TEMA 1: Álgebra Vectorial - faeuat0.us.esfaeuat0.us.es/ff/Carpetas/Extra/TEMA 1(MG).pdf · TEMA 1: Álgebra Vectorial Departamento de Física Aplicada 07/10/2008 II. Miguel Galindo

TEMA 1: Álgebra Vectorial

Departamento de Física Aplicada Departamento de Física Aplicada II. Miguel Galindo del PozoII. Miguel Galindo del Pozo 1107/10/200807/10/2008

TEMA 1: ÁLGEBRA VECTORIAL

Magnitudes escalares y vectoriales.

E l V lEscalares Vectoriales

Nº real y unidadNº real y unidad

yDirecciónSentido

07/10/2008 Departamento de Física Aplicada II. Miguel Galindo del Pozo 2


Magnitudes escalares y vectoriales.

Definición: Se llama vector a todo segmento orientado. Eli d l t l d t i ll i lprimero de los puntos que lo determina se llama origen y el

segundo extremo.

ABuuurrvr

A B( t )

v AB

AB

=uuurr

v

A(origen) (extremo) v v AB= =

r



Vectores libres, deslizantes y ligados

Tres situaciones o tipos de magnitudes vectoriales:

Q d t i d ód l

Lib

Quedan caracterizados por su módulo dirección y sentido.

- Libres Permanecen invariantes ante:

•Cualquier traslación del vector a lo largo de su línea de acción y•C l i t l ió d l t•Cualquier traslación del vector paralela a su línea de acción.





Q d t i d ód l

D li t

Quedan caracterizados por su módulo dirección, sentido y recta de acción.

- Deslizantes Permanecen invariantes ante:

•Cualquier traslación del vector a lo largo de su línea de acción.




Tres situaciones o tipos demagnitudes vectoriales: SR SR

FSR

← FSR

←

g

Fij

SR SR

– Fijas– Deslizantes– LibresLibres

SR SR

FSR

←

FSR

←





Q d t i d ód l

Fij

Quedan caracterizados por su módulo dirección, sentido y punto de aplicación.

- Fijos NO permanecen invariantes ante:

•Cualquier traslación del vector a lo largo de su línea de acción y•C l i t l ió d l t•Cualquier traslación del vector paralela a su línea de acción.



Álgebra vectorial

– Suma: (vector)r ar

br

a

br

a

a b+rr

– Propiedades:

b

r r– Conmutativa:– Asociativa:

Existencia del elemento neutro

a b b a+ = +r rr r

( ) ( )a b c a b c+ + = + +r rr r r r

0 ; 0 a a+r r r r– Existencia del elemento neutro:

– Existencia del elemento simétrico:0 ; 0 a a+ =

; 0a a a− − + =rr r r



Álgebra vectorial

– Producto de un escalar por un vector: (vector)

vr ; 0vλ λ >r ; 0vλ λ <

r

– Propiedades:– Distributiva (suma de escalares):– Distributiva (suma de vectores):

Asociati a de escalares

( )v v vα β α β+ = +r r r

( )a b a bλ λ λ+ = +r rr r

( ) ( )v vα β αβr r– Asociativa de escalares:– Existencia del elemento escalar neutro:

( ) ( )v vα β αβ=1; 1v vλ = =

r r


TEMA 1: ÁLGEBRA VECTORIALTEMA 1: ÁLGEBRA VECTORIAL

Ál b i lÁlgebra vectorial

Utilid d– Utilidades:– Obtención del elemento simétrico:– Definición de la resta :

( 1)v v− = −r r

( 1) ( )a b a b a b= + = +r r rr r rDefinición de la resta :

– Vector unitario:– División:

( 1) ( )a b a b a b− = + − = + −1v =

r

1 vv =r

r

– Vector unitario asociado a un vector:1vr

vλ λ

=

1 ;v vu v v v uv

= =r rr r r r r

rv

vurr



Independencia lineal– Dados dos vectores libres en un plano, y , no nulos y

no paralelos, es posible expresar cualquier vector libre de1vr

2vr

vrp p p qese plano, como combinación lineal de y .

λ1 y λ2 únicos.1 1 2 2v v vλ λ= +r r r

1vr

2vr



Independencia lineal– Dados tres vectores libres en el espacio, , y , no nulos

y no coplanarios, es posible expresar cualquier vector libre1vr

2vr 3vr

y p p p qdel espacio, como combinación lineal de , y .

λ1, λ2, y λ3 únicos.vr

1 1 2 2 3 3v v v vλ λ λ= + +r r r r

1vr

2vr 3vr

y

– Tres vectores son linealmente independientes si1 2 3,v v y vr r r pla ecuación

1 1 2 2 3 3 0v v vλ λ λ+ + =rr r r

sólo tiene solución para λ1 = λ2= λ3=0.



Independencia lineal– Llamaremos a linealmente independientes base (o

sistema de referencia) del espacio y a (λ1, λ2 y λ3){ }1 2 3, ,v v vr r r

p y 1 2 y 3)componentes del vector.

– Igualdad ; a1 = b1, a2 = b2, a3 = b3

S

a b=rr

r– Suma

P d l

1 1 2 2 3 3( , , )a b a b a b a b+ = + + +rr

– Producto por un escalar1 2 3( , , )a a a aλ λ λ λ=

r



Sistema de referencia– Base ortonormal: vectores perpendiculares entre sí

1v v v= = =r r r

– Orientación dextrógira:1 2 3 1v v v= = =



Sistema de referencia– Base o sistema de referencia cartesiano:

1u u i= =rr r

( )r1

2

x

y

u u i

u u j

k

= =rr r

rr r

( , , )x y z

x y z

v v v v

v i v j v k

= =

= + +

r

rr r

3 zu u k= =r r y

(1,0,0)(0,1,0)

ij=

=

r

r( , , )

(0,0,1)

j

k =r2 2 2

x y zv v v v= + +r


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C diCosenos directores– Dirección y sentido: (cosenos directores)

cosxv v α=r

Dirección y sentido: (cosenos directores)cos

cosy

z

v v

v v

β

γ

=

=

r

r

γ

z γ

( )βr

α β

γ (cos ,cos ,cos )vu α β γ=rr

2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + =



Producto escalar– Producto escalar (geométricamente):

(nº real)cosa b a b θ⋅ =

r rr r

– Propiedades:– Conmutativa:

D b l da b b a⋅ = ⋅r rr r

– Distributiva respecto a la suma de vectores:

Di ib i d l d l l( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅r rr r r r r

– Distributiva del producto por un escalar respecto alproducto escalar: ( ) ( ) ( )a b a b a bα α α⋅ = ⋅ = ⋅

r r rr r r

– Ejemplos: , ,...i i i j⋅ ⋅r r r r


Producto escalar– Producto escalar (analíticamente): x x y y z za b a b a b a b⋅ = + +

rr

a b a b a b+ +2 2 2 2 2 2

cos x x y y z z

x y z x y z

a b a b a b

a a a b b bθ

+ +=

+ + + +; 0a b a b⊥ ⋅ =r rr r

– Vector proyección

( )r r r r

θ

ar ( ) ( )

( ) cos

b b bP a P a u

a bP a a θ

=

⋅= =

r r rr r r

rrr

θbr

( ) cosbP a ab

θ= =r r

( )bP arr r



Producto Vectorial– Producto vectorial (geométricamente): (vector)

Módulo:a b a b senθ∧ =

r rr r

Dirección:( )a b⊥ Π

rrθ Sentido:

Regla de la mano

( , )a b⊥ Π

Regla de la manoderecha



IV. Producto escalar y Vectorial– Producto vectorial:

P i d d– Propiedades:– No conmutativa:

Na b b a∧ = − ∧

r rr rr r– No asociativa:

– Distributiva respecto de la suma de vectores:( )b br rr r r r r

( ) ( )a b c a b c∧ ∧ ≠ ∧ ∧r rr r r r

– Distributiva del producto por un escalar respecto alproducto vectorial:

( )a b c a b a c∧ + = ∧ + ∧r r r r r

( ) ( ) ( )a b a b a bα α α∧ = ∧ = ∧r r rr r rproducto vectorial:

– Ejemplos:( ) ( ) ( )a b a b a bα α α∧ = ∧ = ∧

, ,...i i i j∧ ∧r r r r


IV. Producto escalar y Vectorial– Producto vectorial (analíticamente):

( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xa b a b a b i a b a b j a b a b k∧ = − + − + −r rr rr

i j ka b a a a∧ =

rr r

rrx y z

x y z

a b a a ab b b

∧ =



IV. Producto escalar y Vectorial– Área del paralelogramo definido

por los vectores (el módulo):por los vectores (el módulo):

ar a senθrθa b a b senθ∧ =

r rr r

br

θ

– Paralelismo:0a y b paralelos a b⇔ ∧ =

r r rr r


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