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Tema 1: Fundamentos de mecánica.

ACTIVIDADES DEL TEMA 1 VECTORES Y CÁLCULO VECTORIAL A1. Ejercicios de vectores. 1. Un avión recorre 130 km en una trayectoria recta que forma un ángulo de 22,5º al este del norte

¿Qué distancia se alejó el avión hacia el norte y qué distancia hacia el este, de su punto de partida?

2. Un automóvil recorre 30 km hacia el este en una carretera horizontal. Al llegar a un cruce se dirige

hacia el norte, recorre 40 km y se detiene. Encuentre el desplazamiento resultante. 3. Una persona sale por la puerta principal de su casa, camina 305 m hacia el este, 610 m hacia el

norte y después toma una moneda de su bolsillo y la deja caer en un acantilado de 152 m de altura: a) Establezca un sistema de coordenadas y escriba una expresión para el desplazamiento de la moneda, empleando vectores unitarios. b) La persona regresa enseguida a la puerta de su casa, siguiendo un camino diferente en el viaje de retorno ¿Cuál es su desplazamiento total para el viaje completo de ida y vuelta?

4. Las dimensiones de una habitación son 5 m x 4 m x 3 m. Una mosca que sale de una esquina

llega a la esquina diagonalmente opuesta: a) ¿Cuál es la magnitud de su desplazamiento. b) ¿Podría ser la longitud de su trayectoria menor que esa distancia? ¿Podría ser igual? c) Escoja un sistema de coordenadas adecuado y calcule las componentes del vector de desplazamiento en ese marco de referencia. d) Si la mosca no volara sino que caminara ¿cuál sería la longitud de la trayectoria más corta que podría seguir?

5. Dados los vectores a = 4i – j; b = -3i + 2j; c = -3j; encuentre el vector r que representa la suma de

los tres. 6. Dados los vectores a = 3i + 3j – 3k y b = 2i + 3k, calcule el ángulo que forman. 7. Halle un vector de módulo 1 en la dirección del vector v = 3i + j +7k. 8. Calcule a) u.v b) |u| c) |v| d) cos(u,v), siendo u = (1,3,-1) y v = (-2,5,4). 9. Determine el producto escalar de los vectores a = i + j y b = 2i – j + 3k así como el ángulo que

forman dichos vectores. 10. Dados los vectores a = 2i + 4j + k y b = 3i – j + 2k, calcule: a) El ángulo que forman sus

direcciones. b) El vector suma (a + b) y diferencia (a – b). c) El vector c = 2a – 3b y el vector unitario que define la dirección de c.

11. Demuestre que los vectores a = 2i + 4j – k y b = 3i – j + 2k son perpendiculares. Calcule también

el módulo del vector a x b ¿Qué condiciones deben verificar dos vectores para que su producto vectorial sea 0.

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12. Determine el producto vectorial de los vectores a = 3i + 4j y b = -2i + 3j ¿Qué ángulo forma el vector resultante con los ejes de coordenadas x e y?

13. Halle el vector unitario de a = 3i – 2j + k y compruebe que tiene módulo uno y es paralelo a a. 14. Dados los vectores a = (3,4,1); b = (4,-5,8) y c = (5,1,-2): a) Compruebe que los vectores a y b son

perpendiculares. b) Calcule el vector d = 2a + b – c. c) Calcule el vector unitario de b. d) Calcule el módulo del vector producto a x b. e) ¿Qué ángulo forman las direcciones de los vectores b y c?

15. Halle el vector u x v, si u = (1,-2,5) y v = (2,-1,3), en la base (i,j,k) 16. Halle las componentes de un vector w perpendicular a u = (0,3,4) y v =(1,3,8), que tenga módulo

5. 17. Demuestre que el módulo de un producto vectorial da numéricamente el área del paralelogramo

formado por los dos vectores componentes como lados. 18. Halle el momento del vector v = 3i - 5j -2k, aplicado en el punto A = (2,-3,1) respecto del punto O =

(1,1,1). 19. Calcule la función derivada del vector r(t) = (5t2 – 3t)i + (7t2 – 3)j + (7t2 + 9)k. 20. Calcule la función derivada del vector r(t) = (4t.sen t)i + (7t2 – 8t + 9)j + (-2t3 + 7t +10)k.

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CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA A2. Ejercicios de movimiento en una dimensión. 1. Los datos del movimiento rectilíneo de un móvil están recogidos en la siguiente tabla:

Posición (m) 2 4 8 10 4 3 2 1 0

Tiempo (s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

a) Represente la gráfica correspondiente.

b) Indique, razonadamente, qué tipo de movimiento lleva el móvil.

c) Calcule el desplazamiento total.

d) Calcule el espacio total recorrido.

e) Indique en qué tramos lleva velocidad en un sentido y en cuáles en sentido contrario.

2. Suponga un cuerpo que se mueve uniformemente según la siguiente función: i)t32(x

(en

unidades S.I.); deduzca de dicha expresión el valor del módulo de la velocidad y represente la gráfica v-t desde que t = 0 hasta que t = 5. Compruebe que el módulo del desplazamiento en esos

cinco segundos, x, coincide con el valor de la superficie que hay entre la línea que obtenemos y el eje horizontal. ¿Podemos generalizar, al movimiento uniformemente acelerado o a cualquier otro la conclusión anterior?

3. Una bola cae desde el reposo por un carril inclinado, de tal modo que en 4,5 s alcanza una

velocidad de 18 m.s-1. Calcule el valor del módulo de la aceleración de caída.

4. La función de movimiento de un cuerpo que sigue una trayectoria rectilínea es i)t2t35(x2

(unidades S.I.) ¿Qué tipo de movimiento llevará, uniforme o variado? ¿Dónde estaba al empezar el tiempo? Calcule la posición en el instante t = 4s. Calcule asimismo el desplazamiento del cuerpo en esos cuatro segundos. ¿Se mueve el cuerpo siempre en el mismo sentido? ¿Cómo podemos saberlo? Si no es así, calcule el instante y la posición en que invierte el sentido de su movimiento.

5. En un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, los valores del módulo de la velocidad en

los diferentes instantes de tiempo vienen dados por la siguiente tabla:

Velocidad 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo 0 1 2 3 4 5 6

A partir de estos valores calcule la aceleración del movimiento y represente la gráfica v-t. Deduzca también el valor de la velocidad media, justificando su cálculo. Con el valor de la velocidad media calcule el módulo del desplazamiento en esos seis segundos y compruebe que el valor de dicho desplazamiento coincide con el de la superficie que queda entre la línea obtenida en la gráfica y el eje horizontal.

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A3. Ejercicios de movimiento en un plano. 1. Desde una azotea, a 10 m sobre el suelo, un niño lanza horizontalmente, de una patada, un balón,

con una velocidad de 20 m.s-1. Determinad la distancia a la que toca en el suelo, medida desde el pie de la azotea y el ángulo que forma la trayectoria que sigue el balón con el suelo, en el momento del impacto. PISTA: ¡No olvidéis que desplazamiento, velocidad y aceleración, etc. son magnitudes vectoriales y, por tanto, susceptibles de componerse y descomponerse en otras! Antes de nada, haced hipótesis, sobre todo basadas en vuestra experiencia, sobre cómo será la trayectoria del movimiento y porqué será así. ¡Haced algún dibujo esquemático que ilustre la situación!

2. Un jugador de baloncesto desea conseguir una canasta de 3 puntos. La canasta está situada a 3,05 m de altura y la línea de tres puntos a 6,25 m de la canasta. El jugador lanza desde una altura de 2,20 m sobre el suelo, con un ángulo de 60º. Calculad con qué velocidad inicial debe salir el balón de las manos del jugador para conseguir encestar. Sirve la misma pista que en el anterior…

A4. Ejercicios de movimiento circular. 1. Un disco musical gira a 45 rpm. Calcule:

a) La velocidad angular en rad/s.

b) El ángulo girado, en radianes, y el número de vueltas que da, durante los 3 min y 16 s que dura una de las melodías.

c) El valor de la aceleración normal de un punto de la periferia del disco si el radio es de 12 cm.

2. La rueda de una bicicleta, de diámetro 50 cm, pasa, uniformemente, de girar a 300 rpm a girar a

500 rpm, en 70 segundos. Halle, durante este tiempo, la aceleración angular de las ruedas y la

aceleración del ciclista.

A5. Ejercicios de movimiento vertical. 1. Se deja caer libremente (es decir, con velocidad inicial cero) una piedra desde una altura de 50 m.

Calcula: a) La velocidad con la que llega la piedra al suelo.

b) El tiempo que tarde en caer la piedra al suelo.

2. Desde una altura de 25 m se lanza una piedra hacia abajo con una velocidad inicial de 5 m/s. Calcula:

a) La velocidad con la que llega la piedra al suelo. b) El tiempo que tarde en caer la piedra al suelo.

3. Desde un punto situado a 10 m sobre el suelo, se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con

una velocidad inicial de 8 m/s.

a) Halla la altura máxima que alcanza la piedra y el tiempo que tarda en llegar al suelo. b) Representa los diagramas y-t y v-t.

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A6. Ejercicios de repaso. 1. Un cuerpo sigue una trayectoria rectilínea. En el instante inicial posee una velocidad de 4 m/s.

Acelera uniformemente durante 8 s, hasta adquirir una velocidad de 16 m/s. Sigue durante 4 s con velocidad constante y después frena uniformemente hasta detenerse en otros 4 s.

a) Calcula la aceleración en cada fase del movimiento.

b) Calcula el desplazamiento en el intervalo temporal de 8 a 12 s.

c) Representa el diagrama v-t del movimiento.

2. Un automóvil que circula a 108 km/h frena uniformemente durante 100 m hasta detenerse. Determina:

a) La aceleración de frenado.

b) El tiempo que tarda en frenar hasta pararse.

c) El instante en que la velocidad se ha reducido a la mitad del valor inicial.

d) El diagrama v-t del movimiento. 3. Un automóvil pasa a las 10 h por el punto A de una carretera recta, a 80 km/h y, media hora más

tarde, pasa por el mismo punto otro automóvil a 100 km/h, en el mismo sentido que el primero.

a) Calcula el tiempo que emplea el segundo en alcanzar al primero y la distancia recorrida desde A.

b) Representa en un diagrama posición-tiempo el movimiento de los dos vehículos. 4. Dos automóviles salen al mismo tiempo de dos ciudades A y B separadas por 200 km de autopista

recta. Se desplazan en sentidos contrarios a 80 y 90 km/h respectivamente.

a) Calcula cuándo y dónde se cruzarán.

b) Representa en un diagrama posición-tiempo el comportamiento de los dos vehículos. 5. Un cuerpo describe una trayectoria curva contenida en un plano. Las componentes del vector de

posición son x = 2t e y = 2 – 4t2 (en unidades SI). Escribe dicho vector en función del tiempo y calcula su valor para t = 2 s, determinando el valor de su módulo en este caso. Por último determina la ecuación de la trayectoria.

6. Desde una ventana situada a 30,0 m sobre el suelo, se lanza horizontalmente una bola con una

velocidad inicial de 15 m/s. Determina:

a) El instante en que llega al suelo.

b) La distancia horizontal que alcanza.

c) El módulo de la velocidad cuando llega al suelo. 7. Desde una colina situada a 1000 m de altitud sobre una llanura, se lanza un proyectil con velocidad

inicial v0 = 300 m/s y con una inclinación sobre la horizontal (o ángulo de tiro) de 30 º. Determina:

6

a) La expresión del vector de posición.

b) La expresión del vector velocidad.

c) La altura máxima.

d) El tiempo que tarda en llegar a la llanura

e) El alcance. 8. ¿Cuál es la velocidad angular media de la aguja horaria de un reloj analógico? ¿Y la de la aguja

minutera? 9. Un corredor y un ciclista se encuentran al principio de una avenida recta de 5 km de longitud. El

corredor puede mantener una velocidad de 15 km/h y el ciclista de 22 km/h.

a) Si parten a la vez, calcule la distancia del corredor al punto de salida cuando el ciclista ha recorrido toda la avenida.

b) Calcule el instante en que debe partir el ciclista para que, habiendo salido antes el corredor, ambos lleguen a la vez al otro extremo de la avenida.

10. La rueda de una bicicleta, de diámetro 50 cm, gira a 300 rpm. Halle a qué velocidad circula el

ciclista. 11. Una pelota que se lanza verticalmente hacia arriba tarda 4 s en volver al suelo. Determine:

a) Cuál fue la velocidad del lanzamiento.

b) La altura que alcanzó la pelota. 12. Desde una altura de 10 m sobre el suelo, se lanza horizontalmente un objeto con una velocidad de

20 m.s-1. Determine:

a) La distancia a la que toca en el suelo, medida desde el punto de lanzamiento.

b) El ángulo que forma la trayectoria con el suelo en el momento del impacto.

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DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA A7. Algunas lecturas históricas.

Lectura 1: Las primeras definiciones de la Dinámica según Newton1

Lee atentamente las definiciones primeras que da Newton en su obra y en las que ya están implícitas

sus famosas leyes. Después trataremos de aclarar las dificultades de comprensión que puede provocar

el lenguaje -un poco antiguo para nosotros- en que están escritas.

DEFINICIONES

Definición Primera: La cantidad de materia es la medida de la misma, surgida de su densidad y

magnitud correspondiente.

El aire de densidad doble, en un espacio doble igualmente, es cuádruple en cantidad, y

séxtuple en un espacio triple… Es esa cantidad la que en lo sucesivo menciono bajo el nombre de

masa o cuerpo. Lo mismo se da a conocer mediante el peso de cada cuerpo: pues la masa es

proporcional al peso, como he descubierto por experimentos muy precisos con péndulos, cuya

exposición se hará más adelante.

Definición II: La cantidad de movimiento es la medida del mismo, surgida de la velocidad y la cantidad

de materia conjuntamente.

El movimiento del todo es la suma del movimiento en las partes singulares; en un cuerpo con

cantidad doble e igual velocidad el movimiento es doble, y cuádruple con velocidad doble.

Definición III: La fuerza ínsita (aclaración: lo que hoy llamamos definitivamente inercia) de la materia es

un poder de resistencia de todos los cuerpos, en cuya virtud perseveran cuanto está en ellos por

mantenerse en su estado actual, ya sea de reposo o de movimiento uniforme en línea recta.

Esta fuerza (aclaración: inercia) es siempre proporcional a su cuerpo (aclaración: masa), … Debido a la

inercia de la materia, un cuerpo no abandona sin dificultad su estado de reposo o movimiento. Por lo

cual esa vis insita puede llamarse muy significativamente vis inertiae, fuerza de inactividad. Pero un

cuerpo sólo ejerce esa fuerza cuando otra fuerza impresa en él trata de alterar su estado, y el ejercicio

de esa fuerza puede considerarse como resistencia y como ímpetu (aclaración: acción). Es resistencia

en tanto en cuanto el cuerpo se opone a la fuerza impresa para mantener su estado actual. Es ímpetu

en tanto en cuanto el cuerpo, sin ceder fácilmente a la fuerza impresa de otro, se esfuerza por cambiar

el estado de ese otro (aclaración: está hablando de la reacción de un cuerpo ante la fuerza que otro

ejerce sobre él). La resistencia suele atribuirse a los cuerpos en reposo, y el ímpetu a los que están en

movimiento, pero el movimiento y el reposo -tal como se conciben por lo general- sólo se distinguen de

modo relativo, y no siempre se encuentran en auténtico reposo los cuerpos que suelen considerarse

así (aclaración: está refiriéndose a la dificultad de definir un movimiento absoluto).

1 De su obra PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA (Principios matemáticos de Filosofía Natural).

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Definición IV: La fuerza impresa es una acción ejercida sobre un cuerpo para cambiar su estado, bien

sea de reposo o de movimiento uniforme en línea recta.

Esta fuerza consiste sólo en la acción, y no permanece en el cuerpo cuando la acción

concluye. Porque un cuerpo persevera en cualquier estado nuevo que alcance, en virtud de su sola

inercia. Pero las fuerzas impresas tienen orígenes diversos, como la percusión, la presión o la fuerza

centrípeta.

Lectura 2: Las leyes de la Dinámica según Newton

Lee atentamente las leyes de la Dinámica, tal y como las planteó Newton. Trataremos después, de

nuevo, de aclarar las dificultades de comprensión que puede provocar el lenguaje en que están

escritas.

AXIOMAS O LEYES DEL MOVIMIENTO

Ley Primera: Todos los cuerpos perseveran en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea

recta, salvo que se vean forzados a cambiar ese estado por fuerzas impresas.

Los proyectiles perseveran en sus movimientos mientras no sean retardados por la resistencia

del aire o impelidos hacia abajo por la fuerza de la gravedad. Una peonza, cuyas partes se ven

continuamente apartadas de movimientos rectilíneos por su cohesión, no cesaría de girar si no fuese

retrasada por el aire. Los cuerpos mayores de los planetas y cometas, que encuentran menos

resistencia en los espacios libres, preservan durante mucho más tiempo sus movimientos progresivos y

circulares.

Ley II: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa, y se hace en la dirección de

la línea recta en la que se imprime esa fuerza.

Si una fuerza cualquiera genera un movimiento, una fuerza doble generará el doble de

movimiento, una triple el triple, tanto si la fuerza es impresa entera y a la vez como si lo es gradual y

sucesivamente. Y cuando el cuerpo se movía antes, este movimiento (dirigido siempre siguiendo a la

fuerza generadora) se añade, se resta o se une oblicuamente al movimiento anterior, según coadyuve,

se oponga o se vincule oblicuamente a él, componiendo así un nuevo movimiento formado por la

determinación de ambos.

Ley III: Para toda acción hay siempre una reacción opuesta e igual. Las acciones recíprocas de dos

cuerpos entre sí son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias.

Cualquier cosa que arrastre o comprima a otra es igualmente arrastrada o comprimida por esa

otra. Si se aprieta una piedra con el dedo, el dedo es apretado también por la piedra. … Si un cuerpo

tropieza con otro y, debido a su fuerza, cambia el movimiento de éste, él también (debido a la igualdad

de la presión mutua) sufrirá un cambio igual en su propio movimiento hacia la parte contraria. …

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Lectura 3: Sobre la inercia de los cuerpos y sobre las fuerzas2

“Al igual que decimos que un cuerpo, en tanto que está en reposo, permanece en el mismo

estado, decimos también que un cuerpo en movimiento, en tanto que se mueve con la misma velocidad

y en la misma dirección, permanece en el mismo estado. Así, permanecer en el mismo estado no

significa sino permanecer en reposo o conservar el mismo movimiento. Esta manera de hablar se

introduce para enunciar más sucintamente este gran principio según el cual todo cuerpo, en virtud de

su naturaleza, se mantiene en el mismo estado hasta que una causa extraña viene a perturbar dicho

estado, es decir, o bien a poner el cuerpo en movimiento si está en reposo, o bien a modificar su

movimiento. … Si se pregunta ahora por qué los cuerpos permanecen en el mismo estado, hay que

decir que ello sucede en virtud de su propia naturaleza. Todos los cuerpos, en tanto que están

compuestos de materia, tienen necesariamente la propiedad de permanecer en el mismo estado, a

menos que sean alterados por alguna causa externa. Se trata, pues, de una propiedad fundada en la

naturaleza de los cuerpos, … Esta cualidad de la que están dotados todos los cuerpos y que les es

esencial, se denomina inercia y conviene tan necesariamente a ellos como la extensión o la

impenetrabilidad, de modo que sería imposible que hubiera un cuerpo sin inercia. El término inercia …

significa aproximadamente lo mismo que el de pereza. … Pues, ya que un cuerpo, en virtud de su

naturaleza, conserva el mismo estado tanto de movimiento como de reposo, no pudiendo ser apartado

de él sino por causas externas, se sigue que, para que un cuerpo cambie de estado, es necesario que

se vea forzado a ello por alguna causa extraña, sin lo cual permanecería siempre en el mismo estado.

A ello se debe el que se dé a esta causa externa el nombre de fuerza. Es éste un término del que nos

servimos comúnmente, si bien muchos de los que lo emplean no tienen de él sino una idea muy

imperfecta. Vuestra Alteza verá, por lo que acabo de decir, que el nombre de fuerza significa todo

aquello que es capaz de modificar el estado de los cuerpos. Así, cuando un cuerpo que ha estado en

reposo, es puesto en movimiento, es una fuerza la que ha producido este efecto, y cuando un cuerpo

en movimiento cambia de dirección o de velocidad, es también una fuerza la que ha causado este

cambio. Todo cambio de dirección o de velocidad en el movimiento de un cuerpo supone un aumento o

una disminución de las fuerzas. Éstas, por tanto, están siempre fuera del cuerpo cuyo estado ha sido

modificado, dado que, según hemos visto, un cuerpo abandonado a sí mismo conserva siempre el

mismo estado, a menos que una fuerza desde fuera actúe sobre él. Ahora bien, la inercia, en virtud de

la cual el cuerpo tiende a mantenerse en el mismo estado, existe en el cuerpo mismo y es una

propiedad esencial de éste. Por tanto, cuando una fuerza externa cambia el estado de algún cuerpo, la

inercia, que trataría de mantenerle en el mismo estado, se opone a la acción de la fuerza. Se entiende

así que la inercia es una cualidad susceptible de medida, o que la inercia de un cuerpo puede ser

mayor o menor que la de otro. Los cuerpos están dotados de inercia en tanto que contienen materia.

Es incluso por la inercia o resistencia que oponen a todo cambio de estado, por lo que juzgamos la

cantidad de materia de un cuerpo; de ahí que la inercia de un cuerpo sea tanto mayor cuanta más

materia contenga. Sabemos también que se necesita más fuerza para cambiar el estado de un cuerpo

grande que el de un cuerpo pequeño. Podemos incluso decir que esta única circunstancia, es decir, la

inercia, nos hace sensible la materia. Es claro, pues, que la inercia es una cantidad y que es la misma

que la cantidad de materia que contiene un cuerpo; y puesto que se denomina también a la cantidad de

materia de un cuerpo su masa, la medida de la inercia será la misma que la medida de la masa. He

aquí pues a lo que se reduce nuestro conocimiento de los cuerpos en general. En primer lugar,

sabemos que todos ellos tienen una extensión de tres dimensiones; en segundo lugar, que son

impenetrables. De ello resulta la propiedad general de todos los cuerpos conocida con el nombre de

2 De L. Euler, Cartas a una Princesa alemana sobre diversos temas de física y filosofía (carta 74).

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inercia, mediante la cual éstos se mantienen en su estado. Así cuando un cuerpo está en reposo, es

por su inercia por lo que permanece en reposo, y cuando está en movimiento, es también por su inercia

por lo que continúa moviéndose con la misma velocidad y en la misma dirección. Esta conservación del

mismo estado dura hasta que sobreviene una fuerza externa que causa en él algún cambio. Siempre

que se modifica el estado de un cuerpo, no hay que buscar nunca la causa en él mismo; siempre existe

fuera de él, siendo ésta la idea exacta que debemos formarnos de una fuerza.”

A8. Ejercicios iniciales. 1. En el dibujo vemos un balón al que se le ha dado una patada hacia arriba. En la primera posición

está subiendo, en la segunda está en el punto más alto y en la tercera está bajando:

a) Dibuja la fuerza resultante que actúa sobre el balón en cada caso.

b) ¿Qué le ocurrirá a la velocidad del balón en cada uno de los casos?

2. Las marcas que se observan en la trayectoria de las figuras representan las posiciones de un móvil

cada segundo desde que se empieza a contar. Indica razonadamente en cuáles de los movimientos actúa una fuerza resultante distinta de cero:

11

3. Observando las distintas gráficas F-t de varios movimientos rectilíneos indica:

a) ¿Cómo serán dichos movimientos? b) Relaciona cada gráfica F-t con una de las gráficas v-t que se indican a continuación:

4. ¿Podemos asegurar que si sobre un cuerpo actúa una fuerza resultante mayor que en otro, su aceleración será mayor?

5. Un objeto de 4 kg de masa se mueve de modo que su gráfica v-t es la siguiente:

a) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre él en los 4 primeros segundos?

b) ¿Cuál es la fuerza que actúa sobre él a partir del cuarto segundo?

6. Sobre un bloque de 5 kg de masa que va con una velocidad de 3 m/s actúa una fuerza de 10 N. Calcula la velocidad a los 2 s de actuar si:

a) Actúa en la misma dirección y sentido que la velocidad.

F

v

12

m = 12 kg

b) Actúa en la misma dirección y sentido contrario que la velocidad.

c) Actúa perpendicularmente a la velocidad.

A9. Ejercicios del segundo principio. 1. Calcula si el cuerpo, de 12 kg de masa, que se encuentra en reposo sobre la superficie horizontal,

cuyo coeficiente de rozamiento estático s es de 0,44, se moverá cuando se le aplique una fuerza horizontal de 50 N.

N50F

2. Calcula la aceleración con la que cae un cuerpo, de 4 kg de masa, por una rampa inclinada 30º

como la de la figura. Supón, primero, que no hay rozamiento y después que sí hay rozamiento y

que el coeficiente de rozamiento cinético (k) es de 0,45.

F

v

F

v

13

= 30º m2 = 3 kg

m1 = 5 kg

3. Calcula con que aceleración se mueven los cuerpos que cuelgan de la polea (supón que no hay rozamiento entre la cuerda -de masa despreciable- y la polea):

4. Calcula con que aceleración se mueven los cuerpos del sistema siguiente, siendo el coeficiente de

rozamiento cinético (k) entre m1 y la superficie de la rampa de 0,30: A10. Ejercicios sobre el momento lineal. 1. En una mesa de billar, se lanza perpendicularmente a una banda una bola de masa 0,6 kg, a una

velocidad de 4 m/s. La bola rebota y vuelve al punto de lanzamiento, perdiendo en el trayecto el 10 % de su velocidad inicial. Determina:

a) El momento lineal inicial y el momento lineal final de la bola.

b) La fuerza que ejerce la banda sobre la bola, si el impacto entre ambos duró 0,1 s. 2. Un futbolista golpea el balón de manera que su pie está en contacto con el cuero 0,15 s. El balón,

de masa 0,8 kg, sale disparado a una velocidad de 25 m/s.

a) El momento lineal con el que sale el balón.

b) La Fuerza que ejerce el jugador sobre el balón en la patada. 3. Un vagón militar, provisto de un cañón, tiene una masa de 4000 kg y viaja a una velocidad de 72

km/h por una vía recta. El cañón dispara un proyectil de masa 20 kg en la dirección de la vía y en el mismo sentido de la marcha. Si el proyectil sale a una velocidad respecto del suelo de 320 m/s, halla la velocidad del vagón tras el disparo.

m2 = 6 kg m1 = 4 kg

14

R

vmF

2

A11. Ejercicios sobre dinámica del movimiento circular.

La fuerza que obliga a un cuerpo a girar con una trayectoria circular se denomina fuerza normal o

“centrípeta” y se puede demostrar que viene dada por la expresión:

Siendo v la velocidad lineal a la que se mueve el cuerpo y R el radio del círculo. Con esta premisa

vamos a estudiar dos situaciones típicas de la Dinámica del movimiento circular:

1. Las carreteras de montaña pueden helarse en invierno. Por este motivo, desaparece prácticamente el rozamiento entre el asfalto y las ruedas de los coches, que proporciona la fuerza centrípeta necesaria para que éstos puedan torcer su dirección en las curvas y no “salirse por la tangente”. Para evitar este tipo de accidentes, en una curva de 40 m de radio se proyecta construir un “peralte” (inclinación del pavimento hacia el interior de la curva, capaz de proporcionar, una fuerza centrípeta que “sujete” al coche). Determina el ángulo mínimo de inclinación que deberá tener el peralte para que los vehículos, en caso de helarse la carretera, puedan circular por la curva, sin peligro de derrapar, a 50 km/h.

Solución: Si no hay rozamiento con la carretera, la fuerza centrípeta (Fcp) necesaria para que el coche

no se salga “por la tangente” está suministrada por la fuerza de sostenimiento del pavimento sobre el

coche (Fsost). Concretamente, por su componente Fsost.sen. La componente Fsost.cos equilibra el

peso P. De modo que:

Rg

vθtg

R

vmθtg.mg

θcos

θsenPF

θcos

PF

22

cpsost

Nótese que él ángulo de peraltado adecuado depende de la velocidad del vehículo y de la curvatura de

la vía. En nuestro caso:

15

v

v

o

22

1,2649,0arctgθ49,08,9x49

89,13

Rg

vθtg

2. Atada a una cuerda de 1 m, se hace girar una piedra de 1 kg, de modo que ésta describe una circunferencia en un plano vertical. Calcula:

a) La velocidad lineal mínima a la que la piedra puede describir la circunferencia.

b) La tensión de la cuerda en los puntos más alto y más bajo de la trayectoria, cuando ésta gira a una velocidad v = 2vmín .

La figura muestra las fuerzas que actúan -arriba y abajo- sobre la piedra que está girando en

un plano vertical:

Ta

mg

Tb

mg

En la parte superior de la trayectoria, tanto la fuerza de contacto ejercida por la cuerda

(Tensión, Ta) como el peso mg apuntan hacia abajo. La aceleración centrípeta está también dirigida

hacia abajo (hacia el centro del círculo), de modo que:

mgR

vmT

R

vmmgT

2

a

2

a

En la parte de abajo, la tensión apunta hacia arriba y la fuerza de gravedad hacia abajo. La

resultante debe apuntar hacia el centro del círculo (y por tanto, en este punto, hacia arriba), es decir, la

Tensión Tb es superior al peso:

mgR

vmT

R

vmmgT

2

b

2

b

16

2r

MmGF

En cuanto a la velocidad mínima que debe tener la piedra para que pueda girar, basta con

entender que en la parte alta la tensión deber ser mayor que cero pues si no hubiera tensión la piedra

caería, por lo que:

RgvmgR

vm0T

2

a

Para nuestro caso vmín > (1x9,8)1/2 = 3,13 m.s-1. Los valores de las tensiones para v = 2 vmín son

fáciles de obtener con las ecuaciones anteriores, resultando: Ta = 29,39 N y Tb = 48,99 N.

A12. Ejercicios sobre gravitación.

1. Newton estableció en su obra “Principios Matemáticos de Filosofía Natural” que la gravedad con

que la Tierra atraía a cualquier cuerpo en su superficie era de la misma Naturaleza, y se regía por las mismas leyes que la que hacía que la Tierra atrajera a la Luna o el Sol a los planetas. Estableció además la ley que gobernaba esta fuerza: Los cuerpos se atraen con una fuerza directamente proporcional a su masa e inversamente proporcional a su distancia. Es decir:

Con ayuda de esta ecuación y teniendo en cuenta los valores de la constante G (6,672.10 -11

N.m2.kg-2), la Masa de la Tierra (5,98.1024 kg) y la distancia media desde el centro de la Tierra a su

superficie (6370 km), debes justificar la constancia y el valor de la aceleración de la gravedad g

(chuleta: utiliza también la segunda ley de Newton):

2. Según la tercera ley de Newton, si la Tierra hace caer a un cuerpo con una determinada fuerza (su peso) este cuerpo hará una fuerza sobre la Tierra del mismo valor pero sentido contrario. O lo que es lo mismo, de la misma manera que un cuerpo cae sobre la Tierra, la Tierra también cae sobre dicho cuerpo. Calcula la aceleración con que un cuerpo de 80 kg hace caer a la Tierra sobre él.

3. Calcula el peso de una persona de 60 kg en la superficie de la Tierra y a 100 km de altura sobre ésta. Calcula también el peso de la misma persona sobre la superficie de la Luna (Masa de la Luna: 7,349. 1022 kg; Radio de la Luna: 1737,40 km).

A13. Ejercicios de repaso.

1. Señala, utilizando vectores, qué fuerzas están actuando sobre el sistema de la figura (cuerpo y superficie):

2. Calcula qué velocidad alcanzará un cuerpo de 5 kg de masa sobre el que actúa, durante 2 s, una fuerza horizontal de 30 N (inicialmente el cuerpo está en reposo):

17

m1 = 7 kg

m2 = 13 kg

3. Obtén la resultante del conjunto de fuerzas que indica la figura, gráfica y numéricamente:

3 N

1 N 6N

4. Calcula con que aceleración se mueven los cuerpos del sistema siguiente, siendo el coeficiente de

rozamiento cinético (k) entre m1 y la superficie por donde se mueve de 0,23:

18

A14. Sistemas de partículas y centro de masas. Consideremos un conjunto de N partículas de masa mi que se mueven respecto de un sistema de referencia inercial cualquiera, de origen O. En el caso más sencillo, todas las partículas tienen un

movimiento de traslación con igual velocidad v

respecto de O y, el movimiento de todas ellas puede describirse por el de una sola, dada su velocidad común. Al considerar todas las partículas en conjunto

hay que tener en cuenta el momento lineal de todo el sistema, p

, suma vectorial de los momentos

lineales de todas las partículas:

vmvmppi

i

i

i

Siendo i

imm la masa total del sistema.

Es decir, el momento lineal del conjunto de partículas es igual al que tendría una partícula imaginaria, situada en cualquier punto del sistema, que tuviese la masa de todas ellas y se moviese a la velocidad común de traslación; de hecho este es el tratamiento que se ha dado al movimiento de traslación de cuerpos sólidos: tratarlos como si de una partícula puntual se tratara. Si el movimiento del conjunto de partículas no es de traslación como un todo, sino que las velocidades

de éstas, iv

, no coinciden, nos podemos plantear la pregunta de si el momento lineal total -suma

vectorial de los momentos lineales de todas las partículas- es el momento lineal de una hipotética partícula -como en el caso anterior- de masa m. La respuesta es sí. Siendo la posición de esta

hipotética partícula un punto denominado centro de masas (cdm) que se mueve a velocidad cdmv

y

siendocdmcdm vmp

el momento lineal equivalente al momento lineal de todo el sistema de partículas.

Para que i

ii

i

icdm vmppp

es fácil comprobar que basta con que se cumpla:

m

vm

v i

ii

cdm

Del mismo modo el vector de posición del centro de masas, cdmr

, vendrá dado por la expresión:

m

rm

r i

ii

cdm

19

Ya que es fácil comprobar que la derivada temporal de la expresión anterior nos da la de la velocidad

del centro de masas (siendo ir

el vector de posición, respecto de O, de cada una de las partículas que

componen el sistema). Conviene destacar, para terminar, que el centro de masas es un punto geométrico definido por la ecuación anterior de su vector de posición, que cumple que una hipotética partícula de masa igual a la masa total del sistema, localizada en dicho punto, tiene un momento lineal igual al momento lineal total de sistema (discreto o continuo) de partículas. Por otro lado, el centro de masa puede, o no, coincidir con una partícula o punto material del sistema. Por ejemplo, el centro de masas de un anillo circular se encuentra en su centro geométrico, que no es un punto material. A15. Conservación del momento lineal de un sistema de partículas. El análisis dinámico de un sistema de partículas requiere conocer las fuerzas que actúan sobre cada una de las mismas. Distinguiremos para ello entre fuerzas externas -cuyo origen es el exterior del sistema- y fuerzas internas, o que ejercen las partículas entre sí. Las fuerzas internas, por el principio de acción y reacción, son, para cada par de partículas (i y j), iguales, contrarias en sentido y están en la misma recta que une a las partículas. Es decir:

jiij FF

y la resultante de todas las fuerzas internas que obran sobre las partículas será cero:

0(int)Fi

i

pues dos a dos se anularán ya que podremos agruparlas en la forma jiij FF

con resultado nulo.

Esto significa que el momento lineal total del sistema solo variará (segundo principio de Newton) por la acción de fuerzas externas:

dt

pd)ext(F

dt

pd

dt

pd)ext(F)ext(F(int)F)ext(FF cdm

totalcdm

total

i

i

i

i

i

itotal

Si no hay variación de masa en el sistema de partículas (o en el cuerpo rígido que lo forma) la ecuación anterior se puede escribir:

cdmtotal ma)ext(F

Es decir, la resultante de las fuerzas externas que obran sobre el sistema determina el movimiento del centro de masas del mismo, o, dicho de otro modo, el centro de masas se mueve como si toda la masa del sistema estuviese localizada en dicho punto y sobre este punto actuase la resultante de las fuerzas externas. ¡Las fuerzas internas no afectan al movimiento del centro de masas! ¡Si nos lanzamos desde un trampolín nuestros movimientos no pueden cambiar la trayectoria de nuestro centro de masas ni el punto donde vamos a impactar con el agua, aunque sí pueden determinar el modo en que nuestro cuerpo llega al agua!

20

Queda, por último, considerar que si la resultante de las fuerzas externas es nula el momento lineal no cambiará:

dt

pd

dt

pd)ext(F cdm

total

Si tetanconsp0

dt

pd

dt

pd0)ext(F cdm

total

Lo que se conoce como principio de conservación del momento lineal para un sistema de partículas: Si la resultante de las fuerzas externas que obran sobre un sistema de partículas es nula el momento lineal total del sistema se conserva. Si no hay variación de masa, el principio de conservación del momento lineal equivale a decir que la velocidad del centro de masas es constante:

tetanconsv0a0)ext(F cdmcdmtotal

A16. Momento angular. Sea una partícula que se mueve con respecto a un sistema de referencia inercial de origen O, y

sea p

su momento lineal. Llamamos momento angular de la partícula con respecto a O al “momento”

del momento lineal, es decir, al producto vectorial del vector de posición de la partícula y el momento

lineal:

vrmvmrL

Como iremos viendo más adelante, el momento angular va a hacer el papel, en el movimiento de

rotación, que hace el momento lineal en el movimiento rectilíneo.

Sea un sistema de N partículas con movimiento cualquiera con respecto a un sistema de referencia

inercial de origen O. El momento angular total del sistema (con respecto a O) es la suma vectorial de

los momentos angulares de cada partícula del sistema:

N

1i

N

1i

iiiitotal vrmLL

A17. Momento de la fuerza resultante. Relación con el momento angular. Conservación del mismo. Sea una partícula que se mueve con respecto a un sistema de referencia inercial de origen O, y sobre

la que obra una fuerza resultante F

, llamamos momento de la fuerza resultante con respecto a O, al producto vectorial del vector de posición de la partícula con dicha fuerza:

FrM

Si tenemos en cuenta que dt

pdF

resultará que:

dt

Ld

dt

prd

dt

pdrFrM

21

O

i

j

ir

jr

)j(ri

ijF

jiF

(dado que

dt

pdr

dt

pdrvmv

dt

pdrp

dt

rd

dt

prd

)

De la expresión:

dt

LdM

se desprende que si el momento de la fuerza resultante es cero (bien porque dicha fuerza es nula o porque es paralela al vector de posición) el momento angular se conserva, es constante. Esto se conoce como principio de conservación del momento angular (para una partícula). Si tenemos un sistema de partículas, recordemos que debemos distinguir entre fuerzas internas que obran sobre las partículas y fuerzas externas. En el primer caso ya hemos señalado que por aplicación del tercer principio dichas fuerzas son, de dos en dos, iguales y de sentido contrario, por tanto no existe fuerza interior resultante no nula. Y de la misma manera que las fuerzas internas son dos a dos iguales pero de sentido contrario, los momentos de dichas fuerzas serán también iguales pero de sentido contrario:

0F)j(rFrrFrFrMM ijiijjijijìjiji

Pues )j(rrr iji

-posición de i con respecto a j, véase la figura- y ijF

son paralelos (están en la línea

que une a i y j). Por tanto:

0(int)MN

1i

i

Por tanto el momento total, con respecto a O. de las fuerzas que obran sobre el sistema es la suma de los momentos de las fuerzas externas que obran sobre las partículas:

N

1i

ii

N

1i

i

N

1i

itotal )ext(Fr(int)M)ext(MM

Teniendo en cuenta que dt

LdM i

i

resultará que:

22

N

1i

totali

N

1i

iN

1i

itotaldt

LdL

dt

d

dt

Ld)ext(MM

De nuevo, de la expresión:

dt

LdM total

total

se desprende que si el momento-fuerza resultante de las fuerzas externas es nulo, el momento angular

total se conserva, es constante. Esto se conoce como principio de conservación del momento angular

(para un sistema de partículas).

A18. Ejercicios y cuestiones relacionados.

A19. Sólido rígido.

El objeto de un estudio cinemático o dinámico no tiene por qué ser una única partícula sino un conjunto

de ellas que interaccionan entre sí, como hemos visto. En muchos casos la interacción entre partículas

es tan intensa que la distancia entre ellas se reduce de modo que forman un cuerpo compacto que,

cualesquiera que sean las acciones -fuerzas- que actúan sobre él, no se deforma. Tal sistema se

denomina sólido rígido o indeformable: un sistema de partículas o puntos materiales que mantienen las

distancias entre ellas permanentemente.

Aunque este concepto es un modelo teórico, hay muchos cuerpos que admiten esta descripción. En tal

caso, cuando se considera su movimiento, hay que tener en cuenta dos tipos de posibles movimientos

de conjunto: el de traslación y el de rotación.

A20. Momento de inercia.

Se denomina momento de inercia de una partícula respecto de un eje, al producto de la masa de la

misma por el cuadrado de su distancia al eje:

2

iii rmI

El momento de inercia de un sistema de partículas respecto de un eje es la suma de los momentos de

inercia de cada partícula respecto de dicho eje.

i

2

iirmI

Si el sistema de partículas es un sólido rígido, la distribución de masas puede considerarse continua en

vez de discreta y su momento de inercia respecto de un eje vendrá dado por:

dmrI2

23

siendo r la distancia de cada elemento de masa, dm, a dicho eje.

A21. Rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo.

La rotación de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo es un caso en el que cada partícula del cuerpo

describe una trayectoria plana circular con centro en el punto de intersección del plano en el que se

mueve la partícula y el eje de rotación. El estudio de tal movimiento de rotación parte de la ecuación:

dt

LdM total

total

que, en el movimiento de rotación va a hacer el papel que hace, en el movimiento lineal:

dt

pd)ext(F cdm

total

Por lo que la determinación del momento angular es primordial. Y aquí es donde entra la relación entre

momento angular y el momento de inercia. Sin entrar en más consideraciones, se puede demostrar que

la componente del momento angular sobre el eje de rotación (en donde situamos el origen O, y que se

suele asimilar al eje z) es igual al producto del momento de inercia respecto de dicho eje por el módulo

de la velocidad angular (considerada ésta como un vector perpendicular al plano de giro y, por tanto,

paralelo al eje de rotación z):

Lz = I

Si el eje z de rotación fuera principal -es decir, que es paralelo a la dirección de L

- entonces la

componente sobre el eje de rotación sería la única no nula, cumpliéndose la relación vectorial:

IL

De la expresión dt

LdM total

total

se deduce

Idt

dI

dt

dLM z

z , donde es la aceleración angular.

Esta expresión se conoce como ecuación del movimiento de rotación y es análoga a F = ma que rige el

movimiento de traslación. Así, el papel de la fuerza en la traslación lo juega el momento de la fuerza en

la rotación, al igual que ocurre entre la aceleración lineal y la angular, y el momento de inercia ocupa en

la rotación la función que realiza la masa en la traslación, es decir, su oposición al cambio de estado de

movimiento, al cambio, en este caso, de la velocidad angular, su papel es por tanto el de expresar la

inercia del cuerpo en el movimiento de rotación.

Como consecuencia de las expresiones anteriores tenemos que, si no existe momento de fuerza

externo, o la componente del mismo sobre el eje de rotación es nula, entonces Lz se conserva, es

constante: Si Mz = 0 → Lz = I = constante. En los giros continuos que se realizan, por ejemplo en el

salto de trampolín o el patinaje artístico, se puede alterar la velocidad angular variando el momento de

inercia de la persona respecto de su eje de rotación (por ej. extendiendo o contrayendo los brazos o el

cuerpo). La razón es que tales cambios obedecen a momentos-fuerza internos, por lo que se conserva

el momento angular, obligando, la variación de I, a que varíe .

24

F

30º

A22. Ejercicios y cuestiones relacionados.

1. El terremoto de Chile redistribuyó la masa de la corteza terrestre acercándola respecto al eje de

rotación de la Tierra. Explica si, como consecuencia de ello, la duración del día se acorta o se

alarga.

Solución: Si la masa se concentra hacia el eje, el momento de inercia de la Tierra disminuye. Por

conservación del momento angular, la velocidad angular debe aumentar y, por tanto, el período

disminuye y la duración del día se acortaría (fenómeno similar al del patinador que aumenta su

velocidad de giro cuando agrupa los brazos).

2. Un disco uniforme de 1 kg y 5 cm de radio se frena uniformemente desde una velocidad angular de

1000 rpm hasta el reposo, en un tiempo de 25 segundos. ¿Cuál es el módulo del momento de la

fuerza aplicada para frenarlo?

A23. Ejercicios relacionados con el trabajo y la energía.

1. Calcula el trabajo realizado por una fuerza de 10 N -que forma un ángulo de 30 º con la horizontal-

al tirar de un bloque de madera desplazándolo 5 m sobre la superficie horizontal:

(Generalización del concepto de trabajo a fuerzas oblicuas: W = Fdesp . x = F . x . cos y

expresión del mismo en términos de producto escalar de dos vectores.)

2. Deslizamos un cuerpo de 50 kg, inicialmente en reposo, por una superficie horizontal lisa mediante la acción de una fuerza constante y paralela al desplazamiento. Después de 20 s su velocidad es de 2 m/s. Calcula el trabajo desarrollado por la fuerza en el desplazamiento logrado a los 20 s.

(Introducción de la energía cinética y del teorema de las fuerzas vivas.)

3. Mediante una fuerza horizontal de 5 N empujamos un bloque de madera por una superficie.

a) Calcula, suponiendo que no hay fuerza de rozamiento, el trabajo realizado sobre el bloque de madera y el consiguiente aumento de energía cinética del mismo en 5 m de desplazamiento.

b) ¿Cuál será el aumento de energía cinética del bloque de madera si -como ocurre en realidad- consideramos el rozamiento entre las superficies y suponemos que el valor del mismo es de 1 N?

(El rozamiento como factor disipador de la energía)

25

4. Se lanza verticalmente hacia arriba una pelota de 225 g de masa, con una velocidad inicial de 19,8

m/s. Cuando la altura, respecto del suelo, es de 10 m, la velocidad es de 14 m/s.

a) ¿Cuánto vale la energía cinética de la pelota en el momento de lanzarla?

b) ¿Cuánto vale su energía cinética en el momento en que alcanza los 10 m de altura?

c) ¿Por qué ha disminuido la energía cinética al ir subiendo la pelota?

d) ¿Podemos decir qué ha desaparecido dicha energía?

(Energía potencial, fuerza conservativa y principio de conservación de la energía mecánica.)

5. En una montaña rusa, en la que no existen rozamientos, la vagoneta y sus ocupantes pasan por una de las cimas, situada a 25 m de altura respecto del suelo, con una velocidad de 2 m/s. ¿Con qué velocidad pasarán por la siguiente cima situada a 10 m sobre el suelo?

(Aplicación del principio de conservación de la energía.)

6. Una bomba saca agua de un pozo de 50 m de profundidad a razón de 500 litros por minuto. Calcula:

a) El trabajo que realiza la máquina cada minuto y cada segundo que pasa.

b) ¿Qué cantidad de energía eléctrica consumirá la bomba, según que su rendimiento sea del 100 % o del 40 %.

(Potencia de una máquina, sus unidades -incluido el CV = 735 w- y unidad de energía kwxh)

7. Suponga un muelle cuya constante recuperadora sea k = 50 N.m-1. Calcule el trabajo realizado por una fuerza externa, de valor cualquiera F, al estirar, muy lentamente el muelle 0,15 m. Advertencia: Piense que la fuerza con que estiramos el muelle no es constante, sino que depende, en cada momento, del estiramiento que está sufriendo el muelle (Ley de Hooke). Plantéese por tanto si podrá calcular el trabajo de otro modo (por ejemplo, gráficamente… recuerde que para una fuerza constante el trabajo es igual al área subtendida entre la gráfica de Fx frente a x ¿sería igual para fuerzas variables?). ¿Podemos afirmar que un muelle estirado (o comprimido) tiene energía? ¿De qué tipo? ¿Cómo podemos calcularla?

(Introducción a la energía potencial elástica y a la generalización del concepto de trabajo para fuerzas variables.)

26

8. Mezclamos 2 kg de agua a 170 ºF con 4 kg a 280 K. Calcula la temperatura final de la mezcla, expresada en ºC. Dato: El “calor específico” del agua (o capacidad calorífica por unidad de masa) es 4.180 J.kg-1.K-1.

(Introducción del principio de conservación de la energía en procesos de equilibrio térmico.)

A24. Más ejercicios (de refuerzo) relacionados con el trabajo y la energía.

1. Tiramos de un cuerpo de 20 kg, que se encuentra inicialmente en reposo en el suelo, con una

fuerza de 50 N, que forma un ángulo de 30º con respecto a la superficie horizontal (ver figura). Al cabo de un tiempo el objeto se encuentra a 20 m de su posición inicial. Calcula:

a) Qué trabajo ha hecho cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. (Dato: Coeficiente

de rozamiento cinético entre el suelo y el cuerpo, = 0,12)

b) Qué trabajo ha hecho la fuerza resultante.

c) En cuánto ha aumentado la energía (¿de qué tipo?) del cuerpo, como resultado de ese trabajo.

d) ¿Qué velocidad lleva el cuerpo a los 20 m de su posición inicial? 2. Una grúa levanta, muy lentamente, un cuerpo de 200 kg de masa en 20 s hasta una altura de 15

m. Haz un dibujo de la situación y calcula:

a) El trabajo realizado por la grúa sobre el cuerpo y la potencia desarrollada por ésta.

b) El trabajo realizado por la gravedad terrestre sobre el cuerpo, al ser éste ascendido.

c) La variación de energía (¿de qué tipo?) del cuerpo debida a la acción de la grúa.

d) El trabajo de la gravedad terrestre y la variación de energía del cuerpo si éste cae libremente. 3. En la polea de la figura, los dos cuerpos que cuelgan están inicialmente en reposo (pues la polea

está “anclada”) y a la misma altura con respecto al suelo. En un momento dado, el sistema se deja en libertad y los cuerpos empiezan a moverse. Calcula la velocidad que llevan cuando se han desplazado verticalmente 1 m.

F

m2 = 6 kg m1 = 4 kg

27

m1 = 7 kg

m2 = 13 kg

4. La masa de un automóvil es de 1500 kg y su motor es capaz de hacer que éste pase de 0 a 100 km/h en 9 s ¿Qué potencia está desarrollando el motor?

5. Sea el sistema que aparece en la figura, inicialmente está en reposo pues la polea está frenada. Calcúlese que velocidad alcanzan los cuerpos cuando, tras soltar la polea, éstos se ponen en movimiento y m2 desciende 40 cm.

6. Se cuelga de un muelle un cuerpo de 0,5 kg y éste se alarga 5 cm. Calcula la constante elástica del muelle y la energía potencial que adquiere al ser estirado por el cuerpo colgado.

7. Al sumergir un trozo de plomo, de 120 g, a una temperatura de 220 ºC, en 213,5 g de agua, a una

temperatura de 15 ºC, se alcanza una temperatura de equilibrio de 18,5 ºC. Calcula el calor específico del plomo.