Tema 04. Inducción y Sucesiones [v0.7]

Universidad de Costa RicaEscuela de MatematicaProf. Miguel Walker Urena

Dpto. Matematica AplicadaMA-1002: Calculo 2

Ciclo 1-2015

Tema 4. Induccion y Sucesiones[ version 0.7’’, compilado el 19/4/2015]

Contenidos

1 Induccion Matematica 2

2 Sucesiones Numericas 72.1 Lo basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Lımites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Paso a Funciones Continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 Teorema del Sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Monotonicidad y cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.1 Monotonicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Induccion Fuerte 28

Referencias 31

Tema 4. Induccion y Sucesiones 2

1 Induccion Matematica

Definicion 1.1 (Induccion). El metodo de Induccion matematica es un metodo de demostracionde propiedades que “predican” sobre los numeros naturales.

El metodo basico se describe a continuacion:

“Sea Pn, n ∈ IN una propiedad que predica sobre los numeros naturales.Si se cumple:

(a) P0 es Verdadero

(b) Pn es Verdadero =⇒ Pn+1 es Verdadero

entonces la propiedad Pn es cierta para todo n ∈ IN”

Nota 1.1. Al demostrar Pn por induccion, hay dos pasos fundamentales

• El primero es el paso basico, que se puede titular n = 0 .

En este paso hay que probar que P0 es verdadero.

• El segundo es el paso inductivo o paso de n a n+1, el cual se puede titular como n→ n+ 1 .

En este paso se establece como hipotesis de induccion que Pn es verdadero, para demostrarentonces que Pn+1 es verdadero:

h.i : Pn ( hipotesis de induccion )

h.q.d : Pn+1 ( lo que hay que demostrar )

Ejemplo 1.1. Use induccion para demostrar la propiedad

Pn : 0 + 1 + 2 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

Solucion:

n = 0 P0 : 0 =0 · (0 + 1)

2⇐⇒ 0 = 0

(X)

n→ n+ 1 h.i : 0 + 1 + 2 + · · ·+ n =

n(n+ 1)

2

h.q.d : 0 + 1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1) =(n+ 1)(n+ 2)

2

Tenemos que

0 + 1 + 2 + · · ·+ n+ (n+ 1)h.i=n(n+ 1)

2+ (n+ 1)

= (n+ 1)[n

2+ 1]

= (n+ 1)

[n+ 2

2

]=

(n+ 1)(n+ 2)

2

(X)

Se concluye por induccion matematica que Pn es cierto ∀n ∈ IN. �


Nota 1.2. Al probar por induccion Pn, con paso basico n = 0 se prueba en el paso inductivo quePn =⇒ Pn+1 asumiendo que n ≥ 0, pero a veces es mas facil asumir que n ≥ n0.

Para asumir esto en necesario probar en el paso basico P0, P1, P2, . . . , Pn0 .

Ejemplo 1.2. Use induccion para demostrar la desigualdad

3n ≥ n3

Solucion:n = 0

30 = 1 ∧ 03 = 0 =⇒ 30 > 03(X)

n→ n+ 1 {h.i : 3n ≥ n3

h.q.d : 3n+1 ≥ (n+ 1)3

Tenemos que

3n+1 = 3 · 3nh.i≥ 3 · n3

Nos “conviene” que se cumpla la relacion 3n3 ≥ (n + 1)3 ( que podrıa ser falso! ), para asıdemostrar el caso “n+ 1”:

3n3 ≥ (n+ 1)3 ⇐⇒ 3√

3n ≥ n+ 1

⇐⇒(

3√

3− 1)n ≥ 1

⇐⇒ n ≥ 13√

3− 1≈ 2.26

Note que 3√

3− 1 = 3√

3− 3√

1 > 0 y tambien

13√

3− 1≤ 3 ⇐⇒ 3

√3 ≥ 1

3+ 1 =

4

3⇐⇒ 3 ≥ 64

27⇐⇒ 81 ≥ 64

(X)

entonces si n ≥ 3

n ≥ 3 ≥ 13√

3− 1=⇒ 3n3 ≥ (n+ 1)3

la desigualdad anterior es cierta si y solo si n ≥ 3, lo cual hace surgir la necesidad de agregarcomo segundo y tercer pasos basicos los casos n = 1 y n = 2 :

31 = 3 ∧ 13 = 1 =⇒ 31 > 13(X)

32 = 9 ∧ 23 = 8 =⇒ 32 > 23(X)

Luego, para todo n ≥ 0,3n+1 ≥ 3n3 ≥ (n+ 1)3

Se concluye por induccion matematica que 3n ≥ n3 es cierto ∀n ∈ IN. �


Nota 1.3 (Induccion Truncada). Sea Pn, n ∈ IN \ {0, 1, 2, . . . , n0 − 1} una propiedad que predicasobre los numeros naturales mayores o iguales que n0 ∈ IR. Si se cumple:

(a) Pn0 es Verdadero

(b) Pn es Verdadero =⇒ Pn+1 es Verdadero

entonces la propiedad Pn es cierta para todo n ∈ IN \ {0, 1, 2, . . . , n0 − 1}”

Ejemplo 1.3. Use induccion para demostrar que para n ≥ 10

2n > n3

Solucion:n = 10

210 = 1024 ∧ 103 = 1000 =⇒ 210 > 103(X)

n→ n+ 1 {h.i : 2n > n3

h.q.d : 2n+1 > (n+ 1)3

Tenemos que

2n+1 = 2 · 2nh.i> 2 · n3

Nos “conviene” que se cumpla la relacion 2n3 > (n + 1)3 ( que podrıa ser falso! ), para asıdemostrar el caso “n+ 1”:

2n3 > (n+ 1)3 ⇐⇒ 3√

2n > n+ 1

⇐⇒(

3√

2− 1)n > 1

⇐⇒ n >1

3√

2− 1≈ 3.847

Note que

13√

2− 1< 10 ⇐⇒ 3

√2 >

1

10+ 1 =

11

10⇐⇒ 2 >

113

103⇐⇒ 2000 > 1331

(X)

como n ≥ 10

n ≥ 10 >1

3√

2− 1=⇒ 2n3 > (n+ 1)3

Luego, para todo n ≥ 10,2n+1 > 2n3 > (n+ 1)3

Se concluye por induccion matematica que 2n > n3 es cierto ∀n ∈ IN \ {0, 1, 2 . . . , 9}. �

Nota 1.4. En el ejemplo anterior, la desigualdad no siempre se cumple para n < 10:

n

2n

n3

0

1

0

1

2

1

2

4

8

3

8

27

4

16

64

5

32

125

6

64

216

7

128

343

8

256

512

9

512

729

Pero para n ≥ 10 sı se cumple

n

2n

n3

10

1024

1000

11

2048

1331

12

4096

1728

13

8192

2197

14

16384

2744

15

32768

3375

. . .

. . .

. . .


Nota 1.5 (Sumatoria). Si f : IN→ IR aplicacion, entonces la sumatoria de termino general f(n)cuando n varia de k a m corresponde a

m∑n=k

f(n) = f(k) + f(k + 1) + f(k + 2) + · · ·+ f(m− 1) + f(m)

Ejemplo 1.4. Use induccion para demostrar que

m∑n=2

2n−1

3n=

2

3−(

2

3

)mSolucion: Demostremos por induccion sobre m ≥ 2m = 2

2∑n=2

2n−1

3n=

22−1

32=

2

9

2

3−(

2

3

)2

=2

3− 4

9=

6− 4

9=

2

9

=⇒2∑

n=2

2n−1

3n=

2

3−(

2

3

)2 (X)

m→ m+ 1 h.i :

m∑n=2

2n−1

3n=

2

3−(

2

3

)mh.q.d :

m+1∑n=2

2n−1

3n=

2

3−(

2

3

)m+1

Tenemos que

m+1∑n=2

2n−1

3n=

m∑n=2

2n−1

3n+

2m

3m+1

h.i=

2

3−(

2

3

)m+

2m

3m+1

=2

3−(

2

3

)m·[1− 1

3

]=

2

3−(

2

3

)m· 2

3

=2

3−(

2

3

)m+1 (X)

Se concluye por induccion matematica que para todo m ∈ IN \ {0, 1}m∑n=2

2n−1

3n=

2

3−(

2

3

)m�

Nota 1.6. Se dice que un numero natural X es multiplo de Y ∈ IN o que X es divisible entre Ysi y solo si existe ` ∈ IN tal que

X = Y · `


Ejemplo 1.5. Use induccion para demostrar que para n ∈ IN∗, “5n + 15” es multiplo de “20”.

Solucion:Note que “5n + 15” es multiplo de “20” es equivalente a demostrar que existe k ∈ IN tal que

5n + 15 = 20k

Demostremos por induccion sobre n ∈ IN:n = 1

51 + 15 = 20 = 20 · 1(X)

n→ n+ 1 {h.i : ∃k ∈ IN, 5n + 15 = 20k

h.q.d : ∃` ∈ IN, 5n+1 + 15 = 20`

Note queh.i ⇐⇒ 5n + 15 = 20k ⇐⇒ 5n = 20k − 15

luego

5n+1 + 15 = 5 · 5n + 15

h.i= 5 · (20k − 15) + 15

= 100k − 75 + 15

= 100k − 60

= 20 · (5k − 3)(X)

Tomando ` = 5k − 3 ∈ IN, se verifica 5n+1 + 15 = 20`.Se concluye por induccion matematica que para todo n ∈ IN∗, “5n + 15” es multiplo de “20”.�


2 Sucesiones Numericas

2.1 Lo basico

Definicion 2.1 (Sucesion). Una sucesion real es una secuencia de numeros an indexados sobreIN, es decir que existe una aplicacion f : IN→ IR tal que

an = f(n), n ∈ IN (forma explıcita de an)

Se denota (an)n∈IN para referirse a la sucesion

a0, a1, a2, a3, . . .

o lo que es lo mismo(an)n∈IN = (a0, a1, a2, a3, . . . )

Nota 2.1. Cuando nos referimos a los numeros enteros positivos usamos la notacion

IN∗ = Z+ = {1, 2, 3, . . . }

O sea que el conjunto de los numeros naturales es

IN = Z+ ∪ {0} = {0, 1, 2, 3, . . . }

Definicion 2.2 (Rango). Sea (an)n∈IN una sucesion.El rango o ambito de la sucesion (an)n∈IN corresponde a

R = {an/ n ∈ IN} = {a0, a1, a2, a3, . . . }

Una sucesion tambien puede ser truncada, dada una sucesion (an)n=n0,n0+1,n0+2,... correspondea la secuencia

an0 , an0+1, an0+2, an0+3, . . .

es decir, que se toma an para los naturales n ≥ n0.En tal caso el rango o ambito de la sucesion (an)n∈IN corresponde a

R = {an/ n = n0, n0 + 1, n0 + 2, . . . } = {an0 , an0+1, an0+2, an0+3, . . . }

Ejemplo 2.1. (an) = (1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, . . . ) es la sucesion cuya forma explıcita puede ser

an =1

n+ 1, n ∈ IN

El rango de an corresponde a R = {1, 1/2, 1/4, 1/5, . . . }

Ejemplo 2.2. Considere la sucesion

an =(−1)n

3n + 1

Como

a0 =1

1 + 1, a1 =

−1

3 + 1, a2 =

1

9 + 1, a3 =

−1

27 + 1, a4 =

1

81 + 1, . . .


La sucesion an tambien tiene representacion

(an)n∈IN =

(1

2,−1

4,

1

10,−1

28,

1

82, . . .

)El rango de an corresponde a

R =

{1

2,−1

4,

1

10,−1

28,

1

82, . . .

}Ejemplo 2.3. La sucesion an = (−1)n + 1 corresponde a la secuencia

2, 0, 2, 0, 2, 0, . . .

pues a0 = 1 + 1, a1 = −1 + 1, a2 = 1 + 1, a3 = −1 + 1, . . . , o sea que

an =

{2 , si n es par

0 , si n es impar

El rango de an corresponde a R = {0, 2}.


2.2 Lımites de sucesiones

2.2.1 Convergencia

Definicion 2.3 (Convergencia). Una sucesion (an)n∈IN es llamada convergente, si existe unnumero finito L tal que

n suficientemente grande =⇒ an ≈ L

Formalmente,∀ε > 0, ∃N > 0, tal que n > N =⇒ |an − L| < ε

Se denotaL = lim

n→+∞an

L es llamado valor de convergencia de an o simplemente lımite de an.En caso contrario se dice que an es divergente, es decir si L no existe o es infinito.

Nota 2.2. El lımite an es infinito positivo si

∀M > 0, ∃N > 0 tal que n > N =⇒ an > M

Se denota limn→+∞ an = +∞ .Igualmente el lımite an es infinito negativo si

∀M > 0, ∃N > 0 tal que n > N =⇒ an < −M

Se denota limn→+∞ an = −∞ .En estos casos existe el lımite de la sucesion pero la sucesion es divergente por tener lımites

infinitos.

Teorema 2.1. Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones convergentes, entonces

1. ∀α ∈ IR, “ αan + bn” es una sucesion convergente y cumple

limn→+∞

[αan + bn] = α limn→+∞

an + limn→+∞

bn

2. “ an · bn” es convergente y cumple

limn→+∞

[an · bn] = limn→+∞

an · limn→+∞

bn

3. Si limn→+∞

bn 6= 0, “ an/bn” es una sucesion convergente y cumple

limn→+∞

[anbn

]=

limn→+∞

an

limn→+∞

bn

4. Si G : IR → IR es una aplicacion continua en el rango de an, entonces “ G(an)” es unasucesion convergente y cumple

limn→+∞

G(an) = G

(lim

n→+∞an

)


Notas 2.3.

1. limn→+∞

nα =

+∞ , si α > 0

1 , si α = 0

0+ , si α < 0

2. limn→+∞

1

n= 0 ∧ lim

n→+∞

1

nα=

0+ , si α > 0

1 , si α = 0

+∞ , si α < 0

3. limn→+∞

rn =

+∞ , si r > 1

1 , si r = 1

0 , si |r| < 1

@ , si r ≤ −1

∧ limn→+∞

r−n =

0 , si r > 1

1 , si r = 1

+∞ , si |r| < 1

@ , si r ≤ −1

Ejemplo 2.4. Determine la convergencia de la sucesion

an =2n2 − n+ 3

3n2 + 4

Solucion:

limn→+∞

an = limn→+∞

2− 1n + 3

n2

3 + 4n2

=2− 0 + 0

3 + 0=

2

3�


an =2n+ 3n2

n

Solucion:

limn→+∞

an = limn→+∞

2n+ 3n2

n= lim

n→+∞[2 + 3n] = 2 + (+∞) = +∞

Entonces an es divergente. �

Nota 2.4. Si

an =αk n

k + αk−1 nk−1 + · · ·+ α1 n+ α0

β` n` + β`−1 n`−1 + · · ·+ β1 n+ β0

entonces

limn→+∞

an =

αk/βk , si k = `

0 si k < `

∞ si k > `


an =23n

5n−1


Solucion:Note que

an =5 · 8n

5n= 5 ·

(8

5

)nComo 8/5 > 1, entonces an es una sucesion divergente. �


an =2n − 3n+1

5 · 3n +√

6n

Solucion:Note que

√6n = (

√6)n ≤ (

√9)n = 3n y tambien 3n ≥ 2n, entonces

limn→+∞

an = limn→+∞

2n − 3n+1

3n

5 · 3n +√

6n

3n

= limn→+∞

(2

3

)n− 3

5 +

(√6

3

)n =0− 3

5 + 0= −3

5

Luego la sucesion an es convergente y tiene lımite −3/5. �

Teorema 2.2. Si (an)n∈IN es una sucesion convergente, el lımite L de an es unico.

Definicion 2.4 (Subsucesion). Sea (an)n∈IN una sucesion, (bn)n∈IN es llamado subsucesion de ansi existe una secuencia de numeros naturales n0 < n1 < n2 < n3 < . . . tales que bk = ank

.Se denota (ank

)k∈IN es una subsucesion de (an)n∈IN .

Nota 2.5. Si (ank)k∈IN es subsucesion de (an)n∈IN, entonces el rango de ank

esta contenido en elrango de an

{an0 , an1 , an2 , . . . } ⊆ {a0, a1, a2, . . . }

Ejemplo 2.8. Sea an =(−1)n

n, n ∈ IN∗, que corresponde a la sucesion

(an)n∈IN =

(−1,

1

2,−1

3,

1

4, . . .

)Tenemos que bk = a2k es una subsucesion de an correspondiente a

bk =(−1)2k

2k=

1

2k

que se expande

(bk)k∈IN∗ =

(1

2,

1

4,

1

6,

1

8, . . .

)Tambien tenemos la subsucesion

(a2k+1)k∈IN =

(−1,−1

3,−1

5,−1

7, . . .

)


Teorema 2.3. Si (an)n∈IN es una sucesion convergente con lımite L, entonces toda subsucesion(ank

)k∈IN es convergente y cumple que

limk→+∞

ank= L

Nota 2.6. Si (bn)n∈IN y (cn)n∈IN son subsucesiones convergentes de (an)∈IN tales que

L1 = limn→+∞

bn ∧ L2 = limn→+∞

cn

Si L1 6= L2 , entonces la sucesion (an)n∈IN es divergente.

Ejemplo 2.9. Verifique la convergencia de la sucesion an = (−1)n + 1.

Solucion: Note quea2k = (−1)2k + 1 = 1 + 1 = 2 −−−−→

k→+∞2

peroa2k+1 = (−1)2k+1 + 1 = −1 + 1 = 0 −−−−→

k→+∞0

Como 2 6= 0, se concluye que an divergente pues tiene subsucesiones con lımites distintos. �

Ejemplo 2.10. Verifique la convergencia de la sucesion an = cos(nπ).

Solucion: Note quea2k = cos(2kπ) = 1 −−−−→

k→+∞1

peroa2k+1 = cos

[(2k + 1)π

]= −1 −−−−→

k→+∞−1

Como 1 6= −1, se concluye que an divergente pues tiene subsucesiones con lımites distintos. �

2.2.2 Paso a Funciones Continuas

Nota 2.7 (Paso a continuas). Sea (an)n∈IN sucesion y sea f : [0,+∞[ → IR funcion continua talque

∀n ∈ IN, f(n) = an

entonces se cumple quelim

n→+∞an = lim

x→+∞f(x)

siempre que el lımite anterior exista.

Ejemplo 2.11. Estudie la convergencia de la sucesion

an =

(1− 2

n

)4n


Solucion: Note que an se puede extender a una funcion contınua convergente:

limn→+∞

an = limx→+∞

(1− 2

x

)4x

, Forma 1∞

= exp

[lim

x→+∞4x ln

(1− 2

x

)], Forma ∞ · 0

= exp

[4 limx→+∞

ln (1− 2/x)

1/x

], Forma

0

0

L.H= exp

[4 limx→+∞

(1− 2/x)−1 · (2/x2)−1/x2

]= exp

[4 limx→+∞

[−2

(1− 2

x

)−1]]= e−8

�

Nota 2.8.

limn→+∞

n sen

(1

n

)= 1 lim

n→+∞

(1 +

1

n

)n= e

limn→+∞

n sen(an

)= a lim

n→+∞

(1 +

a

n

)bn= eab

limn→+∞

[n− n cos

(1

n

)]= 0

Nota 2.9. Sea (an)n∈IN sucesion y sea f : [0,+∞[ → IR funcion continua tal que

∀n ∈ IN, f(n) = an

si an es convergente, NO se garantiza la existencia del lımite de f(x), o sea que es posible que

limn→+∞

an 6= limx→+∞

f(x)

Ejemplo 2.12. La sucesion an = cos(2nπ), n ∈ IN es convergente, pues para todo n ∈ IN, an = 1,pero la funcion f(x) = cos(2xπ), x ∈ IR no tiene lımite.

2.2.3 Teorema del Sandwich

Teorema 2.4 (Teorema del Sandwich).Sean (an)n∈IN, (bn)n∈IN y (cn)n∈IN sucesiones tales que para n ≥ n0

an ≤ bn ≤ cn

Si an y cn convergen a L, entonces bn tambien es convergente y tiene lımite L.

an ≤ bn ≤ cn ∧ L = limn→+∞

an = limn→+∞

cn =⇒ limn→+∞

bn = L

Pues,L ≤ lim

n→+∞an ≤ L =⇒ lim

n→+∞an = L


Ejemplo 2.13. Estudie la convergencia de an =cos(nπ)

n2 + 1.

Solucion:Como −1 ≤ cos(nπ) ≤ 1, entonces

−1

n2 + 1≤ cos(nπ)

n2 + 1≤ 1

n2 + 1=⇒ lim

n→+∞

−1

n2 + 1≤ lim

n→+∞

cos(nπ)

n2 + 1≤ lim

n→+∞

1

n2 + 1

=⇒ 0 ≤ limn→+∞

cos(nπ)

n2 + 1≤ 0

Se concluye por el teorema de sandwich, que

limn→+∞

cos(nπ)

n2 + 1= 0

�

Nota 2.10. Sean (an)n∈IN y (bn)n∈IN sucesiones reales, entonces

(a) 0 ≤ an ≤ bn ∧ limn→+∞

bn = 0 =⇒ limn→+∞

an = 0

(b) an ≥ bn ∧ limn→+∞

bn = +∞ =⇒ limn→+∞

an = +∞

(c) an ≤ bn ∧ limn→+∞

bn = −∞ =⇒ limn→+∞

an = −∞

Nota 2.11. Sea (an)n∈IN una sucesion real, entonces

(a) limn→+∞

|an| = 0 ⇐⇒ limn→+∞

an = 0

(b) limn→+∞

|an| = +∞ ⇐⇒ limn→+∞

an = ±∞

Ejemplo 2.14. Estudie la convergencia de la sucesion

an =n · (−1)n

n3 − n+ 1

Solucion:Tenemos que

limn→+∞

|an| = limn→+∞

∣∣∣∣ n · (−1)n

n3 − n+ 1

∣∣∣∣= lim

n→+∞

n

n3 − n+ 1, pues |(−1)n| = 1

= limn→+∞

1

n2 − 1 + 1/n

=1

+∞− 1 + 0

= 0

Se concluye entonces que an → 0. �

Ejemplo 2.15. Estudie la convergencia de la sucesion an =n!

n+ 1.



n!

n+ 1=n · (n− 1) · (n− 2) · · · · · 3 · 2

n+ 1≥ n(n− 1)

n+ 1=n2 − nn+ 1

−−→+∞

+∞

Se concluye entonces que an → +∞. �

Definicion 2.5. Considere dos sucesiones an, bn, n ∈ IN

1. Se dice que an y bn son equivalentes si y solo si

limx→+∞

anbn

= 1

se denota an ∼= bn

2. Si existe y es finito el lımite

limn→+∞

anbn

= α 6= 0

se escribe an ∼ bnlo cual se puede leer como que “an y bn son similares”.

3. Se dice que an es “mas rapido” que bn o que bn es “mas lento” que an si y solo si

limn→+∞

anbn

= +∞ ⇐⇒ limn→+∞

bnan

= 0

se denota an � bn ⇐⇒ bn � an

Notas 2.12.

(a) ∀p > 0, ln(n)� np

(b) Si 0 < p1 < p2, entonces np1 � np2

(c) Si 0 < p1 < 1 < p2, entonces np1 � n� np2

(d) Si 1 < r1 < r2, entonces rn1 � rn2

(e) Para todo p ∈ IR y para todo r > 1 se cumple que np � rn � n!� nn

Ejemplo 2.16. Calcule el lımite de an =2n

n!.

Solucion:

limn→+∞

2n

n!= 0, pues n!� 2n

�


2.3 Monotonicidad y cotas

2.3.1 Monotonicidad

Definicion 2.6 (Monotonıa o monotonicidad). Una sucesion (an)n∈IN es llamada

(a) Monotona Creciente ( an ↗ ) si y solo si ∀n ∈ IN, an+1 ≥ an .

Tambien es llamada monotona creciente estrictamente si an+1 > an.

(b) Monotona Decreciente ( an ↘ ) si y solo si ∀n ∈ IN, an+1 ≤ an .

Tambien es llamada monotona decreciente estrictamente si an+1 < an.

Si una sucesion es siempre creciente o siempre decreciente, se dice que es monotona.

Ejemplo 2.17. Verifique que an =1

n2 + 1es una sucesion decreciente.

Solucion: Tenemos que an es decreciente si y solo si

an+1 ≤ an ⇐⇒1

(n+ 1)2 + 1≤ 1

n2 + 1⇐⇒ n2 + 1 ≤ (n+ 1)2 + 1

⇐⇒ n2 + 1 ≤ n2 + 2n+ 1 + 1

⇐⇒ 0 ≤ 2n+ 1,(X)

Como ∀n ∈ IN, 2n+ 1 ≥ 0, queda verificado entonces que an ↘ . �

Notas 2.13. Sea (an)n∈IN sucesion real

1. Si para todo n,m ∈ IN

(a) “n ≤ m ⇐⇒ an ≤ am”, entonces an es creciente.

(b) “n ≤ m ⇐⇒ an ≥ am”, entonces an es decreciente.

2. Dada una sucesion (an)n∈IN

(a) an ↗ ⇐⇒ ∀n ∈ IN, an+1 − an ≥ 0.

(b) an ↘ ⇐⇒ ∀n ∈ IN, an+1 − an ≤ 0.

3. Si para todo n ∈ IN, an > 0 ( sucesion positiva ), entonces

(a) an ↗ ⇐⇒ ∀n ∈ IN,an+1

an≥ 1.

(b) an ↘ ⇐⇒ ∀n ∈ IN,an+1

an≤ 1.

4. Si existe una funcion f : [0,+∞[→ IR monotona tal que f(n) = an, entonces

(a) Si ∀x ∈ [0,+∞[, f(x)↗ =⇒ an ↗(b) Si ∀x ∈ [0,+∞[, f(x)↘ =⇒ an ↘


Ejemplo 2.18. Verifique la monotonıa de la sucesion an =3n− 2

5n+ 1.

Solucion:Opcion 1: Estudiando an+1 − an

Tenemos que

an+1 − an =3(n+ 1)− 2

5(n+ 1) + 1− 3n− 2

5n+ 1

=(3n+ 1)(5n+ 1)− (5n+ 6)(3n− 2)

(5n+ 6)(5n+ 1)

=15n2 + 8n+ 1− (15n2 + 8n− 12)

(5n+ 6)(5n+ 1)

=13

(5n+ 6)(5n+ 1)> 0, ∀n ∈ IN

Entonces an+1 − an > 0 ⇐⇒ an+1 > an ⇐⇒ an ↗ estrictamente.

Opcion 2: Estudiando f(x) =3x− 2

5x+ 1

f ′(x) =3 · (5x+ 1)− (3x− 2) · 5

(5x+ 1)2

=13

(5x+ 1)2> 0, ∀x ∈ IR+

Entonces f ′(x) > 0 ⇐⇒ f(x)↗ =⇒ an ↗ estrictamente. �

Ejemplo 2.19. an = (−1)n/n, n ∈ IN no es monotona, pues sus valores consecutivos cambian derelacion siempre

an : −1, 1/2, −1/3, 1/4, −1/5, . . .

Ejemplo 2.20. Estudie la monotonıa de la sucesion an = sen(1/n), n ∈ IN∗.

Solucion:Sea f(x) = sen(1/x), x ∈ IR, entonces

f ′(x) = (−1/x2) · cos(1/x) < 0, ∀x ∈[1,+∞

[Entonces ∀x ∈

[1,+∞

[, f(x)↘ =⇒ an ↘ �

Nota 2.14. Sean an, bn sucesiones reales positivas y G : R → IR aplicacion real continua en elrango R de an, entonces.

1. an ↗ ⇐⇒ −an ↘

2. an ↗ ⇐⇒ [an]−1 ↘

3. an ↗ ∧ bn ↗ =⇒ ∀α ∈ IR, [an · bn]↗ ∧ [α+ an + bn]↗

4. an ↘ ∧ bn ↘ =⇒ ∀α ∈ IR, [an · bn]↗ ∧ [α+ an + bn]↘


5. an ↘ ∧ bn ↗ =⇒ [an · bn]↘

6. an ↗ ∧ G(x)↗ =⇒ G[an]↗

7. an ↘ ∧ G(x)↗ =⇒ G[an]↘

8. an ↘ ∧ G(x)↘ =⇒ G[an]↗

Nota 2.15. Si r > 0,rn ↘ ⇐⇒ r < 1 ∧ rn ↗ ⇐⇒ r > 1

Ejemplo 2.21. Estudie la monotonıa de an = 2 +3−n√n+ 1

+5n+1

7n

Solucion:Tenemos que 3n ↗ y

√n+ 1↗ =⇒ 3n

√n+ 1↗ , luego

3−n√n+ 1

=1

3n√n+ 1

↘

tambien, como 5/7 < 15n+1

7n= 5

(5

7

)n↘

Se concluye entonces que an es decreciente. �


2.3.2 Cotas

Definicion 2.7 (Cotas). De una sucesion (an)n∈IN se dice que es

(a) Acotada inferiormente si y solo si

∃M1 ∈ IR tal que ∀n ∈ IN, M1 ≤ an

M1 es llamado cota inferior de la sucesion an.

(b) Acotada superiormente si y solo si

∃M2 ∈ IR tal que ∀n ∈ IN, an ≤M2

M2 es llamado cota superior de la sucesion an.

(c) Acotada si es acotada inferiormente y superiormente a la vez, es decir

∃M1,M2 ∈ IR tales que ∀n ∈ IN, M1 ≤ an ≤M2

Ejemplo 2.22. an = 3 sen(n) + 1 es una sucesion acotada, pues ∀n ∈ IN

−1 ≤ sen(n) ≤ 1 ⇐⇒ −3 + 1 ≤ 3 sen(n) + 1 ≤ 3 + 1

⇐⇒ −2 ≤ 3 sen(n) + 1 ≤ 4

La cota inferior es −2 y la cota superior es 4.Note que an es divergente y no es monotona, pues sus valores varıan entre −2 y 4 sin ningun

orden.

Ejemplo 2.23. an = (−1)n es una sucesion acotada, pues ∀n ∈ IN

−1 ≤ (−1)n ≤ 1

La cota inferior es −1 y la cota superior es 1.Claramente an es divergente y no es monotona.

Ejemplo 2.24. an = n3 + 1 es una sucesion acotada inferiormente por 1, pues ∀n ∈ IN

0 ≤ n3 ⇐⇒ 1 ≤ n3 + 1

Ejemplo 2.25. an =5

n+ 4es una sucesion acotada pues ∀n ∈ IN

0 ≤ 5

n+ 4≤ 5

4, pues n+ 4 ≥ 4

La cota inferior es 0 y la cota superior es 5/4.


Teorema 2.5. Sea (an)n∈IN una sucesion real.

(a) Si limn→+∞

an = +∞ o si existe una subsucesion anktal que lim

k→+∞ank

= +∞, entonces la

sucesion NO es acotada superiormente.

(b) Si limn→+∞

an = −∞ o si existe una subsucesion anktal que lim

k→+∞ank

= −∞, entonces la

sucesion NO es acotada inferiormente.

(c) Si existen subsucesiones anky amk

tales que limk→+∞

ank= +∞ y lim

k→+∞amk

= −∞, entonces

la sucesion an NO es acotada ni inferior ni superiormente.

Ejemplo 2.26. La sucesion an = n3 + 1 no es acotada superiormente, pues

limn→+∞

an = +∞

Ejemplo 2.27. La sucesion an = csc(1/n) no es acotada superiormente, pues

limn→+∞

an = csc(0+) =1

0+= +∞

Ejemplo 2.28. La sucesion an = tan

[n

n3 + 4− π

2

]no es acotada inferiormente, pues

limn→+∞

an = tan[0+ − π

2

]= tan

[−π

2

+]

= −∞

Ejemplo 2.29. La sucesion an = (−1)n ln(n) no es acotada ni superiormente ni inferiormente,pues

limk→+∞

a2k = limk→+∞

ln(2k) = +∞ ∧ limk→+∞

a2k+1 = − limk→+∞

ln(2k + 1) = −∞

Nota 2.16. Sea (an)n=n0,n0+1,n0+2,... una sucesion monotona.

(a) Si an ↗ , entonces an acotada inferiormente por an0 . Es decir que ∀n ≥ n0, an ≥ an0 .

(b) Si an ↘ , entonces an acotada superiormente an0 . Es decir que ∀n ≥ n0, an ≤ an0 .

Teorema 2.6. Sea (an)n=n0,n0+1,n0+2,... una sucesion monotona y convergente, entonces an esacotada.

(a) Si an ↗ entonces para todo natural n ≥ n0

an0 ≤ an ≤ limn→+∞

an

(b) Si an ↘ entonces para todo natural n ≥ n0

limn→+∞

an ≤ an ≤ an0


Ejemplo 2.30. Determine la convergencia, monotonıa y cotas de la sucesion

an =2n2 − n+ 1

3n2 + 1, n ∈ IN∗


limn→+∞

2n2 − n+ 1

3n2 + 1= lim

n→+∞

2n2 − n+ 1

n2

3n2 + 1

n2

= limn→+∞

2− 1

n+

1

n2

3 +1

n2

=2− 0 + 0

3 + 0=

2

3

entonces la sucesion es convergente hacia 2/3.Hay dos maneras de ver la mononıa

Opcion 1: Sea

f(x) =2x2 − x+ 1

3x2 + 1

entonces

f ′(x) =(4x− 1) · (3x2 + 1)− (2x2 − x+ 1) · 6x

(3x2 + 1)2

=12x3 + 4x− 3x2 − 1− 12x3 + 6x2 − 6x

(3x2 + 1)2

=3x2 − 2x− 1

(3x2 + 1)2

=(3x+ 1)(x− 1)

(3x2 + 1)2≥ 0, siempre que x ≥ 1

luego x ≥ 1 =⇒ f ′(x) ≥ 0 =⇒ f(x) ↗ =⇒an ↗ siempre que n ∈ IN∗.

Opcion 2:

an+1 − an =2(n+ 1)2 − (n+ 1) + 1

3(n+ 1)2 + 1− 2n2 − n+ 1

3n2 + 1

...

=3n2 + n− 2

(3n2 + 6n+ 4)(3n2 + 1)

∀n ∈ IN∗, 3n2 + n− 2 = (3n− 2)(n+ 1) > 0entonces an+1 − an > 0Luego ∀n ∈ IN∗, an+1 > an ⇐⇒ an ↗

Finalmente, como la sucesion an, n ∈ IN∗ es monotona creciente y convergente, entonces esacotada inferiormente por a1 y superiormente por lim

n→+∞an.

La cota superior es limn→+∞

an = 2/3 y la cota inferior es a1 =2− 1 + 1

3 + 1=

1

2

∴ ∀n ∈ IN∗,1

2≤ an < an+1 ≤

2

3�

Ejemplo 2.31 (Ejercicio). Determine la convergencia, monotonıa y cotas de la sucesion

an =5n− 1

4n− 3, n ∈ IN

Resp. / an → 5/4 es convergente. an decreciente siin ≥ 1. En IN no es monotona. an sı es acotada:1/3 ≤ an ≤ 4


Nota 2.17. Sea (an)n=n0,n0+1,n0+2,... una sucesion monotona.

(a) Si an ↗ y limn→+∞

an = +∞, entonces an es acotada inferiormente por an0 , pero NO es

acotada superiormente:

∀n ∈ IN, an0 ≤ an ≤ limn→+∞

an = +∞

(b) Si an ↘ y limn→+∞

an = −∞, entonces an es acotada superiormente por an0 , pero NO es

acotada inferiormente:∀n ∈ IN, −∞ = lim

n→+∞an ≤ an ≤ an0


an = n · arctan(2− n), n ∈ IN

Solucion: Tenemos que

limn→+∞

an = limn→+∞

n · arctan(2− n) = +∞ · arctan(−∞) = +∞ ·(−π

2

)= −∞

Luego an es una sucesion divergente a −∞.Note que, para todo x ∈ IR[

arctan(1− x)]′

=−1

1 + (1− x)2< 0 =⇒ arctan(1− x) ↘

Entonces para todo n ∈ IN

n↗ ∧ arctan(1− n) ↘ =⇒ an = n · arctan(2− n) ↘

Concluimos entonces que an es una sucesion divergente, monotona decreciente estrictamentey acotada superiormente por a0 = 0 pero NO es acotada inferiormente.

∀n ∈ IN, −∞ ≤ an+1 < an ≤ 0

�


an = ln

[n2 + 1

3n+ 2

], n ∈ IN

Solucion: Como ln(x) es una funcion continua en IR+, tenemos que

limn→+∞

an = limn→+∞

ln

[n2 + 1

3n+ 2

]= ln(+∞) = +∞

Luego an es una sucesion divergente a +∞.Recordemos que ln(x) es creciente en todo su dominio y note que[

x2 + 1

3x+ 2

]′=

2x(3x+ 2)− 3(x2 + 1)

(3x+ 2)2=

3x2 + 4x− 3

(3x+ 2)2> 0 , ∀x ≥ 1


Entonces para todo n ∈ IN∗ y para todo x ∈ IR∗

n2 + 1

3n+ 2↗ ∧ ln(x) ↗ =⇒ an = ln

[n2 + 1

3n+ 2

]↗

Ası se cumple que an es monotona creciente estrictamente en IN∗ con lımite igual a +∞,entonces an es acotada inferiormente por min(a0, a1) pero NO es acotada superiormente.

Note ademas que

a0 = ln

(1

2

)∧ a1 = ln

(2

5

)donde

1

2≥ 2

5⇐⇒ 5 ≥ 4 =⇒ min(a0, a1) = a1

Se concluye que an es una sucesion divergente que no es monotona en IN pues a0 > a1, esacotada inferiormente por a1 = ln(2/5) y no tiene cota superior.

∀n ∈ IN, ln(2/5) ≤ an ≤ +∞ ∧ ∀n ∈ IN∗, ln(2/5) ≤ an < an+1 ≤ +∞�


2.4 Recursion

Definicion 2.8 (Recursion). Una sucesion (an)n∈IN esta definida de manera recursiva o por re-cursion, si se definen los primeros valores a0, a1, . . . ap, y se establece una relacion

∀n ∈ IN, an+p = G(an+p−1, an+p−2, . . . , an−1, an)

Ejemplo 2.34. {a0 = 3

an+1 = 3 · an

es una serie definida recursivamente.Note que, para la sucesion anterior

a1 = 3 · a0 = 3 · 3 = 32

a2 = 3 · a1 = 3 · 32 = 33

a3 = 3 · a2 = 3 · 33 = 34

a4 = 3 · a3 = 3 · 34 = 35

...

an = 3n+1, es forma explıcita

Ejemplo 2.35 (Sucesion de Fibonacci).a0 = 1

a1 = 1

an+2 = an+1 + an

es una serie definida recursivamente.Note que, para la sucesion anterior

a2 = a1 + a0 = 1 + 1 = 2

a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3

a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5

a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8

...


Teorema 2.7 (Teorema de Weierstrass). Tambien es conocido como teorema de convergenciamonotona.Sea (an)n∈IN una sucesion real monotona, entonces

(a) Si an creciente y acotada superiormente, entonces an es convergente.

∀n ∈ IN, an ↗ ∧ ∃M ∈ IR, an < M =⇒ an convergente

(b) Si an decreciente y acotada inferiormente, entonces an es convergente.

∀n ∈ IN, an ↘ ∧ ∃M ∈ IR, an > M =⇒ an convergente

Nota 2.18. Si (an)n∈IN es una sucesion convergente con valor de convergencia L, entonces secumple que, para todo p ∈ IN

limn→+∞

an = L ∧ limn→+∞

an+p = L

Teorema 2.8 (Condicion de Cauchy). Sea (an)n∈IN sucesion real, entonces para todo p ∈ IN

an convergente ⇐⇒ limn→+∞

(an+p − an) = 0

Nota 2.19. Si una sucesion definida recursivamente en una relacion

an+p = G(an+p−1, an+p−2, . . . , an−1, an)

es convergente, con valor de convergencia L, entonces se cumple la igualdad

L = G(L,L, . . . , L︸︷︷︸p veces

)

Ejemplo 2.36. Considere la sucesion (an)n∈IN sucesion definida recursivamentea0 = 3

an+1 = 9− 14

an

Muestre que an es monotona creciente, acotada superiormente por 8 y concluir convergencia.

Solucion:Monotonıa: an ↗ ⇐⇒ an+1 > an

Probemos por induccion sobre n ∈ IN:n = 0

a0 = 3 ∧ a1 = 9− 14

3=

13

3note que

a0 < a1 ⇐⇒ 3 <13

3⇐⇒ 9 < 13

(X)


n→ n+ 1 {h.i : an+1 > an

h.q.d : an+2 > an+1

Note que

h.i ⇐⇒ an+1 > an ⇐⇒1

an+1<

1

an⇐⇒ − 1

an+1> − 1

an

Tenemos que

an+2 = 9− 14

an+1

h.i> 9− 14

an= an+1 =⇒ an+2 > an+1

(X)

Luego, por induccion matematica se concluye que ∀n ∈ IN, an ↗

Cota: Veamos por induccion sobre n ∈ IN que an < 8.

n = 0a0 = 3 < 8

(X)

n→ n+ 1 {h.i : an < 8

h.q.d : an+1 < 8

Como an ↗ =⇒ ∀n ≥ 0, an ≥ a0 = 3 > 0, note ademas que

h.i ⇐⇒ an < 8 ⇐⇒ 1

an>

1

8⇐⇒ − 1

an< −1

8

Tenemos que

an+1 = 9− 14

an

h.i< 9− 14

8=

58

8

ademas58

8< 8 ⇐⇒ 58 < 64

(X)

entonces an+1 < 58/8 < 8(X)

Luego, por induccion matematica se concluye que ∀n ∈ IN, an < 8.

Convergencia: Como an ↗ y an acotada superiormente, entonces an es convergente por elteorema de convergencia monotona, luego existe L tal que L = lim

n→+∞an = lim

n→+∞an+1.

Entonces

an+1 = 9− 14

an=⇒ L = 9− 14

L

=⇒ L2 = 9L− 14

=⇒ L2 − 9L+ 14 = 0

=⇒ (L− 2)(L− 7) = 0

=⇒ L = 2 ∨ L = 7

Como an es creciente y convergente, cumple

3 = a0 < an < L =⇒ L > 3

Por lo tanto el valor de convergencia es L = 7. �


Ejemplo 2.37 (Ejercicio). Considere la sucesion (an)n∈IN sucesion definida recursivamente{a0 = 6

an+1 =√

6 an − 8

Muestre que an es monotona decreciente, acotada inferiormente por 3 y concluir convergencia.En caso de ser convergente calcule el lımite.

Resp. / Que es decreciente y acotada son propiedadesque se prueban por induccion, luego concluyaque an converge por convergencia monotona ha-cia 4.

Al final: 4 ≤ an ≤ 6


3 Induccion Fuerte ?

Definicion 3.1 (Induccion Fuerte). El metodo de Induccion Fuerte tambien llamada ”induccioncompleta“, es un metodo de demostracion de propiedades que “predican” sobre los numeros nat-urales.

El metodo basico se describe a continuacion:

“Sea Pn, n ∈ IN una propiedad que predica sobre los numeros naturales.Si se cumple:

(a) P0 es Verdadero

(b) ∀m ≤ n, Pm es Verdadero =⇒ Pn+1 es Verdadero

entonces la propiedad Pn es cierta para todo n ∈ IN”

Ejemplo 3.1 (Sucesion de Fibonacci). Considere la sucesion (an)n∈IN definida recursivamentea0 = 1

a1 = 1

an+2 = an+1 + an

Demuestre que para todo n ≥ 2

an ≥n

2Luego determine la convergencia de an.

Solucion:Demostremos por induccion fuerte:

n = 1

a2 = a1 + a0 = 1 + 1 = 2 ∧ 2

2= 1 =⇒ a2 >

2

2

(X)

n→ n+ 1 h.i.f : am ≥

m

2, ∀m ≤ n

h.q.d : an+1 ≥n+ 1

2Tenemos que

an+1 = an + an−1h.i.f≥ n

2+n− 1

2= n− 1

2

ademas

n− 1

2≥ n+ 1

2⇐⇒ 2n− 1 ≥ n+ 1 ⇐⇒ n ≥ 2

(X)

Entonces para todo n ≥ 2

an+1 ≥n+ 1

2Luego por induccion fuerte se concluye que para todo n ≥ 2, an ≥ n/2.Al final podemos concluir que

limn→+∞

an ≥ limn→+∞

n

2= +∞ =⇒ lim

n→+∞an = +∞ ( Teo. Sandwich )

Se concluye que an es divergente. �


Ejemplo 3.2 (Sucesion de Fibonacci). Considere la sucesion (an)n∈IN definida recursivamentea0 = 1

a1 = 1

an+2 = an+1 + an

Demuestre que para todo n ∈ IN?

an =1√5

[1 +√

5

2

]n− 1√

5

[1−√

5

2

]nSolucion:

Demostremos por induccion fuerte:n = 1

a1 = 1 ∧ 1√5

[1 +√

5

2

]1− 1√

5

[1−√

5

2

]1=

1 +√

5

2√

5− 1−

√5

2√

5

=1 +√

5− 1 +√

5

2√

5

=2√

5

2√

5

= 1(X)

n→ n+ 1 h.i.f : am =

1√5

[1 +√

5

2

]m− 1√

5

[1−√

5

2

]m, ∀m ≤ n

h.q.d : an+1 =1√5

[1 +√

5

2

]n+1

− 1√5

[1−√

5

2

]n+1

Tenemos que para todo n ≥ 1

an+1 = an + an−1

h.i.f=

1√5

[1 +√

5

2

]n− 1√

5

[1−√

5

2

]n+

1√5

[1 +√

5

2

]n−1− 1√

5

[1−√

5

2

]n−1

=1√5

[1 +√

5

2

]n·[

1 +2

1 +√

5

]− 1√

5

[1−√

5

2

]n·[

1 +2

1−√

5

]

=1√5

[1 +√

5

2

]n·

[1− 2 (1−

√5)

4

]− 1√

5

[1−√

5

2

]n·

[1− 2 (1 +

√5)

4

]

=1√5

[1 +√

5

2

]n·

[1 +√

5

2

]− 1√

5

[1−√

5

2

]n·

[1−√

5

2

]

=1√5

[1 +√

5

2

]n+1

− 1√5

[1−√

5

2

]n+1 (X)

Se concluye por induccion fuerte que la formula es cierta para todo n ∈ IN∗. �


Ejemplo 3.3 (Ejercicio). Considere la sucesion (an)n∈IN definida recursivamentea0 = 1

a1 = 2

an+2 =5 an+1 − an

6

Demuestre que para todo n ∈ IN

an =10

2n− 9

3n

Luego determine la convergencia de an.

Ejemplo 3.4 (Ejercicio). Considere la sucesion (an)n∈IN sucesion definida recursivamentea0 = 0

a1 = 1

an+2 =3 an+1 + an

10

Muestre que para n ≥ 2, an es monotona decreciente, acotada inferiormente por −1 y concluirconvergencia.


Referencias

[1] Duarte A. & Cambronero S., Construccion de conjuntos Numericos, 2007

[2] Pisa Volio E., Introduccion al Analisis real en una variable, Editorial de la Universidad deCosta Rica, Costa Rica, 2003

[3] Poltronieri J., Calculo 2, Serie: Cabecar, Costa Rica, 1998

[4] Duarte A. & Cambronero S., Complementos de Calculo, 2011

[5] Ugalde W. J., MA0350 Calculo en una Variable II, 2011

[6] Takeuchi Y., Sucesiones y Series, Editorial Limusa, M’exico, 1983

[7] Apostol T.M., Analisis Matematico, Editorial Reverte, Mexico, 1982

[8] Demidovich B., Problemas y Ejercicios de Analisis Matematico, Editorial Mir, Moscu, URSS,1973

[9] Doneddu A., Analisis y Geometrıa Diferencial, Editorial Aguilar, Espana, 1979

[10] Larson R., Hostetler, Calculo y Geometrıa Analıtica, Editorial McGraw-Hill, Mexico, 1989

[11] Edwards C.H & Penney D. E., Calculo con Geometrıa Analıtica, Prentice Hall Hispanoamer-icana, Mexico, 1996

[12] Spiegel M. R., Manual de formulas y tablas matematicas, Editorial McGraw-Hill, Mexico,1970

Documents

Tema 04. Inducción y Sucesiones [v0.7]