1

Tehniška matematika TM10a

Elektrostatika

Avtorji: Peter Kitak, Tine Zorič, Gordana Radić

1 UVOD

Ta spletna stran predstavlja dopolnilo pripadajočega nadaljevanja TM10 v reviji ER. Tam smo izpeljavo osnovnih zakonitosti vezali na elektrostatično polje v ploščatem kondenzatorju. Čeprav je to polje v elektrotehniki pogosto, smo ga za izpeljavo izbrali zato, ker je tu izpeljava najbolj preprosta in najbolj pregledna. Tam izpeljane temeljne zakonitosti pa splošno veljajo tudi za vse ostale primere elektrostatičnih polj.

Na tej spletni strani bomo dodatno obdelali elektrostatična polja osamljene valjne in krogelne elektrine ter elektrostatična polja v valjnem in krogelnem kondenzatorju. Poleg tega bomo opredelili pojem električnega potenciala.

V obdelavi Kirchhoffovih zakonov bomo dodatno obdelali vse integralnim oblikam pripadajoče diferencialne zakonitosti, ter njihovo uporabo v slojnih dielektrikih.

Na koncu bomo razdelali tri metode za reševanje kondenzatorskih vezij in vse ponazorili s primeri.

2 ELEKTROSTATIČNA POLJA

Električni potencial

Razlago električnega potenciala najlepše razložimo z analogijo z zemeljskim gravitacijskim poljem. V njem poznamo višino, ki podaja oddaljenost opazovane točke od gladine morja, višinska razlika dveh točk pa je podana kot razlika višin teh točk. Osnovna razlika z elektrostatičnim poljem je v tem, da je točka z višino nič v gravitacijskem polju fiksno izbrana, medtem ko točko z ničelnim električnim potencialom lahko izbiramo. Le točke na površini zemlje imajo predpisan električni potencial enak nič.

Kot je višinska razlika podana kot razlika višin, je električna napetost med dvema točkama elektrostatičnega polja definirana kot razlika električnih potencialov teh dveh točk. Električni potencial zapišemo s črko V. Če v dveh točkah 1 in 2 poznamo električna potenciala V1 in V2, potem je električna napetost med tema dvema točkama podana z

12 1 2 VU V V

Napetost 12U je pozitivna za 1 2V V .

Izpeljava zakonitosti za ravninsko radialno polje

Na neskončno dolgem valju s polmerom R predpostavimo na dolžinski enoti valja nakopičeno

elektrino q /As m . Na dolžini l je potem nabrana elektrina

AsQ q l

Ker je površina valja enakomerno ukrivljena, je gostota elektrine na površini valja povsod enaka

2

2

As

2 2 m

Q q l q

S R l R

Elektrostatično polje valjne elektrine je prostorsko radialno polje.

Gostota električnega pretoka v točkah na razdalji r R je

2

r

As

2 2 m

Q q l qD

S r l r

in električna poljska jakost v teh točkah.

V

2 m

D qE

r

Električno polje upada s prvo potenco razdalje.

Za pozitivno elektrino kažeta vektorja D in E v smeri polmera r . Nasprotno imensko elektrino smatramo zbrano v neskončnosti. Tam je električna poljska jakost nič.

Če izberemo izhodišče potenciala v točki na razdalji 0r , je električni potencial v točkah na razdalji

1r

0 0

1 1

01 0 1

1

ln ln ln2 2 2

r r

r r

rq dr q qV E dr r r

r r

in v točkah na razdalji 2r

0

2

02

2

ln2

r

r

rqV E dr

r

Ploskve enakega potenciala so koncentrični valji, za 2 1r r in pozitivno elektrino je 1 2V V in je

napetost

0 0 2

12 1 2

1 2 1

ln ln ln2 2

r rq q l r QU V V

r r l r C

,

ki pa bi jo lahko izračunali tudi po direktni formuli

0

1

212

1

ln2

r

r

q rU E dr

r

Sedaj za kapacitivnost valjnega kondenzatorja z notranjim polmerom 1R in zunanjim polmerom

2R ter dolžino l lahko zapišemo

2 212

1 1

2F

ln ln2

Q q l lC

q l r rU

l r r

in za kapacitivnost po dolžinski enoti valjnega oziroma cilindričnega kondenzatorja:

212

1

2 F

mln

qc

rU

r

S tem smo izpeljali vse zakonitosti za osamljeno valjno elektrino.

3

Zgled

Enožilni kabel ima polmer žile 1 0,5 cmR notranji polmer prevodnega plašča pa 2 1, 2 cmR .

Relativna dielektričnost izolatorja je 5r . Kolikšna je kapacitivnost 500 ml dolgega kabla?

Kolikšna elektrina je nakopičena na žili, če je napetost 1kVU ?

Rešitev

Kapacitivnost kabla je:

12 9

2

1

2 6, 28 8,854.10 500 2,78 103,177nF

1, 2 0.875ln ln0,5

o r lCR

R

V kablu je nakopičena elektrina:

9 3 63,177 10 10 3,177 10 3,177 AsQ C U

Če je ta osamljena v prostoru (nasprotnoimenska elektrina je v neskončnosti), smemo valjno elektrino reducirati v os valja. Vse izpeljane formule veljajo tudi tam, zavedati se moramo le, da v

notranjosti valja velja 0E in RV V .

Izračun zakonitosti za prostorsko radialno polje

Izpeljava zakonitosti za osamljeno krogelno elektrino je podobna. Gostota električnega pretoka D za osamljeno krogelno elektrino Q oziroma za sferični kondenzator je

2 2

As

4 m

QD

r

in električna poljska jakost

2

1 V

4 m

D QE

r

.

Električno polje upada s kvadratom razdalje.

Od tod za napetost med dvema točkama s polmeroma r1<r2 v prostorskem radialnem elektrostatičnem polju dobimo

2

1

12 2

1 2

1 1 1d ( ) V

4 4

r

r

Q QU r

r r r

.

Od tod je kapacitivnost sferičnega kondenzatorja

1 2

4F

1 1C

r r

.

Medtem ko je električno polje naelektrenih premih vodnikov izredno pomemben sestavni del mnogih tehniških problemov, električno polje krogel ne igra pomembnejše vloge.

Zgled

Kolikšna je kapacitivnost kovinske kroglice s polmerom 1cmR v zraku?

Rešitev

Kapacitivnost kovinske kroglice je:

4

2 12

04 12,56 8,854 1 10 1,1 10 F 1,1pFC R .

V zgodnji dobi elektrotehnike so imeli enoto kapacitivnost = 1 cm. To je sedanja kapacitivnost 1,1 pF.

Zgled

Kolikšen polmer R bi morala imeti kovinska krogla, da bi imela kapacitivnost 1 F?

Rešitev

Kovinska krogla bi morala imeti polmer:

9

12

0

19 10

4 12,56 8,854 10

CR

m.

To je 9 milijonov kilometrov. Farad je zelo velika enota!

Električna prebojna trdnost

Karakteristični podatek vsakega izolatorja je tudi njegova prebojna trdnost, to je mejna vrednost električne poljske jakosti, pri kateri izolator prebije. Tako je v priročnikih zapisano, da je prebojna trdnost zraka Ep=3∙106 V/m. Vendar je pri tem potrebno poznati nekaj podrobnosti, da se izognemo neželenim situacijam.

Zgled

Kolikšna sme biti največja velikost elektrine Q na popolnoma gladki kovinski kroglici s polmerom R=5 cm, da bo dopustna električna poljska jakost na površini krogle 2/3 dopustne, to je ER=2∙106 V/m?

Rešitev

Veljati mora iz

2

0

1

4R

QE

R

2 12 4 6 64 12,56 8,854 10 25 10 2 10 0,556 10o RQ R E [As].

Napetost med površino krogle in izhodiščem (nasprotno imensko elektrino) v neskončnosti je podana z

6

3

12 2

0

1 0,556 10100 10 100

4 12,56 8,854 10 5 10R

QU

R

[kV].

Problem je skrit v besedi »popolnoma gladka«. Če bi se na površini kroglice nahajala drobna kovinska smet, bi bila na mestu smeti trikratna vrednost električne poljske jakosti, za dano elektrino pa kar dvojna vrednost električne prebojne trdnosti zraka. Popolna gladkost površine brez kakršnih koli smeti ali neravnin igra zato sila pomembno vlogo pri visokonapetostnih stikalih in katodnih odvodnikih.

Več o določanju prebojnih trdnosti in električnem polju dveh raznoimensko naelektrenih električnih krogel (iskrišče) je zapisano v knjigi: Jože Voršič, Jože Pihler, Tehnika visokih napetosti in velikih tokov − poglavje1, UM FERI.

5

3 DIFERENCIALNE OBLIKE KIRCHHOFFOVIH ZAKONOV

Medtem, ko tehniki − praktiki običajno dobro poznajo vsebino in uporabo Kirchhoffovih zakonov v kondenzatorskih vezjih, pa velik del njih ne ve, da imajo Kirchhoffovi zakoni dvoje vrst oblik: integralno in diferencialno obliko. Zato bomo že znanim integralnim oblikam Kirchhoffovih zakonov poiskali pripadajoče diferencialne zakonitosti. Z nekaj zgledi pa bomo prikazali praktične posledice zaradi v električno polje zaporedno ali vzporedno nameščenih slojev dielektrikov.

Ker smo integralne oblike Kirchhoffovih zakonov izpeljali v TM10, bomo tu izkoristili znano pravilo, da imata integralna in diferencialna oblika zakona enako obliko, le vsako integralno veličino moramo nadomestiti s pripadajočo diferencialno veličino.

V elektrostatičnem polju gre za zamenjavo

, ,C U E Q D .

Diferencialna oblika Kirchhoffovih zakonov zanke

Za zaporedno namestitev dveh kondenzatorjev s kapacitivnostma 1C in 2C smo izpeljali

naslednje zakonitosti:

1 2Q Q .

Na dva zaporedno vezana kondenzatorja priteka enaka elektrina

1 2

2 1

U C

U C .

Napetosti na dveh zaporedno vezanih kondenzatorjih sta v obratnem razmerju njunih kapacitivnosti.

Ker vsota napetosti in nadomestna kapacitivnost nimata svojega diferencialnega ekvivalenta, poznamo za dva zaporedno nameščena dielektrika le dva diferencialna zakona:

1 2D D .

Gostoti električnega pretoka sta v dveh zaporedno nameščenih dielektrikih enaki, pravimo, da tedaj gostota električnega pretoka prehaja zvezno

iz

1 21 1 2 2

2 1

izhajaE

E EE

.

Električni poljski jakosti na dveh zaporedno vezanih dielektrikih sta v obratnem razmerju njunih dielektričnosti.

Za vzporedno namestitev dveh kondenzatorjev s kapacitivnostma 1C in 2C smo izpeljali

naslednji zakonitosti:

1 2U U .

Napetosti na dveh vzporedno vezanih kondenzatorjih sta enaki.

1 1

2 2

Q C

Q C

Elektrini na dveh vzporedno vezanih kondenzatorjih sta v premem razmerju njunih kapacitivnosti.

6

Njima pripadajoči obliki diferencialnih zakonitosti sta:

1 2E E .

V dveh vzporedno nameščenih dielektrikih sta električni poljski jakosti enaki, električni poljski jakosti prestopata zvezno.

1 1

2 2

D

D

Gostoti električnega pretoka sta v dveh vzporedno nameščenih dielektrikih v premem razmerju njunih dielektričnosti.

Praktična uporaba Kirchhoffovih zakonov v elektrostatičnem polju

V elektrostatičnih poljih se bomo praviloma srečevali z zaporedno namestitvijo dielektrikov (izolatorjev), vzporedna namestitev je izjema. Poglejmo, kaj se zgodi, če na kroglico nanesemo sloj dielektrika z dopustno prebojno trdnostjo, zunanji polmer dielektrika pa se ni spremenil.

Zgled

Krogelno kovinsko elektrodo s polmerom R=5 cm bi želeli primerjati s kovinsko z epoksidnim slojem obloženo elektrodo z enakim zunanjim polmerom dielektrika. Dopustna električna poljska jakost za zrak naj bo Ezr=2 MV/m in za epoksidno smolo Eep=20 MV/m. Relativna dielektrična

konstanta epoksidne smole je 2 5r .

a) Kolikšno napetost smemo priključiti na neobloženo elektrodo?

b) Kolikšen naj bo polmer r kovinske elektrode, da bomo v obeh dielektrikih imeli maksimalno dopustno električno poljsko jakost?

c) Kolikšna sme biti v tem primeru priključena napetost?

Nasprotno imensko elektrodo predpostavljamo neskončno oddaljeno!

Slika: z dielektrikom obložena kovinska elektroda

a) Na kovinsko elektrodo v zraku bi smeli priključiti napetost:

6 2

zr 2 10 5 10 100U E R [kV].

Na kroglici bo zbrana elektrina

2 6 12 4 6

zr 04 2 10 12,56 8,854 10 25 10 0,556 10Q E R [As].

b) Na površini obeh dielektrikov smemo imeti dopustne električne poljske jakosti. Zato iz

ep 2

0 r2

1

4

QE

r

in

RR

r

r1 1 r1 1

r2 5

7

zr 2

0

1

4

QE

R

dobimo:

6

2zr

6

r ep

2 105 10 0,707

5 20 10

Er R

E

[cm].

c) Napetost na elektrodi se bo povečala za napetost na epoksidni plasti:

2

3zr

0 r2 r

1 1 1 1( ) ( ) 283 10

4

Q E RU

r R r R

[V].

Napetost na kovinski elektrodi je:

( ) 100 283 383 kVU r U U .

■

Obravnavani zgled je bil koristen primer pravilne uporabe slojnih dielektrikov. Za priključeno napetost U=100 kV bi bila največja električna poljska jakost v zraku

zr

20000000,522

3,83E [MV].

Sedaj pa si oglejmo primer, ko nas neustrezna uporaba slojnih dielektrikov postavi v težavno situacijo.

Zgled

Da bi dobili med vzporednima ploščama v zraku dopustno električno poljsko jakost Ed=2 MV/m, bi smeli nanju pri razdalji plošč d=1 cm priključiti napetost

401040102102 426 dEU d [kV].

Da pa le ne bi prišlo do preboja, je stikalničar med plošči namestil še d1=0,75 cm debelo ploščo iz

trdega papirja z relativno dielektrično konstanto r1 3,5 in dopustno prebojno trdnostjo Ed1=4

MV/m.

Iz

1 2 1 1 2 2U U U E d E d

dobimo za električno poljsko jakost v zraku:

1

r11 2

r2

400008,6

10,0025 0,0075

3,5

UE

d d

[MV],

kar je več kot štirikratnik dopustne vrednosti. Dielektrik z višjo prebojno trdnostjo se razbremeni na račun tega z manjšo prebojno trdnostjo, njegova električna poljska jakost doseže skoraj trikratno prebojno trdnost zraka. Zrak začne prebijati! Če je ta organski, lahko zogleni in postane prevoden. Posledica je kratek stik!

Zgled

Na enožilni kabel z dvoslojnim dielektrikom s polmeri R1=1cm, R2=2 cm in R3=3 cm je priključena napetost U=10 kV.

Najprej vzamemo za relativni dielektričnosti:

a) εr1=4, εr2=2 in nato

8

r1

r1

r2

r2

r3

U1 U2

U

b) εr1=2, εr2=4 mesti dielektrikov zamenjamo.

Kolikšni sta napetost U1 in U2, kolikšni sta največji vrednosti

obeh električnih poljskih jakosti v obeh primerih?

Katera namestitev dielektrikov je smiselna?

Rešitev

a) Prvotna razmestitev dielektrikov. Iz izrazov za obe delni napetosti

21

0 r1 1

ln2

q RU

R in 3

2

0 r2 2

ln2

RqU

R

lahko izračunamo razmerje obeh delnih napetosti

3r1

2 22 1

21r2

1

ln4 ln1,5

1,17 1,172 ln 2ln

R

U RU U

RU

R

Če od tod izrazimo

1 2 1 11,17 2,17U U U U U U U ,

dobimo

3

1

10 104,608

2,17 2,17

UU

kV

in

2 1 5,392U U U kV.

Na enoti dolžine je nakopičena elektrina

12

61 0 1

2

1

2 4608 6, 28 8,854 101, 477 10

ln 2ln

Uq

R

R

As/m.

Maksimalna električna poljska jakost v notranjem dielektriku je

6 9

3

1max 2

0 r1 1

1,477 10 18 10664,65 10

2 4 1 10

qE

R

V/m,

v zunanjem dielektriku pa

6 9

3

2max 2

0 r1 2

1,477 10 18 10664,65 10

2 2 2 10

qE

R

V/m.

V obeh izrazih smo upoštevali

9

12

0

1 118 10

2 6, 28 8,854 10

.

Maksimalna električna poljska jakost je v obeh dielektrikih enaka.

b) Sedaj pa zamenjamo mesti dielektrikov: 1 2r in 2 4r

9

3r1

2 22 1

21r2

1

ln2 ln1,5

0, 2925 0, 29254 ln 2ln

R

U RU U

RU

R

Če od tod izrazimo

1 2 1 10, 2925 1, 2925U U U U U U U ,

dobimo

3

1

10 107,737

1, 2925 1, 2925

UU

kV

in

2 1 2, 263U U U kV.

Na enoti dolžine je nakopičena elektrina

61 0 r1

92

1

2 7737 21, 24 10

18 10 ln 2ln

Uq

R

R

As/m.

Maksimalna električna poljska jakost v notranjem dielektriku je

6 9

3

1max 2

0 r1 1

1, 24 10 18 101116 10

2 2 1 10

qE

R

V/m,

v zunanjem dielektriku pa

6 9

3

2max 2

0 r1 2

1, 24 10 18 10279 10

2 4 2 10

qE

R

V/m.

Dielektrik z večjo relativno dielektričnostjo se razbremeni na račun dielektrika z manjšo relativno dielektričnostjo.

Ker je pri sferičnem ali valjnem kondenzatorju notranji dielektrik praviloma električno bolj obremenjen, je smotrno, da ima večjo dielektrično konstanto.

Na koncu tega poglavja še majhna zanimivost. Ko so po uvedbi trifaznih napetosti začeli uporabljati sinhronske generatorje višjih napetosti, je bil dielektrik med navitjem in kovinsko steno utora lepenka. Ker se lepenka ni vedno tesno dotikala kovine, je zrak v ozki reži med lepenko in steno utora, ker je tam bila električna poljska jakost prevelika, začel prebijati. Posledica je bila pooglenitev lepenke in na koncu kratek stik. Vse dokler se ni neka bistra glava domislila in zunanje strani lepenke premazala z grafitom. Kovinska stena utora in z grafitom premazana lepenka sta zato bili na istem električnem potencialu, nevarnost je bila odstranjena!

4 REŠEVANJE KONDENZATORSKIH VEZIJ

Pod pojmom razrešitev kondenzatorskega vezja razumemo za kondenzatorsko vezje določitev padcev napetosti in nabojev na vseh kondenzatorjih vezja, pri čemer so seveda podane vrednosti kapacitivnosti kondenzatorjev in vrednosti napetosti virov.

Poznamo celo vrsto metod za reševanje kondenzatorskih vezij. Mi bomo tu navedli le dve najbolj pomembni. Postopke reševanja po ostalih metodah si lahko ogledate v navedeni literaturi.

10

Metoda poenostavljanja kondenzatorskega vezja

Metoda se praviloma uporablja v primeru, ko je na kondenzatorsko vezje priključen en sam vir napetosti. Postopek opravimo v naslednjem zaporedju operacij:

a) Kondenzatorsko vezje po postopku poenostavljanja nadomestimo z nadomestnim kondenzatorjem.

b) Izračunamo elektrino Q, ki jo v vezje pošilja vir napetosti U.

c) Izračunamo elektrine na posameznih kondenzatorjih.

d) Iz elektrin in kapacitivnosti lahko izračunamo napetosti in energije elektrostatičnega polja na posameznih kondenzatorjih.

Postopek reševanja bomo prikazali kar na praktičnem zgledu.

Zgled

V podani kondenzatorski vezavi s kapacitivnostmi: 1 10 nF,C 2 30 nF,C 3 5 2,5 nFC C

in 4 7,5 nFC poznamo priključeno napetost U=16 V.

a) S poenostavljanjem želimo določiti nadomestno kapacitivnost C-vezja!

b) Izračunamo elektrino Q, ki jo vir napetosti pošilja v vezje!

c) Izračunamo napetosti in elektrine na posameznih kondenzatorjih!

c) Izračunamo skupno energijo elektrostatičnega polja, nakopičeno v vezju!

Postopek reševanja

a) Vzporedno vezani kapacitivnosti C3 in C4 nadomestimo z nadomestno kapacitivnostjo Ca

a 3 4 2,5 7,5 10C C C nF

Nato določimo nadomestno kapacitivnost zaporedne vezave Ca in C2.

b

b 2 a

1 1 1 1 17,5

30 10C

C C C nF

S kalkulatorjem seštejemo recipročne vrednosti in rezultatu nato poiščemo recipročno vrednost. Pri računanju lahko uporabljamo ulomke.

Naslednja nadomestna kapacitivnost je Cc

c b 5 7,5 2,5 10C C C nF.

C1

C2

C3

C4

C5

U

11

Nadomestno kapacitivnost vezja C določimo iz

1 c

1 1 1 1 15

10 10C

C C C nF.

b) Elektrina, ki priteka v vezje, je

9 95 10 16 80 10 80Q C U [nAs].

c) Elektrina, ki priteka iz vira v vezje, je tudi tista, ki priteka na kondenzator C1

9

1 80 10Q Q [As].

Napetost na kondenzatorju C1 je

9

11 9

1

80 108

10 10

QU

C

[V].

Napetosti U5 in Ub sta

5 b 1 16 8 8U U U U [V].

Elektrina Q5 je

9 9

5 5 5 8 2,5 10 20 10 20Q U C [nAs].

Sedaj je elektrina na kondenzatorju C2

9 9

b 2 a 1 5 80 10 20 10 60Q Q Q Q Q [nAs].

Napetost na kondenzatorju C2 je

9

22 9

2

60 102

30 10

QU

C

[V].

Na vzporedno vezanih kondenzatorjih C3 in C4 je napetost

9

aa 3 4 9

a

60 106

10 10

QU U U

C

[V].

Elektrini na vzporedno vezanih kondenzatorjih sta

9

3 3 3 6 2,5 10 15Q U C [nAs] in

9

4 4 4 6 7,5 10 45Q U C [nAs].

d) Energijo elektrostatičnega polja, nakopičeno v kondenzatorjih vezave, lahko določimo kot vsoto energij posameznih kondenzatorjev ali kot

9

9

el

80 10 16640 10 640

2 2

Q UW

[nJ].

V vezju z enim samim virom napetosti je namesto priključene napetosti lahko podana tudi ena od ostalih električnih veličin. Če poznamo dve medsebojno neodvisni električni veličini, je kapacitivnost enega od kondenzatorjev lahko neznana.

12

Zgled

V podani kondenzatorski vezavi poznamo kapacitivnosti: C1=C4=90 nF, C2=C5=30 nF, C3=22,5 nF in C6=20 nF.

Na kondenzatorju s kapacitivnostjo C2 je nakopičena

električna energija Wel2=216 μJ.

a) Določite vse napetosti!

b) Določite naboj Q!

c) Določite nadomestno kapacitivnost vezave!

d) Določite električno energijo, nakopičeno v vezju!

Rešitev

a) Iz

2 2

2 2 2el2

2 2

U C QW

C

lahko določimo U2 ali Q2:

9 3 6

2 2 el2 12 2 30 10 0, 216 10 3,6 10 AsQ C W Q .

Sedaj lahko izračunamo pripadajoči napetosti:

9

11 9

1

9

22 9

2

3600 1040 V

90 10

3600 10120 V

30 10

QU

C

QU

C

.

Napetost na kondenzatorju s kapacitivnostjo C3 je:

3 1 2 160 VU U U .

Pripadajoča elektrina je:

9 6

3 3 3 120 22,5 10 3,6 10 AsQ U C .

Sedaj (po Kirchhoffovem zakonu vozlišča) lahko izračunamo elektrino Q4:

6

4 3 2 7,2 10 AsQ Q Q

in nato pripadajočo napetost:

9

44 9

4

7200 1080 V

90 10

QU

C

.

Na vezavo priključena napetost je:

3 4 240 VU U U .

Kondenzatorja v spodnji veji moramo nadomestiti z nadomestno kapacitivnostjo:

9

a

a 5 6

1 1 1 1 112 10 F

30 20C

C C C

.

Na obeh zaporedno vezanih kondenzatorjih sta zbrani elektrini:

9 6

a a 240 12 10 2,88 10Q U C As 5 6Q Q .

Sedaj lahko določimo obe pripadajoči napetosti

C1

U

C2

C3

C4

C5 C6

Wel2

13

9

55 9

5

9

66 9

6

2880 1096 V

30 10

2880 10144 V

20 10

QU

C

QU

C

.

Vsota obeh napetosti je res enaka priključeni napetosti, kar je kontrola pravilnosti izračuna.

b) Elektrina, ki je stekla v vezavo je:

6

4 5 10,08 10 AsQ Q Q .

c) Nadomestna kapacitivnost vezave je:

9

910080 1042 10 F

240

QC

U

.

Dobljeno vrednost kontroliramo tako, da s poenostavljanjem vezave poiščemo nadomestno kapacitivnost C- vezave.

a) V vezju nakopičena električna energija je:

6

3

el

10,08 10 2401, 2096 10 J 1,21mJ

2 2

Q UW

.

Metoda vozliščnih potencialov

Metoda vozliščnih potencialov je ena izmed metod, ki jo lahko uporabimo za razrešitev kondenzatorskega vezja, kadar imamo v vezju več virov napetosti.

Na spodnji sliki je prikazano za metodo vozliščnih potencialov primerno označeno kondenzatorsko vezje. Podatki so: U1=60V, U2=140V in C1=C2=C3=C4=C5=10 nF. Po metodi vozliščnih potencialov želimo najprej določiti oba neznana potenciala VA in VB, če izberemo v vozlišču C ničelni potencial VC=0. Ničelni potencial praviloma izberemo v vozlišču, iz katerega izhaja največ vej.

Ker v delu s potenciali lahko potencial enega vozlišča izberemo, to navadno naredimo za vozlišče z največ odcepi. V našem primeru VC=0.

Izpeljava vozliščnih enačb

Za posamezne veje velja:

C1

C2

C3

C4

C5

+

-

U1

U2+

-

+-

+

-

+-

+

-

-

+

VA

VB

VC

A B

C

14

1A 1 1 1 A 1

1

2B 2 2 2 B 2

2

( )

( )

QV U Q U V C

C

QV U Q U V C

C

3A 3 A 3

3

QV Q V C

C

4B A 4 B A 4

4

5B 5 B 5

5

( )Q

V V Q V V CC

QV Q V C

C

V vsakem vozlišču mora biti vsota pozitivnih elektrin enaka vsoti negativnih elektrin, tako za vozlišča A in B dobimo

1 3 4 1 A 1 A 3 B A 4

4 2 5 B A 4 B 2 2 B 5

( ) ( )

0 ( ) ( ) 0

Q Q Q U V C V C V V C

Q Q Q V V C V U C V C

Izraze z danimi napetostmi pustimo na levi strani, izraze vozliščnih potencialov prenesemo prek enačaja. Ko uredimo, dobimo

1 1 A 1 3 4 B 4

2 2 A 4 B 4 2 5

( )

( )

U C V C C C V C

U C V C V C C C

.

Sedaj vstavimo vrednosti

A B

A B

600 30 10

1400 10 30

V V

V V

.

Iz prve enačbe izrazim VB

B A3 60V V

in vstavim v drugo enačbo

A A A

320140 9 180 40

8V V V [V] B 60V [V].

Sedaj kontroliramo elektrine v vozlišču A:

9 9 9

1 3 1 A 1 A 3( ) 20 10 10 40 10 10 600 10Q Q U V C V C [As]

9 9

4 B A 4( ) 60 10 10 600 10Q V V C [As]

Kolikor elektrine v vozlišče priteče, toliko je iz vozlišča odteče.

Iz prikazane izpeljave lahko zapišemo postopek za izpeljavo vozliščne enačbe za eno od kondenzatorskih vezav.

Na levi strani enačbe je produkt napetosti virov s kapacitivnostmi veje z napetostjo. Produkt je pozitiven, če napetost kaže v vozlišče.

Na desni strani vozliščne enačbe je najprej pozitiven produkt vozliščnega potenciala z vsoto kapacitivnosti v vejah, ki izstopajo iz vozlišča. Prištejejo se negativni produkti potencialov

sosednjih vozlišč z vsoto kapacitivnosti med obravnavanim in sosednjim vozliščem (če imamo med vozličema vzporedne veje).

15

Zgled

Sedaj pa si na enem od kondenzatorskih vezij poskušajmo postaviti sistem enačb vozliščnih potencialov.

Vozliščni enačbi za vozlišči A in B imata obliko:

Vozlišče A: 2 2 1 1 A 1 2 5 B 1( )U C U C V C C C V C ,

Vozlišče B: 1 1 3 3 B 1 3 4 A 1( )U C U C V C C C V C .

Za vrednosti napetosti 1 3 80U U V in 2 100U V ter kapacitivnosti 1 4 1C C μF, 2 3C

μF, 3 2C μF in 5 1, 25C μF dobimo za potenciale vozlišč A 80V V in B 40V V.

Izračunajte vrednosti elektrin na kondenzatorjih. Vsota elektrin na elektrodah iz istega vozlišča mora biti enaka nič.

Na primer: 5 4 2 3 0Q Q Q Q .

Medtem ko predznaka virov napetosti poznamo, jih na kondenzatorjih moramo predpostaviti. Če smo predznak enega od kondenzatorjev napačno izbrali, bo imela izračunana elektrina negativen predznak, kar je le znak, da bi bil predpostavljen predznak napačno izbran.

Od ostalih metod sta najbolj pomembni še metoda zančnih nabojev in metoda dvopolov. Ker vse te metode uporabljamo tudi za reševanje enosmernih tokovnih vezij, si ju bomo ogledali v TM11a.

5 ELEKTROSTATIČNO POLJE DVEH ELEKTRIN

Kadarkoli priključimo enosmerno napetost U na dve kovinski elektrodi, sta elektrini na njih vedno enaki in nasprotnoimenski. Za kondenzatorje smo to doslej že upoštevali.

Ostaneta nam le še problem elektrostatičnega polja dveh krogelnih in dveh valjnih elektrin, ki nista druga v drugi.

Določitev prebojne trdnosti zraka

Krogelne elektrine v elektrotehniki ne igrajo praktično nobene vloge. Edina izjema je iskrišče. To sta dve izolirano nameščeni gladki kovinski krogli, priključeni na napetost U. Za podano napetost U lahko po postopku nadomestnih elektrin izračunamo največjo velikost električne

C1

C2 C3

C4C5 +

-

U1

U2

+

-

+ -

+

-

+-

+VA VB

VC=0

A B

C

- U3

+

-

+ -

16

poljske jakosti v nakazanih točkah. Iz napetosti, pri katerih zrak prebije izračunamo prebojno trdnost zraka.

Po enakem postopku določimo prebojno trdnost plinov in tekočin.

Dve vzporedni raznoimenski valjni elektrini

Dve enaki vzporedni žici, priključeni na enosmerno napetost, predstavljata v elektrotehniki zelo pogost primer. Zato nas zelo zanima, kako določimo elektrostatično polje v tem primeru.

Naslednja slika predstavlja računalniško predstavitev elektrostatičnega polja za dve vzporedni raznoimenski valjni elektrini.

Iz nje je lepo razvidno, da so ekvipotencialne ploskve valji. Električne silnice pa stojijo povsod pravokotno na ekvipotencialne ploskve. Družina krivulj, ki so povsod pravokotne na družini krogov, so lahko zopet samo krogi, kar nazorno kaže naslednja slika. Iz nje je razvidno, da smemo dve vzporedni raznoimenski elektrini reducirati v dve na os valja ekscentrično položeni električni premici.

Up

Ep

17

+q

-qd

R

y

xa a e

b

e

b

R

Potrebno je le določiti ekscentričnost e. Določitev te je zelo preprosta in je razvidna iz naslednje slike. Ker vemo, da ima silnica obliko kroga ter mora povsod stati pravokotno na površino valja, določimo ekscentričnost reducirane elektrine po naslednji sliki, kjer so d razdalja osi valjev, e ekscentričnost električne osi in R polmera valjev.

Ker sta v obeh trikotnikih tako pripadajoči kateti in obe hipotenuzi medsebojno pravokotni, imamo opravka z dvema podobnima trikotnikoma.

Iz razmerja

e R

R d

dobimo

2R

ed

.

Ekscentričnost e je pomembna pri valjih.

Da jo pri žičnih zračnih vodih smemo zanemariti, bomo dokazali z naslednjim računom.

Zgled

Vzemimo, da imamo v razdalji d=1 m, dve vzporedni žici s polmerom R=1 cm. Kolikšna bi bila ekscentričnost e v tem primeru?

Rešitev

Ekscentričnost e je:

2 410

0,1mm1

Re

d

.

Nenatančnost pri montaži žice je neprimerno večja!

y

x

-ΔV

-2ΔV

-3ΔV

+ΔV

+2ΔV

+3ΔV

V=0

-q +q

18

+ -

zrak

x

6 SILI NA MEJNI PLOSKVI DVEH DIELEKTRIKOV

Na koncu te spletne strani pa omenimo še eno zanimivost, ki je v poklicnih in elektrotehniških šolah običajno ne omenjajo, je pa kljub temu izredno pomembna. Pri tem bomo izhajali iz anekdote.

Ko je Michael Faraday pred Kraljevsko družbo v Londonu zagovarjal uvedbo silnic in gostotnic, so se iz njega norčevali. Eno od ciničnih vprašanj je bilo, kako si Faraday sploh predstavlja gostotnico, ko se pa te nikjer ne vidi, niti jo je mogoče potipati. Faraday je odgovoril, da si gostotnico predstavlja kot napeto gumi elastiko, ki se skuša po dolžini skrajšati, po širini pa razširiti.

Verjetno se tudi Faraday takrat še ni zavedal (mnogi znani elektrotehniki pa tudi še dolgo kasneje ne), kako globoka resnica je bila skrita v njegovi izjavi. Mi pa se bomo nanjo sklicevali tudi še pozneje.

Iz dimenzije prostorske gostote energije električnega polja

[J/m3]=[N/m2],

je razvidno, da je ta enaka tudi sili na enoto površine. Na gostotnico delujejo v elektrostatičnem polju sile, ki jo skušajo po dolžini skrajšati, po širini pa razširiti. Če je dielektrik v obeh sosednjih gostotnicah enak, se sili kompenzirata, če pa sta na obeh straneh meje gostotnice različna dielektrika, pa skuša razlika obeh sil premakniti mejo obeh dielektrikov v smeri dielektrika z manjšo dielektrično konstanto.

Če je mejna ploskev vzporedna s smerjo polj, morata biti električni poljski jakosti v obeh snoveh

enaki. Razlika sil na enoto površine mejne ploskve je za ( 1 2 )

22 2

01 21 2 r1 r2

2 2 2

EE Ef f f

[N/m2]

Rezultantna sila skuša premakniti mejno ploskev v smeri dielektrika z manjšo dielektrično konstanto.

Če je mejna ploskev pravokotna na smer polja, prestopata gostoti električnega pretoka zvezno.

Razlika sil na enoto površine mejne ploskve je za ( 2 1 )

2 2 2

1 2

1 2 0 r1 r2

1 1

2 2 2

D D Df f f

[N/m]

V tem primeru bo skušala rezultantna specifična sila mejno ploskev potisniti v smeri dielektrika z manjšo dielektrično konstanto, oziroma gostotnico z večjo dielektrično konstanto razširiti.

V prvem primeru pa skuša rezultantna sila premakniti prečno ploskev v smeri dielektrika z manjšo dielektrično konstanto, oziroma njeno gostotnico krajšati. Faradayeva trditev je res v celoti ustrezala dejanskemu stanju.

Zgled

V posodo s kemično čisto vodo ( rv 81 ) vtaknemo dve kovinski

plošči, ki jima z dvema izolatorskima ploščicama držimo razdaljo obeh plošč. Na plošči priključimo tolikšno napetost U, da dobimo v zraku

električno poljsko jakost z 1E MV/m. Kolikšna je specifična sila na

mejni ploskvi voda–zrak?

Za koliko se bo dvignil nivo vode med ploščama?

Gre za vzporedno namestitev dielektrikov. Specifična sila

19

na meji voda–zrak je

2 12 12

0 1 10 8,854 1081 1 80 354

2 2

Ef

[N/m2].

Sila na mejno ploskev A je

el 354F f A A

in deluje navzgor.

Tej sili drži ravnotežje teža dvignjene vode

g v 354F x A A .

Voda se dvigne za

354

0, 0369810

x [m] = 3,6 [cm].

Drug zelo zanimiv podatek je, kolikšna je prostorska gostota energije elektrostatičnega polja, če je dopustna električna poljska jakost 2 MV/m.

Prostorska gostota energije v zraku je tedaj

2 2 12

0 del

8,854 10 4 1017,71

2 2

Ew

[J/m3].

Ta podatek še ne pove dosti. Šele, ko bomo primerjali ta rezultat s prostorsko gostoto magnetne energije v zraku pri B=2 [T], bomo videli, kako energijsko revno je elektrostatično polje v primerjavi z magnetnim.

Literatura Peter Kitak, Tine Zorič: Metodika pouka Osnov elektrotehnike

Igor Tičar, Tine Zorič: Osnove elektrotehnike I. zvezek, FERI 2002

Tine Zorič: Zbirka rešenih nalog iz Osnov elektrotehnike, Samozaložba, 2008

Jože Voršič, Jože Pihler, Tehnika visokih napetosti in velikih tokov - poglavje1, UM FERI.