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Tecnologias computacionais como recursos auxiliares no ensino de
Ciências e Matemática
Eliane A. VeitInstituto de Física
UFRGSSetembro de 2006
Parte I
• argumentos a favor do uso de tecnologias computacionais no ensino de Matemática e Ciências
• exemplos de aplicativos e potencialidades• importância de modelos em Ciências
Quem é capaz de responder?
Se um trem viaja em linha reta durante
2 horas, a 40 km/h, que distância percorre?
80 km
distância = velocidade * tempo da viagem
Pois para Galileu não foi tão simples assim:
• Em Diálogos relativos a duas novas ciências (1636)
Galileu demonstra
6 teoremas sobre movimento
uniforme !
Teorema 1 de Galileu
• Se uma partícula, em movimento uniforme com velocidade constante, percorre duas distâncias, então os intervalos de tempo requeridos estão uns para os outros na razão dessas distâncias.
Comentários*:
• Não há um único sinal de igual (=) nos manuscritos de Galileu!
• Os primórdios da Álgebra ocorrem 5 anos depois da publicação de Galileu, com Descartes (1596-1650).
* Andrea diSessa, Changing Minds Computers. Learning andLiteracy, M.I.T. 1999.
O que isto tem a ver com as
Tecnologias computacionais como recursos auxiliares no ensino de Ciências e Matemática?
Não é para desapontá-los, mas ...
• ... vou para a idade da pedra para argumentar que...
A evolução humana está intimamente associada à invenção de instrumentos!
Evolução humana & instrumentos
• idade da pedra lascada (paleolítico) • idade da pedra polida (neolítico)• idade dos metais
A espécie humana se distingue da animal pela construção de instrumentos.
A evolução humana está intimamente associada à invenção de instrumentos!
Ferramentas cognitivas (ou da mente)
• mapas, figuras, símbolos, o alfabeto ...permitem que se coloque parte do pensamento em uma ”forma física, estável, transportável, reprodutível, manipulável”
• A Álgebra, Cálculo,..., vistos como uma ferramenta das Ciências, são ferramentas cognitivas
(DiSessa: inteligência material)
Tecnologias computacionais incluem:
• planilhas eletrônicas, processadores de imagens, hipertextos, micromundos, com padrões que envolvem reação e interação
• CD, DVD, web novas dimensões na capacidade de armazenamento e transmissão
• ações autônomas (simulação, cálculo)
• capacidade de processamento fora da mente
Computador é:
uma ferramenta cognitiva em potencial
oferecendo novas perspectivas à capacidade humana de resolução de problemas
se vai ou não revolucionar o ensino?
...tudo está condicionado ao social
Ex: Cálculo Diferencial e Integral• hoje infraestrutural na formação de
engenheiros e cientistas, demorou mais de dois séculos para que viesse a ser considerado útil e possível de ser ensinado em um nível universitário, depois de acirrada disputa entre a comunidade científica inglesa e alemã
• Fatores pedagógicos, levaram a comunidade a adotar a notação de Leibnitz (1646-1716), que persiste até hoje, e não a de Newton (1564-1642) ?
Parte I
argumentos a favor do uso de tecnologias computacionais no ensino de Ciências
• exemplos de aplicativos e potencialidades• importância de modelos em ciências
Computador permite :
• reificar ( concreto > abstrato)(Ex. vetores no Modellus)
• equações, funções, vetores e relaçõesgeométricas, podem ser “manipulados”diretamente(Ex. funções no Excel)
• múltiplas representações(Ex. gráficos, tabelas e animação no Modellus)
Galileu...
• usava muito o raciocínio• tinha espírito de observação aguçado• tinha espírito crítico• gostava de enfrentar situações novas• era persistente• ...• deu-se conta que precisava pensar em
modelos para descrever a natureza
Parte I
argumentos a favor do uso de tecnologias computacionais no ensino de Ciênciasexemplos de aplicativos e potencialidades
• importância de modelos em ciências
O que se procura em Ciências?
• Descrever a natureza através de modelos científicos• descrições simplificadas e idealizadas de
sistemas ou fenômenos físicos;• aceitos pela comunidade de físicos;• constituídos por:
• proposições semânticas; • modelos matemáticos subjacentes.
Modelos para a descrição do movimento pendular do mouse?
• o modelo do pêndulo simples: • hipótese que o mouse é pontual • o fio tem massa desprezível• o fio é inextensível• a resistência do ar é desprezível
Não existe um pêndulo simples na natureza!
Movimento planetário
• Na descrição do movimento de translação, os planetas são considerados como partículas pontuais (obviamente isto é uma idealização).
• Na descrição do movimento de rotação, passam a ser tratados como corpos esféricos rígidos, ainda que na realidade não sejam nem perfeitamente esféricos nem rígidos.
Modelo do gás ideal
• O gás é constituído por partículas pontuais que interagem via colisões perfeitamente elásticas.
• Não há na natureza tal sistema. Isto é uma idealização dos físicos, que serve como ponto de partida para a descrição de propriedades características dos gases, como pressão, volume e temperatura
Em relação a modelos
• É essencial dar-se conta que a Ciência tem origem na mente dos cientistas.
• Ou seja, é uma construção humana, coletiva, que busca descrever o universo, através de teorias, modelos provando hipóteses e submetendo-as a avaliação empírica e/ou racional.
Os modelos ...
• Apresentam contexto de validade e distintos graus de precisão.
• Não são cristalizados em sua forma de criação mas são reformulados, melhorados e abandonados, dependendo do grau de êxito na descrição de resultados experimentais ou com raciocínios teóricos.
Praxis científica• criar modelos científicos• verificar se descrevem bem os fenômenos• determinar seu contexto de validade• melhorar a precisão dos resultados• fazer predições
Referências:• Andrea A. diSessa, Changing Minds Computers, Learning and
Literacy, MIT Press, 1999.• Jonassen, D. H. Computadores como herramientas da mente.
Disponível em: http://tecnologiaedu.us.es/bibliovir/pdf/efect_cog.pdfAcesso em: 10 de julho de 2005.
• Esquembre, F. Esquembre, Computers in Physics Education, Computer Physics Communications 147, 13-18 2002
• VEIT, E.A. http://www.if.ufrgs.br/cref/ntef• VEIT, E.A. http://www.if.ufrgs.br/cref/ntef/URI
Prova de Galileu:
• Seja um partícula que se move uniformemente com velocidade constante duas distâncias AB e BC e seja o tempo requerido para percorrer AB representado por DE; o tempo requerido para percorrer BC, por EF; então, digo que a distância AB está para a distância BC como o tempo DE estápara o tempo EF.
• sejam as distâncias e tempos estendidos em ambos os lados no sentido de G, H e I, K
• seja AG dividido em em número qualquer de espaços cada um igual a AB
• e do mesmo modo, em DI segam dispostos exatamente o mesmo número de intervalos de tempo iguais a DE
• novamente em CH sejam dispostos um número qualquer de distâncias iguais a BC
• e em FK exatamente o mesmo número de intervalos de tempo cada um igual a EF
• então a distância BG e o tempo EI serão múltiplos arbitrários e iguais da distância BA e do tempo ED
• do mesmo modo, a distância HB e o tempo KE são múltiplos arbitrários e iguais das distâncias CB e do tempo FE
• e como DE é o tempo necessário para percorrer AB, o tempo total EI será necessário para a distância total BG
• e quando o movimento é uniforme, haverá em EI tantos intervalos iguais a DE como há distâncias em BG iguais a BA
• do mesmo modo, segue que KE representa o tempo requerido para percorrer HB
• como, entretanto, o movimento é uniforme, segue que a distância GB é igual à distância BH
• então, também deve o tempo IE ser igual ao tempo EK• e se GB é maior do que BH, então também IE será
maior do que EK• e se menor, menor
• há então quatro quantidades, a primeira AB, a segunda BC, a terceira DE e a quarta, EF
• o tempo IE e a distância GB são múltiplos arbitrários da primeira e terceira, nomeadamente, da distância AB e do tempo DE
• Mas foi provado que estas últimas quantidades ambas são ou iguais a, ou maior do que, ou menor do que o tempo EK e o espaço BH, que são arbitrários múltiplos da segunda e da quarta. Portanto, a primeira e a segunda, nomeadamente a distância AB está para a distância BC, assim como a terceira está para a quarta, nomeadamente o tempo DE está para o tempo EF.
• Q.E.D.• (baseado em Dialogues Concerning Two New Sciences. Galileo,
Translated by H. Crew and A. de Salvio, Northwestern University, 1939. Apud, DiSessa, Changing Minds Computers. Learning and Literacy, MIT 1999)
Prova do Teorema 1 usando Álgebra:
Logo
2
1
2
1
2
1
tt
rr
dd
=
O teorema envolve dois movimentos descritos como: distância (d) igual à taxa de variação (r) vezes o tempo (t)
Assim, para cada movimento se tem:
222111 e trdtrd ==
Teorema 2 de Galileu:• Se uma partícula percorre duas distâncias em
iguais intervalos de tempo, estas distâncias estarão uma para a outra na mesma razão que as suas (respectivas) velocidades. De modo contrário, se as distâncias estão como as velocidades, então os tempos são iguais .
• No caso em que os termos em t se cancelam e
21 tt =
2
1
2
1
rr
dd
=
Do contrário: se então: 2
1
2
1
rr
dd
= 212
1 ou1 tttt
==
Teorema 3 de Galileu:
• No caso em que as velocidades não são iguais, os intervalos de tempo gastos para percorrer um dados espaço estão um para o outro com o inverso das (respectivas) velocidades.
Se , os termos em d se cancelam e 21 dd =
1
2
2
1
2
1
2
1 ou1rr
tt
tt
rr
==
Teorema 4 de Galileu:
• Se duas partículas são transportadas com velocidade uniforme, mas cada uma com diferente velocidades, então a distância percorrida por elas durante diferentes intervalos de tempo estão uma para a outra na razão composta das (respectivas) velocidades e dos (respectivos) intervalos de tempo.
Este é o lema do qual começamos:
2
1
2
1
2
1
tt
rr
dd
=
Teorema 5 de Galileu:• Se duas partículas são movidas a uma taxa
uniforme, mas com velocidades diferentes, através de diferentes, distâncias, então a razão entre os intervalos de tempo transcorridos será o produto das distâncias pelo inverso da razão entre as velocidades.
Isolando em: 2
1
2
1
2
1
tt
rr
dd
=2
1
tt
Tem-se:2
1
2
1
2
1
rr
dd
tt=
Teorema 6 de Galileu:
• Se duas partículas são transportadas a uma mesma taxa, a razão de suas velocidades seráo produto da razão das distâncias percorridas pelo inverso da razão dos intervalos de tempos transcorridos.
Isolando em:2
1
2
1
2
1
tt
rr
dd
=2
1
tr
Tem-se:2
1
2
1
2
1
tt
dd
rr=
