必））

衡（占）

（F1 P(x}Aj) j-1

k(b)

5n(1一（a厂26)) (8.23) 丿＝1

但当b一0时，利用式（8.17）及t/k沪）一ak (b）一26（由式（8.15）及a＊十：la＊一0),

log首（‘一（·，一，“））‘一k(b) (al一，“） 一堂a,＋26k(6)

j =l

一一tlogk(b)＋26k(b)

一tlogb＋t (8.24)

再由式（8.23）即得：对给定的“>0，存在。，对任意6<l

E（￡（￡‘））＝P(xc- Ej< c6‘一‘所以

F ， ：。：，、。一八5。又 。：＜二 \d -2一卜兔-1,2, ／ d-2-.：k=1,2,

于是可以得到结论：以概率1,艺d-2-': k-1.2....双凡）Y-t+2s <oo所以

工（凡”一‘十’‘对2-k这种形式的b有界，因此，对任意的U<6<1有界（由于 L (Ed）关于 s是非降的）．由式（(2.5）得

8.2 随机剪切集 165

di而声s卜t+ 2e。因为“>0是任意的，即知，以概率 1dim BE51一t,

对于下界，可以利用位势理论来计算．设“>01 Pk, P是如上所述的E＊和E上的随机测度。因为对二进区问A,气(A) -风A),a, s。由Fatou引理，并利用式（8.22)，倘若d<l一t(1 +E)，则

E（仃卜一｝一（·，。·‘夕，） 一(,I im ff,·一（x)d一。）） ‘，‘：inf〔(1f,一‘一（·）‘一（，） 一，‘：一。‘Pk 2 E(ff一，一，·‘二。（一，)dxd) 、·工．f0“（一，一“‘一，一’")dxdy ＜ co

所以可推出，对任意d<l一‘，以概率1, fflx-y｝一‘dil(x)dp(y) <co，其中u是由E支撑的随机测度。再由命题2.5可知，只要

P(E) > 0有正的概率，则 dim HE> 1一t。 口

这种随机剪切结构有许多自然的变化及延拓．例如在二维情

况：可以从单位正方形（把对边看作相同）移去一系列半径为a,

a2 i二的园盘（或者任意凸集），并使它们的中心服从相互独立的均匀分布，就可得到该正方形的分形子集E，见图8.4．用类似的

分析方法可找到剪切集的维数，见练习8.4．

166 第 8章 鞅与分形

44 图8.4 一个由切掉具有递减的半径及随机中心的圈盘序列而得到的随机

切割集·这里第＊个圆的半径为含＊一告，切，，的维数是1.87 许多种类的随机集可以通过利用鞅定义该集上的随机测度的

方法进行研究。例如不切掉区间，而可以考虑被无限多个区间覆

盖的点，在合适的区间长度条件下，就有可能计算出属于无穷多

个随机区间的点集的几乎必然的维数．

而且，鞅技巧可用来研究自相似集的自然的随机推广．象文

献FG,巧1节中讨论的统计自相似集，那里利用厂一有界鞅在这类集上定义了随机测度。

8.3 分形的双李卜希兹等价 167

8.3 分形的双李卜希兹等价

在本节中将利用鞅，并以一种非常不同的方式来研究两个

（非随机）自相似集之问的双李卜希兹映射的存在性。

集E和F称为是jrx李卜希兹等价，如果存在5tx李卜希兹映射

f: E -F，即满足下式的双射，

c．丨x一YI - U(x) -f (Y) I " c21x一YI (x,Y e E) (8.25)

其中0<cI<c2。双李卜希兹映射保持集的许多“分形性质”不变，特别是dimE=dimF，这里dim表示豪斯道夫维数；上、下盒维数

或任何合理定义的其它维数。见式（2.12)。正象拓扑学的一个主要目的是把集按同胚（认为两个集等价，如果在两个集之问存在

一个连续可逆映射，并且其逆也连续。）分类一样，分形几何的目

标之一是把集按双李卜希兹等价分类。在拓扑学中要寻找集的同

胚不变量，即这样一种与集相关联的量，它对于同胚的集是相等

的（如欧拉一庞伽莱特征值）。同样地，维数可认为是双李 卜希

兹不变量。对于双李 卜希兹等价的两个集，它们必定是同胚的，

并且具有相同的维数。然而，一般说来，这一条件远不足以保证

它们等价．

下面用鞅方法说明某些具有相同维数的自相似集不是双李卜

希兹等价的。为易于说明，只对一对特殊的集给以证明，但其方

法适用于许多更一般的自相似集。

设E是三分康托集，F是通过下面所述的区间代换而得到的自

相似集：从单位区间开始，每次都以三个间隙相等，长度都为原

区间的刀=3- loy)lio“倍的子区问取代原区间，并反复地进行下去。

见图＆5。则E与F同胚，见练习8.6. #的选取保证dim �E=dim�F=log2/log3．所以从拓扑或维数上不能排除E与F的双李卜希兹等价性。

168 第8章 鞅与分形

x

产－～八．．．、

XL KR PA) 尸人， 尸‘、 产～～沪．．．丶

f ．．．． ．．．． ．．．． ．．．． 月，－ ．－叫巾， ⋯ “ ． ． －二 1 “ 川 M

1‘ F

图＆s 两个自相似集之间的映射f．对F,的第k级水平的子集X,映象

f (X)是F的第。(k）级水平的子集的完全并

命题 8.9

上述的集E, F不是双李卜希兹等价的．

证明 用反证法。假定存在双李 卜希兹映射 f: E -F 满足式

(8.25)。所谓E的k一级水平的子集，是指形式为En X的集，这

里X是在通常康托集的结构中出现的长度为3-“的一个区问。记

二是E的所有k一级水平子集所构成的类。类似地，F的k一级水

平子集是指F门Y这种形式的集，其中Y是在F的结构中出现

的长度为#k的3，个区间之一

设c�cz由式（8.25）所定义，对k = 0, 1,2,⋯定义m (k）是满足下式的最小整数：

口·‘“，＜c,3一“ (8.26)f是双李卜希兹映射的一个直接结论是：如果X是E的k一级水

平子集，则f(X）是F的n个。(k)级水平子集的完全并，其中整数n满足：

3'''k'2-kcI 5 n < 3-(k'2-'CZ (8.27)为了看清这点，注意到如果了(X）包含F的一个m (k)级水平子集

Y中的任意点，则r (X）二Y;否则必存在XEX, wc-E\X使得

8.3 分形的双李 卜希兹等价 169

Rx), I(w) E Y，由此可得：

9.(k)＝｝YI % Ax) -I(w)I）c, Ix一wI）c,3一‘

这与式（8.26）矛盾。由式（2.12）及开（￡）＝万'(F) = 1可得式（8.27)中关于11的界：

一，J0(f(X))＿n3一（(k)，，＿ 一’一H'(X) 2-k

对k = 0, 1,2,⋯定义 9k: E～ 'R?

9k(x) =-x'U(X))lP(X) (8.29)其中X是E的k一级水平子集，且xc-X。因此9＊在E的每个k-

级水平子集上是一常数。此外，如果XEX，而XL, X：是k一级水平子集X的（k+l）一级水平子集，则

9k(x)＝2恻，价刀）

一合r2k+1}..(zU(XL ))zU(XL)) +'lk+I_ITC(f(XR))1

一合。。＊十1(·。＋。＊十：（xR刀

一“(X）一工。＊一（x)dgr(x) (8.30)其中XL, x：分别为X：和X；中的任意点。这正是鞅的条件（(8.7),由系8.5知9k(x)对几乎所有xc-E收敛．

选取x为任一收敛的点，设9,(x) -" c，由式（8.28）及（8.29)

得 Cl（C<C,。 由式（8.28）和（8.29)

9,(x)＝203一’can (8.31）其中n满足式（8.27)，于是

170 第8章 鞅与分形

9. (X)＿2k+.3一“＋u11'＿ 2n' 9,(X) 2k3一“in 3ma+u-..kin

其中c丨一bg2/log' \ n, n' \ 3bc..og2/.og'，这里利用T式（8.26), (8,27）以

及定义（8.26）保证的m(k+1）一m (k）对任意k有界。因此9k+.(X)

19k(x）仅能取有限多个不同值．由于9k(x)收敛于一非0极限值，

这要求9k(x）最终是常数，即对所有充分大的k, 9k(x)=c。对所有这些k，由式（8.31)知：存在整数。＊，使

c＝9k(x)＝2k3一，(k'nk (8.32)

所以。是有理数，设。=p/4，其中p, 9是互质的正整数。因此，

对这些充分大的k, 2k3一’Mnk=pl9 即

2knk9＝3.'k'p (8.33)即对任意充分大的k, p可被2‘整除。这显然是荒谬的。所以.r

不是双李卜希兹的 。 口

在以上的证明中，利用鞅得出：在某种意义下，I是“关于测

度可微的”，而由集合E, F的几何性质可推出I是“局部线性

的”。

用很类似的方法，可以证明：如果E, F是如下构造的自相似集，即E和F分别是反复用11；个或n个长度相同且间隔一样的子区

间来代换原区间而得到的自相似集，则E, F是双李卜希兹等价

的必要条件（而且这一条件确实是充分的）是：dimHE=dimHF且。=n0或 n=m“对某一正整数9成立。

更一般地，用类似的方法可以得到，利用不相等的相似比构

造的自相似集之间等价的必要条件．记E(r�⋯ ,r.）是RR上相似

比分别为r� ", r。的IFS的吸引子，并且满足强分离条件，则E(r�...,r,,）是全不连通的。

8.4 注记与参考文献 171

命题 8.10

下列条件是集E(r...... r.）与E(t...... t4)双李卜希兹等价的必要条件：

(a) dim�E(r...... r.)＝dim,E(t�...,tq) --- s；

(b)⑧ (s,...,礁) 0 C(t�...It9)，其中C(a,，...， am）表示伊，+, x）的子 域，该子域由。1'...'a，的有理函数构成；

(c） 存在正整数PIP‘使

sgp(r;,‘．',rm)c sgp(t,， ...It,) sgp(r,"...， r军‘）csgp(r...... r.)

这里s9p (a...... am）表示由a� ...a。生成的归', x）的子半群，

即元素为a', . . . a',-这种乘积形式的集合，其中“，是非负整数。

证明 证明的基本思想与命题8.9相似，略。 口

一般地，确定两个集是否为双李卜希兹等价是一个复杂的

问题。以上的方法适用于某些与康托集同胚且全不连通的自相似

集。在其它一些极端情况下，一大类同胚于圆的准自相似分形之

间的等价是由豪斯道夫维数完全确定；这一结果在文献FG 14.4

节已有讨论。

8.4 注记与参考文献

Williams(1991)的书中给出了一些应用鞅的很好的详细处理

方法。在许多概率论教科书中，如Grimmett和Stirziker(1992),

都包含鞅论的内容。

Mandelbrot(1972,1982）引入了随机剪切模型，或称为由他命名的随机震颤模型，其维数计算是基于生灭过程。这里的方法属

于Zahle(1984)。他给出了许多概括性的东西。对于其它基于区间

的随机代换等结构，见Kahane(1985)及其中的参考文献。与康

172 第 8章 鞅与分形

托集类似的其它随机集和自相似结构在FG 15章中有描述。 用鞅来讨论自相似集的双李 卜希兹等价的方法是属于

Falconer和Marsh (1992), Cooper和Pignataro (1988）给出T不同的处理方法。

练习

8.1 验证：如果Y,是鞅，则对任意k, E(玖）=E(汽）；且对任意

m，k）0, E(Y.,kl天）＝Yk。8.2 设Y＊是关于天的上鞍，且sup声（欢) < 00，则欢也是上

鞅。

8.3在随机剪切模型中，证明：如果又。＊＜00 , 51'1 L (E) > 0 因 l

具有正概率；如果艺a,= 00，则‘(E)= O a.s。8.4设。＊是非升数列，’且。＊一tk告其中。＜：＜了厄万，E是

如下所述的随机剪切集：把单位正方形（把对边看作相同）

去掉一序列半径为。，，中心为独立均匀分布的园,r}得到集

E。修改8.2节中的讨论vU证明 dim �E <不m,E<2-7rt', 且其有正概率取等号 。

8.5 设E, F分别是以m个或n个长度相等且具有相同间隔的

子区间取代原有区间构造出来的R的自相似子集。证明在

E, F之间存在双李卜希兹子价映射的充要条件是：dim �E

=di叭F且 m = n'或 。=m9对某一正整数9成立。 （提示：模仿命题8.9的证明；对一个较简单的问题：当。

有一个不能整除n的素因子时，证明这种映射不存在。）

8.6 验证命题8.9中考虑的两个集同胚。（提示：用分类的方式，

建立集的“间隙”之间的映射 ．）

第9章 切线测度

切线测度提供了研究集和测度的无穷小特性的一种手段。特

别是许多涉及密度、可求长性及集的射影等几何测度论的典型

结论，都可以利用切线测度，通过自然的方法证明。一些非常有用

且富有技巧性的结论已利用这些方法得到。在这一章中只描述了

切线测度的基本性质，并给出几个简单的但却相当优美的应用实例。

9.1 定义和基本性质

切线测度描述的是点的邻域集合的结构，当通过一种不断放

大的微观的尺度观察时，这种结构会变得愈加明显．也就是在观察极限集或极限测度时，可以通过对点周围一系列逐渐扩大的

对象的考察来实现。这些极限或“切线测度”在某种意义上类似于

导数。它们带有关干集或测度的局部结构的大量信息，但是，由

于切线测度具有的某些有规则的性质，意味着利用它们通常比利

用原来的集或测度更易于处理。

在本章中，u总是表示R”上的有限（或局部有限）波雷尔测度；

在非常多的大部分重要情形，u是“一维豪斯道夫测度在、集E上

的限制。（这里EcF.'是满足0 <3-h (E) < -的波雷尔集）即u =3fl F。在这一章中，总是假设存在数、，使得对u-几乎所有x,

u的、一维密度上、下有界，即：

。 ＿：，＿＿ 、 。二 。井（B（x． r ，二 封（B（x． r 0＜D'(u.x) - lim inf二二匕二竺尘二三2‘ <lim sun二二上匕立全 '

._� 廴I-r) 『～“ t乙r)

= D'(u,x )＜0o (9.1)（在u是34，在 s一集上的限制的情形，则对u-几乎所有的x，

万,(u,x) <co必然成立）。

174 第 9章 切线测度

对xC-R”及；>0，由下式定义相似映射凡，：郎～献： Fx,, (Y)＝(Y一x)/r (9.2)

于是F.x..将点x变换成原点，并以系数1/；为相似比，所以球

B(x, r)被映射成单位球B(0,1)。令人特别感兴趣的是那些相似测度变换的方式，因此，定义测度间诱导出的相似映射如下：

(Fx,.}u})(A)＝u(x＋rA) (9.3)

其中u是I3”上的测度，而对任意集ASR0,x+rA一｛x+ra; a eA },于是FxJu]可以看成是＃在x的周围放大了1/；倍的测度。 为定义切线测度，考察当r '-* 0时，Fx,,[u]的可能的极限情

形。为了得到正的且又局部有限的极限测度，这些测度的数量级

需要合理的确定。于是，可以按下列方式定义u在点xC-R,的切

线测度，：如果存在实数序列r,＼0，使：

v一丨兜rk'Fx,,[Fl] (9.4)这里的极限是测度序列的弱极限，见1.4节。u在点x的全部切

线测度集合称为u在x的切线空间，并用Tan(u,x)表示。［注意，

由于某些原因，也称定义的切线测度为标准的切线测度．I当然，Tan(u,x)依赖于、的值，但对每个＃，最多只有一个、使式（9.1)成立． 利用式（(9.3)及关于弱收敛的定义式（1.24)，式（(9.4)意味着对

任意具有有界支撑的连续函数9:,R�- R,

丁9(Y)d v (Y) =。二rk5丁9 ((，一）/r,)du(y) (9.5)切线测度是局部有限的，但一般情况下，它们都是无界支撑上的

无穷测度，即使u不是这样的测度。

举出一些例子将有助于理解切线测度的概念：固定 E是 R"上

满足。< L"(E)＜二的有界波雷尔子集，其中L"是。一维勒贝格

测度，令P=L"IE。勒贝格密度定理（(2.20)指出：当r～ 0，对L"-

几乎所有的x E E, L" (B (x, r)门E )IL" (B(x, r))～1。直观地，这意

味着，对几乎所有的xEE，中心在x的小球几乎被E充满，所以lu

9.1 定义和基本性质 175

在这样的x周围的放大逼近于勒贝格测度 — 唯一的切线测

度。为讲清楚这点，如果9是支撑在B(0,R）上的连续函数，则当 。～ 0

r一J 9d Fx, [p］一r-"J9((Y一‘)l r)d g(Y)

一"f 9(。一，l r)1F(Y)dy 一升(Z)lE（一，dz 一丁g(z)dz

（在最后一步，用到了勒贝格密度定理，对几乎所有的xCE，

f B(o,R) I 1 F(x + rz）一l ldz一。，其中R是选成使，ptg c B(0, R))，于是，对几乎所有的‘EE， limr-"Fx,[川=IM，所以L"是r在x处的唯一的切线测度 。

第二个例中的u是献中单位圆C上的“长度测度，，即,u(A)一H'I，这里3-C’是一维豪斯道夫测度．对xC-C，当放大倍数越来越大时，C上x附近的圆弧逼近一直线段，所以，可以期望唯

一的切线测度是一维测度在一定直线上的限制，这条直线过原点，

且与C的过 x点的切线平行，这个事实仍然可以利用式（9.5)正

式验证。更一般地，对C是任意光滑曲线，上述的结论也成立。 更有趣的情形是当u是分形测度的时候。设.u =3-l' 1E，其中

s=log2/log3，而E是三分康托集 ．在这种情况下，切线空间具有非常丰富的结构 ．对几乎所有的x ,Tan (h, x)包含无穷多个测

度，每个都是3-l'在康托集E的无界延拓上的限制，这种延拓的

局部看起来都像E自身。记E一｛O-b,bz⋯是三进小数展开式，其中对任意i,b,=0或2}，几乎每个xC-E，都具有下列形式的三进小数表达式，在表达式中，含有0或2的任意有限序列，且每个有限序

列出现无穷多次，于是在这样的x点，切线空间Tan (u, x)包含了以

176 第 9章 切线测度

在它的每个点周围都放大了的E的扩张为支撑的测度，特别

Tan(p,x)包创则度开 在延拓了的康托集E‘二王。。。。一 。1, b,b2...是三进展开式，对任意j， a,, b,=0或2｝上的限制，以及在所有包含原点且与E‘相似的集上的限制．有关进一步的例子，请参见图9.1,

“ 刀

·‘奋··⋯ v e Tan(P, x)

图9.1 切线测度，E Tan(p,x)是测度k在x的周围的一系列放大（多盆倍数

的）的弱极限，这里的拜是勒贝格测度在 “魔鬼的阶梯”的区域上的

限制，而切线测度？是勒贝格测度在半平面上的限制

在所有的这些例子中，可以看到，只要，E Tan(ii,x)及：e spty（这里sptv是v的支撑），则把：变换成原点的”的变换 F,., [v〕也

在Tan(/I,x)中。（在前两个例子中，这是因为Tan(,a,x)中的唯一

测度在这样的变换下是不变的，而在第三个例子中，则是由于Tan

伊，‘）中所包含的测度数量特别大的缘故．），正如在下面的命题9.3中

9.， 定义和基本性质 177

将要见到的，对所有的切线空间这个“漂移不变性”都成立，这也正是使切线测度成为如此有用的工具的众多重要性质中的一个。

下面引出切线测度的一些普通性质，取A为式（(9.3）中的球，对r，R＞0,

r一‘(F}..1iU))(B(0,R))＝r一‘,u (x＋rB(0,R)) ＝。一’II(B(x,rR））

二R'(rR）一’u (B(x, rR)) (9.6)

这个观察结果导出了切线测度的几个基本性质，其中包括了它们

与密度的关系 。

引理 9.1

设Y是A”上的测度，则对任意满足：

0＜互(jq,x)万伊,x)＜00 (9.7)的x，下列结果成立：

(a) Tan(u,x）是非空的，

(b） 对任意v E Tan(P,x）及R>0

旦(Y,x) < (2R）一’v(B(0, R))于(P,x)(c） 对任意vc-Tan伊,x), 0 E sptv。证明

(a） 如果在x点式（(9.7)成立，由式（(9.6)知，只要r充分小，则存 在数d>0使对任意R>0

r一’(F,,，丨川)(B(0,R））（R'd 由弱紧性（命题1.9)，存在数列r,、 0和测度，使

‘’凡.., f川---> v，所以，E Tan伊,x)。(b） 设v对序列rk、 0按式（(9.4)给定，则对任意R>O，由式

(9.1),(9.6）及（1.25）得：

(2R )'D' (},x）一R'1 i烈n f(rR0 ）一’,U(B(x,rR)) 簇11牡uprk '(F,,, [P])(B(O,R))

178 第 9章 切线测度

（v(B(O,R))

用同样的方法，但这次利用式（1.26)可得，对开球B0 (0, R),

v(B0(0,R)),< (2R)'护(u,x)．由于对任意R,>R,v(B(O,R)) 簇 v(B0(0,R ))，因此取R：任意接近R，即得需要的上界。

(c）由于0<全伊,x)，由（b）知，对任意R>0, 0<v(B(0,R))，所 以0〔sptv。 a

本节余下的部分将证明切线空间的漂移不变性。回顾如下定义：

对彭上的测度u及可测集E，称点x E sptv是E的稠密点，如果

lim E丝E卫旦(x,目 r))一1 （9.8） 一o u(B(x, r))

特别地，根据命题1.7,＃一几乎所有的xC-E是稠密点。容易看出，如果vETan(u,x), zC-spty，则存在序3711 xk E sptu使得

凡九(x,)～ z。下列引理推广了这一结果，即允许x＊从一个规定的集E上来选取 。

引理 9.2

设 E是 u-可测集 ，x E sp to是 E的稠密点。令

v一丨呱rk'F.,．.,[u] ETan(u,x)，则对所有z E sptv，存在点列xkEE,使得当k --.o<)时

。 ， 、＿ x。一x ＿ ＿＿、 户 (XI)三三二二－ － --). z (y U1

r盆

证明 欲使式（9.9）成立，必须选取xk“接近＂x+rkz。所以对任

意k，选取x＊CE使 jx+rkz一xk{<dist(x+rkz, E)+k一’rk (9.10)

如果z=0，则dist(x+rkz, E)=0，立即可得式（9.9)。假定式（9.9)

不成立，且：:00，则存在满足0<d<日的S使 {x＋rkz一x, I）2brk (9.11)

9.， 定义和基本性质 179

对无穷多个k成立。对满足k>6一’这样的k，由式（(9.10)及（(9.11)得

rk6 < r,(26一k一’）＜d ist(x＋r, z，E）故特别地有 ：

B (x＋i'kz,rkb)c: B(x,rklzl＋rk6)\Ec- B(x,2r,Izl)\E由于x是E的稠密点，由式（1.25), (1.26）以及v(BO(z,6))>0（因为z‘sptv)得：

P (E自B (x,2r,lzl)) I＝ iim —

k-00 P(B(x,2rklzl))

一lim u(B(x,2r,lzl)）一。(B(x,2rkl Zl)\E) ‘一 h(B(x,2rkl zl )) ．＿召（B（x＋rLz‘r．b l<1一lim inf二二之二止三‘‘二主二 ,

k-- utLjlx,zr,lzUJ

（ F．「川）（B（z，b

一’一’im inf下 s""k-00 (Fx...[,U])(B(0,21zl)) v(B0(z.6))

S1一一资共共兴亠 ＜一t v(B(0,21zl))

这一结论意味着式（9.11)不能对无穷多个k成立，因而式（(9.9)得

证 。 口

下面的漂移不变性的证明以一种优雅的方式应用了测度弱收

敛的性质 ．

命题 9.3

对＃一几乎所有的x，切线空间Tan (li. x)是漂移不变的，即

对任意的v E Tan(P,x）及z Esptv, F,,,[v] E Tan伊,x)。证明 设R,6,b是正数，令

E(R, E, b)={x：存在v, c- Tan伊,x）及：(x) e sptvx，使对任意r<b,

180 第9章 切线测度

d.(F《二）,, wx),r-'Fx,,[})) > e} (9.12)（测度上的伪度量d；的定义见式（1.28))。一旦证明了对任意的

这样R,“，S, u (E(R,“，S)) = 0，则就可容易地证得本命题 ． 假如不是这样，即存在R,“，S使＃(E(R,：，8))>0，对任意

的xC-E扭，“，S)，选取v. E Tan伊,x）及z(x) E sptv使条件（9.12)

成立 。可以找到满足u (E) > 0的波雷尔集E(=E(R,“，a)，使得对任意二，yC-E

“·（：（二）,,f、丨，F,cy,,,f vd) <合￡ (9.13)这是由于从引理1.11知，d：是可分的．如果｛/1,｝是可数稠的测度序列，则存在k使

E二｛x＿ E E(R,“，“）：d R(F:cx)., Lvx),l'k)＜专￡｝具有正的A-测度 。

取“是E的任一稠密点，且v,一丨噢‘’凡，’＊【川。由引理9.2,可找到x, E E使得（(x, - x) /r,～ z (x)，由于Fxw.,, =凡；一二）、，：。尺r,，故当k～二 时

rk 'Fx}.,} }})＝F,x。一二）／，‘，。【r奋’Fx．。［川］

～F,x)J wJ (9.14)

由于xkEE(R, 9,6)，如果k充分大，由式（9.13)、引理1.10以及式(9.14）即得：

￡＜dR(F}。二。，，，［v=,l,rk'Fx}}}LuD

（d R(F, (.,).I l v-',), F}(x).I l vl )＋d R( F:(x),j[ v ), r. ' Fxk.,.lflD

＜土。＋生。 2 2

矛盾。

所以对任意的R, E, S > 0, ju(E(R,。，S))=o，由引理1.10知：

{x：存在非漂移不变测度vxe Tan(N,x)}＝U U E(m, 1/m,l/n)

且它的u-测度为0，证毕 。 口

9.2 切线测度与密度 181

9.2 切线测度与密度

切线测度是研究集与测度的局部性质，如密度与平均密度的

一个自然的工具 。其思想是把含有集或测度的问题转变成更容

易处理的含有切线测度的问题。本节从下列的经典结果开始，

给出这种方法的一些典型例子。除了s是整数外，、一集的密度

在具有正测度的集上不存在。（回顾一下，密度的不存在意味着具有分形性。）下面从一般的测度lu开始，但考虑的主要例子

是对在彭中的 、一集E上的限制，即u=开｝：，其中E是满足0 < 3{' (E)＜二的波雷尔集 。 为了说明切线测度在特另9简单情况中的应用，首先证明：如

果0<s<l，则密度不存在。然后对一般的非整数s的情况给出

更复杂的证明。

命题 9.4

设 0<s<l,u是R"上 的测度，且对p一几乎所有 x,

0<互 (u,x) <万 (u,x)＜二 。则对 u-n乎所有x,

旦, (u, x)＜万(u, x)。

证明 假设满足条件。＜卫,(u,x) - D'(u，二）的x点的集合具有正测度。由命题 9.3，可选取x使Tan (u, x)是漂移不变的，设d-互(u,x)一万,(u,x) >0是在该点x的密度。由引理9.1(b),对任意v E Tan伊,x）及任意R>0, d一（2R)-v(B(0,R))。任意固

定v E Tan(u,x)，则存在满足IZI = 1的：e sptv(否则当R接近1

时v姆(0,R)）是常数）。由命题9.3, F;.,[v] E Tan伊,x)，故对任意、＞0,、一（2R）一’（；．，[vl) (B (0,：））一（2R）一’V (B (z，：））。当。＜、＜粤，、／”’‘ 、“、丿 护2，I L'l) %,"、”” 、丿丿一、“、， ’、口、“’八1o习u、J、、 2

时，B(z,R) c: B(0,1 + 2R)\B(0,1一2R),所以对较小的R,

(2R了d＝v'(B(z,R))

182 第 9章 切线测度

5 v(B(0-,1＋2R)）一v(B0(0,1一2R))

二2'd丨（1＋2R)’一（1一2R)']

二O (R)

这与0<s<1是矛盾的，由此可知，对 P-几乎所有 x,卫'(,u，x)＜万‘(},x)。 口

特别地，如果0<s<l，则、一集E的密度D'(E, x)几乎处处不存在。

为了把这一结果推广到一般的非整数s的情况，引进“、一均

匀”测度 。先证明这样的测度只有、是整数时才存在；然后证明：

如果密度D' (y, x)在一正测度集上存在，则＃有 、一均匀的切线

测度，所以s必定是整数 。

对于、>0，称郁上的测度”是、一均匀的，如果存在。> 0,

使得对任意x E sptv，及；>0 v(B(x,r))＝cr' (9.15)

引理 9.5

设v是R3"上的 “一均匀测度。如果x E sptv, v, e Tan(v,x),则v1是献上的、一均匀测度 。

证明 设v, = limk--rork'F,,,,[v], z E sptv,，可以找到点z'EsptF.jv]

使zk一 z。因而存在xkc-spty使（xk - x)lrk =凡,rk (xk) = z。一z。则对任意R>0，由式（9.15）可得：

(F.,,,[v])(B(z,R))＝v(B(x＋rkz, rk R )) ＝v(B(xk＋rk(z一zk),r,R ))

）v(B(xk,rk(R一｝z一ZJ))

二cr '(Rr, 一！z一Zk D'因此再由式（(1.25)

v,(B(z,R))）lim sup rk}w ＊一’F=,,[v](B(z,R))）CR'

9.2 切线测度与 密度 183

类似地由式（1.26）可得，对任意R > O,v,(BO(z,R)),< cR'。由这两个

不等式立得对任意R, v,(B(z,R))=cR'，因此v，是s一均匀的。 口

事实上、一均匀测度确实是非常有规则的：只有、为整数时

它们才存在 。

命题 9.6

设v是r上、一均匀测度，即存在、>,0 , c>O，使对任意xC-spty，及r＞0,

v(B(x, r))＝cr', xE sptv, r＞0 (9.16)则、是整数，且0<s<n。

＊证明 设9(r)E R'是s一均匀测度，在B(0, r)上的限制的质量中心，因此对任意：E },A .

二。(r)镇（。．，）（一）、·（，。 (9.17)其中“·”表示彭中通常的数量积运算。以下的证明要用到下面

的估计：如果，是任一 、一均匀测度，0 E spty，则当：沿v的支

撑趋于0时 lz.9(r)lllzl一。 (9.18) 为了导出式（(9.18)，考虑“势积分”：

Qr(x) =工‘二，r》(、一，l')dv(Y) (9.19)在积分号内于x二0处求导得：

VQ,(O）一习。（。，r）yd v(Y) (9.20)E I O,r)其中“v”是通常的“梯度”算子。（注意来自边界对导数的影响变为0,

这是由于当｝XI～ 0时，由式（(9.16)得

1，‘丨（一，YI')dv(Y)认）‘一，y12 )d v(Y)

184 第9章 切线测度

、｛（一（r一｝xl犷)dv(y) 侧o.,十｛sD\斑Ox-l x0

簇 2rlxl(v(B(O,r＋Ixl)）一v(B(O,r一｝x1))

＝2rlxlc((r＋IXI’一（r一Ixi)') ＝O(Ixh)

于是，从式（(9.17), (9.20)及直接微分公式得

一2z.9(r)＝z -VQ,(O)

＝Qr(Z）一Q,(O) + o (Z)

=o (z)

这是因为：如果0, z E sptv，贝，1 Q,(O)=Q,(z)(=2cr",/(2+s)，利用

式（9.16)，从式（9.19）直接积分可得。）由此立得式（9.18),

假如本命题不成立，则对某非整数s及整数n,0<s<n，存在

X"上 、一均匀测度，。。设”是可能的最小整数。则可以由找到

"-I（其中N?0_ (0)）中的“一均匀测度而得出矛盾。 sptv。必定是R"的真子集，否则以小球填充单位球B(0,1)，并

利用式（(9.16)及、<n可推出v. (B(0,1))二二 。（注意这就是利用到的s是非整数的地方。）选取yE R"\sptvo，设r>O是使得

B(y,r)自sptvo :A份的最小数，并取xc-B(y,r)门sptvo。然后选取v E Tan (vo,x)，则容易看出0 E sptvc H，其中H是半空间(zcR":z.e>O)，这里。是在x点与B(y,r)正交的外向单位向量。(x点周围放大时，内部不包含spty中的点的球B(y,r)扩张成半

空间R"\Ho）由引理9.5知：、是 “一均匀的，即对任意：e sptv

及r > O, v(B(z,r)) = co r'。由引理9.1(c),Oe sptv。定义g (r）是测度v限制在BOA上的质量中心，则式（9.18)成立。

如果对任意；>0, g(r)=O,则由于,Pty 位于半空间H中，并且v限制到B(O,r)上的质量中心位于边界超平面8H中，则对任

意r>O，必然有sptv门B(O,r) c 8H。所以sptvc 8H，因而如果

9.2 切线测度与密度 185

把OH与R?"，看作是等同的，即有v是,R"-’上的、一均匀测度．

另一方面，如果存 在 ：>0，使 g (r) 0 0，可以取

v，一丨im, rk IF,,,， [v] E Tan(v,0)，而由引理9.5知’：是s一均匀的。对给定的1>0, R>O，定义A = {zc-B0(0,R):lz.g(r)I > nlzl｝贝，1由弱收敛性质（1.26)

v,(A)<li牡边f rk 'F,., [v](A）一limk可r. 'v(r,A)

一ii牡inf rk'v{z‘B (O,r,R):I z.g(r)I＞nlzl} ＝0

这是因为：如果：e B(O,rR)门sptv，并且r充分小，则由式（9.18),

Iz-g (r) I-<nlzI。所以对任意r!>0, R>O有 v, (A) =0，因此sptv, CZ- {z: z. g(r)一。｝，再一次把这一超平面与71”一‘看作相同，就得到一个-R.n-’上的、一均匀测度 。 口

由给出的这个“·均匀测度的性质，可直接得到有关密度的结果。

定理 9.7

设Y是Rn上的有限测度，又设、%0。假定满足：

0＜．宣(u,x) = D'(p,x)＜00 (9.21)（即密度存在且是非负有限）的x的集合具有正测度，则、是整

数，且0<s<n·证明 由引理9.1 (a)知，在任意x点处,lu具有使式（(9.21)成立的切线测度。所以由命题9.3，可选取x，对这一x存在漂移不变测

度v E Tan(j},x)。这样对任意z E sptv, Fz.,[v]E Tan(EI,x)，并且由弓I理9.1 (b)，对任意R>0:

卫'(u,x) < (2R）一’(F,jv])(B(O,R)）二（2R）一’v(B(z,R))（于 ("x)由式（9. 21）知：对 任 意 z E sptv及 任 意 R>O，有v(B(z,R)) = 2'D "(1 ,x)R,，所以由命题9.6即知、是整数。 口

186 第9章 切线测度

容易得出关于s一集密度的相应结果 。

系 9.8

设E是献中的、一集，其中￡不是整数。则对开 一几乎所有的x E E,旦'(E,x) <护伍,x)。

证明设。=3-f' If，则对价几乎所有的‘，0 <D'(f},x)=D'(E,x) <oo（见练习9.1)。这样或者对于件几乎所有的x,0<-卫'(u,x) <于(ju,x),此即要证明的（由于旦'(f},x) _卫'(E,x) ,护(P,x) =于(E,x))，或者在一正测度集上有0 < D'(p,x) = D'(/',x) ，而在此情况下，由定理9.7可知、必为整数。 口

密度D'(P,x)的几乎处处存在，不仅意味着s是整数，而且也说明Y是、一可求长测度。（测度＃称为是、一可求长的，如果它

对开‘绝对连续，即只要开'(A) = 0，就有拜扭）=0，并且存在、一可求长集E使城彭\E)=0，见2.1节。）设、是整数，＃是满足：

对几乎所有的x, 0 < D'(ti,x) < D'(/,x) < o0的测度．则可以证明：＃是 s一可求长的，当且仅当对几乎所有的x，切线空间Tan(h,x)

只包含单个测度v，而且v是开‘的倍数在郁的某个 、一维子空

间上的限制。这也许并不令人惊奇，通过进一步研究s一均匀测度的性质，并将之应用于切线测度，可以导出下面的难于推证的

定理及其推论。

定理 9.9

9是A”上的测度，设对＃一几乎所有的x，密度D'(},x)存在，且

0 < D'(il,x) < 。则、是整数，而u是、一可求长的。证明 略． 口

9.2 切线测度与密度 187

系 9.10

设E是R中、一集。则E是、一可求长的，当且仅当D'(E,x )对开，一几乎所有的xEE存在 。

证明 在定理9.9中取f4 =对！：，即表明系中的条件是充分的，因为几乎处处有D'(E,x) > 0。 口

密度的“度量”概念与可求长的“几何”概念之间的相互作用是

几何测度论的核心，而切线测度是联系这些概念的主要工具 。

下面对非整数的：，利用切线测度来比较密度与平均密度。为

此先研究JU在x处的“密度函数”g: p? T R，其定义为：

u（B（x,e'

g (t)＝二(2e分二 (9.22)由定义,ft在x处的（(s一维）下密度由

卫'(u， x）二lim inf g(t) (9.23)给出，而下平均密度由

A'(/I,x)=1im inf 1打 g(t)dt (9.24)T-oc T U给出．对于上密度有类似的表述式，见式（6.21),

首先证明：如果密度与相应的平均密度相等，则在一个较长

的区间上g(t)“接近常数”。

引理 9.11

设A是献上的测度，s>0，又设x满足

0＜卫' (u,x) -< D '(P,x)＜00 (9.25)

假定存在d>0，使

了(u,x)＝卫,(/.,x)＝d (9.26)或

188 第9章 切线测度

A'(11,x)＝D'(P,x)＝d (9.27)

则对给定的“>0及;0>0存在充分大的T使得对任意的t。[T,T+iO]

d一“＜g (t)＜d＋“ (9.28)

证明 只给出在式（9.27)的条件下的证明，在式（(9.26)下的情况

类似可证．函数9增加的速率由下式控制：对t>u

9(t)＝2一’e'“一“,e."u(B(x,e-))

S e'“一“'2一，'e',u(B(x,e "))

.e'“一“) g(u) (9.29)

显然由式（(9.27)知，式（(9.28)右边的不等式对所有充分大的t成

立．特别，给定0<6<1时，可以找到 T,使得：如果t> To则

。（：）K-d＋李。（；。＋1）一 （9.30) 2

其中n=d必一（(1一e-") /s) > 0。假定‘>,T0并且存在。E [TAT +切使g(u) < de-'b，由式（9.29), g (t) ,< de'(：一‘，提‘对。<-t<-u+6成立，因此

丨ui S(9 (t，一d)dt、上+ad(e'(-一）。！一（(1一）IS一卜一记;=i�+1，由式（9.30)

J：(9 (t）一“)dt‘丨。（“（‘）一“)d t +j ,,.！一，＼：一，(9 (t）一“)d t 簇一。＋｝．游X11.一，一冬。 (9.31)

’一’一2 ”“ 2’

设存在T,>, To，对任意m = 0,1,2-二存在“e [T, +m;,不+m1.+切使g(u) - de"。则如果T,> T,并且M是使Mi <T-T,成立的最大整数，当T～二时

1T｛·（。（。）一d)d：一g l,（。（，）一d)dt＋1 M-} f T“’‘I).i(9（，）一、)dt勺。、“、一’一’一’T 0、”、”一’一 T _ojr, .-

9.2 切线测度与密度 189

、1 I T (g(t）一d)dt TJ：！＋、尸‘一’

上述和式中的第一项、第三项趋于0，因此由式（9.31)

、（。，；）一、一，1。su。1im sup -：：：；丨n+,m+ �;(g(t）一、)d t T " a}‘ T ～ "'一"J Ti +m;.

，，． 一M叮 一叮 ＿八 ,<lim sup - 景止一＝－二一 <0 一 T---一「 2T 2i

这与式（(9.27）矛盾。所以可得出结论，存在充分大的T,使对任意

的：iE [T,T+i], g(u)>de-'0。此即式（9.28）左边的不等式，只要6>0选得充分小使得d一“<de-1。 口

可以用切线测度的术语来解释引理9.11,

引理 9.12

设Fl, x和、如引理9.11所述，满足式（(9.25)，并且满足式（(9.26)

或式（9.27）中的一个。则存在vGTan伊,x）使得对任意R >0,

v (B(O,R))＝(2R)}d。

证明 由引理9. 1 1，可找到数列 tk "r co，使得对任意tE[t＊一logk, t,＋logk].

d一1/k＜g(t)＜d＋1/k

所以令rk =e- 'k，利用式（9.22）中9的定义，知对任意r E [r,/k, krk] d一1/k＜u(B(x,r))/(2r)'＜d＋1/k。

对任意R>O，存在k。使得对任意k >ko，有rk/k <r,R <,krk，由此得出：当k～二时

rk ' F,., [u](B(O,R))＝r, 'u(B(x,rkR))

二（2R)'(2r,R）一‘u(B(x,r,R))～2'R'd

上式对开球B0 (0. R）同样成立，取v c- Tan(u,x）是序列rk次．，。［川的弱极限，由式（1.25）及（1.26）可得，(B(O,R)) = (2R)'d。 口

190 第 9章 切线测度

利用引理9.12的处理方法，容易把命题9.4的证明改写成涉

及到平均密度的更强的结果 ．

定理 9.13

设 料是 R.上的测度，并且对 u 几乎所有的x，0<宜(u, x) <, N(u,x) <-，如果0<s<1，则对u- n乎所有的x,

卫：(u,x)＜宣(u, x)牙(u,x)＜了(u,x) (9.32)

证明 假定在具有正测度的x集上，0 < D'(u.x) =A! (u,x)。由命

题9.3，可选取x使得每一v E Tan(p,x)都是漂移不变的，对此x记d=旦, (u,x) =笙(u, x) > 0。由引理9.12，可选取vETan伊,x）使

v (B (0, R)) =d (2R)。由漂移不变性，对任意 ：Esptv,

F., [v] C- Tan (11, x)，再由引理 9. 1 (b）知：对任意 R >0,

d < (2R)-'(F=.}[vl)(B(0,R)) = (2R)-'v(B(z, R))。可以选取z E spty使IZI =1，否则v(B(O,R)）在R的接近于1的一个区间上将为常数。当

0<R<1时，B(z,R) c B(O,1 + R)\B0(0,1一R)，所以对较小的R,

d(2R)',< v(B(z,R))

簇 v(B(0,1＋R)）一v(B(0,1一R))

＝2'd[(1＋R)’一（1一R )']

= 0(R)

这与0<s<1是矛盾的。这就证明了不等式（9.32)的左端成立；

右端的证明类似。 口

正如系9.8一样，可以把这一结果限定在、一集上 。

系 9.14

设E是“一集，且。<s<1．则对兄丿砰所郁勺xe E, ,q'(E,x)<D'(E,x),证明 令u C IE，则对 u - IL乎所有的x, 0<D (u,x)=D (E,x)

9.3 奇异积分 ，91

＜Do视练习9.1)。于是，对u一乎所有的x，或者。蕊矛(u, x) <

风u,x)；这正是所需要的。或者。< A'(u,x) = D'(u,x)在具有正测度的集上成立，但由定理9.13知，这种情况是不会发生的． 口

事实上，这已经说明了定理9.13的结论对所有非整数、成立。

9.3 奇异积分

这一节将很简要地介绍切线测度在另一领域一奇异积分理

论中的应用，并将表明它们也是这一领域中的一个强有力的工具。

希尔伯特变换是人们最熟悉的奇异积分之一，它由下面的实积分定义：

、）（二）一丨、dy (9.33) J 夕一x

其中f EL'(R,)。这一积分应当通过它的主值来解释，即

(Hf)(x)＿lim（ f(y) d。 (9.34) - OJI，一xi;o& y一x

希尔伯特变换的基本性质是：只要f EL'(R)，积分（9.33）对几乎所有xc-Rl存在且有限。换言之，在典型点x处，奇异性对在x两边积分的影响相互抵消 。

在分形领域中考虑与希尔伯特变换类似的变换是很自然

的 。作为例子，设E是三分康托集，其维数是、= log2/log3，令

u＝对I：是“康托测度”，对于f EL(川定义 ，111，，、八f (y一二）)f(y)，，，＿．、 (Hf)(x)＝1公介ee书书宁灬du(y)

J ！y一x

＿ 1 imf se (Y - XAY) 一、 兰、少孟J Ir一二lai卞或声 “u（y) (9.35)

【由于对xEE及；<1

c,e S u(B(x,r)) S c,r' (9.36)

192 第9章 切线测度

其中O<cI<c2< 00，见练习2.11，自然会去考虑具有指数一、的积分核；而用到(Y-x)/IY-xls*’只不过用来表示经过奇异点时，

符号的变化 。回顾在式（6.36）中考虑的式（(9.35)的绝对值积分的奇异性状。｝下面用切线测度证明：对几乎所有的x，由式（9.35)定义的变换不存在 。

命题 9.15

设Y =3-(' I：是康托测度，f E L' (u)，则对使f (x) 0 0的 A-几乎所有的x

lim sup-o一丨，一、．，：(Y - x)r(Y) d u(Y)y - xl,*}】一 （9.37)从而(Hf)(x）不存在 。

证明 为避免不必要的复杂的记号，把（(Y - x)ly - xl-’一’简记为

(y一x)一’，理解它为一实数且与Y一x有相同的符号。这里只给出

对所有x, f(x)二I的情形的证明．对一般的f E L'(P)，只须稍加

修改即可，见练习9.8。 假设存在使,u (X(,) > 0的集X)二E，并设对任意x E Xa，积分

f｛，一二｛）：（，一x)-dju(y）对0<E<-1有界，即存在数c (x)，使得对任意0＜6簇￡簇1

一丨41，一二．‘。。一）一（Y)I二（·） (9.38)对任意xc-X0成立 。所以可找到实数。< o0和满足p (X)> 0的紧集Xc Xo，使对任意xEX, c(x),c。固定xe spty为X的任

意稠密点（见式（(9. 8))，考察在x点处p的切线测度 。选取

v=lim,-w rk'F,,, [P] E Tan伊,x)，且设z E sptv。由引理9.2知存在数列x, EX使z,=(x,-x)/r,～ z。再由引理9.1 (b）和式

(9.36）知v没有原子（即对任意Y, v({Y})=0)。利用式（9.5）的推广及z、的定义

9.3 奇异积分 ，93

丨 ‘v一：、一。v‘U、

＿li。丨 。、一：.)-'dv(v)

一，、rk手‘，，一：tl4R(Y一）一'd(；一＊【·，，（，， 一：。rk '，一二）、一：。｝‘，（（，一）／r，一＊）一du(Y) 一：、工rt 4 1，一二。i - Rq lY一）-'d,u(y) (9.39)

由于xkcx，故由式（(9.38)知，

II 。、一：-'d v(v) I、HM sUD。(x.)、。 (9.40) ！J'41Y一z1GR I

对任意veTan(P,x), ze spty及0<r,<R成立 。

但对 ＃一几乎所有的xC-E，测度v E Tan(p,x)是开 在延拓了的康托集：

E={ o.,*, a,. b ,b2⋯是三进展开式，对任意i, a,，b;＝0或2}上的限制 。取这样的xeX及0 E sptv，由引理9.1 (b)知，存在

c,,c_ > 0使c, r < v(B(O,r)) S c2 r'，因此，通过分部积分：

工‘，‘；（，一）一（／卜【夕一（·（。，／）），：·R+sJ y一（B(O,y))dy rR

）一“2＋“】“丨rY一’dy取r充分小可使上式任意大，这与式（9.40)矛盾，命题得证 。口

命题9.15的证明利用了式（9.38)一 关于Y的积分的界，从

而推出了式（(9.40)一 关于切线测度积分的界．对于适当选取

的切线测度，可以较容易地证明后一个性质不成立 。但命题9.15

194 第9章 切线测度

及其证明，对于一大类测度JU成立，例如犷 在R中的具有强分离条件的任意自相似 s-集上的限制 。事实上，下列关于向量

积分的更一般的结论也是成立的。注意，式（(9.42）导致了下面的结果：如果将v限制在中心在spt，的球上，则每个球的质量中心正好在该球的中心，从这点看来，式（9.42）是一个很强的结论 ．

命题 9.16

设 、> 0, 11是 彭上有限测度，满足对几乎所有的x,0<致fu,x) S F,(u,x) < -，又知极限

lim I (Y x). du(v) 〔941) ‘一“J．二一，。，·ly一xl_’

存在且有限．则对几乎所有的x

上：，，，Ydv(y）一（B(z,r)) (9.42)对任意VETan伊,x), z E sptv以及r>0成立．特别由此可推出5是整数，并且拜是 s一可求长测度 。

证明梗概 从极限（(9.41）的存在性可推出：

。 limo+<a--a工‘．，＿二。“（，一）／．，一d,u(y) =。 (9.43)利用Ego ro ff定理，可找到满足城X)> 0的集X，使上式在X上一

致收敛 。与命题9.15的证明类似，可以再一次得到式（(9.39)，将其转化成切线测度，由式（(9.43）得出

工4ly-:I4 R。一），｝，一｝,+ I d v(Y）一。 (9.44)对任意，E Tan(u,x), z E sptv以及任意0<r<R成立．为了导出式（(9.42)，考虑积分

‘一介一）00，一。)d v(y)

9.4 注记与参考文献 ，95

其中中:[0，二］一s,，由式（9.44）知，如果中(t) = t-’一，1,r.Rl'(t）则I，一0，其中1是示性函数。由这种函数的线性组合来逼近1 uo,谊t ),即得丁。‘．，一：．‘：（，一z)d v'(Y）一0，这就是式（9.42)。 现在假定 ，是满足式（(9.42)的测度，且对 ：E sptv,

c洲簇v(B(z,r)) < czrI（如同前面一样，由引理9.1 (b）及＃密度的有界性知，后一个条件对v E Tan(,u,x)成立）。利用命题9.6证明的思想，可以证明：、是整数，而v是尸 在R"的 、一维子空间上

的限制 。把切线测度的这个性质再变换成原来测度JU的性质，

就能得到 spt＃是可求长的，且lu对尸 在sptY上的限制绝对连续 。这里略去了证明的细节 。 口

当、=n且＃是 n一维勒贝格测度在有界波雷尔集上的限制

时，积分（(9.41）几乎处处存在。也可以证明，当A是开 在R0中可求长“一集上的限制时（其中￡是整数），积分主值（(9.41）存在 。更进一步，对任何关于上述测度绝对连续的测度，式（(9.41)

存在。（回顾一下，可求长集是由若干个、一维C'集的子集所组

成（见2.1节））。由此，命题9.16给出了这些R"上测度的良好特

性一 对于它们，奇异积分（(9.35)存在。一般地，对于分形测度奇异积分不存在。

9.4 注记与参考文献

切线测度的概念由Preiss(1987）在他的论文中引入，此文统

一并拓展了密度 ，切线以及可求长的理论，而这些理论早在60

年前就已发展起来了。为了理解这一工作以及切线测度的许多进

一步的应用，可参见Mattila(1995a)的书，同时书中包含有关几何测度论领域的大量的文献目录 。Preiss (1987）和Mattila

(1995a)得到了 “一均匀测度的更强的性质，并使用这些结果来

研究密度和可求长性 ．命题9.4和定理9.7关于密度和整数维

196 第9章 切线测度

数的初始证明属于Marstrand(1954)，并由Falconer和Springer(1995）推广Yil平均密度，对于一般的s，则是由Marstrand(1996)给出有关的结论 。利用切线测度来研究奇异积分是由Mattila

(1995b）及Mattila和Preiss (1995）首创的，这一领域的全貌可再一次在Mattila (1995a)中找到．对于集的局部形式这一相关

的拓扑理论由Wicks( 1991）给出。

练习

9.1 证明：如果E是、一集，则。<}'(E,x）＜00对开－ 几乎所有的xeE成立。

9.2 对任意xC-R’找出Tan (,u, x)，其中JU是平面上的勒PR * A11 度在单位圆盘B(0,1) --R’上的限制。

9.3 设E是三分康托集，s=log2/log3，P是尸 在E上的限

制。试描述Tan扭,0)。

9.4 设p是郁上浏度'PR" -[ 0, oo）连续，在R,上定义测度 YJ:以A)衬a fdu，其中A是波雷尔集。证明：如果f (x) >0, X,1veTan扭,x）当且仅当f( x) v E Tan (,uf, x)。又如果 f : R,-10, o0）仅为局部可积，则这一结论对“一几乎所有 的使f (x) > 0的x仍然成立。（提示：对后一部分使用Lusin

定理，即对E>0存在集A, u('R"\A)<E，使得f在A上的

限411连续 。）

9.5 设￡是三分康托集，s=log2/log3, /l=尸｝：。今关E-E 由f(x)=3x(mod 1）定义，试证对任意x E E, Tan扭，x)= Tan(u,f(x)),（这一发现导致了Tan (/A, x)的各种遍历性质。）

9.6 推广命题9.3，证明：对u - JL乎所有的x和每个vc-Tan伊,x),

F,,,[v] E Tan(P,x)对任意z E sptv及r>0成立 。

9.7 切线m．j度可用以研究集的角分布。设E是献中的 s一集，

0<s<n。设n>0，对每一xE郭及单位向童0，定义锥体

练 习 197

C(x,0,q)={yC- Ra": (y-x).0 >nly-XI)．证明：对＃一几 乎所有的xE E，存在单位向量0使得：

lim inf r.-o 一‘对（E nB(x,r)n C(x,0,fi)）一0 （提示：如命题9.6的证明一样，必存在lu的包含在半空间 的切线浏度，如果这一结果不正确则是不可能的。）

9.8对任意fEL'(N)证明命题9.巧。（利用练习9.4给出的Lusin定理。）9.9 如果对任;tf:-R～ R,是紧支撑上的李卜希兹函数，证明：希尔

伯特变换（9.34)对任意xE 存在 。（提示：证明积分

丁．，一：,}Ilf(y)(y一x) -'d，当“～0时，满足哥西收敛准)I1I10 )

第10章 测度的维数

自从20世纪早些时候，不规则集最初吸引了数学工作者的

注意以来，测度已成为研究这些现在称之为“分形”集的基本工

具。前面已见过不少这样的例子，通过研究以该集为支撑的测度的性质来分析这个集合，然而，分形结构经常本质上已经是测度。

例如，当动力系统的吸引子通过描绘迭代的点序列显示在计算机屏幕上时，实际上被观测到的是测度而不是吸引子集合：一个

区域的测度是由落在此区域上的迭代点的点的比例给出的。 在 10. 11两章中，将研究本身作为分形实体的测度，以及

与它们相联系的那些集合的相关性质。还发展了测度的维数和局

部维数的思想 ·考察了这样的集合E}，在这种集合上，给定的测

度u的局部维数恰好为、；这样的集合对某个范围的、可能很“

大”。在这一章中，用＃本身去度量这样的集合，而在11章则由维数引出多重分形谱的概念。

10.1局部维数和测度维数

集合的豪斯道夫和填充维数理论大部分都取决于适当定义的

测度的局部性质，现在就研究这种自身所具有的局部性质．本章

涉及的测度u都是"ti”上的有限波雷尔规则测度；所以特别有0＜PW)＜00.

回顾式（2.15)及（2.16)，所谓u在xE律的下、上局部或点维

数是由下两式给出：

dim,_-<<(x 卜lim inf logi望(x,r)) (in I、 — r--o iogr

10.1 局部维数和测度维数 199

一 ，、 ，． logP(B(x.r)) aim ,__f<<x》＝ lim sun 一－二匕一一二 么一一二几 （I丨).z)

，一。一 iogr

并且如果上两式相等，则称在x点局部维数存在，记这个共同值

为dim,-u(x)。于是，局部维数描述的是r较小时，u (B (x, r))

服从的幂规律的状况，如果在x附近”是“高度压缩”的，则d i m,a,u (x）比较小。注意如果x在u的支撑之外，则d im,oj'(x) = co,

而如果x是u的原子，则dim,,,以X)=0。为了技术上的完整性，注意到可以用通常的方法证明I峪寸x, dim,.,城x)是波雷尔可测的，

所以对所有的。，像｛{x: dl边．。。川X) <。｝这样的集都是波雷尔集，上局部维数也有类似的性质。

记川：为＃在波雷尔集E上的限制（所以u1F(A)=u(EnA)),注意到对u-几乎所有的xc-E,

dim-plF(X)＝dim, u(x)

一 dim,,,川F (X)＝dim,,,u(x) (10.3)

这很容易由命题1.7得到，这表明集上的儿乎所有的点都是密度

点，参见练习10.2,

命题2.3和2.4阐述了集合的豪斯道夫维数和填充维数与此

集为支撑的测度的局部性质之问的基本关系，下面复述这些关系

以给出集合维数的明确表达式．

命题 10.1

设E(= <n是非空的波雷尔集，则

dim HE=sup{ s：存在满足0 < p(E)＜二的Et，且对＃一儿乎所

有的xEE, dim,o,u(x) '> s} (10.4) =inf{ S：存在满足0 < u(E)＜二的u，且对所有的xEE，

d i m,.,u (x)镇s｝ （］0.5)和 dim,E=sup{s：存在满足0 <u (E)＜二的u，且对u-儿

乎所有的x。E,不而}o} u ( x) 、｝(10.6)

20。 第10章 测度的维数

= inf{s：存在满足0<u(司< 00的Ft，且对所有的 xEE，不而OCu(x)毛s｝ (10.7)

证明 从命题2.3和2.4可以直接得到上述几个表达式。 口

注意到下局部维数关系到集合的豪斯道夫测度，而上局部维

数关系到填充测度。此外，丨则度的局部维数的下界导出集合维数

的下界，对上界也有类似的关系。

这些关系提示我们利用局部维数去定义测度自身的维数可能

是合理的。于是，对有限波雷尔测度u，定义它的豪斯道夫和镇

充维数为：

dimt'j,=sup{s：对p孔乎所有的；dim,o,P(x) > s} (10.8)和

dim,。二sup {s：对It-几乎所有的x, im'j,(x) } s} (10.9)这些测度的维数可以通过相应集合的维数来表示，这几乎不会使

人感到意外。

命题 10.2

对有限波雷尔测度u

dim.＃一inf{dim,.E:E是使h(E) > 0的波雷尔集｝ (10.10)及

dim,/ ‘一inf{dim,E:E是使p(E) > 0的波雷尔集｝ (10.11)证明 应用命题10.1到定义式（10.8）和（10-9)，先取s < dim.u,如果E。是使P(ri,\E,）二0的波雷尔集，则对任意x〔E,，

dim,.,P(x) >--s．给定满足El(E) > 0的波雷尔集E，则对任意

xEE门E�,旦业I.u(x) >' s，在这里＃(E门E,）一。(E) > 0。故由命题2.3(a）或式（10.4)，对所有这样的集合E,

s毛dim,（E冂E,）镇dim �E，

10.1 局部维数和测度维数 201

由此即知dim,{F‘不大于式（10.10）的右边。 为了得至I丨相反的不等式，设 s > d i m�u，由式（10.8)，如果E

是使I,(E)>0的波雷尔集，则对任意xE E迢立n,.,tl(X) < s，由命

题2.3(b）或式（10.5)，即知diMHE镇s，这正是所需要的。 利用命题 2. 3 (c), (d）或式（10.6）和（10.7)，可以类似地证明

式（10.11)。 口

由下两式定义的测度的上豪斯道夫维数及上填充维数有时是

有用的。

dim,,u = inf{s：对Y-几乎所有的x退im,o,,u(x) < s} (10.12)和

dim,＃一inf{s：对it一乎所有的x,不m,o.E,(x)<s} (10.13)显然 dim,,ju钱dim;,。及 dim,u镇dim,p这些维数同样也可以通过集合的维数表示。

命题 10.3

对有限波雷尔测度u,

dim;il'=inf{dim�E: E是使Il(R0\E) = 0的波雷尔集｝(10.14)和

dim,,u一inf { dim,E: E是使。(P"\ E）一0的波雷尔集｝(10.15)证明 此命题的证明与命题 10.2的证明完全类似。参见练

习10.4。 口

为举例说明这些概念，下面计算[0,1]上的一族自相似测度的

维数和局部维数，设。镇P 要 按。:(1一。）的比例，不断地一冲一 ””‘－一巴～ ’一～ 一 ～ 一 ～ 2 ，ix r’、一 f丿”J‘一’J” 一’一

把测度值细分到二进制的区间，以这样的方法在区间丨0,1]上

定义自相似概率测度pp，见图10.1。用戈二‘＊表示在二进小数展开式开始k位小数是0, i,...i＊的数组成的闭区间，其中i，一1或0，l＝1，⋯，k，

202 第10章 测度的维数

则

/，(X.1' ik）一P"0( 1-P）一 （10.16)其中。。和。：分别表示在序列（(1' ...l,）中出现的0和1的个数。于

是，这个自相似测度＃，实际上就是由式（(2.44）一（(2.45）定义的测度，其中F, (x）一令二，F，x) =冬(x+1．及。，一。,P2= 1一。。

2 ’‘2协，一2、人’盖j，冖 ‘’ o

卩曰国卩国姗口．即．．．．．．

－ ．．．，．困日国．．

．一，．．．．气目．

一一，甘，．．

一"1，

一，，月 --1一：“”，洲 图1。．1命题，。．4中的自相似测度的结构：按比例粤：粤

不断地进行测度细分，即取。一合

下面的关于计算测度F，的维数的论证与FG书中命题10.1类似，10.2节中需要用到此命题的最后结论。

命题 10.4

设。、。、专。，是女口上定义的概率测度，记 s(P) _一（plogp + (1一p))/log2 (10.17)

10.1 局部维数和测度维数 203

则对p-几乎所有的x,

dim,,p，一dim;jp，一S(p）一dimpp，一dim;p, (10.18)并且一’一 丬；＿ ，，了＿、＿。‘＿、一百兀二 。，，＿、 (10.19)

塑皿iocpp（x＝S(p)＝Q}miocpl(x)

此外还存在关于p不降的波雷尔集族FP，满足：

dimHFP = S(p）且 pp(FP）二1证明 首先，注意到p。是在1的单位点测度，且S(O)=0，所以令Fo={1｝即是p=0时的结论． 下面，固定。＜；镇亠 可以将。，看成是［[0,1]上的这样 一 ’～ 产～ － 一 ～ 2 ，J～”J “’目’内～ ““’‘J一 目J亠 ’丁

的概率测度，它引出了随机数x,使x的二进制小数的第k位以概率p取0，以概率 1-p取 1，数位间相互独立。对i=0,1,

用。,(xlk)表示x E [0, 1］的二进小数的前k位中数i出现的次数。则由强大数定律知，“以概率1"，也即对p，几乎所有的x，当k- 时，

no(xlk)/k ～ p和 n,(xlk)/k ～ 1一P。

定义波雷尔集K。一F。一｛‘｝，而g0<p 告 K,一｛xE [0, 1]：丨噢n,(x丨＊）/k一；｝ (10.20)

即知 ,u,, (K,) = 1, 对任意xe [0,1 ]，记X, (x）为包含x的，长度等于2-’的二进制

区间X,..，‘，，由式（10.16)

logy,(X(x))＝n,(xl,)logp＋n,(xlk)log(1一；）如果xE凡，则对t >-0，当k～00时，

1 log． U,(X(x))一1 no(xlk)Iogp+ 1n,（二I,)log(1一。）+tlog2 k‘一0 2一kt k ”、’‘’ “‘’k一’、一’妇一口、’ r ’一’一0－

(10.21)

～ plogp＋(I一p)log(l一P)＋tlog2

于是，如果t < s(P)（见式（10.17))，则

丨兜9,(Xk(x))IIX,(x)I‘一0

204 第10章 测度的维数

所以由命题2.3 (a）简单的变形，即把其中以x为球心的球换成包

含x的二进区间，则对每个使Pp (E) > 0的波雷尔集E，可以得到dim,,E >,s(p）特别有 dim HKo >s(p),同时由式（10.10）可得dim,,P,）s(P)a 另一方面，如果0<q,<p及x e K,，则由式（10.21),

士log P IM2-竿泣一。logp＋（卜。)log（卜；）＋tlog2 ）p logp＋(1一p)log(1一P)＋tlog2

这是由于当，毛方时，q (lo g。一log(1一。））一。log(p/(1一。））随。的增加而递减。因此，如果t>s(P)，则对任意xEF=Unc-K

liMP,(Xk (x))/IX,(x)l‘一00。再利用命题2.3 (b)关于二进区间的一个类似形式，即得dim.F,-<s(p)，而由上面的证明知“（川簇dimHKo

（dim, F,，故s (p）一dim HF,。注意到“,(F,)>-P,(K,）一1，由式(10.14）即可得dimt,P, < s(p)，又由于s (p) < d'MHP, < dimHP,，这就证明了式（10.18)的前两个等号。再利甩式（10.8)和（10.12)，立即可以得到对＃一几乎所有的x, dim,o,P(x)=s(p), 关于式（10.18)右边的两个等式可以利用命题2.3中有关填充

测度的部分，以及dim,P，和dimpp，相应的定义及性质平行地证明（留给读者自己练习），因此，由式（10.9)和（10.13)，对p几乎所

有的x, dim,+p(x)=s(p)。 口

在上面的例子中d im,-p (x)及dim b}p(x）对p-几乎所有的x都是常数。实际上具有这种性质的测度经常出现，称之为具有

“严格的维数”或“一致维数”。如果对p-几乎所有的x,dim,_p(x)

＝、，则称测度p具有严格的下维数，而如果对ILL -几乎所有的抓dim,ap(x) = s，则称测度p具有严格的上维数．很显然，由式(10-8),(10.12),(10.9）和（10.13),E‘具有严格的下维数，当且仅当

dim,/-'＝d1m,,p=s

而p具有严格的上维数，当且仅当

10.1局部维数和测度维数 205

dimpu=dim;＃一s正如所期望的那样，这种严格性也可以通过集合的维数来表达。

命题 10．5

测度u具有严格的下维数、，当且仅当存在波雷尔集Eo，使

u(P?"\Eo) = 0，及对任意满足I' (E) > 0的集E c Eo, dimHE=s（可以取Eo ={x : d im,o,u (x) = s})。类似地，＃具有严格上维数s，当且仅当存在波雷尔集Eo，使u(--R\ Eo）二0，及对任意满足u(E) > 0的集

EcEo，dimpE＝s。

证明 如果＃具有严格的下维数，由定义，存在波雷尔集Eo，使,U(-R' \E,,) = 0，且对任意x E Ea, d Lim,o,u(x）一s，于是如果E二Eo，且,u(E)>O，贝丨i由式（10.4）和（10.5）知，dimHE二s,

反之，如果存在波雷尔集风，使u (R"\ Eo) = 0及对任意满足

u(E) > 0的集Ec E,,dimHE=s，贝9由式（10.10）知，dimHu=s，所以由式 （10.8)，对＃一几乎所有的x迫j里},u (x) >, s，另一方面，由式

(10.14), dim几u<-s，所以由式（10.12)，对u- IL乎所有的x，dim,o,u(x) <, s，因此u具有严格的下维数、． 有关具有严格的上维数的证明可以利用上局部维数和填充维

数的相关性质平行地进行． 口

在命题 10.4分析的例子中，测度up具有严格的上、下局部维

数S(川，用类似的方法，同样可以证明，由式（2.43）一（2.45）定义的满足强分离条件的更一般的自相似测度也是具有严格维数的。

另外一个论证严格维数性的方法是利用遍历性，该方法同样

可以应用于自相似测度．回顾6.1节的内容，如果对任意的u-可

测集A cz X,u(f -'(A)) =u(A)，则称测度＃在f: X一X下是不变的。如果对任意的满足f-'(A)=A的可测集A，或者u(A)=0，或

者u(从A)=0，则称9是遍历的。

206 第10章 测度的维 数

命题 10.6

设x是R"的闭子集，如果f : x-x是李卜希兹函数，u是x

上的有限测度，且＃在f下是不变的，又是遍历的．则u具有严

格的下维数和严格的上维数。

证明 证明中要用到遍历定理。设a是f的李 卜希兹常数，即对

任意z，、，e X, If (z）一（w)l< al z一wI。于是，对x,yex和r>0,If(x)-.f'"(Y)I <-al x-f'(Y)I这里尸是f的第.1次迭代），所以如果f妙)EB(二，r)，则尸+}(Y) e B (f(x),ar)，用示性函数表示，则是

1gcx.,)(f }(Y)) <- 1wcsi")U'.}(Y)) (10.22)把遍历定理6.1应用到示性函数，，、，）和1 e(fcx).a.，上（对固定的x和r)，则由式（6.4）和（6.5)，对u-几乎所有的夕，

u(B(x,r)) = f1，二，,d一。（·）、、k-}(x)lim 1-} 1k.}} k ;-o，二，，。，。））和。、。。·），一）。一乒。。二、a.,d一（·。，＊_1 t -'lim kY-1，。：），。，）（，、））（在上面第二个式子是把遍历定理应用到f(Y)，注意到利用u的不变性，“几乎所有的f (Y)”相当于“几乎所有的Y")，由式（10.22)，对任意的xex及r>o, u(B(x,r))-<u(B叭x),ar)，于是，

dim1o}u(f(x))一lim ionf logu(B(f(x),r))/logr

一ii叨of logP(B(r(x), ar))/logar 蕊 lim少of logu(B (x,r))/(logr0 ＋loga) 二旦im,oji(x)

由于＃在f下是不变的，所以

悴1。一。(x))d /,I(x，一悴,o,,u(x)du(x)由此得出结论：对＃一几乎所有的x, dim,a,.u(f(x))=dim,o.P(x)，即9有严格的下维数．利用上极限的相应的一序列不等式，可以

10.2 测度的维数分解 207

同样地证明上维数的严格性。 口

从引理6.4(b)中已经看到，由式（2.43）一（2.45）定义的，满足强分离条件的自相似测度在由Ef上的由F;-，定义的映射f：E->E

下是不变的和遍历的，所以由命题 10.6它们都有严格的上、

下维数。类似的，许多不变的遍历测度也可以定义在cookie一。utter集上，这些测度因而也是具有严格维数的。对严格

维数的另一些遍历性的判据，可参见练习10.60

许多计算集合维数的方法都涉及到估计集中到这个集合

的测度的维数，而找到这样的具有的维数与所考虑的集合的维

数相等或接近的测度是一个重要的问题．

在动力系统的情形中，测度的分形性质比集合的分形性质

显得更为重要。在计算机实验中，为了显示动力系统x I--f (x)的吸

引子，希望通过描绘从初始点x出发，迭代生成的大量的点x,f(x),

f (x),... f ,(x)来显示吸引子。本质上，在计算机屏幕上显示出的是，由 u(A）一lim率＃于jl<k'，二。A｝ k-w k ’廴“一’“‘j 、一二lJ

（假定在某种意义下收敛）定义的“驻留测度”IU，它是由系统的吸

引子所支撑的．观察到的正是这个测度而不是吸引子本身，它的

一些部分，分布的迭代点可能会非常稀疏。寻求吸引子集的维数的方法通常是估计这个测度的而不是集合的维数。当然，涉及动力

系统吸引子的维数与其它参数关系的许多结果也与吸引子的测度，

而不是与集合本身有关。

10.2 测度的维数分解

如果一个测度不具有严格维数，人们自然地要试着将它分解，

使在5的一个范围内，分解成的测度具有严格的维数。在这一节

中，叙述处理这个问题的一个方法。下面只给出对下局部维数和

豪斯道夫维数的详细的阐述；而对上局部维数和填充维数也有一

208 第10章 测度的维 数

套平行的理论。与前面一样，u仍是再”上的有限波雷尔规则测度．

对、i0，考虑这样的集合，它的（下）局部维数不超过、：

L.,＝{x: dim,au(x) S s} (10.23)则E}，是波雷尔集，且由命题2.3 (b)

dim�E ,簇 s (10.24)显然，随、的增加，F：是不降的，因此有上连续性：

L,：一n, E << (10.25)记E。为其上的点都具有严格的（下）局部维数、的集合，则

E, ={x: dim,a,P(x）一s) (10.26)

一E<,\ U E<, (10.27)

为得到所希望的JU的分解，首先研究拜在集E4，上的限制I,,

即'u-PI', ，它由下式定义，对任意集A u,(A)＝P (A冂互‘J (10.28)

显然

N, (TR'镬z3）＝0并且由式（10.25）及式（(1.13)的测度连续性

1丨魏M,(A）一1丨碧u(AnE"）一“(A (1互‘：）一。,(A), (10.29) 可以利用集合的维数表示＃．。

命题 10.7

对05s<n及任意波雷尔集A

,U,(A）一sup伊(A门E):E是满足dim �E<-s的波雷尔集｝证明 利用式（10.24)

fl,(A）一＃（A自Es) <sup{P(A门￡）：dim �E< s)另一方面，fil用式（10.3）和（10.23)，对＃几乎所有的x0二，，即对

川〔、、：‘，，一几乎所有的x, 卫i m,oc川（；·＼：‘、(x) = d im,o,,u(x)＞t

10.2 测度的维数分解 209

于是，由式（10.8),dimHulc;""}F},, > t，所以由式（10.10)，如果￡是满足dim HE<t的任意波雷尔集，则。一＃｝‘，·＼：‘>(E）一,u(E\E,,冫。因此，如果注是波雷尔集，u (A门E）=Y( A门五门E,,) -<,U,(A)，所以

sup{P(A自E)：dimHE＜t)（},(A )于是，对任意t>s

sup｛＃(A门￡）：dim HE<-s}<,u, (A)再利用式（10.29）即完成了命题的证明。 口

在命题10.7中取、=n，则对任意的波雷尔集A, un(A) =u (A) (10.30)

下面在实区间【O,n]上定义有限波雷尔测度N，令

N[O,s])＝u,(R") (10.31)并按通常的方法把这个定义延拓到［[O,n】的子集上。由式（10.28),

八([0, S])＝＃匡‘，） (10.32)因为风B)记录了在实数集B中具有（下）局部维数的点集的川则度，所以p有时称为lu的维数测度．

下面的“维数分解公式”表示＃。可作为某个测度v，关于p的

积分；测度v‘称为召的维数导数族。

命题 10.8

对澎的每个波雷尔子集A和任意0<t<n，存在实数v, (A),

使O<.v,(A)K, 1，且

(a）对。St<n,v‘是R,”上的波雷尔概率测度． (b)对任意0<S,<n，及任意的波雷尔集A，

一（“，一工。，v,(A)dP(t) (10.33)O's]证明 对每个波雷尔集A，类似式（10.31)，可以定义[0,n]上的波雷尔测度户，为： AAOSD = U,(A) =,U( A nL.j,

210 第10章 测度的维 数

并把它延拓到［[O,n]的子集上。对。<s<t, 0l<户，（s,t]=p,(A）一u,(A)

＝u(A门伍<<\fl 1))（月伍‘：优‘：） ＝UP）一PO")＝户(s, t］

所以，对任意Bc[O,n], 0 "A(B) < }(B) (10.34)

即户，是对Q绝对连续的，所以可以把风表成

、，（。）=J v,(A)dP(t)3其中v, (A）是Radon一Nikodym导数，即v, (A)=d户,, (t) / d}。特另g取B = [0, sl，并利用AAGO,sl) = ll,(A)，即知对O<-s<n，式（10.33）成立。 证明v，是N"上的测度存在技术上的困难，这是因为dAA(t)/dA

只定义在户JL乎处处的t上．但可以将这个定义复制如下，令

.A一｛[k,2--,(k，＋1)2'"）X⋯X [k,2一’， (k二＋1)2--）： in GL7十，k�...， k}G Z｝

为 R"上的二进立方体的集合，对任意AEA，选定一个

Radom-Nikodym导数的表达式v,(A)=dAA(t)/d}；根据式(10.34)，对任意AeA及t E [0,n1，可以假定0<v,(A)K-1．如果

A},...A＊是相互不交的集合，且A=U几IA;，则对户几乎所有的。， d八}(t)id户一d A,, (t)/d八＋⋯+dAAk(t)/d户 (10.35)

或者 v, (A )＝v}(A, )＋⋯＋v, (A,) (10.36)

因为贝包含可数多个二进立方体，而每个立方体又是2“个边长

为其一半的小二进立方体的不交并，所以存在集合W c:[O,n]，满

足风[0,n]\叫=0，只要A是二进立方体，且A,,.. A＊是2”个边长为A边长一半的二进子立方体，则对任意tC-W式（10.36)成立。于是，对任意tc-W，可以用一种相容的加法方式，将v, (A）延拓到

A是二进立方体的有限并的集类中去，并使式（10.33)对这些集合

10.2 测度的维数分解 211

仍然成立。可用通常的方式继续这个延拓的过程，使得对任意

tE以测度v，在波雷尔集类上是可数可加的，并满足。SV,(R") S1,且把式（10.33)延拓到波雷尔集类上。因为u([0, n ])=p(R')，由式

(10.30)，又有。('R.）一。. (An）一工-, v,(f ")dA(t)，所以，对几几乎所有的t,v,(R")=1。于是，对几几乎所有的tE[O,n]，测度v,是概率测度。通过再把v，定义在户测度为零的t的集合上，可得到对任意

tE [O,n], v‘是满足式（10.33）的概率测度。 口

下一个命题概括了测度v：的主要性质。

命题 10.9

设v‘满足命题10.8的结论，则

(a）对任意的波雷尔集A，及户几乎所有的tE (dimHA , n],v,(A)＝0。

(b）对任意s及A-A乎所有的tE[O,s], v,Lz,)=1。 (c）对舟几乎所有的t，v,匡‘）＝1且v‘（郁适：）一0。

证明 （a）设A是波雷尔集，并记s=dimHA，由式（10.33)

工：川一。)d A(t，一“·（‘，一“，“， 毛 P(A）一u (A门A）＝0

利用式（(10.30)及命题10.7，则知对户几乎所有的t E (s,n],v, (A）二0。

(b）由式（10.33),(10.28）及（10.31)

工．，丨一（E },)d}(r卜·：二‘：卜,U,(R,卜E}([O,s丨）一丨。，，1dh(r).:j因为对所有r, 05v,伍")} 1，这意味着对户一乎所有的rC-丨O's],

v；位‘：）＝1．

212 第10章 测度的维 数

(c）注意到

It c- [0,n]:“寸有理数9＞‘，，。（“一）＜’｝一只｛‘：，：伍（，）＜’，‘<q) (10.37)

由（b）知上式并中的集合的户测度都为0，即对户几乎所有的t，v,伍‘；）一1对所有的有理数q>t成立。根据式（10,25)，则知对户几乎所有的t,

v}L<}）一limV,(E}qq ti t ）一’ (10.38) 用同样的方法 ：

｛‘e [O,n]：对有理数9＜t,V,(E")>0｝一只｛‘：，：迄‘，）＞”，t>q}

因为由式（10.24)知dim,,E,q -!} q，所以从（(a）知上式的并的A测度为0．于是对户几乎所有的t , v,伍‘p=0对所有有理数q<t成立，所以利用式（10.27）及（10.38)，

v，L,）一v‘伍<<)一limv,L. )q / q一’一0＝‘· 最后，注意到

v, (F;0迄‘）一V‘（科 n）一v,吸）＝1一i=0。 口

命题10.9(c)说明式（10.33)是测度p的一个分解，它分解成

分别支撑在E：上的部分v,，而在E‘上p具有局部维数‘。当然，最理想的是v‘本身对户几乎所有的t，具有严格的维数c．

然而，因为v：但")=1，式（10.10）意味着dim Hv, <dim涯‘：．是否dim禅‘：会严格地小于t，如果可能发生，那么dim �v, < t。则由式（10.8)知，对一个具有正v：测度的x的集,dim,av, (x) < t,令人感兴趣的是，找到对某些 t保证v：具有严格维数的明确条

件．下面将要看到，至少在u L,) > 0的条件下，这种情形才发生。 下面，将利用【0, n上测度u的性质，得到一种把9分解成

为具有不同局部维数部分的可选择的方法。回顾一下，称数、是Q

10.2 测度的维数分解 213

的原子，如果A({s)) > 0。由点测度的求和知道，有限测度A的原子的集合S显然最多是可数集。户在S上的限制称为八的原子部

分，而A在［[0, n]\S上的限制则称为u的柞原子部分。 下面将要见到，有限测度u的具有严格维数的分解部分对应

于户的原子s。另一方面，相应于A的非原子部分的分解u0具有

扩散维数分布，即对任意s, UDIx: dim,a,,U0(x)=s)=0。 由式（10.27）和（10.33)，对波雷尔集A

“（An-E,）一“(A n E,）一！im,u(A n E ＝PIA）一limP.(A)

一lim丨（。，丨：(A)dA(t)取A=彭，则知，只要、不是户的原子，即有尸(}-,) = 0．而当、是原子的情形 ，则

A( A门Ej一v,(A)A({s}) （10.39)于是户的原子对应于那些使,u(E_)>0的、；这就使我们可以限制＃

到这样：的E：上，而把p分解成具有严格维数的部分。

命题 ，0.10

设9是可上的有限波雷尔测度，则存在有限或可数集

S,= [0,川，及对任意，eS均具有严格维数‘的测度'U'，和具有扩

散维数分布的测度W，使得

r＝艺'us＋UD (10.40)

事实上，可取

S=｛se［0,n]:,u（E)＞0} (10.41)和对Ac矿

EP(A)＝h(A门五；） (10.42)

MD (A)＝P (A\ U E,) (10.43)

214 第10章 测度的维 数

其中（与前面一样）

五，＝{x: dim,a,u(x)＝s} (10.44)证明 因为川彭）＜二，所以式（10.41）中的S集是可数的．对sc-S，用式（10.42）定义波雷尔测度卩’和用式（10.43）定义,uD。由式(10.3）和式（10.44）知，对u-n乎所有的x EE，等式d i m．,b,u'(x) =

dim,.u(x)=s成立。于是，对＃’一几乎所有的x , dim,a,u'(x）二s，所以u'具有严格维数、。

利用式（10.42）和（10.43)，对A c R",

·（‘，一恿“（‘n E，二(＼}JSE 一Y- us(A)＋yD(A)

为证明川具有扩散的维数分布，再一次用到式（10.3)，注意到对＃DJL乎所有的x, dim ,o,u'(x)=dim,",u(x)，于是对任意t E [0, n]

·”“一“，。。·”（·，一，，一L,，一(E,\ USE)一。这是因为如果＃伍J>0，则t是户的原子，必存在s E S，使E _五，。所以,u D具有扩散维数分布。 口

具有严格维数的测度较容易找到；命题10.4和10.6给出了许多例子。然而，具有扩散维数分布的测度自然较少出现。下面

说明如何构造这样的测度；事实上，将证明存在R上的测度u，使

得维数测度A等于任意给定的［[0,1]上的一个概率测度．本质上

就是把具有由命题10.4导出的形式的测度聚集起来，而得出具有希望的维数测度的测度。

引理 10.11

对任意。,<s<1，存在波雷尔概率测度。，和集烈，使得式对、是不降的，及dim,,F; =dim�v,= s，并且 v天F;)=1。

10.2 测度的维数分解 215

证明 这些集和测度本质上是在命题10.4中构造的。注意到对

0<s<1，可以找到唯一的。一。（、），使。、。、专，且s=-(plogp+(1一。)log(1一。))/log2。令F,=F,c,,, v,=,UP(,，这里Fv (,，与＃，（，，如命题10.4中所叙述的，这就得到了所要求的性质的集和测度。 口

命题 10.12

设n是［[0,1]上的概率测度，则存在离上的波雷尔测度u使

拜＝叮。

证明 设v，和对如引理10.11所叙述的，定义波雷尔测度如下：

“（‘，一工．：，v,(A)dn(t) (10.45)因为对任意tE[O,]], v,(R)=1，所以＃(R) = 1。又因为dim HV,=t,则由式（10.10)，对任意满足dim �E<t的波雷尔集E, v, (E) = 0,于是，对0<s<l，利用式（10.31)，命题 10.7，式（10.45）和命题

10.9(a),

}([O,s])＝JU,(A)

一｛工，。一（E)dt1(t):dimHE<sI 一p｛工"Iv,(E)dq(t):dim�E、,} 二q（丨O,s])

上面还用到条件，对任意E, v, (E) < 1且对t < s v,叮）=1,dim�烈=s。所以户='1 口

这个结论可以推广，一般地可以得到A"上的测度Y，使得对

任意给定的〔0, n]上的概率测度'1, u= n。

216 第1。章 测度的维数

10.3 注记与参考文献

几乎是自几何测度论诞生以来，测度的局部维数就以某种

形式出现，虽然不是称为这个名字。特别是Fro stman (1935)

和Billingsley (1965)利用测度的局部维数去研究集合的维数．Tricot (1982),Cutter (1986),Haase(1992）及Hu和Taylor (1994)

讨论了豪斯道夫和填充测度与局部维数的关系．严格维数性的遍

历判据由Cutler(1990）和Fan(1995）给出．

Rogers和Taylor(1959 ,1962）得到与命题10.10非常相似的分解定理，并且构造了有扩散维数分布的测度。在10.2节中应

用的方法是由Cutler(1986,1992), Kahane和Katznelson (1990)应用Riesz位势得到的类似的分解方法．

练习10.1设P是J:"土的有限测度，ITri f: "A" - R"是李卜希兹映

射。证明dim,}v(f(x))'dim,.,u(x)对任意XE献成立；其

中，由v(A）二P(f -'(A)）定义．证明如果f是相似或仿射变 换，g1'1对任意x E m", dim,.v叭x)) = d J旦,+P(X)"

10.2 利J#1命题1.7的密度性质，验证式（10.3),

10.3 P是-R”上的有限波雷尔浏度，cE'R,验证｛x:鱼甄声(x) < c} 是波雷尔集。

10.4 证明命题10.3,

10.5 设0<p<l, E是三分康托集，＃是在通常的康托集构造上，

按P:1 -P的比例把测度重复地分配到下一步的子区间上， 而得到的以E为支撑的自相似}11度．证明P具有的严格下

维数等于一（p logy + (1一P)log(1一P ))/log3

10.6 （另一个严格性的判据）设 X是 A0的闭子集, }rl 是

f:X-X下的遍历的不变ra．l度．设对任意的波雷尔集E,

练 习 217

dim, f-'(E),<dim,E．证0N u具有严格下维数．（提示：如

果,u(E) > 0，利用遍历性的定义证明El( U只，f'E)=1，然后 矛，」用式（10.10）和（10.14）证明。）

10.7 设＃，和拜2是具有不相交支撑的阅’上的有限浏度，证明维

数All度满足扭：＋拼2）‘＝N,＋p2．

10.8 直接证明（在具有户测度的t集内）由式（10.45）定义的测 度lu具有维数导数族vt。

10.9 互‘，如式（10.23)所示，证明dim适4=<s.

第11章 部分多重分形分析

正如在上一章见到的，密度变化范围较大的单个测度可以定义出分形集的全部的“谱”，而这种谱是由在分形集上，局部

维数取特殊值的那些点所决定的．上一章主要是涉及这些集的p测

度，在这一章中，通过考察一类集合，进行“更细致”的分析，而

这类集合虽然JU测度值是零，但作为具有正维数的集合还是有重要意义的。多重分形分析目的在于量化测度的奇异结构，以及在

尺度发生变化时，为伴随有不同范围的幂定律的现象提供模型。

回顾一下，对R}上的有限测度u, 在x点的局部维数（或局

部Holder指数）由下式定义：

dim,o}}(x）一蚀logp(B(x,r))/logr (11.1)如果这个极限存在的话。对任意，1>0，考虑这样的一个x的点集

E,，在E：上局部维数存在且等于“．（在多重分形分析中，有关这

个问题普遍地用““”而不用“、”，在本章中也遵循这个约定）。对

某些测度p，集合E，可能是非空的，且在“的一个范围内有相应的分形。当这种情形发生时，＃通常称为多重分形测度．很自然

地要对由f (l)二dimE,（某些适当定义的维数）定义的A的多重分形谱或奇异谱进行研究。例如，自相似测度（见2.2节）是普通

的多重分形测度，它们的谱将在11.2节详细分析。

这种通过一个测度来获得许多分形的思想乍看来是相当吸引

人的，但是在分析数学性质和试图计算在一些特殊情形下的多重

分形谱时，就有重重的技术上的困难。例如，何时利用上或者下

局部维数更合理，或者在定义f (x)时应该利用维数的哪一个定义，这些问题都不总是很清楚。在r～ 0的过程中 ，当r的值较小，

但处有于限的尺度时，对有关}(B(x,r))的极限状况的处理要十分

11.1 精细的与粗线条的多重分形理论 219

仔细，这里可能会引出精细的或者是粗线条的两种多重分形理

论。当9是负数且u(A)较小时，涉及u(A)“的估计也会出现一

些困难 。

尽管如此，或者可能正因为如此，对多重分形的数学研究已经

做了大量的工作，早期的这方面的工作是对分形集做的．其目的

是给出多重分形维数谱的令人满意的定义和解释，并研究相应的

几何特性（例如有关测度的分形谱及它在子空间上的射影），和寻

找计算多重分形谱的一般方法，进而求出一些特殊测度的谱。

在本章中所做的并不会超出涉及多重分形的数学性质这方面

的事。11.1节介绍了有关能适用于普通测度的一般理论，并特别

讨论了对多重分形的精细的和粗线条的两种处理方法．11.2节

计算了自相似测度的分形谱，而 11.3节则利用热力学形式体系

把上一节的计算方法推广j;l1非线性的情形，即cookie一cutter集上的Gibbs测度的情形。 在许多情况中都可以见到具有多重分形特性的测度。多重分

形已被利用来描述动力系统的吸引子上的驻留测度，流体中的湍

流，雨量分布，宇宙中的质量分布，粘性指进，神经网络和许多其

它现象．然而，要将这些例子与数学及计算理论联系起来总不是

那么容易的 。

11.1 精细的与粗线条的多重分形理论

多重分形分析有两种基本的处理方法：即考察E,集本身的

几何性质的精细理论，及考虑当：较小但取正值时的fl (B (x, r))分

布的不规则性的粗线条理论 。在精细理论中，研究当；一0时

P(B(x,r)）的局部极限状况，并考察随这种不同状况定义的集的整

体性质。而在粗线条理论中，描述r较小时，P(B(x,r))整体的不

规则性，并对；～0时考察这个极限。在多重分形分析的精细的

和粗线条的两种处理方法之间有许多相似之处，例如，它们都涉

22。 第11章 部分多盆分形分析

及到勒让德变换，两种处理方法对许多基本测度都导出相同的多

重分形谱 。

精细理论可能更适合于数学上的分析，并需要与研究集合的

豪斯道夫维数时用到的相近的思想 。另一方面，粗线条理论却

更适合于寻找物理学例子中的多重分形谱，或估计来自于计算机

实验问题中的谱，而它的处理方法使人更多地回想起盒维数的计

算 。

在讨论精细的和粗线条的处理方法，以及它们与一般测度的

联系中，必须强调它们的定义和适用范围会有许多变化，这种类

似的，但却是不同的定义可能会在书中的其它地方见到 。 设＃是R"上的有限波雷尔规则测度，对，i0，定义

￡：一｛xe FR": dim,.p(x）一，｝ (11.2)

一｛x e R,":limlog/'(B(x,r))/logr.-u 一，｝ (11.3)即E，是在其上存在局部维数，且局部维数等于，的点的集合，多重分形分析的精细处理方法的主要目的是对“>0，求出d i m�E,（注

意多重分形理论的一些变化，有些是用上或下局部维数定义，或

者在下一章中，用“>x”或“x<”来代替“二：”）。 在令人感兴趣的大部分例子中，对那些使E：不平凡的：

值．E：在spt＃中稠，则dimBE,=dimBE,=dimBsptU（对上盒维数有类似的等式）。所以盒维数在区分E：的大小上几乎没有什

么作用，于是，更自然地要考虑 。

几（“）＝dim �E： 及 苏（“）＝dim,E, (11.4)它们分别称为P的豪斯道夫和镇充（精细）多重分形谱 。

显然，对任意：）0, 0 S f,(x) 5dim�sptf'，对填充维数，也有类似的不等式。由命题2.3(b)，对任意“，

0<-无(x) 5 x。 (11.5)

对粗线条谱的定义是沿着盒维数的线路，考虑A"上的；网立

11.1 精细的与粗线条的多重分形理论 221

方体，它是由［[m ir,(yl1 , + I)rlx...x[1n.r,(m. + I )rj组成的立方体，其中in �...,in。是整数。对R'"上的有限测度h及“i0，记

N,(x）一＃｛使p(A) >, r’的r网立方体,q} (11.6)定义P的粗线条多重分形谱为：

loe}(N lx＋￡）一N (x一￡、、 ，．＿＼ 东‘义）三三llm llm 一 (11．1）

c--0 r“ 一logr

如果上式的累次极限存在的话。（其中logx三max{0, logx}，这只是保证f x)'> 0的一个方法），定义式（(11.7)意味着，如果n>0,E>0且充分小，则对充分小的；

r一左‘”‘”簇Nr（：＋“）一N,(：一。）毛r-f(,，一”。 (11.8)粗略地讲 -f (x）是使r网立方体A满足城A) =r'的幂定律中指

数的数值。注意到当：～0时，f (),）不是使E1(A,(x)) = r’的x点集合的盒维数，其中A,(x)是包含x的r网立方体；粗线条谱提供了在：尺度变化时，对测度p的变动的一个总体的观察，但并没有

给出户在任何一点上的极限状况的信息 ．

在式（11.7)的极限不存在的情形，对，>10，定义＃的下、上粗

线条多重分形谱为：

．＿to g'(N lx＋￡、一N (x一￡)1 r (x)＝llm llm Inl一 （l 1.Y) 二二一 ‘--0 r}u 一iog r

及

一 ＿ ＿． ＿． lo e(N (x＋￡、一N (x一￡、、 r_( x】＝lim IIm SUD一 (11．1U)

‘～“ r- O 一togr

下面的引理给出了精细谱与粗线条谱之间的基本关系：

引理 11.1

设11是R"上的有限测度，则对任意x>,0,

无（“）5羌(x)（无(x) （11·II）证明 只要证明式（11.11)中的左边的不等号，右边的不等号是显

222 第11章 部分多重分形分析

然的。为简单起见，设14是A上的测度，高维空间中的证明也是

类似的，只不过在高维空间中用来比较的球和立方体的测度，在

一维空间中用区间的测度取代．

对固定的“i0，简记f三fH(x) = d im.E,，可以假设f>o，则对给定的0<E<f,厂一‘(E}) = 00。由式（(11.3)，存在集E0cE：使

刃-(E0) > 1，且存在ro > 0使任意、‘瓦。及任意0<r<-ro， 3r"< N(B(x,r)) < 2“一‘r，一‘ (11.12)

可以选择满足。＜”、专r。的S,使可一‘洲）>,1。 对任意；,a，考虑与星相交的r网区间（具有［(m r, (m + 1) r]

形式，且me酌，这样的区间A包含理的点x，满足

B(x,r) }= A U A, U AR -Z B(x,2r)其中A：和A：分别是紧连着A的两旁的r网区间。由式（11.12)

3r’十‘蕊u(B(x,r)) <,u（AUA,UA,）5 u(B(x,2r))＜r’一‘所以

r'＋‘ S.s }(Ao)＜r’一‘ (11．13)

其中A。是A, A：及A；中的一个．由H,ar-‘的定义，至少有

r'-IJ1 s -(E0) i r0-‘个与Eo,相交的r一网区间，所以至少有告；‘一‘个满足式（11.13）的；一网区间Ao（注意到每两个区间A被2r或更多

的：分开，得出了不同的A。区间）。因此，对r}S

N, (x＋“）一N,(“一“），李r‘一‘所以由式（11.9)，即得 差(x)-f=f(x)。 口

事实上，正如已见到的许多集有相同的盒维数和豪斯道夫维

数一样，许多普通的测度也有相同的粗线条谱与精细谱，下一节

中将见到的自相似测度正是如此 。

多重分形谱通过勒让德变换与某些矩联系起来，这就提供了

另一种计算分形谱的方法．确实，许多测度具有的分形谱实际上

等于自然的辅助函数的勒让德变换 。

11.1 精细的与粗线条的多重分形理论 223

设/l: A一R,是凸函数，则存在“的某个范围，比如说是

“E [ x.;. , x max ]，在这个范围内，r的图有一斜率为一：的支撑线La，且对这样的“，这种支撑线是唯一的。（当“二otmi。或'max，取

L，为相应图的渐近线）。9的勒让德变换是函数f:[：二！n, ImaxI}R,，函数值由L，与铅垂坐标轴的截点的值给出。见图11.1

f(0) ＿沙f ｛ll(q)＋xq｝ (11．14)且f对：是连续的。

阝 r(v) 、 1

与沙r}u (v.N(v))· 图11.1 fl(q)的勒让德变换是f(2)，等于斜率为一：的切线与p轴的裁点值

粗线条谱关系到矩和的幂定律指数的勒让德变换，对Rc真及

r>0，考虑测度P的R次幂的矩和式

M,(q)＝艺N(A)4 (11．15)这里是对满足,u(A)>0的所有r网立方体A求和。（对取负值的R,

存在有关稳定性的问题：如果立方体A刚刚截到spt＃的边缘，则城A)“可以是非常大．对这个困难有许多处理方法，例如求和

只限制在中心部分与spth相截的那些立方体上，但这里不继续

探讨这个问题。）

这些矩和关系到N,(x)：利用式（11.6)可以得出，对任意，）0,如果q>,0，则

M.(9 )＝艺u}A)0 %r''N.(x) X11．16)

224 第11章 部分多重分形分析

而如果q<0，则

M,(q) =艺m(A)Q >, rAx#{A是满足0<p(A),<r’的r网立方体｝(11.17)通过定义

粤q）一’im inf logM,(q),_o ／一‘ogr (11.18)及 fl(q）一l1m Sup Io9Mr（q)／一logr’ (11.19)来确定M,(q )所服从的幂定律的情形。（注意，许多文献中是用

一响）取代这里的fl (q ))，下述引理说明了fc和元与旦和万的勒让德变换的关系．

引理 11.2

设＃是!R”上的有限测度，则对任意：>,0

工（，）（工（“）三一少纸＿｛么q)+aq1 (11.20)

及 .Tl(x) 5 il(x）二＿inf< q-及。）＋·。｝ (11.21)证明 首先取q>-0，对给定的“>0，式（11.16）及（11.9）意味着对

任意充分小的；，

M,(q)）r.4(’+c)Nr (Oe＋“）i r,q(rs+c)r-_1c(a)+c (11.22)

则由式（(11.18)知 一ff (q)-<q(x＋“）一fl-(")＋“

所以由“可以任意小，即得美(x)旦（。）＋“。，利用式（11.17)，且把：换成：一“，通过类似的证明，可知对q<0，这个不等式仍然

成立。

对上谱的证明也类似：代替式（11.22)，可利用不等式：

M,(q)）rq('+c)从（“＋“））r9(’十‘)r-r,(')+'

对任意小的r成立。 口

由式（11.20)和（11.21)定义的勒让德变换f}和天有时称为测度u的下、上勒让德谱。对许多测度来说，它们相应的式（11.20)

11.1 精细的与粗线条的多重分形理论 225

和式（11.21)中的等号成立。确实，正如自相似测度一样，下、上

值经常是相等的。经常发生的是，粗线条谱正好是函数fl(q)的勒让德变换，这就可以用比极限更明确的方式来定义它。 勒让德变换在多重分形的精细理论中也发挥了主要的作用，

这里再次要定义出合适的刀函数，使它的变换成为多重分形谱的好的选择。对网立方体的矩和式的一个连续的替换是：

fl(q）一lim竺g f P(B(x,r))0-'dP(x) (11.23) 矛～“ iogr

（如果极限不存在，则改成上或下极限），对性状良好的测度，p的

勒让德变换就得出了多重分形谱。

为多重分形目的的另一种处理方法是利用豪斯道夫类型的测

度．简言之，给定R"上的测度＃及q，刀6灵，利用下述三个步骤定义测度J1 9. P：，

HbP(E，一‘of花今P(B(x,,r,))'(2r,)0:“c凵”(x;,r,),“EE,r;<B全 骡,a(E}＝lim9-L叮'a'全￡） 』。 “一”’ ＿。 门1.24)

at .. (E)一suJ 'c产。．(E')（利用球心在E中的球族的覆盖，是为了避免q是负数时出现的

困难，最后一步是为了保证单调性的要求，即当E, c E2时，HQ.P(E,) -<H.e(E2)．对每个q定义与豪斯道夫维数类似的欲9 ),在点P,丫Ag）从CKD跳到。，即如果/t < fl(q),万a.d (,-R.）一00，而如果刀＞欲们，则J}l"'气")=0．于是，与引理11.2类似的“精细”的结果成立 ：

兀（“）簇 inf {f(q)＋q x} (11.25)

同样，对“性状良好”的测度u，上式等号成立。

这种利用测度JCQ6池可以用。填充”的类似的方法）的精细理论的处理方法在数学上是很精巧的 ，而且从几何性质，比如从测

度的多重分形特性与到低维子空间的射影及交的关系看来，这种

226 第11章 部分多重分形分析

处理方式似乎是多重分形理论的最合理的形式。 在一些特殊情形中 ，多重分形谱经常是难于估计和难于处理

的。人们可能希望通过“计盒”去计算粗线条谱f，例如，如果it是平面内动力系统吸引子的驻留测度 ，通过对属于每个r网正方

形A的初始点x的迭代点所占比例的计算，可以用来估计满足

a, -<IogP(A)/logr-x,，的正方形的个数，其中0<x,<...<xk。对不同的；考察这种“直方图”能研究出N,(a + E）一N.(“一“）服从

的幂定律的状况，因而估计出f(幻。然而，这种“直方图方法”往往是计算缓慢且又难于处理的．

一般来说，在确定多重分形谱的经验中，利用矩方法是比较

令人满意的。这就是利用勒让德变换：对不同的q和r估计矩和

式（11.15)并考察关于r的幂定律状况，以式（(11.18)和（11.19)一样的方式求出fl(q)。刀的勒让德变换给出了Y的勒让德谱羌（幻，由于有较充分的理由，这个谱经常被认为就是粗线条谱，通常矩法

比直方图法更易于数值处理。但是，尽管如此，多重分形谱的实

际计算仍然是困难重重的．

11.2 自相似测度的多重分形分析 本节将计算2.2节导出的自相似测度的多重分形谱。做此事

并不只是因为自相似测度本身是重要的，同时也因为下面叙述的

方法也是许多类型的测度的多重分形的计算模式。自相似测度具

有良好的性状，因此上一节导出的各种多重分形谱对自相似测度

来说都是相等的。

设u是由带有概率p,， ...)P.，相似比：}}...}r。的郭上的具有相似性的概率IFS定义的自相似测度。（其中P, > 0，且艺P‘二1);于是对任意集A, P满足

,U(A) =艺p;P(F; '(A)) (11.26)

11.2 自相似测度的多重分形分析 227

见式（2.43）一（2.45)。因此E三sptN是IFS {F,, - - -,F｝的吸引子．

设强分离条件成立，即对任意i0j, F,(E)门F;(E) =}，因此E是完全不连通的。

回顾通常的记号，Ik={(i...... ik):I <ij<,m}，标准序列（(i,， ...， ik)缩写成i, X为任意非空紧集，且对任意i, F, (X) c X，如果i0j,

F,(X)fl F;(X)=}。（取X= E即可），记 X, =戈，一，l’＝凡。·⋯气(X) (11.27)

为方便起见，设｝XI = 1，所以对i= (i1,'2,...， 'k)

I戈I＝r, = r, r,=...r,。 (11.28)

及 ＃（戈）＝p,＝p,,p,,-p l, (11.29) 下面将得出多重分形谱无（幻=dim.E.，它是辅助函数刀的勒

让德变换。给定实数q，定义刀＝风q )是满足下式的正数

艺p qr B(qi r,，一1 (11.30)

易见#:R - R是满足

；U可（、）－W，丨噢fl(R)－一 （11.31)的非升的实解析函数。用隐函数微分法对式（11.30）求导两次，即

得 。＿导＿。：。了d 2Q，＿＿．，二 dR， 、，＼ 0＝乙p丨rp'q，丨若专 logr.＋(logp,+弓分logr,)2｝ J「 1’‘ }dq2一口’‘一。rI’d q -- a ii／

所以p是9的凸函数。设对所有的i=l,---,m ,logp,llogr，不全一样，则刀是严格凸的：设从此往后都是这种情形以避免退化的情

形出现．以f表示口的勒让德变换，并由下式给出：

Al）一＿＿欠仁＿{P(q)+(xq} （，，.32)则f . [a min , a-] - -F,，其中一c',。及 一0c_：是凸函数刀的渐近线的斜率。因为11是严格凸的，所以对给定的：，式（(11.32)中的最小值在唯一的点q=q(幻达到，由微分法知极值点发生在

228 第”章 部分多盆分形分析

：＿一丝 (11.33) dq

所以

d口 1一(a)=aq +P(q)＝一q - +P(q) (11.34)

，dq

注意到如果gc-R, NER及“E ( 'min , Amax）中的任何一个已经给定，则其它两个可由式（11.30)及（11.33）确定。特别，通过对

式（11.30)求导，可得

艺几，；｝r,0 logp, “＝一乍先牛二亠共污止，r‘ (11.35) 艺几，P;讨logr,

考察上式，可以看出

am：一min logp, /logr,item ，am.x = max logp, /logr; (11.36)iC4.分别对应于q趋于00和一0.7的情形 。

从勒让德变换的几何性质，易见f在【：二。，：、：』上是连续

的，而且，如果m个数｛logp, /logr, };"，是全不相同的，则f (amin )＝八Amax ) = 0，见练习11.2。对式（11.34）求导，并利用式（11.33)

可得

df＿＿dq 。＿，dfi dq＿＿ 门1；，、 舟介＝a一于 ＋q＋一二．气于 ＝q ·，1) do( dot “ dq da

因为“增加时q是下降的，所以f是“的凸函数。 有一些特殊的q值特别令人感兴趣，如果q=0，利用式（11.

30）及IFS的吸引子spth的维数公式（2.42)，可知#(q)= dim �sptu=dimpsptY．而且，由式（11.37）知，。一0对应着f (a)的最大值，因此d im�sp t,u = dimPsptp = max戚“）。

当q=1，式（11.30）意味着刀伪）=0，所以由式（11.34）知f (x)

一：，而且责(f(x)-x))一、一卜。，所以曲线f(x)位于直线介：之下，并且恰好与之相切在对应 q=1的点．稍后将得

11.2 自相似测度的多盆分形分析 229

出“(1)可(x(1))=dim�p二dim,,u（有关测度维数的定义见式（10.8)和（10.9))。典型的自相似测度的fl(q)和f(a)的主要特性表示在图11.2上 。

我们的主要目的是证明lu的豪斯道夫及填充谱由取q)的勒

让德变换式（11.32）得到，即对“。t xmin , amn:］， f"(x)＝f(x) I(x) (11.38)

这里E：是由式（11.2)表示的具有局部维数“的点的集合，而

f (ot)＝d i m�E,，f(0)＝dimpE,． 对实数q和刀，记

。(q,p）一艺P才 (11.39)

fl(q）由(p (q声(9 )) = 1定义，见式（11.30)．还需要下面的伪，口匆））附近的中的估计：

引理 11.3

对任意：>0及充分小的S>0,

(p (q＋S口(q)＋（一“＋E)S)＜1 (11.40)及 (D (q一S声(q)+(cc+E)S)< t (11.41)证明 回顾一下dfl/dq＝一“，所以如果S充分小，

P(q＋b)＝fl(q）一“S+o(SZ)＜P(q)＋（一：＋E)S

因为ID(q + S,fl(q +句）=1，且中对它的第二个变量是递减的，所以式（11.40)成立，不等式（11.41）可以由类似的证明得出． 口

为了证明式（(1 I .38)，考虑集中在E：上的测度v，考察当；一。

时，v(B(x,r)）服从的幂定律的状况，然后可以根据命题2.3求出E,的维数。对给定的qE R及fl =fl(q)，在spt＃上定义概率测度v;

v（戈．，．．，。）＝(p ,,p,： ... p‘ ,)4(r‘l r‘ 2... r.)a (11.42)并按通常的方法将它延拓成波雷尔测度，图11.3是关于此种测

度的一个例子．综合式（11.28), (11.29)，对{ E [k，这里给出了量化

23。 第”章 部分多重分形分析

X‘的三种方法：I XII一r, , /-'(Xd一p,,v(Xi)=P9rw (11.43) 、 阝怪

～．口“ 、 ．

丨、‘一、飞爪’ 一。口m

（．）

dimes，一＿＿＿＿＿＿一：久一 d妇n肠卜．．．．．．．一奋尸.-I 、

0 ．．． ．、．．翻 一

向

图11.2典型的自相似测度的多重分形函数的形式．(a)口（的曲线；

(b)“多重分形谱’I (x)=dim�F,,，它是P(9）的勒让德变换

对x E sptu，记Xk(x）为包含x的第k水平集X, ,...,,,，下面将在Xk(x）及球B (x, r)之间来回考虑，这里｝X,(x)I是与：可比较的。特别，对任意“

，：＿logu(B(x,t'))＿～、。，。、 ，：＿to g,U(Xk(x)) ＿～‘，：，，、 lim 凵二上左二止二‘丫二匕乙乙 = cc当且仅当 lim一丁￡一万于尧共共一 ＝x (11.44) 飞 -o logr 一一’‘一 “-- loglxk(x)I见练习11.3

11.2 自相似测度的多里分形分析 231

后 ／ 一气 ‘f. E, 二 IC.右 ‘ 一， 1二.二, , ·

声几can c.“ 了‘．‘＿ 应乙X.，t,， Fi-- 声- L·

石。 气 A 人 尸 人 矛 户 ＿ "2 F.乍. % ，－

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．凵．．‘昌‘“ 舀占山 应[ l. 恤‘盛，" I..月(!，‘、· 舀盛名i涛A i j了乙 冷 二 Al‘ j． 石

卜 V

图11.3 支撑在Sierpinski三角形上的自相似测度N，这个三角形是利用概

率p,=0.8,P2=0.05,P3=0.15构造出来的，k具有局部维数：=0.6(对应于。＝

1.4)．而集中在集￡，上的进行分析的测度v是具有概率0.896,0.018，和。.086的

自相似测度，由它得出dimHE,=f(z)= 1.138

命题 11.4

q，刀，，及介口上所述，而v是由式（11.42）定义的测度，则

(a) v(E,)＝1

(b） 对任意x E E,，当r～0时，logv(B(x,r))/logr -->f (x)．

证明 给定。>0，则对任意6>0，利用式（11.43)及利用多项展开式，

V {x: ju(X,(x)) i｝戈WI’一‘｝

=v{x: l }NXk(x))0IX,(x)I“一”‘｝

、斤(X,(x))'I XL(x)Il。一）Adv（二） (11.45)

二I ju(xl)0I X,l“一”6,'(X J 吐e 1,

一艺。、＊J。弓·（卜·）。 1e1,

232 第”章 部分多重分形分析

一（Y, pq,6}一）“ ＝［0 (9＋占，刀＋（“一：)S)]k (11.46)

其中中由式（11.39）定义。选取S充分小并利用式（11.40)，即得

v {x：y(Xk(x)) % IXk\x)I’一‘｝<yk (11.47)其中y<1且与k无关。于是

一 ．．一 ＿ ＿＿ 、＿＿．＿＿ 、＿＿＿、＿IFPI。， yk, v{x：存在k）k。使＃(X,(x)) % IX,(x)I'-} 芝y‘ <k ，一二－ 、·－··』一·－一。一 、一。、一。－一。‘’。 ’一J； 1k=k} 一Y

即对v一几乎所有的x

ii叫of logp(Xk(x))/loglXk(x)I）“一“因为对任意“>0，上式都成立，即得下面不等式中的左边的不等式：

“1< 11见少f logu(Xk(x))/1ogIXk(x)I

（limk通up logy（戈(x))/Iogl戈(x)1

蕊 x

fil用式（11.41）估计v {x: y(Xk(x))-<IXk(x)I'+L1，用同样的方法可以得到上式的右边不等式。再利用式（11.44)，即知对 v一几乎所有

的x,

！螃logy(B(x,r))/logr一丨imlogy(X,(x))/Ioglx,(x)I一“；因为，是概率测度，所以v(E.）二1。

为证明（b)注意到由式（11.43)

logv(戈(x)) ＿logy(Xt(x))．ologlxt(x)I 一三一行书气爷＝9一三一分犷二一 ＋万一界彩手升 (11.48) loglx,(x)l ” loglxk(x)I ’loglxk(x)l

所以对任意xC-E,，利用式（11.34)，当k->}时

logy(戈(x)) ＿＿＿．。＿， 示看 "k1091X,(x)I一。x+{i= f (11.49)

11.2 自相似测度的多里分形分析 233

因为在式（11.44)中用v取代P结论仍成立，所以（b)得证 口

由此容易得到关于自相似测度的多重分形谱的主要结论。

定理 11.5

设＃是如上所述的自相似测度，令

E，一｛x: limlogu(B(x,r))/logr.-o 一“｝如果：0 [ 'min，Imax 1，则E, =份，而如果：。I OCmin，2max］，贝，］

dim �E,＝dim,E,=f(x) (11.50)即 MI)＝fl(00可(0)证明 由式（11.43)

logu(X,)/IogIXJ=落loge, /买logr;其中' =('I I ... IQ，所以由式（11.36）知对任意的i, logu(X)/Ioglx,IE [ x min , 0! maxI．于是 log.u (X)/Ioglx,I可能的极限点只能在

L ,min，ocm.x』上，类·f以地对式（11.44）中的logP(B(x,r))/logr也一

样。特别，如果“诱p(min ,xmex］，则￡：一份． 如果：E (xmin , xmax )，则由命题11.4，存在集中在E：上的测度

v，使对任意的x e E, , lim logy (B(x,r))/logy f (x)，所以由命题2.3即知式（11.50）成立。而对“＝“二，。及 ，_ xma、的情形，见练

习11.5． 口

于是，对自相似测度，E：的维数可以通过先找到凤9)，再做它的勒让德变换来计算。图11.4显示了多重分形谱的一个具体

例子 。

注意到可以考虑用

G，一｛{x：存在ri、0，使！兜log,u(B(x,r,))/logr，一“｝ (11.51)来代替E,，它是以“为logg(B(x,r))/logr的极限点的x的集合．

234 第”章 部分多里分形分析

is - ／／一．”’．～、＼－ 1.0一 一

0.s－

0 1 1 1 1

0 1.0 2.0 3.0 4.0

图11.4 显示在图11.3中的Sierpinski三角形上的自相似测度u的多重分

形谱

显然E=cG=，所以由定理11. 5, f(x)是G，维数的下界；事实上，为

证明f(a) =dim,,G,=dim,G：几乎不需要再做更多的计算，见练习11.6。

sptu及测度u的维数可以容易地由多重分形谱求出．

命题 11.6

设Ju是如上所述的自相似测度，将“=x(9)看成是9的函数，

则 ：

(a) f(a）在：= x(0）取到它的最大值，且f(x(0))=dim�spt,u =dimpspt,U。

(b) f(x(1））＝x(1）＝d im�p＝dimpp。证明 注意J;11(a）及f(x(1))=x(1）是式（11.37）的直接推论。对测

度的维数，如果g=1，则从式（11.30）知刀=0，所以由式（11.42）知

测度v等同于“．而由命题11.4知＃(E,M）一1及对任意的x EE,,,),dim,o.P(x) =1域loge (B(x,r))/logr=f(x(1))，所以由式（10,8）和（10.9)的测度维数的定义，即知（b）成立。 口

11.2 自相似测度的多盆分形分析 235

下面要证明，如果，蕊x (0)，由式（11.32)给出的自相似测度的

粗线条谱也等于All).

命题 11.7

设＃是如上所述的自相似测度，则对任意x,

无（“））了（“） (11.52)

而如果“＝叹的，则上式等号成立，这里q%Oo证明 首先注意到，由定理 11.5及引理11.1知，f(") =.f. (x)

.f}(2)'<且“），这里的粗线条谱由式（11.9)及（11.10)定义。

为证明相反的不等式，设d是ioj的戈与戈的最小间隔，记 。=2丫n Id，给定；＜。一’1 XI，又设J是使｝戈卜．1‘＿．I< ar的全部i= (t...... ik)序列组成的集合。如果i E J,则

acm,,r＜｝戈卜r,<,ar (11.53)

其中。m：。二min,,,,. r，注意到E的每个点正好落在一个iC-J的X,集中，且对不同的i, jE J, X‘与Xi的间隔至少为and二2寸nr。 设q>,0，且9,“及I分别对应于式（11.30),(11.33）和（11.34)

所给定的值。反复进行Ym,q， r A = qrj=pL, , p(的代换，可得等式工jet p,可一1，利用这个等式及式（11.53),(11.54)，则

＃｛iEJ:p(X,)）a一’I X,f }＝＃｛iC-J. 1 <-a'gp},r,-'q}

‘a' q毛q -:qpi ri 一“'9y P,q ;'r,’一xq

止eJ

簇 a'q(acmin)- fr- f (11 .54)

每个r一网立方体的直径是寸丽 ，它最多与一个ie）的X。集相交．如果N,(x）按式（11.6)定义，则 N,(x)=#{A: A是r网立方体，且p(A) } r'}

5＃｛iej：N (XI) >- a一’｝戈｝’｝

236 第”章 部分多重分形分析

蕊 a'"(QeRIO)一f(=)r-I(=)

所以对充分小的“和r，存在常数。，使

N,(x＋“）一N,(“一￡）5 N,(x＋“）镬er-J(’十‘， 由此，再利用式（(11.10)及f的连续性，即得众x) < f(x)，于是式

(11.52）中的等号成立 。 口

对上面定义的粗线条谱，它的性状并不能保证相对于q<0

的：，式（11.52）中的等号成立。问题在于这种情况下，需要估计满足0 <,u (A) <, r’的r-网立方体A的个数，而这与满足户（戈）（｝戈｝’

的可比较大小的X,集的个数毫无相似之处。这个困难可以通过

对式（11.6)定义的NJ")按下面的方法重新定义来克服：即把Nr哟定义为立方体A与A‘个数的总和，其中A是满足城A)>r'的r一网立方体，而A‘是与A具有相同中心，边长为A边长一半

且,u(A') > 0的网立方体。通过这样定义N, (x)，对由式（11.9)和（(11.10)定义的粗线条谱，按命题11.7的论证方法，可以将式（11.52)的等式延拓到所有的，。

11.3 在cookie - cutter集上的Gibbs测度 的多重分形分析

用相当类似于上一节的分析方法，可以计算支撑在4.1节导

出的cookie-cutter集的Gibbs测度的多重分形谱。这又是热力

学形式体系能把自相似集的理论延拓到非线性情形的一个实例。

设f:X一X是具有4.1节描述的形式的cookie一。utter系统，

其中X是实闭区间，而f-': X - X具有由F。和Fz组成的两个分支。用通常的方法标记迭代集F,， o⋯o F,； (X) = X,，二，,, =X。定理5.3证明，cookie-cutter吸引子E的维数dim HE可以通过压力函数P，由满足P(一、logLf'I) = 0的数、得出．回顾一下，压力

11.3 在cookie-cutter集上的Gibbs测度的多重分形分析 237

给出了艺,El,lx,l’随k增长的指数增长速度。而这里也得到了由E支撑的GI bbs测度的多重分形谱的一个与压力类似的公式：即在

此情形下，用压力去估计艺,o'IXI0u(X)；的增长速度。 设P是与口函数咖X - R相关连的E上的Gibbs测度，设

中具有的压力为0，则由式（(5.6)，对任意 1E Ik及xCX, ,

P(戈）冰exp(Sk 4(x)) （11.55)

其中Sk Y5(x)一艺丨：=0 I Wx)e（如果q的压力非零，则可以用中一P((P)代替0，而(P-P(O)的压力为零，且有相同的Gibbs测度）。又设对任意xEX,

4(x)＜0 (11.56)这就保证了满足式（11.55)的,U(戈）保持有界。 在11.2节中，对自相似测度，通过要求艺几"U (X,)y l Xll’二1定义

fl(q)，这意味着对任意k,艺,El,p(Xr)91 Xll“一1。而这里，则是利用压力定义口= Q(9)使它满足

艺 p(X,)QIXI# % 1 (11.57)对其它任意的口，上面的和式以指数速度趋于。或、。由式（(4.16)一（4.18)，对任意x E X,

IX,I '-exp（一（Slog『丨）(x)) (11.58)所以结合式（11.55)，条件（11.57）变成

艺exp(S,（一glogU7＋9 0)(x)) . 1，这里对每个‘e Ik7： (x) e X,。由式（5.5)，这是通过

P(一fl(R)loglf'I＋9哟＝0 (11.59)完成了对fl(9)的定义，其中P是压力函数．为看清式（11.59)是定义了唯一iv' fl，注意到函数

(q,!#)”P（一/IlogU,I＋。q) (1］.60)对声和9是严格递减且又连续的；这可以如引理5.2一样地验证，

注意到存在。I'M 2 < 0，使对在紧集X中的任意x, to，（一log了'(x) l,权x)（M,

238 第”章 部分多重分形分析

再一次如引理5.2一样，对任意q

lim P(-#logV'I+q(P)0 :t- 一干DO可以得出结论：:q - fl(q)是连续的，且是严格递减的，并且

。 lim P(q)－00， ｝呱fl(q)－一 可以证明函数（11.60)是凸的（见练习11.11)，即它的图是

凸曲面。因此q - fl(q)是凸函数（它的图是上述曲面与平面尸＝0的截线）。同样也可以证明fl是可微的（虽然这相当困难），并

确实是9的实解析函数。因此口的整个形式与图11.1表示的自相似测度的谱非常相似。为避免对退化情形的分析，再一次假设

9是严格凸的． 为求出集

E,={x: lim logu(B(x,r))/logr.--o 一“｝的维数，再一次考察勒让德变换

f(x）一 lnf<q<一｛fl(q)＋。“｝正象式（11.33)一（11.34）的自相似情形一样

、二＿． d 11 f(x)=P(q)+qx，其中：＝一书导 (11.61) ‘、，丿’， ’冖 ’一 dq 、” ’”‘丿

且f : I xmiu , xmax 1～ A* U {0}是连续的凹函数．而且q=0及q=1这两个数值与自相似情形有同样的含义。

证明f(cc) =dim�E,=dim,E：与11.2节中介绍的自相似测度的情形非常相似，关键的一步也是引出一个与式（11.42）类似的，集中在E：上的测度，；然而，这里需要的测度自然是Gibbs测度。

于是，对给定的q，定义fl,：及f如上，令v是函数一fllogU"I+q中的Gibbs测度。因为刀是定义成使这个函数压力为零，所以由式（5.6)，对任意“Ik,kC-V及xE戈，

v (X,) X exp（一fl(Skloglf1)(x)＋q (S, })(x)).利用式（11.55）及（11.58)，即得

v(x)狱 IX,lau(x,)Q (11.62)

11.3 在cookie-cutt，集上的Gibbs测度的多重分形分析 239

对x E sptu，记X, (x）为包含x的X"...,。集，由系4.3的结论，用自相似测度情形一样的方法，在Xk(x)和B(x,r)之间来回考虑，其中｝Xk(x)I是与r可比较的。于是，可以得到：

lim些鱼型坠燮泣=0当日、：当lim生2旦丛丛竺业＿：门1 (1) iogr k-- log丨xk (x)1

下面是类似于引理11.3的有关压力的性质。

引理 ”.8

对任意。>0及任意充分小的S

p（一（fl(R)＋(E - a)6)logIf 7+ (4＋6) (P)＜1

且 p（一(R(9) + (E+ a)6)logIf'l+ (9一6)(P)<1证明 见式（11.61，给出丝 一：，以下的证明几乎与引理11.3一 “ ’‘一“、一‘’一丿’.H LL, d9 一’灬 ‘NJ -"7J /U‘J J I 1} ““的证明完全一样。 口

命题 11.9

f3, x和f是通过9定义的，而v如上所述，则

(a) v (E.)＝1，

(b）对任意x e E,，当r- 0时，logv(B(x,r))Ilogr -f (o:)。

证明 给定“> 0,．与式（11.45）的证明一样，但这里利用的是式（(11.62)，对任意6>0，利用式（11.62),(11.55),(11.58）及式（5.5）压力的定义，可得

v{x:,U(X,(x))）IX,(x)I’一“｝

蕊艺u(X,)0IXd。一”60(Xi) 1.4

蕊 C艺1,(X,)Q+IIX,ll“一”‘ 吐仨it

,< C"/ k (11.64)

其中：=P（一伊＋（“一“)6)loglfl+ (9 +6)哟，而。和c，与k无

240 第11章 部分多重分形分析

关。由引理11.8知对充分小的a, v< 1,所以由式（11.64）知（a)成立，这与命题 11.4的（a)是由式（11.47)得出的完全一样。

由式（11.62), v(X,(x))% P(Xk(x))QIXjx)I'，所以，对x E E�

1：＿ logv(X,(x)) ，．＿log/'(X,(x)) 1 im ＝Jim q 七舟斗云＝＋p ‘一 logl戈WI - “ logl戈(x) I

＝q!＋11

利用式（11.63)，首先可以得至11 (b）对＃成立，也即对v成立。 口

命题 11.10

设u是如上所述的对应于中的Gibbs测度，则对

E】一｛x：丨im lo9M (B(x,r))/logy-u 一’｝成立等式：dim HE，一dim,E,=八，），只要：E (!min , lm- ) ,

证明 与定理11.5的证明一样，利用”是E，上的测度及命题11.9的（a)和（b)，由命题2.3即知上面的等式成立。 口

注意命题11.6中关于q=0或q二1的含义一样适用于Gibbs

；则度的情形。

11.4 注记与参考文献

已有许多关于多重分形的著作，并且对许多特殊的测度计算出了相应的多重分形谱。目前能做的也只是下面所叙述的，可以

从这些有关的文献中找到进一步的细节。

从分形的观点研究测度的思想包含在Mandelbrot (1975,1982）的论文中，Frisch和Parisi (1985）以及Halsey等人（1986)

把勒让德变换引进了多重分形分析。Falconer (FG),Feder(1988),

Evertsz及Mandelbrot (1992）和Tel(1988）在令人满意的水平上描述了多重分形的各种不同的处理方法。有关多重分形的基本

文献目录可以在Olsen(1994）的著作中找至11, Brown等人（1992）及

11.4 注记与参考文献 241

Olsen(1995)给出了对多重分形it论，包括式（11.24)的豪斯道夫

类型的测度，以及不同类型谱的关系的详细又严格的处理方法．

Riedi(1995）给出了对粗线条理论的细致的处理。

Cawley和Mauldin(1992）分析了自相似测度，而Edgar和

Mauldin(1992）把它延拓至I丨测度的定向图的构造上。Rand(1989)

给出了cookie-cutter集上测度的多重分形谱,Lopes (1989）研

究了在复平面上有理映射的不变测度．King(1995）和Olsen(l 996)

考虑了自仿射测度，而Mandelbrot和Riedi(1995）考虑了由无穷

多个相似变换组成的IFS构造的自相f以测度。Falcone：和O'Neil

(1996)导出了向量值的多重分形测度。

自然存在着自相似测度的随机版本，在这其中自相似比及测

度分割的比在每次细分中都是独立同分布的随机变量。在这种情

况下，口函数是由指数方程E(艺几，只饭卿）=1定义。（其中P‘和R;都是以统计自相似测度和结构的几何性质为基础的随机变量。）

且随机测度的几乎必然的多重分形谱是由刀的勒让德变换给出。

Mandelbrot(1974),Kahane和Peyriere(1976), Olsen (1994)（他还

考虑了定向图测度的随机版本）及Arbei ter和Patzschke(1996)

等考虑了这样的测度。其中Arbeiter及Patzschke是在相当弱的

分离条件下考虑的（这关系到非随机情形的开集条件）。

还有许多研究测度的多重分形性状的其它方法，例如，由

Hentschel和Procaccia(1983）用d4=P(q)l、一1定义的广义维数经常被研究，其中在粗线条情形刀是由式（11.18)和（11.19)给出，

而在精细情形是由式（11.23）给出。（由1/q一1规范保证了对任意

q，一个均匀分布在n维空间的开区域的测度都满足d、一”。），测度的多重分形的性质也经常被表示成它们的傅立叶变换的形式，

见Strichartz(1993)，和它们的小波变换形式，见Holschneider

(1995),

多重分形性质的许多方面刚刚开始被理解，比如负维数的解

242 第11章 部分多重分形分析

释可参见Mandelbrot(1991）的文章。A多重分形严格的几何性

质，比如它们在射影、截集、乘积之下的性质，可看Olsen (1996)的文章。

练习

11.1 求出风9) =e-4的勒让德变换。11.2 对由式（11.26)或(11.29）定义的自相似沮11度，证11}1 R(9）的

图到原．}�的AR重渐近性：如果数｛log即loggi};0-_，全都不相 R，Ail f ('min）二f(xmax）＝0。

11.3 对满足强分离条件的自相似浏度直接验证式（11.44).

（注意关于式（11.63）的cookie-cutter N-lfjYj更一般的结果可

以容易地由系4.3推出）11.4 利用强大数定律，按命题10.4的证明思路构造一个对命

题 11.4的证明．

11.5 当“=“ min，证明式（11.50）成立。（提示：取x接近“min ,

并注意到用“如果对任意x, logy (B (x, r)) /logr,< x, Nil

lim log v (B(x,r))/logr < f x).- o ”代替命题11.4中的（b)，命题 11.4仍成立。

11.6 ja是式（11.26）或（11.29）定义的自相似浏度，而G：由式（11.51)

定义，证明：dirnHG,=f(x)。（提示：证明Y, E" Ix,lr s 艺jel,IX(I0p (X)r‘一，其中几={i: iEl＊且。（沟i1戈I-1.)

11.7设u是支撑在一三分康托集（所以：：一r，=r, =r 令）土且按下面 灬r- --～一亻”’一 ，刀卜’一小、””冖‘’ ‘' 3 丿一一 冖 ’一

方式定义的自相似测度，它是把测度按PIT2的比例反复 细分到康托集的左右两部分而得到的，其中Pi+Pz=1, 求出凤R)的表达式，并因此用参数R表示出：和f。

11.8 设P是按下面方式构造的自相似浏度，它是由把mi度按

PI:P2的比例反复细分到比例为告和音的两个子区间 上而得到的．求出刀(R）的明确的表达式。

练 习 243

11.9 设u是献上的有限浏度，g: 是双李卜希兹函数，

定义I3"土的象测度V满足v (A) = u(g-' (A))，证明f. (x) (t7 式（l l.a)定义）对v和 ＃是相同的。（提示：参考练习

10.1）。

11.10设u1,J 2是可土的具有不交支撑的有限浏度，定义v一践 + U,，证明几(0c) = max弱（：），万（“）｝，其中石，几和f 2H分，11 是v，P，和u,的豪斯道夫谱。并证明在：不为零的范围内，

f, (幻不一定是凹的。

11.11证明式（11.60)定义了一个二元变-f(9,fl)的凸函数。（提 示：利用微分证明压力的定义和式对任意k是凸的，然后

取k -}}时的极限。）。

第12章 分形与微分方程

分形几何可以通过许多方式与微分方程理论相互影响。例如，

微分方程的解可以逼近分形吸引子，或者，可以期望寻找出具有

分形边界的区域上的解，或者这个区域本身就是分形．

本章论及分形几何和微分方程之间的这种有吸引力的相互作

用。当然，就这个内容本身很容易就可以写成一本书，但在这里，

仅仅对论述这个课题做点尝试，并且就很少儿个特殊的情况指出

一些基本的思想。在这个领域的数学问题经常是很复杂的；在这

里，一般不给出完整的证明，并且省略掉许多技术细节。例如，

对微分方程的解本应该在适当的函数或分布空间认真地研究（事

实上、应证明它的存在性）。

12.1 吸引子的维数 在这一节中，介绍估计动力系统和微分方程的吸引子（创门

通常是分形）白勺维数的方法。这种寻找维数上界的方法已经广泛

地应用到各种不同的系统。包括许多关于物理的基本偏微分方程，

这使我们能洞察吸引子的性质。这里，可以比阐述基本估计做得

更多一些，并且可以说明它在一些简单情形中的作用．

这方面的基本思想是简单的，设x是开集，f: X一x是连续的，考虑紧不变集ECX即f(E)=E。如果E的邻域U在点迭代

下逼近集E，即E= n洋。厂(U)，在这个意义下，集E通常是系统的吸引子。豪斯道夫测度和维数是通过覆盖E的小集合族｛U1,的和式艺,1U1’来定义的，然而，由于E的不变性，如果｛U },覆盖E，则对每个k一1,2,---,覆盖的迭代丫(U,)}，也同样覆盖E。把集fk(U)分割成合适的小块通常仍给出E的覆盖，而这种覆盖比原

12.1 吸引子的维数 245

始的覆盖能给出豪斯道夫测度和维数的更精确的界。我们通过f

的导数来估计J k(Ui）的大小和形状，而这种导数可以几何地看成是对f的局部近似的仿射映射。

首先，考虑线性映射（我们最终可以取这个映射为导数）是如

何把球变成椭圆。设L:F0～彭是线性的，定义奇异值“,(L)>1xz(L)... > xR(L) 3 0为椭球L(B)的（相互垂直）主半轴的长度，其中B为Rs”中的单位球，见图12.1。等价地，x;(L)是L*L的特征值的正的平方根。这里L*是L的转置矩阵。

娜一万 图 12.！ 线性映射L的奇异值

对O}s<n，定义奇异值函数Ws

(0,(L) = x， (L) ... z、一，(L)x.(L)’一’”十’ (12.1)其中n?是使m一1 <s,<m的整数，则aO： (L)是，的连续函数，且

对满足，。一1 <s,<。的s值，当，J L) > 1时c0, (L）是递增的，而

当“m (L) < 1,0),(L）是递减的。注意到如果”：是整数，则。m(L)是取遍所有D”中的。维圆盘D时，L'0(L(D))/L'"(D）的最大值，其中

l"'是。维平面的子集的。维体积。特别，cup (L) =日川丨，这里｝丨｝｝是x”中的欧几里得范数，且。�(L) = IdetLI，这里det表示行列式。

可以证明（见练习12.17) o)，对每个：是半可乘的，即对任意

的线性映射L,, Lz，

co,(L,L_) < W,(L,)10,(L.) (12.2)

246 第 12章 分形与微分方程

维数的计算依赖于用小集合对近似于椭球的小球的覆盖图。

引理 12.1

设A是具有半轴长度为Q, >'#2>1⋯的椭球，则对m=1,2,---,存在一个集合最多为4，一’flA... f,凡‘’一”个，每个集的直径最多为(1二十3)告刀。的A的覆盖。

证明 注意到对j= 1,2,---m - I,A的第j个主轴长为2肠，最多能

用4民川}-1个相互距离为民的垂直于第j个主轴的相互平行的超平面切割A，见图12.2．这些超平面最多能将A切割成（(4民／凡）(4flz渭m) ...(4fl,/民）个小块，每一小块在第j个主轴上的投影的长度最多为民，j= 1,2,, *,,m一1。而且，如果V是垂直于前。一1个主轴的子空间，则上述每一个小块到V的射影包含在半径为凡

的球内。因此每一小块的直径最多为［(m- 1)此+ (2氏）’什－(m+3)告刀，，引理得证。 口

阝2

砚二二二二〕 卜 刂口～灬－－～－～灬灬～～灬灬灬

z日1

图12.2 分割椭圆成小片

设X是F.中的开集，且f: X～ X连续可导，设E是X的紧不变子集使得f(E)=E。我们的目的就是想通过有关f的参数来

估计E的豪斯道夫维数，假定f在E上是一致可导的，即f在X

12.1 吸引子的维数 247

的导数是一个线性映射r(x): "～0n? n，且满足

limU(y）一（x) -r'(x)(Y一x)Uly一x1=0 (12.3)并对任意的xcE一致收敛 。

在下面的证明中，用小球B.覆盖E，注意到集厂（尽）粗略地是

具有半轴长度为告IB}Ix;((f')'(x))的椭球，其中二是B‘的球心。根据引理12.1的方法覆盖每一个这样的椭球，就得到对不变集

E =f }(E)的一个精确的w盖，见图12.3 定义

oj, = s U P (0,(Ax))}e E ＜0o (12.4)其中a)关）是由式（(12.1)定义的奇异值函数 。

定理 ，2.2

设r如上所述，￡是r的不变集，如果对0 <s-n,(O,< 1，则dim�E < s。

证明 设。：是满足，n - I <s-<-m的整数，令。=2(in+3)告，又设k是充分大的整数，使对任意x EE,

ca; 5 min {(2a）一，，4，一“a一’｝ (12.5)

则利用链条法则式（12.2)和（12.4)

a',(V ) '(x)）一。,U(r"-' x).r'(fl-Zx)。⋯。r (x)) l< (0-, (f汀‘一’x))CO,UU‘一，x))...0,(f丨x))<co; (12.6)

注意到由式（12.1)和（12.5)，这意味着

，，(U1)W)l<Co,(U")'(x))U, <, (2a）一’ (12.7)因为丿在E上一致可导，所以厂也一样在E上一致可导。于是存

在r0>0，使得任意的0<rr。及x E E,集厂(B (x, r))包含在半轴的长度分别为2r气盯k)' (x)), 2rx2 (U k)' (x))⋯的椭球内。假设；。充分小，使得对任意x E E, B (x, r,) c X。由引理12.1，可以用半径最

多为raxm盯')'(x)) ，个数最多为

248 第12章 分形与微分方程

》 ） ）

图12.3 对在映射f下的不变集￡的dimHF.的沽计：（。）用圆盘覆盖F,来估

计维数;(b)圆盘在f的映射下（更一般地用尹映射）成近似椭圆；;(c）这些椭图被

切成合适的方形小片成为石的覆盖，由此得到维数的更好的估计

12.1 吸引子的维数 249

4，一’“}((f,)'(X))...I。一、((f k),(X))x.((r,Y(X)）一‘二一’） (12.8)个的集覆盖这样的椭球。对0<s<,r0，设｛U;｝是E的a一覆盖（如式（2.7)所定义），可以假定每个U‘与E都相交。则对每个i,存在球心为xEE，半径为｝UI！的球尽，使U, -z B,。对直径最多为I U,lax_((f ')'(x))粤IU;I<令a (fil用式（12.7)）的集拟，｝；，由式，“““一谕、v丿、“刀 、2 ’“‘’、 2一、‘，”iIJ-%11 ‘刀NJ示 1 -1j1,} 囚-V

(12.8),

f'(E n U,) cfk(E n B,)I-- U;UI,,，使得

E;lu.,l'-<4，一’x1((f),(X))...x，一、((f ,)(X))a.((f I ),（二））一‘，一’）。 x（｝U, l ax,.((rk)'(x)))' 一IU;I'4’一’a'a',(U')'(X))

,<4’一’a'1 U, I'(O;｝U l'

上面还用Yll了式（12.1）和（12.5)。于是

E fk(E) c Uif '(E冂U) c U;., U,;，其中对任意‘J}艺‘IU.,I-<I;IUII‘和｝U,｝、粤So即得对任意的冖 ‘’‘- - .’丿’ A-ij’一‘.,’一白‘’一‘I” ’_;, .’一 2 。 一「‘’J‘’J’山’山’曰J

8 <r, ,挥,, (E) -< H=(E)，这意味着9T(E) < -，即dim�E,<s． 口

对dim �E的估计，有一种解释方法，记“，三叫co,_ I，则至少在一种“合理的一致性·的情形下，x,反映了：, U (X)）的第i个奇异值，通过“‘表示(o, = 1，则由定理12.2，可以得到

dim �E < (m一1）＋(E s;'logx)/Ilogx."I (12.9)其中。是使艺},logx; < 0的最小整数． 定理12.2还可以有许多改进，例如把定理应用到尹，注意到

f (E)=E，类似的处理可以得到dim BE的界。 尽管对co的估计经常需要大量的计算和努力，定理12.2及

其各种不同的变化形式已经被用来估计各种各样的动力系统及微

分方程的吸引子的维数．在所有的日益增多的应用中，下面只给

25。 第12章 分形与微分方程

出三个例子，来说明这种方法是如何应用的 。

Henon吸引子

考虑Henon映射f: }2_ R2，由下式给出：

f (x,Y)＝(Y＋1一ax z, bx) (12.10)

则对任意的（(x,Y),f的雅可比行列式的值为b，所以在整个A2中，

它都以常数因子b压缩面积。Henon映射是在坐标变化的范围内，具有上述性质的最一般的二次映射，见FG13.4节。

一般选择“二1.4和b二0.3这样的值进行研究，f有吸引子E,E的局部看起来象是康托集与一般线段的乘积集，见图12.4，取X为顶点是

(1.32,0.133),（一1.33,0.42),（一1.06，一0.5）和（1.245，一0.14)

的四边形区域，可以直接验证f将X映射成自身，f的吸引子由

E=n泛0 fk(幻给出，E带有的精细结构是由于f的迭代过程中反复拉伸和折叠的结果 。

记。二（(x,Y) E R" f的导数f '(u): R2一Nz可以表成矩阵： ／一tax 1＼

f飞乙‘）＝（ L 。） ＼ 6 0／

在这种二维的情形里，0)，和co z是容易计算的，对。＝1.4,b =0.3

及u＝(x,Y) E X,

co,(f Zu)）一IU(u)II一I4a2x'＋1＋b211/2（3.868 Coo (U))＝Idetf'(u)I＝I一bI=0.3

于是，对I <s,<2，利用式（12.1)

(o=U(u)）一。}(f (u))，一。2(f (u))，一‘S 3.868’一X 0.3！一’如果s= 1.53，上式右边小于1，因此，由定理12.2, dimHE- 1.53, 数值计算的结果表明dim�E=1.26，上面的估计是合理的．

它是由对任意的“E x，取最差的0)s了t“》的值而导出的近似。

＊本节剩余的部分在第一次阅读时可以略过．

下面两个例子涉及到由微分方程定义的连续动力系统的吸引

12.1 吸引子的维数 251

下一 图12.4 Henon吸引子．条状的分形结构显示在放大了的

正方形中

子，需要一些更一般的理论来估计无穷小线段、无穷小平行四边

形及无穷小平行六面体是如何在一些系统下演化的。

设9：只”～彭是充分可微的，比如说是C’中的函数，考虑Rs"上的自治初始值问题

_dudt（：卜。（·（：）） （：）。） （，2.‘，）

252 第12章 分形与微分方程

u(0)＝u, (12.12)于是u (t) c-彭表示在此系统下运动的粒子在时刻t的位置，在0

时刻，这个质点处于uou。写成f (u o) = u (t)是有用的，此时，

户y l"- ”是确定的。这里，在时刻t, R"中的每个点都在运动。把这种情况看成是在IRn上定义一个“流”u。一f(uo)．在这里的应用中，f（对合适的0起到了前面的定理中l的作用。在这个记号下，式（12.11）成为：

d

云f (uo）一g(f(ua)) (12.13)

在这样的流中，研究无穷小向量，或者更一般地，研究m维

体积元的演化。对t>0,。。。R"和扛 R"，定义（根据充分可微性）

40袱,(uo)} (12.14)其中一撇表示对空间变量的导数，对小的E,

E4t)＝f'(Uo)ES＝f(uu＋g）一f ,(u,,)所以欲t)可以看成在流f的携带之下，初始时刻位于u。且从七＝欲0)开始的向量元的演化，见图12.5(a)，假定微分次序可以交

换并利用式（12.13) d亡，、 d 共冬(t)＝书～汀'(UJO dt 、一产 d t -'、一“，一‘

／d，、：丫 ＝丨杀 f(u。)} ＼dt“‘、u’一／

＝(9U,(uo))0'

＝9'(.f(uo))。f'(uo)}

＝9'(fuoW (t) (12.15)方程（12.15)称为系统的第一变分方程。

下面考虑无穷小m维体积元的变化（图12.5(b))。对m个向

量亡。，⋯，亡二C再“，记比} n}2n ... A}.｝为由亡：，⋯，亡，定义的m维平行六面体的m维体积（利用这个符号是因为这个体积是外

12.1 吸引子的维数 253

积七，A．二八看，的模，虽然本书的主要处理方法都尽量避免涉及外代数）。把}M),氛(t)⋯作为取亡分别为},(0), S, (0》二由式（12.14)得出的无穷小向量，则I},(t)八⋯n Qt)I是从初始时刻t=0，位于u。的由}� }Z⋯张成的m维无穷小平行六面体演化成的m维无穷小平行六面体的m维体积。现在，要把第一变分方程推广成关于

1}#)A ... n Qt)I的微分方程 ．

：〕厂 ecr) =f',(Uo)E(0)f'r(up) (a)

．杯套 一 (b)

图12.s (a）在流I,之下无穷小向It }=}(o）的演化

(b）在流不之下无穷小矩形的演化

用＜，＞表示通常的1; II上的数量积，回顾线性映射L a - P,f

的迹是由

Tr (L）一E一＿，＜Le;,e;＞

定义的，其中（(e,， e: ...）是y上的任一标准正交基。这个定义是

254 第12章 分形与微分方程

不依赖于标准正交基的选择；并且如果L表成关于标准正交基的

矩阵，则Tr (L）是矩阵的主对角线元素之和。

引理 12.3

无穷小平行六面体的。维体积的变化速率为：·

d ．： 、， ‘：，、二 ：，、“ ：，』、．， ，，，， 、 八 ，、、 ，。．，，、- I},(t)A⋯^心。（t)I＝I}I(t)⋯ }�(t)ITr(g'(fu,)oQM(t)) (12.16) dt’一‘、’ 一M ” ” 、 ’、’ 、“、司 “ ～’、”

其中QM(t):＊”～＊”是Yi] span {},(t),..., }M(t)犷的垂直射影。于是对t）0

I}1(：）。⋯、}.(t)I一I}1(o)⋯。U0)lexp丨汾r(9}(fua)。。。（：））、； (12.17)

证明梗概

首先假定亡，三看‘（t） （i＝1，⋯，。）是标准正交的（为简单起见，这

里考虑了与t无关的情形）利用式（12.15)，在时间区间［[t,t + 6t]，由无夯卜向量考：，⋯，七。展成的立方体映射成由省，十9 Ulu.)}}bt,

”’，}.+ g,(和oUt展成的平行六面体。对立方体的m维体积变化的第一部分是在亡，的方向上，由每个七‘增加的分量引起的。于是，对be部分，新的平行六面体的体积正好等于由

七,(I＋＜。‘（和。）七Ibt, 'I＞),...'Q1＋＜。‘伽a)Mt, }T＞）展成的长方体的体积，而这个体积恰好为：

1＋btE丁＿：＜g'(fua) }I, }, > +0(btz）一1＋bt Tr(9}(fua) o Q.) +0(bt,).与初始的体积｝}I "}T卜1比较，知道如果着1，⋯，着，是标准正交的，则式（12.16）成立。 如果V是献的m维子空间，L是献上的线性映射，对任意

*: span传i(t),...,}.0｝表示为向量组古，（t），⋯心，（t）张成的子空间，下同． 一 译者注。

12.1 吸引子的维数 255

的V中的区域A, L(A）的m维体积与A的体积比值不变。因此，函数9在由七。，⋯，亡．定义的无穷小平行六面体的体积上的尺度效

应只依赖于由省，，⋯，看。张成的空间，而不依赖于张成空间的向量的不同选择。这样，如果假设七；，⋯，亡．是标准正交的并不会失去它

的一般性，所以对一般情形，式（12.16)也是成立的。

方程（12.16)是一阶线性常微分方程，该式积分就得到式(12.17)。 11

为了把它与奇异值函数联系起来，注意到对线性映射

L:献～RR"和m=1,2-二

com(L)＝sups, ....c.EIII L(}1)A⋯A L(QI (12.18)其中B是留中的单位球。这是因为当L‘}),...， L(}.)是L(B)的

in个最长的主半轴时，由L(}}),...}L‘，）定义的平行六面体的。维体积最大 ．

命题 12.4

在上面的符号下

co.(f'(ua))5；。 sup。 exp1" , B又Tr(g'(fuo)。。（·））“·(12.19)其中Q . (=)是到span{},(T),...}}}(T)｝的垂直射影。证明 由式（12.18）和式（12.14)

。，汀'(u.))＝sup｝厂I(uo)(}.)A⋯八厂'(uo)(QI e,;.,%EB

=‘（。） sup40), ....e.(a)E丨：：（‘）“”．“}. (t)1

因气．《。，，s号兄）。：I}1(o)s B ）八⋯n QO)｝一’，所以由式（12.17）知式（12.19)成立 。 口

256 第12章 分形与微分方程

可利用命题12.4去估计co,，再通过定理12.2给出许多微分方程吸引子维数的合理的上界 。

洛伦兹吸引子

洛伦兹方程近似地描述了从下面加热时，二维平面层的液体

形成圆筒形对流的状况（见FG13.5节）．通过选择合适的原点，

这个方程可表成：

x =v(y一x)

Y＝一Qx一Y一xz (12,20)

i =xy一bz一b (r＋Q)

这里x是圆柱的旋转速度，Y是对应的圆柱里外两边的温差，：表示铅垂线方向的温度变化率，而变量上的点“．”表示对时间的导

数。正常数6, b和r分别表示液体的Prandtl数（它由液体的粘滞度及导热性决定）。液面的宽度与高度的比值，及系统的底部

与顶部的温差，在这里取a>b+1，洛伦兹指出，当 8 ＿＿

v一’0,”一亏，r=28 (12.21)方程有一个带有两“翼”的混沌吸引子，轨道似乎是以一种随意的

方式弹跳在两翼之间（见图12.6)

把。= (x,Y,z): A～ I-R'视为时间的函数，由式（12.20)，并利用

v>1及通常的二次表达式的最大估计， 1 d 音于士lul,＝xx＋Yl'十zi 2 dt

＝一6x,一Y，一bz，一b z(r＋Q)

蕊一（x2＋Y2＋z2）一（b一1)z，一b z(r +Q) ， 二，． b2 (r＋Q)2 簇 一lul2十 二几立二二二艺－

4(b一1)，＿,1. d ．，、．，，‘、＿6'（r＋QY因此 －二～flu(t)Fe") 簇 止二兰二二2‘ e 2t一一dt、·－－、一 ’一2(b一1)

12.1 吸引子的维数 257

两边同时积分，可得

，、·－． 一、，一，二 b '(r + Q)2

Iu(t)I' 5 Iu(0)1'‘一’‘＋4(b -寸（‘一“一’‘）特别

lim suplu(t)l,< 2Po (12.22)

其中 Po --- b(r+6)/4(b一1)1/2于是，当t充分大时，u (t)接近或者在球B(0,2Po）的内部，这意味

着在解的轨道中，有一个（最大的）紧不变集E c B(0,2Po)，满足对所有的t,>0, I,E=E，而关u。是使。(0)=u。的解u(t)。带有式(12.21）列出的参数值的集E是如图12.6的洛伦兹吸引子。

谕 图12.6 a=10, 6=8/3及r=28时的洛伦兹吸引子，螺旋形的

轨道旋转成两“冀’并从一边“跳’到另一边

可以利用命题12.4去估计t较大时的0) 2 (Jr u o）和co, Uuo)，进而应用定理12.2，估计E的维数。把式（12.20)视为u =g(u)，其

中u = (x, y, Z)，则导数gl(u): IR' _ A'可以表为矩阵： ／ 一a a 0、

a'(u】＝ I一a -Z 一1 -X ！

、 Y x -b／

258 第12章 分形与微分方程

于是，对任意的t和u,，Tr(g以uo))＝一（o+b+1)（表示的是常数值的压缩速率），而Q,(t)是恒等的，所以由式（12.19)

co )(f "(u"))'< exp（一（Q＋b＋1)t) (12.23) 为估计田2，把g'(u)写成

g'(u)＝L,＋L2＋L, (12.24)其中线性映射L,, L2, L，分别是

／一Q 0 0＼ ，0 v 0、 L．二I 0 -1 0 I L, = I一Q 0 -x I ＼ 0 0一b／ ＼0 x 0／

／0 0 0＼ L,＝I -z 0 0 I

＼Y 0 0／

于是，如果Q2表示在某个二维子空间的射影，则Tr (L, o Q)

（一b一1（因为“>b+1）和Tr(L2 o Q) = 0（因为反对称映射的

迹为0)．对L,，设Q2(t）表示到span{, (t),}2(t)｝的垂直射影，而v� v2, v，是R，的标准正交基使得span {v� U2) = Q2 (t) (}R}.3)，记v, = (x�Y�Z,)，因为（x,,x2,x,),(Yl+Y2+Y3）和（Z�Z2,Z3）也是标准正交，则 Tr(L3 o Q,(t))＝（L3v �v, )＋（L3v2,v2＞

＝一zx, y,＋Yx,zi一zx,Y2＋Yx,z,

＝zx,Y3一yx,礼

根据由算术一几何不等式而得出的哥西不等式

Tr(L3 0 Q2(t))-Ix31(Y;＋Z3)ijz(Zz＋Y Z)112

‘合（、＋，；＋“，（·’＋，”’‘’ S李lul 2 ’一’

利用式（12.22)，对给定的B>0，如果t充分大

Tr(L3。Q2(t))‘。。＋告‘

12.1 吸引子的维数 259

于是对这样的t，分解式（12.24）给出

Tr(9'(f(uo)) 0 Q.(t))‘一”一，＋。。＋合。所以由式（(12.19)，对充分大的t，倘若一b一l+po>0，则：

cMf'(ua))' exp (（一b一l +po+6)t) (12.25) 由式（12.1),(12.23）和（12.25)，对任意uoc- E及充分大的t，如

果2<s<3，则

Oi,(f'(uo)）二co, (f'(".))，一’Co3(f /(u 0))！一’ Sexp((3一s)（一b一1 + po + 8)t一（、一2)(Q＋b＋1)r) 簇 ex p ((s一2)（一P。一Q一6)＋(P。一b一1＋6))t。

于是，如果（(s一2)<(P。一b一1)/ (Po+C)，可以看出，当选择的6充分

小，则对充分大的t, 0j,=sup.,Ell从'(u,)) < 1，由定理12.2, dim�E52+(p。一b一1)/(po+Q) (12.26)

其中 po=b(r+Q)/4(b一1)i/2。 代入对洛伦兹吸引子通常用的参数傲 12.21)，可得

dim� E < 2.539

可以改进以上的计算并得出更好的估计，精确的数值计算表

明真正的维数大约等于2.05,

类似的方法也可以用来研究某些其他微分方程的自治系统的

空间吸引子。

这个基本的方法可以推广，用来估计某些空间一时间变量的

偏微分方程的函数吸引子的维数。此时，把对xc-DcR.'及t>0，的方程的解u(x,t)看成是R"的函数空间中的一个点。(., t)，然后去

求这样的解在t -.0o时的极限点所组成的函数集合的维数。下面

所示的是把这种方法应用在简单非线性偏微分方程的情形。

反应扩散方程

设D是矿中的有光滑边界8D的有界开区域，P是首项系数

26。 第12章 分形与微分方程

为正数的奇数阶多项式，固定。>0，考虑反应扩散方程

8u ＿。， ． ，、 。 ＿＿ ＿ ＿ ，二＿＿＿、 摆牛一“VZu＋p (u)＝0 xc-D，t > 0 (12.27) 0t 一 r、一丿 － －－ 一， 一 。 、－一一 ，

的解。(x,t)，这个方程的边界条件是： u(x,t)＝0， xC-BD，t）0 (12.28)

初始条件是：

u (x,0)＝ua(x) x E D (12.29)

方程（12.27）是众所周知的Allen -cahn方程，并已应用在相变模型中。为把上面阐述的方法应用到这个方程的解上，用具有

荀恿内积＜v, , v,＞一孔v,(x)v,(x)dx的D上的二次可积函数空间一 希尔伯特空间H取代献，把方程（12.27）一（12.29)解的时间演

化看成是H中的流。于是，记买（。。）为方程在t时刻的解u(.,t),并把它看成是相应于初始条件u(.,0)=u。的H中的一个点。在这样的记号下，方程（12.27）可以写成式（12.11）的形式：

du

万厂M＝9lul·,L))

g(u)＝ED Zu一；（。）

其中du/dt是变量为t，取值在希尔伯特空间的函数的Frechet导数。

可以证明，对每个uo E H，问题（12.27)一（12.29)有满足

f(Uo)=u(-,t)EH，且对x和t连续的唯一解u (x, t)。并且u(.,t)e

H：这里H’是具有在H内的导数的Frechet可微函数空间。 也可以证明系统（12.27）一（12.29）有最大的吸引子E, E是对

任意t>0，使双助=E的H的紧子集，且对任意。of H，满足当

t -.cxo时，希尔伯特空I句距离dist(f(uo),E) - 0。 E的维数可以用类似于在洛伦兹吸引子中用过的方法进行估

计．下面我们在无穷维空间H上处理这个问题，然而可以采用在

有限维空间中同样的方法，对、>0，定义H中的线性算子L的奇

异值与奇异值函数O)AL)．而且，定理 12.2仍然成立，这只需对

12.1 吸引子的维数 261

证明进行很小的修改．与前面做的一样，为得到亡(t)二厂(uo)}C-H的第一变分方程，可以考察无穷小向量的演化情况，在这种情形

下，这个方程是：

对t＞0, }c-H

d七 ，，，，、、：／八 一T7，‘ 鉴 一。,(f(ua))}(t）一“v=}一。'U(uo))} (1“．，I) dt 、一’0，丿‘、’， ‘ r口 1 ，二

且在a。上，}(t) = 0；在。上，}(0）二亡 (12.32)

（这个正式的论断需要在适当的函数空间进行论证。）

利用第一变分方程可以考察由}}(t),...,七 .(t)张成的无穷小（超）平行六面体的演化，其中欲t)是由},(0) = } E H变化而得的无穷小向量。定义希尔伯特空间中的m维体积及定义。维超平

行六面体是没任何问题的，并且此时引理 12.3及命题12.4与有

限维情形一样LJ是成立的。

为把命题12.4应用到希尔伯特空间情形，我们估计

Tr(9,以(u.) o Q.(t)),其中Qm(t）表示在空I可spa n{},(t),..., Qt)}上的垂直射影。固定时间t,设v� v2⋯是H的标准正交基，且

满足span{v,，... , V,.｝一span{},(t), ...,Qt)｝一spanQ,, (t)H．因为对t>0和任意j,勺t)EHI，所以对任意j , v; e H'。则

(v， 如果j<m 。，（‘，”，一龙。‘ 其它

所以，x寸j<-m，利用式（(12.31)

＜9,(f(uo)) 0 Q.(t)v,, vi＞一＜9,f(uo))v;, Vi> ＝。＜v2 v．v＞一＜D‘（f(u.))v．v＞

一“< V'vj, vj＞一丨。P }(J(uo))v'dx因为P是首项系数为正的奇数阶多项式，所以存在汉依赖于P的

数K>,0,使对任意、E R, P,(S)）一‘。于是，由。‘的标准正交性，

262 第12章 分形与微分方程

工v'dx =，，所以 ＜9'(f(uo)) o Qm(t)v;，v; > “＜02 v;, vi>＋‘

因此

Tr(9'(Aua)) 0 Q.(t)，一落：＜9 (f(uo))。Q.(t)v,,”，＞

‘“誓＜V2t>j,”，＞十‘m ‘，2.33) 设。＜之，＜又2＜⋯是D上的狄利克莱问题的一v，的特征值

（即V2u+i.u=0，且在8D上，u=0)，则对任意标准正交向量序列v�v�... EH-

一恕＜V2v},v}>）1,+”‘之。 ‘，2.34)（这个不等式的确定是由干

v,n...Av，一（一O2v,)A v,A ...A v�＋⋯＋v,n v2A ...（一0'v.)

是到H的m重外积上的（无界）自伴随变换，它以之。十⋯＋又。

为它的最小特征值）。由Weyl定理（见式（(12.40))，特征值的渐近分布是;,.一 co 1' (D）一”J 2'"，所以由求和知;, I+...+i}>,c, L" (D）一’'"m’十’丿”，其中c。和c，只依赖于n, L"(D）是D上的n维勒贝格测度。于是，由式（12.33）和（12.34)

Tr(9'(f(ua)) c Q.(t)) <一c, EL"( D）一’,"m , + 2/"＋km (12.35)可以选择整数m使」-A白勺右边是负数，比如说小于-S，则由式（12.19)

田。（厂’（。。））\e一“再由在所设的希尔伯特空间中仍然成立的定理12.2知，dim,ESm,

这里E是系统的函数吸引子，让式（12.35)的右边等于0，得

dim�E- 1＋c“一”i2k.n广(D) (12.36)其中。＝叮”仪只依赖于n和D的形态（事实上，可以通过对v2的特征值的分布的细致分析，而相当准确地选出。值）。不等式（12.36)

清楚地表明函数吸引子的维数取决不D的体积，偏微分方程

(12.27）中的常数“及常数‘，而‘值很显然是由多项式P决定的。

12.2 带有分形边界区域的拉普拉斯特征值 263

许多其他微分方程的函数吸引子的维数都可以用本节概略描

述的方法的推广进行研究，例如Navier-Stokes方程，模式系统

方程以及Schrodinge：方程等。函数吸引子描述了系统从函数空间的任何点开始最后能被观察到的不变的状态。它的维数标示了

流的复杂的程度，并且可以看成是用来描述所讨论的现象中间隙程

度的一个数据．

12.2 带有分形边界区域的拉普拉斯特征值

设Dc: RR"(n>,1)是以OD为边界的有界开区域（并不一定要

求D是连通的）。考虑带有狄利克莱边界条件

u (x)＝0 x E OD （12.37)

的D上的特征值问题

v'u =一iu （12.38)

（实）特征值0<i., <i.:<...是指使得方程(12.38)有非平凡解的那些之。这些特征值可以看成是覆盖在区域D上的（刀维）薄膜

的振动主频率 。

定义特征值计数函数：

N(4)＝＃{k：之＊簇之｝ （12.39)令人感兴趣的问题是对较大的之，N(幻的性状，尤其是它如何反映出D的边界的性质。Weyl阐述的经典结果是：如果OD是充

分光滑的，则当n～二时

N乒）一c"L"(D乒·’ (12.40)其中c" = (27T)-"L"(B), B是N,"中的单位球，L"表示n维体积。而

且，如果边界OD是充分光滑的，则 ，＿。 已 N(;)＝c"L"(D );,"，＋b"l'一’(aD)i. ' ＋0（i.’） (12.41）

其中b。是仅依赖于n的常数．于是，7D的“曲面面积”决定了

N(%)的渐近展式的第二项；并且指数（n一1)/2是（光滑）边界维数的一半。

264 第12章 分形与微分方程

下面对带有分形边界的区域去寻求类似于式（12.41）的表示。特别地，“可不可以听出分形的维数？”即可不可以由特征值的

信息去发现8D的维数？其实，在这里除了可以说明边界的维数

与N(句的展开式的第二项经常有联系以外，几乎不能再多做些什么。

先考虑问题(12.37)一（12.38)的一维版本，因为区域是不连通

的，所以这个问题也不是那么显然的，但因为可以把N(幻表示成确定的形式，所以问题也还是比较容易处理的。利用3.2节的记

号，设A --A是有界闭区间，A,,A2⋯是按长度下降次序排列的开子区间序列，满足

JAI一馨JA;I （，2.42)

什喇勺、～一一一一一一 灬

一一一一气乃了戈八一一一～ 图2.7 在康托集的补集上的两个拉普拉斯特征函数．它们可以看成是穿过

康托集的弦的共振

下面在区域D= U,-,A‘上考虑问题，这是边界为

8D一A＼U, A, （，2.43)的“剪切集”，已经在命题3.6中研究了8D的盒维数。D上的特

征值问题可以看成是寻找弦的共振频率问题，这些弦穿过集A

而固定在aD的点上，这样每个子区间A‘上的弦可以独立振动。寻找在D上

aZu

万x2＝一Au，而在OD上 u (x）一0 (12.44)的方程的解。非平凡的解只发生在每个A，区间的共振频率 ’

12.2 带有分形边界区域的拉普拉斯特征值 265

又= (nk/I A,I )2 (k=1,2,---）上，式（12.44)有频率为“klI A,｝且离开A;就为0的正弦解（图12.7)。利用式（12.42)，计算所有A‘区间的这些特征值，可得

N(i.)＝艺#(k: (nkllA,I)2<;)

一y Lnj=一’之’‘”注,1J

一乙“一’“”’｝“‘｝一万：｛“一’之''21A I} ＝二一，L' (D);' l，一o(;) (12.45)

其中 0(;)一艺{n-}}}i.IA}I} (12.46) 矛 =I

（这里用l」表示“整数部分”，｛｝表示分数部分）式（12.45）的第一项正好是。=1时的Weyl表达式（12.40)；下面证明在一定的条件

下，余项穴幻是 S,，阶的。

命题 12.5

设D = U,0:, A, -- A按上面方法构造，令 N(;)＝二一’fl (D ) j 1/2一0(i) (12.47)

则 （a)如果存在0<s<1使IA;Ix i",则当 ;. -. Op时，

o(;.):＊“，。 (b）如果dimBOD =dim,OD =s，其中0<s<‘则丨im logo

(i)/log;. =s/2。

证明 给定之>721A11-2，设k是使二一'i42 IAJ >, 1的最大整数，由（(a）中的假设知，存在与｝．无关的。>0，使

c一’;. s/ 2<k（C ;s/2 (12.48)利用式（12.46)

266 第12章 分形与微分方程

i=k十严一’当“‘，‘k;)‘“大=k+严一＊I/2．，‘，于是存在。I>0使

·：I; I‘一i -=k+1‘4W(;)‘“＋一“1/2 Gr i-i=k+l’‘，，因此存在。2>0使

c牙 '之I;2c2 i. k’一”'< 0(i.)< k＋c2i."2k’一’‘5

利用“积分试验估计”知艺二＊十1‘一’‘’‘“’一协，结合式（12.48）即得奴幻火之s/2。

(b）由系3.8，条件dim。 OD =s意味着｛呱loglAll/logi =一I /S，所以对任意“>0，对充分大的i，

i一‘一’/'- lAil 5 i‘一’‘’

用与证明（a)同样的程序，可以证明，只要之充分大，

之“，一‘，/2<}(;.)}<元“，＋‘，‘， 口 由此可以看出，对Xs中高度不连通的区域，N(幻表达式的第

二项确实依赖于边界的盒维数．

上述论断可以进一步发展，例如，如果命题12.5的条件（a)

加强为｝A;｝一。i-U,，则可以利用数论方法对（12.46)的和式进行估计，而得到：

沙(} )＝“一’Cs b (S) %,i2 +0 (;,，） (12.49)其中心是黎曼c一函数．而对自相似集则可以结合第7章的更新

定理的估计法而得出。设OD是从【0,11区间构造出来的维数为“的自相似集，其构造的第一步是由长度为；I) ...， r,,，问隔分别为b�

..., b。一，的。个区间组成。倘若｛logy, ...... logr.'｝是非算术集，利用系7.3(见练习12.5)可以证明

．，‘一，一（t 6;/y_ r,' logr, '） (12.50)其中A，是OD中第i个最长的间隙，所以

12.2 带有分形边界区域的拉普拉斯特征值 267

k1)=一；(s)仁b;'}： r; logy; '})"'二（;,=,z) (12.51)在算术的情形，0以）=;.'1zp (log;) +o以！‘，），其中p是周期函数 。

对平面区域D，在i.充分大时，成立Weyl估计N (;）一

音二一生2（D）.'1'(D);，同时也可以期望展开式的第二项再次反映了。。的分形性质。然而在平面上问题要复杂得多，因为平面上的一

般区域，不能象一维情形一样分解成可以看成彼此无关的部分。

不过在这方面已有一些进展，在-1q, "中的某些有界区域D上，式

(12.37)一（12.38)的特征值的渐近状况已由下式与8D上的内1=7

可夫斯基维数联系在一起：

dim,BD一n一limlogL"(E,)/logr (12.52).--o假定上面的极限存在，其中E,是由下式定义的OD内r一邻域

E,＝{xC-D：dist(x, 8D））,<r} (12.53)见图12.8.（内闵可夫斯基维数可以看成是“单边盒维数”，请与式

(2.4）一（2.6）比较。）

r.R:Y 图l2.8 a1)的内：一邻域凡

268 第12章 分形与微分方程

大部分平面区域特征值计数函数的估计都基于直接的计算，

这在正方形区域是可行的。对边为a的正方形区域D上的问题：在D上

a2u ．a2u ， 一，一： 号井 ＋省雀－＝一｝7.u；在a。上，u(x， y)=0, (12.54) dx2 dy 一’一 －一 一 ，一、，，，J， 一， 、·一·一，

对k, m e Z十，这个问题的特征值之= n2 (k2+m2 )/a 2，相应的特征函

数具有 u(x,y)=sin(k7tx/a) sin(m7ry/a）的形式 ．于是，对边为a的正方形，

N(i）一＃｛(k, m) e Z+ x Z+：k2＋m2<a2n一’｝．｝即在Q(0, an-1) 1/2）内整数坐标的格子点个数，Q(O,r）表示中心在原点，半径为：的严格正的四分之一圆，易见对任意r>O，

#{Q(O,r）内的格子点｝=0，如果r< 1, (12.55)和

0 - Q(O,r）的面积一＃{Q (0, r）内的格子点｝52r (12.56)见练习12.3。子是对边为a的正方形，

N(“)=宁a27C-l“一}(;6) （‘，·，，）这里 0l<沙以)<2a“一’｝．，‘， (12.58)

而对 ｝) < 7r2 a-2． k;）一华a2二一：＊ (12.59) 一 ’ ‘、丿 4 一 、一’一丿

（所以对; < n2a-2, N少）=0）． 对分形区域的特征值计数函数的估计，是通过对无穷多的

相互不交的正方形系列，利用与命题 12.5同样的方法得到的。

例如，设A，是边长为a‘的开正方形，这里a,>-a2i ..，并设D=

U二：A‘是不交并，且D是有界的．如果“1i, t-'%，1＜‘＜2，则dim户D=s，利用与证明命题12.5相同的程序，但是利用式（12.57）一（12.59)，可得

N(J.）一专”一‘z(D)“一0(1) (12.60)

12.2 带有分形边界区域的拉普拉斯特征值 269

其中+G(幻X i.'/2．如果对Q(0, r）中的格子点数进行更精细的估

计，则可以找到相当接近奴勺的估计。而且，如果正方形A;的排列是紧靠在一起，相邻两正方形的小间隙的宽度急速下降，则

上述的估计可以延拓到某些连通域D。

可以将这种思想推广到更一般的区域上而找出N(勺的下界。定义平面区域的边界aD的上内M可夫斯基维数 。

dim,DD一2一lim inf logl2(E,)/logr (12.61).-.o其中E，是。D的内r一邻域。

命题 12.6

设D c A2是有界区域，，＝不不,OD ，则对给定的。> 0,

N(i）一合一‘(D);，一“！／’‘： (12.62)对充分大的之成立 。

证明称m�m2 E ,j的正方形（m,2-气(m ,＋1)2一“）x(m22少(m2+1扛勺为边长等于2-‘的（开）二元正方形．对D进行如下的Whitney分解，使之成为一些二元正方形。设S，是包含在D内的边长为2-’的二元正方形之并，S2是包含在口周的边长为2-’的二元正方

形之并．以此类推，＆是包含在D\以公瓦的边长为2-‘的二元正方形之并。于是正方形的并UkU ,-,s，是从内部很好地逼近D的

增序列，且万＝万百瓦，见图12.9 ,

对k>,2, S＊的每个正方形一定会包含在内邻域E2 -'u"/3内，这是因为如果S＊的任一个正方形不在E2-'n +,I2，内，则它必然包含在某个使i<k的S，内，这与定义矛盾．于是，如果n＊是S＊中的正方形的个数，利用面积的关系，对充分大的k，由式（12.61)

nw2-zt<,L'(E2一‘，十、：，）,<2一“，一’一“所以

n＊ <- 2k(,,.) (12.63)

－270 ＿＿＿＿多 12 分形书微分方程

警 图12.9 把区域分成二元正方形的Whitney分解，利用它对拉普拉斯

特征值的渐近分布进行估计

如果问题（12.38)满足狄利克莱条件（12.37)，则关于它的特征

值的一个经典结果是：“所在区域越大，它的特征值越小”。即如

果D'(-- D，则对k=1,2,---, D的第k个特征值不会大于D‘相应的

特征值。于是记Dk= U丨一，Sk，并用N(i）及N4 (;）分别表示D和Dk的特征值计数函数，则对任意k, Nk(勺,<N(幻。由于D＊是不交的正方形之并，象前面一样，可以通过计算每个组成D＊的正方

形的特征值而得出Nk(幻。利用式（12.56)一（12.58)，则当k充分大

时、（、））、＊（、））典，专一、2一睿27z- ';,1/2，一 一_14一＊Lz（。__14一}}＋ 2一‘一2一之’/2 k2n-'i, Y， 2ial一， 、牛二一、L' ( D）一粤二一＊至2i(,一。一：：一、】咬：+(s一卜，） 4 ‘’一‘一’ 4 i.k+i 一 ”忿‘

12.3 带有分形边界区域上的热方程 271

，专二一“L2(D）一。“，。（，一。：b2A. 2k}！一‘一其中。：与k无关．给定＊>1，取k为满足2k一，簇尹<2‘的整数，

则 N(;)专一“L2(D）一“（，“）／’由此得出不等式（12.62) 口

为了得到关于·误差·N(;）一音n-'L2(D)“的更多的信息，这些方法已得到了进一步的发展．比如狄利克莱一纽曼划界方法

用来证明这个误差也以厂，作为渐近的上界。在特殊的情况，利用aD的几何性质可以计算出厂的系数，这给出了N(幻的带有误差0(i.勹的表达式．这个工作已推广到对任意n> 1,DcIR"的区域上，同时也推广到其它椭圆型偏微分方程的特征值问题上。

12.3带有分形边界区域上的热方程

进入或传出某区域的热能可能与它的边界的分形性质有关。

下面考虑在平面区域的热传导问题，并用它来说明穿过边界的热

流是如何与边界的维数相联系的 ．

设D是彭中的（有界开）区域，它的边界是OD，设初始时刻D

区域内的温度都为0，而在边界OD上总是维持恒定的单位温度，

热量传过边界，使这个区域受热，并扩散到整个D上。（可以想象

把一个零度的物体突然放进恒温烤箱），我们希望估计出D如何迅速地获得热量．

形式上，对区域D，记un(x,t）为点xc-D在时刻t>0时的温

度，v，是拉普拉斯算子，则“。满足热方程：

。， ， ＿、 刁“。 ， 、 ， ＿＿

p'UD(x,‘）一at生 (x,t)，(xED,‘＞0) （’2.64) uo(x, 0)＝0 (x E D) (12.65)

272 第12章 分形与微分方程

uD(z, t）＝1 (x E OD，t >0） (12.66)

这里初始条件（12.65)表示初始时刻D上的温度为0，边界条件

(12.66)表示在边界维持单位温度．在时刻t, D上的全部热容量为：

hp(t) =工二（一）“· (12.67)令人感兴趣的是t很小时h。的状况 ． 对有光滑边界（如C3）的平面区域，很长时间以来就已了解，

当t～ 0时

．ho(t)＝2“一’1=t'12L'(OD)+o(t) (12.68)其中L'是“长度”．上面的估计在D具有多边形边界时也是对

的．（事实上，无论是光滑边界或多边形边界的情形，通过D的几

何性质，已经很明确地找到了相应的“t的阶”），在式（12.68）的首

项中的指数告体现了D的边界的特性一它是一维的．而对分形边界的区域，一般情况下这个指数比较小，这正好对应于热

流通过“较大’的边界时的较快的速度。（在气象学中关系到穿过云

层得到或失去热量的问题时，这个结果也是成立的，因为云层可

以看成具有分形边界的）。

这里，将证明边界的维数给出了获得的热的上界，并在

von Koch雪花曲线围成的区域这种非常特殊的情况，得到了hp(t)

的比较清楚的状况．首先需要圆区域上热方程的解的界，并由此可以导出一般区域上解的界 ．

引理 12.7

在D=B(z,r）情形下的式（12.64）一（12.66）的解，满足

u B(Zr) (z，t）4 2e一''141 (12.69)其中B(z,r）表示圆心在z，半径为r的圆。证明 函数

12.3 带有分形边界区城上的热方程 273

。（二，：）二（2nt）一丨。xp（一：二一，一／4t)dy (12.70)是连续的，容易看出对xe int B(z,r）及：>0, 0'u一豁，并且对x e int B(z, r)，当t～ 0时，u(x,t)～0，而对XEBB(z,r）及

t>0, u(x,t)%1,（为看清这最后一个性质，只需对高斯核进行

积分，可得（2nt）一火,exp (- Ix -yl'/4t)d，一2；用，'\B(z, r）取代积分域R'，对边界上的每一点x e OB(x, r)，新积分域包含一

个半平面，至少保留积分值2的一半．）如果边界的温度增加，则

由于热方程的解得出的B(x,r）上的点的温度不会减少，故对

x 6 B (x, r), u,(=,)(x, t ) < u (x, t )，所以

u&�)(z, t) < (2nt）一丨。xp（一：一，IZ/4t)dy J民‘＼峨:.r)

一仁exp（一，'/4t)Pd。一2e一、12.71) 口

系 12.8

对z e intD及t>0，方程（12.64）一（12.66）的解满足 U, (z, t)（2e一‘、’，an)isc *(12.72)

证明 记r=d(z冲D)，则B(z, r) c: D．对x E B(z, r), B(z , r）及

D这两个区域上的热方程（12.64）一（12.66)的解满足关系：

UD(x，t)-<u,(,,r)(x, t)（因为B(z, r)的边界维持单位温度与更远的D的边界上维持单

位温度比起来，在前种情形下，B (z, r)的内部将热的快一些．）由式

＊ 式（12.72）中，a (=, OD)表示：与6。的距离 ．

一 译者注．

274 第12章 分形与微分方程

(12.69)，

u o(z, t )< u BOA (z, t) <, 2e- r2/4‘ 口

通过 OD的上内闵可夫斯基维数来限定D的热容量，这可由

式（12.61)得出

dim, OD一2一lim inf logl'(E,)/logr (12.73).-o其中E,是aD的内；一邻域 ．

命题 12.9

设D是满足dim , OD <、的平面区域，则对任意t>0，存在数c,使

hD(t)}ct，一”， (12.74)

证明 由Ti不,aD的定义知，存在常数。：使对任意的；> 0,

厂(E) < c, r'一’利用式（12.72)，分部积分然后做变换“＝日t,

”·（r卜上·。（一）“·

‘，工一‘： 一2 f - e-''"'dV (E,).B 一【2e-114111(E.)l：一犷。re- }141 1'(E,)dr ‘一工00 re- r'1"rz-'dras 一合一工-o一 ‘·

12.3 带有分形边界区域上的热方程 275

即式（12.74）得证。 口

这样，对较小的t, 8D的（内闵可夫斯基）维数给出了D的热容量的一个上界。而在许多区域，对较小的t，这个热容量也有一

个同数量阶的下界，所以

hD(t)“t，一’‘， (12.75)这里、是 8D的内闵可夫斯基维数（假定它存在）。

下面就一种特殊的情形证明上面的结论，（其实在相当多情形

下都成立），这种情形就是由von Koch雪花曲线为边界的区域（由

三段雪花曲线首尾相接）．证明中将利用边界的自相似性写出热

容量的迭代关系，为了做到这点，需要热方程解的两个性质：第

一个涉及到区域的比例性质，而第二个关系到把一个区域分割成

子区域的问题．

引理 12.10

设D是一个区域，而D‘是D的比例因子为i.的相似区域，

则

hD.(t)＝i.2h"(i-2t)证明 可以设D和D’是以原点为相似中心的两个相似形，相似

比为i.．又设。。，UD分别是相对于区域D和D’的方程（12.64)一（12.66）的解。由微分法知当t>0, xe D’时，UD(i-'xe;_2t)满

足式（12.64); x e 8D‘时，U, (;.一’x, ;.- It) = 1。而t=0时，UD (;.-'x,J.-'t) = 0。于是UD.(x,t)=UD(i-'x, ;'-It)，因此

”二‘！卜上：。（；一；一）dx 一“2工UD(Y,＊一）d，一“2、。（；一）

276 第12章 分形与徽分方程

上面做了代换 Y= ;' -Ix 口

引理 12.11

设区域D由多角形的线划分成如图12.10 (a), (b)的子区域

D：，⋯，D，则

hp(t）一燕”二（t) +0(t'") (12.76)证明 这是众所周知的“不触及边界原理”的一种描述方法，它表

达了以下的似乎是有理的事实：把从区域D所获得的热量与分别

考虑每个D。所获得热量的和进行比较，其误差不会多于穿过多角分线的热量，而由式（12.68)知道这个热量是。(t'勹．这里省略了证明的技术细节． 口

利用这两个引理，可以估计以von Koch雪花曲线为边界的区

域D的热容量，应记得，

dim H aD＝dim, aD=log4/log3。

定理12.12

设D是以von Koch雪花曲线为边界的区域，则问题(12.64)

一（12.66）中的D的热容量（12.67）在t",0时，满足

hp(t)＝t'p（一logt) +0(t“，） (12.77)其中：一1一冬log4/log3一。.369,；是周期为log9的正的连续

2 一。一’一。－ －－一’一‘一‘．”‘一 “ －·一 －·一 一函数 ．

证明 把区域D分割成图12.10表示的两种方式，在图12.10 (a)

中分割成三个全等的部分D �D2,D,，由引理12.11

“。（：卜客”。。（：卜。（：一） ＝3ha(t)+0(t" 2） (12.78)

12.3 带有分形边界区域上的热方程 277

扮 公

加）

图12.10 von Koch，花域分解成（a)3个子城,(b) 13个子城

而图12.10(b)中D分割成十二个全等的D．‘，⋯，D：2‘及一个六边形H，再次利用引理12.11，由于对六边形式（12.68)成立，则

hD(t)＝艺ho,（：）＋hl(t) +0(t'/2)

一12ho}(t)+O(t"2)与式（12.78）比较，并由于D,‘是D．的相似比为1/3的相似形，利用引理12.10，可得：

278 第12章 分形与微分方程

hD,(t)＝4h D; (t) +0(t"Z) ＝4/9 ho, (9t) +0(：’‘’）

于是，由式（12.78)，对t>0 4 ， ，八、．

h。 (t)＝于 h。 (9 t)＋q (t) ” n、‘， 9” 0‘，’”、‘， (12.79)

其中对充分小的：，q(t) =O(t"z)。 如果记

t＝e一’，f(T)＝e"h o (e一，），g (T) = e"q (e一’） (12.80)

其中“一，一告log4/log3，则正如7.“节的更新理论的例子，式(12.79）成为

f (T) =AT一log9)＋g(T) (12.81）

因为h。有界连续，所以q, f及9也有界连续，并对T>0，存在常数c，使

19(T)1 S cc"'-",) (12.82)

定义P: A- R

P (T）一艺g(T+ilog9)+f(T) !=1

由式（12.82)的结论知上面的级数一致绝对收敛，所以P是连续

的。利用式（12.81) P (T)＝P (T＋log9)

所以“以’og”为周期，而且，因为“＜专 AT）一P(T)I（Y 19(T＋ilog9)1

f＝1

<, c艺e‘一，／，、一‘：。。，） 1 _,

〔c,e（一“2),

其中。，是合适的常数。利用式（12.80）变换成原来的变量，即得

12.4 分形域上的徽分方程 279

式（12.77） 口

注意式（12.81)是更新方程的一个非常特殊的情形，即是在式(7.19)的形式中恰好只有一个“时刻”的情形。直接把系7.3应用

到式（12.81)可以得到

h,(t）一t'P（一logt)

而上面的分析可以给出误差的估计。(t1/2)。 经过相当的努力可以把式（12.77)改进为

ho(t)＝t'P(logt）一tq(logt) +O(e 1152,）其中P, q具有周期logg，这是一个令人注意的指数误差的界的估计 。

12.4 分形域上的微分方程

在前面的两节中讨论了带分形边界的Rn区域上的微分方

程．然而，在有些情况下，对定义在本身就是分形的集合上的“微

分方程”求解是可行的，例如热流或电流传导通过高度多孔介质

就属于这种情形 。

在研究分形域上的微分方程中存在许多技术困难，在分形域

上定义象拉普拉斯类型的微分算子的困难就不少。在引入这个复

杂课题的同时，只给出Sierpinski三角形上的热方程及拉普拉斯

算子特征值的分布的简要的叙述，由于Sierpinski三角形有良好

的正则性及连通性质，使在其上的这方面的课题有一定的进展。

处理分形E上微分方程的大部分方法都依赖于E的近似图上

的离散微分方程，其目的是为了取这种微分方程的规范解的极限，

通过这个方法，得出E上的极限“微分方程”的一个非退化的解．

首先考虑如何在Sierpinski三角形E上定义能导出热方程解

的布朗运动。回顾在R上定义标准的布朗运动的方法，这种布朗

运动是作为合适的尺度的随机游动的极限出现的，见FG16.1

280 第12章 分形与徽分方程

节．设Xk(t)是集｛{j2-k.je Z)上的随机游动，从Xk(0)二0开始，并且每过时间间隔4-“游动一步。所以在时刻m4-‘的位置是

X,(m4-k)，而在时刻（m+1)4-‘的位置戈((m + 1)4-k）恰好等可能地等于戈(m4-) - 2-k或戈(in 4-k)+2-。可以证明，当k～ oo

时，随机游动序列Xk(t)收敛到究上的称为一维布朗运动的过程X(0，（时间变量的尺度是空间变量尺度的平方，是收敛到非退化过程的必不可少的条件。）因此，当k充分大时，在精细的比例尺

之下，Xk(t)与X(t)在所有方面都非常相似．对任意的t及h > 0,布朗运动的增量X(t十h) - X(t)服从均值为零，方差为h的正态分布，所以“典型”的，在持续时间为h的时间间隔内，过程移动

了hue的距离．而且，布朗运动有独立增量，即在轨道上没有时间记忆．更一般的是R’上的布朗运动（可以看成是由n维立方格

子点上的一定尺度的随机游动的极限构造出来的。），它的增量X(t + h）一X(t）具有均值0，而｝X(t+h)-X(t)｝的方差是he 我们试图模拟Sierpinski三角形上布朗运动的构造，此时，

把E看成是延拓了的Sierpinski三角形是更合适的，即E是按自

相似性向外延拓，见图12.11(这样就可以避免把通常的“有界”的

Sierpinski三角形的三个角顶点看成是例外的点）．有一个自然的几何图形序列风,Ev...逼近延拓了的Sierpinski三角形，见图12.11．作为几何集，EocElcE2c⋯和E=刃瓦一耳，记玖为凡的顶点集。于是图E。有长度为2-k的边，并且玖中的每个顶点有四个相邻的顶点。对k = 0,1,2,---,玖十：是V。再加上E＊的所有

边的中点，再联结上合适的边，就组成Ek+I． 对k = 0,1,2,---，在V＊上定义沿E。的边游动的随机游动Xk(t),

它从Xk(0) = 0开始，并在时间“＊（“＊是确定的）内移动一次。于是X' (M气）是此随机游动在时刻ma＊时到达的玖的顶点，则

X,((m + 1)x, ）是与Xk (m xk）相邻的四个顶点之一，并以与前面任一步独立的，相等的1/4概率选择其中的一点 ．

12.4 分形域上的徽分方程 281

Ax 、么、 E 场

么 厶

丫二丫．丫 八VVV叭 ￡， E2

图12.11 延拓T的Sierpinski三角形和近似图

对k>,1,E＊上的这个随机游动X, (t)导出了Ek-。上一个随机游动：简单地注意到由X, (t)访问过的Vk-．的顶点序列（不考虑

对同一个顶点的重复占有），并把它们看成是在Ek-：上的随机游

动访问的顶点序列。由E。的对称性，Ek-：上的随机游动运动到相邻四个顶点的概率也都是相等的，所以这就导出了与变化了的时

间区间相适应步数的随机游动Xk-1(t)．为了使随机游动Xr能收

敛到适当的极限过程，可以合理地选择时间区间“，，“2，⋯，使对每

个k, X,(t)从v。一的顶点运动到K一，的相邻顶点的时间是Ik- 1,至少可以从平均上保证每一步的时间是所希望的气＿，。从下面

的引理可知，这需要“k-1 - 5xk．（由于E＊的每个顶点有四个相邻

282 第12章 分形与微分方程

的顶点，所以可能会认为这个倍数应当是4，但是Sierpinski三角形的几何性质却使5倍是正确的）。

三立 a4 x b1 a1

图12.12 从x出发的E＊上的随机游动

引理 12.13

设Xk(t)是上面所描述的E、上的随机游动，x是V＊一，的顶点，而A是Vk-，中与x相邻的四个顶点组成的集合。则在Xk(t）位于

x的条件下，到达A的点的期望步数等于5。

证明 由E。的对称性，E＊在x附近的部分总可以表成如图12.12的形式，这里A={a�a:,a�a,}, b� bz, c如图所示．记E(P,A）为在E。上的随机游动从点PE玖出发到达A的期望步数．对给定的从x出发的随机游动，在确定从x运动到A的期望步数

E (x, A）时，利用对称性，可以假定第一步到达b,，于是

E(x，A）＝1＋E（b,，A)

通过考虑从b ,,b,和‘出发到达A的可能的步数及其概率，则还

春：（。，，）一〔（。，，，卜1＋李〔(x,A）十牛〔（。，、、）＋华。（。．、） 一、一‘，“丿 一、一”一丿 一 4 一、”，一丿 4 一“一2，一丿 4 一、一’‘一丿

＋上x 0 4

E (c,A）一1十李x0+生。（。，注卜生。（。，川 2 一 4 一、一’了--, 4 一、一2，一丿

12.4 分形域上的微分方程 283

解上述方程，可得E (x,A）二5。 口

于是，如果9上的随机游动Xk两每步之间的时间间隔确定

为“、，则由它导出的Ek-；上的随机游动每步之间的平均时问间隔为

5 xk。为使k-; 时戈有非平凡的极限，由X。导出的瓦一，上的随机游动必须在大范围内与随机游动Xk_：很接近，为达到这点，对每个k，应使，k-1-5xk 0

因此，为保证尺度的相容性，令气=5-', k=0,1,2,---，则与R

或R"n上标准的布朗运动类似，可以证明，随机游动序列Xk(t)收敛到随机过程X(0，这个过程称为延拓了的Sierpinski三角形E上的布朝运动。

}A上的标准的布朗运动的基本性质也表现在E上的布朗运动

中，但指数有不同。有人可能会以为维数dim�E= log3/log2 =1.585是确定X(t)在E上演化的决定性条件，事实上，与X(t)运动，

更密切相关的是被称为游动维数的dW，这个维数反映一rX(0在

不同尺度下运动的速率。由引理12.13,戈(t)及其极限X(t)，在

V＊一，的一个顶点运动到相邻的顶点的平均时间是5“＊＝5-k+15 =5}k }在这期间运动的距离是2-k+1。所以，对每个时间间隔h, X(t)运

动的“标准”距离是h1092/1.95 = 2.322。这就引出了游动维数的定义：

d�, = logs/log2二2.322；这里，至少可以断言X(t)的增量的均方对h>0满足

E (I X(t＋h）一X(t)12)} h210;' (12.83)

（可以与标准的布朗运动E(IX(t+h）一X(t)12) = h比较— 它们的不相等是域E的分形性的必然后果。）

上述的结果以及更多的结论可以粗略地证明，特别对X(0)=x

而X(t)位于集A的概率有关键的估计。设P是、维豪斯道夫测

度在E上的限制，这里、=dim �E =log3/log2（所以u自然是E

上的局部有限测度）。对从z出发的布朗运动，存在转移密度

284 第12章 分形与徽分方程

P (x,Y)，它可以确定经过时间t到达Y的概率密度，所以对XEE及可测集A,

P(X(t·、）·A I X(t）=x)=工；、（一，)dY(Y)（，2.84)对P,(x,Y)的了解能得到所研究的布朗运动的统计性质．通过对

基本的随机游动X}的细致分析，可以证明，存在常数cI,Ci,C39C,>0，使得对x,yc-E及t>0

c, t一”d" exp（一Cz(I x一Ylt一’Id. ) d. /(d‘一”）蕊P, (x, Y)

成 cat一’Id. exp（一CXx一Ylt一’Id. )dw/(d’一”） (12.85)

（可以与Rn上的标准布朗运动比较，在那里dW=2 , U=L"，而转

移概率密度是 P,(x,Y)=(2nt）一""exp（一】x一YIZ/2t) (12.86)

在本节的内容中，式（12.85)起了与熟悉的高斯核类似的作用．）

用标准的布朗运动中使用的平行的方法，可以证明以概率1,

X (t）的样本轨道满足Holder条件，（请与FG16.1节比较），对

任意的y<1/d.及0<t,，t,<T， 丨X(t,）一X(t,)I < c1 t，一t,1' (12.87)

其中。依赖于y和 T。而且，由于样本轨道的豪斯道夫维数是

log3/log2,所以轨道“充满”了集E。 ,Rn上的布朗运动与热方程的解紧密相关，R“中的热扩散可以

看成是按布朗运动轨道独立运动的大量“热粒子”的综合作用。如

果v是t=0时R"上的热分布，则时刻t在点x的温度是：

u(x, t) =介：（一，)dv(y) (12.88)其中P，是式（12.86）表示的标准转移密度．可以通过微分验证只满足 OP,＝止V72。

at 2 ’不一‘

12.4 分形域上的微分方程 285

因此式（12.88）满足R‘上的带有初始条件 了Au(x, t)dx～ v(A)(t}00）的热方程

au 1 }-,2 上上生 ＝ 止一V名u at 2

用类似的方法，在延拓的Sierpinski三角形E上的布朗运动

也可以看成是E上的热方程的模型．于是，在E上的初始热分布

能导出时刻t的温度分布（12.88)，不过此时，E上的转移密度p,

是由式（12.84)给出的 ．

为了得到以式（12.88)为解的热方程的有意义的形式，应当指

出这只能通过E上的拉普拉斯算子v=来表示。这里，再一次利

用了序列的逼近．FR上的拉普拉斯算子，d Z/d x'，是下面差的极限

d丫 ，、

彩，(x）一limh-0“一’I(f(x+”）-f(x)) +(Ax一”）-f(x))l （，2.89)

一limh-+0”一’，里‘(f(yh，-f(x))而对连续函数f: E - ，则通过几何图E＊的序列的逼近来定义，见图12.11。用C(E）表示E上的连续函数类，按下式的要求定义

V Zf E C(E)，对任意有界集A

lim· supk-- eAn v,一，’Y- ..V-(-)U(W)一，，-VZf(x）一0 (12.90)这里vk (x）包含K上x的四个相邻的顶点。（注意，v，只定义在。(E)的子空间），其中明确的数字“5”是使式（12.90)有意义所需要的；正如下面将要指出的，这是游动维数等于logs/log2的直接推论。

对给定的k，设x,YEK，根据对E上的布朗运动的假设，在时刻0时，它从x出发，经过灸= 5-k的时间，到达Vk中的与x相邻的4个顶点中的一个．（从平均上讲，这是正确的），考虑由下式

给出的到达Y的转移密度：

286 第12章 分形与微分方程

。‘十a,(x,Y)竺 Y,、。。、｛二）音。，（、·，夕）其中X0...， x,E V,(x)是与x相邻的顶点．于是

(P,"(x,Y) - P,(x,Y))l St =音SkEwEV,〔二）(P,(w,Y) - P,(x,Y))令bt一0，并利用式(12.90)，即得

鲁（一，卜专V2P,（·，，） 可以推出由式（12.88)定义的u满足E上的热方程

du l o 2- ，，，。，、

箭 一亩v‘u (12.91）这里P, (x,Y)是E上的布朗运动的转移密度。显然，在t较小时，P, (x,）在x附近是压缩的（因为X(0不会运动太远）。所以当

t～ 0时。hu(x, t )d1,(x) -'' V(A)。于是，利用‘一0时的热分布v,布朗运动的积分式（12.88)解出了E上的方程（12.91)。当然，可以通过进一步的努力，把上面的论述叙述得更严格些 。

下面转向寻找分形域上的拉普拉斯算子的特征值的有关问题，

这里，要求这个域是有界的。因此从现在起取E是Sierpinski三角形（通常是非延拓的），并且以明显的方式将前面提到的记号修

改成符合有界的假设。于是E，成为含有有限顶点的顶点集v,

和一些长度为2-k的边组成的图，且k 时，Ek逼近E．式(12.90)的拉普拉斯算子根据需要，做了少许的修改，成为

V2f E C(E)，满足

，二、：：：。一艺一‘f(w) -f(x)，- V'f(x，一0 (12一，这里Vk(x）是Vk中与x相邻且不属于气的顶点集合。在这样的模式中，令人感兴趣的是相应的狄利克莱问题的特征函数，这是在Vo上，即E的三个角顶点值为零的函数。可以证明，方程

12.4 分形域上的微分方程 287

V=u＝-;. u，“E C (E)，及 x E Va时 ，u(x)=0 (12.93)

的特征值是实的且是非负的，且由12.2节的思想，试图去估计第

k个特征值的大小 ．

定义E的谱维数 d，二21og3/log5 =1.365，可以证明特征值

计数函数N(幻满足

N乒）一＃｛方程（12.93）的不超过i.的特征值｝};"''z (12.94)（可以与在郁中开区域上的Weyl定理比较，在那里d，是由)1取

代，见式（12.40))。粗略地看来，这是因为Sierpinski三角形能分

割成仅由顶点联结的子三角形，因此这些三角形本质上是相互独

立的，这与R中剪切集的特征值问题相似，见命题12.5。

为对此有些直觉，令F, , Fz, F，是三个压缩比为1/2的相似变换，它们分别把E映射成组成E的三个基本三角形。注意到，如

果“是方程（12.93）的具有特征值i的特征函数，而且如果当x趋近 Vo的点时，u (x)以充分快的速度趋于零。则对任意的

i =(i�..., i,），函数 u,=u(Fi-'(x))（如果xE凡(E)) (12.95) 二0 （如果 x〔E\只(E))

是具有特征值5"i的特征函数，其中i,E f1,2,3}, F,= F j,。 ... o F, ,为看清这一点，注意到对在F, (E) n E＊上而不是V,的顶点的x点及k>> p，

V2u jx）二5k艺 (u (F,-' (vv)）一u (Ft-’ (x))) w‘Vt(z)

＝5' x 5'一，艺 (u (vv'）一u (F,-'(x))) WE V‘一，(Fj }(z))

二5F OZu (F} ' (x))

＝5'之u(F,一 '(x))

＝5'i tt,(x).

288 第12章 分形与徽分方程

可以证明存在具有特征值;. 0i0的特征函数。，它在接近Y时充分快地趋于0，所以对p＝1,2,⋯至少存在3，个具有特征值5'的相互独立的特征函数．于是N (50;a) 3 30，所以N(幻）C; log3llog5，其中。是常数，为证式（12.94）只需再证明相反的不等式。而由于对任意ie1，利用式（12.95）可以证明，完整的特征函数族都可以从基本的非负特征函数。得出，相反不等式的证明正

取决于这一点 。

由N(勺的渐近性质能得出更为精确的信息，用更新定理的方法（见7.2节），可以得到周期为log5的正函数p，使N(勺一

p (lo g ;,)),d,12。 这里所叙述的定义布朗运动及在Sierpinski三角形上的拉普

拉斯算子的方法可以延拓到任意超临界有限的自相似集，粗略地讲，

这就是IFS{F�---,F｝定义的，使F, (E) n F,(E)是有限集（(i :A.l)的任意自相似集E。例如，对图12.13的“六角形”，它的豪斯道夫

维数 dim HE= log6/log3=1.631 ,

游动维数 d,.= (1og360-logl9)/log3=2.678 ,而谱维数 d,=21og6/(1og360-logl9)= 1.218 ,

在这个例子中，游动维数表示通过E扩散的速率的尺度性状，

而谱维数则表示用式（12.92)定义拉普拉斯算子时所需的系数，它

正好是特征值计数函数服从的幂定律中的指数的2倍．一般情况

下，dw=2dimHE/d, , R"上的标准布朗运动及拉普拉斯算子也正好是这样，在那里d,= dim HE=n，而d.=2 , 在这一节中，刚刚接触到分形域上的偏微分方程这个课题。

在许多域上构造偏微分算子有进一步的困难，甚至在“简单的”

Sierpinski地毯上（它不是超临界有限的）也如此。面对各种各样的分形域，以及随着各种物理过程逐步被合理定义的微分方程所

模拟，将有力地促进这个课题的领域进一步向前发展 。

12.5 注记与参考文献 289

静“丹带臀

Ep 气 E2

图 12.13 “六角形’E是超临界有限的自相似集，E上的热扩散和拉

普拉斯算子可以用类似于Sierpinski三角形的方法，利用凡

的通近图来建立

12.5 注记与参考文献 12.1节的方法已经被广泛地应用于各种各样的系统中，对不

变集维数的基本估计的定理12.2是由Douady和Oesterle(1980)给出的。这个理论在Ladyzhenskaya(1991）和Teman(1988）的书

中得到了相当详细的描述和发展。在他(i7的书中包含了许多在动

力系统和微分方程中的进一步的应用，以及本课题发展的历史回

290 第12章 分形与微分方程

顾和许多进一步的参考文献 。

特征值计数函数N(i.)的渐近指数的第二项可能反映了有界域的分形维数的看法，首先是由Berry (1979)提出的，由此产生

了由Brossard和Carmona(1986）讨论的问题：“是否可以听出分形的维数？”，至于一维域中的问题，包括与黎曼} (zeta)函数的联

系是由Lapidus和Pomerance(1993）研究的，关于与黎曼假设的联系也可以参见Lapidus和Maier (1995)的文章。高维域中

的特征值计数函数误差的界（对更一般的椭圆方程也有效）是由

Lapidus(1991)得到的。在某些域上得到了更精确的估计，可参见Fleckinger一Pelle和Vassilev(1993）及Chen和Sleeman(1995)

的文章，Lapidus(1993）和Sleeman(1995）给出T这个课题的综述 。

有关在多边形域上热方程的热量损耗估计的式（12.68)，请参

见van den Berg及 Srisatkunarajah(1990）的文章。有关雪花域上的渐近形式是由Fleckinger等人（1995）导出的。而对更一

般域上的估计式（12.75)，则是van den Berg(1994）得Y11的 。

Goldstein(1987）和Kusuoka (1987）构造出T Sierpinski三

角形上的扩散过程，Barlow和Perkins(1988）给出T关于转移密

度的详细分析．Barlow和Bass(1992）把这个理论推广至刂（非超临界有限的）Sierpinski地毯上。Kigami (1989）定义了在

Sierpinski三角形上的拉普拉斯算子，而Fukushima及Shima(1992）确定了它的特征值和特征函数。Kigami和Lapidus(1993)找出了一般超临界有限自相似集的特征值的渐近分布，对这方面

材料的综述可见Kigami(1995）的文章 ．

练习

12.1 证明由式（12.2)给出的奇异值函数co：是半可乘的。

（提示：先证明s是整数的情形）．

练 习 291

12.2 利用f(x,y）的二阶迭代厂(x, y）改进对Henon吸引

子维数的钻计（这里需要一定的数值计算）。12.3 验证式（12.56)(提示：利用x在整个单位正方形取值

时，四分之子圆Q (x, r)土的格子点数的平均值等于

Q (0, r）的面积，并考虑Q(x,r）的极值）。

12.4 证明边长为a,: i-"'的正方形的不交并组成的区域

D上的特征值计数函数其有式（12.60）的形式，并且

0(!)--元,12。12.5 利用自相似性得到＃{ i : I A+I） r}的递归式，并利用系

7.3证明式（12.50)。

12.6 设D是由单位边长的Sierpinski地毯的余集的有界

部分的并组成的域，证明存在常数c，使特征值计数

函数 N(;)专二一元一之一 其中s=dim BE= log8/log3．

12.7 在时刻t=0,热按有限浏度v分布在平面域内，扩散

是按二维热方程Vu = au/at进行，验证

u (x,t) =（‘一）一丁二p（一。一，一／4t)dv(y) 给出了时刻t在x的温度。现在取，为‘维豪斯道夫

测度在满足强分离条件的自相似集Ec矿上的限制，

其中s =dim� E,证明u(x,t) t’'，一’对充分小的t和v 几乎所有的x成立。（提示：利用命题6.5),

12.8 设D是Sierpinski三角形的余集的有界部分，所以OD

是Sierpinski三角形．证明在这种情形下，问题(12.64) 一（12.66）中时*1 t的热容量ho (t)对较小的t满足 hp(t)- t，一’‘，，其中s=dim,OOD =log3/log2。

12.9 推广引理12.13的证"N去证Bbl E(t")=tl(4-3t）一’是随

292 第12章 分形与徽分方程

机变童N的概率生成函数，其中N表示在E＊土随机 游动在Vk-：的两相邻项点间一次行程所需的步数， 验证E(N)＝5．

12.10 利用式（12.85)对Sierpinski三角形土的布朗运动建

立几乎必然的Holder条件（12.87)．

12.11设￡c ’是Sierpinski四面体（(Sierpinski三角形的 三维形态，从一个四面体反复的去掉一个倒置的小四

面休而得S.'I的图）。模仿Sierpinski三角形的理论推

出d i m�E＝dimBE＝2，d，二log6/log2及d,= 21og4/ log6．

12.12 设E是图12.13中的六角形，脸证文中叙述这种情

形下的dim �E, d，和d。的值。

参 考 文 献 293

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索 引 305

索 引

工英— 汉 （括号中的数字表示首次出现的章节，按英语的第一字母为序）

A

almost all x (1.3） 几乎所有的：

almost everywhere (1.3) IL乎处处

attractor (invariant set) (2.2） 吸引子（不变集）

approximately self-similar (4.2） 近似自相似

average density

(order-two density) (6.2） 平均密度（二阶密度）

t- arithmetic (7.1,7.2) ：一算术的

B

Borel measure (1.3） 波雷尔测度Borel regular measure (1.3） 波雷尔规则测度Box dimension

(box counting dimension) (2.1） 盒维数（计盒维数）

bi- Lipschitz invariance (2.1） 双李卜希兹不变

binary (8.1） 二元的

bi-Lipschitz equivalent (8.3） 双李卜希兹等价

Brownian motion (12.3） 布朗运动

C

compact (1.1) 紧的

306 索 引

closed ball (1.1） 闭球

closure (1.1） 闭包

concave (1.2） 凹的

convex (1.2） 凸的

counting measure (1.3） 计数测度

converge weakly (1.4） 弱收敛

b - cover (2.1) b一覆盖

countable stable (2.1） 可数稳定

countable set (2.1） 可数集

conformal (2.2） 保形的

cookie一cutter system (4.1) cookie一cutter系统

cookie一cutter set (4.1) cookie一cutter集

covering number function (7.2) 覆盖数函数

coarse theory (11.1） 粗线条理论

coarse mullifractal spectrum (11.1） 粗线条多重分形谱

D

diameter (1.1） 直径

disc (1.1） 圆盘

dominated (1.3) 控制的

density point (1.3） 密度点

disjoint (1.3） 不交的

dynamical system (5.3） 动力系统dimension measure (10.2） 维数测度

dimension derivative family (10.2） 维数导数族

diffuse dimension distribution (10.2） 扩散维数分布

demension (2.1） 维数

索 引 307

E

equivalent (1.3） 等价

ergodic (4.2） 遍历的

entropy (4.2) 嫡

energy (5.2） 能

exact lower dimension (10.1） 严格的下维数

exact upper dimension (10.1） 严格的上维数

eigenvalue counting function (12.2） 特征值计数函数

F

finitely stable (2.1） 有限稳定

a-field (1.3) “一域

fine theory (11.1) 精细理论

first variation equation (12.2） 第一变分方程

functional attractor (12.3） 函数吸引子

fractal (1.2） 分形

G

geometric invariance (2.1） 几何不变性graph-directed set (3.1） 定向图集

Gibbs measure (4.2) Gibbs测度

gap-counting-function (7.2） 间隙计数函数

H

Hansdorff dimension (2.1) 豪斯道夫维数

306 索 引

Hansdorff metric (2.2) 豪斯道夫距离Hilbert transform (9.3） 希尔伯特变换

Hansdorff (fine) multifractal spectra 豪斯道夫（精细）多重分形

(11.1） 谱

histogram method (11.1） 直方图法

Henon mapping (12.1) Henon映射

I

interval (1.1） 区间interior (1.1） 内部

injection (1.1） 单射

iterate (1.1） 迭代indicator function

(characteristic function) (1.1） 示性函数（特征函数）

integral (1,3） 积分N-integrable (1.3) u一可积的

iterated function system (2,1） 迭代函数系invariant measure (2.2） 不变测度implicit (2.2) 隐的、隐式

invariant (4.2） 不变的，不变式interior Minkowski dimension (12.2） 内闵可夫斯基维数interior r- neighbourhood (12.3） 内r一邻域

K

k- th level subset (8.2) k水平子集

L

索 引 309

Lipschitz function (1.1） 李卜希兹函数Lipschitz canstant (1.1） 李卜希兹常数Locally finite (1.3） 局部有限

Lebesque integrable (1.3） 勒贝格可积lower local dimension (2.1） 下局部维数

Lipschitz mapping (2.1） 李卜希兹映射

lower density (2.2） 下密度

liapunov exponent

(characteristic exponent) (6.2） 李雅普洛夫指数（特征指 数）

logarithmic average (6.2） 对数平均lower average density (6.2） 下平均密度

lower coarse multifractal spectra (11.1） 下粗线条多重分形谱

Legendre transform (11.1） 勒让德变换lower Legendre spectra (11.1) F勒让德谱

Lorenz attractor (12.3） 洛仑兹吸引子

M

measurable function (1.3） 可测函数

monotone (1.3） 单调

,u-measurable (1.3) u·可测的

measure (1.3) 测度

monotonicity (2.1） 单调性

martingale (8.1) 鞅

multifractal measure (11.1） 多重分形测度

multifractal spectrum

(singular spectrum) (11.1） 多重分形谱（奇异谱）

method of moment (11.1） 矩方法

310 索 引

N

n-dimensional Lebesque measure L"

(1.3) n维勒贝格测度L"

＃non-arithmetic (7.1) N非算术的

non-atomic part (10.2） 非原子部分

O

open set (2.1） 开集

open set condition (2.2） 开集条件one-sided average density (6.2） 单边平均密度

P

probability measure (1.3) 概率测度

point mass (1.3） 点质量pointwise dimension

(H61der exponent) (2.1） 点态维数（Holder指数）

probablistic iterated function system

(2.1) 概率迭代函数系

packing dimension (2.1) 填充维数

pre- fractal (2.2） 先分形partition function (5.2） 划分函数

post- critically finite (12.3） 后临界有限

Q

quasi-self- similar (4.2） 拟自相似

索 引 311

R

r- neighbourhood

(r-parallel body) (1.1) r一邻域（r一平行体）

restriction (1.3） 限制

repeated subdivision (1.3） 反复细分r- mesh cube (2.1) r一网立方体

regular (2.1） 规则的

rectifiable (2.1） 可求长（积）的

repeller (4.1） 斥子

renewal equation (7.1） 更新方程

residence measure (10.2） 居留测度

S

surjection (1.1） 满射

support (1.1） 支撑

submultiplicative (1.2） 半可乘的subadditive (1.2） 半可加的

strictly convex (1.2） 严格凸的

simple function (1.3） 简单函数

scaling porperty (2.1） 尺度性质、比例性质

smooth manifold (2.1） 光滑流形

strong separation condition (2.2） 强分离条件self- similar (2.2） 自相似

self- af ne (2.2） 自仿射

self- conformal (2.2） 自保形的

self-similar measure (2.2） 自相似测度

self--sine measure (2.2） 自仿射测电

312 索 引

super- self- similar (2.2） 超自相似statistical mechanics (5.3） 统计力学

space average (6.1） 空间平均

supermartingale (8.1） 上鞅submartingale (8.1） 下鞅statistically- self- similar set (8.2） 统计自相似集

singular value (12.1） 奇异值singular value function (12.1） 奇异值函数spectral dimension (12.3） 谱维数

T

totally unrectifiable (2.1） 完全不可求长（积）的

transitivity condition (3.1） 可传递条件topological pressure

(pressure) (4.2） 拓扑压力（压力）

transfer operator (4.2） 转移算子 (Sinai一Bowen一Ruelle operator) (Sinai一Bowen一Ruellc

算子 ）

thermodynamic limit (5.3） 热力学极限time average (6.1） 时间平均tangent measure (9.1） 切线ffill度tangent space (9.1） 切线空间

transition dersity (12.3） 转移密度

U

upper box dimension (2.1） 上盒维数

upper local dimension (2.1） 上局部维数

索 引 313

upper density (2.2） 上密度

upper average density (6.2） 上平均密度

upcrossing (8.1） 上交叉

upper coarse multifractal spectra (11.1） 上粗线条多重分形谱upper legendre spectra (11.1） 上勒让德谱

uniformly differentiable (12.1） 一致可微（可导）

upper interior Minkowski dimension

(12.3） 上内闵可夫斯基维数

V

vitali cover (1.3) vitali覆盖

W

whitney decomposition (12.3) whitney分解

walk dimension (12.3） 游动维数

314 索 引

1、汉 一英

（括号中的数字表示首次出现的章节，按拼音的第一字母为序）

A

凹的 （1.2) concave

B

闭包 （1.1) closure

闭球 （l. l) closed ball

半可乘的 （1.2) submultiplicative半可加的 （1.2) subadditive

波雷尔测度 （1.3) Bore] measure

波雷尔规则测度 (1.3) Borel regular measure

不交的 （1.3) disjoint

比例性质（尺度性质） (2.1) scaling property

不变测度 （2.2) invariant measure

保形的 （2.2) conformal遍历的 （(4.2) ergodic

不变的，不变式 （4.2) invariant

下鞅 （8.1) submartingale布朗运动 （12.3) Browmian motion

C

测度 (1.3) measure

超自相似 价2) super-self-similar

索 引 315

斥子 （(4.1) repeller

G ibbs测度 （4.2) Gibbs measure

粗线条理论 （11.1) coarse theory

粗线条多重分形谱 （11.1) coarse multifractal spectrum

D

单射 （l. l) injection

迭代 (1.1) iterate

点质量 (1.3) point mass

等价 （1.3) equivalent

单调 (L3) monotone

单调性 （2.1) monotonicity

点态维数

(H61der指数） (2.1) pointwise(H61der exponent)

迭代函数系 （2.1) interated function system

定向图集 （3.1) graph- directed set

动力系统 （5.3) dynamical system对数平均 （6.2) logarithmic average

单边平均密度 （6.2) one-sided average density多重分形测度 （11.1) multifractal measure

多重分形谱 (11.1) multifractal spectrum(singular

（奇异谱） spectrum)

第一变分方程 （12.2) first variation equation

E

二元的 （8.1) binary

316 索 引

F

分形 （1.2) fractalVitali覆盖 （1.3) Vitali cover

反复细分 （1.3) repeated subdivisiona-援盖 （2.1) b- cover

u-非算术的 （7.1) u non- arithmetic

覆盖数函数 （7.2) covering number function

非原子部分 （10.2) non-atomic partWhitney分解 （12.3) Whitney decomposition

G

概率测度 （1.3) probability measure

概率迭代函数系 （2.1) probabilistic interated fun-

ction system

光滑流形 （2.1) smooth manifold

规则的 （2.1) regular

更新方程 （7.1) renewal equation

H

盒维数 （2.1) box dimension(box一coun- （计盒维数） ting dimension)

豪斯道夫维数 （2.1) Hausdorff dimension

豪斯道夫距离 （2.2) Hausdorff metric.划分函数 （5.2) partition function

豪斯道夫（精细）多重分形谱 (11.1) Hausdorff (fine) multifra-

索 引 317

ctal spectra

函数吸引子 （12.3) functional attractor

后临界有限 （12.3) post- critically finite

J

紧的 （1.1) compact

几乎所有的x (1.3) almost all x

n乎处处 （1.3) almost everywhere

计数测度 （1.3) counting measure

积分 （1.3) integral

局部有限 （1.3) locally finite

简单函数 （1.3) simple function

n何不变性 （2.1) geometric invariancecookie一cutter集 (4.1) cookie- cutter set

近似自相似 （4.2) approximately self- similar

间隙计数函数 （7.2) gap-counting function

居留测度 （10.2) residence measuer

精细理论 （11.1) fine theory

K

IU·可I 'Eli的 （1.3) N-measurable

u·可积的 （1.3) u-integrable

可测函数 （1.3) measurable function

控制的 （1.3) dominated

可数稳定 （2.1) countable stable

可数集 （2.1) countable set

开集 (2.1) open set可求长（积）的 （2.1) rectifiable

318 索 引

开集条件 （2.2) open set condition

可传递条件 （3.1) transitivity condition

空间平均 （6.1) space average

扩散维数分布 （10.2) diffuse dimension distribution

L

李卜希兹函数 （1.1) Lipschitz function

李卜希兹常数 （1.1) Lipschitz canstant

r·邻域 （1.1) r一neighbourhood

(r一平行体） (r- parallal body)

勒贝格测度 （1.3) Lebesque measure

勒贝格可积 (1.3) Lebesque measureable

李雅普洛夫指数 （6.2) Liapunov exponent （特征指数） (characteristic exponent)勒让德变换 （11.1) Legendre tramsform

洛仑兹吸引子 （12.3) Lorenz attractor

M

满射 （1.1) surjection密度点 （1.3) density point

N

拟自相似 （(4.2) quasi- self- similar

P

索 引 319

平均密度 （6.2) average density （二阶密度） (order-two density)

谱维数 （12.3) spectral dimension

Q

区间 （1.1) interval

强分离条件 （2.2) strong separation condition

切线测度 （9.1) tangent measure

切线空间 （9.1) tangent space

奇异值 （12.1) singular value奇异值函数 （12.1) singular value function

R

内部 （l. l) interior

弱收敛 (1.4) converge weakly

能 （5.2) energy

热力学极限 （5.3) thermodynamic limit

内闵可夫斯基维数 (12.2) interior Minkowski dimension

内；一邻域 （12.3) interior r-neighbourhood

S

示性函数 (1.1) indicator function

（特征函数） (characteristic function)双李卜希兹不变性 （2.1) bi-Lipschitz invariance上盒维数 (2.1) upper box dimension

上局部维数 (2.1) upper local dimension

320 索 引

上密度 (2.2) upper density

嫡 (4.2) entropy

时间平均 （6.1) time average上平均密度 （6.2) upper average density

T一算术的 （7.1) ：一arithmetic

上交叉 （8.1) upcrossing

上鞅 (8.1) supermatingale

k水平子集 (8.2) k- th level subset

双李卜希兹等价 （8.3) bi-Lipschitz equivalent上粗线条多重分形谱 (11.1) upper coarse multifractal spectra

上勒让德谱 （11.1) upper Legendre spectra

上内闵可夫斯基维数 （12.3) upper interior Minkowski dimension

T

填充维数 (2.l) packing dimension

拓扑压力

（压力） (4.2) topological pressure(pressure)

统计力学 （5.3) statistical mechanics

统计自相似集 (8.2) statistically- self similar set特征值计数函数 （12.2) eigenvalue counting functionn维勒贝格测度L" (1.3) n-dimension Lebesque measure L"

维数 （2.1) dimension

r·网立方体 （2.1) r- mesh cube

完全不可求长（积）的 （2.1) totally unrectifiable

维数测度 （10.2) dimension measure

维数导数族 （10.2) simension derivative family

X

索 引 321

限制 （1.3) restriction

下局部维数 （2.1) lower local dimension

T密度 （2.1) lower density

相似变换 （2.1) similarity transformation

吸引子

（不变集） (2.2) attractor (invariant set)先分形 （2.2) pre-fractalcookie一cutter系统 （(4.1) cookie一cutter system

F平均密度 （6.2) lower arerage density

希尔伯特变换 （9.3) Hilbert transform

下粗线条多重分形谱 （11.1) lower coarse multifractal spectra

F勒让德谱 （11.1) lower Legendre spectra

Y

园盘 （1.1) disc

严格凸的 （1.2) strictly convex

a一域 （1.3) a- field

有限稳定 （2.1) finitely stable

隐的，隐式 （2.2) implicit

鞅 (8.1) martingale严格的下维数 （10.1) exact lower dimension

严格的上维数 （10.1) exact upper dimension

Henon映射 （12.1) Henon mapping

一致可微（可导） (12.1) uniformly differentiable游动维数 （12.3) walk dimension

Z

直径 （1.1) diameter

322 索 引

支撑 (1.1) support

自相似 （2.2) self- similar

自仿射 （2.2) self- aftine

自保形 （2.2) self-conformal自相似测度 (2.2) self- similar measure

自仿射测度 （2.2) self- aftine measure

转移算子 （(4.2) transfer operater直方图法 （11.1) histogram method

转移密度 （12.3) transition density

译 后 记 323

译 后 记

自从1991年《分形几何— 数学基础及其应用》一书的中译

本由东北大学出版社发行以来，英国数学家Kenneth J. Falconer的名字对中国研究分形的学者已是一点也不陌生了．他在分形理

论上所做的大量的工作（请参见本书后的文献目录）也为广大数

学工作者所熟知。

很荣幸，今年年初Falconer教授把他在1997年底刚出版

的新著（+ Techniques in Fractal Geometry)) ( <<分形几何中的技巧）））寄送给我．我们发现，这本书对指导深入进行分形研究有很

大的现实意义，可以预料，此书中译本的出版，将进一步推动国

内Rf,分形的卓有成效的研究。

本书由三人共译，曾文曲译前言、引论、第6, 10, 11, 12章；陆夷译第1"-5章；王向阳译7-9章．最后由曾文曲统稿，由于水平及其它方面的原因，译文中会有些错误，请读者发现之后

及时告知，以便订正．

Falconer教授始终支持我们的翻译工作，他首先帮我们与

John Wiley＆ Sons出版社联系，解决了翻译版权的问题．在

签署了出版协议之后，东北大学出版社已获得了此书中译本在中

国出版发行的全部权利，这不能不首先感谢Falconer教授对我

们的信任。其次对我们翻译中出现的问题，他总是有问必答，以

最快的速度解决我们的疑难。在百忙之中他又给中译本写来了寓

意深刻的《中译本前言》，对他的热忱在这里谨表示我们最深切的

谢意。

东北大学出版社一贯支持科技新书的出版发行，我们谨对出

版社编辑们为出版本书所付出的艰辛劳动表示衷心的谢忱。

曾文曲

1998年10月于广东工亚大学