Tehnǐska matematika 1aOsnovne matematične operacije

Avtorji: Gordana Radić, Peter Kitak, Tine Zorič

1 Uvod

V letošnjem letu (letu 2014) smo pričeli z objavo člankov na temo osnovnih zakonitosti v svetumatematike, fizike in elektrotehnike v reviji, ki jo izdaja Agencija POTI, izobraževalna, svetovalnain založnǐska družba d.o.o. Spletne strani, ki jih pravkar preglejujete, bodo namenjene dopolnitvipoglavij Tehnǐske matematike v reviji Elektrotehnǐska revija (ER) in bodo označene s TMia, kjer iopredeljuje nadaljevanje v ER. Torej, vsa tako označena gradiva dopolnjujejo vsako nadaljevanje vreviji z

• izpeljavami zakonitosti, ki v reviji niso izpeljane;

• večjim številom praktičnih zgledov;

• zanimivostmi iz matematike in tehnike, ki nudijo praktične napotke za reševanje.

V prvem nadaljevanju Tehnǐske matematike, ki je v ER izšla marca 2014, smo

(i) ponazorili razliko med formulo in enačbo ter med veličino in enoto;

(ii) predstavili temeljne računske postopke (seštevanje in odštevanje, množenje in deljenje, poten-ciranje in korenjenje).

Za dopolnitev bomo v nadaljevanju povedali kaj več o naravnih številih in pokazali, kako manipuli-ramo z algebrskimi izrazi.

2 Praštevila in sestavljena števila

O praštevilih in sestavljenih številih lahko govorimo na množici naravnih števil, ki jih vsi zelo dobropoznamo ... ali pa tudi ne. Preizkusite svoje znanje in poskusite razložiti, kaj so to naravna števila.

Podobno vprašanje si je zastavil tudi italijanski matematik Guiseppe Peano (1858–1932), ki je leta1891 formalno definiral naravna števila. Danes jih kraǰse označimo N, G. Peano pa jih je natančnoopredelil s petimi aksiomi (aksiom je temeljna trditev, ki jo sprejemamo za resnično brez dokazov):

(1) 1 je naravno število.

(2) Vsako naravno število ima naslednika.

(3) Različni naravni števili imata različna naslednika.

(4) 1 ni naslednik nobenega naravnega števila.

(5) Vsaka množica, ki vsebuje število 1 in za poljubno naravno število njegovega naslednika, vsebujevsa naravna števila.

1

Podrobneje poglejmo prve štiri aksiome. Hitro ugotovimo, da le-ti pravijo, da je množica naravnihštevil neskončna množica, peti aksiom pa nam omogoča vpeljavo operacij seštevanja in množenja.Če z n∗ označimo naslednika naravnega števila n, potem je operacija seštevanja definirana z

n∗ = n + 1 in n + m∗ = (n + m)∗,

operacija množenja pa je dejansko okraǰsana operacija seštevanja in je definirana z

n · 1 = n in n ·m∗ = n ·m + n

Zgled.

(i) 3 + 5 = 3 + 4∗ = (3 + 4)∗ = 7∗ = 8

(ii) 15 + 8 = 15 + 7∗ = (15 + 7)∗ = 22∗ = 23

(iii) 5 · 2 = 5 · 1∗ = 5 · 1 + 5 = 5 + 5 = 5 + 4∗ = (5 + 4)∗ = 9∗ = 10

(iv) 5 · 3 = 5 · 2∗ = 5 · 2 + 5 = 10 + 5 = 10 + 4∗ = (10 + 4)∗ = 14∗ = 15

Peti aksiom nam sicer pove nekaj več. Imenujemo ga tudi načelo popolne ali matematične indukcije.To je sila uporabno orodje, ki preverja, ali neka lastnost velja za prav vsa naravna števila. Da nezaidemo preveč z naše poti, o tem kdaj drugič.

Vsa naravna števila (razen 1) delimo v dve veliki skupini:

(a) praštevila so tista naravna števila, ki so deljiva le sama s seboj in z 1;

(b) sestavljena števila pa je mogoče razstaviti na produkt praštevil ali njihovih potenc.

Osnovni izrek aritmetike pravi, da lahko vsako naravno število (razen 1, ki ni niti praštevilo nitisestavljeno število) zapǐsemo kot produkt praštevil. Zato si za začetek poglejmo, katera števila splohso praštevila.

2.1 Eratostenovo sito

Postopek ugotavljanja ali je dano število praštevilo ali ne, je prvi opisal Eratosten (280−196 pr. Kr.),v tako imenovanem Eratostenovem situ. Le-ta pravi, da moramo najprej zapisati zaporedje vseh na-ravnih števil:

2

Število 1 ni praštevilo, zato ga preskočimo in pridemo do števila 2, ki ga obkrožimo in označimo zapraštevilo. Temu je res tako, saj je deljivo zgolj z 2 in 1. Potem pa so vsa nadaljna števila, ki bododeljiva z 2, sestavljena števila. Zato lahko vse večkratnike števila 2 v zaporedju prečrtamo:

Ugotovimo, da je naslednje neprečrtano število 3, ki ga obkrožimo in označimo za praštevilo. Po-tem pa so vsa nadaljna števila, ki so deljiva s 3, sestavljena števila, zato vse večkratnike števila 3prečrtamo:

Ponovimo postopek in opazimo, da je naslednje neprečrtano število 5, ki ga obkrožimo in označimoza praštevilo ter prečrtamo vse njegove večkratnike:

S tem postopkom nadaljujemo. Vsa števila, ki pri tem ostanejo neprečrtana, so praštevila in vsaprečrtana števila so sestavljena števila. Slednja je res moč zapisati kot produkt praštevil, saj je

4 = 2 · 2 = 22, 6 = 2 · 3, 8 = 2 · 2 · 2 = 23, 9 = 3 · 3 = 32, 10 = 2 · 5, . . .

3

Iz Eratostenovega sita je razvidno dvoje:

(a) edino sodo praštevilo je 2;

(b) v zaporedju praštevil najdemo celo vrsto praštevil, ki so le predhodno praštevilo povečano za2. Tak par števil imenujemo praštevilski dvojček . Takšni praštevilski dvojčki so očitno:

(5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), . . . .

Razstavljanje sestavljenih števil na praštevila (ali prafaktorje) je osnovna operacija pri seštevanju aliodštevanju ulomkov. Te smemo seštevati ali odštevati le, če imajo enak imenovalec.

2.2 Razstavljanje sestavljenih števil na praštevila

Razstavljanje sestavljenega števila na produkt praštevil imenujemo praštevilski razcep ali pra-faktorizacija sestavljenega števila. Tega moramo zelo dobro obvladati, če želimo biti uspešni prireševanju ulomkov.Praštevilski razcep sestavljenega števila opravimo tako, da poǐsčemo po vrsti (od najmanǰsega donajvečjega) vsa praštevila, s katerimi je sestavljeno naravno število deljivo. Pri tem moramo poznatipravila o deljivosti števil s praštevili.

2.3 Pravila o deljivosti sestavljenih števil s praštevili

(a) Število je deljivo z 2, če je zadnja števka deljiva z 2.

(b) Število je deljivo s 3, če je vsota števk deljiva s 3.

(c) Število je deljivo s 5, če je zadnja števka 0 ali 5.

(č) Pravilo o deljivosti s 7 je bolj zahtevno.

(d) Število je deljivo z 11, če je razlika vsote sodih in vsote lihih števk enaka 0 ali 11.

Na splošno je neko sestavljeno število deljivo z drugim manǰsim sestavljenim številom, če je deljivo zvsemi praštevili, vsebovanimi v manǰsem številu, npr. sestavljeno število je deljivo s 15, če je deljivotako s 3 kot s 5.

Zgled. Opraviti želimo praštevilski razcep števil: 120, 140 in 330.(Pomagamo si s posebno shemo, kjer navpična črta pomeni deljenje, rezultat tega deljenja pa jezapisan v novi vrstici, v levem stolpcu. Postopek ponavljamo tako dolgo, dokler v levem stolpcu nedobimo števila 1.)

4

2.4 Najmanǰsi skupni večkratnik

Najmanǰsi skupni večkratnik dveh ali več naravnih števil je najmanǰse naravno število, ki je deljivoz vsemi danimi števili. Dobimo ga tako, da zmnožimo vsa praštevila (seveda z največjo potenco), kinastopajo v praštevilskih razcepih danih števil. Za zgoraj opravljeni zgled velja, da je

v(120, 140, 330) = 23 · 3 · 5 · 7 · 11 = 9240.

Kolikokrat je neko število vsebovano v najmanǰsem skupnem večkratniku pa dobimo tako, da gapomnožimo s praštevili, ki so vsebovani v najmanǰsem skupnem večkratniku, vendar niso vsebovaniv razcepu danega števila.

9240 = 120 · 7 · 11 9240 = 140 · 2 · 3 · 11 9240 = 330 · 2 · 2 · 7.

Primeri.

(1) Avtobusa na progah 6 in 8 odpeljeta z iste začetne postaje, prvi vsakih 12 minut in drugivsakih 15 minut. Ob 6. uri odpeljeta oba. Kdaj bosta spet hkrati skupaj odpeljala?

Rešitev: Iščemo, kdaj se ponovi njun skupni odhod s postaje, zato nas zanima v(12, 15).

Torej, v(12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60. Avtobusa na progah 6 in 8 bosta ponovno hkrati odpeljala spostaje čez 60 minut oziroma ob 7. uri.

(2) Planet Jupiter obkroži Sonce v 12 letih, planet Saturn pa v 30 letih. Leta 2001 sta bila obahkrati na isti strani Sonca in smo ju z Zemlje videli oba skupaj. Katerega leta ju bomo spetlahko videli oba skupaj?

Rešitev: Zanima nas, kdaj bomo ponovno z Zemlje občudovali oba planeta hkrati, zato mo-ramo poiskati v(12, 30).

Vidimo, da je v(12, 30) = 22 · 3 · 5 = 60. Čez 60 let oziroma leta 2061 bosta z Zemlje vidnatako planet Jupiter kot planet Saturn.

5

(3) Kolesar in motorist vadita na krožni progi. Prvi prevozi progo v 120 sekundah, drugi v 45sekundah. S starta odpeljeta skupaj. Čez koliko časa bosta naslednjič skupaj na startu?

Rešitev: Ponovno nas zanima v(120, 45).

Očitno je v(120, 45) = 23 · 32 · 5 = 360. Kolesar in motorist bosta ponovno skupaj na startučez 360 sekund.

(4) Natanko nad severnim polom so trije sateliti; prvi obkroži Zemljo v 90 minutah, drugi v 100minutah in tretji v 110 minutah. Čez koliko časa bodo spet vsi trije hkrati nad severnim polom?

Rešitev: Poiskati moramo v(90, 100, 110).

Torej, v(90, 100, 110) = 22 · 32 · 52 · 11 = 9900. Vsi trije sateliti bodo ponovno hkrati nadsevernim polom čez 9900 minut oziroma čez 6 dni in 21 ur.

(5) Trije dečki potiskajo avto. Začeli so tako, da so se vsi oprli na levo nogo; prvi deček dela korakepo 75 cm, drugi po 60 cm in tretji po 45 cm. Koliko korakov bo napravil vsak deček, ko bodoprvič spet vsi hkrati oprti na levo nogo?

Rešitev: Da bo deček ponovno oprt na levo nogo, mora narediti dva koraka; prvi deček bo vtem času opravil 150 cm, drugi 120 cm in tretji 90 cm. Poiskati moramo v(150, 120, 90).

6

Vidimo, da je v(150, 120, 90) = 23 · 32 · 52 = 1800. Vsi hkrati bodo na levo nogo oprti ponovnočez 1800 cm, kar pomeni, da bo prvi deček naredi 24, drugi 30 in tretji 40 korakov.

2.5 Največji skupni delitelj

Največji skupni delitelj dveh ali več naravnih števil je naravno število, ki deli vsa dana števila. Dobimoga tako, da zmnožimo praštevila (z najmanǰso potenco), ki so vsebovana v vseh praštevilskih razcepihdanih števil. Za zgoraj obravnavani zgled velja, da je

D(120, 140, 330) = 2 · 5 = 10.

Sedaj je lepo razvidno, kako pomemebno je, da dobro obvladamo praštevilski razcep.

Primeri.

(1) Za praznovanje dobi vsak otrok enako število pomaranč in enako število bonbonov. Na mizi je28 pomaranč in 105 bonbonov. Koliko otrok lahko obdarimo z njimi, če razdelimo vse?

Rešitev: Iščemo število, ki deli tako število pomaranč kot število bonbonov, zato nas zanimaD(28, 105).

Torej, D(28, 105) = 7. Obdarimo lahko 7 otrok, vsak otrok bo dobil 4 pomaranče in 15bonbonov.

(2) V letovǐsče se pripelje z avtobusom dopoldne 328, popoldne 123 izletnikov. Vsi avtobusi, kivozijo tja, so enako veliki in vsi so vedno polni do zadnjega sedeža.

(a) Koliko izletnikov se pripelje z vsakim avtobusom?

(b) Koliko avtobusov pripelje v letovǐsče dopoldan in koliko popoldan?

Rešitev: Zanima nas D(328, 123).

Vidimo, da je D(328, 123) = 41. Z vsakim avtobusom se pripelje 41 izletnikov, kar pomeni, dadopoldan pride v letovǐsče 8 in popoldan 3 avtobusi.

7

(3) Mitja dobi dve cevi dolžine 2,40 m in 1,68 m. Njegova naloga je cevi razžagati na enako dolge,a čim dalǰse kose.

(a) Kako dolge kose naj nažaga in koliko kosov bo dobil?

(b) Koliko časa bo delal, če vsakič prežaga cev v 10 minutah?

Rešitev: Očitno ǐsčemo največji skupni delitelj, ki pa je definiran na naravnih številih, zatomoramo dolžini cevi zapisati v cm. Tako nas zanima D(240, 168).

Torej, D(240, 168) = 23 · 3 = 24. To pomeni, da mora Mitja cevi razžagati na dolžino 24 cm.Pri tem bo iz prve cevi dobil 10 in iz druge cevi 7 kosov. Ker za vsako žaganje potrebuje 10minut, bo za žaganje cevi potreboval 150 minut, prvo cev bo prežagal 9-krat in drugo 6-krat.

(4) Tla v hodniku s širino 192 cm in dolžino 312 cm bomo prekrili s kvadratnimi ploščicami izplute. Kako dolga je lahko stranica ploščic, da jih ne bo treba rezati?

Rešitev: Da ploščic ne bo potrebno rezati, mora njena dolžina deliti tako 312 cm kot 192 cm,zato nas zanima D(192, 312).

Potem pa je D(192, 312) = 23 · 3 = 24, kar pomeni, da če bodo ploščice velikosti 24 × 24 cm,jih ne bo potrebno rezati.

(5) Vsota dveh števil je 60, njun največji skupni delitelj pa 12. Kateri števili sta to?

Rešitev: Prvo število označimo z a in drugo z b. Potem so znani podatki, da je

a + b = 60 in D(a, b) = 12.

8

Iz drugega podatka je očitno, da 12 deli tako a kot b, zato je a = 12x in b = 12y. Upoštevajmoše prvi podatek, ki pravi, da je

60 = a + b = 12x + 12y oziroma x + y = 5.

Ker smo v množici naravnih števil, imamo dve rešitvi x1 = 1 in y1 = 4 ali x2 = 2 in y2 = 3. Topomeni, da govorimo o številih 12 in 48 ali o 24 in 36.

3 Matematične operacije z algebrskimi izrazi

Matematične izraze poimenujemo glede na število členov, ki v danem izrazu nastopajo. Posameznečlene združujemo s plusi in minusi. Torej, če v izrazu:

(a) nastopa en člen, govorimo o enočleniku;

(b) nastopata dva člena, govorimo o dvočleniku;

(c) nastopajo trije členi, govorimo o tričleniku; itd.

Primeri.

(a) enočlenikov: x, y, x · y, x2, . . . ;

(b) dvočlenikov: x + y, x + 2, x− y2, x2 − y, . . . ;

(c) tričlenikov: x + y + z, x− y2 − 3, . . . .

3.1 Kvadriranje dvočlenika

Za začetek kvadrirajmo dvočlenik tako, da pomnožimo”vsakega z vsakim”:

(a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + a · b + b · a + b2 = a2 + 2 · a · b + b2,

saj je zaradi komutativnosti naravnih števil a · b = b · a. Ko enkrat poznamo formulo za vsotodvočlenika, lahko hitro izpeljemo še formulo za kvadrat razlike dveh členov:

(a− b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2 · a · (−b) + (−b)2 = a2 − 2 · a · b + b2.

Zgled. Kvadrirajmo dvočlenike

(i) (x + 1)2 = x2 + 2 · x · 1 + 12 = x2 + 2x + 1

(ii) (2x− 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9

(iii) (x3 + 2y)2 = (x3)2 + 2 · x3 · 2y + (2y)2 = x6 + 4x3y + 4y2

9

3.2 Kubiranje dvočlenika

Večkrat pa se srečamo tudi s kubiranjem dvočlenika, zato s pomočjo tehnike”množenja vsakega z

vsakim“, izpeljimo formulo za kubiranje vsote dveh členov:

(a + b)3 = (a + b)2 · (a + b)= (a2 + 2 · a · b + b2) · (a + b)= a2 · a + 2 · a · b · a + b2 · a + a2 · b + 2 · a · b · b + b2 · b= a3 + 2 · a2 · b + b2 · a + a2 · b + 2 · a · b2 + b3= a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

Na analogen način kot pri kvadriranju, izpeljimo še formulo za kubiranje razlike dveh členov:

(a− b)3 = (a + (−b))3 = a3 + 3 · a2 · (−b) + 3 · a · (−b)2 + (−b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3.

Zgled. Kubiraj dvočlenike

(i) (1 + x)3 = 13 + 3 · 12 · x + 3 · 1 · x2 + x3 = 1 + 3x + 3x2 + x3.

(ii) (x− 3)3 = x3 − 3 · x2 · 3 + 3 · x · 32 − 33 = x3 − 9x + 27x2 − 27.

3.3 Pascalov trikotnik

Francoskemu matematiku B. Pascalu (1623–1662) je uspelo združiti vse razcepe (a + b)n, kjer je npoljubno naravno število. Zaradi elegantnosti njegove skice, se Pascalov trikotnik še danes imenujepo njem.

Vidimo, da je vsak koeficient v naslednji vrstici dejansko vsota neposrednih koeficientov nad njim.In kakšno zvezo ima to z (a + b)n?

1 (a + b)0 = 11 1 (a + b)1 = a + b

1 2 1 (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b21 3 3 1 (a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3

1 4 6 4 1 (a + b)4 = a4 + 4 · a3 · b + 6 · a2 · b2 + 4 · a · b3 + b41 5 10 10 5 1 (a + b)5 = a5 + 5 · a4 · b + 10 · a3 · b2 + 10 · a2 · b3 + 5 · a · b4 + b5

......

Zgled.

(a− b)4 = (a + (−b))4 = a4 + 4 · a3 · (−b) + 6 · a2 · (−b)2 + 4 · a · (−b)3 + (−b)4= a4 − 4 · a3 · b + 6 · a2 · b2 − 4 · a · b3 + b4

10

Opazimo, da se pri potenciranju razlike koeficienti ohranjajo, le vsak drugi člen ima negativen pred-znak.

Splača pa si zapomniti tudi enakosti za:

(i) razliko kvadratov:

a2 − b2 = (a + b)(a− b)

(ii) razliko kubov:

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

(iii) vsoto kubov:

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

Za tiste, ki bi želeli izvedeti še kaj več, povejmo, kako razstavimo poljuben dvočlenik; pri tem jenujno, da imata oba člena isto potenco:

(i) razlika”sodih potenc“:

a2n − b2n = (an + bn)(an − bn)

(ii) razlika”lihih potenc“:

a2n+1 − b2n+1 = (a− b)

(2n∑i=0

a2n−ibi

)

(iii) vsota”lihih potenc“:

a2n+1 + b2n+1 = (a + b)

(2n∑i=0

(−1)ia2n−ibi)

Vsoto”sodih potenc“ smo namerno izpustili, saj se nad množico realnih števil ne da razstaviti.

Primeri. Izraze skrči, rezultate pa razstavi.

(1) (x− 2y)(x + 2y) + (x + y)2 + 3y2

= x2 − (2y)2 + x2 + 2 · x · y + y2 + 3y2

= x2 − 4y2 + x2 + 2xy + y2 + 3y2

= 2x2 + 2xy

= 2x(x + y)

11

(2) (a− 2b)(a + 2b)− (a− b)2 + (a + b)2 + 8b2

= a2 − (2b)2 − (a2 − 2 · a · b + b2) + (a2 + 2 · a · b + b2) + 8b2

= a2 − 4b2 − a2 + 2ab− b2 + a2 + 2ab + b2 + 8b2

= a2 + 4ab + 4b2

= (a + 2b)2

(3) (2x + 5)(3− x) + (3x− 4)(3x + 4)− (x− 3)2 − x(x + 2)= 6x− 2x2 + 15− 5x + (3x)2 − 42 − (x2 − 2 · x · 3 + 32)− (x2 + 2x)= 6x− 2x2 + 15− 5x + 9x2 − 16− x2 + 6x− 9− x2 − 2x= 5x2 + 3x− 1

(4) x(x + 3)(x− 3)− (x + 2)3 − (3x− 1)2 + 9= x(x2 − 32)− (x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23)− ((3x)2 − 2 · 3x · 1 + 12) + 9= x3 − 9x− x3 − 6x2 − 12x− 8− 9x2 + 6x− 1 + 9= −15x2 − 15x= −15x(x + 1)

(5) 1− 4x(x + 3)(2x + 9) + (2x + 5)3

= 1− 4x(2x2 + 6x + 9x + 27) + (8x3 + 3 · 4x2 · 5 + 3 · 2x · 25 + 125)= 1− 8x3 − 24x2 − 36x2 − 108x + 8x3 + 60x2 + 150x + 125= 42x + 126

= 42(x + 3)

(6) (x2 − y2)2 + (x2 + y2)2 + 4x2y2

= (x4 − 2 · x2 · y2 + y4) + (x4 + 2 · x2 · y2 + y4) + 4x2y2

= x4 − 2x2y2 + y4 + x4 + 2x2y2 + y4 + 4x2y2

= 2x4 + 4x2y2 + 2y2

= 2(x4 + 2x2y2 + y2)

= 2(x2 + y2)2

(7) (4x2 − y2)2 − (4x2 − 3y2)(4x2 + 3y2) + 2x2(x2 − 2y2)= (4x2)

2 − 2 · 4x2 · y2 + (y2)2 − ((4x2)2 − (3y2)2) + 2x4 − 4x2y2

= 16x4 − 8x2y2 + y4 − 16x4 + 9y4 + 2x4 − 4x2y2

= 2x4 − 12x2y2 + 10y4

= 2(x4 − 6x2y2 + 5y4)= 2(x2 − 5y2)(x2 − y2)= 2(x−

√5y)(x +

√5y)(x− y)(x + y)

12

3.4 Najmanǰsi skupni večkratnik in največji skupni delitelj matematičnihizrazov

Izkaže se, da definiciji za najmanǰsi skupni večkratnik in največji skupni delitelj na naravnih številihsovpadata z definicijami za matematične izraze. To pomeni, da moramo vsak matematični izrazrazstaviti na produkt primitivnih izrazov(to so takšni izrazi, ki jih ni moč bolj razstaviti).

Zgled. Naj bosta a2− b2 in a2 + 2ab+ b2 dva matematična izraza. Da bomo poiskali največji skupnivečkratnik in najmanǰsi skupni delitelj, moramo izraza razstaviti.

a2 − b2 = (a− b)(a + b)a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Potem pa jev (a2 − b2, a2 + 2ab + b2) = (a− b)(a + b)2D (a2 − b2, a2 + 2ab + b2) = a + b

Primeri. Poǐsči največji skupni delitelj in najmanǰsi skupni večkratnik naslednjih izrazov.

(1) x2 − 5x in x2 + 5x.

Rešitev: Izraze najprej razstavimo.

x2 − 5x = x(x− 5)x2 + 5x = x(x + 5)

Potem pa je

v(x2 − 5x, x2 + 5x) = x(x− 5)(x + 5)D(x2 − 5x, x2 + 5x) = x

(2) x2 − 8x + 15 in x2 − x− 6.

Rešitev: Izraze najprej razstavimo.

x2 − 8x + 15 = (x− 5)(x− 3)x2 − x− 6 = (x− 5)(x− 1)

Potem pa je

v(x2 − 8x + 15, x2 − x− 6) = (x− 5)(x− 3)(x− 1)D(x2 − 8x + 15, x2 − x− 6) = x− 5

(3) 4x2 − 1 in 4x2 − 4x + 1.

Rešitev: Izraze najprej razstavimo.

4x2 − 1 = (2x− 1)(2x + 1)4x2 − 4x + 1 = (2x− 1)2

Potem pa je

v(4x2 − 1, 4x2 − 4x + 1) = (2x− 1)2(2x + 1)D(4x2 − 1, 4x2 − 4x + 1) = 2x− 1

13

(4) a2 − 9, a2 − 4a− 21 in 2a2 + 6a.

Rešitev: Izraze najprej razstavimo.

a2 − 9 = (a− 3)(a + 3)a2 − 4a− 21 = (a− 7)(a + 3)2a2 + 6a = 2a(a + 3)

Potem pa je

v(a2 − 9, a2 − 4a− 21, 2a2 + 6a) = 2a(a + 3)(a− 3)(a− 7)D(a2 − 9, a2 − 4a− 21, 2a2 + 6a) = a + 3

(5) a2 + 6a + 9 in a3 + 9a2 + 27a + 27.

Rešitev: Izraze najprej razstavimo.

a2 + 6a + 9 = (a + 3)2

a3 + 9a2 + 27a + 27 = (a + 3)3

Potem pa je

v(a2 + 6a + 9, a3 + 9a2 + 27a + 27) = (a + 3)3

D(a2 + 6a + 9, a3 + 9a2 + 27a + 27) = (a + 3)2

(6) 18a2 − 6a, 6a4 − 2a3, 9a3 + 3a2 in 12a4 + 4a3.

Rešitev: Izraze najprej razstavimo.

18a2 − 6a = 6a(3a− 1) = 2 · 3a(3a− 1)6a4 − 2a3 = 2a3(3a− 1)9a3 + 3a2 = 3a2(3a + 1)12a4 + 4a3 = 4a3(3a + 1) = 22a3(3a + 1)

Potem pa je

v(18a2 − 6a, 6a4 − 2a3, 9a3 + 3a2, 12a4 + 4a3) = 22 · 3a3(3a− 1)(3a + 1)D(18a2 − 6a, 6a4 − 2a3, 9a3 + 3a2, 12a4 + 4a3) = a

(7) a4 − 18a2 + 81, 4a2b2 − 24ab2 + 36b2 in a3b− 27b.

Rešitev: Izraze najprej razstavimo.

a4 − 18a2 + 81 = (a2 − 9)2 = (a− 3)2(a + 3)24a2b2 − 24ab2 + 36b2 = 4b2(a2 − 6a + 9) = 4b2(a− 3)2a3b− 27b = b(a3 − 27) = b(a− 3)(a2 + 6a + 9)

Potem pa je

v(a4 − 18a2 + 81, 4a2b2 − 24ab2 + 36b2, a3b− 27b) = 4b2(a− 3)2(a + 3)2(a2 + 6a + 9)D(6a4 − 18a2 + 81, 4a2b2 − 24ab2 + 36b2, a3b− 27b) = a− 3

14

(8) x5 − 81x, x5 + 18x3 + 81x in 15x2 − 5x3.

Rešitev: Izraze najprej razstavimo.

x5 − 81x = x(x4 − 81) = x(x2 − 9)(x2 + 9) = x(x− 3)(x + 3)(x2 + 9)x5 + 18x3 + 81x = x(x4 + 18x2 + 81) = x(x2 + 9)2

15x2 − 5x3 = 5x2(3− x) = −5x2(x− 3)

Potem pa je

v(x5 − 81x, x5 + 18x3 + 81x, 15x2 − 5x3) = −5x2(x− 3)(x + 3)(x2 + 9)2D(x5 − 81x, x5 + 18x3 + 81x, 15x2 − 5x3) = x

(9) 3a3 − 12a2 + 12a, a2x + 4ax + 4x in 3a2b− 12b.

Rešitev: Izraze najprej razstavimo.

3a3 − 12a2 + 12a = 3a(a2 − 4a + 4) = 2a(a− 2)2a2x + 4ax + 4x = x(a2 + 4a + 4) = x(a + 2)2

3a2b− 12b = 3b(a2 − 4) = 3b(a− 2)(a + 2)

Potem pa je

v(3a3 − 12a2 + 12a, a2x + 4ax + 4x, 3a2b− 12b) = 2 · 3abx(a− 2)2(a + 2)2D(3a3 − 12a2 + 12a, a2x + 4ax + 4x, 3a2b− 12b) = 1

Literatura

[1] F. Galič, et.al, Matematika za 6. razred osnovne šole, DZS, Ljubljana, 1994.

[2] D. Kavka, et. al, LINEA = Črta: matematika za 1. letnik gimnazij, Modrijan, Ljubljana, 2002.

[3] A. Blaznik, et. al, REALNA števila; Linearna funkcija, DZS, Ljubljana, 1999.

15