*X7747611*©

H Teisteanais Nàiseanta2016

Comharran gu lèir — 60

Feuch GACH ceist.

CHAN FHAOD thu àireamhair a chleachdadh.

Airson na comharran fhaighinn gu lèir feumaidh tu d’ obrachadh a-mach a shealltainn.

Cuir na h-aonadan anns na freagairtean agad far a bheil sin iomchaidh.

Chan fhaighear comharraidhean idir airson freagairtean air an togail bho dhealbhan-sgèile.

Sgrìobh do fhreagairtean gu soilleir ann an leabhran nam freagairtean. Cha leig thu a leas sgrìobhadh air an duilleig air fad. Chan eil meud a’ bheàirn a’ ciallachadh gu feum thu a lìonadh air fad.

Tha àite a bharrachd airson fhreagairtean aig deireadh an leabhrain seo. Ma chleachdas tu an t-àite sin, feumaidh tu àireamh na ceiste a tha thu a’ freagairt a chomharrachadh gu soilleir.

Cleachd inc gorm no dubh.

Mus fàg thu seòmar na deuchainne, feumaidh tu na leabhraichean seo a thoirt don Fhreiceadan; mura dèan thu sin, dh’fhaodadh tu na comharran gu lèir airson a’ phàipeir a chall.

X774/76/11 MatamataigPàipear 1

(Gun Àireamhair)DIARDAOIN, 12 CÈITEAN

9:00 M – 10:10 M

Duilleag 02

FOIRMLEAN FEUMAIL

Cearcall:

Tha an co-aontar x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 a’ riochdachadh cearcall le meadhan (–g, –f) agus

radius 2 2+ – .g f c

Tha an co-aontar (x – a)2 + (y – b)2 = r2 a’ riochdachadh cearcall le meadhan (a, b) agus

radius r.

An toradh scalair: a.b = |a||b| cos q, far a bheil q a’ riochdachadh a’ cheàirn eadar a agus b

no a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 far a bheil a =

aaa

bbb

1

3

1

2

3

2

agus b =

Foirmlean triantanach: sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B

cos (A ± B) = cos A cos B sin A sin B

sin 2A = 2sin A cos A

cos 2A = cos2 A – sin2 A

= 2cos2 A – 1

= 1 – 2sin2 A

Deribheatan cumanta:

Iontagralan cumanta:

±

f(x) f ′(x)

sin axcos ax

a cos ax–a sin ax

f(x) ∫ f (x)dx

sin ax

cos ax

cos ax + C

sin ax + C

1– a1– a

Duilleag 03

COMHARRANFeuch GACH ceist

Comharran gu lèir – 60

1. Obraich a-mach co-aontar na loidhne a tha a’ dol tron a’ phuing ( )2, 3− agus a tha co-shìnte ris an loidhne le co-aontar 4 7+ =y x .

2. Ma tha 312 8= +y x x, far a bheil 0>x , lorgdydx

.

3. Tha sreath air a mhìneachadh leis an dàimh tillteachais 1 103+ = +n nu u1 far a bheil

3 6=u .

(a) Obraich a-mach luach u4.

(b) Mìnich carson a tha an sreath seo a’ dlùthachadh ri crìch nuair a tha → ∞n .

(c) Obraich a-mach luach na crìche seo.

4. Tha na puingean A agus B aig −7, 3( ) agus ( )1, 5 .

Tha AB na thrast-thomhas air cearcall.

y

x

B

A

O

Obraich a-mach co-aontar a’ chearcaill seo.

2

3

1

1

2

3

[Tionndaidh an duilleag

Duilleag 04

COMHARRAN

5. Lorg ∫ ( )8cos 4 1+ x dx .

6. Tha na fuincseanan f agus g air am mìneachadh air , seat nam fìor àireamhan.

Tha na fuincseanan inbhearsach f −1 agus g−1 le chèile ann.

(a) Ma tha ( ) 3 5= +f x x , lorg ( )1−f x .

(b) Ma tha g ( )2 = 7, sgrìobh sìos luach g−1 ( )7 .

7. Faodar trì bheactoran a sgrìobhadh mar seo:

FG = −2i −6j + 3k GH = 3i + 9j −7k

EH = 2i + 3j + k

(a) Lorg FH.

(b) Leis an fhiosrachadh seo, no ann an dòigh eile, lorg FE.

8. Dearbh gu bheil an loidhne le co-aontar = 3 5−y x na bheantan ris a’ chearcall le co-

aontar 2 2 2 4 5 0+ + − − =x y x y agus lorg co-chomharran na puing-suathaidh.

2

3

1

2

2

5

Duilleag 05

COMHARRAN 9. (a) Lorg co-chomharran-x nam puingean-tionndaidh air a’ ghraf le co-aontar

( )=y f x , far a bheil 3 2( ) 3 24= + −f x x x x.

(b) Leis an fhiosrachadh seo, obraich a-mach an raon luachan aig x far a bheil am fuincsean f da-rìribh a’ meudachadh.

10. Tha an diagram gu h-ìosal a’ sealltainn graf an fhuincsein ( ) 4log=f x x, far a

bheil 0>x .

y

xO (1, 0)

(4, 1)f x( )= log4 x

Tha am fuincsean inbhearsach, f −1, ann.

Air an diagram ann an leabhran nam freagairtean agad, dèan sgeidse den fhuincsean inbhearsach.

11. (a) Tha A agus C aig na puingean ( )1, 3, 2− agus ( )4, , 4− 3 fa leth.

Tha puing B a’ roinneadh AC anns a’ cho-mheas 1 : 2.

Lorg co-chomharran B.

(b) Tha kAC na bheactor le meudachd 1, far a bheil k>0.

Obraich a-mach luach k.

4

2

2

2

3

[Tionndaidh an duilleag

Duilleag 06

COMHARRAN

12. Tha na fuincseanan f agus g air am mìneachadh air , seat nam fìor àireamhan le

( ) 22 4 5= − +f x x x agus

( ) 3= −g x x .

(a)

Ma tha ( ) ( )( )=h x f g x , dearbh gu bheil ( ) 22 8 11= − +h x x x .

(b) Sgrìobh ( )h x anns an riochd p x q r+( ) +2.

13. Tha triantan ABD ceart-cheàrnach aig B le ceàrnan BAC = p agus BAD = q agus le faidean mar a chì thu anns an diagram gu h-ìosal.

D

C

B

2

1

4 A

q

p

Dearbh gu bheil an luach aig ( )cos −q p gu mionaideach a’ tighinn gu 19 1785

.

2

3

5

Duilleag 07

COMHARRAN

14. (a) Lorg luach log5 25.

(b) Leis an fhiosrachadh seo, fuasgail an co-aontar ( )4 4 5log log 6 log 25x x+ − = , far

a bheil 6>x .

15. Tha an diagram gu h-ìosal a’ sealltainn a’ ghraf le co-aontar ( )=y f x , far a bheil

( ) ( )( )2= − −f x k x a x b .

y

(1, 9)

−5 O 4x

(a) Lorg luachan a, b agus k.

(b) Airson an fhuincsein ( ) ( )= −g x f x d , far a bheil d dearbhte, obraich a-mach an

raon luachan aig d a bheil dìreach aon freumh fìor-àireamhach do ( )g x ?

[CRÌOCH A’ PHÀIPEIR]

1

5

3

1

Duilleag 08

[DUILLEAG BHÀN]

NA SGRÌOBH AIR AN DUILLEIG SEO

Briathrachas (Pàipear 1)—Glossary (Paper 1)

Gàidhlig Beurla

A’ dlùthachadh ri crìch approaches a limit

Fuincsean(an) inbhearsach inverse function(s)

Puing-suathaidh point of contact (of a tangent)

Meudachd magnitude

Freumh fìor-àireamhach real root

Còmhla ri duilleag a h-aon[X774/76/11]

[DUILLEAG BHÀN]

NA SGRÌOBH AIR AN DUILLEIG SEO

Sgrìobh do fhreagairtean gu soilleir anns na beàrnan san leabhran. Cha leig thu a leas sgrìobhadh air an duilleig air fad. Chan eil meud a’ bheàirn a’ ciallachadh gu feum thu a lìonadh air fad.

Tha àite a bharrachd airson fhreagairtean aig deireadh an leabhrain seo. Ma chleachdas tu an t-àite sin, feumaidh tu àireamh na ceiste a tha thu a’ freagairt a chomharrachadh gu soilleir.

Cleachd inc gorm no dubh.

Mus fàg thu seòmar na deuchainne, feumaidh tu an leabhran seo a thoirt don Fhreiceadan; mura dèan thu sin, dh’fhaodadh tu na comharran gu lèir airson a’ phàipeir a chall.

FOR OFFICIAL USE

X774/76/01Àrd-Ìre

Matamataig Pàipear 1 (Gun Àireamhair)Leabhran nam freagairtean

*X7747601*

*X774760101*©

ComharraH TeisteanaisNàiseanta2016

DIARDAOIN, 12 CÈITEAN

9:00 M – 10:10 M

A/PB

Lìon na bogsaichean seo agus leugh na tha sgrìobhte gu h-ìosal.

Làn ainm sgoile no colaiste Baile

Àireamh Ciad ainm(ean) Sloinneadh an t-suidheachain

Latha Mìos Bliadhna Àireamh an oileanaich Latha breith

*X774760102*Duilleag 02

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

2.

1.

*X774760103*Duilleag 03

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

3.(a)

3.(b)

3.(c)

*X774760104*Duilleag 04

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

4.

*X774760105*Duilleag 05

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

5.

6.(a)

6.(b)

*X774760106*Duilleag 06

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

7.(b)

7.(a)

*X774760107*Duilleag 07

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

8.

*X774760108*Duilleag 08

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

9.(b)

9.(a)

*X774760109*Duilleag 09

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

10.

y

(1, 0)O

(4, 1)

x

f(x) = log4 x

*X774760110*Duilleag 10

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

11.(a)

*X774760111*Duilleag 11

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

11.(b)

*X774760112*Duilleag 12

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

12.(a)

*X774760113*Duilleag 13

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

12.(b)

*X774760114*Duilleag 14

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

13.

*X774760115*Duilleag 15

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

14.(a)

14.(b)

*X774760116*Duilleag 16

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

15.(a)

15.(b)

*X774760117*Duilleag 17

NA SGRÌOBH AN SEO

SGRÌOBH ÀIREAMH NA CEIST

ÀITE A BHARRACHD AIRSON FHREAGAIRTEAN

*X774760118*Duilleag 18

NA SGRÌOBH AN SEO

SGRÌOBH ÀIREAMH NA CEIST

ÀITE A BHARRACHD AIRSON FHREAGAIRTEAN

*X774760119*Duilleag 19

NA SGRÌOBH AN SEO

SGRÌOBH ÀIREAMH NA CEIST

ÀITE A BHARRACHD AIRSON FHREAGAIRTEAN

*X774760120*Duilleag 20

For Marker’s Use

Quest ion No Marks/Grades

*X7747612*©

H Teisteanais Nàiseanta2016

Comharran gu lèir — 70

Feuch GACH ceist.

Faodaidh tu àireamhair a chleachdadh.

Airson na comharran fhaighinn gu lèir feumaidh tu d’ obrachadh a-mach a shealltainn.

Cuir na h-aonadan anns na freagairtean agad far a bheil sin iomchaidh.

Chan fhaighear comharraidhean idir airson freagairtean air an togail bho dhealbhan-sgèile.

Sgrìobh do fhreagairtean gu soilleir ann an leabhran nam freagairtean. Cha leig thu a leas sgrìobhadh air an duilleig air fad. Chan eil meud a’ bheàirn a’ ciallachadh gu feum thu a lìonadh air fad.

Tha àite a bharrachd airson fhreagairtean aig deireadh an leabhrain seo. Ma chleachdas tu an t-àite sin, feumaidh tu àireamh na ceiste a tha thu a’ freagairt a chomharrachadh gu soilleir.

Cleachd inc gorm no dubh.

Mus fàg thu seòmar na deuchainne, feumaidh tu leabhran nam freagairtean a thoirt don Fhreiceadan; mura dèan thu sin, dh’fhaodadh na comharran gu lèir airson a’ phàipeir a chall.

X774/76/12 MatamataigPàipear 2

DIARDAOIN, 12 CÈITEAN

10:30 M – 12:00 F

Duilleag 02

FOIRMLEAN FEUMAIL

Cearcall:

Tha an co-aontar x2 + y2 + 2gx + 2fy + c = 0 a’ riochdachadh cearcall le meadhan (–g, –f) agus

radius 2 2+ – .g f c

Tha an co-aontar (x – a)2 + (y – b)2 = r2 a’ riochdachadh cearcall le meadhan (a, b) agus

radius r.

An toradh scalair: a.b = |a||b| cos q, far a bheil q a’ riochdachadh a’ cheàirn eadar a agus b

no a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 far a bheil a =

aaa

bbb

1

3

1

2

3

2

agus b =

Foirmlean triantanach: sin (A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B

cos (A ± B) = cos A cos B sin A sin B

sin 2A = 2sin A cos A

cos 2A = cos2 A – sin2 A

= 2cos2 A – 1

= 1 – 2sin2 A

Deribheatan cumanta:

Iontagralan cumanta:

±

f(x) f ′(x)

sin axcos ax

a cos ax–a sin ax

f(x) ∫ f (x)dx

sin ax

cos ax

cos ax + C

sin ax + C

1– a1– a

Duilleag 03

COMHARRANFeuch GACH ceist

Comharran gu lèir — 70

1. Tha an dealbh a’ sealltainn triantan PQR le goban P( )0, 4− , Q ( )6,2− agus R( )10,6 .

y

x

Q

O

P

R

M

(a) (i) Sgrìobh sìos co-chomharran M, puing-meadhan QR.

(ii) Leis an fhiosrachadh seo lorg co-aontar PM, a’ meadhanach tro P.

(b) Lorg co-aontar na loidhne, L, a tha a’ dol tro M agus a tha ceart-cheàrnach ri PR.

(c) Dearbh gu bheil an loidhne L a’ dol tro puing-meadhan PR.

2. Lorg an raon luachan airson p gus nach bi freumhan fìor aig x2 − 2x + 3 − p = 0.

[Tionndaidh an duilleag

1

2

3

3

3

Duilleag 04

COMHARRAN

3. (a) (i) Dearbh gu bheil ( )1x + na fhactar aig 2x3 − 9x2 + 3x + 14.

(ii) Leis an fhiosrachadh seo, fuasgail an co-aontar 2x3 − 9x2 + 3x + 14 = 0.

(b) Tha an diagram seo a’ sealltainn an graf le co-aontar y = 2x3 − 9x2 + 3x + 14.

Tha an lùb a’ gearradh an x-axis aig A, B agus C.

y = 2x3 − 9x2 + 3x + 14

y

xA B C

O

(i) Sgrìobh sìos co-chomharran nam puingean A agus B.

(ii) Leis an fhiosrachadh seo, obraich a-mach farsaingeachd a’ phìos dhathte.

4. Tha co-aontaran ( ) ( )2 25 6 9x y+ + − =

agus x2 + y2 − 6x −16 = 0 aig cearcallan C1 agus C2 fa leth.

(a) Sgrìobh sìos meadhanan agus radii C1 agus C2.

(b) Dearbh nach eil C1 agus C2 a’ trasnadh.

2

3

1

4

4

3

Duilleag 05

COMHARRAN 5. Tha an dealbh a’ sealltainn modail de mhoileciul uisge.

H H

O

Air axes freagarrach, tha an atam ogsaidean suidhichte aig a’ phuing ( )2 2 5−A , , .

Tha an dà atam haidridean aig na puingean ( )10 18 7−B , , agus ( )4 6 21− −C , , mar a chì thu anns an diagram gu h-ìosal.

( )10 18 7−B , ,

( )2 2 5−A , ,

( )4 6 21− −C , ,

(a) Sgrìobh AB agus AC ann an riochd pàirteil.

(b) Leis an fhiosrachadh seo, no ann an dòigh eile, obraich a-mach meud a’ cheàirn BAC.

6. Tha luchd-saidheans a’ rannsachadh mar a tha an àireamh de bhacteria a’ meudachadh. Gheibhear an àireamh bacteria leis a’ fhoirmle

( ) 0 107200 tB t e= ,

far a bheil t a’ riochdachadh an àireamh de uairean a thìde bho thòisich an rannsachadh.

(a) Sgrìobh sìos an àireamh bacteria aig toiseach an rannsachaidh.

(b) Obraich a-mach an ùine gus a bheil an àireamh bacteria air dùblachadh.

[Tionndaidh an duilleag

2

4

1

4

Duilleag 06

COMHARRAN 7. Tha a’ chomhairle air pìos talamh a chur an dara taobh airson sia gàrraidhean a

chruthachadh, le feansa timcheall air gach gàrradh, gus am faigh daoine cothrom am biadh aca fhèin fhàs.

Bidh gach gàrradh ceart-cheàrnachail le taobhan x meatairean agus y meatairean, mar a chì thu anns an diagram.

y

x

(a) Tha farsaingeachd a’ phìos talmhainn air fad 108 m2.

Dearbh gu bheil faid nam feansaichean gu lèir, L meatairean, ri fhaotainn leis an fhoirmle

( ) 1449L x xx

= + .

(b) Obraich a-mach luach x a bheir dhuinn an fhaid as lugha de fheansaichean.

3

6

Duilleag 07

COMHARRAN 8. (a) Sgrìobh 5cos x − 2sin x anns an riochd k cos (x + a),

far a bheil k > 0 agus 0 < a < 2p.

(b) Tha an diagram a’ sealltainn sgeidse de phàirt dhen graf aig y = 10 + 5cos x − 2sin x agus an loidhne le co-aontar 12y = .

Tha an loidhne a’ gearradh na lùib aig puingean P agus Q.

y

x

P Q

O

y = 10 + 5cos x − 2sin xy = 12

Obraich a-mach co-chomharran P agus Q.

9. Airson fuincsean f , air a mhìneachadh air raon freagarrach, tha fhios againn gu bheil:

• ( ) 2 1xf xx+=′

• ( )9 40f =

Sgrìobh ( )f x ann an teirmean x.

[Tionndaidhaibh airson an ath cheist

4

4

4

Duilleag 08

COMHARRAN

10. (a) Ma tha ( )1

2 27y x= + , obraich a-mach dydx

.

(b) Leis an fhiosrachadh seo, obraich a-mach 2

4 7

x dxx +

⌠⎮⌡

.

11. (a) Dearbh gu bheil sin 2x tan x = 1 − cos 2x, far a bheil 3

2 2xπ π< < .

(b) Ma tha ( ) sin 2 tanf x x x= , lorg ( )f x′ .

[CRÌOCH A’ PHÀIPEIR]

2

1

4

2

Briathrachas (Pàipear 2)—Glossary (Paper 2)

Gàidhlig Beurla

Loidhne-meadhain median

A’ trasnadh intersecting.

Còmhla ri duilleag a h-aon[X774/76/12]

[DUILLEAG BHÀN]

NA SGRÌOBH AIR AN DUILLEIG SEO

FOR OFFICIAL USE

*X7747602*

*X774760201*©

HDIARDAOIN, 12 CÈITEAN

10:30 M – 12:00 F

A/PB

Comharra

TeisteanaisNàiseanta2016

X774/76/02Àrd-Ìre

Matamataig Pàipear 2Leabhran nam freagairtean

Sgrìobh do fhreagairtean gu soilleir anns na beàrnan san leabhran. Cha leig thu a leas sgrìobhadh air an duilleig air fad. Chan eil meud a’ bheàirn a’ ciallachadh gu feum thu a lìonadh air fad.

Tha àite a bharrachd airson fhreagairtean aig deireadh an leabhrain seo. Ma chleachdas tu an t-àite sin, feumaidh tu àireamh na ceiste a tha thu a’ freagairt a chomharrachadh gu soilleir.

Cleachd inc gorm no dubh.

Mus fàg thu seòmar na deuchainne, feumaidh tu an leabhran seo a thoirt don Fhreiceadan; mura dèan thu sin, dh’fhaodadh tu na comharran gu lèir airson a’ phàipeir a chall.

Lìon na bogsaichean seo agus leugh na tha sgrìobhte gu h-ìosal.

Làn ainm sgoile no colaiste Baile

Àireamh Ciad ainm(ean) Sloinneadh an t-suidheachain

Latha Mìos Bliadhna Àireamh an oileanaich Latha breith

*X774760202*Duilleag 02

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

1.(a) (i)

1.(b)

1.(a) (ii)

*X774760203*Duilleag 03

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

1. (c)

2.

*X774760204*Duilleag 04

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

3.(a)(i)

3.(a) (ii)

*X774760205*Duilleag 05

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

3.(b) (i)

3.(b) (ii)

*X774760206*Duilleag 06

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

4.(a)

*X774760207*Duilleag 07

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

4.(b)

*X774760208*Duilleag 08

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

5.(b)

5.(a)

*X774760209*Duilleag 09

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

6.(a)

6.(b)

*X774760210*Duilleag 10

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

7.(a)

*X774760211*Duilleag 11

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

7.(b)

*X774760212*Duilleag 12

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

8.(a)

*X774760213*Duilleag 13

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

8.(b)

*X774760214*Duilleag 14

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

9.

*X774760215*Duilleag 15

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

10.(a)

10.(b)

*X774760216*Duilleag 16

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

11.(a)

*X774760217*Duilleag 17

NA SGRÌOBH AN SEO

ÀIREAMH NA CEIST

11.(b)

*X774760218*Duilleag 18

NA SGRÌOBH AN SEO

SGRÌOBH ÀIREAMH NA CEIST

ÀITE A BHARRACHD AIRSON FHREAGAIRTEAN

*X774760219*Duilleag 19

NA SGRÌOBH AN SEO

SGRÌOBH ÀIREAMH NA CEIST

ÀITE A BHARRACHD AIRSON FHREAGAIRTEAN

*X774760220*Duilleag 20

For Marker’s Use

Quest ion No Marks/Grades