TekutinyTekutiny

tekutiny (plyny a kapaliny) se výrazně liší z hlediska vnitřnístruktury od pevných látek

molekuly nejsou vázány na neproměnné rovnovážné polohy, ale mohou se vzájemně volně posouvat (tekutiny jsou tvarově nestálé)

• viskozita (odpor proti změně tvaru) se projevuje pouze při pohybu

• kapaliny a plyny se navzájem liší stlačitelností a rozpínavostí

• u plynu lze velmi snadno měnit tvar i objem (plyny se snaží vyplnit celý uzavřený prostor – nevytváří volnou hladinu)

PlynKapalinaPevná látka

KapalinyKapaliny

nízká viskozita způsobuje tvarovou nestálost (tvar je dán tvarem nádoby)

kapaliny jsou velmi málo stlačitelné (κ = 10-8-10-10 Pa-1)

ve statickém stavu u izotropních tekutin neexistují smyková napětípV

V dd1

−=κ

pouze normálová (tlaková) napětí

úkolem hydromechaniky je určit tlak p, hustotu ρ a rychlost vproudění, jako funkce polohy a času

Charakteristiky proudění

- proudová vlákna probíhají rovnoběžně a nemísí se- rozložení rychlosti je parabolické

- při určité kritické rychlosti začne převládat rušivý vliv vírů- proudová vlákna se mísí

Laminární proudění

Turbulentní proudění

Charakteristiky proudění

Proudočáry:- mají směr vektoru rychlosti v daném časovém okamžiku- můžeme pomocí nich graficky znázornit velikost toku- v závislosti na typu proudění mohou být otevřené i uzavřené křivky

zv

yv

xv zyx

ddd==

Proudová trubice:- myšlené trubice, jejichž stěny jsou tvořeny sousedícími proudočárami.- v ustáleném laminárním proudění zůstávají proudové trubice konstantníjak v prostoru tak v čase

proudová trubice

Charakteristiky vektorových políproudočáry mohou vznikat i zanikat. O jejich přírůstku nebo úbytku nás informuje divergence vektoru rychlosti.

divergence – výtok vektoru z objemového elementu jednotkovévelikosti

• Tok vektoru uzavřenou plochou: VNv

Vv

V ddd1limdiv

0=Ω

∆= ∫

∆Ω→∆

rrr

∫∆Ω

Ω=rr dvN

N>0 … vytéká více než vtéká (zřídla toku)N<0 … vytéká méně než vtéká (propady toku)N=0 … stejný vtok i výtok

tok můžeme charakterizovat počtem proudočar

0div =vr 0div ≠vr

Divergence vyjadřuje to, zda dané vektorové pole (např. pole

rychlosti proudící kapaliny, elektromagnetické pole,…)

obsahuje v daném místě zdroje či úbytky toku dané veličiny

Umožňuje určit tok daného vektorového pole ve

specifikovaném objemu, např. hmotnostní průtok kapalinyproudění nezřídlové

Charakteristiky vektorových políVd

vr

yx ≡2

xx ≡1

zx ≡3

yy vv d+yv

VvVzv

yv

xvNNNN zyx

zyx ddivddddd r=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=++=

Celkový tok vektoru v objemu dV:

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂

∂+

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅=⋅∇=

zv

yv

xvv

rvv zyxr

rrr

dddiv

Vyv

zxyyv

vN yyyyy ddddddd

∂

∂=

∂

∂=Ω⋅=

Tok vektoru ve směru y:

Divergence vektorového pole:

Gaussova věta:

( ) ∫∫ =Ω⋅Ω V

Vvv ddivd rrr

∫∫ =ΩΩ V

VSS dgraddr

- výsledkem této diferenciální operace je skalár (číslo)

Charakteristiky vektorových políjestliže některé proudočáry jsou uzavřené křivky, pak jde o tzv. vírový pohyb

vírový pohyb je možno charakterizovat rotací rychlosti:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ×=×∇= v

rvv r

rrr

ddrot

[ ] [ ] ω=×ω=×ω+=rrrrrrr 2rotrotrotrot rrvv T

0rotrr

=v 0rr

=ω

rotace rychlosti jednoho bodu kontinua

0)rot(dd

dd

rotrot === TT

T rtt

rv r

rr

Stokesova věta:

∫∫ ΓΩ=Ω rVV rrrr

ddrot

vírový pohyb

Gradient skalární funkceGradient skalární funkce:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

==⋅∇=zS

yS

xS

rSSS ,,

ddgrad r

• výsledkem této diferenciální operace je vektor

)( 22

),( yxexyxfz +−⋅==

Gradient vyjadřuje vektor směru maximální

prostorové změny skalárníveličiny S,

tj. směr, kterým nám v daném místě prostoru daná

veličina (např.teplota) nejvíce narůstá

HydromechanikaTlaková síla v kapalině

u kapalin v klidu neexistují smyková napětí (pouze normálovátlaková napětí)

tlak v kapalině působí všesměrně

tlaková síla na zvolenou plochu poté působí vždy kolmo a proti směru vnější normály k ploše

nrd

SdV∆

pFr

d

SnpSpFp ddd ⋅−=−=rrr

SF

p p

dd

=

HydromechanikaVnitřní tření - viskozita kapalin

yvx

yx dd

η=τtečné napětí mezi vrstvami proudící kapaliny je úměrnérychlostnímu gradientu

Newtonovskákapalina

vnitřní tření způsobuje ztrátu mechanické(tlakové) energie proudící kapaliny

tlakové ztráty závisí na viskozitě, rychlosti a typu proudění, průřezu potrubí

yxτ

yy d+y

vvv d+

yvSSF x

yxyx dd

η=τ=

2

2

dddd

dddd

yvVy

yv

ySy

ySF xxyx

yx η=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛η

∂∂

=∂

τ∂=viskózní síla v kapalině

vVFFFF zyxvrrrrr

∆η=++= ddddd2∇=∆

HydromechanikaIdeální kapalina

nestlačitelná kapalina s nulovou viskozitou

stlačitelnost reálných kapalin je velmi nízká, za běžných tlaků jsou téměř nestlačitelné

v praxi lze též často u některých velmi málo viskózních kapalin zanedbat vnitřní tření (např. voda, líh,…)

00d =κ=vF

takovéto kapaliny lze za určitých podmínek

považovat za ideální

vodaη =1•103 [kgs-2]

medη =3000•103 [kgs-2]

Základní rovnice hydromechanikyRovnice kontinuity:

- vyjadřuje zákon zachování hmoty

- úbytek hmotnosti, ke kterému v objemu ∆V dojde za časovou jednotku, je roven toku hmotnosti přes povrch ∆Ω objemu ∆V

0dd

=tm

Sr

vSVm rr⋅ρ=ρ= ddd SnS dd ⋅=

rr

∫∫∆

ρ=S

Svmrr d ∫∫

∆∆ ∂ρ∂

−=ρ∂∂

−=VV

Vt

Vt

m dd

d

SdV∆

vr

hmotnostní tok kapaliny za jednotku času v objemu ∆V

∫∫∫∫∆∆∆ ∂

ρ∂−=ρ=ρ

VVS

Vt

VvSv dddivd rrr- použitím Gaussovy věty získáme

0div =ρ+∂ρ∂ vt

rrovnice kontinuity

Základní rovnice hydromechanikyRovnice kontinuity pro stacionární proudění nestlačitelné tekutiny:

( ) 0d =⋅ρ∫∆Ω Svrr

0=∂ρ∂t

0div =ρvr

- ustálené proudění proudovou trubicí

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ =⋅ρ+⋅ρ+⋅ρ1 32

0dddS SS

SvSvSvrrrrrr

222111 SvSv ρ=ρ

1nr

3nr

1S

2S

3dS

1vr

2nr 2vr

1dS

2dS3vr

( ) .konst, =ρ trr- u nestlačitelné kapaliny:

2211 SvSv =

Pohybová rovnice kapaliny

pO FFvvtvM

tvMaM

rrrrrr

r dd)(ddddd +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ∇⋅+∂∂

==⋅

Pohybová rovnice ideální kapaliny: )),(),(),(( ttztytxvv rr=

MEFO ddrr

=

VpSpFp dgraddd −=−=rr

pohybová rovnice ideální kapalinypO ffa

rrr+=ρ

- v případě ideální kapaliny v tíhovém poli:

ϕρ−=ρ= gradgfOrr

pf p grad−=r

pga grad−ρ=ρrr

Eulerova rovnice

Pohybová rovnice kapaliny

vpO FFFtvM

rrrr

dddddd ++=

Pohybová rovnice vazké kapaliny:

vVFvrr

∆η= dd

MEFO ddrr

=

VpSpFp dgraddd −=−=rr

pohybová rovnice vazké kapalinyvpO fffa

rrrr++=ρ

- v případě vazké kapaliny v tíhovém poli:

vpga rrr∆η+−ρ=ρ grad

vfvrr

∆η=

ϕρ−=ρ= gradgfOrr

pf p grad−=r

Navier-Stokesovarovnice

Pohybová rovnice kapalinyNavier-Stokesova rovnice vpgvv

tva rrrrr

r∆

ρη

+ρ

−=∇⋅+∂∂

= grad1)(

)()()()()( abbaabbaba rrrrrrrrrr×∇×+×∇×+∇+∇=⋅∇

)()(21)( 2 vvvvv rrrr

×∇×−∇=∇

vvpgvvtva rrrrr

r∆

ρη

+∇−ρ

−=×∇×−∂∂

= )(21grad1)( 2

0=×∇ vrnevírové proudění

0=∂∂

tvrustálené proudění

HydromechanikaHydrostatika:

uvažuje kapalinu v klidu, tj. (nulová rychlost a tření). 0=vfr

0=vr

pg grad=ρr

základní rovnice hydrostatiky

ghzgrgppph

a

p

pa

ρ=ρ=ρ=−= ∫∫∫0

ddd rr ap

z

xp

hgr

hydrostatický tlak

• pokud na tekutinu žádné objemové síly nepůsobí(nebo se dají zanedbat):

0grad =p konst.)( =rp r Pascalův zákon

nezávisí na tvaru nádoby

HydromechanikaHydrostatika:

tlaková síla působící na elementární plošku v kapalině je:

v tekutině o hustotě ρT je ponořeno pevné těleso hustoty ρP, celkového objemu V a s celkovým povrchem S. Výsledná tlaková síla

( )∫ ∫ ∫ ρ−=ρ−=−=⋅−= TTTp VgVgVpSpF rrrrddgradd

SnpSpFp ddd rrr−=−=

SdV∆

pFr

d

pFr

gr

TρPρArchimédův

zákon

vztlaková síla

HydromechanikaBilance energie při pohybu ideální kapaliny

• ustálené nevírové proudění ideální kapaliny:

)()(21d 21

21

22

2

11212 yymgvvmrFAWW p −∆+−∆===− ∫

rrpráce tlakových sil

222 SpFp −=111 SpFp =

)( 21221112 ppVlFlFA pp −∆=∆+∆=

Bernoulliho rovnice pro ideální

kapalinu

konst.21 2 =+ρ+ρ pghv

1pFr

1S

2S

1vr

2vr2pF

r

1y2y

y

x

1l∆

2l∆

proudovátrubice

HydromechanikaUstálené nevírové proudění ideální kapaliny:

ideální tekutiny jsou nestlačitelné a neexistuje vnitřní tření, tj. 0=η

vvtva rrr

r )( ∇⋅+∂∂

=

pro ustálenéproudění je rovno 0

vvpvvtva rrrr

r∆

ρη

+−ρ

−ϕ−=×∇×−∂∂

= )(grad21grad1grad)( 2

nevírové proudění 0=×∇ vr

konst.21 2 =+ϕρ+ρ pv0

21grad 2 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ+ϕ vp

Bernoulliho rovnice pro ideální

kapalinuBernoulliho rovnice je bilancí energie

HydromechanikaStabilita plování

-výslednice vztlakové síly F a tíhy Gtvoří silovou dvojici

- pokud se tato dvojice při vychýlenísnaží plovoucí těleso navrátit zpět –potom je rovnováha stabilní

Hydraulické stroje

konst.)( =rp r

2

2

1

1

SF

SF

p ==

Hydraulický lis

1S 2S

Hydraulickédiskové brzdy

HydromechanikaPříklad: (ledovec)Jaká část ledovce je vidět nad hladinou ?

gVgV lvx ρ=ρ

%1111,01 ⇒=ρρ

−=−

=∆

&v

lx

VVV

VV

TITANIC

3kg/m1030=ρv

3kg/m917=ρl

GFvz =Rovnováha sil

Příklad: (tlak pod mořskou hladinou)Jak hluboko se může ponořit ponorka, jestliže maximální tlaková síla Fmax může být 100 kg na 1 cm2 ?

ghS

Fp vρ== max

maxmax m970max

max =ρ

= &gS

Fh

v

HydromechanikaPříklad: (výtok kapaliny z nádoby malým otvorem )

2221

21 2

121 pvpghv +ρ=+ρ+ρ

Bernoulliho rovnice

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−ρ

−+ρ=

21

22

212

1

)(2

SS

ppghv

2211 vSvS =

rovnice kontinuity1p 1S

2v2S

2p

1v

)(thρ

22vSQ µ=

výtok

Výtokový součinitel µ<1

II

II ′

2v′

2S 2S ′

1221 SSpp <<= ghv 22 =

Torriceliho vzorec

tghShSV d2dd 21 µ=−=

gShS

hh

gSS

th 2

2d2 2

10

2

1

µ=

µ

−= ∫doba výtoku

HydromechanikaPříklad: (měření průtoku – Venturiho trubice)

1S 2S

h∆

2v1v

2211 vSvS = 2

22

1

21

22pvpv

+ρ

=+ρ

hgppp ∆ρ=−=∆ 21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆=

21

22

2

1

2

SShgv

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

∆==

21

22

222

1

2

SShgSSvQObjemový průtok

Průtokovárychlost

Tlakový rozdíl

HydromechanikaPříklad: (rozprašovač, vodní vývěva, obtékání těles)

2

22

1

21

22pvpv

+ρ

=+ρ

2211 vSvS =

při náhlém zúžení průřezu dochází ke zvýšení rychlosti

a ke snížení tlaku

121212 ppvvSS <⇒>⇒<

app <2

často lze docílit i toho, že tlak v zúženém průřezu je nižší nežli tlak

okolní (vytvoří se podtlak) a dochází k nasávání okolního

prostředí – princip vodní vývěvy, rozprašovače

vodní vývěva rozprašovačobtékání křídla

Hydromechanika

Video – Bernoulliho rovnice Video – vodní sloupec

Povrchové napětíPovrchová fáze

v povrchové vrstvě na styku dvou odlišných látek dochází existují nevykompenzovanéinterakční síly (v tloušťce ∼ 10-7 cm)

vlastnosti povrchové fáze látky (např.hustota) se mohou významně lišit od obecných objemových vlastností takové látky

povrch kapaliny se chovájako pružná blána

snaží se smrštit na plochu s nejmenším obsahemvytvářejí se kapky

kulovitého tvaru

vodoměrka

Povrchové napětína každou molekulu, jejíž vzdálenost je menší nežli poloměr sféry molekulového působení, působí výsledná tlaková síla směřující dovnitř kapaliny

povrchová vrstva tedy působí na kapalinu tlakovou silou, která vyvolává tzv.kohéznítlak (řádově v GPa, souvisí se stlačitelnostíkapalin)

Povrchové napětí

]N/m[dd

dd

SW

lF==σ

SxlxFAW dd2ddd σ=σ===

povrchové napětí představuje plošnou hustotu povrchové energie (tj.energie na

jednotku plochy povrchové blány)

Povrchové napětív povrchové vrstvě vlivem molekulových (kohézních) sil vzniká stav napjatosti, kterou charakterizujeme pomocípovrchových sil, jež působí kolmo k řezu povrchem kapaliny a leží v rovině povrchu

v povrchové vrstvě je nahromaděna tzv.povrchová energie W (rozdíl vnitřní potenciální energie molekul na povrchu a uvnitř kapaliny) – práce, kterou je nutno vykonat na zvětšenívolného povrchu kapaliny

povrchové napětí σ definujeme jako povrchovou sílu působící na jednotkovou délku řezu povrchem kapaliny

dl

mýdlová blána

přírůstek povrchové energie blány je roven vykonané práci

Povrchové napětíJevy na rozhraní tří prostředí

povrchové napětí silně závisí na teplotě (s rostoucí teplotou klesá) a na prostředí, s nímž je kapalina ve styku

kapka oleje na vodní hladině

0132312

rrrr=++ FFF

0coscos 1323231212 =σ+ϑσ+ϑσ

231213 σ+σ<σ

kapka se udrží pohromadě– např.parafinový olej na vodní hladiněσ23 = 40 N/m σ13 = 74 N/mσ12 = 38 N/m

231213 σ+σ>σ

kapka se roztáhne po povrchu kapaliny – např.olivový olej na vodní hladiněσ23 = 33 N/m σ13 = 74 N/mσ12 = 12 N/m

rovnováha sil

23231212 sinsin ϑσ=ϑσ

Povrchové napětí

Krajní (stykový) úhel- závisí jen na prostředí(rozhraní), která se stýkají

sklo-voda-vzduch … ϑ = 8°sklo-rtuť-vzduch … ϑ = 128°

2/1213231213 π<ϑ⇒σ−σ>σ∧σ>σ

Kapka na podložce

ϑσ+σ=σ cos23121323

1213cosσσ−σ

=ϑ

povrchové síly jsou v rovnováze s reakcí stěny nádoby (podložky), která je kolmá ke stěněvzhledem k neexistenci tečných napětí

0132312

rrrr=++ FFF

2/1312231213 π>ϑ⇒σ−σ>σ∧σ<σ

Povrch kapaliny v nádobě

dokonale smáčivá kapalinao0121323 =ϑ⇒σ≥σ−σ

dokonale nesmáčivá kapalina

o180122313 =ϑ⇒σ≥σ−σ

Povrchové napětí

Laplaceův vztah

Kapilární tlak:

přídavný tlak, který vzniká zakřivením povrchu kapaliny

Tlak pod zakřiveným povrchem kapaliny

při rovinném povrchu vzniká vlivem kohezních (soudržných) sil tzv.kohézní tlak

výslednice povrchových sil:

RS

RlllF dddddd 21

1σ

=σ

=ασ=

α= dd 2 Rl

RSFpk

σ==

dd

u obecně zakřiveného povrchu - 2 hlavní normálové řezy A1B1, A2B2

válcový povrch

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+σ=+=

2121

11RR

ppp kkk

Povrchové napětíTlak se při přechodu z okolí do kapaliny změní o kohézní tlak a přídavný kapilárnítlak, způsobený zakřivením povrchu

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+σ±=±=

21

11RR

pppp kohkkoh

1p2p

21 pp <

kapka

rpk

σ=

4

bublina

musíme počítat s tím, že bublina má 2 povrchy – vnější a vnitřnív bublině je tedy přetlak

rpk

σ=

2

Povrchové napětíKapilární elevace a deprese

ϑσπ=σ−σπ=−= cos2)(2 2312131213 rrFFF

ghrghSG ρπ=ρ= 2

vzlínání resp. pokles vody v kapilárách 13Fr

12Fr

23Fr

ghppppp kkohakoha ρ−++=+

ϑρσ

= cos2 23

grhGF =

kapilární elevace00cos >⇒>ϑ h

00cos <⇒<ϑ h kapilární deprese

Vlastnosti kapalinCharakteristiky kapalných látek:

Kapalina σ [kgm-1s-1] ρ [kg/m3] η •103 [kgs-2]

voda 73 998 1,00

glycerin 62,5 1260 1480

ricinový olej 36,4 960 987

terpentýnový olej 27 855 1,49

rtuť 498 13550 1,55

etanol 22 789 1,2

Hybnost kapalinyHybnost kapaliny

111 vtQvmp mrrr⋅∆=⋅∆= 222 vtQvmp m

rrr⋅∆=⋅∆=

- stacionární proudění Qm = konst.

hybnosti tekutiny ve dvou průřezech

)( 1212 vvQ

tpp

tpF m

rrrrrr

−⋅=∆−

=∆∆

=na tekutinu při změněhybnosti působí síla

)( 21 vvQFF mrrrr

−⋅=−=′síla působící na potrubí:

tlaková síla působící na koleno potrubí: 21 FFF

rrr+=′′

celková síla působící na koleno potrubí:

α+ρ=′′+′= sin)(2 2 pvSFFR

Hybnost kapalinyvodní turbíny

tlaková síla působí na lopatky turbíny

)( cvQF relmrrr

−⋅= vSQm ρ=

)cos1)(( ε−−⋅= uvuQF m

vr

cr

cr

ε

ur

uvvrelrrr −=

FuP =

uvtPP 20

dd.max =⇒=⇒→

Výkon síly:

Viskozita kapalin

.21 2 konstpghvp z =+ρ+ρ+

Vnitřní tření - viskozita kapalin

yv

dd

η=τtečné napětí mezi vrstvami proudící kapaliny je úměrnérychlostnímu gradientu

zghhhgVW

ρ=′−ρ=∆ )(

Newtonovskákapalina

h′

hzh

vnitřní tření způsobuje ztrátu mechanické (tlakové) energie proudící kapaliny

tlakové ztráty závisí na viskozitě, rychlosti a typu proudění, průřezu potrubí

Bernoulliho rovnice pro reálnou kapalinu

ztráta energie ∆W:

τ

yy d+y

vvv d+

Viskozita kapalinPrůtok kapaliny potrubím

pF

tF

laminární proudění Newtonovské viskózníkapaliny potrubím

tlaková síla: pyFp ∆π= 2

pt FF =lyvylyFt ∆πη=∆π⋅τ=

dd22třecí síla:

okrajová podmínkayy

lpv d

21d

∆∆

η−=

0=⇒= vry

objemový průtok:

)(41 22 yr

lpv −∆∆

η=

yyyrlpvyyQV d)(

2d2d 22 −

∆∆

ηπ

=⋅π=

lprQV ∆

∆η

π=

8

4

Hagen-Poiseuilleův vztah

Viskozita kapalinObtékání koule kapalinou

při laminárním proudění kolem tělesa kulovitého tvaru resp. při jeho pohybu malou rychlostí v kapaliněplatí pro odporovou sílu:

Stokesův vztah rvFo πη= 6

vzo FFGtvm −−=

dd

( )BteBAv −−= 1

grmgG kρπ== 3

34

grgVF ttvz ρπ=ρ= 3

34

)/1( ktgA ρρ−= 229/

rvmgFB

ko ρ

η==

oF

G

vzF

kρ

tρ

Příklad: (pohyb kuličky ve viskózní kapalině)

tíhová síla:

vztlaková síla: